universidade federal do parana programa de pós-graduação em engenharia elétrica

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANAPrograma de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica

Modelagem da Histerese Magnética

Modelagem da Histerese Magnética

Jean Vianei Leite

Curitiba , abril de 2010.

Jean Vianei Leite

Curitiba , abril de 2010.

Modelo de JA - Parâmetros

Parâmetros do Modelo – Ms, k, c, a,

Magnetização de saturação MS

• Influência na magnetização máxima e a remanente

• O campo coercitivo sofre pouca alteração


Parâmetro a

• Modifica a forma do laço, tornando-o mais ou menos inclinado.

•Advém da teoria de Langevin, está associada aos momentos magnéticos e à temperatura.


Parâmetro k

• Influência na magnitude do campo coercitivo

• Deduzido das considerações a respeito

do bloqueio das paredes dos domínios


Parâmetro

• Da teoria de Langevin, está relacionado às interações entre os domínios

• Modifica a retangularidade do laçoe a magnitude da indução remanente


Parâmetro c

• Parâmetro da reversibilidade da magnetização.

DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS A PARTIR UM LAÇO EXPERIMENTAL DE HISTERESE

• O cinco parâmetros do modelo de Jiles-Atherton podem ser obtidos de um laço experimental de histerese do material.

• Jiles et alii propõem um algoritmo para obtenção dos parâmetros a partir das susceptibilidades em regiões distintas da curva de histerese e dos valores de campo coercitivo e magnetização remanente, além da magnetização máxima experimentada pelo material.

• Outros metodologias propõem métodos de minimização de erro ajustando o conjunto de parâmetros até o modelo seguir a curva experimental.

Modelo de JA - Obtenção dos Parâmetros

Obtenção dos parâmetros do modelo – Método de Jiles

• Jiles propõe um algoritmo baseado em pontos chaves do laço.

• Os cinco parâmetros do modelo são obtidos de um único laço experimental, o qual tenha atingido a saturação.

Modelo de JA – Obtenção do parâmetros

• Para a obtenção dos parâmetros, as equações anteriores necessitam ser resolvidas simultaneamente.

• As equações são não lineares e complexas, as suas derivadas são complexas também. Há a necessidade de uso um método linear baseado nos dois valores mais recentes da função.

• O método das Secantes é geralmente utilizado (Newton-Raphson torna-se complicado para trabalhar com as derivadas).


• Um algoritmo usando o método das Secantes é apresentado a seguir. Uma iteração é mostrada.

1.Cálculo de k

c

cScan H

a

a

HMHM coth)(

)1(2)()()(

ccs

cancanscan

H

a

M

HM

a

HM

a

M

dH

HdM

dH

HdMc

c

c

HMk

canc

can)(

1

)1(

)(


2. Cálculo de

r

rsran M

a

a

MMMM

coth)(

)1(2)()()(

rrs

ranransran

M

a

M

MM

a

MM

a

M

dH

MdM

dH

MdMcc

kMMMf

ranr

rran

)(1

)1(

)()(

Método das Secantes para calcular


3. Cálculo de a

mme HHH

e

esean H

a

a

HMHM coth)(

1

)1()()(

m

mmean

kcMHMag

Método das Secantes para calcular a


4. Cálculo de c

s

in

M

ac

3

O procedimento é repetido até que uma determinada precisão seja obtida.

Obtenção dos Parâmetros – Análise do Algoritmo

• Pequenas variações nas susceptibilidades, magnetizações e campos retirados da curva medida levam a significativos desvios na obtenção do conjunto de parâmetros.

• Conjunto de dados imprecisos podem levar o algoritmo a divergir.

• Outra dificuldade é a curva de magnetização inicial, necessária para levantar a susceptibilidade inicial. Assim necessita-se de um sistema para levar o material a estar totalmente desmagnetizado.

Obtenção dos Parâmetros – Métodos Alternativos

O algoritmo anterior é complexo, composto por um sistema de equações interdependentes.

A precisão necessária no levantamento dos parâmetros pode ser evitada utilizando métodos de ajuste da curva medida e o modelo através de algoritmos que minimizem o erro médio entre as curvas modelada e medida (MSE).

21

0exp

1

n

isim iHiH

nMSE

Obtenção dos Parâmetros – Variação Sequencial dos Parâmetros

• No método de minimização do erro entre as curvas, a precisão necessária para levantar os pontos chaves é evitada.

• Neste método, os parâmetros são variados seqüencialmente dentro de um limite específico.

• O modelo utiliza o conjunto de parâmetros obtido para calcular um novo laço de histerese. O programa então calcula o erro médio entre as curvas obtida e medida.


Modelo de Jiles-AthertonInverso ou Direto

MSE entre Medida eCurva Modelada

CurvaMedida

Laço de Controle

Variação SeqüencialDos Parâmetros

•Observando a evolução do erro médio quadrático entre as duas curvas, o algoritmo, através da malha de controle, decide se a variação dada aos parâmetros foi efetiva no sentido de diminuir o erro médio quadrático.

•O algoritmo pode variar os parâmetros novamente e repetir o procedimento até que um erro mínimo permitido seja obtido.


• O uso do modelo inverso melhora a convergência do algoritmo apresentado uma vez que usa a indução como variável independente (a indução é filtrada naturalmente pela integração).

Obtenção dos Parâmetros – Algoritmos Genéticos

• Outra metodologia usada para a obtenção dos parâmetros é a técnica de Algoritmos Genéticos (AG);

• AG são mais rápidos que a variação sequencial dos parâmetros e os parâmetros obtidos permitem uma boa concordância entre os laços medidos e calculados.

Conjunto inicial de 5 parâmetros

Obtenção dos Parâmetros – Algoritmos Genéticos

Obtenção de Parâmetros usando EXCEL

Comparação entre Modelo Inverso e Direto

• Comparações entre os modelos direto e inverso em cascata, mostraram serem os mesmo equivalentes.

ModeloDireto (JA) B

ModeloInverso (SL)B

H

ModeloDireto (JA)H

ModeloInverso (SL) H

B

• Ao final das simulações as ondas encontradas eram exatamente iguais, em fase e amplitude àquelas usadas na entrada.

Problema de laços internos e menores

• Parâmetros bons para o laço externo podem não ser bons para os laços internos.

• Laços menores não fisicos.

Escalonamento Para Laços Internos e Menores

• Apesar do modelo de Jiles-Atherton possuir ótima concordância para os laços maiores o mesmo não é observado nos laços internos de indução.

• Jiles e Atherton modificam a teoria do ferromagnetismo para ajustar os laços menores e internos, utilizando um fator de escala.

• Nessa metodologia as equações necessitam de um prévio conhecimento de onde ocorrerá um ponto de inversão.

• Os campos são calculados através de equações transcendentais nos extremos dos laços.

• Carpenter apresenta um método similar de ajuste, porém utilizando equações diferenciais.

Escalonamento Para Laços Internos

• A equação do balanço de energia de Jiles em termos da Indução magnética efetiva Be é:

e

es dB

dMk

a

BLMM

ondex

xxL1

)coth()( é a função de Langevin

• A solução homogênea é:

eB

eh dBk

MM0

0

1exp

Constante


• A solução particular é dada por:

a

BL

a

kMBM en

n

n

nsep

)(

0

)1()(

onde L(n)(x) é a n-ésima derivada de L(x).

• A solução homogênea representa a curva de magnetização inicial da curva.

• A solução particular representa o laço externo de magnetização.

• A magnetização é calculada retendo somente a solução particular, escalonando e deslocando os ramos ascendente e descendente.


• O fator de escala necessário para fazer o valor da saturação do laço menor igual ao do maior, no ponto (Mi, Bei) é:

iseips MMBMM )(

Ms

Mi

Mp(Bei)

Bei

Be /a

M / MS


• O offset que deverá ser somado será:

sMM )1(0

• Para a trajetória de de um laço menor na direção , começando no ponto (Mi, Bei) a magnetização será dada por:

sep MBMM )1()(

• Em termos de equação diferencial:

e

p

eips

is

e dB

dM

BMM

MM

dB

dM

)(


• Expandindo por série:

a

BL

a

k

kaBLak

MM

dB

dM enn

n

n

nei

nn

is

e

)(

1

1

0

)(

)1(1

)/()/(

Be /a

M / MS

Integrando a equação anterior retida no terceiro termo da expansão


• Seguindo o trabalho de Lederer o fator de escalonamento foi aplicado a magnetização total:

e

irr

e

an

e

an

e

irr

is

is

dB

dMc

dH

dMc

dH

dMcdB

dMc

BMM

MM

dB

dM

)1)(1()1(1

)1(

)(0

0

Laços obtidospor integração da equação anterior

Comparação Com Curvas Experimentais

• Modelo inverso com e sem fator de escalonamento foi comparado com curvas experimentais;

• As curvas experimentais foram obtidas numa bancada construída para caracterização eletromagnética de materiais e medição de perdas eletromagnéticas;

• O dispositivo padrão usado foi o transformador de Epstein padrão do tipo B-EP-25cm, com relação de transformação unitária, com 700 espiras, caminho magnético médio de 0,94 m e resistência do primário de 0,691 .

• A alimentação é feita controlando-se a tensão no secundário, impondo-se assim a indução magnética.

Comparação Com Curvas Experimentais - Equações

• As grandezas magnéticas B e H foram obtidas através das grandezas elétricas tensão e corrente:

)(94,0

700)()( titi

l

NtH pp

m

p

dttVS

dttVSN

tB sss

)(700

1)(

1)(

Número de espiras

Caminho magnético médio

Área da seção transversal do transformador

Número de espiras

Materiais Ensaiados:

Material A - Ensaio à 1Hz, 50% das lâminas cortadas no sentido de laminação e 50% cortadas na direção perpendicular;

• Material B - Ensaio à 1Hz, 100% das lâminas cortadas no sentido de laminação (B 0o);

• Material B - Ensaio à 1Hz, 100% das lâminas cortadas na direção perpendicular ao sentido de laminação (B 90o);

• Material B - Ensaio à 1Hz, 100% das lâminas cortadas na direção a 45o ao sentido de laminação (B 45o).

Comparação Com Curvas Experimentais - Materiais

Comparação Com Curvas Experimentais - Material A

Material A, caracterizado à 1 Hz, indução de pico de 1,24 T

H [A/m]

B [T]

ModeloMedida

B [T]

H [A/m]

Detalhes das altas induções

Laços calculados com modeloinverso, sem escalonamento

Comparação Com Curvas Experimentais - Material A

• Campo magnético para indução de 1 T

t [s]

H [A/m]

Comparação Com Curvas Experimentais - Material B 0o

Material B 0o, caracterizado à 1Hz indução de pico de 1,239 T

Campo para indução de 0,538 T

H [A/m]

B [T]

ModeloMedida

H [A/m]

t [s]



• Aplicando o fator de escalonamento

H [A/m]

t [s]

ModeloMedida

H [A/m]

B [T]

Campo com escalonamento para indução de 0,538 T

Variação de com B



ModeloMedida

H [A/m]

B [T]

H [A/m]

t [s]




• Aplicando o fator de escalonamento

H [A/m]

B [T]

H [A/m]

t [s]

B [T]




Curvas calculadas com modelo inverso e medidas

ModeloMedida

H [A/m]

B [T]


• Aplicando fator de escalonamento

ModeloMedida

H [A/m]

B [T]

B [T]


Realizando nova modelagem agora com indução de 1,004 T



ModeloMedida

H [A/m]

B [T]

H [A/m]

t [s]

Circuito RL e RLC

• A presença de materiais ferromagnéticos, com permeabilidade magnética variável torna indutâncias variáveis;

• Resolução dos circuitos contendo materiais ferromagnéticos, considerando o fenômeno da histerese através do modelo inverso de Jile-Atherton.

Circuito RL

lm - caminho magnético médio

S - área da seção transversal

N - número de espiras

Circuito RL

• Transformação para grandezas eletromagnéticas

NLi BSml

tNitH

)()(

N

ltHRtv

NSdt

tdB m)()(

1)(

dt

tdLitRitv

)()()(

• Equação do circuito

Circuito RL

Cálculo considerando saturação sem histerese.

• Foram considerados os parâmetros do material A.• Saturação modelada pela função de Langevin.

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

B [T]

H [A/m]

Tensão senoidal, 1 Hz e 0,5 V

0 100 200 300 400 500 600 700-3

-2

-1

0

1

2

3InduçãoHanh/50His/50

Hanh calculado com aFunção de Langevin

H [A/m]

Número de pontos

Circuito RL

• Saturação modelada pela média da curva de histerese

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

H [A/m]

B [T]

100 200 300 400 500 600-3

-2

-1

0

1

2

3InduçãoHanh/50His/50

Hanh calculado na médiada curva B-H

H [A/m]

Número de pontos

Tensão senoidal, 1 Hz e 0,5 V

Circuito RLC Resposta Livre

• Circuito RLC

)()(

)()( tvdt

tdLitRitv c

dt

tdvcti c )(

)(

)(

)()(

1)(tv

N

ltHRtv

NSdt

tdBc

m

N

ltH

cdt

tdV mc )(1)(


• Laço de histerese do material do núcleo magnético (fictício).

Langevin e Média

B [T]

H [A/m]

B [T]

H [A/m]


• Campos, considerando indutor linear, saturação e histerese.

H [A/m]

t [s]

Conclusão

• As principais vantagens dos modelos:

– formulação em termos de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem;

– necessitam somente de cinco parâmetros. • Como desvantagem tem-se:

– processo de identificação dos parâmetros complexo;

– comportamento não físico, próximo aos extremos do laço.

• Programas utilizando modelos apresentam ótima convergência.

• A aplicação do fator de escalonamento, proposto por Carpenter, não produziu melhora na representação dos laços menores.

• A boa representação dos laços menores está associada à um bom conjunto de parâmetros, sem necessidade de modificações nas equações do modelo.

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