UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ

JANAINA SCHOEFFEL BRODZINSKI

ESTUDO DE UM MODELO DISPERSIVO NÃO LINEARPARA ONDAS INTERNAS

CURITIBA2016

JANAINA SCHOEFFEL BRODZINSKI

ESTUDO DE UM MODELO DISPERSIVO NÃO LINEARPARA ONDAS INTERNAS

Tese de doutorado apresentada ao Programa dePós-Graduação em Matemática da UniversidadeFederal do Paraná, como requisito parcial à ob-tenção do grau de doutor em Matemática.

Orientadora: Prof.a Dr.a Ailin Ruiz de Zárate

CURITIBA2016

Brodzinski, Janaina Schoeffel Estudo de um modelo dispersivo não linear para ondas internas / Janaina Schoeffel Brodsinski. – Curitiba, 2016. 134 f. : il.

Tese (doutorado) – Universidade Federal do Paraná, Setor

de Ciências Exatas, Programa de Pós-Graduação em Matemática.

Orientador: Ailin Ruiz de Zárate Bibliografia: p. 131-134

1. Ondas internas. 2. Equações de Boussinesq. I. Zárate, Ailin

Ruiz de. II. Título.

CDD 515.73

Dedico este trabalho atodos os meus professores.

Agradecimentos

A minha orientadora e amiga, professora Doutora Ailín Ruiz de Zárate Fábre-gas, por aceitar o convite para me orientar, por acompanhar de perto a evoluçãodo trabalho e por estar sempre a disposição para me ouvir e aconselhar.

Aos membros da banca e convidados da pré-defesa, professores Doutores Da-niel Gregório Alfaro Vigo, Nelson Luís da Costa Dias, Higidio Portillo Oquendo,Jurandir Ceccon, César Javier Niche Mazzeo, Adán José Corcho Fernández eMahendra Panthee, pelas correções, sugestões e indicações de bibliografia, queforam fundamentais para a conclusão do trabalho.

Ao professor Doutor Fábio Matheus Amorin Natali, pela indicação de biblio-grafia.

Ao Programa de Pós-Graduação em Matemática da UFPR, pela oportunidadede cursar o doutorado e por viabilizar a participação em eventos e cursos externos.

À Capes, pelo auxílio financeiro recebido através da bolsa de estudos.

A todos os meus professores, desde o ‘prézinho’ até a última disciplina dodoutorado, pelos valiosos ensinamentos recebidos nestes 22 anos de aprendizado.

Ao meu marido, Renato, pelo apoio, incentivo, companhia e carinho recebidosdiariamente.

Aos meus pais, João e Luisa, pela educação recebida e pelo apoio e incentivoincondicionais.

A minha família, em especial aos meus irmãos Josnei e Josiel, por fazeremparte da minha vida.

Aos meus amigos, pelas conversas e por tudo que tenho aprendido com vocês.

E a todos que contribuíram, direta ou indiretamente, para a elaboração destetrabalho que é o marco da conclusão de uma importante etapa da minha vida.

Resumo

Considera-se um sistema de tipo Boussinesq para ondas intermediárias quecontém, quando restrito ao regime unidirecional de propagação de ondas, a equa-ção de ondas longas intermediárias regularizada (ILWR). A última também é es-tudada. Propriedades de boa colocação para os problemas de Cauchy associados àequação ILWR, a sua linearização, ao sistema de tipo Boussinesq e sua lineariza-ção, são demonstradas em espaços de Sobolev apropriados. O principal resultadomostra a existência e unicidade de solução local para o sistema

$

&

%

ηt �

�

p1 � αηqu�

x� 0

ut � αu ux � ηx �

a

βρ2

ρ1T rusxt �

β

3uxxt .

Palavras-chave: Ondas internas, modelos dispersivos, sistema de tipo Boussi-nesq, equação de Ondas Longas Intermediárias Regularizada, boa colocação paraEDPs.

Abstract

A Boussinesq-type system for intermediate waves is considered which con-tains, when restricted to the unidirectional wave regime, the regularized interme-diate long wave equation (ILWR). The latter is also studied. Properties of well-posedness for the associated Cauchy problems in the proper Sobolev spaces areproved for the ILWR equation, its linearization, the Boussinesq-type system andits linearization. The main result shows the existence and uniqueness of solutionfor the system

$

&

%

ηt �

�

p1 � αηqu�

x� 0

ut � αu ux � ηx �

a

βρ2

ρ1T rusxt �

β

3uxxt .

Keywords: Internal waves, Dispersive models, Boussinesq-type system, Regula-rized Intermediate Long-Wave equation, well-posedness for PDEs.

Conteúdo

1 Introdução 17

2 Teoria preliminar 27

2.1 Transformada de Fourier na reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.1 Espaços de Sobolev de tipo L2 . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 Série de Fourier (Transf. de Fourier periódica) . . . . . . . . . . . 312.2.1 Espaços de Sobolev periódicos . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3 Convolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.4 Outros resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 A Equação ILW Regularizada 41

3.1 A função cotangente hiperbólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2 A equação linearizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.1 Relação de dispersão e velocidade de fase . . . . . . . . . 473.2.2 Boa colocação via teoria de semigrupos . . . . . . . . . . 503.2.3 Boa colocação — abordagem direta . . . . . . . . . . . . 56

3.3 A equação não linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.3.1 Boa colocação local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4 O sistema de tipo Boussinesq para ondas intermediárias 73

4.1 O sistema linearizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.1.1 Relação de dispersão e velocidade de fase . . . . . . . . . 744.1.2 Abordagem via teoria de semigrupos . . . . . . . . . . . 754.1.3 Boa colocação — abordagem direta . . . . . . . . . . . . 82

4.2 O sistema não linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.3 Lei de conservação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.3.1 Existência e unicidade de solução local . . . . . . . . . . 107

5 Conclusões e trabalhos futuros 131

Bibliografia 134

Capítulo 1

Introdução

A geração de ondas internas a grandes profundidades em mares e oceanos éum fenômeno de interesse muito atual no estudo da dinâmica oceânica [20]. Dife-renças de temperatura e salinidade provocam estratificação nas camadas de água,onde ondas de centenas de metros de altura e comprimento ainda maior podemviajar até milhares de quilômetros. Acredita-se que elas sejam responsáveis portransportar e misturar nutrientes do fundo até a superfície, propiciando o desenvol-vimento da vida marinha. Segue-se abaixo uma figura exemplificando a situação

Figura 1.1: Esquema para ondas internas. Fonte: [20].

Por outro lado, essas ondas interagem com as estruturas submersas e as li-nhas de extração de petróleo e gás, o que pode afetar as operações de recuperaçãoem águas profundas. Tais fatos evidenciam o potencial de impacto econômico e

17

ambiental da pesquisa no tema. Trata-se de um fenômeno muito complexo quedesafia a compreensão de cientistas das mais diversas áreas, especialmente no quese refere à quebra e dissipação de energia dessas grandes ondas. Mesmo focandono processo antes disso acontecer, resulta difícil resolver (analítica ou numeri-camente) as equações completas de Navier-Stokes. Por isso é comum utilizarmodelos simplificados obtidos a partir das equações de Euler em duas dimensõesespaciais, que por sua vez reduzem a dinâmica a uma única dimensão espacial,onde descrevem o comportamento da interface entre as camadas [14, 15, 19, 10].Os modelos devem capturar a dinâmica não linear e ao mesmo tempo permitir acriação de métodos numéricos eficientes que proporcionem resultados informati-vos.

x

zη(x, t)

ρ1

ρ2

h1

h2

Figura 1.2: Configuração de um sistema com dois fluidos.

A fim de modelar a situação matematicamente, a estratificação, que em ge-ral ocorre no mar de maneira contínua, será suposta aqui discreta, de modo queconsiderar-se-ão apenas duas camadas de diferentes fluidos com uma interfaceentre ambas. Consideram-se dois fluidos ideais, invíscidos, imiscíveis, imcom-pressíveis e irrotacionais. A densidade de cada fluido é ρ1 para a camada de cimae ρ2 para a camada de baixo. Para que a estratificação seja estável, supõe-seρ2 ¡ ρ1 ¡ 0. Similarmente, o par pui,wiq denota as componentes da velocidade,hi a espessura imperturbada e pi a pressão, onde i � 1, 2, para as camadas de cimae de baixo, respectivamente. A camada de cima tem espessura imperturbada h1 ea de baixo h2. O sistema de coordenadas é posicionado na interface imperturbadaentre ambas as camadas, de modo que o fundo é descrito por z � �h2   0. Odeslocamento da interface é denotado por ηpx, tq. Nestas condições, as equações

18

de Euler$

'

'

'

'

&

'

'

'

'

%

ui x � wiz � 0

uit � uiuix � wiuiz � �

pi x

ρi

wit � uiwi x � wiwiz � �

piz

ρi

� g,

para i � 1, 2 correspondendo às camadas superior e inferior, respectivamente,unidas às condições na interface

ηt � uiηx � wi e p1 � p2 em z � ηpx, tq,

à condição de tampa rígida no topo

w1px, h1, tq � 0,

e a de fundo plano impermeável

w2px,�h2, tq � 0,

descrevem a dinâmica do sistema e correspondem a uma versão simplificada dasequações de Navier-Stokes sob as hipóteses assumidas. Detalhes sobre a deduçãodas equações podem ser obtidos em [16], cap. 1, e sobre as condições na interfaceem [44], cap. 13.

Para obter os modelos reduzidos a uma dimensão espacial (eliminando a va-riável independente z do sistema), assume-se que h1 é muito menor que o com-primento de onda característico da interface perturbada L ¡ 0, donde tem-se umregime de águas rasas na camada de cima. Por outro lado, h2 é comparável com ocomprimento de onda característico L, o que caracteriza um regime de profundi-dade intermediária na camada inferior. Essas escalas permitem adimensionalizaro sistema de Euler ao mesmo tempo que colocam em evidência o parâmetro pe-queno

β �

�

h1

L

2

,

conhecido como parâmetro de dispersão. Esse parâmetro permite realizar as ex-pansões assintóticas que reduzem a dinâmica à interface através do sistema de tipo

19

Boussinesq

$

'

'

'

'

'

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'

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'

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'

'

'

'

'

'

'

'

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%

ηt � rp1 � ηqusx,

ut � u ux �

�

1 �

ρ2ρ1

ηx �?

βρ2ρ1T r

p1 � ηqusxt �

�

β

3p1�ηq

�

p1 � ηq3puxt � u uxx � ux uxq

�

x� β

ρ2ρ1T�

ηT�

p1 � ηqu�

x

�

xt�

�βρ2ρ1

�

η�

p1 � ηqu�

xt�

12

�

p1 � ηqu�2

x

x�

β

2ρ2ρ1

�

T��

p1 � ηqu�

x

�2

x,

(1.1)

ondezT r f spkq � i cothpkhq pf pkq, (1.2)

para k P R� t0u, no caso não-periódico, ou k P Z � t0u, no caso periódico, h �

h2{L. O operador T é conhecido como a transformada de Hilbert na faixa, nessecaso faixa com espessura h, e é um operador pseudodiferencial. Por conveniênciafoi mantida a notação η para a perturbação adimensionalizada na interface, querealmente foi escalada em h1. A variável u representa a média na vertical dacomponente horizontal da velocidade da camada superior. Detalhes encontram-seem [36, 38].

Trata-se de um modelo fortemente não linear de ordem de expansão Opβ32q,

que generaliza o modelo fortemente não linear proposto por Choi e Camassa em[15] nas equações 4.17 – 4.18 da p. 21 e 4.21 da p. 22, porque acrescenta ostermos de ordem β da expansão assintótica. Para fins de comparação, escreve-se omodelo de Choi e Camassa na forma que aparece em Ruiz de Zárate [36] (sistemap2.27q, p. 25), supondo fundo plano (Mpξq � 1)):

$

&

%

ηt �

�

p1� ηqu�

x

ut � u ux �

�

1 �ρ2

ρ1

ηx �

a

βρ2

ρ1T rp1 � ηqusxt ,

(1.3)

Passando ao regime fracamente não linear, onde a amplitude característica daperturbação da interface a ¡ 0 é suposta pequena se comparada à altura impertur-bada da camada superior h1, introduzem-se os escalamentos η � αη�, u � αu�,onde α � a{h1 é pequeno e da mesma ordem de β. Como resultado, ignorandoos asteriscos, a partir do sistema (1.1) obtem-se o seguinte sistema de tipo Bous-

20

sinesq,$

'

'

&

'

'

%

ηt �

�

p1 � αηqu�

x,

ut � α u ux �

�

1 �ρ2

ρ1

ηx �ρ2

ρ1

a

βT�

u�

xt�

β

3uxxt .

de ordem β32 . Após a normalização da velocidade adimensional c2

0 �

�

ρ2

ρ1� 1

pelo escalamento

η � η:, u � c0u:, t �t:

c0,

e ignorando os :, obtem-se o sistema

$

&

%

ηt �

�

p1 � αηqu�

x� 0

ut � αu ux � ηx �

a

βρ2

ρ1T rusxt �

β

3uxxt ,

(1.4)

que será estudado no capítulo 4.Desde o ponto de vista das técnicas de demonstração de existência e unicidade

de solução, é mais fácil tratar uma única equação do que o sistema (1.4). Por isso,no capítulo 3 inicia-se o estudo teórico dos modelos para ondas internas atravésda equação de ondas longas intermediárias regularizada (ILWR),

ηt � ηx �32αηηx �

a

βρ2

ρ1T rηxts � 0. (1.5)

A equação de ondas longas intermediárias (ILW)

ηt � ηx �32αηηx �

a

βρ2

ρ1T rηxxs � 0,

é similar à ILWR e foi a primeira a aparecer na literatura. Ela foi introduzidaem 1977 por Joseph [26], que fez um estudo analítico da equação. Em 1978,Kubota, Ko e Dobbs fizeram um estudo numérico da equação em [30]. Do pontode vista da modelagem física, as equações ILWR e ILW aproximam, até a mesmaordem na expansão assintótica, o mesmo fenômeno, mas a ILWR, por ser umaequação regularizada, é mais vantajosa de se utilizar nas simulações numéricas,daí o interesse de um estudo teórico para a mesma.

Depois desses dois artigos pioneiros seguem-se, dentre outros, [39] em 1979,dando um método para resolver o problema de valor inicial associado à equaçãoILW, e [3] em 1982, introduzindo a versão periódica da equação ILW. Os primei-ros resultados sobre existência e unicidade de solução para o problema de Cauchy

21

associado à equação ILW aparecem no artigo de Abdelouhab, Bona, Felland eSaut [2], de 1989, onde enunciam a boa colocação da equação ILW em espaçosde Sobolev Hs com s ¡ 3{2. Os autores optam por detalhar a demonstração paraa equação de Benjamin-Ono (BO), de modo que só enunciam os resultados paraa equação ILW. A partir deste artigo foi encontrada a tese de doutorado de Borba[11], de 1991, na qual aparece uma demonstração de boa colocação mais deta-lhada. As principais diferenças entre [2] e [11] são que Borba trata uma classede equações mais geral (que inclui a equação ILW) e os espaços considerados sãoos espaços mais gerais chamados espaços de Sobolev com pesos, também coms ¡ 3{2. Os resultados de Borba estão publicados em [12]. Além disso, o artigode Abdelouhab [1], de 1992, faz um estudo na mesma linha da tese de Borba. Porúltimo, cita-se Burq e Planchon, que utilizando outra técnica afirmam ter demons-trado em [13] a boa colocação da equação ILW para s ¡ 1{4.

Especificamente para a equação regularizada ILWR, não foram encontradosna literatura trabalhos que explicitem as contas que garantem resultados de boacolocação. Para a equação ILWR linearizada, pode-se citar o livro de Iório &Iório [22], que traz resultados para equações mais gerais, mas para a equaçãoILWR não linear, nenhum resultado de boa colocação que contemple a equação foiencontrado. No decorrer deste trabalho, são estabelecidos os seguintes resultados:

Boa colocação global da ILWR linearizada:

Teorema 3.2.10. O problema (3.19), a saber,

$

'

'

&

'

'

%

η P C�

R,Hspou Hs

perq

�

ηt � ηx �

a

βρ2

ρ1T pηxtq � 0 em Hs

pou Hsperq

ηp0q � φ P Hspou Hs

perq,

s P R, é globalmente bem-posto. Sua única solução, que depende continuamente

do dado inicial, é dada por

ηpx, tq � F �1�

e�ikApkq

tpφpkq

�

pxq.

O resultado acima já aparece em [22], com um enunciado mais geral, sendoque optou-se aqui por especificar o resultado e detalhar a demonstração, que foifeita de duas formas: a primeira via teoria de semigrupos de operadores lineares ea segunda com uma abordagem direta baseada em [22]. A opção pelas duas abor-dagens justifica-se pelo fato de que a meta é adaptar as técnicas de demonstraçãopara o sistema, e quanto maior for o arcabouço disponível, melhor.

22

Boa colocação local da ILWR:

Teorema 3.3.10. Sejam s ¡ 12 e φ P Hs. Então existe T � T ps, }φ}sq ¡ 0 tal

que o problema de Cauchy não linear

$

'

'

'

&

'

'

'

%

η P C�

r�T, T s,Hspou Hs

perq

�

ηt � ηx �32αηηx �

a

βρ2

ρ1T pηxtq � 0 em Hs

pou Hsperq

ηp0q � φ P Hspou Hs

perq,

é localmente bem-posto no sentido da definição 3.3.3.

A demonstração de boa colocação para a equação não linear regularizadaILWR foi feita via teorema do ponto fixo de Banach, seguindo as ideias em [11].Nesse ponto destaca-se o fato de que o resultado obtido aqui (s ¡ 1{2 para ILWR)é mais geral, em termos do espaço de funções considerado, que o obtido por Borba(s ¡ 3{2 para ILW), devido à regularização no termo dispersivo.

Com relação aos sistemas de tipo Boussinesq que descrevem ondas internas ouondas de superfície, a maioria dos artigos trabalha com sistemas nos quais ambasas equações possuem termos dispersivos. Seguem-se abaixo alguns exemplos.

Em [4], 2006, Alazman, Albert, Bona, Chen e Wu fazem o estudo analítico enumérico do seguinte sistema de tipo Boussinesq:

$

'

&

'

%

ηt � ux � ǫpη uqx �16ǫηxxt

ut � ηx � ǫu ux �16ǫuxxt,

que modela ondas de superfície. Observa-se do lado direito de ambas as equaçõesa presença de termos dispersivos.

Recentemente, em [19], Grajales garante a existência local de soluções para osistema

$

'

'

&

'

'

%

ηt � pp1 � αηquqx �

ǫ2

6ηxxt

ut � αu ux �

�

1 �ρ2

ρ1

ηx �ρ2

ρ1ǫHpuxtq �

ǫ2

6uxxt ,

onde H é a transformada de Hilbert. O sistema lembra o que aparece em [4],mantendo dispersão nas duas equações.

Também foi analisado o artigo de Xu, [47], de 2012, no qual considera-se o

23

sistema#

ηt � ρ�

p1 � αηqu�

x�rθb k cothphkqpηts

q

�rpθ � 1qρ b k cothphkqpuxs

q

� 0

ut � αρ u ux � p1 � ρq ηx � 0.

cuja principal diferença para o sistema (1.4), tratado neste trabalho, é o termo dis-persivo, que aparece na primeira equação ao invés de aparecer na segunda, de talforma que a não linearidade na equação de primeira ordem do sistema envolveapenas uma das funções incógnitas. Segundo [40], p. 177, a demonstração apre-sentada usa a dispersão do sistema de maneira essencial, compensando a perda dederivadas.

Cita-se ainda [8] e [9], nos quais Bona, Chen e Saut apresentam a teoria lineare não linear, respectivamente, para o sistema de Boussinesq e algumas variações,entretanto os sistemas tratados não contemplam o sistema (1.4).

O principal desafio do sistema (1.4), se comparado com os sistemas escritosacima, está na equação de primeira ordem não linear, que corresponde exatamenteà lei de conservação de massa na camada superior de fluido proveniente das equa-ções de Euler. O sistema original de Boussinesq para ondas de superfície (ver[44], p. 466, para dedução) apresenta a mesma lei de conservação. No artigo [41]de Schonbek, o sistema de Boussinesq aparece normalizado da seguinte forma

#

ηt � ux � puηqx � 0

ut � ηx � u ux � uxxt � 0.

Schonbek enuncia um teorema de existência e unicidade local para o problemacom regularização parabólica, e em seguida enuncia e prova a existência globalpara o sistema de Boussinesq. A partir desse trabalho, Amick prova em [7] a boacolocação global para dados suaves.

Desse modo, não foram encontrados na literatura resultados sobre a boa colo-cação do sistema não linear (1.4). Para o sistema linearizado, utilizando a teoriade semigrupos de operadores lineares, demonstrou-se o resultado abaixo.

Boa colocação global do sistema de tipo Boussinesq linearizado:

Teorema 4.1.5. O problema (4.10), a saber,

$

'

'

'

'

&

'

'

'

'

%

pη, uq P C�

R,Hsper � Hs�1

per

�

ηt � ux � 0,

ut � ηx � bT ruxts � a uxxt,

pηp0q, up0qq � pφ, ψq P Hsper � Hs�1

per ,

24

s P R, tem uma única solução, a saber, pηptq, uptqq � S ptq pφ, ψq, a qual depende

continuamente do dado inicial. Resumindo, o problema é globalmente bem-posto.

Além disso,

� t P R, pηtptq, utptqq P Hsper � Hs�1

per .

Também foi apresentada outra demonstração para o mesmo resultado, se-guindo de perto as ideias que aparecem em [6], artigo de Alfaro, Oliveira, Ruizde Zárate e Nachbin, que trata o sistema (1.4) com a � 0, o que permitiu exibir aexpressão da solução no domínio da frequência (ver teorema 4.1.13).

Para o sistema não linear (1.4), obteve-se o seguinte resultado sobre boa co-locação, cuja demonstração segue a técnica de regularização parabólica, que apa-rece, por exemplo, em [24].

Boa colocação local do sistema de tipo Boussinesq:

Teorema 4.3.14. Sejam s ¡ 32 e pφ, ψq P Hs�1

� Hs�1 funções a valores reais.

Então existe Ts � T ps, }φ}s�1, }ψ}s�1q ¡ 0 tal que o problema de Cauchy não

linear$

'

'

'

&

'

'

'

%

pη, uq P C�

r0, Tss,Hs� Hs�1

�

ηt � rp1 � αηqusx � 0,

ut � αu ux � ηx � bT ruxts � a uxxt,

pηp0q, up0qq � pφ, ψq P Hs�1� Hs�1,

possui uma única solução local. Além disso,

� t P r0, Tss, pηtptq, utptqq P Hs�2� Hs�1.

O resultado acima é a principal contribuição desta tese. Além disso, inspi-rada no resultado similar de [41] para o sistema de Boussinesq, a seguinte lei deconservação para o sistema de tipo Boussinesq foi obtida

Teorema 4.3.4. Sejam s ¡ 32 e pη, uq solução do problema de Cauchy

$

'

'

'

&

'

'

'

%

pη, uq P C�

r0, Tss,Hs� Hs�1

�

ηt � rp1 � αηqusx � 0,

ut � αu ux � ηx � bT ruxts � a uxxt,

pηp0q, up0qq � pφ, ψq P Hs� Hs�1,

Então,

Lptq � Lp0q,

25

onde

Lptq �

»

8

�8

v2

2dx �

b

2

»

8

�8

vxT rvsdx�a

2

»

8

�8

v2xdx �

»

8

�8

gpωqdx,

gpωq � ω logω� ω� 1,

ω � 1 � αη, v � αu.

O capítulo 2 é dedicado a estabelecer a notação e resumir definições e resul-tados da teoria de espaços de Sobolev utilizados neste trabalho, de modo que estecapítulo deve ser consultado caso surjam dúvidas nesse sentido.

Os capítulos 3 e 4, como já mencionado acima, dedicam-se ao estudo da equa-ção de ondas longas intermediárias regularizada (1.5) e do sistema de tipo Bous-sinesq (1.4), respectivamente, apresentando resultados de boa colocação para osproblemas de Cauchy associados. No decorrer desses capítulos, os problemas sãoabordados tanto na versão periódica quanto na versão não periódica. Alguns re-sultados são enunciados para ambos os casos, enquanto noutros optou-se por umadas versões, a fim de fixar a notação na demonstração, mas todos os resultadossão válidos para as duas situações.

Finalmente, no capítulo 5 são apresentadas as conclusões e mencionadas pos-sibilidades de continuação desta pesquisa, tanto na linha analítica abordada aquiquanto na implementação numérica de modelos discretos associados.

26

Capítulo 2

Teoria preliminar

Neste capítulo são fixadas as notações e definições, bem como são estabeleci-dos os enunciados (sem demonstração) de alguns resultados utilizados nos capí-tulos seguintes. A teoria apresentada segue de perto [22] e [21]. As situações nãoperiódica e periódica, são apresentadas separadamente, nesta ordem.

Para começar, segue-se a definição de boa colocação que orienta os resultadosdos capítulos 3 e 4:

Definição 2.0.1. Um problema de Cauchy é dito bem-posto (no sentido de Ha-damard) quando se verifica a existência, unicidade e dependência contínua dosdados iniciais para sua solução. Se uma destas três condições falha, diz-se que oproblema é mal-posto.

Quando necessário esta definição será detalhada, especificando seu significadono contexto local ou não local, linear ou não linear.

2.1 Transformada de Fourier na reta

Definição 2.1.1. O conjunto das funções absolutamente integráveis é definido por

L1pRq � t f : RÑ C; u é mensurável e } f }L1   8

u ,

onde a norma }�}L1 é dada por

} f }L1 �

»

8

�8

| f pxq|dx.

O conjunto das funções quadrado-integráveis é definido por

L2pRq � t f : RÑ C; f é mensurável e } f }L2   8

u ,

27

onde a norma }�}2 é dada por

} f }L2 �

�

»

8

�8

| f pxq|2dx

1{2

.

O produto interno correspondente, denotado por x�, �yL2 , é definido, para f , g P

L2pRq, por

x f , gyL2 �

»

8

�8

f pxqgpxqdx.

Observação 2.1.2. Os espaços L1pRq e L2

pRq são completos nas suas respectivasnormas }�}L1 e }�}L2 (ver [25], p. 240). ^

Definição 2.1.3. Seja f P L1pRq. A transformada de Fourier de f é a função F r f s

dada por

F r f spkq � pf pkq �1?

2π

»

8

�8

f pxqe�ikxdx, � k P R. (2.1)

O interesse aqui é trabalhar com funções em L2pRq, mas a fórmula (2.1) da

transformada de Fourier não se aplica para qualquer função deste conjunto. Aalternativa é definir a transformada de Fourier no espaço de Schwartz e depoisestendê-la para L2

pRq.

Definição 2.1.4 (Def. 7.5, p. 325 de [22]). O espaço de Schwartz SpRq é oconjunto das funções f : R Ñ C suaves e rapidamente decrescentes, isto é, é oconjunto

SpRq �

"

f P C8

pRq; supxPR

�

�xm f pnqpxq�

�

  8, �pm, nq P N� N

*

.

Observação 2.1.5. O espaço de Schwartz SpRq é um subconjunto de L1pRq X

L2pRq e é denso em L2

pRq com relação à norma }�}2. ^

No espaço de Schwartz é possível definir a transformada de Fourier inversa.

Definição 2.1.6. Seja ψ P SpRq. A transformada de Fourier inversa de ψ é afunção F �1

rψs dada por

F �1rψspxq � qψpxq �

1?

2π

»

8

�8

ψpkqeikxdk, � x P R.

A transformada de Fourier restrita ao espaçoSpRq pode ser estendida de formaúnica ao espaço L2

pRq, pelo teorema da extensão linear de transformação contínua

28

(p. 100 de [28]). Assim, mantendo a mesma notação para a função estendida, tem-se o seguinte resultado:

Teorema 2.1.7 (Teo. 7.45, p. 342 de [22]). A transformada de Fourier F :L2pRq ÝÑ L2

pRq é um operador unitário. Além disso,

�

pf

q

� f ��

qf

p

, � f P L2pRq.

Agora, como os espaços de Sobolev de tipo L2 são subconjuntos de distribui-ções temperadas, é necessário definir a transformada de Fourier para esses objetos.

Definição 2.1.8 (Def. 7.6, p. 326 de [22]). Uma distribuição temperada é umfuncional linear contínuo sobre SpRq. O conjunto de todas as distribuições tem-peradas é denotado por S1pRq.

Definição 2.1.9 (Def. 7.46, p. 343 de [22]). Seja f P S1pRq. A transformada deFourier de f é a distribuição temperada F r f s � pf dada por

A

pf , φE

�

�

f , pφD

� f ppφq, φ P SpRq.

Teorema 2.1.10 (Teo. 7.48, p. 343 de [22]). A transformada de Fourier F :S1pRq ÝÑ S1pRq é um isomorfismo, isto é, é injetiva, sobrejetiva e contínua com

inversa contínua. Além disso,

�

pf

q

� f ��

qf

p

, e

�

f pnq�

p

pkq � pikqnpf pkq, � f P S1pRq.

2.1.1 Espaços de Sobolev de tipo L2

Definição 2.1.11 (Def. 7.74, p. 356 de [22]). Seja s P R. O espaço de Sobolev(de tipo L2) Hs

� HspRq é a coleção de todas as distribuições f P S1pRq tais que

�

p1 � k2q

s{2pf

P L2pRq, isto é,

HspRq �

!

f P S1pRq; pf é mensurável e } f }s   8

)

,

onde

} f }s �

�

»

8

�8

�

1 � k2�s�

�

�

pf pkq

�

�

�

2dk

�

12

.

29

Denotar-se-á por L2s � L2

spRq o espaço de todas as funções mensuráveis f :R ÝÑ C com } f }L2

s  8, onde

} f }L2s�

�

»

8

�8

�

1 � k2�s| f pkq|

2dk

�1{2

.

Observação 2.1.12. Da definição anterior tem-se que f P Hs se, e somente se,pf P L2

s ; e neste caso } f }s �

�

�

�

pf

�

�

�

L2s

, ou seja, a transformada de Fourier

F : HsÝÑ L2

s ,

dada pela definição 2.1.9, é uma isometria. ^

Teorema 2.1.13 (Teo. 7.75, p. 357 de [22]). Seja s P R. Então Hs é um espaço

de Hilbert com respeito ao produto interno

x f , gys �

»

8

�8

�

1 � k2�s

pf pkqpgpkqdk.

Além disso,

a. Para s, r P R, s ¥ r, Hs está continuamente e densamente imerso em Hr e

} f }r ¤ } f }s, � f P Hs. (2.2)

Em particular, se s ¥ 0, HsãÑ L2

� H0.

b. Para s ¡

12 , Hs está continuamente e densamente imerso em C

8

pRq, onde

C8

pRq denota a coleção de todas as funções contínuas que tendem a zero

no infinito.

Proposição 2.1.14. Seja s P R. Se f P Hs então

}Bx f }s�1 ¤ } f }s.

Teorema 2.1.15 (Teo. 7.77, p. 359 de [22]). Se s ¡

12 , Hs é uma álgebra de

Banach. Em particular, existe uma constante Cs ¥ 0 dependendo somente de s

tal que

} f g}s ¤ Cs} f }s}g}s, � f , g P Hs.

Observação 2.1.16. Para detalhes sobre a definição de uma álgebra de Banachsugere-se consultar [28], Seção 7.6.

30

Lema 2.1.17 (Caso particular do Lema A.1, p. 122 de [27]). Sejam s ¡

12 e

f P Hs. Então, existe uma constante c ¥ 0 tal que

}

pf }L1¤ c} f }s.

Lema 2.1.18 (Caso particular do Lema A.5, p. 124 de [27] e também do Teo. 8.3,p. 372 de [22]). Sejam s ¡ 3

2 e f , g P Hs funções a valores reais. Então, existe

uma constante c ¥ 0 tal que

|x f gx, gys| ¤ c} f }s}g}2s .

Definição 2.1.19. Sejam s, r P R.O espaço Hs

� Hr é o produto cartesiano dos espaços Hs e Hr, munido danorma

�

�

�

�

�

f

g

�

�

�

�

s,r

�

b

} f }2s � }g}2

r .

O espaço L2s�L2

r é o produto cartesiano dos espaços L2s e L2

r , munido da norma�

�

�

�

�

u

v

�

�

�

�

L2s ,L

2r

�

b

}u}2L2

s

� }v}2L2

r

.

Observação 2.1.20. Os espaços Hs�Hr e L2

s � L2r são espaços de Hilbert com os

produtos internosB�

f1

g1

,

�

f2

g2

F

s,r

�x f1, f2ys � xg1, g2yr , e

B�

u1

v1

,

�

u2

v2

F

L2s ,L

2r

�xu1, u2yL2

s�xv1, v2yL2

r,

respectivamente. ^

2.2 Série de Fourier (Transf. de Fourier periódica)

O uso de computadores limita os cálculos a dados discretos. Por isso é inte-ressante considerar o caso de funções periódicas, uma vez que esse tipo de funçãopossui frequências k P Z, dando um primeiro passo na discretização.

Definição 2.2.1. O conjunto das funções teste é definido por

P � C8

perpr�π, πsq � t f : RÑ C; f é infinitamente diferenciável e 2π-periódicau .

31

O conjunto das sequências rapidamente decrescentes é definido por

SpZq �

v : ZÑ C; }v}8,n   8, � n � 0, 1, 2 . . .

(

,

onde

}v}8,n �

$

'

'

&

'

'

%

supkPZ

|vpkq|, se n � 0,

supkPZ

p|vpkq||k|nq, se n ¥ 1.

Definição 2.2.2. A transformada de Fourier de uma função teste f P P é dada por

pf pkq �1

2π

» π

�π

f pxqe�ikxdx, � k P Z.

Teorema 2.2.3 (Teo. 1.2, p. 98 de [21]). A transformada de Fourier F : P ÝÑ

SpZq é uma bijeção linear contínua com inversa contínua. A função inversa F �1 :SpZq ÝÑ P é dada pela série de Fourier, isto é,

F �1rvspxq � qvpxq �

8

¸

k��8

vpkqeikx.

Definição 2.2.4. Uma distribuição periódica é um funcional linear T : P ÝÑ C

tal que existe uma sequência pΨnqn¥1 � P satisfazendo

T pφq � limnÑ8

» π

�π

Ψnpxqφpxqdx, � φ P P.

O conjunto de todas as distribuições periódicas será denotado por P1.Segue-se da definição que toda distribuição periódica é um funcional linear contí-nuo.

O conjunto das sequências de crescimento lento é definido por

S1pZq �

v : ZÑ C; D C, N ¡ 0 com |vpkq| ¤ C|k|N, � k P Z� t0u(

.

Observação 2.2.5. A notação

T pφq � xT, φy , T P P1, φ P P,

será usada no que se segue. ^

Considerando as funções Φkpxq � eikx, com x P R e k P Z, tem-se:

32

Definição 2.2.6 (p. 122 de [21]). A transformada de Fourier de uma distribuiçãoperiódica f P P1 é dada por

pf pkq �1

2πx f ,Φ

�ky , � k P Z.

Teorema 2.2.7 (p. 126 de [21]). A transformada de Fourier F : P1 ÝÑ S1pZq é

uma bijeção linear. Sua inversa F �1 : S1pZq ÝÑ P1 é dada pela série de Fourier,

isto é,

F �1rvspxq � qvpxq �

8

¸

k��8

vpkqΦk �

8

¸

k��8

vpkqeikx,

onde a série converge no sentido de P1.

Definição 2.2.8. O espaço das sequências quadrado-somáveis é definido por

ℓ2pZq � tv : ZÑ C; }v}ℓ2   8u,

com norma dada por

}v}ℓ2 �

�

8

¸

k��8

|vpkq|2

�1{2

,

e produto interno dado por

xv1, v2yℓ2 �

8

¸

k��8

v1pkqv2pkq.

O espaço ℓ2pZq é um espaço de Hilbert.

Definição 2.2.9 (p. 137 de [21]). O espaço L2per � L2

pr�π, πsq é a coleção dasdistribuições periódicas f P P1 que são limites (no sentido de P1) de sequênciaspφnq � P de Cauchy em relação à norma

} � }L2per�

�

» π

�π

| � pxq|2dx

�1{2

.

Teorema 2.2.10 (Teo. 5.2, p. 138 de [21]). Sejam f , g P L2per e pφnq, pψnq � P tais

que φnL2

Ñ f , ψnL2

Ñ g. Então o espaço vetorial L2per, munido do produto interno

x f , gyL2per� lim

nÑ8

» π

�π

φnpxqψnpxqdx,

é um espaço de Hilbert.

33

Teorema 2.2.11 (Teo. 5.3, p.138 de [21]). A transformada de Fourier restrita a

L2per é uma bijeção entre L2

per e ℓ2pZq. Além disso, vale a identidade de Parseval

} f }2L2

per� 2π} pf }2

ℓ2, � f P L2per,

ou equivalentemente,

x f , gyL2per� 2π

A

pf ,pgE

ℓ2� f , g P L2

per.

2.2.1 Espaços de Sobolev periódicos

Definição 2.2.12 (Def. 3.192, p. 201, de [22]). Seja s P R. O espaço de SobolevHs

per � Hsperr�π, πs é o conjunto de todas as funções f P P1 tais que

} f }2s � 2π

8

¸

k��8

p1 � k2q

s�

�

�

pf pkq

�

�

�

2  8.

Em outras palavras, uma distribuição periódica f pertence a Hsper se e somente

se�

p1 � k2q

s{2pf pkq

kPZP ℓ2

� ℓ2pZq.

Definição 2.2.13. Define-se ℓ2spZq como o espaço de todas as sequências α �

pαkqkPZ com

}α}ℓ2s�

�

2π8

¸

k��8

p1 � k2q

s|αk|

2

�1{2

  8.

Observação 2.2.14. Então f P Hsper se, e somente se,

�

pf pkq

kPZP ℓ2

s ; e neste caso

} f }s �

�

�

�

pf

�

�

�

ℓ2s

, ou seja, a transformada de Fourier

F : Hsper ÝÑ ℓ2

spZq,

dada pela definição 2.2.6, é uma isometria. ^

É fácil ver que � s P R, Hsper é um espaço de Hilbert com respeito ao produto

interno

x f , gys � 2π8

¸

k��8

p1 � k2q

spf pkqpgpkq.

Proposição 2.2.15 (Prop. 3.193, p. 201 de [22]). Sejam s, r P R, s ¥ r. Então

Hsper está continuamente e densamente imerso em Hr

per e

} f }r ¤ } f }s, � f P Hsper.

34

Em particular, se s ¥ 0, Hsper ãÑ L2

per.

Proposição 2.2.16. Seja s P R. Se f P Hsper então

}Bx f }s�1 ¤ } f }s.

Teorema 2.2.17 (Teo. 3.200, p. 207 de [22]). Se s ¡ 12 , Hs

per é uma álgebra de

Banach. Em particular, existe uma constante Cs ¥ 0 dependendo somente de s

tal que

} f g}s ¤ Cs} f }s}g}s, � f , g P Hsper.

Lema 2.2.18 (Caso particular do Teo. 6.9, p.298 de [22]). Sejam s ¡ 32 e f , g P P

funções a valores reais. Então, existe uma constante c ¥ 0 tal que

|x f gx, gys| ¤ c} f }s}g}2s .

Definição 2.2.19. Sejam s, r P R.O espaço Hs

per � Hrper é o produto cartesiano dos espaços Hs

per e Hrper, munido

da norma�

�

�

�

�

f

g

�

�

�

�

s,r

�

b

} f }2s � }g}2

r .

O espaço ℓ2spZq � ℓ2

r pZq é o produto cartesiano, dos espaços ℓ2spZq e ℓ2

r pZq,munido da norma

�

�

�

�

�

u

v

�

�

�

�

ℓ2s ,ℓ

2r

�

b

}u}2ℓ2

s

� }v}2ℓ2

s

.

Observação 2.2.20. Os espaços Hsper�Hr

per e ℓ2spZq�ℓ

2r pZq são espaços de Hilbert

com os produtos internosB�

f1

g1

,

�

f2

g2

F

s,r

�x f1, f2ys � xg1, g2yr , e

B�

u1

v1

,

�

u2

v2

F

ℓ2s ,ℓ

2r

�xu1, u2yℓ2

s�xv1, v2yℓ2

r,

respectivamente. ^

Observação 2.2.21. A transformada de Fourier

F : Hsper � Hr

per ÝÑ ℓ2spZq � ℓ2

r pZq,

que é definida termo a termo, é uma isometria. ^

35

2.3 Convolução

Definição 2.3.1. A convolução de duas funções f , g : RÑ C é definida por

p f � gqpxq �

»

8

�8

f px� yqgpyqdy, � x P R,

desde que a integral do lado direito exista.

Teorema 2.3.2 (Teo. 1.4, p. 278 de [21]). Sejam f , g P L1pRq. Então

{

p f � gqpkq �?

2π pf pkqpgpkq, k P R.

Passando rapidamente ao caso periódico, tem-se

Definição 2.3.3 (Def. 3.182, p. 195 de [22]). Sejam f P P1 e φ P P. A convoluçãof � φ de f e φ é a função

p f � φqpxq �1

2π

�

f , TxrφD

, x P R.

onde Txrφpyq � φpx � yq. Em particular, se f P Cperpr�π, πsq pode-se escrever

p f � φqpxq �1

2π

» π

�π

f pyqφpx � yqdy, x P R.

Teorema 2.3.4 (Prop. 3.184, p. 196 de [22]). Sejam f P P1 e φ P P. Então

{

p f � φqpkq � pf pkq pφpkq, k P Z.

Definição 2.3.5 (Def. 3.198, p. 206 de [22]). A convolução de duas sequênciasde números complexos α � pαkqkPZ e β � pβkqkPZ é a sequência α � β definida por

pα � βqk �

8

¸

j��8

α jβk� j, (2.3)

desde que a série do lado direito convirja.

2.4 Outros resultados

36

Teorema 2.4.1 (Desigualdade de Young, p. 395 de [22]). Sejam f P LppRq,

1 ¤ p ¤ 8, e g P L1pRq. Então f � g P Lp

pRq com

} f � g}Lp ¤ } f }Lp}g}L1.

Teorema 2.4.2 (Desigualdade de Young em Hs). Sejam s P R, f P Hs e g P

L1pRq. Então f � g P Hs com

} f � g}s ¤ } f }s}g}L1.

Demonstração:

} f � g}s �

�

�

�

p1 � k2q

s2 zf � g

�

�

�

L2�

�

�

�

p1� k2q

s2 pf pg

�

�

�

L2

�

�

�

�

yh � g

�

�

�

L2, onde phpkq � p1 � k2

q

s2 pf pkq,

�}h � g}L2

Young

¤}h}L2 }g}L1 � } f }s }g}L1 .

Teorema 2.4.3 (Desigualdade de Gronwall, forma integral). Seja g P C pra, bs,Rq

tal que

0 ¤ gptq ¤ α� β

» t

a

gpsqds.

Então

gptq ¤ αeβt, � t P ra, bs.

Teorema 2.4.4 (Desigualdade de Gronwall, forma diferencial). Seja

g P C pra, bs,Rq diferenciável em pa, bq tal que

d

dtgptq ¤ α � βgptq,

α, β constantes. Então

gptq ¤ gp0qe βt� α

» t

0e βpt�sqds, � t P ra, bs.

Teorema 2.4.5 (Teorema do Ponto Fixo de Banach, p. 394 de [22]). Seja pΛ, dq

um espaço métrico completo e suponha que A : Λ Ñ Λ é uma contração estrita

(ou seja, dpApxq, Apyqq   dpx, yq, � x, y P Λ). Então A tem um único ponto

fixo, isto é, existe um único x� P Λ tal que Apx�q � x�. Além disso, definindo a

sequência pxnqnPN por xn � Apxn�1q, n ¥ 1, com x0 P Λ arbitrário, tem-se que

xn Ñ x�.

37

Para finalizar o capítulo, segue-se na próxima página uma tabela reunindo asprincipais propriedades da transformada de Fourier para os casos periódico e nãoperiódico:

38

Série de Fourier Transformada de Fourier

p: L2perr�π, πs ÝÑ l2

Zp: SpRq ÝÑ SpRq

Definição f ÞÝÑ

�

pf pkq

kPZ, f ÞÝÑ

pf ,

onde pf pkq � 12π

π³

�π

f pxqe�ikxdx. onde pf pξq � 1?

2π

8

³

�8

f pxqe�iξxdx.

zf � gpkq � pf pkq � pgpkq, zf � gpξq � pf pξq � pgpξq,Linearidade

xα f pkq � α pf pkq, α P C, k P Z. xα f pξq � α pf pξq, α P C, ξ P R.

wpxq � f px � x0q ñ wpxq � f px � x0q ñ

Translaçãopwpkq � e�ikx0

pf pkq, x0 P R, k P Z. pwpξq � e�iξx0pf pξq, x0 P R, ξ P R.

vpxq � eimx f pxq ñ vpxq � eiηx f pxq ñ

Modulaçãopvpkq � pf pk � mq, m, k P Z. pvpξq � pf pξ � ηq, ξ, η P R.

upxq � f p�xq ñ upxq � f pcxq ñ

Dilataçãopupkq � pf p�kq, k P Z. pupξq � 1

|c|pf�

ξ

c

�

, ξ, c P R, c � 0.

Conjugaçãop

f pkq � pf p�kq, k P Z. p

f pξq � pf p�ξq, ξ P R.

pf 1pkq � ik pf pkq, k P Z. ξ P R: pf 1pξq � iξ pf pξq, eDerivação gpxq � x f pxq ñ pgpξq � i pf 1pξq.

Identidade 2π�8

°

k��8

�

�

�

pf pkq

�

�

�

2�

π³

�π

| f pxq|2

dx,�8

³

�8

�

�

�

pf pξq

�

�

�

2dξ �

8

³

�8

| f pxq|2

dx,

de Parseval f P L2perr�π, πs. f P L2

pRq.

ˇ : l2ZÝÑ L2

perr�π, πs ˇ : SpRq ÝÑ SpRq

Inversa�

pf pkq

kPZÞÝÑ f , pf ÞÝÑ f ,

onde f pxq ��8

°

k��8

pf pkqeikx. onde f pxq � 1?

2π

8

³

�8

pf pξqeiξxdξ.

Tabela 2.1: Propriedades da transformada de Fourier, periódica e não periódica.

39

Capítulo 3

A Equação ILW Regularizada

Este capítulo abordará uma versão regularizada da equação de ondas longasintermediárias (ILW)

ηt � ηx �32αηηx �

a

βρ2

ρ1T rηxxs � 0, (3.1)

que foi introduzida por Joseph [26], em 1977, para modelar ondas em um sistemade dois fluidos e é amplamente tratada na literatura [2, 3, 5, 11, 12, 15, 29, 30,39]. Especificamente, no artigo de Choi e Camassa, [15], apêndice A, eq. (A20),a equação ILW aparece como uma aproximação de baixa ordem Op

?

βq, paraα � Op

?

βq, no regime unidirecional de propagação para o sistema fracamentenão linear derivado de (1.3).

A versão regularizada, denominada equação de ondas longas intermediáriasregularizadas (ILWR), dada por

ηt � ηx �32αηηx �

a

βρ2

ρ1T rηxts � 0, (3.2)

que é a versão escolhida para ser tratada neste capítulo, é equivalente até a ordemde aproximação Op

?

βq à equação ILW (3.1), pois a partir de qualquer uma delastem-se ηt � �ηx � Op

?

βq, e portanto

ηtx � �ηxx � Opβq,

de modo que ηtx e �ηxx podem ser trocados no termo dispersivo sem mudar aordem de aproximação da equação.

A preferência pela equação regularizada (3.2) no lugar de (3.1) se deve aomelhor comportamento da velocidade de fase da primeira, conforme é detalhado

41

na seção 3.2.1. Enfatiza-se ainda que neste capítulo α é considerado da ordem de?

β, ou seja, α � Op?

βq.O operador T , tanto no caso periódico (x P r�π, πs ñ k P Z) quanto no

caso não periódico (x P R ñ k P R), satisfaz a seguinte condição no domínio dafrequência:

zT r f spkq � i cothpkhq pf pkq, k � 0. (3.3)

A dedução física da equação (ver [3]) leva naturalmente à representação dooperador T no domínio da frequência, cuja fórmula é dada por (3.3). Essa éa expressão que será utilizada na hora de fazer as estimativas ou avaliações dooperador. A título de curiosidade, menciona-se a expressão de T no domíniofísico, que consiste na convolução com os seguintes núcleos:

T px; hq �1?

2π

12h

coth�

π

2hx

, no caso não periódico e

Tperpx; hq � �

2K

π

�

Z

�

Kx

π

� dn

�

Kx

π

cs

�

Kx

π

�

, no caso periódico,

onde K denota a integral elíptica completa de primeiro tipo, Z é a função zeta deJacobi e dn, cs são funções elípticas Jacobianas, tais como aparecem em [3, 17].Mais precisamente, conforme [45, 46],

Kpkq � F�

π

2, k

,

onde

Fpφ, kq �

» φ

0

dθa

1 � k2 sin2 θ

é a integral elíptica de primeiro tipo, ou seja,

Kpkq �

» π{2

0

dθa

1 � k2 sin2 θ

�

π

2

8

¸

n�0

�

p2n� 1q!!

p2nq!!

�2

k2n

�

π

2Hg

�

12,

12, 1, k2

,

sendoHg a função hipergeométrica e o duplo fatorial é dado por

42

n!! �

$

&

%

n � pn � 2q � � � 5 � 3 � 1 se n ¡ 0 ímpar,n � pn � 2q � � � 6 � 4 � 2 se n ¡ 0 par,

1 n � �1, 0.

A escolha do módulo k segue o critério

K1

pkq

Kpkq�

h

π, onde K1

pkq � Kpa

1 � k2q.

Observação 3.0.6. A diferença1?

2πno fator que acompanha o núcleo no caso

não periódico, comparado com [15] e [36], se deve ao fator presente na definiçãoda transformada de Fourier adotada aqui. ^

Portanto, a ação do operador T pode ser escrita como

T r f spxq � f � T pxq �1

2h?

2π

?8

�8

f pyq coth�

π

2hpx � yq

dy,

no caso não periódico, e

T r f spxq � f � Tperpxq �1

2π

? π

�π

f pyqTperpx � yq dy,

no caso periódico, onde a integral>

representa o Valor Principal de Cauchy.

3.1 A função cotangente hiperbólica

Como a função cotangente hiperbólica aparecerá diversas vezes neste trabalho,explicitam-se nesta seção algumas propriedades da mesma, começando com suadefinição:

Definição 3.1.1. A função cotangente hiperbólica é definida como

coth : R� t0u Ñ R

x ÞÑ coth x �cosh x

senh x�

ex� e�x

ex� e�x

.

O gráfico da função coth é mostrado na figura 3.1.Apesar de a função coth não estar definida no zero, a função gpxq � x cothpxq

43

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

x

y

Figura 3.1: Função cothpxq.

pode ser estendida por continuidade da seguinte forma, mantendo a notação:

x cothpxq �

"

x cothpxq, se x � 0,1, se x � 0.

De fato, usando e regra de l’Hospital temos

limkÑ0

k cothpkq � limkÑ0

kek� e�k

ek� e�k

� 1.

A continuidade também pode ser observada na figura 3.2 a seguir.O próximo lema fornece informação sobre o crescimento da função x cothpxq:

Lema 3.1.2.

|x| ¤ x cothpxq ¤ |x| � 1, � x P R. (3.4)

Demonstração:O caso x � 0 é trivial: 0 ¤ 1 ¤ 1.

44

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

Figura 3.2: Função x cothpxq.

Para x � 0, primeiramente nota-se que

coth x �cosh x

sinh x�

ex� e�x

ex� e�x

�

e2x� 1

e2x� 1

�

e2x� 1

e2x� 1

�

2e2x

� 1� 1 �

2e2x

� 1.

Portanto

y coth x � y �2y

e2x� 1

, � y, x � 0.

Inicia-se pela desigualdade da esquerda:

� x ¡ 0,2x

e2x� 1

¡ 0 ñ x coth x � x �2x

e2x� 1

¡ x � |x|,

� x   0,2x

e�2x� 1

  0 ñ �x coth x � x cothp�xq � x �2x

e�2x� 1

  x,

que, multiplicando por �1, fica

� x   0, x coth x ¡ �x � |x|.

45

Para garantir a desigualdade da direita, usa-se o seguinte fato:

ez� 1 ¥ z, � z ¥ 0, (3.5)

cuja validade é facilmente justificada pela série de Taylor da exponencial.Se x ¡ 0, tomando z � 2x em (3.5), segue-se que

e2x� 1 ¥ 2x �

2x

e2x� 1

¤ 1,

ou seja,

x coth x � x �2x

e2x� 1

¤ x � 1 � |x| � 1.

Já no caso x   0, fazendo z � �2x em (3.5), segue-se que

e�2x� 1 ¥ �2x � �

2x

e�2x� 1

¤ 1.

Da paridade de x cothpxq segue-se que

x coth x � �x cothp�xq � �x �2x

e�2x� 1

,

e portantox coth x ¤ �x � 1 � |x| � 1,

que conclui a demonstração do lema.Na figura 3.3 são mostradas as funções envolvidas nas desigualdades do lema

3.1.2

3.2 A equação linearizada

Nesta seção será considerada a versão linearizada da equação (3.2)

ηt � ηx �

a

βρ2

ρ1T rηxts � 0. (3.6)

A versão linearizada de uma equação fornece informação relevante sobre aspropriedades das soluções da equação original, desde que as soluções do problemalinearizado aproximem, em algum sentido, o comportamento das soluções verda-deiras. Em particular a relação de dispersão e a velocidade de fase são calculadas apartir do problema linearizado e são da maior importância no problema não linear.Por isso, são deduzidas na próxima seção.

46

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

Figura 3.3: As três funções do lema 3.1.2: |x| ¤ x cothpxq ¤ |x| � 1.

3.2.1 Relação de dispersão e velocidade de fase

Segundo Whitham (p. 03 de [44]), um sistema linear dispersivo é qualquer umque admita soluções da forma

a cospkx � ωtq,

onde a frequência ω é uma função real do número de onda k e a função ωpkq é de-terminada pelo sistema particular. A velocidade de fase é então ωpkq

ke usualmente

diz-se que a onda é “dispersiva” se essa velocidade de fase não é constante, ouseja, depende de k. Fisicamente, o fato de a velocidade de fase não ser constanteimplica que pacotes de ondas no espaço da frequência, isto é, ondas concentradasnum pequeno intervalo de frequências, tendem a se separar (dispersar), formandoum trem oscilatório de ondas.

Para o cálculo da relação de dispersão supõe-se que a equação (3.6) possuisoluções da forma

ηpx, tq � eipkx�ωtq ,

cuja parte real é precisamente cospkx � ωtq. Daí obtem-se a relação entre afrequência temporal ω e a frequência espacial k.

47

Substituindo η em (3.6) e considerando que (ver p. 28 de [36])

T peikxq � i cothpkhqeikx,

segue-se que�

�iω� ik �a

βρ2

ρ1pikω cothpkhqq

�

eipkx�ωtq� 0,

donde obtem-se a relação de dispersão

ωpkq �k

1 �?

βρ2

ρ1k cothpkhq

(3.7)

e a velocidade de fase

ωpkq

k�

1

1 �?

βρ2

ρ1k cothpkhq

, (3.8)

sendo que em k � 0 considera-se o limite

limkÑ0

k cothphkq �1h

limkÑ0

hk cothphkq �1h,

tornando a função contínua.Assim, denotando

Apkq �

$

'

'

&

'

'

%

1 �a

βρ2

ρ1k coth pkhq , se k � 0

1 �

?

β

h

ρ2

ρ1, se k � 0,

(3.9)

pode-se escrever

ωpkq �k

Apkqe

ωpkq

k�

1Apkq

.

A figura 3.4 mostra o gráfico da função Apkq para valores específicos dos pa-râmetros.

O próximo lema trata da ordem de crescimento da função Apkq.

Lema 3.2.1.

a

1� |k|2

Apkq¤ max

"

1,ρ1

?

β ρ2

*

eApkq

a

1 � |k|2¤

?

2

�

1 �

?

β

h

ρ2

ρ1

, � k P R.

(3.10)

48

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−1

0

1

2

3

4

5

k

A(k

)

Figura 3.4: Função Apkq com β � 0.1, h � 10, ρ2 � 2 e ρ1 � 1.

Demonstração: Do lema 3.1.2 segue-se que

h|k| ¤ hk cothphkq ¤ 1 � h|k|.

Multiplicando por?

β

h

ρ2

ρ1e somando um fica

1 �a

βρ2

ρ1|k| ¤ Apkq ¤ 1 �

?

β

h

ρ2

ρ1�

a

βρ2

ρ1|k|. (3.11)

Elevando ao quadrado:

1 � 2a

βρ2

ρ1|k| � β

ρ22

ρ21

|k|2 ¤ Apkq2

¤

�

1 �

?

β

h

ρ2

ρ1

2

� 2

�

1 �

?

β

h

ρ2

ρ1

a

βρ2

ρ1|k| � β

ρ22

ρ21

|k|2.

Usando que 2?

βρ2

ρ1|k| ¥ 0 na parcela da esquerda e que 2ab ¤ a2

� b2,� a, b P R na parcela da direita obtem-se

1 � βρ2

2

ρ21

|k|2 ¤ Apkq2¤ 2

�

1 �

?

β

h

ρ2

ρ1

2

� 2 βρ2

2

ρ21

|k|2.

49

Minorando a parcela da esquerda e majorando βρ2

2

ρ21

por�

1 �?

βρ2

ρ1

2na par-

cela da direita obtem-se

min

"

1, βρ2

2

ρ21

*

p1 � |k|2q ¤ Apkq2¤ 2

�

1 �

?

β

h

ρ2

ρ1

2

p1 � |k|2q.

Elevando a 12 , já que a raiz aritmética é uma função crescente, vale

min

"

1,a

βρ2

ρ1

*

b

1 � |k|2 ¤ Apkq ¤?

2

�

1 �

?

β

h

ρ2

ρ1

b

1 � |k|2.

Assim,a

1 � |k|2

Apkq¤

1

min!

1,?

βρ2

ρ1

)

� max

"

1,ρ1

?

β ρ2

*

eApkq

a

1 � |k|2¤

?

2

�

1 �

?

β

h

ρ2

ρ1

.

Finalizando a seção, para justificar a preferência pela equação regularizada(3.2) foram calculadas, de maneira análoga, a relação de dispersão e a velocidadede fase para a equação não regularizada (3.1), obtendo, respectivamente,

ωnreg � ωnregpkq � k �a

βρ2

ρ1k2 cothpkhq,

ωnregpkq

k� 1 �

a

βρ2

ρ1k cothpkhq,

donde

lim|k|Ñ8

ωpkq

k� 0 e lim

|k|Ñ8

ωnregpkq

k� 8,

ou seja, na equação regularizada a velocidade de fase para frequências altas é limi-tada, enquanto na equação não regularizada esse controle não existe e a velocidadeaumenta indefinidamente conforme a frequência aumenta.

3.2.2 Boa colocação via teoria de semigrupos

O objetivo desta seção é aplicar a teoria de semigrupos de operadores lineares

50

para demonstrar a boa colocação, no sentido da definição 2.0.1, do problema deCauchy

$

'

'

&

'

'

%

η P C�

R,Hspou Hs

perq�

ηt � ηx �

a

βρ2

ρ1T pηxtq � 0 em Hs

pou Hsperq

ηp0q � φ P Hspou Hs

perq,

(3.12)

s P R.Essa é a abordagem utilizada por Borba em sua tese de doutorado [11], na

qual, a partir da p. 19, trata a equação ILW linearizada com adição do termoviscoso µηxx, µ ¡ 0.

A teoria de semigrupos de operadores lineares é uma ferramenta muito útilpara a análise de equações diferenciais conhecidas como equações de evolução. Aequação ILWR, que é uma equação integro-diferencial, pode ser abordada atravésdessa ferramenta. Para saber mais sobre a teoria pode-se consultar, por exemplo,[18]. Segue-se abaixo um resumo de parte da teoria que será utilizada aqui:

Seja X um espaço de Banach e G : DpGq � X ÝÑ X um operador linear. Paracada φ P X considera-se o problema de Cauchy abstrato:

#

ηtptq � Gηptq, t ¡ 0

ηp0q � φ.(3.13)

Uma solução deste problema é qualquer função η : r0,8rÝÑ X contínuapara t ¥ 0, diferenciável para t ¡ 0 (no sentido de que o limite do quocienteincremental existe e pertence a X), tal que ηptq P DpGq para t ¥ 0 e satisfaz oproblema de Cauchy.

Nesse contexto, vale o seguinte teorema, cuja demonstração pode ser encon-trada em [18], p. 104:

Teorema 3.2.2. Se G é o gerador infinitesimal de um semigrupo S ptq de classe

C0, então o problema de Cauchy (3.13), para cada φ P DpGq, tem uma única

solução η, a saber, ηptq � S ptqφ.

Observação 3.2.3. S ptq é chamado de semigrupo porque considera-se apenas t ¥

0. Para o problema (3.12) considera-se t P R, nesse caso S ptq é chamado de grupo.^

Dessa forma, para obter a boa colocação almejada é suficiente escrever o pro-blema de Cauchy (3.12) no formato de (3.13) e garantir que o operador G resul-tante é gerador de um semigrupo ou grupo de classe C0. Atualmente são conhe-cidos alguns resultados clássicos que dão condições necessárias e/ou suficientes

51

para um operador linear ser gerador de um semigrupo ou grupo de classe C0, den-tre eles os teoremas de Hille-Yosida, Lumer-Phillips e Stone.

O primeiro passo é identificar o operador G:

ηt �

a

βρ2

ρ1T rηxts � �ηx,

�

1 �a

βρ2

ρ1T pBxq

ηt � �Bxη.

Aplicando a transformada de Fourier tem-se:�

1�a

βρ2

ρ1k cothpkhq

pηt � �ikpη.

Como k coth k ¡ 0 e todos os parâmetros são positivos, a quantidade entreparênteses não se anula e

$

'

&

'

%

pηt ��ik

1 �?

βρ2

ρ1k cothpkhq

pη,

pηp0q � pφ.

(3.14)

Conclui-se assim que o operador G em questão tem multiplicador

mpkq ��ik

1 �?

βρ2

ρ1k cothpkhq

�

�ik

Apkq,

ou seja,

xGηpkq ��ik

Apkqpηpkq � mpkqpηpkq, para k P R pou Zq. (3.15)

O lema a seguir estabelece uma propriedade importante:

Lema 3.2.4. O operador G é limitado, ou seja, G P B pHs,Hsq

�

ou BpHsper,H

sperq

�

,

e satisfaz

}G f }s ¤ρ1

?

β ρ2} f }s, � f P Hs

pou Hsperq.

Demonstração: A partir do lema 3.1.2 tem-se

h|k| ¤ kh cothpkhq ¤ h|k| � 1

a

βρ2

ρ1|k| ¤

a

βρ2

ρ1k cothpkhq ¤

a

βρ2

ρ1|k| �

?

β

h

ρ2

ρ1

52

1 �a

βρ2

ρ1|k| ¤ 1 �

a

βρ2

ρ1k cothpkhq ¤

a

βρ2

ρ1|k| � 1 �

?

β

h

ρ2

ρ1.

Portanto,

|mpkq| �|k|

1 �?

βρ2

ρ1k coth hk

¤

|k|

1 �?

βρ2

ρ1|k|

�

ρ1?

β ρ2

|k|�

ρ1?

β ρ2� |k|

 

ρ1?

β ρ2.

(3.16)Assim, no caso não periódico

}G f }2s �

»

8

8

p1 � k2q

s�

�

�

mpkq pf pkq

�

�

�

2

¤

�

ρ1?

β ρ2

2 »8

8

p1 � k2q

s�

�

�

mpkq pf pkq

�

�

�

2�

�

ρ1?

β ρ2

2

} f }2s,

e no caso periódico

}G f }2s � 2π

8

¸

�8

p1 � k2q

s�

�

�

mpkq pf pkq

�

�

�

2

¤

�

ρ1?

β ρ2

2

2π8

¸

�8

p1� k2q

s�

�

�

pf pkq

�

�

�

2�

�

ρ1?

β ρ2

2

} f }2s.

Logo, G P B pHs,Hsq

�

ou BpHsper,H

sperq

�

, e satisfaz

}G f }s ¤ρ1

?

β ρ2} f }s, � f P Hs

pou Hsperq.

O segundo passo é garantir que G é o gerador infinitesimal de um grupo declasse C0. Antes disso, observa-se que a expressão (3.14) fornece uma família deequações diferenciais ordinárias no domínio da frequência, cujas soluções são:

pηpk, tq � pφpkqe�ikApkq

t.

Da igualdade acima tem-se que |pηpk, tq| � |

pφpkq|, � t P R, k P R pou Zq, logo

}ηptq}s � }φ}s , � t P R.

Como, pelo teorema 3.2.2, a solução do problema de Cauchy será dada porηptq � S ptqφ, isto é um indício de que o grupo S ptq será unitário. Com issoavalia-se que o teorema de Stone é o resultado mais apropriado a ser utilizadopara garantir que G é o gerador infinitesimal de um grupo de classe C0, visto

53

que trata de operadores unitários. Segue-se abaixo o teorema de Stone, conformeapresentado em [18], p. 55:

Teorema 3.2.5 (Teorema de Stone). Seja X um espaço de Hilbert. Um operador

linear G : DpGq � X ÝÑ X é o gerador infinitesimal de um grupo unitário de

classe C0 se, e somente se, é densamente definido e G�

� �G, onde G� representa

o adjunto de G.

Para o problema (3.12), o espaço de Hilbert considerado é o espaço de SobolevX � Hs (ou X � Hs

per, no caso periódico). A seguir são verificadas as condiçõespara que o teorema de Stone possa ser aplicado:

1. G é densamente definido:

DpGq � t f P Hspou Hs

perq; G f P Hspou Hs

perqu

Observa-se que

|

xG f pkq|2 �k2

Apkq2|

pf pkq|2 ¤1 � k2

Apkq2|

pf pkq|2,

logo, do lema (3.2.1) tem-se que

|

xG f pkq|2 ¤ max

"

1,ρ1

?

β ρ2

*2

|

pf pkq|2.

Dessa forma, conclui-se que

f P Hspou Hs

perq ñ G f P Hspou Hs

perq,

ou seja, que o domínio de G é DpGq � Hspou Hs

perq. Em particular, G édensamente definido.

2. G é linear:

54

Sejam f , g P Hspou Hs

perq

{Gp f � αgqpkq �

�ik

Apkq{f � αgpkq

�

�ik

Apkqpf pkq � α

�ik

Apkqpgpkq

�

xG f pkq � αxGgpkq

�

�

xG f � αxGg

pkq

�

{

pG f � αGgqpkq.

Aplicando a transformada inversa conclui-se que

Gp f � αgq � Gp f q � αGpgq,

e portanto que G é linear.

3. G�

� �G:

Observa-se inicialmente que,

G�

� �G � �iG�

� iG � piGq� � iG,

donde basta mostrar que o operador iG é autoadjunto. Sabe-se do lema3.2.4 que o operador G é limitado. Assim, a partir da teoria de operadoresadjuntos apresentada em [28] (Def.3.9-1, Teo.3.9-2 e Def.3.10-1), tem-se aexistência do adjunto garantida, de modo que resta verificar que piGq� � iG.

De fato, sejam f , g P Hspou Hs

perq.

yiG f pkqpgpkq �

k

Apkqpf pkqpgpkq

�

pf pkqk

Apkqpgpkq

�

pf pkqyiGgpkq, � k P R pou Zq.

Após multiplicar por p1 � k2q

s (ou 2πp1 � k2q

s) e integrar (ou somar) emk P R (ou Z), conclui-se que

xiG f , gys � x f , iGgys ,

55

ou seja, que piGq� � iG.

Com isso, segue-se do teorema de Stone que o operador G é de fato geradorinfinitesimal de um grupo unitário de classe C0, o qual será denotado por S ptq, eportanto o teorema 3.2.2 garante a boa colocação:

Teorema 3.2.6. O problema de Cauchy (3.12), a saber,

$

'

'

&

'

'

%

η P C�

R,Hspou Hs

perq

�

ηt � ηx �

a

βρ2

ρ1T pηxtq � 0 em Hs

pou Hsperq

ηp0q � φ P Hspou Hs

perq,

s P R, tem uma única solução η, a saber, ηptq � S ptqφ, a qual depende continua-

mente do dado inicial. Resumindo, o problema é globalmente bem-posto.

Para finalizar a seção, a solução ηptq será dada explicitamente. Voltando àfamília de EDOs dada em (3.14) e resolvendo cada equação da família no domínioda frequência, obtem-se as seguintes soluções:

pηpk, tq � pφpkqe�ikApkq

t.

Assim, a solução ηptq tem a seguinte expressão:

ηpx, tq � S ptqφpxq �1?

2πF �1

�

e�ikApkq

tpφpkq

�

pxq �1?

2π

�

F �1�

e�ikApkq

t�

� φ

pxq,

(3.17)no caso não periódico e

ηpx, tq � S ptqφpxq � F �1�

e�ikApkq

tpφpkq

�

pxq ��

F �1�

e�ikApkq

t�

� φ

pxq, (3.18)

no caso periódico, onde F �1 denota a transformada de Fourier inversa na variávelk e � a convolução na variável x.

3.2.3 Boa colocação — abordagem direta

Nesta seção a boa colocação do problema de Cauchy

$

'

'

&

'

'

%

η P C�

R,Hspou Hs

perq�

ηt � ηx �

a

βρ2

ρ1T pηxtq � 0 em Hs

pou Hsperq

ηp0q � φ P Hspou Hs

perq,

(3.19)

56

s P R, será novamente estudada, mas agora com uma abordagem direta, sem usara teoria de semigrupos. O motivo pelo qual esta seção é incluída é que no caso dossistemas de EDPs, nem sempre é fácil garantir a existência do semigrupo de classeC0 e a abordagem direta similar à apresentada aqui representa uma alternativaviável.

Para lembrar, a expressão do operador T no domínio da frequência é dada por

zT p f qpkq � i cothpkhq pf pkq, k P R pou Zq.

Para o problema acima, a condição de dependência contínua dos dados inici-ais explicita-se da seguinte forma: Se η1 e η2 são, respectivamente, soluções doproblema (3.19) com condição inicial η1p0q � φ1 e η2p0q � φ2, então deve existirC ¡ 0 tal que, � t P R,

}η1ptq � η2ptq}s ¤ C}φ1 � φ2}s.

No caso de EDPs lineares, dependência contínua é essencialmente uma con-sequência de existência e unicidade, conforme veremos nas demonstrações.

Teorema 3.2.7. O problema (3.19) tem no máximo uma solução em Hspou Hs

perq

e, se ela existir, depende continuamente do dado inicial.

Demonstração: Sejam η1 e η2 soluções da equação em (3.19) tais que ηip0q � φi,i � 1, 2. Então w � η1 � η2 satisfaz o problema

$

'

&

'

%

w P C�

R,Hspou Hs

perqq�

wt � Gw em Hspou Hs

perq

wp0q � φ1 � φ2 P Hspou Hs

perq,

Aplicando o produto interno de Hspou Hs

per por w a ambos os lados da equaçãotem-se

xwt,wys � xGw,wys .

Por outro lado,

d

dt}w}2

s � xwt,wys � xw,wtys � 2Re pxwt,wysq .

Assim,d

dt}w}2

s � 2Re pxGw,wysq .

57

Agora,

xGw,wys �

»

8

�8

p1 � k2q

smpkqpwpkqpwpkq dk

� �i

»

8

�8

p1 � k2q

s k

Apkq}pwpkq}2dk,

no caso não periódico, e

xGw,wys � 2π8

¸

k��8

p1 � k2q

smpkqpwpkqpwpkq

� �2πi

8

¸

k��8

p1 � k2q

s k

Apkq}pwpkq}2,

no caso periódico.Da demonstração do lema 3.2.4 decorre que

�

�

�

�

»

8

�8

p1 � k2q

s k

Apkq}pwpkq}2dk

�

�

�

�

¤

ρ1?

β ρ2}w}2

s ,

e�

�

�

�

�

8

¸

k��8

p1 � k2q

s k

Apkq}pwpkq}2

�

�

�

�

�

¤

ρ1?

β ρ2}w}2

s ,

donde a integral e a série convergem para um número real. Assim, xGw,wys éimaginário puro e portanto d

dt}w}s � 0, garantindo que }wptq}s é constante, ou

seja,}wptq}s � }wp0q}s � }φ1 � φ2}s, � t P R.

Esta última igualdade garante a continuidade da solução com relação aos da-dos iniciais. Fazendo φ1 � φ2 segue-se que η1 � η2 em Hs

pou Hsperq, logo a

solução do problema, caso exista, é única nesse espaço.O próximo resultado garante a existência de solução para o problema (3.19),

finalizando a boa colocação:

Teorema 3.2.8. O problema (3.19) possui solução.

Demonstração: Nas expressões (3.17) e (3.18) foi estabelecido que a candidata àsolução é dada por

ηpx, tq �1?

2πF �1

�

e�ikApkq

tpφpkq

�

pxq,

58

no caso não periódico e

ηpx, tq � F �1�

e�ikApkq

tpφpkq

�

pxq,

no caso periódico.É necessário mostrar que essa candidata é de fato solução do problema (3.19),

ou seja, que η P C�

R,Hspou Hs

perq�

, satisfaz a equação em Hspou Hs

perq e acondição inicial ηp0q � φ:

Observação 3.2.9. Na demonstração desse teorema as contas serão explicitadassomente para o caso periódico. O caso não periódico é análogo, substituindosomatório por integral e trocando a justificativa das trocas de limite com integral,que não será mais o M-teste de Weierstrass. ^

• ηpx, 0q � F �1�

e�ikApkq

0pφpkq

�

pxq � F �1�

pφpkq�

pxq � φpxq.

• η P C�

R,Hsper

�

:

}ηptq}2s � 2π

8

¸

k��8

p1 � k2q

s�

�

�

e�it k

Apkqpφpkq

�

�

�

2

� 2π8

¸

k��8

p1 � k2q

s�

�

pφpkq�

�

2� }φ}2

s   8,

uma vez que φ P Hsper. Portanto ηptq P Hs

per, � t P R.

Para garantir a continuidade é necessário mostrar que, � t P R,

limhÑ0

}ηpt � hq � ηptq}s � 0.

De fato,

}ηpt�hq�ηptq}2s � 2π

8

¸

k��8

p1�k2q

s�

�

�

e�it k

Apkq

�

e�ih k

Apkq� 1

pφpkq

�

�

�

2. (3.20)

Como�

�

�

e�it k

Apkq

�

e�ih k

Apkq� 1

pφpkq

�

�

�

2¤

�

�

�

e�ih k

Apkq� 1

�

�

�

2�

�

pφpkq�

�

2¤ 4

�

�

pφpkq�

�

2,

e

2π8

¸

k��8

p1 � k2q

s4�

�

pφpkq�

�

2� 4}φ}2

s ,

59

pelo M-Teste de Weierstrass (ver, por exemplo, [32], p. 370), segue-se quea série na igualdade (3.20) converge absolutamente e uniformemente comrelação a h, donde é permitido trocar o limite com o somatório. E como

limhÑ0

p1 � k2q

s�

�

�

e�it k

Apkq

�

e�ih k

Apkq� 1

pφpkq

�

�

�

2� 0,

o resultado se segue.

• Para η satisfazer a equação é necessário que:

limrÑ0

�

�

�

�

ηpt � rq � ηptq

r�Gηptq

�

�

�

�

s

� 0,

uniformemente em t P R. De fato,

�

�

�

�

ηpt � rq � ηptq

r�Gηptq

�

�

�

�

2

s

�2π8

¸

k��8

p1 � k2q

s

�

�

�

�

�

�

ηpt � rq � ηptq

r�Gηptq

p

pkq

�

�

�

�

�

2

�2π8

¸

k��8

p1 � k2q

s

�

�

�

�

pηpt � r, kq � pηpt, kq

r�

ik

Apkqpηpt, kq

�

�

�

�

2

�2π8

¸

k��8

p1 � k2q

s

�

�

�

�

�

e�ir k

Apkq� 1

r�

ik

Apkq

�

�

�

�

�

2

|pηpt, kq|2

Como�

�

�

�

d

dr

�

e�ir k

Apkq

prq

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�ik

Apkqe�ir k

Apkq

�

�

�

�

�

�

�

�

mpkqe�ir k

Apkq

�

�

�

¤|mpkq| , (3.21)

identificando C como R2 e aplicando o Teorema do Valor Médio em r0, rs(ou rr, 0s), conforme resultado em [33], p. 89, tem-se

�

�

�

�

�

e�ir k

Apkq� 1

r

�

�

�

�

�

¤|mpkq| , � r � 0, � k P Z.

60

Assim, segue-se da desigualdade triangular e da limitação em (3.16) que

p1� k2q

s

�

�

�

�

�

e�ir k

Apkq� 1

r� mpkq

�

�

�

�

�

2

|pηpt, kq|2¤ p1 � k2

q

sp2|mpkq|q2

|pηpt, kq|2

¤ 4ρ2

1

β ρ22

p1 � k2q

s|pηpt, kq|

2

� 4ρ2

1

β ρ22

p1 � k2q

s�

�

pφpkq�

�

2.

Com isso obtem-se

2π8

¸

k��8

p1 � k2q

s

�

�

�

�

�

e�ir k

Apkq� 1

r�

ik

Apkq

�

�

�

�

�

2

|pupt, kq|2¤ 4

ρ21

β ρ22

}φ}2s

e pelo M-teste de Weierstrass a convergência da série é uniforme em t P R.

Com isso, pode-se trocar o limite com o somatório:

limrÑ0

�

�

�

�

ηpt � rq � ηptq

r�Gηptq

�

�

�

�

s

�

� limrÑ0

2π8

¸

k��8

p1 � k2q

s

�

�

�

�

�

e�ir k

Apkq� 1

r� mpkq

�

�

�

�

�

2

|pηpt, kq|2

� 2π8

¸

k��8

p1� k2q

s limrÑ0

�

�

�

�

�

e�ir k

Apkq� 1

r� mpkq

�

�

�

�

�

2

|pηpt, kq|2,

e de (3.21) segue-se que

d

dr

�

e�ir k

Apkq

p0q � limrÑ0

e�ir k

Apkq� 1

r� mpkq,

donde o último limite é nulo, e portanto também o somatório, concluindofinalmente que

limrÑ0

�

�

�

�

ηpt � rq � ηptq

r�Gηptq

�

�

�

�

s

� 0.

Os teoremas 3.2.7 e 3.2.8 podem portanto ser resumidos no seguinte resultado

61

de boa colocação:

Teorema 3.2.10. O problema (3.19), a saber,

$

'

'

&

'

'

%

η P C�

R,Hspou Hs

perq

�

ηt � ηx �

a

βρ2

ρ1T pηxtq � 0 em Hs

pou Hsperq

ηp0q � φ P Hspou Hs

perq,

s P R, é globalmente bem-posto. Sua única solução, que depende continuamente

do dado inicial, é dada por

ηpx, tq �1?

2πF �1

�

e�ikApkq

tpφpkq

�

pxq, no caso não periódico e

ηpx, tq � F �1�

e�ikApkq

tpφpkq

�

pxq, no caso periódico.

O resultado acima já aparece em [22], com um enunciado mais geral, sendoque optou-se aqui por especificar o resultado e detalhar a demonstração.

3.3 A equação não linear

Nesta seção será considerada a equação ILWR, já mencionada no início docapítulo,

ηt � ηx �32αηηx �

a

βρ2

ρ1T pηxtq � 0, (3.22)

onde, lembrando, o operador T no domínio da frequência é dado por

xT f pkq � i cothpkhq pf pkq, k P R pou Zq.

Para começar, a fim de identificar o operador que define a equação no domínioda frequência, aplica-se a transformada de Fourier:

pηtpkq �a

βρ2

ρ1pikqpi cothpkhqpηtpkqq � �ikpηpkq �

32αxηηxpkq

�

1 �a

βρ2

ρ1k coth hk

pηtpkq � �ik

�

pη�34αpη2

pkq

pηtpkq ��ik

1 �?

βρ2

ρ1k coth hk

�

pη�34αpη2

pkq

62

Assim, a equação pode ser escrita como

ηt �rGη, onde F p rGηqpkq � mpkq

�

pη�34αpη2

pkq

Observação 3.3.1. O operador é formado por uma parte linear, que coincide como operador G da equação linearizada, e uma parte não linear:

rGη � G

�

η�34αη2

.

^

O próximo lema estabelece uma propriedade importante do operador rG:

Lema 3.3.2. Seja s ¡ 12 . Se η P Hs

pou Hsperq então rGη P Hs

pou Hsperq.

Demonstração: Como s ¡ 12 , Hs

pou Hsperq é uma álgebra de Banach (ver teorema

2.1.15 (ou 2.2.17)). Assim, η2P Hs

pou Hsperq, e consequentemente η � 3

4αη2P

Hspou Hs

perq, de modo que o lema 3.2.4 garante

rGη � G

�

η�34αη2

P Hspou Hs

perq.

3.3.1 Boa colocação local

O objetivo desta seção é demonstrar a boa colocação local do problema deCauchy não linear:

$

'

'

'

&

'

'

'

%

η P C�

r�T, T s,Hspou Hs

perq�

ηt � ηx �32αηηx �

a

βρ2

ρ1T pηxtq � 0 em Hs

pou Hsperq

ηp0q � φ P Hspou Hs

perq,

(3.23)

com s ¡ 12 .

Para isso, primeiro detalhar-se-á a definição 2.0.1 de boa colocação para ocaso não linear. A definição abaixo foi extraída de [22], p. 263:

63

Definição 3.3.3. Sejam X, Y espaços de Banach, T0 P p0,8q e F : r�T0, T0s �

Y Ñ X uma função contínua. Diz-se que o problema de Cauchy#

ηtptq � F pt, ηptqq P X

ηp0q � φ P Y,(3.24)

é localmente bem-posto em Y se

(a) D T P p0, T0s e uma função η P Cpr�T, T s; Yq tal que ηp0q � φ e a equaçãodiferencial é satisfeita no seguinte sentido

limhÑ0

�

�

�

�

ηpt � hq � ηptq

h� F pt, ηptqq

�

�

�

�

X

� 0,

onde as derivadas em t � �T e t � T são calculadas à direita e à esquerda,respectivamente;

(b) o problema (3.24) tem no máximo uma solução em C pr�T, T s; Yq;

(c) e o mapa φ ÞÝÑ η é contínuo. Mais precisamente, sejam φn P Y , n �

1, 2, . . . ,8, tais que φnYÝÑ φ

8

e ηn P C pr�Tn, Tns; Yq, Tn P p0,8q, as

soluções correspondentes. Seja T P p0, T8

q. Então, � n suficientementegrande, as soluções ηn podem ser estendidas para o intervalo r�T, T s e vale

limnÑ8

supr�T,T s

}ηnptq � η8

ptq}Y � 0.

Observação 3.3.4. A propriedade de permanência está implícita no item (a), aoexigir-se ηptq P Y , � t P r�T, T s. ^

A demonstração da boa colocação está dividida em partes. Primeiramenteserá abordada a existência de solução, que consiste em demonstrar o item (a) dadefinição 3.3.3. Para isso, inicia-se com a demonstração de existência de soluçãopara o problema integral, via teorema do Ponto Fixo de Banach (teorema 2.4.5).Antes de enunciar o resultado, deduz-se a versão integral do problema:

Integrando ambos os lados de 0 a t tem-se

» t

0ηtpτqdτ � �

» t

0G

�

34αη2

pτq � ηpτq

dτ,

que, via teorema Fundamental do Cálculo (ver, por exemplo, [32], p.324), torna-se

ηptq � ηp0q � �

» t

0G

�

34αη2

pτq � ηpτq

dτ.

64

Aplicando-se a condição inicial, a expressão acima fica

ηptq � φ�

» t

0G

�

34αη2

pτq � ηpτq

dτ. (3.25)

Teorema 3.3.5. Existe T ¡ 0 e v P Cpr�T, T s; Hspou Hs

perqq satisfazendo a

equação integral (3.25).

Demonstração: A fim de aplicar o teorema do Ponto Fixo de Banach define-se,para T ¡ 0 e R ¡ 0 quaisquer, o espaço

Λ � ΛpT,R, φq �

v P Cpr�T, T s; Hspou Hs

perqq; dpv,Φq ¤ R(

,

onde Φ : r�T, T s Ñ Hspou Hs

perq é o caminho constante Φptq � φ, e, paraf , g P Λ,

dp f , gq � suptPr�T,T s

t} f ptq � gptq}su .

Lema 3.3.6. pΛ, dq é um espaço métrico completo.

Demonstração: Nota-se que Λ � Cpr�T, T s; Hspou Hs

perqq é uma bola fechadacentrada em Φ. Assim, basta mostrar que

�

Cpr�T, T s; Hspou Hs

perqq, d�

é umespaço métrico completo. É fácil demonstrar que d é uma métrica, de modo queserá registrada aqui apenas a demonstração da completude:

Dado ǫ ¡ 0, considera-se a sequência de Cauchy

p fnqnPN P

�

Cpr�T, T s; Hspou Hs

perqq, d�

,

logo D n0 � n0pǫq P N tal que � m, n ¥ n0,

dp fn, fmq � suptPr�T,T s

t} fnptq � fmptq}su   ǫ.

Daí tem-se

� t P r�T, T s, } fnptq � fmptq}s   ǫ, � m, n ¥ n0, (3.26)

ou seja, para cada t P r�T, T s, p fnptqqnPN é uma sequência de Cauchy em Hspou Hs

perq.Sendo Hs

pou Hsperq um espaço de Hilbert, existe, para cada t P r�T, T s, ft P

Hspou Hs

perq tal que

fnptqnÑ8

ÝÑ ft.

Definindo f : r�T, T s Ñ Hspou Hs

perq por f ptq � ft, tem-se automaticamentea convergência pontual da sequência p fnqnPN para a função f . Desse modo falta

65

apenas garantir que f P Cpr�T, T s; Hspou Hs

perqq. De fato, aplicando o limitecom m Ñ 8 na desigualdade (3.26) e calculando o supremo, obtém-se

suptPr�T,T s

t} fnptq � f ptq}su ¤ ǫ, � n ¥ n0,

ou seja, fnnÑ8

ÝÑ f uniformemente em r�T, T s. E sendo f limite uniforme defunções contínuas, é também contínua.

Conclui-se assim que�

Cpr�T, T s; Hspou Hs

perqq, d�

, e portanto pΛ, dq, é com-pleto.

Nesse espaço considera-se o operador

J : Λ ÝÑ Λ

v ÞÝÑ Jv : r�T, T s ÝÑ Hspou Hs

perq,

dado por

Jvptq � φ�

» t

0G

�

34αv2

pτq � vpτq

dτ.

Para aplicar o Teorema do Ponto Fixo de Banach é necessário garantir duascondições.

Condição 1: Existe T1 ¡ 0 tal que para T   T1 o operador J : Λ Ñ Λ estábem definido, ou seja, JpΛq � Λ.

De fato, basta garantir a limitação por algum R ¡ 0 de }Jvptq � φ}s, � t P

r�T, T s:

}Jvptq � φ}s �

�

�

�

�

» t

0G

�

34αv2

pτq � vpτq

dτ

�

�

�

�

s

¤

�

�

�

�

» t

0

�

�

�

�

G

�

34αv2

pτq � vpτq

�

�

�

�

s

dτ

�

�

�

�

¤

ρ1?

β ρ2

�

�

�

�

» t

0

�

�

�

�

34αv2

pτq � vpτq

�

�

�

�

s

dτ

�

�

�

�

,

onde na última desigualdade foi aplicado o lema 3.2.4.Usando a desigualdade triangular e o fato de Hs

pou Hsperq ser uma álgebra de

66

Banach para s ¡ 12 , segue-se que

�

�

�

�

34αv2

pτq � vpτq

�

�

�

�

s

¤

34α�

�v2pτq

�

�

s�}vpτq}s

¤

34αCs }vpτq}

2s � }vpτq}s

�p}vpτq}sq

�

34αCs }vpτq}s � 1

,

onde a constante Cs vem do teorema 2.1.15 (ou 2.2.17)).Além disso, como v P Λ,

}vpτq}s ¤}vpτq � φ}s � }φ}s

¤ dpv,Φq � }φ}s

¤ R �}φ}s .

Assim,

}Jvptq � φ}s ¤

ρ1?

β ρ2

�

�

�

�

» t

0pR �

}φ}sq

�

34αCspR �

}φ}sq � 1

dτ

�

�

�

�

¤

ρ1?

β ρ2|t| pR �

}φ}sq

�

34αCspR �

}φ}sq � 1

¤

ρ1?

β ρ2T pR �

}φ}sq

�

34αCspR �

}φ}sq � 1

.

Para que o lado direito seja menor do que R, � t P r�T, T s, T   T1, define-se

T1 �R

ρ1?

β ρ2pR �

}φ}sq

�

34αCspR �

}φ}sq � 1� .

Ou, reescrevendo

T1 �a

βρ2

ρ1

�

R

R �}φ}s

�

134αCspR �

}φ}sq � 1

�

. (3.27)

Portanto,

dpJv,Φq � suptPr�T,T s

t}Jvptq � φ}su ¤ R, �T   T1,

e}Jvptq}s ¤ }Jvptq � φ}s � }φ}s ¤ R � }φ}s,

67

ou seja, Jvptq P Hspou Hs

perq, � t P r�T, T s, T   T1.Além disso, a partir das desigualdades obtidas acima garante-se que � t, q P

r�T, T s,

}Jvptq � Jvpqq}s �

�

�

�

�

» t

q

G

�

34αv2

pτq � vpτq

dτ

�

�

�

�

s

¤

ρ1?

β ρ2|t � q| pR �

}φ}sq

�

34αCspR �

}φ}sq � 1

Ñ 0, quando |t � q| Ñ 0.

Portanto Jv P C�

r�T, T s; Hspou Hs

perq�

, e segue-se que

Jv P Λ, � v P Λ.

Condição 2: Existe T2 ¡ 0 tal que para T   T2 o operador J : Λ Ñ Λ é umacontração, ou seja, para f , g P Λ,

suptPr0,T s

}J f ptq � Jgptq}s   suptPr0,T s

} f ptq � gptq}s .

De fato, para f , g P Λ considera-se

}J f ptq � Jgptq}s ¤

�

�

�

�

» t

0

�

�

�

�

G

�

34α�

f 2pτq � g2

pτq�

�p f pτq � gpτqq

�

�

�

�

s

dτ

�

�

�

�

¤

ρ1?

β ρ2

�

�

�

�

» t

0

�

�

�

�

34α�

f 2pτq � g2

pτq�

�p f pτq � gpτqq

�

�

�

�

s

dτ

�

�

�

�

.

Novamente, usando a desigualdade triangular e o fato de Hspou Hs

perq ser umaálgebra de Banach, para s ¡ 1

2 , tem-se para o integrando

�

�

�

�

34α�

f 2pτq � g2

pτq�

�p f pτq � gpτqq

�

�

�

�

s

�

�

�

�

�

p f pτq � gpτqq

�

34α p f pτq � gpτqq � 1

�

�

�

�

s

¤ Cs } f pτq � gpτq}s

�

34α } f pτq � gpτq}s � 1

¤ dp f , gqCs

�

34α p} f pτq}s � }gpτq}sq � 1

,

68

� τ P r�T, T s. Além disso, como f , g P Λ,

} f }s � }g}s ¤ 2 pR � }φ}sq .

Portanto,

}J f ptq � Jgptq}s ¤ dp f , gqρ1

?

β ρ2

�

�

�

�

» t

0Cs

�

34α2 pR � }φ}sq � 1

dτ

�

�

�

�

¤ dp f , gqρ1

?

β ρ2Cs

�

32α pR � }φ}sq � 1

T.

Tomando o supremo em t P r�T, T s, obtem-se

dpJ f , Jgq ¤ dp f , gqρ1

?

β ρ2Cs

�

32α pR � }φ}sq � 1

T.

Assim, escolhendo

T2 �a

βρ2

ρ1

1

Cs

�

32α pR � }φ}sq � 1

� , (3.28)

tem-se quedpJ f , Jgq ¤ dp f , gq, �T   T2.

Segue-se finalmente que, para T � mintT1, T2u, o operador J : Λ Ñ Λ estábem definido e é uma contração, donde, pelo teorema do Ponto Fixo de Banach,existe uma única função v P Λ tal que Jv � v, ou seja, tal que

vptq � φ�

» t

0G

�

34αv2

pτq � vpτq

dτ, � t P r�T, T s. (3.29)

A expressão em (3.29) exprime implicitamente a solução para a formulaçãointegral do problema (3.25), denominada solução forte do problema (conforme[43], p. 125).

Para garantir que a solução forte satisfaz a equação diferencial, e assim com-pletar a demonstração do item (a), calcula-se o seguinte limite envolvendo o quo-ciente incremental:

limhÑ0

�

�

�

�

vpt � hq � vptq

h�

rG pvptqq

�

�

�

�

s

� 0.

69

De fato, como o integrando na solução forte não depende de t,

limhÑ0

�

�

�

�

vpt � hq � vptq

h�

rG pvptqq

�

�

�

�

s

�

limhÑ0

�

�

�

�

» t�h

t

G

�

34αv2

pτq � vpτq

dτ�G

�

34αv2

ptq � vptq

�

�

�

�

s

� 0,

e assim a existência está garantida.

Observação 3.3.7. Apesar de valer unicidade do ponto fixo em Λ, a unicidade nãoestá garantida em todo o espaço C

�

r�T, T s,Hspou Hs

perq�

. Por isso, para garan-tir a validade do item (b) da definição 3.3.3, é necessário estabelecer o próximoresultado, o qual baseia-se na Desigualdade de Gronwall. ^

Teorema 3.3.8. O problema (3.23) tem no máximo uma solução em Hspou Hs

perq.

Demonstração: Considera-se, para i � 1, 2, que

viptq � φi �

» t

0G

�

34αv2

i pτq � vipτq

dτ

é a solução do problema de Cauchy (3.23) com condição inicial φi, i � 1, 2. Então

vi P C�

r�T}φi}s

, T}φi}s

s,Hspou Hs

perq�

.

Define-se T � min

T}φ1}s

, T}φ2}s

(

.Calculando a norma da diferença dessas duas soluções obtem-se, através de

estimativas análogas às da demonstração do teorema 3.3.5, que

}v1ptq � v2ptq}s

¤ }φ1 � φ2}s �

�

�

�

�

» t

0

�

�

�

�

G

�

34α�

v21pτq � v2

2pτq�

�pv1pτq � v2pτqq

�

�

�

�

s

dτ

�

�

�

�

¤ }φ1 � φ2}s � Cs

ρ1?

β ρ2

�

�

�

�

» t

0}v1pτq � v2pτq}s

�

34α }v1pτq � v2pτq}s � 1

dτ

�

�

�

�

¤ }φ1�φ2}s�Cs

ρ1?

β ρ2

�

�

�

�

» t

0}v1pτq � v2pτq}s

�

34α p2R� }φ1}s � }φ2}sq � 1

dτ

�

�

�

�

¤ }φ1�φ2}s�Cs

ρ1?

β ρ2

�

34α p2R �

}φ1}s � }φ2}sq � 1

�

�

�

�

» t

0}v1pτq � v2pτq}s dτ

�

�

�

�

Por conta do módulo na integral, a aplicação da desigualdade de Gronwalldivide-se em dois casos: t P r0, T s e t P r�T, 0s. Para usar a desigualdade de

70

Gronwall (teorema 2.4.3), identifica-se como

gptq � }v1ptq � v2ptq}s

α � }φ1 � φ2}s

a � 0

β �

$

&

%

�Csρ1

?

β ρ2

�

34α p2R � }φ1}s � }φ2}sq � 1

�

, se t P r�T, 0s

Csρ1

?

β ρ2

�

34α p2R � }φ1}s � }φ2}sq � 1

�

, se t P r0, T s.

Assim, obtem-se

}v1ptq � v2ptq}s ¤ }φ1 � φ2}s e β t, � t P r�T, T s, (3.30)

de modo que, supondo φ1 � φ2, e portanto T � T}φ1}s

� T}φ2}s

, segue-se quev1 � v2. Logo, a solução é única.

O próximo passo consiste em demonstrar o item (c) da definição 3.3.3:

Teorema 3.3.9. O mapa φ ÞÝÑ u é contínuo, ou seja, sejam φn P Hspou Hs

perq,

n � 1, 2, . . . ,8, tais que φnHs

ÝÑ φ8

, vn P C�

r�Tn, Tns; Hspou Hs

perq

�

as soluções

correspondentes. Então, � n suficientemente grande, as soluções vn podem ser

estendidas para o intervalo r�T, T s, com T P p0, T8

q e vale

limnÑ8

supr�T,T s

}vnptq � v8

ptq}s � 0.

Demonstração: De fato, da demonstração de existência tem-se que

Tn � min tT1n, T2nu � min

#

a

βρ2

ρ1

�

R

R �}φn}s

�

134αCspR �

}φn}sq � 1

�

,

a

βρ2

ρ1

1

Cs

�

32α pR � }φn}sq � 1

�

+

, (3.31)

donde se segue que TnnÑ8

Ñ T8

, e portanto dado T P p0, T8

q, � n suficientementegrande, r�T, T s � r�Tn, Tns e vn pode ser estendida para o intervalo r�T, T s.

Além disso, a mesma conta feita para obter a limitação (3.30) fornece

}vnptq � v8

ptq}s ¤ }φn � φ8

}s erβ t, � t P r�T, T s,

71

com

rβ �

$

&

%

�Csρ1

?

β ρ2

�

34α p2R � }φn}s � }φ

8

}sq � 1�

, se t P r�T, 0s

Csρ1

?

β ρ2

�

34α p2R � }φn}s � }φ

8

}sq � 1�

, se t P r0, T s,

dondelim

nÑ8

supr�T,T s

}vnptq � v8

ptq}s � 0.

E finalmente tem-se o seguinte resultado de boa colocação:

Teorema 3.3.10. Sejam s ¡ 12 e φ P Hs. Então existe T � T ps, }φ}sq ¡ 0 tal

que o problema de Cauchy não linear

$

'

'

'

&

'

'

'

%

η P C�

r�T, T s,Hspou Hs

perq

�

ηt � ηx �32αηηx �

a

βρ2

ρ1T pηxtq � 0 em Hs

pou Hsperq

ηp0q � φ P Hspou Hs

perq,

é localmente bem-posto no sentido da definição 3.3.3.

O teorema acima é original, de acordo com a revisão bibliográfica realizada.

72

Capítulo 4

O sistema de tipo Boussinesq para

ondas intermediárias

Neste capítulo será considerado um sistema de tipo Boussinesq para ondasintermediárias e sua linearização. Mais precisamente, o sistema a ser estudado éo modelo dispersivo fracamente não linear dado por

#

ηt �

�

p1 � αηqu�

x� 0

ut � αu ux � ηx � bT ruxts � a uxxt ,(4.1)

de modo que quando os parâmetros positivos a e b são definidos como

b �a

βρ2

ρ1e a �

β

3,

tem-se o sistema (1.4) da introdução, lembrando que o operador T é dado nodomínio da frequência por

zT r f spkq � i cothpkhq pf pkq, k � 0. (4.2)

A versão linearizada do sistema (4.1) é dada por#

ηt � ux � 0

ut � ηx � bT ruxts � a uxxt.

Observação 4.0.11. Fazendo α � 0 e β � 0 e supondo as funções de classe C2, a

73

equação da onda é recuperada:#

ηt � ux � 0

ut � ηx � 0.ñ

#

ηtx � uxx � 0

utt � ηxt � 0.ñ uxx � utt � 0. (4.3)

Portanto os sistemas anteriores comportam duas direções de propagação paraambas as componentes da solução, em contraste com a equação considerada nocapítulo anterior. ^

4.1 O sistema linearizado

Linearizando o modelo (4.1) (no caso aqui considerado basta fazer α � 0,pois a linearização é feita em torno do equilíbrio u � 0, η � 0), tem-se o modelolinearizado:

#

ηt � ux � 0

ut � ηx � bT ruxts � a uxxt.(4.4)

4.1.1 Relação de dispersão e velocidade de fase

Para calcular a relação de dispersão, o sistema linearizado (4.4) deve ser es-crito como uma única equação de ordem superior. Para isso, deriva-se a segundaequação do sistema em relação a t e comuta-se o operador derivada com o opera-dor T :

utt � ηxt � bT ruxtts � a uxxtt.

A partir da primeira equação, ηt � ux, elimina-se o termo envolvendo η, ob-tendo

utt � uxx � bT ruxtts � a uxxtt . (4.5)

Procurando soluções da forma upx, tq � eipkx�ωtq , e usando (ver [15], p. 23)que formalmente

T reikxspxq � i coth pkhq eikx,

obtem-se a relação

ω2�

k2

rApkq,

74

onde, rApkq � 1 � b k coth pkhq � a k2. Essa relação fornece dois modos:

ω � ωpkq � �

|k|b

rApkq

. (4.6)

A velocidade de fase é dada por

ωpkq

k�

�1b

rApkq

�

�1a

1 � b k coth pkhq � a k2. (4.7)

Observação 4.1.1. A velocidade de fase do sistema linearizado sem o termo a uxxt

é dada porωpkq

k�

�1a

Apkq�

�1a

1 � b k coth pkhq. (4.8)

Para fins de comparação, também registra-se aqui a velocidade de fase dasequações de Euler linearizadas (ver [31] e [36], p. 48), que pode ser escrita,segundo as adimensionalizações e escalamentos adotados em (1.4), como

ωpkq

k�

�1a

?

β k cothp?

β kq � b k coth phkq. (4.9)

Usando a expansão em série

a

β k cothpa

β kq � 1 �13

�

a

β k2� Opk4

q,

tem-se que a expressão no denominador pode ser aproximada pora

β k cothpa

β kq�b k coth phkq � 1�a k2�b k coth phkq�Opk4

q �

rApkq�Opk4q.

Assim, a presença do termo a uxxt melhora a velocidade de fase para frequên-cias baixas, no sentido de que são melhor aproximadas e o decaimento parafrequências altas é mantido. A figura 4.1 traz uma comparação das três velocida-des de fase: (4.7), (4.8) e (4.9). No detalhe que aparece na figura 4.2, observa-semais precisamente tal melhora.

^

4.1.2 Abordagem via teoria de semigrupos

O objetivo desta seção é aplicar a teoria de semigrupos de operadores lineares

75

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

k

| ω(k

) / k

|

Euler

Ã�(k) −1/2

A(k)−1/2

Figura 4.1: Comparação de (4.7), (4.8)e (4.9), com β � 0.1, h � 10, ρ2 � 2 eρ1 � 1.

2.5 3 3.5 4 4.5 50.44

0.46

0.48

0.5

0.52

0.54

0.56

0.58

0.6

0.62

0.64

k

| ω(k

) / k

|

Euler

Ã�(k) −1/2

A(k)−1/2

Figura 4.2: Detalhe.

para demonstrar a boa colocação, no sentido da definição 2.0.1, do problema deCauchy linear

$

'

'

'

'

&

'

'

'

'

%

pη, uq P C�

R,Hsper � Hs�1

per

�

ηt � ux � 0,

ut � ηx � bT ruxts � a uxxt,

pηp0q, up0qq � pφ, ψq P Hsper � Hs�1

per ,

(4.10)

s P R.O roteiro da demonstração e os resultados da teoria de semigrupos utilizados

aqui são os mesmos já descritos na seção 3.2.2, a partir da página 50.O sistema 4.10 pode ser escrito formalmente como

Utptq � GUptq,

onde U �

�

η

u

e o operador G será determinado no que se segue.

Isolando a derivada temporal, no domínio físico, obtém-se#

ηt � ux�

1 � bT Bx � a B2x

�

ut � ηx.

Como no caso da equação ILWR, aplicando a transformada de Fourier, passa-

76

se a trabalhar no domínio da frequência,#

pηt � ikpu

rApkqput � ikpη,

e o sistema pode ser escrito matricialmente como

pUtpkq �

�

0 ik

�rmpkq 0

pUpkq,

onde rmpkq ��ik

rApkqe rApkq � 1 � b k cothphkq � a k2, como foi definido anterior-

mente.Portanto o operador G satisfaz

yGUpkq � Mpkq pUpkq �

�

0 ik

�rmpkq 0

pUpkq

e o sistema pode ser escrito de maneira concisa no domínio físico como

Utptq � GUptq.

Os próximos lemas apresentam propriedades importantes para a quantidaderApkq e para o operador G.

Lema 4.1.2. Existem constantes 0   C1phq   1 e C2phq ¥ 1, dependendo de h,

tais que

C1phqp1� k2q ¤

rApkq ¤ C2phqp1� k2q, � k P R.

Demonstração: O objetivo é mostrar que o quociente

rApkq

1 � k2�

1� b k cothphkq � a k2

1 � k2

é limitado. De fato, como o numerador e o denominador são contínuos, e am-bos estritamente positivos, a função quociente é contínua e portanto limitada em

77

compactos por constantes positivas. Além disso,

limkÑ8

1 � b k cothphkq � a k2

1 � k2� lim

kÑ8

11 � k2

�

b k cothphkq

1 � k2�

a k2

1 � k2

� limkÑ8

11 � k2

�

b cothphkq1k� k

�

a1k2 � 1

� limkÑ8

11 � k2

�

bpehk� e�hk

q

pehk� e�hk

q

�

1k� k

�

�

a1k2 � 1

� limkÑ8

11 � k2

�

bp1 � e�2hkq

p1 � e�2hkq

�

1k� k

�

�

a1k2 � 1

� 0 � 0 � a � a,

e, analogamente,

limk�8

1 � b k cothphkq � a k2

1 � k2� lim

k�8

11 � k2

�

bpe2hk� 1q

pe2hk� 1q

�

1k� k

�

�

a1k2 � 1

� 0 � 0� a � a,

garantindo a limitação do quociente em toda reta real, ou seja, que existem cons-tantes 0   C1phq   1 e C2phq ¡ 1 tais que

C1phq ¤rApkq

1� k2¤ C2phq, � k P R,

donde segue o lema.Para o próximo resultado, será utilizado um produto interno equivalente ao

usual no espaço Hs� Hs�1, dado no lema abaixo:

Lema 4.1.3. Sejam s P R, U �

�

η

u

e V �

�

v

w

. O produto interno definido

por

xU,Vys,srA�xη, vys � xu,wys

rA,

onde

xu,wysrA� 2π

k�8¸

k��8

p1 � k2q

srApkqpupkqpwpkq,

é equivalente ao produto interno usual de Hs� Hs�1, a saber

xU,Vys,s�1 � xη, vys � xu,wys�1 .

78

Demonstração: De fato, do lema 4.1.2 tem-se

C1phqp1 � k2q ¤

rApkq ¤ C2phqp1 � k2q,

dondeC1phq xu,wys�1 ¤ xu,wys

rA¤ C2phq xu,wys�1 ,

e somando xη, vys em todas as parcelas obtem-se a equivalência

C1phq xU,Vys,s�1 ¤ xU,Vys,srA¤ C2phq xU,Vys,s�1 .

Esses produtos internos induzem as normas equivalentesb

C1phq }U}s,s�1 ¤ }U}s,srA¤

b

C2phq }U}s,s�1 , (4.11)

que são usadas na obtenção do seguinte resultado:

Lema 4.1.4. Seja s P R. O operador

G : Hsper � Hs�1

per ÝÑ Hsper � Hs�1

per

é limitado e satisfaz

}GU}s,srA¤

1C1phq

}U}s,srA, � U P Hs

per � Hs�1per .

Demonstração:

}GU}2s,s

rA�

8

¸

k��8

p1 � k2q

s|kpupkq|

2�

8

¸

k��8

p1 � k2q

srApkq |rmpkqpηpkq|

2

�

8

¸

k��8

p1 � k2q

s�1 k2

1 � k2|pupkq|

2�

8

¸

k��8

p1 � k2q

s k2

rApkq|pηpkq|

2,

pois rmpkq ��ik

rApkq. Segue-se do lema 4.1.2 e de

k2

1� k2¤ 1 que

C1phqp1� k2q ¤

rApkq

k2

C1phqp1� k2q

¥

k2

rApkq

1C1phq

¥

k2

rApkq,

79

e portanto

}GU}2s,s

rA¤

}u}2s�1 �

1C1phq

}η}2s

¤

1C1phq

}U}2s,s�1

¤

�

1C1phq

2

}U}2s,s

rA.

Para garantir que o operador G é o gerador infinitesimal de um semigrupode classe C0, novamente será utilizado o teorema de Stone (teorema 3.2.5), jáenunciado na p. 54. Para o problema (4.10), o espaço de Hilbert considerado éo espaço de Sobolev X � Hs

per � Hs�1per com o produto interno x�, �ys,s

rA, definido

acima.Para garantir as hipóteses do teorema de Stone, seguir-se-á o mesmo roteiro

utilizado para a equação ILWR:

1. G é densamente definido:

De fato, do lema 4.1.4 segue-se que

}GU}s,srA¤

1C1phq

}U}s,srA, � U P Hs

per � Hs�1per ,

e portantoDpGq � Hs

per � Hs�1per .

Em particular, G é densamente definido.

2. G é linear:

De yGUpkq � MpKq pUpkq segue-se que G é linear.

3. G� � �G:

Observa-se inicialmente que,

G� � �G� �iG� � iG� piGq� � iG,

donde basta mostrar que o operador iG é autoadjunto. Sabe-se do lema4.1.4 que o operador G é limitado. Assim, a partir da teoria de operadoresadjuntos apresentada em [28] (Def.3.9-1, Teo.3.9-2 e Def.3.10-1), tem-se aexistência do adjunto garantida, de modo que resta verificar que piGq� � iG.

80

Para U �

�

η

u

e V �

�

v

w

P DpGq � Hsper � Hs�1

per ,

xiGU,Vys,srA

� 2π8

¸

k��8

�

p1 � k2q

sp�kqpupkqpvpkq � p1 � k2

q

srApkq

�

�k

rApkq

�

pηpkqpwpkq

�

� �2π8

¸

k��8

�

p1 � k2q

skpupkqpvpkq � p1 � k2q

skpηpkqpwpkq�

,

e

xU, iGVys,srA

� 2π8

¸

k��8

�

�

p1 � k2q

spηpkqp�kqpwpkq � p1 � k2

q

srApkqpupkq

�

�k

rApkq

�

pvpkq

�

�

� �2π8

¸

k��8

�

p1 � k2q

skpηpkqpwpkq � p1 � k2q

skpupkqpvpkq�

,

LogoxiGU,Vys,s

rA�xU, iGVys,s

rA.

Com isso, segue-se do teorema de Stone que o operador G é de fato geradorinfinitesimal de um grupo unitário de classe C0, o qual será denotado por S ptq, eportanto o teorema 3.2.2 garante o seguinte resultado de boa colocação:

Teorema 4.1.5. O problema (4.10), a saber,

$

'

'

'

'

&

'

'

'

'

%

pη, uq P C�

R,Hsper � Hs�1

per

�

ηt � ux � 0,

ut � ηx � bT ruxts � a uxxt,

pηp0q, up0qq � pφ, ψq P Hsper � Hs�1

per ,

s P R, tem uma única solução, a saber, pηptq, uptqq � S ptq pφ, ψq, a qual depende

continuamente do dado inicial. Resumindo, o problema é globalmente bem-posto.

Além disso,

� t P R, pηtptq, utptqq P Hsper � Hs�1

per .

Observação 4.1.6. Conforme enfatizado no início da seção, a versão não perió-dica do teorema 4.1.5 também se verifica, bastando pequenas modificações nademonstração. ^

Na próxima seção será dada a expressão da solução no domínio da frequência.O teorema acima é original, de acordo com a revisão bibliográfica realizada.

Sobretudo, a técnica utilizada difere da técnica encontrada em artigos que tratamsistemas semelhantes, como por exemplo [6].

81

4.1.3 Boa colocação — abordagem direta

O objetivo desta seção é garantir, com base na definição 2.0.1, a boa colocaçãodo problema de Cauchy linearizado

$

'

'

'

'

&

'

'

'

'

%

pη, uq P C�

R,Hsper � Hs�1

per

�

ηt � ux � 0,

ut � ηx � bT ruxts � a uxxt,

pηp0q, up0qq � pφ, ψq P Hsper � Hs�1

per ,

(4.12)

s P R, com uma abordagem direta, obtendo a expressão da solução no domínio dafrequência.

Observação 4.1.7. Nesta seção optou-se por redigir apenas o caso periódico. En-tretanto o resultado para o caso não periódico também é válido, bastando substi-tuir os espaços pelas versões não periódicas, os somatórios por integrais e trocara justificativa das trocas de limite com integral, que não será mais o M-teste deWeierstrass. ^

Observação 4.1.8. Uma condição suficiente para garantir unicidade e continui-dade da solução pηptq, uptqq em relação aos dados iniciais pφ, ψq é que exista umaconstante C ¡ 0 tal que

�

�

�

�

�

ηptq

uptq

�

�

�

�

Hsper�H

s�1per

¤ C

�

�

�

�

�

φ

ψ

�

�

�

�

Hsper�H

s�1per

, � t P R.

^

Para começar, o sistema será escrito matricialmente. Isolando a derivada tem-poral, no domínio físico, obtem-se

#

ηt � ux�

1 � bT Bx � a B2x

�

ut � ηx.

Como no caso da equação ILWR, aplicando a transformada de Fourier, passa-se a trabalhar no domínio da frequência:

#

pηt � ikpu

rApkqput � ikpη,

82

e o sistema pode ser escrito matricialmente como

pUtpkq �

�

0 ik

�rmpkq 0

pUpkq,

onde U �

�

η

u

, rmpkq ��ik

rApkqe rApkq � 1� b k cothphkq � a k2.

Lembrando que o operador G denota

yGUpkq � Mpkq pUpkq �

�

0 ik

�rmpkq 0

pUpkq,

o sistema pode ser escrito de maneira concisa no domínio físico como

Utptq � GUptq.

Observação 4.1.9. Segue-se do lema 4.1.4 e da equivalência de normas em (4.11)que

}GU}s,s�1 ¤ mint1,b

C1phqu �

b

C2phq}U}s,s�1.

Denotando por Cphq � mint1,a

C1phqu �a

C2phq, tem-se

}GU}s,s�1 ¤ Cphq}U}s,s�1. (4.13)

^

A fim de obter uma candidata a solução, o operador G será estudado maisdetalhadamente, a começar pela diagonalização de seu multiplicador Mpkq:

Mpkq �

�

0 ik

�rmpkq 0

� �rmpkq

�

0 rApkq

1 0

.

Os autovalores e autovetores da matriz

�

0 rApkq

1 0

são

�

b

rApkq e

�

1�

1?

rApkq

�

,

respectivamente. Então é possível escrever

�

0 rApkq

1 0

�

1 11

?

rApkq�

1?

rApkq

�

�

�

1 11

?

rApkq�

1?

rApkq

�

�

�

b

rApkq 0

0 �

b

rApkq

�

,

83

ou seja,

�

0 rApkq

1 0

� �

b

rApkq

2

�

1 11

?

rApkq�

1?

rApkq

�

�

�

b

rApkq 0

0 �

b

rApkq

�

�

�

�

1?

rApkq�1

�

1?

rApkq1

�

.

Substituindo essa expressão no sistema, o mesmo pode ser escrito como

pUtpkq � �

ik

2b

rApkq

�

1 11

?

rApkq�

1?

rApkq

�

�

�

b

rApkq 0

0 �

b

rApkq

�

�

�

�

1?

rApkq�1

�

1?

rApkq1

�

pUpkq,

e introduzindo as novas variáveis pv e pw dadas por

�

pv

pw

� �

a

rA

2

�

�

�

1?

rA�1

�

1?

rA1

�

�

pη

pu

�

�

�

12

?

rA

2

12 �

?

rA

2

�

�

pη

pu

,

onde a dependência em k foi omitida, obtem-se o desacoplamento do sistema. Defato, nas novas variáveis,

$

'

'

'

&

'

'

'

%

pv �pη�

a

rApu

2

pw �

pη�a

rApu

2

(4.14)

o sistema pode ser escrito como

�

pvtpkq

pwtpkq

� �rmpkq

�

�

b

rApkq 0

0 �

b

rApkq

�

�

pvpkq

pwpkq

. (4.15)

A expressão matricial acima representa uma família de sistemas de EDOs,indexada em k P Z. Resolvendo, para cada k, o sistema (4.15) desacoplado,obtem-se como solução

�

pvpk, tq

pwpk, tq

�

�

eit k?

rApkq 0

0 e�it k

?

rApkq

�

�

pvpk, 0qpwpk, 0q

,

84

onde, lembrando da mudança de variáveis, tem-se que

pvp0q �pφ�

a

rApψ

2e pwp0q �

pφ�a

rApψ

2.

Escrevendo

eit k?

rApkq� cos

�

�

�

kb

rApkq

t

�

Æ

� i sen

�

�

�

kb

rApkq

t

�

Æ

e voltando às variáveis originais, a solução pode ser escrita como

$

'

'

'

'

'

'

'

'

&

'

'

'

'

'

'

'

'

%

�

pη�a

rApu

2

�

pk, tq �

�

�

�

cos

�

�

�

kb

rApkq

t

�

Æ

� i sen

�

�

�

kb

rApkq

t

�

Æ

�

Æ

�

pφ�a

rApψ

2

�

�

pη�a

rApu

2

�

pk, tq �

�

�

�

cos

�

�

�

kb

rApkq

t

�

Æ

� i sen

�

�

�

kb

rApkq

t

�

Æ

�

Æ

�

pφ�a

rApψ

2

�

,

donde se segue, somando e subtraindo as equações, que

$

'

'

'

'

'

'

'

'

&

'

'

'

'

'

'

'

'

%

pηpkq � pφpkq cos

�

�

�

kb

rApkq

t

�

Æ

� i

b

rApkqpψpkq sen

�

�

�

kb

rApkq

t

�

Æ

pupkq � pψpkq cos

�

�

�

kb

rApkq

t

�

Æ

� i1

b

rApkq

pφpkq sen

�

�

�

kb

rApkq

t

�

Æ

,

(4.16)

o que pode ser escrito matricialmente como

pUpkq �

�

�

�

�

cos

�

k?

rApkqt

i

b

rApkq sen

�

k?

rApkqt

i 1?

rApkqsen

�

k?

rApkqt

cos

�

k?

rApkqt

�

Æ

Æ

�

pφpkqpψpkq

.

85

Denotando a matriz por

rFpt, kq �

�

�

�

�

cos

�

k?

rApkqt

i

b

rApkq sen

�

k?

rApkqt

i 1?

rApkqsen

�

k?

rApkqt

cos

�

k?

rApkqt

�

Æ

Æ

,

a solução do sistema pode ser escrita na forma compacta

pUpkq � rFpt, kq

�

pφpkqpψpkq

.

A matriz rFpt, kq, por sua vez, pode ser escrita decomposta como:

rFpt, kq � rVpkqHpt, kqrVpkq�1,

onde

rVpkq �

�

1 00 1

?

rApkq

�

, rVpkq�1�

�

1 0

0b

rApkq

�

e Hpt, kq �

�

�

�

�

cos

�

k?

rApkqt

i sen

�

k?

rApkqt

i sen

�

k?

rApkqt

cos

�

k?

rApkqt

�

Æ

Æ

.

Assim, finalmente conclui-se que a transformada de Fourier da candidata àsolução do problema (4.12) satisfaz

pUpkq � rVpkqHpt, kqrVpkq�1

�

pφpkqpψpkq

. (4.17)

Observação 4.1.10. Segue-se do teorema 4.1.5 que a solução do sistema é dadapor

�

ηptq

uptq

� S ptq

�

φ

ψ

,

onde S ptq é o grupo de classe C0 gerado por G. Assim,

{

S ptq

�

φ

ψ

pkq � rVpkqHpt, kqrVpkq�1{

�

φ

ψ

pkq. (4.18)

^

Como a candidata à solução depende do dado inicial, a observação acima su-

86

gere que a mesma seja denotada daqui em diante por

{

Eptq

�

φ

ψ

pkq � rVpkqHpt, kqrVpkq�1

�

pφpkqpψpkq

. (4.19)

Para terminar a seção, será mostrado que a candidata�

ηptq

uptq

� Eptq

�

φ

ψ

é de fato solução do problema de Cauchy (4.12).Para começar, estabelece-se um lema inspirado em [11], no qual são usadas

estimativas obtidas em [6]:

Lema 4.1.11. Seja s P R. Então, � t P R, Eptq P BpHsper � Hs�1

per ,Hsper � Hs�1

per q e

D C ¡ 1 tal que

�

�

�

�

Eptq

�

φ

ψ

�

�

�

�

s,s�1

¤ C

�

�

�

�

�

φ

ψ

�

�

�

�

s,s�1

, �

�

φ

ψ

P Hsper � Hs�1

per .

Demonstração:

�

�

�

�

Eptq

�

φ

ψ

�

�

�

�

2

s,s�1

Obs. 2.2.21�

�

�

�

�

rFpt, kq

�

pφpψ

�

�

�

�

2

l2s ,l2s�1

�2π8

¸

k��8

p1 � k2q

s

�

�

�

�

�

�

�

pφpkq cos

�

�

�

kb

rApkq

t

�

Æ

� ipψpkq

b

rApkq sen

�

�

�

kb

rApkq

t

�

Æ

�

�

�

�

�

�

�

2

�

� 2π8

¸

k��8

p1 � k2q

s�1

�

�

�

�

�

�

�

pψpkq cos

�

�

�

kb

rApkq

t

�

Æ

� ipφpkq1

b

rApkq

sen

�

�

�

kb

rApkq

t

�

Æ

�

�

�

�

�

�

�

2

�2π8

¸

k��8

p1 � k2q

s

�

�

�

�

�

1 0

0 p1 � k2q

12

rFpt, kq

�

pφpkqpψpkq

�

�

�

�

2

,

onde a norma } � } é a norma 2 vetorial. Denotando

rBpkq �

�

1 00 p1 � k2

q

12

,

87

pode-se escrever

�

�

�

�

Eptq

�

φ

ψ

�

�

�

�

2

Hsper�Hs�1

per

� 2π8

¸

k��8

p1�k2q

s

�

�

�

�

rBpkq rFpt, kqrBpkq�1Bpkq

�

pφpkqpψpkq

�

�

�

�

2

� 2π8

¸

k��8

p1� k2q

s

�

�

�

�

rBpkqrVpkqHpt, kqrVpkq�1rBpkq�1

rBpkq

�

pφpkqpψpkq

�

�

�

�

2

,

onde, lembrando,

rVpkq �

�

1 00 1

?

rApkq

�

, rVpkq�1�

�

1 0

0b

rApkq

�

e Hpt, kq �

�

�

�

�

cos

�

k?

rApkqt

i sen

�

k?

rApkqt

i sen

�

k?

rApkqt

cos

�

k?

rApkqt

�

Æ

Æ

.

Nota-se que a matriz Hpt, kq é unitária. De fato,

Hpt, kq� � Hpt, kq �

�

�

�

�

cos

�

k?

rApkqt

i sen

�

k?

rApkqt

i sen

�

k?

rApkqt

cos

�

k?

rApkqt

�

Æ

Æ

�

�

�

�

�

cos

�

k?

rApkqt

�i sen

�

k?

rApkqt

�i sen

�

k?

rApkqt

cos

�

k?

rApkqt

�

Æ

Æ

�

�

1 00 1

.

Em particular, tem-se que

}Hpt, kq}2 � 1.

Observação 4.1.12. A notação } � }2 representa a norma operacional de matrizinduzida pela norma 2 vetorial } � }. ^

Assim, vale a desigualdade

�

�

�

�

Eptq

�

φ

ψ

�

�

�

�

2

s,s�1

¤ 2π8

¸

k��8

p1�k2q

s�

�

�

rBpkqrVpkq

�

�

�

2

2

�

�

�

�

�

rBpkqrVpkq

�1�

�

�

�

2

2

�

�

�

�

rBpkq

�

pφpkqpψpkq

�

�

�

�

2

.

(4.20)

88

A limitação das normas operacionais

�

�

�

rBpkqrVpkq

�

�

�

2

2e

�

�

�

�

�

rBpkqrVpkq

�1�

�

�

�

2

2

,

é obtida notando que as matrizes

rBpkqrVpkq �

�

�

�

1 0

0

d

1 � k2

rApkq

�

Æ

e�

rBpkqrVpkq

�1�

�

�

�

1 0

0

d

rApkq

1 � k2

�

Æ

,

são diagonais. De fato, a norma 2 operacional é dada pelo maior valor singular damatriz. Os valores singulares de uma matriz A são definidos como a raiz quadradados autovalores do operador AA�. Se a matriz A é diagonal, os valores singularesde A são |λ|, onde λ são os elementos da diagonal de A. Portanto, nesse caso,tem-se

}

rBpkqrVpkq}22 � max

#

1,1 � k2

rApkq

+

e

�

�

�

�

�

rBpkqrVpkq

�1�

�

�

�

2

2

� max

#

1,rApkq

1 � k2

+

.

(4.21)Segue-se do lema 4.1.2 que

max

#

1 � k2

rApkq,rApkq

1 � k2

+

¤ max

"

1C1phq

,C2phq

*

,

logo

�

�

�

rBpkqrVpkq

�

�

�

2

2

�

�

�

�

�

rBpkqrVpkq

�1�

�

�

�

2

2

� max

#

1,1 � k2

rApkq

+

� max

#

1,rApkq

1 � k2

+

� max

#

1,1 � k2

rApkq,rApkq

1 � k2

+

¤ max

"

1,1

C1phq,C2phq

*

� max

"

1C1phq

,C2phq

*

,

89

pois C2phq ¥ 1. Assim, escolhendo

C � max

"

1C1phq

,C2phq

*

e substituindo na equação (4.20) obtem-se que

�

�

�

�

Eptq

�

φ

ψ

�

�

�

�

2

s,s�1

¤ 2πC

8

¸

k��8

p1 � k2q

s

�

�

�

�

rBpkq

�

pφpkqpψpkq

�

�

�

�

2

2

� C

�

�

�

�

�

φ

ψ

�

�

�

�

s,s�1

.

Dessa forma, segue-se do lema 4.1.11 e da observação 4.1.10 que a candidataà solução pη, uq, obtida no domínio da frequência em (4.16), satisfaz, � t P R,

�

ηptq

uptq

� Eptq

�

φ

ψ

P Hsper � Hs�1

per ,

e portanto, conforme observação 4.1.8, tal solução é única e depende continua-mente dos dados iniciais.

Para garantir a existência, primeiro observa-se nas expressões em (4.16) que acondição inicial é satisfeita. Para mostrar que a solução é contínua em t, considera-se t, t1 P R. Contas análogas às feitas na demonstração do Lema 4.1.11 garantemque

�

�

�

�

�

ηptq

uptq

�

�

ηpt1q

upt1q

�

�

�

�

2

s,s�1

�

�

�

�

�

Eptq

�

φ

ψ

� Ept1q

�

φ

ψ

�

�

�

�

2

s,s�1

� 2π8

¸

k��8

p1�k2q

s

�

�

�

�

rBpkqrVpkq pHpt, kq � Hpt1, kqq rVpkq�1rBpkq�1

rBpkq

�

pφpkqpψpkq

�

�

�

�

2

.

Como}Hpt, kq � Hpt1, kq}2 ¤ 2,

90

seguindo as contas da demonstração do Lema 4.1.11 obtem-se

p1 � k2q

s

�

�

�

�

rBpkqrVpkq pHpt, kq � Hpt1, kqq rVpkq�1rBpkq�1

rBpkq

�

pφpkqpψpkq

�

�

�

�

2

¤ p1�k2q

s�

�

�

rBpkqrVpkq

�

�

�

2

2}Hpt, kq � Hpt1, kq}

22

�

�

�

�

�

rVpkqrBpkq

�1�

�

�

�

2

2

�

�

�

�

rBpkq

�

pφpkqpψpkq

�

�

�

�

2

¤ 4Cp1 � k2q

s

�

�

�

�

rBpkq

�

pφpkqpψpkq

�

�

�

�

2

2

.

Como a série numérica

2π8

¸

k��8

p1� k2q

s

�

�

�

�

Bpkq

�

pφpkqpψpkq

�

�

�

�

2

2

�

�

�

�

�

�

φ

ψ

�

�

�

�

s,s�1

converge, segue-se do M-Teste de Weierstrass que a série

�

�

�

�

�

ηptq

uptq

�

�

ηpt1q

upt1q

�

�

�

�

2

s,s�1

� 2π8

¸

k��8

p1�k2q

s

�

�

�

�

rBpkqrVpkq pHpt, kq � Hpt1, kqq rVpkq�1rBpkq�1

rBpkq

�

pφpkqpψpkq

�

�

�

�

2

é uniformemente convergente em t. Desse modo, é legítimo trocar limite comsomatório:

limtÑt1

�

�

�

�

�

ηptq

uptq

�

�

ηpt1q

upt1q

�

�

�

�

2

s,s�1

� limtÑt1

2π8

¸

k��8

p1�k2q

s

�

�

�

�

rBpkqrVpkq pHpt, kq � Hpt1, kqq rVpkq�1rBpkq�1

rBpkq

�

pφpkqpψpkq

�

�

�

�

2

� 2π8

¸

k��8

limtÑt1

p1�k2q

s

�

�

�

�

rBpkqrVpkq pHpt, kq � Hpt1, kqq rVpkq�1rBpkq�1

rBpkq

�

pφpkqpψpkq

�

�

�

�

2

� 0,

o que garante a continuidade.Sendo assim, para garantir a boa colocação basta mostrar que a candidata à

solução satisfaz as equações do sistema (4.12), no seguinte sentido:

91

limrÑ0

�

�

�

�

Upt � rq � Uptq

r� GpUptqq

�

�

�

�

s,s�1

� 0, (4.22)

onde U �

�

η

u

.

De fato, denotando Φ �

�

φ

ψ

,

�

�

�

�

Upt � rq �Uptq

r� GpUq

�

�

�

�

s,s�1

�

�

�

�

�

�

pUpt � rq � pUptq

r� M pU

�

�

�

�

�

ls2 ,l

s�12

�

�

�

�

�

�

�

rFpt � rq � rFptq

r� M rFptq

�

pΦ

�

�

�

�

�

ls2 ,l

s�12

.

Multiplicando as matrizes do segundo fator obtem-se, para cada k fixado:

Mpkq rFpt, kq �

�

�

�

�

�k?

rApkqsen

�

k?

rApkqt

ik cos

�

k?

rApkqt

ik?

rApkqcos

�

k?

rApkqt

�k?

rApkqsen

�

k?

rApkqt

�

Æ

Æ

�

ddtrFpt, kq,

onde a derivada com relação a t é interpretada termo a termo.Portanto,

�

�

�

�

Upt � rq � Uptq

r� GpUq

�

�

�

�

2

s,s�1

�

�

�

�

�

�

�

rFpt � rq � rFptq

r�

ddtrFptq

�

pΦ

�

�

�

�

�

2

ls2,l

s�12

� 2π8

¸

k��8

p1 � k2q

s

�

�

�

�

�

��

rFpt � r, kq � rFpt, kq

r�

ddtrFpt, kq

�

pΦpkq

�

1

�

�

�

�

�

2

�2π8

¸

k��8

p1 � k2q

s�1

�

�

�

�

�

��

rFpt � r, kq � rFpt, kq

r�

ddtrFpt, kq

�

pΦpkq

�

2

�

�

�

�

�

2

� 2π8

¸

k��8

p1 � k2q

s

�

�

�

�

�

�

1 00 p1 � k2

q

12

�

rFpt � r, kq � rFpt, kq

r�

ddtrFpt, kq

�

pΦpkq

�

�

�

�

�

2

,

onde r�s1 e r�s2 denotam a primeira e a segunda coordenada do vetor, respectiva-

mente, e } � } denota a norma 2 vetorial. Escrevendo Bpkq �

�

1 00 p1 � k2

q

12

,

tem-se

92

�

�

�

�

Upt � rq � Uptq

r� GpUq

�

�

�

�

2

s,s�1

�

� 2π8

¸

k��8

p1 � k2q

s

�

�

�

�

�

rBpkq

�

rFpt � r, kq � rFpt, kq

r�

ddtrFpt, kq

�

rBpkq�1rBpkqpΦpkq

�

�

�

�

�

2

� 2π8

¸

k��8

p1 � k2q

s

�

�

�

�

rBpkqrVpkq

�

Hpt � r, kq � Hpt, kq

r�

ddt

Hpt, kq

rVpkq�1rBpkq�1

rBpkqpΦpkq

�

�

�

�

2

¤ 2π8

¸

k��8

p1 � k2q

s�

�

�

rBpkqrVpkq

�

�

�

2

2

�

�

�

�

Hpt � r, kq � Hpt, kq

r�

ddt

Hpt, kq

�

�

�

�

2

2

�

�

�

�

�

rBpkqrVpkq

�1�

�

�

�

2

2

�

�

�

rBpkqpΦpkq

�

�

�

2.

Os valores da norma 2 operacional das matrizes rBpkqrVpkq e�

rBpkqrVpkq

�1

são dados em (4.21). Aplicando o lema 4.1.2 é possível majorá-las por

}

rBpkqrVpkq}22 � max

#

1,1 � k2

rApkq

+

¤ max

"

1,1

C1phq

*

e

�

�

�

�

�

rBpkqrVpkq

�1�

�

�

�

2

2� max

#

1,rApkq

1 � k2

+

¤ max t1,C2phqu � C2phq.

Assim,

limrÑ0

�

�

�

�

Upt � rq � Uptq

r� GpUq

�

�

�

�

2

s,s�1¤ max

"

1,1

C1phq

*

� C2phq � 2π

� limrÑ0

8

¸

k��8

p1 � k2q

s

�

�

�

�

Hpt � r, kq � Hpt, kq

r�

ddt

Hpt, kq

�

�

�

�

2

2

�

�

�

rBpkqpΦpkq

�

�

�

2. (4.23)

Conforme salientado na p. 89, a norma 2 operacional é dada pelo maior valorsingular da matriz. Dessa forma, calculando os valores singulares da matriz queaparece no somatório acima, tem-se

Hpt � r, kq � Hpt, kq

r�

ddt

Hpt, kq ��

�

�

�

cos

�

kpt�rq?

rApkq

�cos

�

kt?

rApkq

r�

k?

rApkqsen

�

kt?

rApkq

isen

�

kpt�rq?

rApkq

�sen

�

kt?

rApkq

r�

ik?

rApkqcos

�

kt?

rApkq

isen

�

kpt�rq?

rApkq

�sen

�

kt?

rApkq

r�

ik?

rApkqcos

�

kt?

rApkq

cos

�

kpt�rq?

rApkq

�cos

�

kt?

rApkq

r�

k?

rApkqsen

�

kt?

rApkq

�

Æ

Æ

,

93

e observando que a matriz acima é simétrica, sua adjunta é dada por:

�

Hpt � r, kq � Hpt, kq

r�

ddt

Hpt, kq

�

�

�

�

�

�

cos

�

kpt�rq?

rApkq

�cos

�

kt?

rApkq

r�

k?

rApkqsen

�

kt?

rApkq

sen

�

kpt�rq?

rApkq

�sen

�

kt?

rApkq

ir�

ik?

rApkqcos

�

kt?

rApkq

sen

�

kpt�rq?

rApkq

�sen

�

kt?

rApkq

ir�

ik?

rApkqcos

�

kt?

rApkq

cos

�

kpt�rq?

rApkq

�cos

�

kt?

rApkq

r�

k?

rApkqsen

�

kt?

rApkq

�

Æ

Æ

.

Multiplicando essas duas matrizes obtem-se a matriz múltipla da identidade

�

�

�

�

�

�

�

�

�

cos

�

k?

rApkqpt � rq

� cos

�

k?

rApkqt

r�

kb

rApkq

sen

�

�

�

kb

rApkq

t

�

Æ

�

Æ

Æ

2

�

�

�

�

�

sen

�

k?

rApkqpt � rq

� sen

�

k?

rApkqt

r�

kb

rApkq

cos

�

�

�

kb

rApkq

t

�

Æ

�

Æ

Æ

2�

�

�

�

�

�

�

1 00 1

.

Assim, a matriz possui um único valor singular, que fornece o valor do qua-drado da norma 2 operacional da matriz:

�

�

�

�

Hpt � r, kq � Hpt, kq

r�

ddt

Hpt, kq

�

�

�

�

2

2�

�

�

�

�

cos

�

k?

rApkqpt � rq

� cos

�

k?

rApkqt

r�

kb

rApkq

sen

�

�

�

kb

rApkq

t

�

Æ

�

Æ

Æ

2

�

�

�

�

�

sen

�

k?

rApkqpt � rq

� sen

�

k?

rApkqt

r�

kb

rApkq

cos

�

�

�

kb

rApkq

t

�

Æ

�

Æ

Æ

2

,

donde o limite em (4.23) pode ser escrito como

94

limrÑ0

8

¸

k��8

p1�k2q

s

�

�

�

�

�

�

�

�

�

cos

�

k?

rApkqpt � rq

� cos

�

k?

rApkqt

r�

kb

rApkq

sen

�

�

�

kb

rApkq

t

�

Æ

�

Æ

Æ

2

�

�

�

�

�

sen

�

k?

rApkqpt � rq

� sen

�

k?

rApkqt

r�

kb

rApkq

cos

�

�

�

kb

rApkq

t

�

Æ

�

Æ

Æ

2�

�

�

�

�

�

�

�

rBpkqpΦpkq

�

�

�

2.

(4.24)

O M-Teste de Weierstrass será usado para garantir que a série acima convergeuniformemente em r, o que permitirá trocar o limite com o somatório.

De fato, para cada k P Z, o Teorema do Valor Médio garante que existem

θ1 � θ1pkq e θ2 � θ2pkq, 0 ¤ θ1pkq, θ2pkq ¤ 1,

tais que

cos

�

k?

rApkqpt � rq

� cos

�

k?

rApkqt

r� �

kb

rApkq

sen

�

�

�

kb

rApkq

pt � θ1pkqrq

�

Æ

e

sen

�

k?

rApkqpt � rq

� sen

�

k?

rApkqt

r�

kb

rApkq

cos

�

�

�

kb

rApkq

pt � θ2pkqrq

�

Æ

.

Assim, (4.24) fica

limrÑ0

8

¸

k��8

p1�k2q

s

�

�

�

kb

rApkq

�

Æ

2�

�

�

�

�

�

sen

�

�

�

kb

rApkq

pt � θ1pkqrq

�

Æ

� sen

�

�

�

kb

rApkq

t

�

Æ

�

Æ

2

�

�

�

�

cos

�

�

�

kb

rApkq

pt � θ2pkqrq

�

Æ

� cos

�

�

�

kb

rApkq

t

�

Æ

�

Æ

2�

�

�

�

�

�

rBpkqpΦpkq

�

�

�

2. (4.25)

95

Como Φ P Hsper � Hs�1

per ,

8

¸

k��8

p1 � k2q

s�

�

�

BpkqpΦpkq

�

�

�

2�}Φ}

2s,s�1

converge e basta limitar

�

�

�

kb

rApkq

�

Æ

2 �

�

�

�

�

�

sen

�

�

�

kb

rApkq

pt � θ1pkqrq

�

Æ

� sen

�

�

�

kb

rApkq

t

�

Æ

�

Æ

2

�

�

�

�

cos

�

�

�

kb

rApkq

pt � θ2pkqrq

�

Æ

� cos

�

�

�

kb

rApkq

t

�

Æ

�

Æ

2�

�

�

.

Cada um dos senos e dos cossenos pode ser majorado por 1. Já para o coefici-ente, usando a primeira desigualdade do lema 4.1.2, obtem-se

�

�

�

kb

rApkq

�

Æ

2

�

k2

rApkq�

k2

1 � k2

1 � k2

rApkq¤

1C1phq

,

de modo que o somatório em (4.25) é majorado por

8C1phq

8

¸

k��8

p1 � k2q

s�

�

�

rBpkqpΦpkq

�

�

�

2�

8C1phq

}Φ}2s,s�1 .

Assim, o M-Teste de Weierstrass garante que o somatório em (4.25) convergeuniformemente em r, donde podem-se trocar a ordem do limite e do somatório, e(4.25) fica:

8

¸

k��8

p1�k2q

s

�

�

�

kb

rApkq

�

Æ

2

limrÑ0

�

�

�

�

�

�

sen

�

�

�

kb

rApkq

pt � θ1pkqrq

�

Æ

� sen

�

�

�

kb

rApkq

t

�

Æ

�

Æ

2

�

�

�

�

cos

�

�

�

kb

rApkq

pt � θ2pkqrq

�

Æ

� cos

�

�

�

kb

rApkq

t

�

Æ

�

Æ

2�

�

�

�

�

�

rBpkqpΦpkq

�

�

�

2� 0. (4.26)

96

Voltando com o resultado deste limite em (4.23), obtem-se

limrÑ0

�

�

�

�

Upt � rq � Uptq

r� GpUq

�

�

�

�

2

s,s�1

¤ max

"

1,1

C1phq

*

� C2phq � 2π � 0 � 0,

como almejado em (4.22).Desse modo, segue-se finalmente o teorema:

Teorema 4.1.13. O problema (4.12), a saber,

$

'

'

'

'

&

'

'

'

'

%

pη, uq P C�

R,Hsper � Hs�1

per

�

ηt � ux � 0,

ut � ηx � bT ruxts � a uxxt,

pηp0q, up0qq � pφ, ψq P Hsper � Hs�1

per ,

s P R, é globalmente bem-posto. Sua única solução, que depende continuamente

do dado inicial, é dada por

�

η

u

px, tq � F �1

�

�

�

�

pφpkq cos

�

k?

rApkqt

� i

b

rApkqpψpkq sen

�

k?

rApkqt

pψpkq cos

�

k?

rApkqt

� i 1?

rApkq

pφpkq sen

�

k?

rApkqt

�

Æ

Æ

pxq.

Além disso,

� t P R, pηtptq, utptqq P Hsper � Hs�1

per .

O teorema acima é original, de acordo com a revisão bibliográfica realizada.Entretanto em [6], Alfaro, Oliveira, Ruiz de Zárate e Nachbin tratam o sistema(1.4) com a � 0 utilizando a mesma técnica.

Observação 4.1.14. Conforme enfatizado no início da seção, a versão não perió-dica do teorema 4.1.13 também se verifica, bastando pequenas modificações nademonstração. ^

4.2 O sistema não linear

Nesta seção será estudado o problema de Cauchy não linear$

'

&

'

%

ηt �

�

p1 � αηqu�

x� 0

ut � αu ux � ηx � bT ruxts � a uxxt,

pη, uqp0, xq � pφpxq, ψpxqq,

(4.27)

97

onde b �?

βρ2

ρ1e a �

β

3, que é o objetivo principal desta tese.

Observação 4.2.1. Nesta seção optou-se por redigir apenas o caso não periódico,mas da mesma forma que nas outras seções, os resultados valem para ambos oscasos. ^

A seguir são enunciados dois lemas técnicos com propriedades do operadortransformada de Hilbert na faixa,

T r f spxq �

»

8

�8

1?

2π

12h

coth�

π

2hpx � yq

f pyq dy.

Lema 4.2.2.

»

8

�8

T r f spxqgpxq dx � �

»

8

�8

T rgspxq f pxq dx.

Em particular,»

8

�8

T r f spxq f pxq dx � 0,

e se f e g forem funções a valores reais, pode-se escrever

x f ,T rgsys � �xg,T r f sys e x f ,T r f sys � 0,

� s P R, sempre que o produto interno fizer sentido.

Demonstração:

»

8

�8

T r f spxqgpxq dx �

»

8

�8

�

»

8

�8

1?

2π

12h

coth�

π

2hpx � yq

f pyq dy

gpxq dx

�

»

8

�8

»

8

�8

1?

2π

12h

coth�

π

2hpx � yq

f pyqgpxq dx dy

� �

»

8

�8

�

»

8

�8

1?

2π

12h

coth�

π

2hpy � xq

gpxq dx

f pyq dy

� �

»

8

�8

T rgspyq f pyq dy,

sendo que a terceira igualdade justifica-se pelo fato da função cotangente hiper-bólica ser ímpar.

No caso de f e g serem funções a valores reais, a igualdade acima implica que

x f ,T rgsys � �xg,T r f sys ,

� s P R, sempre que o produto interno fizer sentido.

98

Lema 4.2.3.

xT r f s, fxys ¥ 0,

� s P R, sempre que o produto interno fizer sentido.

Demonstração:

xT r f s, fxys �

»

8

�8

p1 � k2q

szT r f spkqpfxpkq dk

�

»

8

�8

p1 � k2q

s i coth hk pf pkqik pf pkq dk

�

1h

»

8

�8

p1 � k2q

s hk coth hk

�

�

�

pf pkq

�

�

�

2dk

¥

1h

»

8

�8

p1 � k2q

s|hk|

�

�

�

pf pkq

�

�

�

2dk ¥ 0,

de acordo com o lema 3.1.2.Para garantir a existência e unicidade de solução local para o problema de

Cauchy não linear (4.27) será utilizado um método conhecido como regularizaçãoparabólica. Para aplicar este método, o primeiro passo é considerar o sistema re-gularizado, que nesse caso consiste em inserir um termo dissipativo da forma ǫηxx

na primeira equação do sistema, com coeficiente ǫ ¡ 0. O sistema regularizadofica

$

'

&

'

%

ηt �

�

p1 � αηqu�

x� ǫηxx

ut � αu ux � ηx � bT ruxts � a uxxt,

pη, uqp0, xq � pφpxq, ψpxqq,

(4.28)

4.3 Lei de conservação

Antes de demonstrar existência e unicidade de solução local, é apresentadauma lei de conservação que deve auxiliar na demonstração de solução global parao sistema, em trabalhos futuros. Além disso, por si mesma a lei de conservaçãojá é uma propriedade relevante do sistema. Primeiramente é demonstrada umaestimativa para o sistema regularizado (4.28), donde se segue a lei de conservaçãopara o sistema original (4.27).

99

Teorema 4.3.1. Sejam s ¡ 12 , ǫ ¡ 0 e pη, uq solução do problema de Cauchy

$

'

'

'

&

'

'

'

%

pη, uq P C�

r0, Tǫ,ss,Hs�1

� Hs�1�

ηt � rp1 � αηqusx � ǫηxx,

ut � αu ux � ηx � bT ruxts � a uxxt,

pηp0q, up0qq � pφ, ψq P Hs�1� Hs�1.

Então,

Lptq ¤ Lp0q,

onde

Lptq �

»

8

�8

v2

2dx �

b

2

»

8

�8

vxT rvsdx�a

2

»

8

�8

v2xdx �

»

8

�8

gpωqdx,

gpωq � ω logω� ω� 1,

ω � 1 � αη, v � αu.

Demonstração: Definindo as novas variáveis

ω � 1 � αη ¥ 0 e v � αu,

o sistema (4.35) fica$

'

'

'

&

'

'

'

%

ωt � pωvqx � ǫωxx,

vt �

�

v2

2� ω

x

� bT rvxts � a vxxt ,

pωp0q, vp0qq � p1 � αφ, αψq ,

(4.29)

e o sistema hiperbólico associado é dado por$

'

&

'

%

ωt � pωvqx � 0,

vt �

�

v2

2� ω

x

� 0,

que pode ser escrito comoVt � f pVqx � 0, (4.30)

100

onde V �

�

ω

v

e f : R2Ñ R

2 é dada por

f pVq �

�

f1

f2

pVq �

�

ωvv2

2 � ω

.

Para obter as estimativas que são independentes de ǫ constroi-se uma entropiapositiva convexa (no sentido de Lax) para o sistema hiperbólico associado. Umsistema no formato de (4.30) dito é hiperbólico se ∇ f tem dois autovalores reais eum conjunto completo de autovetores. Diz-se que um par de funções ρ, q : R2

Ñ

R é um par de fluxo entropia-entropia (conforme [41]) se todas as soluções suavesde (4.30) satisfazem a lei de conservação adicional

ρpVqt � qpVqx � 0.

Lema 4.3.2. Seja V solução suave de (4.30). Então

ρpVqt � qpVqx � 0 � ∇ρ � J f � Vx � ∇q � Vx,

onde ∇ representa o gradiente, J a matriz jacobiana e � o produto de vetores.

Demonstração: Segue da lei de conservação adicional que

ρpVqt � qpVqx � 0

ρωωt � ρvvt � qωωx � qvvx � 0

∇ρ � Vt � ∇q � Vx � 0.

∇q � Vx � �∇ρ � Vt.

Por outro lado, para V solução suave de (4.30), tem-se

Vt � f pVqx � 0

Vt � J f � Vx � 0,

e ao fazer o produto interno por ∇ρ em ambos os lados obtem-se

∇ρ � Vt � ∇ρ � J f � Vx � 0

∇ρ � J f � Vx � �∇ρ � Vt,

Portanto a lei de conservação adicional é satisfeita se, e somente se,

∇ρ � J f � Vx � ∇q � Vx.

101

Sejam ρpVq e qpVq um par de funções para o qual a condição de compatibili-dade

∇ρ � J f � ∇q,

é satisfeita. Então, � V solução de (4.30),

∇q � Vx � ∇ρ � J f � Vx

qvvx � qωωx � ρω∇ f1 � Vx � ρv∇ f2 � Vx

qvvx � qωωx � ρω pvωx � ωvxq � ρv pωx � vvxq

qvvx � qωωx � ρω pvωqx � ρv

�

ω�v2

2

x

,

e substituindo os valores de (4.29),

qvvx � qωωx � ρω pǫωxx � ωtq � ρv pbT rvxts � a vxxt � vtq

qvvx � qωωx � ǫρωωxx � ρωωt � b ρvT rvxts � a ρvvxxt � ρvvt

ρωωt � ρvvt � qvvx � qωωx � ǫρωωxx � b ρvT rvxts � a ρvvxxt

∇ρ � Vt � ∇q � Vx � ǫρωωxx � b ρvT rvxts � a ρvvxxt ,

ou seja, tem-se a equação de entropia

ǫρωωxx � b ρvT rvxts � a ρvvxxt � ∇ρ � Vt � ∇q � Vx. (4.31)

Supondo

ρpVq �v2

2� gpωq, (4.32)

para alguma função g, a equação de entropia (4.31) pode ser reescrita como

∇ρ � Vt � ∇q � Vx � ǫg1pωqωxx � b vT rvxts � a vvxxt

ρpVqt � qpVqx � ǫg1pωqωxx � ǫg2pωqω2x � ǫg2pωqω2

x � b vT rvxts

�b vx T rvts � b vx T rvts � a vvxxt � a vxvxt � a vxvxt

� ǫgpωqxx � ǫg2pωqω2x � b pvT rvtsqx � b vx T rvts

�a pvvxtqx � a

�

v2x

2

t

.

Assim, se for possível obter uma entropia ρ da forma (4.32) que seja convexae positiva, uma integração na variável espacial de

ρpVqt�qpVqx � ǫgpωqxx�ǫg2

pωqω2x�b pvT rvtsqx�b vx T rvts�a pvvxtqx�a

�

v2x

2

t

,

(4.33)

102

fornece uma estimativa a priori.Escolhe-se gpωq � ω logω� ω� 1, e portanto

ρpVq �v2

2� gpωq �

v2

2� ω logω� ω� 1.

Observa-se inicialmente que, como ω ¥ 0, ρpVq ¥ 0. De fato, de

gp1q � 0 e g1pωq � logω

"

¡ 0, se ω ¡ 1,  0, se 0   ω   1,

segue-se que o valor mínimo da função g é zero, e consequentemente ρpVq ¥ 0 emseu domínio. Além disso, como a matriz hessiana da função ρ é positiva definida,tem-se que ρ é uma função convexa.

Assim, para mostrar que ρ é uma entropia positiva convexa para o sistemahiperbólico associado, basta mostrar que ρ satisfaz a condição de compatibilidade:

∇ρ � J f � Vx � ∇q � Vx, � V solução de (4.29)

Como J f � Vx � f pVqx �

�

ωxv � ωvx

vvx � ωx

, segue que

∇ρ � J f � Vx � ∇q � Vx

ρω pωxv � ωvxq � ρv pvvx � ωxq � qωωx � qvvx

logω pωxv � ωvxq � v pvvx � ωxq � qωωx � qvvx

pv logω� vqωx �

�

ω logω� v2�

vx � qωωx � qvvx.

A partir disso, a função q é escolhida de modo que satisfaça

qv � ω logω� v2ñ q � vω logω�

v3

3� hpωq,

qω � v logω� v � v logω� v � h1pωq.

Escolhendo h � 0, tem-se as funções candidatas a formar o par de fluxoentropia-entropia, a saber,

ρpVq �v2

2� ω logω� ω� 1 e qpVq � vω logω�

v3

3.

103

Verificando a condição de compatibilidade,

∇ρ � J f � Vx � ∇q � Vx�

logωv

�

�

ωxv � ωvx

vvx � ωx

�

�

v logω� v

ω logω� v2

�

�

ωx

vx

logω pωxv � ωvxq � v pvvx � ωxq �pv logω� vqωx �

�

ω logω� v2�

vx

ωxv logω� ωvx logω� v2vx � vωx � ωxv logω� vωx � ωvx logω� v2vx,

segue que pρ, qq é um par de fluxo entropia-entropia, com ρ convexa e positiva.Para obter a primeira estimativa a priori, integra-se a equação (4.33) no retân-

guloR � t

px, τq|0 ¤ τ ¤ t, �N1 ¤ x ¤ N2, N1,N2 ¡ 0u ,

tem-se» »

R

ρpVqt�qpVqx dxdτ �

» »

R

ǫgpωqxx�ǫg2

pωqω2x�b pvT rvtsqx�b vx T rvts

� a pvvxtqx � a

�

v2x

2

t

dxdτ. (4.34)

Aplicando o teorema da divergência, o lado esquerdo fica

» »

R

ρpVqt � qpVqx dxdτ �

»

BR

pqpVq, ρpVqq � n ds

�

» t

0qpVqpN2, τq � qpVqp�N1, τqdτ�

» N2

�N1

ρpVqpx, tq � ρpVqpx, 0qdx.

Já para o lado direito tem-se

» »

R

ǫgpωqxx�ǫg2

pωqω2x�b pvT rvtsqx�b vx T rvts�a pvvxtqx�a

�

v2x

2

t

dxdτ

� �ǫ

» »

R

g2pωqω2x dxdτ�

» »

R

b vx T rvts � a

�

v2x

2

t

dxdτ

�

» »

R

b pvT rvtsqx � a pvvxtqx � ǫgpωqxx dxdτ

� �ǫ

» »

R

g2pωqω2x dxdτ�

» »

R

b vx T rvts � a

�

v2x

2

t

dxdτ

�

» t

0pb vT rvts � a vvxt � ǫgpωqxq

�

�

�

�

N2

x��N1

dτ.

104

Segue do lema de Sobolev que para s ¡ 12 , Hs

� C8

. Assim,

pηptq, uptqq P Hs�1� Hs�1

ñ limxÑ8

pη, uqpx, tq � 0 e limxÑ8

pηx, uxqpx, tq � 0,

donde

lim|x|Ñ8

pω, vq � lim|x|Ñ8

p1�αη, αuq � p1, 0q e lim|x|Ñ8

pωx, vxq � α lim|x|Ñ8

p�ηx, uxq � p0, 0q.

Logo,

lim|x|Ñ8

b vT rvts � a vvxt � ǫgpωqx � lim|x|Ñ8

v pbT rvts � a vxtq � ǫωx logω � 0.

Assim, fazendo Ni Ñ8, i � 1, 2, tem-se

» t

0pb vT rvts � a vvxt � ǫgpωqxq

�

�

�

�

N2

x��N1

dτ � 0 e» t

0qpVqpN2, τq�qpVqp�N1, τqdτ � 0,

donde a igualdade (4.34) pode ser escrita como

»

8

�8

ρpVqpx, tq � ρpVqpx, 0qdx �

� ǫ

» t

0

»

8

�8

g2pωqω2xdxdτ�

» t

0

»

8

�8

b vx T rvts � a

�

v2x

2

t

dxdτ.

Observação 4.3.3. Do lema 4.2.2 e da integração por partes segue que»

8

�8

uxT rutsdx � �

»

8

�8

T ruxsutdx �

»

8

�8

T rusuxtdx,

d

dt

»

8

�8

uxT rusdx �

»

8

�8

uxtT rusdx�

»

8

�8

uxT rutsdx � 2»

8

�8

uxT rutsdx.

portanto,12

d

dt

»

8

�8

uxT rusdx �

»

8

�8

uxT rutsdx.

105

Assim,

»

8

�8

ρpVqpx, tq � ρpVqpx, 0qdx

� �ǫ

» t

0

»

8

�8

g2pωqω2xdxdτ�

» t

0

d

dt

»

8

�8

b

2vx T rvs � a

v2x

2dxdτ

� �ǫ

» t

0

»

8

�8

g2pωqω2xdxdτ�

�

»

8

�8

b

2vx T rvs � a

v2x

2dx

�

�

�

�

t

τ�0

.

Substituindo a expressão de ρ e definindo

Lptq �

»

8

�8

v2

2dx �

b

2

»

8

�8

vxT rvsdx�a

2

»

8

�8

v2xdx �

»

8

�8

gpωqdx,

segue que

Lptq � Lp0q � ǫ

» t

0

»

8

�8

g2pωqω2xdxdτ.

Como ǫ ¡ 0 e g2pωq � 1ω

,

Lptq ¤ Lp0q.

Teorema 4.3.4. Sejam s ¡ 32 e pη, uq solução do problema de Cauchy

$

'

'

'

&

'

'

'

%

pη, uq P C�

r0, Tss,Hs� Hs�1

�

ηt � rp1 � αηqusx � 0,

ut � αu ux � ηx � bT ruxts � a uxxt,

pηp0q, up0qq � pφ, ψq P Hs� Hs�1,

Então,

Lptq � Lp0q,

onde

Lptq �

»

8

�8

v2

2dx �

b

2

»

8

�8

vxT rvsdx�a

2

»

8

�8

v2xdx �

»

8

�8

gpωqdx,

gpωq � ω logω� ω� 1,

ω � 1 � αη, v � αu.

Demonstração: Uma demonstração análoga a do teorema anterior, com ǫ � 0,

106

garante queLptq � Lp0q.

4.3.1 Existência e unicidade de solução local

Como já foi mencionado, para garantir a existência e unicidade de soluçãolocal para o problema de Cauchy não linear (4.27) será utilizado um método co-nhecido como regularização parabólica, que neste problema consiste em inserirum termo dissipativo da forma ǫηxx na primeira equação, com coeficiente ǫ ¡ 0,obter a existência de solução para o sistema regularizado, e em seguida garantirque, ao fazer ǫ Ñ 0, o limite é solução do sistema original. Tal roteiro apareceno artigo [24] de Iório para a equação de Benjamin-Ono, e é adaptado aqui para osistema de tipo Boussinesq em questão.

Para começar, será demonstrada a existência de solução local para o problemade Cauchy regularizado, conforme enunciado no teorema a seguir:

Teorema 4.3.5. Sejam s ¡

12 , ǫ ¡ 0 e pφ, ψq P Hs�1

� Hs�1. Então existe

Tǫ,s � T ps, }φ}s�1, }ψ}s�1, ǫq ¡ 0 tal que, para cada ǫ, o problema de Cauchy

não linear$

'

'

'

&

'

'

'

%

pη, uq P C�

r0, Tǫ,ss,Hs�1

� Hs�1�

ηt � rp1 � αηqusx � ǫηxx,

ut � αu ux � ηx � bT ruxts � a uxxt,

pηp0q, up0qq � pφ, ψq P Hs�1� Hs�1,

(4.35)

possui uma solução local pηǫ , uǫq, no sentido forte. Além disso,

� t P r0, Tǫ,ss, pηtptq, utptqq P Hs�1� Hs�1.

Demonstração: Primeiramente, será deduzida a versão integral deste sistema,começando pela primeira equação:

ηt � ǫηxx � pu � αηuqx .

Aplicando a transformada de Fourier, tem-se

pηtpt; kq � ǫpikq2pηpt; kq � ik {

pu � αηuqpt; kq,

que, para cada k fixo, será interpretada como uma EDO não-homogênea. A solu-ção da equação homogênea

107

Ntpt; kq � ǫk2Npt; kq � 0

é Npt; kq � cke�ǫk2t. Supondo pηpt; kq � ckptqe

�ǫk2t, obtem-se

ckptq1

� ik {

pu � αηuqpt; kqeǫk2t

ckptq � ckp0q �

» t

0ik {

pu � αηuqpτ; kqeǫk2τdτ

ckptq � pηp0, kq �

» t

0ik {

pu � αηuqpτ; kqeǫk2τdτ

ckptq �

pφpkq �

» t

0ik {

pu � αηuqpτ; kqeǫk2τdτ.

Assim,

pηpt; kq �

�

pφpkq �

» t

0ik {

pu � αηuqpτ; kqeǫk2τdτ

�

e�ǫk2t

e, formalmente,

ηpt, xq �1?

2π

»

8

�8

�

pφpkq �

» t

0ik {

pu � αηuqpτ; kqeǫk2τdτ

�

eikx�ǫk2 tdk �

�

»

8

�8

1?

2πeikx�ǫk2 t

pφpkqdk �

»

8

�8

» t

0

1?

2πikeǫk

2pτ�tqeikx

{

pu � αηuqpτ; kqdτ dk.

Desenvolvendo a transformada de Fourier a partir da definição em (2.1) e tro-cando formalmente a ordem das integrais, a primeira parcela fica

»

8

�8

φpzq

�

12π

»

8

�8

eikpx�zqe�ǫk2tdk

dz �

»

8

�8

φpzq1?

2πF �1

�

e�ǫk2t�

px � zqdz.

Segundo [21] (p. 165, lema 1.1 (ii)),

F �1�

e�ǫk2t�

px � zq �

12ǫt

e�px�zq2

4ǫt , (4.36)

donde a primeira parcela pode ser escrita como»

8

�8

Kǫpt, x � zqφpzqdz � pKǫptq � φq pxq,

108

onde o núcleo do calor Kǫ é dado por

Kǫpt, xq �1

?

4πǫte�

x24ǫt , para t ¡ 0.

Desenvolvendo da mesma forma a segunda parcela, tem-se

»

8

�8

» t

0

1?

2πikeǫk

2pτ�tqeikx

{

pu � αηuqpτ; kqdτ dk �

�

» t

0

1?

2π

»

8

�8

ikeǫk2pτ�tqeikx

�

1?

2π

»

8

�8

pu � αηuq pτ, zqe�ikzdz

dk dτ

�

» t

0

1?

2π

»

8

�8

pu � αηuq pτ, zq

�

1?

2π

»

8

�8

ikeikpx�zqeǫk2pτ�tqdk

dz dτ

�

» t

0

1?

2π

»

8

�8

pu � αηuq pτ, zqd

dx

�

1?

2π

»

8

�8

eikpx�zqeǫk2pτ�tqdk

dz dτ

�

» t

0

1?

2π

»

8

�8

pu � αηuq pτ, zqd

dx

�

F �1�

eǫk2pτ�tq

�

px � zq

dz dτ

�

» t

0

1?

2π

»

8

�8

pu � αηuq pτ, zqd

dx

�

d

12ǫpt � τq

e�

px�zq2

4ǫpt�τq

�

dz dτ

�

» t

0

»

8

�8

pu � αηuq pτ, zqd

dxKǫpt � τ, x � zqdz dτ,

de modo que,

ηpt, xq � pKǫptq � φq pxq �

» t

0

»

8

�8

pu � αηuq pτ, zqd

dxKǫpt � τ, x � zqdz dτ,

e a primeira equação do sistema pode ser escrita na forma integral como

ηpt, xq � pKǫptq � φq pxq �

» t

0

�

d

dxKǫpt � τq � pu � αηuq pτq

pxq dτ. (4.37)

Passando à dedução da versão integral da segunda equação

ut � αu ux � ηx � bT ruxts � auxxt ,

109

isolando a derivada temporal e aplicando a transformada de Fourier obtem-se

putpt; kq �ik

rApkq

{

�

η� αu2

2

pt; kq � �rmpkq

{

�

η� αu2

2

pt; kq,

onde rmpkq ��ik

rApkqe rApkq � 1 �

a

βρ2

ρ1k cothpkhq � ak2.

Integrando na variável t, definindo o operador rG por

F

�

rG f

pkq � rmpkq pf pkq

e trocando a ordem da integral em t com a da transformada de Fourier, pode-seescrever

» t

0puτpτ; kq dτ �

» t

0�rmpkq

{

�

η� αu2

2

pτ, �qpkq dτ

pupt; kq � pup0; kq �

» t

0�F

�

rG

�

η� αu2

2

pτ, �q

�

pkq dτ

pupt; kq � pψpkq � �F

�

» t

0

rG

�

η� αu2

2

pτ, �q dτ

�

pkq.

Finalmente, aplicando a transformada de Fourier inversa, a expressão fica

upt, xq � ψpxq �

» t

0

rG

�

η� αu2

2

pτ, xq dτ, (4.38)

e a condição inicial up0, xq � ψpxq é satisfeita.Portanto, o sistema (4.35) pode ser escrito na forma integral como

$

'

'

&

'

'

%

ηpt, xq � pKǫptq � φq pxq �

» t

0

�

d

dxKǫpt � τq � pu � αηuq pτq

pxq dτ

upt, xq � ψpxq �

» t

0

�

rG

�

η� αu2

2

pτq

�

pxqdτ,

(4.39)

onde,

Kǫpt, xq �1

?

4πǫte�

x24ǫt e F

�

rG f

pkq � rmpkq pf pkq.

Observação 4.3.6. Segue-se da igualdade (4.36) que a transformada de Fourier do

110

núcleo do calor Kǫ é dada por

F pKǫpt, xqq pkq �1

?

4πǫtF

�

e�x2

4ǫt

pkq �1?

2πe�ǫk

2t.

^

Para mostrar que o sistema integral (4.39) tem uma solução

pηǫ , uǫq P C�

r0, Tǫ,ss,Hs�1

� Hs�1�

,

será usado o teorema do Ponto Fixo de Banach (teorema 2.4.5).

Observação 4.3.7. O índice ǫ da solução será suprimido nesta demonstração, paranão carregar a notação. ^

Para a aplicação do teorema do Ponto Fixo de Banach, considerar-se-á o es-paço métrico completo

Λ0 �

pη, uq P C�

r0, Tǫ,ss,Hs�1

� Hs�1�

|d ppη, uq, pφ, ψqq ¤ R(

,

com a métrica

d ppη, uq, pω, vqq � suptPr0,Tǫ,ss

}pηptq, uptqq � pωptq, vptqq}s�1,s�1

(

,

onde}pηptq, uptqq}s�1,s�1 �

b

}ηptq}2s�1 � }uptq}2

s�1 ,

e o operador

Γpη, uq �

�

pKǫptq � φqpxq �

» t

0

�

d

dxKǫpt � τq � pu � αηuqpτq

pxqdτ ,

ψpxq �

» t

0

rG

��

η� αu2

2

pτq

pxqdτ

.

Além disso, as duas condições a seguir precisam ser verificadas.

Condição 1: Existe t1 ¡ 0 tal que para 0 ¤ t   t1 o operador Γ : Λ0 Ñ Λ0

está bem definido, ou seja, ΓpΛ0q � Λ0.

111

De fato, optando pela notação vetorial tem-se

�

�

�

�

�

ηptq

uptq

�

�

φ

ψ

�

�

�

�

s�1,s�1

¤

�

�

�

�

�

pKǫptq � φq � φ

0

�

�

�

�

s�1,s�1

�

�

» t

0

�

�

�

�

�

�

ddx

Kǫpt � τq � pu � αηuqpτq

rG�

η� αu2

2

pτq

�

�

�

�

�

�

s�1,s�1

dτ

Como o núcleo do calor Kǫpt, xq � 1?

4πǫte�

x24ǫt é uma identidade aproximada,

segue-se que

}Kǫptq � φ}s�1tÑ0ÝÑ

}φ}s�1 , (4.40)

o que garante a existência de t10 ¡ 0 tal que

}ppKǫptq � φq � φqpxq}

2s�1 ¤

R2

4, � t ¤ t10,

ou seja,�

�

�

�

�

pKǫptq � φq � φ

0

�

�

�

�

s�1,s�1

¤

R

2, � t ¤ t10. (4.41)

Para a limitação do integrando, escreve-se

�

�

�

�

�

�

ddx

Kǫpt � τq � pu � αηuqpτq

rG�

η� α u2

2

pτq

�

�

�

�

�

�

s�1,s�1

�

�

�

�

�

�

d

dxKǫpt � τq � pu � αηuqpτq

�

�

�

�

2

s�1�

�

�

�

�

�

rG

�

η� αu2

2

pτq

�

�

�

�

2

s�1

�

12

¤

�

�

�

�

d

dxKǫpt � τq � pu � αηuqpτq

�

�

�

�

s�1�

�

�

�

�

rG

�

η� αu2

2

pτq

�

�

�

�

s�1.

Para a primeira parcela, usando a desigualdade de Young em Hs�1 (teo. 2.4.2),tem-se

�

�

�

�

d

dxKǫpt � τq � pu � αηuqpτq

�

�

�

�

s�1

¤

�

�

�

�

d

dxKǫpt � τq

�

�

�

�

L1

}pu � αηuqpτq}s�1 .

Como para 0 ¤ τ   t vale�

�

�

�

d

dxKǫpt � τq

�

�

�

�

L1

�

1a

πǫpt � τq,

112

segue-se que�

�

�

�

d

dxKǫpt � τq � pu � αηuqpτq

�

�

�

�

s�1

¤

1a

πǫpt � τq}pu � αηuqpτq}s�1 .

Por outro lado, do lema 3.2.4 tem-se�

�

�

�

rG

�

η� αu2

2

pτq

�

�

�

�

s�1

¤

ρ1?

β ρ2

�

�

�

�

�

η� αu2

2

pτq

�

�

�

�

s�1

,

de modo que

�

�

�

�

�

�

ddx

Kǫpt � τq � pu � αηuqpτq

rG�

η� αu2

2

pτq

�

�

�

�

�

�

s�1,s�1

¤

max

"

ρ1

?

t?

β ρ2,

1?

πǫ

*

1?

t � τ

�

�

�

�

�

�

pu � αηuqpτq�

η� αu2

2

pτq

�

�

�

�

�

�

s�1,s�1

. (4.42)

Como s � 1 ¡ 32 , Hs�1 é álgebra de Banach, e portanto

�

�

�

�

�

�

pu � αηuqpτq�

η� αu2

2

pτq

�

�

�

�

�

�

2

s�1,s�1

�}pu� αηuqpτq}

2s�1 �

�

�

�

�

�

η� αu2

2

pτq

�

�

�

�

2

s�1

¤}upτq}

2s�1 � α2

}ηupτq}2s�1 � }ηpτq}

2s�1 �

α2

4

�

�u2pτq

�

�

2

s�1

¤}upτq}

2s�1 � α2C2

s }ηpτq}2s�1 }upτq}

2s�1 � }ηpτq}

2s�1 � α2 C2

s

4}upτq}4

s�1

¤

�

}upτq}2s�1 � }ηpτq}

2s�1

�

1 � α2C2s }upτq}

2s�1

¤

�

�

�

�

�

ηpτq

upτq

�

�

�

�

2

s�1,s�1

�

1 � α2C2s

�

�

�

�

�

ηpτq

upτq

�

�

�

�

2

s�1,s�1

�

.

Além disso, para pη, uq P Λ0, a desigualdade triangular garante que�

�

�

�

�

ηpτq

upτq

�

�

�

�

s�1,s�1

¤ R �

�

�

�

�

�

φ

ψ

�

�

�

�

s�1,s�1

, (4.43)

e voltando à integral tem-se

» t

0

�

�

�

�

�

�

ddx

Kǫpt � τq � pu � αηuqpτq

rG�

η� αu2

2

pτq

�

�

�

�

�

�

s�1,s�1

dτ

113

¤

» t

0max

"

ρ1

?

t?

β ρ2,

1?

πǫ

*

1?

t � τC dτ

� C max

"

ρ1

?

t?

β ρ2,

1?

πǫ

*

» t

0

1?

t � τdτ

� C max

"

ρ1

?

t?

β ρ2,

1?

πǫ

*

�

�2?

t � τ�

�

�

�

�

t

0

� 2C max

"

ρ1

?

t?

β ρ2,

1?

πǫ

*

?

t,

onde C denota a expressão independente de τ

C �

�

R �

�

�

�

�

�

φ

ψ

�

�

�

�

s�1,s�1

�

�

�1 � α2C2s

�

R �

�

�

�

�

�

φ

ψ

�

�

�

�

s�1,s�1

�2�

12

.

Finalmente, escolhendo

t11 �R

4Cmin

" ?

β ρ2

ρ1,

R

4Cπǫ

*

, (4.44)

e definindo t1 � mintt10, t11u, obtém-se�

�

�

�

�

ηptq

uptq

�

�

φ

ψ

�

�

�

�

s�1,s�1

¤

R

2�

R

2� R, � t ¤ t1,

o que garante a validade da Condição 1.

Condição 2: Existe t2 ¡ 0 tal que para t   t2 o operador Γ : Λ0 Ñ Λ0 é umacontração, ou seja, para pη, uq, pv,wq P Λ0 � Hs�1

� Hs�1,

suptPr0,t2s

�

�

�

�

Γ

�

ηptq

uptq

� Γ

�

vptq

wptq

�

�

�

�

s�1,s�1

  suptPr0,t2s

�

�

�

�

�

ηptq

uptq

�

�

vptq

wptq

�

�

�

�

s�1,s�1

.

De fato, o mesmo argumento utilizado para obter (4.42) garante que�

�

�

�

Γ

�

ηptq

uptq

� Γ

�

vptq

wptq

�

�

�

�

s�1,s�1

114

¤

» t

0

�

�

�

�

�

�

�

�

ddx

Kǫpt � τq � ppu � wq � αpηu � vwqqpτq

rG

�

pη� vq � αp

u2�w2

q

2

pτq

�

�

�

�

�

�

�

s�1,s�1

dτ.

¤

» t

0max

"

ρ1?

t?

β ρ2,

1?

πǫ

*

1?

t � τ

�

�

�

�

�

�

pu � wqpτq � αpηu � vwqpτq

pη� vqpτq � αp

u2�w2

q

2 pτq

�

�

�

�

�

�

s�1,s�1

dτ.

Além disso,�

�

�

�

�

�

pηu � vwqp

u2�w2

q

2

�

�

�

�

�

�

2

s�1,s�1

�}ηu � vw}

2s�1 �

�

�

�

�

�

�

u2� w2

�

2

�

�

�

�

�

2

s�1

�}pη� vqu � vpu � wq}

2s�1 �

14}pu � wq pu � wq}

2s�1

¤}η� v}

2s�1 }u}

2s�1 � }v}

2s�1 }u � w}

2s�1 �

14}u � w}

2s�1 }u � w}

2s�1

¤

�

�

�

�

�

�

η

u

�

�

�

�

2

s�1,s�1

�

�

�

�

�

�

v

w

�

�

�

�

2

s�1,s�1

�

�

�

�

}η� v}2s�1 � }u � w}

2s�1 � }u � w}

2s�1

¤ 2

�

�

�

�

�

�

η

u

�

�

�

�

2

s�1,s�1

�

�

�

�

�

�

v

w

�

�

�

�

2

s�1,s�1

�

�

�

�

�

�

η� v

u � w

�

�

�

�

2

s�1,s�1

¤ 4

�

R �

�

�

�

�

�

φ

ψ

�

�

�

�

s�1,s�1

�2�

�

�

�

�

η� v

u � w

�

�

�

�

2

s�1,s�1

,

onde a última desigualdade segue-se de 4.43.Assim,�

�

�

�

�

�

pu � wqpτq � αpηu � vwqpτq

pη� vqpτq � αp

u2�w2

q

2 pτq

�

�

�

�

�

�

s�1,s�1

¤ C1

�

�

�

�

�

pη� vqpτq

pu � wqpτq

�

�

�

�

s�1,s�1

,

onde

C1 �

�

1 � 2α

�

R �

�

�

�

�

�

φ

ψ

�

�

�

�

s�1,s�1

��

é uma constante que não depende de τ. Portanto�

�

�

�

Γ

�

ηptq

uptq

� Γ

�

vptq

wptq

�

�

�

�

s�1,s�1

¤ C1 max

"

ρ1

?

t?

β ρ2,

1?

πǫ

*

� . . .

115

. . . �

» t

0

1?

t � τ

�

�

�

�

�

pη� vqpτq

pu � wqpτq

�

�

�

�

s�1,s�1

dτ

¤ C1 max

"

ρ1

?

t?

β ρ2,

1?

πǫ

*

suptPr0,t2s

�

�

�

�

�

pη� vqpτq

pu � wqpτq

�

�

�

�

s�1,s�1

» t

0

1?

t � τdτ

� 2C1 max

"

ρ1

?

t?

β ρ2,

1?

πǫ

*

?

t suptPr0,t2s

�

�

�

�

�

pη� vqpτq

pu � wqpτq

�

�

�

�

s�1,s�1

,

e escolhendo

t2 �1

4C1min

"?

β ρ2

ρ1,

14C1

πǫ

*

, (4.45)

obtem-se que

suptPr0,t2s

�

�

�

�

Γ

�

ηptq

uptq

� Γ

�

vptq

wptq

�

�

�

�

s�1,s�1

  suptPr0,t2s

�

�

�

�

�

ηptq

uptq

�

�

vptq

wptq

�

�

�

�

s�1,s�1

,

o que garante a validade da Condição 2.

Dessa forma, para Tǫ,s � mintt1, t2u, o operador Γ : Λ0 Ñ Λ0 está bemdefinido e é uma contração. Daí, pelo teorema do Ponto Fixo de Banach (teorema2.4.5), o operador Γ possui um único ponto fixo pηǫ , uǫq P Λ0, ou seja, o sistemaintegral possui uma solução, denominada solução forte (conforme [43], p. 125),

pηǫ , uǫq P C�

r0, Tǫ,ss,Hs�1

� Hs�1�

,

que é única no espaço Λ0.

Observação 4.3.8. Alguns dos próximos resultados só se verificam se as solu-ções obtidas no teorema anterior forem funções a valores reais. De fato, comoo dado inicial é um par de funções a valores reais, as soluções obtidas têm essapropriedade, uma vez que o multiplicador do sistema é imaginário puro e ímpar, eportanto o operador que gera o sistema é real. A partir disso, o teorema do PontoFixo de Banach garante soluções a valores reais para todo tempo t P r0, Tǫ,ss. ^

Observação 4.3.9. Como Hs�1ãÑ Hs, as soluções pηǫ , uǫq P C p

r0, Tǫ,ss,Hs�1

� Hs�1q

obtidas no último teorema satisfazem, em particular,

pηǫ , uǫq P C�

r0, Tǫ,ss,Hs� Hs�1

�

.

Este será o espaço considerado nos dois teoremas a seguir. ^

116

Observação 4.3.10. No teorema 4.3.5 foi garantida a existência de solução forte.O próximo teorema considera a existência de solução do problema diferencial.Seguindo o roteiro da demonstração do teorema 3.2 de [24] pode-se mostrar quea solução forte é solução do problema diferencial, e a partir daí prosseguir com osresultados.

O próximo resultado garante que as soluções obtidas no teorema 4.3.5, paracada ǫ ¡ 0, podem ser definidas em um único intervalo r0, Tss, independente deǫ.

Teorema 4.3.11. Nas condições do teorema anterior seja, para cada ǫ ¡ 0,

pηǫ , uǫq uma solução do problema de Cauchy (4.35). Então pηǫ , uǫq pode ser de-

finida em um intervalo r0, Tss, Ts � T ps, }φ}s�1, }ψ}s�1q ¡ 0 independente de ǫ.

Além disso existem C3phq ¡ 0 e ρ P C pr0, Tss,Rq,

ρptq �ρp0q

�

1 �2αCs ta

C3phqρp0q

12

�2,

tais que

}ηǫptq}2s � }uǫptq}

2s � C3phq}uǫptq}

2s�1 ¤ ρptq e

ρp0q � }φ}2s � }ψ}2

s � C3phq}ψ}2s�1, � t P r0, Tss.

Demonstração: Para simplificar a notação, o índice ǫ será omitido. Fazendo oproduto interno em Hs da primeira equação do sistema (4.35) com η, da segundacom u e somando tem-se

xη, ηtys � xu, utys � xη, uxys � xu, ηxys � α rxη, ηxuys � xη, ηuxys � xu, uuxyss

� ǫ xη, ηxxys � b xu,T ruxtsys � a xu, uxxtys .

Observação 4.3.12. Para f e g funções a valores reais, da propriedade de conju-gação apresentada na tabela 2.1, vale

pf p�lq � pf plq e pgp�lq � pgplq,

117

e portanto, � s P R,

x f , gxys �

»

8

�8

p1 � k2q

spf pkq pgxpkq dk

�

»

8

�8

p1 � k2q

spf pkq p�ikqpgpkq dk

k��l�

»

8

�8

p1 � l2q

spf p�lq ilpgp�lq dl

� �

»

8

�8

p1 � l2q

s il pf plqpgplq dl

� �

»

8

�8

p1 � l2q

spfxplqpgplq dl

� �xg, fxys .

Portanto, sempre que os produtos internos fizerem sentido,

x f , gxys � xg, fxys � 0. (4.46)

^

Considerando que η e u são funções a valores reais, a observação acima e olema 4.2.2 garantem que

12

d

dt

�

}η}2s � }u}2

s

�

� �α rxη, ηxuys � xη, ηuxys � xu, uuxyss

� ǫ xηx, ηxys � xbT ruxs � auxx, utys . (4.47)

Observação 4.3.13. Utilizando a mesma técnica de demonstração do lema 4.1.2obtem-se C3phq,C4phq ¡ 0 tais que

C3phqp1 � k2q

s�1¤ p1 � k2

q

spb k cothphkq � a k2

q ¤ C4phqp1� k2q

s�1,

donde, para uptq P Hs�1,

C3phq

»

8

�8

p1�k2q

s�1pupkqputpkqdk ¤ �

»

8

�8

p1�k2q

spb i cothphkq � a ikq ikpupkqputpkqdk

¤ C4phq

»

8

�8

p1 � k2q

s�1pupkqputpkqdk,

C3phq xu, utys�1 ¤ �xbT ruxs � auxx, utys ¤ C4phq xu, utys� 1

2,

118

ou seja,

�

C4phq

2d

dt}u}

2s�1 ¤ xbT ruxs � auxx, utys ¤ �

C3phq

2d

dt}u}

2s�1 .

^

Assim, pela observação acima, a equação (4.47) torna-se

12

d

dt

�

}η}2s � }u}2

s � C3phq }u}2s�1

¤ �α pxu ηx, ηys � xη ux, ηys � xu ux, uysq � ǫ}ηx}2s .

Do lema 2.1.18 tem-se

|xu ηx, ηys| ¤ Cs }u}s }η}2s e |xu ux, uys| ¤ Cs }u}

3s ,

e a desigualdade de Cauchy-Schwarz junto com a proposição 2.1.14 e o teorema2.1.15 garantem que

|xη ux, ηys| ¤ Cs }u}s�1 }η}2s ,

assim, observando que �ǫ}ηx}2s ¤ 0, segue-se que

12

d

dt

�

}η}2s � }u}2

s � C3phq }u}2s�1

¤ αCs

�

}u}s }η}2s � }u}s�1 }η}

2s � }u}

3s

¤ αCs }u}s�1

�

2 }η}2s � }u}

2s

.

Denotando por

F � }η}2s � }u}2

s � C3phq }u}2s�1 ¡ 0,

tem-se que F ¡ 0 se pη, uq não é a solução trivial, e é possível escrever

12

d

dtFptq ¤ 2αCs}uptq}s�1

�

}ηptq}2s � }uptq}2

s � C3phq }uptq}2s�1

.

Como }u}s�1 ¤

�

F

C3phq

12

, segue-se que

d

dtFptq ¤

4αCsa

C3phqFptq

32 ,

que é uma inequação diferencial ordinária.

119

Denotando por

d �4αCsa

C3phq

a constante e por ρptq a função que satisfaz a EDO obtem-se, para pη, uq � p0, 0q,que

F 1

ptq

Fptq32

¤ d �ρ1ptq

ρptq32

,

comρp0q � Fp0q � }φ}2

s � }ψ}2s � C3phq }ψ}

2s�1.

Integrando de 0 a t tem-se

�2Fptq�12� 2Fp0q�

12¤ �2ρptq�

12� 2ρp0q�

12 ,

ou seja,Fptq ¤ ρptq. (4.48)

Por outro lado, resolvendo a EDO, obtem-se a expressão de ρptq:

ρ1ptq

ρptq32

� d, ρp0q � Fp0q,

�2ρptq�12� 2ρp0q�

12� d � t

ρptq�12� ρp0q�

12�

d

2t

ρptq �

1�

Fp0q�12�

d2 t2

ρptq �

Fp0q�

1 � d2 tFp0q

12

2,

onde, lembrando d �4αCsa

C3phq.

A função ρptq dada pela expressão acima é contínua e está definida no intervalo

r0, Tss, com Ts  2

dFp0q12

�

2

dρp0q12

.

Portanto, segue-se de (4.48) que Fptq é limitada em r0, Tss por ρptq:

}ηǫptq}2s � }uǫptq}

2s � C3phq }u}

2s�1 ¤ ρptq.

120

Consequentemente tem-se a limitação das quantidades

}ηǫptq}2s e }uǫptq}

2s�1,

garantindo que pηǫptq, uǫptqq P Hs� Hs�1, � t P r0, Tss, � ǫ ¡ 0.

Com o intervalo de definição da solução fixado pelo resultado anterior, final-mente segue-se o teorema que garante a existência e unicidade de solução localpara o problema de Cauchy não linear sem regularização:

Teorema 4.3.14. Sejam s ¡ 32 e pφ, ψq P Hs�1

� Hs�1 funções a valores reais.

Então existe Ts � T ps, }φ}s�1, }ψ}s�1q ¡ 0 tal que o problema de Cauchy não

linear$

'

'

'

&

'

'

'

%

pη, uq P C�

r0, Tss,Hs� Hs�1

�

ηt � rp1 � αηqusx � 0,

ut � αu ux � ηx � bT ruxts � a uxxt,

pηp0q, up0qq � pφ, ψq P Hs�1� Hs�1,

(4.49)

possui uma única solução local. Além disso,

� t P r0, Tss, pηtptq, utptqq P Hs�2� Hs�1.

Demonstração: A demonstração está dividida em 3 passos:

1o) Obter pη, uq como um limite na topologia de Hs�1� Hs.

2o) Demonstrar unicidade.3o) Finalizar a demonstração da existência.

1o) Sejam pηǫ1 , uǫ1q e pηǫ2 , uǫ2q as soluções dadas pelo teorema 4.3.5 nos casosǫ � ǫ1 e ǫ � ǫ2, respectivamente. Subtraindo as respectivas equações dos sistemassatisfeitos por essas soluções, obtem-se

$

'

&

'

%

d

dtpηǫ1 � ηǫ2q � puǫ1 � uǫ2qx � α pηǫ1uǫ1 � ηǫ2uǫ2qx � ǫ1ηǫ1 xx � ǫ2ηǫ2 xx,

d

dtpuǫ1 � uǫ2q � pηǫ1 � ηǫ2qx � α puǫ1uǫ1x � uǫ2uǫ2xq � bT rpuǫ1 � uǫ2qxts � apuǫ1 � uǫ2qxxt .

Definindov � ηǫ1 � ηǫ2 e w � uǫ1 � uǫ2

é possível escrever

ǫ1ηǫ1xx � ǫ2ηǫ2xx � ǫ1vxx � pǫ1 � ǫ2q ηǫ2 xx

121

e os termos não lineares como

ηǫ1uǫ1 � ηǫ2uǫ2 � ηǫ1w � vuǫ2 ,

uǫ1uǫ1x � uǫ2uǫ2x � uǫ1wx � wuǫ2x,

donde as equações ficam

$

'

&

'

%

d

dtv � wx � α pηǫ1w � vuǫ2qx � ǫ1vxx � pǫ1 � ǫ2q ηǫ2xx,

d

dtw � vx � α puǫ1wx � wuǫ2xq � bT rwxts � a wxxt .

Fazendo o produto interno em Hs�1 da 1a equação por v e da 2a equação porw obtem-se

B

v,d

dtv

F

s�1

�xv,wxys�1�α xv, pηǫ1w � vuǫ2qxys�1�ǫ1 xv, vxxys�1�pǫ1 � ǫ2q xv, ηǫ2xxys�1

eB

w,d

dtw

F

s�1

�xw, vxys�1�α xw, puǫ1wx � wuǫ2xqys�1�xw, bT rwxts � awxxtys�1 .

A partir do lema 4.2.2 e das observação 4.3.12 e 4.3.13 segue-se que

xw, bT rwxts � awxxtys�1 � xbT rwxs � awxx,wtys�1 ¤ �

C3phq

2d

dt}w}

2s ,

e ainda pela observação 4.3.12 tem-se que

xv, vxxys�1 � �}vx}2s�1, xv, ηǫ2xxys�1 � �

xvx, ηǫ2xys�1

exv, pηǫ1w � vuǫ2qxys�1 � �

xvx, ηǫ1w � vuǫ2ys�1

pode-se escrever$

'

'

'

'

&

'

'

'

'

%

12

d

dt}v}2

s�1 � xv,wxys�1 � α xvx, ηǫ1w � vuǫ2ys�1 � ǫ1}vx}2s�1 � pǫ2 � ǫ1q xvx, ηǫ2xys�1 ,

12

d

dt

�

}w}2s�1 �C3phq }w}

2s

¤xw, vxys�1 � α xw, uǫ1wx � wuǫ2 xys�1 .

122

Somando ambas as equações tem-se

12

d

dt

�

}v}2s�1 � }w}2

s�1 � C3phq }w}2s

¤xv,wxys�1 � xw, vxys�1 � ǫ1}vx}

2s�1

�pǫ2 � ǫ1q xvx, ηǫ2xys�1 � α

�

�xvx, ηǫ1w � vuǫ2ys�1 � xw, uǫ1wx � wuǫ2xys�1

�

,

e pela observação 4.3.12,

xv,wxys�1 � xw, vxys�1 � 0,

donde

12

d

dt

�

}v}2s�1 � }w}2

s�1 � C3phq }w}2s

¤ �ǫ1}vx}2s�1 � pǫ2 � ǫ1q xvx, ηǫ2xys�1

� α�

�xvx, ηǫ1w � vuǫ2ys�1 � xw, uǫ1wx � wuǫ2xys�1

�

. (4.50)

Para aplicar o lema de Gronwall (lema 2.4.4) à função

Xptq � }v}2s�1 � }w}2

s�1 � C3phq }w}2s ,

é necessário estabelecer uma desigualdade da forma

d

dtXptq ¤ a � b Xptq.

Como �ǫ1}vx}2s�1 ¤ 0, usando a nova notação tem-se

12

d

dtXptq ¤ pǫ2 � ǫ1q xvx, ηǫ2xys�1�α

�

�xvx, ηǫ1w � vuǫ2ys�1 � xw, uǫ1wx � wuǫ2xys�1

�

,

e da desigualdade triangular segue-se que

12

d

dtXptq ¤ |ǫ2 � ǫ1|

�

�

xvx, ηǫ2xys�1

�

�

� α�

�

�

xvx, ηǫ1w � vuǫ2ys�1

�

�

�

�

�

xw, uǫ1wx � wuǫ2xys�1

�

�

�

. (4.51)

Observação 4.3.15. Do teorema 4.3.11 vale, para i � 1, 2,

}uǫi}

2s ¤ ρptq, }ηǫi

}

2s ¤ ρptq, }v}2

s ¤ 4ρptq e }w}2s ¤ 4ρptq.

^

Assim, usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, a proposição 2.1.14 e a

123

observação acima a primeira parcela do lado direito fica

|ǫ2 � ǫ1|�

�

xvx, ηǫ2xys�1

�

�

¤|ǫ2 � ǫ1| }v}s }ηǫ2}s ¤ 2 |ǫ2 � ǫ1|ρptq. (4.52)

Para estimar as outras parcelas será necessário um pouco mais de trabalho:

�

�

xw, uǫ1wx � wuǫ2 xys�1

�

�

�

�

�

xw, uǫ1wx � uǫ1xw � uǫ1xw � wuǫ2 xys�1

�

�

�

�

�

xw, puǫ1wqx � wxwys�1

�

�

�

�

�

�xwx, uǫ1wys�1 � xw,wxwys�1

�

�

¤

�

�

xwx, uǫ1wys�1

�

�

�

�

�

xw,wxwys�1

�

� .

�

�

xwx, uǫ1wys�1

�

�

�

�

�

�

�

»

8

�8

p1 � k2q

s�1xwxpkq yuǫ1wpkq dk

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

»

8

�8

p1 � k2q

s�1 ik pwpkq

»

8

�8

xuǫ1pξqpwpk � ξq dξ dk

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

»

8

�8

ik xuǫ1pξq

»

8

�8

p1 � k2q

s�1pwpkq pwpk � ξq dk dξ

�

�

�

�

�

�

�

�

�

»

8

�8

�yuǫ1 xpξq

»

8

�8

p1 � k2q

s�12pwpkq p1 � k2

q

s�12pwpk � ξq dk dξ

�

�

�

�

¤

»

8

�8

|yuǫ1 xpξq|

»

8

�8

�

�

�

p1 � k2q

s�12pwpkq p1 � k2

q

s�12pwpk � ξq

�

�

�

dk dξ

¤

»

8

�8

|yuǫ1 xpξq|

�

»

8

�8

p1 � k2q

s�1|pwpkq|

2dk

12�

»

8

�8

p1 � k2q

s�1|pwpk � ξq|

2dk

12

dξ

�

»

8

�8

|yuǫ1 xpξq| }w}s�1} f }s�1 dξ, onde pwpk � ξq � pf pkq, com f pxq � eiξxwpxq,

� }yuǫ1x}L1

}w}2s�1, pois } f }s�1 � }w}s�1.

Portanto, a partir da desigualdade acima, usando o lema 2.1.17 e a proposição2.1.14 tem-se

�

�

xwx, uǫ1wys�1

�

�

¤ }xuǫ1x}L1

}w}2s�1 ¤ c}uǫ1x}s�1}w}

2s�1 ¤ c}uǫ1}s}w}

2s�1. (4.53)

Por outro lado, usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, o teorema 2.1.15e a proposição 2.1.14 segue-se que�

�

xw,wwxys�1

�

�

¤ }w}s�1}wwx}s�1 ¤ Cs}w}s�1}w}s�1}wx}s�1 ¤ Cs}w}2s�1}w}s.

(4.54)

124

Concluindo assim, de (4.53) e (4.54), que�

�

xw, uǫ1wx � wuǫ2xys�1

�

�

¤pc}uǫ1}s � Cs}w}sq }w}

2s�1.

Aplicando a observação 4.3.15 obtem-se

�

�

xw, uǫ1wx � wuǫ2 xys�1

�

�

¤pc � 2Csq

b

ρptq }w}2s�1,

e portanto é possível escrever

�

�

xw, uǫ1wx � wuǫ2xys�1

�

�

¤pc � 2Csq

b

ρptq�

}v}2s�1 � }w}2

s�1 � C3phq }w}2s

�pc � 2Csq

b

ρptqXptq. (4.55)

Para a parcela do meio, a desigualdade de Cauchy-Schwarz e duas contasanálogas à (4.53) garantem que

�

�

xvx, ηǫ1w � vuǫ2ys�1

�

�

¤

�

�

xvx, ηǫ1wys�1

�

�

�

�

�

xvx, uǫ2vys�1

�

�

¤ c�

}ηǫ1}s }v}s�1 }w}s�1 � }uǫ2}s }v}2s�1

.

Observação 4.3.16.

0 ¤ p}v}s�1 � }w}s�1q

2� }v}2

s�1 � 2}v}s�1}w}s�1 � }w}2s�1

ñ }v}2s�1 � }w}2

s�1 ¥ 2}v}s�1}w}s�1,

ou seja,

}v}s�1}w}s�1 ¤12

�

}v}2s�1 � }w}2

s�1

�

.

^

Assim,

�

�

xvx, ηǫ1w � vuǫ2ys�1

�

�

¤ c

�

}ηǫ1}s

12

�

}v}2s�1 � }w}2

s�1

�

�}uǫ2}s }v}

2s�1

�

c

2}ηǫ1}s

�

}v}2s�1 � }w}2

s�1

�

� c }uǫ2}s }v}2s�1 .

125

Somando alguns termos positivos tem-se

�

�

xvx, ηǫ1w � vuǫ2ys�1

�

�

¤

c

2}ηǫ1}s

�

}v}2s�1 � }w}2

s�1

�

� c }uǫ2}s }v}2s�1

�

c

2}ηǫ1}s C3phq }w}

2s � c }uǫ2}s

�

}w}2s�1 � C3phq }w}

2s

�

c

2}ηǫ1}s

�

}v}2s�1 � }w}2

s�1 � C3phq }w}2s

� c }uǫ2}s

�

}v}2s�1 � }w}2

s�1 � C3phq }w}2s

.

�

� c

2}ηǫ1}s � c }uǫ2}s

Xptq.

Assim, aplicando a observação 4.3.15 obtem-se

�

�

xvx, ηǫ1w � vuǫ2ys�1

�

�

¤

32

c

b

ρptqXptq. (4.56)

Finalmente, aplicando as estimativas (4.52), (4.55) e (4.56) à inequação (4.51)segue-se que

12

d

dtXptq ¤ 2 |ǫ2 � ǫ1|ρptq � α

�

52

c � 2Cs

b

ρptqXptq.

Sendo ρ contínua (teorema 4.3.11), é limitada no compacto r0, Tss, dondeexiste

M � supr0,Tss

tρptqu

e portanto

d

dtXptq ¤ 4M |ǫ2 � ǫ1| � 2α

?

M

�

52

c � 2Cs

Xptq.

Denotando por B � 2α?

M�

52c � 2Cs

�

, a desigualdade fica

d

dtXptq ¤ 4M |ǫ2 � ǫ1| � B Xptq, (4.57)

de modo que Xptq satisfaz as hipóteses da versão diferencial do Lema de Gronwall,e aplicando-o obtem-se

Xptq ¤ Xp0qeBt� 4M |ǫ2 � ǫ1|

» t

0eBpt�τq dτ

� Xp0qeBt� 4M |ǫ2 � ǫ1|

�

eBt� 1B

.

126

Como

vp0q � ηǫ1p0q � ηǫ2p0q � φ� φ � 0 e wp0q � uǫ1p0q � uǫ2p0q � ψ� ψ � 0,

segue-se que Xp0q � 0, e sendo B ¥ 0,

Xptq ¤ 4M |ǫ2 � ǫ1|

�

eBTs� 1

B

, � t P r0, Tss.

Como todas as parcelas de Xptq são positivas, essa limitação vale para cada

uma delas. Denotando K � 4M

�

eBTs� 1

B

tem-se em particular que

}ηǫ1 � ηǫ2}2s�1 ¤ K |ǫ2 � ǫ1| e }uǫ1 � uǫ2}

2s ¤

K

C3phq|ǫ2 � ǫ1| .

Portanto, para δ �ε2

2 K�

1 � 1C3phq

e |ǫ1| , |ǫ2|   δ,

}pηǫ1 , uǫ1q � pηǫ2 , uǫ2q}s�1,s �

b

}ηǫ1 � ηǫ2}2s�1 � }uǫ1 � uǫ2}

2s

 

d

2Kδ

�

1 �1

C3phq

� ε.

Portanto a sequência é de Cauchy e segue-se que o limite

limǫÑ0

pηǫ , uǫq � pη0, u0q

existe em Hs�1� Hs uniformemente sobre r0, Tss.

Em particular, segue-se da uniformidade da convergência e da continuidade elimitação das pηǫ , uǫq, � ǫ ¡ 0, que pη0, u0q é contínua e limitada em Hs�1

� Hs.

2o) Antes de mostrar que pη0, u0q P Hs� Hs�1, a unicidade será garantida.

Sejam pη0, u0q, pη1

0, u1

0q P C pr0, Tss,H

s�1� Hs

q duas soluções do problemade Cauchy (4.49). Denotando pv0,w0q � pη0 � η10, u0 � u10q, um processo análogoao feito para obter a desigualdade (4.57), com ǫ2 � ǫ1 � 0, garante que

d

dxXptq ¤ BXptq,

onde Xptq � }v0}2s�1 � }w0}

2s�1 � C3phq }w0}

2s e B � 2α

?

M�

52c � 2Cs

�

.

127

Assim, segue-se da forma diferencial da desigualdade de Gronwall que Xptq ¤

Xp0qeBt, e como Xp0q � 0, necessariamente Xptq ¤ 0. Em particular,

}v0}s�1 � 0 e }w0}s � 0 ñ η0 � η10 e u0 � u10 q.t.p. em r0, Tss.

3o) De acordo com o argumento apresentado por Iório em [24] (teo.3.5) e [23](teo.2.1), pηǫ , uǫq converge fracamente para pη0, u0q em Hs

�Hs�1, uniformementesobre r0, Tss. Portanto pη0, u0q : r0, Tss Ñ Hs

� Hs�1 é fracamente contínua elimitada pela função ρptq

12 definida no teorema 4.3.11.

Consequentemente,

Fǫpηǫ , uǫq � puǫx � αpηǫuǫqx � ǫηǫxx , ηǫx � αuǫ uǫx � bT ruǫxts � a uǫxxtq

converge fracamente para F0pη0, u0q em Hs�2�Hs�1 uniformemente com respeito

a t P r0, Tss.Combinando essas observações com a fórmula

pηǫptq � ηǫpτq , uǫptq � uǫpτqq �

» t

τ

Fǫpηǫ , uǫqpt1

qdt1

conclui-se que

pη0ptq � η0pτq , u0ptq � u0pτqq �

» t

τ

F0pη0, u0qpt1

qdt1.

Desde que t P r0, Tss Ñ F0pη0, u0qptq é fracamente contínua, pη0, u0q : r0, Tss Ñ

Hs�2�Hs�1 é absolutamente contínua e satisfaz o sistema (4.49) q.t.p. em r0, Tss.

Para finalizar, falta demonstrar a continuidade da solução. Para isso, usar-se-áuma norma equivalente à norma usual em Hs

� Hs�1, definida no lema que sesegue:

Lema 4.3.17. A norma definida por

|||pη, uq|||s,s�1 �

b

}η}2s � }u}2

s � C3phq }u}2s�1

é equivalente à norma usual de Hs� Hs�1, a saber

}pη, uq}s,s�1 �

b

}η}2s � }u}2

s�1.

128

Demonstração: De fato, por um ladob

}η}2s � }u}2

s � C3phq }u}2s�1 ¤

b

}η}2s � p1� C3phqq }u}

2s�1

¤

b

1� C3phq

b

}η}2s � }u}

2s�1,

e por outrob

}η}2s � }u}2

s � C3phq }u}2s�1 ¥

b

}η}2s � C3phq }u}

2s�1

¥

b

min t1,C3phqu

b

}η}2s � }u}

2s�1.

Conforme detalhado em [22] (p. 309), a partir da convergência fraca segue-seque |||pη0, u0qptq|||s,s�1 ¤ ρptq

12 , e daí ([22], p. 311) que

|||pφ, ψq|||s,s�1 ¤ lim suptÑ0

|||pη0, u0qptq|||s,s�1 ¤ ρp0q12� |||pφ, ψq|||s,s�1.

Portanto a continuidade em t � 0 é uma consequência da continuidade fraca. Seτ P p0, Tsq a continuidade à direita é obtida a partir da continuidade no zero e daunicidade ([22], p. 312). A continuidade à esquerda segue-se da invariância dosistema (4.49) sob a mudança de variáveis pt, xq ÞÑ pτ� t,�xq, � τ P p0, Tss.

129

Capítulo 5

Conclusões e trabalhos futuros

Considerando tudo que foi exposto neste trabalho, conclui-se que o objetivoprincipal do trabalho, que consiste em obter resultados originais associados à boacolocação do sistema de tipo Boussinesq (1.4), a saber

#

ηt �

�

p1 � αηqu�

x� 0

ut � αu ux � ηx � bT rusxt � auxxt,

foi atingido através do teorema 4.3.14. A demonstração desse teorema exigiumuita pesquisa e por fim o sucesso foi obtido utilizando a técnica de regularizaçãoparabólica, seguindo de perto o roteiro apresentado por Iório em [24]. Além disso,tais estudos levaram à obtenção de outros resultados importantes, citados no quese segue.

O teorema 3.2.10, que garante a boa colocação global para a equação ILWR li-nearizada, teve sua demonstração detalhada usando duas técnicas diferentes: umaabordagem via teoria de semigrupos e outra que exibe explicitamente a solução.O teorema 3.3.10, que garante a boa colocação local da equação ILWR, foi enun-ciado de maneira original e demonstrado com detalhe via teorema do ponto fixode Banach, seguindo as ideias em [11]. Esses dois teoremas reúnem os resultadosde boa colocação para a equação ILWR.

Para o sistema tem-se, além do resultado principal citado acima, o teorema4.1.13, que garante a boa colocação global do sistema de tipo Boussinesq lineari-zado, foi demonstrado de duas formas diferentes, uma usando a técnica de teoriade semigrupos e outra explicitando a solução como feito em [6]. Também foi ob-tida a lei de conservação que aparece no teorema 4.3.4, e sua versão para o sistema

131

com regularização parabólica no teorema 4.3.1. Denotando por

Lptq �

»

8

�8

v2

2dx �

b

2

»

8

�8

vxT rvsdx �a

2

»

8

�8

v2xdx �

»

8

�8

σ0pω, 1q,

com v � α u, ω � 1 � α η e σ0pω, 1q � ω logω � ω � 1, a lei de conservaçãopode ser escrita como

Lptq � Lp0q.

A demonstração desses dois resultados segue os passos de uma dedução similarem [41] para o sistema de Boussinesq. Eles podem ser úteis no futuro para garantira boa colocação global do sistema (1.4). Nesse sentido, uma continuação naturaldesta pesquisa é provar a continuidade com relação aos dados iniciais da soluçãolocal do sistema (1.4), bem como a propriedade de permanência da mesma, demodo a obter a boa colocação local, para em seguida partir para a boa colocaçãoglobal.

Como trabalhos futuros propõe-se ainda uma abordagem numérica, na qualpretende-se adaptar implementações já existentes com a finalidade de fornecersoluções numéricas para os problemas estudados teoricamente. No espírito dacomputação científica, espera-se que essas soluções aproximadas forneçam va-lidação e entendimento sobre o comportamento das soluções, especialmente noque diz respeito à sua permanência nos espaços de funções considerados, em par-ticular, a continuidade do perfil η. Também sugere-se utilizar métodos numéricosconservativos para monitorar quantidades conservadas.

Na implementação do método de linhas utilizar-se-á uma discretização espa-cial do tipo diferenças finitas centrado de quarta ordem para as derivadas espaciaisjunto com o método de Runge-Kutta clássico de quarta ordem como integradorespacial, que já provou ser uma combinação com ampla região de estabilidade ab-soluta [36]. Especificamente nos modelos dispersivos, as estimativas obtidas em[6] mostraram como condições de estabilidade do tipo CFL são relaxadas graças àpresença do termo dispersivo, que no caso citado foi aproximado por um métodoespectral derivado diretamente da expressão no domínio da frequência do opera-dor T . A escolha do domínio periódico não só facilita a transição para o métodonumérico espectral, mas também indica qual núcleo deve ser considerado na dis-cretização espacial ao utilizar a Regra do Trapézio Alternada [42]. Como ilustradoem [35], a Regra do Trapézio Alternada pode produzir autovalores aproximadoscom simetrias espúrias, o que pode comprometer a precisão. Uma desingulari-zação do núcleo de convolução foi a proposta feita nesse artigo para melhorar aaproximação; pretende-se seguir a mesma estratégia no futuro para comparar am-bas as abordagens: a aproximação espectral de T e a aproximação partindo donúcleo no domínio físico.

132

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