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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ

CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE MARABÁ FACULDADE DE MATEMÁTICA

LEONARDO SILVA DINIZ

HABILIDADES E NÍVEIS DE PENSAMENTO GEOMÉTRICO:

O CONHECIMENTO SOBRE QUADRILÁTEROS DE ALUNOS DO ENSINO

FUNDAMENTAL

MARABÁ-PA 2013

LEONADO SILVA DINIZ



FUNDAMENTAL

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado para obtenção do grau de Licenciado Pleno em Matemática, pela Universidade Federal do Pará – UFPA, Campus de Marabá. Orientador: Prof. Me. Ronaldo Barros Ripardo

MARABÁ-PA

2013

LEONARDO SILVA DINIZ



FUNDAMENTAL

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado para obtenção do grau de Licenciado Pleno em Matemática, pela Universidade Federal do Pará - UFPA, Campus de Marabá.

Aprovado em ____de ___________ de 2013.

BANCA EXAMINADORA:

_____________________________________________- Orientador

Prof. Me. Ronaldo Barros Ripardo Faculdade de Matemática. UFPA – Campus de Marabá _____________________________________________- Examinador Marcelo de Sousa Oliveira Faculdade de Matemática. UFPA – Campus de Marabá ___________________________________________ - Examinador Josiel Batista de Oliveira UFPA – Campus de Marabá

DEDICATÓRIA

Aos meus pais, Lindomar Pereira Diniz e Maria Alexandre

da Silva, que esteve sempre do meu lado me dando força e

coragem nos momentos que parecia não mais suportar as

dificuldades do curso.

Aos meus irmãos, Luciano, Maria de Fátima e João bezerra

que me acompanharam em todo o percurso de graduação, me

ajudando a resolver diversos problemas e dificuldade que

surgiram nesse período.

AGRADECIMENTOS

A Deus, que me deu força e coragem para enfrentar as dificuldades da minha vida,

principalmente na elaboração desse trabalho. Obrigado por não ter me deixado

desanimar diante das grandes obstáculos desse percurso, e alcançasse mais essa

vitória.

Ao Profº. Orientador, Prof. Me. Ronaldo Barros Ripardo, pela paciência e dedicação

que teve durante a elaboração desse trabalho e pela motivação que me fornecia

durante cada fase de sua execução. Agradeço dela sua disponibilidade e empenho

para me orientar diante de tão pouco tempo.

Aos professores da UFPA, do curso de Matemática que muito contribuíram para

ampliar o meu aprendizado, são eles: Carlos Henrique, Elizabeth Sabino, Francisco

Sousa, Raimundo Mangabeira, Margareth Delaia, Marcelo Oliveira, Pablo

Nascimento, Kátia Regina, Pedro Cruz, Renata Soraia e Claudete Medeiros.

A minha família, que sempre esteve presente quando tive dificuldades, fornecendo a

sua parcela de contribuição para ajudar a resolver o problema.

Aos colegas e amigos do curso que fizeram parte de um capítulo da minha vida,

Abenilton, Alex, Aline, Allydriane, Eduardo, Éderson, Elaine, Fabiana, Harlen,

Leonardo, Paula, Paulino e Sâmila.

E a todos que contribuíram direto e indiretamente para conclusão desse trabalho.

Muito Obrigado!

RESUMO

Esta pesquisa teve como objetivo geral investigar que habilidades são mobilizadas por alunos do 7º e 9º ano do ensino fundamental para classificar figuras geométricas. Foi aplicado um teste de matemática aos alunos de uma escola pública do município de Marabá, estado do Pará. Esse instrumento foi elaborado de modo a fazer os alunos exteriorizarem os aspectos utilizados por eles para classificação dos quadriláteros e quais habilidades utilizadas. As análises foram guiadas por uma abordagem predominantemente qualitativa, guiada pelas discussões de Van Hiele (apud Crowley, 1994) e Del Grande (1994) e os PCN como documento base sobre o currículo do ensino fundamental. Os resultados mostraram que grande parte dos alunos possuem conhecimento relativo ao nível mais elementar do modelo de Van Hiele. Ou seja, classificam as figuras por seus aspectos visuais, demonstrando possuírem deficiência nas habilidades como a memória visual. Portanto, mostra-se necessário uma pesquisa que tenha como objetivo principal questionar o porquê do conhecimento dos alunos do final do ensino fundamental está estagnado no aspecto visual de percepção das figuras geométricas. A conclusão que se tem quanto o ensino de geometria para as turmas final do 3º e 4º ciclo não está de acordo com as diretrizes curriculares dessas séries. Palavras-chave: Pensamento geométrico. Habilidades. Quadriláteros.

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 1 Classificação de quadriláteros quanto ao aspecto visual (7º ano)........ 30

Gráfico 2 Classificação de quadriláteros quanto ao aspecto visual (9º ano)........ 32

Gráfico 3 Classificação de quadriláteros quanto as suas propriedades (7º ano). 39

Gráfico 4 Classificação de quadriláteros quanto as suas propriedades (9º ano). 43

Gráfico 5 Dificuldade enfrentada pelos alunos para responder as questões ( 7º e 9º ano)...............................................................................................

50

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 Polígonos convexos e não convexos.................................................... 17

Figura 2 Resposta para a questão de nº 2 (7º ano)............................................ 31

Figura 3 Resposta para a questão de nº 2 (9º ano)......................................... 34

Figura 4 Resposta para a questão de nº 2 (9º ano)............................................ 34

Figura 5 Resposta do aluno para a questão de nº 6 (7º ano)............................. 35











LISTA DE QUADROS

Quadro 1 Conteúdos de geometria para o 1º e 2º ciclos do ensino

fundamental.......................................................................................... 16

Quadro 2 Conteúdos de geometria para o 3º e 4º ciclos do ensino

fundamental.......................................................................................... 18

Quadro 3 Níveis do modelo de Van Hiele............................................................. 22

Quadro 4 Propriedades do modelo de Van Hiele................................................. 23

Quadro 5 Fases do modelo de Van Hiele ............................................................ 25

Quadro 6 Relação entre os níveis e habilidades em relação ao pensamento

geométrico............................................................................................ 26

Quadro 7 Respostas para as possíveis representações para os

quadriláteros......................................................................................... 34

Quadro 8 Figuras desenhadas com mais frequência pelos alunos para a 4º

questão................................................................................................. 36

Quadro 9 Figuras desenhadas com mais frequência pelos alunos para a

questão nº 3.......................................................................................... 43

Quadro 10 Figuras desenhadas com mais frequência pelos alunos por

propriedades......................................................................................... 47

Quadro 11 Agrupamentos e critérios utilizados pelos alunos para classificar as

figuras quanto a sua família.................................................................. 48

Quadro 12 Principais importâncias para os alunos quanto o ensino de

geometria.............................................................................................. 50

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ............................................................................................. 9

1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA .............................................................. 10

1.1. REVISÃO DE LITERATURA............................................................. 10

1.2. RECOMENDAÇÕES OFICIAIS PARA O ENSINO DE GEOMETRIA................................................................................................. 12

1.3. PENSAMENTO GEOMÉTRICO.......................................................... 20

2 METODOLOGIA DA PESQUISA ............................................................. 28

3 ANÁLISE E DISCUSSÕES...................................................................... 30

3.1. VISUALIZAÇÃO.................................................................................... 30

3.2. ANÁLISE............................................................................................... 38

3.3. DEDUÇÃO INFORMAL.................................................................... 40

CONSIDERAÇÕES FINAIS ....................................................................... 52

REFERÊNCIAS........................................................................................... 53

APÊNDICES ............................................................................................... 55

9

INTRODUÇÃO

O ensino de geometria na escola constitui uma parte importante da

matemática na medida em que proporciona ao aluno a capacidade de compreensão

e descrição do mundo em que vive. Considerando-se essa importância, foi realizada

em uma disciplina durante o curso de graduação uma pesquisa sobre a

aprendizagem de conteúdos de geometria por alunos do 9º ano ensino fundamental

de escolas públicas da cidade de Marabá/PA. Dentre os resultados alcançados, foi

detectado que os alunos mostravam a tendência de reconhecer figuras geométricas

não pelas propriedades delas, mas sim pelo aspecto visual das representações

escritas dessas figuras.

Tal resultado foi a motivação inicial para desenvolver esta pesquisa de TCC,

abordando não apenas alunos do 9º ano do ensino fundamental, mas também de o

7º ano. A pergunta norteadora desta pesquisa foi delineada do seguinte modo: que

habilidades são mobilizadas por alunos do 7º e 9º ano do ensino fundamental para

classificar figuras geométricas? Quanto aos objetivos específicos, foram:

Verificar que critérios são usados pelos alunos para identificarem figuras

geométricas;

Compreender que habilidades são mobilizadas pelos alunos para resolver

questões de geometria relacionadas aos níveis visualização, análise e dedução

informal do pensamento geométrico segundo o modelo de Van Hiele.

Estes serviram como parâmetro para obter informações sobre o perfil do

conhecimento geométrico dos alunos das séries em questão. Este trabalho está

organizado em três capítulos, além das considerações finais e do apêndice.

No capítulo I, o referencial teórico, traz breves considerações sobre alguns

trabalhos realizados sobre a temática dessa pesquisa, como a de Albuquerque

(2011), Lorenzato (1995) e Garcia (2006), bem como recomendações para o ensino

de geometria, utilizando para isso os teóricos Fonseca (2009) e Bigode (1998),

dentre outros. E, acerca do desenvolvimento geométrico, discuto a o modelo de Van

Hiele (Crowley, 1994) e sobre as habilidades relacionadas à aprendizagem

geométrica trago as contribuições de Del Grande (1994).

No capitulo II é descrito o percurso metodológico da pesquisa.

No capitulo III é apresentado os resultados e discussões.

Por fim, a seção deste trabalho traz as considerações finais.

10

CAPÍTULO I:

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

1.1. REVISÃO DE LITERATURA

Hoje há um número considerável de pesquisas sobre geometria, sendo que

nos últimos anos têm sido crescente pesquisas em geometria dinâmica. Além de

abordar possibilidades de abordagens para o ensino de geometria, é de igual

importância saber que dificuldades os alunos de fato apresentam sobre

conhecimentos de geometria. A respeito disso foram analisados alguns trabalhos

que tratam esta temática.

Albuquerque (2011) observou em sua pesquisa, sobre reconhecimento de

figuras planas, como quadrado, triângulo, retângulo, losango, trapézio etc., que os

alunos não reconheceram figuras geométricas que se apresentavam em tamanho e

posição diferentes das tradicionalmente encontradas em livros didáticos. Até mesmo

o triangulo, uma das figuras mais reconhecidas pelas pessoas, foi pouco identificada

pelos alunos. Isto porque tem pouco conhecimento acerca do assunto, afirmando

não terem estudado suficientemente geometria. Essa deficiência dos alunos em

geometria decorre de vários fatores, dentre a falta de conhecimento dos próprios

professores no que diz respeito a esse conteúdo. Como se verifica em Lorenzato

(1995. p. 3) “muitos professores não detêm os conhecimentos geométricos

necessários para realização de suas práticas pedagógicas.” Certamente isto

interfere contribui para que alunos tenham um conhecimento deficitário quanto a

esse assunto.

Outra situação que é pertinente para aumentar o grau de dificuldade dos

alunos quanto a esse tópico em matemática se deve ao modo como ele é muitas

vezes apresentado. Quase sempre as abordagens priorizam o repasse de um

conjunto de formas, regras e definições sem nexo com aplicações ou explicação de

natureza lógica para os alunos. Essa realidade acaba por desmotivar os alunos para

aprender esse assunto (LORENZATO. 1995).

Outra pesquisa que também teve como principal foco a visualização e

percepção de conceitos geométricos dos alunos surgiu pela inconformidade de

Garcia (2006) ao perceber que os professores usam de forma mecânica as fórmulas

11

matemáticas devido a sua praticidade responder uma determinada questão. No

entanto, as mesmas não proporcionam a compreensão dos conceitos matemáticos.

A visualização na geometria pode ser uma das formas eficientes de se

compreender e internalizar um determinado conceito. Na medida em que o aluno faz

a observação de uma figura ele internaliza suas propriedades perceptíveis, e na

ausência dela em outras situações pode ser capaz de percebê-la através da imagem

mental formada a partir das características já internalizadas pelo processo de

visualização. Assim, Fischbein (apud Garcia, 2006) reforça a importância desse

método de ensinar geometria ao dizer que

Uma imagem que pode ser utilizada para ensinar conceitos matemáticos abstratos ajuda a esclarecer e simplificar a aprendizagem de conceitos geométricos. A visualização é de fundamental importância na construção e exploração dos conceitos matemáticos (p. 1).

A visualização pode ser um mecanismo facilitador para compreensão do

conceito de uma determinada figura geométrica, na medida em que o aluno pode

perceber os porquês das especificidades de cada uma delas. Porém, agora com a

possibilidade de compreender o que era antes para eles tão abstrato.

Acredita-se que por meio do ensino por meio da visualização seja

desenvolvido no aluno um pensamento diferenciado que permite a esse discente ter

uma forma mais organizada de compreensão e descrição do mundo em que vive

(Sant’ana, 2009). Em defesa dessa habilidade a ser adquirida espera-se que o

professor ao trabalhar o ensino de figuras geométricas possa associar os sólidos ou

as figuras por meio das representações concretas, como uma embalagem de um

produto, um campo de futebol, a própria sala de aula, etc. Tais situações devem ter

significado para que os alunos aprimorem cada vez mais a capacidade de

visualização das figuras.

A pesquisa de Sant’ana (2009), realizada com alunos de 8ª série do ensino

fundamental abordou, dentre outras habilidades, a de diferenciar o triângulo de

outras figuras. Foi detectado que os alunos ainda estão em um nível de percepção

bem elementar, pois “tudo indica que a maior parte dos alunos da pesquisa não

conhecem as figuras geométricas, tão pouco suas nomenclaturas” (idem, p. 48). Foi

verificado em uma das questões relacionadas a essa pesquisa, que exigia que o

aluno reconhecesse um quadrado entre um conjunto de figuras, como o mesmo

12

quadrado inclinado a 45º com a folha. O resultado é que muitos alunos não

identificaram este como sendo um quadrado, mostrando a deficiência que possuem

em geometria.

Como já ressaltado em Garcia (2006), quanto à formalidade matemática no

que diz respeito ao uso de fórmulas empregado nas aulas dessa componente

curricular, HeliodorA (2001), complementa dizendo que isso se deu a partir do

surgimento do movimento da matemática moderna, uma vez que esta tinha como

preocupação apenas o uso correto da linguajem matemática em detrimento a

compreensão dos conceitos. A dificuldade vivenciada hoje pelos alunos em

geometria pode ser reflexo desse movimento.

Como se observa, o problema se arrasta a décadas e dia pós dia agrava-se

mais a deficiência dos alunos nesse conteúdo, visto que, os professores, ainda tem

uma resistência em ensinar esse tópico da matemática, pois dizem, demandar

tempo para planejar uma aula diferenciada, e alega não o tê-lo, acabando por

priorizar outros conteúdos ou dar sequência nos conteúdos do livro didático. Para

Albuquerque (2011, não paginado), “a Geometria é uma parte da Matemática que

sempre ficou relegada a segundo plano”. Câmara (apud Albuquerque, 2011), não

paginado), afirma que “o professor não tem tempo de refletir sobre o assunto devido

a sua carga horária extensa e segue apenas o livro didático”.

Ou seja, a geometria é sempre deixada para depois “se der tempo”. Muitos

professores o utilizam a expressão: “seguir o livro didático”, significa: trabalhar com

esse conteúdo só no final do ano, e de qualquer forma, “- pois já é fim de ano

mesmo!”. E assim segue o problema do ensino de geometria nas escolas públicas.

1.2. RECOMENDAÇÕES OFICIAIS PARA O ENSINO DE GEOMETRIA

Os PCN tem por objetivo oferecer diretrizes que possam guiar as ações de

ensino nos níveis de ensino da educação básica. Tal ação é uma opção do governo

federal após a LDB 9394/96 e visa a aprimorar os mecanismos para que se tenha

uma educação pública de qualidade. Por isso mesmo o documento aponta diretrizes

para todas as disciplinas. No caso da matemática as orientações dos PCN são

dadas de acordo com a divisão dos conteúdos em quatro blocos: números e

operações, espaço e forma, grandezas e medidas e tratamento da informação

(Brasil, 1998).

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O bloco números e operações trata de conteúdos voltados para o conjunto

dos número naturais, inteiros, racionais e irracionais; o significado de das operações

– adição, subtração, multiplicação, divisão, radiciação e potenciação; os diferentes

tipos de cálculo – aproximado, mental, escrito etc.; e das diferentes funções da

álgebra, como, por exemplo, generalizar padrões aritméticos e relacionar duas

grandezas. O trabalho com os conteúdos deste bloco desenvolverá habilidades nos

alunos que os levem, dentre outras ações, a identificar a qual conjunto dos números

cada representação numérica equivale, ou inda, o significado de cada operação ou

qual operação será utilizada em um determinado problema.

O bloco espaço e forma trata dos conteúdos relacionados à geometria. O

mesmo aborda o estudo das formas, que vai desde o reconhecimento (nome) de

figuras geométricas, passando pelo estudo de ângulos, até o calculo de área. Além

disso, trata também do estudo das noções relativas à posição, localização de figuras

e deslocamentos no plano e sistemas de coordenadas. Portanto, pelos conteúdos

deste bloco os alunos serão levados a “compreender, descrever e representar, de

forma organizada, o mundo em que vive” (BRASIL, 1998, p. 51).

Outro bloco de conteúdos a ser trabalhados é o de grandezas e medidas.

Como o próprio nome já indica, tal bloco trata de sistemas de medidas como

“comprimento, massa, tempo, capacidade, temperatura etc. (BRASIL, 1998, p. 52)”.

Este bloco tem uma relevância muito grande tanto no que dizem respeito contesto

social quanto para interdisciplinaridade.

A sua importância no contexto social é devido ao seu caráter prático na

utilização desses conteúdos na realidade do aluno, pois ao falar de comprimento, de

tempo ou de temperatura, são várias as situações concretas que o professor pode

adequar para ilustrar esses assuntos, como pedir que o aluno calcule o tempo gasto

de sua casa até a escola, através da distância percorrida por hora, ou calcular o

comprimento do quintal de sua casa, através de estimativas usando como parâmetro

o tamanho do seu pé, por exemplo. Para isso exige apenas uma modelagem por

parte do professor. Quanto à interdisciplinaridade, tema em debate por vários

teóricos, estudiosos e pesquisadores sobre o assunto nas mais diversas instâncias a

educação, é sugerida neste bloco por propiciar a relação entre as grandezas e seus

respectivos sistemas de medidas estudados em matemática com outras áreas do

conhecimento como, a física ou ciências da natureza. Para isto, basta apenas que o

professor conduza as atividades de modo que o perceba essa interligação.

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O bloco tratamento da informação tem como objetivo principal focar o trabalho

com a sistematização e manipulação matemática de informações que circulam nos

mais diversos campos da sociedade. Exemplos de atividades deste tipo pode ser o

levantamento estatístico das principais causas que levam a altos índices de mortes

na população jovem, por exemplo. As ferramentas da estatística e são as ensinadas

neste bloco para desenvolver a capacidade de construir tabelas, calcular média,

mediana e moda, dentre outros assuntos. O estudo de tais conteúdos permitirá

desenvolver nos alunos habilidades de leitura e construção de gráficos e tabelas.

Possibilitará também ao aluno, o potencial de visualização, de que os

acontecimentos de determinados fenômenos da natureza ou do cotidiano acontecem

de forma aleatória, e que podemos prever esses acontecimentos com o uso de

conteúdos matemáticos como, a probabilidade, por exemplo. Portanto, esse

conteúdo pretende despertar no aluno a capacidade de ver que a matemática não

estar fadada a problemas utópicos dos livros didáticos, e sim, tem uma utilidade no

meio ambiente e no meio social em que vive.

O ensino de geometria é inerente ao bloco espaço e forma. Para isso, várias

são as recomendações para o bom desenvolvimento desse tópico, como, sempre

que possível, fundamentar o conteúdo trabalhado na realidade do aluno e aplicar os

mais variados recursos, como o uso da régua, compasso, esquadro etc. (Brasil,

1998). Tal sugestão é dada para que a aula não fique centralizada apenas na

exposição de conteúdos.

No que se refere ao ensino de figuras geométricas, seja no reconhecimento

ou cálculo de área, a principal exigência é que se possa associá-las ao dia a dia dos

alunos, para que ele veja que a matemática da escola não está dissociada da sua

vida e que possa sentir-se incluído e mais motivado. Outra sugestão de atividade a

ser desenvolvida é o trabalho com a construção de maquetes. Isto permitirá o

desenvolvimento de uma visão mais ampla quanto aos lados ocultos dos sólidos

geométricos, e que em outro estágio, o aluno poderá ter uma visão tridimensional de

uma determinada representação geométrica, como um cubo, uma pirâmide ou um

dodecaedro, por exemplo.

As maquetes, por exemplo, têm por objetivo, de um lado, contribuir para melhorar as imagens visuais dos alunos e, de outro, favorecer a construção de diferentes vistas do objeto pelas mudanças de posição do observador, freqüentemente indispensáveis na resolução de problemas que envolvem a localização e movimentação no espaço (BRASIL, 1998, p. 123).

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Esse tipo de atividade favorece também aos alunos a distinção de diferentes

formas geométricas, a partir da visualização. Isto se torna possível ao rotacionar a

maquete, fazendo com que o aluno perceba que diferentes figuras podem ser

visualizadas a partir da localização do observador. Portanto, o trabalho com esse

recurso só vem a contribuir para um melhor aprendizado do aluno.

Em relação à construção de figuras geométricas, os PCN recomendam que

se utilizem de régua e compasso, pois esse tipo de trabalho é bastante importante

para o progresso do aprendizado do aluno, visto que o discente verá na pratica,

passo a passo, a construção das figuras, não ficando só no imaginário.

Outra recomendação dos PCN para o estudo das figuras geométricas é o uso

do tangram. O professor pode mostrar para os alunos a composição e

decomposição de uma determinada figura a partir de outras, podendo facilitar para o

aluno a compreensão do cálculo da área de uma figura plana ou a soma de seus

ângulos internos.

Atividades que exploram a composição e decomposição de figuras, como ladrilhamentos, tangrans, poliminós, fazem com que os alunos verifiquem que o recobrimento de uma superfície pode ser feito por determinadas figuras, como triângulos equiláteros, quadrados, retângulos, hexágonos regulares. Assim como a descoberta de que toda figura poligonal pode ser composta/decomposta por outra e em particular por triângulos, o que facilita o cálculo de áreas e a determinação da soma das medidas dos seus ângulos internos (BRASIL, 1998, p. 123).

Com esse jogo chinês o professor poderá diminuir a resistência que o aluno

tem de fazer estudo de ângulos, dentre outros assuntos, pela possibilidade de

aprender brincando e manipulando, embora, não seja comum o uso desse método

para ensinar geometria nas escolas.

Essas são algumas recomendações pelos PCN para serem desenvolvido no

bloco espaço e forma quanto ao ensino de figuras geométricas.

Quanto aos conteúdos e as habilidades a serem desenvolvidas nas séries

iniciais no ensino fundamental estão citadas de forma organizada no quadro abaixo:

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Quadro 1: Conteúdos de geometria para o 1º e 2º ciclos do ensino fundamental

ESPAÇO E FORMA

Ciclos Habilidades

1º

Localização e movimentação de pessoas ou objetos no espaço;

Percepções das relações entre tamanho e forma no espaço;

Interpretação e representação de posição e de movimentação no espaço: maquetes, esboços, croquis e itinerários;

Formas geométricas presentes em elementos naturais e nos objetos criados pelo homem;

Comparações entre objetos do espaço físico e objetos geométricos;

Semelhanças e diferenças entre cubo e quadrados, paralelepípedos e retângulos, pirâmide e triângulos, esferas e círculos;

Construção e representação de formas geométricas.

2º

Descrição, interpretação e representação da posição de uma pessoa ou objeto no plano o no espaço;

Representação do espaço por meio de maquetes;

Semelhança e diferenças entre corpos redondos;

Semelhanças e diferenças entre poliedro e identificação de elementos com faces, vértices e arestas;

Composição e decomposição de figuras tridimensionais;

Identificação de simetria em figuras tridimensionais;

Explanação das planificações de algumas figuras;

Identificação de figuras poligonais e circulares nas figuras tridimensionais;

Identificação de semelhança e diferença entre polígonos;

Características de algumas figuras planas, tais como: rigidez triangular, paralelismo e perpendicularismo de lado, etc.

Composição e decomposição de figuras planas;

Ampliação e redução de figuras planas;

Representação de figuras geométricas.

Fonte: (Fonseca et all, 2009, p. 26)

Para o primeiro ciclo, a proposta quanto o trabalho com a geometria é que se

utilize da natureza ou do meio em que a criança vive, para que esta possa visualizar

e apropriar-se dos conceitos e formas geométricas, presente tanto nas construções

feitas pelos homens quanto nas de origem natural. No estudo desses sólidos

geométricos, como cubo, quadrados, paralelepípedos, pirâmides, esferas, cilindros

etc., espera-se que o aluno possa desenvolver a capacidade de perceber algumas

semelhanças e diferenças a partir da visualização e percepção de propriedades

indiretas (não formais) existentes entre elas.

Após a apropriação das várias formas das figuras geométricas, o aluno

passará para outro estágio, que requer a utilização do que já foi aprendido sobre

visualização das figuras para a chamada construção de formas geométricas. Ou

seja, o aluno deve ser capaz de construir figuras mais simples como o quadrado,

circulo ou retângulos ao invés de simplesmente distingui-las.

17

Para o segundo ciclo, quanto ao trabalho com geometria, é uma continuidade

de forma aprofundada do que já foi trabalhado no primeiro ciclo. Como o aluno já

teve contato com a construção de algumas formas geométricas, o professor lhes

conduzirá a classificação das figuras tridimensionais por meio da visualização, para

que, em seguida, esse aluno venha a entender o processo de composição e

decomposição dessas figuras.

Posteriormente à compreensão do aluno acerca do tridimensionalismo

característico dos sólidos geométricos, o professor poderá esclarecer para criança o

que é simetria. Não com conceitos, mas de uma forma que o aluno consiga

visualizar por meio da prática de forma mais interessante. Uma atividade sugerida

por Bigode (1998), a esse respeito, é desafiar aos alunos a dividir um papel comum

em duas partes iguais mostrando ali o eixo de simetria de forma lúdica e bem

interessante.

Depois dessa habilidade desenvolvida, o aluno terá potencial para realizar a

planificação de figura, como as trabalhadas no primeiro ciclo, dentre elas o cubo,

paralelepípedos, pirâmide, etc. Posterior a isso, o aluno necessariamente precisa

apropriar-se de algumas noções ou características do que vem a ser polígono.

Bigode (1998) aponta uma possibilidade nesse sentido, utilizando a figura abaixo:

Figura 1: Polígonos convexos e não convexos

Fonte: (BIGODE, 1998, p. 14)

Uma atividade como essa fará com que os alunos, identifiquem

características diferentes em cada bandeira, ao observarem constataram que um

tem “bico” para dentro e outro para fora, e a partir disso poderá levar à classificação

deles em polígonos convexos e não convexos. Posteriormente, o aluno conseguirá

realizar com propriedade, a identificação dessas figuras numa possível atividade

desenvolvida em sala de aula pelo professor. Ao saber o que são polígonos, os

18

alunos estarão preparados a realizar atividade que envolva a identificação, tanto das

semelhanças quanto das diferenças dessas figuras.

Quanto às figuras planas, espera-se que nesses dois ciclos iniciais os alunos

possam desenvolver habilidades quanto às características de algumas delas como,

paralelismo e perpendicularismo dos lados.

Portanto, para o primeiro e segundo ciclo quanto ao ensino de geometria

espera-se que esses tópicos sejam trabalhados. O desenvolvimento das habilidades

relacionadas a estes permitirá ao aluno aprofundar e consolidar o estudo específico

de algumas das principais figuras geométricas e de outras propriedades delas no

terceiro e quarto ciclos, cujas habilidades estão sintetizadas no quadro abaixo.

Quadro 2: Conteúdos de geometria para o 3º e 4º ciclos do ensino fundamental

ESPAÇO E FORMA

Ciclos Habilidades

3º

Interpretação, a partir de situações-problema (leitura de plantas, croquis, mapas), da posição de pontos e de seus deslocamentos no plano, pelo estudo das representações em um sistema de coordenadas cartesianas.

Distinção, em contextos variados, de figuras bidimensionais e tridimensionais, descrevendo algumas de suas características, estabelecendo relações entre elas e utilizando nomenclatura própria.

Classificação de figuras tridimensionais e bidimensionais, segundo critérios diversos, como: corpos redondos e poliedros; poliedros regulares e não-regulares; prismas, pirâmides e outros poliedros; círculos, polígonos e outras figuras; número de lados dos polígonos; eixos de simetria de um polígono; paralelismo de lados, medidas de ângulos e de lados.

Composição e decomposição de figuras planas.

Identificação de diferentes planificações de alguns poliedros.

Transformação de uma figura no plano por meio de reflexões, translações e rotações e identificação de medidas que permanecem invariantes nessas transformações (medidas dos lados, dos ângulos, da superfície).

Ampliação e redução de figuras planas segundo uma razão e identificação dos elementos que não se alteram (medidas de ângulos) e dos que se modificam (medidas dos lados, do perímetro e da área).

Quantificação e estabelecimento de relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e de pirâmides, da relação desse número com o polígono da base e identificação de algumas propriedades, que caracterizam cada um desses sólidos, em função desses números.

Construção da noção de ângulo associada à idéia de mudança de direção e pelo seu reconhecimento em figuras planas.

Verificação de que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º.

19

4º

Representação e interpretação do deslocamento de um ponto num plano cartesiano por um segmento de reta orientado.

Secções de figuras tridimensionais por um plano e análise das figuras obtidas.

Análise em poliedros da posição relativa de duas arestas (paralelas, perpendiculares, reversas) e de duas faces (paralelas, perpendiculares).

Representação de diferentes vistas (lateral, frontal e superior) de figuras tridimensionais e reconhecimento da figura representada por diferentes vistas.

Divisão de segmentos em partes proporcionais e construção de retas paralelas e retas perpendiculares com régua e compasso.

Identificação de ângulos congruentes, complementares e suplementares em feixes de retas paralelas cortadas por retas transversais.

Estabelecimento da razão aproximada entre a medida do comprimento de uma circunferência e seu diâmetro.

Determinação da soma dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer.

Verificação da validade da soma dos ângulos internos de um polígono convexo para os polígonos não-convexos.

Resolução de situações-problema que envolvam a obtenção da mediatriz de um segmento, da bissetriz de um ângulo, de retas paralelas e perpendiculares e de alguns ângulos notáveis, fazendo uso de instrumentos como régua, compasso, esquadro e transferidor.

Desenvolvimento do conceito de congruência de figuras planas a partir de transformações (reflexões em retas, translações, rotações e composições destas), identificando as medidas invariantes (dos lados, dos ângulos, da superfície).

Verificar propriedades de triângulos e quadriláteros pelo reconhecimento dos casos de congruência de triângulos.

Identificação e construção das alturas, bissetrizes, medianas e mediatrizes de um triângulo utilizando régua e compasso.

Desenvolvimento da noção de semelhança de figuras planas a partir de ampliações ou reduções, identificando as medidas que não se alteram (ângulos) e as que se modificam (dos lados, da superfície e perímetro).

Verificações experimentais e aplicações do teorema de Tales.

Verificações experimentais, aplicações e demonstração do teorema de Pitágoras.

Fonte: (BRASIL, 1998, p. 79-89)

O ensino de geometria no primeiro e segundo ciclo é mais introdutório, tendo

em vista que se trabalha mais a parte de visualização de figuras. No terceiro ciclo o

aluno utilizar o conhecimento acerca das características das figuras bidimensionais

ou tridimensionais para estabelecer relações entre tais figuras, como classificar

corpos redondos, poliedros regulares e não regulares, prismas, pirâmides etc. em

algum grupo, dos bidimensionais ou tridimensionais. Ou até mesmo classificar

polígonos quanto ao número de lados.

Como o aluno já possuía habilidade de reconhecer as mais variadas figuras,

através de suas representações visuais ou de determinadas características, este

discente já possui habilidades que o permitirão compor e decompor figuras em

outras. Além disso, tendo em vista que o aluno já teve contato com sólidos

geométricos, e que, no segundo ciclo, ele visualizou a composição e decomposição

de figuras tridimensionais e a representação de algumas através das maquetes, que

20

ele possa agora, através desse conhecimento adquirido executar a construção e a

planificação de figuras espaciais. O estudo dos sólidos, por sua vez, envolverá o

reconhecimento do que vem a ser vértices, faces e arestas. Tal conhecimento

propiciará ao aluno as bases para caracterizar um sólido considerando-se

quantidade de vértices, faces e arestas.

No quarto ciclo o estudo de figuras geométricas passa a ser feito mais

aprofundadamente, envolvendo a semelhança e congruência, além de outras

características destas como altura, diagonais, bissetrizes, medianas, mediatrizes e

superfície. Os demais conteúdos deste bloco neste ciclo estão relacionados ao plano

cartesiano, teorema de Tales, teorema de Pitágoras, dentre outros.

1.3. PENSAMENTO GEOMÉTRICO

O ensino de geometria ainda é pautado em muitas regras, conceitos e

fórmulas, sem distinção do grau de escolaridade do aluno. Essa forma de

abordagem do ensino de geometria é até certo ponto compreensível para as séries

finais do ensino fundamental, uma vez que os alunos já deverão ter internalizado

aspectos formais dos conteúdos de geometria. Mas, quanto às séries iniciais, essa

prática de ensino é, no mínimo, desastrosa, visto que esses alunos a visualização do

espaço é o principal meio de compreensão dos conteúdos geométricos. De acordo

com a teoria de Van Hiele CROWLEY (1994) o pensamento geométrico do aluno é

pautado por um modelo constituído por cinco níveis de compreensão, que são a

visualização, análise, dedução informal, dedução formal e rigor.

No nível zero o conhecimento está pautado mais no que o aluno consegue

visualizar. Sabendo disso, não cabe ao professor forçar o ensino nas séries iniciais

baseado-se em regras e conceitos, pois o aluno ainda não conseguirá entender essa

formalidade. Nesse nível, afirma Crowley, (1994, p. 2) que, “as figuras geométricas,

por exemplo, são reconhecidas por sua forma como um todo, isto é, por sua

aparência física, não por suas partes ou propriedades”. O aluno nesse nível

consegue, por meio da visualização, identificar formas específicas e reproduzi-las,

no entanto esse aluno, não reconheceria que entre um quadrado e um retângulo, por

exemplo, os ângulos retos e os lados opostos paralelos são propriedades comuns.

Já o primeiro nível, chamado de análise, tem como principal objetivo analisar

os conceitos geométricos. Neste nível os alunos conseguirão mesmo que de forma

21

incipiente fazer a identificação de algumas características das figuras geométricas, o

que o ajudará, juntamente com a visualização, no reconhecimento das figuras. No

entanto, como os alunos ainda estão em um nível bem elementar, ainda não

conseguem estabelecer relações entre figuras, sem falar que ainda não são capazes

de interpretar uma definição e aplicá-la numa situação prática. Como afirmado por

Crowley (1994, p. 3), “os alunos desse nível ainda não são capazes de explicar

relações entre propriedade, não vêem inter-relação entre figuras e não entendem

definições”.

Quanto ao segundo nível, o da dedução informal, os alunos estão se

apropriando cada vez mais dos conhecimentos matemáticos no que tange a

geometria. Neste segundo nível são capazes de estabelecer relações entre

características de uma ou mais figuras. Pois segundo Crowley,(1994), dado as

figuras e suas respectivas características o aluno consegue relacioná-las, como por

exemplo, num quadriláteros, se os lados opostos são paralelos consequentimente os

ângulos opostos são iguais, ou entre duas figuras, um quadrado e considerado um

retângulo devido as suas propriedades serem equivalentes.

Este nível, em relação aos demais, apresenta uma maior evolução, pois é

esperado que o aluno comece a deduzir as propriedades mesmo que as mais

simples de uma determinada figura. No entanto, de acordo com Crowley (1994) os

alunos ainda não são capazes de fazer demonstrações com o rigor matemático, mas

podem acompanhar todo o processo feito pelo professor, compreendendo o

raciocínio lógico da demonstração.

No terceiro nível, o da dedução formal, o aluno se apropriou de muitas das

formalidades do rigor matemático e a relação existente entre elas, como axiomas,

postulados, definições, teoremas e demonstrações. A partir desse conhecimento o

aluno poderá executar demonstrações e fazer deduções a partir de propriedades

inerentes ao problema ou situação, por exemplo.

Já o quarto nível, denominado rigor, é visto pelos pesquisadores como o auge

da formalidade matemática, no qual, o aluno tem todas as ferramentas no quesito

conhecimento geométrico para “trabalhar em vários sistemas axiomáticos, isto é,

podem-se estudar geometrias não euclidianas e comparar sistemas diferentes”

(CROWLEY, 1994, p. 4). No entanto, esse nível não tem a atenção que merece

pelos pesquisadores, pelo fato de muito deles preferirem trabalhar com os níveis

iniciais, gerando assim um déficit quanto à pesquisa nesse nível.

22

Quadro 3: Níveis do modelo de Van Hiele

Níveis Modelo Exemplos

Visualização

O espaço é percebido apenas como algo que existe em torno dos alunos. Os conceitos de geometria são vistos como entidades totais, e não como entidades que têm componentes ou atributos.

Entre um quadrado e um retângulo, os alunos os diferenciam pela sua aparência física e não por suas propriedades.

Análise

Começa uma análise dos conceitos geométricos. Através da observação e da experimentação, os alunos começam a discernir as características das figuras. Assim, reconhece-se que as figuras têm partes, e as figuras são reconhecidas por suas partes.

Identificar um quadrilátero quanto ao número de lados ou notar a diferença entre um quadrado e um losango através de seus ângulos, etc.

Dedução informal

É possível fazer interrelações de propriedades tanto dentro de figuras quanto entre figuras. Assim, será possível deduzir propriedades de uma figura e reconhecer classes de figuras.

Classificar a qual classe pertence um quadrado, um retângulo e um trapézio por meio de suas características como lados paralelos, mesmo ângulo, etc. Nesse nível, o aluno é capaz de identificar que um quadrado possui as mesmas características quanto aos ângulos do retângulo ou que ambos possuem pares de lados paralelos.

Dedução

É possível fazer demonstrações e não apenas memorizá-las. A possibilidade de desenvolver uma demonstração de mais de uma maneira, e compreende-se o significado da dedução.

Identificar numa possível questão o que deve ser provado, finalizar formalmente uma demonstração iniciada.

Rigor

Possibilidade de se estudar em vários sistemas axiomáticos, isto é, podem-se estudar geometrias não euclidianas e comparar sistemas diferentes. A geometria é vista no plano abstrato.

O modelo acima é fundamentado por cinco propriedades: sequencial, avanço,

intrínseco e extrínseco, linguístico e combinação inadequada. Tais propriedades

ajudam a caracterizá-lo melhor.

A primeira propriedade denominada de sequencial engloba o que já foi

mencionado por Van Hiele. Pois como visto, esse modelo defende que o

pensamento geométrico das crianças é pautado em níveis de conhecimentos

adquiridos ao longo do processo educacional. Da mesma forma, essa propriedade

defende que existe uma cronologia na aquisição desse conhecimento por parte do

aluno, e que, o contrario disso, poderia não proporcionar um conhecimento

formalizado. Se estiver sendo ensinados conceitos de figuras planas a crianças que

23

não sabem sequer o nome das figuras, certamente não vai haver compreensão por

parte dos alunos. Por isso o conhecimento é dito sequencial.

No que diz respeito à outra propriedade, o avanço, por hipótese alguma o

aluno pode sofrer um avanço ou uma regressão do seu grau de escolaridade,

mesmo que ele tenha super habilidades ou que seja desprovido delas, o que se

pode fazer é uma adaptação de suas aulas para essa situação. Pois o avanço pode

levar ao aluno grandes prejuízos quanto ao conteúdo da etapa avançada

A terceira, propriedade diz que, “os objetivos inerentes a um nível torna-se os

objetivos de ensino no nível seguinte” (CROWLEY, 1994, p. 5), ou seja, um nível

está interligado com o outro, em dependências sucessivas, como foi mencionado no

parágrafo acima. O aluno não pode ser avançado de uma etapa sem antes ter

passado por ela, pois ficará com um déficit de conteúdo.

Quanto à quarta propriedade, vem reforçando cada vez mais o que foi dito na

segunda, ao dizer que, em cada nível que o aluno se encontra, há necessidade de

uma linguajem ou uma simbologia própria a ser utilizada. Portanto, se o aluno mudar

de nível, por achar que está com idade avançada, ele poderá sentir muita dificuldade

para compreender a linguagem inerente àquela etapa escolar, e assim, provocar

uma perca educacional.

A quinta propriedade inerente ao modelo Van Hiele vem falar da combinação

inadequada. Ressalta que “se o aluno está num certo nível e o curso num nível

diferente, o aprendizado e o progresso desejado podem não se verificar”

(CROWLEY, 1994, p. 5). Isso põe em alerta os professores, quanto ao que vão

ensinar e a qual nível vão aplicar esse conteúdo para que não ocorra isso.

Quadro 4: Propriedades do modelo de Van Hiele

Propriedades Características Exemplos

Sequencial A criança deve passar por níveis sequenciais de ensino para a obtenção do conhecimento .

Para um aluno conseguir construir uma figura, antes deve visualizá-la e memorizá-la.

Avanço

A progressão (ou não) de um nível para outro depende mais do conteúdo e dos métodos de instrução recebidas do que da idade. Ex:

Não é possível avançar um aluno para uma série seguinte apenas porque ele não possui a idade compatível com a escolaridade que cursa.

Intrínseco e extrínseco

Os objetivos inerentes a um nível tornam-se os objetivos de ensino no nível seguinte. Ex:

No nível 0 apenas a forma de uma figura é percebida. Mais só no nível 1 a figura é analisada e seus componentes e propriedades são descobertos.

Linguística Cada nível tem seus próprios símbolos linguísticos e seus

De acordo com os PCN, no primeiro ciclo ainda não é usado os termos aresta, vértices

24

próprios sistemas de relações que ligam esses símbolos.

ou faces. Mas, quanto ao segundo ciclo já é apresentado os alunos que os lados dos de uma figura em três dimensões é chamado faces.

Combinação inadequada

Se o aluno está num certo nível e o curso num nível diferente, o aprendizado e o progresso desejados podem não se verificar.

O professor aplica um conteúdo da série seguinte ou sem respeitar o conteúdo e as habilidades exigidos em cada ciclo do PCN.

Mas, segundo os Van Hiele1, a aquisição do conhecimento por parte dos

níveis já mencionados se passa por fases de aprendizado: a interrogação, a

orientação dirigida, a explicação, a orientação livre e a integração (Crowley, 1994).

Na fase da interrogação, após o professor selecionar o conteúdo de acordo

com o nível, passará para o estágio de perguntas e respostas aos alunos, para

instigá-los a expor o que sabem sobre o assunto. O professor perguntará para os

alunos: “O que é um losango? Um quadrado? Um paralelogramo? O que tem de

semelhante? De diferente? Você acha que um losango poderia ser um quadrado?

Por quê?” (CROWLEY, 1994, p. 6) e assim direcionar o aprendizado. No ato da

seleção do conteúdo, o professor já está incluindo a segunda fase, a orientação

dirigida, que diz respeito a ordem de assunto que o aluno vai se guiar para alcançar

os requisitos do nível que se deseja. E como sequência didática, depois que o

professor separou os tópicos a ser trabalhado e feito o levantamento do que o aluno

já sabe, faz-se necessário ensinar a linguagem adequada para aquela atividade,

fazendo jus a terceira fase, a da explicação.

Nessa quarta fase, o aluno tem a liberdade de escolher a forma que mais lhe

agradar de solucionar um problema. Mas claro, que tenha coerência e que não fuja

da lógica matemática. Pois acredita-se que “eles ganham experiências ao descobrir

sua própria maneira de resolver as tarefas” (HOFFER apud CROWLEY, 1994, p. 7).

Na última fase, a integração, os alunos terão uma visão bem mais diversificada

quanto às relações entre objetos, formas figuras etc., alcançando um raciocínio bem

elevado e preparando-se para um novo desafio.

1 Dina van Hiele-Geldof e seu marido, Pierre van Hiele, são educadores holandeses idealizadores do

modelo intitulado como, modelo de Van Hiele. Surgido a partir do trabalho de doutorado da Universidade de Utrecht, pelo casal.

25

Quadro 5: Fases do modelo de Van Hiele

Fases Características

Interrogação/ informal

Nesta etapa inicial, professor e alunos conversam e desenvolvem atividades envolvendo os objetivos de estudo do respectivo nível. Fazem-se observações, levantam-se questões e introduz-se um vocabulário específico.

Orientação dirigida

O aluno exploram o tópico de estudos através do material que o professor cuidadosamente ordenou em sequência. Ex

Explicação O professor orienta os aluno no uso de uma linguagem precisa e adequada.

Orientação livre Nessa fase o aluno ganha experiência e descobre sua própria maneira de resolver as tarefas.

Integração Nessa fase os alunos são capazes de rever e simplificar o que aprenderam com o objetivo de formar a partir disso um novo leque de conhecimento.

Portanto, o modelo de Van Hiele pressupõe cinco níveis de pensamento

geométrico, propriedades e fases do aprendizado, fundamentado para essa

pesquisa (Crowley, 1994). Como visto acima, o modelo de Van Hiele,

principalmente no nível básico (visualização) propõe que o pensamento geométrico

da criança é embasado no que ela consegue visualizar. Para Del Grande (1994, p.

156) “o pensamento das crianças é dominado pelas interpretações que fazem de

sua experiência de ver, ouvir, tocar, mover, etc., isto é, de sua percepção de

espaço”. Mas quanto a isso, ele aponta sete habilidades que os alunos devem ter

para desenvolver o pensamento geométrico: coordenação visual-motora, percepção

de figuras em campos, constância de percepção, percepção de posição no espaço,

percepção de relações espaciais, discriminação visual, memória visual.

A primeira habilidade, é classificada como coordenação visual-motora, que

exige que o aluno deve ter ao mesmo tempo a capacidade de visualizar e executar

com movimentação do corpo aquilo que está vendo. Por exemplo, o aluno deve

perceber que um conjunto de pequenos pedaços de madeira com formato quadrado

forma-se um cubo.

A percepção de figuras em campos sugere que a criança possa fazer a

identificação de uma figura específica dentro de um determinado espaço com um

grupo de figuras desordenadas. Com essa habilidade, o professor pode medir ou

desenvolver o nível de atenção dos alunos. Essa habilidade permite ao aluno

identificar um quadrado no meio de diferentes figuras como retângulos, losango,

triângulo etc.

A constância de percepção é a habilidade do aluno de reconhecer uma figura

não importando qual posição ela se encontra, partindo-se do pressuposto que as

26

propriedades dos objetos não mudam. Portanto, não importa de qual ângulo a figura

é desenhada, pois, continuará sendo a mesma. Um quadrado desenhado em

diferentes posições não deixa de ser quadrado.

No que diz respeito à percepção da posição no espaço, exige que o aluno

tenha a habilidade de perceber a relação existente entre uma figura e outra. Ou seja,

que o aluno possa visualizar, por exemplo, as propriedades em comum entre um

quadrado e um retângulo, como lados paralelos e ângulos retos.

A percepção de relações espaciais exige principalmente que o aluno possua a

habilidade de perceber que pode existir uma relação de congruência entre uma ou

mais figuras, ao fazermos as suas rotações ou divisões. Ao ser traçada a diagonal

do retângulo se formam dois triângulos congruentes ou ao rotacionarmos um

triângulo formando outro, de forma que seus lados congruentes fiquem opostos ao

da origem, ambos continuarão congruentes.

Na discriminação visual, espera-se do aluno a habilidade de distinguir as

diferenças e semelhanças entre uma determinada figura geométrica para classificá-

las corretamente. A partir disso, o aluno deve ser capaz de identificar as possíveis

semelhança e diferenças entre um quadrado e um losango para que possa

classificá-los de forma correta.

Em relação à memória visual, espera-se que o aluno possa desenvolver a

capacidade de armazenar o máximo de informação de uma determinada figura e

que sem a sua representação no momento, ele possa representá-la a partir das

características já internalizadas a respeito dela. Por exemplo, ao ser fornecido um

conjunto de características ou propriedades de uma figura, como quatro ângulos

retos, dois pares de lados paralelos e quatro lados iguais, que o aluno seja capaz de

identificar que se trata de um quadrado.

Quadro: 6 Relação entre os níveis e habilidades em relação ao pensamento geométrico

Níveis Habilidades

Visualização - coordenação visual-motora - percepção de figuras em campos - constância de percepção - percepção de posição no espaço - percepção de relações espaciais - discriminação visual - memória visual

Análise

Dedução formal

Dedução

Rigor

27

Como visto, essas são as sete habilidades que os alunos devem ter para

desenvolver o pensamento geométrico.

28

CAPÍTULO II:

METODOLOGIA DA PESQUISA

A presente pesquisa foi realizada em três fases. A primeira a fase foi a

exploratória, que consta do levantamento teórico acerca do ensino de geometria no

ensino fundamental. A partir desse estudo foi, delineada a questão de pesquisa, a

saber: que habilidades são mobilizadas por alunos do 7º e 9º ano do ensino

fundamental para classificar figuras geométricas? Como objetivos específicos são:

Específicos:

Verificar que critérios são usados pelos alunos para identificarem figuras

geométricas;

Compreender que habilidades são mobilizadas pelos alunos para resolver

questões de geometria relacionadas aos níveis visualização, análise e dedução

informal do pensamento geométrico segundo o modelo de Van Hiele.

O lócus de pesquisa foi uma escola publica municipal de ensino fundamental,

localizada no Bairro São Félix, município de Marabá/PA. Os motivos relevante para

a escolha dessa escola foi o fato dela localizar-se nas proximidades de minha

residência e permitir meu acesso para desenvolver a pesquisa com os alunos.

A segunda fase foi a coleta de dados, realizada nos mês de março de 2013.

Neste primeiro momento fui à escola e apresentei a proposta da pesquisa

juntamente com a carta convite e termo de autorização para a direção (Apêndice A).

Posterior a esse primeiro contato foi agendado o dia que retornaria a escola para

aplicar o teste (Apêndice B) aos alunos e assim coletar os dados para pesquisa.

Esse teste foi composto por 9 questões matemáticas, aplicado a duas turmas

do ensino fundamental, uma do 7º e outra do 9º ano, com 27 e 33 alunos

respectivamente, totalizando 60 participantes.

A terceira fase corresponde à sistematização e análise dos dados. No que diz

respeito aos dados, foram sistematizados ao final do mês de março. Com o auxílio

da planilha do EXCEL para tabular os dados obtidos com a aplicação do teste foram

gerados gráficos e tabelas para visualização dos dados.

Quanto às questões do teste, foram organizadas para análise de acordo com

os três primeiros níveis de pensamento geométrico dos alunos definidos por Van

Hiele:

29

O nível 0, classificado como visualização, em que se mobiliza principalmente

a habilidade de percepção das figuras geométricas pelo seu aspecto visual

(questões de nº 2 e 6);

O nível 1 definido como análise, elenca a habilidade de percepção de que as

figuras possuem propriedades, como lados, ângulos, etc. e que elas se

diferenciam uma da outra por essas particularidades (questão nº 4 );

O nível 2 denominado como dedução informal, considera-se a habilidade de

classificação das figuras por meio de suas propriedades formais como lados

paralelos, ângulo reto, diagonais perpendiculares, lados e ângulos

congruentes etc. (questões nº 3, 5 e 7).

A análise dos dados foi feita tendo por base uma abordagem quantitativa e

qualitativa. Nesse sentido, a caracterização da pesquisa quanto a essa abordagem

se deve ao fato da quantificação dos dados coletados bem como o tratamento das

informações obtidas por meio de técnicas estatísticas como percentual,

possibilitando maiores margens de segurança das informações resultantes. Quanto

ao qualitativo, diz respeito à compreensão do fenômeno investigado a partir das

particularidades de cada um dos sujeitos pesquisados (Dalforo et. all, 2008).

Foram utilizados como embasamento para análise dos dados coletados o três

primeiro níveis de pensamento geométrico definido por Van Hiele, a visualização, a

análise e a dedução formal (Crowley, 1994) bem como as habilidades enunciada por

Del Grande (1994): coordenação visual-motora, percepção de figuras em campos,

constância de percepção, percepção de posição no espaço, percepção de relações

espaciais, discriminação visual e memória visual. Também serviram de base os PCN

(Brasil, 1998) como documento de verificação do currículo matemático do ensino

fundamental.

30

CAPÍTULO III:

ANÁLISE E DISCUSSÕES

Neste capítulo serão apresentados os resultados produzidos com a pesquisa

e a análise dos mesmos, embasados nas recomendações dos PCN quanto ao

ensino de geometria, teoria de Van Hiele (Crowley, 1994) e Del Grande (1994).

Objetiva a verificação de qual o artifício (composição física ou propriedades, ou outro

artifício) os alunos utilizam para identificar e classificar determinada figura

geométrica.

3.1. Visualização

Nesta categoria serão discutidos os aspectos relacionados ao nível 0 do

pensamento geométrico caracterizado pela teoria de Van Hiele. Trata dos aspectos

voltados à visualização, das habilidades dos alunos para classificar figuras

geométricas por meio do que veem, ou seja, do formato visual das figuras.

O gráfico abaixo mostra os resultados relacionados à habilidade percepção

de figuras em campos, que deveria ser mobilizadas pelos alunos na resolução da

questão nº 2.

Gráfico 1: Classificação de quadriláteros quanto ao aspecto visual (7º ano)

losango\ losango

10%

quadrado\ quadrado

23%

paralelogramo\ paralelogramo

7%

retangulo\ retangulo

15%

total de erros 45%

31

Como se observa, o resultado mostra um valor aparentemente animador, pois

os alunos tiveram um total de acertos de 55%, ou seja, mais da metade das

respostas foram associadas corretamente. No entanto, as porcentagens que

constituiu esse valor é que é preocupante, tendo em vista que dos 55%, 23%

equivale ao total de acertos para o reconhecimento do quadrado e 15% para o

retângulo. As demais figuras correspondentes a 7% e 10% para o paralelogramo e

losango, respectivamente.

Tais resultados deixam claro que os alunos, em sua grande maioria, possuem

um conhecimento mínimo de geometria no que se refere ao reconhecimento dos

quadriláteros especiais. Ou seja, o ensino desse conteúdo está muito centrado nas

figuras elementares como quadrado, retângulo, triangulo, etc., mostrando a

fragilidade do ensino de geometria nas escolas, uma vez que a habilidade de

reconhecer figuras geométricas deve ser dominada pelos alunos desde o primeiro e

segundo ciclos (Quadro 1). Em tais ciclos o aluno deve ser capaz detectar a

semelhança e diferença, por exemplo, entre um quadrado e um triângulo a partir de

suas características, como quantidade de lados ou lados paralelos etc. (Fonseca et

all, 2009).

Outro dado ainda mais preocupante é o índice de 45% que corresponde ao

total de erro mostrado no gráfico. Dentre eles, é possível detectar graves erros

como, por exemplo, aluno confundindo retângulo com losango, losango com

paralelogramo e o quadrado com retângulo.

Figura 2: Resposta para a questão de nº 2 (7º ano)

http://www.sinonimos.com.br/uma-vez-que/

32

Tal resultado mostra que boa parte dos alunos não estão no nível básico do

modelo de Van Hiele e não dominam a habilidade de percepção de figuras em

campos sugerida por Del Grande (1994) que requer a habilidade de distinguir uma

determinada figura, com base em suas características, em meio a outras. No caso

da questão acima, esse reconhecimento seria feito estritamente com base no

aspecto visual, sem levar em consideração as propriedades formais das figuras. No

entanto, uma parte considerável dos alunos não conseguiram associar todas as

questões corretamente, com exceção do quadrado, que teve uma percentual de

erros significativamente menor que os demais quadriláteros.

No gráfico abaixo é reflexo dos resultados da questão nº 2 (9º ano)

Gráfico 2: Classificação de quadriláteros quanto ao aspecto visual (9º ano)

Observa-se um resultado um pouco melhor se comparado com o do gráfico

anterior, visto que o percentual de acertos foi bem superior a de erros, ou seja,

apresenta um índice de 65% de acertos e um percentual de apenas 35% de erros.

Esse resultado geral dá a impressão de que os alunos dessa série estão

conseguindo alcançar a habilidade exigida nessa questão, pelo fato do número de

acertos serem quase o dobro de erros cometidos. No entanto, esse percentual

elevado de acertos é consequência dos 24% e 18% que correspondem,

respectivamente, ao quadrado e ao retângulo. Ou seja, mostram que o

conhecimento dos alunos a respeito das figuras, tanto no 7º quanto ao 9º ano, é

maior em relação a quadrado e ao retângulo.

losango\ losango

11% quadrado\ quadrado

24%


12%


18%

total de erros 35%

33

Quanto aos 35% equivalente ao percentual de erros representado no Gráfico

2, apesar de mais baixo do que o 7º ano, não deixa de ser preocupante, pois, além

de ser um percentual alto, a questão requeria uma habilidade do nível 0 do modelo

de Van Hiele, e deveria ser de domínio dos alunos desde as séries iniciais do

fundamental. No 9º ano, de acordo com os PCN (Brasil, 1998) os alunos deveriam

ser capazes de reconhecer figuras através de suas propriedades mais formais como,

congruência e paralelismos entre os lados.

Um aluno do 9º ano confunde, por exemplo, retângulo com um losango

(Figura 3) e o paralelogramo com losango (Figura 4):



34

Os erros mostrados nas duas respostas acima podem ser oriundos do fato de

que, “a geometria muitas vezes é negligenciada até o fim do ano, quando então, às

pressas, introduzem-se algumas figuras e termos e fazem alguns exercícios”

(MARCIA E. DANA. 1994. P.141). tal situação pode desencadear problemas para a

aprendizagem dos alunos nesse conteúdo.

A questão de nº 6 que exigia apenas que os alunos desenhassem em malha

quadriculada as figuras de acordo com os seus respectivos nomes, ou seja, requeria

deles uma habilidade de visualização ou nível 0. No entanto, os índices de acertos

foram baixíssimos tanto para o 7º como para o 9º ano. Como é verificado na tabela

abaixo, os números de acertos foram iguais para as duas séries, bem como as

respostas fornecidas por eles são similares.

Quadro 7: Respostas para as possíveis representações para os quadriláteros

Figuras desenhada pelos alunos para representar os quadriláteros

fornecido na questão

Figuras 7º ano 9º ano

Paralelogramo Paralelogramo, retângulo, trapézio, pentágono e losango

Paralelogramo, retângulo, trapézio, pentágono e losango

Trapézio Trapézio e losango Trapézio e losango, pentágono,

triângulo, paralelogramo

Losango Paralelogramo, losango, retângulo, trapézio e circunferência

Losango, retângulo

Retângulo Retângulo, triângulo, quadrado e losango

Retângulo, trapézio, losango, paralelogramo

Triângulo Triângulo, losango retângulo Triângulo e retângulo Nº de acertos 4 4

Segundo os PCN (BRASIL, 1998) os alunos do 7º e 9º ano deveriam ser

capazes de descrever em diferentes contextos algumas características das figuras

planas e estabelecer relações entre elas, utilizando suas nomenclaturas próprias.

Para isso, espera-se do aluno à habilidade classificada como memória visual (Del

Grande, 1994) que remete à capacidade que o aluno deve possuir para memorizar o

máximo de informação a respeito das características de uma determinada figura e

reproduzí-la mentalmente e, posteriormente, expo-la no papel. A ausência dessa

habilidade é evidenciada a partir de das respostas esplanadas abaixo, em que um

aluno do 7º ano desenhou um retângulo e o associou a um losango.

35

Figura 5: Resposta do aluno para a questão de nº 6 (7º ano)

Os alunos do 9º apresentam dificuldades no que se refere à constância de

percepção (Del Grande, 1994), que a capacidade de reconhecer uma figura não

importando qual posição ela se encontra. Como se verifica na Figura 6, o aluno

desenhou dois retângulos, um na horizontal e o outro na vertical, para classificar

duas figuras diferentes, sendo a horizontal relativo ao retângulo e o vertical ao

paralelogramo. Dessa forma, evidencia a dificuldade desses alunos nessa

habilidade.


36

Outro erro que chama a atenção foi o fato desse aluno ter desenhado um

pentágono ao invés de um trapézio, evidenciando que ele não consegue perceber

que um trapézio tem quatro lados ao invés de cinco.

O que é conclusivo para essas duas séries quanto aos resultados das

questões é que esses alunos possuem mesmo que de forma incipiente as

habilidades exigida no nível 0 visto que boa parte dos alunos que reconhecem em

maior proporção o quadrado e o retângulo. Faça uma síntese mostrando as

principais conclusões sobre o conhecimento dos alunos em relação ao nível 0.

3.2. ANÁLISE

Nesse nível os alunos deveriam por meio da observação ser capazes de

discernir características em uma ou mais figuras.

Para a resolução da questão de nº 4 era necessário mobilizar habilidades

relacionadas nível 1. Tal questão propunha aos alunos desenhar um paralelogramo

e um triângulo retângulo. Os resultados, sintetizados no quadro abaixo, mostram que

muitos alunos não tiveram êxito nas suas respostas.

Quadro 8: Figuras desenhadas com mais frequência pelos alunos para a 4º questão

7º ano 9º ano

Retângulo, Triângulo Trapézio, Pentágono

Paralelogramo, Triângulo Qualquer, Retângulo Losango, Triângulo

Triângulo, Retângulo, Trapézio Retângulo, Quadrado

Triângulo, Retângulo, Paralelogramo Paralelogramo, Triângulo e Retângulo

Losango, Paralelogramo Paralelogramo e Semicircunferência

Pentágono (chamado de triângulo retângulo) Trapézio, Triângulo retângulo

Retângulo (chamado de triângulo retângulo) Paralelogramo e Triângulo qualquer Respostas corretas Acertos Respostas corretas Acertos

Paralelogramo, Triângulo retângulo 0 Paralelogramo, Triângulo retângulo 2

Nesse nível de pensamento geométrico, os alunos deveriam perceber,

mesmo que de forma incipiente, algumas características das figuras, como: lados

paralelos, quatro lados do mesmo tamanho, ângulos congruentes, etc. No entanto,

constatou-se que na sua maioria os alunos do 7º e 9º ano possuem um

conhecimento muito reduzido quanto à percepção de figuras.

37

Os alunos pesquisados do terceiro e quarto ciclo podem não possuir em

relação ao triângulo retângulo, por exemplo, a habilidade básica chamada de

memória visual que, segundo Del Grande (1994), é a capacidade que o aluno

adquire de armazenar o máximo de informações possíveis a respeito das

características de uma determinada figura para que sem a sua representação em

algum momento ele possa reproduzi-la a partir do que sabe sobre ela.

Como se observa para o 7º e 9º ano (Figuras 7 e 8), respectivamente, os alunos

desenharam um triângulo isósceles e um retângulo para representar o triângulo

retângulo, por deduzir que se tratava não de uma só figura e sim de duas, como se

verifica na Figura 7.Resposta 7º ano


Outra situação que desperta a atenção é o fato dos alunos do 7º ano não

conhecerem o conceito de quadrilátero, pois nas suas justificativas sobre

quadriláteros responderam que são figuras quadradas, como se observa na Figura

7.

38


Isso mostra a lacuna no conhecimento dos alunos quanto as figuras e

propriedades básicas da geometria, que pode ser reflexo do descaso acerca desse

assunto na escola, que na maioria das vezes é relegada para o segundo plano pelos

professores(Câmara apud Albuquerque, 2011). Ou também pode ser pela falta de

domínio de conteúdos geométricos pelos próprios professores.

3.3 DEDUÇÃO INFORMAL

A discussão desta seção trata de questões relacionadas ao nível 2 do modelo

de Van Hiele, denominado de dedução informal. Neste nível, os alunos deverão ser

capazes de identificar grupos de propriedades bem como classificar, a partir da

percepção das relações enxistetente entre elas como congruência dos ângulos,

lados, etc., as possíveis figuras.

O Gráfico abaixo é referente aos resultados da questão nº 5, que exigia que

os alunos associassem quadriláteros aos seus respectivos nomes a partir de suas

características representadas no desenho das figuras.

39

Gráfico 3 Classificação de quadriláteros quanto as suas propriedades (7º ano)

Essa questão exige como principal habilidade a de relacionar quadriláteros

aos seus respectivos nomes, a partir de características como a diferença e

semelhança de lados e ângulos internos. Sendo sim, os alunos encontram-se

novamente diante de uma questão referente ao nível 02 chamado de Análise.

Essa questão apresentou um índice de 65% de acertos. Esse elevado

percentual se ao fato de o quadrado e o retângulo apresentarem os maiores índices,

somando 39% do total de acertos. Confirma, mais uma vez, o que foi mostrado nos

Gráficos 1 e 2 quanto ao conhecimento dos alunos sobre os figuras geométricas,

que se restringe na sua maioria ao quadrado e retângulo. Isso significa que, de

acordo com Del Grande (ano), os alunos dessa série não possuem uma das

habilidades básicas, inerente a essa questão, classificada como discriminação

visual. Esta exige que o aluno perceba diferenças e semelhanças entre figuras, que

nesse caso, são verificada pelo tamanho dos lados e medida dos ângulos, para que

possam classificá-las.

losango\ losango

16%

quadrado\ quadrado

23%


10%


16%

total de erros 35%

40


Ao ser questionado sobre qual critério utilizou para classificar as figuras o

aluno respondeu que foi pela aparência. Ou seja, com isso pode se deduzir que os

alunos do 7º ano podem ainda estarem utilizando apenas o aspecto visual para

classificar as figuras.

Nessa resposta, observa-se outro fator que desperta a atenção que é o fato

do aluno ter respondido corretamente somente o quadrado, confirmando o que os

Gráficos 1 e 2 vem mostrando: o conhecimento desses aluno é restrito às figuras

elementares, que nessa questão é resumido ao quadrado.

Outro dado que torna o resultado que desperta a atenção é o fato de 35% dos

alunos errarem, tendo em vista que, a habilidade requerida nessa questão deveria

ser dominada pelos alunos desde o 2º ciclo. Pois, segundo os PCN (Quando 1),

nessa etapa o aluno deve ser capaz de identificar algumas características nas

figuras como paralelismo entre os lados de uma figura, perpendicularismo, medidas

dos ângulos, etc.

Os resultados mostram que a maioria dos alunos sabem que existem essas

particularidade nas figuras, porém não veem relação entre elas. Tal fato é

evidenciado em algumas respostas dadas pelos alunos, como a da Figura 10.

Apesar de ter errado todas as associações, o aluno percebeu uma relação entre

elas, que foi o os lados, porém não soube utilizar dessa informação para classificar

as figuras.

41


A questão nº 5 exigia que o aluno identificasse o nome de cada figura a partir

das suas características, como ângulos internos, comprimento dos lados e

paralelismo, indicadas em linguagem matemática (traços sobre os lados e ângulos

para indicar a relação entre as medidas).

Gráfico 4 Classificação de quadriláteros quanto as suas propriedades (9º ano)

O alto índice de acertos para essa questão, correspondente a 78%, tende a

passar uma impressão de que os alunos conseguiram obter êxito nas respostas

apresentadas. No entanto, ao ser agrupado dois índices relativos aos acertos sobre

losango\ losango 20%

quadrado\ quadrado

25% paralelogramo\ paralelogramo

16%


17%

total de erros 22%

42

duas figuras, observa-se que 42%, mais da metade do total de acertos, está restrito

ao quadrado e ao retângulo.. Ou seja, os alunos do 9º ano, apesar de estarem no

final do 4º ciclo, apresentam as mesmas dificuldades que os alunos do 7º ano, como

a falta de percepção das figuras por suas propriedades. Isso faz parecer que o

conhecimento desses alunos quanto à percepção de figuras geométricas não

evoluiu muito de uma série para outra, como é verificado na Figura 11.


Nessa resposta os alunos cometeram vários equívocos, como confundir

losango com retângulo, trapézio com losango, etc. Ou seja, esse aluno não se

atentou que um losango não possui ângulo reto ao contrário do retângulo e que o

trapézio possui apenas um par de lados paralelos, ao passo que o losango possui

dois pares. Portanto são habilidades elementares para turmas de 9º ano mais que

não possuem.

Outro índice que desperta a atenção é referente aos 20 % correspondente ao

losango, que mostra um percentual de acertos alto em comparação ao das outras

figuras. No entanto mostra uma contradição quanto o resultado da questão nº 2 que

apresentou um dos índice mais baixo para essa figura. O que leva a pensar que

esse alunos podem ter utilizado o método da eliminação por meio da visualização

para classificar as figuras na medida em que as questão tinha um trapézio,

quadrado, losango e retângulo. Portanto, como já mostrado no quadro nos gráficos

43

1, 2, 3 e 4 o quadrado e o retângulo são figuras conhecidas, sobrando apenas duas

figuras, aumentando assim a chance para marcar a resposta correta.

O quando abaixo é referente aos resultados da questão de nº 3, que propôs

ao o aluno o desenho de um trapézio a partir de uma de suas propriedades.

Quadro 9: Figuras desenhadas com mais frequência pelos alunos para a questão nº 3

7º ano 9º ano

Quadrado Triângulo

Retângulo (chamado de paralelogramo) Trapézio (chamado de losango)

Trapézio (chamado de losango ou de retângulo)

Retângulo

Paralelogramo Quadrado (chamado de paralelogramo)

Retângulo (com nome de quadrado) Paralelogramo (chamado de losango)

Pentágono

Semicírculo (chamado de trapézio)

Paralelogramo (chamado de retângulo)

Respostas corretas Nº

Acertos Respostas corretas

Nº Acertos

Trapézio 2 Trapézio 0

Como é perceptível no Quadro 9, os alunos, em sua maioria, ainda não

dominam as habilidades do nível 2.ainda sentem dificuldade para classificar as

figuras por meio das propriedades delas. De 27 alunos do 7º que participaram dessa

pesquisa, apena 2 responderam corretamente.

A habilidade requerida nessa questão é adequada a turmas iniciais do 3º

ciclo, pois nessa fase o aluno é capaz de classificar figuras planas descrevendo

algumas de suas características (Brasil, 1998). Uma quantidade considerável de

alunos do 7º anos desenharam o quadrado ou o retângulo ou os dois juntos para

representar um quadrilátero que possuísse um par de lados paralelos, como se

observa na Figura 12.

44


Nessa questão é obesrvado a fragilidade que o aluno possui quanto a

habilidade da memória visual proposta por Del Grande que é a capacidade de

armazenar o máximo de informação de uma figura para que possa reproduzi-la sem

a sua representação. Na medida em que desenhou um quadrado e retângulo

quando deveria ser um trapézio.

O mais relevante é perceber que os resultados para o 9º ano é semelhante ao

do 7º. Sendo perceptível uma pequena diferença que não seria relevante se tratasse

de uma turma do quarto ciclo, que é o fato do índice de acerto para essa questão ter

sido zero. Ou seja, esses alunos não estão possuindo nem as habilidades exigidas

para o 7º ano, como a de classificar figuras por meio de suas propriedades. Quando

na verdade deveriam segundo os PCN ter um conhecimento mais elevado que as

séries do 3º ciclo. Na Figura 13 se percebe a dificuldade desse alunos para

classificar as figuras, pois com a propriedade relativo ao trapézio desenharam um

paralelogramo e o nomeou com um retângulo:

45


Portanto, de acordo com os resultados dessa questão ficam evidente que a

grande maioria dos alunos, seja eles 3º ou 4º ciclo, não conseguem identificar uma

figura por suas propriedades e sim pela sua aparência.

Na Quadro 10 será mostrado o resultado questão 7. Nela se exigia que os

alunos desenhassem alguns quadriláteros a partir da descrição verbal de suas

propriedades

Quadro 10: Figuras desenhadas com mais frequência pelos alunos por propriedades

O que os alunos desenharam

Propriedades Resposta correta

7º ano 9º ano

1ª

- Possui apenas dois lados paralelos. - Os lados não

paralelos não são congruentes.

A) Trapézio

Paralelogramo, retângulo, triângulo e

circunferência

Trapézio, triângulo, retângulo, quadrado,

paralelogramo e losango

2ª

- Possui os quatro lados iguais.

- Não possui ângulos retos.

B) Losango

Hexágono, triângulo, retângulo, quadrado,

losango e circunferência

Quadrado, retângulo, losango, paralelogramo e

trapézio

3ª

-Possui os dois lados opostos paralelos e

congruentes. - Os ângulos opostos são congruentes, mas os consecutivos não

são.

C) paralelogramo

Retângulo, triângulo, paralelogramo, losango,

trapézio, pentágono, circunferência

Pentágono, triângulo, retângulo, losango,

paralelogramo, trapézio e circunferência

46

Essa questão está diretamente ligada com a anterior tendo em vista que

ambas fazem alusão ao nível 2, denominado de dedução formal. A partir dos três

grupos de propriedades propostas pela questão esperava-se que os alunos

desenhassem as figuras correspondentes. Para isso, o aluno deveria possuir

algumas da habilidades propostas por Del Grande (1994), dentre elas a principal

classificada como discriminação visual, de modo que esse aluno percebesse as

diferenças e semelhanças das propriedades enunciadas verbalmente para essa

questão sem uma ligação direta com a imagens das possíveis figuras.

No entanto, o resultado para as duas séries, 7º e 9º ano, não foram

satisfatórios e assim como na questão de nº 3 apresentaram semelhanças nas

respostas para as duas séries em discussão, gerando assim uma séria

preocupação, pois se trata de turmas do 3º e 4º ciclo e que essa habilidade de

associar propriedade a figuras é compatível com turmas do 3º ciclo, pois como

descrito nos PCN (Brasil, 1998), uma criança dessa série é capaz de identificar as

características de uma figura para reproduzi-la. Os resultados mostram que os

alunos de ambas as turmas pesquisadas ainda não atingiram essa fase de

percepção geométrica. Ou seja, ainda estão na fase elementar do modelo de Van

Hiele denominado de visualização ao classificarem uma determinada figura pelo

aspecto visual e não pelas suas propriedades.

Como Isso reforça o que as questões anteriores já vem debatendo, quanto a

essa tendência dos alunos pela classificação das figuras quanto ao aspecto visual.

Visto que para o conjunto de propriedades que descrevia um trapézio os alunos

referente ao 7º ano desenharam um quadrado, evidenciando que ainda não atingiu a

habilidade exigida o nível 2 do modelo de Van Hiele. Com essa resposta retoma e

fortalece o resultado mostrado no Gráficos 1, 2, 3 e 4 quanto ao conhecimento das

figuras geométricas dos alunos que se restringe nas figuras básicas que nesse caso

é o quadrado como se verifica na Figura 14:

47


Ainda na Figura 14 outro fato que desperta a atenção é o aluno ter desenhado

uma circunferência, sendo que para a 2º propriedade a questão descrevia um

losango. Isso expõem a fragilidades que o aluno para associar as propriedades

formais a figuras. O aluno em questão pode ter imaginado que se a figura não

possui ângulos retos é, portanto, uma figura arredondada.

Essa dificuldade apresentada pelos alunos do 7º ano aparece também para o

9º ano com a mesma frequência, pois, como se observa na Figura 15, o aluno

propôs como respostas para o 1º, 2º e 3º grupo de propriedade as figuras retângulo

quadrado e triângulo, respectivamente.

48


Esse modelo de resposta retoma algumas discussão levantadas em questões

anteriores quanto a restrinção dos alunos no que tange o conhecimento dos

quadriláteros, correspondente ao quadrado e retângulo como é visto acima.

O quadro abaixo é reflexo da questão nº 1 que fornecia um conjunto de

figuras e pedia que os alunos as agrupassem de acordo com características

similares, chamadas de família na questão.

Quadro 11: Agrupamentos e critérios utilizados pelos alunos para classificar as figuras quanto a sua família

Família Figuras Critério

1

Comprimento da figura

2

Arredondamento das formas

49

3

Formato triangular

4

Configuração da figura quanto ao “bico” para baixo

5

Figuras com “bicos” agudos

6

Formas semelhantes das figuras

Os resultados da questão geradora desse quadro serão analisados de acordo

com o nível 2, denominado dedução informal. Tal questão exigia dos alunos a

habilidade de classificação das figuras em famílias, sendo que para isso, eles

deveriam apresentar conhecimento das propriedades das mesmas como: número

de lados, lados paralelos, medidas dos ângulos, etc. No entanto, levaram em

consideração outras características como comprimento da figura, arredondamento

das formas, semelhança visual do formato, configuração da figura quanto ao “bico”

para baixo, etc., que os parâmetros utilizados foram apenas o aspecto visual da

figura. Isso levou a relacionar um pentágono convexo com um côncavo devido ao

seu formato (Quadro 11).

Essa resultado, reforçam o que já vem sendo observado ao longo das

análises das questões dessa pesquisa, que se deve ao fato dos alunos do 7º e 9º

ano não atingirem o nível 2 do modelo do modelo em questão ou que seus

conhecimentos estão estagnados nas séries inferiores na medida que ainda utilizam

o aspecto visual para classificação das figuras, pois não possuírem os

conhecimentos exigidos pelos PCN para essas séries. Que seria a identificação

direta das propriedades formais de figuras geométricas (BRASIL, 1998).

Os resultados do Gráfico 5 se referes às respostas dadas pelos alunos

quando questionados se tiveram ou não dificuldades em resolver alguma questão.

50

Gráfico 5: Dificuldade enfrentada pelos alunos para responder as questões (7º e 9º ano)

Os resultados expostos no gráfico acima merecem destaque por dois fatores.

O primeiro é o alto índice de aluno que disseram ter dificuldade para responder esse

teste, um percentual de 75%. Ou seja, mais da metade, contra apenas 22% que

disseram não ter.

Quanto ao segundo, deve se ao fato de saber que esse índice de 75%

representa indicação por parte dos alunos sobre suas em um conjunto de questões

que por sua vez possuem um nível de complexidade inferior às duas séries em

questão, pois, no geral, tratam de perguntas que tem como principal objetivo a

visualização de figuras e classificação das mesmas por suas propriedades. Segundo

os PCN, esses objetivos são inerentes a turmas do 1º e 2º ciclo.

O quadro abaixo mostra os resultados obtidos a partir da questão de nº 9

sendo perguntada qual a importância do conteúdo de geometria na escola.

Quadro 12: Principais importâncias para os alunos quanto o ensino de geometria

Qual a importância da geometria na escola?

Respostas dos alunos

Porque tenho dificuldade

Porque vamos precisar em estudos futuros

Porque é importante

Para ter um futuro melhor

Sim, por que mostra situações praticas do dia a dia

Sim para podermos tirar uma nota boa na prova

Sim 75%

Não 22%

não respoderam 3%

51

A questão 9 tinha como objetivo saber dos alunos qual a importância do

ensino de geometria na escola. Por meio dela se obteve uma variedade de

respostas, entre elas foram destacadas algumas e postas na tabela acima.

uma delas chamou a atenção pelo fato do aluno dizer que é importante estudar na

escola esse conteúdo, porque tem dificuldade. Portanto, essa resposta consolida o

que já foi verificado nas questões anteriores, ou seja, a grande deficiência visível

para essas duas séries pesquisadas quanto a esse tópico de conteúdo da

matemática. No entanto, o agravante não é saber que possuem dificuldade, e sim,

saber que estas estão relacionadas com questão que tem o grau de complexidade

muito baixa.

52

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Que habilidade quanto ao pensamento geométrico os alunos do ensino

fundamental possuem? Para responder essa pergunta foi aplicado um teste aos

mesmos, focando as características dos três primeiros níveis do pensamento

geométrico proposto por Van Hiele. Partindo dos resultados desse teste pude

perceber a fragilidade do ensino de geometria no ensino fundamental.

O resultado do teste mostrou que os alunos, em sua maioria, encontram-se

no nível básico referente à identificação de figuras, ou seja, no nível da visualização.

É possível concluir, a esse respeito, que as habilidades dos alunos no que refere ao

pensamento geométrico permanece estagnado no nível 0. Tal situação é

preocupante, pois esse conhecimento é equivalente a séries iniciais do ensino

fundamental.

Outro fator relevante verificado ao longo das análises é no que refere ao

leque de conhecimento dos alunos quanto aos quadriláteros, que se limita ao

quadrado e retângulo. Todavia, a pesquisa deixa claro que o conhecimento dos

alunos quanto ao losango, trapézio e paralelogramos são quase inexistentes.

Tal situação pode ser consequência de o ensino dessas figuras está

concentrado, mesmo nas séries finais do 3º e 4º ciclo, nas figuras básicas como as

citadas, o que revela um dado preocupante na medida em que o trabalho com

figuras elementares deve ser dominado desde o 1º e 2º ciclos do ensino

fundamental.

Nesse sentido, esse trabalho pode motivar sérias discussões sobre o ensino

de geometria com o intuito de buscar por respostas sobre o que vem a causar esse

quadro de conhecimento dos alunos acerca dos quadriláteros. A partir disso, então,

propor formas mais eficazes de intervenção.

53

REFERÊNCIAS

ALBUQUERQUE, H. T. A. Dificuldades no reconhecimento de figuras geométricas nas séries iniciais do ensino fundamental II e médio. In: CONFERÊNCIA INTERAMERICANA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 8., 2011, Recife. Anais... Recife, 2011. BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática - terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1998. BIGODE, A. J. L. As crianças, seus espaços e suas ações. In: BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Cadernos da TV Escola: PCN na Escola. Brasília: SED/SEF, 1998. p. 9-16. CROWLEY, L. M. O modelo van hiele de desenvolvimento do pensamento geométrico. In: LINDQUIST, M. M.; SHULTE, A. P. [org.]. Aprendendo e ensinando geometria. São Paulo: Atual, 1994. p. 1-20. DALFORO, M. S.; LANA, R. A.; SILVEIRA, A. Métodos quantitativos e qualitativos: Um resgate teórico. Revista Interdisciplinar Científica Aplicada, Blumenau, v. 2, n. 4, p. 1-13, 2008. DANA, M. E. Geometria – um enriquecimento para a escola elementar. In: LINDQUIST, M. M.; SHULTE, A. P. [org.]. Aprendendo e ensinando geometria. São Paulo: Atual, 1994. p. 141-155. DEL GRANDE, J. J. Percepção espacial e geometria primária. In: LINDQUIST, M. M.; SHULTE, A. P. [org.]. Aprendendo e ensinando geometria. São Paulo: Atual, 1994. P. 156-167. FONSECA, M. F. R. et all. O ensino de geometria na escola fundamental: três questões para a formação de professores dos ciclos iniciais. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2009. p. 9-127. HELIODORA, Y. M. L. l. Educação matemática e o contexto dos debates sobre educação no Brasil, 2001. p. 105-120 LORENZATO, S. Porque não ensinar geometria?. Campinas: Faculdade de Educação - UNICAMP, 1995. p. 13 GARCIA, L. M. I. A Visualização e a representação geométrica de conceitos matemáticos e suas influências na constituição do conceito matemático. IGCE/UNESP, Rio Claro, 2006. SANT’ANA, E. C. Geometria segundo modelo de Van Hiele: uma análise do nível de pensamento geométrico dos alunos ao final do ensino fundamental. Centro Universitário La Salle, Canoas, 2009.

54

APÊNDICE A: Carta convite e termo de autorização para as diretoras dos

estabelecimentos

SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CAMPUS DE MARABÁ

FACULDADE DE MATEMÁTICA

Carta convite e termo de autorização

Prezada senhor(a)

Diretor(a) da EMEF

As pesquisas envolvendo a aprendizagem em geometria tem evidenciado ausência

consubstancial do conhecimento dos alunos nesse assunto. Embora tenha crescido o

número de trabalhos realizados acerca desse assunto nos últimos anos, ainda urge investigar

mais sobre o que de fato os alunos sabem quando o assunto em questão é geometria. A

partir dessa e outras questões estamos desenvolvendo a pesquisa de Trabalho de Conclusão

de Curso – TCC do Leonardo Silva Diniz, do curso de Licenciatura Plena em Matemática, da

UFPA, Campus de Marabá. A pesquisa tem como objetivo principal compreender que

dificuldades alunos do ensino fundamental maior têm quando resolvem questões sobre

quadriláteros. Acreditamos, com isso, que os resultados deste trabalho investigativo possam

trazer contribuições significativas no que se refere, principalmente, ao campo da Educação

Matemática e do ensino de geometria, de modo geral.

Nesse sentido, vimos por meio deste solicitar parceria desta escola para o

desenvolvimento da pesquisa de campo disponibilizando, se possível, alunos de turmas do

7º e 9º anos do ensino fundamental participarem da produção de dados para o TCC. Os

alunos serão convidados a responderem algumas questões de matemática. Agradecemos,

55

antecipadamente, a colaboração desta escola. Salientamos que a identidade pessoal dos

alunos será resguardada, pois os seus nomes serão mantidos em sigilo.

Por meio do presente termo, nós, Professor Msc. Ronaldo Barros Ripardo (orientador) e

Leonardo Silva Diniz (orientando), solicitamos também a sua autorização para utilizar as

informações provenientes da aplicação dos instrumentos acima especificados na redação do

trabalho de pesquisa, bem como em publicações oriundas dele.

Comprometemo-nos, ao término do desenvolvimento da pesquisa, disponibilizar

para esta escola uma cópia do trabalho para que a mesma possa tomar conhecimento das

conclusões chegadas com a pesquisa.

________________________________ ________________________________

Prof. Msc. Ronaldo Barros Ripardo Leonardo Silva Diniz Faculdade de Matemática/UFPA Orientando de TCC Email: [email protected]

56

APÊNDICE B: Teste com questões matemáticas

Identificação

EMEF______________________________________________ TURMA:_________ ALUNO: ____________________________________________ IDADE: _________

Importante!

I. Leia atentamente cada questão antes de respondê-la.

II. Caso não consiga resolver toda a questão, faça o que conseguir, mesmo que

seja apenas parte da resolução.

III. O objetivo é apenas sabermos os conhecimentos que você possui sobre alguns

assuntos de geometria. Sua resposta não será utilizada como avaliação para a

disciplina matemática.

IV. É importante que você tente responder toda a questão sem a ajuda de terceiros,

pois, como já dito, o objetivo destas questões não é atribuir nota ao que você

responder.

QUESTÕES

1. Família de figuras são aquelas que possuem certas características em comum. Nas figuras abaixo, identifique com números as que são da mesma família.

Que critérios você levou em consideração para reunir determinadas figuras

em uma família e não em outra?

2. Relacione cada quadrilátero a seu respectivo nome.

57

( ) paralelogramo ( ) retângulo ( ) losango ( ) quadrado 3. Desenhe na malha quadriculada um quadrilátero que possui apenas um par de lados paralelos.

Qual nome da figura que você construiu?

4. Desenhe na malha quadriculada um paralelogramo e um triângulo retângulo.

58

As figuras construídas nessa atividade pertencem ao grupo dos

quadriláteros? Explique sua resposta.

5. Associe cada figura abaixo a seu respectivo nome. (1) (2) (3) (4)

( ) quadrado ( ) retângulo ( ) trapézio ( ) losango Qual(is) critério(s) você utilizou para classificar cada figura?

6. Desenhe na malha quadriculada as figuras geométricas que se pede. a) paralelogramo b) trapézio c) losango d) retângulo e) triângulo

59

8. Desenhe na malha quadriculada as figuras de acordo com as propriedades descritas abaixo. Diga também qual o nome de cada uma delas. Figura A Figura B Figura C

9. Considerando todas as questões vistas acima, responda:

a. Teve dificuldades para resolver alguma delas?

( ) Sim ( ) Não

b. Se você marcou sim na pergunta anterior, diga qual foi a questão que mais

teve dificuldades e a razão disso.

10. Você considera importante estudar na escola os conteúdos vistos neste teste? Por quê?

Possui apenas dois lados paralelos.

Os lados não paralelos não são congruentes.

Possui os quatro

lados iguais.

Não possui

ângulos retos.

Possui os dois lados

opostos paralelos e

congruentes.

Os ângulos opostos são

congruentes, mas os

consecutivos não são.

universidade federal do parÁ campus ... esta pesquisa teve como objetivo geral investigar que...

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