UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC

CMCC

Centro de Matematica, Computacao e Cognicao

DISCIPLINA

Praticas de Ensino de Matematica no Ensino Fundamental

Algebra: uma introducao as generalizacoes

ALUNODiego Medeiros de Aguiar

Bacharelado em Ciencia e TecnologiaRA 21002613

ORIENTACAOProf. Dr. Claudio Fernando Andre

Santo Andre1o quadrimestre de 2016

Conteudo

Dados gerais 2

1 Perguntas problematizadoras 3

2 Propositos 42.1 Conceituais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Procedimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Atitudinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Planejamento 53.1 Prazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Produto(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2.1 Criterios de avaliacao dos produtos . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.3 Exercıcios de fixacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.4 Funcoes dos alunos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.5 Conteudo/Conhecimento formal/Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.5.2 Contexto historico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.5.3 Representacao algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.5.4 Utilizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.5.5 Valor numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.5.6 Expressoes algebricas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.6 Matematico (breve biografia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Pesquisa 11

5 Producao 115.1 Professores - Procedimentos, acoes e atividades . . . . . . . . . . . . . . 115.2 Producao - Alunos - Procedimentos, acoes e atividades . . . . . . . . . . 12

6 Publicacao 136.1 Produtos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

7 Processo de avaliacao 137.1 Autoavaliacao dos alunos - Registro das licoes aprendidas . . . . . . . . . 137.2 Avaliacao - Exercıcios de fixacao - Prova Brasil/OBMEP . . . . . . . . . 147.3 Avaliacao - Rubricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Referencias bibliograficas 18

1

Dados Gerais

DisciplinaMatematica

Nıvel de ensinoEnsino Fundamental

Ano7o ano/6a serie

EixoTema III: Numeros e Operacoes/Algebra e Funcoes

TıtuloAlgebra: uma introducao as generalizacoes

SinopseEsta aula compoe uma visao inicial sobre a Algebra e seus desdobramentos na construcaode um novo pensamento logico-matematico atraves de uma situacao diferenciada, no caso,a descoberta de padroes em charadas matematicas.

Recursos e materiais de apoio

1. Softwares e aplicativos• Processador de texto – LATEX• Software de apresentacao: Microsoft PowerPoint• Software de matematica dinamica: Geogebra• Software para notacao matematica – LATEX

2. Hardware• Microcomputador ou tablet

Glossario (5 palavras/termos)1. Algebra: e o ramo que estuda a manipulacao formal de equacoes, operacoes ma-tematicas, polinomios e estruturas algebricas. (Wikipedia, versao em portugues)2. Expressao algebrica: e uma expressao matematica que apresenta numeros e (ousomente) quantidades desconhecidas ou generalizadas. (definicao do autor)3. Variavel: e o nome dado a quantidade desconhecida ou generalizada em uma ex-pressao algebrica. (definicao do autor)4. Valor numerico: e o valor obtido ao substituir as variaveis de uma expressao algebricapor numeros e a efetuacao dos calculos indicados (GIOVANNI, CASTRUCCI, GIOVANNIJR., 1996)5. Numero literal: e o uso das letras do alfabeto para representar numeros. (GIO-VANNI, CASTRUCCI, GIOVANNI JR., 1996)

2

1 Perguntas problematizadoras

Como voce faria para expressar relacoes entre quantidades que voce nao conhece?

Como eu sei as propriedades de uma operacao sem ter que testar todos os casos?

Como voce consegue descobrir quantidades desconhecidas em um problema?

3

2 Propositos

2.1 Conceituais

• D30-EF2-MAT – Calcular o valor numerico de uma expressao algebrica.

• D32-EF2-MAT – Identificar a expressao algebrica que expressa uma regularidadeobservada em sequencias de numeros ou figuras (padroes).

2.2 Procedimentais

• Aplicar conhecimentos existentes para gerar novas ideias, produtos ou processos.

• Desenvolver trabalhos originais como um meio de expressao individual e coletiva.

• Identificar e definir problemas autenticos e questoes significativas para investigacao.

• Usar os principais recursos dispositivos digitais e moveis, tais como: computador,notebook, netbook, filmadora digital, camera fotografica, impressora, scanner, pen-drive, smartphones e tablets;

• Encontrar e utilizar tecnologias, solucoes e ferramentas gratuitas na internet.

2.3 Atitudinais

• Produzir conteudos de acordo com as orientacoes, escopo e regras estabelecidas paracada tipo de genero.

• Trabalhar colaborativamente e cooperativamente, de acordo com regras de con-vivencia que contribuam para ambientes harmoniosos.

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3 Planejamento

3.1 Prazo

2 aulas de 50 minutos

3.2 Produto(s)

Atividade escrita individual

3.2.1 Criterios de avaliacao dos produtos

Clareza na situacao problema avaliada, complexidade do raciocınio indutivo observado eorganizacao das informacoes.

3.3 Exercıcios de fixacao

• De 85% ate 100% de acertos – Otimo

• De 65% ate 84,9% de acertos – Bom

• De 50% ate 64,9% de acertos – Regular

• De 0% ate 49,9% de acertos – Precisa melhorar

3.4 Funcoes dos alunos

Investigar relacoes, padroes e propriedades partindo do mundo aritmetico para o algebrico,alem de proporcionar a criacao de charadas matematicas como introducao ao formalismoalgebrico.

5

3.5 Conteudo/Conhecimento formal/Fundamentos

Algebra: uma introducao as generalizacoes

3.5.1 Introducao

Vamos tomar a seguinte situacao:

Clara e uma confeiteira. Para produzir 12 bolos, o custo de cada bolo e de R$ 15,00e ela sempre tem um custo fixo, independente da quantidade produzida, de R$ 20,00.Quanto custou a producao?

Naturalmente, se serao produzidos 12 bolos a um custo de 15 reais, a resposta seradada pelo produto de 15 por 12, isto e, 12 · 15 = 180. Temos ainda que adicionar o custofixo de R$ 20,00, portanto, o custo sera de 12·15+20 = 180+20 = 200, ou seja, R$ 200,00.

Mas e se ao inves de 12 fossem 15 bolos?

O problema seria resolvido multiplicando o mesmo custo de R$ 15,00 para 15 bolos esomando o custo fixo de R$ 20,00, isto e, 15 · 15 + 20 = 225 + 20 = 245, ou seja, R$245,00.

Sera que e possıvel expressar o custo de Clara atraves de uma expressao que seja validapara qualquer que seja a quantidade de bolos?

3.5.2 Contexto historico

Na Antiguidade, a falta de sımbolos para indicar as operacoes e expressar os calculosnecessarios a resolucao de um problema levou o homem a recorrer ao uso das palavras.Isso tornava o calculo longo, cansativo e complicado.O filosofo grego Aristoteles (384 – 322 a.C.) e o matematico grego Euclides (seculo IIIa.C.) foram os primeiros a usar letras e sımbolos, embora de forma muito limitada, paraindicar numeros e expressar a solucao de um problema.

Em seguida, foi utilizado o recurso da abreviacao para sintetizar de maneira mais ra-cional o calculo. Foi, porem, o matematico e astronomo Francois Viete (1540 – 1603)o introdutor do uso de letras para indicar numeros e dos atuais sımbolos das operacoes

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que usamos ate hoje. Por esse motivo, Viete e considerado o pai da Algebra. O uso dasletras e o calculo literal trouxeram enormes progressos para a Matematica, que assumiua forma atual ao longo do tempo.

A palavra algebra deriva da expressao arabe al-jabr (reunir), usada no tıtulo do livroAl-jabr w’al mugabalah ou, em portugues, A arte de reunir desconhecidos para igualaruma quantidade conhecida, escrito no seculo IX por Al-Khwarizmi, o mesmo que levouos atuais algarismos (nota alguma semelhanca entre o nome e a palavra algarismo?) in-doarabicos juntamente ao sistema decimal para a Europa. Este estudo de Al-Khwarizmifoi traduzido para o latim e entao a algebra passou a ser utilizada pelos matematicoseuropeus.

3.5.3 Representacao algebrica

Cada sımbolo matematico corresponde a um conceito. Com regras apropriadas, relacio-namos uns aos outros e com os demais elementos da linguagem matematica para exprimiruma ideia. Vamos a alguns exemplos:

Frase na linguagem comumExpressao nalinguagem matematica

Oito adicionado a sete 8 + 7O quadrado de tres multiplicado por cinco 32 + 5

Expressoes aritmeticas

O dobro de um numero qualqueradicionado a um outro numero qualquer

2x + y

O dobro da soma de dois numeros quaisquer 2(x + y)Um numero ımpar qualquer 2x + 1

Expressoes algebricas

As expressoes aritmeticas que contem somente sımbolos numericos sao denominadas ex-pressoes aritmeticas, e aquelas que contem letras sao denominadas expressoes lite-rais.

Note que, nos tres ultimos casos da tabela, nos temos termos que designam numerosde forma vaga (um numero qualquer, o dobro de um numero qualquer...). Nesses ca-sos, quando nao sabemos que numero e esse, ou seja, e um numero que pode, naquelacircunstancia assumir diversos valores, representamos o dito numero por uma letra qual-quer, que em Matematica chamamos de variavel. Obs.: A multiplicacao entre variaveisou entre numeros e variaveis nao precisa ser indicada, isto e, se tivermos uma expressao2 · x (dois vezes um numero qualquer), podemos reduzi-la a 2x.

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3.5.4 Utilizacao

As expressoes literais sao muito uteis quando tratamos de explicar um evento de formagenerica, porque se escrevemos sentencas ou expressoes em funcao de variaveis, o quesoubermos ser valido para essas variaveis sera valido para qualquer outro numero queseja colocado no lugar da variavel.Por exemplo, a propriedade comutativa da adicao (a ordem das parcelas nao altera asoma) pode ser reescrita como:

”Sejam a e b dois numeros inteiros. Entao, a + b = b + a.”

Note que a e b sao variaveis. Se a propriedade vale para qualquer a e b, entao vale paraquaisquer outros numeros que colocarmos no lugar de a e de b:

a b a+b b+a2 3 2+3=5 3+2=54 12 4+12=16 12+4=16

Ela tambem nos permite expressar padroes reconhecıveis para sequencias de numeros.Por exemplo:

Coluna 1 Coluna 21 12 43 94 165 25

Podemos verificar nessa sequencia de numeros que a relacao entre os numeros da coluna1 e da coluna 2 e que os numeros da coluna 2 sao os quadrados dos numeros da coluna1. Mas como eu posso expressar esse padrao de forma matematica?

Se chamarmos de n um numero qualquer da coluna 1, temos que o correspondente delena coluna 2 e o quadrado de n, isto e, n · n = n2. Entao temos na tabela:

Coluna 1 Coluna 21 12 4. . . . . .n n2

3.5.5 Valor numerico

Dada uma expressao algebrica, podemos atribuir a ela um valor numerico, isto e, subs-tituımos a variavel por um numero bem definido e fazemos os calculos necessarios. Porexemplo:

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Exp. algebrica Valor para x Valor para y Valor para z Como fica Valor numerico3x2 + 5 2 Nao ha Nao ha 3(2)2 + 5 174(x + 2)− y

3-1 1 Nao ha

4(−1 + 2)− 1

31

2x + 1− yz1

22 3 2

(12

)+ 1− 23 -6

3.5.6 Expressoes algebricas equivalentes

Vejamos o seguinte exemplo:

Podemos expressar o perımetro deste triangulo com lados medindo x, x + 1 e 2xatraves da soma desses termos:

P = x + (x + 1) + 2x

No entanto, ha algumas propriedades das operacoes que nos ja conhecemos que podemosaplicar nesta expressao:

P = x + (x + 1) + 2xP = (x + x) + 1 + 2x→ (propriedade associativa)P = 2x + 1 + 2x→ (um numero somado a ele mesmo resulta no dobro deste)P = 4x + 1x→ (duas vezes algo mais duas vezes resulta em quatro vezes)

Entretanto, a expressao P = x + (x + 1) + 2x e P = 4x + 1 significam a mesma coisa:o perımetro do triangulo 4ABC. Dizemos que as expressoes sao equivalentes. Podemosobter expressoes equivalentes conforme a nossa necessidade.

FonteDANTE, Luıs Roberto. Tudo e matematica – 6a serie. Sao Paulo: Atica, 2002, 1a edicaoGIOVANNI, Jose Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI Jr., Jose Ruy. A conquistada matematica de acordo com a proposta curricular de Sao Paulo: 6a serie. Sao Paulo:FTD, 1996, edicao renovada.BONJORNO, Jose Roberto; BONJORNO, Regina Azenha; OLIVARES, Ayrton. Ma-tematica: fazendo a diferenca – 6a serie/7o ano. Sao Paulo: FTD, 2006, 1a edicao.

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3.6 Matematico (breve biografia)

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4 Pesquisa

• 1. Acesse o site http://www.somatematica.com.br/algebra.php, e obtenha uma des-cricao mais detalhada e precisa sobre a historia da algebra pelos arabes, babilonios,gregos ate se popularizar na Europa.

• 2. Acesse o site https://pt.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-algebrapara rever os topicos de algebra. Atencao, pode conter alguns vıdeos em ingles.

5 Producao

5.1 Professores - Procedimentos, acoes e atividades

Caro professor, seguem algumas orientacoes e atividades possıveis de serem realizadasnas aulas introdutorias de algebra:

Sabemos que o aparecimento de letras para representar quantidades e algo que pode cho-car os alunos logo de inıcio. E importante, antes de introduzir o carater literal, se osalunos tem bom conhecimento das propriedades da adicao e da subtracao.

Exercıcio 1: Cheque se os alunos conhecem as propriedades que envolvem a adicao e amultiplicacao. Va listando varios exemplos para depois enunciar o nome tecnico, inclusiveao dar os exemplos, se essas propriedades valem para a subtracao e a divisao. Ao citaros exemplos, aproveite para checar se os alunos tem domınio das operacoes envolvendonumeros inteiros e fracionarios.

E importante ressaltar aos alunos qual e o significado de variavel e qual a sua funcao naexpressao. Muitos livros didaticos definem expressao algebrica (ou literal) como aquelaque contem letras. Essa definicao, embora nao totalmente incorreta, e incompleta, poisnao elucida a razao pela qual as letras sao utilizadas naquele contexto.

Exercıcio 2: Comece a discutir situacoes bem simples onde os valores podem variar,como por exemplo o numero de quadradinhos em uma malha, o quanto uma pessoa irareceber em uma venda dependendo do numero de produtos comercializados, entre outros.Possivelmente os alunos irao compreender que ha termos que nao mudam nos calculos eoutros que tem a natural caracterıstica de variarem.

Exercıcio 3: Reforce que as letras tem a funcao de substituir uma quantidade desco-nhecida ou ignorada, e alem disso, que qualquer letra pode ser escolhida dependendo danecessidade e do que facilitar o entendimento. Por exemplo, se quisermos falar de comodescrever uma operacao onde a variavel seja o numero de pessoas, a natural escolha paraa letra que representa a variavel e p.

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Exercıcio 4: Esta e a hora de deixar os alunos investigarem padroes. Apresente listasde tabelas e peca aos alunos para identificarem o padrao que esta envolvido e para quedescrevam esse padrao em portugues mesmo. Feito isso, convide os alunos a vir a lousa, ecom sugestoes da classe e a sua ajuda, a construir as expressoes algebricas que descrevamadequadamente os padroes.

5.2 Producao - Alunos - Procedimentos, acoes e atividades

Para comecar...A algebra que voce comecou a estudar agora ira mudar completamente a maneira sobre aqual voce conhece a Matematica. Voce passara a investigar padroes e resolver problemassob uma otica muito mais organizada e simplificada, o que podera ajuda-lo a entendermelhor essa area magnıfica do conhecimento.

MissaoPara este estudo voce precisara investigar alguns jogos de adivinhacao de numeros. Comovoce deve saber, nao ha nenhuma magica nesses jogos, e claramente deve haver algumpadrao que explique porque eles sempre dao certo.

Etapas1. Leia com atencao essas tres charadas matematicas. Para facilitar, treine com seusamigos varias vezes para ver se identifica, ainda que de maneira nao formal.

1 - Pense em um numero de 1 a 9.2 - Multiplique por 2.3 - Some 10.4 - Divida o resultado por 2.5 - Subtraia esse resultado pelo numero que voce pensou no passo 1.

1 – Peca para que seu amigo pense em um numero, de preferencia de 1 a 10.2 – Diga para que ele multiplique esse numero por 23 – Depois, que some 3 a esse resultado4 – Entao, peca para que ele triplique esse valor5 – Depois, subtraia 96 – Peca para que ele diga quanto deu. Dado esse resultado, divida-o por 6 e pronto, vocedescobriu o valor.

1 – Escolha um numero2 – Adicione 5 a esse numero3 – Multiplique o resultado por 24 – Subtraia 6

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5 – Divida por 26 – Subtraia o numero que voce pensou.

2. Tente, para cada um dos casos, a formular expressoes matematicas que descrevamo porque de sempre ser possıvel adivinhar ou poder fazer alguma afirmacao atraves dealgum dado oferecido por seu amigo(a).

3. Apos isso, e a sua vez de criar uma charada matematica. Ao cria-la, descreva de ma-neira matematica utilizando a algebra para explicar porque ela funciona. Utilize livrosdidaticos e consulte o professor em caso de duvidas.

6 Publicacao

6.1 Produtos

Uma pequena composicao escrita com a descricao de tres charadas matematicas citadasno item anterior e a liberdade de criacao de uma charada com a devida demonstracaoalgebrica.

7 Processo de avaliacao

7.1 Autoavaliacao dos alunos - Registro das licoes aprendidas

CriteriosDesempenhoavancado

Desempenhomedio

Desempenhoiniciante

Consegui compreender a funcionalidade de seexpressar situacoes matematicas de forma literalConsegui compreender os conceitos de variavel,expressao literal, valor numerico e expressaoequivalenteConsegui fornecer explicacao algebrica para astres charadas de maneira satisfatoria ecompreensıvelConsegui criar uma charada matematica de modoque ela pudesse ter fundamentacao algebricasatisfatoria

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7.2 Avaliacao - Exercıcios de fixacao - Prova Brasil/OBMEP

Exercıcios para avaliacao

1. (Prova Brasil) Uma prefeitura aplicou R$ 850 mil na construcao de 3 creches eum parque infantil. O custo de cada creche foi de R$ 250 mil. A expressao querepresenta o custo do parque, em mil reais, e:

(a) x + 850 = 250

(b) x− 850 = 750

(c) 850 = x + 250

(d) 850 = x + 750

Resolucao: O parque custou no total R$ 850,00 e esse custo foi dividido para oparque e as tres creches:

850 =? + 3 · 250.

O ponto de interrogacao marca que nao sabemos o custo do parque. Substituindopela variavel x, temos: 850 = x + 3 · 250⇒ 850 = x + 750.

2. (Prova Brasil) As figuras mostradas a seguir estao organizadas dentro de um padraoque se repete:

Mantendo essa disposicao, a expressao algebrica que representa o total de pontosT em funcao da ordem n (n = 1, 2, 3, . . .) e:

(a) T = 2n− 1

(b) T = 2n + 1

(c) T = n2 − 1

(d) T = n2 + 1

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Resolucao: Para cada ordem, notamos que ha um quadrado cuja quantidade depontos por lado e da mesma ordem (3o na ordem, 3 pontos no lado). Portanto,calculamos a quantidade de pontos por n · n = n2 e em cada um deles tem umponto fora do quadrado. Entao, T = n2 − 1.

3. (Prova Brasil) Paulo e dono de uma fabrica de moveis. Para calcular o preco Vde venda, em reais, de cada movel que fabrica, ele usa a seguinte formula: V =1, 5C + 10 , sendo C o preco de custo em reais desse movel. Considere que o precode custo de um movel que Paulo fabrica e R$ 100,00.Entao, ele vende esse movel por:

(a) R$ 110,00

(b) R$ 150,00

(c) R$ 160,00

(d) R$ 210,00

Resolucao: Basta calcular o valor numerico trocando C por R$ 100,00:V = 1, 5C + 10⇒ V = 1, 5 · 100 + 10⇒ V = 150 + 10⇒ V = 160

4. (Caderno de questoes OBMEP) A expressaoa−2

a5· 4a

(2−1a)−3com a 6= 0 e igual a:

(a)a3

2

(b)2

a3

(c)1

2a3

(d)a5

2

(e)2

a5

Resolucao: Temos uma serie de manipulacoes algebricas que devem obedecer aoque foi visto nas propriedades de potencias:

a−2

a5· 4a

(2−1a)−3

⇒ a−2−5 · 4a

2(−1)(−3)a−3

⇒ a−7 · 22a

(2−1a)−3

⇒ a−7 · 22

23· a

a−3

15

⇒ a−7 · 22−3 · a1−(−3)

⇒ a−7 · 2−1 · a4

⇒ a−7+4 · 2−1

⇒ a−3 · 2−1

⇒ 1

a3· 1

2

⇒ 1

2a3

5. (Caderno de questoes OBMEP) Sex

y=

3

zentao 9y2 e igual a:

(a)x2

9

(b)x3

z

(c) 3x2

(d) x2z2

(e)1

9x2z2

Resolucao: Aplicamos a regra da proporcionalidade:

x

y=

3

z⇒ 3y = xz ⇒ (3y)2 = (xz)2 ⇒ 9y2 = x2z2

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7.3 Avaliacao - Rubricas

Rubrica para avaliacao da atividade:

Iniciante Aceitavel Satisfatorio

Categoria e pesoAbaixo dos padroesesperados

Desempenhoaceitavel

Demonstradesempenhoexcelente

Organizacao(50%)

A distribuicao doselementos (texto elinguagemmatematica)esta confusa

A distribuicao doselementos (texto elinguagemmatematica)e satisfatoria

A distribuicao doselementos (texto elinguagemmatematica)e correta, clarae permiteo entendimento dequalquer leitor

Mensagem/conteudo(50%)

Conteudo poucoclaro ou demonstracaoincorreta por errosconceituais ouoperatorios e/ou naoconseguiu criar umacharada comdemonstracao correta.

Conteudo comalguma clareza,mas apresentaalguns errosconceituaisque podemcomprometero entendimento.

Demonstracoesclaras e notavelcriatividade nacriacao dacharada comfundamentacaomatematica.

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Referencias bibliograficas

DANTE, Luıs Roberto. Tudo e matematica – 6a serie. Sao Paulo: Atica, 2002, 1a edicao.GIOVANNI, Jose Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI Jr., Jose Ruy. A conquistada matematica de acordo com a proposta curricular de Sao Paulo: 6a serie. Sao Paulo:FTD, 1996, edicao renovada.BONJORNO, Jose Roberto; BONJORNO, Regina Azenha; OLIVARES, Ayrton. Ma-tematica: fazendo a diferenca – 6a serie/7o ano. Sao Paulo: FTD, 2006, 1a edicao.

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