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Universidade Federal de Viçosa

Disciplina: EST 631

Introdução à Metodologia de Superfície

Universidade Federal de Viçosa Departamento de Estatística

Disciplina: EST 631 – Métodos Estatísticos II

Apostila

Introdução à Metodologia de Superfícies de Resposta

Paulo Roberto Cecon

Anderson Rodrigo da Silva

Viçosa, MG

2011

de Resposta

Paulo Roberto Cecon

Anderson Rodrigo da Silva

ii

Introdução à Metodologia de Superfícies de Resposta

iii

Sumário

1. Introdução.................................................................................................................. 1

2. Modelo de Primeira Ordem ....................................................................................... 4

3. Delineamentos Experimentais para Ajuste de Modelos de Primeira Ordem ............ 9

3.1. Fatorial Completo .............................................................................................. 9

3.2. Delineamento Composto Central (DCC) ........................................................... 9

3.3. Delineamento Composto Central Rotacionado (DCCR) ................................. 10

3.4. Delineamento de Box-Behnken (DBB) ........................................................... 10

4. Teste de Significância do Modelo ........................................................................... 12

5. Medidas e Adequação de Modelos.......................................................................... 13

6. Teste para Falta de Ajuste ....................................................................................... 14

7. Método da Inclinação Ascendente .......................................................................... 15

8. Exemplo de Aplicação para o Modelo de Primeira Ordem .................................... 15

9. Modelo de Segunda Ordem ..................................................................................... 21

10. Localização do Ponto Estacionário ......................................................................... 28

11. Caracterizando a Superfície de Resposta ................................................................ 29

Referências ..................................................................................................................... 35

1

1. Introdução

No contexto da estatística experimental há constante interesse em caracterizar a

possível relação entre uma ou mais variáveis resposta e um conjunto de fatores de

interesse. Isso pode ser executado através da construção de um modelo que descreva a

variável resposta em função dos níveis aplicáveis desses fatores.

Certos tipos de problemas científicos envolvem a expressão de uma variável

resposta, tal como o rendimento de um produto, como uma função empírica de um ou

mais fatores quantitativos, tais como a temperatura de reação e a pressão. Isso pode ser

efetuado utilizando-se uma metodologia que permita modelar a relação: Rendimento em

função de temperatura de reação e pressão. O conhecimento da forma funcional de f,

frequentemente obtida com a modelagem de dados provenientes de experimentos

planejados, permite tanto sumarizar os resultados do experimento quanto predizer a

resposta para níveis dos fatores quantitativos. Assim, a função f define a superfície de

resposta, que em sua essência, consiste em estimar coeficientes da regressão polinomial

para a geração de um modelo empírico, por meio do qual é possível aproximar uma

relação (inicialmente desconhecida ou conhecida) entre os fatores e as respostas do

processo.

Podemos então definir a Superfície de Resposta como sendo a representação

geométrica obtida quando uma variável resposta é plotada como uma função de dois ou

mais fatores quantitativos. A função pode ser assim definida:

1 2 kY f (X ,X ,...,X )= + ε

Em que: Y é a resposta (variável dependente); 1 2 kX ,X ,...,X são os fatores (variáveis

independentes); e ε é o erro aleatório.

Denota-se a resposta esperada por:

1 2 kE(Y) f (X ,X , ,X )= = η…

então,

1 2 kf (X ,X , ,X )η = …

2

é chamada de superfície de resposta.

A metodologia de superfície de resposta, ou MSR, é uma coleção de técnicas

matemáticas e estatísticas que são úteis para modelagem e análise nas aplicações em

que a resposta de interesse seja influenciada por várias variáveis e o objetivo seja

otimizar essa resposta. Por exemplo, suponha que um engenheiro químico deseje

encontrar os níveis de temperatura (X1) e concentração da alimentação (X2) que

maximizem o rendimento (Y) de um processo. O rendimento de um processo é uma

função dos níveis de temperatura e concentração de alimentação, como

1 2Y f (x ,x )= + ε , em que ε representa o erro observado na resposta esperada

1 2E(Y) f (x ,x )= = η, então a superfície representada por 1 2f (x ,x )η = é chamada de

superfície de resposta (Montgomery e Runger, 2008).

Segundo Montgomery (2001), as equações definidas de superfície de resposta

podem ser representadas graficamente e utilizadas de três formas:

• Descrever como as variáveis em teste afetam as respostas;

• Determinar as inter-relações entre as variáveis em teste; e

• Para descrever efeitos combinados de todas as variáveis em teste sobre a

resposta.

Algumas considerações devem ser feitas quando utilizamos superfície de

resposta, a saber:

a) O uso efetivo da superfície de resposta deve considerar cinco pressupostos:

i. Os fatores que são críticos ao processo são conhecidos;

ii. A região em que os fatores influem o processo é conhecida;

iii. Os fatores variam continuamente ao longo da faixa experimental escolhida;

iv. Existe uma função matemática que relaciona os fatores à resposta medida;

v. A resposta que é definida por essa função é uma superfície lisa.

3

b) A técnica também apresenta algumas limitações que devem ser consideradas:

i. Grandes variações dos fatores podem resultar em conclusões falsas;

ii. Os fatores críticos não foram especificados corretamente;

iii. A região de ótimo pode não ser determinada devido ao uso de uma faixa muito

estreita ou ampla;

iv. Como em qualquer experimento, resultados destorcidos podem ser obtidos se os

princípios clássicos da experimentação não forem seguidos (casualização,

repetição e controle local); e

v. Superestimar a computação: o pesquisador dever utilizar de bom senso e seu

conhecimento sobre o processo para chegar a conclusões apropriadas a seus

dados.

A aplicação dessa metodologia foi realizada inicialmente na indústria química,

tendo sido seus fundamentos formalizados por Box e Draper (1987). No campo

agronômico, o uso concentrou-se no estudo do rendimento de cultivares, como efeito de

níveis de nutrientes aplicados ao solo, incluindo-se outros fatores, como: densidade de

plantio e lâminas de irrigação.

A superfície de resposta é útil quando o pesquisador não conhece a relação exata

entre os fatores. Mas, geralmente quando a expressão analítica da função é conhecida, a

metodologia pode ser útil em alguns casos: freqüentemente podem-se encontrar funções

descontínuas, e em muitos casos se trabalha com valores discretos das variáveis de

projeto ou fatores, sendo assim o uso da metodologia de superfície de resposta apresenta

uma ampla aplicação na pesquisa, porque ela considera vários fatores em níveis

diferentes e as interações correspondentes entre esses fatores e níveis.

Dentre as vantagens da metodologia de superfície de resposta, a principal é que

seus resultados são resistentes aos impactos de condições não ideais, como erros

aleatórios e pontos influentes, porque a metodologia é robusta. Outra vantagem é a

simplicidade analítica da superfície de resposta obtida, pois a metodologia gera

polinômios. Em geral, polinômios de duas ou mais variáveis, são funções contínuas.

4

Após o ajuste do modelo aos dados, é possível estimar a sensibilidade da

resposta aos fatores, além de determinar os níveis dos fatores nos quais a resposta é

ótima (por exemplo, máxima ou mínima).

2. Modelo de Primeira Ordem

Na maioria dos problemas em superfície de resposta, a forma do relacionamento

entre as variáveis dependentes e independentes é desconhecida. Assim, o primeiro passo

é encontrar uma aproximação para o verdadeiro relacionamento entre a variável

resposta (y) e as variáveis independentes (fatores). Geralmente utiliza-se de uma

regressão polinomial de baixo grau em alguma região das variáveis independentes. A

forma geral para o modelo de primeira ordem (ou modelo de grau um) em k variáveis de

entrada (independentes) pode ser representado por:

k

0 i ii 1

Y X=

= β + β + ε∑

Onde Y é uma variável resposta observada, 0 1 k, , ...,β β β são parâmetros desconhecidos,

e ε é o termo do erro aleatório. Se ε tem média zero, então a porção não aleatória do

modelo geral de primeira ordem representa a verdadeira resposta média, η , que é,

k

0 i ii 1

E(Y) X=

η = = β + β∑

e ε é tido como erro experimental. Se, entretanto, o modelo descrito é inadequado para

representar a verdadeira resposta média, então ε contém, adicionalmente ao erro

experimental, um erro não aleatório (sistemático). Este último erro é atribuído a omissão

de termos em 1 2 kX , X ,...,X de grau superior a um que podem ser entendidas como

outras variáveis as quais tem alguma influência sobre a variável resposta. Este erro

adicional (excluindo o erro experimental) é chamado falta de ajuste.

Escrevendo o modelo em notação matricial, considerando N observações, temos:

= +Y Xβ ε

5

Em que Y é um vetor de N (N ≥ k+1) observações, [ ]0 1 k` ...= β β ββ é um vetor (k+1)

x 1 de parâmetros desconhecidos, [ ]1 2 N` ...= ε ε εε é um vetor N x 1 de erros, e X é

uma matriz N x (k+1) de coeficientes dos parâmetros que compreende os níveis das

variáveis independentes. Assume-se que os erros aleatórios são 2NID(0, )σ , isto é,

independentemente distribuídos com distribuição Normal de média zero e variância

comum. Quando a matriz X é de posto coluna completo, então o estimador de mínimos

quadrados ordinários de β pode ser obtido por:

1ˆ ( )−=β X`X X`Y

E a matriz de variâncias e covariâncias de β é dada por:

1 2ˆV( ) ( )−= σβ X`X

Na maioria dos casos, os cálculos para estimação dos parâmetros podem ser

simplificados codificando os níveis das k variáveis independentes iX por meio de:

iu iiu

i

2(X X )x i 1,2,...,k e u 1,2,...,N

R−= = =

Em que N

i iuu 1X X / N

==∑ e iR é a diferença entre o maior e o menor valor dos níveis.

A codificação apresenta a característica:

N

iuu 1

x 0 i 1,2,...,k=

= =∑

Exemplo: Os dados a seguir referem-se ao peso de alimentos ingeridos em experimento

com alimentação de ratos em relação a duração do tempo entre inoculação de dosagens

de uma droga e a alimentação (horas).

6

Droga (X1) Dosagem (mg kg-1)

Tempo (X2) Peso observado

0,3 1 5,63 0,3 1 6,42 0,7 1 1,38 0,7 1 1,94 0,3 5 11,57 0,3 5 12,16 0,7 5 5,72 0,7 5 4,69 0,3 9 12,68 0,3 9 13,31 0,7 9 8,28 0,7 9 7,73

Utilizando variáveis codificadas, tem-se:

( ) ( )1u 1 1u 1u1u

1

2 X X 2 X 0,5 X 0,5x

R 0,7 0,3 0,2

− − −= = =−

( ) ( )2u 2 2u 2u2u

2

2 X X 2 X 5 X 5x

R 9 1 4

− − −= = =−

Então, o modelo de primeira ordem para u 0 1 1u 2 2u uY X X= β + β + β + ε , em notação

matricial = +Y Xβ ε , utilizando as variáveis codificadas é

0

1

23 1

12 1 12 3

5,63 1 1 1

6,42 1 1 1

1,38 1 1 1

1,94 1 1 1

11,57 1 1 0

12,16 1 1 0

5,72 1 1 0

4,64 1 1 0

12,68 1 1 1

13,31 1 1 1

8,28 1 1 1

7,73 1 1 1

− − − − − − −

β − = β +

β − −

11

12

21

22

31

32

41

42

51

52

61

6212 1

ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε

7

YX'XX'β1)(ˆ −=

=

=

∑∑∑

∑∑∑

∑∑

===

===

==

800

0120

0012

xxxx

xxxx

xxn

n

1u

22u

n

1u2u1u

n

1u1u

n

1u2u1u

n

1u

21u

n

1u1u

n

1u2u

n

1u1u

XX'

n

uu 1

n

u 1uu 1

n

u 2uu 1

Y

Y x

Y x

=

=

=

=

∑

∑

∑

X'Y

−=

−

=32875,3

67333,2

62166,7

63,26

08,32

46,91

8

100

012

10

0012

1

β

Equação ajustada:

u2**

u1**

u2**u1**

u2**

u1**

X83212875,0X3665,131440,10Y

4

5X32875,3

2,0

5,0X67333,262166,7Y

x32875,3x67333,262166,7Y

+−=

−+

−−=

+−=

Hipóteses:

zerodedifereβdosummenospelo:H

0ββ:H

1

210 ==

8

Quadro da análise de variância:

FV GL SQ QM F

Regressão 2 174,1380 87,0690 84,28**

Resíduo 9 9,2980 1,0331

Total 11 183,4360

9493,04360,183

1380,174R2 ==

Teste para cada um dos parâmetros:

0β:H

0β:H

11

10

≠=

**10,9

)0331,1(12

1

0-2,67333-t −==

0β:H

0β:H

21

20

≠=

**26,9

)331(1,08

1

032875,3t =−=

** significativo pelo teste t a 5% de probabilidade.

3. Delineamentos ExperimenModelos de Primeira

3.1. Fatorial Completo

Caracteriza-se pela Combinação de todos os níveis de todos os fatores

escolhidos pelo pesquisador apresentando como desvantagem um número muito grande

de ensaios. Deste modo, um fatorial completo com p(níveis) e k(fatores) apresenta p

combinações distintas, se p = k

Exemplo 1: Em um ensaio onde se deseja contrastar temperatura (30, 35, 40), tempo (3,

5, 7) e pH (5, 6, 7) tentando otimizar uma determinada reação química, temos um

fatorial 33, onde k=3 fatores e

representação gráfica:

3.2. Delineamento Composto Central

Caracteriza-se pela Combinação de um fatorial 2

central. Sua vantagem é a de reduzir o número de ensaios, todavia sua utilização

restringe-se ao ajuste de modelos de primeira ordem.

Tomando-se como ilustração o exemplo

ficaria: 23+1 = 9, uma redução de 18 ensaios em relação ao fatorial completo.

9

Delineamentos Experimentais para Ajuste de Modelos de Primeira Ordem

Fatorial Completo

se pela Combinação de todos os níveis de todos os fatores


de ensaios. Deste modo, um fatorial completo com p(níveis) e k(fatores) apresenta p

s, se p = k.

m um ensaio onde se deseja contrastar temperatura (30, 35, 40), tempo (3,


fatores e p=3 níveis. Ao todo serão 27 tratamentos

lineamento Composto Central (DCC)

se pela Combinação de um fatorial 2K (k fatores) mais o ponto


modelos de primeira ordem.

se como ilustração o exemplo da seção 3.1, o número de tratamentos

+1 = 9, uma redução de 18 ensaios em relação ao fatorial completo.

tais para Ajuste de

se pela Combinação de todos os níveis de todos os fatores


de ensaios. Deste modo, um fatorial completo com p(níveis) e k(fatores) apresenta pk

m um ensaio onde se deseja contrastar temperatura (30, 35, 40), tempo (3,


. Ao todo serão 27 tratamentos, conforme a

fatores) mais o ponto


, o número de tratamentos

+1 = 9, uma redução de 18 ensaios em relação ao fatorial completo.

10

3.3. Delineamento Composto Central Rotacionado (DCCR)

É utilizado para experimentos onde k(fatores)2≥ . Este delineamento contém

pontos da parte cúbica codificados para (± 1), pontos axiais codificados para (± α ,

ondeα = (2k)1/4) para testar o modelo de segunda ordem e o ponto central codificado

para (0) que geralmente possui repetições. Assim, número de tratamentos passaria a ser:

fatorial 2k + ponto central + 2k pontos axiais. Para o exemplo da seção 3.1., 23+1+2*3=

15 tratamentos.

3.4. Delineamento de Box-Behnken (DBB)

É utilizado para experimentos com k ≥ 3. Tendo como principal vantagem a

redução do número de ensaios para estudar um maior número de fatores. De modo geral

os níveis dos fatores são escolhidos à partir das informações de seus limites inferiores e

superiores.

O número de tratamentos dá-se pela combinação dos níveis da parte cúbica +

ponto central.

A título de ilustração, seguem abaixo outros exemplos:

Exemplo 2. Um experimento com dois fatores de interesse (A e B), possuindo p = 4

níveis para ambos os fatores.

Exemplo 3.

Exemplo 4. Um planejamento experimental com 3 fatores e 4 níveis cada.

11

. Um planejamento experimental com 3 fatores e 4 níveis cada.. Um planejamento experimental com 3 fatores e 4 níveis cada.

12

4. Teste de Significância do Modelo

Este teste é realizado como um procedimento de ANOVA. Calculando-se a

razão entre a média quadrática dos termos de regressão e a média quadrática do erro,

encontra-se a estatística F, que comparada com o valor crítico de F para um dado nível

de significância, permite avaliar a significância do modelo. Se F for maior que F crítico

então o modelo é adequado (Montgomery, 2001).

Considerando o sistema de equações normais (SEN), dado por:

ˆ =X`Xβ X`Y

pode-se obter as somas de quadrados relativas a cada fonte de variação da ANOVA:

N2

Total jj 1

SQ C Y C=

= − = −∑Y`Y

ResíduoˆSQ = −Y`Y β`X`Y

RegˆSQ C= −β`X`Y

em que C é o termo de correção, dado por:

2N

jj 1

Y

CN

=

=∑

O teste para a significância da regressão determina se existe uma relação linear

entre a variável de resposta y um subconjunto de regressores. As hipóteses apropriadas

neste caso são:

0 1 2 k

1

H : ...

H : pelo menos um dos difere de zero

β = β = = ββ

O teste individual de significância de cada coeficiente pode conduzir a

otimização do modelo através da eliminação ou adição de termos. As hipóteses

utilizadas para testar qualquer um dos coeficientes de regressão são:

0 i

1 i

H : 0

H : 0

β =β ≠

13

O teste utilizado para realizar esse teste é:

ï ï

2iii

ˆ ˆt

ˆˆ ˆcV( )

β β= =σβ

Em que cii é o elemento da diagonal da matriz (X’X)-1 correspondente ao coeficiente em

teste. A estatística segue distribuição t com o número de graus de liberdade do resíduo.

Se o valor p do teste individual para os termos for inferior ao nível de

significância, então o termo é adequado ao modelo e deve, portanto, ser mantido. Ao

contrário, o termo deve ser excluído se tal procedimento conduzir a um aumento do

coeficiente de determinação R² conjuntamente com a diminuição do efeito residual e o

valor p referente à falta de ajuste do modelo for superior ao nível de significância. Além

disso, a retirada de qualquer termo deve obedecer ao princípio da hierarquia. Este

princípio, segundo Montgomery (2001), postula que quando um termo de ordem alta for

mantido no modelo, o de ordem baixa que o compõe também deve ser mantido.

5. Medidas e Adequação de Modelos

A medida de adequação mais comumente usada é o coeficiente de determinação

R², definido por:

2 2SQRegressão SQResíduoR 1 [0 R 1]

SQTotal SQTotal= = − ≤ ≤

e representa a proporção da variação total que é devida (explicada) pelo modelo

regressão.

Associado ao R² está o coeficiente de determinação ajustado 2R , que considera

o fato de que R² tende a superestimar a quantidade atual de variação contabilizada para

a população. Também é fato que a inclusão de muitos parâmetros no modelo de

regressão aumenta substancialmente o valor de R². Se o modelo recebeu parâmetros

desnecessários haverá um incremento em R² sem haver, necessariamente, melhoria de

precisão da resposta. Por isso o R² ajustado é mais indicado para comparar modelos com

números diferentes de parâmetros e, ainda, ajustados com número de observações

diferentes. O coeficiente de determinação ajustado para graus de liberdade e número de

parâmetros (p) é definido por:

14

22 R (n 1) p

Rn p 1

− −=− −

Nota: O R2 ajustado é sempre menor que o R2 e só será igual quando R2 = 1.

6. Teste para Falta de Ajuste

A adição de pontos centrais aos arranjos experimentais proporciona a obtenção

de uma estimativa do erro experimental. De acordo com Montgomery (2001), este

artifício permite que a soma de quadrados residual (SQRes) seja discriminada em dois

componentes: (i) a soma de quadrados devida ao erro puro (SQEP) e; (ii) a soma de

quadrados devido à falta de ajuste do modelo adotado (SQF.Aj). Assim, pode-se escrever:

Res EP F.Aj.SQ SQ SQ= +

Admitindo-se que existam ni observações de uma dada resposta Y de interesse

no i-ésimo nível dos regressores ix (i 1,2,...,k)= . Considere que ijY denote a j-ésima

observação da resposta no nível ix , com ij 1,2,...,n= e k

ii 1

n N=

=∑ , o total de

observações. Então, o ij-ésimo resíduo será:

ij ij ij i i ïˆ ˆY Y (Y Y ) (Y Y )− = − + −

Onde iY é a média da resposta para o nível ix . Elevando-se ao quadrado ambos os

lados e somando em relação a i e j, obtém-se:

i i

F.Aj.Res EP

n nk k k2 2 2

ij i ij i i i ii 1 j 1 i 1 j 1 i 1

SQSQ SQ

ˆ ˆ(Y Y ) (Y Y ) n (Y Y )= = = = =

− = − + −∑∑ ∑∑ ∑��

15

7. Método da Inclinação Ascendente

O objetivo é auxiliar o pesquisador, de forma rápida e eficiente, a encontrar a

região de ótimo, isto é, determinar a melhor região de estudo. Encontrada a região de

ótimo, um modelo mais elaborado, por exemplo, um modelo de segunda ordem, pode

ser empregado, e uma análise pode ser feita para localizar o ponto de máximo ou de

mínimo (ponto ótimo).

Utiliza-se um conjunto de tratamentos em torno do ponto inicial e estimam-se

por Mínimos Quadrados as inclinações iβ . A partir das magnitudes e sinais destas

inclinações, calcula-se a direção do método da inclinação ascendente (MIA). Assim:

• Experimentos são conduzidos ao longo do caminho da MIA até que nenhum

incremento na resposta seja observado.

• Eventualmente, chega-se a vizinhança do valor ótimo e isto será indicado pela

falta de ajuste do modelo de 1ª ordem.

• A aproximação por um plano se torna insatisfatória pelo fato dos efeitos de

ordens mais elevadas, particularmente os de 2ª ordem (quadrático e de interação

linear), se tornarem relativamente mais importantes. Nesse caso usa-se o Modelo

Quadrático.

8. Exemplo de Aplicação para o Modelo de Primeira Ordem

Consideremos o seguinte exemplo: um experimento em esquema fatorial 2x2,

tempo e temperatura, com dois níveis cada, ou seja, um fatorial 22 para que os níveis

desses fatores maximizem a produção de um determinado processo. A região

experimental será (30, 40) min para o tempo de reação e (150, 160)°F para temperatura.

Normalmente, opera-se com um tempo de 35 minutos e temperatura de 155 ºF, que

resulta numa produção de 40% aproximadamente.

16

Como esta região provavelmente não contém o ótimo, um modelo de primeira

ordem será ajustado e aplicado o Método da Máxima Inclinação Ascendente. As

variáveis independentes serão codificadas para (-1, 1) para simplificar os cálculos.

Serão incluídos também cinco pontos centrais entre os valores máximos e mínimos do

tempo e temperatura. As repetições no ponto central são utilizadas para estimar o erro

experimental e para checar o ajuste do modelo de primeira ordem. Os pontos centrais do

delineamento são os correspondentes às condições de operação atual (35 min e 155 ºF).

Codificação:

Tabela 1. Variáveis originais e codificadas de um experimento fatorial 2x2 (tempo e

temperatura).

Variáveis originais Variáveis codificadas Resposta

1X 2X 1x 2x Y

30 150 -1 -1 39,3 30 160 -1 1 40,0 40 150 1 -1 40,9 40 160 1 1 41,5 35 155 0 0 40,3 35 155 0 0 40,5 35 155 0 0 40,7 35 155 0 0 40,2 35 155 0 0 40,6

Para realização do diagnóstico correto em relação ao modelo de primeira ordem

deveremos obter uma estimativa do erro experimental, verificar se a interação deve ser

incluída no modelo e finalmente verificar se os termos quadráticos devem ser

adicionados no modelo.

1 21 2

X 35 X 155x x

5 5− −= =

17

Tabela 2. Análise de variância do modelo de primeira ordem.

FV GL SQ QM F Valor p Regressão 2 2,8250 1,4125 47,8010 0,0002 Desvios 6 0,1773 0,0295 Total 8 3,0023

R² = 0,9409 R² Ajustado = 0,9212

Tabela 3. Estimativas dos parâmetros do modelo de regressão de primeira ordem.

Efeitos Estimativas Desvio t Valor p Constante 40,4444

Tempo ( 1x ) 0,7750 0,0859 9,0169 0,0002

Temperatura (2x ) 0,3249 0,0859 3,7811 0,0093

Equação ajustada:

39.0

39.5

40.0

40.5

41.0

41.5

42.0

-1.0

-0.50.0

0.51.0

-1.0-0.5

0.00.5

Y

x 1

x2

Figura 1. Superfície de Resposta do modelo de 1º Ordem.

Cálculo do erro experimental

A soma de quadrado do erro é obtida de forma tradicional, com 4 graus de

liberdade.

1 2y 40,440 0,775x 0,325x= + +

18

2 (40,3² 40,5² 40,7² 40,2² 40,6²) (202,3)² 5ˆ 0,0430

5 1+ + + + −σ = =

−

A interação entre os fatores pode ser obtida adicionando o termo x1x2 e é medida

pelo coeficiente β12. A estimativa é obtida (considerando as variáveis codificadas) por:

12 1 1 1 2 2 3 2 4o

1ˆ (x y x y x y x y )n trat

β = + + +

Extremos MeioInt o

Y YSQ

n trat

−= ∑ ∑

Para o exemplo em questão, temos:

Outra verificação da adequabilidade do modelo é obtida pela comparação da

resposta média dos quatro pontos do fatorial (40,425), com a resposta média do centro

do delineamento (40,46).

Se β11 e β22 são os coeficientes dos termos quadráticos 21χ e 2

2χ , então a diferença

das médias é uma estimativa de β11 + β22.

Assim, não existe nenhuma razão para questionar o modelo de primeira ordem.

Os próximos passos da (MIA) devem seguir.

Para andar (mover-se) do centro do delineamento (x1=0 e x2=0) no caminho da

inclinação ascendente, deveríamos mover 0,775 unidades na direção x1 para cada 0,325

( )12

1ˆ 1*39,3 ( 1* 40) ( 1* 40,9) 1* 41,55 0,0254

β = + − + − + = −

2

Int

[(39,3 41,5) (40 40,5)]SQ 0,0025

4+ − += =

Int

Erro

SQ 0,0025F 0,058

QM 0,043= = =

11 12 1 2ˆ ˆ y y 40,425 40,46 0,035β + β = − = − = −

19

unidades na direção de x2. Assim, a direção da inclinação ascendente passa pelo ponto

central (x1=0 e x2=0) e tem inclinação 0,325/0,775=0,42.

O engenheiro decide usar um tempo de reação de 5 minutos como tamanho do

passo inicial. Usando a relação entre 1X e x1, vimos que 5 minutos no tempo de reação

corresponde a um intervalo (passo), na variável codificada x1, de ∆x1=1. Os passos no

caminho da inclinação ascendente são:

∆x1=1

∆x2=(0,325/0,775) ∆x1=0,42

Os pontos experimentais são obtidos e a produção para estes pontos observados

até que se perceba um decréscimo na produção. Os resultados são mostrados na tabela a

seguir:

Tabela 4. Método da Inclinação Ascendente para o exemplo da tabela 1.

Passos Variáveis codificadas Variáveis originais

Resposta Y x1 x2 1X 2X

Origem 0 0 35 155

∆ 1,00 0,42 5 2 Não faz

Origem + ∆ 1,00 0,42 40 157 41,0

Origem + 2∆ 2,00 0,84 45 159 42,9

Origem +3∆ 3,00 1,26 50 161 47,1

Origem +4∆ 4,00 1,68 55 163 49,7

Origem +5∆ 5,00 2,10 60 165 53,8

Origem +6∆ 6,00 2,52 65 167 59,9

Origem + 7∆ 7,00 2,94 70 169 65,0

Origem + 8∆ 8,00 3,36 75 171 70,4

Origem + 9∆ 9,00 3,78 80 173 77,6

Origem + 10∆ 10,00 4,20 85 175 80,3

Origem + 11∆ 11,00 4,62 90 179 76,2

Origem + 12∆ 12,00 5,04 95 181 75,1

Incrementos na resposta são observados até o 10° passo; depois há um

decréscimo na produção.

Portanto, outro modelo de primeira ordem pode ser ajustado em torno do ponto

(85,175). A região de exploração para tempo seria (80,90) e de temperatura (170,180).

20

Assim repete-se todo o processo e os resultados são analisados a seguir:

A região de 1X é [80, 90] e para 2X é [170, 180]. O delineamento experimental

e os resultados são apresentados na tabela a seguir. Novamente usou-se um fatorial 22

completo com cinco pontos centrais.

Tabela 5. Dados para o segundo ajuste do modelo de primeira ordem.

Variáveis codificadas Variáveis originais Resposta Y

x1 x2 1X 2X

-1 -1 80 170 76,5 -1 1 80 180 77,0 1 -1 90 170 78,0 1 1 90 180 79,5 0 0 85 175 79,9 0 0 85 175 80,3 0 0 85 175 80,0 0 0 85 175 79,7 0 0 85 175 79,8

1 21 2

X 85 X 175x e x

5 5− −= =

Modelo de 1ª ordem ajustado aos dados codificados é dado por:

1 2Y 78,97 1,00X 0,50X= + +

Tabela 6. Analise da variância para o segundo modelo de primeira ordem.

FV GL SQ QM F Regressão 2 5,0000 2,5000 47,17* Resíduo 6 11,1200 Interação 1 0,2500 0,2500 4,72

Quad. Puro 1 10,6580 10,62580 201,09* Erro puro 4 0,2120 0,0530

Total 8 16,1200

21

Pela tabela de ANOVA, o componente do termo quadrático puro foi

significativo, isso implica que o modelo de 1ª Ordem não é uma aproximação adequada.

A curvatura na real superfície pode indicar que se está próximo do ótimo; assim,

análises adicionais devem ser feitas para localizar o ótimo com mais precisão. Nesse

ponto, uma análise adicional deve ser feita para localizar o ótimo com mais precisão.

9. Modelo de Segunda Ordem

Na falta de conhecimento suficiente acerca da forma da verdadeira superfície de

resposta, geralmente o experimentador tenta a aproximação pelo modelo de primeira

ordem. Quando, entretanto, o modelo de primeira ordem apresenta falta de ajuste para a

superfície, incorpora-se termos de ordem superior.

Quando o experimentador está relativamente próximo do “ótimo”, um modelo

que incorpora a curvatura é usualmente requerido para aproximar a resposta. Na maioria

dos casos o modelo de segunda ordem

k k k 1 k2

0 i i ii i ij i ji 1 i 1 i 1 j 2

i j

Y X X X X−

= = = =<

= β + β + β + β + ε∑ ∑ ∑∑

Em que 1 2 kX ,X ,...,X são as variáveis independentes que tem influência na resposta Y;

0 i ij, (i 1,2,...,k), ( j 1,2,...,k)β β = β = são parâmetros desconhecidos, e ε é um erro

aleatório.

Utilizando variáveis codificadas, ix ,obtidas por:

i

iu iiu

X

u 1,2,...., NX Xx

i 1,2,...,ks

=−==

Em que iuX é o u-ésimo nível da i-ésima variável independente, N

i iuu 1X X / N

==∑ é a

média dos valores iuX , i

1/2N 2X iu iu 1

s (X X ) / N=

= − ∑ é o desvio padrão, e N é o

número de observações. Sem perda de generalidade podemos considerar os valores de

iX sendo substituídos pelos correspondentes valores de ix (i 1,2,...,k)= . Os valores da

22

variável resposta obtidos com as variáveis codificadas podem, então, ser representados

como

k k k 1 k2

u 0 i iu ii iu ij iu ju ui 1 i 1 i 1 j 2

i j

Y x x x x−

= = = =<

=β + β + β + β + ε∑ ∑ ∑∑

Em que uε é o erro experimental em uY . Assume-se que os valores de uε sejam

independentemente distribuídos como variáveis aleatórias com média zero e variância

2σ .

O modelo pode ser escrito na forma de matriz da seguinte forma:

= +Y Xβ ε

Em que [ ]1 2 NY Y Y=Y` … , X é uma matriz N x p de coeficientes dos parâmetros que

compreende os níveis das variáveis independentes; p (k 1)(k 2) / 2= + + ; β é um vetor

p x 1 de parâmetros desconhecidos e [ ]1 2 N` ...= ε ε εε . O estimador de mínimos

quadrados para β no modelo é dado por:

1ˆ ( )−=β X`X X`Y

A matriz de variâncias e covariâncias de β é

1 2ˆV( ) ( )−= σβ X`X

10. Exemplo de Aplicação para o Modelo de Segunda Ordem

Considere um esquema fatorial 3 x 3, com 3 níveis de N (0, 50 e 100) e 3 níveis

de P (20, 40 e 60), de acordo com o modelo de segunda ordem:

i2i1i522i4

21i32i21i10i eXXβXβXβXβXββY ++++++=

O experimento dói instalado no delineamento em blocos casualizados com 3 repetições

e os dados obtidos encontram-se na tabela a seguir:

23

Trat. N P Bloco i1x i2x 12i1 xx − 2

2i2 xx − i2i1 xx Y

1 0 20 1 -1 -1 1/3 1/3 1 47 1 0 20 2 -1 -1 1/3 1/3 1 40 1 0 20 3 -1 -1 1/3 1/3 1 44 2 0 40 1 -1 0 1/3 -2/3 0 60 2 0 40 2 -1 0 1/3 -2/3 0 62 2 0 40 3 -1 0 1/3 -2/3 0 66 3 0 60 1 -1 1 1/3 1/3 -1 38 3 0 60 2 -1 1 1/3 1/3 -1 40 3 0 60 3 -1 1 1/3 1/3 -1 36 4 50 20 1 0 -1 -2/3 1/3 0 42 4 50 20 2 0 -1 -2/3 1/3 0 44 4 50 20 3 0 -1 -2/3 1/3 0 46 5 50 40 1 0 0 -2/3 -2/3 0 70 5 50 40 2 0 0 -2/3 -2/3 0 69 5 50 40 3 0 0 -2/3 -2/3 0 64 6 50 60 1 0 1 -2/3 1/3 0 45 6 50 60 2 0 1 -2/3 1/3 0 44 6 50 60 3 0 1 -2/3 1/3 0 46 7 100 20 1 1 -1 1/3 1/3 -1 45 7 100 20 2 1 -1 1/3 1/3 -1 46 7 100 20 3 1 -1 1/3 1/3 -1 44 8 100 40 1 1 0 1/3 -2/3 0 80 8 100 40 2 1 0 1/3 -2/3 0 70 8 100 40 3 1 0 1/3 -2/3 0 65 9 100 60 1 1 1 1/3 1/3 1 35 9 100 60 2 1 1 1/3 1/3 1 36 9 100 60 3 1 1 1/3 1/3 1 39

(0 100)1i 2 1i

1i 1i(100 0)2

X X 50x x { 1,0,1}

50

+

−

− −= = ∴ −

(20 60)2i 2 1i

2i 2i(60 20)2

X X 40x x { 1,0,1}

20

+

−

− −= = ∴ −

2i

2 i2i i

2 2 22 2i i

xP x

n( 1) (0) (1) 2

x X3 3

= −

− + += − = −

∑

24

1

2x

3=

6 6

27 0 0 0 0 0

0 18 0 0 0 0

0 0 18 0 0 0

0 0 0 6 0 0

0 0 0 0 6 0

0 0 0 0 0 12

=

X`X

6 1

1363

27

39`

47 / 3

455 / 3

8

−

= − −

−

X Y

6 1

1363 / 27

27 /18

39 /18ˆ47 /18

455 /18

8 /12

−

= − −

−

β

2 22 2

i 0 1 1i 2 2i 3 1i 3 4 2i 3 5 1i 2i iY β β x β x β (x ) β (x ) β x x e= + + + − + − + + 2

1i 2i 1ii

2

2i 1i 2i

X 50 X 40 X 501363 27 39 47 2Y

27 18 50 18 20 18 50 3

X 40 X 50 X 40455 2 818 20 3 12 50 20

− − − = + − − −

− − − − − −

21i 2i 1i 1i

i

22i 2i 1i 2i 2i 2i

27X 39X X 2X1363 27 78 47 2Y 1

27 18 18 900 360 18 2500 50 3

X 4X X X 2X X455 2 84 2

18 400 20 3 12 1000 50 20

= − + + − − − + +

− − + − − − − +

1ii

2 21i 1i 2i 2i 2i 1i 2i 1i 2i

27X1363 27 78 47 94 1820 910 36Y

27 18 18 18 54 18 54 12 90094X 16X 39X 1820X 8X 47X 455X 8X X

900 600 360 360 240 45000 7200 12000

= − + − + − + − + +

+ − + + − − −

2i 1i 2i 1i

22i 1i 2i

Y 34,8148 0,161111X 4,98055X 0,0010444X

0,0631944X 0,0006666X X

= − + + −− −

25

2

ˆSQ Reg C

1363

27

391363 27 39 47 455 8 (1363)47 / 327 18 18 18 18 12 27

455 / 3

8

72811,2963 68806,2593

4005,0370

= −

− = − − − − − − −

−

= −=

βX`Y

SQTotal 73179 68806,2593 4372,7407= − =

Quadro da ANOVA

FV GL SQ QM F

Blocos 2 9,8518 --

(Tratamentos) (8) (4163,407) --

Regressão 5 4005,037 801,0074 64,24**

Falta de ajuste 3 158,370 52,7900 4,23*

Resíduo puro 16 199,4815 12,4675

Total 26 4372,7403

5% 1%F (3,16) 3,24 F (3,16) 5,29= =

2

2

SQ Reg 4005,037R 0,9159

SQTotal 4372,7403

SQ Reg 4005,037R 0,9619

SQTrat. 4163,407

= = =

= = =

Teste para as hipóteses:

0 1

1 1

H : 0

H : 0

β =β ≠

1% 5% 10%t (16) 2,92 t (16) 2,12 t (16) 1,75= = =

2718

118

0t 1,8023

(12,4675)

−= =

26

Utilizando : QM Res 18,8342

GLRes 19

= =

2718

118

0t 1,4664

(18,8342)

−= =

1% 5% 10%t (19) 2,86 t (19) 2,09 t (16) 1,73= = =

0− λ =B I

1 2

1

2 1

2

Y0,161111 0,0020888X 0,0006666X 0

X

Y4,98055 0,126388X 0,0006666X 0

X

∂ = − − =∂∂ = − − =∂

1 2

21

22

2 2

2

2

0,0020888X 0,0006666X 0,161111

0,161111 0,0006666XX

0,0020888

0,161111 0,0006666X4,98055 0,126388X 0,0006666 0

0,0020888

4,98055 0,126388X 0,0514154 0,000212732X 0

0,126175X 4,9291346

X 3

− = −−=

− − − =

− − + =− = −

= 9,06

1

0,161111 0,0006666(39,06)X 64,66

0,0020888−= =

Ponto crítico ( 1 2X 64,66;X 39,06= = ).

Matriz da segunda derivada:

2 2

2 21 2

2

1 2

Y Y0,0020888 0,126388

X X

Y0,0006666

X X

∂ ∂= − = −∂ ∂

∂ = −∂ ∂

27

Estudo da natureza da superfície de resposta: este pode ser realizado considerando o ponto estacionário e os sinais e magnitudes dos iλ .

0− λ =B I

22 12

21 1 2

2 212

21 2 2

YYX X X 1 0

0 1Y YX X X

∂∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

B I

Suponha que o ponto estacionário esteja dentro da região de estudo na qual foi ajustado o modelo de segunda ordem.

Conclusão:

i) Se todos os valores de iλ são positivos, então sX é um ponto de resposta

mínima. ii) Se todos os valores de iλ são negativos, então sX é um ponto de resposta

máxima. iii) Se os valores de iλ tem sinais positivos e negativos, então sX é um ponto

de sela.

0,0020888 0,0003333

0,0003333 0,126388

− = − B , então:

0,0020888 0,0003333 00

0,0003333 0,126388 0

− λ − λ = − = − λ

B I

0,0020888 0,00033330

0,0003333 0,126388

− − λ=

− − λ

2

2

1 2

( 0,0020888 )( 0,126388 ) (0,0003333) 0

0,126388 0,1284768 0,000263787 0

0,1284768 0,016506288 0,000133358

2(0,126388)

1,0144 0,00205

− − λ − − λ − =λ + λ + =

− ± −λ =

λ = − λ = −

28

11. Localização do Ponto Estacionário

Suponha que nosso interesse é encontrar os níveis 1 2 kx ,x ,...,x , que otimize a

resposta predita. Este ponto, se existir, será dado pelo conjunto 1 2 kx ,x ,...,x para o qual

as derivadas parciais são iguais são iguais à zero, isto é

1 2 k

ˆ ˆ ˆY Y Y... 0

x x x∂ ∂ ∂= = = =∂ ∂ ∂

Este ponto é chamado de ponto estacionário e pode representar um ponto de

máximo, de mínimo ou um ponto de sela.

Para obtenção de uma solução matemática geral para localização do ponto

estacionário, escrevemos o modelo de segunda ordem na seguinte notação matricial

ˆˆ = + +0Y β x`b x`Bx

onde

1 11 12 1k1

2 2 22 2k

k k kk

ˆ ˆ ˆ ˆ/ 2 / 2xˆ ˆ ˆx / 2

x ˆ ˆsim.

β β β β β β β = = = β β

x b B

…

…

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

Em que b é um vetor (k x 1) dos coeficientes de regressão de primeira ordem e B é uma

matriz simétrica (k x k) onde na diagonal têm-se os coeficientes de regressão de

segunda ordem e fora da diagonal os coeficientes da interação.

As derivadas parciais dos valores preditos da resposta Y em relação aos

elementos do vetor x igualadas a zero são dadas por:

Y2 0

∂ = + =∂

b Bxx

O ponto estacionário é a solução das equações, ou seja,

1s

12

−= −x B b

O valor predito da variável resposta no ponto estacionário é:

29

s 0 s

1ˆY2

= β + x` b

12. Caracterizando a Superfície de Resposta

Uma vez encontrado o ponto estacionário, é necessário caracterizar a superfície

de resposta. Esta caracterização significa determinar se o ponto estacionário é um ponto

de máximo, de mínimo ou de sela.

Um modo de fazer isto é examinar o gráfico de contorno do modelo ajustado.

Entretanto nem sempre temos poucas variáveis e, nesses casos, uma análise mais formal

pode ser aplicada, chamada de análise canônica.

Considere uma translação (novo sistema de coordenadas) da superfície de

resposta da origem para o ponto estacionário sx e então rotacione os eixos desse

sistema até que eles fiquem paralelos aos eixos principais da superfície de resposta

ajustada. Esta transformação é ilustrada na Figura 3.

Figura 3. Forma canônica para o modelo de segunda ordem.

Pode-se mostrar que o modelo ajustado é

2 2 2s 1 1 2 2 k k

ˆ ˆY Y w w ... w= + λ + λ + + λ

x1

x2

x1,S

x1,S

w

w1

30

onde iw são as variáveis independentes transformadas e os iλ são constantes. A

equação acima é chamada de forma canônica do modelo. Os iλ são os autovalores ou

raízes características da matriz B. Assim, tem-se que:

i. Se todos os valores de (iλ ) são positivos, então, sx é um ponto de resposta

mínima;

ii. Se os ( iλ ) são todos negativos, então, sx é um ponto de resposta máxima;

iii. Se os valores de (iλ ) tem sinais positivos e negativos, então, sx é um ponto de

sela.

Além disso, a superfície tem inclinação na direção de iw para o qual o valor de

iλ é maior.

Consideremos novamente o exemplo: segunda fase do estudo. Para ajustar um

modelo de segunda ordem é necessário aumentar o delineamento com pontos adicionais.

Para ser possível estimar os parâmetros do modelo o engenheiro obteve mais 4

observações, mais ou menos no mesmo tempo em que executou os 9 tratamentos

anteriores. Os 4 tratamentos adicionais foram:(x1=0; x2=± 1,414) e (x1=± 1,414; x2=0).

Este é o Delineamento Composto Central.

Tabela 7. Delineamento composto central para avaliação do exemplo.

Variáveis originais Variáveis codificadas Resposta

1X 2X x1 x2 Y (produção)

80 170 -1 -1 76.5 80 180 -1 1 77 90 170 1 -1 78 90 180 1 1 79.5 85 175 0 0 79.9 85 175 0 0 80.3 85 175 0 0 80 85 175 0 0 79.7 85 175 0 0 79.8

92.07 175 1.414 0 78.4 77.93 175 -1.414 0 75.6

85 182.07 0 1.414 78.5 85 167.93 0 -1.414 77

31

Tabela 8. Análise da variância de dados referentes à produção no delineamento

composto central.

FV GL SQ QM F Valor p

Intercepto 1 31951.98 31951.98 450595.9 0.000000*

Tempo 1 7.92 7.92 111.7 0.000015*

Tempo² 1 13.17 13.17 185.8 0.000003*

Temperatura 1 2.12 2.12 29.9 0.000934*

Temperatura² 1 6.97 6.97 98.3 0.000023*

Tempo x Temperatura 1 0.25 0.25 3.5 0.102519

Resíduo 7 0.50 0.07

Os efeitos do modelo de segunda ordem ajustado aos dados codificados bem

como sua significância estatística são apresentados na Tabela 9.

Tabela 9. Estimativa dos parâmetros do modelo de segunda ordem.

Efeitos Estimativas Valor p

Intercepto 79.93995 0.000000

Tempo 0.99505 0.000015

Tempo² -1.37645 0.000003

Temperatura 0.51520 0.000934

Temperatura² -1.00134 0.000023

Tempo x Temperatura 0.25000 0.102519

Tem-se a não significância do efeito da interação Tempo x Temperatura, assim o

modelos ajustado pode ser expresso por:

2 21 1 2 2Y 79,93995 0,99505x 1,37645x 0,5152x 1,00134x= + − − −

32

Tabela 10. Análise de variância para falta de ajuste.

FV GL SQ QM F Valor p

Falta de ajuste 3 0.2843 0.0947 1.7885 0.2885

Erro puro 4 0.2120 0.0530

(Resíduo) (7) (0.4963) 0.0709

Pela Tabela 10 verifica-se a não significância da falta de ajuste, isto é, o modelo

de segunda ordem é adequado para descrever o comportamento da variável resposta e

tanto o F.AjQM quanto o ResíduoQM podem ser utilizados como estimativa da variância

residual.

As figuras 4 e 5 representam a superfície de resposta e o gráfico de contorno,

respectivamente, para a resposta (produção) em função da temperatura e do tempo. É

relativamente fácil ver por estas figuras que a resposta é realmente o máximo global.

74

75

76

77

78

79

80

81

-1.0-0.5

0.00.5

1.0

-1.0-0.5

0.00.5

1.0

Y

x 1

x2

Figura 4. Superfície de Resposta do modelo de 2º Ordem.

33

x1

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

x 2

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

75 76 77 78 79 80

Figura 5. Gráfico de contorno do modelo de 2º Ordem.

Sabendo que o modelo é apropriado para descrever os dados, podemos então

encontrar a localização do ponto estacionário usando a solução geral apresentada.

O ponto estacionário é a solução das equações, ou seja,

1s

12

0,73972 0,09234 0,99505 0,7836410,09234 1,01018 0,51520 0,612332

−= −

− − − = − = − − −

x B b

Em termos das variáveis originais, o ponto estacionário é dado por:

11

22

X 850,78364 X 81,0818

5X 175

0,61233 X 171,93835

−− = ∴ =

−− = ∴ =

O valor da resposta estimada no ponto estacionário é:

0,99505 1,37645 0,12500

0,51520 0,12500 1,00134

− = = −

b B

34

[ ]

's 0

s

1ˆY2

0,995051Y 79,94 0,78364 0,61233 79,39

0,515202

= β +

= + − − ≅

sx b

Análise canônica

Vamos expressar o modelo ajustado na forma canônica. Primeiramente

precisamos encontrar os autovalores, 1 2eλ λ , que são as raízes do determinante da

equação:

0

1,37645 0,125000

0,12500 1,00134

− λ =

− − λ=

− − λ

B I

Resolvendo a equação:

2 2,3777 1,3626 0λ + λ + =

Temos:

1 0,9635λ = − e 2 1,4143λ = −

A forma canônica do modelo ajustado fica:

2 21 2Y 80,21 0,9635w 1,4143w= − −

Visto que as raízes iλ são todas negativas, conclui-se então que sx é um ponto de

resposta máxima.

35

Referências

BOX, G. E. P.; DRAPER, N. R. Empirical model buiding and response surfaces.

New York: John Wiley & Sons, 1987.

KHURI, A. I.; CORNELL, J. A. Response Surfaces: designs and analysis. New York:

Marcel Dekker Inc., 1987.

MONTGOMERY, D. C. Design and analysis of experiments. John Wiley & Sons,

New York, 2001.

MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística aplicada e probabilidade para

engenheiros; tradução Verônica Calado. 2 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.

universidade federal de viçosa -...

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