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Introdução àanálise dedados

agronômicose uso dosoftware R

Anderson RSilva

ComparaçõesMúltiplas

Contrastes

Teste t paracontrastes

Testespost-hoc

Teste de LSDde Fisher

Teste HSD deTukey

Teste SNK

Teste deDunnett

Escolhendo oteste

Determinandoo número derepetições doexperimento

Introdução à análise de dados agronômicos e uso do software R

Anderson R Silva

Programa de Pós-Graduação em Estatística e Experimentação AgronômicaESALQ/USP

25 a 30 de novembro de 2013



Anderson RSilva


Contrastes


Testespost-hoc


Teste HSD deTukey

Teste SNK

Teste deDunnett

Escolhendo oteste


Parte 2 - Conteúdo

1 Comparações Múltiplas

Contrastes

2 Teste t para contrastes

3 Testes post-hoc

Teste de LSD de Fisher

Teste HSD de Tukey

Teste SNK

Teste de Dunnett

Escolhendo o teste

4 Determinando o número de repetições do experimento



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Contrastes


Testespost-hoc


Teste HSD deTukey

Teste SNK

Teste deDunnett

Escolhendo oteste


Comparações Múltiplas

Quando o teste F da ANOVA está sendo utilizado para testar diferenças entre I

tratamentos, a seguinte hipótese de nulidade é formulada:

H0 : µ1 = µ2 = ... = µI

Entretanto, quando I > 2, algumas comparações especí�cas de tratamentos podem

ser interesse. Nesse contexto, os procedimentos de comparações múltiplas (PCM)

são apropriados, desde que tratamento seja um fator qualitativo, e servem como um

complemento do teste F.



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Contrastes


Testespost-hoc


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Teste SNK

Teste deDunnett

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Ideia

Figura : diferença mínima signi�cativa

Fonte: Adaptado de Vieira (1989)



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Teste HSD deTukey

Teste SNK

Teste deDunnett

Escolhendo oteste


Contrastes

Uma combinação linear de médias cujos coe�cientes somam zero constitui

um contraste de médias, denotado por

C = a1µ1 + a2µ2 + ...+ aIµI =I∑

i=1

aiµi ,

sendo que∑I

i=1 ai = 0.



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Contrastes


Testespost-hoc


Teste HSD deTukey

Teste SNK

Teste deDunnett

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Contrastes - exemplo

Considere o exemplo 2 da aula anterior (cultivares de batata).

Cultivar Rep.1 Rep.2 Rep.3

1 50,9 50,6 51,2

2 49,1 49,3 49,9

3 49,9 49,8 49,5

4 49,2 49,1 50,0Fonte: Embrapa, 2011

Agora, admitindo que apenas os cultivares 1 e 3 são resistentes à P. infestans, um

contraste de interesse seria:

C1 = (µ1 + µ3)− (µ2 + µ4)

em que a1 = a3 = 1 e a2 = a4 = −1.



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Contrastes


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Teste HSD deTukey

Teste SNK

Teste deDunnett

Escolhendo oteste


Contrastes - exemplo

A estimativa do contraste C1 seria:

C1 = (µ1 + µ3)− (µ2 + µ4)= 50, 9+ 49, 7− 49, 4− 49, 4= 1, 77



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Variância de um contraste

A variância da estimativa de um contraste (C ) de médias é dada por:

Var(C ) = Var(a1µ1 + a2µ2 + ...+ aI µI ) =I∑

i=1

a2iriσi

se

• σ21 = σ22 = ... = σ2I = QMRes (homocedasticidade)

• r1 = r2 = ... = rI = r (experimento balanceado)

então:

Var(C ) =QMRes

r

I∑i=1

a2i



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Variância de um contraste - exemplo

Em se tratando de C1, tem-se que: r = 3 e QMRes = 0, 1375, logo:

Var(C1) = QMResr

∑Ii=1 a

2i

= 0,13753 (12 + 12 + (−1)2 + (−1)2)

= 0, 1833



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Teste t para contrastes

Contrastes envolvendo dois grupos de médias podem ser testados com teste

t-Student:C√

Var(C )∼ tν

em que ν é o número de graus de liberdade do resíduo.

O contraste C será considerado não nulo ao nível α quando∣∣∣C ∣∣∣ ≥ tα2,ν ×

√Var(C )



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Teste t para contrastes - exercícios

• Teste a hipótese H0 : C1 = 0 a 5% de signi�cância.

• Veri�que se as médias dos cultivares resistentes diferem.

• Utilize os dados do exemplo 3 da parte 1 do curso (exemplo dos porta-enxertos

de laranja); construa um contraste de interesse e teste se o mesmo é

estatísticamente nulo.



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Testes post-hoc

Referem-se às comparações de todos os pares de médias de um modo �post-hoc�,

isto é, após análise dos dados.

Alguns dos principais testes post-hoc são...



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Testespost-hoc


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Teste de LSD de Fisher

• Baseia-se na diferença mínima signi�catica (Least Square Di�erence).

• Apenas para testar contrastes envolvendo duas médias, do tipo: C = µi − µj .• Deve ser aplicado quando o F da ANOVA é signi�cativo (método protegido).

A estatística teste é:

LSD = tα2,ν

√QMRes

(1

ri+

1

rj

)A hipótese H0 : µi = µj será rejeitada ao nível α quando∣∣∣C ∣∣∣ ≥ LSD



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Teste HSD de Tukey

• HSD: honestly signi�cant diference (diferença honestamente signi�cativa).

• Apropriado para testar contrastes entre duas médias.

• Baseia-se na amplitude total estudentizada (q), que é um valor de t ajustado

para mais de duas amostras.

A estatística teste é:

HSD = qα,I ,ν

√1

2Var(C )

sendo I o número de tratamentos.



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Teste HSD de Tukey

Para um contraste do tipo C = µi − µj , tem-se que:

HSD = qα,I ,ν

√QMRes

r

Sendo ri 6= rj , o procedimento é aproximado e referido como método Tukey-Kramer,

e a estatística HSD passa à:

HSD = qα,I ,ν

√QMRes

2

(1

ri+

1

rj

)



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Testes LSD e HSD - exercício

Compare as médias de cultivares de batata utilizando os testes LSD e HSD.

Dados:

QMRes = 0, 1375r1 = r2 = r3 = r4 = r = 3

µ1 = 50, 9; µ2 = 49, 4; µ3 = 49, 7; µ4 = 49, 4

Usando o R para obter os valores tabelados de t e q:

qt(p = 0.975, df = 8)

qtukey(p = 0.95, means = 4, df = 8)



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Teste SNK

• SNK: Student-Newman-Keuls

• Apropriado para comparações entre duas médias.

• Também é baseado na estatística HSD de Tukey, com a diferença que o valor

tabelado não é único em todas as comparações, mas leva em conta o número

(h) de médias ordenadas abrangidas pelo contraste.

• A comparação de médias mais próximas é feita de forma mais sensível que com

o Tukey.

• A estatística é análoga àquela do Tukey, substituíndo o valor único qα,I ,ν por

qα,h,ν , o valor tabelado para comparar médias a uma distância h.

Obs.: O teste de Duncan é aplicado de forma idêntica ao SNK, com exceção do valor

tabelado.



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Teste SNK - exemplo

HSDh=2 = qα,2,ν

√QMRes

r= 3, 26

√0,1375

3 ≈ 0, 70

HSDh=3 = qα,3,ν

√QMRes

r= 4, 04

√0,1375

3 ≈ 0, 86

HSDh=4 = qα,4,ν

√QMRes

r= 4, 52

√0,1375

3 ≈ 0, 97



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Teste de Dunnett

• Apropriado para comparações aos pares das médias de tratamentos com a

média de um tratamento controle ou testemunha.

Se I tratamentos são ensaiados e µ1 é a verdadeira média do controle, então as

hipóteses do tipo

H0 : µ1 − µi , i = 2, 3, ..., I

serão rejeitadas quando

|µ1 − µi | ≥ dα,I ,ν

√QMRes

(1

r1+

1

ri

), i = 2, 3, ..., I .

sendo dα,I ,ν o valor tabelado.



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Escolhendo o teste adequado

• Não há uma regra geral.

• No caso de comparações planejadas... teste t-Student.

• No caso de comparações não planejadas, deve-se considerar a seguinte escala

crescente de rigor: LSD, Duncan, SNK, Tukey.

• Comparações com um tratamento controle: teste de Dunnett.

• Precisão experimental (CV%).



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Testespost-hoc


Teste HSD deTukey

Teste SNK

Teste deDunnett

Escolhendo oteste


Determinando o número de repetições do

experimento

Testes post-hoc podem ser utilizados para determinar o número necessário de

repetições do experimento.

Exemplo: a estatística HSD de Tukey

HSD = qα,I ,ν

√QMRes

r

pode ser utilizada para obter

r ≈q2α,I ,νQMRes

(HSD)2



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Teste SNK

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Escolhendo oteste


Determinando o número de repetições do

experimento - exercício

Considere ainda o exemplo dos cultivares de batata, cujo CV = 0,74%. Suponha

que para um novo experimento seja de interesse identi�car uma diferença de 2,0 kg

entre duas médias como signi�cativa a 5% de probabilidade. Qual seria o número

de repetições adequado para esta situação? Considere um CV esperado de 2%.

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