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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS

CENTRO DE CIÊNCIAS DA EDUCAÇÃO

CENTRO DE CIÊNCIAS BIOLÓGICAS

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO

CIENTÍFICA E TECNOLÓGICA

SELMA FELISBINO HILLESHEIM

OS NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS EM SALA DE AULA:

PERSPECTIVAS DE ENSINO PARA A REGRA DE SINAIS

Florianópolis

2013

3


Selma Felisbino Hillesheim

OS NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS EM SALA DE AULA:

PERSPECTIVAS DE ENSINO PARA A REGRA DE SINAIS

Dissertação submetida ao Programa de

Pós-Graduação em Educação

Científica e Tecnológica da

Universidade Federal de Santa

Catarina para a obtenção do Grau de

Mestre em Educação Científica e

Tecnológica.

Orientador: Prof. Dr. Méricles Thadeu

Moretti.

Florianópolis

2013

4

H651n Hillesheim, Selma Felisbino

Os números inteiros relativos em sala de aula: perspectivas

de ensino para a regra de sinais [dissertação] / Selma

Felisbino Hillesheim ; orientador, Méricles Thadeu Moretti.

– Florianópolis, SC, 2013.

1 v.

Dissertação (mestrado) – Universidade Federal de Santa

Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas, Centro

de Ciências da Educação, Centro de Ciências Biológicas.

Programa de Pós-graduação em Educação Científica e

Tecnológica.

Inclui bibliografia.

1 Números Negativos. 2. Regra de Sinais. 3. Princípio de

Extensão. 4. Registros de Representação Semiótica. 5.

Congruência Semântica. I. Moretti, Méricles Thadeu. II.

Universidade Federal de Santa Catarina. III. Título.

7

Este trabalho é dedicado às pessoas

que me ensinaram o verdadeiro

sentido da vida, aos meus filhos, Alyce

e Lucas.

9

AGRADECIMENTOS

Agradecimentos são sinais dos sentimentos mais profundos da

essência humana. Neste momento, sinto a necessidade de agradecer as

pessoas especiais que partilharam comigo esse percurso, e que sem as

quais não teria chegado a esse ponto da caminhada. No período de dois

anos, é impossível citar todas as pessoas que fizeram parte desse

caminhar... Então, ouso citar algumas, que definitivamente fizeram a

diferença nesse período de minha vida. Agradeço,

Ao Prof. Méricles Thadeu Moretti, por ter aceitado o desafio de

orientar este trabalho. Agradeço a confiança, as oportunidades, a

paciência e as aprendizagens que acompanharam esses dois anos de

orientações. Sem a sua generosidade e confiança, eu não teria chegado

até aqui.

Aos professores do Mestrado do Programa de Pós-Graduação em

Educação Científica e Tecnológica (PPGECT) da UFSC, de modo

especial, a Profª Claudia Glavam Duarte pelo carinho e apreço que teve

pelo nosso trabalho e pelas valiosas contribuições nas bancas de

qualificação e defesa desta dissertação. À Profª Vivian Leyser da Rosa,

pelos calorosos debates nas suas aulas de Seminários de Dissertação I.

Ao Prof. Frederico Firmo de Souza Cruz, à Profª Sônia Maria da S. C.

de Souza Cruz, ao Prof. Walter Antonio Bazzo e ao Prof. Carlos Alberto

Marques pelas reflexões que contribuíram muito para a minha formação

acadêmica. Ao Prof. Davi Costa, à Profª Cláudia Regina Flores e à Profª

Joseane Pinto de Arruda pelos valiosos debates promovidos nas aulas de

Discussão crítica de artigos de pesquisa em Educação Matemática, que

contribuíram muito para a tessitura deste trabalho.

À Profª Neiva Ignês Grando pela atenção e pelas sugestões

impressas na banca de qualificação. À Profª Maria Auxiliadora Paiva

Vilela, que com seu olhar atento, deu-me valiosas contribuições para a

escrita deste trabalho e, sobretudo, por aceitar prontamente o convite a

participar da banca de defesa desta dissertação. Da mesma forma,

agradeço ao Prof. Saddo Ag Almouloud pelas reflexões e contribuições

propostas na banca de defesa.

Aos colegas da turma de mestrado de 2011, com os quais pude

vivenciar momentos ímpares que deixaram saudades. Em especial, ao

amigo da turma, Adriano Né, sempre pronto a me ajudar nos momentos

difíceis, e à querida Rosangela Kirst da Silveira, amiga de todas as

horas.

À direção da escola que me recebeu de braços abertos,

viabilizando a realização das atividades de investigação. Também, de

10

modo especial, aos alunos que participaram da pesquisa pela

disponibilidade e colaboração.

Ao professor Ivo Zimmermann, pelo carinho e atenção que

despendeu na correção deste trabalho, e a professora Heloísa, amiga e

colega de trabalho, pelo auxílio nas traduções.

À amiga Rosânia Jochen Farias pelo ombro amigo nas horas

difíceis e pelas palavras de conforto, me fazendo acreditar que tudo iria

dar certo.

E, finalmente, gostaria de agradecer aos meus amores:

Meu companheiro Sônio, que esteve sempre ao meu lado,

mesmo nos momentos mais críticos, incentivando e motivando

a continuar, inclusive quando parecia inevitável a desistência

frente às dificuldades. Aos frutos do nosso amor, nossos filhos

Alyce e Lucas, que são a minha razão de viver, iluminando cada

dia da minha existência.

Meus pais, Manoel (in memoriam) e Arlinda que tanto me

ensinaram sobre a vida e sobre os seus verdadeiros valores. A

vocês devo tudo o que sou. A você mãe que sempre me

ensinou, através do seu exemplo, que todo o sonho é possível

de ser realizado, basta acreditar e ser persistente na sua busca.

Minha família querida, irmãos, irmãs, sogro, sogra, cunhados,

cunhadas, sobrinhos, sobrinhas, que acompanharam

confiantemente as pequenas vitórias, deixando explícitos o

orgulho e a confiança na minha vontade de vencer, me

incentivando na conquista desse sonho.

Meu carinho e respeito por vocês são incondicionais!

Meus sinceros agradecimentos a todos vocês que permitiram a

concretização desse sonho!

11

É na inconclusão do ser, que se sabe como tal, que

se funda a educação como processo permanente.

Mulheres e homens se tornaram educáveis na

medida em que se reconheceram inacabados. Não

foi a educação que fez mulheres e homens

educáveis, mas a consciência de sua inconclusão é

que gerou sua educabilidade. É também na

inconclusão de que nos tornamos conscientes, e

que nos incerta no movimento permanente de

procura, que se alicerça a esperança (FREIRE,

2002).

13

RESUMO

A trajetória histórica do conceito de número negativo foi lenta e

surpreendente. A hesitação em aceitar os números negativos foi uma

característica marcante no seu processo de consolidação. A regra de

sinais para a multiplicação é apresentada por Diofanto de Alexandria

ainda no 3o século d. C. No entanto, somente em 1867 é que Hankel

consegue demonstrá-la e, assim, resolve o problema do ponto de vista

matemático. Mas, do ponto de vista didático/pedagógico, o problema

persiste ainda hoje. Glaeser e Coquin-Viennot enfatizam que o modelo

comercial, utilizado para o ensino das propriedades aditivas, contribui

para a formação de obstáculos no ensino das propriedades

multiplicativas dos relativos. O modelo comercial, que é o mais

encontrado e que busca uma explicação para essas regras com exemplos

práticos, encontra na noção de congruência semântica de Duval uma

forte oposição por conta de uma associação codificada entre verbos e

operação, por exemplo: perder/escorregar associados à operação de

subtração, enquanto que ganhar/subir são associados à adição. Pautados

nas colocações de Caraça, a respeito do princípio de extensão, inferimos

que o ensino das operações com relativos deve seguir esse mesmo

princípio. A ideia trazida por esse autor é de que há, em matemática,

uma propensão para generalização de resultados, ampliando as

propriedades para universos cada vez mais amplos. Assim, por esse

princípio, prevaleceu a regra usual dos sinais por ser essa a regra que

conserva as propriedades de distributividades à direita e à esquerda já

observada com os números positivos. Nesse contexto, emerge uma

indagação: De que forma o “princípio de extensão” pode contribuir para

o processo de ensino e aprendizagem da multiplicação de números

negativos? Na busca por uma melhor compreensão desta questão,

organizamos uma sequência para o ensino dos números negativos em

uma turma de 7o ano de uma escola pública municipal de São José em

Santa Catarina. Essa aplicação, em sala de aula, faz transparecer um

caminho possível para o ensino dos negativos sem apelarmos para

modelos do tipo comercial e sem comprometer as propriedades

multiplicativas desses números.

Palavras-chave: Números Negativos. Regra de Sinais. Princípio de

Extensão. Registros de Representação Semiótica. Congruência

Semântica.

15

ABSTRACT

The historical path of the negative number concept may be considered

slow and, at the same time, surprising. The hesitation in accepting

negative numbers was a striking feature in their consolidation process.

The rule of signs theory for multiplication was presented by Diophantus

of Alexandria in the third century A.D. It was only in 1867, however,

that Hankel was able to prove this theory, solving the problem from a

mathematical point of view. On the other hand, from the educational and

pedagogical point of view, the problem is still topical today. Glaeser and

Coquin-Viennot emphasize the fact that the commercial model, which is

used in addition teaching, contributes to the emergence of barriers in the

multiplication teaching of relative numbers. This commercial model, the

most common one seeking for explanations to these rules using practical

examples, meets with great resistance from Duval‟s semantic concept of

coherence due to a codified combination between verbs and operations,

e.g. to lose/to slide related to subtraction; to gain/to increase related to

addition. Based on Caraça‟s arguments on the extension principle, it is

possible to infer that the teaching of relative numbers operations should

follow the same principle. The idea supported by this author is that there

is in mathematics a bias for generalizing results, which expands all the

properties to broader universes. Therefore, according to this principle,

the usual rule of signs theory prevailed, since this rule is the one that

preserves the distributive properties in the left- and right-hand sides

already observed with positive numbers. In such context one is able to

question: In what way does the “extension principle” may contribute to

the process of teaching and learning multiplication of negative numbers?

Aiming to propose a better understanding of such issue, it was possible

to organize a determined sequence related to the teaching of negative

numbers to a Year 7 Class (Junior High) at the Public Municipal School

of São José, in the State of Santa Catarina. This experience in the

classroom demonstrates it is possible to teach negative numbers without

calling for commercial models and without compromising their

multiplicative properties.

Keywords: Negative Numbers. Rule of Signs Theory. Extension

Principle. Records of Semiotic Representation. Semantic Coherence.

17

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1- Explicação para a adição de números inteiros 69

Figura 2 - Demonstração da subtração de números inteiros 71

Figura 3 - Demonstração para a subtração de números inteiros 72

Figura 4 - Tabela utilizada para a apresentação da multiplicação de

números inteiros

73

Figura 5 – Reta r 86

Figura 6 – Representação geométrica da adição (-3) + (+5) 96

Figura 7 - Representação geométrica da adição (-2) + (+7) 101

Figura 8 - Representação geométrica da adição (+5) + (-8) 106

Figura 9 – Disco colorido do jogo “Tiro ao Alvo” 126

Figura 10 - Item a da quarta questão da segunda lista de atividades 128

Figura 11 - Quadro mágico proposto aos alunos 130

Figura 12 - Justificativa apresentada pelo aluno 03 145

Figura 13 – Justificativa apresentada pelo aluno 18 145


Figura 15 - Resposta apresentada pelo aluno 35 148















Figura 30 - Resposta apresentada pelos alunos 02 e 21 164









19

LISTA DE TABELAS

Tabela 1- Apresentação da multiplicação de números negativos 62

Tabela 2 - Apresentação da sequência completa da multiplicação de

números negativos

62

Tabela 3 - Apresentação da multiplicação de números inteiros 70

Tabela 4- Tabela comparativa dos modelos encontrados na análise

dos livros didáticos

75

Tabela 5- Sequência formada na multiplicação de números inteiros 80

Tabela 6 – A regra usual e outra regra de sinais 108

Tabela 7 – Comparação entre duas regras de sinais para

multiplicação

109

Tabela 8 – Tabela das cores do jogo “Tiro ao Alvo” 127

Tabela 9 – Tabela apresentada aos alunos durante a atividade 130

Tabela 10 - Resultados referentes à questão 1 do teste da

multiplicação

153

Tabela 11 - Resultados referentes à questão 3 do teste da

multiplicação

158

Tabela 12 - Resultados referentes à questão 7 do teste da subtração 169

21

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO 23

2 CONTEXTO HISTÓRICO DO SURGIMENTO DA

REGRA DE SINAIS

29

2.1 Um pouco da história antiga sobre os números negativos 29

2.2 Alguns aspectos históricos dos números negativos na Idade

Média

32

2.3 Elementos históricos importantes a respeito dos números

negativos na Idade Moderna

36

2.4 Os números negativos na Idade Contemporânea: o começo de

uma nova história

42

3 OS NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS: NA SALA DE

AULA, NO LIVRO DIDÁTICO, NOS PCN E NCTM

49

3.1 Os números inteiros relativos na sala de aula 49

3.2 Análise das abordagens dos números relativos encontradas nos

livros didáticos do PNDL-2011

57

3.3 O que nos dizem os PCN e NCTM a respeito do ensino dos

números inteiros relativos?

77

4 FUNDAMENTOS TEÓRICOS PARA O ENSINO DE

NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS: CONGRUÊNCIA

SEMÂNTICA E PRINCÍPIO DE EXTENSÃO

85

4.1 O princípio de extensão de Caraça 85

4.2 Os Registros de Representação Semiótica 91

4.3 Os níveis de compreensão na concepção dos relativos 112

5 CAMINHOS DA PESQUISA: METODOLOGIA E

ANÁLISE DOS RESULTADOS APRESENTADOS

115

5.1 Metodologia 115

5.2 Aplicação da sequência didática 121

5.2.1 A introdução conceitual dos números inteiros 122

5.2.2 O ensino da operação de adição de números inteiros 124

5.2.3 O ensino da operação de multiplicação de números inteiros e

a regra de sinais

131

5.2.4 O ensino da operação de subtração de números inteiros 139

5. 3 Resultados apresentados 143

5.3.1 Análise do teste da adição de números relativos 144

5.3.2 Análise do teste da multiplicação de números relativos 153

5.3.3 Análise do teste da subtração de números inteiros relativos 162

22

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

173

REFERENCIAS

179

APÊNDICES

187

APÊNDICE A – TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E

ESCLARECIDO

189

APÊNDICE B – SEQUÊNCIA DIDÁTICA 191

APÊNDICE C – TESTE DE ADIÇÃO 211

APÊNDICE D – TESTE DA MULTIPLICAÇÃO 213

APÊNDICE E – TESTE DA SUBTRAÇÃO 215

23

1 INTRODUÇÃO

O ensino dos números relativos no ensino fundamental enfrenta

problemas que acabam repercutindo ao longo da vida escolar dos

alunos. A dificuldade enfrentada pelos alunos na aprendizagem da

multiplicação de dois números negativos direcionou o tema da nossa

pesquisa para o ensino dos números inteiros com ênfase nas operações

de adição, multiplicação e subtração.

A introdução conceitual dos números relativos foi um processo

lento e surpreendente. A origem da regra de sinais é geralmente

atribuída a Diofanto de Alexandria que viveu no século III depois de

Cristo1. Diofanto não faz nenhuma referência aos números relativos,

mas, em seu Livro I Aritmética, ele menciona: “Menos multiplicado por

menos é mais e menos por mais é menos” (2007, p. 22).

No período compreendido entre Diofanto e Hankel, muitos

matemáticos se propuseram a construir uma demonstração para a regra

de sinais pautada em exemplos práticos. Porém Hankel, em 1867,

demonstra que a única das regras possíveis é aquela que preserva a

distributividade à esquerda e à direita, isso porque ele aborda a ideia de

número relativo numa outra dimensão, que não aquela procurada na

natureza. Hankel2 (apud GLAESER, 1981, p. 338), diferentemente de

Laplace, que acreditava na existência de uma explicação para a

multiplicação dos relativos na natureza, aborda a questão numa outra

dimensão, os números não são descobertos, são imaginados e a regra de

sinais é pura invenção da mente humana, portanto, uma convenção.

Essas duas percepções do saber matemático vão ao encontro de

que Caldeira (2007) chama de visão internalista e externalista3.

Aproximamo-nos da versão construtivista dos conhecimentos

matemáticos por percebemos que o conhecimento matemático se dá na

inter-relação do homem com o mundo, que ele é construído por meio da

ação do homem. Nesse sentido, nas situações de ensino, o aluno constrói

1 Não se sabe ao certo o período em que Diofanto viveu, mas de acordo com

Eves (2004, p. 207), a maioria dos historiadores o situa no 3o século da nossa

Era. 2 HANKEL, H. Théorie des complexen Zahlsysteme. Leipzig: Leopold Voss,

1867. 3 Caldeira (2007) diferencia a visão internalista e externalista da matemática. “A

primeira vê a matemática como a-histórica e não tendo nenhuma ligação com a

sociedade e a cultura, a segunda, ao contrário, vê a matemática como

dependente da cultura, histórica e socialmente construída” (p. 119).

24

seus conceitos a partir de problematizações, de ações reflexivas sobre

materiais e atividades do saber matemático.

De acordo com Glaeser (1981), o modelo metafórico, usado para

facilitar a compreensão das propriedades aditivas, constitui-se como um

obstáculo à compreensão da multiplicação desses números. Hoje, do

ponto de vista matemático, o teorema de Hankel não causa nenhuma

dificuldade ou estranheza. Entretanto, do ponto de vista

didático/pedagógico, muitos obstáculos4 ainda precisam ser

ultrapassados. Por meio do modelo metafórico, o aluno é facilmente

convencido de que se ele tem cinco reais (+5) e deve três reais (-3), ao

pagar a dívida lhe sobram dois reais (+2), contudo, dificilmente será

convencido do mesmo em (-3) × (-2) = +6. Como uma dívida

multiplicada por outra dívida pode tornar-se um ganho? “Nessas

condições, não se está introduzindo um falso contrato didático quando

se utiliza o modelo concreto para apresentar o conjunto dos números

relativos?” (COQUIN-VIENNOT, 1985, p. 183, grifos do autor,

tradução nossa)5.

Esse questionamento de Coquin-Viennot nos provocou um

desconforto. Que, de certa forma, vem ao encontro dos problemas que

vivenciamos na sala de aula ao longo da nossa vida profissional.

Enquanto professora, o ensino da regra de sinais sempre gerou um certo

desconforto. O fato da multiplicação de dois números negativos não

estar relacionado a situações contextualizadas, como as situações da

4 A palavra obstáculo, de acordo com o dicionário Michaelis (2009), significa

“tudo o que impede ou torna difícil fazer alguma coisa; embaraço, impedimento,

barreira.” Entretanto, esse termo possui interpretações diversas na comunidade

científica. Para Brousseau, um obstáculo corresponde a um conhecimento, a um

conceito e não a uma dificuldade ou uma falta de conhecimento (CID, 2000).

Contudo, Glaeser (1981), ao analisar a epistemologia dos números negativos

utilizou o termo obstáculo associado a ideia de dificuldade, barreira e sintoma.

Para Glaeser, um dos objetivos mais importantes da didática da matemática é o

de determinar os obstáculos que impedem a compreensão e a aprendizagem

dessa ciência. Mas, de acordo com Brousseau (apud CID, 2000) é necessário

distinguir um obstáculo de uma dificuldade, sugerindo que as dificuldades

propostas por Glaeser podem servir como ponto de partida na busca pelos

verdadeiros obstáculos. Não é nosso objetivo, neste trabalho, travarmos um

debate acerca das concepções a respeito do termo obstáculo. Porém, este termo

será usado por nós no transcorrer deste trabalho associado a ideia de

dificuldades, aproximando-nos da concepção de Glaeser (1981). 5 Dans ces conditions n‟est-ce pas introduire un faux contrat didactique que

d‟utiliser un modèle concret pour présenter l‟ensemble des nombres relatifs?

25

adição, nos desafiou a buscarmos subsídios teóricos e metodológicos a

fim de melhorar a nossa prática de ensino a respeito dos problemas que

se estabelecem no ensino dos números relativos, principalmente, da

regra de sinais.

As operações de adição, multiplicação e subtração com números

relativos se mostram como uma barreira que precisa ser transposta nas

situações de ensino e aprendizagem da sala de aula. A explicação da

regra de sinais apresentada por Hankel (apud GLAESER, 1981),

mostrou que a única regra possível é aquela que preserva a propriedade

distributiva da adição em relação à multiplicação à direita e a esquerda.

Dessa maneira, as mesmas propriedades que regem os números

positivos foram estendidas também para os negativos.

Essa capacidade que o homem civilizado tem para fazer

generalizações e abstrações, Caraça (1963) chama de “princípio de

extensão”. O trabalho intelectual do homem orientado por certas normas

e princípios foi que propiciou a ampliação dos conjuntos numéricos. O

homem por meio das suas abstrações e generalizações conseguiu

transpor o pensamento unicamente concreto e ascender ao campo formal

das operações. Foi essa barreira que Hankel (apud GLAESER, 1981)

derrubou ao mostrar que a explicação para a regra de sinais - × - = + não

poderia ser procurada na natureza, pois ela é fruto do pensamento

humano e, como tal, precisa atender as regras da consistência interna da

própria matemática.

O modelo comercial, assim denominado por Glaeser (1981), pode

facilitar o entendimento do aluno a respeito de problemas aditivos de

números relativos, assim como os que aparecem nos livros didáticos,

porém essa abordagem pode trazer obstáculos para a compreensão de

problemas multiplicativos.

Nesse sentido, pensamos que:

É necessário para a construção do pensar

matemático também uma formalização da

linguagem matemática, e trabalhar a sua

construção, permite uma melhor compreensão das

produções e das problematizações da matemática

nas condições ontológicas (SAD6, apud ANJOS,

2008, p. 91).

6 SAD, Lígia A. História da matemática e epistemologia da aprendizagem. In:

COLÓQUIO BRASILEIRO DE HISTÓRIA DA MATEMÁTICA, 1., 2005,

Natal. Encontro Luso-Brasileiro de História da Matemática, 4., 2005. Anais...

Natal: UFRN, 2005.

26

Além dessa questão, podemos analisar o ensino das operações

dos relativos numa outra perspectiva, o da congruência e da não

congruência semântica, introduzida por Duval (2012). Um dos

obstáculos enfrentados por muitos alunos nas suas aprendizagens

matemáticas está ligado ao fato de que a equivalência referencial

destaca-se da congruência semântica. Geralmente, quando ocorre a

passagem de uma representação semiótica a outro sistema de maneira

espontânea diz-se que há congruência semântica.

Para isso, de acordo com Duval (2004), ela deve atender as

condições de correspondência semântica entre as unidades significantes

que as constituem, manter a mesma ordem de apreensão possível destas

unidades nas duas representações e converter a unidade significativa na

representação de chegada. Porém quando não se cumprem um desses

critérios, as representações não são congruentes entre si e a passagem de

um sistema de representação a outro não ocorre de imediato.

Na sala de aula, a adição de números relativos é apresentada

contextualizadamente com exemplos que podem convencer

rapidamente, até mesmo a um leigo no assunto. Porém, a multiplicação

de números relativos é explicada dogmaticamente. Sob o ponto de vista

da perspectiva da congruência semântica, a adição de números relativos

nem sempre representa um ganho e a subtração nem sempre representa

uma perda. Na multiplicação de números inteiros, a ideia de adição de

parcelas iguais encontra como obstáculo a multiplicação de dois

números negativos. Então, embrenhados, nesse contexto conturbado,

emergiu o nosso problema de pesquisa: De que forma o “princípio de

extensão” pode contribuir para o processo de ensino e aprendizagem da

multiplicação de números negativos?

Movidos por este questionamento, propomo-nos a realizar nossa

pesquisa tendo como objetivo geral: Analisar uma sequência de ensino

em que as operações de adição, multiplicação e subtração com números

inteiros relativos serão abordados por meio do “princípio de extensão”, e

verificar as suas possíveis contribuições no processo de ensino e

aprendizagem. E, para operacionalizar nosso objetivo central, elencamos

os seguintes objetivos específicos:

fazer um levantamento histórico a respeito das dificuldades

encontradas no passado com relação ao surgimento e a

consolidação do número negativo e da regra de sinais;

analisar a abordagem que os PCN, NCTM e os livros didáticos

de matemática do 7o ano, apontados pelo PNLD 2011, trazem

sobre os números inteiros relativos;

27

apontar as possibilidades que o “princípio de extensão” e a

congruência semântica trouxeram para o ensino das operações

de adição, multiplicação e subtração de números inteiros

relativos;

organizar e aplicar uma sequência de ensino pautado no

“princípio de extensão” e avaliar as possibilidades de ensino

dos números relativos, conduzido por meio desse princípio.

Visando a atender os objetivos deste trabalho, sentimos

necessidade de buscar na história da matemática, de como aconteceu o

processo de consolidação do número negativo. Uma história de muitas

idas e vindas, traçadas sob uma trajetória não linear, que apresentou

muita hesitação a respeito dos negativos. Essa trajetória histórica,

apresentamos no segundo item intitulado – Contexto histórico do

surgimento da regra de sinais.

Bem, se historicamente o contexto do surgimento dos números

negativos foi conturbado, precisamos saber se esses problemas ainda

persistem nas salas de aulas atuais. Como o ensino das operações de

adição, multiplicação e subtração com números inteiros são

apresentadas nos livros didáticos atuais? O que nos apontam os PCN e

NCTM a respeito do ensino dos números negativos? Essas são algumas

das questões que abordamos na terceira parte do nosso trabalho – Os

números inteiros relativos: na sala de aula, no livro didático, nos PCN e

NCTM. No quarto item – Fundamentos teóricos para o ensino de

números inteiros relativos: congruência semântica e o princípio de extensão - apresentamos o embasamento teórico que nos deu suporte

para construir uma sequência de ensino que se opôs ao modelo

comercial e conduziu o ensino dos relativos, atendendo ao “princípio de

extensão”. Exploramos situações que se apresentam no ensino dos

números relativos, relacionados à congruência semântica e propomos

reflexões à luz da Teoria dos Registros de Representação Semiótica de

Raymond Duval.

Na quinta parte do nosso trabalho – Caminhos da pesquisa: metodologia e análise dos resultados apresentados - sentimos a

necessidade de apresentar uma abordagem diferente para a adição dos

relativos, a fim de não comprometer o ensino da multiplicação desses números. Assim, neste capítulo, apresentamos a nossa metodologia de

trabalho, a postura que assumimos na condução do ensino dos números

relativos, o relato da nossa experiência e a análise dos dados obtidos por

meio da aplicação da sequência didática.

28

Por fim, apresentamos as Considerações finais em que

enfatizaremos os principais achados do estudo, buscando atender aos

nossos objetivos e responder o problema de pesquisa que fomentou todo

o nosso trabalho. Também, apresentamos algumas considerações acerca

das implicações futuras desta pesquisa, principalmente, as relacionadas à

prática pedagógica referente ao ensino dos números negativos.

29

2 CONTEXTO HISTÓRICO DO SURGIMENTO DA REGRA DE

SINAIS

Neste capítulo, abordaremos alguns aspectos da história do

número negativo, bem como do surgimento e da consolidação da regra

de sinais da multiplicação desses números, que se mostram relevantes

no contexto histórico geral. Uma história de incertezas, de idas e vindas

e de muitas hesitações na aceitação da ideia de número negativo.

Acreditamos que esses aspectos históricos poderão trazer significativas

contribuições para o entendimento das dificuldades encontradas pelos

matemáticos, no passado, e sua estreita relação com as dificuldades

encontradas hoje por nossos alunos no que tange o processo de ensino e

aprendizagem dos números inteiros relativos.

2.1 Um pouco da história antiga sobre os números negativos

A origem da regra de sinais da multiplicação de números

negativos é, em geral, atribuída a Diofanto de Alexandria. Sobre ele,

pouco se sabe, até mesmo o período em que viveu. No entanto, os

historiadores apontam evidências e tendem a situá-lo no século III de

nossa era. Esse algebrista de nacionalidade desconhecida escreveu três

trabalhos: Aritmética, Sobre Números Poligonais e Prisma (EVES,

2004, p. 207).

A regra que estabelece que “- × - = +” aparece no começo do

livro I da sua Aritmética de forma explícita: “Menos multiplicado por

menos é mais e menos por mais é menos” (DIOFANTO DE

ALEXANDRIA, 2007, p. 22). Porém, em nenhum momento Diofanto

apresenta uma justificativa para tal regra. Ele apenas a usava nos

cálculos intermediários e não aceitava as raízes negativas na solução das

equações quadráticas (BOYER, 2010).

No oriente, a matemática assumiu um caráter prático voltado às

questões administrativas, organizações públicas e cobrança de impostos.

Não se encontra na matemática oriental registros de demonstrações ou

argumentações sobre os cálculos, apenas uma prescrição de como

aplicar as regras. Inicialmente, foi dada ênfase à aritmética prática e a

medição, no entanto, com o passar do tempo, fortes tendências levam a

abstração, e a aritmética se transformou em álgebra (STRUIK, 1992).

Contrariando a posição de Struik (1992), a respeito de não se

encontrar na matemática oriental demonstrações sobre cálculos, Joseph

(1991) defende, ao longo das 494 páginas do seu livro “La Cresta Del

Pavo Real: las matemáticas y sus raíces no europeas”, a posição de que a

30

atividade matemática fora da Europa tem sido ignorada, desvalorizada e

distorcida. O autor afirma que existe uma certa resistência com relação

aos conhecimentos matemáticos anteriores ao período da matemática

grega, comparando-a com “rabiscos de crianças que estão aprendendo a

escrever em oposição a grande literatura” (KLINE, 1962 apud JOSEPH,

1991, p. 32). Essa visão atribui à matemática egípcia e babilônica a ideia

de que essas matemáticas não tinham regras gerais, careciam de

demonstrações e não eram abstratas. Entretanto, não se pode negar que

nas resoluções dos problemas que foram apresentadas por esses povos,

tanto no papiro de Ahmes como nas tábuas babilônicas “indicaria que

existia uma compreensão da generalidade das regras subjacentes”

(JOSEPH, 1991, p. 181). Assim, o autor reconhece que diferentes

culturas, em diferentes momentos da história têm contribuído para os

conhecimentos matemáticos do mundo, cada qual com suas

características próprias (p. 34).

De acordo com Struik (1992), grande parte do que sabemos

sobre os conhecimentos egípcios encontram-se em dois papiros: Papiro

de Rhind e Papiro de Moscovo. Esses papiros apresentam problemas

que estão baseados numa matemática pautada no sistema de numeração

decimal. De acordo com Lumpkin (1996, apud PONTES, 2010;

ANJOS, 2008), apesar da ideia de número negativo não ter sido

registrada na civilização egípcia, eles já mostravam indicativos desses

números ao utilizarem malhas quadriculadas na construção de

pirâmides. Eles escolhiam uma linha no nível do chão como sendo a

linha zero e numeravam as outras linhas como sendo cúbico acima de

zero e abaixo de zero. Mesmo assim, de acordo com Eves (2004, p. 67),

“a matemática do Egito antigo nunca alcançou o nível da matemática da

Babilônia”.

Na civilização babilônica, perto do ano 2000 a. C., a aritmética

da Babilônia já tinha se desenvolvido e passado para a álgebra retórica.

Encontram-se registros que apontam que eles resolviam equações

lineares e quadráticas e, também, problemas que envolviam equações

cúbicas e biquadradas. No entanto, encontravam apenas raízes positivas.

Sua geometria tinha base em problemas práticos relacionados com a

medição, mas a forma geométrica era apenas uma forma de apresentar

uma questão algébrica (STRUIK, 1992; EVES, 2004).

O estudo da matemática antiga chinesa pode ser encontrada na

mais importante obra da matemática chinesa Jiu zhang suan-shu (Chiu

chang suan shu), ou Nove Capítulos da Arte Matemática. Essa obra foi

produzida, muito provavelmente, durante a dinastia Han (206 a. C. –

220 d. C.) e constitui um livro totalmente voltado à matemática. Sua

31

matemática consiste num conjunto de problemas, e uma série desses

problemas conduziria a sistemas de equações lineares. A solução dessas

equações lineares era efetuada por transformações de matrizes. E nessas

matrizes é que encontramos pela primeira vez na história o registro de

números negativos (STRUIK, 1992, p. 67). Um número negativo era

representado traçando uma diagonal na sua última coluna, por exemplo,

- 12 era representado por (JOSEPH, 1991, p. 207).

Parece que aos chineses a ideia de números negativos não

causaram problemas, já estavam acostumados a calcular manipulando

duas coleções de barras vermelhas e pretas, correspondendo a números

positivos e negativos, respectivamente. Contudo, os chineses não

aceitavam a ideia de que um número negativo pudesse ser raiz de

alguma equação, eram usados apenas como intermediários na execução

de algum tipo de cálculo (BOYER, 2010).

Em contraste à matemática chinesa, a história da matemática

grega nos aponta que o conceito de número negativo não foi registrado

nesse período. O principal objetivo da matemática grega expresso nos

primeiros estudos foi o de compreender o lugar do homem no universo.

Desta forma, a matemática auxiliaria a ordenar as ideias em sequências

lógicas e a encontrar a ordem no caos. Dois grupos de pensadores

merecem ser destacados na matemática grega. De um lado estavam os

“sofistas” preocupados em desenvolver uma matemática mais voltada à

compreensão do que à utilidade. E, de outro, os “pitagóricos” que davam

importância ao estudo dos elementos imutáveis da natureza e da

sociedade. Estudavam geometria, aritmética, astronomia e música. A

aritmética era especulativa, e pouco tinha em comum com a dos

babilônicos (STRUIK, 1992).

De acordo com Eves (2004), uma das características da

matemática grega era a sua persistência com as rigorosas

demonstrações, alcançando uma existência independente. Os gregos

dispunham de duas maneiras principais para resolver equações simples:

o método das proporções e o método da aplicação de áreas. Ao que tudo

indica, esses métodos se originaram dos pitagóricos. O forte apego que

os gregos apresentavam com a geometria impossibilitou-os de ousarem

em considerar os negativos como números, pois

[...] para quem a geometria era um prazer e a

álgebra um demônio necessário, rejeitaram os

números negativos. Incapazes de ajustá-los em sua

geometria, incapazes de representá-los por figuras,

os gregos consideravam os negativos não

32

exatamente como números (KASNER;

NEWMAN, 1968, apud MEDEIROS;

MEDEIROS, 1992, p. 51).

Segundo Struik (1992, p. 108), os matemáticos gregos fizeram

uma separação entre “aritmética” e “logística”. A “aritmética”

(arithmoi) era a ciência dos números que expressava um número natural,

uma “quantidade composta por unidades”. Enquanto a “logística” era o

cálculo prático que estava baseado num sistema de numeração que

mudou com o tempo. Isso mostra que:

Historicamente, os números negativos não

surgiram na contagem, mas nos cálculos; ou seja,

surgiram na Logística, mais explicitamente na

resolução de equações. Isso se concretizou com

Diofanto (fl. Século III), na sua obra Arithmetiké,

que era essencialmente um trabalho da Logística

Teórica. Nessa obra, Diofanto desenvolveu

resoluções de equações usando implicitamente as

regras de sinais, todavia desconsiderou a

existência independente dos números negativos

(ANJOS, 2008, p. 24, grifos do autor).

A matemática grega não aceitou a existência independente do

número negativo, no entanto, as regras de sinais aparecem

implicitamente na obra de Diofanto como uma tentativa de abreviar os

cálculos. Diofanto não aceitou a ideia de número negativo isoladamente,

estes aparecem somente como cálculos intermediários.

2.2 Alguns aspectos históricos dos números negativos na Idade Média

A ciência chinesa influenciou e deixou sua marca na ciência de

outras sociedades, por exemplo, o sistema decimal e os números

negativos podem ter vindo da China para a Índia. No entanto, não

podemos negar que a ciência indiana também exerceu influência sobre a

China. “A influência indiana na China pode ser tão antiga como a

introdução do budismo na China” (STRUIK, 1992, p. 128). Os hindus se destacaram como calculadores, no entanto sua

geometria deixava a desejar, pois era muito empírica e, em geral, ligada

à mensuração. Como eram excelentes aritméticos, deram importantes

contribuições à álgebra. “Ao contrário de Diofanto, que procurava uma

qualquer das soluções racionais de uma equação indeterminada, os

33

hindus empenhavam-se em encontrar todas as soluções inteiras

possíveis” (EVES, 2004, p. 256, grifos do autor).

Na matemática hindu, o mais relevante matemático do século

VII foi Brahmagupta (598-665). Segundo Boyer (2010), Brahmagupta

fez contribuições importantes à álgebra ao considerar duas raízes,

mesmo as negativas, como solução das equações quadráticas. Pela

primeira vez, em sua obra, encontra-se a aritmética sistematizada dos

números negativos e do zero. Sua obra fornece, também, as seguintes

regras operatórias envolvendo os números negativos:

Positivo dividido por positivo, ou negativo por

negativo, é afirmativo. Cifra dividida por cifra é

nada. Positivo dividido por negativo é negativo.

Negativo dividido por afirmativo é negativo.

Positivo ou negativo dividido por cifra é uma

fração com esse denominador (BOYER, 2010, p.

150).

No entanto, Brahmagupta complicou-se um pouco ao afirmar que

0/0 = 0, porém para o caso de a/0 ele não se comprometeu. Outro

matemático hindu que teve destaque na segunda metade da Idade Média

foi Bhaskara (1114 a cerca de 1185). Ele foi responsável por preencher

algumas lacunas apresentadas na obra de Brahmagupta como, por

exemplo, o problema da divisão por zero. Na sua obra mais conhecida,

o Lilavati, cujo título é o nome da sua filha, Bhaskara reuniu problemas

de Brahmagupta e outros, acrescentando suas novas observações. O

Lilavati apresenta uma série de problemas sobre os itens prediletos dos

hindus: equações lineares e quadráticas, tanto determinadas quanto

indeterminadas, simples mensuração, progressão aritmética e geométrica

e outros (BOYER, 2010, p. 152).

Bhaskara, em um de seus livros, resolveu a equação x2 – 45x =

250 encontrando as raízes x = 50 e x = - 5 como solução do problema.

Para a raiz negativa, ele manifestou um certo cepticismo. No entanto,

não se pode desconsiderar que, de certa forma, os números negativos

ganharam com isso uma vagarosa aceitação (STRUIK, 1992, p. 117).

No período de 650 a 750, os árabes não demonstravam muito

interesse intelectual, foi somente na segunda metade do oitavo século que se observou um despertar cultural no Islã. Neste período, foram

chamados para Bagdá estudiosos da Síria e da Mesopotâmia, a cidade se

tornou uma nova Alexandria. Durante o califado de al – Mamum se

estabeleceu em Bagdá uma “Casa da Sabedoria” onde se encontrava

34

entre os mestres, um matemático e astrônomo chamado Mohammed ibu-

Musa al-Khowarizmi que escreveu obras de astronomia e matemática.

Dentre essas obras, a mais importante foi Al-jabr Wa’l muqabalah da

qual teve origem o termo álgebra.

A álgebra apresentada nesta obra está mais próxima da álgebra

elementar de hoje que as obras de Diofante e de Brahmagupta, no

entanto nem al-Khowarizmi nem outros matemáticos árabes usaram a

sincopação ou números negativos (BOYER, 2010, p. 156). As

contribuições de al-Khowarizmi foram importantes no contexto

histórico da matemática, pois foi ele uma das principais fontes pela qual

os numerais indianos e a álgebra árabe chegou à Europa (STRUIK,

1992, p. 122).

Outro matemático que também se destacou no campo da álgebra

geométrica foi Omar Khayyam. Ele resolveu as equações cúbicas

geometricamente, no entanto não aceitava as raízes negativas e, com

frequência, não encontrava todas as raízes positivas (EVES, 2004).

A matemática árabe sofreu influência das matemáticas grega e

hindu. No entanto, a matemática árabe possui características próprias,

em geral tinham uma boa e clara apresentação e uma organização

sistemática dos cálculos. Apesar do conhecimento que os árabes tinham

a respeito das regras que regem os números negativos, eles rejeitavam as

raízes negativas e não utilizavam nenhum tipo de abreviatura ou símbolo

de notação (BOYER, 2010).

Na Europa, com a expansão do comércio, o interesse pela

matemática na Idade Média se espalhou vagarosamente. A matemática

especulativa quase desapareceu nesse período, era apenas apreciada

pelos filósofos escolásticos. Os homens práticos estavam interessados na

contagem, na aritmética e na computação. Desejos que foram

influenciados diretamente pelo crescimento das cidades mercantis

(STRUIK, 1992).

O Liber abaci – Livro do ábaco – de autoria de Leonardo de Pisa

(1175-1250) constitui-se num manual para práticas comerciais

transitando entre prática e teoria. Leonardo era filho de comerciante e

nascido na cidade de Pisa, também conhecido como Fibonacci, escreveu

esse livro no regresso da viagem que fez pelo oriente como mercador,

nele constam várias informações aritméticas e algébricas recolhidas nas

suas viagens (STRUIK, 1992).

Para Boyer (2010), Fibonacci foi, sem dúvida, o matemático mais

original e capaz do mundo medieval, e muito de sua obra era demasiado

avançado para ser entendido pelas pessoas que viveram na sua época.

Pycior (1997 apud ANJOS, 2008) assumiu que Fibonacci em sua obra

35

Flos (1225) aceitou os números negativos como raízes de uma equação.

No entanto, Eves (2004), a respeito da obra Liber abaci, afirma que: “As

raízes negativas e imaginárias não são admitidas e a álgebra é retórica”

(p. 293).

Conforme a maioria dos historiadores, a estrutura

que Fibonacci seguiu nas resoluções das equações

foi similar ao modelo propagado por al-

Khowarizmi o que levaria a crer que Fibonacci

usou demonstrações geométricas.

Consequentemente, isso indicaria uma certa

restrição à aceitação dos números negativos como

raízes de equação, a qual só seria válido, para

representação de dívidas (ANJOS, 2008, p. 30).

O uso dos números negativos passou a ser admitido com a

expansão das relações financeiras no comércio, que favoreceu o

aparecimento de uma estrutura de crédito. A ideia de tirar 8 de 5

apresentava um aspecto milagroso, assim

[...] foi necessário esperar o surgimento de um

sistema bancário com uma estrutura de crédito

internacional, tal o que veio a aparecer nas cidades

do norte da Itália (particularmente Florença e

Veneza) durante o século XIV. A aparentemente

absurda subtração 5 menos 7 tornou-se possível

quando novos banqueiros começaram a permitir

aos seus clientes sacar 7 ducados de ouro

enquanto seus depósitos eram apenas 5 (SINGH,

1972, apud MEDEIROS; MEDEIROS, 1992, p.

52).

Nesse contexto, o número negativo acabou sendo usado com

finalidades contábeis. No entanto, apesar de útil, a ideia dos negativos

associada a um débito não era satisfatória e não preenchia o requisito

matemático da metáfora, principalmente quando se trava da regra dos

sinais (MEDEIROS; MEDEIROS, 1992).

36

2.3 Elementos históricos importantes a respeito dos números negativos

na Idade Moderna

No início da Renascença, a maior parte dos matemáticos tinha

origem alemã ou italiana. Contudo, em 1484, foi composto na França

um manuscrito intitulado de Triparty em La science des nombres de

autoria de Nicolas Chuquet. Nesse manuscrito, a segunda metade da

última parte trata da resolução de equações, onde traz uma novidade

importante: pela primeira vez, ao escrever 4x = -2, Chuquet expressou

um número negativo isolado numa equação algébrica (BOYER, 2010).

Segundo Boyer (2010), o início do século XVI foi marcado por

grandes algebristas alemães. Um deles Michael Stifel (1486-1567), ex-

monge e professor de matemática em Jena, escreveu Arithmetica integra

publicada em 1544. Essa obra apresenta-se dividida em três parte: os

números racionais, números irracionais e álgebra. Dentre os vários

assuntos que aborda, o aspecto mais importante é o seu tratamento sobre

os números negativos, radicais e potências. “Usando coeficientes

negativos em equações, Stifel pode reduzir a multiplicidade de casos de

equações quadráticas ao que parecia como única forma; mas teve que

explicar, por uma regra especial quando usar + e quando -” (BOYER,

2010, p. 193). Ele tinha conhecimento sobre as propriedades dos

números negativos, embora não os aceitasse como raiz de uma equação

e costumava chamá-los de “números absurdos”.

Em 1545, muito dos problemas não resolvidos pela Arithmetica integra, com relação à resolução das equações cúbicas e quárticas,

foram superadas e tornaram-se conhecidas com a publicação da Ars

magna de Cardano (1501-1576). No entanto, deve ser mencionado que

Cardano não foi o descobridor original da solução da cúbica e da

quártica. Depois de um juramento de manter segredo sobre a solução,

conseguiu arrancar de Tartaglia a solução da cúbica.

Cardano era médico e um respeitado professor em Bolonha e

Milão. Seguidor de al-Khowarizmi, pensava em equações com

coeficientes numéricos específicos como representantes de classes

gerais. Cardano encontrou dificuldades para resolver a equação x3 = 15x

+ 4 utilizando o seu método, pois ele conhecia a raiz 4, e, com a

aplicação da regra, chegava-se a 3 3x 2 121 2 121 .

Cardano sabia que não existia raiz quadrada de número negativo, no

entanto, não entendia como a sua regra faria sentido nessa situação. Ele

chamava essas raízes de “números fictícios” ou “números falsos”

37

correspondendo aos números negativos e suas raízes complexas

(BOYER, 2010).

De acordo com Eves (2004), a Ars Magna foi o primeiro grande

tratado dedicado especialmente à álgebra, escrito em latim. Uma de suas

importantes contribuições se deve ao fato de que, nele, se dá atenção às

raízes negativas e ao cálculo de números complexos (p. 307).

Com a resolução das equações cúbicas, um novo tipo de

número começa a aparecer: os negativos. Até o momento, os

matemáticos podiam negar a existência de um número negativo ou de

uma raiz quadrada negativa alegando que equações do tipo x + 1 = 0 e

x2 + 4 = 0 não são resolúveis. No entanto, com a resolução das cúbicas,

sempre que as três raízes de uma equação são reais e diferentes de zero a

fórmula de Tartaglia-Cardano leva ao cálculo de uma raiz quadrada

negativa. Nesse contexto, aparece a figura de um algebrista italiano,

Rafael Bombelli (1526-1573), que teve a brilhante ideia dos imaginários

conjugados que levariam ao número real 4. Porém, as observações de

Bombelli não contribuíram na resolução efetiva das cúbicas, pois só

funcionava se ele conhecesse antecipadamente o valor de uma das

raízes. Entretanto, Bombelli apontou o papel importante que os

imaginários conjugados iriam desempenhar futuramente (BOYER,

2010, p. 197).

A falta de suporte matemático expressado por Bombelli cedeu

espaço ao simbolismo expressado por François Viète (1540-1603). Esse

jurista francês, nascido em Fontenay, ligado à corte de Henrique IV, fez

contribuições no campo da aritmética, álgebra, trigonometria e

geometria. Mas, foi sem dúvida, na álgebra que ele deu as mais

importantes contribuições. Segundo Boyer (2010, p. 208),

Viète introduziu uma convenção tão simples

quanto fecunda. Usou uma vogal para representar,

em álgebra, uma quantidade suposta

desconhecida, ou indeterminada, e uma consoante

para representar uma grandeza ou números

supostos conhecidos ou dados.

Desse modo, aparece pela primeira vez uma distinção entre o

conceito de parâmetro e a ideia de quantidade desconhecida. Embora

Viète tenha contribuído de maneira significativa no campo da álgebra,

não considerava as raízes negativas. Fato que o impossibilitou de

enunciar as relações entre raízes e coeficientes, na resolução das

equações cúbicas. Cabendo a Girard, em 1629, enunciar claramente

38

essas relações. Girard, ao contrário de Viète, admitia as raízes negativas

e imaginárias (BOYER, 2010).

Outro matemático francês que se destacou foi René Descartes

(1596-1650), natural de Touraine, residiu muitos anos na Holanda e

morreu em Estocolmo. “Descartes procurava um método geral de

pensamento capaz de facilitar as descobertas e encontrar a verdade nas ciências” (STRUIK, 1992, p. 162, grifos do autor). Assim como os

platônicos acreditavam na harmonia do universo, os cartesianos

acreditam num método geral baseado na razão. Na sua obra La

Géométrie, publicada em 1637, inclui a aplicação da álgebra à

geometria. O livro I fornece instruções detalhadas de como resolver as

equações quadráticas geometricamente, contribuindo de certa forma

para a não aceitação de raízes negativas, tomando-as como raízes

“falsas” (BOYER, 2010).

O desconforto provocado pelos números negativos ainda

perdurou por um certo tempo. No entanto, percebe-se que tal assunto

incomoda os matemáticos a tal ponto que se sentem desafiados a buscar

uma explicação plausível para o assunto. Um exemplo é Simon Stevin

(1548-1620), um importante matemático Belga do século XVI. Ele se

propôs na sua “Aritmética” (1634) apresentar uma demonstração da

regra de sinais que segue:

Mais multiplicado por mais dá produto mais, &

menos multiplicado por menos dá produto mais;

& mais multiplicado por menos, ou menos

multiplicado por mais, dá produto menos.

Explicação do dado: Suponhamos 8 – 5

multiplicado por 9 – 7 da seguinte maneira: - 7

vezes – 5 são + 35 (+ 35, porque, como diz o

teorema, - vezes – dá +). A seguir – 7 vezes 8 faz

– 56 (- 56, porque, como é dito no teorema, - por

+ dá -). E semelhante seja 8 – 5 multiplicado por

9, & darão produtos 72 – 45; depois adicione + 72

+ 35, são 107. Depois adicione os – 56 – 45, são

101; e subtraindo o 101 de 107 resta 6, para o

produto da tal multiplicação. Explicação do

exigido. É preciso demonstrar pelo dado, que +

multiplicado por + dá mais, & que – por – dá +, &

que + por -, ou – por + dá -. Demonstração. O

número a multiplicar 8 – 5 vale 3, & o

multiplicador 9 – 7 vale 2. Mas multiplicando 2

por 3, o produto é 6. Logo o produto acima

também 6, é o produto verdadeiro. Mas o valor

39

encontrado pela multiplicação, onde dissemos que

+ multiplicado por + dá produto +, & - por – dá

produto +, & + por -, ou – por + dá produto -, logo

o teorema é verdadeiro.

8 – 5

9 – 7

- 56 + 35

72 – 45

6

(GLAESER, 1981, p. 312, tradução nossa)

Observemos que o argumento apresentado por Stevin é apenas

uma verificação de um caso particular que não apresenta uma

generalização. Outro aspecto que pode ser considerado é o fato que em

nenhum momento ele considera a ideia de número negativo isolado, o

sinal de menos que aparece, por exemplo, no 56 não representa um

número negativo, mas apenas uma operação de subtração que precisa ser

realizada para que o cálculo seja efetuado. No entanto, ele ainda

prossegue com uma demonstração geométrica. Vejamos:

Outra demonstração geométrica: Suponhamos AB

8 – 5 (a saber AD8 – DB5). Depois AC9 – 7 (a

saber AE9 – EC7) seu produto será CB: ou seja,

segundo a multiplicação precedente ED72 – EF56

– DG45 + GF35, os quais demonstraremos serem

iguais a CB desta maneira. De todo ED + GF,

subtraindo EF, & DG, resta CB. Conclusão. Logo

mais multiplicado por mais dá produto mais, &

menos multiplicado por menos, dá produto mais,

& mais multiplicado por menos, ou menos

multiplicado por mais, dá produto menos; o que

queríamos demonstrar.

D F

10 35 5

B G

6 21 3

A 2 C 7 E

(GLAESER, 1981, p. 312, tradução nossa)

40

O exemplo de Stevin nos mostra como a geometria oferece

apoio à aritmética, contribuindo para a comprovação de que a regra

funciona. Para Glaeser (1981), a demonstração geométrica apresentada

por Stevin pode servir de base para o desenvolvimento geral de (a – b) ×

(c – d) = ac – ad – bc + bd. No entanto, observamos que nesse período

histórico a regra – × - = + só é usada como um procedimento transitório.

O sintoma de evitamento dos números negativos, assim

denominado por Glaeser (1981), vai continuar incomodando muitos

matemáticos. Pierre Fermat (1601-1665) pode ser citado, como

exemplo, ao fazer que seu amigo Jacques de Billy escrevesse conselhos

sobre como proceder diante de uma “raiz falsa” no caso das equações

diofantinas, a fim de se obter uma solução “aceitável” (GLAESER,

1981, p. 315). Outro personagem que mostrou uma insatisfação com

relação aos negativos foi Thomas Harriot (1560-1621) que pensou ter

provado em seu “Artes Analíticas Aplicadas” (1631) a impossibilidade

das raízes negativas (MEDEIROS; MEDEIROS, 1992).

Nesse contexto, podemos observar que mesmo os matemáticos

que viveram na mesma época assumiram posturas contraditórias a

respeito dos negativos. Enquanto Fermat e Harriot hesitavam os

negativos, Stevin e Euler faziam tentativas de demonstrar a regra de

sinais, apesar de não obterem êxito em seus ensaios.

Leonardo Euler (1707-1783) foi um importante matemático

suíço que atuou em vários ramos da matemática. Euler, assim como

outros matemáticos da época, também se mostrou perturbado a respeito

da regra de sinais e, na sua obra de cunho pedagógico intitulada

“Elementos da Álgebra”, destinada aos iniciantes, ele ofereceu uma

explicação sobre a regra de sinais. Glaeser apresenta a argumentação de

Euler em três partes, vejamos:

1. A multiplicação de uma dívida por um número

positivo não oferece dificuldade: três dívidas de “a

escudos” fazem uma dívida de “3 a escudos”.

Então b × (-a) = -ab.

2. Pela comutatividade, Euler deduz que (- a) × b

= - ab.

3. Resta determinar o que é o produto (- a) pelo (-

b). É claro, diz Euler, que o valor absoluto é ab.

Se trata então de se decidir entre + ab e – ab. Mas

como (- a) × b vale – ab, não resta mais como

única possibilidade que (- a) × (- b) = + ab (!!!)

(1981, p. 319, tradução nossa).

41

O malabarismo apresentado por Euler para justificar a regra de

sinais demonstra que ele não tinha ainda conhecimentos suficientes para

esclarecer convincentemente os pontos obscuros apresentados pela regra

de sinais. Na mesma obra, segundo Glaeser (1981), Euler concebe o

número negativo como sendo uma letra precedida com o sinal –

(menos). Euler não consegue estabelecer uma ideia para a formação do

conceito de número negativo, nem muito menos concebê-los como

sendo quantidades menores que zero.

Para começar a mudança na questão da aceitação dos números

negativos, o final do século XVII foi marcado pelo nascimento de um

importante matemático chamado Colin MacLaurin (1698-1746). A sua

obra “Tratado da Álgebra”, publicado dois anos após a sua morte,

tornou-se referência na Grã-Bretanha e sobre o continente. Nesse livro,

ele aborda a ideia de número negativo como sendo uma quantidade

tomada no sentido oposto à positiva.

Assim, a quantidade negativa, bem longe de ser

rigorosamente menos que nada, não é menos real

em sua espécie que a quantidade positiva, mas ela

é posta num sentido oposto; de onde não se segue

mais que uma quantidade considerada única, não

seria negativa; ela só é por comparação, e quanto

a quantidade que chamamos positiva não há nada

a mais que seja oposto a ele. Não se saberia

subtrair uma maior: por exemplo, seria absurdo de

querer subtrair uma maior quantidade de matéria

de uma menor (MACLAURIN, 1748, apud

GLAESER, 1981, p. 317, tradução nossa)7.

MacLaurin não consegue conceber as quantidades negativas

isoladamente, o que futuramente causará conflitos ao não fazer a

distinção entre zero absoluto e zero origem. No entanto, de acordo com

7 Ainsi la quantité négative, bien-loin d‟être rigoureusement moindre que rien,

n‟est pas moins réelle dans son espece que la quntité positive, mais elle est prise

dans um sens opposé; d‟ou il suit qu‟une quantité considérée seule ne scauroit

être négative, qu‟elle ne l‟est que par comparaison, & que quand la quantité

qu‟on appelle positive, n‟en a point d‟autre qui lui soit opposée, on n‟en

scauroit soustraire une plus grande: par exemple, il seroit absurd de vouloir

soustraire une plus grande quantité de matiere d‟une plus petite.

42

Pontes (2010), MacLaurin passa a entender o número como uma ação e

não mais como um estado.

Nessa mesma obra, segundo Glaeser (1981), MacLaurin

apresenta uma justificação para a regra de sinais utilizando a

distributividade da multiplicação em relação à adição e sua dedução

contribuiu para o início de um formalismo até então inexistente. Sua

explicação se baseava na seguinte ideia: Se + a – a = 0, então se

multiplicarmos essa expressão por um número positivo + n, teremos o

primeiro termo + na, e como segundo termo – na, pois o produto

também deverá ser zero, logo – na + na, também deverá ser zero. E

quando a expressão +a – a for multiplicada por um número negativo,

esse produto também deverá ser zero. Assim se multiplicarmos a

expressão +a – a por – n, teremos – na como o primeiro termo e + na

para o segundo termo, pois os dois termos precisam ser anulados.

Dessa forma, ele enuncia a regra de sinais colocando que o

produto de dois números com sinais diferentes é negativo, e o produto

de dois números com o mesmo sinal é positivo. Apesar das importantes

contribuições de MacLaurin a respeito dos números relativos, ele não foi

capaz de apresentar a teoria dos números relativos, mas seus estudos

foram tomados como referência pelos matemáticos da posteridade.

2.4 Os números negativos na Idade Contemporânea: o começo de uma

nova história

O século dezenove, de acordo com Boyer (2010), mais do que

qualquer outra época, merece ser considerada a Idade de Ouro da

matemática. Dentre os muitos matemáticos que se destacaram nesse

período, podemos citar o alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

Como seu pai era um artesão, então, o duque de Brunswick,

reconhecendo em Gauss uma criança prodígio, assumiu a sua educação.

O jovem estudou em Göttingen e em 1799 obteve o grau de doutor.

A sua carreira foi marcada por estudos realizados no campo da

astronomia, geodésia e principalmente na matemática. Partes de suas

descobertas foram publicadas na sua dissertação em 1799, onde deu a

primeira prova do chamado “teorema fundamental da álgebra” e nas

Disquisitiones arithmeticae, de 1801. Estas correspondem a uma reunião

de todos os trabalhos anteriores a Gauss que tratam sobre a teoria dos

números, na qual Gauss faz importantes contribuições.

Em 1831, Gauss em um de seus tratados, apresenta uma nova

teoria dos números complexos, em que elucidou muitos enigmas

apresentados na aritmética e a lei da reciprocidade quadrática se tornou

43

mais simples que nos números reais. Gauss ao representar os números

complexos por pontos num plano afastou para sempre o mistério que

ainda assombrava os números complexos (BOYER, 2010; STRUIK,

1992).

O estilo de imprimir rigor à análise iniciado por Gauss no

século XIX foi ampliado e aprofundado por Cauchy (1789-1857), o

mais importante analista da primeira metade do século (EVES, 2004).

Augustin-Louis Cauchy nasceu em Paris e dentre as suas muitas

contribuições na matemática, foi ele o primeiro a estabelecer uma

confusão entre os sinais operatórios e predicativos. Como operatórios,

os sinais (+ ou -) poderiam designar uma ação: aumentar e diminuir. E,

como predicativos qualificariam um estado: positivo ou negativo.

No entanto, essas definições caíram em contradição quando

Cauchy tenta justificar as propriedades aditivas dos relativos e, de

repente, ele abandona o modelo metafórico e aborda a multiplicação de

números relativos dogmaticamente. “O modelo metafórico apresentado

no início, que facilita a compreensão das propriedades aditivas, é um

obstáculo à compreensão da multiplicação” (GLAESER, 1981, p. 334,

tradução nossa). A discussão levantada por Cauchy a respeito dos sinais

operatórios e predicativos irá posteriormente despertar o interesse de

Hankel, mas, nesse momento, ele não consegue apresentar os números

relativos de forma clara.

As dificuldades enfrentadas por Cauchy também podem ser

percebidas em Pierre-Simon Laplace (1749-1827) nas suas conferências

pedagógicas realizadas na Escola Normal Superior, declarando algumas

dificuldades a respeito da teoria dos números relativos. Vejamos como

Laplace apresenta a justificação da regra de sinais:

(A regra dos sinais) apresenta algumas

dificuldades: temos apenas que conceber que o

produto de –a por –b seja o mesmo que o de a por

b. Para tornar essa identidade sensível, nós

observamos que o produto de –a por +b é – ab

(visto que o produto é –a repetido tantas vezes que

quando tem unidades em b). Observamos em

seguida que o produto de – a por b – b é nulo, pois

o multiplicador é nulo; assim o produto de – a por

+ b é – ab, o produto de – a por – b deve ser de

44

sinal contrário ou igual à + ab para o destruir

(apud GLAESER, 1981, p. 333, tradução nossa)8.

Na sua justificativa, observamos alguns aspectos familiares à

demonstração apresentada por Euler, no entanto, Laplace consegue

avançar no aspecto referente à demonstração da propriedade distributiva

e o desapego a um modelo físico. Mesmo assim, Laplace não consegue

propor uma extensão formal para os números relativos. Talvez isso

possa estar ligado com a forma de Laplace apresentar suas

demonstrações. Na sua maneira de escrever não explicava nada, quando

satisfeito com o resultado, não se importava em deixá-los sem

demonstração. A matemática, para Laplace, era como uma caixa de

ferramentas a serem usadas na explicação da natureza (EVES, 2004, p.

486).

A partir da segunda metade do século XVIII surge na Inglaterra

um grupo de matemáticos com o objetivo de reformar o ensino e a

notação do cálculo. Dentre eles, George Peacock (1791-1858), que foi

uma figura de destaque na reforma da matéria na Inglaterra,

principalmente no que se refere à álgebra, pois lá ainda havia quem

achasse que os números negativos não tinham validade (BOYER, 2010,

p. 368).

Peacock publicou em 1830 o “Tratado em Álgebra” e nessa obra

ele apresenta uma distinção entre a álgebra aritmética e a álgebra

simbólica. De acordo com Eves, a álgebra aritmética era considerada por

Peacock “como sendo o estudo resultante do uso de símbolos para

denotar os números decimais positivos usuais, juntamente com os

símbolos operatórios, como o de adição e o de multiplicação, aos quais

podem-se sujeitar esses números” (2004, p.576). Dessa forma, apenas as

operações com números inteiros positivos seriam possíveis. Ao

contrário, a álgebra simbólica

[...] adota as regras da álgebra aritmética, mas

remove todas as restrições: assim a subtração

simbólica difere da mesma operação na álgebra

8 (La règle des signes) présente quelques difficultes: on a peine à concevoir que

le produit de –a par –b soit le meme que celui de a par b. Pour rendre cette

identité sensible, nous observerons que le produit de –a par +b est –ab (puisque

le produit n‟est que –a repete autant de fois qu‟il y a d‟unités dans b). Nous

observerons ensuite que le produit de –a par b-b est nul, puisque le

multiplicateur est nul; ainsi le produit de –a par +b étant –ab, le produit de –a

par –b doit être de signe contraire ou égal à +ab pour le détruire.

45

aritmética pela permissão do uso de todas as

relações de valor dos símbolos ou expressões

utilizadas (PEACOCK, 1842, apud ASSIS NETO,

1995, p. 7).

Essa justificativa apresentada por Peacock, em que ele transita

de uma álgebra para outra, era chamada por ele como “princípio de permanência das formas equivalentes”.

Para incluir os novos símbolos -1, -2, -3,... em

uma aritmética ampliada a qual englobe tanto os

inteiros positivos como os negativos nós devemos,

certamente, definir operações com eles de um

modo tal que as regras originais das operações

aritméticas sejam preservadas. Por exemplo, a

regra (-1)×(-1) = 1 a qual estabelecemos para

governar a multiplicação de inteiros negativos, é

uma consequência do nosso desejo de preservar a

lei distributiva a.(b + c) = ab + ac. Pois se nós

tivéssemos estabelecido que (-1) × (-1) = -1,

então, fazendo a = -1, b =1, c = -1, nós

deveríamos ter tido -1.(1 – 1) = -1 – 1 = -2,

enquanto por outro lado nós realmente temos -1.(1

-1) = 1 × 0 = 0. Levou muito tempo para que os

matemáticos percebessem que a „regra dos sinais‟,

junto com todas as outras definições governando

os inteiros negativos e frações não podem ser

„provadas‟. Elas são criadas por nós com o

objetivo de obter liberdade de operação ao mesmo

tempo que preservando as leis fundamentais da

aritmética. O que pode – e deve – ser provado é

apenas que com base nestas definições as leis

comutativa, associativa e distributiva da aritmética

são preservadas (COURANT; ROBBINS, 1987,

apud MEDEIROS; MEDEIROS, 1992, p. 56).

Essa visão moderna apresentada por Peacock, fazendo valer para

a álgebra simbólica as mesmas regras da álgebra aritmética, provoca

uma verdadeira evolução para a formação da teoria dos números

relativos.

Como consequência das contribuições de Peacock, o alemão

Hermann Hankel (1839-1873) publica em 1867 a obra Theorie der

Komplexen Zahlensysteme que amplia o conceito de número de uma

46

forma mais clara e explícita. Ele observava que “a condição para

construir uma aritmética universal é pois uma matemática puramente

intelectual, desligada de todas as percepções” (BOYER, 2010, p. 389).

Assim como fez Peacock, Hankel também estabeleceu um Princípio da

permanência das leis formais:

Quando duas formas da arithmetica universalis

expressas em símbolos gerais são iguais entre si,

elas devem permanecer iguais entre si mesmo

quando os símbolos deixam de designar

simplesmente grandezas, e dessa forma também as

operações podem obter qualquer outro conteúdo

(HANKEL, 1867 apud ASSIS NETO, 1995, p. 7).

Pautado nesse princípio de permanência e conhecendo as

propriedades aditivas de ℝ e a multiplicação de ℝ+, Hankel propõe

prolongar a multiplicação de ℝ+ para ℝ e enuncia o seguinte Teorema:

“A única multiplicação sobre ℝ, que prolonga a multiplicação usual

sobre ℝ+, respeitando as distribuições (à esquerda e à direita), é

conforme a regra de sinais”.

Demonstração:

0 = a × 0 = a × (b + opp b) = ab + a × (opp b)

0 = 0 × (opp b) = (opp a) × ( opp b) + a × (opp b)

De onde

(opp a) × (opp b) = ab

(GLAESER, 1981, p. 338)

Observamos que, de certa maneira, essa demonstração pode ser

encontrada em documentos anteriores, no entanto, Hankel, ao contrário

de Laplace que procurava uma explicação na natureza, aborda a

multiplicação dos números relativos como uma extensão das

propriedades dos números reais positivos para os reais. Dessa forma, a

regra de sinais é uma convenção com vistas à manutenção da

consistência interna da própria matemática.

Não é possível pronunciar-se tão acirradamente

contra uma visão tão divulgada que essas

equações [as regras dos sinais] jamais possam ser

provadas em matemática formal; elas são

convenções arbitrariamente estabelecidas para que

47

se preserve o formalismo já existente nos cálculos.

[...] Contudo, uma vez definidas, todas as demais

leis da multiplicação derivam delas por

necessidade (HANKEL, 1867, apud SCHBRING,

2007, p. 6).

A revolução cumprida por Hankel, recusando a busca por um

bom modelo, segundo Glaeser (1981), consiste em abordar os números

numa outra perspectiva. Não podemos mais procurar exemplos práticos

que explicam os números relativos por analogias, pois esses números

não são mais descobertos, mas inventados, imaginados.

No transcorrer da história da construção dos números relativos,

percebemos que, enquanto os matemáticos estavam presos em buscar

exemplos que explicavam esses números, eles não fizeram grandes

progressos. A difícil aceitação dos números negativos que se fez

presente durante todo esse percurso, ainda se mostrou presente por um

certo período, mesmo após a revolução cumprida por Hankel.

Schubring (2007) mostra exemplo de calorosos debates

acadêmicos ocorridos na comunidade de professores de matemática a

respeito da hesitação dos relativos. Mencionaremos um trecho de

Hoffmann (1884)9, citado por Schubring, onde posta um cenário de

horror e consequências drásticas para o ensino da matemática, se os

professores tiverem que dizer aos alunos que a regra de sinais é uma

convenção: “Eu temerei ver os olhos de surpresa e de espanto dos

alunos. Alunos inteligentes sobreviveriam com perguntas: Isso é

verdadeiramente arbitrário? Não se pode demonstrar?” (2007, p. 17).

Carlo Bourlet em 1896 introduziu na França um

manual de ensino secundário sobre os números

relativos. Nele ele apresenta as propriedades

aditivas dos números relativos baseados sobre o

modelo comercial e sobre a referência de um

ponto sobre um eixo. Contudo, no capítulo

seguinte, a multiplicação logo se mostra

dogmática (GLAESER, 1981, p. 343).

9 HOFFMANN, J.C.V. Zwei wichtige Fragen über das Negative, beantwortet

vom Herausgeber. Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen

Unterricht, vol. 15, p. 580-582, 1884

48

Apesar da aceitação do conceito de número negativo e suas

operações, na comunidade dos matemáticos profissionais, terem sido

aceitas, após a publicação de Hankel, na comunidade de professores esse

debate ainda perdurou por muito tempo. A resistência dos professores

em aceitar que a regra de sinais não pode ser provada, que - × - precisa

ser mais para preservar o formalismo matemático, já existente, foi um

fator de destaque no percurso histórico da aceitação da regra de sinais.

Agora, fazendo uma ponte desse contexto histórico aos nossos

dias atuais, podemos nos perguntar: Depois de passados mais de um

século, quais as mudanças apresentadas em nossos manuais escolares?

Como acontece o processo de ensino dos números relativos para as

nossas crianças de hoje? Essas entre tantas outras indagações são

algumas das questões que iremos abordar no próximo capítulo.

49

3 OS NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS: NA SALA DE AULA,

NO LIVRO DIDÁTICO, NOS PCN E NCTM

Neste capítulo, realizaremos um estudo buscando levantar os

problemas enfrentados na sala de aula no processo de ensino e

aprendizagem dos números inteiros relativos. Faremos, também, uma

análise de como os livros didáticos de matemática, do 7o ano, abordam

os números inteiros, principalmente, de como eles apresentam a regra de

sinais para a multiplicação desses números. Finalizando o capítulo,

buscaremos, nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) e National

Council of Teachers of Mathematics (NCTM), os caminhos apontados

por esses documentos para o ensino dos números relativos.

3.1 Os números inteiros relativos na sala de aula

No Brasil, os números inteiros relativos são apresentados

formalmente aos alunos no 7o ano

10, e muitas dificuldades podem ser

percebidas no seu processo de ensino e aprendizagem. A não

compreensão do conceito de números relativos e sua repercussão ao

longo da trajetória estudantil tem sido uma preocupação dos professores

de matemática e de pesquisadores (COQUIN-VIENNOT, 1985;

PASSONI, 2002; PONTES, 2010; ALVES; MAIA, 2011) que buscam

explicações para as dificuldades encontradas no processo de ensino e

aprendizagem desses números, bem como, procuram outros modelos de

ensino para os números inteiros.

Os alunos chegam ao 7o ano associando a ideia de número a

uma grandeza. Isto pode ser percebido nos mais variados assuntos

contemplados no currículo das séries iniciais do ensino fundamental e

do 6o ano. Até o 6

o ano, operações do tipo a – b só podem ser resolvidas

se a ≥ b, pois é impossível conceber, por exemplo, a ideia de se tirar 7

balas de um pacote que tinha apenas 5 balas.

A perturbação se instala quando a subtração (a –

b) é aplicada a casos em que b > a, gerando um

resultado até então inexistente e demonstrando

assim o caso típico em que as formas (operações)

geram um novo conteúdo. Admitir a realidade

deste novo resultado implica reconhecer a

existência de uma nova classe de números – os

negativos (TEIXEIRA, 1993, p. 62).

10

O 7o ano corresponde à antiga 6

a série do Ensino Fundamental de oito anos.

50

Dessa forma, nos anos que antecedem o 6o ano, a concepção

formada pelos alunos a respeito da operação de adição está fortemente

relacionada a um aumento e a subtração está ligada ao ato de

tirar/diminuir. Essas concepções prévias que os alunos trazem consigo,

de acordo com Fischbeim (1987)11

e Hefendehl-hebeker (1991)12

,

citados por Nascimento, contribuem ainda mais para gerar dificuldades e

conflitos que se estabelecem entre o “significado prático de magnitude

ou associação de quantidades com número anterior ao ensino da

aritmética e o conceito de número negativo” (NASCIMENTO, 2004, p.

2).

Essa dificuldade encontrada hoje no ensino, também, pode ser

percebida na trajetória histórica da construção do conceito de número

negativo. William Frende (1757-1841)13

, citado por Medeiros e

Medeiros (1992), expressou, em seu “Princípios de Álgebra”, que “um

número se presta a ser subtraído de um número maior do que ele

mesmo, mas tentar subtrair de um número menor do que ele mesmo é

ridículo” (MEDEIROS; MEDEIROS, 1992, p. 55). Para Schubring, essa

dificuldade está relacionada ao fato de que “operar com números

negativos implicava em operar com um outro conceito de número que

não aquele subjacente às operações comumente assumidas como

geralmente válidas na aritmética” (SCHUBRING, 2007, p. 2).

No conjunto dos números inteiros relativos as concepções que os

alunos trazem sobre as operações de adição e subtração simplesmente

caem por terra, uma vez que neste conjunto adicionar nem sempre

representa um aumento, assim como subtrair nem sempre representa

diminuir. Para Teixeira (1993), o conceito de adição deve ser ampliado

no conjunto dos números inteiros relativos, não pode mais se limitar a

ideia de acrescentar. Da mesma forma, “subtrair inteiros significa

trabalhar com operadores negativos, ou seja, números que operam

transformações de oposição” (TEIXEIRA, 1993, p. 64). Por exemplo, -

4 – (- 5) = - 4 + 5 ou ainda, - 4 – ( + 5) = - 4 – 5.

11

FISCHBEIM, E. Intuition in Science and Mathematics: An Educationl

Approach (D. Reidel Publishing Co., Dordrecht), 1987, p. 97-102. 12

HEFENDEHL-HEBEKER, L. Obstacles in Their evolution From Intuitive to

Intellectual Construts. For the Learning of Mathematics, v. 11, .(1, 1991, p.

26-32. 13

FREND apud KLINE, M. Mathematics in the Western Culture. Middlesex,

Peregrine Books, 1987.

51

Ainda, seguindo essa linha de pensamento das operações com

números inteiros, a multiplicação, no conjunto dos números inteiros, não

pode mais ser completamente compreendida como uma adição de

parcelas iguais. Vejamos o caso quando um dos fatores é positivo e o

outro negativo, ele pode ser facilmente compreendido como a repetição

do fator negativo conforme indica o operador positivo, por exemplo, (+

2) × (- 5) pode ser expressa como (- 5) + (- 5). O mesmo raciocínio se

aplica quando temos dois fatores positivos. Mas, para Teixeira (1993, p.

65), a multiplicação com números inteiros relativos encontra um

obstáculo: como mostrar que (- 1) × (- 1) = 1?

Nesse sentido, para que o aluno consiga lidar com essas

situações e possa dominar as operações com números inteiros relativos,

se faz necessário que ele amplie o seu conceito de número. De acordo

com Teixeira (1993, p. 62):

A construção do conceito de número inteiro, do

ponto de vista matemático, é uma ampliação dos

naturais, sendo desta perspectiva necessário

demonstrar que as leis do sistema de numeração

seguem sendo cumpridas. Entretanto, se, do ponto

de vista formal e lógico, esse raciocínio nos é

apresentado atualmente como coerente e

organizado, sabemos que na perspectiva histórica

ou da evolução do pensamento matemático, tal

ampliação encontrou muitas dificuldades e

obstáculos.

Sendo assim, uma das principais contribuições de Förstemann

(1791-1836)14

, citado por Schubring (2007), foi sublinhar a diferença

ontológica entre números e grandezas. Nas palavras de Förstemann,

Grandezas são: linhas, extensões, planos, sólidos,

pesos, extensões de tempo, conjunto de pessoas ou

de livros. Números, no entanto, são apenas

expressões das relações entre grandezas da mesma

espécie (FÖRSTEMANN, 1817, apud

SCHUBRING, 2007, p. 5).

Dessa forma, não podemos realizar as operações algébricas com

grandezas, mas somente com os números. Essa ideia de Förstemann foi 14

FÖRSTEMANN, W. A. Über den Gegensatz positiver und negativer Gröben.

Nordhausen: Happach, 1817.

52

amplamente abraçada e disseminada por Gauss, na qual provocou

mudanças no modo de perceber que os “conceitos matemáticos não

representavam mais coisas, mas relações entre coisas” (ASSIS NETO,

1995, p. 3). Nesse sentido, a contribuição de Gauss foi de perceber que a

“Matemática é, no sentido mais geral possível, a ciência das relações na

qual se abstrai de todos os conteúdos das relações” (GAUSS, 1809,

apud ASSIS NETO, 1995, p. 3).

Os resultados das pesquisas desenvolvidas por Borba e

Guimarães (2009) apontam que os números positivos e negativos podem

assumir diferentes significados nos mais diversos contextos. Nesse

sentido, um número positivo poderá representar uma medida positiva, uma transformação positiva ou uma relação positiva

15. Da mesma

forma, porém com sentido contrário, um número negativo poderá

representar uma medida negativa, uma transformação negativa ou uma

relação negativa que, matematicamente, podem ser representados por

um mesmo símbolo, no entanto cognitivamente envolvem significados

diferentes. A autora aponta como conclusão dos seus estudos quanto à

compreensão dos números inteiros relativos que “(...) é mais fácil

entender o significado de número relativo enquanto medida do que o

significado de relação” (BORBA; GUIMARÃES, 2009, p. 99). No

entanto,

É importante que o número seja entendido

enquanto relação, para além de uma simples

resposta às questões quantos são? E quanto

mede? Acostumar a criança a pensar em relações,

ajudá-la a superar o obstáculo do pensamento

substancial e ensiná-la a trabalhar corretamente a

relação entre Matemática e aplicação da

Matemática são diretrizes básicas para o professor

de Matemática (ASSIS NETO, 1995, p. 4, grifos

do autor).

Esse trabalho de acostumar à criança a pensar a matemática

como uma relação é um processo desafiador, pois, para além das

fronteiras do espaço escolar, estudos apontam que, apesar da

15

A autora caracteriza a medida positiva como dinheiro possuído, temperatura

acima de zero, saldo credor de um campeonato. A transformação positiva pode

ser entendida como dinheiro depositado ou ganho, subida de temperatura,

pontos ganhos em um jogo. E, relação positiva como dinheiro, temperatura,

pontos a mais que a medida inicial.

53

apresentação formal do conceito de número negativo ser feita somente

no 7o ano, as crianças em séries anteriores já possuem algumas noções

intuitivas acerca de números negativos.

A pesquisa realizada por Maranhão, Camejo e Machado (2008)

nos relata uma experiência com alunos do 2o, em que um desses alunos

para resolver a subtração 35 – 27 fez o seguinte raciocínio: “Eu tiro 20

do 30 e 7 do 5 [30 – 20 = 10; 5 -7 = -2]” (p. 163). Chegando ao

resultado 8. Esse caso foi levado para cinco professoras–alunas do 6o

semestre do curso de pedagogia, para que elas realizassem uma análise

da situação. Os relatórios apresentados pelas professoras-alunas

mostraram um certo desconforto em lidar com a situação. Apenas uma

professora-aluna admitiu a existência do número negativo. As demais

atribuíram o sinal negativo do 2 a operação de subtração. Essa

experiência comprova que os professores das séries iniciais também

precisam estar preparados para saber trabalhar com situações que

envolvam o conceito de números negativos. Caso contrário, poderão

contribuir para a formação de entraves que, futuramente, afetaram no

processo de ensino e aprendizagem desses números.

Buscando descobrir o que os alunos já sabem antes da introdução

formal ao conceito de número inteiro relativo, Moretti e Borba (2004)

realizaram a aplicação de um teste com 65 crianças de 9 a 12 anos numa

escola particular do Recife. O teste foi composto por 11 questões

contendo situações de jogo, compras, saldo bancário, deslocamento em

elevadores, viagens e esportes. Os resultados da pesquisa mostraram

que:

Antes de serem formalmente introduzidas ao

conceito de inteiro relativo as crianças são capazes

de resolver não só problemas inseridos em

contextos de jogos – como observado em estudos

anteriores – mas também em questões mais

formais como as usualmente trabalhadas na escola

(MORETTI; BORBA, 2004, p. 19).

Desse modo, podemos perceber que a noção intuitiva de

número negativo ultrapassa as barreiras do espaço escolar. A pesquisa

realizada por Santos (1990, apud MORETTI; BORBA, 2004, p. 4) mostrou que os agricultores com apenas 2,9 anos de média de frequência

escolar conseguiram resolver situações hipotéticas envolvendo as

operações de adição, subtração e divisão com números relativos. Esse

autor concluiu que a ausência do ensino formal não impediu a realização

54

dos cálculos com números negativos por parte dos agricultores. Isso

porque eles se basearam nas suas experiências cotidianas em relação a

lucros e prejuízos.

Pensando ainda na ideia de número negativo fora do espaço

escolar, Lins e Gimenez (1997) propõem uma reflexão bastante

interessante a esse respeito. Eles argumentam que o significado do

número negativo “da rua” se diferencia do significado de número

negativo da escola. Nas palavras dos autores:

Na rua encontramos, sim, números negativos –

temperaturas negativas e saldo bancário negativo -

, mas certamente não são os números negativos da

escola. Temperaturas, por exemplo, não são

jamais somadas (Qual o resultado de somar a

temperatura de Fortaleza com a de São Paulo?), e

menos ainda multiplicamos os números negativos

da rua (Três abaixo de zero vezes cinco abaixo de

zero? Débito vezes débito?). Muitos de vocês

podem estar pensando: „Mas temperaturas e

dívidas são bons recursos didáticos...‟ Sugerimos

que o leitor que achou estranho o que dissemos

anteriormente pare e reflita: Quando usamos como

recursos as dívidas, e queremos produzir

significado para (-3) × (-5), não é verdade que o

primeiro fator quer dizer „perder 3 vezes‟ e não

„uma dívida de três‟? Você acha que faz sentido

multiplicar duas dívidas? (LINS; GIMENEZ,

1997, p. 13, grifos do autor)

Não se trata aqui de defendermos o número negativo da rua ou

o da escola, mas sabermos que cada uma dessas concepções precisa ser

levada em consideração nos momentos de ensino, cada qual com o seu

potencial. Não se trata de legitimar uma em detrimento da outra. “A

ideia de valorizar o que a rua sabe apenas como ponto de partida faz

parte de um discurso que, embora pareça razoável do ponto de vista

didático, é perverso do ponto de vista cultural” (LINS; GIMENEZ,

1997, p. 19). Foi justamente esse pensamento de número negativo

atrelado ao pensamento concreto que travou durante um longo período

histórico o debate a respeito da multiplicação desses números, na

comunidade acadêmica. Entretanto, somente

[...] quando a matemática acadêmica assume que

definitivamente não há significado na rua para a

55

multiplicação de números negativos, e passa a

buscar, então, um significado produzido com base

nos princípios que permitem, na matemática

acadêmica, a existência daquelas estranhas coisas,

quantidades que são menos do que nada (LINS;

GIMENEZ, 1997, p. 13).

Saindo do espaço de fora da escola e voltando agora para

contexto da sala de aula, segundo Borba (2009), os alunos associam

mais rapidamente o significado de um número inteiro relativo enquanto

medida do que como relação. Os professores ao apresentarem os

números relativos aos alunos como medidas, associando ao número

positivo a ideia de um ganho e ao número negativo a ideia de uma

perda, como eles aparecem na rua, conseguem obter sucesso nas suas

aulas, e os alunos compreendem facilmente as operações de adição e

subtração com esses números. Contudo, esse modo de ensinar os

números inteiros relativos encontra dificuldades quando o professor

apresenta a multiplicação desses números, assim como aquela sofrida

pelos matemáticos do passado. Como explicar que uma perda

multiplicada por uma perda se transformou num ganho?

Exemplificando, (- 2) × (- 3) = + 6.

O que antes era completamente contextualizado com situações

concretas, que poderiam ser vivenciadas e compreendidas pelos alunos,

agora na multiplicação precisa ser entendido como uma regra sem

relação nenhuma com o que foi aprendido anteriormente. E, a partir

desse momento, se instala a grande confusão entre as regras de sinais da

adição e as regras de sinais da multiplicação de números inteiros

relativos.

O modelo comercial, assim denominado por Gleaser (1981), em

que os números relativos estão associados à ideia de ganho/perda não

têm relação nenhuma com a regra de sinais “menos vezes menos dá

mais”. No entanto,

[...] como é concreto e ele facilita muito a

compreensão dos relativos no início de sua

aprendizagem, os alunos o adotam e querem

utilizá-lo enquanto não é mais adaptado: não

somente, ele não explica mais nada, mas ele

representa mais nada, ele não funciona mais ao

56

nível do símbolo (COQUIN-VIENNOT, 1985, p.

183, tradução nossa)16

.

Nesse sentido, “a noção do número negativo só pode ser

definido corretamente pelo nível do pensamento formal”17

(MICHELOT, 1966, apud COQUIN-VIENNOT, 1985, p. 183), pois, ao

contrário, segundo Coquin-Viennot, não estaríamos introduzindo um

falso contrato didático ao utilizarmos um modelo concreto para

apresentarmos os números relativos? Quando o professor se utiliza desse

modelo comercial, ele procura somente facilitar a apresentação e a

aprendizagem dos números relativos, no entanto “[...] esse modelo

comercial é tão prático, tal que ele é reforçado durante todo o início da

aprendizagem que ele se instala definitivamente no espírito do aluno,

não mais como um modelo, mas como uma concepção dos relativos” 18

(COQUIN-VIENNOT, 1985, p. 184, grifos do autor).

Dessa forma, segundo Coquin-Viennot, o processo de ensino e

aprendizagem da multiplicação, que procede a adição dos números

relativos, pode encontrar dificuldades se a concepção desses números

for plantada somente em bases concretas. Assim, para que a

multiplicação dos números relativos possa ser alcançada e compreendida

pelos alunos, de acordo com essa autora, é preciso que ocorra uma

reversão desse quadro. Porém, essa concepção está tão bem

estabelecida, que ela, nela mesmo constitui um verdadeiro obstáculo

para a compreensão das propriedades multiplicativas dos números

relativos (1985, p. 184).

Ainda, segundo Coquin-Viennot (1985), a apresentação dos

números relativos pautados somente no “modelo comercial” pode trazer

prejuízos ao ensino da multiplicação desses números, bem como

dificultar a aprendizagem de outros conceitos. Sabemos, por meio de

16

[...] comme il est concret et qu‟il facilite beaucoup la comprehension des

relatives au début de leur apprentissage, les élèves l‟adoptent et veulent l‟utiliser

aloir qu‟il n‟est plus adapté: non seulement, il n‟explique plus rien, mais il ne

représente plus rien, il ne fonctionne meme plus au niveau du symbole. 17

La notion de nombre négatif ne peut être définie correctement qu‟au niveau

de la pensée formelle. 18

[...] ce modèle commercial est si pratique qu‟il est renforcé pendant tout le

début de l‟apprentissage et qu‟il s‟installe définitivement dans l‟esprit de l‟élève

non plus comme um modele, mais comme une conception des relatifs.

57

pesquisas19

, que o livro didático desempenha um papel importante junto

ao trabalho dos professores, seja no planejamento das suas aulas, seja na

construção das concepções por parte dos alunos.

Assim, faz-se necessário realizarmos neste trabalho uma análise

das abordagens trazidas nos livros didáticos do Plano Nacional do Livro

Didático (PNDL) de 2011 sobre a apresentação dos números relativos e,

principalmente, como é feita a apresentação da multiplicação desses

números, mais especificamente, da multiplicação de dois números

inteiros negativos. Isso poderá nos auxiliar a compreender as

dificuldades enfrentadas pelos alunos no processo de ensino e

aprendizagem dos números inteiros.

3.2 Análise das abordagens dos números relativos encontradas nos livros

didáticos do PNDL-2011

Neste tópico, realizamos uma análise dos livros didáticos de

matemática do 7o ano apontados pelo guia do Plano Nacional do Livro

Didático de 2011, pois acreditamos na sua significativa influência no

direcionamento e no planejamento da prática docente. O PNLD é um

programa do governo federal que tem por objetivo oferecer livros

didáticos de qualidade, de forma gratuita, em ciclos trienais, a alunos e

professores de escolas públicas da educação básica. Os livros didáticos,

após serem avaliados, são publicados no Guia de Livros Didáticos. O

guia é encaminhado às escolas, que escolhem os títulos que melhor

atendem ao seu projeto político pedagógico (BRASIL, 2010).

Nesse contexto, pensamos ser de fundamental importância

analisar a forma de como os números inteiros relativos são abordados

por esses livros apontados no PNDL de matemática para o 7o ano, uma

vez que eles representam a fonte em que todas as escolas públicas

brasileiras buscam os seus exemplares de livros didáticos de

matemática.

Queremos esclarecer que não é nosso objetivo aprofundar

questões políticas acerca do PNDL, mas somente utilizá-lo como um

caminho que nos apontou os livros didáticos de matemática que estão

sendo usados nas escolas públicas brasileiras no tempo presente. Desse

modo, podemos avaliar e refletir sobre as formas de como os números

19

Os trabalhos desenvolvidos por Bastos (2004) e Oliveira & Araújo (2007)

apontam sobre as influências que o livro didático de matemática exerce no

trabalho docente.

58

negativos e as operações de adição, multiplicação e subtração vêm

sendo conduzidas nas escolas.

O guia do livro didático de matemática é constituído por dez

coleções aprovadas no PNLD – 2011, que serão elencadas a seguir. Nós

realizamos a análise dos livros do 7o ano, especificamente, no que diz

respeito à apresentação dos números inteiros e as operações de adição,

subtração e multiplicação. Preocupamo-nos com a apresentação dos

números inteiros e as operações de adição e subtração, pois acreditamos

que a forma de como é conduzido o ensino dessas operações pode

influenciar na aprendizagem da multiplicação desses números. Porém,

antes de começarmos o trabalho da análise dos livros didáticos, sentimos

necessidade de explicitar algumas questões sobre as formas de

apresentação das operações de adição, subtração e multiplicação dos

relativos.

Entre as diversas abordagens que existem para as operações de

adição e subtração com números inteiros, Gonzàles (1990, apud

PONTES, 2010, p. 27) propõe três modelos básicos: o aritmético, o

algébrico e o geométrico. No modelo aritmético, mostra-se a

insuficiência do conjunto dos naturais para as subtrações em

determinadas situações. No ensino, é recorrente o uso de metáforas,

abordando situações cotidianas de ganho (positivo) e perda (negativo),

ou seja, o modelo comercial, assim denominado por Glaeser (1981).

Entretanto, Gonzáles recomenda que essas situações sejam usadas com

moderação, a fim de não comprometer o ensino da multiplicação desses

números.

Ainda, de acordo com este autor, o modelo geométrico emprega

essencialmente a reta numérica com origem em O, e sobre esta reta se

realizam os deslocamentos para a direita (positivo) e para a esquerda

(negativo). O modelo algébrico parte da equação para achar uma

quantidade x desconhecida, como os problemas de Verngnaud citados

por Damm (2005).

Segundo Pontes (2010), esses três modelos também podem ser

aplicados à operação de multiplicação. O modelo aritmético explica a

multiplicação de dois números positivos, usando a ideia de soma de

parcelas iguais. A multiplicação de um número positivo por um número

negativo recai na proposta da multiplicação anterior.

A multiplicação de dois números negativos requer

a aplicação da propriedade do elemento neutro da

adição, a utilização da multiplicação de um

número inteiro por zero e a aplicação da

59

propriedade distributiva da multiplicação em

relação à adição (PONTES, 2010, p. 28).

Ainda, de acordo com o modelo aritmético, encontramos em

Moretti (2012, p.701) um tipo de modelo chamado Modelo didático que se baseia no prolongamento da reta numérica dos naturais, que está em

consonância com as características do modelo aritmético. Segundo

Moretti (2012), esse tipo de modelo se baseia no prolongamento da reta

dos naturais, incluindo à esquerda do zero os números negativos. Nessa

reta, o crescimento acontece da esquerda para a direita. Assim, para

completar a sequência: -2 × 2 = -4; -2 × 1 = -2; -2 × 0 = 0; -2 × (-1) = +2

a multiplicação de dois números negativos precisa ser positivo.

Para justificar a multiplicação de números relativos, o modelo

geométrico se baseia no cálculo da área de retângulos. Um exemplo

desse tipo de modelo pode ser encontrado com detalhes em Moretti

(2012, p. 698). No modelo algébrico, a abordagem para a multiplicação

de números relativos acontece de modo formal, como as justificativas

históricas apresentadas por Colin MacLaurin e Hankel, já apresentadas

no capítulo anterior.

Ao explicitar os modelos de justificativas para os diferentes tipos

de abordagens para a adição, a multiplicação e a subtração dos números

inteiros relativos, estamos buscando uma fundamentação para melhor

podermos analisar as diferentes formas que os livros didáticos

apresentam para essas operações. Baseados nesses três modelos, é que

faremos a análise dos livros. Segue, agora, a relação dos livros do PNDL

– 2011, na mesma ordem em que eles se apresentam no guia, e a análise

dos mesmos.

Matemática

Esse livro de autoria de Edwado Bianchini (2006) é iniciado

com a apresentação dos números inteiros nos mais variados contextos,

como: altitude, extrato bancário, temperatura, tabela de saldo de gols,

etc. A adição de números relativos é apresentada como deslocamentos

sobre a reta numérica, para a esquerda se o número for negativo e para a

direita se o número for positivo. No final, ele apresenta as regras para a

adição num quadro amarelo com os seguintes dizeres: “A soma de dois

ou mais números inteiros de mesmo sinal é obtida adicionando-se seus

valores absolutos e conservando o sinal comum” (BIANCHINI, 2006, p.

21). Após apresentar a soma de números inteiros com sinais diferentes

anuncia:

60

A soma de dois números inteiros de sinais

diferentes é obtida subtraindo-se seus valores

absolutos e dando ao resultado o sinal do número

de maior valor absoluto. Caso esses números

sejam opostos, a soma será igual a zero

(BIANCHINI, 2006, p. 22).

Os exercícios propostos para a adição não evocam o modelo

comercial e seguem a ideia de deslocamentos sobre a reta numérica. A

subtração é apresentada logo na sequência e, para ser resolvida, há

necessidade de ser transformada numa soma do primeiro número com o

oposto do segundo, para então prosseguir com os deslocamentos sobre a

reta numérica. Vejamos, nas palavras do autor: “A subtração de dois

números inteiros é calculada somando-se o primeiro número ao oposto

do segundo” (p. 27).

A multiplicação de números inteiros se estabelece como uma

soma de parcelas iguais. No caso da multiplicação de dois números

positivos, por exemplo, (+2) × (+5) = (+5) + (+5) = +10, um dos fatores

indica a quantidade de vezes que o outro fator deve ser somado. Essa

ideia também é usada para justificar a multiplicação de um número

positivo por um número negativo.

Para explicar o produto entre dois números negativos, o autor

recorre ao oposto de um dos fatores, vejamos: “O produto (-2) × (-4)

pode ser representado por – (+2) × (-4). Como (+2) × (-4) = -8, temos:

- (+2) × (-4) = - (-8) = +8 = 8. Portanto: (-2) × (-4) = 8” (p. 36). Na

sequência, são explicitadas as regras de sinais para a multiplicação de

números inteiros num quadro amarelo da seguinte forma: “Em qualquer

multiplicação de números inteiros, temos: o produto de dois números de

mesmo sinal é um número positivo; o produto de dois números de sinais

diferentes é um número negativo” (p. 36, grifos do autor). Após esta

explanação, o autor propõe alguns exercícios, para a aplicação do

conteúdo proposto, por meio de cálculos aritméticos e algébricos e

situações problemas envolvendo a ideia de pontos ganhos ou perdidos

em jogos.

A Conquista da Matemática – Edição Renovada

Nesse livro cujos autores são José Ruy Giovanni Júnior e

Benedicto Castrucci (2009), os números inteiros são apresentados no

segundo capítulo. A ideia de número inteiro e sua apresentação

61

aconteceram ao longo de dezesseis páginas, sendo contempladas nos

mais variados contextos. Podemos observar nos exercícios uma forte

tendência em relacionar o número positivo a um ganho e o número

negativo a uma perda, embora eles também tenham sido apresentados

como temperaturas e altitudes, tomando com referência a reta numérica.

A operação de adição é introduzida com a soma de dois

números com sinais iguais. Por meio de situações problemas envolvendo

a ideia de pontos ganhos ou perdidos em partidas de jogos esportivos e

dos movimentos realizados pelo elevador, os autores propõem a

resolução das situações enunciadas através de deslocamentos sobre a

reta numérica. A seguir, concluem:

Quando os dois números forem positivos, a soma

será um número positivo. Quando os dois

números forem negativos, a soma será um número

negativo. O módulo do resultado é igual à soma

dos módulos das parcelas (GIOVANNI JÚNIOR;

CASTRUCCI, 2009, p. 49, grifos do autor).

A adição de números com sinais diferentes é apresentada de

forma análoga e, no fechamento, os autores destacam: “Quando dois

números tiverem sinais diferentes, o sinal do resultado corresponderá ao

sinal do número que está mais distante da origem. O módulo do

resultado é igual à diferença entre os módulos das parcelas”

(GIOVANNI JÚNIOR; CASTRUCCI, 2009, p. 51, grifos do autor).

A subtração é apresentada logo em seguida, utilizando a ideia

da soma do primeiro número com o oposto do segundo. Os autores

apresentam situações problemas envolvendo a subtração de

temperaturas, propondo a sua resolução por meio de deslocamentos

sobre a reta numérica, neste caso, a reta numérica é representada pelo

termômetro. Concluindo, os autores anunciam que: “Subtrair dois

números é o mesmo que adicionar o primeiro com o oposto do segundo”

(GIOVANNI JÚNIOR; CASTRUCCI, 2009, p. 57).

Os autores apresentam a operação de multiplicação de dois

números positivos como uma multiplicação de dois números naturais.

Assim, (+3) × (+2) = 6 × 2 = 12 ou +12, pois +3 = 3 e +2 = 2. A seguir,

os autores destacam que: “A multiplicação de dois números inteiros positivos dá um número inteiro positivo” (p. 64). A multiplicação de

dois números com sinais diferentes é conduzida utilizando-se a ideia de

soma de parcelas iguais. E, sem maiores detalhes, os autores concluem

que: “A multiplicação de um número inteiro positivo por um número

62

inteiro negativo, em qualquer ordem, resulta em um número inteiro

negativo” (GIOVANNI JÚNIOR; CASTRUCCI, 2009, p. 64).

Com relação à multiplicação de dois números negativos os

autores propõem uma tabela a ser completada. A tabela inicia-se com os

produtos de dois números com sinais diferentes, já conhecidos. Pela

observação dos resultados encontrados percebe-se uma certa

regularidade, que deve ser obedecida para que se possa concluir o

preenchimento dessa sequência. Vejamos como essas tabelas se

apresentam

Tabela 1 - Apresentação da multiplicação de números negativos

× -4 -3 -2 -1 0 +1 +2

-6 ? ? ? ? 0 -6 -12

+6 +6

Fonte: Giovanni Júnior e Castrucci (2009, p. 65)

Tabela 2 - Apresentação da sequência completa da multiplicação de números

negativos.

× -4 -3 -2 -1 0 +1 +2

-6 +24 +18 +12 +6 0 -6 -12

+6 +6 +6 +6

Fonte: Giovanni Júnior e Castrucci (2009, p. 65)

Logo abaixo das tabelas, os autores anunciam a regra: “A

multiplicação de dois números negativos resulta em um número inteiro

positivo” (GIOVANNI JÚNIOR; CASTRUCCI, 2009, p. 65). Os

exercícios propostos para a multiplicação de números inteiros atende, na

sua maioria, a aplicação das regras, por meios de várias atividades do

tipo “calcule”.

63

Aplicando a Matemática

Os autores desse livro, Alexandre Luís Trovon de Carvalho e

Lourisnei Fortes Reis (2010), apresentam os números negativos no

terceiro capítulo. Os números negativos são explorados juntamente com

os números decimais e fracionários, não havendo uma separação entre

números naturais, inteiros e racionais. Assim, a ideia de número

negativo é apresentada por meio de situação problemas envolvendo

movimentações bancárias, temperaturas e os pontos mais altos e mais

baixos dos continentes em relação ao nível do mar. Nos exercícios

propostos para esta etapa, percebemos a ênfase em situações problemas

que relacionam a ideia de número positivo a um ganho e de número

negativo a uma perda.

As operações de adição e subtração são apresentadas

simultaneamente. Inicia-se com a operação de adição que é explorada

utilizando o recurso de bolinhas pretas (cargas positivas) e brancas

(cargas negativas) que se anulam. Desse modo, a operação (-5) + 3 é

representada por cinco bolinhas brancas e três bolinhas pretas, cada

bolinha branca pode anular uma bolinha preta, restando então duas

bolinhas brancas, ou seja, -2.

Para a subtração do tipo (-3) – (-4) é representado inicialmente o

número (-3) por um grupo de três bolinhas brancas. Como a operação

exige a retirada de quatro bolinhas brancas, acrescentou-se então uma

bolinha branca e uma preta neste grupo, não alterando a sua carga, uma

vez que elas se anulam. Agora, temos no grupo quatro bolinhas brancas

e uma preta, fato que permite a retirada das quatro bolinhas brancas,

restando uma bolinha preta, ou seja, o resultado da operação é 1.

Em momento algum, as regras para a adição de números

relativos foi explicitada pelos autores. Os exercícios propostos para as

operações de adição e subtração seguiram os moldes expostos

anteriormente, sempre associando os números negativos e positivos a

cargas que se neutralizam.

O entendimento da multiplicação de números relativos é

apresentado pelos autores através das movimentações de um ciclista

sobre uma linha numerada atendendo as seguintes regras:

Pedalar para a esquerda (oeste) significa andar no

sentido negativo, e pedalar para a direita (leste)

significa andar no sentido positivo. O tempo no

futuro é representado por um valor positivo, o

64

tempo no passado é representado por um número

negativo (CARVALHO; REIS, 2010, p. 119).

Desse modo, para efetuar a multiplicação (-3) × (-4) os autores

sugerem que devemos imaginar que o ciclista está em 0, movendo-se

para a esquerda (oeste) a uma velocidade de 3km/h. O resultado dessa

multiplicação representa a posição do ciclista a quatro horas atrás, ou

seja, o ciclista estava a 12 km à direita de 0, +12.

Ainda, como uma forma de reforçar a multiplicação de números

relativos, os autores sugerem que o resultado encontrado na situação

acima seja conferido, observando-se a sequência de números que

aumenta de 4 em 4. Para atender a regra, os próximos resultados

precisam ser 4, 8 e 12 (CARVALHO; REIS, 2010, p. 122).

2 × (-4) = -8

1 × (-4) = -4

0 × (-4) = 0

(-1) × (-4) = 4

(-2) × (-4) = 8

(-3) × (-4) = 12

Como aconteceu nas operações de adição e subtração, aqui

também os autores não explicitaram as regras de sinais para a

multiplicação dos relativos. Os exercícios propostos para a

multiplicação seguiram os moldes que os autores utilizaram para a

apresentação dessa operação, utilizando a ideia de deslocamento sobre a

reta numerada atrelada a ideia de tempo futuro e tempo passado, assim

como a utilização de sequências numéricas a serem completadas.

Matemática – Ideias e Desafios

Os números inteiros nesse livro, de autoria de Iracema Mori e

Dulce Satiko Onaga (2009), apresentam-se logo no seu primeiro

capítulo. A ideia de número negativo é explorada em situações de

movimentação bancária, temperaturas e altitudes.

A operação de adição é conduzida por meio de deslocamentos

sobre a reta numérica. O número positivo representa um deslocamento

para a direita e o negativo para a esquerda. Após vários exemplos de

movimentações sobre a reta, as autoras propõem um resumo das

situações analisadas. Vejamos:

65

Adição de dois números com sinais iguais:

Os dois são positivos:

(+4) + (+6) = +10

O sinal da soma é positivo e o módulo é a soma

dos módulos das parcelas.

Os dois são negativos:

(-2) + (-5) = -7

O sinal da soma é negativo e o módulo é a soma

dos módulos das parcelas.

Adição de dois números com sinais diferentes:

(+8) + (-3) = +5

O sinal da soma é o sinal do número maior em

módulo (+) e o módulo é a diferença entre os

módulos das parcelas.

(-10) + (+8) = -2

O sinal da soma é o sinal do número de maior

módulo (-) e o módulo é a diferença entre os

módulos das parcelas (MORI; ONAGA, 2009, p.

37).

A seguir, as autoras apresentam algumas situações problemas

que envolvem o cálculo da adição dos relativos nos mais variados

contextos. A subtração de números inteiros é apresentada como a soma

do primeiro número pelo oposto do segundo. Assim, para resolver a

operação (+5) – (-2) as autoras colocam que “Eliminamos os parênteses

e trocamos – (-2) por +2” (p. 39), para, então, poder realizar os

deslocamentos sobre a reta numérica.

A multiplicação de dois números inteiros positivos e de dois

números com sinais diferentes é conduzida pela ideia da soma de

parcelas iguais, por meio dos deslocamentos sobre a reta numérica. Na

multiplicação de dois números negativos, foi utilizado o recurso do

oposto. Assim, a multiplicação (-3) × (-5) pode ser substituída por - (+3)

× (-5) = - (-15) = +15. As autoras também apresentaram uma tabela com

os produtos do número (-5) pelos números inteiros, formando uma

sequência numérica que deve ser completada, observando o resultado

anterior. E, finalmente, apresentam, explicitamente, as regras de sinais

para a multiplicação desses números:

O produto de dois números com sinais iguais é um

número inteiro positivo, com módulo igual ao

produto dos módulos dos fatores. [...] O produto

de dois números inteiros com sinais diferentes é

um números inteiro negativo, com módulo igual

66

ao produto dos módulos dos fatores (MORI;

ONAGA, 2009, p. 48).

Como exercícios de aprendizagem, as autoras indicam a

resolução de situações problemas e alguns do tipo “efetue”.

Matemática

Esse livro tem como autores Luiz Márcio Imenes e Marcelo

Lellis (2009). Nele, os números positivos e negativos são abordados no

sexto capítulo nos mais variados contextos: temperatura, altitude, os

andares de um prédio, cálculos contábeis, entre outros.

A operação de adição é apresentada, exclusivamente, através de

situações problemas relacionando a ideia de número positivo a um

ganho/lucro e o número negativo a uma perda/prejuízo. Observe um

exemplo: “O lucro de 120 paga o prejuízo de 80; resta um lucro de 40

mil reais. Indicamos assim: 120 + (-80) = 40” (IMENES; LELLIS,

2009, p. 118). Como conclusão, aparece em um balão a fala de um

menino: “Eu acho que sei fazer adições. É só pensar em juntar lucros e

prejuízos” (p.118). As atividades propostas para essa operação seguem

nos mesmos moldes, trabalhando com saldos contábeis.

Ainda, nesse contexto contábil, a operação de subtração é

apresentada. Subtrair um número negativo pode ser entendido como

subtrair uma dívida que corresponde ao mesmo que somar, ou seja,

obter um ganho. Assim, se o saldo bancário era de – 90 e precisar retirar

(subtrair) -30 o saldo final será de -60, pois – (-30), segundo os autores,

é o mesmo que +30. As atividades propostas para a subtração seguem na

mesma direção, situações de jogos e saldos bancários relacionando a

ideia de positivo a um ganho e negativo a uma perda. As regras de sinais

para essas operações não foram explicitadas em momento algum pelos

autores.

No décimo capítulo do livro, os autores apresentam a operação

de multiplicação. O produto de dois números positivos ou de um número

positivo por um número negativo foi abordado através da soma de

parcelas iguais. E a multiplicação de dois números negativos foi

conduzido por meio da observação dos produtos obtidos na sequência

numérica em que o número (-4) foi multiplicado pelos números de 0 a 4

em ordem decrescente. Em seguida, os autores lançam o desafio: “Quais

são as próximas multiplicações da sequência? Mantendo o padrão,

devem ser (-1) × (-4), (-2) × (-4) e assim por diante. E, mantendo o

67

padrão, quais serão os resultados? Tente responder!” (IMENES;

LELLIS, 2009, p. 208).

Em nenhum momento, os autores anunciam que o produto de dois

números negativos deve ser positivo. Eles desafiam os estudantes para

que eles possam chegar a esta conclusão através das observações das

sequências numéricas. Os exercícios apontados pelos autores seguem o

mesmo caminho; completar sequências numéricas, anotando as

conclusões, efetuar os produtos, entre outros.

Matemática e Realidade

A ideia de números positivos e negativos é apresentada logo no

primeiro capítulo. Os autores Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce e Antônio

Machado (2009) abordam a ideia de número negativo em diversas

situações como: temperatura, saldo de gols em campeonatos de futebol,

saldo bancário e altitude.

A abordagem feita para a operação de adição é exclusivamente

contábil. Parte-se de uma situação problema de movimentação bancária,

onde são realizados depósitos (positivos) e retiradas (negativos) de

dinheiro, calculando o saldo final da conta. Por fim, os autores anunciam

as regras para essa operação: “Para adicionar números negativos,

adicionamos os valores absolutos e damos ao resultado o sinal de

negativo” (DOLCE; MACHADO, 2009, p. 26). E, “Para adicionar um

número positivo a um número negativo, subtraímos os valores absolutos

e damos ao resultado o sinal do número de maior valor absoluto. Caso

sejam números opostos, a soma é zero” (DOLCE; MACHADO, 2009, p.

27). Os exercícios propostos para a operação de adição enfatizam

situações de saldo bancário e saldo de pontos de jogos.

A operação de subtração foi explorada por meio de situações

problemas, envolvendo a variação de temperaturas e ilustradas por

deslocamentos no termômetro. Após a explanação das situações, os

autores transformam a operação de subtração em uma soma do primeiro

número com o oposto do segundo. Nas palavras dos autores: “A

diferença entre dois números inteiros é igual a soma do primeiro com o

oposto do segundo” (DOLCE; MACHADO, 2009, p. 37). As atividades

propostas para essa operação são parecidas com as indicadas para a

adição, apenas se diferenciam por apresentar mais questões de cálculo

aritmético.

Seguindo com as operações, depois da subtração, os autores

apresentam a operação de multiplicação. Essa operação é abordada

como uma soma de parcelas iguais para o caso da multiplicação de dois

68

números positivos e para a multiplicação de dois números com sinais

diferentes. A multiplicação de um número positivo por um número

negativo foi introduzida com a seguinte situação:

Se uma pessoa compra um fogão para pagar em 6

prestações de R$ 133,00, quanto será somado ao

saldo de sua conta no banco? Cada prestação

acarreta um débito de R$ 133,00 na conta. O

débito total será de: 6 × 133 = 798. Do saldo da

conta serão subtraídos R$ 798,00 ou, o que dá no

mesmo, será somado o valor de – R$ 798,00

(DOLCE; MACHADO, 2009, p. 44).

Após essa explanação e a demonstração das parcelas repetidas

nas multiplicações de números com sinais diferentes, os autores

destacam: “Para multiplicar um número positivo por outro negativo, em

qualquer ordem, multiplicamos os valores absolutos e damos ao produto

o sinal negativo” (p. 45, grifos do autor).

A multiplicação de dois números negativos também foi

conduzida como uma soma de parcelas iguais. Vejamos como os autores

colocam essa questão: “(-3) × (-7) deve ser a soma de 3 parcelas iguais

ao oposto de (-7); (-3) × (-7) = - (-7) - (-7) - (-7) = 7 + 7 + 7 = 21” (p.

46). Após outro exemplo parecido ao citado, os autores anunciam que:

“Para multiplicar dois números negativos, multiplicamos os valores

absolutos e damos ao produto o sinal positivo” (p. 46, grifos do autor).

Os exercícios apresentados para essa operação contemplam o

preenchimento de tabelas multiplicativas e cálculo de produtos.

Matemática na medida certa

Os autores desse livro, Marília Ramos Centurión e José

Jakubovik (2010), apresentam os números inteiros no seu primeiro

capítulo. A ideia de números positivos e negativos é explorada em

diversas situações como: temperaturas, altitudes, quadro de botões de

um elevador, saldos bancários e linha do tempo.

A adição de números inteiros é introduzida, utilizando bolinhas

brancas, representando os números positivos, e bolinhas azuis,

representando os números negativos. Juntas, uma bolinha branca e uma

bolinha azul se anulam. Vejamos:

69

Figura 1 - Explicação para adição de números inteiros

Fonte: Centurión e Jakubovic (2010, p.23)

A seguir, os autores trazem um exemplo da aplicação de adição

de números inteiros. O exemplo apresenta uma situação problema com

uma tabela de lucros e prejuízos dos vários setores de um supermercado.

E os cálculos são realizados a fim de saber o saldo final desse

supermercado. Concluindo, os autores destacam: “Veja que é possível

achar a soma de números inteiros com processos simples. Basta pensar

em unidades positivas ou negativas (bolas brancas e azuis) ou em lucros

e prejuízos” (CENTURIÓN; JAKUBOVIC, 2010, p. 25). As atividades

propostas para essa operação apresentam situações problemas contábeis,

adição utilizando bolas brancas e azuis e atividades de cálculo

aritmético.

Com o mesmo exemplo das bolas brancas e azuis, os autores

introduzem a subtração de números inteiros. Assim, para efetuar (-4) –

(-1) tem-se 4 bolinhas azuis e tira-se 1, restando 3 bolinhas azuis, ou

seja, -3. E, para efetuar 3 – (-2), é preciso acrescentar 2 bolinhas

brancas e 2 azuis, pois é impossível retirar duas bolinhas azuis de três

brancas. Ao total tem-se 5 bolinhas brancas e 2 azuis, agora tira-se as 2

bolinhas azuis, restando 5 brancas, ou seja, 3 – (-2) = +5. Após essas

demonstrações, os autores sugerem que a subtração seja transformada na

soma do primeiro número com o oposto do segundo. As atividades

propostas para essa operação seguem os moldes das apresentadas para a

adição.

É preciso destacar que as regras de sinais, tanto para a adição

quanto para a subtração, não foram explicitadas em nenhum momento

pelos autores. Com relação à operação de multiplicação, ela é

apresentada logo após a operação de subtração. De uma maneira bem

sucinta, os autores apresentam a ideia de multiplicação como uma soma

de parcelas iguais, para o caso de dois números positivos e para o caso

de dois números com sinais diferentes. Partindo das multiplicações

70

conhecidas, uma tabela de produtos é construída formando uma

sequência. Vejamos como ficou essa tabela:

Tabela 3 - Apresentação da multiplicação de números inteiros

Fonte: Centurión e Jakubovic (2010, p. 42)

Partindo da observação dos produtos obtidos, procurando

preservar o padrão estabelecido, percebe-se que a multiplicação de dois

números negativos precisa ser positivo. A seguir, a regra para a

multiplicação de números inteiros é anunciada: “Multiplicamos os seus

módulos. O produto será positivo se os dois fatores tiverem sinais iguais

e será negativo se os dois fatores tiverem sinais diferentes”

(CENTURIÓN; JAKUBOVIC, 2010, p. 42). Nas atividades propostas

para esta operação, encontramos adições para serem escritas na forma de

multiplicação e exercícios do tipo “calcule”.

Projeto Radix – Matemática

Nesse livro de autoria de Jakson da Silva Ribeiro (2010), os

números positivos e negativos são apresentados no sexto capítulo. A

ideia de número positivo e negativo aparece relacionada mais

especificamente a temperaturas, mas aparece, também, de forma menos

expressiva, nas situações problemas envolvendo extratos bancários e

altitudes. A adição de números inteiros é introduzida por meio de uma

situação problema de movimentações de lucros e prejuízos de um

supermercado. Para saber o saldo do primeiro bimestre, nesse

supermercado, foi utilizada a reta numérica. Assim, o número positivo

(lucro) indica um deslocamento para a direita e o número negativo

4 . (-3) = -12

3 . (-3) = -9

2 . (-3) = -6

1 . (-3) = -3

0 . (-3) = 0

(-1) . (-3) = 3

(-2) . (-3) = 6

(-3) . (-3) = 9

aumenta 3 unidades

71

(prejuízo) um deslocamento para a esquerda. Dessa forma, o lucro foi

representado por (+10) e o prejuízo por (-7), resultando num lucro de 3,

ou seja, +3. As atividades para esta operação propõem a realização de

deslocamentos sobre a reta, situações problemas contábeis e vários

exercícios de cálculo aritmético.

Para apresentar a subtração de números inteiros, o autor utiliza

um gráfico das temperaturas máximas e mínimas registradas na cidade

de São Joaquim (SC) no ano de 2007. Partindo desse gráfico, ele propõe

calcular a diferença entre as temperaturas máximas e mínimas registrada

em dois dias diferentes. Vejamos como o autor conduziu essa

demonstração:

Figura 2- Demonstração da subtração de números inteiros

Fonte: Ribeiro (2010, p. 106)

Percebemos que autor destaca que subtrair um número é o mesmo

que somar o primeiro número com o oposto do segundo número. Nas

atividades propostas para esta operação, temos sequências numéricas

para serem completadas e expressões numéricas envolvendo a adição e a

subtração de inteiros. É importante destacar que, em nenhum momento,

o autor explicita as regras de sinais para a adição de números relativos.

A multiplicação de números inteiros é apresentada como a soma

de parcelas iguais, para o caso da multiplicação de dois números

positivos e para a multiplicação de dois números com sinais diferentes.

Na multiplicação de dois números negativos, o autor usou o recurso de

substituir um dos fatores pelo seu simétrico. Vejamos a sua

demonstração: “(-2) . (-3) = - (+2) . (-3) = - (-6) = +6” (p. 110). A seguir

anuncia as regras:

Em uma multiplicação de dois fatores em que um

dos fatores é um número positivo e o outro, um

número negativo, o produto é um número

negativo. [...] Em uma multiplicação de dois

fatores em que ambos são negativos, o produto é

um número positivo (RIBEIRO, 2010, p. 110).

72

Os exercícios para essa operação propõem a resolução de

situações problemas, sequências numéricas a serem completadas e

expressões numéricas.

Tudo é Matemática

Os números inteiros são apresentados nesse livro, cuja autoria é

de Luiz Roberto Dante (2010), no seu segundo capítulo. A ideia de

número positivo e negativo é explorada por meio de situações do

cotidiano como: fuso horário, temperatura, altitude, saldo de gols no

campeonato de futebol e movimentações bancárias.

A operação de adição de números inteiros é conduzida através

de situações problemas de temperatura e, também, de profundidade,

usando, como recurso de resolução, deslocamentos sobre a reta

numérica. Nas atividades propostas para esta operação, o autor propõe

exercícios que instigam os alunos a perceberem certa generalização na

soma de números inteiros com sinais iguais e também com sinais

diferentes. Isso utilizando o processo de movimentações sobre a reta

numérica, tomando o número positivo como um deslocamento para a

direita e o número negativo um deslocamento para a esquerda.

De modo bem sucinto, o autor apresenta a operação de

subtração de números inteiros, argumentando que essa operação nos

números naturais nem sempre é possível, mas no conjunto dos inteiros a

subtração é sempre possível. A seguir, é apresentada a resolução de

expressões numéricas, envolvendo a adição e a subtração de números

inteiros, sem maiores explicações. Vejamos como o autor procedeu:

Figura 3 - Demonstração para a subtração de números inteiros

Fonte: Dante (2010, p. 37)

Após essa breve apresentação da subtração, são propostas cinco

expressões numéricas como atividades de aprendizagem. Em seguida, a operação de multiplicação é introduzida. O autor não demonstra a

multiplicação de números inteiros, ele sugere o preenchimento da tabela

abaixo, observando-se as regularidades.

73

Figura 4- Tabela utilizada para a apresentação da multiplicação de

números inteiros

Fonte: Dante (2010, p. 38)

Partindo dos resultados encontrados na tabela, é feito o seguinte

questionamento: “Como devemos fazer para obter o resultado de uma

multiplicação de dois números com sinais diferentes (um positivo e

outro negativo)?” (DANTE, 2010, p. 39). A respeito da multiplicação de

dois números negativos, é solicitado que, utilizando a tabela, seja

registrado o resultado de algumas multiplicações entre dois números

negativos. A partir desses resultados, é sugerido que: “Troque ideias

com seus colegas e, depois, escreva como obter o resultado em uma

multiplicação de dois números inteiros negativos” (p. 39). Não foi

explicitado pelo autor, em momento algum, a regra de sinais para a

multiplicação de números relativos. As atividades propostas conduziram

para que essas regras emergissem em meio às regularidades

apresentadas na tabela.

Vontade de Saber Matemática

Nesse livro de autoria de Joamir Roberto de Souza e Patrícia

Rosana Moreno Pataro, os números positivos e negativos são

apresentados no quarto capítulo, contemplando, também, os números

positivos e negativos na sua forma decimal e fracionária. Inicialmente,

esses números foram explorados nos mais variados contextos do

cotidiano como: saldo bancário, temperatura e altitude.

A operação de adição foi introduzida a partir de uma situação

problema, envolvendo movimentações bancárias, onde o número

positivo aparece relacionado à ideia de ganho/depósito e o número

negativo a retirada/débito. Para resolver as operações oriundas da

movimentação bancária, foi utilizado o deslocamento sobre a reta

numérica. Os números positivos representavam os deslocamentos

74

realizados para a direita e os números negativos os deslocamentos para a

esquerda.

Após a demonstração da operação de adição, as suas regras são

anunciadas: “Nas adições cujas parcelas têm o mesmo sinal,

adicionamos os valores absolutos dessas parcelas e conservamos o

sinal” (SOUZA; PATARO, 2009, p. 94). “Nas adições cujas parcelas

têm sinais contrários, subtraímos os valores absolutos dessas parcelas e

conservamos o sinal do número de maior valor absoluto” (SOUZA;

PATARO, 2009, p. 95). As atividades de aprendizagem propostas para

essa operação estão de acordo com o modelo utilizado na sua

apresentação, seguindo a ideia de deslocamentos sobre a reta numérica e

situações problemas abordando saldos contábeis.

Utilizando-se o contexto da variação de temperaturas, apresenta-

se a operação de subtração. Essa operação foi abordada como sendo a

soma do primeiro número pelo oposto do segundo, podendo, desta

forma, ser representada por deslocamentos na reta numérica. Nas

palavras dos autores: “Subtrair números positivos e números negativos é

equivalente a adicionar o minuendo ao oposto do subtraendo” (p. 100).

A multiplicação de números positivos e negativos segue a ideia

da soma de parcelas iguais, tanto para a multiplicação de dois números

positivos, quanto para a multiplicação de dois números com sinais

diferentes. Para explicar a multiplicação de dois números negativos, foi

utilizada a ferramenta do oposto de um número. Assim, para calcular a

multiplicação (-3) × (-4), os autores demonstram a seguinte forma:

“Substituímos -3 por – (+3), pois +3 é o oposto de -3, e efetuamos o

cálculo. (-3) × (-4) = - (+3) × (-4) = - (-12) = 12” (p. 103).

Após essa explicação, os autores destacam que: “Em uma

multiplicação de dois fatores, em que: ambos têm o mesmo sinal, o

resultado é sempre um número positivo; um fator é positivo e outro

negativo, o resultado é sempre um número negativo” (p. 103). Como

atividades propostas para essa operação, enfatizam-se o cálculo

numérico e algumas situações problemas relacionadas a movimentações

bancárias.

Com a análise do livro “Vontade de Saber Matemática”,

finalizam-se os nossos trabalhos de apreciação dos livros didáticos

apontados pelo Guia do livro didático do PNDL – 2011. Pautados nos

registros da nossa análise, apresentaremos agora uma tabela comparativa

com os modelos que foram encontrados nos livros didáticos analisados.

Os critérios para a categorização das justificativas apresentadas

para as operações de adição, subtração e multiplicação, apresentadas nos

livros didáticos, estão de acordo modelos aritmético, algébrico e

75

geométrico apontados por Gonzáles (1990, apud PONTES, 2010), no

que diz respeito às operações de adição e subtração. E, para a operação

de multiplicação, de acordo com Pontes (2010), esses modelos também

podem ser aplicados, como já mencionados anteriormente.

Dentre as diversas abordagens apresentadas nos livros didáticos

para a multiplicação de números negativos, encontramos duas vertentes

para o modelo aritmético. Uma utiliza como justificativa para a

multiplicação de números de sinais diferentes a soma de parcelas iguais

e para a multiplicação de dois números negativos, utiliza o recurso da

multiplicação do primeiro pelo simétrico do segundo, ou vice versa.

A outra apresenta a multiplicação de números negativos,

observando os produtos obtidos numa sequência numérica. Assim, a

regra de sinais emerge em meio a generalizações. Então, pensamos ser

de fundamental importância diferenciar esses dois modos de

apresentação aritmética da multiplicação de números relativos. Por isso,

na tabela, utilizamos a expressão aritmética 1 para nos referirmos ao

primeiro caso, e, aritmética 2, para indicarmos o segundo caso.

Vejamos, agora, os resultados da análise por meio da tabela

comparativa:

Tabela 4- Tabela comparativa dos modelos encontrados na análise dos livros

didáticos

Adição Subtração Multiplicação

Modelos

Livros

Arit. Geo. Alg. Arit. Geo. Alg. Arit.

1

Arit.

2

Geo. Alg.

Matemática

(2006)

x x x

A

Conquista

da

Matemática

– Edição

Renovada

(2009)

x

x

x

Aplicando

a

Matemática

(2010)

x

x

x

Matemática

– Ideias e

Desafios

(2009)

x

x

x

Matemática

(2009)

x x x

76

Matemática

e Realidade

(2009)

x

x

x

Matemática

na medida

certa (2010)

x

x

x

Projeto

Radix –

Matemática

(2010)

x

x

x

Tudo é

Matemática

(2010)

x

x

x

Vontade de

Saber

Matemática

(2009)

x

x

x

Fonte: Dados da pesquisa (2012)

Com base na análise dos livros, percebemos que 60% deles

utilizam o modelo aritmético para abordar a adição de números inteiros.

Os autores se basearam em situações problemas que relacionaram o

número positivo a ideia de ganho/ lucro/ crédito e a ideia de número

negativo atrelada a perda/débito/prejuízo. A operação de adição foi

apresentada geometricamente em 40% dos livros analisados, por meio

de situações em que realizaram os deslocamentos sobre a reta numérica,

onde os números positivos representavam movimentações para a direita

e o número negativo para a esquerda. Em nenhum dos livros analisados,

a operação de adição foi apresentada utilizando o modelo algébrico.

Embora a operação da adição tenha sido apresentada em 60%

dos casos pelo modelo aritmético, a operação de subtração não seguiu

esse padrão. Somente 40% dos livros apresentaram a operação de

subtração, utilizando esse modelo. Os demais apresentaram a operação

de subtração, utilizando a ideia da soma do primeiro pelo oposto do

segundo, para então poder realizar os deslocamentos sobre a reta

numérica, caracterizando-se como modelo geométrico. O modelo

algébrico para a apresentação da subtração não foi encontrado nos livros

analisados. É importante destacar que, em todos os livros apreciados, a

operação de subtração foi apresentada após a adição, antecedendo a

apresentação da operação de multiplicação.

Com relação à apresentação da operação de multiplicação, não

encontramos nos livros didáticos os modelos geométrico e algébrico.

Todos os livros utilizaram o modelo aritmético para justificar a

multiplicação de números inteiros. Alguns livros, 50%, utilizaram como

77

explicação para a multiplicação de números com sinais diferentes a

soma de parcelas iguais e, para o caso de dois números negativos, a

multiplicação do primeiro pelo simétrico do segundo. Os demais livros

apresentaram como justificativa para a multiplicação de números

inteiros a ideia da sequência numérica, onde a multiplicação de dois

números negativos se justifica para atender o padrão da sequência

formada.

No decorrer deste tópico, no qual realizamos a análise dos

livros didáticos, podemos ter um panorama geral das diversas

abordagens encontradas nos manuais escolares referentes às operações

de adição, subtração e multiplicação. Agora, será que a forma de como

os livros didáticos apresentaram as operações de adição, subtração e

multiplicação dos números inteiros atendem aos documentos oficiais,

como PCN e NCTM?

3.3 O que nos dizem os PCN e NCTM a respeito do ensino dos números

inteiros relativos?

Nesta parte do nosso trabalho, realizamos uma consulta aos

documentos oficiais para sabermos quais as orientações que eles trazem

a respeito do ensino dos números inteiros e quais as suas recomendações

para o ensino das operações de adição, subtração e multiplicação desses

números.

Nos Parâmetros curriculares Nacionais de Matemática (PCN),

para as séries iniciais do ensino fundamental – 1a a 4

a séries - (BRASIL,

1997) os números negativos são citados em poucos momentos. Tanto no

primeiro ciclo (1a e 2

a séries) quanto no segundo ciclo (3

a e 4

a séries)

parte-se da ideia que os conhecimentos numéricos são construídos num

processo dialético. O aluno, nesse processo, perceberá a existência das

diferentes categorias de números, criadas em função de diferentes

problemas enfrentados pela humanidade ao longo da história, entre eles

os negativos. Destaca-se, também, a preocupação evidente no

tratamento de número como uma relação, o que futuramente

possibilitará uma melhor aceitação dos números negativos.

De acordo com os PCN para as séries finais do ensino

fundamental – 5a a 8

a séries – (BRASIL, 1998, p. 66), no terceiro

ciclo20

, os números inteiros podem surgir como uma ampliação do

campo aditivo, podendo, desse modo, representar diferença, falta,

20

O terceiro ciclo corresponde a 5a e a 6

a séries do ensino fundamental de 8

anos.

78

orientação e posições relativas. A apresentação dos números inteiros

pode apoiar-se nas concepções intuitivas que os alunos trazem a respeito

desses números por meio das situações vivenciadas, por eles, de ganhos

e perdas num jogo, débitos e créditos, temperaturas, entre outras.

Entretanto, advertem que o estudo desses números não deverá restringir-

se somente a situações práticas, deve abranger outros aspectos que

promovam a compreensão das regras do cálculo, com esses números,

pela observação de regularidades.

Na parte em que os PCN tratam sobre conceitos e procedimentos

para o terceiro ciclo, a respeito dos números relativos, eles apontam o

[...] reconhecimento dos números inteiros em

diferentes contextos – cotidianos e históricos - e

exploração de situações problema em que indicam

falta, diferença, orientação (origem) e

deslocamento entre dois pontos (BRASIL, 1998,

p. 71).

Nada consta sobre o ensino da regra de sinais para a

multiplicação de números inteiros para o terceiro ciclo do ensino

fundamental, como também não aponta de forma explícita como deva

acontecer o ensino das operações de adição e subtração desses números.

Contudo, no quarto ciclo21

deste documento, destinado a séries

finais do ensino fundamental, podemos constatar a apresentação dos

números inteiros com mais detalhes. Primeiramente, nos é apresentado

um pequeno histórico a respeito dos números negativos. A seguir, os

PCN afirmam que na escola o estudo dos números inteiros apresenta

dificuldades e que a aprendizagem, ao longo do ensino fundamental, tem

sido insatisfatória. Neste sentido, é importante reconhecer os obstáculos

que o aluno enfrenta ao entrar em contato com esses números. A saber:

conferir significado às quantidades

negativas;

reconhecer a existência de números em

dois sentidos a partir do zero, enquanto para os

naturais a sucessão acontece num único sentido;

reconhecer diferentes papéis para o zero

(zero absoluto e zero-origem);

perceber a lógica dos números negativos

que contraria a lógica dos números naturais – por

21

O quarto ciclo corresponde a 7a e 8

a séries do ensino fundamental de 8 anos.

79

exemplo, é possível “adicionar 6 a um número e

obter 1 no resultado”, como também é possível

“subtrair um número de 2 e obter 9”;

interpretar sentenças do tipo x = - y, (o

aluno costuma pensar que x é positivo e y é

negativo) (BRASIL, 1998, p. 98).

Assim, com o intuito de superar esses obstáculos, o documento

apresenta alguns exemplos de recurso que podem auxiliar o processo de

ensino e aprendizagem desses números. O primeiro deles é a

representação geométrica dos números inteiros numa reta numérica

orientada, por meio dela podem ser explorados vários segmentos desse

conteúdo, tais como:

visualizar o ponto de referência (origem) a

partir da qual se definem os dois sentidos;

identificar um número e seu oposto

(simétrico): números que se situam à mesma

distância do zero;

reconhecer a ordenação dos inteiros:

dados dois números inteiros quaisquer, o menor é

o que está á esquerda (no sentido positivo da reta

numérica); assim, dados dois números positivos

será maior o que estiver mais distante do zero e

dados dois negativos será maior o que estiver mais

próximo do zero;

comparar números inteiros e identificar

diferenças entre eles; inferir regras para operar

com adição e subtração, como: (+3) + (-5) = +3 –

5 = -2 (BRASIL, 1998, p. 98-99)

Ainda, para explorar as operações de adição e subtração, o

documento indica outro recurso: o ábaco de inteiros,

[...] que consiste em duas varetas verticais fixadas

num bloco, nas quais se indica a que vai receber

as quantidades positivas e a que vai receber as

quantidades negativas, utilizando argolas de cores

diferentes para marcar os pontos (BRASIL, 1998,

p. 99).

Para a apresentação da multiplicação de números inteiros, os

PCN indicam que essa operação pode ser trabalhada por meio de

80

tabelas. Inicialmente, se fará o registro do produto entre dois números

positivos. A seguir, a multiplicação entre um número positivo por um

número negativo pode ser interpretada como a soma de parcelas

negativas e resolvida por procedimentos aditivos, por exemplo, (+2) × (-

5) = (-5) + (-5) = -10. Através da observação das regularidades das

sequências numéricas construídas, pode-se chegar à multiplicação de

dois números negativos, compreendendo que este produto precisa ser

positivo para manter o padrão numérico observado na sequência.

Ilustrando:

Tabela 5- Sequência formada na multiplicação de números inteiros

x

Fonte: Brasil (1998) y

Podemos observar que os produtos obtidos entre os números da primeira

linha (x) com os da última coluna (y), na posição vertical, decrescem de cima

para baixo, para x>0 e crescem para x<0. Na posição horizontal, da direita para

a esquerda, os produtos crescem para y>0 e decrescem para y<0.

De um modo geral, os PCN apontam que o trabalho com números

inteiros não pode estar relacionado somente a situações concretas.

Contudo, adverte que o ensino, conduzido exclusivamente pelo caminho

formal, corre o risco de reduzir o estudo a um formalismo vazio.

“Assim, devem-se buscar situações que permitam aos alunos reconhecer

alguns aspectos formais dos números inteiros a partir de experiências

práticas e do conhecimento que possuem sobre os números naturais”

(BRASIL, 1998, p. 100).

Vejamos, agora, o que nos dizem o National Council of Teachers

of Mathematics (NCTM)- Princípios e Normas para a Matemática

Escolar à respeito do ensino dos números inteiros e das suas operações

de adição, subtração e multiplicação.

Segundo as Normas (NCTM, 2008), os inteiros negativos devem

ser introduzidos no período do 3o ao 5

o anos de escolaridade

[...] através da utilização de modelos familiares,

como a temperatura ou dívidas de dinheiro. A reta

-2 -1 0 1 2 3 ×

-6 -3 0 3 6 9 3

-4 -2 0 2 4 6 2

-2 -1 0 1 2 3 1

0 0 0 0 0 0 0

+2 +1 0 -1 -2 -3 -1

+4 +2 0 -2 -4 -6 -2

81

numérica também constitui um modelo útil e

adequado, e os alunos deverão reconhecer que os

pontos situados a esquerda de 0, numa reta

numérica horizontal, podem ser representados por

números menores que 0 (NCTM, 2008, p. 175).

No período que corresponde do 6o ao 8

o anos de escolaridade, as

Normas (NCTM, 2008) apontam para a importância de os alunos

aprofundarem os seus conhecimentos a respeito dos inteiros relativos,

devendo adquirir competência na sua utilização para a resolução de

problemas. Os alunos deverão ampliar os seus conhecimentos informais

a respeito dos negativos, decorrente de suas experiências cotidiana,

como as temperaturas ou a redução do número de metros numa jogada

de futebol americano. Neste sentido,

Os inteiros positivos e negativos deverão ser

percebidos como úteis na indicação de variações

ou valores relativos. Os alunos poderão ainda

avaliar a utilidade dos inteiros negativos quando

trabalharem com equações, cujas resoluções

exijam a sua utilização, como em

(NCTM, 2008, p. 256).

Pelo exposto, pode ser percebido que, embora este documento,

NCTM (2008), indique a compreensão dos negativos pela ampliação dos

conhecimentos informais adquiridos pelos alunos, nada consta a

respeito, especificamente, da regra de sinais nem de indicações para a

condução das operações de adição, subtração e multiplicação com esses

números. Entretanto, de acordo com Pontes (2010), no Caderno 9 da

Coleção Temas Matemáticos do NCTM, intitulado o sistema dos

inteiros22

, aparece uma sugestão para a multiplicação de números

inteiros relativos. Vejamos:

Nessa justificativa, é sugerida a multiplicação da

sequência dos números inteiros de 4 até -4 pelo

número positivo 5. Iniciando pelo produto 4 × 5 =

20 e seguindo até o produto 0 × 5 =0 pode ser

observado que o primeiro fator vai diminuindo de

um em um, que o segundo fator permanece igual e

que os produtos vão diminuindo de cinco em

22

NCTM. The system of integers. Washington, 1968. (Topics in Mathematics

for Elementary Scholl Teachers), Booklet Number 9.

82

cinco unidades. Portanto, continuando a realizar

os produtos até -4 × 5 = -20, obtemos a seguinte

sequência:

4 × 5 = 20

3 × 5 = 15

2 × 5 = 10

1 × 5 = 5

0 × 5 = 0

-1 × 5 = -5

-2 × 5 = -10

-3 × 5 = -15

-4 × 5 = -20

Assim, concluímos que o produto de um número

negativo por um número positivo é um número

negativo. Em seguida, é usada a mesma estratégia

para multiplicar os números inteiros de 4 a -4 pelo

número negativo -5, inicialmente de 4 até 0, para

que a sequência dos produtos seja percebida e, em

seguida de -1 a -4, que geram os produtos:

4 × -5 = -20

3 × -5 = -15

2 × -5 = -10

1 × -5 = -5

0 × -5 = 0

-1 × -5 = +5

-2 × -5 = +10

-3 × -5 = +15

-4 × -5 = +20

De acordo com a sequência anterior, concluímos

que o produto de um número negativo por um

número negativo é um número positivo

(PONTES, 2010, p. 104).

Nessa sugestão, podemos perceber que o ensino da regra de

sinais para a multiplicação aconteceu pela via formal. Ela está em

consonância com a indicação apontada pelos PCN. Entretanto, a regra

de sinais, para a multiplicação de números inteiros, é sugerida pelos

PCN somente para as últimas séries do ensino fundamental.

Nesses documentos, PCN e NCTM, há diversas sugestões de

ensino para a compreensão do campo aditivo dos relativos. Contudo, o

83

ensino da multiplicação de números negativos, em ambos os

documentos, é sugerido por meio de uma sequência numérica em que

um padrão precisa ser preservado. Ou seja, a compreensão de que a

multiplicação de dois números negativos precisa ser positivo, deve

acontecer pela via formal, fugindo de exemplos do cotidiano.

Finalizando este capítulo, cabe, agora, tecermos algumas

considerações sobre o tema discutido neste tópico. O ensino dos

números inteiros encontra dificuldades, principalmente, no que se refere

à multiplicação desses números e suas regras de sinais. O fato da adição

de números relativos ser conduzida por meio do modelo aritmético,

utilizando-se de situações problemas contábeis, pode trazer prejuízos ao

ensino das propriedades multiplicativas desses números.

Vimos, por meio da análise dos livros didáticos, que a maioria

deles apresenta a operação de adição, utilizando-se do modelo

aritmético. Entretanto, esse mesmo argumento, utilizado para explicar a

adição de números inteiros, não é suficiente para explicar a

multiplicação entre dois números negativos. Assim, os PCN apontam

que o ensino dos números inteiros não deve ser conduzido

exclusivamente por exemplos práticos. Mas, que, partindo das situações

vivenciadas pelos alunos, estes sejam levados a fazer generalizações e

possam compreender que a regra de sinais para a multiplicação de

números inteiros atende as regras da consistência interna da própria

matemática. A sugestão de ensino, apresentada pelo caderno 9 do

NCTM, apresenta um modelo que atende a esta perspectiva.

Neste contexto, cabe agora fazermos alguns questionamentos:

Quais os limites/possibilidades que o ensino da operação de adição,

conduzida pelo modelo geométrico, pode trazer para o entendimento da

operação de multiplicação? Por que a operação de subtração, nos livros

didáticos, é sempre apresentada após a adição e antes da multiplicação?

Quais os efeitos de apresentar o ensino da operação de subtração após o

ensino da multiplicação, uma vez que esta operação se utiliza da regra

de sinais para fazer as simplificações necessárias para o

desenvolvimento dos cálculos? Estes, entre outros questionamentos, nos

servem como mola propulsora para a continuação do nosso trabalho. E,

no próximo capítulo, buscaremos fundamentação teórica para podermos

refletir sobre estes, dentre outros tantos, questionamentos.

85

4 FUNDAMENTOS TEÓRICOS PARA O ENSINO DE

NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS: CONGRUÊNCIA

SEMÂNTICA E PRINCÍPIO DE EXTENSÃO

Neste capítulo, fizemos uma explanação de diversas teorizações

referentes ao processo de ensino dos números relativos. Defendemos a

ideia, acompanhando Glaeser (1981), que o modelo comercial de

ganho/perda, usualmente utilizado no ensino da adição de números

inteiros relativos, cria obstáculos para o ensino da multiplicação desses

números. Deste modo, Caraça (1963) nos aponta o “princípio de

extensão” como uma proposta de ensino para os relativos, defendendo o

ensino da adição desses números como uma extensão dos naturais e a

regra de sinais para a multiplicação como a única que preserva a

distributividade à esquerda e a direita. E, amparados na Teoria dos

Registros de Representação Semiótica, analisamos como se apresentam

os casos de congruência semântica no processo de ensino e

aprendizagem dos inteiros relativos.

4.1 O princípio de extensão de Caraça

Se o processo de ensino e aprendizagem dos números relativos

encontra dificuldades, o que fazer? Na busca por uma resposta a esse

questionamento fomos desafiados a procurar subsídios teóricos e

metodológicos que nos auxiliassem a encontrar um caminho que

pudesse trazer melhorias ao processo de ensino e aprendizagem desses

números, diferentemente daquela prática que se encontra instaurado em

nossas escolas, conforme tratamos no capítulo anterior.

Glaeser (1981) nos provoca ao dizer que o “bom modelo”

utilizado para ensinar as propriedades aditivas, baseado no “modelo

comercial” associando a ideia de ganho a um número positivo e ao

número negativo ao de uma perda, pode trazer riscos ao ensino das

propriedades multiplicativas desses números. Desta forma, o ensino dos

números relativos precisa sofrer mudanças, não podendo mais se

prender somente nos exemplos baseados em situações cotidianas, haja

vista que, historicamente, o número negativo não surgiu num contexto

aritmético, mas, sim, num contexto algébrico.

Contudo, o ensino atual dos números inteiros se

introduz em um contexto aritmético, tanto nas

situações que introduz como nas técnicas que

utilizam para resolvê-las, contexto em que não são

86

necessários como estratégia de resolução. Como

consequência, o estabelecimento de suas regras de

cálculo fica totalmente a mercê do modelo

concreto que se utiliza para introduzi-los, e este

tratamento didático contribui, todavia, ainda mais

para agravar o obstáculo epistemológico (CID,

2000, p. 13).

Dessa forma, Costa (1971) complementa ao apontar no sentido

de que a origem histórica da noção de número negativo não está atrelada

a classe de grandezas, mas que ela emergiu “[...] na necessidade de

interpretar o resultado de uma subtração, quando o minuendo é menor

que o subtraendo” (COSTA, 1971, p. 222). Seguindo o mesmo

pensamento, Caraça nos apresenta a operação de subtração sob a

perspectiva de deslocamentos sobre uma reta. E, que para orientar esses

deslocamentos, há necessidade de se determinar um sinal que indique o

sentido do movimento. “Esse sinal pode ser qualquer, mas há

necessidade de tomar um sobre o qual nos entendamos para sempre”

(CARAÇA, 1963, p. 96). Figura 5 - Reta r

4 3 2 1 0 1 2 3 4 Fonte: (CARAÇA, 1963, p. 96)

Assim, de acordo com Caraça (1963), imaginamos um móvel que

se desloca sobre a reta r, partindo do 0, considerado a origem, ele se

desloca três medidas e em seguida muda o sentido do movimento e se

desloca duas medidas, ao final dos movimentos se encontra a uma

distância da origem. Caraça propõe que podemos obter o resultado do

deslocamento deste móvel por meio de uma subtração do tipo 3 – 2 = 1.

No entanto, Caraça afirma, que nem sempre isto é possível, pois

se considerarmos um móvel que parte da origem e se desloca quatro

medidas, pára e retrocede seis medidas, a sua posição final será duas

medidas à esquerda da origem; “mas este resultado é impossível de

obter por uma subtração” (p. 96), visto que o minuendo 4 é menor que o

subtraendo 6. Nas palavras de Caraça, “se desejamos obter, sempre, resultados de problemas como os postos acima, temos que nos libertar

da impossibilidade da subtração” (p. 97). Para isso se instaura a

necessidade da criação de um novo campo numérico, os números

relativos.

87

Para Caraça, a definição de um número relativo é dada da

seguinte forma: “Seja, a e b dois números reais quaisquer: à diferença a

– b chamaremos número relativo, que diremos positivo, nulo ou

negativo conforme for a > b, a = b, a < b” (CARAÇA, 1963, p. 97).

Nesse sentido, a representação dos números relativos na reta numérica é

organizada a partir da origem que passa a corresponder ao número zero.

Nessa reta, a partir do zero, tomam-se dois sentidos opostos,

estabelecendo-se que a direita do zero corresponde ao sentido positivo e

a esquerda do zero o sentido negativo. Agora, nesta reta dos relativos,

podemos então representar os movimentos mencionados anteriormente

sobre a reta, da seguinte forma: a diferença 3 – 2 é o número relativo

positivo 1; a diferença 4 – 6 é o número relativo negativo – 2.

Segundo Caraça, “os elementos novos que aparecem no campo

dos relativos são os números negativos; os números positivos são os

números reais anteriormente conhecidos, incorporados agora no novo

campo com uma qualificação nova” (CARAÇA, 1963, p. 97).

Com a ampliação dos conjuntos numéricos, muitas

impossibilidades foram resolvidas ao longo do caminho, por exemplo:

a) a divisão de 3 por 2 que antes não era possível nos Naturais, agora ela

é perfeitamente solucionada no campo dos números racionais;

b) A √ que não era possível de ser calculada nos racionais, com a

ampliação para os Reais, ela foi definitivamente elucidada;

c) A subtração do tipo 4 – 7 que não era solucionada nos Naturais,

passou a ser compreendida e resolvida no campo dos Relativos.

Bem, parece-nos, então, que a ampliação dos conjuntos

numéricos até aqui resolveram todas as impossibilidades. No entanto,

com a introdução dos números relativos, vimos surgir um outro tipo de

impossibilidade diferente de tudo o que havia se apresentado até o

momento, estamos falando das raízes de índice par com radicando

negativo.

Como consequência da regra de sinais da multiplicação, aplicadas

a potenciação, podemos perceber que a potência com expoente par será

positiva, e, a potência com expoente ímpar manterá o mesmo sinal da

base. Como a potenciação é a operação inversa da radiciação, estamos

frente, nas palavras de Caraça, a uma nova impossibilidade.

[...] essa dificuldade pode dar origem a um novo

campo numérico que se obterá por negação dessa

negação. Isto é evidentemente realizável mas,

antes de o fazer, ponhamos a pergunta - vale a

pena? Haverá porventura problemas cuja plena

88

resolução exija a ultrapassagem da negação

mencionada? (CARAÇA, 1963, p. 104).

O transcorrer da própria história mostrou que sim. Não era apenas

uma questão particular que poderia ser resolvido optando-se por adotar a

regra - × - = - e, assim, poder calcular, por exemplo, √ = -5, uma

vez que nesta lógica (- 5) × (- 5) = - 25. Esta questão vai além, tendo

em vista que os matemáticos se depararam, no transcorrer da história,

com situações problemas que recaiam em equações cujo algebrismo de

resolução fazia surgir uma raiz quadrada negativa, e isso impedia a

continuação do cálculo formal. Mas a situação do problema os fazia

entender que era possível achar um resultado.

Vejamos o seguinte problema proposto por Caraça: “Seja v o

volume dum cubo de aresta x, e v‟ o de um paralelepípedo retângulo

cuja área da base é 3 e cuja altura é igual à aresta do cubo, determinar x

de modo tal que seja v = v‟ + 1” (1963, p. 160). Este problema leva à

equação e, consequentemente, a fórmula de

resolução √

√

+√

√

, cujo resultado depende do

cálculo23

da √–

.

O fato da impossibilidade de calcular uma raiz quadrada negativa

no Conjunto dos números Reais e a situação que apontava para a

existência dessa raiz contribuiu para que os matemáticos avançassem no

cálculo. Essa dicotomia fez com que os matemáticos mantivessem a

regra - × - = + e, com essa atitude, permitiu-se a criação de um novo

número, o imaginário.

Que essa necessidade imperiosa tenha sido posta

em relevo pelas equações de 3º grau, e não pelas

do 2º grau (nas quais, porém, o fato da

impossibilidade analítica já aparecera muitos

séculos antes), mostra bem que o progresso da

Matemática se não realiza sempre em obediência a

um plano lógico de desenvolvimento interno, mas,

muitas vezes, pelas pressões exteriores, que a

23

Caraça (1963, p. 161) em nota de rodapé afirma que raiz desta equação está

compreendida entre 1,8 e 1,9, pois para x = 1,8 é v = 5,832 < v‟+ 1 = 6,4 e para

x =1,9 é já v = 6,859 > v‟ +1 = 6,7.

89

obrigam a procurar, às apalpadelas, o seu caminho

(CARAÇA, 1963, p. 161).

Com a engenhosa ideia da criação do símbolo (unidade

imaginária) e da igualdade foi possível ultrapassar o obstáculo

relacionado às raízes de índice par com radicando negativo. Assim,

√ = e, como consequência, fez-se necessário criar um novo

campo numérico, o campo dos Complexos. Nas palavras de Costa

(1971, p. 222):

A necessidade de levantar essa exceção, de modo

a tornar possíveis todas as operações sobre os

números reais, teve como resultado a criação dos

números complexos. Essa nova classe de números

é, portanto, de origem algébrica.

Essa capacidade que o homem civilizado, de hoje, tem para

fazer generalizações e abstrações, ao contrário do homem primitivo e até

mesmo de alguns filósofos que percebiam os números como

impregnados na natureza, Caraça chama de “princípio de extensão”, nas

suas palavras:

[...] o homem tem tendência a generalizar e

entender todas as aquisições do seu pensamento,

seja qual for o caminho pelo qual essas aquisições

se obtêm, e a procurar o maior rendimento

possível dessas generalizações pela exploração

metódica de todas as suas consequências. Todo o

trabalho intelectual do homem é, no fundo,

orientado por certas normas, certos princípios.

Aquele princípio em virtude do qual se manifesta

a tendência que acabamos de mencionar, daremos

o nome de princípio de extensão (CARAÇA,

1963, p. 10).

Esse trabalho intelectual do homem orientado por certas normas e

princípios, do qual Caraça nos fala, foi o que propiciou a ampliação dos

conjuntos numéricos e das suas operações. Assim, “As operações sobre números relativos definem-se por extensão imediata das operações com

o mesmo nome estudadas no campo real” (CARAÇA, 1963, p. 100).

O homem pelas suas generalizações e abstrações conseguiu

transpor o pensamento unicamente concreto e ascender ao campo formal

90

das operações. Foi justamente este obstáculo que Hankel (1867, apud

GLAESER, 1981) conseguiu superar ao mostrar que a explicação para a

regra de sinais - × - = + não poderia ser procurada na natureza, e que ela

precisaria ser demonstrada formalmente24

.

No entanto, no transcorrer da história, podemos perceber que os

números negativos assim como os números complexos foram rejeitados

durante muito tempo, porém a hesitação lógica perdeu espaço frente às

vantagens práticas. Neste caso, a √ que representava uma operação

impossível era aplicada no cálculo como um instrumento intermediário a

fim de se obter resultados reais como, por exemplo, √ × √ = - 1.

Desta forma, a multiplicação de dois números impossíveis resultava em

um número real.

Segundo Costa, os números complexos perderam o seu aspecto

paradoxal de resultados de operações impossíveis quando foram

aplicados ao cálculo das grandezas vetoriais (1971, p. 224). Assim,

podemos perceber que “as extensões sucessivas da ideia de número se

justificam pela necessidade que temos de simbolizar certas grandezas

concretas, com a sua divisibilidade, a sua orientabilidade, a sua

continuidade” (COSTA, 1971, p. 224).

No processo de ensino e aprendizagem dos números inteiros

relativos esse processo de generalização também precisa estar presente,

uma vez que a descoberta da existência do número negativo está ligada a

existência do positivo. Desta forma,

A compreensão do que seja número negativo

avança paulatinamente, por abstrações e

generalizações, na medida em que a criança

descobre que se negativo é menor do que positivo,

há um ponto de onde positivo e negativo se

originam. Isso leva, por sua vez, à necessidade de

nova ampliação, porque, nos naturais, a

assimilação do zero foi feita com base no

significado da ausência de quantidade. Agora, é

preciso ampliar este significado, ou seja,

diferenciá-lo da concepção de zero origem

(TEIXEIRA, 1993, p. 63).

24

Neste trabalho, entendemos como ensino formal aquele que atende aos

princípios da consistência interna da matemática, atendendo as regras para a

formação de fórmulas e permitindo generalizações.

91

Da mesma maneira que a concepção do zero precisa ser

ampliada, também, a concepção das operações de adição, subtração e

multiplicação precisam sofrer novas significações no conjunto dos

números inteiros relativos. Uma vez que até o 6o ano as crianças são

levadas a associar a ideia de adição com a ideia de juntar, a ideia de

subtração atrelada a tirar, e, por sua vez, a multiplicação é vista como

uma adição de parcelas iguais. No entanto, estas concepções precisam

ganhar um novo significado no conjunto dos relativos. Além das

operações, o sinal de + (mais) que outrora representava uma adição,

agora nos relativos pode representar um estado. Da mesma forma, o

sinal de – (menos) que no conjunto dos Naturais representava uma

operação de subtração, agora também passa a ser considerado como um

sinal predicativo. Neste sentido, vale salientar que:

Os números positivos e negativos representam

estados e operações, por exemplo: - 2 representa

ao mesmo tempo 2 unidades abaixo de zero,

portanto, que se localizam na região negativa,

como também significa “2 a menos que”,

indicando a operação de deslocamento, que

produzirá transformações em um certo sentido (no

caso de número negativo significa deslocar a

esquerda e, de positivo, deslocar a direita)

(TEIXEIRA, 1993, p. 64).

Esta confusão entre os sinais operatórios e predicativos, de

acordo com Glaeser (1981), foi percebida primeiramente por Cauchy em

meados do século XIX que os diferenciou como sinais operatórios

aqueles que designam uma ação (aumentar, diminuir) e os predicativos

aqueles que qualificam um estado (positivo ou negativo).

No nível de aprendizagem, essas ampliações e ressignificações

das operações dos naturais para os relativos requerem uma atenção

especial. Podemos pensar no sentido da congruência semântica

apresentada por Raymond Duval através da sua Teoria dos Registros de

Representação Semiótica.

4.2 Os Registros de Representação Semiótica

Nesta teoria, o estudo da matemática se estabelece com base em

representações, pois os objetos matemáticos não sendo acessíveis pela

percepção o fazem pela representação. Desta forma, surge a necessidade

das representações semióticas para poder dar representantes aos objetos

92

matemáticos e, por outro lado, a possibilidade de operar com esses

objetos matemáticos dependem de um sistema de representação

semiótico.

Desse modo, percebe-se que surge um novo regime de saber

pautado na ordem da representação, onde a apreensão do objeto

matemático passa por intermédio de suas representações. Essas

representações foram o ponto principal para o desenvolvimento do

conhecimento matemático, pois elas são imprescindíveis na formação e

na construção de conhecimentos.

[...] o conhecimento é veiculado e limitado pelas

representações. Limitado porque, para se ter

conhecimento, é preciso que o objeto do

conhecimento esteja em presença do sujeito do

conhecimento – é preciso que o objeto do

conhecimento seja dado a conhecer, o que ocorre

por meio das representações. Estas possibilitam o

acesso aos objetos do conhecimento. (...) As

representações, enquanto parte concreta que

relaciona o objeto do conhecimento e o sujeito

que aprende, se estabelece como elemento

importante no processo de ensino e aprendizagem

da matemática (COLOMBO; FLORES;

MORETTI, 2007, p. 185).

Porém, é imprescindível salientar “[...] o entendimento de que

nenhum dos registros de representação „é‟ o objeto matemático, mas

eles apenas o „representam‟, estão „no lugar dele‟ para, assim, permitir o

acesso a esses objetos matemáticos” (COLOMBO; FLORES;

MORETTI, 2008, p. 45). Nesse sentido, é que Duval (1993) chama a

atenção para o paradoxo cognitivo do pensamento matemático:

[...] de um lado, a apreensão dos objetos

matemáticos só pode ser uma apreensão

conceitual e, de outro, é somente pelo meio de

representações semióticas que uma atividade

sobre os objetos matemáticos é possível. Este

paradoxo pode constituir-se num grande círculo

para a aprendizagem. Como sujeitos, em fase de

aprendizagem, poderiam não confundir os objetos

matemáticos com suas representações semióticas

se eles só podem tratar com representações

93

semióticas? (DUVAL, 1993, p. 38, tradução

nossa)25

.

Muitas vezes no ensino não damos a devida importância ao

paradoxo cognitivo do pensamento matemático devido ao fato de

estarmos mais atentos às representações mentais do que às

representações semióticas. Segundo Duval, as representações mentais

dizem respeito “[...] às conceitualizações que um indivíduo pode ter

sobre um objeto [...]” (DUVAl, 1993, p. 38, tradução nossa)26

, ao passo

que, as representações semióticas “[...] são produções constituídas pelo

emprego de signos pertencentes a um sistema de representações que tem

seus embaraços próprios de significação e de funcionamento” (DUVAL,

1993, p. 39, tradução nossa)27

.

Ainda, segundo Duval, essas representações semióticas não são

somente para fins de comunicação, mas também são essências para as

atividades cognitivas do pensamento. Neste sentido, os registros de

representação semiótica são fundamentais tanto para a criação de

objetos matemáticos como para a sua apreensão.

Numa aula de matemática, por exemplo, o – 2, objeto externo, é

utilizado para estabelecer a relação com as noções e ideias do conceito

desse número. Desta forma, o emprego do signo é como um

instrumento internalizado, operado em nível mental. Assim, dois

deslocamentos à esquerda na reta dos números inteiros, a temperatura de

dois graus abaixo de zero, dois metros de profundidade são instrumentos

externos. As respectivas representações são signos internos.

Esse processo de comunicação e interpretação dos signos na

mente do sujeito é denominado semiose. Em outras palavras, a semiose

é a apreensão ou a produção de uma representação semiótica. Atrelado a

esse processo, temos também a noesis, que é a apreensão conceitual de

um objeto. Logo, percebe-se que, de acordo com Duval, “[...] a noesis é

25

[...] d‟une part, l‟appréhension des objets mathématiques ne peut être qu‟une

appréhension conceptuelle et, d‟autre part, c‟est seulement par le moyen de

représentations sémiotiques qu‟une activité sur des objets mathématiques est

possible. Ce paradoxe peut constituer un véritable cercle pour l‟apprentissage.

Comment des sujets en phase d‟apprentissage pourraient-ils ne pas confondre

les objets mathématiques avec leurs représentations sémiotiques s‟ils ne peuvent

avoir affaire qu‟aux seules représentations sémiotiques? 26

[...] des conceptions qu‟un individu peut avoir sur um objet [...]. 27

[...] sont des productions constituées par l‟emploi de signes appartenant à um

système de représentation qui a ses contraintes propres de signifiance et de

fonctionnement.

94

inseparável da semiose” (DUVAL, 1993, p. 40, grifos do autor, tradução

nossa)28

.

A coordenação de muitos registros de representação semiótica

aparece como uma atividade fundamental para a apreensão conceitual

dos objetos, que, por sua vez, não deve ser confundido com suas

representações. O objeto deve ser reconhecido em cada uma das suas

representações possíveis, pois somente nessas condições é que a

representação dá acesso ao objeto representado (DUVAL, 1993).

Dentre a diversidade de representações semióticas, Duval agrupa-

as em quatro grandes grupos de registros, sendo eles: a linguagem

natural, as escritas algébricas e formais, as figuras geométricas e as

representações gráficas (2005). Segundo Duval (1993), para que um

sistema semiótico possa ser considerado um registro de representação,

ele deve promover três atividades cognitivas fundamentais ligadas a

semiose: A formação de uma representação identificável, o tratamento e

a conversão.

a) A formação de uma representação identificável como uma

representação de um registro dado tem por finalidade assegurar as

condições de identificação e de reconhecimento da representação, como

também a possibilidade de sua utilização para tratamentos. De um modo

geral, são regras de conformidade que já se encontram estabelecidas,

dessa forma não é competência do sujeito criá-las, mas apenas usá-las

para reconhecer as representações. Neste sentido, não cabe aos nossos

alunos criar o conjunto dos números relativos, mas apropriar-se dele e

de suas regras de conformidade para a construção das operações

fundamentais.

b) O tratamento de uma representação é a transformação interna a

um registro, ou seja, é a transformação dessa representação dentro do

registro onde ela foi formada, sendo que, em cada registro, há regras de

tratamentos próprios que variam em quantidade e natureza. Por

exemplo, quando trabalhamos com a operação de adição de números

relativos, o tratamento exige a compreensão das regras algorítmicas

próprias desses números.

Precisamos ressaltar que os tratamentos estão ligados a forma e

não ao conteúdo do objeto matemático, neste sentido tomemos o

exemplo fornecido por Duval (2012, p. 99):

4/2, (1+1) e √ são formas escritas que designam

um mesmo número, quer dizer, são expressões

28

[...] la noésis est inséparable de la sémiosis.

95

que fazem referência a um mesmo objeto. Mas

não possuem o mesmo significado, uma vez que

não são reveladores do mesmo domínio de

descrição ou do mesmo ponto de vista: a primeira

exprime o número em função de propriedades de

divisibilidade e razão, a segunda em função da

recorrência à unidade. Uma simples mudança na

escrita é suficiente para exibir propriedades

diferentes do objeto, mesmo se for mantida a

mesma referência.

Desse modo, os tratamentos efetuados com número fracionário

4/2, são diferentes dos tratamentos efetuados com a expressão (1 + 1),

embora as duas expressões sejam representações do mesmo objeto

matemático.

O fato de que duas representações distintas para

um mesmo objeto têm cada uma delas sentidos

diferentes, logo, tratamentos diferenciados,

implicam em um custo cognitivo também

diferente. Somar dois números fracionários, por

exemplo, não tem o mesmo custo cognitivo que

somar os mesmos dois números em sua forma

decimal. Como foi visto, tudo depende do sentido

que se dá para cada uma das formas da

apresentação do objeto matemático (FLORES,

2006, p. 97).

Na maioria das vezes, no ensino não nos preocupamos com os

diferentes tipos de registros para um mesmo objeto matemático e

dificilmente nos damos conta de que as diferentes formas de representar

o objeto matemático possam apresentar dificuldades para nossos alunos.

Assim, nos processos pedagógicos, geralmente, somente esse tipo de

transformação interna – tratamento - que chama a atenção, pois ele

corresponde aos procedimentos de justificação e prova.

c) A conversão é a transformação de uma representação dada em

um registro, em uma representação de um outro registro, mantendo os

mesmos objetos revelados, conservando a sua totalidade, ou apenas uma

parte do conteúdo da representação inicial. Não podemos, de forma

alguma, confundir a conversão com o tratamento. A conversão se

estabelece entre registros diferentes, enquanto o tratamento acontece

dentro do mesmo registro. Por exemplo, passar a representação da

96

operação numérica (-3) + (+5) para uma representação geométrica na

reta dos inteiros indica uma conversão. Ilustrando:

Figura 6 - Representação geométrica da adição (-3) + (+5)

- 4 - 3 - 2 - 1 0 + 1 + 2 + 3

Fonte: Autora (2013)

No entanto, o simples cálculo dessa operação (-3) + (+5) sem

uma mudança de registros consiste num tratamento. A conversão não

tem um papel de prova ou justificação nos processos matemáticos,

talvez, por esse motivo, ela não desperte tanto a atenção nesses

processos.

[...] como se se tratasse somente de uma atividade

lateral, evidente e prévia à “verdadeira” atividade

matemática. Mas, do ponto de vista cognitivo, é a

atividade de conversão que, ao contrário, aparece

como a atividade de transformação

representacional fundamental, aquela que conduz

aos mecanismos subjacentes à compreensão

(DUVAL, 2005, p. 16).

Assim, de acordo com este autor, podemos perceber que a

essência da atividade matemática repousa na mobilização simultânea de

ao menos dois registros de representação ao mesmo tempo. Baseado

nesse raciocínio, Duval levanta a hipótese de que a compreensão em

matemática supõe a coordenação de, ao menos, dois registros de

representações semióticas. Nas palavras de Duval, “a compreensão da

matemática implica a capacidade de mudar de registro” (2005, p. 21).

Neste sentido, percebemos então, em consonância com esse autor, que é

no trânsito entre esses diversos registros de representação que se

encontra a “chave” para a aprendizagem em matemática.

Duval (1993) chama a atenção para o cuidado que devemos ter

ao tratar da conversão, para que esta não seja confundida com a

codificação e a interpretação. Pois, segundo ele, a interpretação requer

uma mudança de quadro teórico, ou uma mudança de contexto, o que

não implica numa mudança de registro. E a codificação é a transcrição

97

efetuada em meio a uma série de substituições, aplicando regras de

correspondência ou utilizando substituições. Porém, a conversão não

pode ser obtida pela aplicação de regras de codificação. “Não existem, e

não podem existir regras de conversão como existem regras de

conformidade e regras de tratamento” (DUVAL, 1993, p. 43, tradução

nossa)29

.

A atividade de conversão pode ser analisada ao compararmos a

representação no registro de partida com a representação no registro de

chegada. A substitutividade é uma característica fundamental do

funcionamento cognitivo do pensamento matemático, e esse processo de

substituição de uma expressão de uma rede semântica a uma expressão

de outra rede semântica aparece, muitas vezes, em situações de

aprendizagem, como um salto dificilmente transponível para os

estudantes. É relativamente a essa substitutividade que duas relações

devem ser consideradas: a relação de equivalência referencial e a relação

de congruência semântica.

Congruência semântica e a atividade de conversão

Um dos obstáculos encontrados por muitos alunos nas suas

aprendizagens matemáticas está ligado ao fato de que a equivalência

referencial destaca-se da congruência semântica. Sobre este assunto,

Duval destaca:

Duas expressões podem ser sinônimas ou

referencialmente equivalentes (elas podem

“querer dizer a mesma coisa”, elas podem ser

verdadeiras ou falsas ao mesmo tempo) e não

serem semanticamente congruentes: neste caso, há

um custo cognitivo importante para a

compreensão (DUVAL, 2012, p.100).

Geralmente, quando ocorre a passagem de uma representação

semiótica a outro sistema de maneira espontânea diz-se que há

congruência semântica. Para isso, ela deve atender a três condições, de

acordo com Duval (2004, p. 53):

Correspondência semântica entre as

unidades significantes que as constituem.

29

Il n‟existe et il ne peut exister de règles de conversion comme il existe des

règles de conformité et des règles de traitement.

98

Univocidade “semântica” terminal, em que

para cada unidade significante elementar de

partida, corresponde a uma só unidade

significante elementar no registro de chegada.

A ordem dentro da organização das

unidades significativas de partida é mantida na

representação de chegada.

Porém, quando não se cumprem um desses critérios, as

representações não são congruentes entre si e a passagem de um sistema

de representação a outro não acorre de imediato (DUVAL, 2004, p. 17).

Em outras palavras, poderíamos dizer, “a grosso modo”, que há

congruência semântica quando o aluno reconhece facilmente o objeto

matemático, ao passo que, quando esse reconhecimento não ocorre tão

facilmente, diz-se que não há congruência semântica. Dessa forma, o

problema da congruência ou da não-congruência semântica de duas

apresentações de um mesmo objeto é a distância cognitiva entre essas

duas representações. Quanto maior a distância cognitiva, maior será

também o custo de passagem de uma representação semiótica a outra, e,

também, maior será o risco do processo matemático não ser efetuado ou

entendido pelos alunos.

Vejamos um exemplo que poderá nos ajudar a entender melhor o

caso da congruência semântica apresentada por Duval:

Neste exemplo, podemos destacar a identidade entre a frase e a

expressão 12 – 5, onde o verbo “perdeu” pode ser facilmente associado

à operação de subtração. Percebemos que as ordens da apresentação dos

dados numéricos na frase são conservados na mesma ordem da

operação. Desta forma, podemos dizer que existe a congruência

semântica entre a frase e a expressão. Neste caso também pode ser

notada a equivalência referencial entre a frase e a expressão aritmética.

Porém, na seguinte situação: “No início de uma tarde de inverno

de uma cidade da Serra Catarinense, os termômetros registram três graus

Celsius e, no início da noite, os termômetros registraram dois graus

Celsius negativos. Qual a variação da temperatura nesse período?” Esta situação possui congruência semântica com a expressão (+3) + (-2).

Entretanto, a situação e a expressão não são referencialmente

equivalentes. A situação descrita acima não possui congruência

semântica com a expressão (-2) – (+3), contudo a situação e a expressão

99

aritmética são referencialmente equivalentes e conduzem a resolução

correta do problema.

Duas expressões diferentes podem ser

referencialmente equivalentes sem que sejam

semanticamente congruentes. Inversamente, duas

expressões podem ser semanticamente

congruentes sem que sejam referencialmente

equivalentes (DUVAL, 2012, p.100).

Ainda, nesse sentido, Moretti aponta para os reflexos da

congruência semântica no ensino:

Problemas discursivos que são semanticamente

congruentes com a expressão matemática, mas

que não são referencialmente equivalentes, levam

a uma taxa muita baixa de sucesso; da mesma

forma acontece com problemas que são

referencialmente equivalentes, mas não são

semanticamente congruentes. A resolução de

problemas que solicitam a passagem de um

registro discursivo para um registro aritmético ou

algébrico exige a equivalência referencial

(MORETTI, 2012, p. 705).

Nessa direção, o professor deve ficar atento ao fato de que nem

sempre a congruência semântica conduz a resultados bem sucedidos na

resolução de problemas matemáticos, e que, produzindo diferentes

formulações para um mesmo problema, poderá, desta forma, contribuir

para uma verdadeira compreensão matemática.

Dois fenômenos podem ser observados, no que se refere à

natureza cognitiva, nas operações de conversão. Primeiramente, as

variações de congruência semânticas, já expostas anteriormente, e a

segunda diz respeito à heterogeneidade dos dois sentidos de conversão.

“Nem sempre a conversão se efetua quando se invertem os registros de

partida e de chegada” (DUVAL, 2005, p. 20).

Segundo Duval (2005), no ensino da matemática, na maioria das

vezes, um sentido de conversão é privilegiado, reforçando a falsa ideia

de que o treinamento realizado num sentido estaria automaticamente

exercitando a conversão no outro sentido. Esta é uma visão muito

ingênua que se propaga nas situações de ensino da matemática. Na

maioria das vezes, os estudantes não conseguem perceber o mesmo

100

objeto matemático representado em sistemas semióticos diferentes. Por

exemplo, a representação do cálculo de uma adição de números relativos

e a sua representação através de deslocamentos na reta numérica,

dificilmente um aluno, em nível de ensino fundamental e até mesmo

médio, consegue estabelecer as relações entre o cálculo e a sua

representação geométrica na reta numérica, e vice-versa.

Essa coordenação está longe de ser natural e observa-se, então, o

que Duval chama de um “enclausuramento de registros de

representação” (DUVAL, 1993, p. 52). O aluno “enxerga” o objeto

matemático apenas por um sistema de representação. Essa ausência de

coordenação não impede toda a compreensão, mas esta compreensão

limitada, que se dá através do mono-registro, conduz um trabalho às

cegas onde o aluno não tem um controle do sentido do que é feito.

Duval (2012) afirma que mudanças na escrita permitem mostrar

propriedades diferentes de um mesmo objeto matemático, porém

conservando a mesma referência.

Os diferentes registros de representação se completam, dando-nos

uma melhor compreensão do objeto matemático. A aprendizagem de um

objeto matemático torna-se significativa quando o aluno, além de

realizar os tratamentos em diferentes registros de representação,

consegue, também, naturalmente converter um registro de representação

em outro. Do ponto de vista cognitivo, de acordo com Duval (2005), a

atividade de conversão é essencial na condução à compreensão.

Conseguir registrar as compreensões matemáticas e compreender

o significado da escrita dentro da matemática são atividades essenciais

no fazer matemático, possibilitando uma aprendizagem mais

significativa. Desse modo, para construir o saber, o aprendiz aplica os

seus [...] conhecimentos e modos de pensar ao objeto

de estudo; age, observa, seleciona os aspectos que

mais chamam a sua atenção, estabelece relações

entre vários aspectos deste objeto e atribui

significados a ele, chegando a uma interpretação

própria (MICOTTI, 1999, p. 158).

Dessa forma, Duval (2005) afirma que a originalidade da

atividade matemática está na mobilização simultânea de ao menos dois

registros de representação, ou na possibilidade de trocar a todo o

momento de registro de representação. Uma vez que o principal papel da

representação semiótica é que ela pode ser convertida em representações

101

equivalentes em um outro sistema semiótico, que podem levar a

significações diferentes pelo sujeito, de um mesmo objeto matemático.

Contudo, ainda, em conformidade com este autor, esse processo

não se estabelece tão facilmente, tendo em vista que os alunos

apresentam muita dificuldade no estudo da matemática. Em

determinadas situações, o aluno até consegue representar um objeto

matemático de maneiras diferentes, mas é incapaz de fazer as

conversões necessárias para a apreensão desse objeto.

Ao fazer uma análise do desenvolvimento dos conhecimentos e a

dos obstáculos encontrados nas representações do raciocínio, Duval

(2004) ressalta que os obstáculos encontrados pelos alunos na

compreensão de textos e na aquisição de tratamentos lógicos e

matemáticos podem ser compreendidos através dos três fenômenos que

estão estreitamente ligados.

O primeiro diz respeito aos vários registros de representação

semiótica. No ensino da matemática, dispomos de uma variedade de

registros de representação semiótica: a linguagem natural, a linguagem

simbólica, as figuras geométricas, os gráficos. Esses registros não

podem ser considerados como um mesmo tipo de registro, eles são

sistemas de representações muito diferentes que atuam cada um, de

maneira específica sobre a aprendizagem. Mais especificamente, no caso

dos números relativos, dispomos de uma variedade de registros para

representar um mesmo objeto. Por exemplo, a frase “Pela manhã os

termômetros registraram – 2º C, com o passar do dia, as temperaturas

subiram 7ºC”, pode ser representada pela expressão (-2) + (+7) e,

também, por meio de um deslocamento na reta numérica:

Figura 7 - Representação geométrica da adição (-2) + (+7)

- 3 - 2 - 1 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 Fonte: Autora (2013)

Neste exemplo, nós apresentamos o mesmo objeto matemático,

utilizando três registros de representação semiótica diferentes. A

linguagem natural, representada pela frase, a linguagem simbólica

utilizada através do cálculo e a representação geométrica apresentada

através da reta numérica.

102

O segundo fenômeno, de acordo com Duval (2004), refere-se à

diferenciação entre o representante e o representado, em outras

palavras, a diferença existente entre a forma e o conteúdo de uma

representação semiótica. A forma escolhida para representar o objeto

matemático influencia no conteúdo da sua representação. Duas

expressões podem fazer referência a um mesmo objeto, porém elas não

possuem a mesma significação, haja vista que elas não são reveladoras

do mesmo domínio de descrição ou do mesmo ponto de vista. As

diferentes formas de representar um objeto matemático permitem exibir

propriedades diferentes desse objeto mantendo a mesma referência. No

exemplo que citamos acima, podemos perceber que apesar de os três

registros utilizados representarem o mesmo objeto, eles possuem

significações diferentes.

Nesse sentido, Duval (1993) ressalta a complementaridade dos

registros dizendo que “toda representação é cognitivamente parcial em

relação ao que ela representa e que de um registro a outro não estão os

mesmos aspectos do conteúdo de uma situação que são representados”

(DUVAL, 1993, p. 49, grifos do autor, tradução nossa)30

. Desse modo,

podemos observar que a variedade de registros, utilizados para o ensino

de um objeto matemático, poderá contribuir para que o sujeito tenha

uma ideia global a respeito desse objeto matemático, permitindo que o

aluno não confunda o objeto matemático com a sua representação.

O terceiro fenômeno diz respeito à coordenação entre os

diferentes registros de representação semiótica. Para efetuar a

conversão de um sistema semiótico num outro sistema semiótico, não

bastam regras de correspondência, mesmo porque se existisse uma regra

não seria conversão. O maior obstáculo que se instala na realização

espontânea da coordenação dos diferentes registros de representação

semiótica está relacionado ao fenômeno da não-congruência semântica.

No exemplo que citamos anteriormente, dificilmente um aluno

estabelece uma relação direta entre o cálculo e a sua representação na

reta numérica, uma vez que não há uma congruência semântica.

Para analisarmos as dificuldades encontradas no processo de

ensino e aprendizagem da matemática, precisamos estudar a conversão

das representações, os procedimentos cognitivos que levam o aluno a

apreensão do objeto matemático. A articulação de diferentes registros,

de acordo com Duval (2005), é uma condição necessária para a

30

[...] toute représentation est cognitivement partielle par rapport à ce qu’elle

représente et que dún register à un autre ce ne sont pas les mêmes aspects du

contenu d‟une situation qui sont représentés.

103

compreensão em matemática, no entanto, várias abordagens didáticas

não levem isto em conta, porque o que chama a atenção nos processos

de ensino são os tratamentos e não a conversão.

O papel da diversidade dos registros de representação para o

funcionamento do pensamento humano

Segundo Duval (1993), a necessidade de uma diversidade de

registros para o funcionamento do pensamento humano se funda sobre

três aspectos: a economia de tratamento, a complementaridade dos

registros e a conceitualização implica uma coordenação do registro de

representação.

Sobre a economia de tratamento, Duval sublinha que “A

existência de muitos registros permite mudar de registro, e a mudança de

registro tem por objetivo permitir a realização de tratamentos de uma

maneira mais econômica e mais poderosa” (1993, p. 49)31

. Desse modo,

efetuar o cálculo numérico da expressão (-2) + (+15) + (-27) + (+12) é

mais econômico do que resolvê-lo através de deslocamentos sobre a reta

numérica. São registros diferentes que apresentam um custo de

tratamento completamente diferente.

Com relação à complementaridade de registros, Duval destaca

que:

[...] a natureza do registro semiótico que é

escolhido para representar um conteúdo (objeto,

conceito ou situação) impõe uma seleção de

elementos significativos ou informacionais do

conteúdo que o representamos. Esta seleção se faz

em função de possibilidades e de embaraços

semióticos do registro escolhido (DUVAL, 1993,

p. 49, tradução nossa)32

.

Dessa forma, uma situação representada na linguagem natural

não oferece as mesmas possibilidades de representações que um cálculo

31

L‟existence de plusieurs registres permet de changer de registre, et ce

changement de registre a pour but de permettre d‟effectuer des traitementes

d‟une façon plus économique et plus puissante. 32

[...] la nature du registre sémiotique qui est choisi pour représenter un contenu

(objet, concept ou situation) impose une sélection des éléments significatifs ou

informationnels du contenu que l‟on represente. Cette sélection se fait em

fonction des possibilités et des contraintes sémiotiques du registre choisi.

104

numérico ou que uma representação geométrica, como nos exemplos

citados anteriormente. Isto porque, como nos aponta Duval (1993), toda

representação é cognitivamente parcial em relação ao que ela representa

e que as diferentes formas de representar um mesmo objeto matemático

exprimem aspectos diferentes do mesmo conteúdo.

A complementaridade de registro é fundamental, pois nenhum

dos registros é capaz de representar o objeto matemático em seu todo.

Esse fato acaba exigindo que o professor promova um trabalho

utilizando-se de várias representações do mesmo objeto matemático,

visando tanto o desenvolvimento das capacidades globais do indivíduo,

como a não confusão do objeto matemático com a sua representação.

Para Duval, a conceitualização implica uma coordenação do

registro de representação. Assim,

A compreensão (integral) de um conteúdo

conceitual repousa sobre a coordenação de ao

menos dois registros de representação, e esta

coordenação se manifesta pela rapidez e

espontaneidade da atividade cognitiva de

conversão (DUVAL, 1993, p. 51, tradução

nossa)33

.

Esta coordenação,de acordo com este autor, entre pelo menos

dois registros de representação, está longe de ser natural, isto porque os

alunos não conseguem perceber o mesmo objeto através de

representações diferentes. A este fato Duval chama de um

“enclausuramento de registros de representação” (DUVAL, 1993, p. 52).

No ensino da multiplicação de números relativos, geralmente nos

livros didáticos, a operação é dada e se espera que o aluno apresente o

resultado, dificilmente o caminho inverso é proposto. Desse modo,

como o aluno poderá perceber que a frase “O produto de dois números

inteiros é - 6” e a expressão (-2) × (+3) representam o mesmo objeto

matemático34

? Duval (1993) salienta que a ausência de uma

coordenação não impede toda a compreensão, contudo esta

33

La compréhension (intégrative) d‟un contenu conceptuel repose sur la

coordination d‟au moins deux registres de représentation, et celle coordination

se manifeste par la rapidité et la spontanéité de l‟activité cognitive de

conversion. 34

Não só o produto (-2) × (+3) representa -6, mas também (+2) × (-3), (-6) ×

(+1) e (+6) × (-1).

105

compreensão limitada a um só registro faz com que os conhecimentos

adquiridos tornem-se pouco ou nada mobilizados.

Dentre as razões que podem explicar o fenômeno do

enclausuramento de registros de representação, Duval (1993) associa os

fenômenos da congruência semântica. Haja vista que, quando há

congruência semântica, a conversão é realizada quase que

intuitivamente. No entanto, quando não há congruência semântica, a

conversão é muito custosa e torna-se quase que como uma barreira

intransponível. No ensino dos inteiros relativos, o fenômeno da não

congruência semântica pode ser percebido em muitas situações, como

por exemplo, já citado anteriormente, o cálculo de uma expressão

numérica e a sua representação na reta numérica. Mas, agora vamos

tratar de um outro caso de não congruência semântica nos relativos, o

que diz respeito as operações de adição, subtração e multiplicação

desses números.

A congruência semântica e as operações de adição, subtração e

multiplicação com os números inteiros relativos

Na atividade matemática, o ato de substituir uma fórmula ou um

cálculo por uma outra expressão referencialmente equivalente é

essencial. Você já pensou na possibilidade de resolver uma situação

problema sem substituí-la por outra forma de registro permanecendo

somente na linguagem natural? Neste sentido, a substitutividade de

expressões é uma propriedade que está ligada a estrutura de todo

registro semiótico, ela é uma conduta muito importante e frequente nos

procedimentos matemáticos.

Os procedimentos utilizados na atividade matemática implicam

numa substitutividade tanto inter-registro quanto intra-registro, ambos

pautados numa mesma referência.

A substitutividade é uma característica

fundamental do funcionamento cognitivo do

pensamento matemático e é relativamente a esta

substitutividade que os fenômenos de congruência

e não-congruência semântica são importantes

(DUVAL, 2012, p.113).

Para mostrar, por exemplo, que o deslocamento da reta:

106

Figura 8 - Representação geométrica da adição (+5) + (-8)

- 3 - 2 - 1 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 Fonte: Autora (2013)

pode ser representado pela operação (+5) + (-8) exigiu uma substituição

inter-registro, que não apresenta uma congruência semântica com a sua

representação geométrica. A congruência semântica conduziria a

expressão (+5) + (-3) que, por sua vez, se diferencia da equivalência

referencial.

Nas operações com relativos, é que os fenômenos de

congruência semântica se destacam. Até a apresentação dos números

inteiros os alunos concebiam, nos naturais, que a adição estava

rigorosamente atrelada a ideia de juntar. A subtração corresponderia à

operação de tirar, e a multiplicação como uma adição de parcelas iguais.

Contudo, mesmo que estes conceitos sejam ampliados nos

relativos, os fenômenos da não congruência semântica insistem em

aparecer. Seja a seguinte situação, por exemplo, “Um submarino

encontra-se a -250 metros de profundidade. Depois de passados 30

minutos encontra-se a -180 metros. Esse submarino subiu ou desceu?

Quantos metros?” Esta expressão é referencialmente equivalente a

expressão (-180) – (-250) o que resulta numa subida de 70 metros

realizada pelo submarino. No entanto, a expressão possui congruência

semântica com a situação seria (-250) – (-180) o que levaria ao resultado

– 70, que significa dizer, o submarino desceu 70 metros.

Vejamos uma outra situação: “A temperatura registrada durante a

madrugada, em uma cidade, foi de - 6º C e no decorrer do dia a

temperatura aumentou 10ºC. Qual foi a variação da temperatura máxima

registrada neste dia?” Esta expressão é referencialmente equivalente a

expressão (-6) + (+10) o que indica que a temperatura máxima foi de

+4º.

No entanto, apesar da operação ser de adição foi preciso diminuir

os valores absolutos dos números para chegar ao resultado correto. Do

ponto de vista da congruência semântica, não seria de se estranhar que

um aluno chegasse ao resultado + 16, uma vez que a operação indicada é

uma adição.

Contudo, de acordo com Caraça, nos relativos tem-se que:

107

( ) ( ) ( ) ( ) isto é, somar um número negativo equivale a

subtrair o número positivo com o mesmo módulo;

subtrair um número negativo equivale a somar o

número positivo com o mesmo módulo. No

campo relativo, as duas operações aparecem-nos

assim unificadas numa só, que se chama adição

algébrica (CARAÇA, 1963, p. 101).

Desse modo, no caso dos relativos, a operação de adição pode

representar situações em que há acréscimo ou decréscimo, ou até mesmo

somas que dão resultado zero. Assim, “a adição deixa de ser apenas

acrescentar (um dos casos) para ter um novo significado, mais genérico,

de associação ou composição” (TEIXEIRA, 1993, p. 64). Da mesma

forma que a adição, a subtração também precisa ser ampliada. Para

Teixeira,

[...] a construção operatória da subtração supõe a

assimilá-la como inversa à adição, de tal forma

que em uma dada reunião ou associação de

elemento ( ) é possível chegar ao ponto

de partida, ( ), por exemplo, pela diferença

( ) ou seja, pela operação inversa

(TEIXEIRA, 1993, p. 64).

No entanto, neste trabalho, concordamos com Moretti (2012) e

defendemos a ideia de que a operação de subtração deve ser apresentada

aos alunos depois da operação de multiplicação, uma vez que neste

ponto os alunos já conhecem as regras de sinais e poderão simplificar

expressão do tipo ( ) e “ ( )”. Desta forma, o resultado

da expressão simplificada, aplicando a regra de sinais, conduziria ao que

Caraça (1963) chama de adição algébrica, podendo ser tratada como

deslocamentos sobre a reta dos inteiros, da mesma forma como acontece

com a adição dos relativos.

Defendemos esse ponto de vista, pois acreditamos que, ao

apresentar a operação da subtração como a operação inversa, estaríamos

conduzindo os alunos a efetuarem “manobras meio fantasiosas” para a

realização dessa operação. E, assim conduzindo o aluno ao

questionamento: Por que precisamos recorrer à operação inversa para

efetuar a subtração, uma vez que a adição não exige essa transformação?

108

A resposta a essa pergunta encontra-se justamente na regra de sinais.

Para que a subtração nos inteiros seja efetuada, precisamos aplicar a

regra de sinais a fim de obtermos uma adição algébrica. “Dada a

natureza do sistema dos inteiros, a subtração nada mais é que a

composição entre operadores, ou seja, uma adição” (TEIXEIRA, 1993,

p. 65).

No caso da multiplicação dos relativos, a barreira encontrada para

o seu ensino encontra-se na ideia que a multiplicação, nos naturais, é

concebida como uma soma de parcelas iguais. Nos inteiros, a

multiplicação de um número positivo por outro positivo, já dominada

nos naturais, e a multiplicação de um número positivo por um número

negativo pode ser perfeitamente entendida como uma repetição de

parcelas. Por exemplo, (+3) × (- 5) pode ser concebido como três

deslocamentos de (-5) que resulta em -15. Da mesma forma a

multiplicação de dois números positivos, por exemplo, (+4) × (+2) pode

ser entendido como quatro deslocamentos de (+2) que resulta em +8.

Todavia, esses exemplos se deparam com um obstáculo quando

se tenta explicar a multiplicação de dois números negativos. Nesse

sentido, Moretti (2012) nos apresenta o ensino da regra de sinais para o

campo multiplicativo, obedecendo ao Teorema de Hankel atendendo a

ideia do “princípio de extensão” proposto por Caraça, já citado

anteriormente. De acordo com o princípio de extensão, devemos

estender a propriedade distributiva dos positivos para o caso dos

negativos.

Moretti (2012) nos apresenta um exemplo com o objetivo de

explorar as distributividades à direita e à esquerda. Ele propõe um

quadro com duas regras de sinais na qual serão aplicadas a expressão (1

-3) × (-5 +1), vejamos:

Tabela 6 - A regra usual e outra regra de sinais

Regra usual Regra 2

+ × + = + + × + = +

+ × – = – + × – = –

– × + = – – × + = –

– × – = + – × – = –

Fonte: Moretti (2012)

109

“Observemos que na Regra 2 colocamos que – – = – o que é

diferente do que está definido na regra usual. Apliquemos estas duas

regras à expressão (1– 3)(–5 + 1)”:

Tabela 7 - Comparação entre duas regras de sinais para a multiplicação

(1– 3)( –5 + 1) Cálculo com a

Regra usual Cálculo com a Regra 2

Eliminando ambos

os parênteses –2 –4

= +8

–2 –4

= – 8

Eliminando o

parêntese à esquerda

e usando a

distributividade

–2 (–5 + 1)

= –2 –5 –2+1)

= 10 – 2

= +8

–2 (–5 + 1)

= –2 –5 –2 +1)

= –10 –2

= –12

Eliminando o

parêntese à direita e

usando a

distributividade

(1 – 3) –4

= 1–4 –3 –4)

= –4 + 12

= +8

(1 – 3) –4

= 1–4 – 3 –4)

= – 4 – 12

= –16

Fonte: Moretti (2012, p. 710)

Este exemplo mostra que os resultados obtidos pela regra usual

se mantêm, mesmo quando resolvidos de modos diferentes. O mesmo

não acontece com a regra 2. Este tipo de situação poderá conduzir o

aluno a fazer generalizações e abstrações. E,

[...] com base em abstrações de níveis mais

complexos, é possível compreender que se Z é

uma ampliação de N, o produto de Z tem que ser

uma extensão de N, portanto distributivo com

relação à soma, comutativo e associativo

(TEIXEIRA, 1993, p. 65).

Esse processo conduz as justificativas algébricas formais, tal

como demonstrou Hankel.

A congruência semântica pode ser percebida na multiplicação

dos relativos principalmente quando estes números estão associados ao

modelo comercial. Como uma dívida multiplicada por uma outra dívida

pode se transformar num ganho? De acordo com Duval, o fenômeno da

congruência semântica exerce um papel importante no interior de um

mesmo registro, mais particularmente, no discurso natural.

110

Se a formulação da questão é congruente à

formulação das informações dadas no enunciado

do problema e se essa formulação é também

congruente a uma formulação possível da

resposta, esta resposta será mais rápida do que no

caso da não-congruência (DUVAL, 2012, p. 104).

Segundo Duval (2012), a não-congruência semântica se

constitui como uma fonte de dificuldades, para os alunos,

independentemente do conteúdo matemático, uma vez que, a

[...] atividade matemática pode ser bem sucedida

se a sua apresentação e seu desenvolvimento não

exigirem alguma transformação entre as

expressões de formulações ou de representações

congruentes e, a mesma tarefa matemática dada

como uma variante que implique uma

manipulação de dados não congruentes, pode

conduzir ao insucesso (DUVAL, 2012, p. 110).

Desse modo, a passagem da frase “o produto de dois números

inteiros é + 10” para a expressão “(-2) × (-5)” exige uma manipulação

de dados não-congruentes e uma substitutividade inter-registro,

passando da linguagem natural para a linguagem numérica35

. Esta

passagem exige um custo cognitivo elevado, o que pode contribuir para

um insucesso. De acordo com Duval, os problemas ligados à

substituição inter-registro constituem um interesse particular para o

ensino geral da matemática, pois

[...] aprender a articular vários registros de

representação da informação e aprender a

diferenciar diversos tipos de funcionamentos

cognitivos poderão ser uma finalidade do ensino

de matemática que se mostra interessante e útil

aos não matemáticos (DUVAL, 2012, p. 116).

Os estudos realizados por Damm (2005) a respeito dos

problemas aditivos, apontam que a aprendizagem desses problemas deve

começar pela compreensão dos enunciados. Uma vez que esses

problemas podem apresentar ou não congruência semântica com os

35

Esta frase pode ser substituída por outros produtos de dois inteiros, mas em

todos os casos exigirá uma mudança inter-registro.

111

enunciados, o que de acordo com Duval (2005), constitui uma barreira

difícil de ser ultrapassada pela maioria dos alunos. Neste sentido, Damm

propõe um “modelo” de representação que comporta dois eixos

distintos:

Um primeiro eixo sobre o qual são marcadas as

diferentes relações correspondentes às diferentes

etapas (antes, depois, primeiro, segundo etc.) da

situação descrita no enunciado;

Um segundo eixo onde os dados operatórios são

situados em função da situação (temporal ou

outra) que lhe é designada no texto (DAMM,

2005, p.43).

Segundo Damm, este tipo de organização permite que a passagem

do texto ao tratamento aditivo ocorra naturalmente. O material utilizado

por Damm, nas suas experiências realizadas em situações de ensino e

aprendizagem, permite deslocamentos sobre uma semirreta graduada

(DAMM, 2005, p. 44). Este fato conduz a situações representáveis,

como por exemplo: o personagem que se desloca no elevador de seu

prédio; o personagem que passeia de barco num lago; o personagem que

escala uma montanha; o personagem que passeia na rua onde mora. Nas

palavras da autora:

Nossa experiência consistiu então em propor um

instrumento representativo aos alunos e ensiná-lo

a utilizar essas representações. Os resultados

obtidos nos problemas reconhecidos como os mais

difíceis em diferentes pesquisas (os problemas

não-congruentes) mostraram um aumento

significativo de acertos. Esse aumento de acertos

apresenta duas características: a) é muito

importante para todos esses problemas, uma vez

que passamos de taxas de 10% ou 20% antes do

trabalho com as representações, para taxas de 60%

a 80% após a sequência didática; b) o mais

importante é a estabilidade dos resultados,

verificada um ano após, em classes que haviam

trabalhado com as representações bidimensionais

(DAMM, 2005, p. 46).

À respeito da representação auxiliar, utilizada por Damm, Duval

(1999) salienta que ela “[...] serve de material para operações cuja

112

realização são necessárias para compreender o que a representação

principal representa” (DUVAL, 1999, p. 61). Assim, o ensino da adição

de números relativos pode ser conduzido através de deslocamentos

sobre um eixo graduado, utilizando-se uma representação auxiliar: a reta

numérica. Estaremos desse modo, atendendo a ideia do “princípio de

extensão” proposto por Caraça (1963), já citado anteriormente. E,

também favorecendo para que a passagem de um registro de

representação a um outro registro possa ocorrer de maneira mais natural

possível, tanto nos problemas onde há congruência semântica, quanto

nos problemas em que não há congruência semântica.

4.3 Os níveis de compreensão na concepção dos relativos

Coquin-Viennot (1985), a partir da aplicação de 14 questões a um

grupo de 366 alunos entre 11 a 15 anos (equivalente às quatro últimas

séries do ensino fundamental no Brasil), estabelece uma hierarquia nas

concepções que os alunos apresentam a propósito dos relativos. As

primeiras oito questões, desse teste, são de nível introdutório, pondo em

jogo aspectos variados dos relativos tais como: soma algébrica, relação

de ordem, etc. que de modo geral só possuem solução em Z. Os

exercícios 9 a 12 são propostos pelos manuais didáticos no momento da

apresentação da noção dos números relativos, eles apresentam uma

solução nos naturais, contudo as soluções nos inteiros são mais

econômicas. O exercício 13 exige procedimentos algébricos ou

aritméticos na sua resolução, e o exercício 14 utiliza os relativos numa

situação geométrica.

Com base nos resultados apresentados, Coquin-Viennot (1985, p.

175-179) tentou limitar grupos homogêneos de procedimentos o que

possibilitou a formação das concepções dos relativos. A saber:

Nível I – nessa concepção, os relativos são tratados como naturais, desse

modo o número é considerado nada mais que uma quantidade ou

medida, podendo ser apenas positivo. Percebe-se que somente a relação

de ordem começa a ser adquirida.

Nesse nível, encontramos como resposta a questão: “Classificar

em ordem crescente (utilizando o sinal <): -7, 5, -2, 6” a seguinte ordem

“2 < 5 < 6 < 7” utilizando, desse modo, a ordem dos naturais. Já na

resposta “-2 < -7 < 5 < 6 pode ser percebido a classificação dos

negativos antes dos positivos, embora ainda apareça -2 < -7.

113

Nível II – os alunos, nessa concepção, utilizam os naturais sempre que é

possível e permitido para obter uma boa resposta. Os números positivos

e negativos são utilizados separadamente, fazendo uma síntese em

seguida, e os problemas multiplicativos são apenas delineados.

Como exemplo de resposta para a questão: “Calcule: S = 2 – 2

+ 0 – 1 – 3 + 5” foi encontrado “+7 – 6 = +1” e também “2 – 2 + 0 – 1 –

3 + 5 = - 4 + 5 = 1” que mostra a separação das somas entre números

positivos e negativos.

Nível III – os problemas aditivos são resolvidos nos relativos e a relação

de ordem é estabelecida. A reta numérica é unificada, no entanto os

problemas multiplicativos não são ainda corretamente resolvidos.

Por exemplo, nesse nível de compreensão, os problemas de

ordenação numérica, como já citado anteriormente, são corretamente

respondidos. Assim, como os de ordenação no campo aditivo requeridos

pela questão: “x e y são dois números tais que x > y. Escrever a relação

de ordem para x – 2 e y – 3”. Contudo, os problemas multiplicativos de

ordenação ainda não foram alcançados como podemos perceber nas

respostas a questão: “x e y são dois números naturais tais que x > y.

Escrever a relação de ordem para -3x e -3y”. Respostas: -3x > -3y; -3 > -

3; -3 = -3 e também -3x < -3y. Os alunos se prendem ao fato de que

como x > y consequentemente a relação de ordem mais provável deve

ser -3x > -3y, não levando em consideração que há uma multiplicação

por um número negativo, o que acarreta numa inversão da relação.

Nível IV – esse nível de compreensão corresponde a um grupo muito

pequeno de alunos. A resolução de problemas aditivos é efetivamente

realizada no conjunto dos inteiros relativos, mesmo os problemas que

possuem uma solução nos naturais, e os problemas multiplicativos são

assimilados.

Na análise da passagem de uma concepção a outra, Coquin-

Viennot (1985) aponta que o nível IV é atingido por poucos alunos do

nível III, ou seja, embora esses alunos dominem muito bem os

problemas aditivos, eles encontram dificuldades na resolução dos

problemas multiplicativos. De acordo com Coquin-Viennot, “[...] é

justamente esse bom domínio aditivo, ou mais ainda seu fundamento

114

sobre o modelo concreto [...] que faz obstáculo à instalação do modelo

multiplicativo” (1985, p.180, tradução nossa)36

.

Coquin-Viennot destaca que Michelot (1966)37

procurou

demonstrar que a noção do número negativo só pode ser definida

corretamente pelo pensamento formal e declara que: “Aderimos

plenamente a esta noção dos relativos que só podem ser definidos ao

nível formal” (1985, p. 183, tradução nossa)38

. Deste modo, podemos

perceber que a posição de Coquin-Viennot e Michelot está em

consonância com o “princípio de extensão” proposto por Caraça e o

princípio de permanência estabelecido por Hankel, estendendo para os

negativos a propriedade distributiva da multiplicação.

Assim, no próximo capítulo, propomos uma sequência de ensino

em que os números relativos serão abordados pela via formal, atendendo

ao “princípio de extensão” que está em consonância com o princípio de permanência. Apresentamos a adição dos relativos como deslocamentos

sobre a reta numérica. A operação de multiplicação, atendendo ao

princípio de extensão, e, a subtração como uma simplificação das

expressões do tipo “a – (-b)” e “a – (+b)” em “a + b” e “a – b” onde a

utilização da regra de sinais se faz presente para que a expressão possa

ser substituída por uma adição algébrica como propõe Caraça.

36

[...] c‟est justement cette bonne maîtrise du domaine additif, ou plutôt son

fondement sur un modèle concret […] qui fait obstacle à l‟installation du

modèle multiplicative. 37

Michelot, A. La notion de zero. Paris: Vrin, 1985. 38

Nous adhérons pleinement à cette notion des relatifs qui ne peuvent être

définis qu‟au niveau formel.

115

5 CAMINHOS DA PESQUISA: METODOLOGIA E ANÁLISE

DOS RESULTADOS APRESENTADOS

Optamos por uma pesquisa direcionada para o Ensino da

Matemática, mais especificamente, para o ensino da regra de sinais dos

inteiros relativos, o que nos impulsionou a criação e aplicação de uma

sequência didática. Desta forma, neste capítulo, iremos expor a nossa

metodologia de trabalho adotada para propor esta sequência. Nela, os

números inteiros relativos são abordados pelo “princípio de extensão”

proposto por Caraça (1963), opondo-se ao modelo comercial assim

denominado por Glaeser (1981), levantando-se as situações de

congruência semântica que se apresentam nesse processo e a sua

repercussão no processo de ensino e aprendizagem. Finalizando,

faremos a análise dos dados obtidos por meio da aplicação da sequência

didática.

5.1 Metodologia

Nosso trabalho caracteriza-se como uma pesquisa de abordagem

qualitativa, pois, em se tratando de uma pesquisa educacional, pensamos

que ela atenderá melhor aos objetivos da mesma. Na abordagem

qualitativa, encontramos características que são mais adequadas ao

trabalho que desenvolvemos na sala de aula, que foi o de propor uma

abordagem para o ensino da regra de sinais dos relativos no 7o ano do

ensino fundamental. Essas características, segundo Bogdan e Biklen

(apud, LUDKE; ANDRÉ, 1986), são: a) Tem o ambiente natural como

fonte direta de dados e o pesquisador como principal instrumento:

atendendo a essa característica, a nossa pesquisa foi realizada numa

turma do 7o ano numa escola municipal do município de São José no

início do ano letivo de 2012, onde atuamos, simultaneamente, como

professora titular da turma e pesquisadora. b) Os dados coletados são

descritivos: propusemos à turma uma sequência didática apresentando

os números inteiros relativos e a regra de sinais pelo princípio de

extensão, onde fizemos a descrição do processo de ensino, bem como

dos resultados apresentados. c) A preocupação com o processo é muito

maior que o produto: nossa atenção esteve voltada especialmente as

reações apresentadas pelos alunos durante a sequência de ensino e,

claro, com vistas a apontar perspectivas futuras de ensino para a regra de

sinais, pautadas nos constrangimentos e avanços apresentados durante o

processo de ensino. d) O significado que as pessoas dão às coisas e à sua vida são focos de atenção especial pelo pesquisador: os entraves

116

apresentados durante a sequência de ensino e sua repercussão na

formação do conceito pelos alunos foram analisados criteriosamente. e)

A análise dos dados tende a seguir um processo indutivo: não nos

preocupamos em buscar evidências que comprovem as nossas hipóteses,

de que o ensino da adição, utilizando somente o modelo comercial, em

concordância com Coquin-Viennot (1985), poderá contribuir para a

formação de entraves no ensino da multiplicação desses números, mas

procuramos formar as abstrações a partir da inspeção dos dados num

processo de baixo para cima. Dessa forma, podemos perceber que a

pesquisa qualitativa

[...] envolve a obtenção de dados descritivos,

obtidos no contato direto do pesquisador com a

situação estudada, enfatiza mais o processo do que

o produto e se preocupa em retratar a perspectiva

dos participantes (LUDKE; ANDRÉ, 1986, p.13).

O fato de que não procuremos evidências que comprovem nossas

hipóteses não implica em dizer que não estamos pautados num quadro

teórico que nos oriente na coleta e na análise dos dados. Pelo contrário,

apesar do tema de nossa pesquisa ter emergido das dificuldades

encontradas no exercício de nossa profissão, encontramos fundamentos

teóricos que nos mostram que essa mesma dificuldade enfrentada hoje

para o ensino dos números relativos, mais especificamente para a regra

de sinais – × – = +, foi alvo de muita polêmica e evitamento, usando o

termo de Glaeser (1981), no percurso da sua trajetória histórica.

Dentre as várias formas que pode assumir a pesquisa

qualitativa, adotamos, em nosso trabalho, o estudo de caso, por se tratar

de uma pesquisa realizada em uma turma de 7o ano de uma escola

pública municipal, que atende alunos oriundos dos bairros da periferia

do município de São José no estado de Santa Catarina. Trata-se de uma

escola que atende alunos de todas as séries do ensino fundamental no

período matutino e vespertino. E, no período noturno, oferece as séries

finais do ensino fundamental e o ensino médio na modalidade de

Educação de Jovens e Adultos (EJA). Atendendo, aproximadamente, um

mil e cem alunos nos três turnos.

No ano de 2012, a escola atendeu a quatro turmas de 7o anos,

duas no período matutino e duas no período vespertino. A escolha de

uma dessas turmas deveu-se ao fato de ser, neste ano escolar, que os

números inteiros relativos são sistematizados pela primeira vez.

117

Optamos por uma turma do turno vespertino por ser este o nosso horário

de trabalho, e a escolha entre as turmas desse período foi aleatória.

A turma onde ocorreu a aplicação da sequência didática era

composta por 39 alunos e observamos que ela possuía um número

expressivo de alunos fora da idade/série, num total de 27 alunos. Este é

o nono ano que lecionamos nesta escola, sempre trabalhando com as

turmas de 5a, 6

a e 7

a séries do período vespertino

39. Devido a esse fato, a

maioria dos alunos dessa turma já tiveram a oportunidade de ter aulas

conosco, somente 3 alunos não se encaixam nesse grupo. E, de certa

forma, podemos dizer que já existe um contrato didático40

implícito

nesta relação devido ao relacionamento que ambos construíram ao longo

da trajetória escolar. Estamos cientes que esta característica pode ter

interferido nos resultados da pesquisa, no entanto, acreditamos que tal

conhecimento prévio não influenciou negativamente na aplicação da

sequência didática.

Segundo Chizzotti (1991), o estudo de caso é caracterizado para

designar as pesquisas que coletam e registram dados de um caso

particular ou de vários casos com o intuito de organizar um relatório

ordenado e crítico de uma experiência visando à tomada de decisões a

seu respeito ou propor uma ação transformadora. No nosso caso, a

pesquisa foi realizada em uma turma na qual os números inteiros

relativos foram abordados por meio da ideia de extensão apresentada por

Caraça e Hankel.

Nessa direção, em consonância com Moretti (2012),

apresentamos a regra de sinais para a adição como o modelo do

prolongamento dos números naturais para a reta numérica dos inteiros,

como sugerido nos PCN (BRASIL, 1998), que não deixa de ser uma

aplicação do princípio de extensão. Para o campo multiplicativo, o

modelo baseado no Teorema de Hankel que tem por base a ideia de

extensão da propriedade da distributiva dos números positivos para o

caso dos números negativos. E, para a subtração, aplicamos a regra de

sinais da multiplicação como um meio de simplificar as expressões do

39

Estas séries correspondem, respectivamente, ao 6o, 7

o e 8

o anos do Ensino

Fundamental constituído de nove anos. 40

De acordo com Silva “A relação professor-aluno está subordinada a muitas

regras e convenções, que funcionam como se fossem cláusulas de um contrato.

Essas regras, porém, quase nunca são explícitas, mas se revelam principalmente

quando se dá a sua transgressão. O conjunto de cláusulas que estabelecem as

bases das relações que os professores e os alunos mantêm com o saber constitui

o chamado contrato didático” (SILVA, 2008, p. 49, grifos do autor).

118

tipo ( ) e ( ) em e para assim poder

realizar a soma algébrica na reta dos inteiros como propõe Caraça

(1963).

Estivemos, também, pautados no resultado apresentado pela

pesquisa realizada por Pontes (2010), na qual, segundo os entrevistados,

a melhor justificativa apresentada para o entendimento da regra de sinais

é aquela apresentada no Caderno 9 da Coleção Temas Matemáticos do

National of Theachers of Mathematics – NCTM, intitulado O sistema

dos inteiros que, assim como o Teorema de Hankel, tem por base a ideia

de extensão da propriedade da distributividade dos números positivos

para o caso dos números negativos.

Como instrumento de coleta de dados, utilizamos a observação

participante, por entender que, por intermédio desse instrumento, o

pesquisador se encontra em contato direto com o fenômeno observado.

Dessa forma, poderá recolher as ações dos seus atores no seu contexto

natural. Porém, segundo Ludke e André (1986, p. 25), para que a

observação se torne um instrumento válido de investigação científica,

ela

[...] precisa ser antes de tudo controlada e

sistemática. Isso implica a existência de um

planejamento cuidadoso do trabalho e uma

preparação rigorosa do observador. Planejar a

observação significa determinar com antecedência

“o quê” e “o como” observar.

No nosso caso, que atuamos como professora titular da turma e

pesquisadora, apresentando uma nova perspectiva de ensino para a regra

de sinais, foi preciso ter muita clareza dos procedimentos que foram

adotados e os aspectos relevantes que precisaram ser observados e

considerados durante a intervenção didática.

Nossa pesquisa esteve estruturada nos obstáculos epistemológicos

que foram apontados por Glaeser (1981)41

referentes à compreensão dos

números relativos, nos níveis das concepções dos relativos, apresentado

por Coquin-Viennot (1985) e nos resultados da pesquisa realizada por

Pontes (2010), com o interesse de saber em que medida os alunos, de

hoje, ultrapassaram os obstáculos epistemológicos apontados por Glaeser (1981).

41

Ver nota de rodapé de número 4.

119

Os obstáculos epistemológicos elencados por Glaeser são:

Inaptidão para manipular quantidades isoladas; dificuldade em dar um

sentido a quantidades negativas isoladas; dificuldade em unificar a reta

numérica para incluir os números negativos; a ambiguidade dos dois

zeros (zero absoluto e zero como origem); dificuldade de afastar-se de

um sentido “concreto” atribuído aos seres numéricos (fixação no estágio

das operações concretas por oposição ao formal); desejo de um modelo

explicativo unificador. Esses obstáculos enfrentados no passado pelos

matemáticos, aqui levantados por Glaeser, apesar do tempo transcorrido

desde então, ainda não foram ultrapassados no campo do ensino no

presente.

Assim, como os obstáculos elencados por Glaeser (1981),

Coquin-Viennot (1985), a partir de questões aplicadas a um grupo de

alunos, estabeleceu uma hierarquia de concepções dos relativos. E,

partindo desses níveis de compreensão, a autora destaca que o “modelo

comercial” se instala no entendimento do aluno como uma concepção

dos relativos dificultando, desse modo, o ensino das propriedades

multiplicativas desses números. Uma vez instalada essa concepção,

impõe-se uma barreira a ser enfrentada no ensino da multiplicação dos

relativos, especialmente no caso da multiplicação de dois números

negativos.

Ainda, nessa direção, podemos citar o trabalho realizado,

recentemente, por Pontes (2010). Essa pesquisadora, no

desenvolvimento de sua tese, realizou testes diagnósticos por meio da

aplicação de questões, envolvendo os relativos com alunos do ensino

fundamental, médio e superior, cujo objetivo foi avaliar até que ponto os

alunos ultrapassaram os obstáculos epistemológicos apontados por

Glaeser (1981). Os resultados apresentados na pesquisa mostraram que

29 dos 45 alunos pesquisados nos três níveis de ensino apresentaram

alguma dificuldade em dar sentido aos números negativos e 19

mostraram insegurança no trabalho com a reta numérica. O desejo de

um modelo concreto unificador não foi observado nos resultados dos

dados obtidos, segundo Pontes (2010), isso se deve ao fato dos alunos

reproduzirem a prática dos seus professores, que no ensino das

operações com números inteiros relativos se pautam num ensino que

privilegia o uso de regras pré-estabelecidas.

Assim, de acordo com Glaeser (1981), Coquin-Viennot (1985)

e Pontes (2010), temos de um lado a introdução dos relativos sendo

apresentada de forma contextualizada e de outro, observamos que o

ensino das operações está atrelado ao uso de regras que trazem muitos

prejuízos para o ensino. Nesse sentido, é preciso estudar a viabilidade de

120

uma abordagem epistemologicamente mais satisfatória para o ensino dos

números inteiros relativos, principalmente, para a regra de sinais.

Nesse sentido, nós confeccionamos um módulo com uma

sequência de ensino em que introduzimos os números inteiros relativos

por meio de atividades que visaram o ensino dos inteiros relativos,

atendendo o “princípio de extensão”, assim denominado por Caraça

(1963). A operação de adição foi apresentada como deslocamentos na

reta numérica; a multiplicação e a regra de sinais como a única que

preserva a distributividade à esquerda e à direita; e, a subtração por meio

da simplificação das expressões, utilizando a regra de sinais da

multiplicação, tornando-a uma adição algébrica, podendo, desse modo,

ser resolvida por deslocamentos na reta numérica.

Na nossa sequência de ensino, buscamos apresentar os números

negativos como uma ampliação dos naturais, opondo-se ao modelo

comercial, no sentido de associar o número negativo a uma perda e o

número positivo a um ganho. Mas isso poderia ter ocasionado alguns

problemas, pois o livro didático adotado pela escola não aborda os

números negativos nesta mesma perspectiva. E, também, o contexto

social em que os alunos estão inseridos, a sua família, amigos, podem

interferir na formação da concepção de número negativo e mais

especificamente na aprendizagem da regra de sinais.

No início da sequência didática foi difícil conciliar e atuar como

professora titular da turma, pesquisadora e observadora

simultaneamente, mas como o ambiente da sala de aula nos era familiar,

em pouco tempo, estávamos cumprindo os três papéis com naturalidade.

Encaminhávamos os trabalhos com a turma e, na medida em que íamos

fazendo os atendimentos individuais e em grupo, atuando como

professora, nosso lado pesquisador e observador entrava em cena.

Apesar do grande desafio que foi atuar nesses três papéis, mesmo assim

ainda pensávamos que esta opção seria mais adequada, do que correr o

risco de termos um outro personagem atuando como professor. Pois,

neste caso, poderíamos não ter a compreensão integral, por parte desse

professor, dos nossos objetivos reais e da sequência didática que foi

realizada.

Desse modo, estivemos conscientes que toda a nossa ação foi

planejada detalhadamente para que nossa pesquisa atendesse aos

critérios de cientificidade. Fizemos a exposição dos objetivos e as

condições de realização da pesquisa para a turma. (Termo de

consentimento livre e esclarecido assinado pelos pais dos alunos e pela

direção da escola). Conversamos com a turma e instauramos o contrato

didático.

121

Então, pudemos fazer a aplicação da sequência de ensino para os

números inteiros relativos, culminando no ensino da regra de sinais.

Essa sequência de ensino foi dividida em três etapas que contemplou: as

operações de adição, multiplicação e, por último, a subtração com

números inteiros. A sequência de ensino foi constituída por aulas

expositivas dialogadas, trabalhos individuais e em grupo, pesquisa,

exercícios de aprendizagem, troca de ideias entre alunos, entre alunos e

professor a fim de institucionalizar a regra de sinais para a multiplicação

de números inteiros relativos. O registro das observações foi realizado

por meio da observação cuidadosa descrita em relatórios, aplicação de

testes ao final de cada bloco de ensino, e, as produções realizadas pelos

alunos em classe ou extra classe.

Para auxiliar nosso trabalho de validação dos resultados nos

apoiamos nas quatro categorias de análise, formuladas a partir da

hierarquia nas concepções dos alunos a propósito dos relativos, proposto

por Coquin-Viennot (1985). Assim sendo, adotamos as seguintes

categorias: os números relativos são tratados como naturais; os

negativos são tratados separadamente dos positivos; a reta numérica é

unificada e os problemas aditivos são resolvidos nos relativos; os

problemas multiplicativos são assimilados. Estas categorias serão

explicitadas mais adiante. Agora iremos relatar a aplicação da sequência

didática.

5.2 Aplicação da sequência didática

A nossa sequência didática ocorreu no ano letivo de 2012, em

uma turma de 7o ano, numa escola da rede municipal de São José, onde

fizemos parte do quadro de professores efetivos da escola desde 2004.

Nos primeiros contatos com a turma, no início do ano letivo, fizemos as

apresentações, e, neste momento, pudemos perceber que dos 39 alunos

da turma, somente 3 eram alunos novos, os demais já haviam sido

nossos alunos em anos anteriores. Este fato facilitou o nosso

relacionamento.

A nossa sequência didática foi constituída por três blocos de

ensino. O primeiro bloco diz respeito ao ensino da adição dos inteiros. O

segundo bloco se destina ao ensino da multiplicação dos relativos e a

regra de sinais, E, finalizando, no terceiro bloco, apresentamos a

subtração dos números inteiros e propusemos atividades que retomam as

três operações que fizeram parte da sequência de ensino. Entretanto,

antes da aplicação da sequência didática prevista, atuamos como

122

professora titular da turma iniciando as aulas, apresentando o conjunto

dos números inteiros relativos.

Não é nosso objetivo, aqui, detalhar esse momento de ensino,

contudo, pensamos ser fundamental relatar, em linhas gerais, como os

números relativos foram introduzidos para a turma, pois isso pode ter

influenciado no ensino da regra de sinais e das operações com esses

números.

5.2.1 A introdução conceitual dos números inteiros

A apresentação dos números inteiros aconteceu por intermédio de

problematizações de situações em que esses números aparecem, como,

por exemplo, na tabela de saldo de gols, nas temperaturas, no extrato

bancário, no nível do mar. Por meio da exploração dessas ideias,

propusemos aos alunos que trouxessem recortes de jornais, de revistas e

de livros, ocorrendo, assim, a formalização da ideia de número negativo.

Então, pedimos para que os alunos desenhassem um termômetro, do

jeito que eles imaginassem. O resultado foi apresentado à turma, e eles

elegeram o desenho do termômetro mais completo, que coincidiu com o

modelo tradicional de um termômetro, com temperaturas positivas

acima do zero e negativas abaixo do zero.

Nesta atividade do desenho do termômetro, é interessante

ressaltar que dos 36 desenhos, 4 desenhos apresentavam somente as

temperaturas positivas e não se observou a presença do zero; 3 desenhos

apresentavam as temperaturas positivas acima do zero e as negativas

abaixo de zero, no entanto, o sinal da temperatura estava colocado

depois do número; 5 desenhos apresentavam as temperaturas negativas

abaixo de zero na ordem correta e as temperaturas positivas acima de

zero na ordem inversa; 5 desenhos apresentavam as temperaturas

positivas (sem o sinal +) acima de zero na ordem correta e as

temperaturas abaixo de zero estavam na ordem certa, contudo, não foi

registrado o sinal desses números, o que os torna positivos; 14 desenhos

estavam com as temperaturas registradas corretamente; 2 desenhos

apresentaram o termômetro digital; 2 desenhos apresentaram o

termômetro com as temperaturas positivas e negativas uma ao lado da

outra; 1 desenho apresentou o zero no centro do termômetro, mas os

números acima e abaixo do zero eram todos positivos numa ordem

completamente aleatória. Desse modo, podemos perceber que dos 36

alunos que participaram da atividade, 14 já conseguiam dispor

corretamente os números inteiros na sequência correta e os outros 22

123

encontravam-se em processo de construção e de assimilação desse novo

campo numérico.

Partindo dessa atividade, propusemos aos alunos que este

termômetro fosse agora desenhado na posição horizontal e, em conjunto

com a turma, após vários questionamentos sobre como organizar esses

números nessa reta, chegou-se a reta numérica dos inteiros relativos,

atentando ao fato que este campo numérico surge da ampliação dos

Naturais.

Chamou-nos atenção que, ao dispor os números na reta, os alunos

destacaram que, primeiramente, deveríamos localizar o zero nesta reta,

para então podermos colocar os positivos e os negativos adequadamente.

Nesta fase, realizamos uma atividade entregando para cada aluno um

número inteiro entre -20 à +20 e explicamos que cada um deveria

colocar o número que recebeu no cordão que se encontrava esticado

horizontalmente em frente ao quadro, prendendo-o com um grampo de

roupa. E, acrescentamos dizendo que o cordão com os números estaria

representando um termômetro na posição horizontal.

Primeiramente, a turma percebeu que precisava colocar o zero no

cordão, para então poder colocar o +1 a direita do zero e o -1 a esquerda

do zero e seguindo a sequência, os demais números. Quando o cordão

estava completamente preenchido, nós levamos os alunos a pensarem na

continuidade daqueles números dispostos no cordão, e que esses

números constituem o conjunto dos Números Inteiros Relativos,

representado por Z. Pedimos, então, para que os alunos pesquisassem o

significado do símbolo Z para os números inteiros.

Na aula seguinte, a turma apresentou o resultado da pesquisa,

apontando que o conjunto dos números inteiros é representado por Z,

por ter se originado da palavra alemã zahl, que significa número ou

algarismo. Nas aulas seguintes, foram realizados exercícios em duplas,

em que foram propostas atividades de construção da reta numérica,

localização de pontos na reta numérica, conceito de número positivo,

negativo, neutro, conjunto numéricos (Naturais e Inteiros).

O conceito de oposto de um número inteiro foi trabalhado na reta

numérica como sendo o número que se encontra a mesma distância do

zero, porém no lado oposto. O módulo de um número inteiro foi

apresentado como o da distância que esse número se encontra do zero. E

a comparação de números inteiros foi explorada por meio de situações

que envolviam temperaturas. Finalizando esta etapa da apresentação dos

números inteiros, aplicamos um teste diagnóstico que foi resolvido

individualmente pelos alunos.

124

Por meio dos resultados apresentados, observamos que os alunos

conseguiram reconhecer o +1 como o menor número inteiro positivo,

entretanto, o reconhecimento do -1 como o maior negativo, encontrou-se

em processo de formação. A ideia do menor número negativo e do

maior número positivo, no conjunto dos inteiros, não foi percebida. A

turma conseguiu identificar o oposto e o módulo de um número inteiro,

assim como construir e localizar os números inteiros na reta numérica.

Quanto a possibilidade de fazer deslocamentos sobre a reta

numérica, os alunos encontravam ainda um certo desconforto, ou seja,

não se sentiam seguros ao realizarem esses deslocamentos. Ao serem

levados a interpretar o gráfico que apresentava o balanço mensal das

finanças de uma empresa (lucro e prejuízo), conseguiram identificar o

mês de maior lucro e o mês de maior prejuízo. Contudo, não

conseguiram fazer o balanço total para o semestre, na qual foi indicado,

ou seja, não conseguiram ainda resolver uma adição de números

inteiros.

5.2.2 O ensino da operação de adição de números inteiros

Os nossos objetivos a serem alcançados por meio da nossa

sequência didática para a adição de números inteiros foram:

compreender os processos usados para a adição de números

inteiros na reta numérica;

resolver situações-problema envolvendo números inteiros e, a

partir delas, ampliar e construir novos significados para a

adição de números inteiros relativos;

diferenciar os sinais operatórios dos sinais predicativos.

Desse modo, a fim de atender aos nossos objetivos, este bloco de

ensino foi composto por 8 aulas de 45 minutos. A introdução da adição

de números inteiros aconteceu por meio de uma problematização. Nós

propusemos a construção do desenho de um prédio com um andar

térreo, nove andares acima do térreo e dois andares abaixo do térreo

destinado as garagens.

A seguir, juntamente com a turma, cada um desses andares foi

representado por um número inteiro. O térreo foi numerado por zero, os

andares acima por números positivos e as garagens por números

negativos. Assim, nós apresentávamos os deslocamentos nesse prédio e

fazíamos o registro, no quadro, desses deslocamentos por meio de

expressões numéricas e anotando o ponto de chegada como resultado

125

dessa expressão, por exemplo: partindo do térreo, descer 2 andares e, em

seguida, subir 1 andar, foi representado pela expressão: 0 + (- 2) + (+ 1)

= - 1.

Nessas expressões nós destacávamos a diferença entre o sinal

operatório (sinal que aparece fora dos parênteses indicando uma soma

de deslocamentos) e o sinal predicativo (que é o sinal do número,

indicando o deslocamento para cima como positivo e para baixo como

negativo). Depois de vários deslocamentos neste prédio, nós

propusemos que esse prédio fosse representado por uma reta numérica, e

juntamente com a turma, ficou estabelecido que os deslocamentos, feitos

sobre a reta, para a direita seriam positivos e os deslocamentos para a

esquerda seriam negativos. Deste modo, nós juntamente com os alunos,

efetuávamos a adição dos inteiros por meio de movimentos sobre a reta

dos inteiros.

Para envolver ainda mais os alunos, nós organizamos a turma

em quatro fileiras, deixando o corredor central da sala vazio. Os alunos

dispostos nas fileiras estavam todos voltados para o centro da sala. No

corredor, que foi organizado no centro da sala, colocamos um segmento

da reta numérica de 7 metros de comprimento desenhada numa folha de

papel pardo, e, juntamente com a turma, foi definido que os

deslocamentos feitos à direita seriam considerados positivos e os

deslocamentos feitos à esquerda como negativos.

Então, explicamos que, em duplas, eles iriam fazer deslocamentos

sobre essa reta. Um aluno escrevia no quadro uma adição que

representaria o deslocamento que o colega realizaria sobre a reta

colocada no chão da sala e, ao final, registraria o ponto de chegada

como o resultado da adição. No início os alunos se mostraram um pouco

receosos em participar da atividade, mas logo tomaram gosto e se

prontificaram a participar. As primeiras duplas propuseram adições de

no máximo 4 parcelas, enquanto as últimas duplas propuseram adições

com mais de seis parcelas, favorecendo, desta forma, a um cálculo mais

trabalhoso.

Durante a realização da atividade, a turma se mostrou

participativa, embora a atividade tenha gerado na turma um pouco de

barulho, compreensível, pois eles estavam conversando sobre as

possibilidades de cálculos que poderiam ser resolvidos sobre a reta.

Após a realização dessas atividades que exigiram uma certa

movimentação, pensamos ser o momento de proporcionar momentos de

concentração e sistematização do que havia sido trabalhado até o

momento. Para isso, organizamos a turma em duplas para resolverem

uma lista de atividades, que era composta por exercícios sobre a adição

126

dos inteiros realizados por meio de deslocamentos sobre a reta

numérica. Os alunos sentiram dificuldades para realizar as somas que

apresentavam números com dois algarismos, pois isso os forçava, de

certo modo, a fazer algumas generalizações, uma vez que a realização

do deslocamento sobre a reta tornou-se trabalhoso.

Depois da realização e da correção da lista de exercícios,

propusemos à turma o jogo do “tiro ao alvo”42

. Para esta atividade,

organizamos a turma em grupos e explicamos as regras do jogo,

explicitando que cada participante do grupo teria o direito de jogar o

milho cinco vezes sobre o disco colorido, montando, assim, a expressão

numérica que determinaria a sua pontuação. Cada integrante do grupo

deveria estar atento aos cálculos do colega, para que não ocorressem

somas erradas e falsas pontuações. Após a realização dos cálculos, da

primeira rodada, far-se-ia o mesmo procedimento para a segunda, e, ao

final, cada equipe somaria a sua pontuação geral. Em conjunto com a

turma, decidimos os valores referentes a cada cor do alvo, conforme a

tabela43

:

Figura 9 – Disco colorido do jogo “tiro ao alvo”


42

Este jogo é similar ao jogo de dardos, no entanto fizemos uma adaptação. O

disco colorido ao invés de ficar na parede fica sobre a carteira na posição

horizontal. E, os dardos foram substituídos por milho de pipoca. 43

Este disco mede aproximadamente 20 cm de diâmetro.

127

Tabela 8 - Tabela das cores do jogo "tiro ao alvo”

Cores Pontos

Azul escuro - 5

Laranja - 3

Roxo + 2

Azul claro + 5

Preto + 10

Arremesso fora 0 Fonte: Autora (2013)

Na sequência, fizemos uma simulação, demonstrando para a

turma uma jogada. Por exemplo: 1o arremesso: azul claro; 2

o arremesso:

roxo; 3o arremesso: preto; 4

o arremesso: foi fora e 5

o arremesso: azul

escuro. Fomos registrando a adição no quadro, que, no final, ficou

assim: (+ 5) + (+ 2) + (+ 10) + 0 + (- 5) = + 12. Logo, os pontos feitos,

por nós, corresponderam a + 12.

Durante a realização do jogo, fomos prestando esclarecimentos e

ajudando os grupos nos cálculos. Na resolução dos cálculos, alguns

alunos sentiram a necessidade de fazer o desenho da reta numérica para

auxiliá-los nas adições. Outros, porém, conseguiram efetuar os cálculos

sem o auxílio da reta numérica, efetuaram os cálculos mentalmente

imaginando os deslocamentos sobre a reta. Podemos perceber, então,

que alguns alunos já se encontravam no caminho das abstrações,

enquanto outros ainda estavam em processo de construção.

Após a finalização do jogo, nós questionamos a turma sobre as

estratégias que eles utilizaram para realizar os cálculos na execução do

jogo. Alguns alunos responderam que se apoiaram nos deslocamentos

sobre a reta numérica. Outros responderam que fizeram os cálculos de

“cabeça”, quer dizer, mentalmente. Nesta conversa, tentávamos extrair

algumas generalizações a respeito da regra de sinais, no entanto, eles se

mostravam ainda imaturos.

Então, sugerimos algumas adições de números inteiros que

apresentavam sinais iguais e outras com sinais diferentes no quadro e

perguntávamos: Vocês conseguem perceber alguma característica em

comum nesses cálculos? Eles responderam, baseados nos deslocamentos sobre a reta, por exemplo, (+4) + (-7) = -3, pois, partindo do mais

quatro, faremos um deslocamento de 7 unidades para a esquerda e

chegaremos no -3. Em nenhum momento, falaram que se os sinais

fossem diferentes deveríamos diminuir e conservar o sinal do número

maior em módulo. Nós tentávamos induzi-los a fazer generalizações,

128

mas, naquele momento, não obtivemos êxito. Embora tivéssemos

percebido que, quando os alunos falaram que efetuaram os cálculos “de

cabeça”, já apontava para um processo de generalizações, mesmo assim,

ainda não foi possível externalizar esse pensamento.

Prosseguindo com a sequência de ensino, nós propusemos aos

alunos a resolução de atividades escritas com exercícios que envolviam

a adição de números inteiros nos mais variados contextos. Dentre as

questões da segunda lista desse bloco, os alunos apresentaram

dificuldades para resolver as seguintes questões: Primeiramente a

questão referente à formação de uma sequência numérica que dizia

assim: “Observe as sequências de números: a) 12, 7, 2, -3, -8, -

13,...Como essa sequência foi formada? b) -7, -3, +1, +5, +9,

+13,...Como essa sequência foi formada?” Os alunos não conseguiram

perceber, na sequência, o ordenamento da qual elas se formavam. Então,

durante a resolução das atividades, nós atendemos ao chamado das

duplas que solicitavam nossa ajuda na resolução da questão e

problematizávamos ainda mais perguntando: Nessa sequência, o que

aconteceu para que, partindo do 12, o próximo número seja o 7? E

partindo do 7, o próximo ser o 2? Nessa forma de fazer a pergunta, o

aluno quase que instantaneamente respondia que foi diminuindo 5. Uma

aluna respondeu, baseada nos deslocamentos sobre a reta, dizendo que

“andou 5 para a esquerda”. Assim, nós fomos esclarecendo as dúvidas

em relação ao item a, e os alunos resolveram o item b sozinhos.

Outra questão em que os alunos apresentaram dificuldades para

resolver foi a questão que apresentava os deslocamentos sobre a reta

numérica e pedia para que eles escrevessem uma expressão numérica

que representasse esses deslocamentos.

Figura 10 - Item a da quarta questão da segunda lista de atividades

- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 + 1 + 2 Fonte: Autora (2013)

Os alunos confundiam o número de chegada da seta com o

deslocamento proposto. Assim, eles escreviam a expressão (-4) + (-1) +

(-5) para representar os movimentos sobre a reta que deveria ser (-4) +

(+3) + (-4) = -5.

129

Então, enquanto prestávamos assistência as duplas, chamamos a

atenção dos alunos para que eles percebessem que aquele ponto de

chegada representaria o resultado da operação e não o seu deslocamento.

Nós relembramos a atividade realizada na sala, em que eles andaram

sobre o segmento da reta numérica desenhada no chão, os números da

expressão representavam os deslocamentos que deveriam ser realizados

e o ponto de chegada representaria o resultado da operação.

Desse modo, nós prosseguimos indagando os grupos: Onde é o

ponto de partida? O deslocamento foi para a direita ou para a esquerda?

Quantas casas? Depois, deslocou-se novamente? Para onde? Quantas

casas? Assim, o grupo a medida que respondia as nossas perguntas,

registrava a expressão e, no final, anotava o resultado.

Nessa mesma lista de atividades, propusemos também

expressões numéricas, envolvendo números inteiros com dois ou mais

algarismos. E quando realizamos a correção dessas expressões,

promovemos um debate em que os alunos expuseram a sua maneira de

resolver os cálculos. Então, alguns alunos colocaram que se basearam

nos deslocamentos sobre a reta para efetuar os cálculos. Outros disseram

que fizeram o cálculo mentalmente, imaginando os deslocamentos.

Neste momento, nós aproveitamos algumas adições da lista para

destacar a adição de números com sinais iguais, e a adição de números

com sinais diferentes. E partindo dessas adições e seus respectivos

resultados, perguntamos à classe: O que acontece quando eu adiciono

números com sinais diferentes? Por exemplo: (-10) + (+15) = +5 e (-15)

+ (+13) = -2 Eu somo ou diminuo esses números? E o resultado, por

que, às vezes, é positivo e, às vezes, é negativo? E quando eu adiciono

números com sinais iguais, por exemplo: (-1) + (-3) = -4 e (+ 4) + (+2) =

+6, o que acontece? Eu somo ou diminuo esses números? E o sinal, o

que acontece com eles?

Foi interessante que, partindo dessa problemática, os alunos

começaram a perceber algumas regularidades, dizendo que quando os

sinais são diferentes os valores dos números são subtraídos. E ao serem

indagados a respeito dos sinais, argumentaram dizendo que seria o do

número maior, pois o deslocamento estaria sobre aquele lado da reta.

Mas nós retrucávamos perguntando: O (-15) é maior que o (+13)?

Então, eles colocaram que deveria desconsiderar o sinal e nós

complementamos com a ideia de módulo.

Com relação à adição de números com sinais iguais, prontamente

perceberam que ocorreu uma soma dos valores permanecendo o mesmo

sinal, argumentando que se estão do lado negativo e continuam para a

esquerda chegarão num valor negativo. Desse modo, nesse momento, já

130

foi possível fazer algumas generalizações, mesmo que em fase inicial. Já

se percebeu que alguns alunos não precisavam mais desenhar a reta

numérica e fazer deslocamentos para realizarem uma adição de números

relativos, outros, porém, ainda se encontravam em processo de

abstração.

Após a realização desse debate e da correção das atividades,

propusemos a última lista de atividades desse bloco. Essa lista era

constituída por exercícios que envolviam deslocamentos sobre a reta,

situações problemas, envolvendo temperaturas e pirâmides. Contudo, os

alunos apresentaram dificuldades especialmente em duas questões. Uma

delas pedia para completar o quadrado mágico de modo que as somas

nas linhas verticais, horizontais e diagonais fossem todas iguais.

Figura 11 - Quadro mágico proposto aos alunos


Os alunos sentiram dificuldades para encontrar o número que

completaria a linha, coluna ou diagonal que completasse a soma

requerida. Então, fomos prestando assistência aos grupos mostrando e

explicando por meio da reta numérica, que, por exemplo, se a soma

deveria ser -3, e em uma das colunas a soma dos dois números era -6,

perguntávamos ao grupo: Qual deverá ser o deslocamento sobre a reta

para que se chegue no -3? Com isso, os alunos perceberam que

precisavam fazer um deslocamento de 3 casas para a direita, o que

resultaria no +3, número este, que completaria a coluna indicada. Assim,

o grupo foi compreendendo e seguiu completando o quadrado mágico.

A outra questão dizia respeito ao contexto de movimento

bancário, vejamos:

Dona Judite foi ao banco e verificou a movimentação de sua

conta corrente:

Tabela 9 - Tabela apresentada aos alunos durante a atividade

Data Descrição Valor Saldo

21/04 Depósito +R$ 120,00 +R$ 165,00

23/04 Cheque

debitado

- R$ 87,00

2 -2

-1

-4

131

02/05 Saque - R$ 65,00

05/05 Depósito +R$ 415,00

12/05 Saque - R$ 390,00 Fonte: Autora (2013)

De acordo com a tabela, responda: a) Qual era o saldo ao final

do dia 23/04? b) Qual era o saldo anterior ao depósito de R$ 120,00? c)

Em quais dias o saldo ficou negativo? O que isso representa? d) Em

quais dias o saldo ficou positivo? O que isso representa?

As dúvidas levantadas pelos grupos estavam diretamente

relacionadas aos termos contábeis que foram apresentados na questão,

por exemplo, depósito, cheque debitado, saldo, saque. Estes termos se

mostraram desconhecidos pelo grupo, o que acabou criando barreiras

para a realização da mesma. Na medida que os grupos foram

esclarecendo as suas dúvidas referentes aos termos, foram conseguindo

realizar as operações necessárias para resolverem a questão.

Finalizando este bloco de atividades da sequência didática, nós

aplicamos um teste com a turma a fim de analisar o nível de

compreensão desses alunos, de acordo com os níveis de aprendizagem

apresentados por Coquin-Viennot (1985), na qual estão baseadas as

nossas categorias de análise. Realizamos, também, uma análise das

situações de ensino em que a ideia de congruência semântica se destaca

e suas implicações no processo de ensino e aprendizagem. Esses

resultados serão apresentados mais adiante.

5.2.3 O ensino da operação de multiplicação de números inteiros e a

regra de sinais

Neste bloco de ensino, os objetivos que direcionaram o nosso

trabalho foram:

compreender os processos usados para a multiplicação de

números inteiros aplicando a ideia de extensão da propriedade

distributiva dos números positivos para o caso dos números

negativos;



multiplicação desses números;

resolver expressões numéricas envolvendo adição e

multiplicação de números inteiros.

132

Assim, com o intuito de atender aos nossos objetivos traçados,

este bloco de ensino foi composto por 7 aulas de 45 minutos. A

apresentação da operação da multiplicação dos relativos e da regra de

sinais aconteceu por meio de problematizações com o intermédio de um

debate caloroso.

Nós iniciamos a aula resolvendo no quadro algumas adições com

números inteiros relativos por meio de deslocamentos sobre a reta dos

números inteiros relativos. A seguir, sugerimos algumas multiplicações.

Primeiramente, uma multiplicação de dois números positivos, e

perguntávamos para a classe: Como essa multiplicação pode ser

representada por meio de uma adição?

No caso, a multiplicação era (+2) × (+3) e a turma, com a nossa

ajuda, sugeriu que fosse (+3) + (+3) que resultaria +6, pois teríamos,

partindo do zero, fazendo dois deslocamentos de +3. Logo, nós

apontávamos que, então, o resultado de (+2) × (+3) também seria +6.

Depois, colocamos no quadro uma multiplicação de um número positivo

por um número negativo, a saber, (+2) × (-3) e questionamos a turma

sobre como poderíamos representar aquela multiplicação através de uma

adição. A turma prontamente sugeriu que fosse (-3) + (-3) que resultaria

e -6, pois teríamos, partindo do zero, dois deslocamentos de -3 sobre a

reta. E nós colocávamos, então, que o resultado de (+2) × (-3), também,

deveria ser -6.

A seguir, escrevemos no quadro uma multiplicação de um

número negativo por um número positivo: (-2) × (+4) e perguntamos

para a turma de que modo poderíamos representar essa multiplicação

por meio de uma adição. Num primeiro momento, os alunos disseram

que poderia ser (+4) + (+4), então, interferimos, colocando que é o

número positivo que determina a quantidade de vezes que a parcela

precisa ser somada.

Nesse caso, poderíamos escrever a multiplicação (-2) × (+4)

como (+ 4) × (-2), usando a propriedade comutativa da multiplicação.

Assim, a turma logo apontou que a multiplicação poderia ser

representada por (-2) + (-2) + (-2) + (-2) que teria - 8 como resultado.

Então, nós ressaltávamos que (+4) × (-2), também, seria -8. A seguir,

escrevemos no quadro as seguintes multiplicações:

+3 × (+4) =

+2 × (+4) =

+1 × (+4) =

0 × (+4) =

-1 × (+4) =

133

-2 × (+4) =

-3 × (+4) =

E, juntamente, com a turma fomos resolvendo as multiplicações.

A turma foi dizendo os resultados naturalmente. Depois, nós pedimos

para que os alunos analisassem os números dispostos na primeira

coluna, e perguntamos: Como estão dispostos estes números? A classe

respondeu que eles estavam em ordem decrescente. Depois, pedimos

para que eles analisassem os números da segunda coluna. A turma

colocou que os números eram os mesmos. E, finalmente, nós pedimos

para que eles analisassem os números dispostos na terceira coluna.

Prontamente, a turma percebeu que os números formavam uma

sequência que estava diminuindo sempre 4.

Então, nós e a classe, fizemos uma sistematização a respeito da

multiplicação de dois números positivos e de um número positivo por

um número negativo. Obtivemos êxito, pois a turma logo conclui que na

multiplicação de dois números positivos o resultado seria positivo, e na

multiplicação de um número positivo por um número negativo, o

resultado seria negativo. Nesse momento, nós lançamos a pergunta: E

qual será o resultado da multiplicação de dois números negativos? A

turma fica em silêncio. Nada de argumentações. Depois surgem algumas

sugestões: positivo, outro disse negativo. Mas, nada que fosse uma

posição firme. Então, nós anotamos no quadro as seguintes

multiplicações:

+3 × (- 4) =

+2 × (- 4) =

+1 × (- 4) =

0 × (- 4) =

-1 × (- 4) =

-2 × (- 4) =

-3 × (- 4) =

A turma foi respondendo na medida que foi sendo indagada,

quando chegou à multiplicação (-1) × (- 4), nós fizemos uma pausa para

analisarmos a sequência que estava sendo formada pelos resultados. E a

turma percebeu que estava aumentado 4 unidades. Então, perguntamos

para a classe: Para continuar essa sequência, qual deverá ser o resultado

da multiplicação (-1) × (- 4)? Eles responderam dizendo que deveria ser

o +4, pois o número anterior foi o zero, e, zero + 4 é +4.

134

E, assim, concluíram as multiplicações. Mas, nós

problematizamos um pouco mais, propusemos a seguinte multiplicação:

(1- 4) × (- 5 +1) e perguntamos a turma como poderia ser resolvida esta

expressão. Um aluno levantou a possibilidade de resolver os parênteses,

chegando à multiplicação (- 3) × (- 4) que deveria, pela sequência

anterior, resultar em + 12. Depois, nós sugerimos que fosse resolvido

apenas o primeiro parênteses, chegando à multiplicação (-3) × (-5 + 1)

que resultaria em -3 × (-5) -3 × (+1) = +15 -3 = +12. Por último,

sugerimos que fosse resolvido apenas o segundo parênteses, chegando à

multiplicação (1 – 4) × (- 4) que resultaria em 1× (-4) – 4 × (- 4) = - 4 +

16 = +12.

Neste momento, interrogamos a turma sobre os resultados

encontrados para as três maneiras diferentes de resolvermos a

multiplicação, e os alunos colocaram que de todas as formas o resultado

permaneceu sempre o mesmo. Mas, nós continuamos problematizando:

Mas, se adotarmos que - × - = -, será que isso também vai acontecer?

Então, fizemos no quadro, ao lado do cálculo realizado

anteriormente, os mesmos cálculos, porém adotando - × - = -.

Primeiramente, resolvendo os parênteses, chegando a (-3) × (- 4) = -12.

A seguir, resolvendo o primeiro parênteses, chegando a (-3) × (-5 +1) =

-3 × (-5) -3 × (+1) = -15 – 3 = -18. Para finalizar, resolvendo o segundo

parênteses, temos (1 – 4) × (- 4) = 1× (-4) – 4 × (- 4) = - 4 -16 = -20.

Concluídos os cálculos, nós perguntamos a classe a respeito dos

resultados encontrados nas três maneiras diferentes de resolver a

multiplicação adotando a possibilidade de - × - = -, e, a turma observou

que os resultados foram todos diferentes, logo concluíram que essa regra

não pode ser válida. Finalizando o debate, nós, juntamente com a turma,

fizemos a sistematização da regra de sinais para a multiplicação de

números inteiros relativos e registramos as seguintes conclusões:

Na multiplicação de dois números positivos, o resultado deverá

ser positivo.

Na multiplicação de um número positivo por um número

negativo, o resultado deverá ser negativo.

Na multiplicação de dois números negativos, o resultado deverá

ser positivo.

Por meio da nossa observação, cuidadosa, das reações

apresentadas pelos alunos, podemos perceber que, embora os alunos

tenham compreendido a necessidade de - × - ser +, por meio da

demonstração feita aplicando a propriedade distributiva da multiplicação

com relação à adição, a receptividade dos alunos não foi muito boa,

135

devido ao seu teor genérico e abstrato. A receptividade dos alunos à

demonstração da regra de sinais por meio da construção da sequência foi

melhor recebida, percebida e compreendida pelos alunos. Talvez, se

tivéssemos abordado a propriedade distributiva da multiplicação com

relação à adição de uma outra forma, a reação dos alunos tivesse sido

diferente, mas isso já é tema para futuras pesquisas.

Prosseguindo com a sequência didática, propusemos a turma

um jogo de dominó, envolvendo a multiplicação de inteiros.

Organizamos a turma em grupos com 4 alunos, e explicamos que as

regras do jogo obedeceriam às regras do dominó tradicional, porém as

pedras eram compostas por perguntas e respostas que deveriam ser

colocadas numa sequência unindo-se a cada pergunta a pedra

correspondente a sua resposta, ou a cada resposta uma questão que a

representasse. Durante o desenvolvimento do jogo, percebemos que

muitos alunos apresentavam dificuldades para multiplicar os números,

não com relação aos sinais, mas com relação à multiplicação de seus

valores, por exemplo, 7×8 = 72; ou ainda, (-1) × (-1) = +2. Outra

situação identificada foi a confusão das operações de multiplicação com

a adição de números inteiros relativos, por exemplo, um aluno ao

resolver (-3) × (+2), deu como resposta -1. No entanto, na maioria dos

grupos, essas dificuldades foram sendo superadas com a ajuda e a

interferência dos próprios colegas da equipe. Após a realização do jogo,

organizamos os alunos em grupos com três alunos e passamos para a

resolução de atividades escritas.

Na resolução da primeira lista de atividades desse bloco, os

alunos apresentaram dificuldades para resolver a questão que pedia para

completar uma sequência e responder de acordo com essa sequência. A

questão dizia assim: Complete a sequência apresentada na tabela e

responda:

a) O que acontece com o 1o fator quando se lê

as contas de cima para baixo?

b) O que acontece com o 2o fator quando se lê


c) O que acontece com o produto quando se lê


d) Com base no que você observou: Um

número negativo vezes um número positivo

dá um produto...

3 × 12 = 36

2 × 12 = 24

1 × 12 = 12

0 × 12 =

-1 × 12 =

× =

× =

136

Os grupos precisaram do nosso auxílio, pois esta questão exigia

um certo grau de generalização. Com a nossa interferência para ajudar a

interpretar e completar a tabela, os alunos foram compreendendo e

conseguiram responder a questão.

Outra dúvida levantada pelos grupos, nesta primeira lista de

exercícios, foi com relação à questão em que apareciam algumas

multiplicações e adições na forma de expressões numéricas. Os alunos

apresentaram dificuldades, porque não sabiam qual das operações

deveria ser resolvida primeiro, mas com a nossa interferência foram

conseguindo desenvolver os cálculos, mesmo que, muitas vezes, não

estivesse completamente correto.

Concluída a primeira lista de atividades desse bloco, passamos

para a resolução da segunda lista de exercícios. Esta lista de atividades

foi resolvida em sala de aula com a nossa assistência. Os alunos foram

organizados em duplas e, durante a resolução das atividades, alguns

alunos apresentaram dificuldades para entender a expressão “não nulo”

que apareceu na 1a questão. Nessa questão, foi solicitado que se

marcasse (V) para a alternativa verdadeira ou (F) para a alternativa falsa

nas proposições a seguir:

a) ( ) O produto de um número inteiro por zero dá o próprio número.

b) ( ) Se um número inteiro não nulo for multiplicado por seu oposto, o

resultado será sempre um número negativo.

c) ( ) Se um número inteiro não nulo for multiplicado por ele mesmo, o

resultado será sempre um número positivo.

Ao serem esclarecidos sobre o tema, seguiram resolvendo a

questão. Os grupos, também, sentiram necessidade de se certificarem a

respeito da 3a questão desta lista. Nessa questão, foi solicitado que eles

montassem uma operação que atendesse aos critérios estabelecidos.

Assim, eles precisavam montar uma operação para os seguintes

critérios: A soma de dois números inteiros é – 7; e o produto de dois

números inteiros é + 10.

Os alunos nos perguntavam se era para fazer uma conta que

apresentasse aquele resultado. E, na nossa interação com o grupo, é que

se percebeu a dificuldade que eles apresentavam com relação aos termos

soma e produto. Os alunos sabiam que precisavam montar uma

operação, porém não sabiam qual. Com a nossa intervenção nos grupos,

foi possível esclarecer as dúvidas, porém não atendemos a todos os

grupos, pois estes não solicitaram a nossa ajuda.

Após a resolução da lista de atividades, nós organizamos a classe

numa circunferência, mas, como a turma era muito numerosa, foi

preciso fazer uma semicircunferência dentro da circunferência. Em

137

seguida, deu-se início a discussão e correção da segunda lista de

atividades desse bloco.

Nós conduzimos a discussão, começando pela primeira questão,

fazendo a leitura de cada uma das proposições com intervalo para as

devidas reflexões. Ao lermos a primeira proposição (o produto de um

número inteiro por zero dá o próprio número), alguns alunos disseram

que a proposição era falsa, outros, porém disseram ser verdadeira. Ao

serem indagados sobre a justificativa, um dos alunos citou como

exemplo que 0 + (-2) dá -2.

Neste momento, nós interferimos perguntando sobre o significado

da expressão produto. Um aluno respondeu dizendo que era o resultado.

E, nós perguntamos novamente: resultado do quê? Ele respondeu: “De

uma conta”. Nós retrucamos: Que conta? Outro aluno respondeu: “De

vezes”. Então, nós voltamos ao exemplo dado e perguntamos: Este pode

ser um exemplo de produto? A classe respondeu que não, pois

representava uma soma. Um aluno trouxe outro exemplo 0 × (+3) dá 0,

por isso a alternativa é falsa. A turma concordou com o exemplo,

citaram outros e concluíram que a proposição era falsa.

Com relação à segunda proposição (Se um número inteiro não

nulo for multiplicado por seu oposto, o resultado será sempre um

número negativo), os alunos não manifestaram sua opinião, então, nós

indagamos: O que quer dizer não nulo? Um aluno respondeu: Nulo é

zero, então não nulo deve ser que não pode ser o zero. E, perguntamos a

classe: Quais os exemplos de números não nulos? Eles responderam: 2,

3, 5,... (somente números positivos).

Então, sentimos a necessidade de complementar com: -3, -4, +3, -

2, etc. Depois, prosseguimos voltando a proposição e perguntando para

a turma: Que tipo de exemplos podemos dar para essa proposição? Um

aluno citou (-3) × (+3) dá -9, outro aluno citou (+5) × (-5) dá -25. Então,

perguntamos: Que sinal apresentou o resultado de cada multiplicação. E

a classe respondeu: negativo. Um aluno se pronunciou dizendo que ele

não havia pensado nos números, mas apenas nos sinais, que como eles

eram opostos um era positivo e o outro negativo, assim a multiplicação

seria sempre negativo, por isso a proposição era verdadeira. A turma,

após essa problematização, também chegou à mesma conclusão.

Na terceira proposição (Se um número inteiro não nulo for

multiplicado por ele mesmo, o resultado será sempre um número

positivo), os alunos já se manifestaram com exemplos, dizendo que a

proposição era verdadeira, pois (-5) × (-5) dá + 25 e (+4) × (+4) dá + 16.

Com relação a terceira questão dessa lista de atividades, em que

foi solicitado montar uma operação de acordo com os critérios, no

138

primeiro critério (A soma de dois números inteiros é – 7), os alunos

citaram vários exemplos como: (- 2) + (-5), (-10) + (+3), entre outros,

mas teve um exemplo que merece ser destacado (+3) + (-4). Nós

registramos, no quadro, todos os exemplos citados, inclusive este, e na

medida que realizávamos o registro, indagávamos a turma sobre o

exemplo colocado. E quando colocamos o exemplo (+3) + (-4), um

aluno disse que este não servia, pois o resultado seria -1, obtendo o

respaldo da turma. No segundo critério (O produto de dois números

inteiros é + 10), a turma esgotou todas as possibilidades de

multiplicações rapidamente. Referente a essa lista de atividades,

pensamos ser estas as considerações mais importantes, pois envolveram

reflexões que visaram generalizações.

Prosseguindo com a nossa sequência didática, propomos a

resolução da última lista de atividades desse bloco. Para a resolução

desta lista, os alunos foram organizados em duplas. Durante a resolução

das atividades, percebemos que os alunos apresentavam dificuldades

para resolverem a questão dois desta lista. Nesta questão, foi solicitado a

eles que escrevessem uma operação para cada situação, utilizando os

números da tabela.

a) Uma multiplicação de dois fatores com resultado igual a +32.

b) Uma adição de três parcelas com resultado igual a – 7.

c) Uma multiplicação de três fatores com o resultado igual a 24.

As dúvidas apresentadas pelos alunos diziam respeito aos termos

fatores e parcelas expressos na questão. Com a nossa interferência no

esclarecimento desses termos, rapidamente as duplas apresentavam uma

operação que atendesse aos critérios propostos pela questão.

Na questão três desta lista de atividades, os alunos apresentaram

dificuldades para descobrir a operação que servia de base para completar

a pirâmide. Eles precisavam descobrir o “segredo” da pirâmide e

determinar o número inteiro que deve estar no alto dessa pirâmide.

-4 3 -2 -8 +7 0

139

-6 -3 +3

-2 +3 -1 -3

Na resolução deste exercício, foi percebida uma confusão entre as

operações de adição e multiplicação com números inteiros, que foi

sendo contornada com a nossa intervenção nos grupos.

Outra situação que deve ser discutida diz respeito à quinta

questão desta lista de atividades. Nesta questão, foi solicitado aos alunos

que completassem a tabela:

a b a × b

-2 -3

+4 - 20

- 4 +32

+ 12 + 8

Dois fatores podem ter contribuído para que os alunos

apresentassem dificuldades nesta questão. Um deles pode ser o fato de

apresentar os números por meio de letras. Outro pode ser o fato de ora

pedir o produto dos números e ora pedir um dos fatores da multiplicação

que resultaria num determinado produto. Esse vai e vem na resolução da

operação de multiplicação gerou um certo desconforto nos alunos.

Finalizando este bloco de ensino, nós aplicamos um teste diagnóstico

cujos resultados serão apresentados mais adiante.

5.2.4 O ensino da operação de subtração de números inteiros

Neste bloco de ensino, os objetivos que direcionaram o nosso

trabalho foram:

compreender a lógica dos processos usados para a subtração de

números inteiros, aplicando a regra de sinais da multiplicação

para simplificar as expressões;

140

resolver situações problemas, envolvendo números inteiros e, a


subtração de números inteiros relativos;

resolver expressões numéricas, envolvendo adição, subtração e


Para atingir essa meta, este bloco de ensino foi composto por 4

aulas de 45 minutos. A introdução da operação da subtração de números

inteiros foi conduzida por meio de problematizações. Nós propusemos à

classe a seguinte situação: “Vamos supor uma noite de inverno numa

cidade da Serra Catarinense, os termômetros registraram + 4º C no

início da noite. Durante a madrugada da mesma noite, os termômetros

chegaram a registrar - 2º C. Qual foi a variação da temperatura nesta

noite?” Alguns alunos prontamente responderam 6 graus. E indagamos:

Subiu 6 graus ou diminuiu 6 graus? Eles responderam que havia

diminuído. A seguir, problematizamos um pouco mais, perguntando a

turma como poderíamos representar esta situação.

A turma ficou silenciosa, pensando. Até que um aluno disse que

poderia ser representado através do termômetro. Neste momento,

desenhamos o termômetro no quadro, registrando as temperaturas -2º e

+ 4º, e podemos constatar, juntamente com a turma, que a variação da

temperatura realmente foi de – 6º C. A seguir, perguntávamos a turma

de que maneira poderíamos representar essa situação através de uma

operação. Então, foram surgindo várias possibilidades citadas pelos

alunos, e nós fomos registrando cada uma delas no quadro.

A partir dos registros, fomos indagando a turma sobre a validade

ou não da operação realmente representar a situação problema. Um

aluno levantou a possibilidade de ser (+4) + (-2), então questionamos se

o resultado dessa adição seria – 6. E, eles responderam que não. Assim,

fomos prosseguindo, até que interferimos fazendo outras simulações

como, por exemplo: Se a temperatura estava em +20º passou para + 26º,

quanto à temperatura variou? Eles responderam + 6. Nós perguntávamos

novamente: Que cálculo vocês realizaram? Os alunos responderam 26 –

20.

Então, indagamos novamente: E se a temperatura fosse + 4 e

passasse para +18, qual seria a variação? Os alunos responderam 14.

Nós perguntamos: que conta vocês realizaram? Eles disseram 18 – 4. A

seguir, nós fizemos os seguintes registros no quadro: (+26) – (+20) =

+6, (+18) – (+4) = +14, procurando levar os alunos a observarem que,

para descobrirmos a variação da temperatura, precisamos diminuir a

temperatura final da temperatura inicial. Assim, voltamos a perguntar

141

para a turma: Como poderíamos representar a variação da temperatura

na cidade da situação problema? Então, um aluno disse que poderia ser

(-2) – (+4), porque -2 era a temperatura final e +4 a temperatura inicial.

Deste modo, fizemos o registro da operação no quadro

juntamente com as outras escritas anteriormente. E procuramos levar os

alunos a observarem que a operação (-2) – (+4) pode ser escrita sem os

parênteses, assim -2 – 4, pois para eliminarmos os parênteses utilizamos

a regra de sinais da multiplicação, obtendo uma expressão mais simples

que pode ser resolvida por meio de deslocamentos na reta numérica.

Finalizando o debate, organizamos a classe em duplas para resolução de

uma lista de atividades.

Durante a resolução das atividades, fomos prestando assistência

as duplas, esclarecendo as suas dúvidas. Os alunos apresentaram

dificuldades na resolução da questão 3 dessa lista, que pedia para que

eles completassem as sentenças com os sinais operatórios de +, - e × nos

itens: a) (-3)___(-2) = - 1 b) (-2) ___(-5) = + 10 c) ( +10)___( - 14) = +

24 d) ( -12)____(- 3) = - 15.

Os alunos, na maioria das vezes, colocavam o sinal sem se

preocuparem em como ficaria a operação após a sua escrita na forma

reduzida. No momento em que realizávamos o atendimento dos alunos,

nós chamávamos a sua atenção para que eles atentassem a esse detalhe.

E nesse instante alguns alunos começaram a perceber este aspecto da

operação.

Prosseguindo com a sequência de ensino, organizamos a turma

em grupos e propusemos o jogo das argolas. Para a realização do jogo

cada grupo recebeu um tabuleiro contendo 12 hastes presas

verticalmente nele e 4 argolas, 2 azuis e 2 vermelhas. Cada uma das

hastes presas ao tabuleiro representou um número, esses números

estavam dispostos alternando um positivo e um negativo, como no

esquema a seguir:

+16 -24 +4

-12 +20 -8

+8 -16 +24

+12 -20 -4

Explicamos à turma que nesse jogo, as argolas vermelhas nos

fazem ganhar pontos e as azuis perder pontos. Para esclarecer,

142

realizamos uma jogada, como exemplo: Arremessamos as argolas

vermelhas nos números -24 e +8, e as argolas azuis nos números +16 e –

4 e escrevemos a expressão que representou a jogada no quadro, da

seguinte forma:

0 + (- 24) + (+ 8) – (+ 16) – (- 4) = -28

Início ganha ganha perde perde

Assim, explicamos que cada jogador ao fazer sua jogada irá

arremessar as quatro argolas, fazer a sua expressão efetuando os seus

cálculos adequadamente. Após a explicação sobre as regras do jogo,

demos início às atividades.

Durante a realização do jogo, fomos prestando assistência aos

grupos que solicitavam nossa ajuda. Os grupos nos chamavam,

principalmente, para certificar-se que haviam realizado o cálculo

corretamente. As equipes se mostraram interessadas em realizar o jogo e

montavam as expressões sem dificuldades. Os integrantes do grupo se

ajudavam mutuamente na execução dos cálculos, faziam as devidas

simplificações e realizavam a soma algébrica.

Ao final do jogo, promovemos um debate com a turma a fim de

identificar as estratégias que eles utilizaram durante o jogo. Dois alunos

disseram que eles procuraram jogar as argolas vermelhas nos números

que eram positivos e as argolas azuis nos negativos, a fim de obter como

resultado um número positivo que fosse o maior possível.

Neste diálogo com a turma, tentamos fazer com que os alunos

observassem que, no conjunto dos números inteiros, nem sempre a

adição equivale a um aumento e nem sempre a subtração significa

diminuir, fazendo desta forma, uma conexão com as situações

vivenciadas por eles através do jogo das argolas. Pensamos que os

nossos objetivos, ao optarmos por este jogo na situação didática, foram

atingidos, pois os alunos aplicaram seus conhecimentos na execução do

jogo, bem como conseguiram perceber que, no conjunto dos inteiros, as

operações de adição e subtração apresentam aspectos diferentes

daqueles apresentados nos naturais.

Ao serem indagados sobre a atividade, os alunos disseram que

gostaram da atividade, pois desta forma “aprenderam brincando” de

maneira descontraída, contando com a ajuda dos colegas e da

professora. Finalizando esta sequência de ensino, os alunos foram

organizados em duplas para a realização do teste diagnóstico da

143

subtração de números inteiros, cujos resultados serão apresentados mais

adiante.

5.3 Resultados apresentados

A nossa sequência didática foi constituída por três blocos de

ensino. O primeiro foi referente ao ensino da adição de números

inteiros, o segundo se preocupou com o ensino da multiplicação dos

relativos e da regra de sinais e o terceiro apresentou a subtração dos

inteiros. Cada um desses blocos foi organizado com aulas devidamente

planejadas, buscando sempre conduzir o ensino dessas operações pela

via formal, fugindo do modelo comercial, como foi apresentado no item

anterior. Ao final de cada um dos blocos de ensino, aplicamos um teste

que foi realizado em sala de aula, em que eles puderam consultar seu

material (caderno, livro didático, lista de exercícios) durante a realização

do mesmo.

Cabe salientar que, devido à extensa duração da nossa sequência

didática, não poderíamos descrever, neste trabalho, todas as falas e

detalhes que se fizeram presentes no decorrer da pesquisa. Até porque

numa turma com 39 alunos, com aulas de 45 minutos atendendo o

calendário letivo da escola, não teríamos como observar e registrar todos

os minuciosos detalhes da sequência de ensino. Então, optamos por

fazer as nossas análises pautadas somente nos resultados dos testes.

Porém, isso não significa dizer que todas as situações vivenciadas

durante a sequência didática serão desconsideradas, pois acreditamos

que os frutos dessa sequência poderão ser observados implicitamente

nos resultados apresentados nos testes.

Queremos esclarecer, também, que, na confecção dos testes,

tomamos o cuidado de formular e selecionar questões que fossem de

fácil acesso e entendimento por parte dos alunos, no que diz respeito ao

vocabulário apresentado, pois compactuamos com Damm (2005),

acreditando que a origem das dificuldades na resolução de problemas

deve ser procurada na compreensão do enunciado.

A partir desses testes, realizamos a análise dos resultados

apresentados na pesquisa, atendendo as nossas categorias de análise, a

saber: os números relativos são tratados como naturais; os negativos são

tratados separadamente dos positivos; a reta numérica é unificada e os

problemas aditivos são resolvidos nos relativos; os problemas

multiplicativos são assimilados. Optamos por estas categorias de análise

porque acreditamos que elas nos apontarão uma hierarquia nas

concepções dos alunos, a propósito dos relativos, após a nossa

144

intervenção didática. Então, para uma melhor organização do nosso

trabalho, optamos por analisar cada um desses testes separadamente.

5.3.1 Análise do teste da adição de números relativos

Para a realização deste teste, os alunos utilizaram o tempo de uma

aula (45 minutos), estando presentes 36 dos 39 alunos que compõem a

turma. O teste foi realizado individualmente. A primeira questão do teste

solicitava que eles completassem a trilha conforme a indicação das

setas:

adicione - 3 (horizontal)

adicione + 3 (vertical)

+4 +1 -2

+1

Em que número você chegou?______

De todos os alunos pesquisados apenas um deixou a questão em

branco. Quinze alunos completaram a trilha corretamente, seis acertaram

a questão parcialmente, e, quatorze alunos erraram completamente os

cálculos. Podemos observar que esta questão exigia, além do domínio da

adição de números inteiros, uma atenção especial para a posição da seta,

que ora adicionava (+3) e ora adicionava (-3). Isto pode ter influenciado

nos resultados, pois os alunos teriam que atender a dois comandos ao

mesmo tempo; prestar atenção na posição da seta e realizar a operação.

Na segunda questão, foi solicitado que os alunos resolvessem

quatro adições com números inteiros: duas adições de números com

145

sinais iguais e duas adições de números inteiros com sinais diferentes.

Em seguida, deveriam elaborar justificativas para as resoluções. A

primeira adição +12 + (– 5) foi respondida de modo correto por 28

alunos, erroneamente por 7 e, ainda, 1 aluno deixou em branco. Entre as

justificativas apresentadas pelos alunos que resolveram de forma correta

este item, identificamos quatro categorias. Nas justificativas mais

freqüentes, 19 alunos apontaram a ideia de deslocamentos sobre a reta

numérica. Vejamos alguns exemplos:

Figura 12 - Justificativa apresentada pelo aluno 03




Um grupo de seis alunos apresentou como justificativa o fato de

ter somado/diminuído os números. Dois alunos apresentaram

justificativas aleatórias. Um aluno apresentou como justificativa o

modelo comercial (ganho/ perda), vejamos:

Figura 14- Justificativa apresentada pelo aluno 07


É importante destacar que este aluno (07) já cursou esta mesma

série no ano letivo de 2011. Mesmo que este tipo de situação não tenha

sido evidenciada na sequência de ensino deste ano, o aluno ainda recorre

a situações de ensino vivenciadas em anos anteriores. Neste sentido, podemos destacar as palavras de Coquin-Viennot (1985) quando ela nos

coloca que este modelo comercial que é utilizado para facilitar a

compreensão das propriedades aditivas “[...] se instala definitivamente

no espírito do aluno, não mais como um modelo, mas como uma

146

concepção dos relativos” (1985, p. 184, grifos do autor, tradução

nossa)44

.

Parece que esta ideia ficou tão fortemente consolidada, que nem

mesmo a sequência didática, apresentando a adição dos relativos por

meio de movimentos na reta numérica, foi capaz de se abalar. Foi

interessante perceber que entre as respostas incorretas, dois alunos

utilizaram como justificativa o deslocamentos sobre a reta numérica.

A segunda adição desta questão correspondia à soma de dois

números positivos: (+ 8) + (+ 9). Do total dos sujeitos, 26 resolveram de

modo correto; 7 erraram e 3 deixaram em branco. Podemos observar

que, apesar de ser uma adição de dois números positivos, a quantidade

de acertos diminuiu referente à adição de um número positivo e um

número negativo, elencados anteriormente.

Com relação às justificativas apresentadas pelos 26 alunos que

acertaram, 16 citaram movimentos sobre a reta numérica; 6 elencaram a

ação de somar/diminuir; 3 apresentaram justificativas aleatórias e um

utilizou o modelo comercial, todos seguindo o padrão como os

apresentados no primeiro item da questão.

O terceiro item apresentou a soma de um número negativo com

um número positivo (- 17) + (+3) que foi respondida corretamente por

26 alunos; 9 alunos erraram e 1 deixou em branco. Nas justificativas

apresentadas pelos alunos que acertaram a questão, as categorias

elencadas, anteriormente, se mantêm, dentre elas 19 alunos citaram os

deslocamentos sobre a reta numérica; 2 utilizaram o modelo comercial;

2 empregaram a ideia de somar/subtrair; 2 empregaram uma justificativa

aleatória e 1 não justificou. Merece ser mencionado que os dois alunos

que utilizaram o modelo comercial como justificativa já cursaram esta

série no ano anterior.

O último item correspondia a uma soma de dois números

negativos (- 8) + (– 5). Do total de alunos que participaram deste teste,

27 resolveram corretamente; 7 erraram e 2 não responderam. No

conjunto das justificativas apresentadas para as respostas corretas, foram

percebidas 3 justificativas que alegaram ter somado os números, pois

eles apresentavam sinais iguais. Neste caso, notamos um pequeno grupo

começando a fazer generalizações.

44

[…] s‟installe définitivement dans l‟esprit de l‟élève non plus comme um

modele, mais comme une conception des relatifs.

147

Na medida em que se abstrai das diferentes

associações de números positivos e negativos, um

invariante, expresso na ideia de operador aditivo

que produz transformações de acordo com os

elementos em jogo, é possível chegar às

generalizações expressas nas regras da adição:

sinais iguais somam-se e conservam-se os sinais;

sinais diferentes ou opostos subtraem-se e

conserva-se o sinal do de módulo maior

(TEIXEIRA, 1993, p. 64).

Estas generalizações, nós acreditamos terem sido construídas por

meio da descoberta das relações de regularidades apresentadas nos

vários deslocamentos realizados sobre a reta numérica.

As demais justificativas seguiram dentro do padrão das

apresentadas nos itens anteriores, 17 se pautaram nos deslocamentos

sobre a reta numérica; 2 utilizaram o modelo comercial; 3 empregaram a

ideia de somar/diminuir não referenciando os sinais; 1baseou-se num

modelo aleatório e 1não apresentou justificativa.

Foi possível perceber que, em nenhum dos casos apresentados,

nos quatro itens desta questão, os alunos fizeram alusão a uma regra de

sinais pré-estabelecida, mesmo aquelas justificativas das respostas

incorretas. Neste sentido, acreditamos ter contribuído de alguma forma

para a compreensão da operação da adição de números inteiros de

maneira mais significativa, ao optar pelo ensino dos números inteiros

não enfatizando o modelo comercial e conduzindo o processo de ensino

atendendo ao “princípio de extensão”. Na terceira questão deste teste, retirada do livro didático de

matemática do Projeto Araribá (2006, p. 28), foi solicitado aos alunos

que eles lessem e respondessem as questões: “Um caracol pretendia

chegar ao topo de um muro; no entanto, subia alguns centímetros e

escorregava outros” (p.28). O primeiro item da questão, apresentava a

seguinte situação: “Certa vez ele subiu 8 cm e escorregou 6 cm. Houve

avanço ou retrocesso? De quanto?”.

Esta questão foi respondida corretamente por 15 alunos, nas quais

alegaram que houve um avanço de dois centímetros; parcialmente

correta por 10 alunos e 11 não responderam corretamente. Dentre os alunos que acertaram parcialmente, pode ser percebido uma certa

confusão entre os termos avanço e retrocesso. Vejamos um exemplo:

148

Figura 15 - Resposta apresentada pelo aluno 35


Este aluno, apesar de ter realizado corretamente os deslocamentos

necessários, chegando ao resultado +2, associou esta posição final a um

retrocesso e não a um avanço como indica o sinal de positivo.

Dentre os alunos que não responderam corretamente, podemos

perceber que eles se prenderam ao fato do caracol ter escorregado seis,

não levando em consideração o primeiro deslocamento de subir oito

centímetros. Vejamos um caso:

Figura 16 - Resposta apresentada pelo aluno 01.


O segundo item desta questão apresentava a seguinte situação:

“Já em outra ocasião, ele subiu 9 cm, escorregou 15 cm e subiu 4 cm.

Houve avanço ou retrocesso? De quanto?” Neste item, encontramos 10

respostas corretas, identificando que houve um retrocesso de – 2;

parcialmente correta 10; 15 alunos não responderam corretamente e 1

não respondeu a questão.

Dentre as respostas parcialmente corretas, podemos destacar dois

grupos de respostas: retrocesso de 2, sem colocar o sinal, o que o torna

um número positivo; e, avanço de -2, que indica que houve uma

movimentação correta sobre a reta numérica, porém nota-se uma

confusão entre os termos avanço e retrocesso. Em meio às respostas

incorretas, podemos notar que os alunos ficaram presos as

movimentações realizadas pelo caracol, indicando que houve avanços e

retrocessos e não consideraram o balanço final das movimentações

realizadas por ele. Vejamos alguns exemplos:

149





.

Em ambos os casos apresentados, os alunos não consideraram o

conjunto de movimentos realizados pelo caracol, apenas consideraram

alguns desses movimentos. E, de um modo geral, classificaram estes

movimentos adequadamente, conforme aparece na questão, associando

os termos escorregou a um retrocesso e subir a um avanço.

No terceiro tópico da questão três, foi solicitado aos alunos que

eles representassem, por meio da reta dos inteiros, os movimentos feitos

pelo caracol no primeiro item. Dentre os desenhos apresentados como

respostas a esta alternativa, 24 estavam corretos; 1 parcialmente correto

e 11 estavam incorretos.

A resposta parcialmente correta apresentou os movimentos

adequadamente, no entanto os números positivos estavam à esquerda do

zero e os negativos a direita do zero. Nas respostas incorretas,

percebemos dois tipos de situação: o desenho da reta foi realizado com

sucesso, no entanto não houve o registro das movimentações.

Outra situação está fortemente ligada a não congruência

semântica entre os movimentos realizados pelo caracol e o seu registro

na reta numérica, observemos um exemplo:



No momento em que o aluno faz a conversão da linguagem

natural, “subiu 8 cm e escorregou 6” para o registro geométrico, a

congruência semântica conduz a associação do (+8) ao (-6). No entanto,

150

a equivalência referencial indica que, partindo do +8, devemos voltar

seis. Neste caso, de acordo com Duval (1993), a congruência semântica

destaca-se da equivalência referencial e o sucesso da resposta, para esta

questão, depende da equivalência referencial.

No último item desta questão, os alunos deveriam representar,

por meio da reta dos inteiros, os movimentos feitos pelo caracol no

segundo item da questão. Do total dos alunos que participaram do teste,

23 fizeram o registro corretamente; 10 incorretos e 3 deixaram a questão

em branco. A maior parte dos desenhos incorretos, neste item, estavam

relacionados a contagem inadequada dos movimentos, vejamos:



Neste desenho, assim como em outros que foram apresentados

neste item, o aluno contou 15 marcações e não 15 intervalos, o que fez

com que ele chegasse no -5 e não no -6. No entanto, o próximo

movimento foi realizado com sucesso, porém como este dependia do

movimento anterior, chegou-se ao resultado final incorreto. Nos outros

casos de respostas incorretas, repetiu-se o caso do item anterior, os

alunos fizeram o desenho da reta numérica corretamente, contudo não

houve o registro dos deslocamentos.

Na quarta questão deste teste, foi solicitado que os alunos

resolvessem a seguinte situação problema: “Pedro está jogando bolinhas

de gude. Na primeira partida perde seis. Joga uma segunda partida.

Depois dessas duas partidas, ele nem perdeu, nem ganhou. O que

aconteceu na segunda partida?” Como resposta a esta situação, 18

alunos obtiveram êxito; 2 disseram que “ele parou de jogar”, 4 alunos

apontaram que “ele perdeu bolinhas”, 4 deixaram a questão em branco e

8 alunos apresentaram respostas variadas como, por exemplo: “ não

ganhou nem perdeu bolinhas”, “continua com a mesma percentagem de

bolinhas”, “-6 + (0) = 0”, entre outras.

Nesta questão, podemos perceber como o fato da não congruência

semântica entre a expressão e o seu registro contribui para um elevado

índice de insucessos, confirmando-se as previsões de Duval (2012). Se a

mesma situação fosse apresentada de uma outra forma, na qual houvesse

151

uma congruência semântica entre a expressão e o seu registro,

certamente o índice de acertos teria sido maior.

Na última questão do teste, foi proposta a seguinte situação:

Maria resolveu fazer bombons para vender. Foi então a uma doçaria

para fazer o levantamento do custo da matéria prima.

Material Gastos

Leite condensado R$ 18,00

Chocolate R$ 27,00

Formas para bombons R$ 6,00

Embalagens R$ 8,00

No primeiro item da questão foi colocado que: “Maria pensou em

pedir R$ 50,00 emprestado de sua mãe para comprar o material. Esse

dinheiro seria suficiente? Por quê?” Este item foi respondido

corretamente por 21 alunos, eles justificaram que o dinheiro não seria

suficiente, pois os gastos seriam de 59 reais, ultrapassando o valor

previsto. Do total de alunos, 11 responderam parcialmente correto, 3 não

responderam corretamente e 1 não respondeu a questão. Dos 11 alunos

que acertaram parcialmente, todos alegaram que o dinheiro não seria

suficiente, no entanto ao apresentarem suas justificativas percebemos

que eles erraram nos cálculos, vejamos:



Nesta resposta, assim como nas demais que acertaram

parcialmente, houve um equívoco nos cálculos aritméticos. Apesar de o

cálculo poder ser realizado, utilizando-se somente números naturais,

mesmo assim ainda houve uma elevada taxa de erros. Dentre os alunos

que não responderam corretamente, todos justificaram que o dinheiro

seria suficiente para cobrir as despesas, vejamos:

152



Neste caso, assim como nos casos que acertaram parcialmente,

houve problemas na resolução da adição dos valores da matéria prima.

No segundo item desta questão, foi proposta a seguinte situação:

“Se Maria conseguisse comprar o material descrito acima e produzisse

150 bombons com ele. Se ela vendesse cada bombom por R$ 2,00, teria

lucro ou prejuízo? De quanto?” Do total dos alunos que realizaram o

teste, apenas 6 responderam corretamente a questão; 16 acertaram

parcialmente; 8 erraram e 6 não responderam.

Dentre os 16 que acertaram parcialmente, todos responderam que

teria lucro, mas os valores do lucro variavam a cada resposta. Alguns

consideraram lucro de 300 reais, sem descontar o valor dos produtos

comprados. Outros descontaram as despesas, porém esses cálculos não

foram realizados corretamente. Entre os alunos que erraram este item,

encontramos justificativas de que haveria prejuízo, apresentando

diferentes valores a cada resposta.

Analisando de uma maneira geral os resultados apresentados por

este teste e estabelecendo uma relação com as nossas categorias de

análise, podemos observar que os números relativos não são mais

tratados como números naturais, ou seja, os alunos já ultrapassaram o

nível I de compreensão, que trata os relativos como naturais. Não foi

possível observar, neste teste, indícios que evidenciem o nível II onde os

negativos são tratados separadamente dos positivos.

Com relação ao terceiro nível de compreensão, foi possível

perceber, por meio da questão 3 do teste, que os alunos já unificaram a

reta numérica. E a adição de números relativos, quando apresentada

através de uma expressão numérica, como na questão 2, obteve um

índice maior de acertos do que quando apresentada por meio de

situações problemas, como na questão 3. Neste teste ainda não pode ser

observado o nível IV de compreensão dos relativos, mesmo porque a multiplicação dos relativos será discutida por meio dos resultados

apresentados no próximo teste.

153

5.3.2 Análise do teste da multiplicação de números relativos

O teste referente à multiplicação de números inteiros foi realizado

individualmente em sala de aula, durante uma aula de 45 minutos. O

teste foi realizado por 37 dos 39 alunos que compõem a turma. A

primeira questão solicitava aos alunos que resolvessem as operações,

num total de 7 itens, e justificassem a sua resposta. O detalhamento dos

índices referentes a esta questão está exposto na tabela a seguir:

Tabela 10 - Resultados referentes a questão 1 do teste da multiplicação.

Operação No de acertos N

o de erros Em branco

+ 15 + (+ 6) 30 07 00

(-32) + (- 16) 15 21 01

- 12 + (+ 13) 19 16 02

(+ 20) + (- 7) 17 18 02

(+ 6) × (+ 15) 16 18 03

(- 8) . (+ 3) 21 13 03

(- 9) × (- 4) 21 13 03


A quantidade de alunos que responderam a segunda operação [(-

32) + (- 16)] errada nos chamou atenção. Ao analisarmos estas

respostas, observamos que entre as 21 respostas incorretas, 11 delas

apresentaram + 48 como resultado. Ou seja, houve uma confusão entre a

regra de sinais da adição e da multiplicação de números relativos. Com

relação ao conjunto geral de respostas incorretas desta questão,

percebemos que ocorreu uma inversão entre as operações de adição e

multiplicação, vejamos:



154



Podemos observar na primeira figura que o aluno 01 trocou a

operação de multiplicação por adição, e efetuou os cálculos

corretamente, se fosse uma adição. Na segunda figura, ocorreu o

contrário, o aluno 17 realizou a operação de multiplicação no lugar da

adição, e multiplicou corretamente, inclusive aplicou a regra se sinais

adequadamente.

Com relação às respostas incorretas para a multiplicação (+ 6) ×

(+ 15), observamos que das 18 respostas erradas, 7 delas realizaram a

multiplicação dos sinais corretamente, no entanto erraram ao efetuar a

multiplicação, obtendo como resposta, por exemplo, +80, +60, etc.

Apenas 2 das 18 respostas incorretas apresentaram -90 como resultado

desta operação, ou seja, efetuaram o cálculo adequadamente, porém

erraram na aplicação da regra de sinais.

As justificativas apresentadas para cada um dos itens desta

questão não estavam tão elaboradas como no teste da adição, os alunos

foram mais sucintos em suas respostas. Porém, notamos que nas

justificativas para a adição de números relativos prevaleceu a ideia de

deslocamentos sobre a reta numérica. Nas justificativas apresentadas nas

multiplicações, a predominância foi a de respostas curtas como:

Figura 25- Justificativa apresentada pelo aluno 14.


155

Desse modo, não podemos fazer uma análise mais apurada. No

entanto, encontramos também algumas justificativas mais elaboradas,

vejamos: Figura 26 - Justificativa apresentada pelo aluno 26.


Figura 27 - Justificativa apresentada pelo aluno 11.


Nestes exemplos, assim como em outros , observamos que a regra

sinais emerge em meio às regularidades que foram propostas durante a

sequência de ensino. Nota-se que a regra de sinais não está

completamente consolidada, mesmo porque os alunos ainda se

encontram num processo de construção, o que exige um certo tempo

para que possa se estabelecer plenamente.

Uma justificativa interessante merece destaque neste contexto,

uma vez que ela é um forte exemplo de como o modelo comercial traz

prejuízos ao ensino da multiplicação dos relativos:

Figura 28 - Justificativa apresentada pelo aluno 07.


156

Este aluno obteve sucesso em todos os seus cálculos e

justificativas até o momento que se deparou com uma multiplicação

entre dois números negativos. Então, o modelo comercial que se

adequava tão bem até o momento, deixou de funcionar e o conduziu a

um resultado errado. Neste sentido, Coquin-Viennot nos aponta que:

Essa concepção (na base concreta) não pode

funcionar numa estrutura multiplicativa; é

necessário revertê-la a fim de prosseguir a

aprendizagem, mas ela está bem estabelecida, bem

cômoda para resolver os problemas aditivos

encontrados até aqui, que ela, nela mesmo,

constitui um verdadeiro obstáculo para a

instalação do nível IV (1985, p. 184, tradução

nossa).45

O nível IV que Coquin-Viennot menciona é justamente a

concepção da multiplicação de números relativos. Em outras palavras, o

modelo concreto que funciona muito bem para o ensino das

propriedades aditivas constitui-se como um entrave para o ensino das

propriedades multiplicativas desses números.

A segunda questão desse teste apresentava a seguinte situação:

“Marcos vendeu sua moto, mas irá receber o dinheiro em 18 parcelas de

R$ 235,00.” Nestas condições, a questão solicitava, na primeira

alternativa, que os alunos, utilizando números inteiros, escrevessem uma

expressão numérica que representasse essa situação. Dos 37 alunos que

participaram desse teste, temos os seguintes resultados: 24 escreveram a

expressão numérica corretamente; 5 não conseguiram escrever a

expressão corretamente e 8 deixaram a questão em branco. Neste caso,

observamos que a necessidade de mudar de registro, passando da

linguagem natural para a escrita numérica pode ter contribuído para os

índices de respostas erradas e em branco.

No segundo item desta questão, os alunos deveriam escrever o

valor total que Marcos iria receber. Como resposta a esta alternativa

encontramos 12 respostas corretas; 21 incorretas e 4 em branco. Em

relação ao item anterior, podemos perceber que, apesar de 24 alunos

45

Cette conception (à base concrète) ne peut fonctionner dans une structure

multiplicative; il faut la renverser pour poursuivre l‟apprentissage, mais elle est

si bien établie, si commode pour résoudre les problèmes additifs rencontrés

jusque là, qu‟elle, en elle-même, constitue um véritable obstacle à l‟installation

du niveau IV.

157

terem montado a expressão numérica corretamente, apenas12 alunos

efetuaram o cálculo corretamente. Os 21 alunos que erraram a resposta

apresentaram dificuldades para efetuar a multiplicação entre os números

18 e 235.

No último item dessa questão, foi proposta a seguinte situação:

“Se Marcos quiser comprar outra moto que custe R$ 7.000,00, o

dinheiro que irá receber será suficiente? Por quê?” Dentre os alunos que

participaram do teste, encontramos 10 respostas corretas; 20

parcialmente corretas; 3 respostas incorretas e 4 em branco. Com

relação às respostas parcialmente corretas, todos alegaram que o

dinheiro não seria suficiente, porém ao justificarem a sua resposta

apresentaram valores não correspondentes com a situação, por exemplo:



Os alunos sabiam que o dinheiro não seria suficiente, no entanto

erraram ao efetuar os cálculos.

Na terceira questão desse teste, os alunos deveriam colocar no

lugar de cada letra um número inteiro que atendesse as operações

propostas pelo quadro:

-7 . -4 = A

=

+

+29 -10

+ =

C = -2 × B

158

O detalhamento dos índices de acertos referentes aos valores

encontrados para as letras deste quadro está exposto na tabela a seguir:

Tabela 11 - Resultados referentes a questão 3 do teste da multiplicação

Incógnita No de acertos N

o erros Em branco

A 30 03 04

B 11 20 06

C 08 23 06


Com base nesta tabela, podemos observar que 81,08% dos

alunos que participaram do teste obtiveram sucesso na multiplicação (-

7) × (-4) que corresponde ao valor da incógnita A, ou seja, a

multiplicação de dois números negativos parece estar consolidada.

Entretanto, apesar do alto índice de acertos para o valor da incógnita A,

o percentual de acertos para a incógnita B, que correspondia a operação

(+28) + (-10), caiu para 29,72%, e, como o valor de C dependia de B ou

da igualdade (-7) = +29 + C, este índice de acertos, consequentemente,

também apresentou uma queda. Inferimos que estes baixos índices de

acertos referentes as incógnitas B e C, decorrem da forma de como a

questão foi apresentada, uma vez que, em oportunidades anteriores, os

mesmos alunos já demonstraram não terem dificuldades para efetuarem

uma adição e nem uma multiplicação entre um número positivo e um

número negativo.

Nesse teste, a quarta questão foi retirada do livro didático

Matemática do Projeto Araribá, que propôs a seguinte situação:

Sérgio e Paulo estavam brincando com um jogo

que funcionava segundo as regras: a cada resposta

certa, o jogador anda 3 casas para frente; a cada

resposta errada, anda 2 casas para trás. Ganharia o

jogo quem primeiro alcançasse a 25a casa. Os dois

jogadores responderam a um total de 20 questões

cada um. Sérgio acertou 12 e Paulo acertou 13

(2006, p. 72).

159

Nestas condições, no primeiro item da questão foi perguntado:

“Quantas questões cada um deles errou?” Dentre os alunos que

realizaram o teste, 18 responderam corretamente; 17 erroneamente e 2

não responderam. Acreditamos que os alunos que não responderam

corretamente este item tiveram dificuldades na leitura e na interpretação

da questão, pois grande parte das respostas incorretas apresentou como

resposta “Sérgio 12 e Paulo 13” justamente os valores que estavam no

problema, representando a quantidade de acertos de cada um dos

personagens.

O segundo item desta questão perguntava: “Quantas casas

Sérgio andou para a frente? E para trás?” No conjunto das respostas,

obtivemos 12 respostas corretas; 5 parcialmente corretas; 15 incorretas e

5 não foram respondidas. Nas respostas parcialmente corretas, todos

acertaram o número de casas que Sérgio andou para a frente, porém

erraram o número de casas que ele andou para trás. Novamente, neste

item se apresenta a dificuldade que os alunos têm na interpretação

textual, e podemos perceber, de acordo com a teoria dos registros de

representação semiótica de Duval, como passagem de um registro a

outro é um processo custoso. Aqui as dificuldades que se apresentam

não se encontram na ordem do tratamento dos registros, mas, sim, na

conversão.

Como terceiro item desta questão foi perguntado: “Quantas

casas Paulo andou para a frente? E para trás?” Dos alunos pesquisados,

11acertaram a questão; 6 acertaram parcialmente; 15 erraram e 5 não

responderam. Nas respostas parcialmente corretas, os alunos acertaram

somente um dos casos, ou para a frente ou para trás. Nesta situação,

podemos observar que os índices de acertos e de erros estão muito

próximos com os apresentados no item anterior, acreditamos que os

problemas também sejam da mesma natureza.

Dando continuidade ao trabalho, no quarto item da questão foi

solicitado aos alunos que eles dissessem a casa em que cada um dos

jogadores parou. No conjunto das respostas, obtivemos 5 corretas; 4

parcialmente corretas; 16 incorretas e 12 em branco. Com relação as

respostas parcialmente corretas, os alunos acertaram somente uma das

alternativas, acertaram a posição da casa de Paulo ou a de Sérgio.

No último item desta questão, foi perguntado: “Quem ganhou o

jogo?” O resultado foi surpreendente, 31 alunos acertaram; 1errou e 5

não responderam. Os resultados obtidos nesta questão não estão de

acordo com o esperado, uma vez que, durante todo o desenvolvimento

da questão, o índice de acertos foi bem inferior ao de erros e que o

resultado final dependia desses acertos.

160

Como os alunos conseguiram acertar o vencedor sem ter

realizado os deslocamentos solicitados no desenvolvimento do jogo?

Então, estamos frente a um desafio. Será que os alunos contaram com a

sorte, ou eles realizaram superficialmente os deslocamentos? Mesmo

sem conseguir respostas imediatas a estes questionamentos, de um modo

geral, percebemos por meio desta questão o quão difícil é para os

estudantes mobilizarem os seus conhecimentos e realizarem a

conversão. Como nos aponta Duval (2005), a mudança de registros

muitas vezes é uma barreira intransponível para a maioria dos alunos, no

entanto a coordenação de diferentes registros exercem um papel

fundamental nos processos de compreensão.

Por fim, foi solicitado aos alunos, na última questão deste teste,

que eles descobrissem o erro cometido por Jonas na resolução da

expressão:

A seguir, foi perguntado, no primeiro item da questão: “Qual foi

o erro que Jonas cometeu ao resolver a expressão?” Apenas 3, dos 37

alunos participantes, perceberam que foi no sinal do 74; 11 alunos não

responderam a questão; 9 alunos mencionaram que o erro estava no

resultado final, porém apresentaram outros valores diferentes e não -74;

6 alunos justificaram que houve erro nos sinais, contudo não

especificaram o caso; 8 alunos apresentaram respostas diversas como:

“Ele trocou o sinal era +3 ele colocou -3” [08] ou ainda, “O erro foi que

(-1) + 4 é igual a +3 não a mais 4” [26]46

. Podemos observar, por meio

dos resultados apresentados para este item, que os alunos ainda se

encontram num processo de entendimento dos procedimentos

necessários para realizar o cálculo de uma expressão numérica. Talvez

nesse exercício esse fato tenha tomado lugar de destaque devido ao grau

de complexidade da questão.

No segundo tópico da questão foi perguntado: “Será que este tipo

de erro é comum? Por quê?” Dentre o conjunto de respostas

apresentadas para esta pergunta, encontramos 11 em branco; 4 disseram

que sim, mas não justificaram; 5 disseram que sim e que o erro é comum

46

Os números [08] e [26] referem-se a identificação dos alunos.

(-3) . (+ 19 + 6) + ( +3). (-1) + 4 =

(-3) . (+ 25) + (- 3) + 4 =

- 75 – 3 + 4 = 74

161

por falta de atenção, ou por fazer muito rápido não realizando as devidas

correções; 9 afirmaram ser comum porque confundem os sinais

dependendo da operação; 7 apresentaram respostas aleatórias não

condizentes com a pergunta e apenas 1 resposta afirmou não ser comum

este tipo de erro.

É possível observar, por meio das respostas apresentadas neste

item, que os alunos estão conscientes das dificuldades que se

estabelecem na realização do cálculo que envolve números relativos.

Mesmo não tendo apontado corretamente o erro cometido por Jonas no

desenvolvimento dos cálculos, eles foram capazes de perceber os riscos

pertinentes na execução deste cálculo.

Finalizando a questão, foi solicitado aos alunos para que eles

resolvessem a expressão que fora resolvida por Jonas. No conjunto total

das respostas, obtivemos um número expressivo de respostas em branco:

21 alunos não resolveram a expressão; 7 alunos resolveram a expressão

parcialmente correta; 6 erraram e apenas 3 alunos resolveram os

cálculos corretamente.

Com base nestes resultados, percebemos que os alunos se

encontram num processo de apropriação das propriedades

multiplicativas dos relativos. O domínio das operações dos números

inteiros ainda deve levar um certo tempo, os alunos, de acordo com os

elementos da transposição didática, precisam de tempo para superar os

seus bloqueios e atingir uma posição de equilíbrio frente as novas

situações de aprendizagem47

.

Analisando os dados obtidos por meio da aplicação deste teste e

estabelecendo relações com as nossas categorias de análise, percebemos

que o nível I de compreensão já foi ultrapassado. Os alunos não tratam

os relativos como se fossem naturais, prova disso pode ser encontrada

nas respostas apresentadas na primeira questão, tanto nos resultados dos

cálculos, quanto nas justificativas.

No que diz respeito ao nível II, em que os negativos são

tratados separadamente dos positivos, não percebemos indícios desta 47

De acordo com os elementos da transposição didática difundidos por

Brousseau e Chevallard o tempo didático destaca-se do tempo de aprendizagem.

O tempo didático corresponde ao tempo designado nos programas escolares e

nos livros didáticos para o cumprimento do ensino de um conteúdo. No entanto,

o tempo de aprendizagem é específico a cada sujeito, uns aprendem mais rápido

do que outros. “O tempo de aprendizagem é aquele que está mais vinculado

com as rupturas e os conflitos do conhecimento, exigindo uma permanente

reorganização de informações, e que caracteriza toda a complexidade do ato de

aprender” (apud PAIS, 2008, p. 33 - 34).

162

separação. Isto porque os alunos efetuam a adição algébrica dos inteiros

por meio de deslocamentos sobre a reta e isso acaba contribuindo para

que eles percebam o conjunto dos inteiros como uma união entre

positivos, negativos e o zero.

Por meio das análises das respostas obtidas nas questões 1, 3 e

4 deste teste, notamos que o nível III de compreensão caminha para a

sua consolidação. A reta numérica foi unificada, e os problemas aditivos

são resolvidos nos relativos. A predominância dos deslocamentos sobre

a reta, nas justificativas apresentadas na primeira questão, nos convidam

a pensar que a compreensão das propriedades aditivas por meio de

deslocamentos sobre a reta contribuíram para o estabelecimento deste

nível de compreensão.

Com relação ao nível IV de compreensão, notamos que os

alunos se encontram em processo de assimilação das propriedades

multiplicativas. O conjunto de respostas obtidas nas questões 1, 2, 3 e 4

mostrou que a multiplicação de números inteiros obteve um número

considerável de sucessos. Entretanto, os alunos ainda não assimilaram

completamente as propriedades multiplicativas dos relativos.

Acreditamos que, no próximo teste, estas propriedades estejam mais

bem definidas e compreendidas pela turma.

5.3.3 Análise do teste da subtração de números inteiros relativos

O teste deste bloco de ensino foi realizado em duplas, e os alunos

puderam consultar seus materiais como cadernos, livro didático e listas

de exercícios. O tempo de duração do teste foi de 1 hora, sendo

realizado por 36 dos 39 alunos que compõem a turma. Os demais alunos

faltaram no dia da aplicação do teste.

Na primeira questão do teste, foi solicitado aos alunos que

resolvessem a seguinte situação problema: “Durante as férias, Carla e

Mateus foram para a serra. No início da viagem, ainda em sua cidade,

Mateus verificou que a temperatura local era de 25° C. Já, na serra,

Carla viu que a temperatura era de 18° C. Qual foi a variação da

temperatura ao longo da viagem?” Do total de alunos que participaram

do teste, 28 alunos indicaram que houve uma variação de 7 graus; 4

alunos não indicaram a variação corretamente e 4 não responderam a

questão. Por meio desta questão, podemos perceber que a maioria dos

alunos consegue realizar deslocamentos sobre a reta numérica e realizar

a subtração de números relativos.

163

Para os alunos resolverem a segunda questão, eles precisavam

completar o quadrado mágico, nele a soma nas linhas verticais,

horizontais e diagonais deveria ser sempre a mesma.

- 3 - 2

0

+3

Do total de respostas, obtivemos 10 alunos que completaram os

quadrados mágicos corretamente; 14 parcialmente corretos e 12

incorretos. Os quadrados mágicos completados de modo parcialmente

corretos evidenciavam que os números que estavam localizados em

lados opostos do zero eram opostos.

No entanto, os alunos não atentaram ao fato que a soma nas

linhas e colunas também deveriam ser iguais a zero. Nesta questão, a

dificuldade encontrada para a sua resolução não diz respeito à soma

algébrica dos números, mas sim em elaborar uma soma algébrica que

possa ser enquadrada nos critérios estabelecidos. Critérios estes, que os

próprios alunos tiveram que buscar, neste caso, saber que a soma em

todas as linhas eram iguais a zero.

Na terceira questão, os alunos deveriam completar a trilha

conforme a indicação das setas:

Vertical: adicione (- 2)

Horizontal: subtraia (- 5)

+7

164

No final, os alunos deveriam indicar o resultado a que chegaram.

Somente 4 alunos chegaram ao resultado final correto; 32 alunos não

conseguiram completar a trilha corretamente. A maior dificuldade

percebida está relacionada as operações e a mudança de sinais para

resolver a subtração. Os alunos não relacionaram a expressão subtrair

(– 5) a somar 5, pois – (-5) simplificando a expressão torna-se +5.

Vejamos um exemplo do que estamos dizendo:

Figura 30 - Resposta apresentada pelos alunos 02 e 21.


Neste caso, assim como em outros que nos foram apresentados

como resposta, podemos observar que logo no início, os alunos ao invés

de subtraírem (-5) adicionaram (-5), na sequência, adicionaram (-2)

como o recomendado. Nos relativos, o fato da subtração de um número

negativo estar associado a uma soma, constitui um obstáculo a ser

superado. Isso porque a subtração nos relativos tem uma concepção

diferente daquela encontrada nos naturais.

De acordo com Teixeira, a subtração de números relativos está

associada a trabalhar com operadores negativos que operam

transformações de oposição. Deste modo,

[...] a generalização do caráter de inversão

presente na subtração para os inteiros é muito

mais complexa, porque é preciso identificar com

clareza a operação que está em jogo, tarefa não

165

muito simples, quando se trata de operar com

números positivos e negativos (TEIXEIRA, 1993,

p. 64).

Percebemos por meio das respostas desta questão que a adição

com números inteiros parece não apresentar dificuldades, uma vez que

os alunos adicionaram corretamente o (-2). No entanto, a operação de

subtração parece ainda não ter sido superada, encontra-se em processo

de construção e aprimoramento.

A quarta questão do teste solicitava aos alunos que eles

escrevessem uma situação que representasse a operação (+ 20) – (- 5).

Nenhum aluno conseguiu escrever uma situação que representasse

realmente uma subtração de um número negativo; 22 alunos escreveram

situações relacionadas a perder ou tirar, e 12 alunos não escreveram a

situação.

No conjunto das respostas, foi possível perceber como o conceito

da subtração ainda se encontra fortemente atrelado a concepção de tirar.

Os alunos ainda não conseguiram ampliar o conceito de subtração nos

relativos. Vejamos algumas situações que reforçam a nossa afirmação:





Estas situações expressam com detalhes a concepção de

subtração que ainda está presente na turma. Embora tenha sido

trabalhado para que eles tivessem esta concepção ampliada, parece que,

neste momento, ela ainda não vingou. Isso não significa dizer que eles

não terão este conceito ampliado, mas sim que esta concepção se

encontra em processo de mudança.

Dentre as situações que nos foram apresentadas, merece ser

destacado que houve uma situação especial. Nela os alunos perceberam

166

que precisariam efetuar uma adição para resolverem a situação. E, então,

escreveram uma situação que envolvia uma adição, ao invés de

escreverem uma situação que apresentasse a subtração um número

negativo.



Neste caso, não se pode dizer que os alunos não compreenderam

que para subtrair um número negativo é preciso somar. No entanto, eles

não conseguiram pensar numa situação que apresentasse realmente a

subtração de um número negativo.

Na quinta questão, foi proposta aos alunos a seguinte situação:

“Uma pessoa encontra-se em uma câmara frigorífica cuja temperatura é

de – 8º C. Ao sair, encontrará uma temperatura ambiente de 23º C. Qual

a variação de temperatura que essa pessoa terá de suportar?”

Dos 36 alunos que participaram do teste, apenas 4 responderam

corretamente; 26 erraram a questão e 6 alunos não responderam.

Podemos observar dentre as respostas incorretas que, 14 alunos

apontaram 15 graus como a variação da temperatura para esta situação.

Ou seja, os alunos ao invés de subtrair (-8), acabaram adicionando (-8)

para encontrar a variação da temperatura. Isto porque, como já

comentamos anteriormente, a subtração de números relativos significa

trabalhar com operadores negativos que operam transformações de

oposição. Neste caso, os alunos sabiam que precisavam da operação de

subtração, no entanto eles não realizaram o jogo de sinais a fim de

simplificar a expressão, obtendo, deste modo, uma soma.

É interessante perceber que a quinta questão é justamente uma

situação que poderia ser usada como exemplo para a resolução da quarta

questão. Na quarta questão, foi utilizado o registro numérico, enquanto

que na quinta questão foi utilizada a linguagem natural. Embora os

valores numéricos não sejam os mesmos, ambas as situações expressam

o conceito de subtração, porém utilizando-se registros diferentes. Neste

sentido, Duval (2009) coloca que a atividade de conversão não é

simétrica, ou seja, nem sempre a conversão inversa permite reencontrar

o registro de partida.

167

Podemos analisar esta questão, também sob a perspectiva da

congruência semântica. A situação que foi proposta é semanticamente

congruente a expressão +23 – 8, no entanto, neste caso, a congruência

semântica destaca-se da equivalência referencial, conduzindo a um

resultado incorreto.

De acordo com Duval, a maior parte dos insucessos cometidos

pelos alunos nas atividades matemáticas está fortemente relacionada aos

fenômenos da congruência semântica. “[...] a verdadeira fronteira,

aquela que bloqueia muitos alunos é a congruência e a não congruência

semântica no jogo da substituição de uma expressão a outra ou de uma

representação a outra” (2012, p. 116). Assim, nesta questão, grande

parte dos alunos seguiu o caminho da congruência semântica e não

conseguiu resolver a questão adequadamente.

A sexta questão do teste apresentou um esquema que representou

uma máquina que levava o número inteiro x a um outro número inteiro

y.

x Multiplica por (-3) soma (+4) y

Primeiramente, foi perguntado qual o valor de y para x igual a 1.

Neste caso, para resolver a questão, os alunos deveriam substituir o

valor de x por 1, multiplicar por (-3) e somar a (+4) para obterem o valor

de y. Dos alunos que participaram do teste, 8 responderam corretamente;

22 erroneamente e 6 não responderam a questão. Dentre as respostas

incorretas, percebemos que os alunos substituíram adequadamente o

valor de x, porém erraram na execução dos cálculos.

Figura 34 - Resposta apresentada pelos alunos 30 e 39


Neste exemplo, assim como em outros que nos foram

apresentados, percebemos que a dificuldade encontrada está centrada no

campo do tratamento dos registros e não na atividade de conversão, pois

a passagem da linguagem natural para o registro numérico aconteceu

168

espontaneamente. Neste caso, a congruência semântica está em

consonância com a equivalência referencial, fato que contribuiu para o

sucesso da conversão.

No segundo item, desta questão foi solicitado aos alunos que

eles determinassem o valor de y quando x igual a zero. No conjunto das

respostas, obtivemos 12 alunos que resolveram a questão corretamente;

18 não responderam corretamente e 6 alunos deixaram a questão sem

resposta. Como este item da questão envolveu os mesmos

procedimentos de resolução do item anterior, porém com valores

diferentes, as características das respostas incorretas são muito

parecidas; ou seja, os alunos converteram a linguagem natural num

registro numérico, mas não resolveram os cálculos adequadamente.

Ainda, na mesma questão, o terceiro item pedia aos alunos que

determinassem o valor de x quando y igual a 7. Do total das respostas

obtidas, 8 alunos responderam corretamente; 20 erroneamente e 8 alunos

não responderam a questão. Nas respostas corretas, observamos que os

alunos resolveram a questão atribuindo valores a x, por tentativas, para

encontrar o valor de y. Vejamos:



Como os alunos ainda não aprenderam a resolver equações pelo

processo algébrico, eles resolveram por meio de tentativas, ou seja, eles

precisavam encontrar um número que multiplicado por (-3) e somado

com (+4) desse como resultado 7. O raciocino requerido para resolver

este item foi diferente dos itens anteriores, exigiu uma elaboração de

pensamento bem mais complexa. No entanto, o índice de acertos foi o

mesmo apresentado no primeiro item.

Dentre as respostas incorretas, percebemos que os alunos

substituíram o valor de y no lugar de x e encontraram um outro valor para y, e não o valor de x como sugeria a questão. Inferimos que este

problema decorre das dificuldades de interpretação, levando os alunos a

fazerem substituições erradas.

Finalizando a questão, o último item solicitava que os alunos

determinassem o valor de x quando y igual a 13. Dos alunos que

169

realizaram o teste apenas 6 acertaram a questão; 20 não responderam

corretamente e 10 alunos deixaram a questão em branco. Como este

item da questão é parecido com o item anterior, as características das

respostas também são muito parecidas. As respostas corretas foram

realizadas por meio de tentativas e as respostas incorretas através de

substituições inadequadas.

Na última questão do teste, os alunos deveriam realizar o

cálculo de quatro expressões numéricas envolvendo a adição, a

multiplicação e a subtração de números inteiros. O detalhamento dos

índices referentes a esta questão encontra-se na tabela a seguir:

Tabela 12 - Resultados referentes a questão 7 do teste da subtração.

Expressão

numérica

No de

respostas

certas

No de respostas

parcialmente

certas

No de

respostas

incorretas

(-23) + (-14) – (-56) 10 14 12

(-5)× (-3+14) – (21) 10 12 14

(-8–6)×(-4) +(-3+ 7) 08 12 16

(-12+31)–(4)+(+26) 16 06 14


Nesta questão, todos os alunos resolveram as quatro expressões,

não havendo nenhum caso de resposta em branco. Podemos observar

que o número de alunos que resolveram as expressões corretamente,

somado ao número de alunos que acertaram as expressões parcialmente,

em todos os itens, somou mais que 50% da turma. Nas respostas

parcialmente corretas, percebemos que os alunos realizaram o jogo de

sinais corretamente na simplificação das subtrações.

Ao realizarem as multiplicações, erraram no cálculo aritmético,

mas fizeram o jogo de sinais adequadamente. Observamos, também, por

meio do desenvolvimento do cálculo dessas expressões, que os alunos

apresentam oscilações nos seus cálculos. Ora resolvem corretamente

uma adição com relativos, ora efetuam a mesma operação erroneamente.

Este fato também se estende para as operações de subtração e de

multiplicação. Acreditamos que essas oscilações façam parte do processo de construção das generalizações a respeito dessas operações.

A partir do momento em que essas operações se estabelecerem

plenamente, essas oscilações deixem de acontecer. Vejamos um

exemplo que reforça a nossa posição:

170



Neste exemplo, assim como em outros que nos foram

apresentados, observamos que, no primeiro item, a soma entre (-23) e (-

14) resultou em + 37. Entretanto, logo abaixo no item c, a mesma soma

algébrica entre dois números negativos (-8 -6) resultou em -14. Podemos

observar, ainda, que a simplificação da subtração, por meio da aplicação

da regra de sinais, aconteceu naturalmente.

No conjunto das respostas incorretas, percebemos vários

procedimentos de cálculo realizados de modo incorreto. Vejamos um

caso:



171

Neste exemplo, podemos observar que a soma algébrica (-3+14)

resultou em +9, os alunos diminuíram os valores e consideraram o sinal

do número maior em módulo, porém não obtiveram sucesso nessa

diminuição. Por outro lado, no item c, eles realizaram a soma algébrica

entre +48 e – 3 corretamente, embora o resultado +48 não represente o

resultado da multiplicação entre (-14) e (-4). Notamos que todas as

multiplicações apresentaram o produto com o sinal adequado e a

simplificação na eliminação dos parênteses foi realizada com sucesso.

Com base nos resultados apresentados por meio da aplicação

deste teste, e relacionando estes resultados com as nossas categorias de

análise, apontamos algumas considerações. Com relação ao nível I, onde

os relativos são tratados como os naturais, percebemos que os alunos

não operam os relativos como se fossem naturais, uma vez que eles

atendem as especificidades dos sinais, como foi apresentado nas figuras

25 e 26. Embora esses alunos não tenham efetuado o cálculo

adequadamente, eles operaram os números considerando a sua condição

de ser positivo ou negativo.

No que diz respeito ao nível II, em que os negativos são

tratados separadamente dos positivos, percebemos que os alunos

consideram o conjunto dos relativos como um todo. Isto porque as

adições algébricas são efetuadas por meio de deslocamentos sobre a reta

numérica dos inteiros. Embora nem sempre tenham sucesso em suas

movimentações, como apresentamos no decorrer da análise das

respostas, mesmo assim, não percebemos uma separação entre positivos

e negativos na realização dos procedimentos de cálculo.

Percebemos que o nível III foi alcançado parcialmente pelos

alunos. Neste nível de compreensão, a reta numérica é unificada e os

problemas aditivos são resolvidos nos relativos. No que se refere à

unificação da reta numérica, esta concepção parece ter se estabelecido,

por meio das respostas obtidas por intermédio dos cálculos apresentados

nas adições algébricas, uma vez que eles associam o cálculo a

deslocamentos sobre a reta numérica. Contudo, no que diz respeito aos

problemas aditivos serem resolvidos nos relativos, os alunos

demonstraram dificuldades tanto para escreverem uma situação que

representasse uma subtração, quanto para resolverem uma situação que

envolvia a subtração de um número negativo, como nos mostraram os

resultados das questões 4 e 5. Nas respostas encontradas para a questão

4, notamos o quanto a concepção de subtração ainda está atrelada a ideia

de tirar. Esta concepção tão fortemente instituída nos naturais encontra

agora dificuldades nos relativos.

172

Referente ao nível IV, onde os problemas multiplicativos são

assimilados, percebemos por meio das questões 6 e 7 que os alunos

conseguem efetuar adequadamente a multiplicação dos sinais, embora,

muitas vezes, acabem errando no produto desses números. Observamos

que, em relação ao teste aplicado para a multiplicação de números

relativos, os alunos apresentaram um progresso considerável nos

procedimentos realizados no cálculo das expressões numéricas. Antes,

os alunos mal conseguiam apontar os erros na execução de uma

expressão, agora já conseguem resolver uma expressão envolvendo a

adição, a multiplicação e a subtração com números relativos, atendendo,

assim, as nossas expectativas.

173

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

O presente trabalho é uma tentativa de mostrar, em que medida o

ensino dos números relativos conduzido por meio do “princípio de

extensão” pode contribuir para minimizar os problemas enfrentados

pelos alunos na multiplicação desses números. Historicamente, vimos

que o processo de consolidação do conceito de número negativo sofreu

hesitações tanto na comunidade dos matemáticos, quanto na

comunidade dos professores. A procura por um bom modelo que

explicasse a multiplicação - × - = +, só se resolve quando a matemática

acadêmica assume que não há significado na natureza que explique esse

produto. Então, a academia passa a buscar um significado produzido

com base nos princípios internos da própria matemática.

Se, historicamente, o processo de consolidação do número

negativo enfrentou problemas ao procurar um bom modelo que

explicasse a regra de sinais entre dois números negativos, ainda, hoje,

passados mais de um século, presenciamos esse tipo de abordagem, em

grande parte, dos livros didáticos. Então, sentimos a necessidade de

buscar subsídios teóricos que fundamentassem a nossa sequência

didática, na tentativa de amenizar os obstáculos enfrentados pelos alunos

no que diz respeito ao processo de ensino e aprendizagem dos relativos.

Nesse sentido, percebemos, por meio da nossa experiência, que o

ensino da adição de números relativos, conduzido através de

deslocamentos sobre a reta numérica, proporcionou aos alunos uma

aprendizagem desprendida de regras pré-estabelecidas. Assim, os alunos

por meio das movimentações, realizadas na reta numérica, foram

capazes de sinalizar a formação de generalizações a respeito das regras

de sinais para a adição de números inteiros.

Como o ensino da adição foi conduzido, atendendo o “princípio

de extensão”, opondo-se ao modelo comercial, a maioria dos alunos não

associou a ideia de ganho a um número positivo e a ideia de uma perda a

um número negativo. Esse fato contribuiu para que os alunos aceitassem

que o produto de dois números negativos precisa ser positivo para

atender as condições internas da própria matemática.

Um forte exemplo de como o modelo comercial cria obstáculo na

compreensão das propriedades multiplicativas dos números negativos,

pode ser observado por meio da justificativa apresentada por um aluno,

como nos mostra a figura a seguir:

174



Este exemplo corrobora o que viemos tentando mostrar ao longo

deste trabalho. Apesar de toda uma sequência didática planejada a fim

de não associar o número positivo a um ganho e o número negativo a

uma perda, por exemplo, esta concepção trazida de experiências

anteriores não foi abalada. Nas justificativas apresentadas por esse

aluno, percebemos, sem sombra de dúvidas, que o modelo comercial

que serviu para explicar as propriedades aditivas e até mesmo algumas

multiplicativas encontrou obstáculos para explicar a multiplicação entre

dois números negativos.

Por meio das respostas obtidas pela aplicação dos testes,

principalmente na terceira e na quarta questão do teste da adição, e, na

quarta e quinta questão do teste da subtração, percebemos que as

atividades que exigiram uma conversão de registros nem sempre foram

resolvidos com sucesso. Isso porque as situações de ensino, em que a

congruência semântica se destacou da equivalência referencial, seguindo

Duval (2012), contribuíram para um número menor de acertos em

relação aos casos em que a congruência semântica e a equivalência

referencial conduziam aos mesmos resultados, como os resultados

apresentados na primeira questão do teste da subtração.

Alertamos para o fato de que é preciso que o professor tenha um

olhar atento a essas questões. Propor diferentes formulações para um

mesmo tipo de problema pode ser um caminho que ajude a diminuir as

dificuldades encontradas pelos alunos, quando não há congruência

semântica entre a situação e a expressão matemática correspondente. A

utilização de vários registros de representação semiótica e a atividade de conversão, também, se mostram importantes neste processo, no sentido

de conduzir o aluno a apropriação do objeto matemático.

Nessa direção, a variedade de registros utilizados para o ensino

das operações de adição, subtração e multiplicação com números

Aqui o modelo

comercial funcionou

para explicar as

operações.

Neste caso, o modelo

comercial impediu o

sucesso da resposta.

175

relativos, poderá contribuir para que o aluno tenha uma ideia global a

respeito do objeto matemático, permitindo, desse modo, que o aluno não

confunda o objeto matemático com a sua representação.

Na nossa sequência didática, a regra de sinais da multiplicação foi

apresentada por meio de uma sequência de produtos, como a sugerida

pelo Caderno 9 da Coleção NCTM (apud PONTES, 2010) e também de

acordo com a demonstração sugerida por Moretti (2012), ambas

utilizando argumentos aritméticos. Observamos nas reações dos alunos

que a justificativa apresentada pelo Caderno 9 obteve uma melhor

receptividade. Acreditamos que esta aceitação possa estar associada, de

certo modo, ao fato de nós termos mobilizado os conhecimentos que já

estavam ao alcance da maior parte dos alunos. Essa mobilização

aconteceu no momento em que apresentamos, primeiramente, a

multiplicação de dois números positivos e de um número positivo por

um negativo através de deslocamentos sobre reta. Depois, para

completar a sequência fizemos uma análise dos produtos que foram

surgindo e, nesse momento, os alunos perceberam que para continuar a

sequência, ou seja, para atender as regras inerentes à matemática, o - × -

precisa ser +.

As simulações de multiplicação, utilizando as regras - × - = - e - ×

- = +, apresentadas por Moretti (2012), que foram utilizadas na nossa

sequência didática, reforçaram a necessidade de que a única regra que

atende as propriedades distributivas da multiplicação em relação à

adição é a regra usual. Apesar do seu caráter teórico estar a frente da

capacidade de abstração dos alunos, culminando na sua baixa aceitação,

os alunos também puderam constatar que a regra usual precisa ser

mantida a fim de atender as regras específicas que fundamentam a

matemática.

Após a apresentação da operação da adição, apresentamos a

operação de multiplicação e, por fim, apresentamos a operação de

subtração. Na apresentação da operação de subtração, utilizamos a regra

de sinais da multiplicação, a fim de simplificarmos as expressões e

obtermos uma soma algébrica. Com a expressão simplificada, os

deslocamentos sobre a reta numérica tornaram-se possíveis e os cálculos

puderam ser solucionados.

No momento que aconteceu a sequência de ensino da subtração,

percebemos que os alunos já dominavam melhor as operações de adição

e multiplicação. No entanto, o conceito de subtração nos relativos

encontrou dificuldades, isto porque a concepção de subtração, que os

alunos apresentaram, estava fortemente relacionada a ação de tirar.

Como o foco do nosso trabalho foi a multiplicação, ficamos surpresos ao

176

ver emergir dos resultados dos testes esse obstáculo. Enquanto

professora, continuamos atuando na turma até o final do ano letivo e

tivemos condições de reverter essa situação, mas, como pesquisadora,

pensamos que esse seria um tema para estudos posteriores.

A análise dos testes, orientados pelas categorias de análise,

ancoradas na hierarquia das concepções estabelecidas por Coquin-

Viennot (1985), possibilitou identificar os níveis de compreensão na

qual os alunos se encontraram no final da aplicação da sequência

didática. Nossas categorias de análise pautados na hierarquia das

concepções são: Nível I - os números relativos são tratados como

naturais; Nível II - os negativos são tratados separadamente dos

positivos; Nível III - a reta numérica é unificada e os problemas aditivos

são resolvidos nos relativos; Nível IV - os problemas multiplicativos são

assimilados.

Acreditamos que o nível I tenha sido ultrapassado pela maioria

dos alunos, pois as respostas apresentadas nos testes, principalmente na

segunda questão do teste da adição e na primeira questão do teste da

subtração, mostraram que os relativos não são mais tratados como se

fossem naturais. Isso porque a operação de adição não foi associada a

cálculos contábeis, ela esteve relacionada a realização de

movimentações na reta numérica.

A operação de adição sendo apresentada como deslocamentos

sobre a reta numérica contribuiu para que os alunos ultrapassassem o

nível II. Assim, os negativos não são tratados separadamente dos

positivos, como nos apontaram os resultados da terceira questão do teste

da adição e a primeira questão do teste da subtração. Essa forma de

conduzir o ensino da adição acabou contribuindo para que os alunos

percebessem que o conjunto dos números inteiros é uma união entre o

zero, os positivos e os negativos.

A maior parte dos alunos da turma, após a aplicação da sequência

didática, encontrou-se nos níveis III e IV. Alguns, ainda, em processo de

transição. Com relação ao nível III, percebemos que a reta numérica foi

unificada e os problemas aditivos são resolvidos nos inteiros, como nos

apontaram os resultados da terceira questão do teste da adição e da

primeira questão do teste da subtração. No entanto, os problemas

subtrativos não foram alcançados pelos alunos, como nos mostraram os

resultados da quarta e da quinta questão do teste da subtração. Os alunos

não conseguiram se libertar da concepção de subtração atrelada a ideia

de tirar, concebida nos naturais, e ampliar essa concepção nos relativos

em que a subtração desses números significa trabalhar com operadores

negativos que operam transformação de posição.

177

O nível IV foi atingido por um pequeno grupo de alunos, como

nos mostrou o resultado da sexta e da sétima questão do teste da

subtração e da segunda questão do teste da multiplicação. Esses alunos

assimilaram os problemas multiplicativos, dominando completamente as

operações de adição, subtração e multiplicação nos relativos. Isto indica

que os demais alunos ainda se encontram em processo de transição.

Contudo, os resultados apresentados, na terceira questão do teste da

multiplicação [81,1% de acertos no cálculo da multiplicação (-7) × (-4)],

nos levam a acreditar que a multiplicação entre dois números negativos

parece ter sido alcançada pela maioria dos alunos, após a nossa

intervenção didática.

Como o nosso contato com a turma não se encerrou ao final da

aplicação da sequência didática, continuamos observando os resultados

da aplicação dessa sequência a longo prazo. E podemos relatar que foi

muito bom poder participar de uma experiência completamente

inovadora. Apesar de atuarmos como professora há dezoito anos no

ensino fundamental, esta foi a primeira vez que apresentamos os

números relativos e as suas operações de adição, multiplicação e

subtração, atendendo ao “princípio de extensão”. Na nossa prática,

sempre buscávamos exemplos práticos, do cotidiano dos alunos para

introduzir e ensinar as propriedades aditivas dos números inteiros.

Porém, quando chegava o momento da apresentação da multiplicação

desses números, virávamos a página da contextualização e abríamos a

página da dogmatização. Com esta postura, percebíamos a grande

confusão que se estabelecia entre as regras de sinais da adição e da

multiplicação de números inteiros nas situações de ensino.

Contudo a experiência que vivenciamos, nesse ano, conduzindo o

ensino das operações de adição, multiplicação e subtração atendendo o

“princípio de extensão”, nos fez perceber que aquela confusão entre as

regras de sinais da adição e da multiplicação foram quase extintas.

Mesmo porque as regras para a adição foram construídas pelos alunos

num processo de generalizações por meio dos deslocamentos sobre a

reta numérica e, em nenhum momento, elas foram primordiais na

solução de um cálculo.

Desse modo, a regra de sinais para a multiplicação dos inteiros

pode ser apresentada sem nenhum constrangimento. Ela aconteceu num

processo natural como uma continuidade da adição. A multiplicação de

dois números positivos ou de um número positivo por um negativo

seguiu a ideia de deslocamentos sobre a reta. Assim, os alunos num

processo de observação, de experimentação, de tentativas e erros foram

capazes de fazer generalizações, percebendo que a multiplicação entre

178

dois números negativos precisa ser positivo, a fim de atender as regras

da consistência interna da própria matemática.

Os desafios que permanecem no processo de ensino e

aprendizagem dos números relativos exigem a continuação das

pesquisas, principalmente, no que se refere aos fenômenos da

congruência semântica. Nesse sentido, as reflexões presentes, neste

trabalho, não se esgotam, mas nos remetem a alguns questionamentos

que poderão apontar estudos posteriores. Por que a subtração de

números inteiros é apresentada, nos livros didáticos, sempre após a

operação de adição? Quais as implicações, no ensino, de se apresentar a

operação de subtração de números inteiros após a operação de

multiplicação? Como conduzir o processo de ensino da subtração de

números relativos, a fim de ampliar a concepção que os alunos

apresentam dessa operação concebida nos Naturais? Quais os

obstáculos enfrentados pelos alunos na conversão de situações que

apresentam números inteiros em que a congruência semântica se destaca

da equivalência referencial? Resumidamente, essas são algumas das

reflexões que emergem do nosso trabalho, que podem apontar

desdobramentos para futuras pesquisas.

179

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187

APÊNDICES

189

APÊNDICE A – TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E

ESCLARECIDO


Programa de Pós Graduação em Educação

Científica e Tecnológica – PPGCT

Mestrado em Educação Científica e Tecnológica

Termo

Meu nome é Selma Felisbino Hillesheim. Sou mestranda do

Programa de Pós-Graduação em Educação Científica e Tecnológica da

Universidade Federal de Santa Catarina. Juntamente com meu

orientador, Professor Doutor Méricles Thadeu Moretti, estou

desenvolvendo a pesquisa: Os números relativos em sala de aula:

perspectivas de ensino para a regra de sinais.

O objetivo dessa pesquisa é organizar e aplicar uma sequência de

ensino que aborde os números inteiros relativos pelo princípio de

extensão e verificar as suas possíveis contribuições no processo de

ensino e aprendizagem.

O princípio teórico metodológico desta pesquisa é de ordem

qualitativa, fazendo-se, no entanto, uso da estatística descritiva na

elaboração de tabelas, gráficos, percentuais, se necessário. Nesse

sentido, os instrumentos de investigação serão:

a) a observação participante na turma do 7º ano;

b) teste sobre os Números Inteiros Negativos e suas operações.

Nós garantimos que as informações fornecidas pelos alunos serão

utilizadas apenas nesta pesquisa e que o nome do (a) aluno e da escola

serão mantidos no anonimato.

Em caso de alguma dúvida, mesmo após a realização da pesquisa,

colocamo-nos à disposição para maiores esclarecimentos através do e-

mail [email protected] ou ainda pelo telefone (48) 99130371.

Assinaturas:

Selma Felisbino Hillesheim:___________________________________

Eu, ________________________________, fui esclarecido(a) sobre a

pesquisa: OS NÚMEROS RELATIVOS EM SALA DE AULA:

PERSPECTIVAS DE ENSINO PARA A REGRA DE SINAIS e

concordo que meu filho(a) participe da sequência de ensino.

São José, _________ de ___________________________ de 2012.

Assinatura:________________________________RG:____________

mailto:[email protected]

191

APÊNDICE B – SEQUÊNCIA DIDÁTICA

Sequência didática

Para uma melhor organização de nosso trabalho, nossa

sequência didática foi dividida em três blocos de ensino. No primeiro

bloco, trabalhamos com atividades relacionadas à adição de números

inteiros relativos em que o processo de ensino foi conduzido,

principalmente, usando-se o procedimento de deslocamento sobre a reta

numérica dos inteiros relativos, não associando a ideia de um número

positivo a um ganho, nem a ideia de um número negativo a uma perda.

Demos destaque ao sinal predicativo e ao sinal operatório, a fim de que

os alunos pudessem compreender suas diferenças. Mesmo não

enfatizando a associação de um ganho a um número positivo e uma

perda a um número negativo, estivemos propondo atividades que

apresentaram esse tipo de situação para que os alunos pudessem ampliar

e construir novos significados para a adição de números inteiros

relativos percebendo as diferenças entre sinal predicativo e sinal

operatório. Para a realização desse bloco de atividades foram previstas

de 7 a 8 aulas de 45 minutos.

No segundo bloco, apresentamos a multiplicação de números

inteiros relativos baseado no Teorema de Hankel que tem por base a

ideia de extensão da propriedade distributiva dos números positivos para

o caso dos números negativos. Estivemos também pautados no resultado

apresentado na pesquisa realizada por Pontes (2010), apresentando a

multiplicação dos números inteiros numa abordagem aritmética

vislumbrando possíveis generalizações. A previsão para a realização e

aplicação das atividades deste bloco de ensino foi de 7 a 8 aulas de 45

minutos.

No terceiro bloco, apresentamos a subtração de números

inteiros. Uma vez que os alunos já se apropriaram da regra de sinais para

a multiplicação desses números, puderam fazer uso dessa regra nas

simplificações das expressões numéricas e efetuarem os cálculos

adequadamente. Optamos por apresentar a operação de subtração após a

multiplicação, pois acreditamos que essa atitude poderá facilitar a

aprendizagem desta operação, uma vez que expressões do tipo (+5) – (-

3) precisam ser simplificadas e escritas como +5 +3 para serem

operadas. Os livros didáticos apresentam como alternativa de resolução

desta operação a estratégia de se escrever a subtração como a soma do

oposto, por isso apresentam a operação de subtração antes da

multiplicação de números inteiros. No entanto, a nosso ver, essa postura

192

poderá trazer dificuldades para o ensino desta operação por apresentar-

se de forma arbitrária. Para a realização das atividades desse bloco a

previsão foi de 3 aulas de 45 minutos.

Bloco I – Adição de números inteiros

Objetivos:

compreender os processos usados para a adição de números

inteiros na reta numérica;

resolver situações problemas envolvendo números inteiros e, a


adição de números inteiros relativos;

diferenciar os sinais operatórios dos sinais predicativos.

1ª aula: A professora começou a aula pedindo para que os alunos

desenhassem um prédio de apartamentos com 1 andar térreo, 9 andares

acima do térreo, e 2 andares de garagens abaixo do térreo. A seguir,

representaram cada andar desse prédio por um número inteiro. Então, a

professora problematizou: Em que andar se encontra o elevador quando:

a) partindo do térreo, subir 7 andares e, em seguida, subir mais 2

andares;_________

b) partindo do primeiro andar, descer 3 andares;_________

c) partindo do terceiro andar, subir quatro andares e, em seguida, descer

7 andares;____

d) partindo do térreo, descer 2 andares e, em seguida, subir 1

andar.________

E, a partir desta situação direcionou o diálogo com a turma questionando

a possibilidade de desenharmos o prédio na posição horizontal, como ele

ficaria? Levando os alunos a perceberem as similaridades com a reta dos

inteiros. E, então sobre a reta dos inteiros desenhada no quadro na

posição horizontal, definiram como sentido positivo para os

deslocamentos feitos para a direita, e, como sentido negativo os

deslocamentos feitos para a esquerda. A professora propôs várias

situações de deslocamento sobre a reta numérica e em conjunto com a

turma determinou o ponto de chegada. Depois, a professora colocou no

chão da sala um segmento de reta numerada, confeccionada com papel

pardo, e disse que tínhamos ali uma “pista” e sobre esta pista nós

iríamos nos deslocar como fizemos no quadro com a reta numérica, e

pediu a participação dos alunos para fazerem os deslocamentos sobre a

193

pista. Os alunos foram organizados em duplas, um aluno se deslocou na

pista e o outro ditou o direcionamento, fazendo seus registros no quadro

e no final registrou o ponto de chegada, por exemplo: João e José

formaram uma dupla. João andou sobre a pista e José falou a sua

trajetória aleatoriamente e anotou no quadro, assim: (-2) + (+3) + (-1) +

(+4) + (-5) = -1. Nesse caso, o -1 representou o ponto de chegada. Na

sequência, a professora chamou outras duplas para participarem da

atividade.

2ª aula: No início da aula a professora fez uma retrospectiva da aula

anterior e propôs a lista de atividades a seguir, que foi realizada em

grupos de três alunos, contando com o auxílio da professora, e ao final

da aula a professora recolheu a atividade.

1) Desenhe uma reta numérica. Partindo do zero, determine o número de

chegada quando andamos:

a) + 2, e em seguida, +7;_______

b) - 2, e em seguida, - 5;_______

c) + 4, e em seguida, + 2;_______

d) + 3, e em seguida, - 8;_______

e) – 3, e em seguida, +8;_______

f) – 1, e em seguida, - 3;_______

2) Cada letra equivale à soma dos números dos dois blocos

imediatamente abaixo. Determine o número que está no alto da pilha.

(Faça o registro dos cálculos)

F

D E

A B C

- 10 + 8 - 3 + 1

4) Efetue:

a) (– 8) + (+ 3) +(+ 2) + (– 1) + (+ 3) =_____________

194

b) 12 + (– 13) + (– 4) + (+ 5) + (– 3) + 0 + (– 1) = _______

c) – 3 + (+ 7) + (– 6) + (+ 8) + (– 3) + (+ 15) + (+ 2) = _______

d) (– 25) + (+ 3) + (– 18) + (+ 21) + (– 30) + (– 16) =_______

Explique qual foi o seu procedimento para resolver as expressões acima:

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

__________________________________________________________

3ª aula: Nesta aula, a professora retomou as questões da aula anterior,

procurando tirar as dúvidas dos alunos. Depois, organizou a classe em

grupos de 4 ou 5 alunos para aplicar o jogo do tiro ao alvo. Cada equipe

recebeu um alvo colorido, desenhado num pedaço de cartolina, e grãos

de milho. Cada cor do alvo teve como valor um número inteiro, que foi

decidido entre a classe e a professora. Estabelecido os valores, cada

participante do grupo jogou o milho cinco vezes no alvo, montando a

sua expressão numérica e calculou a sua pontuação. Cada integrante do

grupo esteve atento aos cálculos do colega, para que não ocorressem

somas erradas e falsas pontuações. Após a realização dos cálculos, da

primeira rodada, repetiu-se o mesmo procedimento para a segunda,

terceira e quarta rodadas. Ao final, cada equipe somou a sua pontuação

geral e a equipe vencedora recebeu uma salva de palmas da turma. Logo

após, a professora distribuiu para cada aluno um pirulito como uma

forma de premiação pela participação, deixando claro, que nesse jogo

todos somos vencedores, pois conquistamos o melhor prêmio que foi a

aprendizagem.

4ª aula: A professora iniciou a aula questionando a turma sobre o que

acharam da aula anterior? Em seguida, registrou no quadro as

conclusões que a turma chegou e verificou se a turma já conseguia fazer

algum tipo de generalização sobre a adição de números inteiros. No caso

positivo, a professora institucionalizaria esse conhecimento, no caso de

ser negativo, induziria a turma, fazendo perguntas e problematizando.

Até que eles começassem a perceber que quando os números apresentam

o mesmo sinal deveriam somar os valores absolutos dos números

permanecendo com o mesmo sinal, e quando eles possuíssem sinais

diferentes deveriam diminuir permanecendo o sinal do número que

apresentasse maior módulo. Mas, isso não foi imposto pela professora,

195

são ideias que deveriam emergir da classe após os debates. Em seguida,

a professora propôs uma lista de atividades para ser feita em dupla, com

o auxílio da professora, e entregue ao final da aula.

1) Pinte os discos abaixo na seguinte ordem, de dentro para fora: preto,

amarelo, verde, laranja. André, Beto e Carlos estão jogando dardos.

Veja os dardos que cada um deles arremessou:

A

A B B

C

B

A C

C

Cada letra no disco corresponde ao dardo arremessado pelo seu

respectivo jogador. Assim, a letra A representa os dardos de André, B os

dardos de Beto e C os dardos de Carlos. Agora responda:

a) Quantos pontos André fez?____________________

b) Quantos pontos Beto fez?_____________________

c) Quantos pontos Carlos fez?___________________

d) Quem fez menos pontos?_____________________

e) Quem venceu o jogo?________________________

2) Observe as sequências de números:

a) 12, 7, 2, -3, -8, -13,...

Como essa sequência foi formada?_____________________________

b) -7, -3, +1, +5, +9, +13,...

Como essa sequência foi formada?_____________________________

3) Calcule:

a) 2 + (– 2) + 0 + (– 1) + (– 3) + (+ 6) =

b) (– 10) + (+ 15) + (– 28) + (+ 46) + (– 28) + (– 15) + (+ 13) =

c) (+ 26) + (– 15) + (+ 65) + (– 48) + (+ 23) + (– 6) + (+ 11) =

d) 45 + (– 32) + (+ 59) + (– 18) + (+ 21) + (– 33) + (+ 45) =

Cor Pontos

Preto +9

Amarelo +4

Verde - 2

Laranja - 6

196

4) Escreva a expressão numérica que representa o desenho a seguir:

a)

- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 + 1 + 2 + 3

b)

- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 + 1 + 2 + 3

5ª aula: A aula iniciou com o diálogo entre a turma e a professora sobre

as estratégias que foram utilizadas para resolver a lista de atividades da

aula anterior, juntamente com a correção coletiva das mesmas. Os

alunos tiveram a oportunidade de colocar para o grande grupo, a

maneira que usaram para resolver os cálculos que foram propostos. E

nessa exposição de ideias um ajudou o outro a entender e a encontrar

maneiras diferentes e mais rápidas para efetuarem o mesmo tipo de

cálculo. Após o debate a professora registrou no quadro as conclusões a

que o grupo chegou.

6ª aula: A professora deu continuidade à aula anterior propondo uma

lista de atividades que foram realizadas em grupos de três alunos,

contando com o auxílio da professora.

1) Joana ganha 40 reais de sua mãe. Compra um livro por 30 reais. Seu

pai lhe dá 8 reais. Joana vai ao cinema e gasta 13 reais.

a) Escreva uma expressão numérica que represente o saldo de

Joana._______________

b) Qual é o saldo de Joana?___________________________________

2) Desenhe uma reta numérica e represente nela, através de flechas , os

seguintes movimentos:

a) +8 + (+5) + (– 13)

b) -4 + (+2) + (+5)

197

3) Num certo dia de inverno a temperatura na cidade de Lages era 80 C e

caiu 100 C durante a madrugada.

a) Escreva uma operação com números inteiros que represente a

situação.___________

b) Qual a temperatura registrada durante a madrugada?

Justifique_________________________________________________

_________________________________________________________

4) Complete o quadrado mágico sabendo que a soma nas linhas

verticais, horizontais e diagonais é sempre a mesma.

2 - 2

-1

- 4

5) Dona Judite foi ao banco e verificou a movimentação de sua conta

corrente.

Data Descrição Valor Saldo

21/04 Depósito + R$ 120,00 + R$ 165,00

23/04 Cheque

debitado

- R$ 87,00

02/05 Saque - R$ 65,00

05/05 Depósito + R$ 415,00

12/05 Saque - R$ 390,00

De acordo com a tabela, responda:

a) Qual era o saldo ao final do dia 23/04?________________________

198

b) Qual era o saldo anterior ao depósito de R$ 120,00?______________

c) Em quais dias o saldo ficou negativo? O que isso representa?_______

__________________________________________________________

d) Em quais dias o saldo ficou positivo? O que isso representa?

______________________________________________________

______________________________________________________

6) Complete a pirâmide sabendo que o tijolo acima é a soma dos dois

tijolos que o sustentam.

-8 +5 -1 0 +4

7ª aula: Nesta aula a professora aplicou um teste para verificar a

aprendizagem da adição de números inteiros. Esse teste foi realizado

individualmente e se encontra no apêndice C.

Bloco II – Multiplicação de números inteiros

Objetivos:

compreender os processos usados para a multiplicação de

números inteiros aplicando a ideia de extensão da propriedade

distributiva dos números positivos para o caso dos números

negativos;



multiplicação de números inteiros;

resolver expressões numéricas envolvendo adição e


199

1ª aula: A professora iniciou a aula retomando a adição algébrica de

números inteiros por meio de deslocamentos sobre a reta numérica dos

inteiros. Assim, introduziu a multiplicação de dois números inteiros

positivos como sendo o deslocamento desse número tantas vezes como

um dos fatores determinar, por exemplo: (+ 2) × ( +3) = (+3) + (+3) = +

6. Ou seja, na reta dos números inteiros vamos ter dois deslocamentos

de 3, partindo do zero, no sentido positivo e chegaremos no seis

positivo. Nesse primeiro momento também foi apresentado à

multiplicação de um número positivo por um número negativo, de

maneira análoga a apresentada anteriormente. A multiplicação de um

número negativo por outro número negativo esteve embasada no

exemplo apresentado no caderno 9 da Coleção NCTM que apresenta o

produto da multiplicação de dois números inteiros como uma sequência,

cujo produto positivo é uma condição com vistas a manutenção da

consistência interna da matemática, atendendo ao “princípio de

extensão” de Caraça (1963). Como exemplo, a sequência de produtos:

3 × 4 = 12 3 × -4 = -12

-4 +4

2 × 4 = 8 2 × -4 = -8

-4 +4

1 × 4 = 4 1 × -4 = -4

-4 +4

0 × 4 = 0 0 × -4 = 0

-4 +4

-1 × 4 = -4 -1 × -4 = +4

-4 +4

-2 × 4 = -8 -2 × -4 = +8

-4 +4

-3 × 4 = -12 -3 × -4 = +12

Esta justificativa foi apontada na pesquisa realizada por Pontes (2010)

como sendo a mais eficaz para o entendimento da regra de sinais, na

opinião dos alunos da atualidade. Mas, também problematizamos

utilizando a ideia Hankel que propõe a regra de sinais usual como a

única que preserva a distributividade à direita e a esquerda. Dessa

forma, colocamos a seguinte multiplicação para a classe e questionamos

a turma a respeito de como poderíamos resolvê-la? (1 – 4) × (-5 + 1)

Eliminando os parênteses: -3 × (- 4) = + 12

200

Eliminando os parênteses à esquerda e usando a

distributividade: -3 × (- 5 + 1) = - 3 × (-5) -3 × (+1) como esse

resultado deve ser o mesmo que o anterior, espera-se que os

alunos cheguem a dizer que – 3 × - 5 deve ser +15. Pois, +15 - 3

= +12.

Eliminando os parênteses à direita e usando a distributividade:

(1 – 4) × (- 4) = 1× (- 4) - 4 × (- 4) = - 4 + 16 = + 12

Para problematizar um pouco mais a professora sugeriu que se

façamos os mesmos cálculos novamente, porém admitindo-se,

segundo Moretti (2012), a possibilidade de - × - ser -. E teremos:

Eliminando os parênteses: (-3) × (- 4) = +12

Eliminando os parênteses à esquerda e usando a

distributividade: -3 × (- 5 + 1) = - 3 × (-5) -3 × (+1) = - 15 –

3 = -18.

Eliminando os parênteses à direita e usando a

distributividade: (1 – 4) × (- 4) = 1× (- 4) - 4 × (- 4) = - 4 -

16 = -20

Para finalizar a aula, a professora fez o levantamento juntamente com a

turma sobre os pontos que eles perceberam ao se adotar - × - = -. A

seguir, fez juntamente com a turma a sistematização da regra de sinais

para a multiplicação de números inteiros, fazendo o registro no quadro

das conclusões que a turma chegou e dos pontos destacados pelos

mesmos. Pretendia-se que eles chegassem à conclusão que é preciso

adotar a regra usual para manter o mesmo resultado independente da

maneira como os cálculos fossem efetuados.

2ª aula: A professora retomou a aula anterior pontuando a multiplicação

de números inteiros e organizou a sala em grupos constituídos por 4

alunos. Cada grupo recebeu um jogo de dominó com a multiplicação de

números inteiros. O intuito do jogo foi de proporcionar a fixação da

regra de sinais que foi explorada na aula anterior de uma forma

descontraída. O jogo constituiu-se por 28 peças feitas de cartolina e

segue as regras do dominó tradicional, as pedras oferecem cálculos e

respostas que devem ser colocadas na ordem correta. O jogador que não

obter o resultado para jogar passa a vez para o próximo. Vence o jogo

quem terminar as peças primeiro. E assim, passa para a próxima rodada.

No final da aula a professora perguntou para a turma: como foi a aula?

E, dessa forma, interagiu com eles buscando sanar e esclarecer as

dúvidas que eles pudessem apresentar.

201

3ª aula: A aula foi iniciada com a professora perguntando para a turma:

(+ 2) × (+ 5) é? Por quê?

(- 4) × (+ 3) é? Por quê?

(- 5) × (- 6) é? Por quê?

Após o debate com a turma a professora pediu para que eles se

organizassem em grupos com três alunos para resolverem a lista de

atividades a seguir, e ao término da aula foi recolhida pela professora:

1) Complete a sequência apresentada na tabela e responda:

a) O que acontece com o 1º fator quando se

lê as contas de cima para

baixo?______________________________

b) O que acontece com o 2º fator quando se


baixo?______________________________

c) O que acontece com o produto quando se


baixo?______________________________

d) Com base no que você observou: “Um número negativo vezes um

número positivo dá um produto____________”.

2) Agora observe e complete essa outra sequência apresentada na tabela

e responda:

a) No que esta tabela difere da

anterior?___________________________

b) O que acontece com o produto quando se


baixo?______________________________

c) Com base no que você observou: “Um

número negativo multiplicado por número

negativo dá um produto______________”.

3 × 12 = 36

2 × 12 = 24

1 × 12 = 12

0 × 12 =

-1 × 12 =

× =

× =

4 × (-8) = - 32

3 × ( -8) = -24

2 × (-8) = - 16

1 × (-8) =

0 × (-8) =

× =

× =

202

3) Calcule e justifique o seu procedimento.

Cálculo Justificativa

(-3) × (+4) =

(-6) × (-2 + 10) =

(-7) × (-2) + 4 – 2 × (+ 6) =

4) Um avião estava a uma altitude de 400 metros. Para escapar de uma

tempestade, o piloto subia 24 metros a cada 6 minutos. Qual foi a

altitude atingida pelo avião após 30 minutos? Justifique sua resposta.

5) O professor João propôs a seguinte expressão para os alunos

resolverem: -5 . (+3) – 4 . (-10 - 3). Marcos e Juliana resolveram a

expressão de modos diferentes veja:

Marcos Juliana

-5 . (+3) – 4. (-10 -3) =

-15 – 4 . (-13) =

-15 + 52 =

+37

-5 . (+3) – 4. (-10 -3) =

-15 – 4 . (-10) - 4 . (- 3) =

-15 + 40 + ( +12) =

-15 + 40 + 12 =

+37

Com base nos cálculos realizados por Marcos e Juliana, responda:

a) Se eles resolveram os cálculos de modos diferentes, como eles

conseguiram chegar ao mesmo resultado?________________________

__________________________________________________________

203

b) O resultado que eles chegaram está correto?

Justifique._________________________________________________

_________________________________________________________

c) Agora resolva do seu modo a expressão e justifique o seu

procedimento.

Expressão Justificativa

-5 . (+3) – 4. (-10 -3) =

4ª aula: Nesta aula a professora retomou a adição e a multiplicação de

números inteiros com o intuito de verificar se os alunos já conseguiam

resolver as operações sem confusões entre os sinais a serem usados nas

operações de adição e de multiplicação dos inteiros. Para isso a

professora colocou no quadro operações de adição, de multiplicação e

expressões envolvendo a adição e a multiplicação de números inteiros

para serem resolvidas em conjunto com a turma. Por exemplo: (- 2) + (-

4) = ?, (+13) + (– 5) + (+ 8) + (– 9) = ?, (- 7) × (- 3) = ?, (+ 4 – 8) × (-3)

+ 5 = ?, etc. A seguir os alunos foram organizados em grupos com

quatro alunos para realizarem as atividades propostas sendo recolhidas

no final da aula:

1) Marque (V) se for verdadeira ou (F) se for falsa nas proposições a

seguir.

a. ( ) O produto de um número inteiro por zero dá o próprio número.

b. ( ) Se um número inteiro não nulo for multiplicado por seu oposto, o

resultado será sempre um número negativo.

c. ( ) Se um número inteiro não nulo for multiplicado por ele mesmo, o

resultado será sempre um número positivo.

2) Justifique suas respostas dos itens da questão anterior.

a. ________________________________________________________

__________________________________________________________

204

b. ________________________________________________________

__________________________________________________________

c. ________________________________________________________

__________________________________________________________

3) Escreva uma operação utilizando números inteiros que atenda aos

critérios propostos:

Critérios Operação

A soma de dois números

inteiros é - 7

O produto de dois números

inteiros é + 10

4) Juliano e um amigo estão brincando de um jogo que tem as seguintes

regras:

Cada jogador inicia a partida com um saldo positivo de 10

fichas e deverá responder um total de 20 questões durante o

jogo.

A cada resposta correta o jogador recebe 3 fichas e a cada

resposta incorreta perde 1 ficha.

Será o vencedor aquele que tiver o maior saldo positivo de

fichas.

a) Se Juliano acertar 10 questões, qual será seu saldo ao final do jogo?

b) Lorena, amiga de Juliano, acertou 15 questões. Qual foi seu saldo ao

final do jogo?

c) Qual é o número de questões que um jogador deve acertar para ficar

com 10 fichas ao final do jogo?

d) Qual é o maior número de fichas que um jogador pode acumular?

e) Nesse jogo é possível que um jogador fique com um saldo devedor de

fichas. Qual é o número mínimo de questões que um jogador deve

acertar para que isso não aconteça?

205

f) Existe a possibilidade de um jogador terminar o jogo com o saldo

positivo de 1 ficha? Por quê?

(PROJETO ARARIBÁ, 2006, p. 50)

5ª aula: Esta aula foi utilizada para fazer um debate sobre as questões

que foram propostas na aula anterior. A turma foi organizada formando

uma circunferência e a professora devolveu as listas de atividades para

cada aluno. A professora iniciou o debate pela questão 1 e pediu a

participação da turma na discussão, levantando os principais aspectos da

questão. Na sequência, a professora deu continuidade passando para as

demais questões, sempre contando com a participação da turma. No

final da aula a professora registrou no quadro os pontos que foram

discutidos e sistematizados com a turma e pediu para que eles anotassem

em seus cadernos, como uma forma de registrar o que foi discutido na

sala de aula.

6ª aula: Nesta aula os alunos em duplas resolveram as seguintes

atividades, contando com a assistência da professora para auxiliá-los nas

dúvidas:

1) Analise cada uma das sequências e complete-as.

a) – 4, -3, -2, -1, 0 ,1, ___, ___, ___, ___

b) -9, -6, -3, 0, 3, ___, ___, ___, ___

c) -8, -4, ___, 4, 8, 12

2) Utilizando os números apresentados na tabela, escreva uma operação

para cada situação.

a) Uma multiplicação de dois fatores com resultado igual a +32_______

b) Uma adição de três parcelas com resultado igual a – 7_____________

c) Uma multiplicação de três fatores com o resultado igual a 24_______

-4 3 -2 -8 +7 0

206

3) A pirâmide possui um “segredo”. Descubra o segredo e determine o

número inteiro que deve estar no alto da pirâmide.

-6 -3 + 3

- 2 + 3 - 1 -3

4) João tem uma coleção de miniaturas de 15 carros antigos. Durante

um mês ele ganhou três novos carros, emprestou 2 e perdeu um carro.

Quantos carros ele possui em sua estante neste momento? Qual das

expressões abaixo representa o enunciado do problema?

a) 15 + 3 + 2 +1 c) 15 + 3 – (2 + 1)

b) 15 + (3 + 2 + 1) d)15 – 3 + (2 + 1)

5) Complete a tabela:

a b a × b

-2 -3

+4 - 20

- 4 +32

+ 12 + 8

6) Escreva uma situação problema que possa representar a expressão

numérica (- 15) . (+3) + (-2).

7) Efetue:

a) (- 9) . (+ 6) + (-15 -1) . (-2) =

b) -2 + 3 -15. (-1) =

c) (- 18) + (- 3) – (- 4) . (+ 6) . (- 3) =

207

7ª aula: Nesta aula a professora aplicou um teste sobre a multiplicação e

a adição de números inteiros, realizado individualmente pelos alunos.

Esse teste se encontra no apêndice D.

Bloco III – Subtração de números inteiros

Objetivos:

compreender a lógica dos processos usados para a subtração de

números inteiros aplicando a regra de sinais da multiplicação

para simplificar as expressões do tipo a – (- b) e a – (+ b);



subtração de números inteiros relativos;

resolver expressões numéricas envolvendo adição, subtração e


1ª aula: A professora começou a aula propondo a seguinte situação

problema: Numa certa noite de inverno na Serra catarinense os

termômetros registraram +4° C no início da noite. Na madrugada desta

mesma noite os termômetros chegaram a registrar – 2° C. Quantos graus

a temperatura variou nesta noite?

Com está situação a professora pediu a turma sugestões para solucionar

o problema. Esperou-se que a turma mencionasse o desenho do

termômetro, caso contrário a professora os direcionaria para tal. Com o

desenho do termômetro feito e a solução do problema encontrada, a

professora perguntou: Como podemos representar essa solução por meio

de uma operação? Qual? Esperou-se que os alunos apontassem a

subtração - 2 – (+4). Se este fato não ocorresse à professora faria várias

simulações do tipo: Se a temperatura fosse de +20° e passasse para

+26°, qual seria a variação? Como vocês fizeram o cálculo? Até que eles

apontassem a subtração como a operação a ser usada nessas situações.

Depois de montada a expressão a professora atentou para a

multiplicação dos sinais que deverá ser realizado a fim de simplificar a

expressão para efetuar os cálculos. Assim: (-2) – ( + 4) = -2 – 4 = - 6. A

professora sugeriu que após a retirada dos parênteses o cálculo poderia ser efetuado por meio de deslocamentos sobre a reta numérica, como os

realizados na adição. Após a explanação do assunto a professora pediu

para que os alunos sentassem em dupla para realizarem as atividades

que foram entregues e ao término da aula, recolhidas.

208

1) Um submarino encontra-se a – 243 metros de profundidade. Depois

de duas horas, está a – 180 metros.

a) Ele subiu ou desceu?________

b) Quantos metros?___________

2) Escreva uma operação que atenda aos critérios:

Critérios Operação

Uma subtração de dois números é +4

A soma de três números é -5

O produto de dois números é -16

3) Complete as sentenças com os sinais +, - ou ×.

a) (-3)___(-2) = - 1

b) (-2) ___(-5) = + 10

c) ( +10)___( - 14) = + 24

d) ( -12)____(- 3) = - 15

4) Efetue:

a) (- 5) + (- 3) × (- 2) =

b) (+ 8) – (- 13) =

c) (- 7) × (- 5) – (- 2) =

5) Os automóveis partiram da cidade A, mas em direções opostas. O

primeiro percorre 50 km à esquerda de A, e o segundo 90 km à direita

de A. Nessas condições, responda:

(Figura retirada do livro Matemática. BIANCHINI, p. 28, 2006)

209

a) A distância entre eles aumentou ou diminuiu?___________________

b) Escreva uma operação que represente a situação:_________________

c) A que distância um carro se encontra do outro após o trajeto

percorrido?__________

2ª aula: A professora começou a aula propondo o jogo das argolas. A

sala foi dividida em grupos com 5 ou 6 alunos. Cada grupo recebeu um

tabuleiro contendo 12 hastes presas verticalmente nele e 4 argolas, 2

azuis e 2 vermelhas. Cada uma das hastes presas ao tabuleiro

representou um número, esses números estavam dispostos alternando

um positivo e um negativo, como no esquema a seguir:

+16 -24 +4

-12 +20 -8

+8 -16 +24

+12 -20 -4

Neste jogo, as argolas vermelhas faziam você ganhar pontos e as azuis

perder pontos. Por exemplo: Foram arremessadas as argolas vermelhas

nos números -24 e +8, e as argolas azuis nos números +16 e – 4

podemos escrever a expressão da seguinte forma:

0 + (- 24) + (+ 8) – (+ 16) – (- 4) = -28

Início ganha ganha perde perde

Cada jogador ao fazer sua jogada arremessou as quatro argolas e montou

a sua expressão numérica efetuando os seus cálculos adequadamente. A

seguir, passou-se a vez para o próximo e assim sucessivamente até que

todos tenham completado a primeira rodada. O jogo foi concluído após

o término da quarta rodada. Foi vencedor o aluno que alcançou o maior

número de pontos na soma das quatro rodadas.

3ª aula: A professora iniciou a aula conversando com a turma sobre o

jogo da aula anterior e levantou, juntamente com a turma, os pontos que

eles acharam interessantes no jogo. A seguir fez os registros desses

pontos no quadro para que eles pudessem anotar em seus cadernos.

210

Depois, pediu para que eles se sentassem em duplas para realizar o teste

que se encontra no apêndice E.

211

APÊNDICE C – TESTE DE ADIÇÃO

Teste da adição

1) Complete a trilha conforme a indicação das setas:

adicione - 3 (horizontal)

adicione + 3 (vertical)

+ 4 + 1 -2

+1


2) Resolva as operações e justifique a sua resolução.

Operação Justificativa

+12 + (– 5) =

(+ 8) + (+ 9) =

(- 17) + (+3) =

(- 8) + (– 5) =

3) Leia e responda as questões: Um caracol pretendia chegar ao topo de

um muro; no entanto, subia alguns centímetros e escorregava outros.

212

a) Certa vez ele subiu 8 cm e escorregou 6 cm. Houve avanço ou

retrocesso? De quanto?_______________________________________

b) Já em outra ocasião, ele subiu 9 cm, escorregou 15 cm e subiu 4 cm.

Houve avanço ou retrocesso? De quanto?_________________________

c) Represente, por meio da reta dos inteiros, os movimentos feitos por

ele no item a.

d) Represente, por meio da reta dos inteiros, os movimentos feitos por

ele no item b.


4) Pedro está jogando bolinhas de gude. Na primeira partida perde seis.

Joga uma segunda partida. Depois dessas duas partidas, ele nem perdeu,

nem ganhou. O que aconteceu na segunda

partida?___________________________________________________

__________________________________________________________

5) Maria resolveu fazer bombons para vender. Foi então a uma doçaria

para fazer o levantamento do custo da matéria prima. Veja a tabela:

Material Gastos

Leite condensado R$ 18,00

Chocolate R$ 27,00

Formas para bombons R$ 6,00

Embalagens R$ 8,00

a) Maria pensou em pedir R$ 50,00 emprestado de sua mãe para

comprar o material. Esse dinheiro seria suficiente? Por

quê?______________________________________________________

_________________________________________________________

b) Se Maria conseguisse comprar o material descrito acima e produzisse

150 bombons com ele. Se ela vendesse cada bombom por R$ 2,00, teria

lucro ou prejuízo? De quanto?_________________________________

213

APÊNDICE D – TESTE DA MULTIPLICAÇÃO

Teste da multiplicação

1) Resolva as operações e justifique ao lado a sua resolução.

Operação Justificativa

+ 15 + (+ 6) =

(-32) + (- 16) =

- 12 + (+ 13) =

(+ 20) + ( - 7) =

(+ 6) × ( + 15) =

(- 8) . (+ 3) =

(- 9) × (- 4) =

2) Marcos vendeu sua moto, mas irá receber o dinheiro em 18 parcelas

de R$ 235,00.

a) Utilizando números inteiros, escreva uma expressão numérica que

represente essa situação:______________________________________

b) Qual o valor total que Marcos irá receber?______________________

c) Se Marcos quiser comprar outra moto que custe R$ 7.000,00, o

dinheiro que irá receber será suficiente? Por

quê?_____________________________________________________

_________________________________________________________

3) Na figura, qual número inteiro deve ser colocado no lugar de cada

letra?

214

- 7 . - 4 = A

=

+

+29 - 10

+ =

C = -2 × B

4) Sérgio e Paulo estavam brincando com um jogo que funcionava

segundo as regras: a cada resposta certa, o jogador anda 3 casas para

frente; a cada resposta errada, anda 2 casas para trás. Ganharia o jogo

quem primeiro alcançasse a 25ª casa. Os dois jogadores responderam a

um total de 20 questões cada um. Sérgio acertou 12 e Paulo acertou 13.

a) Quantas questões cada um deles errou?________________________

b) Quantas casas Sérgio andou para a frente? E para trás?____________

c) Quantas casas Paulo andou para a frente? E para trás?_____________

d) Em qual casa cada um dos jogadores parou?____________________

e) Quem ganhou o jogo?______________________________________


5) Descubra o erro cometido por Jonas na resolução da expressão e

responda:

(-3) . (+ 19 + 6) + ( +3). (-1) + 4 =

(-3) . (+ 25) + (- 3) + 4 =

- 75 – 3 + 4 = 74

a) Qual foi o erro que Jonas cometeu ao resolver a

expressão?________________________________________________

__________________________________________________________

b) Será que este tipo de erro é comum? Por

quê?_____________________________________________________

__________________________________________________________

c) Como você resolveria essa expressão? (Demonstre seus cálculos)

215

APÊNDICE E – TESTE DA SUBTRAÇÃO

Teste da subtração

1) Durante as férias , Carla e Mateus foram para a serra. No início da

viagem, ainda em sua cidade, Mateus verificou que a temperatura local

era de 25° C. Já na serra, Carla viu que a temperatura era de 18° C. Qual

foi a variação da temperatura ao longo da viagem?

2) Complete o quadrado mágico sabendo que a soma nas linhas

verticais, horizontais e diagonais é sempre a mesma.

- 3 - 2

0

+3

3) Complete a trilha conforme a indicação das setas:

Vertical: adicione (- 2)

Horizontal: subtraia (- 5)

+7

216


4) Escreva uma situação que represente a operação (+ 20) – (- 5).

5) Uma pessoa encontra-se em uma câmara frigorífica cuja temperatura

é de – 8º C. Ao sair, encontrará uma temperatura ambiente de 23º C.

Qual a variação de temperatura que essa pessoa terá de suportar?

6) O esquema abaixo representa uma máquina que leva um número

inteiro x a outro número inteiro y.

x Multiplica por (-3) soma (+4) y

7) Para continuar seus estudos neste e nos próximos anos , é conveniente

que adições, subtrações e multiplicações com números inteiros sejam

efetuadas quase automaticamente, para isso é preciso exercitar. Resolva

as expressões abaixo registrando seus cálculos.

a) (- 23) + (- 14) – (- 56) =

b) (- 5) × (-3 + 14) – (- 21) =

c) ( - 8 – 6) × (- 4) + (- 3 + 7) =

d) (- 12 + 31) – (- 4) + ( + 26) =

Determine os valores de

y para:

x = 1

x = 0

Determine os valores de x

quando:

y = 7

y = 13

universidade federal de santa catarina · h651n hillesheim, selma felisbino os números inteiros...

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