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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
SUB-PROJETO PIBID MATEMÁTICA
RESUMO DIDÁTICO – FUNÇÃO AFIM
Equipe:
Prof. Antonio Joaquim Rodrigues Feitosa (Coordenador)
Bolsistas:
Suzy Kelly Figueiredo;
Ailton Gomes da Silva;
Ednaldo Mauricio;
Maria Clara;
Material desenvolvido para capacitação dos bolsistas para desenvolverem atividades sobre funções Afim nas
escolas.
Objetivos: Construir competências e habilidades no Ensino de Funções Afim para os bolsistas aplicarem em
atividades nas salas de aulas ou em atendimentos em plantões de dúvidas.
Temática: Funções Afim.
1 – Introdução:
Os conhecimentos sobre funções afim proporcionam oportunidades para realização de tarefas que são realizada
diariamente pela maioria da população, tais como saber quanto custa uma corrida de taxi, quanto você necessita
para pagar por refeições em restaurantes Self - Service, saber informações sobre a temperatura, sobre velocidades,
distâncias e muitas outras utilidades, portanto está presente no cotidiano das pessoas. Você pode imaginar que
estas tarefas podem ser realizadas simplesmente com uma máquina de calcular, e é verdade! O problema é que a
partir do conhecimento destas situações aparentemente elementares podemos gerar modelos para realização de
cálculos em situações que exigem regularidades mais complicadas . O conhecimento mais avançado sempre é
gerado a partir do conhecimento mais simples ou mais usual. A idéia original de função, introduzida por Leibniz no
século XVII, foi obtida a partir da idéia de variação de uma quantidade em relação a outra e que hoje tem uma
grande aplicabilidade em muita áreas de conhecimento.
2 – Construção do conceito de função Afim:
Iniciamos lhe esclarecendo situações que praticamos em várias oportunidades. Por exemplo, como podemos fazer
uma distribuição de brindes em um grupo de pessoas. Neste caso, podemos distribuir dois brindes para cada
pessoa, como ilustrado na figura abaixo.
Nesta figura observamos que cada bombom está sendo distribuído para uma
única pessoa, além do mais, cada pessoa recebe dois bombons, isto é: cada
pessoa recebe dois bombons, mas, de tipos diferentes, não se tem um
bombom sendo distribuído para duas pessoa. Neste caso temos uma regra
estabelecida com muita clareza. Para obter uma expressão algébrica que
relacione uma quantidade x de brindes com uma quantidade qualquer Y de
pessoas, neste caso, recorremos a uma prática bastante conhecida, a
proporcionalidade, que se expressa da seguinte maneira, se uma pessoa
recebe dois (2) bombons então y pessoa recebe x bombons ,
1 2
y x
O que é equivalente a escrever,
, fazendo estas contas obtemos
, que é a regra geral para esta situação.
Esta mesma quantidade de brindes pode ser distribuída de outra maneira para a mesma quantidade de pessoas,
observe que nesta distribuição não alteramos nem a quantidade de brindes nem a quantidade de pessoas, a única
alteração substancial foi na forma, ou regra de distribuição, mas de qualquer forma necessitamos dos três objetos
envolvidos na distribuição, tal como mostra a seguinte figura,
Nesta distribuição não há muito novidade, porque representa o tipo de distribuição mais usual em que cada brinde é
distribuído para uma única pessoa, isto é, cada pessoa só recebe um brinde e somente um. Neste caso a regra
também é clara, a expressão algébrica que representa esta distribuição pode ser obtida de maneira semelhante, se
uma pessoa recebe um bombom, então y pessoa recebe x bombons,
1 1
y x
Equivalentemente, escrevemos
ou seja .
Nas duas situações que analisamos a distribuição, que é objeto em observação (estudo) é constituído de três partes,
um conjunto de brindes uma regra e um conjunto de pessoas, de tal modo que estas três partes se relacionam de
maneira muito organizada, no último caso, cada brinde corresponde a uma única pessoa através da regra. Na
próxima situação vamos analisar mais um tipo de relação entre os elementos de dois conjunto, neste caso a relação
entre o número de pessoas que freqüentam um restaurante e as diversas opções de alimentos ofertados.
Onde representam pessoas.
Observe que neste caso uma pessoa pode optar por mais de um tipo tipo de alimento, que é uma situação que
naturalmente acontece, mas não é possível estabelecer uma regra geral que possa indicar quantos tipos de
alimentos diferentes uma pessoa pode escolher numa refeição.
Outra situação que podemos analisar é relação entre medidas em quilogramos e o peso de alguns tipos de frutas
encontradas nos supermercado, vamos analisar o diagrama apresentado abaixo
Observe que neste diagrama nem todos os valores de
pesos indicados no conjuntos dos pesos tem uma
correspondente fruta com o respectivo peso, que é um
aspecto diferente das situações anteriores, em que todos
elementos do conjunto de onde partem as fechas tinha um
correspondente no conjunto onde as flechas chegam. Esta
também é uma situação em que temos como estabelecer
uma regra geral de correspondência os pesos e as frutas.
Isto é, nem sempre encontramos a fruta com o peso que
queremos. Por exemplo se quisermos encontra um mamão
pesando 20 kg certamente não encontramos, logo é claro
que não existe uma correspondência entre os pesos e as
frutas.
As situações que se comportam de maneiras idênticas às duas primeiras situações denominamos de funções, isto é,
aquelas situações em existem dois conjuntos e uma regra que relaciona os elementos dos conjuntos de tal maneira
que cada (todos) elemento de um conjunto corresponda a somente um elemento do outro conjunto é denominada
de função. Isto é uma função é um objeto matemático constituído de três partes, dois conjuntos e uma regra. Para
ficar mais bem esclarecida esta ideia vamos representar os elementos dos conjuntos por números.
Observe que existe uma regra clara que faz corresponder
cada elemento do conjunto A há um único elemento do
conjunto B, isto é, se multiplicarmos cada elemento do
conjunto A por 20 obtemos um elemento do conjunto B,
então cada elemento Y do conjunto B é igual 20 vezes cada
elemento x do conjunto A, . Então neste caso a
função é o conjunta A, a regra e o conjunto B. Se
mudar qualquer um dos elementos envolvidos nesta
situação muda também a função.
Vamos examinar mais um tipo diagrama com a finalidade de esclarecermos tipos especiais de funções.
Observe que neste caso também temos que cada elemento do A corresponde a um único elemento do conjunto B
e, além do mais,
Isto é, nesta situação, o quociente entre a diferença de dois elementos quaisquer, distintos, do conjunto B pelas
diferenças é sempre uma constante igual a 2, isto é,
Simplificando este quociente, temos; .
As funções que podem ser expressas por regras do tipo para qualquer a e qualquer b são chamadas de
funções a fim. E são caracterizadas pelo quociente
Onde x corresponde a y e x1 corresponde y1.
Exercícios:
1) Em um restaurante o preço das refeições é de R$ 20,00 por quilo. Chamando de y o preço em reais e x o
quantidade, em quilograma, como expressar matematicamente a quantidade y a ser paga por uma cosumo qualquer
y neste restaurante.
2) O preço cobrado por uma corrida de taxi é igual a R$ 4,00, correspondente ao valor da bandeirada, mais R$ 0,60
por cada quilômetro rodado. Como expressar o valor correspondente a uma corrida realizada a uma distância x.
3) Um estacionamento cobrar R$ 3,00 pela primeira hora e R$ 2,00 por cada hora adicional, por carro que usa este
estacionamento. Obtenha a expressão matemática que representa o valor y por um tempo x em que um carro ficou
estacionado.
4) Identifique se é possível obter uma regra, que juntamente com os conjuntos fornecidos abaixo, represente uma
função afim.
a) A = ao conjunto dos números reais, B = ao conjunto dos números reais.
b) A = {1, 2, 3, 4, ...}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }
c) d)
3- Construção dos elementos da função afim
Para estabelecer uma linguagem que represente uma função como uma relação entre os elementos de dois
conjuntos, habitualmente representamos por: para indica que a regra estabelece uma relação
entre os elementos do conjunto A com os elementos do conjunto B, assim se representarmos a função somente pela
regra os conjuntos A e B ficam estabelecidos, onde o conjunto A passa a ser visto como maior conjunto em que as
operações envolvidas na regra podem ser realizadas e o conjunto B está contido num conjunto que contém os
valores obtidos pela aplicação da regra nos elementos de A. Por exemplo se a regra é dada por , o
conjunto A é o conjunto dos números reais e o conjunto B é também os números reais. Com isto fica estabelecido
que para todo função dada pela regra o conjunto A é os reais e o conjunto B é também os reais,
porem os valores da função no conjunto B dependen dos vares do conjunto A. Por exemplo é um valor
da função proveniente de , é um valor da função proveniente
de , Observamos que os valores do conjunto A dominam os valores da função que estão no conjunto B.
Por isto, nesta relação o conjunto A recebe denominação de conjunto domínio, o conjunto B recebe o nome de
contra domínio e o subconjunto de B formado somente pelos valores da função é denominado conjunto imagem
de representado por . Uma função também pode ser representada por pontos no plano cartesiano do tipo
em que são os elementos do domínio e são os elementos do conjunto imagem.
O gráfico de uma função é o conjunto dos pontos do tipo . Vamos mostra que este
conjunto de pontos está sobre uma reta. Para isto vamos apelar para a compreensão de que três pontos do plano,
, ou estão em linha reta ou são vértices de um triângulo. Se forem vértices
de um triangulo, qualquer lado é menor que a soma dos outros dois, e se estiverem na mesma reta um dos pontos
está entre os outros dois, para isto vamos calcular , e .
Como , significa que o ponto B está entre os outros dois, logo os pontos,
estão na mesma reta, concluindo que o gráfico da função é uma reta.
Observe que neste gráfico o valor de e o valor de a contece em ou seja os
pontos e são os pontos que merecem destaque especial na representação
gráfica da função da função, primeiro porque basta obter estes dois para que o gráfico
perfeitamente determinado, tendo em visto o primeiro postulado da Geometria
Euclidiana, e segundo porque são fácil de identificar. Na representação geral da função
afim, , o ponto e o ponto . Em virtude disto
necessitamos ter especial atenção aos coeficientes a e b da função . O
coeficiente indica a abcissa do ponto em que a reta gráfico da função afim
intercepta o eixo – OY e ordenado do ponto onde o gráfico intercepta o eixo OX é
, observe que o valor de necessita ser diferente de zero. Por causa desta
exigencia vamos examinar mais detalhadamente qual é o papel do coeficiente a na regra
.
Examinando o gráfico ao lado concluímos que a
Logo mede de quanto o grafico da função se inclina com relação
Ao eixo y.
4 – Interação entre as diversas representações
Até aqui construímos o conceito de função e, em particular construímos a função afim e exploramos vários aspectos,
tais como suas representações, em diagrama de flechas, representações algébricas, representações gráficas, em
seguida vamos explorar a interação entre as várias representações como elemento de compreensão, porque como
afirma Raymond Durval, uma pessoa só compreende o conceito de função se conseguir tratar pelo menos dois
registros de representações. Para desenvolver estes aspectos vamos propor uma serie de exercícios, porque
acreditamos que esta é uma parte prática que deve ser explorada com situações propostas para esta finalidade,
onde se tem oportunidade de avaliar a aquisição de competências e habilidades adquiridas das exposições teóricas.
Exercícios
1) Examine se o diagrama de flechas abaixo representa uma função afim. Em caso afirmativo construa sua
correspondente representação algébrica e gráfica.
2) Da a representação gráfica da reta mostrada na figura ao lado, obtenha a representação algébrica e uma
representação tabular para x variando no conjunto dos números inteiros de -5 ate 5,
3) Para a função , tal que, e , obtenha,
a) b) c) d)
f) Obtenha um numero x tal que
4) Obtenha uma função afim representada algebricamente cujo gráfica passe nos pontos e .
5) Uma formiga anda por um caminho em linha reta que pode ser representado pelo gráfico de uma função afim no
plano cartesiano, cuja expressão algébrica é
. Neste mesmo plano cartesiana, no ponto de coordenadas
, encontra-se um grão de açúcar. Confirme o que acontece com a formiga e o grão de açúcar: a) A formiga alcança o grão de açúcar,
b) A formiga passa acima do grão de açúcar,
c) A formiga passa abaixo do grão de açúcar,
d) a formiga anda ao redor do grão de açúcar.
5 - Bibliografia:
[1] Carvalho, Maria Costa e Silva, Padrões Numéricos e Funções, 1ª ed , S. P. Moderna 1998.
[2] Fainguelernt, Estela K, Matemática: Práticas Pedagógicas para o ensino Médio, Porto Alegre, Penso, 2012
[3] Queiroz, Amélia Maria Noronha Pessoa de, Matemática Transparente, S. P. Livraria da Física, 2011
[4] Delgado, Carlos Jose Borges, Friedmann, Clicia Valladares Peixoto & Lima, Jackeline Cassia Pinheiro, Ensino de
função afim, Universidade Unigranrio, http://www2.inigranrio.br.
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
SUB-PROJETO PIBID MATEMÁTICA
RESUMO DIDÁTICO - REVISANDO FUNÇÃO QUADRÁTICA
Equipe:
Prof. Antonio Joaquim Rodrigues Feitosa (Coordenador)
Bolsistas:
Suzy Kelly Figueiredo;
Ailton Gomes da Silva;
Ednaldo Mauricio;
Maria Clara;
Material desenvolvido para capacitação dos bolsistas em atividades sobre funções quadráticas nas escolas.
Objetivos: Construir competências e habilidades no ensino de funções quadráticas, para os bolsistas aplicarem em
atividades nas salas de aulas ou em atendimentos em plantões de dúvidas.
Temática: Funções Quadrática.
1 – Introdução:
Em vários movimentos percebemos que o caminho percorrido por um objeto não é uma linha reta, mais parece com
um arco, este é o exemplo do caminho percorrido por uma bola quando um jogador chuta, o arremesso de uma bola
num jogo de basquete, ou até mesmo um arremesso de um objeto qualquer. A preocupação em descrever
matematicamente a trajetória desses objetos foram assumidas por muitos cientistas, desde muitos séculos passado.
No nosso estudo vamos nos servir de uma experiência adotada no livro, Matemática, práticas pedagógicas para o
ensino médio , Fainguelernt, 2012, para introduzir a temática.
2 – Construção da função quadrática.
Os dados da tabela ao lado, representam, o espaço e tempo gasto por um objeto em
movimento em queda livre.
Observamos que dividindo o espaço percorrido pelo correspondente tempo ao quadrado
obtemos um valor constante igual 4.9, isto indica que se y representa o espaço percorrido e x
representa o tempo para percorrer o, respectivo, espaço y, temos;
Isto é , surpreendente! Pois, pelos cálculos acima, o caminho percorrido por um objeto em queda livre
tem o formato do gráfico desta função. Pelo menos para esta situação hipotética isto é verdade. Observamos que
para a regra estabelecida nesta situação, faz sentido calcular o valor de para qualquer valor , positivo negativo
ou nulo, embora não faça sentido fisicamente para valores negativos de . Por isto somos convidados a estudar as
funções definidas no conjunto dos números reais com valores nesse mesmo conjunto, em que,
, onde são constantes. Estas funções são denominadas funções quadráticas.
3 – Realização de Práticas:
1) Complete a tabela ao lado com os valores da função
Após completar esta tabela é fácil de perceber que o gráfico desta função tem o aspecto da figura
abaixo;
ESPAÇO TEMPO
0 0
4.9 1
19.6 2
44..1 3
78.4 4
122.5 5
x Y = x2
-2
-1
0
1
2
1) Neste gráfico observamos que é o menor valor desta
função. Isto é equivalente a observar que todos os pontos do tipo
estão acima do ponto Chamado de vértice do
gráfico da função .
2) Observamos que . Isto significa dizer que o
gráfico da função é simétrico em relação ao eixo 0Y, isto é,
Os pontos e se situam na mesma reta paralela
ao eixo 0X e estão à uma mesma distância do eixo 0Y.
3) Observamos que para qualquer
2) Complete a tabela ao lado com os valores da função
Após completar esta tabela é fácil de perceber que o gráfico desta função tem o aspecto da figura
abaixo;
1) Neste gráfico observamos que é o maior valor desta
função. Isto é equivalente a observar que todos os pontos do tipo
estão abaixo do ponto chamado de vértice do
gráfico da função .
2) Observamos que . Isto significa dizer que o
gráfico da função é simétrico com relação ao eixo 0Y, isto é, Os
pontos e estão na mesma reta paralela ao eixo 0Y
e a uma mesma distância do eixo 0Y.
3) Observamos para qualquer
Observe que a principal diferença entre estes dois gráficos é que primeiro está curvado para cima e o segundo está
curvado para baixo, no mais é tudo idênticos. Observamos que o principal motivo para isto foi a mudança de sinal
do coeficiente do termo , que no primeiro caso é e no segundo caso . Vamos observar que no caso geral,
para qualquer está observação é válida, pois implica que para qualquer , logo os pontos
estão todos acima do ponto , vértice, e se estão todos abaixo de vértice. Estes aspectos
despertam a curiosidade para examinar a função quadrática representada por com e
reais quaisquer. Para isto vamos iniciar examinando os valores de para os quais , estes valores são
denominados as raízes de . Para identificar os valores de para os quais , vamos
usar o metodo de completamento do quadrado perfeito. Como , fatorando o valor de , obtemos,
, completando o quadrado perfeito da expressão que está dentro do parêntesis,
x Y = - x2
-2
-1
0
1
2
temos,
, como temos,
, isto implica que,
, consequentemente
, logo
, simplificando esta
expressão temos,
Sempre que . Então nos valores
e
temos e
se , neste caso e são chamados reízes reais da função Caso contraria, isto é se
, para todo . Observamos que;
e que esta expressão pode ser escrita da seguinte forma;
Equivalentemente ,
. Tomando
e
, obtemos uma expressão
equivalente a , só que nas variáveis e , isto é , isto nos leva a creditar que o grafico
da função tem aspecto geometrico identico ao da função , istó é, o sinal do
coeficiente está associado ao sentido em o gráfico está curvado (para cima ou para baixo), no primeiro caso foi
muito importante observar que todos os pontos do gráfico estão sempre acima do vértice ou abaixo do vértice, por
isto, para este caso necessitamos identificar o ponto onde se localiza o vértice. Neste caso o vértice se localiza no
ponto onde e , isto é no ponto onde
e
, realizando os cálculos,
obtendo
e
, então o vértice se localiza no ponto,
)
Vamos calcular o valor da função nos pontos que estão a direita ou à esquerda de
para constatarmos o sentido em que o gráfico se curva
realmente dependo do sinal de . Para isto considere
um número real qualquer e calcule
, fazendo os calculos
obtemos,
Então se implica que e potanto
e se temos o que
implica . Isto significa que se o
gráfico se curva para cima porque
todos os pontos estão acima do
vértice e, se se curva para baixo pelo mesmo
motivo.
1) Observe a figura ao lado, adimita que
o jogador está aremessando a bola de
um ponto cujas coordenadas são (0, 3)
com relação ao solo e que a sexta está a
Exercícios
uma altura de 4 m e distante 8 m do eixo
Y. Se a bola está a uma altura de 5 m e a
6.5 m de distância do ponto de onde o
jogador arremessou. obtenha a equação
algébrica da trajetória da bola, para e
ponto mais alto atingindo pela bola.
Objetivo principla deste exercício é
constatar que, de fato, o coeficiente do
termo quadrático tem sinal negativo e
que este fato é obtido naturalmente,
isto é, sem necessidade de hipótese.
2) Admitindo que na figura ao lado o jogador está a 3 m de distância
na horizontal da sexta em que o jogador coloca a bola e que as
coordenadas do ponto mais alto atingido pelo bola seja (4,6),
obtenha equação algébrica da função quadrática que tem como
gráfica a trajetória da bola.
3) A figura ao lado representa o salto de um golfinho onde o ponto
destacado represento o centro de massa do corpo do animal. admita que
no momento em que o golfinho sai do lago o centro de massa do animal
coincido com a origem dos eixos coordenados e ele volta ao lago a 3 m
deste ponto atingindo uma altura de 3 m.
Observamos nestes exercícios, que por três pontos não em linha reta passa um único gráfico de função quadrática.
A razão deste fato pode ser constatado apelando-se para o conhecimento de sistemas lineares do tipo três por três,
por que com os três pontos não em linha reta podemos obter um sistema compatível e
determinado. E por dois pontos, quantos gráficos de funções quadráticas passam? Analisaremos este fato também a
partir dos sistemas lineares.
Para o caso em que os três pontos, , e não estejam em linha reta, para obter a
função quadrática que passa por estes pontos é suficiente obter os coeficientes, e tal
que;
Este é um sistema linear em que as partes desconhecidas são e . Vamos utilizar a regra de sarri para obtermos
e .
,
Como
porque
e estes não estão em linha reta, então e existem e são únicos.
Exemplo 1 - Grãos de açúcar estão espalhados no piso horizontal de uma residência em pontos cujas coordenadas
são: A(1,2), B(0,1) e C(2,0), por onde formigas andam em caminhos que podem ser representados pelo gráfico de
funções do tipo, . Encontre a expressão algébrica do caminho por onde as formigas devem
andar de modo a alcançar os três grãos de açúcar que estão nos pontos A,B e C.
Solução: substituindo temos,
Resolvendo este sistema obtemos , e , logo a expressão algébrica do caminho das formigas
para alcançar os grãos de açucar é:
No caso em que temos somente dois pontos , , o sistema acima seria do tipo;
Contrariamente ao caso das retas que já examinamos, por dois
pontos, , , passam vários gráficos de
funções quadráticas. Vamos ilustrar esta afirmação com os
exemplos seguintes. Na figura ao lado considere, ,
,
Nesta figura considere os pontos, e e observe que por estes
passam gráficos de vários funções quadráticas.
Podemos mostrar algebricamente que por dois passam infinitos gráficos de funções quadráticas verificando que o
sistema (2) acima de duas equações e três variáveis é possível e indeterminado.
Vaja novamente outro exemplo de vários gráficos de funções quadráticas
passando pelos pontos
A lição que se tira destas observações é que dois pontos não determinam uma única função quadrática,
diferentemente da função afim, em que dois pontos determina uma única função afim.
4 - Aplicações e Modelagem
As funções quadráticas são utilizadas para modelar varias situações. Abaixo apresentamos alguns exemplos que
serviram de orientação básica para explorar estas aplicações.
Exemplo 1 – Um restaurante a quilo vende 100 kg de comida por dia, a R$ 12,00 o quilo. Uma pesquisa de opinião
revelou que, para cada real de aumento no preço, o restaurante perderia 10 clientes, com o consumo médio de 500
g cada um. Qual deve ser o preço do quilo de comida para que o restaurante tenha a maior receita possível.
Solução: A receita é o preço do quilo de comida vendido vezes o número de clientes que freqüentam o restaurante,
onde p =preço por quilo e q = número de clientes que consomem
Se uma pessoa consome em médio , para o restaurante vende por dia ele necessita ter 200
clientes. Seja a quantidade em reais acrescentada ao preço do quilo, então o novo preço do quilo é . Como
para real de aumento o restaurante perde 10 clientes, então para reais de aumento o restaurante perde
clientes. Logo o novo número de fregueses é , assim temos e . Então a
receita é:
Exemplo 2 - Quando um certo tanque está vazio, de um orifício que fica 2 m acima do fundo, jorra água com um
jato em forma de parábola a uma distância de 3m da parede que o contém, quando o tanque está com profundidade
de 1,5 m a água é lançada a 2 m de distância da parede. Obtenha a expressão que relaciona a profundidade (y) em
função da distancia (x) do jato .
5 - Examinando o papel dos coeficientes na função quadrática
Para examinar o efeito dos
coeficientes a, b e c na função
quadrática, um instrumento que
auxilia muito na visualização é o
uso da geometria dinâmica, que
são software desenvolvidos para
produzir movimento de figuras
geométricas em ambientes
computacionais.Um dos ambientes
computacionais muito utilizado é o
Geogebra, que é um software de
código livre que associa álgebra e
geometria interativamente. A
figura ao lado representa uma
amostra desta situação, os comentários que seguem
logo após a figura lhe auxilia a manusear o software
que pode ser obtido gratuitamente na página
www.geogebra.com.
Nesta figura visualizamos o gráfica de uma função
quadrática em que, e
. No canto superior da tela visualizamos três
pequnoes segmentos de retas com as marcas dos
coeficientes a, b e c da função quadrática cujo gráfico
esta desenhado. Estas marcas foram obtidas com a ferramenta controle deslizante. Clicando com o botão direito do
mause em cada marca dos segmentos podemos variar os valores dos coeficientes e conseqüentemente o gráfico vai
se movimentando.
Veja na figura ao lado que ao variar o coeficiente a
de 3 para 4 o gráfico ficou mais fechado e ao
movimentar para 1 o gráfico ficou mais aberto e, se
a=0, o gráfico torna-se uma reta. Se movimentar o a
para valores menores que zero o gráfico muda de
concavidade.
O software possui uma ferramenta chamada rastro que pode produzir miodificaçãoes continuas, onde podemos
observar que variando o coficiente a de até obtemos todos os possiveis gráficos para estes valores de a com b
e c fixados, veja na figura abaixo, observe que quando o grafico torna-se a reta, e, para
valores maiores que zero o grafico está voltado para cima, para valores menores que zero o gráfico está voltado para
baixo, como já haviamos examinado algebricamente. Portanto, o papel do coeficiente a é tornar o gráfico mais
aberto se o coeficiente a diminue ou, mais fechado se coeficiente a aumenta. Além do mais observamos que o
vértice dessas parábolas se movimentam sobre uma reta, cuja equação obtemos tomando-se as coordenadas do
vértice:
e
, logo
.
Para estudar o efeito da variação do coeficiente b no gráfico da função quadrática, considere a função quadrática
, construa o gráfico desta função
com o software geogebra, como já fizemos no caso
anterior e, marque o ponto
,
vértice da parabola , e faça variar somente o
coeficiente, veja no gráfico ao lado. Observe que os
gráficos variam com os vértices P, percorrendo uma
parábola com concavidade voltada para baixo.
Para obter a equação algébrica da parábola que o
vértice descreve proceda da seguinte maneira:
As coordenados do vértice da parábola,
, são dadas por;
Mas veja que
ou seja,
, então;
. (*)
Portanto, a variação do coeficiente b desloca o grafico da função quadrática fazendo seu vértice percorrer a parábola
(*)
Observação: A equação (*) é um método altrnativo de se obter o de uma função quadrática.
A variação do coeficiente c da função quadrática desloca o gráfico no sentido vertical mantendo seu vértice sobre
uma reta paralela ao eixo 0y pois
não depende de c e
, que representa a familia de vértices.
Isto mostra que depende só de c, tendo em vista que a e b são constantes, logo os vertes estão sobre a reta
, que representa um reta vertical.
Exercícios
1) Encontre a reta sobre a qual estão os vértices da familia de parábolas,
2) Encontre a parábola sobre a qual estão os vértices da familia de parábolas
3) Encontre a reta vertical sobre a qual estão os vértices da familia de parábolas,
6 - Bibliografia:
[1] Carvalho, Maria Costa e Silva, Padrões Numéricos e Funções, 1ª ed , S. P. Moderna 1998.
[2]Fainguelernt, Estela K, Matemática: Práticas Pedagógicas para o ensino Médio, Porto Alegre, Penso, 2012
[3] Queiroz, Amélia Maria Noronha Pessoa de, Matemática Transparente, S. P. Livraria da Física, 2011
[4] Souza, Agnaldo Robinson de, Silva & Gilmara Aparecida da, Desenvolvimento e analise de uma metodologia
para o ensino da função quadrática utilizando os sofwares “Parabola” e”oficina de funções”, ZETETIKE – Cempem
–Unicamp , v14, Nº 25, jan. Jun. 2006
[5] www.rpm.org.br/conhca/41/2/verticeparab.htm
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
PROJETO PIBID
ESTRATÉGIAS PARA O ENSINO DE CONJUNTOS
MINI-CURSO - PRIMEIRA ETAPA
Objetivos: Construir competências para exercício do ensino de probabilidades
Introdução: Tendo em vista os obstáculos apresentados na aprendizagem em matemática, especialmente na
linguagem, abordaremos neste mini-curso aspectos elementares da teoria dos conjuntos focado na sua
representação como linguagem simbólica, levando em consideração as diferenças entre a linguagem simbólica da
matemática e linguagem do cotidiano, como condição necessária para formação de professor. Para isto, nos
apoiamos na ideia dos organizadores prévios da teoria da aprendizagem de Assubel [1] como estratégia para
facilitar a aprendizagem significativa. Neste caso partimos do pré-suposto que o aluno já possui em sua estrutura
cognitiva elementos básicos da linguagem de conjuntos, tais como a representação e as operações básicas e a partir
daí, incorpore a estrutura de seu conhecimento novos conteúdos. Vamos usar como organizador prévio o seguinte
texto:
Os estudantes do primeiro ano do ensino médio de escola Olivina Olivia possuem várias características distintas, tais
com, peso, idade, sexo, cor da pele, porém, eles formam uma categoria de pessoas com uma característica comum,
que é ser estudantes da primeira série do ensino médio da escola Olivina Olivia. Este agrupamento de pessoas com
uma característica comum a todos denominamos de conjuntos dos estudantes da primeira série do ensino médio.
Esta característica comum é o que determina o conjunto. Representamos este conjunto pela letra A, os elementos
do conjunto, que são os estudantes, representamos entre colchetes por letras minúsculas do alfabeto,
. Neste conjunto podemos separar os estudantes do sexo masculino,
e os estudantes do sexo feminino, em duas coleções
formando também dois conjuntos distintos, os quais chamamos de sub-conjuntos do conjunto de todos os
estudantes do primeiro ano do ensino médio da escola Olivina Olivia. Observa-se que qualquer elemento do
conjunto é elemento do conjunto ou do . Podemos também considerar subconjuntos de dos estudantes
do sexo masculino de pele clara, e o subconjunto de dos estudante de pele escura.
OBJETIVO: levar o aluno a reconhecer conjuntos a partir das propriedades de seus elementos, representá-
los através do diagrama de Venn, fazer com que ele tenha noção de conjuntos infinitos e mostrar-lhe meios
de soluções para as operações com conjunto.
PRINCIPAIS CONCEITOS: Conjunto universo, conjunto vazio, subconjuntos, operações (união,
intersecção, complementar) e conjuntos numéricos.
MATERIAL: quadro de giz e computador (usar o programa Paint).
ESTRATÉGIA: Aula expositiva, com computador utilizando o programa Paint para mostrar as relações
entre união, intersecção e complementar de um conjunto, no desenho do diagrama de Venn.
“Descreva detalhadamente o resultado obtido com a aplicação desta atividade”
1) Construir vários exemplos de conjuntos em que seus elementos sejam caracterizados pelas propriedades A1, A2,
A3 e A4 tais que qualquer elemento do conjunto ou tenha a propriedade A1 ou tenha a propriedade A2 e que A3 e A4
sejam mutuamente excludentes, isto é, se um elemento do conjunto tem a propriedade A3 não tem a propriedade
A4.
2) Construa conjuntos de figuras geométricas contemplando as propriedades A1, A2, A3 e A4 com os seguintes fatos
geométricos.
Duas oblíquas que se afastam igualmente do pé de uma perpendicular são iguais. Se estas oblíquas se afastam
desigualmente são desiguais e a maior é a que mais se afasta.
3) Construa conjuntos universos U e subconjuntos X1, X2, Y1 e Y2 de U tais que e , com
e . Que conclusão geral você pode obter sobre subconjuntos com estas propriedades?
4) O diagrama de Venn para conjuntas A, B, C decompõe o plano em oito regiões. Colorir essas regiões com cores
diferentes e expressar cada uma das regiões abaixo como reunião de algumas dessas regiões.
a) b) c) d)
Construir um conjunto universo atraves de seus elementos, com infinitos elementos e os subconjuntos A, B, C e
formar os subconjuntos com as regras .
SOLUÇÕES CONSTRUÍDAS
1) Exemplo 1. Seja U = N.
Definimos as seguintes propriedades:
A1 : x é par;
A2 : x é ímpar;
A3 : x é menor que 7;
A4 : x é maior que 8.
Portanto, qualquer elemento do conjunto U ou tem a propriedade A1 ou tem a propriedade A2 e, A3 e A4 são
mutuamente excludentes, isto é, se um elemento do conjunto U tem a propriedade A3, não tem a propriedade
A4.
Exemplo 2.
Seja U um conjunto de números inteiros entre -6 a 6. Temos
U = {-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Então, definimos as seguintes propriedades:
A1 : x é positivo;
A2 : x é negativo;
A3 : x = 2k, k N*, isto é, x é par positivo;
A4 : x = -2k + 1, k N*, isto é, x é ímpar negativo.
Concluímos então que qualquer elemento do conjunto U ou tem a propriedade A1 ou tem a propriedade A2,
A3 e A4 são mutuamente excludentes, isto é, se um elemento do conjunto tem a propriedade A3, não tem a
propriedade A4.
3) Seja U = {-1, 0, 1} e X1 = {1} e X2 = {0, -1}
X1 X2 = U.
Temos que
Y1 Y2 = com X1 Y1 e X2 Y2.
Como temos que X1 Y1, então Y1 = {1} e, X2 Y2 logo Y2 = {0, -1}, pelo fato de
Y1 Y2 = .
A conclusão geral é que:
X1 = Y1 e X2 = Y2.
4) (a) R1 = (Ac B) C
Seja, x (Ac B) C
Logo,
x [Ac (B C)].
(b) R2 = (A B)c C
Seja, x (A B)c C
então
x [(A B)] C
x A e x B e x C
x Ac e x B
c e x C
logo
x [(Ac B
c) C].
(c) R3 = (Ac B) C
c
Seja, x (Ac B) C
c
logo,
x Ac ou x B ou x C
c
(x Ac ou x C
c) ou x B
portanto
x (Ac C
c) B.
(d) R4 = (Ac Y) (A C
c)
Seja, x (Ac Y) (A C
c)
assim
x (Ac Y) ou x (A C
c)
(x Ac e x Y) ou (x A e x C
c)
(x Ac ou x Cc
) e (x Y ou x A)
x (Ac C
c) e x (Y A)
portanto,
x (A C)c (Y A).
PRÁTICAS
1. Uma população consome três marcas de queijos: A, B e C. Foi feita uma pesquisa de mercado para constatar os
tipos de demandas e obteve-se os dados da tabela abaixo:
a) Preencha a coluna desta tabela com o número de
pessoas consultadas, e expresse o número total de
pessoas.
b) Preencha o diagrama de Venn representando os números de
pessoas consultadas para os tipos de preferências.
Marcas Nº de consumidores
Número de pessoas consultadas
A 150
B 250
C 180
A e B 35
B e C 65
A e C 25
A, B e C 10
Não consome queijo 120
2. Os Diagramas de Venn abaixo representam a igualdade,
Construa diagramas de Venn para representar a igualdade,
3. Construa diagramas de Venn para ilustrar a regra:
a)
b)
c)
Bibliografia;
[1] Moreira, Marcos Antonio, Teoria da aprendizagem, São Paulo: EPU, 1999.
Após você realizar esta atividade descreva os obstáculos de conhecimento que você enfrentou para produzir seu
resultado.
Vamos entender um obstáculo no seguinte sentido: Um obstáculo é um conhecimento que produz soluções
adaptadas a um determinado contexto, mas induz a falsas soluções fora deste. Este conhecimento resiste às
contradições apresentadas e frequentemente volta a se manifestar.
Bibliografia:
[1] LIMA, ELON LAGES & et al, A matemática do Ensino Médio, Vol. 4, 2007, SBM, RJ
SEGUNDA ETAPA
Projeto PIBID:
MDC – Maximo divisor comum
MMC – Mínimo Múltiplo comum
Objetivos: Construir competências para o ensino de frações e resolução de problemas com padrões repetitivos
O maior divisor comum (MDC) de dois números inteiros e positivos é um número inteiro positivo que divide
e simultaneamente.
O mínimo múltiplo comum (MMC) de dois números inteiros e positivos é o menor número inteiro positivo que
é múltiplo e simultâneamente.
Exemplos:
Obtenha o MDC(8,10) .
. . Observe que o número é divisor tanto do número 8 e do número 10.
Logo
Obtenha o MMC(8,10).
, . Observe que 40 é o menor múltiplos
comum.
Outra maneira de se obter MMC de dois ou mais números é o seguinte: Fatora -se os dois números e efetua-se o
produto de fator comum com maior expoente pelos fatores não comuns, por exemplo, Obter o MMC de 20 e 30:
Então
Então
.
Para se obter o Maior divisor comum entre dois números e , fatora -se os dois números e multiplica-se os
fatores comum com menor expoente. Por exemplo, Obter o . Como já fizemos acima, os fatores
comum com menor expoente são e 5, então .
Exemplo: Obter o e dos números,
Então: e
Propriedades do e : Sejam e números inteiros então
1. ;
. ;
3. .
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MMC.
O MMC entre dois números inteiros positivos e pode ser obtido construindo-se um retângulo de lados e e
em seguida divida o retângulo em quadradinhos unitários, em seguida construa a diagonal do retângulo e destaque
os pontos em que a diagonal coincide com os vértices dos quadradinhos e, conte o número de partes que estes
pontos dividem a diagonal. Este número é MDC destes números.
Por cada ponto marcado trace linhas verticais o conte o
número de quadradinhos determinados, este
número é o MMC entre os números.
20 30 2 10 15 2 5 15 3 5 5 5 1 1 1
O menor múltipol comum (MMC) entre dois números também pode ser estabelecido geometricamente pela
seguinte representação:
Construa um retângulo cujos comprimentos dos lados sejam iguais aos números inteiros que desejamos determinar
o MMC, divida o retângulo em quadrados unitários, a partir de um dos vértices do retângulo construa segmentos
consecutivos diagonais dos quadrados unitários até alcançar outro vértice do retângulo, o número de quadradinhos
unitários que neste processo construímos as diagonais é o MMC. Veja as ilustrações abaixo;
Veja na figura ao lado onde temos um
retângulo de largura e altura e,
partindo-se de um dos vértices construímos
segmentos consecutivos diagonais de seis
quadradinhos até atingirmos outro vértice.
Este número e exatamente o
APLICAÇÕES
1) Se e , obtenha .
2) Obtenho o .
3) Uma indústria de tecidos fabrica retalhos de mesmo comprimento. Após realizarem os cortes necessários,
verificou-se que duas peças restantes tinham as seguintes medidas: 156 centímetros e 234 centímetros. O gerente
de produção ao ser informado das medidas deu a ordem para que o funcionário cortasse o pano em partes iguais e
de maior comprimento possível. Como ele poderá resolver essa situação?
4) Uma empresa de logística é composta de três áreas: administrativa, operacional e vendedores. A área
administrativa é composta de 30 funcionários, a operacional de 48 e a de vendedores com 36 pessoas. Ao final do
ano, a empresa realiza uma integração entre as três áreas, de modo que todos os funcionários participem
ativamente. As equipes devem conter o mesmo número de funcionários com o maior número possível. Determine
quantos funcionários devem participar de cada equipe e o número possível de equipes.
5) (PUC–SP) Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na máquina A a cada 3 dias, na máquina B, a
cada 4 dias, e na máquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção nas três máquinas, após
quantos dias as máquinas receberão manutenção no mesmo dia.
6) Um médico, ao prescrever uma receita, determina que três medicamentos sejam ingeridos pelo paciente de
acordo com a seguinte escala de horários: remédio A, de 2 em 2 horas, remédio B, de 3 em 3 horas e remédio C, de 6
em 6 horas. Caso o paciente utilize os três remédios às 8 horas da manhã, qual será o próximo horário de ingestão
dos mesmos?
BIBLIOGRAFIA
[1 ] CARDOSO, MARIO L. Uma interpretação Geométrica do MMC, RPM, Nº 32, SBM, 1996.
[ 2 ] OLIVEIRA, ZELSI CLASEN, Uma interpretação Geométrica do MDC, RPM, Nº 29, SBM, 1995.
3ª ETAPA
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS OPERAÇÕES:
MULTIPLICAÇÕES DE FRAÇÕES
DIVISÃO DE FRAÇÕES
A multiplicação e a divisão de frações são em geral as operações em que os professores encontram maiores
dificuldades para ensinar, tendo em vista as dificuldades de construir modelos experimentais para estabelecer
sentido às regras amplamente conhecidas, uma vez que é razoavelmente simples estabelecer experimentos para
dar significado às operações de soma e subtração de frações com vários tipos de representações, indaga-se sobre à
possibilidades de se construir de maneira semelhante modelos que representem a multiplicação e a divisão de
frações, uma vez que a operação multiplicação com números inteiros guarda estreita relação com a operação soma
e a divisão com números inteiros é obtida a partir da multiplicação com números inteiros. Pensando em contribuir
para a construção de modelos que contribuam para a construção de experimentos que estabelecer em bases
didáticas os algoritmos de multiplicação e divisão de frações, apresentaremos alguns tipos de experiências usadas
em outras ocasiões por muitos profissionais em ensino de matemática.
A idéia de operações com frações é a mesma expressa com números inteiros, a diferença fundamental é que no caso
dos números inteiros o denominador é sempre um. No caso da operação soma de frações, se as frações têm o
mesmo denominador opera-se da mesma maneira, soma-se os numeradores e repete-se o denominador, se as
frações têm denominadores diferentes, transforma-se em frações equivalentes com o mesmo denominador. No
processo de transformação em frações equivalentes, procede-se da seguinte maneira:
i) Obtém-se o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores;
ii) Atribuí-se para denominador o MMC, em seguida divide-se este MMC por cada denominador das respectivas
frações e resultado multiplica-se pelo denominador e soma-se, o resultado obtido é a soma das frações.
Estes procedimentos serão ilustrados com representações contínuas e discretas.
Multiplicação de Frações;
Para inlustra considere a multiplicação da fração por para isto construa um retângulo e divida um de seus
lados em quatro partes iguais formando retângulos horizontais e destaque três. Construa outro retângulo e divida
em cinco partes iguais formando retângulos verticais e destaque quatro como na figura abaixo. Juntando as duas
figuras obtemos um retângulo de largura 5 e altura 4, cuja área total é 20 e cuja área destacada é 12 que representa
do total. Isto significa que:
X
=
Divisão de Frações;
Inicie esta operação dividindo uma fração por um número inteiro. Observe a
figura abaixo que representa a divisão da fração por . Nesta figura
construímos em retângula e dividimos em três partes iguais, em seguida divida o retângulo em duas partes. Cada uma
das três partes do retângulo ficou dividida em duas partes, cada parte significa um terço do retângulo dividida por dois
o que representa um sexto do total, ou seja, por que está na figura representado por , isto é equivalente a
multiplicar por .
Para construir argumentos didáticos considere a divisão
da pela fração
Observe na figura ao lado que as retas horizontais
dividem o retângulo em três partes iguais e, as retas
verticais dividem o retângulo em quatro partes iguais.
Então o retângulo ficou dividido em 12 retângulos
menores, dos quais oito cabem dentro dos e nove
cabem dentro dos . Então como correspondem
aos e 9 correspondem aos temos que:
Bibliografia:
[1] HARIKI, SEIJI, Revista do Professor de Matemática, Nº 23, SBM, 1993
[2] LIBERMAN, MANHUCIA P. Revista do Professor de Matemática, Nº 1 - 4, SBM, 1982