UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA - UEPG

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL - PDE

SECRETARIA ESTADUAL DE EDUCAÇÃO DO PARANÁ

TEREZA CRISTINA RIBAS SALGADO

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENVOLVENDO NÚMEROS E ÁLGEBRA

NO CEEBJA

PONTA GROSSA 2012

TEREZA CRISTINA RIBAS SALGADO

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENVOLVENDO NÚMEROS E ÁLGEBRA

NO CEEBJA

Produção Didático-Pedagógica organizada na forma de Unidade Didática. Atividade prevista pelo Plano Integrado de Formação Continuada de professores do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE – 2012. Universidade Estadual de Ponta Grossa – UEPG. Orientadora/ Therezinha Rodrigues Marques Wolski.Professora Me: Denise

PONTA GROSSA

2012

FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA

TURMA - PDE/2012

Título: Resolução de problemas envolvendo Números e Álgebra no CEEBJA

Autor Tereza Cristina Ribas Salgado

Disciplina/Área (ingresso no PDE) Matemática

Escola de Implementação do

Projeto e sua localização

Centro Estadual de Educação Básica para Jovens e

Adultos

CEEBJA ”Prof. Ignácio Alves de Souza Filho” – E. F. M.

Município da escola Jaguariaíva

Núcleo Regional de Educação Wenceslau Braz

Professor Orientador Me. Denise Therezinha Rodrigues Marques Wolski

Instituição de Ensino Superior Universidade Estadual de Ponta Grossa – UEPG

Relação Interdisciplinar

(indicar, caso haja, as diferentes

disciplinas compreendidas no

trabalho)

Resumo

(descrever a justificativa, objetivos

e metodologia utilizada. A

informação deverá conter no

máximo 1300 caracteres, ou 200

palavras, fonte Arial ou Times

New Roman, tamanho 12 e

espaçamento simples)

Na tentativa de buscar formas de melhorar a

defasagem dos alunos em relação aos conteúdos

estruturantes de números e álgebra, envolvendo

equação do 1º grau, principalmente aquelas que

envolvem operações com fração. O objetivo desta

proposta é desenvolver estratégias metodológicas

dinâmicas, para que o aluno possa atribuir significado

aos conteúdos explorados e estabelecer relações

dos mesmos com o cotidiano. A proposta é despertar

o interesse e a curiosidade do aluno, com ênfase na

realização de situações-problema o mais próximo

possível da realidade do aluno envolvendo números

e álgebra. Espera-se que com este trabalho os

alunos possam superar as defasagens, aprender

outras formas de executar o trabalho com álgebra em

sala de aula. O material didático tem como público

alvo os alunos do Centro Estadual de Educação de

Jovens e Adultos - CEEBJA, município de

Jaguariaíva, no ano de 2012.

Palavras-chave ( 3 a 5 palavras) Educação de Jovens e Adultos; Resolução de

Problemas; Equação do 1º grau.

Formato do Material Didático Unidade Didática

Público Alvo

(indicar o grupo para o qual o

material didático foi desenvolvido:

professores, alunos,

comunidade...)

Alunos do Ensino Fundamental

1. IDENTIFICAÇÃO

1.1. TÍTULO: Resolução de problemas envolvendo Números e Álgebra no CEEBJA.

1.2. AUTOR: Tereza Cristina Ribas Salgado.

1.3. DISCIPLINA: Matemática.

1.4. FORMATO DO MATERIAL DIDÁTICO: Unidade Didática.

1.5 ESCOLA DE IMPLEMENTAÇÃO DO PROJETO: Centro Estadual de Educação

Básica para Jovens e Adultos – CEEBJA “ Professor Ignácio Alves de Souza Filho”

1.6. PÚBLICO-ALVO: Alunos dos anos finais do Ensino Fundamental, da

modalidade de ensino Educação de Jovens e Adultos.

1.7. MUNICÍPIO DA ESCOLA: Jaguariaíva

1.8. NÚCLEO REGIONAL DE EDUCAÇÃO: Wenceslau Braz

1.9. PROFESSOR ORIENTADOR: Profa. Me. Denise Therezinha Rodrigues

Marques Wolski

1.10. INSTITUIÇÃO DE ENSINO SUPERIOR: Universidade Estadual de Ponta

Grossa - UEPG

RESUMO

Na tentativa de buscar formas de melhorar a defasagem dos alunos em relação aos

conteúdos estruturantes de números e álgebra, envolvendo equação do 1º grau,

principalmente aquelas que envolvem operações com fração. O objetivo desta

proposta é desenvolver estratégias metodológicas dinâmicas, para que o aluno

possa atribuir significado aos conteúdos explorados e estabelecer relações dos

mesmos com o cotidiano. A proposta é despertar o interesse e a curiosidade do

aluno, com ênfase na realização de situações-problema o mais próximo possível da

realidade do aluno envolvendo números e álgebra. Espera-se que com este trabalho

os alunos possam superar as defasagens, aprender outras formas de executar o

trabalho com álgebra em sala de aula. O material didático tem como público alvo os

alunos do Centro Estadual de Educação de Jovens e Adultos - CEEBJA, município

de Jaguariaíva, no ano de 2012.

PALAVRAS-CHAVE: Educação de Jovens e Adultos; Resolução de Problemas;

Equação do 1º grau.

APRESENTAÇÃO

A presente unidade didática está articulada ao Projeto de Intervenção

Pedagógica, que tem como tema central “A utilização de Resolução de Problemas

em sala de aula para o ensino de equação do 1º grau”. A proposta se caracteriza

como atividade de Produção Didático–Pedagógica, prevista no plano integrado de

formação continuada de professores do Programa de Desenvolvimento Educacional

– PDE, implantado pela SEED.

Produção Didático-Pedagógica é a elaboração de um material didático

enquanto estratégia metodológica que sirva aos propósitos de seu projeto de

Intervenção Pedagógica na escola. Realizando pesquisa sobre as possibilidades de

produções práticas a serem implementadas, providenciei uma balança de dois

pratos e pesos de massas diferentes para trabalhar com princípios de igualdade,

com intenção cooperativa entre o professor e os alunos.

A unidade didática está organizada dentro dos conteúdos estruturantes

números e álgebras, focando nos conceitos específicos relacionados à equação do

1º grau.

A escolha de equação do 1º grau como objeto de aprendizagem desse projeto

se justifica pela grande dificuldade de aprendizagem dos alunos no que diz respeito

ao mesmo, observada em nossa experiência docente, principalmente na Educação

de Jovens e Adultos. Acreditamos que haja falta de pré-requisitos e dificuldade em

estabelecer relações entre o que é ensinado na escola e os problemas da vida

prática, para que os alunos possam se apropriar desses conceitos.

O objetivo deste material é, então, propor atividades que abordem equações

do 1º grau partindo de situações-problemas, desenvolvendo estratégias

metodológicas mais dinâmicas do que as usadas no ensino tradicional, para que o

aluno possa atribuir significado aos conteúdos explorados e estabelecer relações

dos mesmos com o cotidiano. Esse material será utilizado com os alunos do Centro

Estadual de Educação Básica para Jovens e Adultos CEEBJA “Prof. Ignácio Alves

de Souza Filho” – E. F. M. do município de Jaguariaíva, pertencente ao Núcleo

Regional de Educação de Wenceslau Braz.

ATIVIDADE 1

OBJETIVO ESPECÍFICO

Trabalhar, empiricamente, o conceito de equação e princípios de uma

igualdade;

Demonstrar os princípios de igualdade, utilizando os pratos da balança.

ENCAMINHAMENTO METODOLÓGICO

Para demonstrar os princípios de igualdade vamos trabalhar com uma

situação real, utilizando uma balança de dois pratos com pesos de massas

diferentes.

Para isso devemos saber que massa e peso são propriedades diferentes. A

massa é uma grandeza física fundamental. Segundo a mecânica newtoniana, ela dá

a medida da inércia ou da resistência de um corpo em ter seu movimento acelerado.

Ela também é a origem da força gravitacional.

Já o peso é a força gravitacional sofrida por um objeto em virtude da atração

gravitacional nele exercida por outro corpo massivo.

A igualdade traduz uma ideia de equilíbrio. Equilíbrio faz lembrar-se de uma

balança de dois pratos. Assim uma equação (que é uma igualdade) pode ser vista

como uma balança de dois pratos em equilíbrio.

1- Vamos descobrir a massa da paçoquinha, e colocá-la em um dos pratos da

balança, no outro os pesos com as massas até a balança ficar equilibrada,

registrando em seguida a igualdade que encontrarmos.

p = 3,5 + 3,5 + 7 + 7 + 1

p = 22 g

Concluímos que a massa da paçoquinha é 22 gramas.

PRINCÍPIO ADITIVO

2- Se colocarmos a mesma paçoquinha e mais 3,5 g em um dos pratos da balança e

no outro, as massas até encontrar o equilíbrio da balança, e fazendo o registro:

p + 3,5 = 7 + 7 + 3,5 + 3,5 + 3,5 + 1

p + 3,5 = 25,5

p+ 3,5 – 3,5 = 25,5 – 3,5

p = 22 g

PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO

3- Vamos colocar duas balas em um dos pratos da balança, deixar a balança

equilibrada, e registrar:

2b = 7 + 0,5 + 0,5 + 0,5 + 0,5 + 0,5 + 0,5

2b = 7 + 3

2b = 10

2b /2 = 10/2

b = 5 g

Desta forma a massa da bala é 5 gramas.

4- Se colocarmos a metade de um chocolate em um dos pratos da balança, e no

outro prato colocarmos as massas até equilibrar, qual é a massa de um chocolate

inteiro?

1/2c = 7 + 0,5 + 0,5

1/2c = 8

2. 1/2c = 2.8

2/2c = 16

c = 16

A massa do chocolate é 16 gramas.

5- Na balança abaixo estão equilibrados: 4 balas mais 3 gramas no primeiro prato da

balança e 2 balas mais 11 gramas no segundo prato, , vamos encontrar a massa de

cada bala.

4b + 3 = 2b + 11

4b – 2b + 3 = 2b – 2b + 11

2b + 3 = 11

2b + 3 – 3 = 11 – 3

2b = 8

2b/2 = 8/2

b = 4

Portanto a massa de cada bala é 4 gramas.

PRINCÍPIOS DE IGUALDADE

Como vimos na prática, as regras que usamos para resolver uma equação

são aplicações do que os matemáticos chamam de princípios de igualdade.

Vamos resumir estes princípios utilizando algumas ilustrações.

Esta balança está em equilíbrio. A igualdade que a representa é: 8 = 3 + 5.

Podemos mexer nas massas de forma que o equilíbrio dos pratos se mantenha.

1. Adicionando 2 aos dois membros 2. Subtraindo três dos dois membros,

temos:

8 + 2 = 3 + 5 + 2 8 – 3 = 5 + 3 – 3

10 = 10 5 = 5

3. Multiplicando os dois membros por 2 4. Dividindo os dois membros por 2,

temos: temos:

8 + 8 = 3 + 5 + 3 + 5 8: 2 = 8 = (3 + 5) : 2

16 = 16 4 = 4

De acordo com o que você observou e nós discutimos qual a condição para

“mexer” nos pratos sem desequilibrar a balança?

3 5 8

3 5 8 2 2

3 5

�

8 3 5

�

8

4

5 5

4

ATIVIDADE 2

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Identificar como equação toda sentença matemática expressa por uma

igualdade e que apresente um ou mais elementos desconhecidos;

Reconhecer sentenças matemáticas abertas e fechadas.

ENCAMINHAMENTO METODOLÓGICO

Será trabalhada com os alunos a conceituação de equação do 1º grau

enfatizando o seu uso como uma estratégia para resolução de problemas, que será

feita por meio da leitura do texto abaixo, e das atividades para os alunos com a

balança de dois pratos utilizando pesos de unidades variadas.

UMA NOVA FORMA DE RESOLVER PROBLEMAS

Resolver problemas é, sem dúvida, a finalidade maior de toda atividade

matemática.

Já sabemos resolver problemas “matemáticos” de diferentes maneiras:

usando as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e

radiciação, por tentativa e erro, usando desenhos, entre outros modos.

Agora conheceremos uma nova estratégia: envolvendo o que se chama de

equação.

A palavra equação vem de „equa‟ que em latim quer dizer “igual”.

Uma Sentença Matemática é aquela que relaciona quantidades expressas por

palavras ou símbolos:

EXEMPLO:

Nove menos três é igual a seis, é uma sentença matemática, que escrita em

linguagem simbólica, seria escrita: 9 - 3 = 6.

Vinte e Sete é maior que dezenove, é uma sentença matemática, que escrita

em linguagem simbólica, seria escrita: 27 > 19.

Quarenta e oito divididos por doze é igual a quatro, é uma sentença

matemática, que escrita em linguagem simbólica, seria escrita: 48 : 12 = 4.

Toda sentença matemática pode ser verdadeira ou falsa

a) 40:5=8 (é verdadeira, pois se dividir 40 por 5 o resultado será 8)

b)11+8=15 (é falsa, pois 11mais 8 é 19 não 15)

Toda sentença matemática pode ser aberta ou fechada

a) Sentença aberta- é a que apresenta elementos desconhecidos chamados

variáveis ou incógnitas:

x + y = 11 (as variáveis são: x e y).

y + 12 = 22 (a variável é: y).

b) Sentença fechada- é a que não possui variável ou incógnita:

De um modo geral podemos afirmar que uma sentença matemática é fechada

quando podemos definir, sem possibilidades de erro, se ela é falsa ou verdadeira.

A sentença matemática 2 + 8 = 10 é fechada e é verdadeira.

A sentença matemática 5 < 3 é fechada e é falsa já que 5 não é menor que 3,

5 é maior que três.

Uma equação é toda sentença matemática aberta, expressa por uma

igualdade que contém pelo menos uma letra que representa um número

desconhecido. Essa letra que está no lugar do número desconhecido, chama-se

incógnita. Resolver uma equação é encontrar o valor da incógnita x ou y (qualquer

outra letra do nosso alfabeto).

Numa equação, a expressão que vem à esquerda do sinal de igual é

chamada de lº membro (na representação utilizando as balanças é o primeiro prato

da balança), e à direita de 2º membro (segundo prato da balança).

EXEMPLO DE EQUAÇÕES

2a + 8 = 0 ( É uma equação de incógnita a)

5x – 4 = 6x + 8 ( É uma equação de incógnita x)

3a – b = 0 ( É uma equação com duas incógnitas a e b

NÃO SÃO EQUAÇÕES

4 + 8 = 7 + 5 ( Não é uma sentença aberta )

X – 5 ≤ 3 ( Não é uma igualdade)

5 ≠ - 2 ( não é uma sentença aberta nem igualdade)

ATIVIDADE 3

OBJETIVO ESPECÍFICO

Identificar os termos desconhecido da equação;

Verificar se o número dado é ou não uma raiz de uma equação

ENCAMINHAMENTO METODOLÓGICO

Será entregue aos alunos o texto abaixo para leitura

Na resolução de equações usamos os princípios de igualdade que

estudamos anteriormente para obter equações equivalentes (que tenham a mesma

solução) até isolarmos o valor desconhecido em um dos membros. Veja:

X + 8 = 14 é uma sentença aberta, pois isso pode ser verdadeiro ou falso. Se x = 2,

essa sentença é falsa, mas se x = 6, a sentença é verdadeira.

Observe:

X + 8 = 14

X + 8 – 8 = 14 – 8

X = 6

Utilizando esse raciocínio, o que significa resolver uma equação?

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

Vamos colocar uma medida desconhecida em um dos pratos da balança e descobrir

o seu valor:

x

14

8 x

6

a)

b)

c)

Qual é o valor de x?

b)

O que devemos fazer para a balança continuar equilibrada?

c)

5

1

2

5 x

5

4 4

47

6

4

x

6

6

6

6

6

6

6

5

x

x

3

3x

x

x

47

x

5

4 x

47

5

6

4

x

6

6

6

6

6

6

6

x

x

3

3x

Se tirarmos 2 x de um prato da balança o que devemos no outro prato da

balança para ela continuar equilibrada?

Qual é o valor de x?

ATIVIDADE 4

OBJETIVO ESPECÍFICO

Analisar a adequação do uso de equações do 1º grau como estratégia de

resolução de problemas cotidianos.

ENCAMINHAMENTO METODOLÓGICO

As atividades serão distribuídas aos alunos para resolverem, utilizando os

pratos da balança nos princípios de igualdade no final da aula discutem-se as

soluções com os alunos, comparando-as.

EQUILIBRANDO A BALANÇA

1. As balanças estão equilibradas, registre ao lado de cada balança a ação

realizada e o resultado da mesma.

Qual é a equação representada por esta

balança?

_______________________________________________________________

O que foi feito? Como ficou a equação?

x 3

x

x x

x 12

x

3

x

x

x

x

12

________________________________________________________________

O que foi feito? Como ficou a equação?

_____________________________________________________________

O que foi feito? Como ficou a equação?

_____________________________________________________________

2. Levando em consideração que a balança está em equilíbrio, responda:

a) O que você deve fazer neste caso para descobrir o valor desconhecido?

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

5

5

2

7 x

4

x

3

9 x

3

x

x

3 x

b) Represente a situação dos objetos na balança por meio de uma equação.

_________________________________________________________

c) Aplique a esta situação o mesmo raciocínio usado no item ,determinando o

valor da massa desconhecida.

________________________________________________________

________________________________________________________

1. Observe a balança

a) Considerando que a balança está em equilíbrio, elabore uma situação-

problema que possa ser representada por ela e resolvida por meio de uma

equação do 1º grau.

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

x

5 5

3

x

x

x

x

3

x

x x

x

5

3

ATIVIDADE 5

OBJETIVO ESPECÍFICO

Expressar por meio de sentenças matemáticas os princípios de equivalência

das igualdades.

ENCAMINHAMENTO METODOLÓGICO

As atividades abaixo serão distribuídas para os grupos de 4 alunos

resolverem e fazer a verificação com os pratos da balança

1. Estas balanças estão equilibradas. Escreva a equação que corresponde a cada

figura e encontre o valor de x. Use os desenhos.

d)

b)

12 15

x

x

x

x

10

9

x

x

x

x

x

x

25 x

x

5

x

x x

x

x

x

c)

x

x

5

7

x

x

x

x

x

x

x

x

ATIVIDADE 6

OBJETIVO ESPECÍFICO

Utilizar a linguagem matemática como forma de expressão e síntese de

situações-problemas contextualizadas.

Abordar o sentido das palavras peso e massa.

ENCAMINHAMENTO METODOLÓGICO

Serão feitos grupos de 4 alunos e distribuídas folhas impressas para eles

resolverem, em seguida os problemas serão lidos para a turma e os alunos terão o

restante da aula para discutirem a sua resolução.

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS UTILIZANDO EQUAÇÕES DO 1º. GRAU.

1. Considerando que a balança está em equilíbrio, qual a massa de cada melancia?

2. Em uma balança de dois pratos estão equilibrados dois queijos de massas iguais

mais seis quilos. No outro prato estão equilibrados 13 quilos. Qual é a massa dos

dois queijos?

3. Represente numa balança em equilíbrio a seguinte situação: em um dos pratos

coloque três pesos iguais desconhecidos mais sete quilos; No outro prato coloque

um peso de 42 e outro de 34 kg. Agora, calcule a massa de cada um dos pesos

desconhecidos.

4. Note que a balança ao lado está em equilíbrio. No primeiro prato contém três

queijos de mesma massa, mais um peso de 400 gramas, já no segundo prato existe

um peso de 50 gramas, mais dois pesos de 400 gramas, como não sabemos a

massa do queijo, dizemos que ele pesa x gramas, desse modo, podemos escrever a

equação e determinar o valor de x.

a) Escreva a equação que representa a situação descrita.

_________________________________________________________________

b) Verificar se a solução encontrada é verdadeira.

________________________________________________________________ ________________________________________________________________

5. Numa balança de dois pratos, há de um lado três laranjas – de aproximadamente

300 g cada uma – mais um melão. No outro prato, há dois abacaxis que pesam 1,5

kg cada um.

a) Faça um desenho representando essa situação.

b) Escreva uma equação representando-a.

c) Calcule a massa do melão?

6) Imagine uma balança na qual 3 tabletes iguais de margarina mais um pacote der

manteiga de 250g equilibram 700 g de queijo. Quantas gramas tem cada tablete de

manteiga?

ATIVIDADE 7

OBJETIVO ESPECÍFICO

Resolver diferentes tipos de equações do 1º grau a partir de situações-

problemas propostos.

Representar por meio de equações o enunciado do problema.

ENCAMINHAMENTO METODOLÓGICO

A turma será subdividida em grupos de quatro alunos e distribuída folhas

impressas com os problemas abaixo para eles resolverem, que serão utilizados para

a aplicação na vida prática.

1. Para dar nota bimestral, um professor avalia os seus alunos através de uma

prova e um trabalho, a prova tem peso 2 e o trabalho, peso 1. A nota bimestral é a

média ponderada dessas notas.

(2P + T): 3 = nota bimestral. P é a nota da prova, T é a nota do trabalho.

Marina obteve nota 4,0 no trabalho e quer ter nota bimestral 7,0. Qual nota ela

precisa obter na prova?

2. O perímetro de um retângulo é 27 cm. As medidas do lado são expressas por

três números inteiros e consecutivos. Quais são as medidas dos lados do

retângulo?

3. Um terreno tem forma de um trapézio com uma área de 270m² . A base maior

desse terreno mede 20 m, e a altura, 15m. Quanto mede a base menor do terreno?

4. Uma casa com 260 m² de área construída possui 3 quartos de mesmo tamanho.

Qual é a área de cada quarto, se as outras dependências da casa ocupam 140 m²?

5. Em um estacionamento há carros e motos num total de 38 veículos e 136 rodas.

Quantas motos e quantos carros há nesse estacionamento?

6. Um retângulo tem seus lados de medida x e x – 15 e seu perímetro é 70 cm.

Calcule a medida de cada lado desse retângulo.

7. Louca para casar, Maria economizou algum dinheiro. Gastou 1/3 com o vestido,

1/5 com o convite e R$ 800,00 com as alianças restando apenas R$ 600,00. Quanto

Maria gastou com o vestido?

8. Conta a lenda que um discípulo de Pitágoras lhe perguntou quantos alunos tinha

a sua escola. Pitágoras respondeu-lhe: “Metade estuda Geometria, a quarta parte

estuda a natureza, a sétima parte medita simplesmente e três estudam ciências”.

Descubra o número de alunos da escola.

REFERÊNCIAS

FLORÊNCIO DE MORAES , José, Oficial de promotoria, apostilas solução .

BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática Hoje. É feita assim. 5ª Série. São Paulo: FTD, 2000. CARAÇA, B. J. Conceitos Fundamentais da Matemática, ed. Sá da Costa, Lisboa, 1984. DANTE, L. R. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. 8ª ed. São Paulo: Ed. Ática, 1996. FLORÊNCIO DE MORAES , José, Oficial de promotoria, apostilas solução .

GIOVANNI; CASTRUCCI & GIOVANNI Jr. A Conquista da Matemática. 6ª série São Paulo:FTD,2002.

GRASSESCHI, Maria Cecília Castro, ANDRETTA, Maria Capucho & SILVA, Aparecida Borges dos Santos. PRONAT. Projeto Oficina de Matemática. São Paulo: FTD, 1999. GUELLI, Oscar. Contando a História da MATEMÁTICA Equação: o idioma da Álgebra. São Paulo: Ática, 1998. http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/matematica-ef/equacao-do-primeiro-grau-1.php#ixzz1wknAYsqw http://matematicafernando.blogspot.com.br/2009/11/equacao-do-1-grau.html Fernando Cabral http://www.wikipédia.org/massa/peso/força_gravitacional/gravitacão_universal. IMENES, Luiz Marcio & LELLIS, Marcelo. Matemática. 8º ano. São Paulo: Moderna, 2011. JAKUBOVIC, José e LELLIS, Marcelo. Matemática na Medida Certa. São Paulo: Scipione, 1995

MENDONÇA, A.C., CHINEN, M, ENGELBERG, P. M, BELLINATO, R., SANTOS, V.L. Matemática como Resolução de Problemas. São Paulo: USP, 1999.

PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação de Jovens e Adultos. Curitiba, 2006. ______. Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Matemática. Curitiba, 2008. POLYA, George. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. Trad. E Adaptação Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: Interciência, 1995. P. XII-XIII.