UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASIINSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E

COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA

Luan Pereira Bezerra

Bases de módulos de Weyl locais

CAMPINAS2015

Luan Pereira Bezerra

Bases de módulos de Weyl locais

Dissertação apresentada ao Instituto de Ma-temática, Estatística e Computação Cientí-fica da Universidade Estadual de Campinascomo parte dos requisitos exigidos para a ob-tenção do título de Mestre em matemática.

Orientador: Prof. Dr. Adriano Adrega de Moura

Este exemplar corresponde à versão finalda dissertação defendida pelo aluno LuanPereira Bezerra, e orientada pelo Prof. Dr.Adriano Adrega de Moura.

Assinatura do Orientador

Campinas

2015

Ficha catalográfica Universidade Estadual de Campinas

Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Maria Fabiana Bezerra Muller - CRB 8/6162

Bezerra, Luan Pereira, 1992- B469b Bases de módulos de Weyl locais / Luan Pereira Bezerra. – Campinas, SP :

[s.n.], 2015.

Orientador: Adriano Adrega de Moura. Dissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de

Matemática, Estatística e Computação Científica.

1. Kac-Moody, Álgebras de. 2. Lie, Álgebra de. 3. Representações de álgebras. I. Moura, Adriano Adrega de,1975-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Basis of local Weyl modules Palavras-chave em inglês: Kac-Moody algebras Lie algebrasRepresentations of algebras Área de concentração: Matemática Titulação: Mestre em Matemática Banca examinadora: Adriano Adrega de Moura [Orientador] Angelo Calil Bianchi Plamen Emilov Kochloukov Data de defesa: 28-07-2015 Programa de Pós-Graduação: Matemática

Agência: FAPESP

Nº Processo: 2013/24685-2

Agradecimentos

Agradeço à todas as pessoas que contribuíram com minha caminhada até aqui e peçodesculpas às que deixarei de listar. Ao meu pai, por trabalhar tanto para nos dar uma vidamelhor. À minha mãe, por dedicar sua vida à nossa criação. Ao meu orientador Adriano,por me apresentar essa área, me mostrar o caminho até aqui e por me deixar mais motivadosempre que conversávamos. A Grazia, Elizabetta e Oswaldo, pela hospitalidade e por meajudar sempre que precisei. A Patrícia, pela paciência com minha ansiedade.

Agradeço a FAPESP pelo apoio financeiro através do projeto 2013/24685-2.

ResumoNeste trabalho estudaremos os chamados módulos de Weyl locais graduados. Identifi-

cando os módulos de Weyl locais com módulos de Demazure para álgebra de Kac-Moody,inclusões naturais são induzidas. O objetivo é estudar e explorar a possibilidade de gene-ralização de recentes resultados sobre a compatibilidade, com respeito a estas inclusões,de bases dos módulos de Weyl locais conhecidas como bases de Chari-Pressley-Loktev. Oresultado principal caracteriza os elementos da base que são estáveis e nos permite cons-truir uma base para a representação básica da álgebra de Kac-Moody associada a álgebrade Lie linear especial de ordem 2, composta apenas por elementos estáveis da base dosmódulo de Weyl locais.

Palavras-chave: Álgebras de Kac-Moody, Álgebras de Lie, Representações de álge-bras.

AbstractIn this work we study the so-called graded local Weyl modules. Identifying local Weyl

modules with Demazure modules for a Kac-Moody algebra induces natural inclusions. Thegoal is to study and explore a possible generalization of recent results on the compatibility,with respect to these inclusions, of certain basis of the local Weyl modules known as Chari-Pressley-Loktev basis. The main result characterizes the elements of the basis which arestable and allows us to build a basis for the basic representation of the Kac-Moody algebraassociated with the special linear Lie algebra of order 2, comprising only of stable elementsof the local Weyl module basis.

Keywords: Kac-Moody algebras, Lie algebras, Representations of algebras.

Sumário

Introdução 10

1 Álgebras de Lie 121.1 Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2 Álgebras de Lie semissimples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3 Álgebras de Kac-Moody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3.1 Matrizes de Cartan Generalizadas e Diagramas de Dynkin . . . . . 271.3.2 Raízes de uma álgebra de Kac-Moody . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.3.3 Realização das álgebras de Kac-Moody afins não torcidas . . . . . . 34

2 Representações de álgebras de Kac-Moody 362.1 Módulos de peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2 A categoria (BGG) 𝒪: Tipo finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.1 A subcategoria 𝒪𝑖𝑛𝑡 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3 A categoria (BGG) 𝒪: Tipo Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4 Representações de dimensão finita de álgebras de Kac-Moody afim . . . . . 42

2.4.1 Módulos de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.4.2 Módulos de Weyl locais para álgebra de correntes . . . . . . . . . . 462.4.3 Módulos de Demazure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3 Bases para módulos de Weyl locais 483.1 Uma base para o sl𝑟+1[𝑡]-módulo 𝑊 (𝜆) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.2 O caso r=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.1 Diagramas de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2.2 Base CPL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2.3 Inclusões de módulos de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.2.4 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3 Demonstração do teorema principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.4 O caso geral para 𝑛 par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

viii

3.5 O caso geral para 𝑛 ímpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.6 Passagem ao limite direto - Base para 𝐿(Λ0) . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.7 Considerações para sl3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Referências 72

10

Introdução

A teoria de álgebras de Lie e suas representações formam uma área da matemáticabastante rica e importante, seja por seu próprio desenvolvimento abstrato, seja por suasinterações com diversas outras áreas, tais como geometria, combinatória e física. A relaçãoentre física e matemática tem sido extremamente frutífera para ambas as áreas nas últimasdécadas com o surgimento de novos ramos de pesquisa e novas técnicas e abordagens paraáreas pré-existentes.

Em particular, a teoria das chamadas álgebras de Lie simples e seus correspondentesgrupos de Lie compactos foi amplamente desenvolvida. A estrutura dessas álgebras podeser codificada em uma matriz de números inteiros que chamamos atualmente de sua matrizde Cartan. Um pouco mais tarde Kac e Moody generalizaram o conceito de matriz deCartan e associaram uma álgebra de Lie a estas matrizes. De particular interesse são aschamadas álgebras de Kac-Moody de tipo Afim, que são a estrutura algébrica por trás demuitas áreas da física, como teoria conforme de campos e modelos integráveis da mecânicaestatística.

Seja g uma álgebra de Lie de dimensão finita sobre os complexos simples e considerea respectiva álgebra de laços g = g ⊗ C[𝑡, 𝑡−1]. A teoria de representações de dimensãofinita de g começou a ser estudada por Chari e Pressley em [5], onde os módulos simplesforam classificados em termos de produtos tensoriais de módulos de avaliação. Inspiradospelo contexto dos grupos algébricos, Chari e Pressley introduziram o conceito de módulosde Weyl na categoria das representações de dimensão finita das álgebras de Kac-Moodyde tipo Afim [7], atualmente conhecidos como módulos de Weyl locais. Os módulos deWeyl para álgebras de Kac-Moody substituem em grande parte o papel desempenhadopelos módulos de Verma na Categoria 𝒪 de Bernstein-Gelfand-Gelfand. Os módulos deWeyl são os objetos universais com relação à propriedade de serem de dimensão finita ede ℓ-peso máximo, ou seja, qualquer outro módulo satisfazendo essa propriedade é umquociente de um módulo de Weyl.

É conveniente estudar os módulos de Weyl como módulos graduados para a álgebrade correntes g[𝑡] = g ⊗ C[𝑡] e, de fato, muitas propriedades dos módulos de Weyl foramobtidas através do estudo da restrição da ação a g[𝑡]. Em [7], Chari e Pressley obtiverambases monomiais parametrizadas por partições para os módulos de Weyl locais no casog = sl2. Em [3], Chari e Loktev estenderam a construção destas bases para g = sl𝑟+1 eobtiveram uma identificação dos módulos de Weyl locais com certos módulos de Demazureda representação de nível 1 da álgebra de Kac-Moody afim g correspondente a g = sl2.Em [10], utilizando técnicas diferentes, Fourier e Littelmann obtiveram a identificação dosmódulos de Weyl locais com módulos de Demazure para g de tipo ADE, mas ainda nãoforam descritas bases como as de CPL fora do tipo A.

Nesta dissertação iremos estudar os resultados de [19] acerca do comportamento das

11

bases monomiais para os módulos de Weyl locais com respeito a certas inclusões obtidaspela identificação com módulos de Demazure. Os pesos dominantes de sl2 são parame-trizados por inteiros não-negativos e, para cada 𝑛 ≥ 0, existe um módulo de Weyl local𝑊 (𝑛). Através da identificação do módulo de Weyl 𝑊 (𝑛) com o respectivo módulo deDemazure obtemos as inclusões 𝑊 (𝑛) ⊆ 𝑊 (𝑛 + 2). É, então, natural questionar se asbases monomiais respeitam estas inclusões.

O texto está dividido em três capítulos. No primeiro capítulo fazemos um revisão dateoria de álgebras de Lie de dimensão finita e de álgebras de Kac-Moody. No segundoapresentamos a teoria de representações de álgebras de Kac-Moody, com especial atençãoas representações de dimensão finita para álgebras de Kac-Moody afim. No capítulo trêsestudamos os resultados de [19], caracterizando os elementos das bases dos módulos deWeyl locais que possuem um comportamento estável com respeito às inclusões 𝑊 (𝑛) ⊆𝑊 (𝑛+ 2) e fazemos alguns comentários sobre o caso g = sl3.

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Capítulo 1

Álgebras de Lie

Neste capítulo faremos uma revisão das principais definições, propriedades e resultadossobre álgebras de Lie e de Kac-Moody. Todas as álgebras consideradas serão sobre o corpodos números complexos C. As demostrações podem ser encontradas em [1, 13, 16, 20].

1.1 Conceitos Básicos

Definição 1.1.1. Uma álgebra de Lie sobre C é um espaço vetorial g munido de umaoperação (colchete) [·, ·] : g × g → g satisfazendo:

1. [·, ·] é bilinear;

2. [𝑥, 𝑥] = 0 para todo 𝑥 ∈ g;

3. [[𝑥, 𝑦], 𝑧] + [[𝑧, 𝑥], 𝑦] + [[𝑦, 𝑧], 𝑥] = 0 para todos os 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ g.

A condição 2 aplicada a [𝑥+ 𝑦, 𝑥+ 𝑦] implica [𝑥, 𝑦] = −[𝑦, 𝑥] para todos os 𝑥, 𝑦 ∈ g.A condição 3 é chamada de Identidade de Jacobi.

Definição 1.1.2. Seja g uma álgebra de Lie sobre C. Um subconjunto h de g é umasubálgebra de g se h é um subespaço vetorial de g e [𝑥, 𝑦] ∈ h para todos os 𝑥, 𝑦 ∈ h.

Exemplo 1.1.3. Seja 𝐴 uma álgebra associativa sobre C. Então, temos uma aplicação

𝐴× 𝐴 → 𝐴

(𝑥, 𝑦) ↦→ 𝑥𝑦

satisfazendo (𝑥𝑦)𝑧 = 𝑥(𝑦𝑧) para todos os 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴. Podemos definir um estrutura deálgebra de Lie em 𝐴 com o colchete dado pelo comutador [𝑥, 𝑦] = 𝑥𝑦 − 𝑦𝑥. As condições1 e 2 são claras. Para a identidade de Jacobi, temos que

[[𝑥, 𝑦], 𝑧] = 𝑥𝑦𝑧 − 𝑦𝑥𝑧 − 𝑧𝑥𝑦 + 𝑧𝑦𝑥

[[𝑧, 𝑥], 𝑦] = 𝑧𝑥𝑦 − 𝑥𝑧𝑦 − 𝑦𝑧𝑥+ 𝑦𝑥𝑧

[[𝑦, 𝑧], 𝑥] = 𝑦𝑧𝑥− 𝑧𝑦𝑥− 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑧𝑦

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e daí [[𝑥, 𝑦], 𝑧] + [[𝑧, 𝑥], 𝑦] + [[𝑦, 𝑧], 𝑥] = 0 para todos os 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴. Em particular, se𝐴 = 𝑀𝑛(C) é a álgebra associativa das matrizes 𝑛 × 𝑛 sobre C, a álgebra de Lie obtidapela construção acima será denotada por gl𝑛(C). Também, se 𝑉 for um espaço vetorialsobre C e 𝐴 = 𝐸𝑛𝑑C(𝑉 ), a álgebra de Lie obtida é chamada de álgebra de Lie linear gerale será denotada por gl(𝑉 ). Uma subálgebra de gl(𝑉 ) é chamada de álgebra de Lie linear.

Exemplo 1.1.4. A álgebra das matrizes com traço nulo sl𝑛(C) = {𝑥 ∈ gl𝑛(C) :𝑡𝑟(𝑥) = 0} é uma subálgebra de gl𝑛(C), pois 𝑡𝑟(𝑥𝑦) = 𝑡𝑟(𝑦𝑥) e 𝑡𝑟(𝑥+ 𝑦) = 𝑡𝑟(𝑥) + 𝑡𝑟(𝑦).

Se 𝑛 = 2, os elementos

𝑥+ =(

0 10 0

), ℎ =

(1 00 −1

), 𝑥− =

(0 01 0

)formam uma base de sl2 e satisfazem [𝑥+, 𝑥−] = ℎ, [ℎ, 𝑥+] = 2𝑥+ e [ℎ, 𝑥−] = −2𝑥−.

Sejam g1 e g2 subespaços de uma álgebra de Lie g. Então, [g1, g2] é definido comoo subespaço gerado por todos os produtos [𝑥, 𝑦] com 𝑥 ∈ g1 e 𝑦 ∈ g2. Note que, como[𝑥, 𝑦] = −[𝑦, 𝑥], [g1, g2] = [g2, g1] para todos os subespaços g1, g2 de uma álgebra de Lie g.

Definição 1.1.5. Um subespaço i de g é chamado um ideal se [i, g] ⊂ i.

Observe que, como [i, g] = [g, i], não há distinção entre ideais à esquerda e à direita.

Exemplo 1.1.6. Seja g uma álgebra de Lie. Então,

• {0} e g são ideais de g;

• o centro de g𝑍(g) = {𝑧 ∈ g : [𝑥, 𝑧] = 0,∀𝑥 ∈ g}

é um ideal de g.

Se g = 𝑍(g), a álgebra de Lie g é dita abeliana.

Proposição 1.1.7. Seja i um ideal de uma álgebra de Lie g. Então, podemos definir umaestrutura de álgebra de Lie no espaço quociente g/i com o colchete dado por

[i + 𝑥, i + 𝑦] = i + [𝑥, 𝑦], para todos os 𝑥, 𝑦 ∈ g.

Definição 1.1.8. Sejam g1 e g2 álgebras de Lie sobre C. Uma transformação linear𝜙 : g1 → g2 é um homomorfismo de álgebras de Lie se 𝜙([𝑥, 𝑦]) = [𝜙(𝑥), 𝜙(𝑦)] para todosos 𝑥, 𝑦 ∈ g1.

Note que, ker𝜙 é um ideal de g1 e Im𝜙 é uma subálgebra de g2.Se ker𝜙 = 0, ou seja, se 𝜙 é injetora, 𝜙 é chamado de monomorfismo. Se 𝜙 é

sobrejetora, 𝜙 é um epimorfismo e, se 𝜙 é bijetora, 𝜙 é um isomorfismo. Também, se𝜙 : g → g é um isomorfismo, 𝜙 é chamada de automorfismo. Duas álgebras de Lie g1 e g2são isomorfas (g1 ∼= g2) se existe um isomorfismo 𝜙 : g1 → g2.

De maneira similar a outras estruturas algébricas, temos o Teorema do Isomorfismopara álgebras de Lie.

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Seja g uma álgebra de Lie e i um ideal de g. Denote por 𝜋 a projeção canônica

𝜋 : g → g/i

𝑥 ↦→ 𝑥+ i

O homomorfismo 𝜋 é sobrejetor e ker(𝜋) = i.

Teorema 1.1.9. Sejam g, g1 e g2 álgebras de Lie sobre C.

1. Se 𝜙 : g1 → g2 é um homomorfismo de álgebras de Lie, então g1/ker𝜙 ∼= Im𝜙. Sei é um ideal de g1 contido em ker𝜙, existe único homomorfismo 𝜓 : g1/i → g2 talque o seguinte diagrama comuta:

g1 g2

g1/i

𝜙

𝜋 𝜓

2. Se i e j são ideais de g tais que i ⊂ j, então j/i é um ideal de g/i e

g/i

j/i∼=

g

j

3. Se i e j são ideais de g, entãoi + j

j∼=

i

i ∩ j

Dada uma álgebra de Lie g, defina

g1 = g, g𝑛+1 = [g𝑛, g], para todo 𝑛 ≥ 1, e

g(0) = g, g(𝑛+1) = [g(𝑛), g(𝑛)], para todo 𝑛 ≥ 0.

Definição 1.1.10. Uma álgebra de Lie g é dita nilpotente se g𝑛 = 0 para algum 𝑛 ≥ 1 esolúvel se g(𝑛) = 0 para algum 𝑛 ≥ 0

Proposição 1.1.11. Seja g uma álgebra de Lie. Então,

1. [g𝑚, g𝑛] ⊂ g𝑚+𝑛;

2. g(𝑛) ⊂ g2𝑛 para todo 𝑛 ≥ 0;

3. Toda álgebra de Lie nilpotente é solúvel.

Proposição 1.1.12. Toda álgebra de Lie de dimensão finita g contém um único idealsolúvel maximal r(g), chamado de radical solúvel de g. Além disso, g/r(g) não contémideal solúvel não-nulo.

Definição 1.1.13. Uma álgebra de Lie g é simples se dim(g) > 1 e os únicos ideais de gsão {0} e g. Se r(g) = 0, g é semissimples.

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Proposição 1.1.14. Toda álgebra de Lie simples é semissimples.

Definição 1.1.15. Dado um espaço vetorial 𝑉 , uma representação de g em 𝑉 é umhomomorfismo de álgebras de Lie

𝜌 : g → gl(𝑉 ).

Duas representações 𝜌 e 𝜌′ são ditas equivalentes se existe um elemento de gl(𝑉 ) invertível𝑀 tal que

𝜌′(𝑥) = 𝑀−1𝜌(𝑥)𝑀, para todo 𝑥 ∈ g.

Exemplo 1.1.16. Seja g uma álgebra de Lie. Defina

ad(𝑥) : g → g

𝑦 ↦→ [𝑥, 𝑦]

A representação ad é chamada de representação adjunta de g.

Definição 1.1.17. Uma representação 𝜌 : g → gl(𝑉 ) de uma álgebra de Lie g é fiel se 𝜌for um monomorfismo.

Note que, se g for uma álgebra de Lie simples,

ker(ad) = {𝑥 ∈ g : [𝑥, 𝑦] = 0, para todo 𝑦 ∈ g} = 𝑍(g) = 0,

ou seja, ad é fiel e, portanto, toda álgebra de Lie é isomorfa a uma álgebra de Lie linear.

Teorema 1.1.18. (Engel) Uma álgebra de Lie g é nilpotente se e somente se ad(𝑥) énilpotente para todo 𝑥 ∈ g.

Corolário 1.1.19. Uma álgebra de Lie g é nilpotente se e somente se g possui uma basena qual a matriz de ad(𝑥) tem a seguinte forma para todo 𝑥 ∈ g:⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0· *

·0 ·

0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠Definição 1.1.20. Um g-módulo é um espaço vetorial 𝑉 munido de uma operação

g × 𝑉 → 𝑉

(𝑥, 𝑣) ↦→ 𝑥𝑣

satisfazendo:

1. (𝑥, 𝑣) ↦→ 𝑥𝑣 é linear em 𝑥 e em 𝑣;

2. [𝑥, 𝑦]𝑣 = 𝑥(𝑦𝑣) − 𝑦(𝑥𝑣) para todos os 𝑥, 𝑦 ∈ g e 𝑣 ∈ 𝑉 .

Se 𝜌 : g → gl(𝑉 ) é uma representação de g, então 𝑉 se torna um g-módulo se definirmos𝑥𝑣 = 𝜌(𝑥)𝑣. Por outro lado, se 𝑉 é um g-módulo, 𝜌(𝑥)𝑣 = 𝑥𝑣 define uma representação𝜌 : g → gl(𝑉 ) de g. Logo, os conceitos de g-módulo e representação de g são equivalentes.

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Definição 1.1.21. Seja 𝑉 um g-módulo. Um g-submódulo de 𝑉 é um subespaço 𝑊 de 𝑉tal que 𝑥𝑊 ∈ 𝑊 para todo 𝑥 ∈ g. Um módulo 𝑉 é irredutível se seus únicos submódulossão {0} e 𝑉 .

Sejam 𝑉1, . . . , 𝑉𝑛 g-módulos. Então, a soma direta dos espaços vetoriais𝑉 = 𝑉1 ⊕ . . .⊕ 𝑉𝑛 é um g-módulo com ação dada por

𝑥(𝑣1 + · · · + 𝑣𝑛) = 𝑥𝑣1 + · · · + 𝑥𝑣𝑛

para todos os 𝑥 ∈ g e 𝑣𝑖 ∈ 𝑉𝑖.

Definição 1.1.22. Um g-módulo 𝑉 é indecomponível se não existem g-módulos𝑊1 = {0} e 𝑊2 = {0} tais que 𝑉 = 𝑊1 ⊕ 𝑊2. Um g-módulo 𝑉 é completamenteredutível se 𝑉 é uma soma direta de g-módulos irredutíveis.

Dada uma álgebra de Lie g, construiremos uma álgebra associativa com unidade 𝑈(g)chamada álgebra universal envelopante de g. Veremos que a categoria das representaçõesde g é equivalente à categoria das representações de 𝑈(g). Se g = {0}, 𝑈(g) tem dimensãoinfinita, mas ainda assim será conveniente trabalhar no contexto de representações deálgebras associativas.

Dado um espaço vetorial 𝑉 , seja 𝑇 𝑖(𝑉 ) a 𝑖-ésima potência tesorial de 𝑉 definida como𝑇 0(𝑉 ) = C e, se 𝑖 > 0,

𝑇 𝑖(𝑉 ) = 𝑉 ⊗ 𝑉 ⊗ . . .⊗ 𝑉 (𝑖 fatores).

Seja 𝑇 (𝑉 ) a soma direta das potências tensoriais de 𝑉 ,

𝑇 (𝑉 ) =⨁𝑖∈Z>0

𝑇 𝑖(𝑉 ).

Cada elemento de 𝑇 (𝑉 ) é uma soma finita de elementos de 𝑇 𝑖(𝑉 ). Podemos definir umafunção 𝑇𝑚(𝑉 ) × 𝑇 𝑛(𝑉 ) → 𝑇𝑚+𝑛(𝑉 ) por

((𝑥1 ⊗ . . .⊗ 𝑥𝑚), (𝑦1 ⊗ . . .⊗ 𝑦𝑛)) = 𝑥1 ⊗ . . .⊗ 𝑥𝑚 ⊗ 𝑦1 ⊗ . . .⊗ 𝑦𝑛

para 𝑥𝑖, 𝑦𝑗 ∈ 𝑉 . Estendendo esta função linearmente, obtemos um produto em 𝑇 (𝑉 ) e,assim, 𝑇 (𝑉 ) se torna uma álgebra associativa com unidade chamada de álgebra tensorialde 𝑉 .

Definição 1.1.23. Dada uma álgebra de Lie g, considere a álgebra tensorial 𝑇 (g) e seja𝐽 o ideal gerado pelos elementos

𝑥⊗ 𝑦 − 𝑦 ⊗ 𝑥− [𝑥, 𝑦], para todos os 𝑥, 𝑦 ∈ g.

A álgebra universal envelopante de g é o quociente

𝑈(g) = 𝑇 (g)𝐽

.

O sinal ⊗ será omitido nos elementos de 𝑈(g).

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Exemplo 1.1.24. Seja a uma álgebra de Lie abeliana de dimensão 𝑛 e fixe uma base dea {𝑥1, . . . , 𝑥𝑛}. Como [𝑥𝑖, 𝑥𝑗] = 0 para todos os 𝑖, 𝑗, o ideal 𝐽 é gerado pelos elementos𝑥𝑦 − 𝑦𝑥 para 𝑥, 𝑦 ∈ a. Assim, 𝑈(a) é isomorfa à álgebra de polinômios C[𝑥1, . . . , 𝑥𝑛].

Seja 𝑖 : a → 𝑈(a) a transformação linear dada pela composição das funções canônicas

a∼−→ 𝑇 1(a) →˓ 𝑇 (a) � 𝑈(a).

Note que, como 𝑖([𝑥, 𝑦]) = 𝑖(𝑥)𝑖(𝑦) − 𝑖(𝑦)𝑖(𝑥), 𝑖 é um homomorfismo de álgebras de Lie.Proposição 1.1.25. Seja g uma álgebra de Lie. A álgebra universal envelopante 𝑈(g)satisfaz a seguinte propriedade universal: dada uma álgebra associativa com unidade 𝐴,considere 𝐴 como uma álgebra de Lie com o colchete dado pelo comutador, então, dadoum homomorfismo de álgebras de Lie 𝜙 : g → 𝐴, existe único homomorfismo de álgebras𝜓 : 𝑈(g) → 𝐴 tal que o seguinte diagrama comuta

g 𝑈(g)

𝐴

𝑖

𝜙 𝜓

Além disso, o par (𝑈(g), 𝑖) é único a menos de isomorfismo.

Seja 𝜌 : g → gl(𝑉 ) uma representação de g. Pela propriedade universal, existe umaúnica representação 𝜌′ : 𝑈(g) → gl(𝑉 ) tal que 𝜌′ ∘ 𝑖 = 𝜌. Reciprocamente, dada umarepresentação 𝜌 : 𝑈(g) → gl(𝑉 ) de 𝑈(g), existe única representação 𝜌′ : g → gl(𝑉 ) deg tal que 𝜌 ∘ 𝑖 = 𝜌′. Portanto, existe uma correspondência bijetiva entre g-módulos e𝑈(g)-módulos.

O teorema a seguir descreve uma base para a álgebra universal envelopante 𝑈(g).Teorema 1.1.26. (Poincaré-Birkhoff-Witt) Seja g uma álgebra de Lie com base{𝑥𝑖 : 𝑖 ∈ 𝐼}. Fixe uma relação de ordem total em 𝐼. Então, os elementos

𝑥𝑟1𝑖1𝑥

𝑟2𝑖2 . . . 𝑥

𝑟𝑚𝑖𝑚 ,

com 𝑚 ∈ Z≥0, 𝑖𝑘 ∈ 𝐼, 𝑖1 < 𝑖2 < · · · < 𝑖𝑚 e 𝑟𝑖 ∈ Z>0 para 𝑖 = 1, 2, . . . ,𝑚, formam umabase de 𝑈(g).Corolário 1.1.27. A função 𝑖 : g → 𝑈(g) é injetiva. Assim, podemos identificar g comuma subálgebra de 𝑈(g) e escrever g ⊆ 𝑈(g).Corolário 1.1.28. Se g1 e g2 são álgebras de Lie e g = g1 ⊕ g2 como espaço vetoriais,então 𝑈(g) ∼= 𝑈(g1)⊗𝑈(g2) como espaços vetoriais. Em particular, se h é uma subálgebrade g, então 𝑈(h) é subálgebra de 𝑈(g).

Seja 𝑋 = {𝑥𝑖 : 𝑖 ∈ 𝐼} um conjunto parametrizado por 𝐼. Defina 𝐹 (𝑋) como oconjunto de todas as somas finitas da forma∑

𝑘≥0

∑(𝑖1,...,𝑖𝑘)∈𝐼𝑘

𝑎𝑖1,...,𝑖𝑘𝑥𝑖1 . . . 𝑥𝑖𝑘 ,

com 𝑎𝑖1,...,𝑖𝑘 ∈ C. Se definirmos adição de maneira óbvia e multiplicação por concatenaçãoem 𝐹 (𝑋), obtemos um álgebra associativa com unidade que também denotaremos por𝐹 (𝑋).

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Definição 1.1.29. Considere 𝐹 (𝑋) como uma álgebra de Lie com colchete dado pelocomutador. Defina a subálgebra de Lie de 𝐹 (𝑋) gerada por 𝑋, 𝐹𝐿(𝑋), como a interseçãode todas as subálgebras de Lie de 𝐹 (𝑋) que contém 𝑋. 𝐹𝐿(𝑋) é chamada de álgebra deLie livre sobre 𝑋.

Por definição, 𝑋 ⊆ 𝐹𝐿(𝑋). Escreva 𝑖 : 𝑋 → 𝐹𝐿(𝑋) para a inclusão.Temos a seguinte propriedade universal:

Proposição 1.1.30. Seja 𝜃 : 𝑋 → g uma função de 𝑋 numa álgebra de Lie g. Então,existe único homomorfismo de álgebras de Lie 𝜙 : 𝐹𝐿(𝑋) → g tal que o seguinte diagramacomuta.

𝑋 𝐹𝐿(𝑋)

g

𝑖

𝜃 𝜙

Proposição 1.1.31. A álgebra universal envelopante 𝑈(𝐹𝐿(𝑋)) é isomorfa a 𝐹 (𝑋).

Definição 1.1.32. Seja 𝑋 = {𝑥𝑖 : 𝑖 ∈ 𝐼} e 𝑅 = {𝑟𝑗 : 𝑗 ∈ 𝐽} ⊆ 𝐹𝐿(𝑋). A álgebra de Liedada por geradores 𝑥𝑖, 𝑖 ∈ 𝐼, e relações 𝑟𝑗 = 0, 𝑗 ∈ 𝐽 , é o quociente de 𝐹𝐿(𝑋) pelo idealgerado por 𝑅, que denotaremos por 𝐹𝐿(𝑋,𝑅).

Proposição 1.1.33. Nas condições da definição anterior, se 𝑅′ ⊂ 𝑅, então 𝐹𝐿(𝑋,𝑅) éum quociente de 𝐹𝐿(𝑋,𝑅′).

Definição 1.1.34. Seja g uma álgebra de Lie sobre C. O 𝑈(g)-módulo 𝑉 dado porgeradores 𝑣𝑖 ∈ 𝐼 e relações 𝑟𝑗𝑣𝑖 = 0, 𝑗 ∈ 𝐽, 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑟𝑗 ∈ 𝑈(g), é o quociente de 𝑈(g)⊕|𝐼|

pelo ideal à esquerda gerado por {𝑟𝑗 ∈ 𝑈(g) : 𝑗 ∈ 𝐽}. Com esta notação, 𝑣𝑖 representa oelemento de 𝑈(g)⊕|𝐼| com 1 na 𝑖-ésima coordenada e 0 nas demais.

Proposição 1.1.35. Nas condições da definição anterior, se 𝑉 ′ é um 𝑈(g)-módulo geradopor 𝑣𝑖, 𝑖 ∈ 𝐼, tal que valem as relações 𝑟𝑗𝑣𝑖 = 0, 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐽 , então 𝑉 ′ é um quociente de𝑉 .

1.2 Álgebras de Lie semissimples

Nesta seção apresentaremos as condições para uma álgebra de Lie ser semissimples eas classificaremos. Todas as ágebras de Lie consideradas serão de dimensão finita.

Teorema 1.2.1. (Lie) Sejam g uma álgebra de Lie nilpotente de dimensão finita e 𝑉 um g-módulo de dimensão finita indecomponível. Então, existem funcionais lineares 𝜆1, . . . , 𝜆𝑛e uma base de 𝑉 de forma que a matriz da ação de todo 𝑥 em 𝑉 é da forma⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

𝜆1(𝑥)· *

·0 ·

𝜆𝑛(𝑥)

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ .

19

Teorema 1.2.2. Sejam g uma álgebra de Lie nilpotente de dimensão finita e 𝑉 umg-módulo de dimensão finita. Para cada funcional linear 𝜆 de g defina

𝑉𝜆 = {𝑣 ∈ 𝑉 : para cada 𝑥 ∈ g existe 𝑛 ≥ 1 tal que (𝑥− 𝜆(𝑥)𝐼𝑑𝑉 )𝑛𝑣 = 0}.

Então, cada 𝑉𝜆 é um g-submódulo de 𝑉 e

𝑉 =⨁𝜆∈g*

𝑉𝜆. (1.2.1)

Definição 1.2.3. Seja h uma subálgebra de uma álgebra de Lie g. Defina o normalizadorde h em g por

𝑁g(h) = {𝑥 ∈ g : [ℎ, 𝑥] ∈ h, para todo ℎ ∈ h}.

Definição 1.2.4. Uma subálgebra de Cartan de g é uma subálgebra h de g nilpotente talque 𝑁g(h) = h.

Dado 𝑥 ∈ g, considere a transformação linear ad(𝑥) : g → g. Seja

g0,𝑥 = {𝑦 ∈ g : existe 𝑛 tal que (ad(𝑥))𝑛𝑦 = 0}

o autoespaço generalizado de ad(𝑥) com autovalor 0. Se dim(g0,𝑥) = min{dim(g0,𝑦) : 𝑦 ∈g}, o elemento 𝑥 é dito regular.

Teorema 1.2.5. Seja 𝑥 um elemento regular de g. Então, g0,𝑥 é uma subálgebra deCartan de g. Além disso, se h é uma subálgebra de Cartan de g, existe um elementoregular 𝑥 ∈ g tal que h = g0,𝑥.

Teorema 1.2.6. Se h1 e h2 são duas subálgebras de Cartan de g, então existe um auto-morfismo 𝜙 : g → g tal que 𝜙(h1) = h2.

Definição 1.2.7. O posto de g é a dimensão de suas subálgebras de Cartan.

Definição 1.2.8. Defina uma forma bilinear

g × g : → C(𝑥, 𝑦) ↦→ ⟨𝑥, 𝑦⟩

por⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝑡𝑟(𝑎𝑑(𝑥)𝑎𝑑(𝑦)),

chamada de forma de Killing.

A forma de Killing é simétrica e invariante, ou seja,

⟨[𝑥, 𝑦], 𝑧⟩ = ⟨𝑥, [𝑦, 𝑧]⟩.

Proposição 1.2.9. Seja i um ideal de g. Então, a forma de Killing de g restrita a i é aforma de Killing de i, ou seja, para todos os 𝑥, 𝑦 ∈ i

⟨𝑥, 𝑦⟩g = ⟨𝑥, 𝑦⟩i.

20

Dado um subespaço m de g, defina m⊥ por

m⊥ = {𝑥 ∈ g : ⟨𝑥, 𝑦⟩ = 0 para todo 𝑦 ∈ m}.

A forma de Killing é dita não-degenerada se g⊥ = {0} ou, equivalentemente, se ⟨𝑥, 𝑦⟩ =0 para todo 𝑦 ∈ g, então 𝑥 = 0.

Proposição 1.2.10. Se a forma de Killing de g é identicamente nula, então g é solúvel.

Teorema 1.2.11. São equivalentes:

1. A forma de Killing de g é não-degenerada;

2. g é semissimples;

3. g é isomorfa a uma soma direta de álgebras de Lie simples.

Seja g uma álgebra de Lie e h uma subálgebra de Cartan de g. Considere g como umh-módulo com ação dada pela representação adjunta de h em g. Como h é nilpotente,pelo Teorema 1.2.2, temos a decomposição:

g =⨁𝜆∈h*

g𝜆.

Proposição 1.2.12. g0 = h.

Os funcionais lineares 𝜆 de h tais que 𝜆 = 0 e g𝜆 = 0 são chamados de raízes de g comrespeito a h. Denote por Φ o conjunto de todas as raízes de g. Assim,

g = h ⊕

⎛⎝⨁𝛼∈Φ

g𝛼

⎞⎠ .Esta decomposição é chamada de decomposição de Cartan de g com respeito a h e g𝛼

é chamado de espaço de raíz de g.

Proposição 1.2.13. Sejam 𝜆, 𝜇 funcionais lineares em h*. Então, [g𝜆, g𝜇] ⊆ g𝜆+𝜇

Corolário 1.2.14. Sejam 𝛼 e 𝛽 raízes de g com respeito a h. Então,

[g𝛼, g𝛽] ⊂ g𝛼+𝛽 se 𝛼 + 𝛽 ∈ Φ;[g𝛼, g𝛽] ⊂ h se 𝛽 = −𝛼;[g𝛼, g𝛽] = 0 se 𝛼 + 𝛽 = 0 e 𝛼 + 𝛽 ∈ Φ.

Para álgebras de Lie semissimples, a decomposição de Cartan possui propriedadesadicionais e a forma de Killing será uma importante ferramenta no desenvolvimento dateoria por ser não-degenerada.

Teorema 1.2.15. Dada uma álgebra de Lie semissimples g, seja h uma subálgebra deCartan de g e seja Φ o sistema de raízes de g com respeito a h. Então,

1. A restrição da forma de Killing de g a h é não-degenerada;

21

2. [h, h] = 0, ou seja, h é abeliana;

3. g𝛼 é ortogonal a g𝛽 com relação à forma de Killing de g para todas as raízes 𝛼, 𝛽 ∈ Φtais que 𝛼 = −𝛽;

4. dim(g𝛼) = 1 para toda 𝛼 ∈ Φ;

5. Se 𝛼 ∈ Φ, entaõ 𝑐𝛼 ∈ Φ se e somente se 𝑐 = ±1;

6. Φ gera h*.

Note que, embora a restrição da forma de Killing de g a h seja não-degenerada, aforma de Killing de h é degenerada, pois h não é semissimples. Este fato não contraria aProposição 1.2.9, pois h não é um ideal de g.

Como a restrição da forma de Killing de g a h é não-degenerada, ela induz um isomor-fismo entre h → h* dado por:

ℎ ↦→ ℎ*

ℎ*(𝑥) = ⟨ℎ, 𝑥⟩, para todo 𝑥 ∈ h.(1.2.2)

Fixe um sistema de raízes Φ de g, fixando uma subálgebra de Cartan h. Para cadaraiz 𝛼 ∈ Φ, defina ℎ′

𝛼 ∈ h por

𝛼(𝑥) = ⟨ℎ′𝛼, 𝑥⟩, para todo 𝑥 ∈ h.

Note que, como Φ gera h*, os elementos ℎ′𝛼, com 𝛼 ∈ Φ, geram h.

Podemos definir uma forma bilinear em Φ e, consequentemente, em h*, que tambémdenotaremos por ⟨·, ·⟩, dada por

⟨𝛼, 𝛽⟩ = ⟨ℎ′𝛼, ℎ

′𝛽⟩ = 𝛼(ℎ′

𝛽) = 𝛽(ℎ′𝛼), para todas 𝛼, 𝛽 ∈ Φ.

Proposição 1.2.16. Seja 𝛼 ∈ Φ.

1. ⟨ℎ′𝛼, ℎ

′𝛼⟩ = ⟨𝛼, 𝛼⟩ > 0 para toda 𝛼 ∈ Φ;

2. Sejam 𝑥 ∈ g𝛼 e 𝑦 ∈ g−𝛼. Então, [𝑥, 𝑦] = ⟨𝑥, 𝑦⟩ℎ′𝛼.

3. Para cada 𝛼 ∈ Φ, defina ℎ𝛼 = 2ℎ′𝛼

⟨𝛼,𝛼⟩ . Seja 𝑥𝛼 ∈ g𝛼, então existe único 𝑦𝛼 ∈ g−𝛼 talque [𝑥𝛼, 𝑦𝛼] = ℎ𝛼. Além disso, {𝑥𝛼, 𝑦𝛼, ℎ𝛼} gera uma subálgebra de Lie isomorfa asl2 via

𝑥𝛼 ↦→(

0 10 0

)𝑦𝛼 ↦→

(0 01 0

)ℎ𝛼 ↦→

(1 00 −1

).

Seja 𝑟 o posto de g. Então, podemos escolher {𝛼1, . . . , 𝛼𝑟} ⊂ Φ tais que os elementosℎ′𝛼1 , . . . , ℎ

′𝛼𝑟

formem uma base de h.

Dadas 𝛼, 𝛽 ∈ Φ, defina 𝜎𝛼(𝛽) = 𝛽 − 2⟨𝛽,𝛼⟩⟨𝛼,𝛼⟩ 𝛼.

Proposição 1.2.17. 1. ⟨ℎ′𝛼, ℎ

′𝛽⟩ ∈ Q, para todas as 𝛼, 𝛽 ∈ Φ;

22

2. Dada 𝛼 ∈ Φ, ℎ′𝛼 = ∑𝑟

𝑖=1 𝑎𝑖ℎ′𝛼𝑖

, onde cada 𝑎𝑖 ∈ Q.

3. 2⟨𝛽,𝛼⟩⟨𝛼,𝛼⟩ ∈ Z, para todas as 𝛼, 𝛽 ∈ Φ;

4. 𝜎𝛼(𝛽) ∈ Φ, para todas as 𝛼, 𝛽 ∈ Φ.

Denote por hQ o espaço gerado pelos elementos ℎ′𝛼1 , . . . , ℎ

′𝛼𝑟

sobre Q e por hR o espaçogerado pelos elementos ℎ′

𝛼1 , . . . , ℎ′𝛼𝑟

sobre R. Pela proposição anterior, estes espaços nãodependem da escolha da base ℎ′

𝛼𝑖.

Proposição 1.2.18. Seja 𝑥 ∈ hR. Então, ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ R, ⟨𝑥, 𝑥⟩ ≥ 0 e se ⟨𝑥, 𝑥⟩ = 0, então𝑥 = 0.

A Proposição 1.2.18 nos diz que a forma de Killing restrita a hR é uma forma bilinearsimétrica positiva definida. Assim, o espaço vetorial hR com esta forma bilinear é umespaço euclidiano.

Denote por h*R a imagem de hR pelo isomorfismo em (1.2.2) dado por ℎ*(𝑥) = ⟨ℎ, 𝑥⟩.

Podemos definir uma forma bilinear positiva definida em h*R por

⟨ℎ*1, ℎ

*2⟩ = ⟨ℎ1, ℎ2⟩ ∈ R.

Temos então que h*R com esta forma bilinear é um espaço euclidiano contendo o con-

junto Φ.Denote por 𝑉 um espaço euclidiano e ⟨·, ·⟩ seu produto interno.Para cada vetor 𝛼 não-nulo de 𝑉 , denote por 𝜎𝛼 a reflexão em relação ao hiperplano

ortogonal a 𝛼, 𝑃𝛼 = {𝛽 ∈ 𝑉 : ⟨𝛽, 𝛼⟩ = 0}, ou seja,

𝜎𝛼(𝛽) = 𝛽 − 2⟨𝛽, 𝛼⟩⟨𝛼, 𝛼⟩

𝛼, para todo 𝛽 ∈ 𝑉.

Note que 𝜎𝛼 é ortogonal.

Definição 1.2.19. Um subconjunto Φ de 𝑉 é um sistema de raízes se:

1. Φ é finito, gera 𝑉 e 0 ∈ Φ;

2. Se 𝛼 ∈ Φ, os únicos múltiplos de 𝛼 em Φ são 𝛼 e −𝛼;

3. Se 𝛼 ∈ Φ, então 𝜎𝛼 deixa Φ invariante;

4. Se 𝛼, 𝛽 ∈ Φ, então ⟨𝛼, 𝛽⟩ ∈ Z.

Proposição 1.2.20. Sejam Φ1 e Φ2 dois sistemas de raízes de 𝑉 . Então, existe umautomorfismo 𝜑 : 𝑉 → 𝑉 tal que 𝜑(Φ1) = Φ2.

Definição 1.2.21. Um subconjunto Δ de Φ é dito uma base se:

1. Δ é base de 𝑉 ;

2. Cada raiz 𝛽 pode ser escrita como 𝛽 =∑𝛼∈Δ

𝑘𝛼𝛼, com 𝑘𝛼 ∈ Z≥0 para toda 𝛼 ∈ Δ (𝛽

é positiva) ou 𝑘𝛼 ∈ Z≤0 para toda 𝛼 ∈ Δ (𝛽 é negativa).

23

As raízes em Δ são ditas simples.

Denote por Φ+ o conjunto de todas as raízes positivas e por Φ− o conjunto das raízesnegativas. É fácil ver que Φ+ e Φ− são disjuntos, Φ+ = −Φ− e Φ = Φ+ ∪ Φ−.

Teorema 1.2.22. Seja Φ um sistema de raízes de 𝑉 , então Φ possui uma base.

A cardinalidade de Δ é o posto de Φ. Se 𝛽 =∑𝛼∈Δ

𝑘𝛼𝛼, defina a altura de 𝛽 por

ht𝛽 =∑𝛼∈Δ

𝑘𝛼.

Definição 1.2.23. O grupo gerado pelas reflexões 𝜎𝛼, 𝛼 ∈ Φ, é chamado grupo de Weylde Φ e será denotado por 𝒲 .

Proposição 1.2.24. Seja Δ uma base de Φ. Então:

1. Se Δ′ é outra base de Φ, existe 𝜎 ∈ 𝒲 tal que 𝜎(Δ) = Δ′;

2. Se 𝛼 ∈ Φ, existe 𝜎 ∈ 𝒲 tal que 𝜎(𝛼) ∈ Δ;

3. 𝒲 é gerado por 𝜎𝛼, 𝛼 ∈ Δ;

4. Se 𝜎 ∈ 𝒲 é tal que 𝜎(Δ) = Δ, então 𝜎 = 1.

Definição 1.2.25. Fixe uma base ordenada Δ = {𝛼1, . . . , 𝛼𝑟} para Φ e escreva 𝜎𝑖 para𝜎𝛼𝑖

, 𝑖 = 1, . . . , 𝑟, as reflexões 𝜎𝑖 serão chamadas de reflexões simples. Defina o compri-mento 𝑙(𝑤) de 𝑤 ∈ 𝒲 como o menor número 𝑘 tal que 𝑤 é escrito como um produto de𝑘 reflexões simples, defina 𝑙(1) = 0. Uma expressão de 𝑤 ∈ 𝒲 com 𝑙(𝑤) reflexões simplesé chamada de expressão reduzida de 𝑤. Defina 𝑛(𝑤) como o número de raízes positivas𝛼 ∈ Φ+ tais que 𝑤(𝛼) ∈ Φ−.

Temos, então, a seguinte proposição:

Proposição 1.2.26. Seja 𝒲 o grupo de Weyl de Φ. Então:

1. 𝑙(𝑤) = 𝑛(𝑤) para todo 𝑤 ∈ 𝒲 ;

2. O comprimento máximo de qualquer elemento de 𝒲 é |Φ+|;

3. 𝒲 possui um único elemento 𝑤0 com 𝑙(𝑤0) = |Φ+|;

4. 𝑤0(Φ+) = Φ−;

5. 𝑤20 = 1.

Sejam 𝑤, 𝑣 ∈ 𝒲 . Se toda expressão reduzida de 𝑤 contém uma subexpressão que éuma expressão reduzida para 𝑣, escreva 𝑣 ≤ 𝑤. Isto define uma ordem parcial em 𝒲chamada de ordem de Bruhat.

A estrutura do sistema de raízes pode ser codificada em uma matriz 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)𝑟×𝑟chamada matriz de Cartan, onde 𝑐𝑖𝑗 = 2⟨𝛼𝑖,𝛼𝑗⟩

⟨𝛼𝑖,𝛼𝑖⟩ , 𝑖 = 1, . . . , 𝑟.

Proposição 1.2.27. A matriz de Cartan 𝐶 satisfaz:

24

1. 𝑐𝑖𝑖 = 2 para 𝑖 = 1, . . . , 𝑟;

2. 𝑐𝑖𝑗 ∈ {0,−1,−2,−3} para 𝑖 = 1, . . . , 𝑟 e 𝑖 = 𝑗;

3. Se 𝑐𝑖𝑗 = −2 ou −3, então 𝑐𝑗𝑖 = −1;

4. 𝑐𝑖𝑗 = 0 se e somente se 𝑐𝑗𝑖 = 0.

Alterar a ordenação da base Δ de Φ pode alterar a matriz de Cartan. Entretanto,exceto por uma reordenação da base, a matriz de Cartan é única.

Para classificar as matrizes de Cartan utilizaremos um grafo chamado diagrama deDynkin.

Seja 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)𝑟×𝑟 uma matriz de Cartan. O diagrama de Dynkin de 𝐶 é composto por𝑟 vértices numerados de 1 a 𝑟. Se 𝑖 = 𝑗, os vértices 𝑖 e 𝑗 são ligados por 𝑐𝑖𝑗𝑐𝑗𝑖 arestas.Caso 𝑐𝑖𝑗𝑐𝑗𝑖 seja maior que 1, então, pela Proposição 1.2.27, |𝑐𝑖𝑗|> 1 ou |𝑐𝑗𝑖|> 1. Se |𝑐𝑖𝑗|> 1,uma flecha apontando para o vértice 𝑖 é adicionada e, se |𝑐𝑗𝑖|> 1, uma flecha apontandopara o vértice 𝑗 é adcionada.

Exemplo 1.2.28. Considere a matriz de Cartan(2 −1

−3 2

).

Então, o diagrama de 𝐶 é composto por dois vértices ligados por 3 arestas. Como 𝑐12𝑐21 =3 e |𝑐21|= 3 > 1, uma flecha é adicionada apontando para o vértice 2. Explicitamente,

1 2

Note que entre dois vértices podem existir 0, 1, 2 ou 3 arestas. Assim, o diagrama deDynkin não necessariamente será conexo, mas será uma união de componentes conexas.

Se o diagrama de Dynkin de um sistema de raízes Φ é conexo, Φ é dito irredutível.Caso contrário, Φ é redutível.

Proposição 1.2.29. Seja 𝑉 um espaço euclidiano e Φ um sistema de raízes em 𝑉 . Então,existem subespaços 𝑉𝑖 de 𝑉 dois a dois ortogonais tais que 𝑉 = ⨁

𝑖 𝑉𝑖 e Φ = ⨁𝑖 Φ𝑖, onde

Φ𝑖 é um sistema de raízes irredutível de 𝑉𝑖 para todo 𝑖.

Como todo diagrama de Dynkin é a união de suas componentes conexas, basta classi-ficar os sistemas de raízes irredutíveis.

Teorema 1.2.30. Seja Φ um sistema de raízes irredutível. Então, o diagrama de Dynkinde Φ é um dos seguintes:

𝐴𝑟, 𝑟 ≥ 11 2 3 4 𝑟 − 1 𝑟

𝐵𝑟, 𝑟 ≥ 21 2 3 𝑟−2 𝑟−1 𝑟

𝐶𝑟, 𝑟 ≥ 31 2 3 𝑟−2 𝑟−1 𝑟

25

𝐷𝑟, 𝑟 ≥ 41 2 3 𝑟−3 𝑟−2

𝑟−1

𝑟

𝐸61 2 3 4 5

6

𝐸71 2 3 4 5 6

7

𝐸81 2 3 4 5 6 7

8

𝐹41 2 3 4

𝐺21 2

Teorema 1.2.31. 1. Para cada diagrama de Dynkin descrito no Teorema anteriorexiste um sistema de raízes com o dado diagrama;

2. Se Φ1 e Φ2 são sistemas de raízes isomorfos, então Φ1 e Φ2 possuem o mesmodiagrama de Dynkin.

Seja g uma álgebra de Lie semissimples. Lembre que a subálgebra h*R é um espaço

euclidiano e note que um sistema de raízes de h*R é um sistema de raízes pela definição da

seção anterior. Um sistema de raízes de uma álgebra de Lie g é um sistema de raízes doespaço h*

R.

Proposição 1.2.32. A matriz de Cartan de g depende apenas da ordenação das raízessimples. Ela é independente da escolha da subálgebra de Cartan e da base do sistema deraízes.

Assim, como cada álgebra de Lie g possui um único sistema de raízes a menos deisomorfismo, podemos utilizar o que foi desenvolvido na seção anterior para classificar asálgebras de Lie semissimples.

O diagrama de Dynkin de uma álgebra de Lie g é o diagrama de um sistema de raízesdo espaço h*

R.

Teorema 1.2.33. Seja g uma álgebra de Lie semissimples.

1. O diagrama de Dynkin de g é conexo se e somente se g é simples;

2. g = g1 ∪ . . .∪ g𝑛 onde cada 𝑔𝑖, 𝑖 = 1, . . . , 𝑛, é simples se e somente se o diagrama deDynkin é a união dos diagramas correspondentes a 𝑔𝑖, 𝑖 = 1, . . . , 𝑛;

3. Quaisquer duas álgebras de Lie com o mesmo diagrama de Dynkin são isomorfas.

O Teorema de Serre mostra que, dado um diagrama de Dynkin, existe uma álgebrade Lie com o dado diagrama, completando a classificação.

Teorema 1.2.34. (Serre) Seja Φ um sistema de raízes, Δ = {𝛼1, . . . , 𝛼𝑟} uma base deΦ e matriz de Cartan 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)𝑟×𝑟. Considere a álgebra de Lie g sobre C gerada peloselementos 𝑥+

𝑖 , ℎ𝑖, 𝑥−𝑖 , 𝑖 = 1, . . . 𝑟, com relações:

26

1. [ℎ𝑖, ℎ𝑗] = 0, para todos 𝑖, 𝑗 = 1, . . . , 𝑟;

2. [𝑥+𝑖 , 𝑥

−𝑗 ] = 𝛿𝑖𝑗ℎ𝑖, para todos os 𝑖, 𝑗 = 1, . . . , 𝑟;

3. [ℎ𝑖, 𝑥±𝑗 ] = ±𝑐𝑖𝑗𝑥±

𝑗 , para todos os 𝑖, 𝑗 = 1, . . . , 𝑟;

4. (𝑎𝑑(𝑥±𝑖 ))1−𝑐𝑖𝑗 (𝑥±

𝑗 ) = 0, para todos os 𝑖, 𝑗 = 1, . . . , 𝑟, 𝑖 = 𝑗.

Então, g é uma álgebra de Lie semissimples de dimensão finita e a subálgebra h,gerada pelos elementos ℎ𝑖, 𝑖 = 1, . . . , 𝑟, é uma subálgebra de Cartan com sistema deraízes isomorfo a Φ.

Diremos que uma álgebra de Lie g é de tipo 𝑇 ∈ {𝐴𝑟, 𝐵𝑟, 𝐶𝑟, 𝐷𝑟, 𝐸6, 𝐸7, 𝐸8, 𝐹4, 𝐺2} seo diagrama de Dynkin de g for de tipo 𝑇 .

Exemplo 1.2.35. Álgebras clássicas:

1. A álgebra sl𝑟+1 = {𝑥 ∈ gl𝑟+1 : tr(𝑥) = 0} é de tipo 𝐴𝑟, 𝑟 ≥ 1.

2. A álgebra so2𝑟+1 = {𝑥 ∈ gl𝑟+1 : 𝑥 + 𝑥𝑡 = 0}, onde 𝑥𝑡 é a transposta de 𝑥, é de tipo𝐵𝑟, 𝑟 ≥ 2.

3. A álgebra sp𝑟 = {𝑥 ∈ gl2𝑟 : 𝑥𝑎+ 𝑎𝑥𝑡 = 0}, onde

𝑎 =(

0𝑛×𝑛 −𝐼𝑛×𝑛𝐼𝑛×𝑛 0𝑛×𝑛

)

é de tipo 𝐶𝑟, 𝑟 ≥ 3.

4. A álgebra so2𝑟 é de tipo 𝐷𝑟, 𝑟 ≥ 4.

1.3 Álgebras de Kac-Moody

1.3.1 Matrizes de Cartan Generalizadas e Diagramas de Dynkin

Seja 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)𝑟×𝑟 uma matriz e 𝐼 = {1, . . . , 𝑟}. 𝐶 é dita indecomponível se, paraqualquer escolha de subconjuntos disjuntos não-vazios 𝐼1 e 𝐼2 de 𝐼 tais que 𝐼1 ∪ 𝐼2 = 𝐼,existem 𝑖 ∈ 𝐼1 e 𝑗 ∈ 𝐼2 com 𝑐𝑖𝑗 = 0. Caso contrário, 𝐶 é dita decomponível.

Definição 1.3.1. 𝐶 é dita uma matriz de Cartan generalizada se:

1. 𝑐𝑖𝑗 ∈ Z, para todos os 𝑖, 𝑗 = 1, . . . , 𝑟;

2. 𝑐𝑖𝑖 = 2 e 𝑐𝑖𝑗 ≤ 0, para todos os 𝑖 = 𝑗, 𝑖, 𝑗 = 1, . . . , 𝑟;

3. 𝑐𝑖𝑗 = 0 se e somente se 𝑐𝑗𝑖 = 0 para todos os 𝑖, 𝑗 = 1, . . . , 𝑟.Além disso, 𝐶 é dita simetrizável se:

4. existe uma matriz 𝑆 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑠𝑖 : 𝑖 = 1, . . . , 𝑟), com 𝑠𝑖 ∈ Z>0, tal que 𝑆𝐶 é simétrica.

27

Se 𝐶 é simetrizável, podemos escolher os inteiros 𝑠𝑖 todos relativamente primos. As-suma que os 𝑠𝑖 são sempre escolhidos desta forma.

Seja 𝑣 um vetor de R𝑟. Diremos que 𝑣 ≥ 0, se 𝑣𝑖 ≥ 0 para todo 𝑖 = 1, . . . , 𝑟, e 𝑣 > 0,se 𝑣𝑖 > 0 para todo 𝑖 = 1, . . . , 𝑟.

Definição 1.3.2. Seja 𝐶 uma matriz de Cartan generalizada 𝑟 × 𝑟. Então:

1. 𝐶 é de tipo finito se:

(a) 𝑑𝑒𝑡(𝐶) = 0;(b) existe 𝑣 > 0, tal que 𝐶𝑣 ≥ 0;(c) 𝐶𝑣 ≥ 0 implica 𝑣 > 0 ou 𝑣 = 0.

2. 𝐶 é de tipo afim se:

(a) 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜(𝐶) = 𝑟 − 1;(b) existe 𝑣 > 0 tal que 𝐶𝑣 = 0;(c) 𝐶𝑣 ≥ 0 implica 𝐶𝑣 = 0.

3. 𝐶 é de tipo indefinido se:

(a) existe 𝑣 > 0 tal que 𝐶𝑣 < 0;(b) 𝐶𝑣 ≥ 0 e 𝑣 ≥ 0 implicam 𝑣 = 0.

Teorema 1.3.3. Seja 𝐶 uma matriz de Cartan generalizada indecomponível. Então,exatamente uma das seguintes possibilidades é verdadeira:

1. 𝐶 é de tipo finito;

2. 𝐶 é de tipo afim;

3. 𝐶 é de tipo indefinido.

Além disso, a matriz 𝐶 e sua transposta 𝐶𝑡 possuem o mesmo tipo.

Corolário 1.3.4. Seja 𝐶 uma matriz de Cartan generalizada. Então:

1. 𝐶 possui tipo finito se e somente se existe 𝑣 ∈ R𝑟, 𝑣 > 0, tal que 𝐶𝑣 > 0;

2. 𝐶 possui tipo afim se e somente se existe 𝑣 ∈ R𝑟, 𝑣 > 0, tal que 𝐶𝑣 = 0;

3. 𝐶 possui tipo indefinido se e somente se existe 𝑣 ∈ R𝑟, 𝑣 > 0, tal que 𝐶𝑣 < 0.

Seja 𝐼 ′ um subconjunto não-vazio de 𝐼 = {1, . . . , 𝑟}. A matriz 𝐶𝐼′ = (𝑐𝑖𝑗), 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼 ′

é um menor principal de 𝐶. Se 𝐼 ′ é um subconjunto próprio, 𝐶𝐼′ é um menor principalpróprio.

Teorema 1.3.5. Seja 𝐶 uma matriz de Cartan generalizada. Então:

1. 𝐶 possui tipo finito se e somente se todos os seus menores principais têm determi-nante positivo;

28

2. 𝐶 possui tipo afim se e somente se 𝑑𝑒𝑡(𝐶) = 0 e todos os seus menores principaispróprios têm determinante positivo;

3. 𝐶 é de tipo indefinido se e somente se 𝐶 tem um menor principal negativo.

Teorema 1.3.6. Uma matriz de Cartan generalizada 𝐶 é de tipo finito se e somente se𝐶 é uma matriz de Cartan segundo a proposição 1.2.27.

Usaremos novamente os diagramas de Dynkin para classificar as matrizes de Cartangeneralizadas. Para isso, estenderemos a definição dos diagramas de Dynkin para o casodas matrizes de Cartan generalizadas como se segue.

Seja 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)𝑟×𝑟 uma matriz de Cartan generalizada. O diagrama de Dynkin de 𝐶 écomposto por 𝑟 vértices numerados de 1 a 𝑟 ligados dois a dois por um número de arestasque vão de 0 a 4 dependendo das seguintes condições:

1. Se 𝑐𝑖𝑗𝑐𝑗𝑖 = 0, os vértices 𝑖 e 𝑗 não são ligados;

2. Se 𝑐𝑖𝑗𝑐𝑗𝑖 = 1, os vértices 𝑖 e 𝑗 são ligados por uma aresta;

3. Se 𝑐𝑖𝑗𝑐𝑗𝑖 = 2, 𝑐𝑖𝑗 = −1, 𝑐𝑗𝑖 = −2, os vértices 𝑖 e 𝑗 são ligados por duas arestas e umaseta apontando para o vértice 𝑗 é adicionada;

4. Se 𝑐𝑖𝑗𝑐𝑗𝑖 = 3, 𝑐𝑖𝑗 = −1, 𝑐𝑗𝑖 = −3, os vértices 𝑖 e 𝑗 são ligados por três arestas e umaseta apontando para o vértice 𝑗 é adicionada;

5. Se 𝑐𝑖𝑗𝑐𝑗𝑖 = 4, 𝑐𝑖𝑗 = −1, 𝑐𝑗𝑖 = −4, os vértices 𝑖 e 𝑗 são ligados por quatro arestas euma seta apontando para o vértice 𝑗 é adicionada;

6. Se 𝑐𝑖𝑗𝑐𝑗𝑖 = 4, 𝑐𝑖𝑗 = −2, 𝑐𝑗𝑖 = −2, os vértices 𝑖 e 𝑗 são ligados por duas arestas eduas setas, uma apontando para o vértice 𝑖 e outra para 𝑗, são adicionadas;

7. Se 𝑐𝑖𝑗𝑐𝑗𝑖 ≥ 5, os vértices 𝑖 e 𝑗 são ligados por uma aresta e os números |𝑐𝑖𝑗| e |𝑐𝑗𝑖|são adicionados sobre a aresta.

Assim, uma matriz de Cartan é completamente determinada por seu diagrama deDynkin. É fácil ver que o diagrama de Dynkin de uma matriz de Cartan generalizada 𝐶é conexo se e somente se 𝐶 é indecomponível.

Assuma que 𝐶 é uma matriz de Cartan generalizada simetrizável indecomponível.Para o caso das matrizes de Cartan generalizadas de tipo afim temos o seguinte teo-

rema:

Teorema 1.3.7. Uma matriz de Cartan generalizada 𝐶 é de tipo afim se e somente seseu diagrama de Dynkin é um dos seguintes:

Não Torcidas:

𝐴(1)1 0 1

𝐴(1)𝑟 , 𝑟 ≥ 2

1 2 𝑟 − 1 𝑟

0

29

𝐵(1)𝑟 , 𝑟 ≥ 2

1 2 3 𝑟−2 𝑟−1 𝑟

0

𝐶(1)𝑟 , 𝑟 ≥ 3

0 1 2 𝑟−2 𝑟−1 𝑟

𝐷(1)𝑟 , 𝑟 ≥ 1

1 2 3 𝑟−3 𝑟−2 𝑟−1

0 𝑟

𝐸(1)6 1 2 3 4 5

6

0

𝐸(1)7 0 1 2 3 4 5 6

7

𝐸(1)8 0 1 2 3 4 5 6 7

8

𝐹(1)4 0 1 2 3 4

𝐺(1)2 0 1 2

Torcidas:

𝐴(2)2 0 1

𝐴(2)2𝑟 , 𝑟 ≥ 2

0 1 2 𝑟−2 𝑟−1 𝑟

𝐴(2)2𝑟−1, 𝑟 ≥ 3

1 2 3 𝑟−2 𝑟−1 𝑟

0

𝐷(2)𝑟+1, 𝑟 ≥ 2

0 1 2 𝑟−2 𝑟−1 𝑟

𝐸(2)6 0 1 2 3 4

𝐷(2)4 0 1 2

Definição 1.3.8. Seja 𝑟 o posto de 𝐶 e 𝐼 ′ ⊆ 𝐼 tal que |𝐼 ′|= 𝑟 e 𝐶𝐼′ é invertível. A álgebrade Kac-Moody g = g(𝐶) é a álgebra de Lie dada pelos geradores 𝑥±

𝑖 , ℎ𝑖, 𝑑𝑗, 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐼 ′,satisfazendo as relações:

[ℎ𝑖, ℎ𝑗] = 0, [𝑥+𝑖 , 𝑥

−𝑗 ] = 𝛿𝑖𝑗ℎ𝑖, [ℎ𝑖, 𝑥±

𝑗 ] = ±𝑐𝑖𝑗𝑥±𝑗 para todos os 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼,

ad(𝑥±𝑖 )1−𝑐𝑖𝑗 (𝑥±

𝑗 ) = 0, para todos os 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼, 𝑖 = 𝑗,

[𝑑𝑖, 𝑑𝑗] = 0, [ℎ𝑖, 𝑑𝑗] = 0, [𝑑𝑗, 𝑥±𝑖 ] = ±𝛿𝑖𝑗𝑥±

𝑖 , para todos os 𝑖, 𝑗, 𝑘 ∈ 𝐼, 𝑗, 𝑘 ∈ 𝐼 ′.

Os geradores 𝑥±𝑖 , ℎ𝑖, 𝑖 ∈ 𝐼, são chamados de geradores de Chevalley ou Chevalley-Kac

e as relações são chamadas de relações de Serre ou Chevalley-Serre.

30

Denote por d a subálgebra de g gerada por 𝑑𝑗, 𝑗 ∈ 𝐼 ∖𝐼 ′, por h′ a subálgebra gerada porℎ𝑖, 𝑖 ∈ 𝐼, e por n+ e n− as subálgebras geradas por 𝑥+

𝑖 , 𝑖 ∈ 𝐼 e 𝑥−𝑖 , 𝑖 ∈ 𝐼, respectivamente.

Defina h = h′ ⊕ d.

Note que a álgebra derivada g′ = [g, g] de g é a subálgebra gerada por 𝑥±𝑖 , 𝑖 ∈ 𝐼 e,

assim, g/g′ ∼= d. Em particular, se 𝐶 for invertível, g = g′.

Proposição 1.3.9. A álgebra de Kac-Moody g admite a seguinte decomposição em somadireta de espaços vetoriais:

g = n+ ⊕ h ⊕ n−.

Dado um subconjunto 𝐽 de 𝐼, denote por g𝐽 a subálgebra gerada pelos elementos𝑥±𝑗 , 𝑗 ∈ 𝐽 . Assim, a g𝐽 é isomorfa à álgebra derivada g(𝐽)′ de g(𝐽), onde g(𝐽) é a álgebra

de Kac-Moody associada à matriz 𝐶𝐽 . Em particular, se |𝐽 |= 1, 𝐶𝐽 = (2) e a álgebrag𝐽 = g𝑖 é isomorfa a sl2.

Proposição 1.3.10. Seja 𝐶 uma matriz de Cartan generalizada simetrizável indecompo-nível e g = g(𝐶).

1. 𝐶 é de tipo finito se e somente se g é de dimensão finita. Neste caso, g é simples.

2. 𝐶 é de tipo afim se e somente se g𝐽 é de dimensão finita para todos os subconjuntospróprios 𝐽 de 𝐼.

Daí, 𝐶 é de tipo finito se e somente se 𝐶 é uma matriz de Cartan segundo a Proposição1.2.27, e assim, todos os menores principais de 𝐶 são positivos. 𝐶 é de tipo afim se esomente se 𝐶 não é invertível e todos os menores principais próprios de 𝐶 são positivos.

1.3.2 Raízes de uma álgebra de Kac-Moody

Nesta seção seja 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)𝐼 uma matriz de Cartan generalizada simetrizável indecom-ponível com os inteiros 𝑠𝑖 relativamente primos e seja g = g(𝐶) a álgebra de Kac-Moodyassociada.

Proposição 1.3.11. Existe uma única forma bilinear simétrica invariante (·, ·) em gsatisfazendo:

(ℎ𝑖, ℎ𝑗) = 𝑐𝑖𝑗𝑠𝑗, (𝑥+

𝑖 , 𝑥−𝑗 ) = 𝛿𝑖𝑗

𝑠𝑗, (𝑥±

𝑖 , 𝑥±𝑗 ) = 0, (ℎ𝑖, 𝑥±

𝑗 ) = 0, para todos os 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼,

(𝑑𝑗, 𝑑𝑘) = 0, (𝑑𝑗, 𝑥±𝑖 ) = 0, (ℎ𝑖, 𝑑𝑗) = 𝛿𝑖𝑗

𝑠𝑗, para todos os 𝑖, 𝑗, 𝑘 ∈ 𝐼, 𝑗, 𝑘 ∈ 𝐼 ′.

Além disso, (·, ·) é não-degenerada e sua restrição a h é também não-degenerada.

Observação 1.3.12. Se 𝐼 = 𝐼 ′, a restrição de (·, ·) a g′ é degenerada. Note que a matrizda restrição de (·, ·) a h′ em relação à base {ℎ𝑖, 𝑖 ∈ 𝐼} é 𝐶𝑆−1 e, então, a restrição de (·, ·)a h′ é não-degenerada se e somente se 𝐶 é invertível.

No caso em que g tem dimensão finita, (·, ·) é um múltiplo escalar da forma de Killing⟨·, ·⟩ definida em 1.2.8. Por abuso de terminologia nos referiremos a ambas como formade Killing de g preservando a diferença de notação.

31

Veremos que a álgebra de Kac-Moody admite uma decomposição similar ao caso dasálgebras de Lie semissimples. Entretanto, o conceito de sistema de raízes para umaálgebra de Kac-Moody em geral precisa de algumas modificações, uma vez que não é maisfinito. Uma das diferenças mais fundamentais é que o sistema de raízes de uma álgebrade Kac-Moody contém todos os múltiplos inteiros das chamadas raízes imaginárias, quedefiniremos posteriormente.

De maneira análoga ao caso semissimples. Dado 𝛼 ∈ h*, seja

g𝛼 = {𝑥 ∈ g : [ℎ, 𝑥] = 𝛼(ℎ)𝑥 para todo ℎ ∈ h}.

Temos que[g𝛼, g𝛽] ⊆ g𝛼+𝛽 para todos os 𝛼, 𝛽 ∈ h*.

Proposição 1.3.13. Dado 𝑖 ∈ 𝐼, existe um único 𝛼𝑖 ∈ h* tal que 𝛼𝑖(ℎ𝑗) = 𝑐𝑗𝑖 e 𝛼𝑖(𝑑𝑗) =𝛿𝑖𝑗. Além disso, {𝛼𝑖 : 𝑖 ∈ 𝐼} é linearmente independente e [ℎ, 𝑥±

𝑖 ] = ±𝛼𝑖(ℎ)𝑥±𝑖 para todo

𝑖 ∈ 𝐼, ℎ ∈ h.

Note que g±𝛼𝑖é gerado por 𝑥±

𝑖 para todo 𝑖 ∈ 𝐼

Definição 1.3.14. Os elementos não nulos 𝛼 ∈ h* tais que g𝛼 = 0 são chamados de raízesde g e, neste caso, g𝛼 é o espaço de raiz associado. O conjunto de todas as raízes de g édenotado por Φ. As raízes 𝛼𝑖, 𝑖 ∈ 𝐼 são chamadas de raízes simples. O reticulado de raízes𝑄 é o subgrupo de h* gerado pelas raízes simples. Seja 𝑄+ o correspondente monoide.Assim, os elementos de Φ+ = Φ ∩ 𝑄+ são chamados de raízes positivas e os de −Φ+, deraízes negativas.

Defina uma ordem parcial em h* por

𝜆 ≤ 𝜇 se e somente se 𝜇− 𝜆 ∈ 𝑄+. (1.3.1)

Proposição 1.3.15. Se g é de tipo finito, existe uma única raiz maximal 𝜃 com respeitoà ordem parcial de h*, definida em (1.3.1).

Definição 1.3.16. Dado 𝑖 ∈ 𝐼, o único elemento 𝜔𝑖 ∈ h* satisfazendo 𝜔𝑖(ℎ𝑗) = 𝛿𝑖𝑗 e𝜔𝑖(𝑑𝑘) = 0 para todos os 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼, 𝑘 ∈ 𝐼 ∖ 𝐼 ′ é chamado de 𝑖-ésimo peso fundamental deg. O reticulado de pesos de g é o subgrupo 𝑃 de h* gerado pelos pesos fundamentais.Seja 𝑃+ o correspondente submonoide de h*. Os elementos de 𝑃 são chamados de pesosintegrais e os de 𝑃+, de pesos integrais dominantes.

Proposição 1.3.17. Sejam g uma álgebra de Kac-Moody, Φ e 𝑄 seu conjunto e reticuladode raízes, repectivamente. Então:

1. Φ ⊆ 𝑄;

2. Φ = Φ+ ∪ −Φ+;

3. g0 = h, g𝛼 tem dimensão finita para todo 𝛼 ∈ Φ e

n± =⨁𝛼∈Φ+

g±𝛼.

32

Como a restrição de (·, ·) a h é não-degenerada, existe um único isomorfismo

h* → h

𝜆 ↦→ 𝑡𝜆,

onde 𝑡𝜆 é o único elemento de h tal que (𝑡𝜆, ℎ) = 𝜆(ℎ) para todo ℎ ∈ h. Defina uma formabilinear simétrica em h* por (𝜆, 𝜇) = (𝑡𝜆, 𝑡𝜇) para todos os 𝜆, 𝜇 ∈ h*.

Note que

(𝜆, 𝜇) = (𝑡𝜆, 𝑡𝜇) = 𝜆(𝑡𝜇) = 𝜇(𝑡𝜆), para todos 𝜆, 𝜇 ∈ h*,

e que (𝜆, 𝜆) = 0 para todo 𝜆 ∈ h* ∖ {0}.Dado 𝜆 ∈ h* não nulo, defina

𝜆∨ = 2𝑡𝜆

(𝜆, 𝜆) . (1.3.2)

Novamente, da mesma forma que no caso semissimples, defina 𝜎𝑖 ∈ 𝐴𝑢𝑡h*

C , 𝑖 ∈ 𝐼 por

𝜎𝑖(𝜆) = 𝜆− 𝜆(ℎ𝑖)𝛼𝑖 = 𝜆− 2 (𝜆, 𝛼𝑖)(𝛼𝑖, 𝛼𝑖)

𝛼𝑖.

Os elementos 𝜎𝑖 também serão chamados de reflexões simples e satisfazem 𝜎2𝑖 = 1,

𝜎𝑖(𝜆) = 𝜆, se (𝜆, 𝛼𝑖) = 0, e 𝜎𝑖(𝛼𝑖) = −𝛼𝑖.O grupo 𝒲 gerado pelas reflexões simples também será chamado de grupo de Weyl e

a definição de comprimento é a mesma de 1.2.25.

Definição 1.3.18. Sejam Φ o conjunto de raízes e 𝒲 o grupo de Weyl de g e sejam𝛼𝑖, 𝑖 ∈ 𝐼, as raízes simples. Uma raiz 𝜆 ∈ Φ é uma raiz real se e somente se existem𝑤 ∈ 𝒲 e uma raiz simples 𝛼𝑖 tal que 𝜆 = 𝑤𝛼𝑖. O conjunto de todas as raízes reais serádenotado por Φ𝑅. As raízes que não são reais são chamadas de imaginárias e o conjuntodas raízes imaginárias será denotado por Φ𝐼𝑚.

Proposição 1.3.19. Para toda raiz 𝛼 ∈ Φ e 𝑤 ∈ 𝒲 temos dim(𝑔𝛼) = dim(𝑔𝑤𝛼). Emparticular, se 𝛼 é uma raiz real, dim(𝑔𝛼) = 1 e a subálgebra de g gerada pelos espaçosg±𝛼 é isomorfa a sl2.

Proposição 1.3.20. São equivalentes:

1. 𝒲 é finito;

2. Φ é finito;

3. dim(g) é finita;

4. Φ𝑅 = Φ, ou seja, todas as raízes são reais.

Se g é de tipo finito, temos algumas propriedades adicionais.

Proposição 1.3.21. Seja 𝜆 ∈ 𝑃+ e defina wt(𝜆) = {𝑤(𝜇) : 𝑤 ∈ 𝒲 , 𝜇 ∈ 𝑃+, 𝜇 ≤ 𝜆}.Então,

33

1. 𝑤(𝜆) ≤ 𝜆 para todo 𝑤 ∈ 𝒲 . Em particular, 𝜈 ≤ 𝜆 para todo 𝜈 ∈ wt(𝜆);

2. Para todo 𝜆 ∈ 𝑃+, wt(𝜆) é um conjunto finito, 𝑤0(𝜆) ≤ 𝜇 para todo 𝜇 ∈ wt(𝜆) e𝑤0(𝜆) ∈ −𝑃+;

3. Se 𝑖 ∈ 𝐼 e 𝑤 ∈ 𝒲 são tais que 𝑙(𝜎𝑖𝑤) = 𝑙(𝑤)+1, então 𝑤−(𝛼𝑖) ∈ Φ+. Em particular,𝑤(𝜆) + 𝛼𝑖 ∈ wt(𝜆).

1.3.3 Realização das álgebras de Kac-Moody afins não torcidas

Nesta seção apresentaremos uma realização das álgebras de Kac-Moody afins nãotorcidas. Utilizaremos no processo as álgebras de laços, que desempenham um papelfundamental no desenvolvimento da teoria de representações de dimensão finita de g′.

Dada uma álgebra de Lie a e uma álgebra associativa 𝐴, o espaço vetorial a⊗𝐴 podeser equipado com uma estrutura de álgebra de Lie definindo o colchete por

[𝑥⊗ 𝑎, 𝑦 ⊗ 𝑏] = [𝑥, 𝑦] ⊗ 𝑎𝑏, para todos os 𝑥, 𝑦 ∈ a, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴.

Note que a = {𝑥 ⊗ 1 : 𝑥 ∈ a} é uma subálgebra de a ⊗ 𝐴 isomorfa a a. Assim,consideraremos a como subálgebra de a ⊗ 𝐴 e continuaremos denotando 𝑥 ∈ a por 𝑥 nolugar de 𝑥⊗ 1.

Se 𝐴 = C[𝑡, 𝑡−1], a álgebra de Lie a ⊗ 𝐴 é chamada de álgebra de laços de a. Se𝐴 = C[𝑡], a álgebra de Lie a ⊗ 𝐴 é chamada de álgebra de correntes de a. Denotaremospor a a álgebra de laços de a e por a[𝑡] a álgebra de correntes de a.

Seja 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)𝐼 uma matriz de Cartan indecomponível, g = g(𝐶) a álgebra de Lie dedimensão finita simples correspondente e seja g a álgebra de laços de g.

Considere o espaço vetorial g′ = g × C e denote por 𝑐 o elemento (0, 1). Assim,podemos escrever g′ = g ⊕ C𝑐.

Proposição 1.3.22. Existe uma única estrutura de álgebra de Lie em g′ tal que 𝑐 écentral ([g, 𝑐] = 0) e

[𝑥⊗ 𝑡𝑟, 𝑦 ⊗ 𝑡𝑠] = [𝑥, 𝑦] ⊗ 𝑡𝑟+𝑠 + 𝑟𝛿𝑟,−𝑠(𝑥, 𝑦)𝑐 para todos os 𝑥, 𝑦 ∈ g, 𝑟, 𝑠 ∈ Z.

Podemos estender a Z-graduação em g a g′ definindo o grau de 𝑐 como 0.Considere agora o espaço vetorial g = g′ × C e denote por 𝑑 o elemento (0, 1). Assim,

podemos escrever g = g′ ⊕ C𝑑.

Proposição 1.3.23. Existe uma única estrutura de álgebra de Lie em g tal que g′ × {0}é um ideal isomorfo a g′ e 𝑑 age como operador de grau em g′, ou seja, [𝑑, 𝑥] = 𝑟𝑥 paratodo 𝑥 no 𝑟-ésimo subespaço graduado de g′.

Novamente, podemos estender a Z-graduação em g′ a g definindo o grau de 𝑑 como 0.Defina h′ = h ⊕ C𝑐 e h = h′ ⊕ C𝑑.Seja 𝜃 a raiz maximal de g definida em 1.3.15 e escolha 𝑥±

𝜃 ∈ g±𝜃 tal que[𝑥+𝜃 , 𝑥

−𝜃 ] = 𝜃

∨ . Defina 𝑥±0 = 𝑥∓

𝜃 ⊗ 𝑡±1, ℎ0 = [𝑥+0 , 𝑥

−0 ].

34

Note que

ℎ0 = [𝑥−𝜃 ⊗ 𝑡, 𝑥+

𝜃 ⊗ 𝑡−1] = [𝑥−𝜃 , 𝑥

+𝜃 ] + (𝑥+

𝜃 , 𝑥−𝜃 )𝑐 = 2𝑐

(𝜃, 𝜃) − 𝜃∨.

Seja Φ o conjunto de raízes de g e considere o reticulado de raízes 𝑄 de gcomo um subconjunto de h* estendendo 𝛼𝑖, 𝑖 ∈ 𝐼, a um elemento de h* definindo 𝛼𝑖(𝑐) =𝛼𝑖(𝑑) = 0. Seja 𝛿 o único elemento de h* tal que 𝛿(h′) = 0 e 𝛿(𝑑) = 1 e defina 𝛼0 = 𝛿 − 𝜃.

Dado 𝜆 ∈ h*, sejam

g𝜆 = {𝑥 ∈ g : [ℎ, 𝑥] = 𝜆(ℎ)𝑥, para todo ℎ ∈ h}

eΦ = {𝛼 ∈ h* : g𝛼 = 0} ∖ {0}.

Temos queg0 = h, g𝑘𝛿 = h ⊗ 𝑡𝑘 e g𝛼+𝑚𝛿 = g𝛼 ⊗ 𝑡𝑚

para todos os 𝑘,𝑚 ∈ Z, 𝑘 = 0, 𝛼 ∈ Φ.Além disso,

Φ = {𝛼 + 𝑘𝛿 : 𝛼 ∈ Φ, 𝑘 ∈ Z} ∪ {𝑘𝛿 : 𝑘 ∈ Z ∖ {0}}

eg =

⨁𝛼∈Φ

g𝛼.

Iremos agora construir uma matriz de Cartan generalizada a partir de uma matriz deCartan.

Definição 1.3.24. Seja 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)𝐼 uma matriz de Cartan. Considere 𝐼 = 𝐼 ∪{0} e definaa matriz de Cartan estendida 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)𝐼 por

𝑐00 = 2, 𝑐0𝑗 = −𝛼𝑗(𝜃∨) = −2(𝛼𝑗, 𝜃)

(𝜃, 𝜃) , 𝑐𝑖0 = −𝜃(ℎ𝑖) = −2(𝛼𝑖, 𝜃)(𝛼𝑖, 𝛼𝑖)

e 𝑐𝑖𝑗 = 𝑐𝑖𝑗

para todos os 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼.

Proposição 1.3.25. Se 𝐶 é uma matriz de Cartan de tipo 𝑇 , então a matriz de Cartanestendida 𝐶 é uma matriz de Cartan generalizada de tipo afim não torcida 𝑇 (1).

Teorema 1.3.26. A álgebra de Lie g é isomorfa à álgebra de Kac-Moody associada àmatriz de Cartan generalizada 𝐶 e toda matriz de Cartan generalizada de tipo afim nãotorcida é uma matriz estendida de uma matriz de Cartan.

O conjunto {𝛼 + 𝑘𝛿 : 𝛼 ∈ Φ, 𝑘 ∈ Z} é o conjunto das raízes reais e {𝑘𝛿 : 𝑘 ∈ Z ∖ {0}}é o conjunto das raízes imaginárias de g.

35

Capítulo 2

Representações de álgebras deKac-Moody

Neste capítulo apresentaremos as definições e resultados básicos acerca da teoria derepresentações de álgebras de Kac-Moody de tipos finito e afim. As demonstrações serãoomitidas e podem ser encontradas em [1, 2, 5, 6, 4, 14, 16, 17]. Começaremos com algumasdefinições que são comuns a ambos os casos.

2.1 Módulos de peso

Sejam g uma álgebra de Kac-Moody, h uma subálgebra de Cartan e Φ o respectivosistema de raízes.

Definição 2.1.1. Seja 𝑉 um g-módulo. Dado 𝜆 ∈ h* defina

𝑉𝜆 = {𝑣 ∈ 𝑉 : ℎ𝑣 = 𝜆(ℎ)𝑣 para todo ℎ ∈ h}.

Se 𝑉𝜆 = {0}, 𝜆 é chamado de peso de 𝑉 e 𝑉𝜆 de espaço de peso de 𝑉 . Denote porwt(𝑉 ) o conjunto de todos os pesos de 𝑉 .

A multiplicidade de 𝜆 em 𝑉 é o valor de 𝑑𝑖𝑚(𝑉𝜆).

Note que a multiplicidade de um peso 𝜆 pode ser 0 ou até mesmo ∞ e que, se 𝛼 ∈ Φ,temos que g𝛼𝑉𝜆 ⊆ 𝑉𝜆+𝛼.

Escreva 𝑉 ′ = ⨁𝜆∈h 𝑉𝜆. Se h age de maneira semissimples em 𝑉 , ou seja, se 𝑉 = 𝑉 ′,

𝑉 é chamado de um módulo de peso.Se 𝑣 é um vetor de 𝑉𝜆, defina os peso de 𝑣 por wt(𝑣) = 𝜆.Se 𝑉1, 𝑉2 são módulos de peso e 𝜆 ∈ h*, temos que

(𝑉1 ⊕ 𝑉2)𝜆 = (𝑉1)𝜆 ⊕ (𝑉2)𝜆,(𝑉1 ⊗ 𝑉2)𝜆 =

⨁𝜇∈h*

(𝑉1)𝜇 ⊗ (𝑉2)𝜆−𝜇.

Definição 2.1.2. Seja 𝑉 um g-módulo. Um vetor não nulo 𝑣 de 𝑉 é dito um vetor depeso máximo com peso 𝜆 ∈ h* se 𝑣 ∈ 𝑉𝜆 e n+𝑣 = 0.

36

Definição 2.1.3. Um g-módulo 𝑉 é um módulo de peso máximo 𝜆 se existe um vetor depeso máximo 𝑣 ∈ 𝑉𝜆 tal que 𝑉 = 𝑈(g)𝑣.

2.2 A categoria (BGG) 𝒪: Tipo finito

Nesta seção, denote por g uma álgebra de Lie semissimples de dimensão finita, h umasubálgebra de Cartan, Φ o respectivo sistema de raízes, Δ = {𝛼𝑖 : 𝑖 ∈ 𝐼} uma base de Φe 𝑊 o grupo de Weyl de g.

Escreva g = n+ ⊕ h ⊕ n−, com n± = ⨁𝛼∈Φ± 𝑔±𝛼.

Definição 2.2.1. A categoria 𝒪 é definida como a subcategoria plena de Mod 𝑈(g) cujosobjetos são os módulos 𝑉 satisfazendo as seguintes condições:

(𝒪1) 𝑉 é um g-módulo finitamente gerado;

(𝒪2) h age de maneira semissimples em 𝑉 , ou seja, 𝑉 é um módulo de peso;

(𝒪3) 𝑉 é localmente n+-finito, ou seja, o subespaço 𝑈(n+)𝑣 de 𝑉 tem dimensão finitapara todo 𝑣 ∈ 𝑉 .

Temos as seguintes consequências da definição.

Teorema 2.2.2. A categoria 𝒪 satisfaz:

1. A categoria 𝒪 é noetheriana, ou seja, cada 𝑉 ∈ 𝒪 é um 𝑈(g)-módulo noetheriano;

2. Submódulos, quocientes e somas diretas finitas de objetos de 𝒪 pertencem a 𝒪;

3. 𝒪 é uma categoria abeliana;

4. Se 𝑉,𝑊 ∈ 𝒪 e 𝑉 tem dimensão finita, então 𝑉 ⊗𝑊 ∈ 𝒪;

5. Se 𝑉 ∈ 𝒪 e 𝑣 ∈ 𝑉 , então o submódulo {𝑧𝑣 : 𝑧 ∈ 𝑍(g)} tem dimensão finita;

6. Se 𝑉 ∈ 𝒪, então 𝑉 é um 𝑈(n−)-módulo finitamente gerado;

7. Se 𝑉 ∈ 𝒪, então todos os espaços de peso de 𝑉 tem dimensão finita.

Note que, por (𝒪2) e (𝒪3), todo módulo em 𝒪 possui pelo menos um vetor de pesomáximo.

Teorema 2.2.3. Sejam 𝑉 um g-módulo de peso máximo 𝜆 ∈ h* e 𝑣0 um vetor de pesomáximo de 𝑉 .

1. 𝑉 é gerado como espaço vetorial pelos vetores (𝑥−1 )𝑖1 . . . (𝑥−

𝑘 )𝑖𝑘𝑣0, com 𝑖𝑗 ∈ Z≥0, e opeso destes vetores é dado por 𝜆−∑

𝑗 𝑖𝑗𝛼𝑗. Logo, 𝑉 é um módulo de peso;

2. Se 𝜇 é um peso de 𝑉 , então 𝜆− 𝜇 ∈ 𝑄+;

3. Para todos os pesos 𝜇 de 𝑉 , temos dim(𝑉𝜇) < ∞ e dim(𝑉𝜆) = 1. Logo, 𝑉 é ummódulo de peso localmente n+-finito e então 𝑉 ∈ 𝒪;

37

4. Todo quociente não nulo de 𝑉 também é um módulo de peso máximo 𝜆;

5. Cada submódulo de 𝑉 é um módulo de peso. Um submódulo gerado por um vetorde peso máximo 𝜇 = 𝜆 é próprio. Em particular, se 𝑉 é simples todos os seusvetores de peso máximo são múltiplos de 𝑣0;

6. 𝑉 possui um único submódulo próprio maximal e um único quociente irredutível.Em particular, 𝑉 é indecomponível;

7. Todos os módulos de peso máximo 𝜆 simples são isomorfos. Se 𝑉 é um destes,dim(𝐸𝑛𝑑𝒪𝑉 ) = 1.

Note que, se 𝑉 é um g-módulo de peso máximo gerado por 𝑣, pelo Teorema PBW1.1.26, 𝑉 também satisfaz 𝑉 = 𝑈(n−)𝑣.

A seguir definiremos um importante módulo no desenvolvimento da teoria de repre-sentações de g.

Definição 2.2.4. Dado 𝜆 ∈ h*, o módulo de Verma de peso máximo 𝜆 é o g-módulo𝑀(𝜆) gerado por um vetor 𝑣𝜆 que satisfaz as relações

n+𝑣𝜆 = 0, ℎ𝑣𝜆 = 𝜆(ℎ)𝑣𝜆, para todo ℎ ∈ h.

Pela definição, 𝑀(𝜆) é o g-módulo universal de peso máximo 𝜆, ou seja, qualqueroutro g-módulo de peso máximo 𝜆 é um quociente de 𝑀(𝜆). Além disso, visto como um𝑈(n−)-módulo, 𝑀(𝜆) é um módulo livre de posto 1.

Pelo Teorema 2.2.3, 𝑀(𝜆) pertence a 𝒪 para todo 𝜆 ∈ h* e, pelo item 6, 𝑀(𝜆) possuium único submódulo próprio maximal 𝑀 ′(𝜆) e um único quociente irredutível 𝐿(𝜆).

2.2.1 A subcategoria 𝒪𝑖𝑛𝑡

Um elemento 𝑥 de um álgebra de Lie g age localmente nilpotentemente em um g-módulo 𝑉 se, para todo 𝑣 ∈ 𝑉 , existe 𝑛 ∈ Z≥0 tal que 𝑥𝑛𝑣 = 0 .

Definição 2.2.5. Um g-módulo 𝑉 é dito integrável se 𝑥±𝑖 age localmente nilpotentemente

em 𝑉 para todo 𝑖 ∈ 𝐼.

A categoria 𝒪𝑖𝑛𝑡 é subcategoria plena de 𝒪 cujos objetos são os g-módulos integráveis.Com estas definições temos o seguinte teorema.

Teorema 2.2.6. Sejam 𝜆 ∈ h* e 𝑣𝜆 um vetor gerador do módulo de Verma 𝑀(𝜆). Então,𝐿(𝜆) é integrável se e somente se 𝜆 ∈ 𝑃+. Nesse caso, o submódulo maximal 𝑀 ′(𝜆) de𝑀(𝜆) é gerado pelos vetores (𝑥−

𝑖 )𝜆(h𝑖)+1𝑣𝜆 para todo 𝑖 ∈ 𝐼. Em outras palavras, o móduloirredutível 𝐿(𝜆) é gerado por 𝑣𝜆 sujeito às relações

n+𝑣𝜆 = 0, ℎ𝑣𝜆 = 𝜆(ℎ)𝑣𝜆, (𝑥−𝑖 )𝜆(ℎ𝑖)+1𝑣𝜆 = 0,

para todo ℎ ∈ h e 𝑖 ∈ 𝐼.

Teorema 2.2.7. Seja 𝑉 um g-módulo em 𝒪𝑖𝑛𝑡.

38

1. Se 𝑉 é um g-módulo simples, então 𝑉 é isomorfo a 𝐿(𝜆) para algum 𝜆 ∈ 𝑃+;

2. Se 𝜇 é um peso de 𝑉 , dim(𝑉𝜇) = dim(𝑉𝑤𝜇) para todo 𝑤 ∈ 𝒲 ;

3. 𝑉 é completamente redutível. Mais precisamente,

𝑉 =⨁𝜆∈𝑃+

𝐿(𝜆)[𝑉 :𝜆], para únicos [𝑉 : 𝜆] ∈ Z≥0.

O número [𝑉 : 𝜆] é chamado de multiplicidade de 𝐿(𝜆) em 𝑉 .

Teorema 2.2.8. O g-módulo irredutível 𝐿(𝜆) tem dimensão finita se e somente se 𝜆 ∈ 𝑃+.Logo, 𝒪𝑖𝑛𝑡 é a categoria dos g-módulos de dimensão finita.

Dados dois g-módulos 𝑉 e 𝑊 , podemos equipar o espaço vetorial 𝑉 ⊗ 𝑊 com umaestrutura de g-módulo dada por

𝑥(𝑣 ⊗ 𝑤) = (𝑥𝑣) ⊗ 𝑤 + 𝑣 ⊗ (𝑥𝑤) para todos 𝑣 ∈ 𝑉,𝑤 ∈ 𝑊,𝑥 ∈ g.

Se 𝜇 e 𝜈 são pesos de 𝑣 ∈ 𝑉 e 𝑤 ∈ 𝑊 , respectivamente, então 𝜇+ 𝜈 é o peso de 𝑣⊗𝑤.Em outras palavras,

𝑉𝜇 ⊗𝑊𝜈 ⊆ (𝑉 ⊗𝑊 )𝜇+𝜈 ,

e, se 𝑉,𝑊 são objetos de 𝒪𝑖𝑛𝑡, 𝑉 ⊗𝑊 também é.

Proposição 2.2.9. Sejam 𝜆, 𝜇 ∈ 𝑃+ ∖ {0}. Então, [𝐿(𝜆) ⊗ 𝐿(𝜇) : 𝜈] = 0 para algum𝜈 ∈ 𝑃+, 𝜈 = 𝜆+ 𝜇. Em particular, 𝐿(𝜆) ⊗ 𝐿(𝜇) não é simples.

Exemplo 2.2.10. Seja g = sl2(C). Fixe uma base {𝑥, ℎ, 𝑦} de g tal que [𝑥, 𝑦] = ℎ,[ℎ, 𝑥] = 2𝑥 e [ℎ, 𝑦] = −2𝑦. Como dim(h) = 1, identifique h* com os números complexos eo reticulado de pesos 𝑃 com os números inteiros.

1. Os pesos do módulo de Verma 𝑀(𝜆) são 𝜆, 𝜆−2, 𝜆−4, . . . , todos com multiplicidade1.Podemos escolher uma base {𝑣𝑖 : 𝑖 ≥ 0} de 𝑀(𝜆) tal que:

ℎ𝑣𝑖 = (𝜆− 2𝑖)𝑣𝑖,𝑥𝑣𝑖 = (𝜆− 𝑖+ 1)𝑣𝑖−1, [Fixe 𝑣−1 = 0]𝑦𝑣𝑖 = (𝑖+ 1)𝑣𝑖+1.

2. 𝑑𝑖𝑚(𝐿(𝜆)) < ∞ se e somente se 𝜆 ∈ Z≥0. Neste caso, 𝑀 ′(𝜆) é isomorfo a 𝑉 (−𝜆−2).

3. 𝑀(𝜆) é simples se e somente se 𝜆 ∈ Z≥0.

39

2.3 A categoria (BGG) 𝒪: Tipo Afim

Uma álgebra de Kac-Moody de tipo afim também admite uma categoria 𝒪 similarao caso finito. Entretanto, a condição (𝒪1) deve ser enfraquecida. Uma das principaisdiferenças é que o centro da álgebra universal envelopante é trivial, o que dificulta ageneralização de resultados. Apesar disso, vários resultados para módulos de dimensãofinita em tipo finito possuem versões similares para o caso afim. Denotaremos a categoria𝒪 para álgebras Kac-Moody de tipo afim por 𝒪𝐴 para evitar ambiquidades.

Nesta seção, seja g uma álgebra de Lie simples de dimensão finita. Denote por g aálgebra de Kac-Moody afim associada a g definida em 1.3.23 e por g a respectiva álgebrade laços. Sejam também 𝑃 e �� os reticulados de pesos e raízes e 𝑃+ e ��+ os respectivosmonoides.

Lembre que 𝜆 ≤ 𝜇 se e somente se 𝜇− 𝜆 ∈ ��+, 𝜇, 𝜆 ∈ h*, e defina

𝐸(𝜆) = {𝜇 ∈ h* : 𝜇 ≤ 𝜆}.

Definição 2.3.1. A categoria 𝒪𝐴 é a categoria dos g-módulos satisfazendo:

(𝒪𝐴1) existe uma quantidade finita de 𝜆1, . . . , 𝜆𝑠 ∈ h* tal que

wt(𝑉 ) ⊆⋃

1≤𝑖≤𝑠𝐸(𝜆𝑖);

(𝒪𝐴2) h age de maneira semissimples em 𝑉 , ou seja, 𝑉 é um g-módulo de peso;

(𝒪𝐴3) 𝑉𝜆 tem dimensão finita para todo 𝜆 ∈ wt(𝑉 ).

Novamente, por (𝒪𝐴2) e (𝒪𝐴3), todo módulo em 𝒪𝐴 possui pelo menos um vetor depeso máximo.

De maneira análoga ao caso finito, temos a seguinte definição.

Definição 2.3.2. Dado 𝜆 ∈ h*, o módulo de Verma de peso máximo 𝜆 é o g-módulo𝑀(𝜆) gerado por um vetor 𝑣𝜆 que satisfaz as relações

n+𝑣𝜆 = 0, ℎ𝑣𝜆 = 𝜆(ℎ)𝑣𝜆, para todo ℎ ∈ h.

𝑀(𝜆) é o g-módulo universal de peso máximo 𝜆 e possui as mesmas propriedades domódulo definido em 2.2.4. Também denotaremos por 𝐿(𝜆) o único quociente irredutívelde 𝑀(𝜆).

Definição 2.3.3. Sejam 𝑉 um g-módulo e 𝜆 ∈ h*. Um vetor não nulo 𝑣 ∈ 𝑉𝜆 é ditoprimitivo se existe um submódulo próprio 𝑈 de 𝑉 tal que

𝑣 ∈ 𝑈 e n+𝑣 ⊆ 𝑈.

Neste caso, 𝜆 é dito um peso primitivo.

Note que um vetor de peso máximo é sempre primitivo.

40

Proposição 2.3.4. Seja 𝑉 = {0} um módulo em 𝒪𝐴. Então,

1. 𝑉 contém um vetor de peso máximo 𝑣;

2. 𝑉 é gerado pelos seus vetores primitivos como um g-módulo;

3. são equivalentes:

(a) 𝑉 é irredutível;(b) 𝑉 é um módulo de peso máximo e todo vetor primitivo de 𝑉 é um vetor de

peso máximo;(c) 𝑉 ∼= 𝐿(𝜆) para algum 𝜆 ∈ ℎ*.

Lema 2.3.5. (Lema de Schur) Um elemento central de uma álgebra de Lie age comomultiplicação por escalar em um módulo simples.

O Lema Schur também vale para g-módulos de peso cujos espaços de peso têm dimen-são finita. Em particular, o elemento central 𝑐 ∈ g age como multiplicação por 𝑘 ∈ C emum módulo simples 𝑉 na categoria 𝒪𝐴.

Definição 2.3.6. Um g-módulo 𝑉 tem nível 𝑘 se 𝑐 age como 𝑘𝐼𝑑𝑉 .

Denote por 𝒪𝐴𝑘 a subcategoria plena de 𝒪𝐴 cujos objetos são os módulos de nível 𝑘.

Proposição 2.3.7. Sejam 𝑉1 e 𝑉2 módulos em 𝒪𝐴𝑘1 e 𝒪𝐴

𝑘2 , respectivamente. Então, 𝑉1⊗𝑉2é um objeto de 𝒪𝐴

𝑘1+𝑘2 .

Corolário 2.3.8. A categoria 𝒪𝐴𝑘 é fechada via produto tensorial se e somente se 𝑘 = 0.

Observação 2.3.9. Seja 𝜆 ∈ h*. O módulo 𝐿(𝜆) pode ser naturalmente consideradocomo um g′-módulo Z𝐼∖𝐼′

≥0 -graduado. Explicitamente, dado 𝑟𝑟𝑟 = (𝑟𝑗)𝑗∈𝐼∖𝐼′ , a 𝑟𝑟𝑟-ésima parcelagraduada de 𝐿(𝜆) é o subespaço

𝐿(𝜆)[𝑟𝑟𝑟] = {𝑣 ∈ 𝐿(𝜆) : 𝑑𝑗𝑣 = (𝜆(𝑑𝑗) − 𝑟𝑗)𝑣 para todo 𝑗 ∈ 𝐼 ∖ 𝐼 ′}=

⨁𝜇:𝜇(𝑑𝑗)=𝜆(𝑑𝑗)−𝑟𝑗

𝐿(𝜆)𝜇.

Assim, se definirmos 𝛿𝛿𝛿𝑖 = (𝛿𝑖𝑗)𝑗∈𝐼∖𝐼′ , 𝑖 ∈ 𝐼, temos que

𝑥±𝑖 𝐿(𝜆)[𝑟𝑟𝑟] ⊆ 𝐿(𝜆)[𝑟𝑟𝑟 ± 𝛿𝛿𝛿𝑖],

para todos os 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑟𝑟𝑟 ∈ Z𝐼∖𝐼′

≥0 .

Note que, se 𝜆, 𝜇 ∈ h* são tais que (𝜆−𝜇)(𝑑𝑗) ∈ Z, para todo 𝑗 ∈ 𝐼 ∖ 𝐼 ′, então 𝐿(𝜆) ∼=𝐿(𝜇) como g′-módulos Z𝐼∖𝐼′

≥0 -graduados. Além disso, é possível recuperar a estrutura deg-módulo de 𝐿(𝜆) a partir da estrutura de g′-módulo graduado juntamente com os valoresde 𝜆(ℎ𝑗), 𝑗 ∈ 𝐼 ∖ 𝐼 ′. Desta forma, estudar os g-módulos integráveis é equivalente a estudaros g′-módulos Z𝐼∖𝐼′

≥0 -graduados.

41

2.4 Representações de dimensão finita de álgebras deKac-Moody afim

Para simplificar a notação, escreveremos os elementos 𝑥𝑖 ⊗ 𝑡𝑟 e ℎ𝑖 ⊗ 𝑡𝑟 de g da forma𝑥𝑖𝑡

𝑟 e ℎ𝑖𝑡𝑟, para 𝑖 ∈ 𝐼 e 𝑟 ∈ Z, respectivamente.Seja 𝑉 um g′-módulo de dimensão finita. Como um h-módulo, temos que

𝑉 = ⨁𝜇∈𝑃 𝑉𝜇. A equação [ℎ𝑗, 𝑥±

𝑖 𝑡𝑟] = ±𝛼𝑖(ℎ𝑗)𝑥±

𝑗 𝑡𝑟, para 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼, implica que

𝑥±𝑖 𝑡

𝑟𝑉𝜇 ⊆ 𝑉𝜇±𝛼𝑖, para todo 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑟 ∈ Z.

Em particular, como 𝑥±0 ∈ g∓𝜃 ⊗ 𝑡±1, temos

𝑥±0 𝑉𝜇 ⊆ 𝑉𝜇±𝜃.

Note que 𝑉 é integrável. Se 𝜆 é um peso maximal de 𝑉 , então 𝜆 ∈ 𝑃+ e 𝑥+𝑖 𝑡

𝑟𝑉𝜆 = {0}para todos 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑟 ∈ Z. Em particular, se 𝑊 é o g′-submódulo de 𝑉 gerado por 𝑉𝜆, então

𝑊𝜇 = {0} ⇐⇒ 𝜇 ∈ wt(𝜆)

e(𝑥−

𝑖 𝑡𝑟)𝜆(ℎ𝑖)+1𝑉𝜆 = {0} para todos 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑟 ∈ Z.

Será conveniente utilizar os elementos Λ𝑖,𝑟, 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑟 ∈ Z, de 𝑈(h) definidos por∞∑𝑟=0

Λ𝑖,𝑟𝑢𝑟 = exp

(−

∞∑𝑠=1

ℎ𝑖𝑡±𝑠

𝑠𝑢𝑠).

Em particular, Λ𝑖,0 = 1 para todo 𝑖 ∈ 𝐼. Defina também

Λ±𝑖 =

∞∑𝑟=0

Λ𝑖,±𝑟𝑢𝑟.

Proposição 2.4.1. O elemento central 𝑐 ∈ g′ age trivialmente em todo g′-módulo dedimensão finita.

Proposição 2.4.2. Seja 𝑉 um g-módulo simples de dimensão finita. Então, 𝑉 temdimensão 1 e g′𝑉 = {0}.

Pela Proposição 2.4.2, todas as representações de dimensão finita simples de g sãotriviais. Passamos, então, a estudar representações de g′ que, pela Proposição 2.4.1, éequivalente a estudar representações de g.

Dado 𝑎 ∈ C×, defina o homomorfismo de avaliação como

ev𝑎 : g → g𝑥⊗ 𝑓(𝑡) ↦→ 𝑓(𝑎)𝑥

Definição 2.4.3. Sejam 𝑉 um g-módulo e 𝑎 ∈ C×. Considere o g-módulo 𝑉 (𝑎) obtidopelo 𝑝𝑢𝑙𝑙𝑏𝑎𝑐𝑘 da ação de g a g via ev𝑎, ou seja, 𝑥 ⊗ 𝑓(𝑡)𝑣 := 𝑓(𝑎)𝑥𝑣 para todos 𝑥 ∈ ge 𝑣 ∈ 𝑉 . Os módulos 𝑉 (𝑎) são chamados de módulos de avaliação. Denotaremos por𝑉 (𝜆, 𝑎) o módulo de avaliação construído a partir de 𝐿(𝜆), 𝜆 ∈ 𝑃+.

42

Note que 𝑉 (𝑎) é simples se e somente se 𝑉 é simples.Teorema 2.4.4. Sejam 𝜆1, . . . , 𝜆𝑚 ∈ 𝑃+ ∖ {0} e 𝑎1, . . . , 𝑎𝑚 ∈ C×. Então,𝑉 (𝜆1, 𝑎1) ⊗ . . .⊗ 𝑉 (𝜆𝑚, 𝑎𝑚) é irredutível se e somente se 𝑎𝑖 = 𝑎𝑗 para todos 𝑖 = 𝑗.

Pela Proposição 2.2.9, o produto tensorial de dois g-módulos não triviais não podeser simples. Por outro lado, o teorema anterior nos dá exemplos de g-módulos simplesformados a partir do produto tensorial de módulos de avaliação. De fato, veremos quetodo g-módulo simples de dimensão finita é isomorfo a um único produto tensorial demódulos de avaliação, a menos de permutação dos fatores.

O homomorfismo ev𝑎 : g → g pode ser estendido de maneira única a um homomorfismode álgebras associativas 𝑈(g) → 𝑈(g) que também denotaremos por ev𝑎.

Daí,

ev𝑎(Λ𝑖,𝑟) = (−𝑎)𝑟(ℎ𝑖|𝑟|

), onde

(ℎ𝑖𝑠

)= ℎ𝑖(ℎ𝑖 − 1) . . . (ℎ𝑖 − (𝑠− 1))

𝑠! .

Em particular, se 𝑉 é um g-módulo e 𝑣 ∈ 𝑉𝜇, para algum 𝜇 ∈ 𝑃 , temos a seguinteidentidade de séries de potências formais na variável 𝑢 com coeficientes em 𝑉 (𝑎):

Λ±𝑖 (𝑢)𝑣 =

⎛⎝∑𝑟≥0

(−𝑎)±𝑟(𝜇(ℎ𝑖)𝑟

)𝑢𝑟

⎞⎠ 𝑣 (2.4.1)

Podemos expressar a equação anterior de maneira mais conveniente. Sejam 𝜇 ∈ 𝑃e 𝑎 ∈ C×, denote por 𝜔𝜔𝜔𝜇,𝑎 o elemento de C(𝑢)𝐼 cuja 𝑖-ésima componente (𝜔𝜔𝜔𝜇,𝑎)𝑖(𝑢) é(1 − 𝑎𝑢)𝜇(ℎ𝑖). Identifique a função racional (1 − 𝑎𝑢)−1 com a série geométrica∑𝑟≥0 𝑎

𝑟𝑢𝑟 ∈ C[[𝑢]]. Daí, toda função racional 𝑓(𝑢) ∈ C(𝑢) tal que 𝑓(0) = 1 pode seridentificada com um único elemento de C[[𝑢]].

Com estas observações, a equação (2.4.1) implica:

Λ+𝑖 (𝑢)𝑣 = (1 − 𝑎𝑢)𝜇(ℎ𝑖)𝑣 = (𝜔𝜔𝜔𝜇,𝑎)𝑖(𝑢)𝑣.

A ação de Λ−𝑖 (𝑢) pode ser descrita de maneira semelhante. Dado um polinômio 𝑓(𝑢) =

1 + 𝑐1𝑢 + · · · + 𝑐𝑛𝑢𝑛 ∈ C[𝑢] de grau 𝑛, defina 𝑓−(𝑢) = 𝑐−

𝑛𝑢𝑛𝑓(𝑢−1). Escrevendo 𝑓−(𝑢) =

1 + 𝑐−1𝑢+ · · · + 𝑐−𝑛𝑢𝑛, temos que

𝑐−𝑟 = 𝑐−1𝑛 𝑐𝑛−𝑟, para todo 𝑟 = 0, 1, . . . , 𝑛.

Se 𝑓(𝑢) = ∏𝑛𝑟=1(1−𝑎𝑟𝑢), então 𝑓−1(𝑢) = ∏𝑛

𝑟=1(1−𝑎−1𝑟 𝑢). A construção 𝑓 ↦→ 𝑓−1 pode

ser estendida de polinômios para funções racionais da maneira óbvia. Podemos entãoconsiderar a 𝐼-upla de funções racionais 𝜔𝜔𝜔−

𝜇,𝑎 cuja 𝑖-ésima entrada é (𝜔𝜔𝜔𝜇,𝑎)−𝑖 e daí (2.4.1)

é equivalente aΛ±𝑖 (𝑢)𝑣 = (𝜔𝜔𝜔𝜇,𝑎)±

𝑖 (𝑢)𝑣. (2.4.2)O sinal + será omitido para simplificar a notação.

O conjunto C[[𝑢]]𝐼 de 𝐼-uplas de séries de potências é um anel com operações coorde-nada a coordenada. Seja 𝒫 o subgrupo multiplicativo gerado pelos elementos 𝜔𝜔𝜔𝜇,𝑎, 𝜇 ∈𝑃, 𝑎 ∈ C×.

Dado 𝑖 ∈ 𝐼, lembre que 𝜔𝑖 denota um peso fundamental de g e escreva 𝜔𝜔𝜔𝜔𝑖,𝑎 = 𝜔𝜔𝜔𝑖,𝑎.Como C é algebricamente fechado, o grupo 𝒫 também é gerado pelos elementos 𝜔𝜔𝜔𝑖,𝑎,𝑖 ∈ 𝐼, 𝑎 ∈ C×.

43

Definição 2.4.5. Os elementos 𝜔𝜔𝜔𝑖,𝑎 são chamados de ℓ-pesos fundamentais e o grupoabeliano 𝒫 é chamado de reticulado de ℓ-pesos de g. O submonóide gerado pelos ℓ-pesos fundamentais será denotado por 𝒫+ e os seus elementos são chamados de ℓ-pesosdominantes ou Polinômios de Drinfeld.

Note que,

(𝜔𝜔𝜔𝑖,𝑎)𝑗(𝑢) = (1 − 𝛿𝑖𝑗𝑎𝑢), para todos 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼, 𝑎 ∈ C×

e que, se 𝜇 ∈ 𝑃 e 𝑎 ∈ C×,𝜔𝜔𝜔𝜇,𝑎 =

∏𝑖∈𝐼

(𝜔𝜔𝜔𝑖,𝑎)𝜇(ℎ𝑖).

Denote por wt o único homomorfismo de grupo 𝒫 → 𝑃 tal que wt(𝜔𝜔𝜔𝜇,𝑎) = 𝜇 paratodos os 𝜇 ∈ 𝑃, 𝑎 ∈ C×.

O prefixo ℓ nas definições acima é usado para indicar que os conceitos são análogosaos do contexto clássico, mas definidos para álgebra de laços.

Identificaremos o conjunto 𝒫 com um subconjunto de 𝑈(h)* da seguinte maneira. Seja𝜇𝜇𝜇 ∈ 𝒫 , identifique a 𝑖-ésima função racional de 𝜇𝜇𝜇± com uma série de potências formaisconforme explicado anteriormente e escreva 𝜇𝜇𝜇±

𝑖 (𝑢) = ∑𝑟≥0𝜇𝜇𝜇

±𝑖,𝑟𝑢

𝑟. Como 𝑈(h) é a álgebracomutativa associativa livre gerada pelos elementos ℎ𝑖,Λ𝑖,𝑟, 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑟 ∈ Z ∖ {0}, existe umúnico homomorfismo de álgebras 𝑈(h) → C tal que

ℎ𝑖 ↦→ wt(𝜇𝜇𝜇)(ℎ𝑖) e Λ𝑖,±𝑟 ↦→ 𝜇𝜇𝜇±𝑖,𝑟 para todos 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑟 ∈ Z.

Definição 2.4.6. Sejam 𝑉 um g-módulo e 𝜇𝜇𝜇 ∈ 𝒫 . O conjunto

𝑉𝜇𝜇𝜇 = {𝑣 ∈ 𝑉 : (𝑥− 𝜇𝜇𝜇(𝑥))𝑛𝑣 = 0, para todos 𝑥 ∈ 𝑈(h) e 𝑛 ≫ 0}

é chamado de espaço de ℓ-peso de 𝑉 . Um vetor não nulo em 𝑉𝜇𝜇𝜇 é chamado de vetor deℓ-peso. Se 𝑉𝜇𝜇𝜇 = 0, 𝜇𝜇𝜇 é um ℓ-peso de 𝑉 . O conjunto de todos os ℓ-pesos de 𝑉 será denotadopor wtℓ(𝑉 ). Se

𝑉 =⨁𝜇𝜇𝜇∈𝒫

𝑉𝜇𝜇𝜇

𝑉 é dito um módulo de ℓ-peso.

Dados um g-módulo 𝑉 e 𝑎 ∈ C×, segue de 2.4.2 que

𝑉 (𝑎)𝜇 = 𝑉𝜔𝜔𝜔𝜇,𝑎 .

Proposição 2.4.7. Se 𝑉 e 𝑊 são g-módulos e 𝜇𝜇𝜇,𝜈𝜈𝜈 ∈ 𝒫 , então o produto tensorial demódulos de ℓ-peso é também um módulo de ℓ-peso e

𝑉𝜇𝜇𝜇 ⊗𝑊𝜈𝜈𝜈 ⊆ (𝑉 ⊗𝑊 )𝜇𝜇𝜇𝜈𝜈𝜈 .

Sejam 𝜆, 𝜇 ∈ 𝑃+ e fixe 𝑣 e 𝑤 vetores de peso máximo para 𝐿(𝜆) e 𝐿(𝜇), respectiva-mente. Considere os módulos de avaliação 𝑉 (𝜆, 𝑎) e 𝑉 (𝜇, 𝑏) para alguns 𝑎, 𝑏 ∈ C×, entãoo vetor 𝑣⊗𝑤 é um autovetor para a ação de h com autovalores dados pelo ℓ-peso 𝜔𝜔𝜔𝜆,𝑎𝜔𝜔𝜔𝜇,𝑏.Além disso, n+(𝑣 ⊗ 𝑤) = 0. Temos então a seguinte definição.

44

Definição 2.4.8. Um vetor de ℓ-peso 𝑣 é dito um vetor de ℓ-peso máximo se 𝑣 for umautovetor para a ação de h e n+𝑣 = 0. Um g-módulo 𝑉 é dito um módulo de ℓ-pesomáximo se 𝑉 for gerado por um vetor de ℓ-peso máximo.

Proposição 2.4.9. 1. Todo módulo de ℓ-peso máximo é um módulo de peso. Alémdisso, se 𝜇𝜇𝜇 é o ℓ-peso máximo de um módulo de ℓ-peso máximo 𝑉 , então 𝑉𝜈 = 0somente se 𝜈 ≤ wt(𝜇𝜇𝜇);

2. Todo módulo de ℓ-peso máximo possui um único submódulo próprio maximal e, as-sim, um único quociente irredutível. Em particular, todo módulo de ℓ-peso máximoé indecomponível;

3. Dois módulos de ℓ-peso máximo são isomorfos somente se eles possuem o mesmoℓ-peso máximo.

Dado 𝜇𝜇𝜇 ∈ 𝑈(h)*, seja 𝑀(𝜇𝜇𝜇) o módulo de ℓ-peso máximo universal de ℓ-peso máximo𝜇𝜇𝜇. Em outras palavras, 𝑀(𝜇𝜇𝜇) é o quociente de 𝑈(g) pelo ideal a esquerda gerado por n+

e 𝑥 − 𝜇𝜇𝜇(𝑥) para todo 𝑥 ∈ 𝑈(h). Como um 𝑈(n−)-módulo, 𝑀(𝜇𝜇𝜇) é isomorfo ao módulolivre de posto um e, portanto, é não nulo. Denote por 𝑉 (𝜇𝜇𝜇) o único quociente irredutívelde 𝑀(𝜇𝜇𝜇). Temos então o seguinte corolário do Teorema 2.4.4.

Corolário 2.4.10. Sejam 𝜆1, . . . , 𝜆𝑚 ∈ 𝑃+ ∖ {0}, 𝑎1, . . . , 𝑎𝑚 ∈ C× e 𝜆𝜆𝜆 = ∏𝑚𝑗=1𝜔𝜔𝜔𝜆𝑗 ,𝑎𝑗

.Então,

𝑉 (𝜆𝜆𝜆) ∼= 𝑉 (𝜆1, 𝑎1) ⊗ . . .⊗ 𝑉 (𝜆𝑚, 𝑎𝑚).Em particular, 𝑉 (𝜆𝜆𝜆) tem dimensão finita para todo 𝜆𝜆𝜆 ∈ 𝒫+.

Note que, na Proposição 2.4.9 não afirmamos que um módulo de ℓ-peso máximo é ummódulo de ℓ-peso. No contexto clássico, módulos de peso máximo serem módulos de pesoé uma consequência do fato de que os elementos 𝑥±

𝑖 são autovetores para a ação adjuntade h. Entretanto, os elementos 𝑥±

𝑖 ⊗ 𝑡𝑟 não são autovetores para a ação adjunta de h.Os resultados a seguir completam a classificação dos g-módulos de dimensão finita

simples.

Teorema 2.4.11. Sejam 𝑉 um g-módulo de dimensão finita e 𝑣 um autovetor para aação de h tal que n+𝑣 = 0. Então, 𝑣 é um vetor de ℓ-peso máximo e seu ℓ-peso pertencea 𝒫+. Em particular, se 𝑉 é irredutível, 𝑉 ∼= 𝑉 (𝜆𝜆𝜆) para algum 𝜆𝜆𝜆 ∈ 𝒫+.

Corolário 2.4.12. Todo g-módulo de dimensão finita é um módulo de ℓ-peso.

2.4.1 Módulos de Weyl

Introduziremos dois g-módulos, definidos por Chari e Pressley, importantes no de-senvolvimento da teoria de representações de álgebras de Kac-Moody de tipo afim, oschamados módulos de Weyl globais e locais.

Definição 2.4.13. Seja 𝜆 ∈ 𝑃+. O módulo de Weyl global 𝑊𝑔(𝜆) é o g-módulo geradopor um vetor 𝑣 satisfazendo:

𝑥+𝑖 𝑡

𝑟𝑣 = 0, ℎ𝑖𝑣 = 𝜆(ℎ𝑖)𝑣, (𝑥−𝑖 )𝜆(ℎ𝑖)+1𝑣 = 0,

para todos 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑟 ∈ Z.

45

O módulo de Weyl global 𝑊𝑔(𝜆) é o módulo universal integrável gerado por um vetorde peso 𝜆 para h satisfazendo ��+𝑣 = 0.

Teorema 2.4.14. Para todo 𝜆 ∈ 𝑃+, o módulo de Weyl global 𝑊𝑔(𝜆) é um h-módulofinitamente gerado. Além disso, se 𝑣 é um vetor de peso máximo 𝜆 de 𝑊𝑔(𝜆), então𝑊𝑔(𝜆) = 𝑈(g[𝑡])𝑣.

Corolário 2.4.15. Sejam 𝜆 ∈ 𝑃+ e 𝑉 um quociente de 𝑊𝑔(𝜆) tal que 𝑉𝜆 tem dimensãofinita. Então, 𝑉 tem dimensão finita.

Definição 2.4.16. Dado 𝜆𝜆𝜆 ∈ 𝒫+, sejam 𝜆𝜆𝜆𝑖(𝑢) = ∑𝑟≥0 𝜆𝑖,𝑟𝑢

𝑟 e 𝜆 = wt(𝜆𝜆𝜆). Então, omódulo de Weyl local 𝑊 (𝜆𝜆𝜆) é o quociente de 𝑈(g) pelo ideal gerado por

𝑥+𝑖 𝑡

𝑟, (𝑥−𝑖 )𝜆(ℎ𝑖)+1, Λ𝑖,𝑟 − 𝜆𝑖,𝑠, Λ𝑖,𝜆(ℎ𝑖)Λ𝑖,−𝑠 − Λ𝑖,𝜆(ℎ𝑖)−𝑠,

para todos 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑟, 𝑠 ∈ Z e 0 < 𝑠 ≤ 𝜆(ℎ𝑖).

O módulo de Weyl local 𝑊 (𝜆𝜆𝜆) é o módulo universal de ℓ-peso máximo 𝜆𝜆𝜆 de dimensãofinita. Além disso, existe um único quociente irredutível de 𝑊 (𝜆𝜆𝜆), que denotaremos por𝑉 (𝜆𝜆𝜆).

2.4.2 Módulos de Weyl locais para álgebra de correntes

Considere o homomorfismo de álgebras de Lie g[𝑡] → g[𝑡] dado por

𝑥⊗ 𝑡𝑠 ↦→ 𝑥⊗ (𝑡− 𝑎)𝑠,

para todos os 𝑥 ∈ g, 𝑠 ≥ 0.Dado 𝜔𝜔𝜔𝜇,𝑎 ∈ 𝒫+, o g[𝑡]-módulo obtido do módulo de Weyl local 𝑊 (𝜔𝜔𝜔𝜇,𝑎) pelo pull back

deste isomorfismo será denotado por 𝑊 (𝜇) e será chamado de módulo de Weyl local paraa álgebra de correntes g[𝑡], ou simplismente módulo de Weyl.

Teorema 2.4.17. ([3, 9, 10, 18]) Dado 𝜆 = ∑𝑟𝑖=1 𝑚𝑖𝜔𝑖 ∈ 𝑃+, o módulo de Weyl 𝑊 (𝜆) é

isomorfo ao g[𝑡]-módulo gerado por um elemento 𝑤𝜆 satisfazendo

n+[𝑡]𝑤𝜆 = 0, h𝑡[𝑡]𝑤𝜆 = 0, ℎ𝑤𝜆 = 𝜆(ℎ)𝑤𝜆, (𝑥−𝑖 𝑡)𝑚𝑖+1𝑤𝜆 = 0,

para todos os ℎ ∈ h, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟.

Corolário 2.4.18. Seja 𝜆 ∈ 𝑃+. Então, qualquer g[𝑡]-módulo de dimensão finita 𝑉gerado por um elemento 𝑣 ∈ 𝑉 satisfazendo

n+[𝑡]𝑣 = 0, h𝑡[𝑡]𝑣 = 0, ℎ𝑣 = 𝜆(ℎ)𝑣, para todo ℎ ∈ h,

é um quociente de 𝑊 (𝜆).

Note que as relações que definem o módulo de Weyl 𝑊 (𝜆) são graduadas implicandono lema a seguir.

Lema 2.4.19. Sejam 𝜆 ∈ 𝑃+ e 𝑊 (𝜆) o módulo de Weyl de peso máximo 𝜆.

46

1. O módulo de Weyl 𝑊 (𝜆) admite uma Z≥0-graduação induzida pela graduação emg[𝑡],

𝑊 (𝜆) =⨁𝑟∈Z≥0

𝑊 (𝜆)[𝑟].

2. Para todo 𝑟 ≥ 0, os subespaços 𝑊 (𝜆)[𝑟] são g-submódulos de dimensão finita. Alémdisso,

𝑊 (𝜆) =⨁𝑟∈Z≥0𝜇∈𝑃

𝑊 (𝜆)[𝑟]𝜇,

onde 𝑊 (𝜆)[𝑟]𝜇 = 𝑊 (𝜆)𝜇⋂𝑊 (𝜆)[𝑟].

2.4.3 Módulos de Demazure

Sejam 𝒲 o grupo de Weyl de g, 𝑟 o posto de g e {Λ0,Λ1, . . . ,Λ𝑟} a base de h* dual a{ℎ0, ℎ1, . . . , ℎ𝑟}.

Lema 2.4.20. ([3, 11]) Seja 𝜇 ∈ 𝑃+. Então, existem 0 ≤ 𝑖𝑢 ≤ 𝑟 e 𝑤𝜇 ∈ 𝒲 tais que𝑤𝜇Λ𝑖𝜇|h= 𝜇.

Sejab = h ⊕ n+ ⊕ g ⊗ 𝑡C[𝑡]

a subálgebra de Borel de g.

Definição 2.4.21. Dados 𝑤 ∈ 𝒲 e Λ ∈ 𝑃+, seja 𝑣𝑤Λ ∈ 𝐿(Λ)𝑤Λ. O 𝑈(b)-submódulode 𝐿(Λ) gerado por 𝑣𝑤Λ, 𝑉𝑤(Λ) = 𝑈(b)𝑣𝑤Λ, é chamado de módulo de Demazure de 𝐿(Λ)associado a 𝑤.

Proposição 2.4.22. ([10, 11]) Sejam Λ ∈ 𝑃+ e 𝒲Λ = {𝑤 ∈ 𝒲 : 𝑤Λ = Λ}. Se 𝑤1, 𝑤2 ∈𝒲/𝒲Λ e 𝑤1 ≤ 𝑤2 pela ordem de Bruhat induzida em 𝒲/𝒲Λ, então 𝑉𝑤1(Λ) ⊆ 𝑉𝑤2(Λ),como submódulos de 𝐿(Λ).

47

Capítulo 3

Bases para módulos de Weyl locais

Neste capítulo apresentaremos uma base para o módulo de Weyl 𝑊 (𝜆) para o casog = sl𝑟+1 obtida em [3]. Além disso, para g = sl2, estudaremos o comportamento destasbases em relação a certas inclusões obtidas pela identificação dos módulos de Weyl commódulos de Demazure seguindo os resultados de [19]. Também, discutiremos alguns passosna direção de estender os resultados de [19] para g = sl3.

3.1 Uma base para o sl𝑟+1[𝑡]-módulo 𝑊 (𝜆)

Nesta seção descreveremos explicitamente uma base para 𝑊 (𝜆) utilizando os resulta-dos de [3] com pequenas variações na notação.

Para 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑗 ≤ 𝑟, denote por 𝑥+𝑖,𝑗 a matriz (𝑟+1)×(𝑟+1) com 1 na entrada (𝑖, 𝑗+1)

e 0 nas demais e por 𝑥−𝑖,𝑗 a matriz (𝑟 + 1) × (𝑟 + 1) com 1 na entrada (𝑗 + 1, 𝑖) e 0 nas

demais. Daí, {𝑥±𝑖,𝑗 : 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑗 ≤ 𝑟} é uma base de sl𝑟+1 e

n± =⨁

1≤𝑖≤𝑗≤𝑟C𝑥±

𝑖,𝑗.

Seja 𝒮 o conjunto de todos os elementos (ℓ, 𝑠), com 𝑠 = (𝑠(1) ≥ · · · ≥ 𝑠(ℓ)) ∈ Zℓ≥0,incluindo o elemento (0, ∅), onde ∅ é a partição vazia.

Dados (ℓ, 𝑠) ∈ 𝒮 e 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑗 ≤ 𝑟, defina x−𝑖,𝑗(ℓ, 𝑠) ∈ 𝑈(n−[𝑡]) por

x−𝑖,𝑗(ℓ, 𝑠) = (𝑥−

𝑖,𝑗𝑡𝑠(1)) · · · (𝑥−

𝑖,𝑗𝑡𝑠(ℓ)),

se ℓ > 0 e x−𝑖,𝑗(0, ∅) = 1

Fixe 𝑗 ∈ N. Seja (ℓ𝑗, 𝑠𝑗) = ((ℓ1, 𝑠1), · · · , (ℓ𝑗, 𝑠𝑗)) ∈ 𝒮𝑗 e defina

x−𝑗 (ℓ, 𝑠) = x−

1,𝑗(ℓ1, 𝑠1) · · · x−𝑗,𝑗(ℓ𝑗, 𝑠𝑗).

Denote por ℬ𝑟 o conjunto de todos os elementos x−1 (ℓ1, 𝑠1) · · · x−

𝑟 (ℓ𝑟, 𝑠𝑟), onde (ℓ𝑗, 𝑠𝑗) ∈𝒮𝑗 para 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑟.

De maneira mais explícita, escrevendo (ℓ𝑗, 𝑠𝑗) = ((ℓ1,𝑗, 𝑠1,𝑗), · · · , (ℓ𝑗,𝑗, 𝑠𝑗,𝑗)), o conjuntoℬ𝑟 consiste dos elementos

x−1,1(ℓ1,1, 𝑠1,1)x−

1,2(ℓ1,2, 𝑠1,2)x−2,2(ℓ2,2, 𝑠2,2)x−

1,3(ℓ1,3, 𝑠1,3) · · · x−𝑟,𝑟(ℓ𝑟,𝑟, 𝑠𝑟,𝑟).

48

Para 𝑚 ∈ Z≥0, seja

𝒮(𝑚) = {(ℓ, 𝑠) ∈ 𝒮 : ℓ > 0, 0 ≤ 𝑠(1) ≤ 𝑚− ℓ} ∪ {(0, ∅)},

e defina 𝒮(𝑚) = ∅ se 𝑚 < 0.Dado 𝜆 = ∑𝑟

𝑖=1 𝑚𝑖𝜔𝑖 ∈ 𝑃+, seja 𝒮𝑟(𝜆) o conjunto de todos os (𝜆, ℓ𝑗, 𝑠𝑗), com (ℓ𝑗, 𝑠𝑗) ∈𝒮𝑗 para 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑟, tais que ℓ𝑖,𝑗 = 0 ou

𝑠𝑖,𝑗(1) ≤ 𝑚𝑖 +𝑟∑

𝑘=𝑗+1ℓ𝑖+1,𝑘 −

𝑟∑𝑘=𝑗

ℓ𝑖,𝑘,

para todo 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑗 ≤ 𝑟.Denote por ℬ𝑟(𝜆) o subconjunto dos elementos de ℬ𝑟 tais que (ℓ𝑗, 𝑠𝑗) ∈ 𝒮𝑟(𝜆).O teorema a seguir foi provado em [7] para o caso 𝑟 = 1 e em [3] para 𝑟 ≥ 2. Uma

demonstração alternativa foi apresentada em [8] para 𝑟 = 1.

Teorema 3.1.1. Seja 𝜆 ∈ 𝑃+. Então o conjunto {𝑏𝑤𝜆 : 𝑏 ∈ ℬ𝑟(𝜆)} é uma base de 𝑊 (𝜆).

3.2 O caso r=1

Nesta seção especializaremos no caso g = sl2. Escreva 𝑥±𝑖,𝑖 = 𝑥± e ℎ𝑖 = ℎ. Seja 𝜔

o elemento de h* tal que 𝜔(ℎ) = 1 e escreva 𝑃+ = Z≥0𝜔. Se 𝜆 = 𝑛𝜔 ∈ 𝑃+ escreva𝑊 (𝑛) = 𝑊 (𝜆) e 𝑤𝑛 = 𝑤𝜆.

Denote por 𝑒𝑖, 𝑓𝑖, 𝑖 = 0, 1 os geradores de Chevalley de sl2 dados por 𝑒0 = 𝑥−𝑡, 𝑒1 =𝑥+, 𝑓0 = 𝑥+𝑡−1, 𝑓1 = 𝑥−. Sejam 𝛼0, 𝛼1 as raízes simples de sl2 e 𝛼∨

0 = 𝑐 − ℎ, 𝛼∨1 = ℎ as

corraízes correspondentes.

3.2.1 Diagramas de Young

Podemos também simplificar a notação dos conjuntos de parâmetros definidos ante-riormente. Note que, se 𝜆 = 𝑛𝜔, 𝑛 ∈ Z≥0, então 𝒮1(𝜆) = 𝒮(𝑛) e escreva seus elementoscomo 𝜉 = (𝑛, ℓ, 𝑠).

Mais precisamente, os elementos de 𝒮(𝑛) são os 𝜉 = (𝑛, ℓ, 𝑠), com 𝑠 = (𝑠(1) ≥ · · · ≥𝑠(ℓ)), tais que

𝑠(1) ≤ 𝑛− ℓ,

e a partição vazia (𝑛, 0, ∅).Defina |𝜉|= |𝑠|= ∑ℓ

𝑖=1 𝑠(𝑖).Podemos identificar os elementos 𝜉 = (𝑛, ℓ, 𝑠) com diagramas de Young limitados da

seguinte forma:Dado 𝜉 = (𝑛, ℓ, 𝑠), o diagrama de Young correspondente será formado por ℓ linhas

justificadas a esquerda, onde a 𝑖-ésima linha contém 𝑠(𝑖) quadrados, e limitado por umretângulo ℓ× (𝑛− ℓ). Note que nesta definição uma linha pode não conter quadrados.

Exemplo 3.2.1. A partição 𝜉 = (7, 4, 𝑠) com 𝑠 = (2, 1, 0, 0) corresponde ao diagrama

49

4

3

Seja 𝒮(𝑎, 𝑏) o conjunto de todos os elementos de 𝒮(𝑎 + 𝑏) da forma 𝜉 = (𝑎 + 𝑏, 𝑎, 𝑠).Em outras palavras, 𝒮(𝑎, 𝑏) é o conjunto de todos os diagramas de Young limitados porum retângulo 𝑎× 𝑏.

Dado 𝜉 = (𝑛, ℓ, 𝑠) ∈ 𝒮(ℓ, 𝑛− ℓ), defina

𝐵(𝜉) =(

ℓ∏𝑖=1

𝑥−𝑡𝑠(𝑖))𝑤𝑛

Assim, pelo Teorema 3.1.1 , o conjunto {𝐵(𝜉) : 𝜉 ∈ 𝒮(𝑛)} é uma base para 𝑊 (𝑛).

Exemplo 3.2.2. Para 𝑛 = 3, 𝒮(3) = 𝒮(3, 0) ∪ 𝒮(2, 1) ∪ 𝒮(1, 2) ∪ 𝒮(0, 3).𝒮(3, 0) = {𝜉 = (3, 0, 𝑠) : 𝑠 = ∅},𝒮(2, 1) = {𝜉 = (3, 1, 𝑠) : 𝑠 ∈ {(0), (1), (2)}},𝒮(1, 2) = {𝜉 = (3, 2, 𝑠) : 𝑠 ∈ {(0, 0), (1, 0), (1, 1)}},𝒮(0, 3) = {𝜉 = (3, 3, 𝑠) : 𝑠 ∈ {(0, 0, 0)}}.Assim, 𝑊 (3) tem base𝜉 = (3, 0, ∅), 𝐵(𝜉) = 𝑤3,𝜉 = (3, 1, (0)), 𝐵(𝜉) = (𝑥−)𝑤3,𝜉 = (3, 1, (1)), 𝐵(𝜉) = (𝑥−𝑡)𝑤3,𝜉 = (3, 1, (2)), 𝐵(𝜉) = (𝑥−𝑡2)𝑤3,𝜉 = (3, 2, (0, 0)), 𝐵(𝜉) = (𝑥−.𝑥−)𝑤3,𝜉 = (3, 2, (1, 0)), 𝐵(𝜉) = (𝑥−𝑡.𝑥−)𝑤3,𝜉 = (3, 2, (1, 1)), 𝐵(𝜉) = (𝑥−𝑡.𝑥−𝑡)𝑤3,𝜉 = (3, 3, (0, 0, 0)), 𝐵(𝜉) = (𝑥−.𝑥−.𝑥−)𝑤3.

3.2.2 Base CPL

Com o intuito de estudar o comportamento das bases dos módulo de Weyl em relação asinclusões (3.2.6) e (3.2.7) introduziremos um fator de normalização e faremos uma pequenamodificação em sua definição. Os elementos serão parametrizados pelos complementos daspartições em 𝒮(𝑛) no lugar das próprias partições.

Dado 𝜉 = (𝑛, ℓ, 𝑠) ∈ 𝒮(𝑛), com 𝑠 = (𝑠(1), · · · , 𝑠(ℓ)) defina 𝜉𝑐 = (𝑛, ℓ, 𝑠𝑐) ∈ 𝒮(𝑛), onde𝑠𝑐 = (𝑛−ℓ−𝑠(ℓ), · · · , 𝑛−ℓ−𝑠(1)). Note que 𝜉𝑐 corresponde ao complementar do diagramade Young associado a 𝜉 com respeito ao retângulo que o limita rotacionado 180∘.

Exemplo 3.2.3. Seja 𝜉 = (7, 4, 𝑠), com 𝑠 = (2, 1, 0, 0) como no exemplo 3.2.1. Então𝜉𝑐 = (7, 4, 𝑠𝑐), com 𝑠𝑐 = (3, 3, 2, 1) corresponde ao diagrama

50

4

3

Definição 3.2.4. Dado 𝜉 = (𝑛, ℓ, 𝑠) ∈ 𝒮(𝑛), seja 𝑀𝑗 := card{𝑖 : 𝑠(𝑖) = 𝑗} a multiplici-dade de 𝑗 em 𝜉 para 𝑗 ≥ 0.

Defina𝑧(𝜉) := (−1)[ 𝑛

4 ]−[ ℓ2 ]∏𝑛−ℓ

𝑗=0 𝑀𝑗!, (3.2.1)

onde [𝑥] é o maior inteiro menor ou igual a 𝑥.Por fim, defina

𝐶(𝜉) = 𝑧(𝜉)𝐵(𝜉𝑐) = 𝑧(𝜉)(

ℓ∏𝑖=1

𝑥−𝑡𝑛−ℓ−𝑠(𝑖))𝑤𝑛. (3.2.2)

Podemos reescrever (3.2.2) em termos de potências divididas 𝑋(𝑝) = 𝑋𝑝/𝑝!:

𝐶(𝜉) = 𝜖(𝜉)⎛⎝𝑛−ℓ∏𝑗=0

(𝑥−𝑡𝑛−ℓ−𝑗)(𝑀𝑗)

⎞⎠𝑤𝑛, (3.2.3)

onde 𝜖(𝜉) = (−1)[ 𝑛4 ]−[ ℓ

2 ].Note que, como 𝑧(𝜉) = 0 para todo 𝜉 ∈ 𝒮(𝑛) e 𝐶(𝜉) = 𝑧(𝜉)𝐵(𝜉𝑐), o conjunto 𝒞(𝑛) =

{𝐶(𝜉) : 𝜉 ∈ 𝒮(𝑛)} também é uma base para 𝑊 (𝑛) que chamaremos de base CPL de 𝑊 (𝑛).

Exemplo 3.2.5. A base CPL de 𝑊 (3) é composta pelos elementos:𝜉 = (3, 0, ∅), 𝐶(𝜉) = 𝑤3,𝜉 = (3, 1, (0)), 𝐶(𝜉) = (𝑥−𝑡2)𝑤3,𝜉 = (3, 1, (1)), 𝐶(𝜉) = (𝑥−𝑡)𝑤3,𝜉 = (3, 1, (2)), 𝐶(𝜉) = −(𝑥−)𝑤3,𝜉 = (3, 2, (0, 0)), 𝐶(𝜉) = −(𝑥−𝑡)(2)𝑤3,𝜉 = (3, 2, (1, 0)), 𝐶(𝜉) = −(𝑥−𝑡.𝑥−)𝑤3,𝜉 = (3, 2, (1, 1)), 𝐶(𝜉) = −(𝑥−)(2)𝑤3,𝜉 = (3, 3, (0, 0, 0)), 𝐶(𝜉) = −(𝑥−)(3)𝑤3.

3.2.3 Inclusões de módulos de Weyl

Sejam Λ0,Λ1 os pesos fundamentais de sl2, ou seja, Λ𝑖(𝛼∨𝑗 ) = 𝛿𝑖𝑗, para 𝑖, 𝑗 ∈ {0, 1}.

Dado 𝑛 ∈ Z≥0, escreva Λ��, onde �� = 0, se 𝑛 é par, e �� = 1, se 𝑛 é ímpar.Dado 𝛼 ∈ h*, defina o seguinte elemento de 𝐴𝑢𝑡(h*):

𝑡𝛼(𝜆) = 𝜆+ (𝜆, 𝛿)𝛼− (𝜆, 𝛼)𝛿 − 12(𝜆, 𝛿)(𝛼, 𝛼)𝛿, para 𝜆 ∈ h*. (3.2.4)

51

O subgrupo de translação 𝑇 de 𝒲 é definido como 𝑇 = {𝑡𝑗𝛼1 : 𝑗 ∈ Z}. Temos que𝒲 = 𝒲 n 𝑇 , onde 𝒲 = {1, 𝜎1} é o grupo de Weyl de sl2, e a ação de 𝒲 em 𝑇 é dadapor 𝑤𝑡𝛽𝑤−1 = 𝑡𝑤𝛽, 𝑤 ∈ 𝒲 , 𝑡𝛽 ∈ 𝑇 . Seja 𝜔1 = 𝛼1/2 o peso fundamental de sl2 e defina𝑇𝑒𝑥 = {𝑡𝑗𝜔1 : 𝑗 ∈ Z}.

Definição 3.2.6. O grupo de Weyl estendido 𝒲𝑒𝑥 é o produto semidireto

𝒲𝑒𝑥 = 𝒲 n 𝑇𝑒𝑥,

onde 𝒲 age em 𝑇𝑒𝑥 por 𝑤𝑡𝛽𝑤−1 = 𝑡𝑤𝛽, 𝑤 ∈ 𝒲 , 𝑡𝛽 ∈ 𝑇𝑒𝑥.

Considere o elemento 𝜏 = 𝜎1𝑡−𝜔1 ∈ 𝒲𝑒𝑥, que satisfaz

𝜏𝛼0 = 𝛼1, 𝜏𝛼1 = 𝛼0, 𝜏𝜌 = 𝜌,

onde 𝜌 ∈ h* é o único elemento tal que 𝜌(𝛼𝑖) = 1, para 𝑖 = 0, 1, e 𝜌(𝑑) = 0. Tambémtemos que 𝒲𝑒𝑥 = 𝒲 o 𝒯 , onde 𝒯 = {1, 𝜏} é o subgrupo gerado por 𝜏 .

Proposição 3.2.7. ([16])

1. O conjunto dos pesos de 𝐿(Λ0) é {𝑡𝑗𝛼1(Λ0) − 𝑑𝛿 : 𝑗 ∈ Z, 𝑑 ∈ Z≥0}

2. dim(𝐿(Λ0)𝑡𝑗𝛼1 (Λ0)−𝑑𝛿

)= 𝑝(𝑑), onde 𝑝(𝑑) é o número de partições sem termos nulos

de 𝑑.

As relações a seguir serão utilizadas ao longo do texto. As demonstrações são apre-sentadas em [12] utilizando a linguagem de operadores de vertex.

Lema 3.2.8. Seja 𝑣Λ0 um vetor de peso máximo de 𝐿(Λ0). Então,

1. (𝑥−𝑡𝑚)(𝑙)(𝑥+𝑡−𝑚)(𝑚)𝑣Λ0 = (𝑥+𝑡−𝑚)(𝑚−𝑙)𝑣Λ0 , para todos os 1 ≤ 𝑙 ≤ 𝑚;

2. ∏𝑟𝑖=1 𝑥

±𝑡2𝑖−1∏𝑟𝑖=1 𝑥

∓𝑡−2𝑖+1𝑣Λ0 = 𝑣Λ0 , para todo 𝑟 ∈ Z≥0;

3. se 𝑝 > 𝑞 ≥ 0 e 𝑣 ∈ 𝐿(Λ0) satisfazem 𝑥−𝑡𝑝𝑣 = ℎ𝑡𝑝−𝑞𝑣 = 0, temos que

𝑥−𝑡𝑝(𝑥+𝑡−𝑞)(𝑠)𝑣 = −(𝑥+𝑡−𝑞)(𝑠−2)𝑥+𝑡𝑝−2𝑞𝑣 para 𝑠 ≥ 2;

4. para 𝑟 ∈ 2Z≥0 e 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑟2 , temos que⎛⎝ 𝑟

2 +𝑗∏𝑖=1

𝑥−𝑡2𝑖−1

⎞⎠(𝑥+𝑡−𝑟)(2𝑗)

⎛⎝ 𝑟2 −𝑗∏𝑖=1

𝑥+𝑡−2𝑖+1

⎞⎠ 𝑣Λ0 = (−1)𝑗𝑣Λ0 ;

5. para 𝑟 ∈ 2Z≥0 − 1 e 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑟−12 , temos que⎛⎜⎝

𝑟+12 +𝑗∏𝑖=1

𝑥−𝑡2𝑖−1

⎞⎟⎠(𝑥+𝑡−𝑟)(2𝑗+1)

⎛⎜⎝𝑟−1

2 −𝑗∏𝑖=1

𝑥+𝑡−2𝑖+1

⎞⎟⎠ 𝑣Λ0 = (−1)𝑗𝑣Λ0 ;

6. (∏𝑟𝑖=1 𝑥

−𝑡2𝑖−1) (𝑥+𝑡−𝑟)(𝑟)𝑣Λ0 = (−1)[ 𝑟2 ]𝑣Λ0 , para todo 𝑟 ∈ Z≥0.

52

Se 𝑤 = 𝑢𝜏 ∈ 𝒲𝑒𝑥, defina 𝑉𝑤(Λ) = 𝑉𝑢(𝜏Λ). Será conveniente utilizar a notação de [10]definindo

𝐷(1, 𝜆) = 𝑉𝑡−𝜆(Λ0).

Assim, se 𝜆 ∈ 𝑄, 𝐷(1, 𝜆) são módulos de Demazure para 𝐿(Λ0), e, se 𝜆 = 0 ∈ 𝑃/𝑄,𝐷(1, 𝜆) são módulos de Demazure para 𝐿(Λ1). Além disso, o módulo 𝐷(1, 𝜆) é sl2[𝑡]-estável se e somente se 𝜆 ∈ 𝑃+ [10].

O teorema a seguir identifica os módulos de Demazure sl2[𝑡]-estáveis com os módulosde Weyl 𝑊 (𝜆).

Teorema 3.2.9. ([3], [8], [15]) O módulo de Weyl 𝑊 (𝑛) é isomorfo ao módulo de Dema-zure 𝐷(1, 𝑛𝜔) como módulos para a álgebra de correntes sl2[𝑡].

Este isomorfismo identifica o gerador 𝑤𝑛 de 𝑊 (𝑛) com um vetor de 𝐿(Λ��) que, porabuso de notação, também denotaremos por 𝑤𝑛. Pelo Corolário 1.5.1 de [3] (também peloCorolário 1 de [10]) o peso 𝛾 de 𝑤𝑛 em 𝐿(Λ��) é um 𝒲-conjugado de Λ��. Como ℎ(𝑤𝑛) =𝑛𝑤𝑛, temos que 𝛾(ℎ) = 𝑛 e, por (3.2.4), 𝛾 = 𝑡𝑛𝜔(Λ0), se 𝑛 for par, e 𝛾 = 𝑡(𝑛−1)𝜔(Λ1) se 𝑛for ímpar.

Como o espaço de peso 𝐿(Λ��)𝛾 tem dimensão 1, a identificação do vetor gerador 𝑤𝑛com um vetor de 𝐿(Λ��) é única a menos de multiplicação por escalar. Fixaremos aseguinte escolha de 𝑤𝑛:

𝑤𝑛 =

⎧⎪⎨⎪⎩(𝑥+𝑡−

𝑛2)(𝑛

2 )𝑣Λ0 se 𝑛 é par ;(

𝑥+𝑡−𝑛+1

2)(𝑛−1

2 )𝑣Λ1 se 𝑛 é ímpar ,

(3.2.5)

onde 𝑣Λ�� é o vetor gerador de 𝐿(Λ��). A Proposição 3.4.2 implicará 𝑤𝑛 = 0 para 𝑛 par e ocaso ímpar seguirá dos argumentos da Seção 3.5. Identificaremos 𝑊 (𝑛) com 𝐷(1, 𝑛𝜔) peloisomorfismo definido por esta escolha de 𝑤𝑛 e consideraremos 𝑊 (𝑛) como um subespaçode 𝐿(Λ��).

Seja 𝑛 ∈ Z≥0 par. Então 𝑡−𝑛𝜔 ≤ 𝑡−(𝑛+2)𝜔 = 𝜎1𝜎0𝑡−𝑛𝜔. Pela Proposição 2.4.22, temosque

𝑊 (𝑛) ∼= 𝑉𝑡−𝑛𝜔(Λ0) ⊆ 𝑉𝑡−(𝑛+2)𝜔(Λ0) ∼= 𝑊 (𝑛+ 2).

Para 𝑛 ∈ Z≥0 ímpar, como 𝑡−𝜔 = 𝜎1𝜏 , temos que

𝑊 (𝑛) ∼= 𝑉𝑡−𝑛𝜔(Λ0) = 𝑉𝑡−(𝑛−1)𝜔𝜎1(𝜏Λ0) = 𝑉𝑡−(𝑛−1)𝜔𝜎1(Λ1)

e, daí,𝑊 (𝑛) ∼= 𝑉𝑡−(𝑛−1)𝜔𝜎1(Λ1) ⊆ 𝑉𝑡−(𝑛+1)𝜔𝜎1(Λ1) ∼= 𝑊 (𝑛+ 2).

Temos, então, as seguintes cadeias de inclusões:

𝑊 (0) →˓ 𝑊 (2) →˓ · · · →˓ 𝑊 (2𝑛) →˓ · · · →˓ 𝐿(Λ0). (3.2.6)

𝑊 (1) →˓ 𝑊 (3) →˓ · · · →˓ 𝑊 (2𝑛+ 1) →˓ · · · →˓ 𝐿(Λ1). (3.2.7)

53

3.2.4 Estabilidade

A inclusão dos módulos de Weyl 𝑊 (𝑛) →˓ 𝑊 (𝑛 + 2) levanta a questão de como oselementos das bases CPL se comportam. Mais precisamente, se também temos a inclusão𝒞(𝑛) →˓ 𝒞(𝑛+ 2).

Primeiramente, defina uma função 𝜙 : 𝒮(𝑛) → 𝒮(𝑛+ 2) dada por

𝜙(𝑛, ℓ, 𝑠) = (𝑛+ 2, ℓ+ 1, 𝑠), (3.2.8)

onde 𝑠 é a partição 𝑠 acrescida de um 0 na (ℓ+ 1)-ésima posição. Note que 𝜙 é injetiva.

Lema 3.2.10. Seja 𝜉 ∈ 𝒮(𝑛). Então, o vetor 𝐶(𝜉) ∈ 𝒞(𝑛) e o vetor 𝐶(𝜙(𝜉)) ∈ 𝒞(𝑛 + 2)pertencem ao mesmo espaço de peso de 𝐿(Λ��)

Demonstração. Por (3.2.2) e (3.2.5) temos que

wt(𝐶(𝜉)) = wt(𝑤𝑛) − ℓ𝛼 + 𝛿ℓ∑𝑖=1

(𝑛− ℓ− 𝑠(𝑖))

ewt(𝑤𝑛+2) = wt(𝑤𝑛) + 𝛼− (𝑛+ 1)𝛿.

Daí,

wt (𝐶 (𝜙 (𝜉))) = wt(𝑤𝑛+2) − (ℓ+ 1)𝛼 + 𝛿ℓ+1∑𝑖=1

(𝑛− ℓ+ 1 − 𝑠(𝑖))

= wt(𝑤𝑛+2) − (ℓ+ 1)𝛼 + 𝛿ℓ∑𝑖=1

(𝑛− ℓ− 𝑠(𝑖)) + (𝑛+ 1)𝛿

= wt(𝑤𝑛) − ℓ𝛼 + 𝛿ℓ∑𝑖=1

(𝑛− ℓ− 𝑠(𝑖))

= wt(𝐶(𝜉))

Entretanto, não é verdade que em geral 𝐶(𝜉) e 𝐶(𝜙(𝜉)) são iguais como elementos de𝐿(Λ��), como mostra o seguinte exemplo:

Exemplo 3.2.11. Seja 𝜉 = (4, 2, (2, 1)) e, assim, 𝜙(𝜉) = (6, 3, (2, 1, 0)). Usando asrelações do Lema 3.2.8 temos

𝐶(𝜉) = 𝑧(𝜉)𝑥−𝑥−𝑡(𝑥+𝑡2)(2)𝑣Λ0 = 13(ℎ𝑡−3 − (ℎ𝑡−1

)3)𝑣Λ0

𝐶(𝜙(𝜉)) = 𝑧(𝜙(𝜉))𝑥−𝑡𝑥−𝑡2𝑥−𝑡3(𝑥+𝑡3)(3)𝑣Λ0 = (ℎ𝑡−3 + ℎ𝑡−2ℎ𝑡−1)𝑣Λ0

Os vetores 𝐶(𝜉) e 𝐶(𝜙(𝜉)) possuem peso Λ0 − 3𝛿. Além disso, os vetores ℎ−3𝑣Λ0 ,ℎ−2ℎ−1𝑣Λ0 , (ℎ−1)3)𝑣Λ0 formam uma base de 𝐿(Λ0)Λ0−3𝛿 e portanto 𝐶(𝜉) = 𝐶(𝜙(𝜉)).

◇

54

Porém, 𝐶(𝜉) = 𝐶(𝜙(𝜉)) para 𝜉 pertencendo a um certo subconjunto de 𝒮(𝑛) formadopor elementos “estáveis”. Defina

𝒮𝑒𝑠𝑡(𝑛) :=⎧⎨⎩{𝜉 = (𝑛, ℓ, 𝑠) ∈ 𝒮(𝑛) : |𝜉|≤ min{𝑛− ℓ, ℓ}} se 𝑛 é par;

{𝜉 = (𝑛, ℓ, 𝑠) ∈ 𝒮(𝑛) : |𝜉|≤ min{𝑛− ℓ− 1, ℓ}} se 𝑛 é ímpar.(3.2.9)

e 𝒮𝑒𝑠𝑡 := ⋃𝑛≥0

𝒮𝑒𝑠𝑡(𝑛). Note que, se 𝜉 ∈ 𝒮𝑒𝑠𝑡(𝑛), então 𝜙(𝜉) ∈ 𝒮𝑒𝑠𝑡(𝑛+ 2).

Os elementos 𝜉 ∈ 𝒮(𝑛)𝑒𝑠𝑡 são chamados de estáveis porque 𝐶(𝜉) ∈ 𝒞(𝑛 + 2𝑘), paratodo 𝑘 ∈ Z≥0.

O teorema a seguir foi provado em [19] e é o resultado principal desta dissertação.

Teorema 3.2.12. Seja 𝑛 ∈ Z≥0 e 𝜉 = (𝑛, ℓ, 𝑠) ∈ 𝒮𝑒𝑠𝑡. Então,

𝐶(𝜉) = 𝐶(𝜙(𝜉))

como elementos de 𝐿(Λ��).

3.3 Demonstração do teorema principal

O primeiro passo será provar o Teorema 3.2.12 para o caso 𝜉 = (𝑛, ℓ, 𝑠) ∈ 𝒮𝑒𝑠𝑡 com 𝑛par e ℓ = 𝑛/2. Neste caso, o peso de 𝐶(𝜉) em 𝐿(Λ0) é Λ0 − |𝑠|𝛿.

Definição 3.3.1. A álgebra de Heisenberg de ordem 𝑛 ≥ 0 (incluindo 𝑛 = ∞) é a álgebrade Lie H𝑛 com base {𝐶,𝑃𝑖, 𝑄𝑖 : 𝑖 ≤ 𝑛} e comutador dado por

[𝑃𝑖, 𝑄𝑗] = 𝐶𝛿𝑖,𝑗, [𝐶,𝑃𝑖] = [𝐶,𝑄𝑖] = 0, para todos os 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛.

Para todo 𝑎 = 0 ∈ C, a álgebra de Heisenberg H∞ possui uma representação irredutível𝜌𝑎 no espaço de polinômios em infinitas variáveis C[𝑥1, 𝑥2, . . . ] chamada de representaçãode relações de comutação canônicas, bastante utilizada em física quântica, definida por

𝜌𝑎(𝑃𝑖) = 𝑎𝜕

𝜕𝑥𝑖, 𝜌𝑎(𝑄𝑖) = 𝑥𝑖, 𝜌𝑎(𝐶) = 𝑎.

Sejam H+∞ e H−

∞ as subálgebras de H∞ geradas pelos 𝑃𝑖 e 𝑄𝑖, respectivamente.

Proposição 3.3.2. ([16]) A representação 𝜌𝑎 é isomorfa ao 𝑈(H−∞)-módulo livre de posto

1.

Proposição 3.3.3. A subálgebra t = ⨁𝑛∈ZCℎ𝑡𝑛 ⊕ C𝑐 de sl2 é isomorfa a álgebra de

Heisenberg H∞, com o isomorfismo dado por

𝑃𝑖 ↦→ ℎ𝑡−𝑖, 𝑄𝑖 ↦→ ℎ𝑡𝑖 𝐶 ↦→ 𝑐.

Além disso, o subespaço ⨁𝑝≥0 𝐿(Λ0)Λ0−𝑝𝛿 é isomorfo à representação 𝜌1.

55

Assim, cada elemento de ⨁𝑝≥0 𝐿(Λ0)Λ0−𝑝𝛿 pode ser unicamente escrito como um po-linômio nas variáveis ℎ𝑡−1, ℎ𝑡−2, . . . , agindo em 𝑣Λ0 . Em particular, para 𝜉 = (𝑛, 𝑛2 , 𝑠),existe um único polinômio 𝑓𝜉 tal que

𝐶(𝜉) = 𝑓𝜉(ℎ𝑡−1, ℎ𝑡−2, . . . )𝑣Λ0 .

A estratégia para demostração do Teorema 3.2.12 neste caso particular será determinar𝑓𝜉 explicitamente e, então, mostrar que 𝑓𝜉 = 𝑓𝜙(𝜉) para 𝜉 ∈ 𝒮𝑒𝑠𝑡.

Dado 𝑟 ≥ 1, defina [𝑟] = {1, 2, . . . , 𝑟}. Seja 𝑠 ∈ 𝒮 uma partição tal que |𝑠|= 𝑟 e𝑠𝑢𝑝(𝑠) = 𝑘, onde 𝑠𝑢𝑝(𝑠) é o suporte se 𝑠, ou seja, 𝑠(𝑘) = 0 e 𝑠(𝑘 + 1) = 0. Uma partiçãode [𝑟] de tipo 𝑠 é uma coleção 𝐵 = {𝐵1, 𝐵2, . . . , 𝐵𝑘} de subconjuntos disjuntos de [𝑟] talque ∪𝑘

𝑖=1𝐵𝑖 = [𝑟] e |𝐵𝑖|= 𝑠𝑖 para todo 𝑖 ∈ [𝑘]. Denote por 𝒮(𝑠) o conjunto de todas aspartições de [𝑟] de tipo 𝑠.

Seja 𝐵 = {𝐵1, 𝐵2, . . . , 𝐵𝑘} ∈ 𝒮(𝑠). Dados 𝜎 ∈ 𝑆𝑟 (grupo simétrico em 𝑟 letras),𝑝 = (𝑝1, 𝑝2, . . . , 𝑝𝑟) e 𝑞 = (𝑞1, 𝑞2, . . . , 𝑞𝑟) ∈ Z𝑟≥0, defina o seguinte elemento de 𝑈(t):

𝑊 (𝐵, 𝜎; 𝑝, 𝑞) =𝑘∏𝑗=1

ℎ𝑡∑

𝑖∈𝐵𝑗(𝑝𝑖−𝑞𝜎(𝑖))

.

Defina também

ℋ(𝑠; 𝑝, 𝑞) = 1𝑠1! . . . 𝑠𝑘!

∑𝐵∈𝒮(𝑠)𝜎∈𝑆𝑟

𝑊 (𝐵, 𝜎; 𝑝, 𝑞)

Teorema 3.3.4. Seja 𝑟 ≥ 1. Para todo par (𝑝, 𝑞) e vetor 𝑣 ∈ 𝐿(Λ0), com 𝑝 = (𝑝1, 𝑝2, . . . , 𝑝𝑟)e 𝑞 = (𝑞1, 𝑞2, . . . , 𝑞𝑟) ∈ Z𝑟≥0, satisfazendo:

1. 𝑝𝑖 < 𝑞𝑗 para todo 𝑖, 𝑗 ∈ [𝑟],

2. ∑𝑖∈𝐴 𝑝𝑖 ≥ ∑𝑗∈𝐵 𝑞𝑗 para todos os subconjuntos 𝐴,𝐵 de [𝑟] tais que |𝐴|= |𝐵|+1,

3. 𝑥−𝑡(∑

𝑖∈𝐴𝑝𝑖−∑

𝑗∈𝐵𝑞𝑗)𝑣 = 0 para todos os subconjuntos 𝐴,𝐵 de [𝑟] tais que |𝐴|=

|𝐵|+1,

temos (𝑟∏𝑖=1

𝑥−𝑡𝑝𝑖

)⎛⎝ 𝑟∏𝑗=1

𝑥+𝑡−𝑞𝑗

⎞⎠ 𝑣 = (−1)𝑟∑

|𝑠|=𝑟𝑃 (𝑠)ℋ(𝑠; 𝑝, 𝑞)𝑣,

onde 𝑃 (𝑠) = ∏𝑠𝑢𝑝(𝑠)𝑖=1 𝑠𝑖! (𝑠𝑖 − 1)!.

Demonstração. Usaremos indução em 𝑟.Para 𝑟 = 1, considere 𝑥−𝑡𝑝1𝑥+𝑡−𝑞1𝑣. Como 𝑥−𝑡𝑝1𝑣 = 0 e 𝑝1 = 𝑞1, temos

𝑥−𝑡𝑝1𝑥+𝑡−𝑞1𝑣 = [𝑥−𝑡𝑝1 , 𝑥+𝑡−𝑞1 ]𝑣 = −ℎ𝑡𝑝1−𝑞1𝑣.

56

Para 𝑟 ≥ 2, considere (∏𝑟𝑖=1 𝑥

−𝑡𝑝𝑖)(∏𝑟𝑗=1 𝑥

+𝑡−𝑞𝑗 )𝑣. Como 𝑥−𝑡𝑝𝑟𝑣 = 0 e 𝑝𝑟 = 𝑞𝑗 paratodo 𝑗, podemos substituir 𝑥−𝑡𝑝𝑟(∏𝑟

𝑗=1 𝑥+𝑡−𝑞𝑗 )𝑣 por

[𝑥−𝑡𝑝𝑟 ,𝑟∏𝑗=1

𝑥+𝑡−𝑞𝑗 ]𝑣 = (−1)𝑟∑𝑙=1

⎛⎝ 𝑟∏𝑗=𝑙+1

𝑥+𝑡−𝑞𝑗

⎞⎠ℎ𝑡𝑝𝑟−𝑞𝑙

⎛⎝𝑙−1∏𝑗=1

𝑥+𝑡−𝑞𝑗

⎞⎠ 𝑣. (3.3.1)

Também, podemos fazer a substituição

ℎ𝑡𝑝𝑟−𝑞𝑙

⎛⎝𝑙−1∏𝑗=1

𝑥+𝑡−𝑞𝑗

⎞⎠ 𝑣 =𝑙−1∏𝑗=1

𝑥+𝑡−𝑞𝑗 (ℎ𝑡𝑝𝑟−𝑞𝑙𝑣) + 2𝑙−1∑𝑚=1

𝑙−1∏𝑗=1𝑗 =𝑚

𝑥+𝑡−𝑞𝑗 (𝑥+𝑡𝑝𝑟−𝑞𝑙−𝑞𝑚)𝑣

em (3.3.1) obtendo(

𝑟∏𝑖=1

𝑥−𝑡𝑝𝑖

)⎛⎝ 𝑟∏𝑗=1

𝑥+𝑡−𝑞𝑗

⎞⎠ 𝑣 =(𝑟−1∏𝑖=1

𝑥−𝑡𝑝𝑖

)𝑥−𝑡𝑝𝑟

⎛⎝ 𝑟∏𝑗=1

𝑥+𝑡−𝑞𝑗

⎞⎠ 𝑣=(𝑟−1∏𝑖=1

𝑥−𝑡𝑝𝑖

)(−1)

𝑟∑𝑙=1

⎛⎝ 𝑟∏𝑗=𝑙+1

𝑥+𝑡−𝑞𝑗

⎞⎠ℎ𝑡𝑝𝑟−𝑞𝑙

⎛⎝𝑙−1∏𝑗=1

𝑥+𝑡−𝑞𝑗

⎞⎠ 𝑣=(−1)

(𝑟−1∏𝑖=1

𝑥−𝑡𝑝𝑖

)𝑟∑𝑙=1

⎛⎝ 𝑟∏𝑗=𝑙+1

𝑥+𝑡−𝑞𝑗

⎞⎠ 𝑙−1∏𝑗=1

𝑥+𝑡−𝑞𝑗 (ℎ𝑡𝑝𝑟−𝑞𝑙𝑣)

− 2(𝑟−1∏𝑖=1

𝑥−𝑡𝑝𝑖

)𝑟∑𝑙=1

𝑙−1∑𝑚=1

𝑙−1∏𝑗=1𝑗 =𝑚

𝑥+𝑡−𝑞𝑗 (𝑥+𝑡𝑝𝑟−𝑞𝑙−𝑞𝑚)𝑣

Por fim,

(−1)(

𝑟∏𝑖=1

𝑥−𝑡𝑝𝑖

)⎛⎝ 𝑟∏𝑗=1

𝑥+𝑡−𝑞𝑗

⎞⎠ 𝑣 =𝑟∑𝑙=1

(𝑟−1∏𝑖=1

𝑥−𝑡𝑝𝑖

)⎛⎜⎜⎝ 𝑟∏𝑗=1𝑗 =𝑙

𝑥+𝑡−𝑞𝑗

⎞⎟⎟⎠ (ℎ𝑡𝑝𝑟−𝑞𝑙𝑣)

+ 2𝑟∑𝑙=1

𝑙−1∑𝑚=1

(𝑟−1∏𝑖=1

𝑥−𝑡𝑝𝑖

)𝑙−1∏𝑗=1𝑗 =𝑚

𝑥+𝑡−𝑞𝑗 (𝑥+𝑡𝑝𝑟−𝑞𝑙−𝑞𝑚)𝑣

(3.3.2)

Considere a primeira soma na Equação (3.3.2). Fixe 𝑙 ∈ [𝑟] e denote por 𝑝′ e 𝑞′ oselementos de N𝑟−1 obtido de 𝑝 e 𝑞 retirando a entrada 𝑝𝑟 de 𝑝 e 𝑞𝑙 de 𝑞. Escreva também𝑣′ = ℎ𝑡𝑝𝑟−𝑞𝑙𝑣.

É fácil ver que o par (𝑝′, 𝑞′) e o vetor 𝑣′ satisfazem as hipóteses 1 e 2. Agora, dados𝐴 ⊂ [𝑟 − 1] e 𝐵 ⊂ [𝑟] ∖ {𝑙} com |𝐴|= |𝐵|+1, temos

𝑥−𝑡(∑

𝑖∈𝐴𝑝𝑖−∑

𝑗∈𝐵𝑞𝑗)𝑣′ =

[𝑥−𝑡(

∑𝑖∈𝐴

𝑝𝑖−∑

𝑗∈𝐵𝑞𝑗), ℎ𝑡𝑝𝑟−𝑞𝑙

]𝑣

=2𝑥−𝑡(∑

𝑖∈𝐴∪{𝑟} 𝑝𝑖−∑

𝑗∈𝐵∪{𝑙} 𝑞𝑗)𝑣 = 0

57

e assim a hipótese (3) também é verificada. Pela hipótese de indução obtemos

𝑟−1∏𝑖=1

𝑥−𝑡𝑝𝑖

𝑟∏𝑗=1𝑗 =𝑙

𝑥+𝑡−𝑞𝑗 (ℎ𝑡𝑝𝑟−𝑞𝑙𝑣) = (−1)𝑟−1 ∑|𝑠′|=𝑟−1

𝑃 (𝑠′)ℋ(𝑠′; 𝑝′, 𝑞′)ℎ𝑡𝑝𝑟−𝑞𝑙𝑣 (3.3.3)

Para a segunda soma na Equação (3.3.2) o tratamento é análogo. Fixe 𝑙,𝑚 ∈ [𝑟] com𝑚 < 𝑙 e seja 𝑞′′ o elemento de N𝑟−1 obtido de 𝑞 retirando as entradas 𝑞𝑙 e 𝑞𝑚 de 𝑞 eadcionando na última posição a entrada 𝑞𝑙 + 𝑞𝑚 − 𝑝𝑟. Seja também 𝑝′′ = 𝑝′ e 𝑣′′ = 𝑣.Novamente, o par (𝑝′′, 𝑞′′) e o vetor 𝑣′′ satisfazem as hipóteses 1-3 e pela hipótese deindução

𝑟−1∏𝑖=1

𝑥−𝑡𝑝𝑖

𝑟∏𝑗=1𝑗 =𝑙,𝑚

𝑥+𝑡−𝑞𝑗 (𝑥+𝑡𝑝𝑟−𝑞𝑙−𝑞𝑚)𝑣 = (−1)𝑟−1 ∑|𝑠′′|=𝑟−1

𝑃 (𝑠′′)ℋ(𝑠′′; 𝑝′′, 𝑞′′)𝑣. (3.3.4)

Juntando as Equações (3.3.3) e (3.3.4) em (3.3.2) temos

(𝑟∏𝑖=1

𝑥−𝑡𝑝𝑖

)⎛⎝ 𝑟∏𝑗=1

𝑥+𝑡−𝑞𝑗

⎞⎠ 𝑣 =(−1)𝑟𝑟∑𝑙=1

∑|𝑠′|=𝑟−1

𝑃 (𝑠′)ℋ(𝑠′; 𝑝′, 𝑞′)ℎ𝑡𝑝𝑟−𝑞𝑙𝑣

+ 2(−1)𝑟𝑟∑𝑙=1

𝑙−1∑𝑚=1

∑|𝑠′′|=𝑟−1

𝑃 (𝑠′′)ℋ(𝑠′′; 𝑝′′, 𝑞′′)𝑣(3.3.5)

Fixe 𝑠 ∈ 𝒮 com |𝑠|= 𝑟 e 𝑠𝑢𝑝(𝑠) = 𝑘. Como os elementos 𝑥+𝑡−𝑞𝑗 comutam entre si,assim como os elementos 𝑥−𝑡𝑝𝑖 , podemos ordenar o produto (∏𝑟

𝑖=1 𝑥−𝑡𝑝𝑖)(∏𝑟

𝑗=1 𝑥+𝑡−𝑞𝑗 ) de

forma que, para determinar 𝑃 (𝑠), é suficiente calcular o coeficiente to termo

ℎ𝑡∑𝑠1

𝑖=1(𝑝𝑖−𝑞𝑖)ℎ𝑡∑𝑠1+𝑠2

𝑖=𝑠1+1(𝑝𝑖−𝑞𝑖) . . . ℎ𝑡∑𝑟

𝑖=𝑠1+···+𝑠𝑘−1+1(𝑝𝑖−𝑞𝑖)𝑣 (3.3.6)

no lado direito da Equação (3.3.2).Se 𝑠𝑘 = 1, o elemento em (3.3.6) só ocorre na primeira soma da Equação (3.3.2) e com

coeficiente 𝑃 (𝑠′), 𝑠′ = (𝑠1, 𝑠2, . . . , 𝑠𝑘−1) e |𝑠′|= 𝑟 − 1. Daí,

𝑃 (𝑠) = 𝑃 (𝑠) =𝑟−1∏𝑖=1

𝑠𝑖! (𝑠𝑖 − 1)! =𝑟∏𝑖=1

𝑠𝑖! (𝑠𝑖 − 1)! , (3.3.7)

pois 𝑠𝑘 = 1.Se 𝑠𝑘 ≥ 2, o elemento em (3.3.6) ocorre apenas na segunda soma da equação (3.3.2)

para todos 𝑙,𝑚 tais que 𝑠1 + · · · + 𝑠𝑘−1 + 1 ≤ 𝑚 < 𝑙 ≤ 𝑟.Cada par (𝑙,𝑚) contribui com um coeficiente 𝑃 (𝑠′′), com 𝑠′′ = (𝑠1, 𝑠2, . . . , 𝑠𝑠−1, 𝑠𝑠 − 1)

58

e |𝑠′′|= 𝑟 − 1. Como 𝑟 −∑𝑘−1𝑖=1 𝑠𝑖 = 𝑠𝑘, existem

(𝑠𝑘

2

)possíveis pares (𝑙,𝑚) e assim

𝑃 (𝑠) = 2(𝑠𝑘2

)𝑃 (𝑠′)

= 𝑠𝑘(𝑠𝑘 − 1)(𝑘−1∏𝑖=1

𝑠𝑖! (𝑠𝑖 − 1)!)

(𝑠𝑘 − 1)! (𝑠𝑘 − 2)!

=𝑘∏𝑖=1

𝑠𝑖! (𝑠𝑖 − 1)! .

(3.3.8)

Por fim, as partições 𝑠′ e 𝑠′′ em (3.3.3) e (3.3.4) esgotam as possibilidades para o termo(3.3.6) com 𝑠 = 𝑟 e então

(𝑟∏𝑖=1

𝑥−𝑡𝑝𝑖

)⎛⎝ 𝑟∏𝑗=1

𝑥+𝑡−𝑞𝑗

⎞⎠ 𝑣 = (−1)𝑟∑

|𝑠|=𝑟𝑃 (𝑠)ℋ(𝑠; 𝑝, 𝑞)𝑣.

Sejam 𝑠 uma partição com 𝑠𝑢𝑝(𝑠) = 𝑟 ≥ 1, 𝑠′ uma partição com 𝑠𝑢𝑝(𝑠′) = 𝑟′ e|𝑠′|= 𝑟 e 𝐵 = {𝐵1, 𝐵2, . . . , 𝐵𝑟′} um elemento de 𝒮(𝑠′). Defina os seguintes elementos de𝑈(ℎ⊗ 𝑡−1C[𝑡−1])

𝑊 (𝐵, 𝑠) =𝑟′∏𝑖=1

ℎ𝑡−∑

𝑗∈𝐵𝑖𝑠𝑗 , e (3.3.9)

ℋ(𝑠′, 𝑠) =∑

𝐵∈𝒮(𝑠′)𝑊 (𝐵, 𝑠) (3.3.10)

Exemplo 3.3.5. 1. Se 𝑠′ = (3), 𝑠 = (𝑠1, 𝑠2, 𝑠3), então ℋ(𝑠′, 𝑠) = ℎ𝑡−(𝑠1+𝑠2+𝑠3).

2. Se 𝑠′ = (2, 1), 𝑠 = (𝑠1, 𝑠2, 𝑠3), então ℋ(𝑠′, 𝑠) = ℎ𝑡−(𝑠1+𝑠2)ℎ𝑡−𝑠3 + ℎ𝑡−(𝑠1+𝑠3)ℎ𝑡−𝑠2 +ℎ𝑡−(𝑠2+𝑠3)ℎ𝑡−𝑠1 ,

3. Se 𝑠′ = (1, 1, 1), 𝑠 = (𝑠1, 𝑠2, 𝑠3), então ℋ(𝑠′, 𝑠) = ℎ𝑡−𝑠1ℎ𝑡−𝑠2ℎ𝑡−𝑠3 .

O seguinte corolário é crucial na demonstração do Teorema 3.2.12:

Corolário 3.3.6. Seja 𝑟 ≥ 1. Fixe uma partição 𝑠 com 𝑠𝑢𝑝(𝑠) = 𝑟. Então, para todo𝑘 ≥ |𝑠|, temos(

𝑟∏𝑖=1

𝑥−𝑡𝑘−𝑠𝑖

)(𝑥+𝑡−𝑘

)(𝑟)𝑣Λ0 = (−1)𝑟

∑|𝑠′|=𝑟

𝑃 ′(𝑠′)ℋ(𝑠′, 𝑠)𝑣Λ0 , (3.3.11)

onde 𝑃 ′(𝑠′) é dado por

𝑃 ′(𝑠′) =𝑠𝑢𝑝(𝑠′)∏𝑖=1

(𝑠′𝑖 − 1)! .

59

Demonstração. Considere 𝑝 = (𝑝1, 𝑝2, . . . , 𝑝𝑟) e 𝑞 = (𝑞1, 𝑞2, . . . , 𝑞𝑟) com 𝑝𝑖 = 𝑘−𝑠𝑖 e 𝑞𝑖 = 𝑘para todo 𝑖 ∈ [𝑟].

O par (𝑝, 𝑞) e o vetor 𝑣Λ0 satisfazem as hipóteses do Teorema 3.3.4.Para 1, 𝑝𝑖 = 𝑘 − 𝑠𝑖 < 𝑘 = 𝑞𝑖 para todo 𝑖 ∈ [𝑟], pois 𝑠𝑢𝑝(𝑠) = 𝑟.Para 2, se 𝐴 ⊂ [𝑟] é um conjunto não-vazio, temos∑

𝑖∈𝐴𝑝𝑖 =

∑𝑖∈𝐴

(𝑘 − 𝑠𝑖) ≥ |𝐴|𝑘 − |𝑠|≥ |𝐴|𝑘 − 𝑘 = (|𝐴|−1)𝑘 ≥∑𝑗∈𝐵

𝑞𝑗

para todo 𝐵 ⊂ [𝑟] tal que |𝐴|= |𝐵|+1.E para 3, o vetor 𝑣Λ0 satisfaz 𝑥−𝑡𝑝𝑣Λ0 = 0 para todo 𝑝 ≥ 0.Assim, pelo Teorema 3.3.4, obtemos

(𝑟∏𝑖=1

𝑥−𝑡𝑘−𝑠𝑖

)(𝑥+𝑡−𝑘

)𝑟𝑣Λ0 = (−1)𝑟

∑|𝑠′|=𝑟

𝑃 (𝑠′)ℋ(𝑠′; 𝑝, 𝑞)𝑣Λ0 (3.3.12)

com 𝑃 (𝑠′) = ∏𝑠𝑢𝑝(𝑠′)𝑖=1 𝑠𝑖! (𝑠′

𝑖 − 1)!.Mas, como 𝑝𝑖 = 𝑘 − 𝑠𝑖 e 𝑘 = 𝑞𝑖 para todo 𝑖 ∈ [𝑟],

𝑊 (𝐵, 𝜎; 𝑝, 𝑞) =𝑘∏𝑗=1

ℎ𝑡∑

𝑖∈𝐵𝑗(𝑝𝑖−𝑞𝜎(𝑖))

=𝑘∏𝑗=1

ℎ𝑡∑

𝑖∈𝐵𝑗(𝑘−𝑠𝑖−𝑘)

=𝑘∏𝑗=1

ℎ𝑡−∑

𝑖∈𝐵𝑗𝑠𝑖 = 𝑊 (𝐵, 𝑠).

(3.3.13)

e daí

ℋ(𝑠′; 𝑝, 𝑞) = 1𝑠1! . . . 𝑠𝑘!

∑𝐵∈𝒮(𝑠)𝜎∈𝑆𝑟

𝑊 (𝐵, 𝜎; 𝑝, 𝑞)

= 1𝑠1! . . . 𝑠𝑘!

∑𝐵∈𝒮(𝑠)

𝑟!𝑊 (𝐵, 𝑠)

= 𝑟!𝑠1! . . . 𝑠𝑘!

ℋ(𝑠′, 𝑠).

(3.3.14)

Substituir (3.3.14) em (3.3.12) conclui a demonstração.

Note que, enquanto o lado esquerdo da equação (3.3.11) depende do valor de 𝑘, o ladodireito é independente dele. As propriedades de estabilidades que estudamos aqui sãoderivadas do fato dessas duas expressões serem iguais para todo 𝑘 ≥ |𝜆|.

Podemos agora deduzir o caso especial do Teorema 3.2.12 para 𝜉 = (𝑛, 𝑛2 , 𝑠) com 𝑛par.

60

Primeiramente, dada uma partição 𝑠 ∈ 𝒮 com 𝑠𝑢𝑝(𝑠) = 𝑟, denote por 𝑀𝑗(𝑠) =card {𝑖 : 𝑠𝑖 = 𝑗} a multiplicidade da parte 𝑗 em 𝑠 para cada 𝑗 ≥ 1.

Se 𝑟 ≥ 1, defina o seguinte elemento de 𝑈(ℎ⊗ 𝑡−1C[𝑡−1]):

𝑓𝑠(ℎ𝑡−1, ℎ𝑡−2, . . . ) = (−1)𝑟∏𝑗≥1 𝑀𝑗(𝑠)!

∑|𝑠′|=𝑟

𝑃 ′(𝑠′)ℋ(𝑠′, 𝑠). (3.3.15)

Se 𝑟 = 0, ou seja, 𝑠 é a partição vazia defina 𝑓𝑠 = 1.Seja 𝜉 = (𝑛, 𝑛2 , 𝑠) ∈ 𝒮𝑒𝑠𝑡(𝑛). Lembre que o peso afim de 𝐶(𝜉) é Λ0 − |𝑠|𝛿. A expressão

de 𝐶(𝜉) como um polinômio nas variáveis ℎ𝑡−1, ℎ𝑡−2, . . . agindo em 𝑣Λ0 é dada no próximoteorema.

Teorema 3.3.7. Seja 𝑛 par e seja 𝜉 = (𝑛, 𝑛2 , 𝑠) ∈ 𝒮𝑒𝑠𝑡. Então,

𝐶(𝜉) = 𝑓𝑠(ℎ𝑡−1, ℎ𝑡−2, . . . )𝑣Λ0 . (3.3.16)

Demonstração. Seja 𝑟 = 𝑠𝑢𝑝(𝑠) e 𝑘 = 𝑛2 .

Se 𝑟 = 0, então 𝐶(𝜉) = (𝑥−𝑡𝑘)(𝑛−𝑘)𝑤𝑛 = (𝑥−𝑡𝑘)(𝑘)(𝑥+𝑡−𝑘)(𝑘)𝑣Λ0 = 𝑣Λ0 , pelo Lema 3.2.8.Se 𝑟 ≥ 1, pelo Lema 3.2.8 temos que(

𝑟∏𝑖=1

𝑥−𝑡𝑘−𝑠𝑖

)(𝑥−𝑡𝑘)(𝑛−𝑘−𝑟)𝑤𝑛 =

(𝑟∏𝑖=1

𝑥−𝑡𝑘−𝑠𝑖

)(𝑥−𝑡𝑘)(𝑘−𝑟)(𝑥+𝑡−𝑘)(𝑘)𝑣Λ0

=(

𝑟∏𝑖=1

𝑥−𝑡𝑘−𝑠𝑖

)(𝑥+𝑡−𝑘)(𝑟)𝑣Λ0 .

Agora, usando o Corolário 3.3.6 na equação anterior, obtemos

(𝑟∏𝑖=1

𝑥−𝑡𝑘−𝑠𝑖

)(𝑥−𝑡𝑘)(𝑛−𝑘−𝑟)𝑤𝑛 =

(𝑟∏𝑖=1

𝑥−𝑡𝑘−𝑠𝑖

)(𝑥+𝑡−𝑘)(𝑟)𝑣Λ0

=(−1)𝑟∑

|𝑠′|=𝑟𝑃 ′(𝑠′)ℋ(𝑠′, 𝑠)𝑣Λ0 ,

(3.3.17)

Mas, por (3.3.15), temos(𝑟∏𝑖=1

𝑥−𝑡𝑘−𝑠𝑖

)(𝑥−𝑡𝑘)(𝑛−𝑘−𝑟)𝑤𝑛 =(−1)𝑟

∑|𝑠′|=𝑟

𝑃 ′(𝑠′)ℋ(𝑠′, 𝑠)𝑣Λ0

=𝑓𝑠(ℎ𝑡−1, ℎ𝑡−1, . . . )∏𝑗≥1

𝑀𝑗(𝑠)! 𝑣Λ0 .(3.3.18)

Por fim, usando (3.2.2),

𝐶(𝜉) = 𝑧(𝜉)(

𝑟∏𝑖=1

𝑥−𝑡𝑘−𝑠𝑖

)(𝑥−𝑡𝑘)(𝑛−𝑘−𝑟)𝑤𝑛

=𝑧(𝜉)𝑓𝑠(ℎ𝑡−1, ℎ𝑡−1, . . . )∏𝑗≥1

𝑀𝑗(𝑠)! 𝑣Λ0

=𝑓𝑠(ℎ𝑡−1, ℎ𝑡−1, . . . )𝑣Λ0 .

(3.3.19)

61

Observe que 𝑓𝑠 depende apenas da parte não nula de 𝑠 e de 𝑟 = 𝑠𝑢𝑝(𝑠) e não do valorde 𝑛. Portanto, o Teorema 3.3.7 implica que o Teorema 3.2.12 é válido para este caso.

Corolário 3.3.8. Seja 𝑛 par e 𝜉 = (𝑛, 𝑛2 , 𝑠) ∈ 𝒮𝑒𝑠𝑡. Então, 𝐶(𝜉) = 𝐶(𝜙(𝜉)).

3.4 O caso geral para 𝑛 par

Nesta seção iremos mostrar como reduzir o caso 𝜉 = (𝑛, 𝑘, 𝑠) geral ao caso 𝑘 = 𝑛/2utilizando os chamados operadores de Frenkel e Kac. Utilizaremos alguns resultados de[5] adaptados ao nosso contexto.

Seja Φ = {𝛼1,−𝛼1} o conjunto de raízes de sl2 e defina 𝐸±𝛼1 = 𝑥±. Seja𝜋 : sl2 → gl(𝑉 ) uma representação de sl2 em um espaço vetorial 𝑉 com decomposição emespaços de peso 𝑉 = ⨁

𝜇∈h* 𝑉𝜇.

Se 𝛼 = 𝛾 + 𝑘𝛿, 𝛾 ∈ Φ, 𝑘 ∈ Z é uma raiz real de sl2, defina 𝐸𝛼 = 𝐸𝛾𝑡𝑘 e

𝑟𝜋𝛼 = 𝑒−𝜋(𝐸𝛼)𝑒𝜋(𝐸−𝛼)𝑒−𝜋(𝐸𝛼).

O operador 𝑟𝜋𝛼 é um automorfismo de 𝑉 tal que 𝑟𝜋𝛼(𝑉𝜇) = 𝑉𝜎𝛼𝜇, onde 𝜎𝛼 ∈ 𝒲 é a reflexãodefinida por 𝛼.

Agora, definiremos para cada 𝛽 ∈ 𝑄 = Z𝛼1 o operador de translação 𝑇 𝜋𝛽 . Para 𝛾 ∈ Φ,defina

𝑇 𝜋𝛾 = 𝑟𝜋𝛿−𝛾𝑟𝜋𝛾

e seja 𝑇 𝜋𝑝𝛾 = (𝑇 𝜋𝛾 )𝑝 para todo 𝑝 ∈ Z≥0. Estes operadores satisfazem 𝑇 𝜋𝛽 (𝑉𝜇) = 𝑉𝑡𝛽(𝜇) para𝜇 ∈ h*, 𝛽 ∈ 𝑄.

Se a representação 𝜋 : sl2 → gl(𝑉 ) for o módulo irredutível 𝐿(Λ0) denotaremos orespectivo operador de translação por 𝑇𝛽, omitindo o 𝜋. Caso a representação seja arepresentação adjunta de sl2 escreveremos 𝑇 𝑎𝑑𝛽 . Note que 𝑇 𝑎𝑑𝛽 é um automorfismo de sl2.

As propriedades dos operadores de translação que utilizaremos são as seguintes:

Proposição 3.4.1. ([12])

1. 𝑇 𝑎𝑑𝑝𝛼1(𝑥+𝑡𝑘) = 𝑥+𝑡𝑘−2𝑝, para todos os 𝑝, 𝑘 ∈ Z;

2. 𝑇 𝑎𝑑𝑝𝛼1(𝑥−𝑡𝑘) = 𝑥−𝑡𝑘+2𝑝, para todos os 𝑝, 𝑘 ∈ Z;

3. 𝑇𝑝𝛼1𝑇𝑞𝛼1 = 𝑇(𝑝+𝑞)𝛼1 , para todos os 𝑝, 𝑘 ∈ Z;

4. 𝑇𝑝𝛼1𝑋𝑇−𝑝𝛼1(𝑣) = 𝑇 𝑎𝑑𝑝𝛼1(𝑋)𝑣, para todos os 𝑋 ∈ sl2, 𝑣 ∈ 𝐿(Λ0), 𝑝 ∈ Z;

5. 𝑇𝑝𝛼1(𝑣Λ0) = ∏𝑝𝑖=1 𝑥

+𝑡−(2𝑖−1)𝑣Λ0 , para todo 𝑝 ≥ 0;

6. 𝑇𝑝𝛼1(𝑣Λ0) = ∏−𝑝𝑖=1 𝑥

−𝑡−(2𝑖−1)𝑣Λ0 , para todo 𝑝 ≤ 0.

A proposição a seguir é o passo fundamental para reduzir o caso geral ao caso 𝑘 = 𝑛/2:

Proposição 3.4.2. Seja 𝑛 par. Então,

1. 𝑤𝑛 = (−1)[ 𝑛4 ]𝑇𝑛𝛼1

2(𝑣Λ0).

62

2. Dado 0 ≤ ℓ ≤ 𝑛, seja 𝛾 = (𝑛2 − ℓ)𝛼1. Então,

(−1)[ 𝑛4 ]𝑤𝑛 = (−1)[ ℓ

2 ]𝑇𝛾(𝑤2ℓ). (3.4.1)

3. Dado 𝜉 = (𝑛, ℓ, 𝑠) ∈ 𝒮𝑒𝑠𝑡, seja 𝜉† = (2ℓ, ℓ, 𝑠) e 𝛾(𝜉) = (𝑛2 − ℓ). Então, 𝜉† ∈ 𝒮𝑒𝑠𝑡, e

𝐶(𝜉) = 𝑇𝛾(𝜉)(𝐶(𝜉†)

). (3.4.2)

Demonstração. Para 1, escreva 𝑟 = 𝑛2 . Por 3.4.1, 𝑇𝑟𝛼1(𝑣Λ0) = ∏𝑟

𝑖=1 𝑥+𝑡−(2𝑖−1) e daí,

wt(𝑇𝑟𝛼1(𝑣Λ0)) = Λ0 + 𝑟𝛼1 − 𝑟2𝛿. Mas pela Proposição 3.2.7, 𝑑𝑖𝑚(𝐿(Λ0)Λ0+𝑟𝛼1−𝑟2𝛿) = 1 e,então, devemos ter

𝑤𝑛 = (𝑥+𝑡−𝑟)(𝑟)𝑣Λ0 = 𝑎𝑟∏𝑖=1

𝑥+𝑡−(2𝑖−1)𝑣Λ0 (3.4.3)

para algum 𝑎 ∈ C. Mas, pelo item 2 de 3.2.8,𝑟∏𝑖=1

𝑥−𝑡2𝑖−1𝑟∏𝑖=1

𝑥+𝑡−(2𝑖−1)𝑣Λ0 = 𝑣Λ0 (3.4.4)

e, pelo item 6 de 3.2.8,𝑟∏𝑖=1

𝑥−𝑡2𝑖−1(𝑥+𝑡−𝑟)(𝑟) = (−1)[ 𝑟2 ]𝑣Λ0 . (3.4.5)

Portanto, 𝑎 = (−1)[ 𝑟2 ] e

𝑤𝑛 = (−1)[ 𝑟2 ]

𝑟∏𝑖=1

𝑥+𝑡−(2𝑖−1)𝑣Λ0 = (−1)[ 𝑚4 ]𝑇𝑚𝛼1

2(𝑣Λ0). (3.4.6)

Para 2, basta usar (3.4.1) e 1:

(−1)[ 𝑚4 ]𝑤𝑚 = 𝑇𝑚𝛼1

2(𝑣Λ0) = 𝑇( 𝑚

2 −ℓ)𝛼1 (𝑇ℓ𝛼1(𝑣Λ0)) = (−1)[ ℓ2 ]𝑇𝛾(𝑤2ℓ) (3.4.7)

Para 3, escreva 𝑣 = 𝑇−𝛾(𝜉)(𝑤𝑚) e note que

𝑧(𝜉)𝑇−𝛾(𝜉)

(ℓ∏𝑖=1

𝑥−𝑡𝑛−ℓ−𝑠𝑖

)𝑇𝛾(𝜉)(𝑣) = 𝑧(𝜉)𝑇−𝛾(𝜉)

(ℓ∏𝑖=1

𝑥−𝑡𝑛−ℓ−𝑠𝑖

)𝑤𝑚 = 𝑇−𝛾(𝜉)(𝐶(𝜉)).

(3.4.8)Agora, usando (3.2.2),

𝑇−𝛾(𝜉)(𝐶(𝜉)) = 𝑧(𝜉)(

ℓ∏𝑖=1

𝑇 𝑎𝑑−𝛾(𝜉)

(𝑥−𝑡𝑛−ℓ−𝑠𝑖

))(𝑣) (3.4.9)

Mas, por (3.4.1), 𝑇 𝑎𝑑−𝛾(𝜉)

(𝑥−𝑡𝑛−ℓ−𝑠𝑖

)= 𝑥−𝑡ℓ−𝑠𝑖 e, pela definição, 𝑧(𝜉) = (−1)[ 𝑛

4 ]−[ ℓ2 ]𝑧(𝜉†).

Além disso, por 2, 𝑣 = 𝑇−𝛾(𝜉)(𝑤𝑚) = (−1)[ 𝑛4 ]−[ ℓ

2 ]𝑤2ℓ. Então,

𝑇−𝛾(𝜉)(𝐶(𝜉)) = 𝑧(𝜉)(

ℓ∏𝑖=1

𝑥−𝑡ℓ−𝑠𝑖

)(𝑣) = 𝑧(𝜉†)

(ℓ∏𝑖=1

𝑥−𝑡ℓ−𝑠𝑖

)𝑤2ℓ = 𝐶(𝜉). (3.4.10)

Aplicando 𝑇𝛾(𝜉)(𝐶(𝜉)) na equação acima obtemos 3.

63

Temos agora as ferramentas necessárias para demonstrar o Teorema 3.2.12 para 𝑚par.

Demonstração. Dado 𝜉 = (𝑚, ℓ, 𝑠) ∈ 𝒮𝑒𝑠𝑡, lembre que 𝜙(𝜉) = (𝑚+ 2, ℓ+ 1, 𝑠).Daí,

𝛾(𝜙(𝜉)) = (𝑚+ 22 − (ℓ+ 1)) = (𝑚2 − ℓ) = 𝛾(𝜉), e (3.4.11)

𝜙(𝜉†) = (2ℓ+ 2, ℓ+ 1, 𝑠) = 𝜙(𝜉)†. (3.4.12)

Pela Proposição 3.4.2 e pelas observações anteriores,

𝐶(𝜙(𝜉)) = 𝑇𝛾(𝜉)(𝐶(𝜙(𝜉)†)

)= 𝑇𝛾(𝜉)

(𝐶(𝜙(𝜉†))

). (3.4.13)

Mas, pelo Corolário 3.3.8, 𝐶(𝜙(𝜉†)) = 𝐶(𝜉†). Finalmente,

𝐶(𝜙(𝜉)) = 𝑇𝛾(𝜉)(𝐶(𝜙(𝜉†))

)= 𝑇𝛾(𝜉)

(𝐶(𝜉†)

)= 𝐶(𝜉). (3.4.14)

3.5 O caso geral para 𝑛 ímpar

Nesta seção iremos utilizar automorfismo de sl2 para reduzir o caso 𝑛 ímpar ao caso𝑛 par.

Seja 𝜛 um automorfismo de sl2 tal que 𝜛h = h. A ação induzida de 𝜛 em h* é dadapor 𝜛𝜆(ℎ) = 𝜆(𝜛−1ℎ) para 𝜆 ∈ h* e ℎ ∈ h.

Dado um sl2-módulo 𝑉 , seja 𝑉 𝜛 o módulo com ação induzida dada por

𝑥𝑣 = 𝜛−1(𝑥)𝑣, para 𝑥 ∈ sl2, 𝑣 ∈ 𝑉. (3.5.1)

Note que, se 𝜛1 e 𝜛2 são automorfismos, temos que 𝑉 𝜛1𝜛2 = (𝑉 𝜛2)𝜛1 .Estudaremos as ações induzidas no módulo 𝐿(Λ0) por dois automorfismos particulares

𝜏 , 𝜑 de sl2.Primeiro, lembre que 𝜏 = 𝜎1𝑡−𝜔1 ∈ 𝒲𝑒𝑥 é um automorfismo do diagrama de Dynkin

de sl2 que permuta 𝛼0, 𝛼1 e fixa 𝜌. Defina o automorfismo 𝜏 de sl2 dado pelas relações

𝜏(𝑒𝑖) = 𝑒1−𝑖, 𝜏(𝑓𝑖) = 𝑓1−𝑖, 𝜏(𝛼∨𝑖 ) = 𝛼∨

1−𝑖, e 𝜏(𝜌∨) = 𝜌∨, para 𝑖 = 0, 1,

onde 𝜌∨ é o único elemento de h tal que 𝛼0(𝜌∨) = 𝛼1(𝜌∨) = 1 e Λ0(𝜌∨) = 0.Note que 𝜏 é uma involução e

𝜏(𝑥+𝑡𝑚) = 𝑥−𝑡𝑚+1, 𝜏(𝑥−𝑡𝑚) = 𝑥+𝑡𝑚−1, 𝜏(ℎ𝑡𝑚) = −ℎ𝑡𝑚 + 𝑐𝛿𝑚,0, para todo 𝑚 ∈ Z.

Além disso, 𝜏(h) = h e a ação induzida em h* coincide com 𝜏 .Para definir o segundo automorfismo 𝜑 precisaremos do seguinte lema:

64

Lema 3.5.1. ([16]) Seja 𝜛 um automorfismo de sl2 que preserva a forma de Killing.Então, 𝜛 pode ser estendido a um automorfismo �� de sl2 definindo ��(𝑐) = 𝑐, ��(𝑑) = 𝑑e ��(𝑋𝑡𝑚) = ��(𝑋)𝑡𝑚, para 𝑋 ∈ sl2,𝑚 ∈ Z.

Considere a involução 𝜑 de sl2 definida por

𝜑(𝑥+) = 𝑥−, 𝜑(𝑥−) = 𝑥+, 𝜑(ℎ) = −ℎ.

O automorfismo 𝜑 preserva a forma de Killing e, pelo Lema 3.5.1, podemos estender 𝜑 aum automorfismo 𝜑 de sl2. Então, 𝜑 preserva h e a ação induzida de 𝜑 em h* coincidecom a reflexão simples 𝜎1.

Com a notação dos geradores de Chevalley de sl2, temos a seguinte caracterização domódulo irredutível 𝐿(Λ):

Proposição 3.5.2. ([12]) Dado Λ ∈ 𝑃+, o sl2-módulo irredutível 𝐿(Λ) é isomorfo aosl2-módulo gerado por um vetor 𝑣Λ satisfazendo:

ℎ𝑣Λ = Λ(ℎ)𝑣Λ, para todo ℎ ∈ ℎ;𝑒𝑖𝑣Λ = 0, para todo 𝑖 ∈ {0, 1};

(𝑓𝑖)Λ(𝛼∨𝑖 )+1𝑣Λ = 0, para todo 𝑖 ∈ {0, 1}.

Proposição 3.5.3. Sejam 𝐿(Λ0)𝜏 e 𝐿(Λ0)𝜑 os módulos com ação induzida por 𝜏 e 𝜑 em𝐿(Λ0), respectivamente. Então:

1. 𝐿(Λ0)𝜏 ∼= 𝐿(Λ1);

2. 𝐿(Λ0)𝜑 ∼= 𝐿(Λ0).

Demonstração. Para 1, considere o homomorfismo de 𝑈(sl2)-módulos 𝐿(Λ1) → 𝐿(Λ0)𝜏que envia 𝑣Λ1 a 𝑣Λ0 . Para mostrar que este homomorfismo está bem definido, precisamosapenas verificar que 𝑣Λ0 ∈ 𝐿(Λ0)𝜏 satisfaz as relações da Proposição 3.5.2 para Λ = Λ1.Como 𝜏 permuta 𝑒0 com 𝑒1 e 𝑓0 com 𝑓1, e além disso, age em h* como 𝜏 , as três relaçõessão satisfeitas. Como 𝑣Λ0 gera 𝐿(Λ0)𝜏 esta transformação linear é sobrejetiva. Mas 𝐿(Λ1)é irredutível e, portanto, a transformação linear é um isomorfismo.

Para 2, defina uma função 𝐿(Λ0) → 𝐿(Λ0)𝜑 enviando 𝑣Λ0 a 𝑣Λ0 . Para mostrar queesta função se estende a uma transformação linear em todo o 𝐿(Λ0), basta verificar que𝑣Λ0 ∈ 𝐿(Λ0)𝜑 satisfaz as relações da Proposição 3.5.2 para Λ = Λ0. Como a ação de 𝜑em h* coincide com 𝜎1 e 𝜎Λ0 = Λ0, temos que ℎ𝑣Λ0 = Λ0(ℎ)𝑣Λ0 , para todo ℎ ∈ ℎ. Paraa segunda relação, temos que 𝜑−1(𝑒0)𝑣Λ0 = 𝑥+𝑡 𝑣Λ0 = 0 e 𝜑−1(𝑒1)𝑣Λ0 = 𝑥−𝑣Λ0 = 0. Porfim, para a terceira, 𝜑−1(𝑓1)𝑣Λ0 = 𝑥+𝑣Λ0 = 0 e 𝜑−1(𝑓0)2𝑣Λ0 = (𝑥−𝑡−1)2𝑣Λ0 = 0. Usando omesmo argumento de 1 obtemos o isomorfismo.

Seja 𝜛 = 𝜏𝜑. Então, a Proposição 3.5.3 implica

𝐿(Λ1) ∼= 𝐿(Λ0)𝜏 ∼=(𝐿(Λ0)𝜑

)𝜏 ∼= 𝐿(Λ0)𝜛.

O isomorfismo 𝐹 : 𝐿(Λ1) → 𝐿(Λ)𝜛 leva 𝑣Λ1 ↦→ 𝑣Λ0 e é determinado em todo o 𝐿(Λ1) por

𝐹 (𝑋𝑣) = 𝜛−1(𝑋)𝐹 (𝑣), para todos os 𝑋 ∈ sl2, 𝑣 ∈ 𝐿(Λ1).

Podemos, agora, demonstrar o Teorema 3.2.12 para 𝜉 = (𝑛, 𝑘, 𝑠) ∈ 𝒮𝑒𝑠𝑡 com 𝑛 ímpar.

65

Demonstração. Por (3.2.2) e (3.2.5), temos

𝐶(𝜉) = 𝑧(𝜉)(

ℓ∏𝑖=1

𝑥−𝑡𝑛−ℓ−𝑠(𝑖))(

𝑥+𝑡−𝑛+1

2)(𝑛−1

2 )𝑣Λ1 .

Aplicando o isomorfismo 𝐹 , obtemos

𝐹 (𝐶(𝜉)) = 𝑧(𝜉)(

ℓ∏𝑖=1

𝑥−𝑡𝑛−ℓ−𝑠(𝑖)−1)(

𝑥+𝑡−𝑛−1

2)(𝑛−1

2 )𝑣Λ0 = 𝐶(𝑛− 1, ℓ, 𝑠),

pois (−1)[ 𝑛4 ] = (−1)[ 𝑛−1

4 ] para 𝑛 ímpar. Mas, por (3.2.9), (𝑛, ℓ, 𝑠) ∈ 𝒮𝑒𝑠𝑡 implica(𝑛− 1, ℓ, 𝑠) ∈ 𝒮𝑒𝑠𝑡 e o Teorema 3.2.12 já foi provado neste caso.

3.6 Passagem ao limite direto - Base para 𝐿(Λ0)

O Teorema 3.2.12 nos permite construir uma base para 𝐿(Λ𝑝) (𝑝 = 0, 1) através dolimite direto de 𝒞(𝑛) (para 𝑛 ≡ 𝑝 (mod 2)). Explicaremos esta construção para o caso𝑝 = 0. O caso 𝑝 = 1 é análogo.

Lema 3.6.1. Seja 𝜉 = (𝑛, ℓ, 𝑠) ∈ 𝒮. Então,

1. wt(𝐶(𝜉)) = 𝑡−ℓ𝛼1(wt(𝑤𝑛)) − |𝑠|𝛿;

2. Se 𝑛 é par, wt(𝐶(𝜉)) = 𝑡( 𝑛2 −ℓ)𝛼1(Λ0) − |𝑠|𝛿;

3. Se 𝑛 é ímpar, wt(𝐶(𝜉)) = 𝑡( 𝑛−12 −ℓ)𝛼1

(Λ1) − |𝑠|𝛿.

Demonstração. Dado 𝜉 = (𝑛, ℓ, 𝑠), por (3.2.2) e (3.2.4), temos

wt(𝐶(𝜉)) =(

ℓ∑𝑖=1

wt(𝑥−𝑛−ℓ−𝑠(𝑖)

))+ wt(𝑤𝑛)

=(

ℓ∑𝑖=1

(−𝛼1 + (𝑛− ℓ− 𝑠(𝑖))𝛿))

+ wt(𝑤𝑛)

= −ℓ𝛼1 + ℓ(𝑛− ℓ)𝛿 + wt(𝑤𝑛) − |𝑠|𝛿= 𝑡−ℓ𝛼1(wt(𝑤𝑛)) − |𝑠|𝛿.

Agora, se 𝑛 é par,wt(𝑤𝑛) = Λ0 + 𝑛

2𝛼1 − 𝑛2

4 𝛿 = 𝑡𝑛2(Λ0),

e, assim,wt(𝐶(𝜉)) = 𝑡−ℓ𝛼1(𝑡𝑛

2(Λ0)) − |𝑠|𝛿 = 𝑡𝑛

2 −ℓ𝛼1(Λ0) − |𝑠|𝛿.

Por fim, se 𝑛 é ímpar,

wt(𝑤𝑛) = Λ1 + 𝑛− 12 𝛼1 − (𝑛− 1)(𝑛+ 1)

4 𝛿 = 𝑡𝑛−12

(Λ1),

e daíwt(𝐶(𝜉)) = 𝑡−ℓ𝛼1(𝑡𝑛−1

2(Λ1)) − |𝑠|𝛿 = 𝑡𝑛−1

2 −ℓ𝛼1(Λ1) − |𝑠|𝛿.

66

Considere 𝐿(Λ0) e seja 𝜇 = 𝑡𝑖𝛼1(Λ0) − 𝑑𝛿 (𝑗 ∈ Z, 𝑑 ∈ Z≥0) um peso deste módulo.Defina

𝒮𝜇 = {𝜉 = (𝑛, ℓ, 𝑠) ∈ 𝒮 : 𝑛2 − ℓ = 𝑖 e |𝑠|= 𝑑} (3.6.1)

Note que, se 𝜉 = (𝑛, ℓ, 𝑠) ∈ 𝒮𝜇, então 𝑛 é par e, pelo lema 3.6.1, 𝐶(𝜉) tem peso 𝜇 se esomente se 𝜉 ∈ 𝒮𝜇.

Seja 𝒮𝜇(𝑛) = 𝒮𝜇 ∩ 𝒮(𝑛). Este conjunto parametriza os elementos da base CPL de𝑊 (𝑛) de peso 𝜇. Além disso, a cardinalidade de 𝒮𝜇(𝑛) é o número de partições de 𝑑 emℓ partes.

Assim, como 𝑛2 − ℓ = 𝑗, para 𝑛 suficientemente grande a cardinalidade de 𝒮𝜇(𝑛) é

exatamente 𝑝(𝑑) e então 𝜙 induz uma bijeção entre 𝒮𝜇(𝑛) e 𝒮𝜇(𝑛 + 2). Também, para|𝑠|= 𝑑 ≤ min𝑛− ℓ, ℓ = min 𝑛

2 − 𝑗, 𝑛2 + 𝑗, ou seja, para 𝑛 ≥ 2(𝑑 + |𝑗|) todo 𝜉 ∈ 𝒮𝜇(𝑛) éestável.

Mais precisamente,

|𝒮𝜇(𝑛)|= 𝑝(𝑑) e 𝒮𝜇(𝑛) ⊂ 𝒮𝑒𝑠𝑡 para todo 𝑛 ≥ 2(𝑑+ |𝑗|) par.

Fixe 𝑛 = 2(𝑑 + |𝑗|) e defina o seguinte subconjunto linearmente independente de𝐿(Λ0)𝜇:

ℬ𝜇 = {𝐶(𝜉) : 𝜉 ∈ 𝒮𝜇(𝑛)} .

Pelo Teorema 3.2.12 e observações anteriores este conjunto não depende da escolha de𝑛, desde que seja suficientemente grande (𝑛 ≥ 2(𝑑+ |𝑗|)).

Pela Proposição 3.2.7 a dimensão de 𝐿(Λ0)𝜇 é 𝑝(𝑑) o que implica que ℬ𝜇 é base parao espaço de peso 𝐿(Λ0)𝜇.

Finalmente, para construir uma base de 𝐿(Λ0) basta fazer a união disjunta sobre todosos pesos de 𝐿(Λ0):

ℬ =⨆𝜇

ℬ𝜇

3.7 Considerações para sl3

Considere a álgebra de Lie sl3, com base {𝑥±11, 𝑥

±12, 𝑥

±22, ℎ11, ℎ22}. Seja Δ = {𝛼11, 𝛼22}

uma base para o sistema de raízes de sl3. Denote por 𝜃 = 𝛼12 = 𝛼11 + 𝛼22 a raiz maislonga de sl3.

Seja {𝜔1, 𝜔2} a base de h* dual à {ℎ11, ℎ22}. Temos que 𝜃 = 𝜔1 + 𝜔2.Seja 𝜆 ∈ 𝑃+ e considere o módulo de Weyl 𝑊 (𝜆). Se 𝜆 = 𝑛1𝜔1 + 𝑛2𝜔2, 𝑛1, 𝑛2 ∈ Z≥0,

a base CPL de 𝑊 (𝜆) é parametrizada por elementos da forma

𝜉 = (𝑛1, ℓ11, 𝑠11)(𝑛1, ℓ12, 𝑠12)(𝑛2, ℓ22, 𝑠22),

onde 𝑛𝑖, ℓ𝑖𝑗 ∈ Z≥0 e 𝑠𝑖𝑗 são partições satisfazendo

𝑠11(1) ≤ 𝑛1 + ℓ22 − ℓ11 − ℓ12 =: 𝑘11,

𝑠12(1) ≤ 𝑛1 − ℓ12 =: 𝑘12,

𝑠22(1) ≤ 𝑛2 − ℓ22 =: 𝑘22.

67

Denote por 𝒮(𝜆) o conjunto de parâmentro da base de 𝑊 (𝜆).Iremos utilizar uma variação semelhante ao caso sl2 da base CPL dos módulos de Weyl.

Naquele caso, a base considerada era parametrizada pelo complemento das partições e seuselementos possuiam fatores de normalização. Ainda não ficou claro qual é a normalizaçãomais conveniente para o caso sl3, mas também utilizaremos aqui a paramentrização peloscomplementos das partições.

Dado 𝜉 ∈ 𝒮(𝜆), defina

c(𝜉) =ℓ11∏𝑖=1

𝑥−11𝑡

𝑘11−𝑠11(𝑖)ℓ12∏𝑖=1

𝑥−12𝑡

𝑘12−𝑠12(𝑖)ℓ22∏𝑖=1

𝑥−22𝑡

𝑘22−𝑠22(𝑖)𝑤𝜆,

onde 𝑤𝜆 é um vetor de peso máximo de 𝑊 (𝜆).Cada um dos três produtos na equação anterior depende do respectivo complemento

das partições 𝑠𝑖𝑗. E, assim como no caso sl2, toda partição pode ser escrita como comple-mento de outra partição, implicando que o seguinte conjunto é uma base para o módulode Weyl 𝑊 (𝜆):

𝒞(𝜆) = {c(𝜉) : 𝜉 ∈ 𝒮(𝜆)}.

Analogamente ao caso sl2, temos o isomorfismo entre o módulo de Weyl 𝑊 (𝜆) e omódulo de Demazure 𝐷(1, 𝜆). Além disso, temos a seguinte cadeia de inclusões

𝑊 (𝜆) →˓ 𝑊 (𝜆+ 𝜃) →˓ 𝑊 (𝜆+ 2𝜃) →˓ · · · (3.7.1)

Considere o caso 𝑊 (𝑛𝜃), 𝑛 ∈ Z≥0. O isomorfismo entre o módulo de Weyl 𝑊 (𝑛𝜃)e o módulo de Demazure 𝐷(1, 𝑛𝜃) envia o vetor gerador 𝑤𝑛𝜃 de 𝑊 (𝑛𝜃) a um vetor de𝐿(Λ0)𝑡𝑛𝜃(Λ0). Fixe a seguinte escolha de 𝑤𝑛𝜃:

𝑤𝑛𝜃 = (𝑥+12𝑡

−𝑛)(𝑛)𝑣Λ0 .

Temos que 𝑤𝑛𝜃 = (−1)[ 𝑛4 ]𝑇𝑛𝜃(𝑣Λ0) = 0, usando a relação (1) de 3.4.2, com 𝜃 no lugar de

𝛼1/2.Note que os parâmetros 𝜉 ∈ 𝒮(𝑛𝜃) são da forma 𝜉 = (𝑛, ℓ11, 𝑠11)(𝑛, ℓ12, 𝑠12)(𝑛, ℓ22, 𝑠22).Com o intuito de estender os resultados de [19] para o caso sl3, defina a seguinte função

entre os conjuntos de parâmetros

𝜓 : 𝒮(𝑛𝜃) → 𝒮((𝑛+ 1)𝜃),𝜉 ↦→ 𝜉

(3.7.2)

onde 𝜉 = (𝑛+ 1, ℓ11 + 1, 𝑠11)(𝑛+ 1, ℓ12, 𝑠12)(𝑛+ 1, ℓ22 + 1, 𝑠22) e 𝑠𝑖𝑗 é obtido de 𝑠𝑖𝑗 acres-centando 0 na ℓ𝑖𝑗 + 1 entrada.

Temos o seguinte resultado, análogo ao lema 3.2.10 :

Lema 3.7.1. Se 𝜉 ∈ 𝒮(𝑛𝜃), então wt(c(𝜉)) = wt(c(𝜓(𝜉)))

Demonstração. Temos

wt(c(𝜉)) =∑

1≤𝑖≤𝑗≤2ℓ𝑖𝑗𝛼𝑖𝑗 + 𝛿(ℓ𝑖𝑗𝑘𝑖𝑗 − |𝑠𝑖𝑗|) + wt(𝑤𝑛𝜃); (3.7.3)

68

wt(𝑤(𝑛+1)𝜃) = wt(𝑤𝑛𝜃) − 𝜃 − (2𝑛+ 1)𝛿 (3.7.4)e

wt(c(𝜓(𝜉))) =(ℓ11 + 1)𝛼11 + 𝛿((ℓ11 + 1)(𝑘11 + 1) − |𝑠11|)+ ℓ12𝜃 + 𝛿(ℓ12(𝑘12 + 1) − |𝑠12|)+ (ℓ22 + 1)𝛼22 + 𝛿((ℓ22 + 1)(𝑘22 + 1) − |𝑠22|) + wt(𝑤(𝑛+1)𝜃)

(3.7.5)

Como 𝜃 = 𝛼11 + 𝛼22, substituindo (3.7.3) e (3.7.4) em (3.7.5), temos que

wt(c(𝜓(𝜉))) = wt(c(𝜉)) + 𝛿(ℓ11 + 𝑘11 + 1) + 𝛿(ℓ12) + 𝛿(𝑘22) − 𝛿(2𝑛+ 1). (3.7.6)

Por fim, basta substituir os valores de 𝑘𝑖𝑗 em (3.7.6) para obtermos

wt(c(𝜉)) = wt(c(𝜓(𝜉))).

Para o caso 𝜉 = (𝑛, 𝑛, 𝑠11)(𝑛, 0, 𝑠12)(𝑛, 𝑛, 𝑠22), note que

c(𝜉) =𝑛∏𝑖=1

𝑥−11𝑡

𝑛−𝑠11(𝑖)𝑛∏𝑖=1

𝑥−22𝑤𝑛𝜃.

Lema 3.7.2.

c(𝜉) =𝑛∏𝑖=1

𝑥−11𝑡

𝑛−𝑠11(𝑖)𝑛∏𝑖=1

𝑥−22𝑤𝑛𝜃 = (−1)𝑛𝑛!

𝑛∏𝑖=1

𝑥−11𝑡

𝑛−𝑠11(𝑖)𝑛∏𝑖=1

𝑥+11𝑡

−𝑛𝑣Λ0 .

Demonstração. Usaremos indução. Temos

𝑥−22(𝑥+

12𝑡−𝑛)𝑛 = −

𝑛∑𝑖=1

𝑥+11𝑡

−𝑛𝑛∏𝑗=1𝑗 =𝑖

𝑥+12𝑡

−𝑛 = −𝑛∑𝑖=1

𝑥+11𝑡

−1(𝑥+12𝑡

−𝑛)𝑛−1 = −𝑛𝑥+11𝑡

−1(𝑥+12𝑡

−𝑛)𝑛−1.

Daí,

𝑛∏𝑖=1

𝑥−22𝑤𝑛𝜃 =

(𝑛−1∏𝑖=1

𝑥−22

)𝑥−

22𝑤𝑛𝜃 =𝑛−1∏𝑖=1

𝑥−22

𝑛−1∏𝑖=1

𝑥+12𝑡

−𝑛(−𝑛 𝑥+11𝑡

−𝑛)𝑣Λ0

= (−1)𝑛−1(𝑛− 1)! (𝑥+11𝑡

−𝑛)𝑛−1(−𝑛 𝑥+11𝑡

−𝑛)𝑣Λ0 = (−1)𝑛(𝑥+11𝑡

−𝑛)(𝑛)𝑣Λ0

Temos a seguinte versão do Teorema 3.3.7:

Teorema 3.7.3. Seja 𝜉 = (𝑛, 𝑛, 𝑠11)(𝑛, 0, 𝑠12)(𝑛, 𝑛, 𝑠22) ∈ 𝒮(𝑛𝜃), com 𝑛 ≥ |𝑠11|. Então

c(𝜉) = 𝑓𝜉(ℎ11𝑡−1, ℎ11𝑡

−2, · · ·)𝑣Λ0 .

69

Demonstração. Seja 𝑟 = sup(𝑠11). Usaremos indução em 𝑟.Se 𝑟 = 0, pelo Lema 3.2.8, temos que

c(𝜉) = (𝑥−11𝑡

𝑛)(𝑛)(𝑥+11𝑡

−𝑛)(𝑛)𝑣Λ0 .

Para 𝑟 ≥ 1, segue novamente do Lema 3.2.8 que

c(𝜉) =𝑟∏𝑖=1

(𝑥−11𝑡

𝑛−𝑠11(𝑖))(𝑥−11𝑡

𝑛)(𝑛−𝑟)(𝑥−22)(𝑛)𝑤𝑛𝜃

= (−1)𝑛𝑟∏𝑖=1

(𝑥−11𝑡

𝑛−𝑠11(𝑖))(𝑥−11𝑡

𝑛)(𝑛−𝑟)(𝑥+11𝑡

−𝑛)(𝑛)𝑣Λ0

=𝑟∏𝑖=1

(𝑥−11𝑡

𝑛−𝑠11(𝑖))(𝑥+11𝑡

−𝑛)(𝑟)𝑣Λ0 .

Como a última expressão depende apenas da raiz 𝛼11, podemos utilizar o que foi feitopara sl2. Aplicando o teorema 3.3.4 em

𝑛∏𝑖=1

𝑥−11𝑡

𝑛−𝑠11(𝑖)𝑛∏𝑖=1

𝑥−22𝑤𝑛𝜃 = (−1)𝑛𝑛!

𝑛∏𝑖=1

𝑥−11𝑡

𝑛−𝑠11(𝑖)𝑛∏𝑖=1

𝑥+11𝑡

−𝑛𝑣Λ0

concluímos a demostração.

Como no caso sl2, o polinômio 𝑓𝜉 depende apenas das entradas não nulas da partição𝑠11, então 𝑓𝜉 = 𝑓𝜓(𝜉).

Corolário 3.7.4. Seja 𝜉 = (𝑛, 𝑛, 𝑠11)(𝑛, 0, 𝑠12)(𝑛, 𝑛, 𝑠22) ∈ 𝒮(𝑛𝜃) com 𝑛 ≥ |𝑠11|. Então,c(𝜉) = c(𝜓(𝜉)).

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