desigualdades con pesos para la función maximal de hardy...

UNIVERSIDAD DE SONORADivisión de Ciencias Exactas y Naturales

Departamento de Matemáticas

Desigualdades con pesos para la función maximalde Hardy-Littlewood

TESIS

que para obtener el grado académico de:

Maestro en Ciencias(Matemáticas)

presenta

Alejandro de Jesús Gómez Jurado

Directora de tesis:

Dra. Martha Dolores Guzmán Partida

Hermosillo, Sonora, Agosto de 2012

ÍNDICE GENERAL

INTRODUCCIÓN v

1. FUNCIÓN MAXIMAL 11.1. Función maximal de Hardy-Littlewood . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Función maximal con medidas duplicantes . . . . . . . . . . . . . . . 91.3. Estimaciones para la función maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4. La función maximal diádica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5. La función maximal sharp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2. TRANSFORMADA DE HILBERT 272.1. Núcleo conjugado de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2. El valor principal de 1/x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3. Definición y propiedades de la Transformada de Hilbert . . . . . . . . 322.4. Teoremas de M. Riesz y Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3. OPERADORES DE CALDERÓN-ZYGMUND 413.1. Ejemplos de Operadores Integrales Singulares . . . . . . . . . . . . . 413.2. Operadores integrales de Calderón-Zygmund . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3. El acotamiento Lp para ciertos operadores . . . . . . . . . . . . . . . 50

4. TEORÍA DE PESOS DE MUCKENHOUPT 51

4.1. La condición Ap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2. Desigualdades con pesos de tipo fuerte . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.3. Pesos A1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.4. Desigualdades con peso para integrales singulares . . . . . . . . . . . 73

5. ESTIMACIONES PARA LA NORMA DE LA FUNCIÓN MAXIMAL 795.1. Las estimaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

CONCLUSIONES 84

APÉNDICES 86

BIBLIOGRAFÍA 90

iii

iv ÍNDICE GENERAL

INTRODUCCIÓN

Las desigualdades con pesos surgen de manera natural en el análisis de Fourier y sugran variedad de aplicaciones justifican aún mejor su uso y desarrollo. Algunas de estasaplicaciones están relacionadas con el estudio de problemas de valores frontera parala ecuación de Laplace en dominios Lipschitz (ver por ejemplo, [24], [13]). Algunasotras guardan relación con la teoría de extrapolación, con desigualdades vectoriales ycon la obtención de estimaciones para cierto tipo de ecuaciones diferenciales parcialesno lineales ([5], [14]).

En términos generales, por un peso entenderemos una función no negativa u queademás es localmente integrable. Así, si u y w son dos funciones con estas caracterís-ticas, los principales problemas que se abordan en el estudio de desigualdades conpesos, son estimaciones del siguiente tipo:

Estimaciones de tipo fuerte (p, p), esto es,∫Rn|Tf (x)|p u (x) dx ≤ C

∫Rn|f (x)|pw (x) dx (1)

y estimaciones de tipo débil (p, p), a saber,

u (x ∈ Rn : |Tf (x)| > λ) ≤ C

λp

∫Rn|f (x)|pw (x) dx, (2)

para 1 ≤ p <∞, donde para un conjunto E, u (E) significa

u (E) =

∫E

u (x) dx,

y T representa alguno de los operadores clásicos en el análisis armónico, por ejemplo,el operador maximal de Hardy-Littlewood, o un operador integral singular. A su vez,estos problemas se dividen en dos casos: el estudio para un par de pesos (u,w), obien, para un solo peso w, es decir, u = w.

La teoría de pesos, dio inicio con el estudio de potencias de pesos de la formaw (x) = |x|a. Posteriormente, en los años setentas del siglo pasado, empezó un perío-do de prolongadas investigaciones en esta área con el trabajo de B. Muckenhoupt, R.

v

vi INTRODUCCIÓN

Hunt y R. Wheeden. En [16] Muckenhoupt introdujo los pesos Ap, también conocidoscomo los pesos de Muckenhoupt. La teoría Ap ha experimentado un desarrollo ver-tiginoso desde ese entonces, y actualmente es una línea de investigación muy activa.Algunas de las principales cuestiones que hoy en día se investigan están relacionadascon la obtención de constantes óptimas que satisfagan desigualdades del tipo (1) y(2) para ciertos tipos de operadores aún más generales que los considerados en estatesis. Las técnicas empleadas para tal efecto comprenden desde argumentos de tipoprobabilístico, consideraciones de tipo diádico, hasta técnicas de funciones de Bell-man, solo por mencionar algunas. El lector interesado puede consultar el excelenteartículo [14] de M. Lacey para ampliar su información al respecto.

Los prerrequisitos para este trabajo son que el lector esté familiarizado con loselementos básicos de la teoría de la medida y el análisis funcional, (ver, por ejemplo [8]y [12]). La notación que emplearemos es estándar. El conjunto de funciones localmenteintegrables en Rn lo denotaremos por L1

loc (Rn) . Asimismo, S(Rn) denotará la clasede Schwartz y S′(Rn) el espacio de distribuciones temperadas. Si F ∈ S′(Rn) yφ ∈ S(Rn), el valor de F en φ lo denotaremos por 〈F, φ〉. La convolución de dosfunciones f y g la denotaremos por f ∗ g. Además f denotará la transformada deFourier de f . Frecuentemente, utilizaremos la misma letra C para denotar a unaconstante que podría variar renglón tras renglón.

En el Capítulo 1 trabajaremos con diferentes tipos de función maximal. Paraf en L1

loc(Rn) o en L1loc(µ), donde µ es una medida duplicante, esto es, µ (2Q) ≤

Cµ (Q) para todo cubo Q, definiremos la función maximal de Hardy-Littlewood def y demostraremos la desigualdad de tipo débil (1, 1) y la desigualdad de tipo fuerte(p, p), para 1 < p < ∞. Para la demostración de estas desigualdades usaremos ladescomposición de Calderón-Zygmund. También trabajaremos con la función maximaldiádica y la funcion maximal sharp.

En el Capítulo 2 definiremos la transformada de Hilbert, operador que sirve comomodelo de la familia de operadores integrales singulares estudiados en el Capítulo 3;además probaremos la desigualdad de tipo débil (1, 1) y la desigualdad de tipo fuerte(p, p), para 1 < p <∞.

En el Capítulo 3 estudiaremos los operadores integrales singulares de Calderón-Zygmund y también mostraremos desigualdades de tipo de débil (1, 1) y tipo fuerte(p, p), para 1 < p <∞.

En el Capítulo 4 generalizaremos las desigualdades obtenidas en los Capítulos 1y 3 a medidas de la forma w (x) dx, es decir, obtendremos desigualdades de la forma(1) y (2). Veremos también como el “control” que la función maximal de Hardy-Littlewood ejerce sobre los operadores de Calderón-Zygmund, nos permite obtenerlos resultados de acotamiento anteriormente mencionados.

INTRODUCCIÓN vii

En el Capítulo 5 mostraremos que cuando w es un peso Muckenhoupt, la normaen Lp (w) del operador maximal centrado de Hardy-Littlewood puede estimarse porel producto de una constante que depende de p, de la dimensión y de una potenciaapropiada de la constante Ap del peso w. En este proceso, obtendremos también unaestimación uniforme en w para la norma del operador maximal centrado respecto ala medida µ.

Una última parte de este trabajo contiene algunas conclusiones personales yapéndices.

viii INTRODUCCIÓN

CAPÍTULO 1

FUNCIÓN MAXIMAL

En este capítulo definiremos la función maximal de Hardy-Littlewood, la fun-ción maximal diádica y la función maximal sharp, así como también, probaremosalgunas estimaciones que harán posible obtener resultados de acotamiento para estosoperadores. Adicionalmente, obtendremos la descomposición de Calderón-Zygmund,herramienta que nos permitirá demostrar algunos de los resultados más importantesde este trabajo. Las referencias principales para esta parte son [9], [6], [10].

1.1. Función maximal de Hardy-Littlewood

Definición 1.1 Sea f una función localmente integrable en Rn. La función maxi-mal de Hardy-Littlewood de f, es la función Mf definida por,

Mf(x) = supQ3x

1

|Q|

∫Q

|f(y)| dy,

donde el supremo se toma sobre todos los cubos Q que contienen a x y |Q| representala medida de Lebesgue de Q. El operador maximal de Hardy-Littlewood M esel operador que envía a la función f a la función Mf.

Mostraremos que obtenemos el mismo valor de Mf(x), si en la definición sola-mente tomamos los cubos en lo cuales x es punto interior.

Proposición 1.2 Sea f una función localmente integrable en Rn. Para x ∈ Rn, sea

M ′f(x) = supP3x

1

|P |

∫P

|f(y)| dy,

donde el supremo se toma sobre todos los cubos P tales que x es punto interior deP. Entonces se tiene que M ′f(x) = Mf(x).

1

2 CAPÍTULO 1. FUNCIÓN MAXIMAL

Prueba. Claramente se tiene que M ′f(x) ≤ Mf(x). Para x ∈ Rn sea Q uncubo que contiene a x, no necesariamente en su interior. Sea Pk∞k=1 una sucesióndecreciente de cubos tales que Q ⊂ Pk propiamente para cada k y ∩∞k=1Pk = Q.Tenemos que x es punto interior de cada Pk, además por el lema de Fatou,∫

Q

|f(y)| dy ≤ lımk→∞

ınf

∫Pk

|f(y)| dy,

y dado que lımk→∞ |Pk| = |Q| se sigue que

1

|Q|

∫Q

|f(y)| dy ≤ lımk→∞

ınf1

|Pk|

∫Pk

|f(y)| dy ≤M ′f(x),

por lo tanto Mf(x) ≤M ′f(x).

Por Proposición 1.2 se puede obtener de manera sencilla que la función Mf essemicontinua inferiormente.

Proposición 1.3 Sea f una función localmente integrable en Rn, entonces el con-junto

Et = x ∈ Rn : Mf(x) > t

es abierto.

Prueba. Sea x ∈ Et, entonces existe un cubo P tal que x es elemento del interiorde P , y se tiene que

1

|P |

∫P

|f(y)| dy > t,

como x está en el interior de P , existe r > 0 tal que B(x, r) ⊂ P y puesto queP ⊂ Et obtenemos que x es punto interior de Et

En algunas ocasiones haremos uso de la función maximal de Hardy-Littlewoodcentrada en bolas, la cual está definida como,

M ′′f(x) = supr>0

1

|B (x, r)|

∫B(x,r)

|f(y)| dy.

1.1. FUNCIÓN MAXIMAL DE HARDY-LITTLEWOOD 3

Ya que las medidas de un cubo y una bola son comparables, existen constantes cn yCn, dependiendo solo de n, tales que

cnM′′f(x) ≤Mf(x) ≤ CnM

′′f(x). (1.1)

Puesto que se tiene la desigualdad (1.1), los operadores M y M ′′ se pueden inter-cambiar y usaremos cualesquiera de ellos cuando sea conveniente dependiendo de lascircunstancias.

Definición 1.4 Para k ∈ Z, sea Λk = 2−kZn, es decir el conjunto formado porlos números Zn dilatados por un factor de 2−k, sea Dk el conjunto de cubos delongitud de lados 2−k y cuyos vértices están en Λk. Los cubos diádicos son los

cubos pertenecientes a D =∞⋃−∞

Dk. Diremos que dos cubos Q y Q′ no se traslapan

si la intersección de sus interiores es vacía.

Observemos que si Q,Q′ ∈ D y |Q′| ≤ |Q|, entonces Q′ ⊂ Q, o Q y Q′ no setraslapan. Notemos que cada Q ∈ Dk es la unión de 2n cubos que no se traslapanpertenecientes a Dk+1.

Otra observación importante es el hecho de que si tenemos una sucesión estricta-mente creciente Rj de cubos diádicos entonces |Rj| → ∞. Cuando la sucesión decubos es creciente y sus medidas están uniformemente acotadas, entonces existe uníndice k0 tal que Rj ⊂ Rk0 para todo j < k0 y Rj = Rk0 cuando j ≥ k0.

Proposición 1.5 Para f ∈ L1(Rn) y t > 0, existe una familia de cubos Qj talesque:

t <1

|Qj|

∫Qj

|f(x)| dx ≤ 2nt.

Prueba. Denotaremos por Ct a la familia de cubos Q ∈ D que satisfacen lacondición

t <1

|Q|

∫Q

|f(x)| dx (1.2)

y son maximales entre los cubos que la satisfacen.En virtud de las observaciones previas al enunciado de esta Proposición, tenemos

que cada Q ∈ D que satisface la ecuación (1.2) está contenido en algún Q′ ∈ Ct,pues la condición (1.2) da una cota superior para la medida de Q, |Q| < t−1 ‖f‖1.

Los cubos en Ct no se traslapan por definición, también se tiene que si Q ∈ Dk eselemento de Ct y Q′ es el elemento en Dk−1 que contiene a Q, entonces

1

|Q′|

∫Q′|f(x)| dx ≤ t.

Por otra parte |Q′| = 2n |Q|, por lo cual,

1

|Q|

∫Q

|f(x)| dx ≤ 2n

|Q′|

∫Q′|f(x)| dx ≤ 2nt.

Hemos obtenido una familia de cubos Ct = Qj para los cuales se tiene

t <1

|Qj|

∫Qj

|f(x)| dx ≤ 2nt, (1.3)

para cada j. Por lo que podemos dar la siguiente definición

Definición 1.6 Sea f ∈ L1(Rn) y t > 0. Los cubos de Calderón-Zygmund de fcorrespondientes a t, es la colección Ct = Qj de cubos diádicos maximales paralos cuales el promedio de |f | es mayor a t.

Ahora usaremos la Proposición 1.5 para mostrar que el operador maximal deHardy-Littlewood es de tipo débil (1, 1).

Teorema 1.7 Sea f ∈ L1(Rn). Entonces para cada t > 0, el conjunto

Et = x ∈ Rn : Mf(x) > t

está contenido en la unión de una familia de cubos 3Qj, que satisfacen:

t

4n<

1

|Qj|

∫Qj

|f(x)| dx ≤ t

2n,

por lo cual se obtiene

|Et| ≤C

t

∫Rn|f(x)| dx.

Prueba. Sea x ∈ Et. Entonces existe un cubo R que contiene a x en su interior

y satisface

t <1

|R|

∫R

|f(y)| dy.

Sea k ∈ Z tal que 2−(k+1)n < |R| ≤ 2−kn. Existe a lo más un punto de Λk en el interiorde R. Consecuentemente existe un cubo en Dk, y a lo más 2n de ellos, que intersectanel interior de R. Se sigue que existe un cubo Q ∈ Dk que se traslapa con R y satisface∫

R∩Q|f(y)| dy > t |R|

2n.

Puesto que |R| ≤ |Q| < 2n |R|, se sigue que,∫R∩Q|f(y)| dy > t |Q|

4n,

por lo tanto,1

|Q|

∫Q

|f(y)| dy > t

4n.

Así, obtenemos que Q ⊂ Qj ∈ C4−nt para alguna j. Por Proposición 1.5 obtenemosque los cubos Qj satisfacen:

t

4n<

1

|Qj|

∫Qj

|f(x)| dx ≤ t

2n.

Además, como R y Q se traslapan y |R| < |Q|, se sigue que R ⊂ 3Q ⊂ 3Qj porlo que Et ⊂

⋃j

3Qj (la notación 3Q denota al cubo con el mismo centro que Q y con

longitud de lado el triple del lado de Q).Esto conlleva a

|Et| ≤∑j

|3Qj| = 3n∑j

|Qj| ≤3n4n

t

∑j

∫Qj

|f(y)| dy ≤ C

t‖f‖1 .

Obtendremos algunos resultados de la desigualdad |Et| ≤ Ct−1 ‖f‖1 del teoremaanterior, los cuales muestran la importancia del operador maximal M . El operadorM controla varios operadores que surgen en el Análisis. Por ejemplo, probaremos lasiguiente extensión del teorema de diferenciación de Lebesgue.


Teorema 1.8 Sea f ∈ L1loc(Rn). Para x ∈ Rn y r > 0 sea

Q(x; r) =

y ∈ Rn : ‖y − x‖∞ ≡ max

j|yj − xj| ≤ r

.

Entonces para casi todo x ∈ Rn se tiene

lımr→0

1

|Q(x; r)|

∫Q(x;r)

|f(y)− f(x)| dy = 0. (1.4)

Prueba. Supongamos que f ∈ L1(Rn). Definamos el conjunto B por

B =

x ∈ Rn : lım

r→0

1

|Q(x; r)|

∫Q(x;r)

|f(y)− f(x)| dy = 0

,

ahora para t > 0 definamos el conjunto

At =

x ∈ Rn : lım

r→0sup

1

|Q(x; r)|

∫Q(x;r)

|f(y)− f(x)| dy > t

.

Sea A =∞⋃j=1

A1/j y mostremos que B = Ac. Sea x ∈ B, entonces

lımr→0

sup1

|Q(x; r)|

∫Q(x;r)

|f(y)− f(x)| dy = lımr→0

1

|Q(x; r)|

∫Q(x;r)

|f(y)− f(x)| dy = 0,

se sigue que x /∈ At para todo t > 0, por lo cual x /∈ A.Por otro lado, si x /∈ A obtenemos que

lımr→0

sup1

|Q(x; r)|

∫Q(x;r)

|f(y)− f(x)| dy ≤ 1

j,

para todo j ∈ N, así

0 ≤ lımr→0

ınf1

|Q(x; r)|

∫Q(x;r)

|f(y)− f(x)| dy

≤ lımr→0

sup1

|Q(x; r)|

∫Q(x;r)

|f(y)− f(x)| dy = 0,

luego

lımr→0

sup1

|Q(x; r)|

∫Q(x;r)

|f(y)− f(x)| dy = lımr→0

1

|Q(x; r)|

∫Q(x;r)

|f(y)− f(x)| dy = 0.

Será suficiente demostrar que |At| = 0 para todo t > 0, puesto que obtendremos|Bc| = |A| = lımj→∞

∣∣A1/j

∣∣ = 0. Sea ε > 0, dado que Cc(Rn) es denso en L1(Rn),existen funciones g y h tales que f = g + h, g es continua con soporte compacto y‖h‖1 < ε. Para g se tiene que

lımr→0

1

|Q(x; r)|

∫Q(x;r)

|g(y)− g(x)| dy = 0.

Por lo cual

lımr→0

sup1

|Q(x; r)|

∫Q(x;r)

|f(y)− f(x)| dy

≤ lımr→0

sup1

|Q(x; r)|

∫Q(x;r)

|g(y)− g(x)| dy

+ lımr→0

sup1

|Q(x; r)|

∫Q(x;r)

|h(y)− h(x)| dy

≤ lımr→0

sup1

|Q(x; r)|

∫Q(x;r)

|h(x)| dy + lımr→0

sup1

|Q(x; r)|

∫Q(x;r)

|h(y)| dy

≤ |h(x)|+Mh(x).

AsíAt ⊂ x ∈ Rn : Mh(x) > t/2

⋃x ∈ Rn : h(x) > t/2 .

Sin embargo por el Teorema 1.7∣∣Et/2∣∣ = |x ∈ Rn : Mh(x) > t/2| ≤ c ‖h‖1 /t < cε/t

y|x ∈ Rn : |h(x)| > t/2| ≤ 2 ‖h‖1 /t < 2ε/t.

En consecuencia At está contenido en un conjunto de medida menor a cε/t , con εarbitrario, por lo tanto |At| = 0.

Los puntos x para los cuales se satisface (1.4) se llaman puntos de Lebesgue def . Por Teorema 1.8 casi todo punto x ∈ Rn es un punto de Lebesgue de f .


Corolario 1.9 Sea f ∈ L1loc(Rn). Entonces, para cada punto de Lebesgue de f, y así

para casi todo x ∈ Rn ,

f(x) = lımr→0

1

|Q(x; r)|

∫Q(x;r)

f(y)dy. (1.5)

|f(x)| ≤Mf(x). (1.6)

Prueba. Notemos que∣∣∣∣lımr→0

1

|Q(x; r)|

∫Q(x;r)

f(y)dy − f(x)dy

∣∣∣∣ ≤ lımr→0

1

|Q(x; r)|

∫Q(x;r)

|f(y)− f(x)| dy,

por consiguiente obtenemos (1.5). Por otra parte, (1.6) es consecuencia directa de(1.5) puesto que

f(x) = lımr→0

1

|Q(x; r)|

∫Q(x;r)

f(y)dy ≤ supx∈Q

1

|Q|

∫Q

|f(y)| dy = Mf(x).

Enseguida, notemos que si x es un punto de Lebesgue de f y tenemos una sucesiónde cubos Q1 ⊃ Q2 ⊃ ... con

⋂j

Qj = x, entonces

f(x) = lımj→∞

1

|Qj|

∫Qj

f(y)dy.

En efecto, si Qj tiene longitud de lado rj, tenemos que Qj ⊂ Q(x; rj), |Q(x; rj)| =2n |Qj| y rnj = |Qj|, como lımj→∞ |Qj| = 0, entonces rj → 0 cuando j →∞. Así∣∣∣∣∣ 1

|Qj|

∫Qj

f(y)dy − f(x)

∣∣∣∣∣ ≤ 1

|Qj|

∫Qj

|f(y)− f(x)| dy

≤ 2n

|Q(x; rj)|

∫Q(x;rj)

|f(y)− f(x)| dy → 0

cuando j →∞.

Teorema 1.10 Sea f ∈ L1(Rn) y t > 0, entonces existe una familia de cubos que nose traslapan Ct que consiste en cubos diádicos maximales sobre los cuales el promediode |f | es mayor a t. Esta familia satisface:

1.2. FUNCIÓN MAXIMAL CON MEDIDAS DUPLICANTES 9

(i) Para cada Q ∈ Ct: t < 1|Q|∫Q|f(x)| dx ≤ 2nt.

(ii) Para casi todo x /∈⋃Q, donde Q varía sobre Ct, |f(x)| ≤ t.

(iii) Para t > 0, Et = x ∈ Rn : Mf(x) > t ⊂⋃

3Q donde Q varía sobre C4−nt.

Prueba. Por Proposición 1.5 y Teorema 1.7 obtenemos (i) y (iii), respectivamente.Para demostrar (ii), sea Ct = Qj la familia de cubos de Calderón-Zygmund

de f correspondientes a t y sea x /∈⋃jQj. Entonces el promedio de |f | para cada

cubo diádico que contiene a x es menor a t. Sea Rk una sucesión de cubos diádicosdecrecientes tales que

⋂kRk = x. Para cada uno de ellos se tiene

1

|Rk|

∫Rk

|f(y)| dy ≤ t.

Si x es un punto de Lebesgue de f , por ende es punto de Lebesgue de |f | y se obtiene

|f(x)| = lımk→∞

1

|Rk|

∫Rk

|f(y)| dy ≤ t.

Se concluye que |f(x)| ≤ t para casi todo x /∈⋃jQj.

1.2. Función maximal con medidas duplicantes

Estudiaremos ahora una generalización de la función maximal. Para un cubo Q yα > 0 denotaremos por αQ al cubo con mismo centro que Q y con longitud de ladoα veces la longitud del lado de Q.

Definición 1.11 Sea µ una medida positiva de Borel sobre Rn, finita en conjuntoscompactos. Diremos que µ es una medida duplicante si existe una constante C > 0tal que

µ(2Q) ≤ Cµ(Q), (1.7)

para cada cubo Q.

Como ejemplo de medidas duplicantes tenemos las medidas |x|a dx para a > −n,es decir

µ(E) =

∫E

|x|a dx.

Aunque no lo haremos aquí, no es difícil verificar que esta medida cumple con la condi-ción (1.7) (ver por ejemplo [11], p. 285). La medida de Lebesgue en Rn es claramenteuna medida duplicante.


Proposición 1.12 Sea µ una medida duplicante y α > 0, entonces existe una cons-tante Cα, que depende solo de α, tal que

µ(αQ) ≤ Cαµ(Q).

Prueba. Por definición de medida duplicante se tiene claramente que param ∈ N

µ(2mQ) ≤ Cmµ(Q).

Sea α > 0, entonces existe n ∈ N tal que α ≤ 2n, por lo que αQ ⊆ 2nQ, y así

µ(αQ) ≤ 2nµ(Q) ≤ Cnµ(Q).

Se tiene que µ es finita en conjuntos compactos de Rn, esto implica que µ esregular (ver [8], p. 99). Notemos que para cada cubo Q, µ(Q) > 0, puesto que siµ(Q) = 0 para algún cubo Q, tendríamos que µ(αQ) ≤ Cαµ(Q) = 0, por lo queµ(Rn) = 0, que resulta ser una medida trivial.

De manera análoga definiremos las función maximal de Hardy-Littlewood parauna función localmente µ-integrable.

Definición 1.13 Sean f ∈ L1loc (µ) y x ∈ Rn, entonces la función maximal de

Hardy-Littlewood con respecto a µ de f , es la función Mµf dada por,

Mµf(x) = supQ3x

1

µ (Q)

∫Q

|f(y)| dµ (y) ,

donde el supremo se toma sobre todos los cubos Q que contienen a x. El operadormaximal de Hardy-Littlewood con respecto a µ es el operador Mµ que envía ala función f a la función Mµf.

De manera similar a la Proposición 1.2 obtenemos que Mµf(x) toma el mismovalor si solo consideramos los cubos que contienen en su interior a x, por lo que a suvez se obtiene que Mµf es semicontinua inferiormente.

Para f ∈ L1 (µ) y t > 0 queremos obtener la descomposición en cubos deCalderón-Zygmund de f y t relativos a la medida µ. A su vez queremos estimarla medida del conjunto Et = x ∈ Rn : Mµf(x) > t, el cual es abierto.

1.2. FUNCIÓN MAXIMAL CON MEDIDAS DUPLICANTES 11

Proposición 1.14 Sea µ medida duplicante. Existe una constante K > 1 tal que siQ y Q′ son cubos diádicos con Q′ ⊂ Q propiamente, entonces Kµ(Q′) ≤ µ(Q).

Prueba. Sea Q′′ un cubo diádico contenido en Q, y contiguo a Q′ y con el mismodiámetro que Q′. Entonces Q′ ⊂ 3Q′′ y consecuentemente se tiene que:

µ(Q′) ≤ µ (3Q′′) ≤ Cµ (Q′′) ≤ C(µ(Q)− µ(Q′)).

Esto implica que(1 + C)µ(Q′) ≤ Cµ(Q),

por lo tanto, con K = (1 + C)/C obtenemos el resultado.

Como consecuencia de la Proposición 1.14 se tiene que si Qj es una sucesiónde cubos diádicos estrictamente crecientes, entonces µ (Qj) ≥ Kjµ(Q0)→∞ cuandoj →∞. Concluimos que si tenemos una cadena de cubos diádicos crecientes tal que suµ-medida es acotada por arriba, entonces su diámetro es acotado, es decir, la cadenatermina en un cubo que contiene a los demás.

Proposición 1.15 Si A > 0, entonces existe B > 0 tal que para cada par de cubosQ y R que se traslapen y satisfagan |Q| < A |R|, se cumple que µ (Q) < Bµ (R) .

Prueba. Se tiene que |Q|1/n < A1/n |R|1/n, entonces Q ⊂ αR propiamente con

α = 2A1/n + 1, así µ (Q) < µ (αR) ≤ Bµ (R).

Denotaremos por Ct = Ct(f, µ) a la colección formada por todos los cubos diádi-cos maximales que satisfacen la condición:

t <1

µ (Q)

∫Q

|f(y)| dµ(y). (1.8)

Por la desigualdad (1.8) µ (Q), está acotado por t−1 ‖f‖1. La Proposición 1.14implica que cada cubo diádico que satisface la ecuación (1.8) está contenido en algúnelemento de Ct. Sea Q ∈ Ct, si Q ∈ DK y Q′ es el elemento en DK−1, tal que Q ⊂ Q′,tenemos que

1

µ (Q′)

∫Q′|f(y)| dµ (y) ≤ t.

Como Q′ ⊂ 3Q se tiene que µ (Q′) ≤ µ (3Q) ≤ Cµ (Q) , en consecuencia

1

µ (Q)

∫Q

|f(x)| dµ(x) ≤ C

µ (Q′)

∫Q′|f(x)| dµ(x) ≤ Ct.

Por lo tanto para Q ∈ Ct se tiene,

t <1

µ (Q)

∫Q

|f(x)| dµ(x) ≤ C

µ (Q′)

∫Q′|f(x)| dµ(x) ≤ Ct.

Sea x ∈ Et, esto es Mµf(x) > t. Entonces existe un cubo R que contiene a x ensu interior y satisface

t <1

µ (R)

∫R

|f(y)| dµ (y) .

Ahora sea Q un cubo diádico que se traslapa con R, y satisface |R| ≤ |Q| < 2n |R|y además ∫

R∩Q|f | dµ > tµ (R)

2n.

Sea B la constante correspondiente a A = 2n en la Proposición 1.15 entoncesµ (Q) < Bµ (R) y se sigue que ∫

R∩Q|f | dµ > tµ (Q)

2nB,

por lo que inferimos

1

µ (Q)

∫Q

|f | dµ > t

2nB.

Se sigue que Q ⊂ Qj para algún Qj ∈ C2−nB−1t y R ⊂ 3Q ⊂ 3Qj. Si C2−nB−1t =Qj se obtiene Et ⊂

⋃j3Qj y finalmente,

µ (Et) ≤∑j

µ (3Qj) ≤ C∑j

µ (Qj)

≤ C2nB

t

∑j

∫Qj

|f | dµ ≤ C

t

∫Rn|f | dµ.

De manera análoga a como se probó el Teorema 1.8 y el Corolario 1.9, obtenemosla siguiente extensión del teorema de diferenciación de Lebesgue:

1.3. ESTIMACIONES PARA LA FUNCIÓN MAXIMAL 13

Teorema 1.16 Sea f ∈ L1loc(µ). Entonces para casi toda x ∈ Rn se tiene:

a) lımr→01

µ(Q(x;r))

∫Q(x;r)

|f(y)− f(x)| dµ (y) = 0.b) f(x) = lımr→0

1|Q(x;r)|

∫Q(x;r)

f(y)dµ(y).c) |f(x)| ≤Mµf(x).

En particular, si Ct(f, µ) = Qj, se tiene que |f(x)| ≤ t para casi todo x /∈⋃jQj.

Finalmente podemos establecer el siguiente teorema:

Teorema 1.17 Sea f ∈ L1(µ) y t > 0. Entonces existe una familia de cubos que nose traslapan Ct = Ct(f, µ), formada por cubos diádicos maximales para los cuales elpromedio de |f | relativo a µ es mayor a t. Estos cubos satisfacen:

(i) Para cada Q ∈ Ct: t < 1µ(Q)

∫Q|f | dµ ≤ Ct.

(ii) Para casi todo x /∈⋃Q, donde Q varía sobre Ct, se tiene |f(x)| ≤ t.

Además, para cada t > 0, el conjunto Et = x ∈ Rn : Mµf(x) > t ⊂⋃

3Q dondeQ varía sobre Ct/C, y se tiene la estimación:

µ (Et) ≤C

t

∫Rn|f | dµ.

La letra C representa una constante absoluta, posiblemente diferente en cada ocu-rrencia.

1.3. Estimaciones para la función maximal

En esta sección obtendremos algunas estimaciones para la medida de Lebesguedel conjunto Et, las cuales nos permitirán demostrar la desigualdad de tipo débil (1, 1)y la desigualdad fuerte (p, p), 1 0. Entoncesse tienen las siguientes estimaciones de la medida de Lebesgue del conjunto Et =x ∈ Rn : Mf(x) > t .

|Et| ≤C

t

∫x∈Rn:|f(x)|>t/2

|f (x)| dx. (1.9)

|Et| ≥C ′

t

∫x∈Rn:|f(x)|>t

|f (x)| dx. (1.10)

Aquí C y C ′ son constantes que no dependen de f ni de t.

Prueba. Sea f = f1 + f2, donde f1 (x) = f (x) si |f(x)| > t/2 y f1 (x) = 0 de

otra manera. Puesto que |f2| ≤ t/2 implica que Mf2 ≤ t/2 obtenemos

Mf(x) ≤Mf1(x) +Mf2(x) ≤Mf1(x) + t/2,

de aquí que si x ∈ Et entonces t/2 < M1f(x) por lo cual

|Et| ≤ |x ∈ Rn : Mf1(x) > t/2| ≤ 3n4n

t/2

∫Rn|f1(x)| dx

=C

t

∫x∈Rn:|f(x)|>t/2

|f (x)| dx.

Para probar la desigualdad (1.10) asumamos que f ∈ L1 (Rn). Entonces usamosla descomposición de Calderón-Zygmund para f y t. Tenemos cubos Qj que no setraslapan tales que

t <1

|Qj|

∫Qj

|f(x)| dx ≤ 2nt,

y |f (x)| ≤ t para casi todo x /∈⋃jQj. Por lo que para casi todo x ∈ Rn, si |f (x)| > t

entonces x ∈⋃jQj. Por otra parte x ∈ Qj implica que Mf(x) > t, es decir Qj ⊂ Et,

entonces se obtiene

|Et| ≥∣∣∣⋃jQj

∣∣∣ =∑j

|Qj| ≥1

2nt

∑j

∫Qj

|f (x)| dx

≥ 1

2nt

∫x∈Rn:|f(x)|>t

|f (x)| dx.

El siguiente resultado se prueba de manera análoga.

Teorema 1.19 Supóngase que µ es una medida positiva regular de Borel en Rn quees duplicante. Entonces existen constantes C y C ′, tales que para cualquier funciónBorel medible f y cualquier t > 0:

µ (x ∈ Rn : Mµf(x) > t) ≤ C

t

∫x∈Rn:|f(x)|>t/2

|f (x)| dµ (x) .

µ (x ∈ Rn : Mµf(x) > t) ≥ C ′

t

∫x∈Rn:|f(x)|>t

|f (x)| dµ (x) .

Del Teorema 1.18 se deriva la siguiente estimación para la función maximal.

Teorema 1.20 Para cada p con 1 0 tal quepara cada f ∈ Lp (Rn)(∫

Rn(Mf (x))p dx

)1/p

≤ Cp,n

(∫Rn|f (x)|p dx

)1/p

.

Prueba.∫Rn

(Mf (x))p dx = p

∫ ∞0

tp−1 |x ∈ Rn : Mf (x) > t| dt

≤ Cp

∫ ∞0

tp−2

∫x∈Rn:|f(x)|>t/2

|f (x)| dxdt

= Cp

∫Rn|f (x)|

(∫ 2|f(x)|

0

tp−2dt

)dx =

C2p−1p

p− 1

∫Rn|f(x)|p dx.

De manera análoga obtenemos el siguiente resultado.

Teorema 1.21 Sea µ una medida positiva regular de Borel en Rn que es duplicante.Entonces para cada p con 1 0 tal que para cadaf ∈ Lp (µ):

‖Mµf‖p ≤ Cp ‖f‖p .

Es trivial que para f ∈ L∞ (Rn) se tiene ‖Mf‖∞ ≤ C ‖f‖∞. Por lo que por elTeorema 1.20 obtenemos que el operador M es acotado en Lp (Rn) para 1 0 y |x| > a se tiene que

Mf (x) ≥ 1

|Q (x; 2 |x|)|

∫Q(x;2|x|)

|f(y)| dy ≥ 1

|Q (0; 2 |x|)|

∫Q(0;a)

|f(y)| dy

=C

|x|n∫Q(0;a)

|f(y)| dy.

Dado que |x|−n no es integrable para |x| > a se sigue que∫Q(0;a)

|f(y)| dy = 0,

para a > 0 arbitrario, por lo que f = 0 casi en todas partes.

Ejemplo 1.22 Sea f(x) = x−1 (log x)−2X(0,1/2]. Entonces f ∈ L1(R) yMf /∈ L1loc(Rn).

Prueba. El cambio de variable u = log x muestra que f ∈ L1(R). Probaremosque Mf /∈ L1

loc(Rn). Sea x ∈ (0, 1/2). Para n ∈ N con x + 1/n < 1/2, consideremosel intervalo [0 + 1/n, x+ 1/n], se tiene

Mf(x) = sup[a,b]3x

1

|b− a|

∫[a,b]∩(0,1/2]

dy

y (log y)2 ≥1

x

∫ x+1/n

1/n

dy

y (log y)2

=1

x

[−1

ln y

]x+1/n

1/n

=1

x

(1

ln (1/n)− 1

ln (x+ 1/n)

),

para todo n ∈ N con x+ 1/n < 1/2, por lo cual

Mf(x) ≥ −1

x ln |x| ,

para x ∈ (0, 1/2). Un cálculo sencillo muestra que −1|x| ln|x| no es localmente integrable.

La estimación |x ∈ Rn : Mf(x) > t| ≤ Ct‖f‖1 actúa como un sustituto al aco-

tamiento en L1. A continuación presentamos otro sustituto a este acotamiento.

Teorema 1.23 Sea f una función integrable con soporte en una bola B ⊂ Rn. En-tonces Mf es integrable sobre B si y solo si:∫

B

|f(x)| log+ |f(x)| dx <∞. (1.11)

Prueba. Si se tiene (1.11) entonces

1.3. ESTIMACIONES PARA LA FUNCIÓN MAXIMAL 17∫B

Mf(x)dx =

∫ ∞0

|x ∈ B : Mf(x) > t| dt = 2

∫ ∞0

|x ∈ B : Mf(x) > 2t| dt

≤ 2

(∫ 1

0

|B| dt+

∫ ∞1

|E2t| dt)

≤ 2 |B|+ C

∫ ∞1

1

t

∫x∈Rn:|f(x)|>t

|f (x)| dxdt

= 2 |B|+ C

∫Rn|f(x)|

∫ |f(x)|

1

dt

tdx

= 2 |B|+ C

∫Rn|f(x)| log+ |f(x)| dx.

En esta parte de la prueba no se utilizó el hecho de que f tenga soporte en B.El mismo argumento muestra que si

∫Rn |f(x)| log+ |f(x)| dx < ∞ entonces Mf es

localmente integrable.Supongamos que

∫BMf(x)dx <∞. Sea c el centro de la bola B, denotemos por

B′ la bola con centro en c y con radio dos veces el radio de B. Mostraremos primeroque

∫B′Mf(x)dx < ∞. Sea x ∈ B′ \ B y sea x∗ el punto simétrico a x con respecto

a la frontera de B. Para r > 0 se tiene que B ∩ B (x, r) ⊂ B (x∗, r). Como f tienesoporte en B se sigue que

1

|B(x, r)|

∫B(x,r)

|f(y)| dy ≤ 1

|B(x∗, r)|

∫B(x∗,r)

|f(y)| dy ≤ CMf(x∗).

En consecuencia Mf(x) ≤ CMf(x∗). Así∫B′Mf(x)dx =

∫B

Mf(x)dx+

∫B′\B

Mf(x)dx ≤ (1 + C)

∫B

Mf(x)dx.

Además para x /∈ B′ tenemos

CMf(x) = supr>0

1

|B(x, r)|

∫B(x,r)

|f(y)| dy = supr>|x−c|/2

1

|B(x, r)|

∫B(x,r)

|f(y)| dy

≤ 1

|B(x, |x− c| /2)|

∫B

|f(y)| dy ≤ 1

|B|

∫B

|f(y)| dy <∞.

Como |B(x, |x− c| /2)| → ∞ cuando |x| → ∞ entonces

CMf(x) ≤ 1

|B(x, |x− c| /2)|

∫B

|f(y)| dy → 0

cuando |x| → ∞. Así, dado t > 0 existe r > 0 tal que si |x| ≥ r entonces Mf(x) ≤ t,por lo cual x ∈ Rn : Mf(x) > t ⊂ B(0, r), luego∫x∈Rn:Mf(x)>t

Mf(x)dx ≤∫B(0,r)

Mf(x)dx =

∫B′Mf(x)dx+

∫B(0,r)\B′

Mf(x)dx

≤∫B′Mf(x)dx+ C |B(0, r) \B′| <∞.

Por lo que

∫x∈Rn:Mf(x)>1

Mf(x)dx ≥∫x∈Rn:Mf(x)>1

∫ Mf(x)

1

dtdx

=

∫ ∞1

|x ∈ Rn : Mf(x) > t| dt

≥∫ ∞

1

1

2nt

∫x∈Rn:|f(x)|>t

|f(x)| dxdt

=1

2n

∫Rn|f(x)|

∫ f(x)

1

dt

tdx

=1

2n

∫Rn|f(x)| log+ |f(x)| dx.

En consecuencia se obtiene la ecuación (1.11)Este teorema se extiende para Mµ donde µ es una medida positiva de Borel

duplicante.

Para f ∈ L1loc(Rn). Denotaremos por fQ al promedio de f sobre el cubo Q, esto

es

fQ =1

|Q|

∫Q

f (x) dx.

Proposición 1.24 Sea φ medible y no negativa y sea f ∈ L1loc(Rn). Entonces∫

x∈Rn:Mf(x)>tφ (x) dx ≤ C

t

∫Rn|f(x)|Mφ (x) dx.

Prueba. Sin pérdida de generalidad supongamos que f ≥ 0. Existe una sucesiónfj∞j=1 de funciones integrables tales que, 0 ≤ f1 ≤ f2 ≤ ..., fj → f casi en todaspartes.

Primero veremos que

x ∈ Rn : Mf(x) > t =⋃j

x ∈ Rn : Mfj(x) > t . (1.12)

Como fj ≤ f casi en todas partes, entonces Mfj (x) ≤ Mf (x) para x ∈ Rn, porlo que si Mfj(x) > t entonces Mf(x) > t. Por otra parte, si x ∈ Rn satisface queMf(x) > t, existe un cubo Q tal que fQ > t; dado que fj → f casi en todas partesy crecientemente, se sigue que (fj)Q → fQ; por lo cual existe k tal (fk)Q > t, de aquíque Mfk(x) > t.

De esta forma, si cada fj satisface∫x∈Rn:Mfj(x)>t

φ (x) dx ≤ C

t

∫Rn|fj(x)|Mφ (x) dx,

esto nos lleva a∫x∈Rn:Mf(x)>t

φ (x) dx = lımj→∞

∫x∈Rn:Mfj(x)>t

φ (x) dx ≤ C

tlımj→∞

∫Rnfj(x)Mφ (x) dx

=C

t

∫Rn|f(x)|Mφ (x) dx.

Entonces podemos asumir que f ∈ L1(Rn). Sea t > 0, por la descomposición deCalderón-Zygmund obtenemos una colección de cubos que no se traslapan Qj talesque

t

4n<

1

|Qj|

∫Qj

f(x)dx ≤ t

2n,

x ∈ Rn : Mf(x) > t ⊂⋃j

3Qj.

Por lo cual∫x∈Rn:Mf(x)>t

φ (x) dx ≤∫∪j3Qj

φ (x) dx ≤∑j

∫3Qj

φ (x) dx

=∑j

1

|3Qj|

∫3Qj

φ (x) |3Qj| dx

≤∑j

1

|3Qj|

∫3Qj

φ (x)3n4n

t

∫Qj

f(y)dydx

=3n4n

t

∑j

∫Qj

f (y)1

|3Qj|

∫3Qj

φ (x) dxdy.


Si y ∈ Qj, se sigue que y ∈ 3Qj, en consecuencia

Mφ (y) ≥ 1

|3Qj|

∫3Qj

φ (x) dx.

Por lo tanto∫x∈Rn:Mf(x)>t

φ (x) dx ≤ 3n4n

t

∑j

∫Qj

f (y)Mφ (y) dy

=C

t

∫Rnf(x)Mφ (x) dx.

1.4. La función maximal diádica

Ahora estudiaremos otro tipo de función maximal para la cual también obten-dremos la desigualdad de tipo débil (1, 1).

Definición 1.25 Sea f ∈ L1loc(Rn), y sea

Ekf (x) =∑Q∈Dk

(1

|Q|

∫Q

f

)XQ(x),

La función maximal diádica de f está definida por

Mdf (x) = supk|Ekf (x)| .

El operador maximal diádico Md es el operador que envía a la función f a lafunción Mdf.

De la definición de Ekf (x) se tiene que si Ω es la unión de los cubos en Dk,entonces ∫

Ω

Ekf =

∫Ω

f.

Teorema 1.26 (1) El operador maximal diádico Md es de tipo débil (1, 1).(2) Si f ∈ L1

loc(Rn) entonces lımk→∞Ekf (x) = f (x) .

1.4. LA FUNCIÓN MAXIMAL DIÁDICA 21

Prueba. Sea f ∈ L1(Rn), sin pérdida de generalidad supongamos que f ≥ 0. Sea

Ωk = x ∈ Rn : Ekf (x) > λ y Ekf (x) ≤ λ si j < k .

Notemos primero que

x ∈ Rn : Mdf (x) > λ =⋃k

Ωk.

Claramente⋃k Ωk ⊂ x ∈ Rn : Mdf (x) > λ . Sea x ∈ Rn tal que Mdf (x) > λ,

entonces existe k1 ∈ Z, tal que Ek1f (x) > λ. Por otra parte, como f ∈ L1(Rn) existek2 ∈ Z tal que para Q ∈ Dk2 se tiene ‖f‖1 / |Q| ≤ λ, por lo que para j ≤ k2 obtenemosque Ejf (x) ≤ λ. Sea k = mın z ∈ Z : Ezf (x) > λ, consecuentemente Ekf (x) > λy Ejf (x) ≤ λ si j < k.

Si x ∈ Ωk, existe Q ∈ Dk tal que x ∈ Q y fQ > λ, donde

fQ =1

|Q|

∫Q

f (x) dx.

Además para j < k, si Q′ ∈ Dj con x ∈ Q′, entonces fQ′ ≤ λ. Se sigue que cada Ωk

es la unión de cubos en Dk. Por construcción, los conjuntos Ωk son ajenos por pares,de aquí que

|x ∈ Rn : Mdf (x) > λ| ≤∑k

|Ωk| ≤∑k

1

λ

∫Ωk

Ekf

≤∑k

1

λ

∫Ωk

f ≤ 1

λ‖f‖1 .

(2) es una consecuencia del Teorema de diferenciación de Lebesgue puesto que lamedida de Q ∈ Dk tiende a cero cuando k tiende a infinito.

Observemos que el operador Md es de tipo fuerte (p, p), para 1 < p <∞. Puestoque si f ∈ L∞(Rn) y x ∈ Rn, existe un único cubo Q ∈ Dk tal que x ∈ Q, porconsiguiente

|Ekf (x)| =∣∣∣∣ 1

|Q|

∫Q

f

∣∣∣∣ ≤ ‖f‖∞ ,para todo k ∈ Z, así |Mdf (x)| ≤ ‖f‖∞, lo que implica la desigualdad de tipo fuerte(∞,∞). Por el Teorema de interpolación de Marcinkiewicz se obtiene que Md es detipo fuerte (p, p), para 1 < p <∞.

1.5. La función maximal sharp

Definición 1.27 Sea f ∈ L1loc(Rn), la función maximal sharp de f , es la función

M#f , definida por

M#f (x) = supQ3x

1

|Q|

∫Q

|f (y)− fQ| dy,

para todo x ∈ Rn. El supremo se toma sobre todos los cubos Q que contienen a x, yfQ representa el promedio de f en Q, es decir

fQ =1

|Q|

∫Q

f (x) dx.

El operador maximal sharp f →M#f , es análogo al operador maximal de Hardy-Littlewood M , mas sin embargo tiene ciertas ventajas sobre M . Claramente se tieneM#f (x) ≤ 2Mf (x) .

Enseguida probaremos un par de lemas cuya demostración será un ingredientemuy importante para la obtención de algunos resultados cruciales en el Capítulo 4.

Lema 1.28 Sea f ∈ Lp0 para algún p0, 1 ≤ p0 < ∞, entonces para toda γ > 0 yλ > 0 se tiene:∣∣x ∈ Rn : Mdf (x) > 2λ,M#f (x) ≤ λγ

∣∣ ≤ 2nγ |x ∈ Rn : Mdf (x) > λ| .

Prueba. Sin pérdida de generalidad supongamos que f ≥ 0. Fijemos γ, λ > 0.Se tiene que

1

|Q|

∫Q

f ≤(

1

|Q|

∫Q

fp0)1/p0

,

por lo que de manera análoga a como se hizo en el Teorema 1.26, el conjunto

x ∈ Rn : Mdf (x) > λ

se puede representar como la unión de cubos disjuntos diádicos maximales. Así, si Qes uno de estos cubos, será suficiente con demostrar que∣∣x ∈ Q : Mdf (x) > 2λ,M#f (x) ≤ λγ

∣∣ ≤ 2nγ |Q| .

Sea Q el cubo diádico que contiene a Q, cuya longitud de los lados es el doble de lalongitud de los lados de Q. Puesto que Q es maximal, se sigue que fQ ≤ λ.

1.5. LA FUNCIÓN MAXIMAL SHARP 23

Si Mdf (x) > 2λ, existen k ∈ Z y Q′ ∈ Dk con x ∈ Q′ tal que fQ′ > 2λ. Dado queQ es maximal y fQ′ > λ, se sigue que Q′ ⊂ Q. Entonces

1

|Q′|

∫Q′fXQ =

1

|Q′|

∫Q′f > 2λ,

consecuentemente Md (fXQ) (x) > 2λ.Esto implica que

Md

((f − fQ

)XQ)

(x) + fQ ≥Md

((f − fQ

)XQ)

(x) + fQXQ (x)

= Md

((f − fQ

)XQ + fQXQ

)(x)

= Md (fXQ) (x) > 2λ.

EntoncesMd

((f − fQ

)XQ)

(x) ≥Md (fXQ) (x)− fQ > λ.

Como Md es de tipo débil (1, 1) tenemos que∣∣∣x ∈ Q : Md

((f − fQ

)XQ)

(x) > λ∣∣∣ ≤ 1

λ

∫Q

∣∣∣f (x)− fQ∣∣∣ dx

≤ 2n |Q|λ

1∣∣∣Q∣∣∣∫Q

∣∣∣f (x)− fQ∣∣∣ dx

≤ 2n |Q|λ

ınfx∈Q

M#f (x) .

Si el conjunto∣∣x ∈ Q : Mdf (x) > 2λ,M#f (x) ≤ λγ

∣∣ es vacío, es trivial. Six ∈ Q y M#f (x) ≤ λγ, entonces∣∣x ∈ Q : Mdf (x) > 2λ,M#f (x) ≤ λγ

∣∣≤ |x ∈ Q : Mdf (x) > 2λ|

≤∣∣∣x ∈ Q : Md

((f − fQ

)XQ)

(x) > λ∣∣∣

≤ 2n |Q|λ

ınfx∈Q

M#f (x) ≤ 2nγ |Q| .

La estimación que hemos establecido en el Lema previo se conoce como unadesigualdad de tipo good lambda.

Finalmente, compararemos los operadores Md y M#.

Lema 1.29 Si 1 ≤ p0 ≤ p <∞ y f ∈ Lp0 entonces∫Rn

[Mdf (x)]p dx ≤ C

∫Rn

[M#f (x)

]pdx.

Prueba. Para N > 0 sea

IN =

∫ N

0

pλp−1 |x ∈ Rn : Mdf (x) > λ| dλ.

Mostraremos primero que IN es finito

IN =p

p0

∫ N

0

p0λp−p0λp0−1 |x ∈ Rn : Mdf (x) > λ| dλ

≤ p

p0

Np−p0∫ ∞

0

p0λp0−1 |x ∈ Rn : Mdf (x) > λ| dλ

=p

p0

Np−p0 ‖Mdf‖p0p0 <∞.

Si hacemos cambio de variable µ = 2λ obtenemos

IN = 2p∫ N/2

0

pλp−1 |x ∈ Rn : Mdf (x) > 2λ| dλ

≤ 2p∫ N/2

0

pλp−1(∣∣x ∈ Rn : Mdf (x) > 2λ,M#f (x) ≤ λγ

∣∣ +∣∣x ∈ Rn : M#f (x) > λγ∣∣) dλ.

Por Lema 1.28 se sigue que

IN ≤ 2p∫ N/2

0

pλp−1 |x ∈ Rn : Mdf (x) > λ| 2nγdλ

+ 2p∫ N/2

0

pλp−1∣∣x ∈ Rn : M#f (x) > λγ

∣∣ dλ≤ 2p+nγIN + 2p

∫ N/2

0

pλp−1∣∣x ∈ Rn : M#f (x) > λγ

∣∣ dλ,Ahora con µ = γλ tenemos

IN ≤ 2p+nγIN +2p

γp

∫ γN/2

0

pλp−1∣∣x ∈ Rn : M#f (x) > λ

∣∣ dλ.

1.5. LA FUNCIÓN MAXIMAL SHARP 25

Fijemos γ tal que 2p+nγ = 1/2, luego

IN ≤2p+1

γp

∫ γN/2

0

pλp−1∣∣x ∈ Rn : M#f (x) > λ

∣∣ dλ, (1.13)

El caso∥∥M#f

∥∥p

=∞ es trivial. Supongamos que∥∥M#f

∥∥p<∞. Tomemos límite

cuando N →∞ en (1.13)∫ ∞0

pλp−1 |x ∈ Rn : Mdf (x) > λ| dλ ≤ 2p+1

γp

∫ ∞0

pλp−1∣∣x ∈ Rn : M#f (x) > λ

∣∣ dλ,es decir, ∫

Rn[Mdf (x)]p dx ≤ 2p+1

γp

∫Rn

[M#f (x)

]pdx.

En el Capítulo 4 generalizaremos este resultado a medidas de la forma w (x) dx,con w una función apropiada.

CAPÍTULO 2

TRANSFORMADA DE HILBERT

En este capítulo empezaremos por abordar el núcleo conjugado de Poisson y elvalor principal de 1/x, los cuales utilizaremos para definir la transformada de Hilbert.Después introduciremos los Teoremas de M. Riesz y Kolmogorov que nos permitiránmostrar su acotamiento. La transformada de Hilbert es el operador que sirve comomodelo en la familia de operadores de Calderón-Zygmund que estudiaremos en elpróximo capítulo. Nuestra exposición se basa primordialmente en [6].

2.1. Núcleo conjugado de Poisson

Dada una funcion f en S (R), su extensión armónica al semiplano superior estádada por la función u(x, t) = Pt∗f(x), donde Pt es el núcleo de Poisson unidimensional

Pt(x) =t

π (t2 + x2).

Se sabe que Pt(ξ) = e−2πt|ξ|, entonces por el teorema de inversión se tiene

u(x, t) =

∫Pt ∗ f(ξ)e2πixξdξ =

∫e−2πt|ξ|f(ξ)e2πixξdξ.

Sea z = x+ it, luego

u(z) =

∫ ∞0

e−2πt|ξ|f(ξ)e2πixξdξ +

∫ 0

−∞e2πtξf(ξ)e2πixξdξ

=

∫ ∞0

f(ξ)e2πi(x+it)ξdξ +

∫ 0

−∞f(ξ)e2πi(x−it)ξdξ

=

∫ ∞0

f(ξ)e2πizξdξ +

∫ 0

−∞f(ξ)e2πizξdξ.

Ahora definamos

iv(z) =

∫ ∞0

f(ξ)e2πizξdξ −∫ 0

−∞f(ξ)e2πizξdξ.

27

28 CAPÍTULO 2. TRANSFORMADA DE HILBERT

Se puede verificar directamente que v es armónica en R2+. Además u y v son reales si

f es real. También se tiene que u+ iv es holomorfa pues

(u+ iv)(z) = 2

∫ ∞0

f(ξ)e2πizξdξ,

y el integrando es holomorfo con respecto a z. De aquí inferimos que v es el conjugadoarmónico de u. Para z = x+ it obtenemos que

v(x, t) =

∫ ∞0

(−i)f(ξ)e2πi(x+it)ξdξ −∫ 0

−∞(−i)f(ξ)e2πi(x−it)ξdξ

=

∫ ∞0

(−i)e−2πtξf(ξ)e2πixξdξ +

∫ 0

−∞−(−i)e2πtξf(ξ)e2πixξdξ

=

∫ ∞−∞

(−i)sgn(ξ)e−2πt|ξ|f(ξ)e2πixξdξ.

Por el teorema de inversión esto equivale a

v(x, t) = Qt ∗ f(x),

dondeQt(ξ) = (−i)sgn(ξ)e−2πt|ξ|.

Si invertimos la transformada de Fourier de Qt(ξ) obtenemos el núcleo conjugado de

Poisson.

Definición 2.1 El núcleo conjugado de Poisson Qt está dado por

Qt(x) =x

π (t2 + x2).

Nótese que Q(x, t) ≡ Qt(x) es una función armónica en R2+ y que Qt(x) es el

conjugado armónico del núcleo de Poisson Pt(x), puesto que para z = x+ it se tiene

Pt(x) + iQt(x) =t+ ix

π (t2 + x2)=

i(x− it)π (x+ it) (x− it) =

i

πz,

la cual es analítica en R2+.

Dado que u(x, t) = Pt ∗f(x) y Ptt>0 es una identidad aproximada, tenemos quepara f ∈ Lp (R), 1 ≤ p < ∞, se cumple que u(x, t) → f(x) en Lp (R) cuando t → 0.

2.2. EL VALOR PRINCIPAL DE 1/X 29

Nos gustaría obtener una estimación análoga para v(x, t); sin embargo Qtt>0 no esuna identidad aproximada, de hecho Qt no es integrable para cualquier t > 0, puespara |x| ≥

√t se tiene

|Qt(x)| = |x|π (t2 + x2)

≥ |x|2πx2

=1

2π |x| ,

y 1/2π |x| es claramente no integrable. Obsérvese que para x 6= 0 se tiene

lımt→0

Qt(x) =1

πx.

La función 1/πx no es localmente integrable, así no es posible definir convolución confunciones suaves.

2.2. El valor principal de 1/x

La función 1/x /∈ S(R), sin embargo define una distribución temperada de lasiguiente manera.

Definición 2.2 El valor principal de 1/x es la distribución temperada, denotada

v.p.1

x, dada por

v.p.1

x(φ) = lım

ε→0+

∫|x|>ε

φ(x)

xdx, φ ∈ S (R) . (2.1)

Para mostrar que la ecuación (2.1) define efectivamente una distribución tempe-rada notemos que

lımε→0+

∫|x|>ε

φ(x)

xdx = lım

ε→0+

∫ε<|x|<1

φ(x)

xdx+

∫|x|>1

φ(x)

xdx,

como la función 1/x es impar se tiene∫ε<|x|<1

φ(x)

xdx =

∫ε<|x|<1

φ(x)− φ(0)

xdx.

Por el teorema del valor medio se sigue que∣∣∣∣∫ε<|x|<1

φ(x)

xdx

∣∣∣∣ ≤ C1 ‖φ′‖∞ ,

además ∣∣∣∣∫|x|>1

φ(x)

xdx

∣∣∣∣ ≤ ∫|x|>1

|φ(x)||x| dx =

∫|x|>1

|xφ(x)|x2

dx

≤ ‖xφ(x)‖∞∫dx

x2= C2 ‖xφ(x)‖∞ ,

de lo que se sigue que ∣∣∣∣v.p.1x(φ)

∣∣∣∣ ≤ C(‖φ′‖∞ + ‖xφ(x)‖∞),

lo que prueba que v.p. 1x∈ S′(R).

Proposición 2.3 En S′(R), se tiene

lımt→0

Qt =1

πv.p.

1

x.

Prueba. Para cada ε > 0, sea ψε(x) = x−1X|x|>ε. Cada ψε es acotado, se sigueque cada ψε define una distribución temperada. Para φ ∈ S(R) se tiene que

lımε→0〈ψε, φ〉 = lım

ε→0

∫ψε(x)φ(x)dx = lım

ε→0

∫|x|>ε

φ(x)

xdx

= v.p.1

x(φ) =

⟨v.p.

1

x, φ

⟩,

por lo cual

lımε→0

ψε = v.p.1

xen S′(R).

Por lo tanto basta con demostrar que en S′(R)

lımt→0

(Qt −

1

πψt

)= 0.

Sea φ ∈ S(R), entonces

〈πQt − ψt, φ〉 =

∫R

xφ(x)

t2 + x2dx−

∫|x|>t

φ(x)

xdx

=

∫|x|<t

xφ(x)

t2 + x2dx+

∫|x|>t

(x

t2 + x2− 1

x

)φ(x)dx (sustituyamos x = ty)

=

∫|y|<1

yφ(ty)

1 + y2dy −

∫|y|>1

φ(ty)

y (1 + y2)dy.

2.2. EL VALOR PRINCIPAL DE 1/X 31

Tenemos que |yφ(ty)| ≤ M1 y |φ(ty)| ≤ M2, también que∫|y|<1

M1

1+y2dy < ∞ y∫

|y|>1M2

y(1+y2)dy <∞, por lo que el teorema de convergencia dominada implica que

lımt→0〈πQt − ψt, φ〉 =

∫|y|<1

yφ(0)

1 + y2dy −

∫|y|>1

φ(0)

y (1 + y2)dy.

Como ambos dominios son simétricos y ambos integrandos son impares se sigueque lımt→0 〈πQt − ψt, φ〉 = 0 para todo φ ∈ S(R), concluyendo así que lımt→0

(Qt − 1

πψt)

=0.

Como consecuencia de la Proposición 2.3 obtenemos que para f ∈ S(R)

lımt→0

(Qt ∗ f) (x) =

(1

πv.p.

1

x∗ f)

(x) =1

πlımt→0

∫|y|>t

f(x− y)dy

y.

Proposición 2.4 En S′(R), se tiene(1

πp.v.

1

x

)(ξ) = (−i)sgn(ξ).

Prueba. Es conocido que la transformada de Fourier es continua en S′(R) y como

lımt→0Qt = 1πv.p. 1

xen S′(R), se sigue que lımt→0 Qt = 1

πv.p. 1

xen S′(R). Además

Qt(ξ) = (−i)sgn(ξ)e−2πt|ξ|,

de lo cual se obtiene que para toda φ ∈ S(R)

lımt→0

⟨Qt, φ

⟩= lım

t→0

∫(−i)sgn(ξ)e−2πt|ξ|φ(ξ)dξ

=

∫(−i)sgn(ξ)φ(ξ)dξ = 〈(−i)sgn(ξ), φ(ξ)〉 ,

de lo que se infiere lımt→0 Qt = (−i)sgn(ξ) en S′(R), y por lo tanto(1

πp.v.

1

x

)(ξ) = (−i)sgn(ξ).


2.3. Definición y propiedades de la Transformada de Hilbert

De las proposiciones 2.3 y 2.4 obtenemos la siguiente definición.

Definición 2.5 Sea f ∈ S(R), la transformada de Hilbert de f , denotada por Hf ,está dada por cualquiera de las siguientes expresiones

Hf = lımt→0

(Qt ∗ f)

Hf =1

πv.p.

1

x∗ f

(Hf ) (ξ) = (−i)sgn(ξ)f (ξ) . (2.2)

Notemos que (2.2) permite definir la transformada de Hilbert en L2(R). Paraf ∈ L2(R) sea φn una sucesión en S(R) tal que φn → f en L2(R). Nótese queHφn es una sucesión de Cauchy, puesto que

‖Hφm −Hφn‖2 = ‖H(φm − φn)‖2 =∥∥∥(H(φm − φn)) (ξ)

∥∥∥2

=∥∥(φm − φn) (ξ)

∥∥2

= ‖(φm − φn)‖2 .

Se sigue que Hφn converge en L2(R). Por lo tanto la Transformada de Hilbert def es la función Hf definida por

Hf = lımn→∞

Hφn en L2(R).

Veamos que Hf es independiente de las sucesión elegida. Si φn → f y ψn → f enL2(R), entonces φn − ψn → 0 en L2(R) y como

‖Hφn −Hψn‖2 =∥∥∥ H(φn − ψn)

∥∥∥2

=∥∥∥ (φm − φn)

∥∥∥2

= ‖(φm − φn)‖2 ,

entonces Hφn −Hψn → 0 en L2(R).

La transformada de Hilbert satisface las siguientes propiedades en L2(R).

Proposición 2.6 Sean f, g ∈ L2(R), entonces se tiene

‖Hf‖2 = ‖f‖2 , (2.3)

H(Hf) = −f, (2.4)∫Hf · g = −

∫f ·Hg. (2.5)

2.4. TEOREMAS DE M. RIESZ Y KOLMOGOROV 33

Prueba. La igualdad (2.3) se satisface puesto que

‖Hf‖2 =∥∥∥(Hf ) (ξ)

∥∥∥2

=∥∥f (ξ)

∥∥2

= ‖f‖2 .

Por otra parte se tiene

(H(Hf)) (ξ) = (−i)sgn(ξ) (Hf ) (ξ) = −f (ξ) = (−f ) (ξ) ,

y como la transformada de Fourier es una biyección en L2(R) se obtiene (2.4).Por último, para demostrar (2.5), se sabe que

∫f · g =

∫f · g, en consecuencia∫

Hf · g =

∫Hf · g =

∫(Hf ) (ξ) · g(ξ)dξ =

∫(−i)sgn(ξ)f (ξ) · g (ξ) dξ

=

∫f (ξ) · (Hg) (ξ) dξ =

∫ f (ξ) · (Hg) (ξ) dξ

= −∫f (ξ) ·

(Hg)

(ξ) dξ = −∫f ·Hg.

2.4. Teoremas de M. Riesz y Kolmogorov

Mostraremos que la definición de la transformada de Hilbert, definida hasta ahoraen S(R) o L2(R), se puede extender a funciones en Lp(R), para 1 ≤ p <∞.

Teorema 2.7 (Teorema de Kolmogorov) Sea f ∈S(R), entonces H es de tipo débil(1, 1):

|x ∈ R : |Hf(x)| > λ| ≤ C

λ‖f‖1 .

Prueba. Supongamos que f ≥ 0. Sea λ > 0, por descomposición de Calderón-

Zygmund existe una sucesión de intervalos Ij tales que

f (x) ≤ λ para casi todo x /∈ Ω =⋃j

Ij,

|Ω| ≤ 1

λ‖f‖1,

λ <1

|Ij|

∫Ij

f ≤ 2λ.

Ahora descompongamos a f como la suma de las funciones g y b, dadas por

g (x) =

f(x) si x /∈ Ω1|Ij |∫Ijf si x ∈ Ij

yb(x) =

∑j

bj(x)

donde

bj(x) =

(f (x)− 1

|Ij|

∫Ij

f

)XIj (x) .

Notemos primero que ‖g‖1 = ‖f‖1 pues

∫Rg =

∫Ωcf +

∫Ω

[∑i

(1

|Ij|

∫Ij

f

)XIj

]=

∫Ωcf +

∑i

[∫Ij

(1

|Ij|

∫Ij

f

)]

=

∫Ωcf +

∑i

[(1

|Ij|

∫Ij

f

)|Ij|]

=

∫Ωcf +

∑i

(∫Ij

f

)=

∫Ωcf +

∫Ω

f =

∫Rf.

También nótese que g ∈ L2(R) puesto que

∫Rg2 =

∫Ωcf 2 +

∫Ω

[∑i

(1

|Ij|

∫Ij

f

)XIj

]2

=

∫Ωcf 2 +

∫Ω

∑i

(1

|Ij|

∫Ij

f

)2

XIj

≤∫

Ωcf 2 +

∫Ω

[∑i

(1

|Ij|

∫Ij

f 2

)XIj

]=

∫Ωcf 2 +

∑i

[∫Ij

(1

|Ij|

∫Ij

f 2

)]

=

∫Ωcf 2 +

∑i

(∫Ij

f 2

)=

∫Ωcf 2 +

∫Ω

f 2 =

∫Rf 2 <∞.

De aquí obtenemos que b ∈ L1(R) ∩ L2(R) y∫b = 0.

Como Hf = Hg +Hb, se sigue que

|x ∈ R : |Hf(x)| > λ| ≤ |x ∈ R : |Hg(x)| > λ/2|+ |x ∈ R : |Hb(x)| > λ/2| .


Estimaremos el primer sumando usando (2.3) y que g (x) ≤ 2λ casi en todas partes.

|x ∈ R : |Hg(x)| > λ/2| ≤(

2

λ

)2 ∫R|Hg (x)|2 dx =

4

λ2

∫R

[g (x)]2 dx

=8

λ

∫Rg (x) dx =

8

λ

∫Rf.

Sea 2Ij el intervalo con mismo centro que Ij y con el doble de longitud, y seaΩ∗ =

⋃j 2Ij. Entonces

|Ω∗| ≤∑j

|2Ij| = 2∑j

|Ij| = 2 |Ω| ≤ 2

λ‖f‖1

y obtenemos

|x ∈ R : |Hb(x)| > λ/2| = |x ∈ Ω∗ : |Hb(x)| > λ/2|+ |x /∈ Ω∗ : |Hb(x)| > λ/2|≤ |Ω∗|+ |x /∈ Ω∗ : |Hb(x)| > λ/2|

≤ 2

λ‖f‖1 +

2

λ

∫R\Ω∗|Hb (x)| dx.

Observemos que∑

j bj converge a b en L2(R), pues

∑j bj converge a b puntualmente,

b ∈ L1(R) y∣∣∣∑n

j bj

∣∣∣ ≤ |b| para todo n. Por (2.3) se sigue ∑j Hbj converge Hb en

L2(R). De aquí que existe una subsucesión∑nk

j Hbj

kque converge casi en todas

partes a Hb, es decir

Hb(x) = lımk→∞

nk∑j

Hbj(x) para casi todo x ∈ R,

por lo cual|Hb(x)| ≤

∑j

|Hbj(x)| para casi todo x ∈ R.

Entonces se tiene que∫R\Ω∗|Hb (x)| dx ≤

∫R\Ω∗

∑j

|Hbj(x)| dx =∑j

∫R\Ω∗|Hbj(x)| dx ≤

∑j

∫R\2Ij

|Hbj(x)| dx.

Para terminar la prueba falta mostrar que∑j

∫R\2Ij

|Hbj(x)| dx ≤ C ‖f‖1 .


Primero notemos que si x /∈ 2Ij, aunque bj /∈ S(R) se tiene

Hbj (x) =

∫Ij

bj (y)

x− ydy. (2.6)

En efecto, como bj ∈ L2(R), ‖bj‖2 ≤ ‖b‖2, considérese φn en C∞c (R), tal quesop φn ⊆ Ij y φn → bj en L2(R). Para x /∈ 2Ij y y ∈ Ij se tiene |x− y| > |Ij| /2, porlo cual

Hφn (x) = lımε→0

∫y∈Ij :|x−y|>ε

φn (y)

x− y dy =

∫Ij

φn (y)

x− y dy.

Dado que h (y) = 1x−y ∈ L

2(Ij) cuando x /∈ 2Ij, se sigue que∣∣∣∣∣∫Ij

φn (y)

x− y dy −∫Ij

bj (y)

x− ydy∣∣∣∣∣ ≤

∫Ij

∣∣∣∣ 1

x− y

∣∣∣∣ |φn (y)− bj (y)| dy ≤ ‖h‖2 ‖φn − bj‖2 → 0,

cuando n → ∞. Puesto que Hφn → Hbj en L2(R), existe una subsucesión Hφnkkque converge casi en todas partes a Hbj. Por lo cual

Hbj (x) = lımk→∞

Hφnk (x) = lımk→∞

∫Ij

φnk (y)

x− y dy =

∫Ij

bj (y)

x− ydy,

lo cual establece (2.6)Denotemos por cj el centro de Ij. Se tiene

∫bj = 0, luego que∫

R\2Ij|Hbj(x)| dx =

∫R\2Ij

∣∣∣∣∣∫Ij

bj (y)

x− ydy∣∣∣∣∣ dx =

∫R\2Ij

∣∣∣∣∣∫Ij

bj (y)

(1

x− y −1

x− cj

)dy

∣∣∣∣∣ dx≤∫R\2Ij

(∫Ij

|bj (y)| |y − cj||x− y| |x− cj|

dy

)dx

≤∫Ij

|bj (y)|(∫

R\2Ij

|y − cj||x− y| |x− cj|

dx

)dy,

y puesto que |y − cj| ≤ |Ij| /2 y |x− y| > |x− cj| /2, ya que

|x− y| ≥ |x− cj| − |y − cj| ≥ |x− cj| −|Ij|2

> |x− cj| −|x− cj|

2,

obtenemos ∫R\2Ij

|Hbj(x)| dx ≤∫Ij

|bj (y)|(∫

R\2Ij

|Ij|(x− cj)2dx

)dy.

También se tiene∫R\2Ij

|Ij|(x− cj)2dx =

∫ cj−|Ij |

−∞

|Ij|(x− cj)2dx+

∫ ∞cj+|Ij |

|Ij|(x− cj)2dx

=

[− |Ij|

(x− cj)

]cj−|Ij |−∞

+

[− |Ij|

(x− cj)

]∞cj+|Ij |

= 2,

y ∫Ij

|bj (y)| =∫Ij

∣∣∣∣∣(f (y)− 1

|Ij|

∫Ij

f

)∣∣∣∣∣ dy≤∫Ij

f (y) dy +

∫Ij

(1

|Ij|

∫Ij

f

)dy = 2

∫Ij

f (y) dy.

Se concluye que∑j

∫R\2Ij

|Hbj(x)| ≤ 2∑j

∫Ij

|bj (y)| ≤ 4∑j

∫Ij

fj (y) ≤ 4 ‖f‖1 .

Se ha demostrado que H es de tipo débil (1, 1) para f ≥ 0. Esto es suficiente,pues una función real se descompone en su parte positiva y en su parte negativa, yuna función compleja en su parte real e imaginaria.

Teorema 2.8 (Teorema de M. Riesz). Sea f ∈S(R), entonces H es de tipo fuerte(p, p), para 1 < p <∞, es decir:

‖Hf‖p ≤ Cp ‖f‖p .

Prueba. Por el Teorema 2.7, H es de tipo débil (1, 1) y por la igualdad (2.3) esde tipo fuerte (2, 2), entonces por Teorema de Interpolación de Marcinkiewicz, H esde tipo fuerte (p, p) para 1 2, se tiene que p′ < 2 con 1/p+1/p′ = 1,por lo cual usaremos que H es de tipo fuerte (p′, p′) y la igualdad (2.5).

‖Hf‖p = sup

∣∣∣∣∫ Hf · g∣∣∣∣ : ‖g‖p′ ≤ 1

= sup

∣∣∣∣∫ f ·Hg∣∣∣∣ : ‖g‖p′ ≤ 1

≤ ‖f‖p sup

‖Hg‖p′ : ‖g‖p′ ≤ 1

= Cp′ ‖f‖p .

Mediante los teoremas de Kolmogorov y de M. Riesz, extenderemos la definiciónde la transformada de Hilbert a los espacios Lp(R), para 1 ≤ p <∞.

Sean f ∈ L1(R) y fn∞n=1 una sucesión en S(R) que converge a f en L1(R).Entonces por Teorema de Kolmogorov y la desigualdad de tipo débil (1, 1), Hfn∞n=1

es una sucesión de Cauchy en medida, es decir para cada ε > 0

lımm,n→∞

|x ∈ R : |(Hfn −Hfm) (x)| > ε| = 0.

En consecuencia, Hfn∞n=1 converge en medida a una función medible, la cual lla-maremos la transformada de Hilbert de f , denotada por Hf , es decir

Hf := lımn→∞

Hfn en medida.

Sean f ∈ Lp(R) y fn∞n=1 una sucesión en S(R) que converge a f en Lp(R).Por el Teorema de M. Riesz y la desigualdad de tipo fuerte (p, p), Hfn∞n=1 es unasucesión de Cauchy en Lp(R), así Hfn∞n=1 converge a una función en L

p(R) la cualllamaremos la transformada de Hilbert de f , denotada por Hf ,

Hf := lımn→∞

Hfn en Lp(R).

El operador H no es de tipo fuerte (p, p) para p = 1 o p = ∞. Consideremosla función f = X[0,1] ∈ Lp(R), para 1 ≤ p ≤ ∞. Sea φn∞n=1 en Cc(R), tal quesop φn ⊂ (0, 1), 0 ≤ φn ≤ 1 y φn = 1 en [1/2n, 1− 1/2n]. Entonces se tiene que φn → fen L2(R), luego que Hφn → Hf en L2(R) y por lo tanto existe una subsucesiónφk∞k=1 tal que Hf(x) = lımk→∞Hφk(x) casi en todas partes. Así para casi todox ∈ R se tiene

Hf(x) =1

πlımk→∞

lımε→0

∫y∈R:|x−y|>ε

φk (y)

x− y dy.

Si x ∈ (0, 1), para cada k que satisface x ∈[1/2k, 1− 1/2k

]elíjase εk > 0 tal que

B (x, εk) ⊂[1/2k, 1− 1/2k

], por lo que para ε < εk se tiene

Hf (x) =1

πlımk→∞

lımε→0

[∫ x−ε

1/2k

dy

x− y −∫ 1−1/2k

x+ε

dy

y − x

]=

1

πlımk→∞

lımε→0

([− ln (x− y)]y=x−ε

y=1/2k− [ln (y − x)]y=1−1/2k

y=x+ε

)=

1

πlımk→∞

lımε→0

[− ln (ε) + ln

(x− 1/2k

)− ln

(1− 1/2k − x

)+ ln (ε)

]=

1

πlımk→∞

[ln(x− 1/2k

)− ln

(1− 1/2k − x

)]=

1

πln

∣∣∣∣ x

x− 1

∣∣∣∣ .De manera similar obtenemos que Hf (x) = π−1 ln |x/ (x− 1)| para x /∈ [0, 1]. Lafunción ln |x/ (x− 1)| no es integrable y tampoco es acotada.

CAPÍTULO 3

OPERADORES DE CALDERÓN-ZYGMUND

La expresión “operador integral singular” hace mención a dos propiedades deoperadores que estudiaremos. Son definidos como integrales,

Tf (x) =

∫K (x, y) f (y) dy,

donde K es singular de alguna manera. En este capítulo definiremos operador deCalderón-Zygmund y probaremos el acotamiento en Lp. Nuestra exposición estarábasada en las referencias [2], [6], [22].

Con el objeto de motivar la definición de esta familia de operadores, empezaremosdando algunos ejemplos.

3.1. Ejemplos de Operadores Integrales Singulares

Ejemplo 3.1 La transformada de Hilbert.Para f ∈ S(R), sea

Hf (x) =1

πv.p.

∫ ∞−∞

f (y)

x− ydy =1

πlımε→0

∫y∈R:|x−y|>ε

f (y)

x− ydy.

La transformada de Hilbert es un ejemplo donde el integrando es no integrable,por esta razón se utiliza el término “integral singular”. Si el núcleo (x− y)−1 sereemplaza por su valor absoluto, entonces el límite del valor principal no existe enx siempre que f (x) 6= 0. De aquí que la definición de la transformada depende dela cancelación de la integral. De hecho la teoría de operadores integrales singularesdescansa en tal cancelación.

Ejemplo 3.2 Las transformadas de Riesz.Sea n ≥ 2 y 1 ≤ j ≤ n. Para f ∈ S(Rn) sea

Rjf (x) = Cn lımε→0

∫y∈Rn:|x−y|>ε

xj − yj|x− y|n+1f (y) dy,

dondeCn = Γ ((n+ 1) /2) /π(n+1)/2.

41

42 CAPÍTULO 3. OPERADORES DE CALDERÓN-ZYGMUND

Las transformadas de Riesz constituyen una generalización directa a varias va-riables de la transformada de Hilbert. El límite en la definición existe para todaf ∈ S(Rn) debido a la cancelación. La j-ésima transformada de Riesz satisface:

(Rjf ) (ξ) = −i ξj|ξ| f (ξ) .

Las transformadas de Riesz tienen un interés particular en el análisis de ecuacionesdiferenciales parciales. Para f ∈ S(Rn) se tiene

∂2f

∂xi∂xj= − (RiRj4f) ,

puesto que

(RiRj4f ) (ξ) =

(iξi|ξ|

)(iξj|ξ|

)4f (ξ) = ξiξj f (ξ) = −

(∂2f

∂xi∂xj

)(ξ) .

También se tiene que ∥∥∥∥ ∂2f

∂xi∂xj

∥∥∥∥L2≤ ‖4f‖L2 ,

ya que ∥∥∥∥∥(

∂2f

∂xi∂xj

)(ξ)

∥∥∥∥∥L2

=

∥∥∥∥(i ξi|ξ|)(

iξj|ξ|

)4f (ξ)

∥∥∥∥L2≤∥∥∥4f∥∥∥

L2.

Es decir, el laplaciano controla todas las derivadas parciales de orden 2 en la normaL2.

Ejemplo 3.3 Transformadas con núcleo homogéneo.Definamos

TΩ(x) = lımε→0

∫y∈Rn:|x−y|>ε

Ω (xj − yj)|x− y|n f (y) dy.

donde Ω es una función que satisface Ω (λx) = Ω (x) para todo x ∈ Rn y λ > 0, yademás como función definida en la esfera unitaria Sn−1 satisface que

Ω ∈ L1(Sn−1

)y∫Sn−1

Ω (σ) dσ = 0.

3.2. OPERADORES INTEGRALES DE CALDERÓN-ZYGMUND 43

Para n ≥ 2, si Ω (x) = xj/ |x|, obtenemos la transformada de Riesz Rj. Paran = 1, con Ω (x) = sgn (x), se tiene la transformada de Hilbert. En ambos casos Ω esimpar.

Ejemplo 3.4 La transformada de Beurling.Para (x, y) , (ξ, η) ∈ R2, sea z = x + iy y ζ = ξ + iη, por lo que la transformada

de Fourier se puede representar por

f (ξ, η) =

∫R2e−2πi(ξx+ηy)f (x+ iy) dxdy.

Sea

m (ξ, η) =ξ − iηξ + iη

=ζ

ζ.

Para f ∈ L2 la transformada de Beurling está dada por

(Bf ) (ξ, η) := f (ξ, η)m (ξ, η) .

Al igual que la transformada de Riesz, la transformada de Beurling es un casoparticular de la transformada con núcleo homogéneo. Para f ∈ C1

c (R2) se tiene que

(Bf) (z) = − 1

πv.p

∫C

f (w)

(z − w)2dλ (w) ,

donde λ denota la medida de Lebesgue en C. Este operador tiene núcleo

K (z) =1

z2= |z|−2 Ω (z) con Ω (z) =

|z|2

z2.

3.2. Operadores integrales de Calderón-Zygmund

En esta sección generalizaremos la teoría de acotamiento en Lp a operadoresintegrales singulares. Estos operadores serán definidos usando distribuciones. Paramotivar la definición, supóngase que se tiene el siguiente operador de tipo convolución

Tf (x) = v.p.

∫K (x− y) f (y) dy,

donde K (x) = |x|−n Ω (x/ |x|) , y Ω es de tipo Hölder, es decir, |Ω (θ)− Ω (θ′)| ≤

C |θ − θ′|α , para 0 < α < 1. Notemos las siguientes propiedades fundamentales:

|K (x)| ≤ C

|x|n , (3.1)

|K (x)−K (y)| ≤ C|x− y|α

|x|n+α si |x− y| ≤ |x|2. (3.2)

Para x 6= 0 se tiene∣∣∣∣Ω( x

|x|

)∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣Ω( x

|x|

)− Ω

(x0

|x0|

)∣∣∣∣+

∣∣∣∣Ω( x0

|x0|

)∣∣∣∣≤ C

∣∣∣∣ x|x| − x0

|x0|

∣∣∣∣α +

∣∣∣∣Ω( x0

|x0|

)∣∣∣∣ ≤ C2α +

∣∣∣∣Ω( x0

|x0|

)∣∣∣∣ ,Así Ω es acotada en Sn−1, por lo que se sigue (3.1).

Para mostrar (3.2) veamos que

|K (x)−K (y)| =∣∣∣∣ 1

|x|n[Ω

(x

|x|

)− Ω

(y

|y|

)]+ Ω

(y

|y|

)[1

|x|n −1

|y|n]∣∣∣∣

≤ 1

|x|n∣∣∣∣Ω( x

|x|

)− Ω

(y

|y|

)∣∣∣∣+

∣∣∣∣Ω( y

|y|

)∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1

|x|n −1

|y|n∣∣∣∣ = S1 + S2.

Para S1 se tiene

S1 ≤ C|x |y| − y |x||α

|x|α |y|α |x|n ≤ C|x |y| − x |x||α

|y|α |x|n+α + C|x |x| − y |x||α

|y|α |x|n+α

≤ C |x|α

|y|α[||y| − |x||α

|x|n+α +|x− y|α

|x|n+α

]≤ C2 · 2α |x− y|

α

|x|n+α ,

dado que |x| /2 < |y|.Por otro lado para S2,

S2 ≤ C

∣∣∣∣ |y|n − |x|n|x|n |y|n∣∣∣∣ = C ||y| − |x||

∣∣∣∣∣ |y|n−1 + |x| |y|n−2 + ...+ |x|n−1

|x|n |y|n

∣∣∣∣∣≤ C|x− y|Cn |y|n−1

|x|n |y|n pues |x| < 2 |y|

= Cn |x− y|α|x− y|1−α

|x|n |y| ≤ Cn |x− y|α|x|1−α

21−α1

|x|n2

|x| = Cn,α|x− y|1−α

|x|n+α ,

por lo que obtenemos (3.2).

Consideraremos operadores integrales singulares que no necesariamente son detipo convolución, es decir operadores de la forma

Tf (x) =

∫K (x, y) f (y) dy.

Ejemplo 3.5 La integral de Cauchy definida sobre la gráfica de una función. SeaΓ = (x,A (x)) : x ∈ R la gráfica de la función A : R→ R que tiene regularidad detipo Lipschitz, es decir, |A (x)− A (y)| ≤ M |x− y|. Dada f ∈ S(R), la integral deCauchy de f sobre la gráfica Lipschitz Γ = (t, A (t)) está definida por

CΓf (z) =1

2πi

∫ ∞−∞

f (t) (1 + iA′ (t))

t+ iA (t)− z dt

la cual representa una función analítica en el abierto Ω+ = z = x+ iy : y > A (x) .Sus valores frontera en Γ están dados por

lımε→0

CΓf (x+ i (A (x) + ε))

lo cual nos conduce a considerar el operador

Tf (x) = lımε→0

∫|x−y|>ε

f (y)

x− y + i (A (x)− A (y))dy.

La integral de Cauchy no es un operador del tipo convolución, y lo incluiremos en

la familia de operadores integrales singulares. Por lo tanto extenderemos el conceptode operador integral singular.

Se denotará D = C∞c (Rn), y por D′ al espacio de distribuciones en C∞c (Rn), estoes, el dual de C∞c (Rn). D′ está dotado de la topología de la convergencia puntual, esdecir, Tk → T en dicha topología si y solo si 〈Tk, φ〉 → 〈T, φ〉 para todo φ ∈ C∞c (Rn).

Definición 3.6 Un núcleo K en Rn es una función K : Rn×Rn\(x, y) : x = y →C la cual es localmente integrable fuera de la diagonal. Diremos que un núcleo K enRn es un núcleo estándar, si existen δ > 0 y 0 < C < ∞, tales que para todo parde puntos distintos x, y ∈ Rn y toda z ∈ Rn con |x− z| < |x− y| /2 se cumple:

|K (x, y)| ≤ C |x− y|−n , (3.3)

|K (x, y)−K (z, y)| ≤ C|x− z|δ

|x− y|n+δ, (3.4)


|K (y, x)−K (y, z)| ≤ C|x− z|δ

|x− y|n+δ. (3.5)

Algunos ejemplos básicos de núcleo estándar son (x− y)−1 y |x− y|−1 en R,y los ejemplos previamente vistos en la sección anterior. Veamos que la condición|∇K (x, y)| ≤ C |x− y|−n−1 implica (3.4) y (3.5).

Se tiene que

|K (x, y)−K (z, y)| = |∇K ((1− t) (x, y) + t (z, y)) · (−x+ z, 0)| para algún t ∈ (0, 1)

≤ |∇K [(1− t)x+ tz, y]| |z − x| ≤ C|z − x|

|(1− t)x+ tz − y|n+1

= C|x− z|

|x− y − t (x− z)|n+1 ≤ C|x− z|

(|x− y| − t |x− z|)n+1

≤ C|x− z|

(1− t/2)n+1 |x− y|n+1 ≤ Cn|x− z||x− y|n+1 .

Definición 3.7 Un operador lineal y continuo T : D → D′ está asociado a unnúcleo K si para cada pareja f, g ∈ D con soportes ajenos se verifica

〈Tf, g〉 =

∫ ∫K (x, y) f (y) g (x) dydx. (3.6)

Además si K es un núcleo estándar, diremos que T es un Operador Integral Sin-gular.

Notemos las siguientes observaciones importantes:

(I) La Transformada de Hilbert está asociada al núcleo π−1 (x− y)−1; el operadoridentidad I está asociado al núcleo K (x, y) = 0 porque If (x) = 0 si x /∈ sop f . Unoperador está asociado a lo más a un núcleo, sin embargo, un mismo núcleo puedeestar asociado a distintos operadores. Por ejemplo, el núcleo cero está asociado aloperador identidad y al operador de multiplicación puntual por una función acotada.

(II) La condición (3.6) es equivalente a que para todo x /∈ sop φ, φ ∈ D se cumple

Tφ (x) =

∫K (x, y)φ (y) dy.

Definición 3.8 Un operador T : D → D′, es un operador de Calderón-Zygmundsi se cumple que:

(I) T es un Operador Integral Singular.(II) T puede extenderse a un operador acotado en L2 (Rn) .

Teorema 3.9 Sea T un operador de Calderón-Zygmund, entonces T es de tipo débil(1, 1) .

Prueba. Sean f ∈ D y λ > 0. Ahora sea Cλ = Qj la familia de cubos deCalderón-Zygmund de |f | correspondientes a λ. Así

λ <1

|Qj|

∫Qj

|f | ≤ 2nλ, para todo j,

|f (x)| ≤ λ para casi todo x /∈ Ω =⋃j

Qj,

|Ω| ≤ 1

λ‖f‖1 .

Ahora sea f = g + b, donde

g (x) =

f(x) si x /∈ Ω1|Qj |∫Qjf si x ∈ Qj

yb(x) =

∑j

bj(x),

con

bj(x) =

(f (x)− 1

|Qj|

∫Qj

f

)XQj (x) .

Por lo anterior tenemos que: ∫Qj

bj(x) = 0, (I)

∫|b| =

∑j

∫Qj

|bj| ≤∑j

[∫Qj

|f |+ 1

|Qj|

∫Qj

f |Qj|]≤ 2 ‖f‖1 , (II)


‖g‖1 = ‖f‖1 , (III)

|g| ≤ 2nλ casi en todas partes. (IV)

Dado que Tf = Tg + Tb, se sigue

|x ∈ Rn : |Tf(x)| > λ| ≤ |x ∈ Rn : |Tg(x)| > λ/2|+ |x ∈ Rn : |Tb(x)| > λ/2| .

Por una parte

|x ∈ R : |Tg(x)| > λ/2| ≤(

2

λ‖Tg‖2

)2

≤(

2C

λ‖g‖2

)2

≤ 4C2

λ22nλ ‖g‖1 =

C

λ‖f‖1 .

Sea Ω∗ =⋃j Q∗j , donde Q

∗j = 2

√nQj, notemos que,

|Ω∗| ≤(2√n)n∑

j

|Qj| ≤C

λ‖f‖1 .

Esto implica que

|x ∈ R : |Tb(x)| > λ/2| = |x ∈ Ω∗ : |Tb(x)| > λ/2|+ |x /∈ Ω∗ : |Tb(x)| > λ/2|≤ |Ω∗|+ |x /∈ Ω∗ : |Tb(x)| > λ/2|

≤ C

λ‖f‖1, +

2

λ

∫Rn\Ω∗

|Tb (x)| dx.

La serie∑

j bj converge a b en L2(Rn), como T es acotado en L2(Rn) se sigue que∑

j Tbj converge Tb en L2(R). De aquí que

|Tb(x)| ≤∑j

|Tbj(x)| para casi todo x ∈ Rn.

Denotemos por yj al centro de Qj, así

2

λ

∫Rn\Ω∗

|Tb (x)| dx ≤ 2

λ

∫Rn\Ω∗

∑j

|Tbj(x)| dx =2

λ

∑j

∫Rn\Ω∗

|Tbj(x)| dx (3.7)

≤ 2

λ

∑j

∫Rn\Q∗j

|Tbj(x)| dx =2

λ

∑j

∫Rn\Q∗j

∣∣∣∣∣∫Qj

K (x, y) bj (y) dy

∣∣∣∣∣ dx≤ 2

λ

∑j

∫Rn\Q∗j

∫Qj

|K (x, y)−K (x, yj)| |bj (y)| dydx.

Puesto que y ∈ Qj y x /∈ 2√nQj, se tiene 2 |y − yj| ≤

√n |Qj|1/n < |x− yj|, luego

2

λ

∫Rn\Ω∗

|Tb (x)| dx ≤ C

λ

∑j

∫Rn\Q∗j

∫Qj

|y − yj|δ

|x− yj|n+δ|bj (y)| dydx

≤ C

λ

∑j

∫Qj

|bj (y)|∫|x−yj |>2|y−yj |

|y − yj|δ

|x− yj|n+δdxdy.

Ahora vemos que∫|x−yj |>2|y−yj |

|y − yj|δ

|x− yj|n+δdx = |y − yj|δ

∫|u|>2|y−yj |

du

|u|n+δ

= |y − yj|δ∫ ∞

2|y−yj |

∣∣Sn−1∣∣ rn−1

rn+δdr

= |y − yj|δ∣∣Sn−1

∣∣ r−δδ

∣∣∣∣r=∞r=2|y−yj |

=|Sn−1|δ2δ

= Cn.

Por lo tanto

2

λ

∫Rn\Ω∗

|Tb (x)| dx ≤ Cnλ

∑j

∫Qj

|bj (y)| = Cnλ‖b‖1 ≤

Cnλ‖f‖1 .

Se concluye que

|x ∈ R : |Tb(x)| > λ/2| ≤ Cnλ‖f‖1 .

Si T : Lp → Lp, 1 < p <∞, es un operador acotado con núcleo asociado K (x, y),el operador adjunto T ∗ : Lp

′ → Lp′tiene asociado el núcleo K (y, x) ya que

〈T ∗ (g) , f〉 = 〈g, T (f)〉 =

∫g (s)Tf (s) ds =

∫g (s)

∫K (s, t) f (t) dtds

=

∫ ∫K (s, t) g (s) dsf (t) dt.

Y puesto que T es acotado si y solo si T ∗ es acotado, entonces obtenemos elsiguiente resultado.

Corolario 3.10 Si T es un operador de Calderón-Zygmund, entonces T es de tipofuerte (p, p), 1 < p <∞.

Prueba. Sea K (x, y) el núcleo estándar al cual el operador T está asociado. PorTeorema 3.9 T es de tipo débil (1, 1) y por hipótesis es de tipo fuerte (2, 2). Porinterpolación, T es de tipo fuerte (p, p), para 1 2 entonces p′ < 2, dado que el operador adjunto T ∗ : Lp′ → Lp

′tiene

asociado el núcleo estándar K (y, x), por Teorema 3.9 el operador T ∗ es de tipofuerte (p′, p′), de lo que se sigue que T es de tipo fuerte (p, p) .

Corolario 3.11 Se obtiene la misma conclusión que en el Teorema 3.9, si en el núcleoK(x, y) en lugar de suponer las estimaciones (3.4) y (3.5), suponemos la condiciónde Hörmander, a saber:∫

|x−y|>2|y−z||K (x, y)−K (x, z)| dx ≤ C y∫

|x−y|>2|x−w||K (x, y)−K (w, y)| dy ≤ C.

La prueba es exactamente igual a la del Teorema 3.9, solo que hay que usar lacondición de Hörmander en la estimación (3.7).

3.3. El acotamiento Lp para ciertos operadoresDe acuerdo al Teorema 3.9 y por interpolación, la pregunta sobre el acotamiento

Lp, 1 < p <∞, de operadores integrales singulares se reduce a obtener el acotamientoen L2. Para ciertos casos, este acotamiento en L2 se traduce en propiedades expresadasa través de la transformada de Fourier.

Teorema 3.12 Supóngase que el operador integral singular T cumple (Tf ) (ξ) =

m (ξ) f (ξ) , para cierta función m (ξ) y para toda f ∈ C∞c (Rn). Entonces T puedeextenderse a un operador acotado en L2 (Rn) si y solo si m ∈ L∞ (Rn).

Prueba. Supongamos que m ∈ L∞ (Rn), entonces para f ∈ L2 (Rn) se tiene

‖Tf‖2 =∥∥∥T f∥∥∥

2=∥∥∥mf∥∥∥

2≤ ‖m‖∞

∥∥∥f∥∥∥2

= ‖m‖∞ ‖f‖2 .

Ahora supóngase que m /∈ L∞ (Rn), defínase fN por medio de fN = XEN dondeEN ⊂ Rn es un subconjunto acotado de medida positiva donde |m (ξ)| ≥ N para todoξ ∈ EN . Entonces

‖TfN‖2 =∥∥∥T fN∥∥∥

2=∥∥∥mfN∥∥∥

2= ‖mXEN‖2 ≥ N ‖XEN‖2 = N ‖fN‖2 ,

para todo N ∈ N, y así inferimos que T no es acotado en L2 (Rn).

CAPÍTULO 4

TEORÍA DE PESOS DE MUCKENHOUPT

Las desigualdades obtenidas en los capítulos 1 y 3 en la medida de Lebesgue paracierto tipo de operadores, se pueden generalizar a un tipo particular de medidas dela forma w (x) dx. En este capítulo nos dedicaremos a estudiar dichas desigualdades.Daremos condiciones necesarias y suficientes en w para que el operador maximal deHardy-Littlewood M sea de tipo fuerte (p, p) con respecto a w, para 1 < p < ∞.Gracias al “control”que la función maximal ejerce sobre los operadores de Calderón-Zygmund, obtendremos también la desigualdad de tipo fuerte (p, p), para 1 < p <∞,y de tipo débil (1, 1) para dicha familia de operadores. La obtención de todas estasdesigualdades forma parte del estudio de la teoría Ap, introducida por B. Mucken-houpt, R. Hunt and R. Wheeden en [16] y [17] y desarrollada posteriormente por otrosautores (ver [3], [20], [1], [15], [14], [19]). Desarrollaremos nuestra exposición basadosen las referencias [9], [6], [5], [11], [24].

4.1. La condición Ap

Definición 4.1 Dado un espacio de medida, un peso es una función medible w convalores en [0,∞].

Los problemas que abordaremos serán los siguientes:

Problema 4.2 Dado 1 0 tal que[∫

Rn(Mf (x))pw (x) dx

]1/p

≤ C

[∫Rn|f (x)|pw (x) dx

]1/p

. (4.1)

Si generalizamos el problema anterior a un par de pesos (u,w) obtenemos losiguiente.

51

52 CAPÍTULO 4. TEORÍA DE PESOS DE MUCKENHOUPT

Problema 4.3 Dado 1 < p < ∞, determinar aquellos pares de pesos (u,w) en Rn,para los cuales el operador maximal M es de tipo fuerte (p, p) con respecto al par demedidas u (x) dx y w (x) dx, es decir, para los cuales existe una constante C > 0 talque [∫

Rn(Mf (x))p u (x) dx

]1/p

≤ C

[∫Rn|f (x)|pw (x) dx

]1/p

. (4.2)

También nos interesa obtener desigualdades del tipo débil, por lo que tenemos

Problema 4.4 Dado 1 ≤ p < ∞, determinar aquellos pares de pesos (u,w) en Rn,para los cuales el operador maximal M es de tipo débil (p, p) con respecto al par demedidas u (x) dx y w (x) dx, es decir, para los cuales se tiene la desigualdad

u (x ∈ Rn : Mf (x) > t) ≤ Ct−p∫Rn|f (x)|pw (x) dx, (4.3)

para cierta constante C > 0, donde para un conjunto E, u (E) significa

u (E) =

∫E

u (x) dx.

Empezaremos abordando el Problema 4.4. Supongamos que el par de pesos (u,w)satisface la desigualdad (4.3) para una p dada, 1 ≤ p < ∞, y para toda función f ∈L1loc (Rn) y toda t > 0.Sea f ≥ 0, sea Q un cubo tal que fQ > 0. Se tiene que

fQ ≤M (fXQ) (x) para todo x ∈ Q.

Puesto que

M (fXQ) (x) = supR3x

1

|R|

∫R∩Q

f (y) dy ≥ 1

|Q|

∫Q

f (y) dy,

entonces, para cada t con 0 < t < fQ se verifica

Q ⊂ Et = x ∈ Rn : M (fXQ) (x) > t .

Por la desigualdad (4.3) obtenemos

u (Q) ≤ Ct−p∫Q

f (x)pw (x) dx.

4.1. LA CONDICIÓN AP 53

Ahora tomamos límite cuando t tiende a fQ para llegar a

(fQ)p u (Q) ≤ C

∫Q

f (x)pw (x) dx. (4.4)

Si S es un subconjunto medible de Q, podemos reemplazar f en (4.4) por fXS,así (

1

|Q|

∫S

f (x) dx

)pu (Q) ≤ C

∫S

f (x)pw (x) dx. (4.5)

Nótese que (4.5) es equivalente a (4.4). Con f (x) ≡ 1 en (4.5) obtenemos(|S||Q|

)pu (Q) ≤ Cw (S) . (4.6)

De (4.6) podemos extraer la siguiente información acerca del par de pesos (u,w) .

Proposición 4.5 Sea (u,w) un par de pesos para los cuales el operador maximal Mes de tipo débil (p, p). Entonces

(a) w (x) > 0 para casi toda x ∈ Rn, a menos que u (x) = 0 casi en todas partes.(b) u es localmente integrable, a menos que w (x) =∞ casi en todas partes.

Prueba. Para probar (a), supongamos que w (x) = 0 en un conjunto S de medidapositiva, sin pérdida de generalidad supongamos que S es acotado, esto implica quew (S) = 0; por (4.6) se sigue que u (Q) = 0 para todo cubo Q que contiene a S, enconsecuencia u (x) = 0 casi para toda x ∈ Rn.

Ahora probaremos (b). Si u (Q) = ∞, para algún cubo Q, consecuentementeu (Q′) =∞ para cualquier cubo Q′ tal que Q ⊂ Q′, (4.6) conlleva a w (S) =∞ paracualquier conjunto S con medida positiva, de lo que se deduce que w (x) =∞ casi entodas partes.

Derivaremos una condición necesaria sobre el par de pesos (u,w), a fin de que lacondición de tipo débil se satisfaga para toda f ∈ Lp (Rn) y t > 0.

Si p = 1, la desigualdad (4.6) se puede escribir de la forma

1

|Q|

∫Q

u (x) dx ≤ C1

|S|

∫S

w (x) dx. (4.7)

La desigualdad (4.7) es válida para todo cubo Q y todo conjunto S ⊂ Q con|S| > 0. Sea a ∈ R tal que

a > ınf esQ (w) = ınf t > 0 : |x ∈ Q : w (x) < t| > 0 ,

así, el conjunto Sa = x ∈ Q : w (x) < a tiene medida positiva. Sustituyendo el con-junto S en (4.7) por Sa obtenemos

u (Q)

|Q| ≤ Ca.

Puesto que esta desigualdad se verifica para todo a > ınf esQ (w), concluimos que

1

|Q|

∫Q

u (y) dy ≤ C ınf esQ (w) ≤ Cw (x) para casi toda x ∈ Q. (4.8)

Mostraremos que (4.8) es equivalente a:

M (u) (x) ≤ Cw (x) para casi toda x ∈ Rn. (4.9)

Es claro que (4.9) implica (4.8) para todo cubo Q. Recíprocamente, si (4.8) secumple para todo cubo Q, entonces veremos que el conjunto

B = x ∈ Rn : M (u) (x) > Cw (x)

tiene medida cero. Si x ∈ Rn, cumple que M (u) (x) > Cw (x) , entonces existe uncubo Q que contiene a x para el cual

1

|Q|

∫Q

u (y) dy > Cw (x) .

Sin pérdida de generalidad supongamos que Q tiene vértices con todas sus coor-denadas racionales. Por consiguiente, el conjunto B está contenido en una uniónnumerable de conjuntos de medida cero, y así B tiene medida cero.

Definición 4.6 La condición (4.9),

M (u) (x) ≤ Cw (x) para casi toda x ∈ Rn,

se denomina la condición A1 para el par de pesos (u,w) . Cuando se satisface decimosque el par de pesos (u,w) pertenece a la clase A1.

Veremos a A1 como una colección de pares de pesos (u,w). La constante A1 serála C más pequeña para la cual se verifica (4.9).

En los cálculos anteriores hemos visto que siM es de tipo débil (1, 1) con respectoal par (u,w) , entonces (u,w) ∈ A1, es decir, la condiciónA1 es una condición necesariapara queM sea de tipo débil (1, 1) con respecto al par (u,w) . A continuación veremosque A1 también es suficiente para garantizar desigualdad de tipo débil (1, 1) .

Proposición 4.7 El operador maximal de Hardy-Littlewood M es de tipo débil (1, 1)con respecto al par de pesos (u,w), si y solo si (u,w) ∈ A1.

Prueba. Quedó demostrado que siM es de tipo débil (1, 1) entonces (u,w) ∈ A1.Supongamos que (u,w) ∈ A1, por lo que M (u) (x) ≤ Cw (x) para casi toda x ∈ Rn.Sea f ∈ L1 (Rn), por Proposición 1.24 se tiene que∫

x∈Rn:Mf(x)>tu (x) dx ≤ C

t

∫Rn|f(x)|Mu (x) dx.

Así, la condición A1 nos produce

u (x ∈ Rn : Mf(x) > t) ≤ Ct−1

∫Rn|f(x)|Mu (x) dx ≤ Ct−1

∫Rn|f(x)|w (x) dx.

Enseguida trataremos el caso 1 < p <∞. Comenzaremos buscando una condiciónnecesaria para que M sea de tipo débil (p, p) con respecto al par de pesos (u,w).

Si M es de tipo débil (p, p) con respecto a (u,w) entonces se satisface (4.5), estoes, (

1

|Q|

∫S

f (x) dx

)pu (Q) ≤ C

∫S

f (x)pw (x) dx

para toda función f ≥ 0, todo cubo Q y todo conjunto medible S ⊂ Q. Tomemos ftal que

f (x) = (f (x))pw (x) ,

es decir,

f (x) = w (x)−1p−1 .

Esta función no es necesariamente localmente integrable. Fijemos un cubo Q y sea

Sj =

x ∈ Q : w (x) >

1

j

para j = 1, 2, ...

En cada Sj, f es acotada, se sigue que∫Sjf <∞, por lo que (4.5) implica

(1

|Q|

∫Sj

w (x)−1p−1 dx

)pu (Q)

|Q| ≤C

|Q|

∫Sj

w (x)−1p−1 dx.


Puesto que las integrales son finitas llegamos a(1

|Q|

∫Q

u (x) dx

)(1

|Q|

∫Sj

w (x)−1p−1 dx

)p−1

≤ C.

Se tiene S1 ⊂ S2 ⊂, ... y ∪∞j=1Sj = x ∈ Q : w (x) > 0, y por (a) de la Proposición4.5 el conjunto Q \ ∪∞j=1Sj tiene medida cero. Finalmente obtenemos(

1

|Q|

∫Q

u (x) dx

)(1

|Q|

∫Q

w (x)−1p−1 dx

)p−1

≤ C. (4.10)

Definición 4.8 Sea p > 1, diremos que el par de pesos (u,w) satisface la condiciónAp o que pertenece a la clase Ap si existe una constante C tal que

(1

|Q|

∫Q

u (x) dx

)(1

|Q|

∫Q

w (x)−1p−1 dx

)p−1

≤ C,

para todo cubo Q. La mas pequeña de tales constantes C se llama la constante Appara el par (u,w).

Hemos probado que siM es de tipo débil (p, p) con respecto al par (u,w), entonces(u,w) ∈ Ap. Es decir, la condición Ap es una condición necesaria para garantizar ladesigualdad del tipo débil (p, p).

Proposición 4.9 Si (u,w) ∈ Ap, entonces u y w−1p−1 son localmente integrables.

Prueba. Si |Q|−1 ∫Qu (x) dx = ∞, tenemos que |Q′|−1 ∫

Q′ u (x) dx = ∞ para

todo cubo Q′ ⊃ Q . Por condición Ap obtenemos |Q′|−1 ∫Q′ w (x)

−1p−1 dx = 0, de lo

cual w (x)−1p−1 = 0 casi en todas partes, en consecuencia w (x) = ∞ casi en todas

partes, el cual es un caso que excluimos.Análogamente si |Q|−1 ∫

Qw (x)

−1p−1 dx = ∞, entonces u (x) = 0 casi en todas

partes, el cual también en un caso que se excluye.

La condición A1 puede verse como un caso límite de la condición Ap cuando p→ 1.En efecto, hemos visto que la condición A1 es equivalente a

1

|Q|

∫Q

u (x) dx ≤ C ınf esQ (w) ,

la cual puede escribirse como(1

|Q|

∫Q

u (x) dx

)sup esQ

(w−1

)≤ C.

Mientras que(1

|Q|

∫Q

w (x)−1p−1 dx

)p−1

=∥∥w−1

∥∥L

1p−1 (Q,|Q|−1dx)

→∥∥w−1

∥∥L∞(Q)

= sup esQ(w−1

),

cuando p→ 1, pues 1/ (p− 1)→∞.Similarmente a la Proposición 4.9 tenemos que si (u,w) ∈ A1 entonces u es

localmente integrable y w−1 es localmente acotada.Ahora demostraremos que la condición Ap para el par (u,w), es una condición

suficiente para que el operador M sea tipo débil (p, p) con respecto a (u,w) .

Proposición 4.10 Sea 1 < p <∞. El operador maximal de Hardy-Littlewood M esde tipo débil (p, p) con respecto al par de pesos (u,w), si y solo si (u,w) ∈ Ap.

Prueba. Hemos mostrado que si M es de tipo débil (p, p) con respecto a (u,w)

entonces (u,w) ∈ Ap. Supongamos que (u,w) ∈ Ap, por la desigualdad Hölder parap y p′ = p/ (p− 1) tenemos que para todo cubo Q y toda f ≥ 0 se tiene

fQ =1

|Q|

∫Q

f (x)w (x)1/pw (x)−1/p dx

≤(

1

|Q|

∫Q

f (x)pw (x) dx

)1/p(1

|Q|

∫Q

w (x)−1p−1 dx

)(p−1)/p

.

De lo que obtenemos

(fQ)p u (Q) ≤ u (Q)

|Q|

(∫Q

f (x)pw (x) dx

)(1

|Q|

∫Q

w (x)−1p−1 dx

)(p−1)

≤ C

∫Q

f (x)pw (x) dx.

Es decir, para todo cubo Q y toda f ≥ 0 se cumple la desigualdad (4.4).Nótese que (4.4) implica que Lploc (w) ⊂ L1

loc (Rn). Ahora mostraremos que ladesigualdad (4.4) implica la desigualdad de tipo débil.

En efecto, sea f ∈ Lploc (w), y sea fk = fXQ(0,k) para k ∈ N, por lo que se tieneque f = lım fk puntualmente, con fk ∈ Lp (w) ∩ L1 (Rn). Si la desigualdad de tipodébil (4.3) se cumple para todo fk entonces por la igualdad (1.12) de la prueba de laProposición 1.24 tenemos∫x∈Rn:Mf(x)>t

u (x) dx = lımj→∞

∫x∈Rn:Mfj(x)>t

u (x) dx ≤ lımj→∞

Ct−p∫Rnfk (x)pw (x) dx

= Ct−p∫Rnf (x)pw (x) dx.

Por lo tanto podemos asumir que f ∈ Lp (w)∩L1 (Rn). Sea t > 0, por descomposiciónde Calderón-Zygumund obtenemos una colección de cubos que no se traslapan Qjtales que

t

4n<

1

|Qj|

∫Qj

f(x)dx ≤ t

2n,

x ∈ Rn : Mf(x) > t ⊂⋃j

3Qj.

Puesto que (4.4) es equivalente a (4.5), esto es,(1

|Q|

∫S

f (x) dx

)pu (Q) ≤ C

∫S

f (x)pw (x) dx para S ⊂ Q,

tomando Q = 3Qj y S = Qj tenemos que

u (3Qj) ≤ C

(1

|3Qj|

∫Qj

f (x) dx

)−p ∫Qj

f (x)pw (x) dx.

De este modo,

u (x ∈ Rn : Mf(x) > t) ≤∑j

u (3Qj)

≤ C∑j

(1

|3Qj|

∫Qj

f (x) dx

)−p ∫Qj

f (x)pw (x) dx

≤ C∑j

3np

(1

|Qj|

∫Qj

f (x) dx

)−p ∫Qj

f (x)pw (x) dx

≤ C3np4npt−p∑j

∫Qj

f (x)pw (x) dx

≤ Ct−p∫Rnf (x)pw (x) dx.

Con lo anteriormente visto, obtenemos que la condición Ap es la respuesta alproblema 4.4. Reunimos los resultados en el siguiente teorema.

Teorema 4.11 Sean u, w pesos en Rn y sea 1 ≤ p < ∞. Entonces las siguientesafirmaciones son equivalentes.

(a) M es de tipo débil (p, p) con respecto a (u,w), es decir, existe una constanteC tal que para toda f ∈ L1

loc (Rn) y toda t > 0

u (x ∈ Rn : Mf(x) > t) ≤ Ct−p∫Rn|f (x)|pw (x) dx.

(b) Existe una constante C tal que para toda función f ≥ 0 en Rn y para todocubo Q se cumple ( 4.4), es decir(

1

|Q|

∫Q

f (x) dx

)pu (Q) ≤ C

∫Q

f (x)pw (x) dx.

(c) (u,w) ∈ Ap, esto es, existe una constante C, tal que para todo cubo Q(1

|Q|

∫Q

u (x) dx

)(1

|Q|

∫Q

w (x)−1p−1 dx

)p−1

≤ C, para 1 < p <∞.

(1

|Q|

∫Q

u (x) dx

)sup esQ

(w−1

)≤ C, para p = 1.

Enseguida mostraremos un resultado de acotamiento fuerte para el operadorM que se obtiene como una consecuencia simple del teorema de interpolación deMarcinkiewicz.

Corolario 4.12 Sea (u,w) ∈ Ap, entonces para todo q con p < q < ∞, el operadormaximal M es acotado de Lq (w) a Lq (u), es decir, existe una constante C tal quepara todo f ∈ Lq (w)∫

Rn(Mf (x))q u (x) dx ≤ C

∫Rn|f (x)|q w (x) dx.

Prueba. Por Teorema 4.11, el operador M es de tipo débil (p, p) con respectoa (u,w). Entonces por el teorema de interpolación de Marcinkiewicz, bastará condemostrar que M es acotado de L∞ (w) en L∞ (u). Probaremos que

‖Mf‖L∞(u) ≤ ‖Mf‖∞ ≤ ‖f‖∞ ≤ ‖f‖L∞(w) .

Recordemos que

‖f‖L∞(u) = sup α : u (x ∈ Rn : |f (x)| > α) > 0 ,

Dado que u es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue, se tieneque si α satisface que u (x ∈ Rn : Mf (x) > α) > 0, entonces |x ∈ Rn : Mf (x) > α| >0, por lo que

α : u (x ∈ Rn : Mf (x) > α) > 0 ⊂ α : |x ∈ Rn : Mf (x) > α| > 0 ,

de aquí que ‖Mf‖L∞(u) ≤ ‖Mf‖∞.Si α cumple que |x ∈ Rn : f (x) > α| > 0, por Proposición 4.5 se tiene w (x) > 0

casi en todas partes, por lo cual w (x ∈ Rn : f (x) > α) > 0, así

α : |x ∈ Rn : f (x) > α| > 0 ⊂ α : w (x ∈ Rn : f (x) > α) > 0 ,

por lo tanto ‖f‖∞ ≤ ‖f‖L∞(w).Para x ∈ Rn se tiene

Mf(x) = supQ3x

1

|Q|

∫Q

|f | ≤ ‖f‖∞ ,

consecuentemente ‖Mf‖∞ ≤ ‖f‖∞ .Como caso particular del Corolario 4.12 obtenemos∫

Rn(Mf (x))p u (x) dx ≤ C

∫Rn|f (x)|pMu (x) dx,

para 1 < p <∞, puesto que (u,Mu) ∈ A1.

Enseguida, pasaremos a demostrar algunas propiedades básicas de las clases Ap.

Teorema 4.13 (a) Sea 1 < p < q <∞. Entonces A1 ⊂ Ap ⊂ Aq.(b) Sea 1 ≤ p <∞, 0 < ε < 1 y (u,w) ∈ Ap. Entonces (uε, wε) ∈ Aεp+1−ε.

(c) Sea 1 < p < ∞. Entonces (u,w) ∈ Ap si y solo si(w−

1p−1 , u−

1p−1

)∈ Ap′,

donde p′ es el conjugado de p.

Prueba. (a) A1 ⊂ Ap, pues si (u,w) ∈ A1 entonces existe una constante C tal

que (1

|Q|

∫Q

u (x) dx

)sup esQ

(w−1

)≤ C,

por consiguiente(1

|Q|

∫Q

u (x) dx

)(1

|Q|

∫Q

w (x)−1p−1 dx

)p−1

≤(

1

|Q|

∫Q

u (x) dx

)sup esQ

(w−1

)≤ C,

es decir (u,w) ∈ Ap.Sean 1 < p < q <∞ y (u,w) ∈ Ap. Entonces (q − 1)−1 < (p− 1)−1, por lo que(

1

|Q|

∫Q

u (x) dx

)(1

|Q|

∫Q

w (x)−1q−1 dx

)q−1

≤(

1

|Q|

∫Q

u (x) dx

)(1

|Q|

∫Q

w (x)−1p−1 dx

)p−1

≤ C.

De lo que obtenemos que (u,w) ∈ Aq.(b) Sea (u,w) ∈ Ap. Ahora sea r = εp+ 1− ε, de aquí que r− 1 = ε (p− 1), luego(

1

|Q|

∫Q

u (x)ε dx

)(1

|Q|

∫Q

[w (x)ε]− 1r−1 dx

)r−1

≤(

1

|Q|

∫Q

u (x) dx

)ε(1

|Q|

∫Q

w (x)−1p−1 dx

)ε(p−1)

≤ Cε.

Por lo tanto (uε, wε) ∈ Aεp+1−ε.Si (u,w) ∈ A1, entonces por (a) (u,w) ∈ Ap para todo p > 1. Sea r = εp+ 1− ε,

por lo tanto se tiene(1

|Q|

∫Q

u (x)ε dx

)(1

|Q|

∫Q

[w (x)ε]− 1r−1 dx

)r−1

≤ Cε.

Tomando límite cuando p→∞ se llega a(1

|Q|

∫Q

u (x)ε dx

)esQ sup

(w−ε

)≤ Cε,

esto es, (uε, wε) ∈ A1.


(c) Supongamos que (u,w) ∈ Ap, por lo que se tiene(1

|Q|

∫Q

u (x) dx

)(1

|Q|

∫Q

w (x)−1p−1 dx

)p−1

=

[1

|Q|

∫Q

(u (x)−

1p−1

)− 1p′−1

dx

] [1

|Q|

∫Q

w (x)−1p−1 dx

]p−1

≤ C,

ahora elevamos a la (p′ − 1), de lo que obtenemos[1

|Q|

∫Q

w (x)−1p−1 dx

] [1

|Q|

∫Q

(u (x)−

1p−1

)− 1p′−1

dx

](p′−1)

≤ C(p′−1).

Se concluye que(w−

1p−1 , u−

1p−1

)∈ Ap′ . Como los roles de p y p′ son simétricos, se

obtiene del mismo modo la otra implicación.

Daremos un ejemplo donde mostraremos que el Corolario 4.12 no se puede exten-der al caso p = q. Encontraremos pesos u,w tales que (u,w) ∈ Ap y sin embargo Mno es acotado de Lp (w) a Lp (u).

Ejemplo 4.14 Existen pesos u, w tales que (u,w) ∈ Ap y el operador M no esacotado de Lp (w) a Lp (u).

Si p = 1, tomamos u ≡ w ≡ 1, pues sabemos que si g > 0 casi en todas partesy es integrable, entonces Mg no es integrable. Este caso nos permite también dar unejemplo para p > 1.

Sea g ≥ 0, integrable y no trivial, de modo que Mg /∈ L1. Tomemos g acotada afin de poder garantizar que Mg (x) es siempre finita. Entonces (g,Mg) ∈ A1 ⊂ Ap′,por lo tanto (

(Mg)− 1p′−1 , g

− 1p′−1

)=((Mg)1−p , g1−p) ∈ Ap.

Tomemos u = (Mg)1−p, w = g1−p, entonces (u,w) ∈ Ap, pero la desigualdad∫Rn

(Mf (x))p u (x) dx ≤ C

∫Rn|f (x)|pw (x) dx

no se satisface para toda f ∈ L1loc (Rn), puesto que para f = g, obtenemos∫

Rn(Mf (x))p u (x) dx =

∫Rn

(Mg (x))p (Mg (x))1−p dx

=

∫RnMg (x) dx =∞,

4.2. DESIGUALDADES CON PESOS DE TIPO FUERTE 63

y ∫Rn|f (x)|pw (x) dx =

∫Rn

(g (x))p (g (x))1−p dx

=

∫Rng (x) dx <∞.

Del ejemplo anterior concluimos que la condición Ap no da respuesta al Problema4.3. La condición Ap es necesaria para la desigualdad de tipo fuerte, mas sin embargono es suficiente.

4.2. Desigualdades con pesos de tipo fuerte

A partir de aquí, enfocaremos nuestra atención en el caso u = w. Diremos quew ∈ Ap si (w,w) ∈ Ap. Así tenemos lo siguiente:

La condición A1 esw (Q)

|Q| ≤ Cw (x) ,

casi en todas partes en Q, para todo cubo Q. Lo cual es equivalente a

Mw (x) ≤ Cw (x) ,

casi en todo Rn.La condición Ap, para 1 < p <∞, es(

1

|Q|

∫Q

w (x) dx

)(1

|Q|

∫Q

w (x)1−p′ dx

)(p−1)

≤ C, (4.11)

donde 1− p′ = −1/ (p− 1) y C es una constante independiente de Q.Una observación notable la constituye el hecho de que la medida w (x) dx es

duplicante, como lo mostramos a continuación.

Proposición 4.15 Si w ∈ Ap entonces existe una constante C tal que

w (2Q0) ≤ C2npw (Q0)

para cada cubo Q0.

Prueba. Solo basta aplicar la desigualdad (4.6) con S = Q0 y Q = 2Q0.

Además, tenemos las siguientes propiedades de los pesos Ap.

Proposición 4.16 (a) Ap ⊂ Aq, para 1 ≤ p < q <∞.(b) w ∈ Ap si y solo si w1−p′ ∈ Ap′.(c) Si w0, w1 ∈ A1 entonces w0w

1−p1 ∈ Ap.

Prueba. (a) y (b) se siguen del Teorema 4.13. Mostraremos (c).Sea Q un cubo, dado que wi ∈ A1 para i = 0, 1, tenemos que para todo x ∈ Q,

wi (x)−1 ≤ Ci

(wi (Q)

|Q|

)−1

.

Por lo que(1

|Q|

∫Q

w0w1−p1

)(1

|Q|

∫Q

w1−p′0 w1

)p−1

≤(

1

|Q|

∫Q

w0C1

(w1 (Q)

|Q|

)1−p)(

1

|Q|

∫Q

C0

(w0 (Q)

|Q|

)1−p′

w1

)p−1

= C1

(w1 (Q)

|Q|

)1−pw0 (Q)

|Q| Cp−10

(w0 (Q)

|Q|

)−1(w1 (Q)

|Q|

)p−1

= C.

Nuestro objetivo es probar que si w ∈ Ap, con p > 1, entonces el operador M esacotado en Lp (w). Para ello mostraremos que existe q tal q < p con w ∈ Aq, así porTeorema 4.11 M será de tipo débil (q, q), y por Corolario 4.12 M será de tipo fuerte(p, p). Para mostrar la existencia de tal q usaremos la llamada desigualdad reversa deHölder. Su nombre se debe a que la desigualdad opuesta es consecuencia inmediatade la clásica desigualdad de Hölder.

Antes demostraremos el siguiente lema que será de mucha utilidad.

Lema 4.17 Sea w ∈ Ap, para 1 ≤ p < ∞. Entonces, para cada α, 0 < α < 1,existe β, 0 < β < 1 tal que si Q es un cubo y S es un subconjunto medible de Q con|S| ≤ α |Q|, se verifica que w (S) ≤ βw (Q).

Prueba. De acuerdo a la desigualdad (4.6)(|S||Q|

)pw (Q) ≤ Cw (S) ,

substituyendo S por Q \ S tenemos(1− |S||Q|

)pw (Q) ≤ C (w (Q)− w (S)) ,

puesto que |S| ≤ α |Q| se sigue que

w (S) ≤[C − (1− α)p

C

]w (Q) ,

tomando β = 1− C−1 (1− α)p obtenemos el resultado deseado.

Con la ayuda del Lema anterior ya podemos demostrar la desigualdad reversa deHölder.

Teorema 4.18 (Desigualdad reversa de Hölder). Sea w ∈ Ap, 1 ≤ p <∞. Entoncesexisten constantes C > 0 y ε > 0 que dependen solo de p y de la constante Ap de w,tales que para cada cubo Q(

1

|Q|

∫Q

w1+ε

) 11+ε

≤ C

|Q|

∫Q

w. (4.12)

Prueba. Fijemos un cuboQ y formemos la descomposición de Calderón-Zygmundde w con respecto a Q a alturas dadas por la sucesión creciente

w (Q)

|Q| = λ0 < λ1 < ... < λk...

Para cada λk obtenemos una familia de cubos ajenos Qk,j tales que

w (x) ≤ λk si x /∈ Ωk =⋃j

Qkj

λk <1

|Qkj|

∫Qkj

w ≤ 2nλk.

Observemos primero que Ωk+1 ⊂ Ωk. Si Qk+1,i ∈ Qk+1,j entonces

λk+1 <1

|Qk+1,i|

∫Qk+1,i

w,

por lo que

λk <1

|Qk+1,i|

∫Qk+1,i

w,

esto implica que existe Qk,i ∈ Qk,j tal que Qk+1,i ⊂ Qk,i, por lo cual⋃j Qk+1,j ⊂⋃

j Qk,j.

Si fijamos Qk,jo de la descomposición de Calderón-Zygmund correspondiente a λk,entonces Qk,jo∩Ωk+1 es la unión de cubos Qk+1,i de la descomposición correspondientea λk+1. Así

|Qk,jo ∩ Ωk+1| =∑i

|Qk+1,i| ≤1

λk+1

∑i

∫Qk+1,i

w

≤ 1

λk+1

∫Qk,jo

w ≤ 2nλkλk+1

|Qk,jo| .

Fijemos α < 1 y elijamos los λk de modo que 2nλk/λk+1 = α, esto es

λk =(2nα−1)

kw (Q)

|Q| .

Por lo tanto|Qk,jo ∩ Ωk+1| ≤ α |Qk,jo| ,

por Lema 4.17 existe β, 0 < β < 1, tal que

w (Qk,jo ∩ Ωk+1) ≤ βw (Qk,jo) .

Ahora sumamos sobre la descomposición de todos los cubos correspondientes aλk para obtener:

w (Ωk+1) ≤ βw (Ωk) ,

e iterando obtenemosw (Ωk) ≤ βkw (Ωo) .

Análogamente|Ωk| ≤ αk |Ωo| ,

por lo tanto ∣∣∣∣∣∞⋂k=1

Ωk

∣∣∣∣∣ = lımk→∞|Ωk| = 0.

Entonces

|Q| =∣∣∣∣∣Q \

( ∞⋂k=0

Ωk

)∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∞⋃k=0

Q \ Ωk

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣(Q \ Ωo)⋃[⋃

k=0

(Q \ Ωk+1) \ (Q \ Ωk)

]∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣(Q \ Ωo)⋃(⋃

k=0

Ωk \ Ωk+1

)∣∣∣∣∣ .Además, si x ∈ Ωk \ Ωk+1, se tiene w (x) ≤ λk+1. En consecuencia

1

|Q|

∫Q

w1+ε =1

|Q|

∫Q\Ωo

w1+ε +1

|Q|

∞∑k=0

∫Ωk\Ωk+1

w1+ε

≤ 1

|Q|λε0

∫Q\Ωo

w +1

|Q|

∞∑k=0

λεk+1

∫Ωk\Ωk+1

w

≤ 1

|Q|λε0w (Q \ Ωo) +

1

|Q|

∞∑k=0

λεk+1w (Ωk \ Ωk+1)

≤ 1

|Q|λε0w (Q) +

1

|Q|

∞∑k=0

λεk+1w (Ωk)

≤ λε0w (Q)

|Q| +1

|Q|

∞∑k=0

(2nα−1

)(k+1)ελε0β

kw (Ωo) . (4.13)

Fijemos ε > 0 de modo que (2nα−1)εβ < 1, entonces la serie en (4.13) es convergente,

así

1

|Q|

∫Q

w1+ε ≤ λε0w (Q)

|Q| + λε0w (Q)

|Q|

∞∑k=0

(2nα−1

)(k+1)εβk

= λε0w (Q)

|Q| + λε0w (Q)

|Q| C = Cλε0w (Q)

|Q| ,

es decir,1

|Q|

∫Q

w1+ε ≤ C

(w (Q)

|Q|

)1+ε

,

de lo cual se obtiene (4.12).

Notemos que si para ε > 0 se cumple la desigualdad reversa de Hölder entoncespara δ, con 0 < δ ≤ ε también se cumple la desigualdad reversa de Hölder, puestoque (

1

|Q|

∫Q

w1+δ

) 11+δ

≤(

1

|Q|

∫Q

w1+ε

) 11+ε

≤ C

|Q|

∫Q

w.

Como corolario de la desigualdad reversa de Hölder obtendremos la propiedadque necesitamos para probar que w ∈ Ap implica que M es acotado en Lp (w).

Corolario 4.19 (a) Ap = ∪q<pAq, para 1 0 tal que w1+ε ∈ Ap.(c) Si w ∈ Ap, 1 ≤ p <∞, entonces existe δ > 0 tal que dado un cubo Q y S ⊂ Q

w (S)

w (Q)≤ C

(|S||Q|

)δ. (4.14)

Prueba. (a) Si w ∈ Ap entonces por la Proposición 4.16, w1−p′ ∈ Ap′ . Por de-sigualdad reversa de Hölder, existe ε > 0 tal que(

1

|Q|

∫Q

w(1−p′)(1+ε)

) 11+ε

≤ C

|Q|

∫Q

w1−p′ .

Fijemos q tal que (q′ − 1) = (p′ − 1) (1 + ε), entonces (p− 1) = (q − 1) (1 + ε) yq < p, así (

1

|Q|

∫Q

w1−q′)q−1

≤(C

|Q|

∫Q

w1−p′)(1+ε)(q−1)

,

por lo cual(1

|Q|

∫Q

w

)(1

|Q|

∫Q

w1−q′)q−1

≤(

1

|Q|

∫Q

w

)(C

|Q|

∫Q

w1−p′)p−1

≤ C.

Se concluye que w ∈ Aq.(b) Si p > 1. Sea ε > 0 lo suficientemente pequeño tal que w y w1−p′ satisfacen la

desigualdad reversa de Hölder, esto es(1

|Q|

∫Q

w1+ε

) 11+ε

≤ C

|Q|

∫Q

w,


(1

|Q|

∫Q

w(1−p′)(1+ε)

) 11+ε

≤ C

|Q|

∫Q

w1−p′ .

De este modo(1

|Q|

∫Q

w1+ε

)(1

|Q|

∫Q

w(1−p′)(1+ε)

)p−1

≤(C

|Q|

∫Q

w

)1+ε(C

|Q|

∫Q

w1−p′)(p−1)(1+ε)

= C

[(1

|Q|

∫Q

w

)(1

|Q|

∫Q

w1−p′)(p−1)

]1+ε

≤ C,

por lo cual w1+ε ∈ Ap.Si p = 1. Entonces para cualquier cubo Q

w (Q)

|Q| ≤ Cw (x) para casi todo x ∈ Q,

aplicando la desigualdad reversa de Hölder tenemos que para casi todo x ∈ Q(1

|Q|

∫Q

w1+ε

)≤(C

|Q|

∫Q

w

)1+ε

= C

(w (Q)

|Q|

)1+ε

≤ Cw (x)1+ε ,

es decirw1+ε (Q)

|Q| ≤ Cw1+ε (x) ,

por lo tanto w1+ε ∈ A1.(c) Fijemos S ⊂ Q, supongamos que w satisface la Desigualdad Reversa de Hölder

con exponente (1 + ε), entonces

w (S) =

∫Q

XSw ≤(∫

Q

w1+ε

) 11+ε(∫

Q

X (1+ε)′

S

) 1(1+ε)′

=

(∫Q

w1+ε

) 11+ε

|S|1

(1+ε)′ =

(∫Q

w1+ε

) 11+ε

|S|ε

1+ε

≤ Cw (Q) |Q|−ε1+ε |S|

ε1+ε = Cw (Q)

(|S||Q|

) ε1+ε

.

Si ahora despejamos obtenemos el resultado deseado con δ = ε/(1 + ε), esto es,

w (S)

w (Q)≤ C

(|S||Q|

)δ.

Por (a) del Corolario 4.19 ha quedado demostrado el siguiente Teorema.

Teorema 4.20 Sea 1 0 talque para todo cubo Q y S ⊂ Q

w (S)

w (Q)≤ C

(|S||Q|

)δ, (4.15)

diremos que w ∈ A∞.

El Corolario 4.19 muestra que para cada 1 ≤ p <∞ se tiene la inclusión Ap ⊂ A∞.Aunque no lo demostraremos aquí, puede probarse que en realidad se tiene la siguienteigualdad

A∞ =⋃p≥1

Ap,

lo cual explica el nombre de la familia de pesos que satisface la condición (4.15).

4.3. Pesos A1

En esta sección daremos una caracterización constructiva de A1 usando la funciónmaximal de Hardy-Littlewood. Esto, junto con la Proposición 4.16 nos permitirá cons-truir pesos Ap para toda p. El resultado que mostraremos fue probado originalmenteen [4].

Teorema 4.22 (a) Sea f ∈ L1loc (Rn), tal que Mf (x) < ∞ casi en todas partes. Si

0 ≤ δ < 1, entonces w (x) = [Mf (x)]δ es un peso A1 cuya constante A1 depende solode δ.

(b) Recíprocamente, si w ∈ A1 entonces existen f ∈ L1loc (Rn), 0 ≤ δ < 1 y una

función K tal que K,K−1 ∈ L∞ de modo que w (x) = K (x) [Mf (x)]δ.

Prueba. (a) Para mostrar que w ∈ A1, será suficiente probar que existe unaconstante C tal que para todo cubo Q y para casi toda x ∈ Q se cumple

1

|Q|

∫Q

(Mf)δ ≤ C [Mf (x)]δ .

4.3. PESOS A1 71

Fijemos Q, y descompongamos f como f = f1 + f2 donde f1 = f X2Q y f2 = f − f1.Entonces Mf (x) ≤Mf1 (x)+Mf2 (x), y así para 0 ≤ δ < 1 se tiene [Mf (x)]δ ≤

[Mf1 (x)]δ + [Mf2 (x)]δ, luego que

1

|Q|

∫Q

[Mf (x)]δ dx ≤ 1

|Q|

∫Q

[Mf1 (x)]δ dx+1

|Q|

∫Q

[Mf2 (x)]δ dx.

Puesto que M es de tipo débil (1, 1) tenemos que

1

|Q|

∫Q

[Mf1 (x)]δ =δ

|Q|

∫ ∞0

λδ−1 |z ∈ Q : Mf1 (z) > λ| dλ

≤ δ

|Q|

∫ ∞0

λδ−1 mın

|Q| , C

λ‖f1‖1

dλ

≤ δ

|Q|

∫ C‖f1‖1/|Q|

0

λδ−1 |Q| dλ+δ

|Q|

∫ ∞C‖f1‖1/|Q|

Cλδ−2 ‖f1‖1 dλ

=Cδ ‖f1‖δ1|Q|δ

+δ

δ − 1

C

|Q|Cδ−1 ‖f1‖δ−1

1

|Q|δ−1‖f1‖1 .

=Cδ

|Q|δ‖f1‖δ1 = Cδ

(1

|Q|

∫2Q

|f |)δ

= Cδ2nδ

(1

|2Q|

∫2Q

|f |)δ

≤ Cδ2nδ [Mf (x)]δ ,

para x ∈ Q. Para estimar Mf2 notemos que si y ∈ Q y R es un cubo tal que y ∈ R y∫R|f2| > 0, entonces

l (R) >1

2l (Q) , (4.16)

de lo contrario tendríamos que R ⊂ 2Q, lo cual implicaría∫R|f2| ≤

∫2Q|f2| = 0. La

desigualdad (4.16) implica que existe una constante c tal que Q ⊂ cR. Por lo quepara x ∈ Q, x ∈ cR y se cumple

1

|R|

∫R

|f2| ≤cn

|cR|

∫cR

|f2| ≤cn

|cR|

∫cR

|f | ≤ cnMf (x) .

AsíMf2 (y) ≤ cnMf (x) ,

para toda y ∈ Q. Por lo tanto

1

|Q|

∫Q

[Mf2 (y)]δ dy ≤ cn [Mf (x)]δ .

(b) Si w ∈ A1, entonces por la desigualdad reversa de Hölder existe ε > 0 tal quepara todo cubo Q (

1

|Q|

∫Q

w1+ε

) 11+ε

≤ C

|Q|

∫Q

w.

Por condición A1 obtenemos[M(w1+ε

)(x)] 11+ε ≤ CMw (x) ≤ Cw (x) ,

para casi toda x ∈ Rn. Por el Teorema de Diferenciación de Lebesgue tenemos quepara casi todo x ∈ Rn

w (x) = lım|Q|→0

[1

|Q|

∫Q

w (y)1+ε dy

] 11+ε

≤ [Mf (x)]δ ≤ Cw (x) ,

donde f = w1+ε, δ = 1/ (1 + ε). Sea K (x) = w (x) / [Mf (x)]δ, esto implica queK,K−1 ∈ L∞ y w (x) = K (x) [Mf (x)]δ.

Observaciones.

(a) En la parte (a) del Teorema 4.22 podemos reemplazar f ∈ L1loc (Rn), por

una medida de Borel finita µ tal que Mµ (x) < ∞ casi en todas partes, ya que ladesigualdad débil (1, 1) se verifica para tales medidas. En efecto:

Mµ (x) = supr>0

1

|Br (x)|

∫Br(x)

d |µ| (y) = supr>0

|µ| (Br (x))

|Br (x)| .

Sea E = x ∈ Rn : Mµ (x) > λ y x ∈ E. Existe r > 0 tal que

|Br (x)| < 1

λ

∫Br(x)

d |µ| (y) . (4.17)

Como Rn = ∪∞k=1Bk (0), entonces E = ∪∞k=1Ek con Ek = E ∩Bk (0). Sea F la familiade bolas con centros en puntos de Ek que cumplan la condición (4.17). Si Ek 6= ∅, porel Lema de Cubrimiento de Vitali (ver Apéndice B), existe una sucesión de bolas queno se intersectan Bj tales que Ek ⊂ ∪j3Bj. Por lo cual tenemos

|Ek| ≤ 3n∑j

|Bj| <3n

λ

∑j

∫Bj

d |µ| (y) =3n

λ|µ|(⋃

Bj

)≤ 3n

λ|µ| (Rn) ,

Tomando el límite cuando k →∞ se llega a

|E| ≤ 3n

λ|µ| (Rn) =

3n

λ‖µ‖ .

4.4. DESIGUALDADES CON PESO PARA INTEGRALES SINGULARES 73

(b) En particular, si δ es la medida de Dirac en el origen, entonces

Mδ (x) = C |x|−n .

En efecto, dado que

Mδ (x) = supr>0

δ (Br (x))

|Br (x)| = supr>0

Cδ (Br (x))

rn,

se tiene queδ (Br (x)) = 1 si r > |x| ,

δ (Br (x)) = 0 si r ≤ |x| ,

entonces

Mδ (x) = supr>|x|

Cδ (Br (x))

rn=

C

|x|n .

(c) Consecuentemente

(1) |x|a ∈ A1 si −n < a ≤ 0.(2) |x|α |x|β(1−p) ∈ Ap si −n < α ≤ 0 y −n < β ≤ 0.

Por (b) tenemos Mδ (x) = Cn |x|−n, ahora por Teorema 4.22(Cn |x|−n

)β ∈ A1 si0 ≤ β < 1. Tomemos a = −nβ, entonces Cn |x|a ∈ A1 si −n < a ≤ 0. La propiedad(2) se sigue de (1) y de la Proposición 4.16.

4.4. Desigualdades con peso para integrales singulares

En esta sección probaremos desigualdades con peso para operadores de Calderón-Zygmund. Recordemos que un operador de Calderón-Zygmund es un operador aco-tado en L2 tal que para f ∈ C∞c (Rn) y x /∈ sop f

Tf (x) =

∫RnK (x, y) f (y) dy

donde K es un núcleo estándar.

Empezaremos probando un par de lemas, que nos permitirán concluir, como ve-remos en la prueba del Teorema 4.25 que un operador de Calderón-Zygmund se puede“controlar”por medio de la función maximal de Hardy-Littlewood.

Lema 4.23 Si T es un operador de Calderón-Zygmund, entonces para cada s > 1 setiene

M# (Tf) (x) ≤ Cs [M (|f |s) (x)]1/s ,

donde M# es el operador maximal sharp.

Prueba. Fijemos s > 1. Sea x ∈ Rn y Q un cubo tal que x ∈ Q.Notemos que para cualquier constante a se tiene∫Q

|fQ − a| ≤∫Q

1

|Q|

∫Q

|f (y)− a| dydx =

∫Q

|f (y)− a| dy =

∫Q

|f (x)− a| dx,

de aquí obtenemos∫Q

|f (x)− fQ| dx ≤∫Q

|f (x)− a| dx+

∫Q

|a− fQ| dx ≤ 2

∫Q

|f (x)− a| dx.

Por lo tanto bastará con demostrar que

1

|Q|

∫Q

|Tf (y)− a| dy ≤ Cs [M (|f |s) (x)]1/s .

Sea Q∗ = 23√nQ. Descompongamos f como f = f1 + f2, donde f1 = XQ∗f . Sea

a = Tf2 (x), entonces

1

|Q|

∫Q

|Tf (y)− a| dy ≤ 1

|Q|

∫Q

|Tf1 (y)| dy +1

|Q|

∫Q

|Tf2 (y)− Tf2 (x)| dy. (4.18)

Puesto que s > 1, T es acotado en Ls (Rn), por consiguiente

1

|Q|

∫Q

|Tf1 (y)| dy ≤[

1

|Q|

∫Q

|Tf1 (y)|s dy]1/s

≤[C

|Q|

∫Q

|f1 (y)|s dy]1/s

≤[C

|Q|

∫Q

|f (y)|s dy]1/s

≤ C [M (|f |s) (x)]1/s .

Enseguida estimaremos el segundo sumando de (4.18). Como K es un núcleoestándar se tiene que

|K (x, y)−K (w, y)| ≤ C |x− w|δ

|x− y|n+δsi |x− w| < |x− y|

2.

Representemos por l (Q) a la longitud del lado de Q. Entonces

1

|Q|

∫Q

|Tf2 (y)− Tf2 (x)| dy =1

|Q|

∫Q

∣∣∣∣∫Rn\Q∗

[K (y, z)−K (x, z)] f (z) dz

∣∣∣∣ dy≤ C

|Q|

∫Q

∫Rn\Q∗

|y − x|δ

|x− z|n+δ|f (z)| dzdy

≤ C

|Q|

∫Q

l (Q)δ∞∑

k=−1

∫2kl(Q)<|x−z|<2k+1l(Q)

|f (z)||x− z|n+δ

dzdy

≤ Cl (Q)δ∞∑

k=−1

1

[2kl (Q)]n+δ

∫|x−z|<2k+1l(Q)

|f (z)| dz

= C∞∑

k=−1

1

2ks

[1

(2kl (Q))n

∫|x−z|<2k+1l(Q)

|f (z)| dz]

= C∞∑k=0

1

2k

[1∣∣B2kl(Q) (x)

∣∣ ∫B2kl(Q)

(x)

|f (z)| dz]

≤ C∞∑k=0

1

2kMf (x) = CMf (x) ≤ C [M (|f |s) (x)]

1/s .

El siguiente lema es una versión con peso del Lema 1.29.

Lema 4.24 Sea w ∈ Ap, 1 ≤ p0 ≤ p <∞. Si f es tal que Mdf ∈ Lp0 (w), entonces∫Rn|Mdf |pw ≤ C

∫Rn

∣∣M#f∣∣pw,

donde Md es el operador maximal diádico y M#f es el operador maximal sharp,siempre que el lado izquierdo sea finito.

Prueba. Como se vio en la demostración del Lema 1.29, será suficiente probarque para alguna δ > 0

wx ∈ Rn : Mdf (x) > 2λ,M#f (x) ≤ λγ

≤ Cγδw x ∈ Rn : Mdf (x) > λ .

Puesto que x ∈ Rn : Mdf (x) > λ puede descomponerse en unión de cubos diádicosQ ajenos por pares, bastará con demostrar que para cada cubo

wx ∈ Q : Mdf (x) > 2λ,M#f (x) ≤ λγ

≤ Cγδw (Q)

Por el Lema 1.28 tenemos∣∣x ∈ Q : Mdf (x) > 2λ,M#f (x) ≤ λγ∣∣ ≤ 2nγ |Q| ,

y como w ∈ Ap tenemos también que se cumple (4.14), esto es, existe δ > 0 tal quepara todo cubo Q y S ⊂ Q

w (S)

w (Q)≤ C

(|S||Q|

)δ.

Entonceswx ∈ Q : Mdf (x) > 2λ,M#f (x) ≤ λγ

w (Q)

≤ C

(∣∣x ∈ Q : Mdf (x) > 2λ,M#f (x) ≤ λγ∣∣

|Q|

)δ

≤ C (2nγ)δ ,

por lo cual

wx ∈ Q : Mdf (x) > 2λ,M#f (x) ≤ λγ

≤ Cγδw (Q) .

Ya poseemos todas las herramientas para demostrar el resultado principal de estasección.

Teorema 4.25 Si T es un operador de Calderón-Zygmund, entonces para cualquierw ∈ Ap, 1 < p <∞, T es acotado en Lp (w) .

Prueba. Fijemos w ∈ Ap. Como L∞c (Rn) es denso en Lp (w), supongamos sin

pérdida de generalidad que f ∈ L∞c (Rn). Por Corolario 4.19, Ap = ∪q<pAq, estoimplica que podemos encontrar s > 1 tal que w ∈ Ap/s. Nótese que |Tf (x)| ≤Md (Tf) (x), pues

|Tf (x)| = lımk→∞|EkTf (x)| ≤ sup

k|EkTf (x)| ≤MdTf (x) .

Se sigue de los Lemas 4.23 y 4.24 que∫Rn|Tf |pw ≤

∫Rn

[Md (Tf)]pw ≤ C

∫Rn

[M# (Tf)

]pw

≤ C

∫Rn

[M (|f |s)]p/sw ≤ C

∫Rn|f |pw,

siempre y cuando ∫Rn

[Md (Tf)]pw <∞.

Si Tf ∈ Lp (w), por acotamiento fuerte M (Tf) ∈ Lp (w), además Md (Tf) ≤M (Tf) casi en todas partes, por lo que será suficiente con demostrar que Tf ∈ Lp (w).Sea R tal que sop f ⊂ BR (0), por la desigualdad de Hölder se sigue que para ε > 0∫|x|<2R

|Tf (x)|pw (x) dx ≤(∫|x|<2R

w (x)1+ε dx

)1/(1+ε)(∫|x|<2R

|Tf (x)|p(1+ε)/ε dx

)ε/(1+ε)

.

Ahora dado que w ∈ Ap, por desigualdad reversa de Hölder existe ε > 0 tal que(∫|x|<2R

w (x)1+ε dx

)1/(1+ε)

≤ C

∫|x|<2R

w (x) dx <∞.

Además Tf ∈ Lq, para 1 < q <∞, ya que T es de tipo fuerte (q, q) y f ∈ Lq. Por loque (∫

|x|<2R

|Tf (x)|p(1+ε)/εw (x) dx

)ε/(1+ε)

<∞.

Para completar nuestra estimación, para |x| > 2R se tiene

|Tf (x)| =∣∣∣∣∫Rnf (y)K (x, y) dy

∣∣∣∣ ≤ C

∫|y|<R

|f (y)||x− y|ndy ≤ C

‖f‖1

|x|n ,

pues |x− y| ≥ |x| − |y| ≥ |x| /2. Por lo tanto∫|x|>2R

|Tf (x)|pw (x) dx ≤ C∞∑k=1

∫2kR<|x|<2k+1R

w (x)

|x|np dx

≤ C∞∑k=1

(2kR

)−npw(B(0, 2k+1R

)).

Puesto que w ∈ Ap, existe q < p tal que w ∈ Aq. Por (4.6)(|S||Q|

)qw (Q) ≤ Cw (S) ,

para S ⊂ Q, que también es válido para bolas, por lo que tomemos S = B (0, R) yQ = B

(0, 2k+1R

). Así

w(B(0, 2k+1R

))≤ C2knq.

De esta manera∫|x|>2R

|Tf (x)|pw (x) dx ≤ C∞∑k=1

(2kR

)−np2knq

= CR−np∞∑k=1

2(nq−np)k <∞,

pues q < p. Concluimos que Tf ∈ Lp (w).

De manera análoga a como se probó el Teorema 3.9 obtenemos el siguiente resul-tado.

Teorema 4.26 Sea T un operador de Calderón-Zygmund y sea w ∈ A1. Si f ∈L1 (w), se cumple que

w (x ∈ Rn : |Tf(x)| > λ) ≤ C

λ

∫Rn|f (x)|w (x) dx.

CAPÍTULO 5

ESTIMACIONES PARA LA NORMA DE LA FUNCIÓNMAXIMAL

En este capítulo consideraremos una versión más general de la función maximalde Hardy-Littlewood, tal y como lo hicimos en la Sección 1.2 del Capítulo 1, pero aquínuestra medida µ será de la forma dµ = wdx, donde w es un peso. Mostraremos quecuando w está en la clase de Muckenhoupt, la norma en Lp (w) del operador maximalcentrado de Hardy-Littlewood puede estimarse por el producto de una constante quedepende de p y de la dimensión, y una potencia apropiada de la constante Ap del pesow. De paso, obtendremos una estimación uniforme en w para la norma del operadormaximal centrado respecto a la medida µ. Nuestra herramienta principal para probardicha estimación será el teorema de cubrimiento de Besicovitch. En este capítulonuestras principales referencias serán [11], [9], [15], [5].

5.1. Las estimacionesDamos inicio estableciendo primeramente las siguientes definiciones.

Definición 5.1 Sea w un peso y f ∈ L1loc (w). La función maximal de Hardy-

Littlewood de f en el espacio L1loc (w) , es la función Mwf definida por,

Mwf(x) = supQ3x

1

w (Q)

∫Q

|f(y)|w (y) dy,

donde el supremo se toma sobre todos los cubos Q que contienen a x. El operadormaximal de Hardy-Littlewood Mw es el operador que envía a la función f a lafunción Mwf.

Demanera análoga también podemos definir la función maximal de Hardy-Littlewoodde f centrada en cubos, es decir

Mwc f(x) = sup

δ>0

1

w (Q (x; δ))

∫Q(x;δ)

|f(y)|w (y) dy,

79

80CAPÍTULO 5. ESTIMACIONES PARALANORMADELAFUNCIÓNMAXIMAL

Como los operadoresMwc yM

w son puntualmente comparables, usaremos cualesquierade ellos cuando sea conveniente.

También, denotaremos por Mc al clásico operador maximal de Hardy-Littlewoodde f centrado en cubos, esto es

Mcf(x) = supδ>0

1

|Q (x; δ)|

∫Q(x;δ)

|f(y)| dy.

Teorema 5.2 (Teorema de Cubrimiento de Besicovitch). Sea K un conjunto acotadoen Rn. Para cada x ∈ K, sea Qx un cubo abierto centrado en x. Entonces existem ∈ Z+ ∪ ∞ y un conjunto de puntos xjmj=1 en K tales que

K ⊂m⋃j=1

Qxj , (5.1)

y para casi todo y ∈ Rn se tienem∑j=1

XQxj (y) ≤ 24n. (5.2)

Prueba. Seas0 = sup l (Qx) : x ∈ K .

Si s0 = ∞, entonces existe x1 ∈ K tal que l (Qx1) > 4L, donde [−L,L]n contiene aK. Entonces K está contenido en Qx1 , por lo que el teorema es válido con m = 1.Supongamos ahora que s0 <∞. Elijamos x1 ∈ K tal que l (Qx1) > s0/2. Definamos

K1 = K \Qx1 , s1 = sup l (Qx) : x ∈ K1 ,

y seleccionemos x2 ∈ K1 tal que l (Qx2) > s1/2. Luego definamos

K2 = K \ (Qx1 ∪Qx2) , s2 = sup l (Qx) : x ∈ K2 ,

y seleccionemos x3 ∈ K2 tal que l (Qx3) > s2/2. Continuamos este proceso hastaencontrar el primer entero m tal que Km es vacío. Si tal m no existe, continuamos elproceso indefinidamente y sea m =∞.

Afirmamos que para cada i 6= j se tiene que

1

3Qxi ∩

1

3Qxj = ∅.

5.1. LAS ESTIMACIONES 81

En efecto, supongamos que i > j. Entonces xi ∈ Ki−1 = K \(Qx1 ∪ · · · ∪Qxi−1

), así

xi /∈ Qxj . También xi ∈ Ki−1 ⊂ Kj−1, lo que implica que

l (Qxi) ≤ sj−1 < 2l(Qxj

).

Si existiera y ∈ 13Qxi ∩ 1

3Qxj tendríamos

|xi − xj| ≤ |xi − y|+ |y − xj| <√n

6l (Qxi) +

√n

6l(Qxj

)<

√n

2l(Qxj

),

y así concluiríamos que xi ∈ Qxj , lo cual no ocurre.Ahora probaremos la inclusión (5.1). Si m < ∞, entonces Km = ∅, por lo tanto

K ⊂⋃mj=1Qxj . Supongamos que m = ∞, puesto que los cubos 1

3Qxi son ajenos por

pares y tienen centros en un conjunto acotado, se sigue que la sucesiónl(Qxj

)∞j=1

converge a cero. Si existe y ∈ K r⋃∞j=1Qxj , entonces y ∈ Kj para j = 1, 2, ..., y

l (Qy) ≤ sj para todo j, y puesto que sj−1 < 2l(Qxj

)se sigue l (Qy) = 0, por lo que

el cubo abierto Qy es vacío, lo cual es una contradicción y así obtenemos (5.1).Enseguida, mostraremos la desigualdad (5.2). Sea y ∈ Rn, consideremos n hiper-

planos Hi paralelos a los hiperplanos coordenados, que pasen por el punto y. Asípodemos escribir Rn como la unión de 2n octantes abiertos Or y n hiperplanos Hi demedida de Lebesgue cero. Mostraremos que existe una cantidad finita de puntos xjsobre cada octante Or. Fijemos Or, y sea xko tal que Qxko

contiene a y y la distanciade xko a y es la más grande posible. Si xj es otro punto en K∩Or tal que Qxj contienea y, entonces l

(Qxko

)≥ l

(Qxj

)lo que conlleva a xj ∈ Qxk0

. Como i > j implica

xi /∈ Qxj , se sigue que j < k0, de lo cual l(Qxk0

)/2 < l

(Qxj

). Así, todos los cubos

Qxj con centros en K ∩Or que contienen al punto fijo y, tienen lados comparables alos de Qxk0

. Sea α = l(Qxko

)/2 y Qxrr∈I la colección de cubos tales que para cada

r ∈ I se tiene que α < l (Qxr) ≤ 2α, Qxr contiene a y, y los cubos13Qxr son ajenos

por pares. Entonces

αn |I|3n

≤∑r∈I

∣∣∣∣13Qxr

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣⋃r∈I

1

3Qxr

∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∣⋃r∈I

Qxr

∣∣∣∣∣ ≤ (4α)n ,

dado que todos los cubos Qxr contienen el punto y y tienen longitud de lado a lomás 2α, y por tanto, deben de estar contenidos en un cubo de longitud de lado 4αy centrado en y. Esta observación prueba que |I| ≤ 12n, y puesto que existen 2n

conjuntos Or concluimos (5.2).

Antes de establecer el resultado principal de este capítulo, será necesario intro-ducir la siguiente notación.

Si w ∈ Ap, 1 < p <∞, denotaremos por [w]Ap al ínfimo de las constantes C quesatisfacen la condición (4.11). Este número se denomina la constante Ap del peso w.Cuando T sea un operador que actúa entre espacios Lp (w) denotaremos su normapor ‖T‖Lp(w)→Lp(w).

Teorema 5.3 Sea w ∈ Ap para algún 1 < p < ∞. Entonces existe una constanteCn,p tal que

‖Mc‖Lp(w)→Lp(w) ≤ Cn,p [w]1/(p−1)Ap

. (5.3)

Prueba. Fijemos un peso w y sea σ = w−1/(p−1). Ahora fijemos un cubo abierto

Q = Q (x0; r) en Rn y escribamos

1

|Q|

∫Q

|f | dy =w (Q)

1p−1 σ (3Q)

|Q|pp−1

|Q|w (Q)

(1

σ (3Q)

∫Q

|f | dy)p−1

1p−1

.

Para cada x ∈ Q, consideremos el cubo Q (x; 2r) . Entonces Q ⊂ Q (x; 2r) ⊂ 3Q =Q (x0; 3r) y así

1

σ (3Q)

∫Q

|f | dy ≤ 1

σ (Q (x; 2r))

∫Q(x;2r)

|f | dy ≤Mσc

(|f |σ−1

)(x) .

Así para cada x ∈ Q, se tiene

1

|Q|

∫Q

|f | dy =w (Q)

1p−1 σ (3Q)

|Q|pp−1

1

w (Q)

(∫Q

Mσc

(|f |σ−1

))p−1

dy

1p−1

.

Puesto quew (Q)σ (3Q)p−1

|Q|p ≤ 3np [w]Ap ,

se sigue que

1

|Q|

∫Q

|f | dy ≤ 3npp−1 [w]

1p−1Ap

(Mw

c

[(Mσ

c

(|f |σ−1

))p−1w−1

](x0)

) 1p−1

,

dado que x0 es el centro de Q. Así

Mc (f) ≤ 3npp−1 [w]

1p−1Ap

(Mw

c

[(Mσ

c

(|f |σ−1

))p−1w−1

]) 1p−1

.

5.1. LAS ESTIMACIONES 83

Tomando normas en Lp (w), deducimos

‖Mcf‖Lp(w) ≤ 3npp−1 [w]

1p−1Ap

∥∥∥Mwc

[(Mσ

c

(|f |σ−1

))p−1w−1

]∥∥∥ 1p−1

Lp′ (w)

≤ 3npp−1 [w]

1p−1Ap‖Mw

c ‖1p−1Lp′ (w)→Lp′ (w)

∥∥∥(Mσc

(|f |σ−1

))p−1w−1

∥∥∥ 1p−1

Lp′ (w)

= 3npp−1 [w]

1p−1Ap‖Mw

c ‖1p−1Lp′ (w)→Lp′ (w)

∥∥Mσc

(|f |σ−1

)∥∥Lp(σ)

≤ 3npp−1 [w]

1p−1Ap‖Mw

c ‖1p−1Lp′ (w)→Lp′ (w)

‖Mσc ‖Lp(σ)→Lp(σ)

∥∥fσ−1∥∥Lp(σ)

= 3npp−1 [w]

1p−1Ap‖Mw

c ‖1p−1Lp′ (w)→Lp′ (w)

‖Mσc ‖Lp(σ)→Lp(σ) ‖f‖Lp(w) .

La desigualdad (5.3) se obtiene si probamos que

‖Mwc ‖Lq(w)→Lq(w) ≤ Cq,n <∞ (5.4)

para todo 1 < q < ∞ y cualquier peso w. Obtendremos esta estimación uniformehaciendo uso del teorema de interpolación de Marcinkiewicz. Para q = ∞ se tieneC∞,n = 1 pues

Mwc (f) (x) = sup

δ>0

1

w (Q (x; δ))

∫Q(x;δ)

|f |wdy ≤ ‖f‖∞ .

Si probamos que Mwc es de tipo débil (1, 1) en L1 (w) con una constante que solo

depende de n, se seguirá (5.4).Sea f ∈ L1 (w), mostraremos primero que el conjunto Eλ = Mw

c (f) > λ esabierto. Sea r > 0 y x0 ∈ Rn, por teorema de convergencia dominada tenemos que sixn → x0 entonces w (Q (xn; r))→ w (Q (x0; r)) y también∫

Q(xn;r)

|f |wdy →∫Q(x0;r)

|f |wdy,

por lo que la función

x 7→ 1

w (Q (x; r))

∫Q(x;r)

|f |wdy

es continua y dado que Mwc (f) es el supremo de funciones continuas, obtenemos que

Mwc (f) es semicontinua inferiormente y así Eλ es abierto.Dado un subconjunto compacto K de Eλ, para cada x ∈ K seleccionamos un

cubo abierto Qx centrado en x tal que

1

w (Qx)

∫Qx

|f |wdy > λ.

Por el teorema de cubrimiento de Besicovitch, existe una subfamiliaQxj

mj=1

tal que

K ⊂m⋃j=1

Qxj ,

y para casi todo y ∈ Rn se tienem∑j=1

XQxj (y) ≤ 24n.

Por lo cual

w (K) ≤m∑j=1

w(Qxj

)≤

m∑j=1

1

λ

∫Qxj

|f |wdy ≤ 24n

λ

∫Rn|f |wdy.

Ahora tomamos el supremo sobre todos los subconjuntos compactosK deEλ y usamosla regularidad de w, para deducir que Mw

c es de tipo débil en L1 (w) con constante a

lo mas 24n.

En virtud de la estimación (5.4) podemos establecer el siguiente resultado.

Corolario 5.4 Sea 1 < p < ∞. Para cualquier peso w (no necesariamente en Ap),la norma del operador maximal Mw

c en Lp (w) está acotada por una constante quesolo depende de p y de la dimensión n.

Es importante destacar este resultado, pues al igual que en el caso sin pesos,podemos obtener una estimación para la norma de la función maximal centrada quesolo depende del exponente p y de la dimensión n (ver Teorema 1.18 y Teorema 1.20).De hecho, puede demostrarse un resultado similar al Corolario 5.4 para cualquiertipo de medida de Borel µ regular en Rn y no necesariamente duplicante. Esto puedeconsultarse en [7].

CONCLUSIONES

Los principales resultados de este trabajo fueron dar condiciones necesarias osuficientes para que se cumplan las desigualdades:∫

Rn|Tf (x)|p u (x) dx ≤ C

∫Rn|f (x)|pw (x) dx (1)

y

u (x ∈ Rn : |Tf (x)| > λ) ≤ C

λp

∫Rn|f (x)|pw (x) dx, (2)

donde u y w son pesos, 1 ≤ p < ∞, y T representa el operador maximal de Hardy-Littlewood o un operador integral singular.

Para el operador maximal de Hardy-Littlewood M , la desigualdad de tipo débil(p, p) con respecto a (u,w), es decir,

u (x ∈ Rn : Mf(x) > λ) ≤ C

λp

∫Rn|f (x)|pw (x) dx,

es equivalente a la condición Ap, esto es, existe una constante C, tal que para todocubo Q (

1

|Q|

∫Q

u (x) dx

)(1

|Q|

∫Q

w (x)−1p−1 dx

)p−1

≤ C, para 1 < p <∞.

(1

|Q|

∫Q

u (x) dx

)sup esQ

(w−1

)≤ C, para p = 1.

Además, la condición Ap no es suficiente para garantizar que M sea acotado conrespecto a (u,w). Mas sin embargo, si u = w, la condición Ap es una condiciónnecesaria y suficiente para que M satisfaga (1).

Por otra parte, si T es un operador Calderón-Zygmund, en virtud del “control”que el operador maximal de Hardy-Littlewood ejerce sobre T , la condición w ∈ Ap essuficiente para garantizar las desigualdades: (1) para 1 < p <∞, y (2) para p = 1.

85

86 CONCLUSIONES

Finalmente, mostramos que la norma en Lp (w) del operador maximal centradode Hardy-Littlewood puede estimarse por el producto de una constante que dependede p y de la dimensión, y una potencia apropiada de la constante Ap del peso w, estoes

‖Mc‖Lp(w)→Lp(w) ≤ Cn,p [w]1/(p−1)Ap

,

desigualdad cuya prueba nos condujo a obtener una estimación uniforme en el pesopara la norma del operador maximal centrado respecto a la medida con dicho peso.

En esta tesis hemos hecho una reseña de los resultados más básicos de la teoríade pesos Ap. Una excelente exposición de estos tópicos puede encontrarse en [9] y[5]. Además, como lo hemos comentado previamente, la teoría de pesos Ap continúasiendo en la actualidad una línea muy activa de investigación. Para el lector interesadoen ampliar este panorama, le sugerimos consultar [14], [18] y [19].

APÉNDICE A

Dado un espacio de medida (X,µ) y f : X → R, la función de distribución de festá dada por

df (t) = µ (x ∈ X : |f (x)| > t) .

Teorema 5.5 Teorema de interpolación de MarcinkiewiczSean (X,µ) y (Y, ν) espacios de medida, 1 ≤ p0 < p1 ≤ ∞, y sea T un operador

sublineal definido en Lp0 (µ) + Lp1 (µ) que toma valores en el espacio de funcionesmedibles definidas en Y y que además es de tipo débil (p0, p0) y de tipo débil (p1, p1).Entonces T es de tipo fuerte (p, p) para p0 0. Definamos

f0 = fX(x:|f(x)|>ct), f1 = f − f0,

donde la constante c > 0 la escogeremos en el transcurso de la prueba. Notemos quef0 ∈ Lp0 (µ), pues∫

|f0|p0 dµ =

∫|f0|p |f0|p0−p dµ ≤ tp0−p

∫|f | dµ,

ya que p0 − p ≤ 0. Similarmente tenemos que f1 ∈ Lp1 (µ). Puesto que |Tf | ≤|Tf0|+ |Tf1| entonces dTf (t) ≤ dTf0 (t/2) + dTf1 (t/2). Por hipótesis tenemos que

dTfi (t/2) ≤(

2Ai ‖fi‖pit

)pi, i = 0, 1

entonces

‖Tf‖p ≤ p

∫ ∞0

tp−1−p0 (2A0)p0∫x:|f(x)|>ct

|f (x)|p0 dµdt

+ p

∫ ∞0

tp−1−p0 (2A1)p0∫x:|f(x)|≤ct

|f (x)|p1 dµdt

=

(p2p0

p− p0

Ap00

cp−p0+

p2p1

p1 − pAp11

cp−p1

)‖f‖pp .

87

88 APÉNDICES

Hemos establecido el teorema excepto para el caso p1 =∞. Hasta el momento nohemos hecho alguna elección de la constante c > 0. Elíjase ahora c = 1/2A1, dondeA1 es la constante para la cual ‖Tg‖∞ ≤ A1 ‖g‖∞. Esta desigualdad implica quedTf1 (t/2) = 0. Ahora utilizamos la desigualdad de tipo débil (p0, p0)

dTf0 (t/2) ≤(

2A0 ‖f0‖p0t

)p0,

por lo que

‖Tf‖p ≤ p

∫ ∞0

tp−1−p0 (2A0)p0∫x:|f(x)|>ct

|f (x)|p0 dµdt

≤ p (2A0)p0∫|f (x)|p0

∫ |f(x)|/c

0

tp−1−p0dtdu

=p

p− p0

(2A0)p0 (2A1)p−p0 ‖f‖pp .

APÉNDICE B

Lema 5.6 Lema de cubrimiento de VitaliSea E ⊂ Rn un conjunto acotado y F una colección de bolas abiertas en Rn

centradas en puntos de E, tal que todo punto de E es el centro de alguna bola en F .Entonces existe una subcolección Bjmj=1 ⊂ F , con m ∈ Z∪+∞, tal que

Bj

⋂Bk = ∅ para j 6= k, (5.5)

y

E ⊂m⋃j=1

3Bj (5.6)

Prueba. Si los radios de las bolas en F no son acotados, existe B ∈ F tal queE ⊂ B, ya que E es acotado.

Supongamos que los radios de las bolas en F son acotados. Definamos

d1 = sup rad (B) : B ∈ F

y elijamos B1 tal que d1/2 < rad (B1). Recursivamente definamos

dn = sup

rad (B) : B ∈ F y B ∩

n−1⋃k=1

Bk = ∅.

Si no existe B ∈ F tal que B ∩⋃n−1k=1 Bk = ∅ entonces el proceso recursivo termina y

m = n− 1. De otro modo se elige Bn ∈ F tal que

dn2< rad (Bn) y B ∩

n−1⋃k=1

Bk = ∅.

Por construcción se tiene (5.5). Para demostrar (5.6), sea x ∈ E, consideremos B ∈ Ftal que x es el centro de B. Sea ρ = rad (B).

89

90 APÉNDICES

Afirmamos que existe j0 tal que B ∩ Bj0 6= ∅. De otro modo, si B ∩ Bj = ∅ paratoda k, entonces m =∞ y ρ ≤ dk para k = 1, 2, 3..., esto implicaría que

rad (Bk) >dk2≥ ρ

2> 0.

Pero esto es imposible, pues ∣∣∣∣∣∞⋃k=1

Bk

∣∣∣∣∣ =∞∑k=1

|Bk|

la cual es una serie divergente, mientras que⋃∞k=1Bk es acotado.

Como B intersecta a algún Bk existirá el mínimo k0 para el que B∩Bk0 6= ∅. Porlo tanto

B ∩k0−1⋃k=1

Bk = ∅

y concluimos que ρ ≤ dk0 < 2rad (Bk0).Sea y ∈ B ∩Bk0 . Si z es el centro de Bk0 entonces

|x− z| ≤ |x− y|+ |y − z| < ρ+ rad (Bk0) < 3rad (Bk0) ,

por lo tanto x ∈ 3Bk0 .

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desigualdades con pesos para la función maximal de hardy...

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