universidade do minho escola de engenharia · nesta fase, foram realizados ensaios de compressão...

UNIVERSIDADE DO MINHO ESCOLA DE ENGENHARIA

ANÁLISE EXPERIMENTAL E SIMULAÇÃO NUMÉRICA

DE ELEMENTOS DE BARRA

DE PÓRTICO TRIDIMENSIONAL DE BETÃO ARMADO

António Ventura Gouveia

Dissertação para obtenção do grau de Mestre em Engenharia Civil,

opção de Estruturas, Geotecnia e Fundações

Dezembro de 1999

UNIVERSIDADE DO MINHO ESCOLA DE ENGENHARIA

ANÁLISE EXPERIMENTAL E SIMULAÇÃO NUMÉRICA

DE ELEMENTOS DE BARRA

DE PÓRTICO TRIDIMENSIONAL DE BETÃO ARMADO

Orientador Científico

Joaquim António Oliveira de Barros

Co-Orientador Científico

Álvaro Ferreira Marques Azevedo

António Ventura Gouveia

Dissertação apresentada à Escola de Engenharia da Universidade do Minho,

para obtenção do grau de Mestre em Engenharia Civil, opção de Estruturas, Geotecnia e Fundações

Dezembro de 1999

À minha esposa Cris

ÍNDICE GERAL

AGRADECIMENTOS ......................................................................................................... iii

RESUMO .............................................................................................................................. v

ABSTRACT ........................................................................................................................ vii

ÍNDICE DO TEXTO............................................................................................................ ix

ÍNDICE DE FIGURAS ......................................................................................................xiii

ÍNDICE DE QUADROS.................................................................................................... xxi

SIMBOLOGIA .................................................................................................................xxiii

CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO.......................................................................................... 1

CAPÍTULO 2 – CARACTERIZAÇÃO DOS MATERIAIS E DOS PROVETES

ENSAIADOS ............................................................................................. 5

CAPÍTULO 3 – PROGRAMA EXPERIMENTAL............................................................ 33

CAPÍTULO 4 – MODELO NUMÉRICO........................................................................... 83

CAPÍTULO 5 – CONCLUSÃO........................................................................................ 181

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................. 185

ANEXO I........................................................................................................................... 189

ANEXO II ......................................................................................................................... 207

Agradecimentos

Quero em primeiro lugar agradecer ao Professor Joaquim Barros, orientador científico

desta tese, a sua amizade, o seu apoio, incentivo, orientação e total disponibilidade na

discussão de todos os assuntos. Agradeço ainda todos os ensinamentos transmitidos ao

longo destes anos, desde que comecei como seu aluno.

Ao Professor Álvaro Azevedo, co-orientador deste trabalho, manifesto a minha gratidão

pela disponibilidade, incentivo, esclarecimentos e ensinamentos transmitidos.

Um agradecimento geral a todos os colegas do Departamento de Engenharia Civil da

Escola de Engenharia da Universidade do Minho, em particular aos Professores Barreiros

Martins, Paulo Cruz, Paulo Lourenço e Paulo Pereira.

Aos amigos Aires Camões, Carlos Gomes, Castorina Vieira, Daniel Oliveira, Francisco,

Francisco Oliveira, Luís Neves e Rui Miguel, agradeço toda a amizade, motivação e apoio

concedidos.

Ao meu amigo Sena Cruz, um reconhecimento especial por toda a sua amizade, apoio e

disponibilidade na troca de impressões que contribuíram para a realização deste trabalho.

À empresa FERSEQUE, no nome do Engenheiro Hélio Igrejas, quero manifestar o meu

agradecimento pelos recursos humanos e materiais disponibilizados para a fabricação das

vigas de betão armado, dos provetes cilíndricos e das vigas de betão simples.

Ao Engenheiro Daniel Pinheiro, ao Sr. Gonçalves e a todos os outros funcionários do

Laboratório de Engenharia Civil da Universidade do Minho, quero exprimir a minha

gratidão pela colaboração na realização dos ensaios. Um obrigado especial ao Sr. Matos

pela sua amizade e incansável colaboração na preparação e realização dos ensaios.

Agradecimentos

iv

A todos os alunos da Licenciatura em Engenharia Civil que colaboraram na realização dos

ensaios efectuados nas vigas de betão armado, exprimo os meus sinceros agradecimentos

pelo apoio e disponibilidade demonstrada. De um modo especial aos alunos Álvaro

Fernandes, André Nicolau, Artur Feio, Daniel Portela, Eduardo Pereira, José Gama

Simões, Miguel Magalhães e Vítor Cunha.

Ao longo do trabalho desenvolvido, muitas foram as pessoas que de um certo modo

colaboraram na sua realização. A todas o meu muito obrigado.

“Os últimos são sempre os primeiros”, por isso quero agradecer à minha família. À minha

mãe pelo dom da vida que me concedeu; ao meu pai pela coragem e força que sempre me

transmitiu e pela confiança que em mim depositou; à minha irmã por todo o seu afecto,

compreensão e apoio incondicional; ao Fernando pelo grande amigo que sempre foi; ao

Sr. Aguiar e D. Mariazinha pela amizade, carinho e força que sempre me deram, de um

modo especial na fase final deste trabalho; ao Manel, à Lena, à Fatinha, à Filipa e à Rafa

toda a amizade que tiveram para comigo; e, por fim, mas não menos importante, à minha

esposa, Cris, que sempre me soube compreender, ajudar, apoiar, encorajar, motivar e

orientar. A ela dedico todo este trabalho.

Espero que possa retribuir em dobro tudo aquilo que por mim fizeram.

Resumo

O presente trabalho pretende ser um contributo no estudo do comportamento não linear

material de estruturas porticadas espaciais de betão armado. Para tal, desenvolveu-se,

trabalho de investigação experimental e de modelação numérica.

Na fase da investigação experimental efectuaram-se ensaios em vigas de secção

rectangular oca de betão armado, tendo sido submetidas a flexão, corte e torção. Ainda

nesta fase, foram realizados ensaios de compressão uniaxial em provetes cilíndricos de

betão simples e ensaios de flexão sob três pontos de carga em vigas entalhadas de betão

simples, para determinar as principais características do betão. Foram igualmente

efectuados ensaios de tracção em varões de aço.

Na fase da investigação numérica foi desenvolvido um modelo de análise não linear

material para pórticos tridimensionais de betão armado. As barras podem ter uma secção

qualquer, variável ao longo do seu comprimento e com o centro de corte não coincidente

com o centro de gravidade, sendo discretizadas por elementos de Timoshenko 3D. Para

determinar a matriz de rigidez e as forças nodais equivalentes, a secção da barra pode ser

discretizada por elementos finitos isoparamétricos de 4, 8 ou 9 nós, constituindo, assim, o

que se designa geralmente por modelo de fibras. Por intermédio das leis constitutivas dos

materiais intervenientes, são obtidos os esforços internos e a matriz constitutiva tangente.

A análise não linear foi efectuada com um método incremental e iterativo. Para a solução

das equações não lineares adoptou-se o algoritmo de Newton-Raphson.

A aferição do modelo foi efectuada por comparação entre os resultados determinados nos

ensaios, na fase de investigação experimental, e os obtidos na simulação numérica dos

mesmos ensaios.

Abstract

This work is based on the experimental research and mathematical modeling of the

behavior of 3D reinforced concrete frames, whose material behavior is assumed to be

nonlinear. An extensive set of laboratory experiments was carried out and a computer code

was developed.

In the experimental tests, reinforced concrete beams have been simultaneously subjected to

bending, shear and torsion. In order to evaluate the main characteristics of the concrete

used in the beams, uniaxial compression tests on cylindrical specimens and three point

bending tests have been performed. Some tests on steel bars subjected to tension were also

carried out.

The numerical research was based on the development of a constitutive model to simulate

the nonlinear material behavior of three dimensional reinforced concrete frames.

Timoshenko 3D finite elements with arbitrary cross section geometry and variable

distribution along its axis are used to discretize the frame members. In each cross section

the shear center and the gravity center may be located in different positions. The

calculation of the stiffness matrix and equivalent nodal forces is based on a discretization

of the cross section of each bar using isoparametric finite elements with 4, 8 or 9 nodes.

Using appropriate constitutive laws for each type of material the internal forces and the

tangent matrix can be easily obtained.

The nonlinear analysis algorithm is based on an incremental and iterative solution scheme.

Each system of nonlinear equations is solved by the Newton-Raphson method.

The results of the numerical model are compared against the observations of the physical

experiments and a good agreement can be observed.

ÍNDICE DO TEXTO

CAPÍTULO 1 – Introdução

1.1 .Considerações gerais ...................................................................................................... 1

1.2 .Objectivos....................................................................................................................... 2

1.3 .Organização da dissertação ............................................................................................ 3

CAPÍTULO 2 – Caracterização dos Materiais e dos Provetes ensaiados

2.1 Introdução....................................................................................................................... 5

2.2 Características e concepção dos modelos....................................................................... 6

2.2.1 Geometria.............................................................................................................. 6

2.2.2 Pormenorização das armaduras das vigas............................................................. 7

2.2.3 Nomenclatura utilizada ....................................................................................... 11

2.2.4 Concepção dos modelos...................................................................................... 12

2.3 Caracterização dos Materiais........................................................................................ 19

2.3.1 Armadura ............................................................................................................ 19

2.3.2 Betão ................................................................................................................... 23

2.3.2.1 Ensaios dos provetes cilíndricos à compressão uniaxial......................... 24

2.3.2.2 Ensaios das vigas de BS à flexão............................................................. 27

CAPÍTULO 3 – Programa Experimental

3.1 Introdução..................................................................................................................... 33

3.2 Sistema de ensaio ......................................................................................................... 34

3.2.1 Configuração dos ensaios ................................................................................... 34

Índice do Texto

x

3.2.2 Instrumentação.....................................................................................................39

3.2.3 Sistema de aquisição de dados.............................................................................45

3.2.4 Procedimento de ensaio .......................................................................................49

3.3 Apresentação dos resultados .........................................................................................53

3.3.1 Introdução ............................................................................................................53

3.3.2 Apresentação dos resultados de uma viga ...........................................................54

3.3.2.1 Diagrama força - deslocamento vertical ..................................................58

3.3.2.2 Diagrama momento flector - rotação por flexão......................................61

3.3.2.3 Diagrama momento torsor - rotação por torção.......................................63

3.3.3 Análise comparativa dos resultados.....................................................................66

3.4 Conclusões ....................................................................................................................80

CAPÍTULO 4 – Modelo Numérico

4.1 Introdução .....................................................................................................................83

4.2 Modelo de análise estática linear ..................................................................................84

4.2.1 Introdução ............................................................................................................84

4.2.2 Elemento de viga de Timoshenko no espaço.......................................................85

4.2.2.1 Considerações gerais................................................................................85

4.2.2.2 Campo de deslocamentos.........................................................................93

4.2.2.3 Campo de deformações............................................................................95

4.2.2.4 Tensões ....................................................................................................98

4.2.2.5 Lei de Hooke............................................................................................98

4.2.2.6 Esforços....................................................................................................99

4.2.2.7 Expressão do trabalho virtual.................................................................104

4.2.3 Formulação do elemento de viga de Timoshenko no espaço por elementos

finitos isoparamétricos de classe C0..................................................................106

4.2.3.1 Definição da geometria ..........................................................................106

4.2.3.2 Deslocamentos .......................................................................................107

4.2.3.3 Matrizes de deformação.........................................................................108

4.2.3.4 Matriz de rigidez ....................................................................................114

Índice do Texto

xi

4.2.3.5 Vector solicitação.................................................................................. 118

4.3 Modelo de análise estática não linear......................................................................... 128

4.3.1 Introdução ......................................................................................................... 128

4.3.2 Matriz de rigidez ............................................................................................... 129

4.3.2.1 Contribuição do betão ........................................................................... 132

4.3.2.2 Contribuição da armadura ..................................................................... 136

4.3.3 Forças internas .................................................................................................. 138

4.3.3.1 Contribuição do betão ........................................................................... 139

4.3.3.2 Contribuição da armadura ..................................................................... 141

4.3.4 Leis constitutivas .............................................................................................. 142

4.3.4.1 Lei constitutiva do betão à compressão................................................. 142

4.3.4.2 Lei constitutiva do betão à tracção........................................................ 144

4.3.4.3 Lei constitutiva do betão ao corte ......................................................... 147

4.3.4.4 Lei constitutiva da armadura ................................................................. 148

4.3.5 Algoritmo de análise não linear – método de Newton-Raphson ...................... 151

4.3.6 Simulação numérica.......................................................................................... 153

4.4 Conclusões.................................................................................................................. 178

CAPÍTULO 5 – Conclusão

5.1 Conclusões gerais ....................................................................................................... 181

5.2 Sugestões para futuros desenvolvimentos .................................................................. 182

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................................... 185

ANEXO I .......................................................................................................................... 189

ANEXO II......................................................................................................................... 207

ÍNDICE DE FIGURAS


Figura 2.1 - Esquema da viga a ensaiar ..............................................................................................................6

Figura 2.2 - Esquema do ensaio e diagramas de esforços ao longo da viga .......................................................8

Figura 2.3 - Fotografia da armadura utilizada nas vigas com estribos afastados 150 mm na zona central.........9

Figura 2.4 - Fotografia da armadura utilizada nas vigas com estribos afastados 75 mm na zona central...........9

Figura 2.5a - Corte transversal da viga na zona maciça (A-A’) .......................................................................10

Figura 2.5b - Corte transversal da viga na zona oca (B-B’) .............................................................................10

Figura 2.6 - Pormenores da armadura e das placas de poliestireno expandido utilizadas

na zona oca das vigas de BA.........................................................................................................12

Figura 2.7 - Pormenor da armadura utilizada na zona maciça das vigas de BA................................................13

Figura 2.8 - Pormenor da colocação dos parafusos e da placa de topo em aço ................................................13

Figura 2.9 - Placa de topo em aço, parafusos e pormenor da colocação da armadura nos moldes de madeira 14

Figura 2.10 - Moldes de madeira utilizados nas vigas de BA ...........................................................................15

Figura 2.11 - Vibração do betão .......................................................................................................................16

Figura 2.12 - Colocação do toldo de serapilheira para manter as vigas húmidas .............................................17

Figura 2.13 - Molde utilizado para a betonagem dos cilindros de BS...............................................................18

Figura 2.14 - Molde utilizado para a betonagem das vigas de BS ....................................................................19

Figura 2.15 - Tipo de varões de aço: φ6,φ10 e φ12...........................................................................................20

Figura 2.16 - Resposta – tipo dos varões de aço φ10 e φ12 ensaiados à tracção simples .................................20

Figura 2.17 - Resposta – tipo dos varões de aço φ6 ensaiados à tracção simples .............................................21

Figura 2.18 - Ensaio de tracção uniaxial dos varões de aço .............................................................................23

Figura 2.19 - Ensaio de compressão uniaxial ...................................................................................................26

Figura 2.20 - Esquema de ensaio das vigas de BS ............................................................................................28

Figura 2.21 - Fotografia da viga entalhada e da estrutura utilizada nos ensaios de flexão ...............................29

Figura 2.22 - Pormenor da instrumentação da viga ..........................................................................................29

Figura 2.23 - Relação F-δ nas vigas da série 1 ................................................................................................30

Figura 2.24 - Relação F-δ nas vigas da série 2 ................................................................................................31

Índice de Figuras

xiv


Figura 3.1 - Esquema do ensaio da viga de betão armado ...............................................................................35

Figura 3.2 - Fotografia lateral da viga e respectiva instrumentação.................................................................35

Figura 3.3 - Corte A-A’ – secção de encastramento.........................................................................................36

Figura 3.4 - Fotografia ilustrativa da zona do encastramento ..........................................................................36

Figura 3.5 - Corte B-B’ – extremidade livre ....................................................................................................37

Figura 3.6 - Fotografia da ligação do perfil metálico à viga, na secção da extremidade livre..........................37

Figura 3.7 - Corte C-C’ – vista lateral da secção de encastramento.................................................................38

Figura 3.8 - Pormenorização do encastramento ...............................................................................................38

Figura 3.9 - Secções de instrumentação da viga...............................................................................................39

Figura 3.10 - Transdutor eléctrico (LVDT ±25 mm) ........................................................................................40

Figura 3.11 - Transdutor eléctrico (LVDT ±12.5 mm) .....................................................................................40

Figura 3.12 - Transdutor eléctrico (LVDT ±2.5 mm) .......................................................................................40

Figura 3.13 - Comparador mecânico de 0.01 mm de precisão .........................................................................41

Figura 3.14 - Comparador mecânico de 0.002 mm de precisão .......................................................................41

Figura 3.15 - Disposição de toda a instrumentação no lado A da viga .............................................................42

Figura 3.16 - Disposição de toda a instrumentação no lado B da viga .............................................................42

Figura 3.17 - Disposição dos aparelhos na secção S0 do lado A da viga..........................................................43

Figura 3.18 - Disposição dos aparelhos na secção S0 do lado B da viga..........................................................43

Figura 3.19 - Disposição dos aparelhos na secção S1 do lado A da viga..........................................................43

Figura 3.20 - Disposição dos aparelhos na secção S1 do lado B da viga..........................................................43

Figura 3.21 - Disposição dos aparelhos na secção S2 e S3 do lado A da viga..................................................44

Figura 3.22 - Disposição dos aparelhos na secção S2 e S3 do lado B da viga..................................................44

Figura 3.23 - Transdutor de força e actuador hidráulico ..................................................................................45

Figura 3.24 - Elementos pertencentes ao sistema de ensaio, controlo e aquisição de dados............................46

Figura 3.25 - Lei de deslocamentos impostos às vigas de BA .........................................................................50

Figura 3.26 - Procedimento programado no sistema de aquisição de dados ....................................................51

Figura 3.27 - Pormenor da cinta em aço na ligação perfil – viga de BA ..........................................................54

Figura 3.28 - Padrão de fendilhação na face A da viga ....................................................................................55

Figura 3.29 - Padrão de fendilhação na face B da viga ....................................................................................55

Figura 3.30 - Padrão de fendilhação na face inferior da viga ...........................................................................56

Figura 3.31 - Evolução da fendilhação.............................................................................................................56

Figura 3.32 - Esmagamento do betão na zona de compressão máxima ...........................................................57

Figura 3.33 - Diagrama F-δ na secção S1 da viga V2_l12_t75 .......................................................................59



Figura 3.36 - Flecha na extremidade livre da viga ...........................................................................................60

Figura 3.37 - Diagrama Mf -θf na secção S1 da viga V2_l12_t75 ....................................................................62

Índice de Figuras

xv

Figura 3.38 - Diagrama Mf -θf na secção S2 da viga V2_l12_t75 .....................................................................62

Figura 3.39 - Diagrama Mt -θt na secção S1 da viga V2_l12_t75.....................................................................64

Figura 3.40 - Diagrama Mt -θt na secção S2 da viga V1_l12_t75.....................................................................64

Figura 3.41 - Contribuição dos dois materiais constituintes das vigas de BA...................................................65

Figura 3.42 - Diagramas F-δ na secção S1 para todas as vigas .......................................................................68



Figura 3.45 - Diagramas F-δ relativo entre as secções S1 e S2 para todas as vigas ........................................69

Figura 3.46 - Diagramas F-δ relativo entre as secções S2 e S3 para todas as vigas ........................................70

Figura 3.47 - Diagramas Mf -θf na secção S1 ...................................................................................................72

Figura 3.48 - Diagramas Mf -θf na secção S2 ...................................................................................................72

Figura 3.49 - Diagramas Mf -θf na secção S1 para todas as vigas não descontando a rotação da secção S0 ....73

Figura 3.50 - Diagramas Mf -θf na secção S2 para todas as vigas não descontando a rotação da secção S0 ....73

Figura 3.51 - Diagramas Mt -θt na secção S1 para todas as vigas ....................................................................75

Figura 3.52 - Diagramas Mt -θt na secção S2 para todas as vigas ....................................................................75

Figura 3.53 - Diagramas Mt -θt na secção S1 para todas as vigas não descontando a rotação da secção S0 ....76

Figura 3.54 - Diagramas Mt -θt na secção S2 para todas as vigas não descontando a rotação da secção S0.....76

Figura 3.55 - Padrão de fendilhação junto ao encastramento da viga V1_l10_t150 .........................................77

Figura 3.56 - Padrão de fendilhação junto ao encastramento da viga V1_l12_t75 ...........................................77


Figura 4.1 - Elemento de viga de Timoshenko no espaço ................................................................................86

Figura 4.2 - Referencial global .........................................................................................................................86

Figura 4.3 - Referencial normalizado ...............................................................................................................87

Figura 4.4 - Referencial local ...........................................................................................................................88

Figura 4.5 - Barra dirigida segundo o sentido positivo a) e negativo b) do eixo g3..........................................90

Figura 4.6 - Definição do referencial local da barra para α não nulo ..............................................................92

Figura 4.7 - Exemplo: perfil em Z dirigido segundo o sentido positivo a) e negativo b) do eixo g3. ...............92

Figura 4.8 - Secção de um elemento de viga de Timoshenko no espaço..........................................................93

Figura 4.9 - Campo de deslocamentos..............................................................................................................94

Figura 4.10 - Tensões .......................................................................................................................................98

Figura 4.11 - Esforços na secção de um elemento de Timoshenko no espaço ...............................................100

Figura 4.12 - Forças generalizadas aplicadas em pontos do interior de elementos.........................................119

Figura 4.13 - Forças distribuídas por unidade de comprimento num elemento de

Timoshenko 3D de 3 nós ..........................................................................................................123

Índice de Figuras

xvi

Figura 4.14 - Forças nodais equivalentes às forças generalizadas distribuídas num elemento ......................126

Figura 4.15 - Discretização de um elemento de betão armado, com uma secção qualquer,

de acordo com o modelo de fibras desenvolvido......................................................................130

Figura 4.16 - Esquema para a obtenção da matriz de rigidez de um elemento...............................................131

Figura 4.17 - Esquema para a obtenção das forças internas de um elemento.................................................139

Figura 4.18 - Diagrama σc - εc proposto pelo código modelo CEB-FIP 1990 [MC90] para simular o

comportamento do BS à compressão uniaxial ..........................................................................144

Figura 4.19 - Diagrama de retenção de tensões de tracção para o BS ............................................................146

Figura 4.20 - Diagrama de retenção de tensões de tracção para o BA [Bar95]

a) Relação entre a extensão média e a tensão na armadura.

b) Relação entre a extensão média e a tensão no betão entre fendas .........................................147

Figura 4.21 - Diagrama linear-parábola .........................................................................................................149

Figura 4.22 - Diagrama trilinear.....................................................................................................................151

Figura 4.23 - Discretização da secção maciça em elementos finitos de 4 nós de 3×3 pontos de Gauss, da

armadura e respectivas leis constitutivas. .................................................................................155

Figura 4.24 - Discretização da secção oca em elementos finitos de 4 nós de 3×3 pontos de Gauss, da

armadura e respectivas leis constitutivas ..................................................................................156

Figura 4.25 - Carregamento aplicado no modelo numérico, na simulação dos ensaios experimentais ..........157

Figura 4.26 - Área de influência de cada varão e definição da percentagem efectiva de

armadura para a secção oca a) e cheia b)..................................................................................159

Figura 4.27 - Diagrama F-δ na secção S1 .....................................................................................................161

Figura 4.28 - Diagrama Mf -θf na secção S1...................................................................................................161

Figura 4.29 - Diagrama Mt -θt na secção S1...................................................................................................162

Figura 4.30 - Diagrama F-δ na secção S1 com a correcção das rotações.....................................................163

Figura 4.31 - Diagrama Mf -θf na secção S1 com a correcção das rotações ...................................................164

Figura 4.32 - Diagrama Mt -θt na secção S1 com a correcção das rotações ...................................................164

Figura 4.33 - Diagrama F-δ na secção S1 com “tension stiffening” e corte não linear ................................166

Figura 4.34 - Diagrama Mf -θf na secção S1 com “tension stiffening” e corte não linear..............................166

Figura 4.35 - Diagrama Mt -θt na secção S1 com “tension stiffening” e corte não linear..............................167


Figura 4.37 - Diagrama Mf -θf na secção S2 com “tension stiffening” e corte não linear..............................168

Figura 4.38 - Diagrama Mt -θt na secção S2 com “tension stiffening” e corte não linear..............................168


Figura 4.40 - Contribuição do “tension stiffening”........................................................................................170

Figura 4.41 - Diagrama F-δ na secção S1 com redução do módulo de elasticidade do aço..........................171

Figura 4.42 - Diagrama Mf -θf na secção S1 com redução do módulo de elasticidade do aço .......................171

Figura 4.43 - Diagrama Mt -θt na secção S1 com redução do módulo de elasticidade do aço .......................172

Índice de Figuras

xvii

Figura 4.44 - Diagrama F-δ na secção S2 com redução do módulo de elasticidade do aço ..........................172

Figura 4.45 - Diagrama Mf -θf na secção S2 com redução do módulo de elasticidade do aço........................173

Figura 4.46 - Diagrama Mt -θt na secção S2 com redução do módulo de elasticidade do aço........................173

Figura 4.47 - Diagrama F-δ na secção S3 com redução do módulo de elasticidade do aço ..........................174

Figura 4.48 - Diagrama F-δ na secção S1 com redução das tensões de cedência e de rotura do aço ............175

Figura 4.49 - Diagrama Mf -θf na secção S1 com redução das tensões de cedência e de rotura do aço..........175

Figura 4.50 - Diagrama Mt -θt na secção S1 com redução das tensões de cedência e de rotura do aço .........176


Figura 4.52 - Diagrama Mf -θf na secção S2 com redução das tensões de cedência e de rotura do aço..........177

Figura 4.53 - Diagrama Mt -θt na secção S2 com redução das tensões de cedência e de rotura do aço ..........177


ANEXO I

Figura I.1 - Diagrama F-δ na secção S1 da viga V1_l10_t150 ......................................................................191



Figura I.4 - Diagrama Mf -θf na secção S1 da viga V1_l10_t150 ...................................................................192


Figura I.6 - Diagrama Mt -θt na secção S1 da viga V1_l10_t150 ...................................................................192




Figura I.10 - Diagrama F-δ na secção S3 da viga V2_l10_t150 ....................................................................193

Figura I.11 - Diagrama Mf -θf na secção S1 da viga V2_l10_t150 .................................................................194


Figura I.13 - Diagrama Mt -θt na secção S1 da viga V2_l10_t150 .................................................................194









Índice de Figuras

xviii



















Figura I.40 - Diagrama Mf -θf na secção S2 da viga V2_l12_t150..................................................................202

Figura I.41 Diagrama Mt -θt na secção S1 da viga V2_l12_t150 ..................................................................202





Figura I.46 - Diagrama Mf -θf na secção S1 da viga V1_l12_t75....................................................................204

Figura I.47 - Diagrama Mf -θf na secção S2 da viga V1_l12_t75....................................................................204


Figura I.49 - Diagrama Mt -θt na secção S2 da viga V1_l12_t75 ....................................................................204




Figura I.53 - Diagrama Mf -θf na secção S1 da viga V2_l12_t75...................................................................206

Figura I.54 - Diagrama Mf -θf na secção S2 da viga V2_l12_t75 ....................................................................206

Figura I.55 - Diagrama Mt -θt na secção S1 da viga V2_l12_t75 ....................................................................206


Índice de Figuras

xix

ANEXO II Figura II.1 - Diagrama F-δ relativo entre as secções S1 e S2 da viga V1_l10_t150. .....................................209

Figura II.2 - Diagrama F-δ relativo entre as secções S2 e S3 da viga V1_l10_t150. .....................................209



Figura II.5 - Diagrama F-δ relativo entre as secções S1 e S2 da viga V1_l10_t75. .......................................210





Figura II.10 - Diagrama F-δ relativo entre as secções S2 e S3 da viga V1_l12_t150. ...................................211







ÍNDICE DE QUADROS


Quadro 2.1 - Quantidade de armaduras para cada peça....................................................................................10

Quadro 2.2 - Nomenclatura utilizada e principais características dos modelos de viga ensaiados...................11

Quadro 2.3 - Principais características mecânicas dos varões de aço...............................................................22

Quadro 2.4 - Composição do betão ..................................................................................................................24

Quadro 2.5 - Resultados dos ensaios de compressão uniaxial aos 28 dias .......................................................25

Quadro 2.6 - Resultados dos ensaios de compressão uniaxial na altura dos ensaios das vigas de BA .............26

Quadro 2.7 - Resultados dos ensaios de flexão nas vigas com entalhe.............................................................31


Quadro 3.1 - Valores relativos à fendilhação....................................................................................................78

Quadro 3.2 - Valores relativos aos valores máximos lidos nos gráficos ..........................................................79


Quadro 4.1 - Pontos de Gauss para integração numérica das submatrizes de rigidez do elemento de

Timoshenko no espaço...............................................................................................................117

Quadro 4.2 - Algoritmo para a resolução das equações não lineares, resultantes do comportamento

não linear material.....................................................................................................................154

Quadro 4.3 - Características mecânicas dos varões de aço.............................................................................158

Quadro 4.4 - Características relativas ao betão...............................................................................................159

Quadro 4.5 - Definição do modelo não linear de corte proposto ....................................................................160

Simbologia

SIGLAS

BA – Betão Armado

BS – Betão Simples

BRFA – Betão Reforçado com Fibras de Aço

Cil(i) – Designação de provete cilíndrico de betão simples, em que i numera o

provete

CM – Comparador Mecânico

e – Directriz

gi – Sistema de eixos global, com i=1,2 e 3

il – Sistema coordenado local, com i=1,2 e 3

LVDT – Linear Voltage Displacement Transducer

MEF – Método dos Elementos Finitos

PTV – Princípio dos Trabalhos Virtuais

s1 – Coordenada normalizada

SF – Superfície de fractura

Si – Secção de leitura, em que i numera as secções

Vig(i) – Designação da viga entalhada de betão simples, em que i numera o provete

Vi_lj_tk – Designação da viga i de betão armado com armadura longitudinal de

diâmetro j (em milímetros) e armadura transversal com um afastamento de k

milímetros

ESCALARES

a – Altura do entalhe

a/c – Relação água/cimento

A(e) – Área das secções transversais planas de um elemento

Simbologia

xxiv

i,GPA – Área do betão associada ao ponto de Gauss i da secção

n,sA – Área associada à armadura n

AL – Armadura longitudinal

AT – Armadura transversal nas zonas maciças

A*T – Armadura transversal na zona oca

b – Largura da secção da viga de betão simples

d – Altura da secção da viga de betão simples

di – Deslocamento medido nos comparadores mecânicos ou nos transdutores de

deslocamentos, em que i numera os comparadores ou os transdutores b

i,afD – Módulo de elasticidade longitudinal tangente do betão associado ao ponto

de Gauss i da secção b

i,ctD – Módulo de elasticidade transversal tangente do betão associado ao ponto

de Gauss i da secção s

n,afD – Módulo de elasticidade longitudinal tangente da armadura n

E – Módulo de elasticidade longitudinal

sE – Módulo de elasticidade longitudinal da armadura

stE – Módulo de elasticidade longitudinal tangente da armadura

1sE – Módulo de elasticidade longitudinal da armadura do segundo tramo

2sE – Módulo de elasticidade longitudinal da armadura do terceiro tramo

1cE – Módulo de elasticidade longitudinal secante do betão em compressão

ciE – Módulo de elasticidade longitudinal tangente do betão em compressão

fc – Resistência à compressão no betão

fcm – Resistência média à compressão no betão

fctm – Resistência à tracção do betão

ffnet – Resistência máxima à tracção em flexão na secção do entalhe

fsy, fsy1 – Tensão de cedência da armadura

fsy2 – Tensão da armadura no segundo tramo

fsu – Tensão de rotura da armadura

F – Força

Fmáx – Força máxima g

iGF – Força aplicada segundo o grau de liberdade i no referencial global

Simbologia

xxv

FSi – Força na secção de leitura i

g – Aceleração da gravidade gig – Aceleração segundo g

ix

G , LG – Módulo de elasticidade transversal

12G , 13G – Módulo de elasticidade transversal nos planos 21ll e 31ll

2G – Módulo de distorção do segundo tramo

3G – Módulo de distorção do terceiro tramo

fG – Energia de fractura

ii – Versor do eixo global i

l1I – Momento de inércia em torno do eixo 1l

l2I , l

3I – Momentos de inércia em torno dos eixos 2l e 3l

)e(J – Jacobiano avaliado na coordenada normalizada s1

il – Versor do eixo local i

l – Vão da viga de betão simples ou distância entre os comparadores mecânicos

ou entre os transdutores de deslocamento

lb – Largura de banda de fendilhação

L – Comprimento da viga de betão simples ou configuração da chapa de suporte

aos cursores dos comparadores mecânicos

mi – Massa

Mf – Momento flector

Mf,Si – Momento flector na secção i l

1M – Momento torsor segundo o eixo 1l no referencial local

l2M – Momento flector segundo o eixo 2l no referencial local

l3M – Momento flector segundo o eixo 3l no referencial local

tM – Momento torsor

Mt,Si – Momento torsor na secção i

giM – Momento aplicado segundo o grau de liberdade i no referencial global

l1N – Esforço axial segundo o eixo 1l no referencial local

asN

1 – Número de pontos de Gauss associados à integração numérica da matriz de

rigidez axial

Simbologia

xxvi

csN


rigidez de corte tsN


rigidez de torção f

sN1 – Número de pontos de Gauss associados à integração numérica da matriz de

rigidez de flexão afsN


rigidez axial, de flexão, axial-flexão e flexão-axial ctsN


rigidez de corte, de torção, de corte-torção e torção-corte

tNG

sec – Número de pontos de Gauss de cada elemento finito da secção

NS – Número de armaduras na secção

iN – Função de forma do nó i

( )1sN k – Função de forma do elemento relativa ao nó k, avaliada na coordenada

normalizada 1s

( )Am sN ,1 – Função de forma do elemento relativa ao nó m, avaliada no ponto A da

coordenada normalizada 1s

α,p1 – Parâmetros de fractura

j

kLq l, – Força generalizada atribuída ao nó k do elemento, dirigida segundo o eixo

jl do referencial local

j

Lq l – Força generalizada distribuída por unidade de comprimento ao longo do

elemento, dirigida segundo o eixo jl do referencial local

giu – Deslocamento segundo i no referencial global

giGu – Deslocamento segundo i no centro de gravidade e no referencial global

gkiGu , – Deslocamento segundo i no centro de gravidade do nó k, no referencial

global liu – Deslocamento segundo i no referencial local

( )eV – Volume do elemento e

l2V – Esforço de corte segundo o eixo 2l no referencial local

l3V – Esforço de corte segundo o eixo 3l no referencial local

Simbologia

xxvii

0W – Trabalho

)e(extW – Trabalho externo do elemento e

)e(intW – Trabalho interno do elemento e

l2x , l

3x – Coordenadas de um ponto em relação ao centro de gravidade da secção

segundo o eixo 2l e 3l

lix ,2 , l

ix ,3 – Coordenadas locais do ponto de Gauss i da secção segundo 2l e 3l em

relação ao centro de gravidade lCx2 , l

Cx3 – Coordenadas do centro de corte em relação ao centro de gravidade da

secção segundo o eixo 2l e 3l

gkiGx , – Coordenadas segundo i do centro de gravidade do nó k, no referencial

global gmix , – Componente i do nó m do elemento no referencial global

gAix , – Componente i do ponto A do elemento no referencial global

α – Parâmetro de correcção ou ângulo entre os eixos local e os eixos associados

aos eixos principais centrais de inércia l2α , l

3α – Coeficientes de distorção

21 ββ , – Factores que atendem às propriedades de aderência da armadura e ao tipo

de carregamento

δ – Deslocamento genérico

δSi – Deslocamento na secção de leitura i

δu – Deslocamento máximo

ε – Extensão

εm – Extensão média

cε – Extensão no betão

crε – Extensão correspondente à resistência à tracção do betão

lim,cε – Extensão limite

1cε – Extensão correspondente à tensão máxima de compressão do betão

sε – Extensão na armadura

1sε – Extensão na armadura no segundo tramo

Simbologia

xxviii

2sε – Extensão na armadura no terceiro tramo

suε – Extensão de rotura na armadura

l1ε – Extensão segundo o eixo 1l

l12γ – Distorção no plano 1l 2l

l13γ – Distorção no plano 1l 3l

ν – Coeficiente de Poisson g

iθ – Rotação segundo i no referencial global

liθ – Rotação segundo i no referencial local

gki ,θ – Rotação segundo i do nó k no referencial global

θf – Rotação por flexão

θf,Si – Rotação por flexão na secção i

θt – Rotação por torção

θt,Si – Rotação por torção na secção i

ρ – Massa por unidade de volume

i,effρ – Percentagem efectiva de armadura i

σ – Tensão

cσ – Tensão no betão

soctσ – Tensão de tracção retida pelo betão simples fendilhado

stctσ – Tensão de tracção retida pelo betão armado fendilhado

smσ – Tensão média na armadura

l1σ – Tensão normal segundo o eixo 1l

bi,afσ – Tensão normal no betão, no ponto de Gauss i da secção

sn,afσ – Tensão normal na armadura n

l12τ – Tensão de corte no plano 1l 2l

l13τ – Tensão de corte no plano 1l 3l

2τ – Tensão de corte do segundo tramo

crτ – Tensão de corte correspondente ao início de fendilhação

uτ – Tensão de rotura por corte

Simbologia

xxix

bi,12τ – Tensão tangencial no betão, no ponto de Gauss i da secção, segundo o eixo

local 2l

bi,13τ – Tensão tangencial no betão, no ponto de Gauss i da secção, segundo o eixo

local 3l

MATRIZES E VECTORES

B – Matriz de deformação

aB – “Matriz” de deformação axial

cB – Matriz de deformação de corte

tB – “Matriz” de deformação de torção

fB – Matriz de deformação de flexão

( )1sBk – Matriz de deformação relativa ao nó k, avaliada na coordenada normalizada 1s

( )1, sB ka – “Matriz” de deformação axial relativa ao nó k, avaliada na coordenada

normalizada 1s

( )1, sB kc – Matriz de deformação de corte relativa ao nó k, avaliada na coordenada

normalizada 1s

( )1, sB kt – “Matriz” de deformação de torção relativa ao nó k, avaliada na coordenada

normalizada 1s

( )1, sB kf – Matriz de deformação de flexão relativa ao nó k, avaliada na coordenada

normalizada 1s

D – Matriz constitutiva

TD – Matriz constitutiva tangente

aD – “Submatriz” associada à rigidez axial

cD – Submatriz associada à rigidez de corte

tD – “Submatriz” associada à rigidez de torção

fD – Submatriz associada à rigidez de flexão

bfD – Submatriz do betão associada à rigidez de flexão

Simbologia

xxx

bafD – Submatriz do betão associada à rigidez axial-flexão

bfaD – Submatriz do betão associada à rigidez flexão-axial

bcD – Submatriz do betão associada à rigidez de corte

btD – Submatriz do betão associada à rigidez de torção

bctD – Submatriz do betão associada à rigidez corte-torção

btcD – Submatriz do betão associada à rigidez torção-corte

saD – Submatriz da armadura associada à rigidez axial

sfD – Submatriz da armadura associada à rigidez de flexão

safD – Submatriz da armadura associada à rigidez axial-flexão

sfaD – Submatriz da armadura associada à rigidez flexão-axial

kextf

, – Vector das forças exteriores do incremento k

1, −kextf – Vector das forças exteriores do incremento k-1

i

kf

int, – Vector das forças nodais equivalentes do incremento k e da iteração i

bfint

– Forças nodais equivalentes ao estado de tensão no betão

sfint

– Forças nodais equivalentes ao estado de tensão na armadura

)(

int

ef – Forças internas do elemento

b

aint,f – Forças nodais correspondentes a graus de liberdade de deformação axial,

equivalentes ao estado de tensão no elemento b

fint,f – Forças nodais correspondentes a graus de liberdade de deformação por flexão,


cint,f – Forças nodais correspondentes a graus de liberdade de deformação por corte,


tint,f – Forças nodais correspondentes a graus de liberdade de deformação por torção,

equivalentes ao estado de tensão no elemento s

aint,f – Forças nodais correspondentes a graus de liberdade de deformação axial,

equivalentes ao estado de tensão na armadura

Simbologia

xxxi

s

fint,f – Forças nodais correspondentes a graus de liberdade de deformação por flexão,


F – Vector dos esforços generalizados resistentes

lVF – Vector das forças de volume no referencial local

gVF – Vector das forças de volume no referencial global

lg – Vector das acelerações no referencial local

gg – Vector das acelerações no referencial global

)e(K – Matriz de rigidez de um elemento

)(eTK – Matriz de rigidez tangente de um elemento

)e(aK – Submatriz de rigidez de um elemento associada à deformação axial

)e(cK – Submatriz de rigidez de um elemento associada à deformação de corte

)e(tK – Submatriz de rigidez de um elemento associada à deformação de torção

)e(fK – Submatriz de rigidez de um elemento associada à deformação de flexão

)(eafK – Submatriz de rigidez de um elemento associada à deformação de interacção

axial-flexão )(e

faK – Submatriz de rigidez de um elemento associada à deformação de interacção

flexão-axial )(e

ctK – Submatriz de rigidez de um elemento associada à deformação de interacção

corte-torção )(e

tcK – Submatriz de rigidez de um elemento associada à deformação de interacção

torção-corte )E(gK – Matriz de rigidez da estrutura no referencial global

)(EgllK – Submatriz de rigidez da estrutura no referencial global que inclui os termos de

rigidez relativos à interacção entre os graus de liberdade livres )(Eg

ffK – Submatriz de rigidez da estrutura no referencial global que inclui os termos de

rigidez relativos à interacção entre os graus de liberdade fixos )(Eg

lfK – Submatriz de rigidez da estrutura no referencial global que inclui os termos de

rigidez relativos à interacção entre os graus de liberdade livres e fixos

Simbologia

xxxii

)(EgflK – Submatriz de rigidez da estrutura no referencial global que inclui os termos de

rigidez relativos à interacção entre os graus de liberdade fixos e livres bK – Matriz de rigidez do betão

baK – Submatriz de rigidez do betão associada à deformação axial

bfK – Submatriz de rigidez do betão associada à deformação de flexão

bafK – Submatriz de rigidez do betão associada à deformação de interacção

axial-flexão bfaK – Submatriz de rigidez do betão associada à deformação de interacção

flexão-axial bcK – Submatriz de rigidez do betão associada à deformação de corte

btK – Submatriz de rigidez do betão associada à deformação de torção

bctK – Submatriz de rigidez do betão associada à deformação de interacção

corte-torção btcK – Submatriz de rigidez do betão associada à deformação de interacção

torção-corte sK – Matriz de rigidez das armaduras

saK – Submatriz de rigidez da armadura associada à deformação axial

sfK – Submatriz de rigidez da armadura associada à deformação de flexão

safK – Submatriz de rigidez da armadura associada à deformação de interacção

axial-flexão sfaK – Submatriz de rigidez da armadura associada à deformação de interacção

flexão-axial i

kTK , – Matriz de rigidez tangente do incremento k e iteração i

l

Lq – Forças generalizadas distribuídas ao longo do elemento no referencial local

g

Vq – Forças generalizadas proporcionais à sua massa no referencial global

gQ – Forças generalizadas aplicadas em pontos nodais da estrutura no referencial

global g

iQ – Forças generalizadas aplicadas no ponto i da estrutura no referencial global

Simbologia

xxxiii

)(EgQ – Forças nodais equivalentes da estrutura no referencial global

)(Eg

lQ – Vector das forças nodais equivalentes da estrutura no referencial global em

correspondência com os graus de liberdade livres )(Eg

fQ – Vector das forças nodais equivalentes da estrutura no referencial global em

correspondência com os graus de liberdade fixos g

LQ – Vector das forças nodais equivalentes às forças generalizadas distribuídas ao

longo do elemento no referencial global 0kr – Vector das forças residuais iniciais do incremento k

finalkr – Vector das forças residuais finais do incremento k

finalkr 1− – Vector das forças residuais finais do incremento k-1

ikr – Vector das forças residuais do incremento k e da iteração i

1−ikr – Vector das forças residuais do incremento k e da iteração i-1

)(EgR – Vector que inclui as reacções nos apoios da estrutura no referencial global

gT

l – Submatriz que converte entidades do referencial local para o referencial global

gT l – Matriz que converte entidades do referencial local para o referencial global

)( 1, sT gka

l – “Matriz” de transformação associada ao grau de liberdade axial

)( 1, sT gkc

l – Matriz de transformação associada aos graus de liberdade de corte

)( 1, sT gkt

l – “Matriz” de transformação associada ao grau de liberdade de torção

)( 1, sT gkf

l – Matriz de transformação associada aos graus de liberdade de flexão

ll′T – Submatriz que converte entidades do referencial local para o referencial

associado aos eixos principais centrais de inércia ll′T – Matriz que converte entidades do referencial local para o referencial associado

aos eixos principais centrais de inércia 0ku – Vector dos deslocamentos iniciais do incremento k

finalku – Vector dos deslocamentos finais do incremento k

finalku 1− – Vector dos deslocamentos finais do incremento k-1

iku – Vector dos deslocamentos do incremento k e iteração i

Simbologia

xxxiv

1−iku – Vector dos deslocamentos do incremento k e iteração i-1

U – Vector dos deslocamentos generalizados

)E(gU – Vector dos deslocamentos da estrutura no referencial global

)(EglU – Vector dos deslocamentos da estrutura no referencial global que inclui os graus

de liberdade livres )(Eg

fU – Vector dos deslocamentos da estrutura no referencial global que inclui os graus

de liberdade fixos )(egU – Vector dos deslocamentos dos nós do elemento no referencial global

)( 1sU g – Vector dos deslocamentos de um ponto do elemento, na coordenada

normalizada 1s , no referencial global

gU – Vector dos deslocamentos no referencial global

gkU – Vector dos deslocamentos do nó k no referencial global

lU – Vector dos deslocamentos no referencial local

lkU – Vector dos deslocamentos do nó k no referencial local

lk,aU – Deslocamento do nó k segundo o eixo local 1l , associado deformação axial

gkaU , – Vector dos deslocamentos do nó k, no referencial global, associados à

deformação axial l

kcU , – Vector dos deslocamentos do nó k, no referencial local, associados à

deformação por corte g

kcU , – Vector dos deslocamentos do nó k, no referencial global, associados à

deformação por corte l

k,tU – Rotação do nó k segundo o eixo local 1l , associada à deformação por torção

gktU , – Vector das rotações do nó k, no referencial global, associadas à deformação por

torção l

k,fU – Vector das rotações do nó k, no referencial local, associadas à deformação por

flexão g

kfU , – Vector das rotações do nó k, no referencial global, associadas à deformação por

flexão 'lU – Vector dos deslocamentos do elemento no referencial local quando este não

coincide com os eixos principais centrais de inércia

Simbologia

xxxv

gkx – Vector das coordenadas do nó k no referencial global

)( 1sx g – Vector das coordenadas de um ponto do elemento, na coordenada normalizada

1s , no referencial global

)(egX – Vector das coordenadas dos nós do elemento no referencial global

kextf

,∆ – Vector dos incrementos das forças exteriores (incremento k)

iku∆ – Vector dos incrementos dos deslocamentos (incremento k e iteração i)

ε∆ – Vector dos incrementos de deformação

σ∆ – Vector dos incrementos de tensão

ε – Vector das extensões

lε – Vector das extensões no referencial local

lε – Vector das extensões no referencial local, na fibra coincidente com o eixo

baricêntrico da secção

)( 1slε – Vector das extensões num ponto do elemento, na coordenada normalizada 1s ,

no referencial local e na fibra coincidente com o eixo baricêntrico da secção l

aε – Extensão axial no referencial local e na fibra coincidente com o eixo

baricêntrico da secção lcε – Vector das extensões por corte no referencial local e na fibra coincidente com o

eixo baricêntrico da secção l

tε – Extensão por torção no referencial local e na fibra coincidente com o eixo

baricêntrico da secção lfε – Vector das extensões de flexão no referencial local e na fibra coincidente com o

eixo baricêntrico da secção

σ – Vector das tensões

lσ – Vector das tensões no referencial local

lσ – Vector dos esforços no referencial local

CAPÍTULO 1

Introdução

1.1 Considerações gerais

As estruturas porticadas de betão armado (BA) são ainda as mais utilizadas na Indústria da

Construção Civil. Diversos programas de cálculo automático de análise linear deste tipo de

estruturas têm sido desenvolvidos nos últimos anos e utilizados pelos projectistas no seu

dimensionamento. Contudo, o comportamento dos materiais intervenientes é

manifestamente não linear. O betão em compressão entra em regime não linear acima de

determinada percentagem da sua resistência. Após o pico de carga, sofre amolecimento

“compression softening” na nomenclatura inglesa. Em tracção, o betão tem reduzida

resistência (aproximadamente 10% da sua resistência à compressão), apresentando

comportamento linear e elástico até praticamente fendilhar. Após fendilhação, o

comportamento do betão é regido pela sua capacidade de absorção de energia, denominada

de energia de fractura, e pelas características da armadura, se existir, que atravessa o betão

fendilhado.

No caso do betão simples (BS), a lei que define o comportamento deste material fendilhado

em tracção denomina-se de amolecimento em tracção “tension softening”. No caso do

betão armado, esta lei denomina-se de endurecimento “tension stiffening”.

A lei constitutiva do betão depende ainda do grau de confinamento proporcionado pelos

estribos e cintas. Da investigação experimental verifica-se que a resistência e a ductilidade

Capítulo 1

2

do betão aumentam com a percentagem dessas armaduras. Por seu lado, a armadura

também apresenta comportamento não linear a partir de determinado nível de carga.

Assim, o betão armado é um compósito com elevado grau de não linearidade material. A

simulação do comportamento de estruturas porticadas de betão armado exige que o modelo

atenda aos fenómenos descritos.

No presente trabalho foi desenvolvido um modelo de análise não linear material de

pórticos tridimensionais de betão armado com barras de secção qualquer. Os principais

fenómenos de não linearidade material foram modelados.

Os pórticos tridimensionais podem ser discretizados com elementos finitos de barra de

Timoshenko de dois ou três nós.

Neste trabalho, admitiu-se que os fenómenos de não linearidade material são devidos a

deformações por esforço axial, por esforço transverso, por momento flector e momento

torsor. A não linearidade geométrica não foi considerada no presente modelo.

1.2 Objectivos

Esta dissertação teve como objectivo essencial, desenvolver um modelo de análise não

linear material de estruturas porticadas 3D de betão armado. Para tal foi desenvolvida

investigação experimental e numérica. Com os ensaios experimentais pretendeu-se obter

um conjunto de resultados que, por um lado, ajudassem a caracterizar o comportamento de

elementos de BA de estruturas espaciais sujeitos a esforços multiaxiais, e, por outro,

pudessem ser utilizados para a calibração do modelo analítico desenvolvido, procurando

que este traduzisse o comportamento de tais estruturas o mais correctamente possível.

Introdução

3

1.3 Organização da dissertação

Os materiais utilizados na construção dos modelos ensaiados são caracterizados no

capítulo 2. Os ensaios à tracção efectuados nos varões de aço, os ensaios à compressão

realizados nos provetes cilíndricos de BS e os ensaios à flexão sob três pontos de carga

efectuados nas vigas entalhadas de BS são descritos neste capítulo, e os resultados obtidos

são apresentados e discutidos. O processo de fabrico das vigas de BA, dos provetes

cilíndricos de BS e das vigas entalhadas de BS também é apresentado.

Os ensaios efectuados nos modelos de vigas de BA são descritos no capítulo 3. Numa

primeira parte, todo o sistema de ensaio utilizado é apresentado e descrito, bem como os

procedimentos adoptados para a realização dos ensaios. Numa segunda fase, apresentam-se

os resultados obtidos, tendo-se efectuado a sua análise e retiradas algumas conclusões, com

o intuito de caracterizar melhor o comportamento não linear de elementos de BA de

estruturas espaciais.

O capítulo 4 descreve, numa primeira fase, a formulação do modelo para análise estática

linear, tendo como base o elemento de Timoshenko no espaço. Numa segunda fase, o

modelo de fibras desenvolvido para a análise não linear material de estruturas de betão

armado é apresentado, descrevendo-se as alterações que devem ser efectuadas no modelo

de análise estática linear, por forma a ter em conta a não linearidade do comportamento do

betão e da armadura. As leis constitutivas da armadura e do betão também são

apresentadas. O betão à tracção é modelado por intermédio de uma formulação que simula

a capacidade de retenção de tensões de tracção do betão fendilhado. Numa última fase, as

simulações numéricas efectuadas com o modelo desenvolvido são descritas. Os resultados

obtidos com o modelo numérico e os determinados experimentalmente nos ensaios

efectuados nas vigas de BA, descritos no capítulo 3, são comparados.

Por último, o capítulo 5 expõe as principais conclusões do trabalho desenvolvido, bem

como algumas indicações e sugestões a ter em conta em futuros desenvolvimentos.

CAPÍTULO 2

Caracterização dos Materiais

e dos Provetes Ensaiados

2.1 Introdução

As técnicas de fabrico das vigas de betão armado (BA), dos provetes cilíndricos de betão

simples (BS) e das vigas de BS, bem como todos os materiais necessários à sua obtenção

são sucintamente descritos neste capítulo. As vigas de BA foram sujeitas a ensaios de

flexão, corte e torção, como será descrito no capítulo 3. Para caracterizar o betão utilizado,

foram ensaiados os provetes cilíndricos de BS à compressão simples e as vigas de BS à

flexão.

Todos os trabalhos inerentes à realização das vigas de BA, dos provetes cilíndricos de BS e

das vigas de BS foram executados na empresa de construção FERSEQUE, que forneceu

toda a mão-de-obra necessária para a construção dos modelos, assim como grande parte

dos materiais utilizados, em colaboração com o Laboratório de Engenharia Civil da

Universidade do Minho (LEC-UM).

A opção da construção das vigas em obra teve como finalidade possibilitar que os

resultados obtidos nos ensaios fossem representativos do comportamento de peças de BA

Capítulo 2

6

efectuadas sob condições correntes, disponíveis num estaleiro tipo. Os resultados foram

utilizados na calibração do modelo numérico, descrito no capítulo 4.

2.2 Características e concepção dos modelos

2.2.1 Geometria

Conforme se referiu no capítulo 1, o objectivo essencial deste trabalho foi desenvolver um

modelo numérico para simulação do comportamento não linear de pórticos tridimensionais.

Para calibrar e avaliar o desempenho deste modelo, optou-se pela realização de ensaios em

elementos de viga sujeitos a esforços de flexão, corte e torção, que, juntamente com os

esforços axiais, são preponderantes nos elementos do referido tipo de estruturas. Nas

dimensões das vigas ensaiadas, foram tidas em consideração as limitações impostas pelo

equipamento e infra-estruturas de ensaio disponíveis no LEC-UM.

Na Figura 2.1 representa-se, de forma esquemática, a geometria da viga. Esta apresenta um

comprimento de 2.90 m, uma largura de 0.20 m e uma altura de 0.30 m. É constituída por

duas partes distintas: duas zonas maciças nos topos com um comprimento de 0.45 m, e

uma zona de secção oca, na parte central, com um comprimento de 2.00 m. As respectivas

secções transversais ilustram-se nas Figuras 2.5a e 2.5b.

A

A’

0.45 m 0.15 m

Parafusos de 0.02 m

0.45 m2.00 m

B

B’

A

A’

0.10 m

0.10 m

0.10 m

0.05 m0.10 m

0.05 m

Figura 2.1 - Esquema da viga a ensaiar.

Caracterização dos Materiais e dos Provetes Ensaiados

7

As estruturas espaciais estão sujeitas a um conjunto diversificado de esforços, muitos dos

quais a actuarem simultaneamente numa determinada secção, pelo que se procurou fazer

um ensaio em que estivesse presente a interacção de alguns desses esforços.

Na Figura 2.2 representa-se, de forma esquemática, a aplicação do carregamento, bem

como os esforços desenvolvidos ao longo da viga.

2.2.2 Pormenorização das armaduras das vigas

A armadura transversal é constituída por varões de φ6 constituindo estribos para a

resistência ao corte e à torção. Esta armadura não tem a mesma distribuição ao longo de

toda a viga. Na zona maciça, há um menor afastamento entre estribos, enquanto que, na

zona central oca, o afastamento é maior, como se ilustra na Figura 2.3 e na Figura 2.4. Esta

diferença deve-se ao facto de uma das extremidades ser introduzida no encastramento e a

outra estar próxima da aplicação da carga. Nas figuras podem ver-se ainda os pormenores

das placas de poliestireno expandido utilizadas na zona central, para garantir a secção oca

pretendida nessa zona.

A armadura longitudinal é constituída por 8 varões de φ10 ou φ12 e resiste aos esforços de

flexão e de torção.

Capítulo 2

8

0.5 m

2.74 m

perfis HEB 200 viga de BA a ensaiar perfil metálico de secção rectangular oca actuador encastramento

Mt

Mf

V

Figura 2.2 - Esquema do ensaio e diagramas de esforços ao longo da viga.


9

Figura 2.3 - Fotografia da armadura utilizada nas vigas com estribos afastados 150 mm na zona central.

Figura 2.4 - Fotografia da armadura utilizada nas vigas com estribos afastados 75 mm na zona central.

Nas Figuras 2.5a e 2.5b apresentam-se as secções correspondentes às zonas maciça e oca,

respectivamente. O pormenor da amarração da armadura transversal ilustrado nessas

figuras, tem em conta o preconizado no REBAP [Reb93] para secções sujeitas a esforços

de torção.

Capítulo 2

10

0.30m

0.20m

AT

AL0.075m

0.125m

0.125m

0.075m

Figura 2.5a - Corte transversal da viga na zona

maciça (A-A’).

A*T

AL0.075m

0.125m

0.125m

0.05m

0.20m

0.05m

0.05m

0.05m 0.10m

0.075m

Figura 2.5b - Corte transversal da viga na zona

oca (B-B’).

Foram construídas quatro séries distintas, tendo-se variado tanto a armadura longitudinal

como a armadura transversal. Mantendo um determinado diâmetro dos varões

longitudinais, modificou-se a armadura transversal. A quantidade de armadura e o número

de peças de cada série estão indicados no Quadro 2.1.

Quadro 2.1 - Quantidade de armaduras para cada peça.

Armadura longitudinal (AL)

Armadura transversal (secção A-A’ (AT))

Armadura transversal (secção B-B’ (A*

T)) Número de vigas

8φ10 φ6@50 φ6@75 2

8φ10 φ6@50 φ6@150 2

8φ12 φ6@50 φ6@75 2

8φ12 φ6@50 φ6@150 2


11

2.2.3 Nomenclatura utilizada

Com a intenção de facilitar a compreensão e exposição deste trabalho, criou-se uma

nomenclatura para caracterizar cada viga de BA. Esta nomenclatura procura diferenciar as

várias séries e, dentro destas, distinguir as vigas com base na quantidade de armadura

longitudinal e de estribos utilizados.

Para uma viga genérica Vi_lj_tk, o significado é o seguinte:

i. a letra “V” designa a viga e a letra “i” um número que identifica cada viga da

mesma série;

ii. a letra “l” significa “longitudinal” e a letra “j” indica o diâmetro dos varões

longitudinais (valores em milímetros);

iii. a letra “t” significa “transversal” e a letra “k” indica o afastamento da armadura

transversal na zona oca (valores em milímetros);

Entende-se por série o conjunto de todas as vigas que, para um determinado diâmetro dos

varões longitudinais, têm a mesma quantidade de armadura transversal. No Quadro 2.2

sintetizam-se, para cada série, todas as características de cada uma das vigas utilizadas

neste trabalho.

Quadro 2.2 - Nomenclatura utilizada e principais características dos modelos de viga ensaiados.

Designação Armadura

longitudinal (diâmetro - mm)

Armadura transversal na zona oca

(espaçamento - mm)

V1_l10_t75 10 75

V2_l10_t75 10 75

V1_l10_t150 10 150

V2_l10_t150 10 150

V1_l12_t75 12 75

V2_l12_t75 12 75

V1_l12_t150 12 150

V2_l12_t150 12 150

Capítulo 2

12

2.2.4 Concepção dos modelos

Na realização dos modelos, procuraram reproduzir-se, da melhor forma possível, as

condições de execução em obra dos elementos de BA. Por conseguinte, os modelos foram

realizados segundo processos construtivos correntes.

Os profissionais que realizaram a armadura tiveram o cuidado de respeitar todos os

espaçamentos e dobragens previstos.

Para que a zona central da viga fosse constituída por uma secção rectangular oca,

colocaram-se placas de poliestireno expandido para criar esse vazio. Estas placas,

amarradas tanto à armadura transversal como à armadura longitudinal, impedindo, assim, a

sua deslocação durante a betonagem, possibilitaram que a parede ao longo de toda a secção

tivesse espessura constante, como se ilustra na Figura 2.6 e na Figura 2.7.

Figura 2.6 - Pormenores da armadura e das placas de poliestireno expandido utilizadas na zona oca das vigas

de BA.

Amarração das placas de poliestireno expandido e garantia do recobrimento

Amarração das placas de poliestireno expandido e garantia do recobrimento


13

Figura 2.7 - Pormenor da armadura utilizada na zona maciça das vigas de BA.

Numa das extremidades da cofragem da viga foi colocada uma placa de aço com furos para

parafusos de 20 mm de diâmetro. Estas placas foram utilizadas para posicionar, com rigor,

os parafusos mencionados, que serviram para fixar o perfil metálico sobre o qual actuou o

carregamento aplicado à viga. Estas placas são ilustradas na Figura 2.8 e na Figura 2.9.

Figura 2.8 - Pormenor da colocação dos parafusos e da placa de topo em aço.

Capítulo 2

14

Figura 2.9 - Placa de topo em aço, parafusos e pormenor da colocação da armadura nos moldes de madeira.

Foram feitas duas betonagens, cada uma delas, com a quantidade suficiente de betão para a

betonagem de quatro vigas de BA, de quatro provetes cilíndricos e de quatro vigas de BS. A

composição apresentada no Quadro 2.4 é para a fabricação de 1 m3 de betão, tendo sido

adaptada para as quantidades necessárias de cada série de amassaduras.

As cofragens das vigas de BA foram concebidas e desenhadas tendo como principal

objectivo a facilidade da sua montagem e desmontagem, bem como a sua posterior

reutilização. Foram executadas por profissionais e construídas em madeira, como se

representa na Figura 2.10.

Placas de topo

Parafusos

Garantia do recobrimento


15

Figura 2.10 - Moldes de madeira utilizados nas vigas de BA.

As cofragens foram lubrificadas com um produto descofrante, imediatamente antes da sua

betonagem.

O betão foi transportado, com a ajuda de uma grua, da central de betonagem até perto da

zona das cofragens das vigas e depositado em cima de um toldo de plástico. Com ajuda de

pás, foi introduzido nas cofragens, onde previamente se colocara a armadura. Na zona,

central, que continha placas de poliestireno expandido, foi colocado com ajuda de colheres

de trolha, devido à dificuldade de manobra.

Capítulo 2

16

Para garantir uma melhor homogeneização do betão, e evitar que aparecessem zonas sem

betão (ninhos), este foi compactado com a ajuda de um vibrador de agulha (ver Figura

2.11). Nesta compactação foram encontradas algumas dificuldades, tanto nas zonas

maciças, onde a concentração de armadura transversal é elevada, como na zona central oca,

devido à presença das placas de poliestireno expandido. Isto justifica a opção pela

utilização duma brita com dimensão máxima de 15 mm. Adoptou-se uma relação

água/cimento (a/c) de 0.55, de forma a assegurar a necessária trabalhabilidade da mistura.

O betão foi vibrado até ao momento em que a sua superfície se apresentava lisa e brilhante

e se verificava o desaparecimento de bolhas de ar.

Figura 2.11 - Vibração do betão.

As vigas de BA permaneceram cobertas por uma serapilheira húmida durante 7 dias (ver

Figura 2.12). Ao longo destes dias, as vigas foram regadas frequentemente, para manter

sempre um elevado grau de humidade e permitir um bom processo de cura. Após esse

período, foram descofradas lateralmente, permanecendo por mais 15 dias na obra, sob as

condições de cura empregues nos primeiros 7 dias.

Vibrador de agulha


17

Figura 2.12 - Colocação do toldo de serapilheira para manter as vigas húmidas.

Ao fim de três semanas, as vigas foram transportadas da obra para o Laboratório de

Engenharia Civil da Universidade do Minho onde permaneceram até à altura do ensaio.

Devido às suas grandes dimensões e dificuldade de manuseamento, não puderam ser

colocadas na câmara húmida existente.

Conjuntamente com cada série de betonagem das vigas de BA, foram moldados quatro

provetes cilíndricos de BS de 300 mm de altura e 150 mm de diâmetro e quatro vigas de BS

de 850×100×100 mm3.

Um dos moldes utilizados para fabricar os provetes cilíndricos de BS está representado na

Figura 2.13. Estes dispõem de um eficiente sistema de montagem/desmontagem. As

dimensões utilizadas são as recomendadas pelo REBAP [Reb93] e pelo código modelo

CEB-FIP 1990 [MC90].

Na Figura 2.14 representa-se um dos moldes utilizados para fabricar as vigas de BS. As

dimensões utilizadas estão de acordo com as dimensões recomendadas pelo RILEM

[RIL85], que vêm em função da máxima dimensão do inerte.

Os provetes cilíndricos foram submetidos a ensaios de compressão uniaxial, no intuito de

se obter a resistência máxima à compressão do betão.

Capítulo 2

18

Para cada betonagem, dos quatro cilindros moldados, dois foram ensaiados aos 28 dias e os

restantes aquando da realização dos ensaios dos modelos das vigas de BA (ver secção

2.3.2.1).

As vigas de BS, depois de entalhadas a meio vão, foram submetidas a ensaios de flexão sob

três pontos de carga (ver secção 2.3.2.2), para a quantificação da energia de fractura e da

resistência máxima de tracção em flexão do betão.

Figura 2.13 - Molde utilizado para a betonagem dos cilindros de BS.


19

Figura 2.14 - Molde utilizado para a betonagem das vigas de BS.

2.3 Caracterização dos Materiais

2.3.1 Armadura

O comportamento dos varões de aço utilizados nos elementos de BA de dureza natural,

pode ser observado num ensaio de tracção efectuado sob controlo de força.

Na construção das vigas de BA, utilizaram-se varões de aço nervurados de 6, 10 e 12

milímetros de diâmetro, como se apresenta na Figura 2.15. As curvas tensão-extensão dos

varões φ10 e φ12, obtidas através dos ensaios de tracção uniaxial, apresentaram todas o

andamento ilustrado na Figura 2.16, enquanto as curvas tensão-extensão dos varões φ6

apresentaram o andamento ilustrado na Figura 2.17.

Capítulo 2

20

(φ6)

(φ10)

(φ12)

Figura 2.15 - Tipo de varões de aço: φ6, φ10 e φ12.

ε

σ

Figura 2.16 - Resposta – tipo dos varões de aço φ10 e φ12 ensaiados à tracção simples.


21

No diagrama da Figura 2.16, é possível identificar várias fases que se passam a descrever

[Pip93]:

i. numa primeira fase, as extensões são proporcionais às tensões, sendo esta

proporcionalidade traduzida por uma constante, convencionalmente designada

por módulo de Young ou módulo de elasticidade longitudinal do aço.

ii. segue-se a fase em que as extensões aumentam, mantendo-se constante a tensão

aplicada, (patamar de cedência), designando-se esta por tensão de cedência.

iii. por fim, verifica-se novamente um crescimento das extensões com o

crescimento das tensões. Esta é a chamada fase de endurecimento, que se dá a

partir de uma dada extensão, designada por extensão de endurecimento, e se

prolonga até à extensão de rotura, após a qual se dá a rotura do provete.

Do andamento apresentado no diagrama da Figura 2.16, conclui-se que se trata de varões

de aço dúctil.

ε

σ

Figura 2.17 - Resposta – tipo dos varões de aço φ6 ensaiados à tracção simples.

Capítulo 2

22

No diagrama da Figura 2.17, a fase em que as extensões aumentam mantendo-se constante

a tensão aplicada, (patamar de cedência), já não existe. Depois da fase linear, o aço

apresenta logo uma fase não linear até atingir a rotura. Embora o andamento do diagrama

apresente características de um aço frágil, a extensão de rotura é elevada.

No Quadro 2.3 apresentam-se as principais características mecânicas dos varões ensaiados.

Para cada diâmetro dos varões, foram ensaiados três provetes com um comprimento de

400 mm.

Quadro 2.3 - Principais características mecânicas dos varões de aço.

Varão Tensão de cedência

(fsy - MPa)

Tensão de rotura

(fsu - MPa)

Extensão de rotura (εsu - %)

457 598 12.5

φ6 437 586 11.0

442 582 10.0

538 648 8.0

φ10 499 620 8.0

488 609 9.5

513 629 15.5

φ12 470 570 16.5

498 599 14.5

O sistema de ensaio usado para o ensaio de tracção uniaxial é constituído por uma “prensa”

(ver Figura 2.18), um computador responsável pelo controlo do ensaio e um sistema de

aquisição de dados. A norma utilizada para o procedimento do ensaio foi a norma

EN10002-1 [EN10002].


23

Os varões φ6 foram utilizados como armadura transversal, enquanto que os varões φ10 e

φ12 foram utilizados como armadura longitudinal nas vigas de BA.

Figura 2.18 - Ensaio de tracção uniaxial dos varões de aço.

2.3.2 Betão

Devido às limitações em termos de capacidade de carga do pórtico e do equipamento de

ensaio existente no LEC-UM, optou-se pelo fabrico de um betão de baixa resistência. No

Quadro 2.4 é apresentada a composição do betão utilizado.

Capítulo 2

24

Quadro 2.4 - Composição do betão.

Elemento Composição (kg/m3 de betão)

Cimento 320

Areia (0-3 mm) 750

Brita (0-15mm) 1140

Água 176

Foi utilizada uma relação água/cimento (a/c) de cerca de 0.55, valor relativamente elevado,

para precaver dificuldades na betonagem das vigas como se refere na secção 2.2.4.

Todas as amassaduras foram realizadas numa central de betonagem existente na obra. O

procedimento foi o seguinte:

i. a água foi introduzida já com a betoneira em movimento;

ii. gradualmente, foram adicionados o cimento, a areia e a brita;

iii. a amassadura prosseguiu até se atingir uma perfeita homogeneização da

composição.

2.3.2.1 Ensaios dos provetes cilíndricos à compressão uniaxial

Para avaliar a resistência do betão utilizado no fabrico dos modelos de viga, efectuaram-se

ensaios de compressão uniaxial nos cilindros (Cil) de BS, como se ilustra na Figura 2.19.

A prensa utilizada para a realização dos ensaios é constituída por dois pratos, sendo o

superior rotulado e o inferior fixo. Todo o sistema é controlado por um equipamento que

permite efectuar os ensaios sob controlo de velocidade do pistão da prensa.


25

O equipamento, que se descreve na secção 3.2.3 do capítulo 3 foi desenvolvido de forma a

poder, também, controlar os ensaios a serem efectuados na prensa. Assim, é possível

realizar ensaios de compressão uniaxial sob controlo de força ou sob controlo de

deslocamentos. Os ensaios efectuados no presente trabalho serviram também para calibrar

o equipamento desenvolvido e avaliar a capacidade da prensa, em termos de rigidez, para

ser possível efectuar ensaios completos de compressão uniaxial, sob controlo de

deslocamentos.

Por cada série de amassadura, foram betonados quatro cilindros de BS, como se descreve

na secção 2.2.4. Dois cilindros de cada amassadura foram ensaiados aos 28 dias,

apresentando-se os resultados no Quadro 2.5. Os outros cilindros foram ensaiados na altura

dos ensaios das vigas de BA, apresentando-se os resultados obtidos no Quadro 2.6.

Quadro 2.5 - Resultados dos ensaios de compressão uniaxial aos 28 dias.

Série de betonagem Data da betonagem

Data do ensaio

fc aos 28 dias (MPa)

Cil1 18-06-98 16-07-98 15.8 Série 1

Cil2 18-06-98 16-07-98 13.0

Cil1 02-07-98 30-07-98 17.5 Série 2

Cil2 02-07-98 30-07-98 15.6

Capítulo 2

26

Quadro 2.6 - Resultados dos ensaios de compressão uniaxial na altura dos ensaios das vigas de BA.

Série de betonagem Data da betonagem

Data do ensaio

fc (MPa)

Cil3 18-06-98 02-05-99 20.2 Série 1

Cil4 18-06-98 02-05-99 21.0

Cil3 02-07-98 02-08-99 27.1 Série 2

Cil4 02-07-98 02-08-99 21.3

Pela análise dos resultados verifica-se que se trata de um betão de baixa resistência, facto

que se desejava pelas razões já expostas.

Figura 2.19 - Ensaio de compressão uniaxial.


27

2.3.2.2 Ensaios das vigas de BS à flexão

Para caracterizar o comportamento à flexão das vigas, foram efectuados ensaios de flexão

sob três pontos de carga com as vigas de BS. Antes de serem ensaiadas, estas vigas foram

entalhadas com uma serra adiamantada. Esse entalhe tinha 25 mm de profundidade e 5 mm

de espessura, como se ilustra no esquema de ensaio da Figura 2.20.

O principal objectivo destes ensaios é o de quantificar a energia de fractura do betão. A sua

quantificação é obtida por intermédio da seguinte expressão proposta pelo RILEM [RIL85]

( )[ ]

SFgmmW

G uf

δα 22

10 21 +−+=

(2.1)

em que W0 é o trabalho produzido pela carga F, ou seja, a área sob a curva F-δ; m1 é a

massa do provete entre apoios; m2 é a massa do equipamento que acompanha a deformação

do provete e que não está acoplada ao actuador; 1−= lLα é o parâmetro que corrige o

trabalho produzido pelo peso próprio do provete, tendo em conta que a distância entre

apoios, l, pode ser diferente do comprimento do provete, L (ver Figura 2.20); g é a

aceleração da gravidade; δu é o deslocamento máximo registado no fim do ensaio quando

0=F e SF é a área da superfície de fractura, ( )adb − . Esta expressão tem em conta o

efeito do peso próprio do provete e ainda o efeito de possíveis massas que acompanham a

deformação do provete e que não estão acopladas ao actuador.

Estes ensaios também serviram para quantificar a resistência máxima à tracção em flexão

na secção do entalhe, fnetf , por intermédio da seguinte expressão

Capítulo 2

28

( )[ ]( )

,21

23

22

21

adb

lgmgmFf máx

fnet−

+−+=

α (2.2)

a qual também tem em conta a acção do peso próprio da viga e de possíveis massas de

equipamento não acopladas ao actuador [Bar95].

5 mm

Actuador

α l/2 = 25 mm l/2 = 400 mm

25 mm

75 mm

l/2 = 400 mm

L

d-a

a d

α l/2 = 25 mm

b – largura da viga

Figura 2.20 - Esquema de ensaio das vigas de BS.

Na Figura 2.21 apresenta-se uma fotografia de todo o sistema de ensaio. Os ensaios foram

realizados sob controlo de deslocamento, para se obter a resposta total carga-flecha. Para

tal, utilizou-se um transdutor de deslocamento de ±2.5 mm de curso, acoplado a uma barra

apoiada em dois pontos, que se encontravam na intercepção do eixo longitudinal da viga

com os alinhamentos verticais sobre os apoios (ver Figura 2.22).


29

O equipamento utlilizado para o controlo do ensaio será descrito na secção 3.2.3 do

capítulo 3. Estes ensaios serviram também para aferir e calibrar o equipamento

desenvolvido.

A velocidade de deformação utilizada no ensaio foi de 6 µm/s. As leituras dos

deslocamentos e das forças foram registadas em cada meio segundo e gravadas num

ficheiro.

A estrutura de reacção dos ensaios era constituída por perfis da série HEB200.

Figura 2.21 - Fotografia da viga entalhada e da estrutura utilizada nos ensaios de flexão.

Figura 2.22 - Pormenor da instrumentação da viga.

Capítulo 2

30

Após tratamento dos resultados, obtiveram-se, para cada série de vigas, as relações

força-flecha representadas na Figura 2.23 e Figura 2.24.

Os valores da força máxima transmitida pelo actuador, máxF , da resistência máxima de

tracção em flexão, fnetf , e da energia de fractura, fG , são apresentados no Quadro 2.7.

Verifica-se uma ligeira dispersão de resultados entre as duas séries de betonagem. Além

disto, constata-se que, na série 1, de menor resistência à compressão, se obtiveram valores

da resistência máxima à tracção em flexão e da energia de fractura maiores que os

determinados na série 2. Esta ocorrência não era esperada, dado que, segundo resultados

obtidos por outros autores [Bar95,MC90], as referidas propriedades deveriam aumentar

com a resistência à compressão. A não verificação desta tendência, nos ensaios efectuados

no âmbito deste trabalho, pode estar relacionada com diferentes processos de cura dos

provetes.

0

500

1000

1500

2000

2500

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

Deslocamento (mm)

Forç

a (N

)

Figura 2.23 - Relação F-δ nas vigas da série 1.


31

0

500

1000

1500

2000

2500

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

Deslocamento (mm)

Forç

a (N

)

Figura 2.24 - Relação F-δ nas vigas da série 2.

Quadro 2.7 - Resultados dos ensaios de flexão nas vigas com entalhe.

Série de betonagem

Data da betonagem

Data do ensaio

Fmáx

(N) ffnet

(MPa)

ffnet (média) (MPa)

Gf (N/mm)

Gf (média) (N/mm)

Vig1 18-06-98 20-12-99 1939.8 4.28 0.2510

Vig2 18-06-98 20-12-99 2400.0 5.16 0.2019

Vig3 18-06-98 20-12-99 1994.0 4.41 0.2313 Série 1

Vig4 18-06-98 20-12-99 1768.4 3.92

4.44

0.2043

0.2221

Vig1 02-07-98 20-12-99 1786.5 3.96 0.1994

Vig2 02-07-98 20-12-99 1416.5 3.13 0.1589

Vig3 02-07-98 20-12-99 1615.0 3.61 0.1498 Série 2

Vig4 02-07-98 20-12-99 1795.5 3.98

3.67

0.1764

0.1711

CAPÍTULO 3

Programa Experimental

3.1 Introdução

As tarefas associadas à construção das vigas de betão armado (BA) estão descritas no

capítulo anterior. O programa experimental efectuado com as referidas vigas é apresentado

no presente capítulo. Estas vigas foram sujeitas a ensaios de flexão, corte e torção. Com

estes ensaios, pretendeu dar-se um contributo para o conhecimento do comportamento não

linear de elementos de barra de betão armado submetidos a estados multiaxiais de tensão.

Os resultados obtidos foram utilizados na calibração do modelo numérico desenvolvido,

descrito no capítulo 4.

As estruturas de betão armado, quando sujeitas a carregamentos multiaxiais, têm um

comportamento não linear, principalmente após o início da fendilhação. A caracterização,

quer experimental, quer numérica, do comportamento pós-fendilhação dos elementos que

constituem tais estruturas é ainda escassa.

Na primeira parte deste capítulo, é apresentado o sistema de ensaio utilizado,

descrevendo-se o equipamento, bem como os procedimentos adoptados. A segunda parte

deste capítulo é dedicada à apresentação e análise dos resultados obtidos.

Capítulo 3

34

3.2 Sistema de ensaio

3.2.1 Configuração dos ensaios

O pórtico metálico autoportante que se utilizou na realização dos ensaios das vigas de BA é

constituído por vários elementos metálicos (perfis HEB200) com diferentes dimensões,

podendo combinar-se de diferentes formas, de modo a ajustar-se à configuração dos

ensaios. Nas Figuras 3.1 a 3.8 são apresentados vários esquemas e fotografias das

diferentes vistas e secções do pórtico utilizado.

O esquema estrutural da viga é uma consola. Na tentativa de construir um encastramento

perfeito foi necessário criar um dispositivo de fixação. Este foi realizado por intermédio de

um “anel” de secção rectangular, em chapas de aço, fixado ao pórtico por intermédio de

perfis metálicos, como se ilustra nas Figuras 3.3, 3.4, 3.7 e 3.8. Para apertar e reajustar a

viga, interpôs-se uma chapa de aço entre cada face da viga e o “anel” de encastramento.

Estas chapas foram apertadas contra as faces da viga por intermédio de parafusos. A zona

do encastramento foi reforçada com um perfil metálico, representado na Figura 3.7, por

forma a aumentar a rigidez do encastramento.

A aplicação da carga ao perfil metálico, como se ilustra na Figura 3.5 e na Figura 3.6, foi

feita por intermédio de um actuador hidráulico com um curso máximo de 200 mm. Entre o

actuador e o perfil foi colocado um transdutor de força para quantificar a carga aplicada.

Essa carga foi transmitida à viga de BA por intermédio de uma ligação aparafusada entre o

perfil metálico e a extremidade livre da viga. Para esse efeito, utilizaram-se parafusos de

aço de 20 mm de diâmetro. Entre o transdutor de força e o perfil metálico colocou-se uma

pastilha de aço de 30×30 mm2 de forma a que o braço do binário aplicado à viga se

mantivesse constante durante o ensaio.


35

A’

2.00 m 1.00 m 0.20 m0.20 m

0.20 m

A

HEB200

ExtremidadeLivreEncastramento

Viga

0.60 m

0.40 m

0.20 m

B

B’

1.00 m

Figura 3.1 - Esquema do ensaio da viga de betão armado.

Figura 3.2 - Fotografia lateral da viga e respectiva instrumentação.

Capítulo 3

36

0.20 m

C’

C

Encastramento

HEB2000.20 m

0.20 m

0.20 m

0.50 m

0.40 m

0.50 m

0.20 m 0.35 m 0.20 m 0.35 m 0.20 m 0.35 m 0.20 m 0.35 m 0.20 m

Figura 3.3 - Corte A-A’ – secção de encastramento.

Figura 3.4 - Fotografia ilustrativa da zona do encastramento.


37

0.20 m

Extremidade Livre

Actuador

Perfil rectangularoco 200x100x4 mm

HEB200

2.00 m

0.20 m

0.20 m

2.00 m 0.20 m

Figura 3.5 - Corte B-B’ – extremidade livre.

Figura 3.6 - Fotografia da ligação do perfil metálico à viga, na secção da extremidade livre.

Capítulo 3

38

Figura 3.7 - Corte C-C’ – vista lateral da secção de encastramento.

Viga de BA

Chapas metálicasde aperto

Anel deencastramento

Figura 3.8 - Pormenorização do encastramento.


39

3.2.2 Instrumentação

Para monitorizar o comportamento da viga durante o ensaio, foram colocados, em várias

secções da mesma, instrumentos de medida, nomeadamente transdutores de

deslocamentos, comparadores mecânicos e um transdutor de força.

Na Figura 3.9, apresentam-se as secções da viga onde foi colocada a instrumentação.

Existem, fundamentalmente, três secções de leitura, S1, S2 e S3. A secção S0 teve como

objectivo registar alguns movimentos de corpo rígido da viga devido à impossibilidade de

garantir um encastramento perfeito.

0.20 m

S0

S0

0.34 m 1.11 m 1.05 m 0.40 m

S1

S1

S2

S2

Zona maciça Zona maciçaZona oca

2.00 m0.45 m 0.45 m

0.02 m

S3

S3

Figura 3.9 - Secções de instrumentação da viga.

Foram utilizados três tipos de transdutores de deslocamentos eléctricos (LVDT’s – Linear

Voltage Displacement Transducer), que diferem entre si no campo de leitura: amplitude

linear de ±25 mm, ±12.5 mm e ±2.5 mm, como se ilustram nas Figuras 3.10 a 3.12.

Capítulo 3

40

Figura 3.10 - Transdutor eléctrico (LVDT ±25 mm).

Figura 3.11 - Transdutor eléctrico (LVDT ±12.5 mm).

Figura 3.12 - Transdutor eléctrico (LVDT ±2.5 mm).

Dado não se dispor do número necessário de transdutores eléctricos de deslocamentos,

foram também utilizados comparadores mecânicos. Nas Figuras 3.13 e 3.14 apresentam-se

os dois tipos de comparadores mecânicos (CM) utilizados, com uma precisão de 0.01 mm e

de 0.002 mm, respectivamente.


41

Figura 3.13 - Comparador mecânico de 0.01 mm de

precisão.

Figura 3.14 - Comparador mecânico de 0.002 mm de

precisão.

Com a intenção de medir os deslocamentos verticais nas secções S1, S2 e S3, colocaram-se

nestas secções LVDT’s com um campo de leitura de ±25 mm. Na secção S0, (ver Figuras

3.17 e 3.18), colocou-se um CM com uma precisão de 0.01 mm, para registar algum

deslocamento vertical junto ao apoio (assentamento de apoio). Estes aparelhos

encontravam-se ligados, por meio de um mecanismo ajustável de alumínio, a uma barra de

aço de secção tubular (ver Figuras 3.15 e 3.16). Esta, por sua vez, encontrava-se apoiada

em dois tripés de aço exteriores à viga.

Para avaliar as rotações por flexão, em cada secção foram colocados dois CM, como se

ilustra nas Figuras 3.18, 3.20 e 3.22. Para dar suporte ao cursor desses CM, foram

previamente coladas nas vigas umas chapas de alumínio em forma de L. Na secção S0,

foram utilizados os CM com uma precisão de 0.002 mm, já que se esperariam rotações

baixas, enquanto que nas secções S1 e S2 se utilizaram CM com uma precisão de 0.01 mm.

Capítulo 3

42

Figura 3.15 - Disposição de toda a instrumentação no

lado A da viga.

Figura 3.16 - Disposição de toda a instrumentação no

lado B da viga.

Para avaliar as rotações por torção nas secções S0 e S2, foram aplicados dois LVDT’s por

secção. Por sua vez, na secção S1, foram aplicados dois CM. Estes aparelhos de medida

foram dispostos da forma ilustrada nas Figuras 3.17, 3.19 e 3.21. Pequenas chapas de

alumínio foram coladas nas vigas no intuito da rugosidade da face da viga não interferir

nos deslocamentos lidos.


43

Figura 3.17 - Disposição dos aparelhos na secção S0

do lado A da viga.


do lado B da viga.


do lado A da viga.


do lado B da viga.

Capítulo 3

44


e S3 do lado A da viga.


e S3 do lado B da viga.

A força foi aplicada ao perfil metálico por intermédio de um actuador hidráulico, como foi

referido na secção 3.2.1. A descrição das características deste actuador é feita por Barros et

al. [Bar99a]. A carga foi medida por intermédio de um transdutor de força de 50 kN de

capacidade máxima de carga, colocado entre o actuador e o perfil. Estes dois elementos

podem ser visualizados na Figura 3.23.


45

Actuador hidráulicode 250 kN de máximacapacidade de carga

Transdutor de forçade 50 kN

Figura 3.23 - Transdutor de força e actuador hidráulico.

3.2.3 Sistema de aquisição de dados

O equipamento utilizado nos ensaios das vigas de BA foi desenvolvido pela Hidromática,

com a colaboração de um aluno finalista do curso de Engenharia Mecânica da Faculdade

de Engenharia da Universidade do Porto (FEUP) e do Prof. Joaquim Barros do

Departamento de Engenharia Civil da Escola de Engenharia da Universidade do Minho

(DEC-UM). Este sistema de aquisição de dados encontra-se ainda em fase de calibração,

pelo que os ensaios realizados se englobam também numa campanha de testes, com vista a

contribuir para um aperfeiçoamento das variáveis que controlam o funcionamento desse

equipamento.

Capítulo 3

46

Em virtude de se tratar da sua primeira utilização para o desenvolvimento de um trabalho

científico, é apresentada de seguida uma breve descrição do funcionamento e constituição

dos principais componentes do equipamento, designado de SENTUR (Sistema de Ensaio de

Estruturas), que se representa na Figura 3.24. Para maior pormenorização remete-se o

leitor para o manual deste equipamento [Fre98].

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Legenda:

(1) Computador (2) Quadro eléctrico (3) Consola (4) Amplificador (5) Mangueiras de ligação

Figura 3.24 - Elementos pertencentes ao sistema de ensaio, controlo e aquisição de dados.

O SENTUR é um equipamento de ensaio laboratorial que se destina a controlar e

monitorizar ensaios estáticos e dinâmicos de elementos estruturais, tais como vigas,

pilares, faixas de laje, etc.

Este equipamento é constituído por um sistema hidráulico versátil e totalmente comandado

por computador, capaz de realizar ensaios sequenciais simples ou múltiplos com

componentes desde estáticas a dinâmicas, programáveis e configuráveis.


47

Na sua constituição inicial, o sistema é configurável para ensaios de 0-50 kN, de 0-200 kN

ou de 0-250 kN. Os actuadores têm um curso máximo de 200 mm. Para a monitorização

dos ensaios podem ser utilizados, neste momento, até ao máximo de 8 transdutores de

deslocamento e 4 transdutores de força (ou células de carga).

O software desenvolvido é de natureza "amigável", com selecção por "janelas de diálogo"

e capaz de aceitar facilmente características inseridas pelo utilizador, nomeadamente para

os actuadores ou sensores de medida utilizados em cada ensaio. O software permite definir

os procedimentos que se pretende que sejam executados durante o ensaio.

O software e hardware desenvolvidos incluem múltiplos procedimentos e dispositivos de

segurança que permitem que, depois de programado, o sistema funcione sem

acompanhamento.

No termo de um ensaio, é produzido um relatório genérico descritivo das principais

características e ocorrências verificadas. Um ficheiro mais completo, contendo os

resultados adquiridos durante o ensaio, é igualmente disponibilizado para posterior

utilização por programas adequados, nomeadamente o "Excel".

Todo o sistema de comando é suportado por uma estrutura em perfil de alumínio dotada de

rodízios, sendo por isso fácil de movimentar.

Apresenta-se de seguida uma descrição de todos os componentes constituintes do

SENTUR:

i. Computador

Alojado na estrutura de suporte, o computador encarrega-se do comando automático do

sistema e do registo de dados relevantes durante a execução de um ensaio, podendo ser

utilizado para outras aplicações independentes do programa de comando.

Este computador tem também a seu cargo parte dos procedimentos de segurança do

sistema.

Capítulo 3

48

ii. Quadro Eléctrico

O quadro eléctrico do sistema encontra-se no interior da estrutura de suporte. Neste

quadro, os disjuntores protegem todo o sistema contra possíveis sobrecargas ou

curto-circuitos.

iii. Consola

A consola de comando está montada no canto superior direito da estrutura de suporte do

sistema. Esta consola, com diversos indicadores e botões, permite que o operador actue

sobre o sistema.

iv. Amplificador

A monitorização dos ensaios é assegurada por diversos transdutores ligados a um

“amplificador de instrumentação" que está colocado na prateleira por cima do

compartimento do computador. Este amplificador, modular, suporta oito transdutores de

deslocamento e quatro transdutores de força (distribuídos por doze canais).

v. Central Hidráulica

A central hidráulica, montada na parte posterior da estrutura de suporte, é a fonte de

energia para o actuador hidráulico.

vi. Actuador Hidráulico

O actuador hidráulico poderá ser montado num pórtico ou numa estrutura similar e é o

elemento que actua directamente sobre os elementos a ensaiar.


49

vii. Mangueiras de Ligação

A ligação entre a central hidráulica e o actuador é efectuada com recurso a quatro

mangueiras, todas de diâmetro diferente, o que permite evitar qualquer erro de ligação.

Estas mangueiras dispõem de terminais de ligação rápida nos extremos.

3.2.4 Procedimento de ensaio

Não existindo um procedimento predefinido para este tipo de ensaios, procurou criar-se

um, que desse resposta aos objectivos propostos.

Os ensaios foram realizados com controlo de deslocamentos. O software de controlo do

sistema de aquisição de dados permite configurar o procedimento de ensaio, utilizando

algumas “funções” simples, podendo estas ser combinadas conforme o historial de

deslocamentos a impor. Descrevem-se, de seguida, de forma sucinta, essas “funções”:

i. “Patamar” – procedimento que permite manter fixa a variável de controlo,

(neste caso o deslocamento), durante determinado tempo ou até ordem

expressa do operador;

ii. “Rampa” – procedimento que permite provocar uma variação monótona da

grandeza controlada, (neste caso o deslocamento), durante um determinado

tempo;

iii. “Função Triangular” – provoca a variação da grandeza controlada, segundo

uma função triangular;

iv. “Função Sinusoidal” – provoca a variação da grandeza controlada, segundo

uma função periódica sinusoidal.

Para este ensaio foram utilizados somente “Patamares” e “Rampas”. As “Rampas” foram

utilizadas para provocar uma deformação crescente na viga, enquanto que os “Patamares”

Capítulo 3

50

foram utilizados para manter uma deformação constante e permitir as leituras nos

comparadores mecânicos.

A lei de deslocamentos impostos às vigas é apresentada na Figura 3.25. Na Figura 3.26, é

representado o procedimento que se programou no sistema de aquisição de dados.

0

10

20

30

40

50

60

70

0 20 40 60 80 100

Número do procedimento

Des

loca

men

to

0

5

10

0 20

Figura 3.25 - Lei de deslocamentos impostos às vigas de BA.

A resposta da viga depende da velocidade de deformação aplicada [Sha86]. No presente

trabalho optou-se por uma velocidade de deformação de 25 µm/s. No primeiro passo do

procedimento de ensaio, (deformação crescente até 1.0 mm), utilizou-se uma velocidade de

deformação de 10 µm/s, para melhorar a estabilidade do ensaio.


51

Início doEnsaio

Deformação constante durante 20 s

Deformação crescente até 1.0 mm

Deformação crescente de 1.5 mm

Ciclo até um deslocamento de 68.5 mm

Deformação constante durante 20 s

Fim doEnsaio

Figura 3.26 - Procedimento programado no sistema de aquisição de dados.

Para cargas baixas, o grupo hidráulico possui um circuito de baixa pressão que pode ser

activado em recuo ou em avanço. Dependendo das necessidades expressas de cada ensaio,

este circuito poderá executar uma força que se subtrai ou se adiciona à força

correspondente à gama seleccionada. Por conseguinte, a gama de 0 a 50 kN pode ser

deslocada, por exemplo, para 20 a 70 kN, se o circuito de baixa pressão executar uma força

de 20 kN em avanço. Nos ensaios efectuados, este circuito foi activado em recuo, com uma

força de 0 kN, dado que, mesmo para este regime, o circuito de baixa pressão entra em

funcionamento, contribuindo para a não oscilação do grupo hidráulico.

Capítulo 3

52

Alguns dias antes do ensaio de uma viga de BA, foi necessário levar a efeito algumas

tarefas, tais como:

i. montagem e fixação da viga no pórtico com a ajuda de um “monta-cargas”;

ii. colocação do perfil metálico na extremidade livre da viga;

iii. pintura da viga de forma a que fosse possível detectar a fendilhação;

iv. colagem das placas e das chapas nas zonas da viga em que se iriam registar os

deslocamentos;

v. colocação das barras metálicas que servem de suporte para a colocação dos CM

e dos LVDT’s.

vi. fixação e ajuste de toda a instrumentação.

Em controlo manual, a carga foi aplicada lentamente ao perfil metálico, por intermédio do

transdutor de força fixado ao actuador hidráulico, sendo aumentada, de forma gradual, até

se atingir uma força próxima de 500 N, de modo a evitar a oscilação do sistema, cujo efeito

poderia ser a paragem do ensaio. Após esta fase, deu-se início a todo o procedimento do

ensaio sob controlo automático.

A evolução foi visualizada por intermédio de dois gráficos existentes no software do

sistema. Cada gráfico permitia visualizar a evolução de um dos transdutores ligados ao

sistema. Os resultados eram obtidos por intermédio de uma placa de aquisição de 12 bits, a

qual incluía um controlador PID que permite efectuar ensaios por intermédio do controlo

de um transdutor [Bar95], declarado como transdutor de controlo nos procedimentos de

ensaio. Nos ensaios realizados, um dos gráficos foi utilizado para observar a evolução dos

deslocamentos no LVDT de controlo e o outro para visualizar a força aplicada e registada

pelo transdutor de força.

Durante as fases de “flecha crescente” (Rampas) foram efectuadas leituras nos LVDT’s, de

dois em dois segundos. Durante as fases de “flecha constante” (Patamares), era dada ordem

de leitura aos operadores que estavam a controlar os nove CM. Ao mesmo tempo, era

registada a força, de modo a sincronizar os dados relativos às leituras efectuadas. Assim,

obteve-se um número suficiente de registos, permitindo caracterizar o comportamento da

viga durante o ensaio.


53

No decorrer do ensaio, foram também marcadas as fendas, bem como o valor da carga

actuante. Cada operador controlava uma das faces da viga (face A, face B e face inferior).

Deste modo, obteve-se um registo da evolução da fendilhação.

Observou-se que, para algumas vigas, os procedimentos de ensaio não foram cumpridos na

sua totalidade, devido essencialmente a três factores:

i. foi atingido o campo não-linear de um dos LVDT’s, geralmente o de controlo

(secção S2) ou o da secção S3;

ii. o braço do actuador alcançou o seu máximo curso;

iii. a secção de ligação do perfil metálico com a viga fendilhou, não permitindo a

transferência da carga para a viga.

Cada ensaio teve uma duração de cerca de 61 minutos. Com o objectivo de se analisar o

padrão de fendilhação à posteriori, após retirada toda a instrumentação, a viga foi

envolvida por papel vegetal no qual foram demarcadas as fendas.

3.3 Apresentação dos resultados

3.3.1 Introdução

Durante a campanha de testes, efectuaram-se algumas alterações, de forma a melhorar a

qualidade do controlo da instrumentação e assegurar a estabilidade do ensaio.

Apesar da maior percentagem de estribos na zona de aplicação da carga, verificou-se nos

primeiros ensaios a ocorrência de fendas nesta zona, o que levou à introdução nas vigas

seguintes de uma cinta em aço (ver Figura 3.27).

Capítulo 3

54

O pouco conhecimento do ganho da placa de aquisição levou, ao longo dos ensaios, a

ajustes no parâmetro de ganho. Para ensaios quase-estáticos sobre elementos estruturais

com rotura dúctil, verificou-se que o ganho não influencia significativamente a resposta

estrutural. Contudo, o ganho influencia manifestamente o cumprimento dos procedimentos

estabelecidos.

Figura 3.27 - Pormenor da cinta em aço na ligação perfil – viga de BA.

3.3.2 Apresentação dos resultados de uma viga

De forma a auxiliar na compreensão dos resultados dos ensaios efectuados nas vigas, irão

apresentar-se em seguida, de forma exaustiva, os resultados obtidos numa das vigas

ensaiadas. Foi escolhida a viga V2_l12_t75, que é a segunda viga da série, com uma

armadura longitudinal de 12 mm de diâmetro e cujos estribos na zona oca se encontram

afastados 75 mm.

Os padrões de fendilhação ao longo de toda a viga são ilustrados nas Figuras 3.28 a 3.30.

Pode observar-se que na face A da viga há uma maior fendilhação que na face B. Isto

justifica-se pela aplicação da carga, que provoca mais tracções na face A que na face B.


55

O facto das fendas estarem inclinadas é resultado dos esforços a que a viga foi submetida.

Se a viga estivesse sujeita apenas a flexão, as fendas apresentar-se-iam praticamente

perpendiculares ao seu eixo. Neste caso, a profundidade das fendas aumentaria desde a

extremidade livre para o encastramento, dado que o momento flector cresce nesse sentido.

Por outro lado, se a viga sofresse apenas esforços de torção, a fendilhação apresentar-se-ia

de forma inclinada, helicoidal e quase constante. A interacção entre estes esforços e ainda

os de corte justifica o padrão de fendilhação observado [Mon91].

Figura 3.28 - Padrão de fendilhação na face A da viga.

Figura 3.29 - Padrão de fendilhação na face B da viga.

Capítulo 3

56

Figura 3.30 - Padrão de fendilhação na face inferior da viga.

Na Figura 3.31 apresenta-se a evolução da fendilhação na zona do encastramento. Estando

a viga sujeita a uma carga de sensivelmente 5.6 kN, surgiu a primeira fenda nessa zona.

Verifica-se que a carga de fendilhação aumenta ligeiramente com a percentagem de

armadura longitudinal.

Figura 3.31 - Evolução da fendilhação.


57

Quando se alcançou a sua capacidade máxima de carga, na face B da zona do

encastramento, onde existem maiores compressões, verificou-se o esmagamento do betão,

como se ilustra na Figura 3.32.

Figura 3.32 - Esmagamento do betão na zona de compressão máxima.

Durante a realização do ensaio, obteve-se uma elevada quantidade de informação. De

forma a avaliar a resposta da viga, e após um tratamento dos resultados por um código

computacional elaborado para o efeito, realizaram-se vários gráficos relacionando

grandezas obtidas directamente dos ensaios ou através de algumas expressões algébricas,

tais como:

i. Diagrama força versus deslocamento vertical (F-δ), para as secções S1, S2 e

S3.

ii. Diagrama momento flector versus rotação por flexão (Mf-θf), para as secções

S1e S2.

iii. Diagrama momento torsor versus rotação por torção (Mt-θt), para as secções

S1e S2.

Capítulo 3

58

3.3.2.1 Diagrama força - deslocamento vertical

Com os deslocamentos registados nos LVDT’s instalados nas secções S1, S2 e S3 das vigas,

e com a força registada no transdutor de força, foi possível traçar os diagramas

força-deslocamento vertical nessas secções. Os gráficos das Figuras 3.33 a 3.35 ilustram

essa relação.

Observa-se que, desde o início, existe uma relação não linear entre a força e o

deslocamento vertical. Este facto permite afirmar que se desenvolve microfissuração no

betão, mesmo para um carregamento relativamente baixo.

O aparecimento de fendilhação, visível nas faces da viga de BA, também se pode observar

nos gráficos. A partir de um nível de carga de cerca de 5 kN, o comportamento não linear

torna-se mais evidente e há uma perda significativa da rigidez da viga, sinal do surgimento

de macro-fendilhação. A partir desse ponto, a rigidez mantém-se aproximadamente

constante, até um nível de carga que corresponde à entrada em plastificação da armadura.

Para esta viga, o nível de carga é de cerca de 19 kN. Observa-se ainda que o

comportamento da viga, após o aparecimento da macro-fendilhação, é governado

fundamentalmente pela armadura longitudinal.

Na Figura 3.36 pode observar-se a flecha máxima alcançada na extremidade livre da viga

de BA.


59

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80

Deslocamento vertical na secção S1 (mm)

Forç

a (k

N)

v2_l12_t75

Figura 3.33 - Diagrama F-δ na secção S1 da viga V2_l12_t75.

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


Forç

a (k

N)

v2_l12_t75


Capítulo 3

60

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


Forç

a (k

N)

v2_l12_t75


Figura 3.36 - Flecha na extremidade livre da viga.


61

3.3.2.2 Diagrama momento flector - rotação por flexão

Com os deslocamentos obtidos em cada par de CM colocados nas secções S1 e S2,

conseguiu calcular-se a rotação por flexão nessas secções através da seguinte expressão

l

2d1df

−=θ (3.1)

em que d1 é o deslocamento medido no CM disposto próximo da superfície superior da

viga, d2 é o deslocamento medido no CM disposto próximo da superfície inferior da viga e

l é a distância entre eles (ver Figuras 3.20 e 3.22).

Analisando os gráficos das Figuras 3.37 e 3.38, verifica-se o mesmo andamento dos

gráficos força-deslocamento vertical. Apresentam um primeiro tramo linear, com pequeno

desenvolvimento, seguindo-se uma fase onde a rigidez da viga diminui, sendo a rigidez da

armadura a responsável pela proporcionalidade entre o momento flector e a rotação por

flexão, até se atingir uma terceira fase, em que se dá a plastificação da armadura. Como

seria de esperar, a rotação da secção S2 é maior que a rotação da secção S1.

Capítulo 3

62

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30

Rotação - flexão na secção S1 (x10-3)

Mom

ento

flec

tor

na s

ecçã

o S

1 (k

Nm

)

v2_l12_t75

Figura 3.37 - Diagrama Mf -θf na secção S1 da viga V2_l12_t75.

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30


Mom

ento

flec

tor

na s

ecçã

o S

2 (k

Nm

)

v2_l12_t75

Figura 3.38 - Diagrama Mf -θf na secção S2 da viga V2_l12_t75.


63

3.3.2.3 Diagrama momento torsor - rotação por torção

Na secção S1 foram utilizados dois CM, enquanto que na secção S2 se aplicaram dois

LVDT’s. Com os deslocamentos registados, obtiveram-se as rotações por torção nessas

secções através da seguinte expressão

l

2d1dt

−=θ (3.2)

em que d1 é o deslocamento medido no CM ou no LVDT disposto próximo da superfície

superior da viga, d2 é o deslocamento medido no CM ou no LVDT colocado próximo da

superfície inferior da viga e l é a distância entre eles (ver Figuras 3.19 e 3.21).

Da análise dos gráficos das Figuras 3.39 e 3.40, constata-se que a quebra de rigidez na viga

de BA não é assim tão pronunciada como a observada na relação Mf-θf, contudo o

andamento é semelhante.

Dado o esquema estrutural utilizado, o momento torsor ao longo de toda a viga é constante,

ao contrário da rotação por torção que, na secção S2, é maior que a verificada na secção S1,

já que esta última está mais próxima do encastramento.

Capítulo 3

64

0

3

5

8

10

13

15

0 15 30 45 60 75

Rotação - torção na secção S1 (x10-3)

Mom

ento

tors

or (

kNm

)

v2_l12_t75

Figura 3.39 - Diagrama Mt-θt na secção S1 da viga V2_l12_t75.

0

3

5

8

10

13

15

0 15 30 45 60 75


Mom

ento

tors

or (

kNm

)

v2_l12_t75

Figura 3.40 - Diagrama Mt-θt na secção S2 da viga V2_l12_t75.


65

De uma forma muito simples, pode verificar-se em todos os gráficos apresentados, uma

evolução semelhante à representada na Figura 3.41, que pretende ilustrar as várias

contribuições dos dois materiais constituintes da viga para a resposta não linear que se

observou. Segundo a aproximação sugerida, a contribuição do betão é reduzida e a resposta

é fundamentalmente governada pela armadura existente.

contribuição do betão

contribuição só da armadura

diagrama real

tf ou θθδ ,

tf MouMF ,

Figura 3.41 - Contribuição dos dois materiais constituintes das vigas de BA.

Os gráficos força - deslocamento vertical, momento flector - rotação por flexão e momento

torsor - rotação por torção, correspondentes a todas as vigas das séries ensaiadas, são

apresentados no Anexo I para não sobrecarregar a exposição do presente trabalho.

Capítulo 3

66

3.3.3 Análise comparativa dos resultados

Nesta secção apresenta-se uma comparação dos resultados de todas as vigas das séries

ensaiadas. Para cada par de grandezas a analisar foram sobrepostos os gráficos

correspondentes a cada ensaio:

i. Figuras 3.42 a 3.44 - sobreposição dos diagramas força-deslocamento

vertical;

ii. Figura 3.45 e Figura 3.46 - sobreposição dos diagramas força-deslocamento

vertical relativo entre secções;

iii. Figura 3.47 e Figura 3.48 - sobreposição dos diagramas momento

flector-rotação por flexão;

iv. Figura 3.49 e Figura 3.50 - sobreposição dos diagramas momento

flector-rotação por flexão não descontando a rotação da secção S0;

v. Figura 3.51 e Figura 3.52 - sobreposição dos diagramas momento

torsor-rotação por torção;

vi. Figura 3.53 e Figura 3.54 - sobreposição dos diagramas momento

torsor-rotação por torção não descontando a rotação da secção S0;

Da observação dos diagramas F-δ é possível concluir:

• na zona inicial, até ao aparecimento da fendilhação, observa-se um

comportamento semelhante de todas as vigas, justificado pelo facto de esse

comportamento ser fundamentalmente regido pelo betão;

• após a fendilhação inicial, as respostas das vigas das séries reforçadas com

armaduras longitudinais φ10 e φ12 são diferentes;

• nas vigas das séries com varões longitudinais de 12 mm de diâmetro, há uma

rigidez constante, desde uma carga de cerca de 5 kN até uma carga de

sensivelmente 18 kN, facto este que sustenta a sugestão apontada

anteriormente de que o comportamento das vigas após a fendilhação do betão é

fundamentalmente governado pela armadura longitudinal. Esta constatação

verifica-se também para intervalo de carga de 4.5 kN até 13 kN, das séries com

varões longitudinais de 10 mm de diâmetro;


67

• há uma independência em relação à quantidade de armadura transversal

utilizada. Este fenómeno justifica-se pelo facto da zona central da viga ser de

secção oca, pelo que, neste caso, a armadura não tem qualquer efeito de

confinamento do betão. A substituição dos estribos por fibras de aço parece ser

uma solução oportuna, pois é possível aumentar a resistência ao corte do betão,

sem recurso a dispêndio de mão-de-obra na realização e colocação de estribos

em paredes delgadas [Bar95]. A qualidade de betonagem é também melhorada

com a utilização do betão reforçado com fibras de aço (BRFA) em peças de

secção oca e paredes delgadas.;

• o aumento do diâmetro das armaduras longitudinais aumenta a rigidez da viga

e permite alcançar uma carga de plastificação mais elevada.

Teria sido interessante executar os ensaios de forma a ser alcançada uma deformação

superior à obtida. Contudo, tal não foi possível por limitações do curso dos LVDT’s e do

braço do actuador hidráulico. No entanto, da análise das diferentes figuras, verifica-se que

as vigas tinham praticamente alcançado a sua capacidade máxima.

A relação entre a força e os deslocamentos relativos entre as secções S1 e S2 e a relação

entre a força e os deslocamentos relativos entre as secções S2 e S3 estão representadas nas

Figuras 3.45 e 3.46 . Conclusões semelhantes às obtidas anteriormente podem ser aplicadas

na análise destes gráficos.

Para permitir uma melhor análise dos gráficos, força-deslocamento vertical relativo, no

Anexo II, serão apresentados separadamente os diagramas para todas as vigas das séries

ensaiadas.

Capítulo 3

68

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


Forç

a (k

N)

v1_l10_t150

v2_l10_t150

v1_l10_t75

v2_l10_t75

v1_l12_t150

v2_l12_t150

v1_l12_t75

v2_l12_t75

Figura 3.42 - Diagramas F-δ na secção S1 para todas as vigas.

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


Forç

a (k

N)

v1_l10_t150

v2_l10_t150

v1_l10_t75

v2_l10_t75

v1_l12_t150

v2_l12_t150

v1_l12_t75

v2_l12_t75



69

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


Forç

a (k

N)

v1_l10_t150

v2_l10_t150

v1_l10_t75

v2_l10_t75

v1_l12_t150

v2_l12_t150

v1_l12_t75

v2_l12_t75


0

4

8

12

16

20

24

0 10 20 30 40

Deslocamento vertical relativo entre as secções S1-S2 (mm)

Forç

a (k

N)

v1_l10_t150

v2_l10_t150

v1_l10_t75

v2_l10_t75

v1_l12_t150

v2_l12_t150

v1_l12_t75

v2_l12_t75

Figura 3.45 - Diagramas F-δ relativo entre as secções S1 e S2 para todas as vigas.

Capítulo 3

70

0

4

8

12

16

20

24

0 10 20 30 40


Forç

a (k

N)

v1_l10_t150

v2_l10_t150

v1_l10_t75

v2_l10_t75

v1_l12_t150

v2_l12_t150

v1_l12_t75

v2_l12_t75

Figura 3.46 - Diagramas F-δ relativo entre as secções S2 e S3 para todas as vigas.

Como foi referido na secção 3.2.2, foi também colocada instrumentação numa secção

muito próxima do encastramento, S0, com o objectivo de registar alguns movimentos de

corpo rígido. Assim, a todos os valores registados nas outras secções foram retirados os

deslocamentos e as rotações sofridas pelo encastramento. Da análise dos diagramas Mf-θf

apresentados nas Figuras 3.47 e 3.48, verifica-se que ao subtrair-se as rotações da secção

S0, as respostas das diferentes vigas são mais distintas, afastando-se, assim, das conclusões

já apuradas relativamente aos gráficos F-δ.

Após uma análise criteriosa, concluiu-se que as rotações medidas na secção S0 não podem

representar a rotação de corpo rígido do encastramento, já que, devido a problemas

técnicos de colocação da instrumentação, essa secção se encontra a 20 mm do

encastramento (ver Figura 3.9). Deste modo, a secção S0 sofreu deslocamentos, distintos

dos movimentos do elemento de viga encaixada na zona de encastramento.


71

Com o objectivo de verificar as razões apresentadas, representam-se nas Figuras 3.49 e

3.50 os diagramas Mf-θf sem o desconto da rotação na secção S0. Principalmente no

diagrama da secção S1, verifica-se um andamento muito próximo do esperado, ou seja:

• um afastamento do comportamento das vigas das séries cujas armaduras

longitudinais diferem no diâmetro, após a fase da fendilhação inicial;

• uma independência em relação à quantidade de armadura transversal utilizada.

Estes gráficos carecem do desconto da rotação de corpo rígido no encastramento. Este

poderia ser avaliado se fosse colocado um sistema de medida no interior do anel de

encastramento e não numa secção da viga muito próxima dele.

Da observação das figuras, é ainda possível concluir que:

• há uma perda de rigidez após o início da fendilhação;

• foi atingida a plastificação da armadura, após uma fase em que se constata uma

relação quase linear entre o momento flector e a rotação por flexão;

• para o mesmo momento flector, as secções das vigas das séries com armadura

longitudinal de 10 mm de diâmetro rodam mais.

Na secção S0 das vigas V2_l10_75 e V2_l12_t150, as chapas em L que dão suporte aos

cursores dos CM descolaram-se. Assim, não foi possível representar nas Figuras 3.47 e

3.48 os resultados relativos a essas vigas.

Capítulo 3

72

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30


Mom

ento

flec

tor

na s

ecçã

o S

1 (k

Nm

)

v1_l10_t150

v2_l10_t150

v1_l10_t75

v1_l12_t150

v1_l12_t75

v2_l12_t75

Figura 3.47 - Diagramas Mf-θf na secção S1.

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30


Mom

ento

flec

tor

na s

ecçã

o S

2 (k

Nm

)

v1_l10_t150

v2_l10_t150

v1_l10_t75

v1_l12_t150

v1_l12_t75

v2_l12_t75

Figura 3.48 - Diagramas Mf-θf na secção S2.


73

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30


Mom

ento

flec

tor

na s

ecçã

o S

1 (k

Nm

)

v1_l10_t150

v2_l10_t150

v1_l10_t75

v2_l10_t75

v1_l12_t150

v2_l12_t150

v1_l12_t75

v2_l12_t75

Figura 3.49 - Diagramas Mf-θf na secção S1 para todas as vigas não descontando a rotação da secção S0.

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30


Mom

ento

flec

tor

na s

ecçã

o S

2 (k

Nm

) v1_l10_t150

v2_l10_t150

v1_l10_t75

v2_l10_t75

v1_l12_t150

v2_l12_t150

v1_l12_t75

v2_l12_t75

Figura 3.50 - Diagramas Mf-θf na secção S2 para todas as vigas não descontando a rotação da secção S0.

Capítulo 3

74

Com o objectivo de avaliar o comportamento das vigas sob o momento torsor aplicado,

elaboraram-se os diagramas representados nas Figuras 3.51 e 3.52. Analisando as figuras,

pode concluir-se:

• há um afastamento do comportamento das vigas das séries cujas armaduras

longitudinais diferem no diâmetro;

• verifica-se uma independência do comportamento em relação à quantidade de

armadura transversal utilizada;

• as respostas das vigas têm um andamento parabólico, não sendo tão evidente

uma fase linear da relação Mt-θt, o que é justificado pelo baixo momento torsor

aplicado e o betão ter ainda boa capacidade de absorção do esforço de torção. É

de referir, aliás, que a secção é uma secção rectangular oca, adaptando-se bem

a esforços de torção.

Nas Figuras 3.53 e 3.54, apresentam-se os diagramas Mt-θt sem descontar a rotação por

torção sofrida pela secção S0, devido às razões já apontadas. Verifica-se que as respostas

são muito idênticas, justificadas pelo facto de que a viga no encastramento quase não

sofreu rotação por torção.


75

0

3

5

8

10

13

15

0 15 30 45 60 75


Mom

ento

tors

or (

kNm

)

v1_l10_t150

v2_l10_t150

v1_l10_t75

v2_l10_t75

v1_l12_t150

v2_l12_t150

v1_l12_t75

v2_l12_t75

Figura 3.51 - Diagramas Mt-θt na secção S1 para todas as vigas.

0

3

5

8

10

13

15

0 15 30 45 60 75


Mom

ento

tors

or (

kNm

)

v1_l10_t150

v2_l10_t150

v1_l10_t75

v2_l10_t75

v1_l12_t150

v2_l12_t150

v1_l12_t75

v2_l12_t75

Figura 3.52 - Diagramas Mt-θt na secção S2 para todas as vigas.

Capítulo 3

76

0

3

5

8

10

13

15

0 15 30 45 60 75


Mom

ento

tors

or (

kNm

)

v1_l10_t150

v2_l10_t150

v1_l10_t75

v2_l10_t75

v1_l12_t150

v2_l12_t150

v1_l12_t75

v2_l12_t75

Figura 3.53 - Diagramas Mt-θt na secção S1 para todas as vigas não descontando a rotação da secção S0.

0

3

5

8

10

13

15

0 15 30 45 60 75


Mom

ento

tors

or (

kNm

)

v1_l10_t150

v2_l10_t150

v1_l10_t75

v2_l10_t75

v1_l12_t150

v2_l12_t150

v1_l12_t75

v2_l12_t75

Figura 3.54 - Diagramas Mt-θt na secção S2 para todas as vigas não descontando a rotação da secção S0.


77

Com o intuito de comparar os vários padrões de fendilhação das vigas das diferentes séries,

ilustram-se nas Figuras 3.55 e 3.56 padrões de fendilhação das vigas V1_l10_t150 e

V1_l12_t75, respectivamente.

Pela análise, pode constatar-se que, para uma maior percentagem de armadura, as fendas

têm uma menor profundidade.

Figura 3.55 - Padrão de fendilhação junto ao encastramento da viga V1_l10_t150.

Figura 3.56 - Padrão de fendilhação junto ao encastramento da viga V1_l12_t75.

Capítulo 3

78

São apresentados no Quadro 3.1, para as diferentes secções das vigas ensaiadas, os valores

do deslocamento vertical, da rotação por flexão, da rotação por torção, bem como a

correspondente força, momento flector e momento torsor, relativos ao início da

fendilhação. A determinação desses valores foi feita com o auxílio do padrão de

fendilhação registado em folhas de papel vegetal e dos diagramas, determinando o ponto

da perda de rigidez da viga.

Os valores máximos das grandezas em causa são apresentados no Quadro 3.2. Estes

correspondem aos valores máximos lidos nos diferentes diagramas. Como já se referiu,

todos os valores dos diagramas foram sujeitos a um tratamento por um código

computacional elaborado para o efeito. Deste modo, os valores máximos dos momentos

flectores ou dos momentos torsores, podem não ter uma relação directa com o valor da

máxima força alcançada.

Quadro 3.1 - Valores relativos à fendilhação.

Viga F (kN)

δS1 (mm)

δS2 (mm)

δS3 (mm)

V1_l10_t150 4.40 2.49 6.24 7.52

V2_l10_t150 4.40 2.73 6.34 7.66

V1_l10_t75 5.00 3.76 8.81 10.67

V2_l10_t75 5.00 3.94 10.19 11.93

V1_l12_t150 5.00 2.47 5.80 6.83

V2_l12_t150 5.60 3.52 8.35 9.89

V1_l12_t75 5.00 3.01 6.86 8.01

V2_l12_t75 5.60 3.60 8.12 9.50


79

Quadro 3.1 - Valores relativos à fendilhação (cont.).

Viga Mf,S1 (kNm)

θf,S1 (x10-3)

Mf,S2 (kNm)

θf,S2 (x10-3)

Mt,S1 (kNm)

θt,S1 (x10-3)

Mt,S2 (kNm)

θt,S2 (x10-3)

V1_l10_t150 6.6 3.27 1.98 3.35 2.2 0.96 2.2 1.08

V2_l10_t150 6.6 3.90 1.98 4.15 2.2 1.23 2.2 1.22

V1_l10_t75 7.5 6.50 2.25 6.79 2.5 2.25 2.5 3.23

V2_l10_t75 7.5 5.75 2.25 9.05 2.5 3.12 2.5 3.53

V1_l12_t150 7.5 3.25 2.25 5.35 2.5 0.84 2.5 0.95

V2_l12_t150 8.4 3.00 2.52 6.62 2.8 0.86 2.8 1.80

V1_l12_t75 7.5 3.25 2.25 3.01 2.5 1.04 2.5 1.93

V2_l12_t75 8.4 4.12 2.52 3.40 2.8 1.03 2.8 1.67

Quadro 3.2 - Valores relativos aos valores máximos lidos nos gráficos.

Viga FS1 (kN)

δS1 (mm)

FS2 (kN)

δS2 (mm)

FS3 (kN)

δS3 (mm)

V1_l10_t150 14.32 26.00 14.32 63.40 14.32 77.65

V2_l10_t150 14.68 25.40 14.68 60.87 14.68 75.14

V1_l10_t75 13.14 18.15 13.23 44.13 13.14 53.63

V2_l10_t75 14.50 21.23 14.59 56.63 14.59 68.81

V1_l12_t150 19.49 22.63 19.49 53.00 19.31 63.68

V2_l12_t150 18.22 20.15 18.31 48.31 18.31 57.5

V1_l12_t75 20.03 27.59 19.94 63.37 20.03 77.63

V2_l12_t75 19.84 27.96 19.76 65.53 19.85 77.64

Capítulo 3

80

Quadro 3.2 - Valores relativos aos valores máximos lidos nos gráficos (cont.).

Viga Mf,S1 (kNm)

θf,S1 (x10-3)

Mf,S2 (kNm)

θf,S2 (x10-3)

Mt,S1 (kNm)

θt,S1 (x10-3)

Mt,S2 (kNm)

θt,S2 (x10-3)

V1_l10_t150 20.80 29.53 6.28 22.79 7.02 38.0 7.12 54.59

V2_l10_t150 21.48 29.87 6.32 29.28 7.25 38.0 7.34 50.97

V1_l10_t75 19.44 25.71 5.83 28.33 6.66 19.91 6.62 29.76

V2_l10_t75 21.62 28.58 5.01 29.77 7.30 39.38 6.89 54.09

V1_l12_t150 28.82 26.46 8.56 25.21 8.93 20.52 9.61 40.50

V2_l12_t150 27.19 19.07 8.16 29.36 9.06 19.96 9.06 38.15

V1_l12_t75 29.64 29.71 8.85 28.92 9.88 31.32 9.97 55.73

V2_l12_t75 28.82 29.20 8.03 29.19 9.56 24.50 9.92 38.87

3.4 Conclusões

Neste capítulo, descreveu-se todo o estudo realizado com elementos de viga de betão,

reforçados com diferentes percentagens de armadura longitudinal e transversal, sujeitos a

esforços de flexão, corte e torção.

Com base nos ensaios efectuados verificou-se que para secções rectangulares ocas, a

resposta não linear é praticamente independente da percentagem de armadura transversal

utilizada. Se se tiver ainda em conta o elevado custo da mão-de-obra necessária para

aplicação de estribos em peças ocas de parede delgada, pode sugerir-se que as fibras de aço


81

têm, neste tipo de estruturas, um campo de aplicação a ser explorado [Bar95],

principalmente nos elementos não sujeitos a esforços predominantemente de compressão.

Verificou-se, ainda, que o comportamento não linear deste tipo de estruturas, submetidas a

estados multiaxiais de tensão é controlado fundamentalmente pelas características de

ductilidade das suas armaduras.

CAPÍTULO 4

Modelo Numérico

4.1 Introdução

As estruturas reticuladas, quando sujeitas a um determinado conjunto de esforços,

apresentam um comportamento manifestamente não linear a partir de um determinado

nível do carregamento. Esse comportamento não linear resulta da consideração das

deformações de 2ª ordem e/ou do facto de os materiais possuírem leis constitutivas não

lineares, designando-se por comportamento não linear geométrico o primeiro caso e por

comportamento não linear material o segundo [Aze85].

Este capítulo será dedicado ao desenvolvimento de um modelo para a análise não linear

material de pórticos tridimensionais de betão armado. As barras serão discretizadas por

elementos de peça prismática de Timoshenko 3D. A não linearidade geométrica e o facto

de propriedades dos matérias dependerem do tempo não serão tidas em conta no presente

trabalho.

Em primeiro lugar, os fundamentos teóricos referentes ao modelo de análise estática

utilizado serão expostos, apresentando-se, em pormenor, a formulação do elemento de peça

prismática de Timoshenko 3D baseada no método dos elementos finitos (MEF). De

seguida, é apresentado o modelo de análise não linear material de betão armado

desenvolvido. Este modelo tem em conta o comportamento dos vários materiais que

constituem a secção de betão armado, uma vez que esta é discretizada em elementos

Capítulo 4

84

finitos, e que a cada um é atribuída uma lei que caracteriza o comportamento material

desse elemento, constituindo o que geralmente se designa por modelo de fibras. Por último,

a aferição do modelo é efectuada, por intermédio da comparação entre os resultados

obtidos numericamente e os resultados adquiridos nos ensaios efectuados nas vigas de BA,

apresentados no capítulo 3.

4.2 Modelo de análise estática linear

4.2.1 Introdução

A teoria subjacente ao modelo de análise estática linear [Bar99b] é exposta na presente

secção.

Existem duas abordagens principais para a simulação do comportamento de elementos de

vigas e pilares. Elas estão sustentadas por duas teorias: a teoria da viga de Euler-Bernoulli

e a teoria da viga de Timoshenko.

A clássica teoria de vigas, ou de Euler-Bernoulli, baseia-se nas três hipóteses seguintes

[Oña95]:

• Os deslocamentos verticais (flechas) de todos os pontos de uma secção

transversal são pequenos e iguais aos do eixo da viga;

• O deslocamento lateral é nulo;

• As secções transversais normais ao eixo da viga, antes da deformação,

permanecem planas e ortogonais ao referido eixo após a deformação.

Da terceira hipótese conclui-se que a rotação da secção transversal é igual à inclinação do

eixo da viga. Assim, a deformação por corte não é tida em conta, razão pela qual esta teoria

só deverá ser utilizada em vigas esbeltas.

Modelo Numérico

85

Na teoria da viga de Timoshenko, as duas primeiras hipóteses da teoria de Euler-Bernoulli

mantêm-se. Todavia a terceira hipótese é substituída por uma outra que indica que as

secções transversais planas e normais ao eixo da viga, antes da deformação, permanecem

planas mas não necessariamente ortogonais ao eixo após a deformação [Tim70]. Esta

hipótese representa uma melhor aproximação à deformação real da secção transversal de

vigas espessas. À medida que a relação comprimento/altura diminui, a deformação por

esforço transverso passa a ser mais significativa [Oña95].

Face ao exposto, optou-se pela formulação de Timoshenko. A formulação da viga de

Timoshenko foi estendida à simulação de barras de estruturas reticuladas tridimensionais

de forma a ser possível analisar quer vigas espessas, quer vigas esbeltas.

Na secção seguinte, será exposta a formulação teórica do elemento de peça prismática de

Timoshenko no espaço, bem como os procedimentos a adoptar para a sua implementação

num código computacional baseado no MEF.

4.2.2 Elemento de viga de Timoshenko no espaço

4.2.2.1 Considerações gerais

Considere-se uma peça curva definida num sistema de eixos global ( )321 ,, gggg i , pela sua

directriz e e a geometria das diferentes secções transversais planas de área )(eA e

ortogonais a e (ver Figura 4.1). Antes de mais, é necessário definir os diversos sistemas

coordenados a que a geometria, os deslocamentos e os esforços generalizados serão

referidos.

Capítulo 4

86

C

G

e

s1

A(e)

0s1 =

1s1 −=

1s1 +=

3l

2l

1l

Figura 4.1 - Elemento de viga de Timoshenko no espaço.

– Sistemas coordenados i. Sistema coordenado global - ( )321 ,, gggg i

Sistema coordenado cartesiano usado para definir a geometria da estrutura no espaço

(Figura 4.2). Os deslocamentos dos nós, a matriz de rigidez e o vector das forças nodais

equivalentes da estrutura também são referidos a este sistema.

ggug 222 ,, θggug 111 ,, θ

1i

3i

2i

ggug 333 ,, θ

Figura 4.2 - Referencial global

Modelo Numérico

87

ii. Sistema coordenado normalizado - 1s

Sistema coordenado que serve de base à definição das funções de forma do elemento

(Figura 4.3). A coordenada normalizada 1s varia de –1 a +1 ao longo do eixo do elemento,

que coincide com a linha que contém os centros de gravidade das secções da peça.

-1 0 +1

1 N1

s1 -1 0 +1

1

N2

s1 -1 0 +1 s1

1N3

( )12 1

11 −⋅= s

sN ( )1

2 11

3 +⋅= ss

N( ) ( )112 11 ssN +⋅−=

Figura 4.3 - Referencial normalizado.

iii. Sistema coordenado local - ( )321 ,, llll i

Sistema coordenado cartesiano definido localmente em qualquer secção do elemento. A

definição deste referencial nos pontos de integração numérica (pontos de amostragem)

serve de referência à definição dos estados de tensão e de deformação (Figura 4.4). A este

referencial, atribui-se, por vezes, a designação de tangencial, pelo facto do eixo 1l ser

tangente ao eixo do elemento.

Capítulo 4

88

C

G

e

3l

2l

1l

Figura 4.4 - Referencial local.

Para cada ponto de amostragem do elemento, este sistema é definido por intermédio do

procedimento que se passa a descrever [Bar97a, Ven96]:

– Versor do eixo 1l

O vector 1l é tangente, no ponto de amostragem, ao eixo curvilíneo 1s . Assim,

T

sx

sx

sx

=

1

3

1

2

1

11 ∂

∂∂∂

∂∂

l (4.1)

e

[ ]T312111

1

11

ˆ lllll

l == (4.2)

sendo 1l o versor de 1l .

Modelo Numérico

89


Para se definir o versor de 2l , vai começar-se por admitir que este eixo é ortogonal ao

plano definido por 3i e 1l , pelo que

( )3211121211

221

13312111

321

13

132

ˆ.0ˆ.ˆ.)()(

1

ˆˆ1

100

ˆˆˆ

ˆˆ

ˆˆˆ

iii

i

iii

i

i

++−+

=

×=

×

×=

llll

llll

l

ll

. (4.3)

Se 02111 == ll , então 3i e 1l são colineares. Se além disto 031 >l , isto é, se a barra

está orientada segundo o sentido positivo do eixo 3g , como se ilustra na Figura 4.5a,

então 2l obtém-se a partir do produto vectorial de 1l e 1i . Neste caso,

[ ]T010ˆ2 =l . (4.4)

Se 031 <l , isto é, se a barra está orientada segundo o sentido negativo do eixo 3g (ver

Figura 4.5b), então 2l obtém-se a partir do produto vectorial de 1i e 1l , pelo que,

[ ]T010ˆ2 =l . (4.5)

Capítulo 4

90

3l

g1

13 l≡g

22 l≡g

a)

1l

31 l≡g

g3

22 l≡g

b)

Figura 4.5 - Barra dirigida segundo o sentido positivo a) e negativo b) do eixo 3g .

Se 011 ≠l ou 021 ≠l , isto é, se o elemento não é colinear com o eixo 3g então 2l

obtém-se a partir do produto vectorial de 3i com 1l (4.3).


O versor do eixo 3l obtém-se por intermédio do produto vectorial de 1l com 2l

213

ˆˆˆ lll ×= . (4.6)

Modelo Numérico

91

Assim, a matriz que converte entidades do referencial local para o referencial global

apresenta a seguinte constituição

[ ]

==

33

23

13

32

22

12

31

21

11

321ˆˆˆ

l

l

l

ll

l

ll

l

llllg

T . (4.7)

No caso de 2l e 3l não coincidirem com os eixos principais centrais de inércia, estes

versores são convertidos do referencial il′ para o referencial associado aos eixos

principais centrais de inércia il (Figura 4.6),

llll ′′= UTU (4.8a)

em que

= ′

′′

ll

llll

TTT

00 (4.8b)

e

−=

′

αααα

cossin0sincos0

001ll

T , (4.8c)

sendo α o ângulo entre 2l′ e 2l (ou 3l′ e 3l ), (ver Figura 4.6). Assim,

( )ll

llll

ll

UT

UTT

UTU

g

Tg

gg

=

=

=′′

′′

. (4.8d)

Capítulo 4

92

11 ll ′≡

2l′

2l

3l′ 3l

i

j

+α

+α

Exemplo: perfil em Z com a alma num plano vertical

j > i

= 0

Figura 4.6 – Definição do referencial local da barra para α não nulo.

Neste caso, também é tido em conta o facto de a barra estar orientada segundo o sentido

positivo do eixo 3g ou segundo o sentido negativo do eixo 3g , como se ilustra na

Figura 4.7a e Figura 4.7b, respectivamente.

2l

g1

113 ll ′≡≡g

22 l′≡g

3l

3l′+α

+α

a)

2l

g3

11 ll ′≡

22 l′≡g

3l

31 l′≡g

+α

+α

b)

Figura 4.7 – Exemplo: perfil em Z dirigido segundo o sentido positivo a) e negativo b) do eixo 3g .

Modelo Numérico

93

Como foi referido na secção anterior, a formulação de Timoshenko supõe que as secções

transversais planas e ortogonais ao eixo da viga permanecem planas, mas não

necessariamente ortogonais ao referido eixo. É possível então simular a contribuição do

esforço transverso para a deformação da viga. O centro de corte pode não coincidir com o

centro de gravidade da secção (ver Figura 4.8), provocando rotações adicionais em relação

ao centro de corte, se as forças estiverem aplicadas no centro de gravidade da secção. Tal

facto também foi tido em conta no modelo numérico desenvolvido.

3l

C

GlCx2

lCx3

2l

Figura 4.8 - Secção de um elemento de viga de Timoshenko no espaço.

4.2.2.2 Campo de deslocamentos

Considere-se a secção do elemento representada na Figura 4.9. O campo de deslocamentos

define-se por intermédio das seguintes expressões,

( ) ( ) ( ) ( )llllllllllll132123113211 ,, xxxxxuxxxu G θθ −+= , (4.9a)

( ) ( ) ( ) ( )llllllllll1133123212 ,, xxxxuxxxu CG θ−−= , (4.9b)

( ) ( ) ( ) ( )llllllllll1122133213 , xxxxuxxxu CG θ−+= , (4.9c)

Capítulo 4

94

em que lCx2 e l

Cx3 são as coordenadas do centro de corte em relação ao centro de gravidade

da secção (ver Figura 4.8), e

( ) ( )0,0, 321111 === llllll xxxuxu G , (4.10a)

( ) ( )0,0, 321212 === llllll xxxuxu G , (4.10b)

( ) ( )0,0, 321313 === llllll xxxuxu G . (4.10c)

G

e

3l

lGu2

lGu3

lGu1

l1θ

l3θ

l2θ

C

lCx2

lCx3

P

l2x

l3x

2l

1l

Figura 4.9 – Campo de deslocamentos.

No referencial local e global, o vector dos deslocamentos tem, respectivamente, as

seguintes componentes

[ ]lllllll321321 θθθGGG uuuU = , (4.11)

Modelo Numérico

95

e

[ ]ggggG

gG

gG

g uuuU 321321 θθθ= . (4.12)

A conversão dos deslocamentos do referencial local para o referencial global efectua-se a

partir da matriz de transformação gT l ,

ll UTU gg = (4.13)

em que

= g

gg

TTT l

ll

00 (4.14)

foi definida na secção anterior.

4.2.2.3 Campo de deformações

As extensões são definidas no referencial local, sendo as componentes não nulas as

seguintes

∂∂

−+∂

∂+

∂∂

−−∂

∂+−

∂∂

−∂∂

+∂∂

=

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=

=

l

lll

l

ll

l

lll

l

ll

l

ll

l

ll

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

1

122

1

32

1

133

1

23

1

32

1

23

1

1

1

3

3

1

1

2

2

1

1

1

13

12

1

)(

)(

xxx

xu

xxx

xu

xx

xx

xu

xu

xu

xu

xu

xu

CG

CG

G

θθ

θθ

θθ

γ

γ

ε

ε (4.15a)

ou

Capítulo 4

96

∂∂∂∂∂∂

∂∂

−+∂∂

∂∂

+−∂

∂∂∂

−−

=

l

l

l

l

l

l

l

lll

l

l

l

lll

l

l

l

l

l

l

ll

l

1

3

1

2

1

1

1

122

1

3

1

133

1

2

1

1

2

3

23

0010000010

0001

x

x

x

xx

xu

xx

xu

xu

xx

xxC

G

CG

G

θ

θ

θ

θθ

θθ

ε (4.15b)

que em notação matricial fica

ll εε R= (4.15c)

sendo

−−

=0010000010

0001

2

3

23

l

l

ll

xx

xxR (4.16)

e

=

∂∂∂∂∂∂

∂∂

−+∂∂

∂∂

+−∂

∂∂∂

=

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

lll

l

l

l

lll

l

l

l

l

l

f

t

c

aC

G

CG

G

x

x

x

xx

xu

xx

xu

xu

εεεε

θ

θ

θ

θθ

θθ

ε

1

3

1

2

1

1

1

122

1

3

1

133

1

2

1

1

, (4.17a)

Modelo Numérico

97

cujas componentes, laε , l

cε , ltε e l

fε estão no referencial local e referem-se a extensões

da fibra coincidente com o eixo baricêntrico da secção, em que

l

ll

1

1

xu G

a ∂∂

=ε (4.17b)

é a extensão axial,

∂∂

−+∂∂

∂∂

+−∂

∂

=

l

lll

l

l

l

lll

l

l

l

1

122

1

3

1

133

1

2

xx

xu

xx

xu

CG

CG

c θθ

θθ

ε (4.17c)

é o vector das extensões por corte,

l

ll

1

1

xt ∂∂

=θ

ε (4.17d)

é a extensão por torção, e

∂∂∂∂

=

l

l

l

l

l

1

3

1

2

x

xf θ

θ

ε (4.17e)

é o vector das extensões de flexão.

Capítulo 4

98

4.2.2.4 Tensões

As tensões são definidas no referencial local, sendo as componentes não nulas as seguintes

(ver Figura 4.10)

[ ]Tllll13121 ττσσ = . (4.18)

G

e

3l

l13τ 2l

1ll1σ

l12τ

Figura 4.10 - Tensões.

4.2.2.5 Lei de Hooke

A relação entre o vector das tensões e das extensões é estabelecida por intermédio da

matriz constitutiva D , no referencial local,

ll εσ D= (4.19a)

ou

Modelo Numérico

99

=

l

l

l

l

l

l

13

12

1

13

12

13

12

1

000000

γ

γ

ε

τ

τ

σ

GG

E, (4.19b)

em que E é o módulo de elasticidade longitudinal do material e 12G e 13G são os módulos

de elasticidade transversal do material nos planos 21ll e 31ll , respectivamente. Se o

material for homogéneo e isotrópico, ( )( )υ+=== 121312 EGGG , sendo υ o coeficiente

de Poisson do material.

4.2.2.6 Esforços

As componentes dos esforços numa secção do elemento, no referencial local, são as

seguintes (Figura 4.11)

[ ]TMMMVVN lllllll

321321=σ (4.20)

em que

( )

∫

∫

∫

∫

∫

∫

−=

=

+−=

=

=

=

A

A

A

A

A

A

dAxM

dAxM

dAxxM

dAV

dAV

dAN

lll

lll

lllll

ll

ll

ll

213

312

2133121

133

122

11

,

,

,

,

,

σ

σ

ττ

τ

τ

σ

(4.21)

Capítulo 4

100

são o esforço axial, o esforço de corte segundo o eixo 2l , o esforço de corte segundo o

eixo 3l , o momento torsor, o momento flector segundo o eixo 2l e o momento flector

segundo o eixo 3l , respectivamente.

G

e

3l

l3V

l2x

l3x

2l

1l

l3M

l1N

l2M

l1M

l13τ

l12τ

l1σ

l2V

Figura 4.11 - Esforços na secção de um elemento de Timoshenko no espaço.

A relação (4.21) pode ser rescrita da seguinte forma

dA

xx

xx

M

M

M

V

V

N

A∫

−

−=

=l

l

l

l

l

ll

l

l

l

l

l

l

l

13

12

1

2

3

23

3

2

1

3

2

1

0000

0100010001

τ

τ

σ

σ (4.22)

pelo que

Modelo Numérico

101

dARA

T ll σσ ∫= . (4.23)

Substituindo (4.19a) em (4.23) e tendo em atenção a relação (4.15c) obtém-se

dARDR

dADR

A

T

A

T

l

ll

ε

εσ

∫

∫=

=. (4.24)

Efectuando o produto matricial RDRT obtém-se

( ) ( )( )

( )

⋅

−−−

+−

−−

= ∫∫AA

T dA

ExExxExExxExEx

xGxGGxGxGxGGxG

ExExE

dARDR

2

2322

32

2

33

2

213

2

312132123

13213

12312

23

000000

00000000000

000

llll

llll

llll

l

l

ll

(4.25)

Como os eixos 1l e 2l são principais centrais de inércia, e admitindo-se material

homogéneo e isotrópico,

EAdAEA

=∫ , (4.26a)

*21212lGAGAdAG

A

==∫ α , (4.26b)

*

31313lGAGAdAG

A

==∫ α , (4.26c)

Capítulo 4

102

3,2/0 === ∫∫ ipdAxEdAxEA

iiA

ll , (4.26d)

3,2/0 === ∫∫ ipdAxGdAxGA

iiA

ll , (4.26e)

jicjipdAxxEdAxxEA

jijiA

≠=== ∫∫ /3,2,/0llll , (4.26f)

( ) ( ) lll2

2

3

2

3 IEdAxEdAxEAA

== ∫∫ , (4.26g)

( ) ( ) lll3

2

2

2

2 IEdAxEdAxEAA

== ∫∫ , (4.26h)

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] lllll1

2

3

2

2

2

312

2

213 GIdAxxGdAxGxGAA

=+=+ ∫∫ (4.26i)

em que *2lA e *

3lA são as áreas reduzidas de corte segundo os eixos 2l e 3l , l

2I e l3I são

os momentos de inércia em torno dos eixos 2l e 3l e l1I é o momento de inércia em torno

de 1l . Assim,

== ∫

l

l

l

l

l

l

3

2

1

*3

*2

000000000000000000000000000000

ˆ

EIEI

GIGA

GAEA

dARDRDA

T . (4.27)

Os esforços determinam-se por intermédio da seguinte relação

lll εσ D= (4.28a)

ou

Modelo Numérico

103

∂∂∂∂∂∂

∂∂

−+∂∂

∂∂

+−∂

∂∂∂

=

l

l

l

l

l

l

l

lll

l

l

l

lll

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

1

3

1

2

1

1

1

122

1

3

1

133

1

2

1

1

3

2

1

*3

*2

3

2

1

3

2

1

00000

00000

00000

00000

00000

00000

x

x

x

xx

xu

xx

xu

xu

EI

EI

GI

GA

GA

EA

M

M

M

V

V

N

CG

CG

G

θ

θ

θ

θθ

θθ

(4.28b)

em que

=

f

t

c

a

DD

DD

D

ˆ0000ˆ0000ˆ0000ˆ

ˆ (4.29a)

sendo

EADa =ˆ , (4.29b)

=

*3

*2

00ˆ

l

l

GAGA

D c , (4.29c)

l1

ˆ GIDt = , (4.29d)

e

=

l

l

3

2

00ˆ

EIEI

D f (4.29e)

as submatrizes associadas à rigidez axial, corte, torção e flexão, respectivamente.

Capítulo 4

104

Na formulação de Timoshenko, a distribuição das tensões de corte 12τ e 13τ é considerada

constante em toda a secção transversal. Tal facto deriva da hipótese de que as secções

transversais se mantêm planas após a deformação, o que não acontece na realidade, pois

ocorrem distorções na secção. Assim, para ter em conta essas distorções, e

consequentemente uma distribuição de tensões não constante ao longo da secção,

multiplica-se a área l2A e l

3A da secção pelos coeficientes l2α e l

3α , respectivamente.

Estes coeficientes são designados por coeficientes de forma ou de distorção. A sua

obtenção para cada direcção, 2l e 3l , é feita aplicando o Princípio dos Trabalhos Virtuais

(PTV), de forma a que o trabalho de deformação da tensão tangencial constante coincida

com o exacto da teoria das vigas [Bar89,Bar97b]. As áreas resultantes são designadas por

áreas reduzidas de corte ( *2lA e *

3lA ).

4.2.2.7 Expressão do trabalho virtual

Considere-se um elemento de viga de volume ( )eV submetido a forças generalizadas

proporcionais à sua massa, g

Vq , forças generalizadas distribuídas ao longo do elemento,

l

Lq , e forças generalizadas aplicadas em pontos nodais da estrutura, gQ . Sob este

carregamento, o corpo sofre extensões e deslocamentos virtuais, εd e Ud ,

respectivamente, pelo que, pela aplicação do PTV, o trabalho interno é igual ao trabalho

externo realizado durante a deformação virtual do elemento, isto é,

( )( )

[ ] [ ]( )

[ ]( )∫∫∫ ++=

eee LL

T

V

g

V

TggTg

V

TdLqUdVqUQUdV llll δδδσεδ (4.30)

em que

Modelo Numérico

105

( ) ( )( )

( )( )∫∫ ++==

ee VV

Te dVdVW llllllll1313121211int τδγτδγσδεσεδδ (4.31)

é o trabalho interno de deformação virtual realizado durante as extensões virtuais lεδ , e

( ) [ ] [ ]( )

[ ]( )∫∫ ++=

ee LL

T

V

g

V

TggTgeext dLqUdVqUQUW llδδδδ (4.32)

é o trabalho externo produzido durante os deslocamentos virtuais, Uδ . Desenvolvendo a

parcela do trabalho interno e tendo em conta as relações (4.15c), (4.19a) e (4.27), obtém-se

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )( )( )

( )( )∫

∫ ∫

∫

∫

∫

=

=

=

=

=

e

e e

e

e

e

L

T

L A

TT

V

TT

V

TT

V

Te

dLD

dLdARDR

dVRDR

dVDR

dVW

lll

ll

ll

ll

ll

εεδ

εεδ

εεδ

εεδ

σεδδ

ˆ

int

. (4.33)

Capítulo 4

106

4.2.3 Formulação do elemento de viga de Timoshenko no espaço por

elementos finitos isoparamétricos de classe C0

4.2.3.1 Definição da geometria

As coordenadas cartesianas de um ponto qualquer do elemento, na coordenada

normalizada 1s , obtêm-se por intermédio da seguinte relação

( ) ( )∑=

=n

k

gkk

g xsNsx1

11 (4.34a)

ou

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

=

gnG

gnG

gnG

gG

gG

gG

n

n

n

g

g

g

xxx

xxx

sNsNsNsN

sNsNs

xxx

,3

,2

,1

1,3

1,2

1,1

111

111

111

1

3

2

1

000000000000

MLLL

(4.34b)

em que n é o número de nós do elemento (dois ou três nós), ( )1sN k é a função de forma do

elemento relativa ao nó k, avaliada na coordenada normalizada 1s e gkiGx , c/i=1,2,3

representa as coordenadas do nó k no referencial global. A relação (4.34b) pode ainda ser

rescrita da seguinte forma

( ) ( ) ( ) ( )egex

g XsNsx 11 = (4.34c)

Modelo Numérico

107

em que ( )egX é o vector contendo as coordenadas, no referencial global, dos nós do

elemento.

4.2.3.2 Deslocamentos

Conhecidos os deslocamentos dos nós do elemento no referencial global, ( )egU , os

deslocamentos de um ponto qualquer do elemento, na coordenada normalizada 1s ,

obtêm-se por intermédio da seguinte relação

( ) ( )∑=

=n

k

gkk

g UsNsU1

11 (4.35a)

ou

( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

=

gn

gn

gn

gnG

gnG

gnG

g

g

g

gG

gG

gG

n

n

n

n

n

n

g

g

g

gG

gG

gG

uuu

uuu

sNsNsNsN

sNsNsNsN

sNsNsNsN

suuu

,3

,2

,1

,3

,2

,1

1,3

1,2

1,1

1,3

1,2

1,1

111

111

111

111

111

111

1

3

2

1

3

2

1

000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

θθθ

θθθ

θθθ

M

LLLLLL

(4.35b)

em que gkiGu , e g

ki ,θ c/i=1,2,3 representam os deslocamentos e as rotações do nó k no

referencial global. A relação (4.35b) pode ainda ser rescrita da seguinte forma

( ) ( ) ( ) ( )egeu

g UsNsU 11 = (4.35c)

Capítulo 4

108

4.2.3.3 Matrizes de deformação

As extensões num ponto do elemento, na coordenada normalizada 1s , obtêm-se a partir dos

deslocamentos dos nós do elemento, efectuando a seguinte operação

( ) ( ) llk

n

kk UsBs 1

11 ∑

=

=ε (4.36)

em que

( )

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

−

−

=

l

l

l

ll

l

ll

l

l

1

1

1

1

1

1

11

12

1

1

11

13

1

1

1

1

1

00000

00000

00000

000

000

00000

dxsdN

dxsdN

dxsdN

sNdx

sdNx

dxsdN

sNdx

sdNx

dxsdN

dxsdN

sB

k

k

k

kk

Ck

kk

Ck

k

k (4.37)

é a matriz de deformação relativa ao nó k, avaliada na coordenada normalizada 1s , e

[ ]T

kkkkGkGkGk uuuU lllllll,3,2,1,3,2,1 θθθ= (4.38)

é o vector dos deslocamentos do nó k, no referencial local do elemento.

Substituindo (4.13) em (4.36) obtém-se

( ) ( ) ( )[ ] gk

Tgn

kk UsTsBs 1

111

ll ∑=

=ε (4.39a)

ou

Modelo Numérico

109

( ) ( ) gk

n

kk UsBs ∑

=

=1

11lε (4.39b)

em que

[ ]Tgk

gk

gk

gkG

gkG

gkG

gk uuuU ,3,2,1,3,2,1 θθθ= (4.40)

é o vector dos deslocamentos do nó k, no referencial global, ( )1sT gl é a matriz de

transformação do referencial local para o referencial global, definida na secção 4.2.2.1, e

( ) ( ) ( )[ ]Tgkk sTsBsB 111

l= . (4.41)

Para calcular ( ) l11 dxsdN k da matriz kB efectua-se o seguinte procedimento

( ) ( )

ll1

1

1

1

1

1

dxds

dssdN

dxsdN kk = . (4.42)

Dado que

( ) ( ) ( )2

3

2

2

2

11ggg dxdxdxdx ++=l (4.43)

então

( ) ( ) ( )

212

1

3

2

1

2

2

1

1

1

2

3

2

2

2

1

1

1

+

+

=

++=

dsdx

dsdx

dsdx

ds

dxdxdx

dsdx

ggg

gggl

. (4.44a)

Substituindo (4.34) em (4.44a) obtém-se

Capítulo 4

110

( ) ( ) ( )

( )e

n

k

gkG

kn

k

gkG

kn

k

gkG

k

J

xds

sdNx

dssdN

xds

sdNdsdx

=

+

+

= ∑∑∑

===

212

1,3

1

1

2

1,2

1

1

2

1,1

1

1

1

1l

(4.44b)

que é o jacobiano avaliado na coordenada normalizada 1s . Substituindo (4.44b) em (4.42)

obtém-se

( ) ( )

( )ekk

JdssdN

dxsdN 1

1

1

1

1 =l. (4.45)

Na secção 4.2.2.3, as extensões foram decompostas nas componentes de extensão axial,

extensões de corte, extensão por torção e extensões por flexão. Para determinar estas

componentes de extensão, a partir dos deslocamentos dos nós, efectua-se o procedimento

que se passa a descrever.

– Extensão axial

( ) ( )

( ) ( )[ ] gka

n

k

Tgkaka

ka

n

kkaa

UsTsB

UsBs

,1

1,1,

,11

,1

∑

∑

=

=

=

=

l

llε (4.46)

em que ( )[ ] ( )1,11,ˆ ssT T

k

Tgka ll = é o versor do eixo local 1l no referencial global, pelo que é

constituído pelos cosenos dos ângulos que esse eixo faz com os eixos ( )321 ,, gggg i do

referencial global e

( )[ ] gka

Tgkaka UsTU ,1,,

ll = . (4.47)

Por sua vez,

Modelo Numérico

111

( ) ( )l1

11, dx

sdNsB k

ka = (4.48)

é a “matriz” de deformação axial,

llkGka uU ,1, = (4.49)

é o deslocamento do nó k segundo o eixo local 1l , e

[ ]TgkG

gkG

gkG

gka uuuU ,3,2,1, = (4.50)

é o vector dos deslocamentos do nó k segundo o eixos globais ( )321 ,, gggg i .

– Extensões de corte

( ) ( )

( ) ( )[ ] gkc

n

k

Tgkckc

kc

n

kkcc

UsTsB

UsBs

,1

1,1,

,11

,1

∑

∑

=

=

=

=

l

llε (4.51)

em que

( )k

ggkc

TsT

= l

l ll0

0ˆˆ32

1, (4.52)

é a matriz de transformação associada aos graus de liberdade de corte e

( )[ ] gkc

Tgkckc UsTU ,1,,

ll = . (4.53)

Por sua vez,

Capítulo 4

112

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

−

−=

00

00

11

12

1

1

11

13

1

1

1,

sNdx

sdNx

dxsdN

sNdx

sdNx

dxsdN

sBk

kC

k

kk

Ck

kc

ll

ll

(4.54)

é a matriz de deformação de corte,

[ ]T

kkkkGkGkc uuU llllll,3,2,1,3,2, θθθ= (4.55)

é o vector dos deslocamentos do nó k no referencial local, e

[ ]Tgk

gk

gk

gkG

gkG

gkG

gkc uuuU ,3,2,1,3,2,1, θθθ= (4.56)

é o vector dos deslocamentos do nó k no referencial global.

– Extensão de torção

( ) ( )

( ) ( )[ ] gkt

n

k

Tgktkt

kt

n

kktt

UsTsB

UsBs

,1

1,1,

,11

,1

∑

∑

=

=

=

=

l

lε (4.57)

em que ( )[ ] ( )1,11,ˆ ssT T

k

Tgkt ll = é o versor do eixo local 1l no referencial global e

( )[ ] gkt

Tgktkt UsTU ,1,,

ll = . (4.58)

Por sua vez,

( ) ( )l1

11, dx

sdNsB k

kt = (4.59)

Modelo Numérico

113

é a “matriz” de deformação de torção,

llkktU ,1, θ= (4.60)

é a rotação do nó k segundo o eixo local 1l , e

[ ]Tgk

gk

gk

gktU ,3,2,1, θθθ= (4.61)

é o vector das rotações do nó k no referencial global.

– Extensões de flexão

( ) ( )

( ) ( )[ ] gkf

n

k

Tgkfkf

kf

n

kkff

UsTsB

UsBs

,1

1,1,

,11

,1

∑

∑

=

=

=

=

l

llε (4.62)

em que

( ) [ ] kg

kf sT 321,ˆˆ lll = (4.63)

é a matriz de transformação associada aos graus de liberdade de flexão e

( )[ ] gkf

Tgkfkf UsTU ,1,,

ll = . (4.64)

Por sua vez,

( )( )

( )

=

l

l

1

1

1

1

1,

0

0

dxsdN

dxsdN

sBk

k

kf (4.65)

Capítulo 4

114

é a matriz de deformação de flexão,

[ ]T

kkkfU lll,3,2, θθ= (4.66)

é o vector das rotações do nó k no referencial local, e

[ ]Tgk

gk

gk

gkfU ,3,2,1, θθθ= (4.67)

é o vector das rotações do nó k no referencial global.

4.2.3.4 Matriz de rigidez

Substituindo as expressões (4.39) em (4.33) obtém-se

( ) ( )( )

( )[ ] [ ] ( )

( )∫

∫

=

=

e

e

L

egTgTgTeg

L

Te

dLUTBDBTU

dLDW

lll

lll

ˆ

ˆint

δ

εεδδ. (4.68)

Convertendo (4.68) para coordenadas normalizadas, resulta

( ) ( )[ ] [ ] ( ) ( )∫+

−=

1

1 1intˆ egeTgTgTege UdsJTBDBTUW lllδδ (4.69)

em que

( ) [ ] ( )∫+

−=

1

1 1ˆ dsJTBDBTK eTgTge lll (4.70)

Modelo Numérico

115

é a matriz de rigidez do elemento. Aplicando a integração numérica de Gauss-Legendre ao

cálculo da matriz de rigidez, a relação (4.70) reduz-se à seguinte

( ) [ ]{ }( )

p

N

p

e

s

TgTge WJTBDBTKs

p∑=

=1

11

ˆ lll (4.71)

em que 1SN é o número de pontos de integração na direcção 1s , em correspondência com a

regra de integração seleccionada, pW é o peso associado ao ponto de integração de

coordenadas ps1 e J é o valor do Jacobiano. No caso de elementos de dois ou três nós, com

o nó intermédio localizado a meio do elemento, o valor de J é 2L , ou seja metade do

comprimento do elemento [Oña95].

A matriz de rigidez de um elemento pode ser obtida calculando-se as submatrizes de

rigidez associadas à deformação axial, às deformações de corte, à deformação de torção e

às deformações de flexão. Assim, substituindo (4.17a) e (4.29a) em (4.33) obtém-se

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

.

ˆ0000ˆ0000ˆ0000ˆ

ˆint

∫

∫

=

=

e

e

L

f

t

c

a

f

t

c

a

T

f

T

t

T

c

T

a

L

Te

dL

DD

DD

dLDW

l

l

l

l

llll

lll

εεεε

εδεδεδεδ

εεδδ

(4.72)

Efectuando os produtos matriciais em (4.72) e fazendo intervir as relações (4.46), (4.51)

(4.57) e (4.62) obtém-se

( ) ( )[ ] [ ]( )

( )[ ] [ ]( )

( )[ ] [ ]( )

( )[ ] [ ]( )

gf

L

Tgfff

Tf

gf

Tgf

gt

L

Tgttt

Tt

gt

Tgt

gc

L

Tgccc

Tc

gc

Tgc

ga

L

Tgaaa

Ta

ga

Tga

e

UdLTBDBTUUdLTBDBTU

UdLTBDBTUUdLTBDBTUW

ee

ee

∫∫

∫∫

+

++=

llll

llll

ˆˆ

ˆˆ int

δδ

δδδ

(4.73)

Capítulo 4

116

em que

( ) [ ]( )∫=

eL

Tgaaa

Ta

ga

ea dLTBDBTK ll ˆ , (4.74a)

( ) [ ]( )∫=

eL

Tgccc

Tc

gc

ec dLTBDBTK ll ˆ , (4.74b)

( ) [ ]( )∫=

eL

Tgttt

Tt

gt

et dLTBDBTK ll ˆ , (4.74c)

( ) [ ]( )∫=

eL

Tgfff

Tf

gf

ef dLTBDBTK ll ˆ (4.74d)

são as submatrizes de rigidez axial, corte, torção e flexão, respectivamente. Aplicando a

integração numérica de Gauss-Legendre, as relações (4.74) convertem-se nas seguintes

( ) [ ]{ }( )

p

N

p

e

s

Tgaaa

Ta

ga

ea WJTBDBTK

as

p∑=

=1

11

ˆ ll , (4.75a)

( ) [ ]{ }( )

p

N

p

e

s

Tgccc

Tc

gc

ec WJTBDBTK

cs

p∑=

=1

11

ˆ ll , (4.75b)

( ) [ ]{ }( )

p

N

p

e

s

Tgttt

Tt

gt

et WJTBDBTK

ts

p∑=

=1

11

ˆ ll , (4.75c)

( ) [ ]{ }( )

p

N

p

e

s

Tgfff

Tf

gf

ef WJTBDBTK

fs

p∑=

=1

11

ˆ ll (4.75d)

em que asN1, c

sN1, t

sN1 e f

sN1 são os números de pontos de Gauss associados à integração

numérica da matriz de rigidez axial, corte, torção e flexão, respectivamente, fornecidos no

Quadro 4.1.

Modelo Numérico

117

Quadro 4.1 - Pontos de Gauss para integração numérica das submatrizes de rigidez do elemento de Timoshenko no espaço.

Elemento Ordem de integração Função de

forma Linear Quadrática

Axial 1 2

Corte 2 3

Torção 1 2 Completa

Flexão 1 2

Axial 1 2

Corte 1 2

Torção 1 2 Reduzida = Selectiva

Flexão 1 2

A utilização de várias técnicas de integração numérica tem como objectivo reduzir a

probabilidade de ocorrência do fenómeno correntemente denominado por locking. Este

fenómeno representa uma sobrestimação da rigidez de corte em relação à rigidez de flexão,

conduzindo a soluções numéricas demasiado rígidas [Bar97b].

As várias submatrizes da matriz de rigidez podem ser calculadas, optativamente, por

intermédio de regras de integração numérica completa, selectiva ou reduzida. Estas últimas

(selectiva e reduzida) são técnicas de subintegração que têm como objectivo principal

diminuir a probabilidade da ocorrência do fenómeno de locking, além de diminuírem o

tempo de processamento do cálculo.

Para comparar as várias técnicas de integração numérica, Sena [Sen98] e Oñate [Oña95]

realizaram estudos sobre o comportamento do elemento de viga de Timoshenko 2D, onde

se concluiu que as regras de integração reduzida/selectiva permitem melhores resultados

que a integração completa. Conclusões idênticas foram obtidas por Barros [Bar97b] e

Ventura [Ven97] na análise das várias técnicas de integração numérica para a obtenção da

matriz de rigidez de uma casca plana.

Capítulo 4

118

4.2.3.5 Vector solicitação

i. Introdução

Para complementar o sistema de equações de equilíbrio, será necessário determinar as

forças nodais equivalentes às acções exteriores. Nesta secção, descrevem-se os

procedimentos necessários à obtenção das forças nodais equivalentes aos seguintes tipos de

acções:

Forças aplicadas em pontos nodais da estrutura;

Forças aplicadas em pontos do interior de elementos;

Forças de volume;

Forças distribuídas por unidade de comprimento;

Deslocamentos prescritos.

ii. Forças aplicadas em pontos nodais da estrutura

Considere-se que num ponto P da estrutura está aplicado o vector de forças

[ ] T

Pgggg

GgG

gG

g

PMMMFFFQ 321321= (4.76)

cujas componentes estão referidas ao sistema global de eixos e estão em correspondência

com os graus de liberdade definidos em (4.12). Neste caso, as forças nodais equivalentes à

acção de g

PQ obtêm-se espalhando g

PQ no vector das forças nodais equivalentes da

estrutura ( )EgQ .

Modelo Numérico

119

iii. Forças aplicadas em pontos do interior de elementos

No ponto A de coordenada local sA1 do elemento representado na Figura 4.12 está aplicado

o vector de forças

[ ] T

Agggg

GgG

gG

g

AMMMFFFQ 321321= (4.77)

cujas componentes estão referidas ao sistema global de eixos e estão em correspondência

com os graus de liberdade definidos em (4.12).

1g

2gAF

3gAF

1gAF

2gAM

3gAM

1gAM

3g

2g

1

A3

2

Figura 4.12 - Forças generalizadas aplicadas em pontos do interior de elementos.

Para determinar as forças nodais no nó m, equivalentes ao vector (4.77), aplica-se o

princípio dos trabalhos virtuais obtendo-se

( )

m

g

g

g

gG

gG

gG

Am

A

g

g

g

gG

gG

gG

m

g

g

g

gG

gG

gG

m

g

g

g

gG

gG

gG

uuu

sN

MM

MF

FF

uuu

MM

MF

FF

=

3

2

1

3

2

1

,1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

000000000000000000000000000000

000000000000000000000000000000

δθδθδθδδδ

δθδθδθδδδ

(4.78)

em que,

Capítulo 4

120

gm

mg

g

g

gG

gG

gG

Uuuu

δ

δθδθδθδδδ

=

3

2

1

3

2

1

(4.79)

é o vector dos deslocamentos virtuais no nó m no referencial global. Como os

deslocamentos virtuais são quaisquer, (4.78) simplificar-se-á para

( )

Ag

g

g

gG

gG

gG

Am

mg

g

g

gG

gG

gG

MMMFFF

sN

MMMFFF

=

3

2

1

3

2

1

,1

3

2

1

3

2

1

(4.80a)

ou

( ) g

AAmg

mQsNQ ,1= . (4.80b)

A coordenada normalizada, As ,1 , do ponto de aplicação do vector de forças g

AQ pode ser

obtida recorrendo-se à condição de se estar a trabalhar com elementos finitos

isoparamétricos, isto é,

( ) gmi

n

mAm

gAi xsNx ,

1,1, ∑

=

= c/i=1 ou 2 ou 3 (4.81)

em que gmix , é a componente i do nó m do elemento, e g

Aix , é a componente i do ponto A do

elemento, no referencial global. Substituindo o valor de As ,1 em (4.80), determinam-se as

forças nodais no nó m, equivalentes ao vector de forças generalizadas aplicadas num ponto

genérico A do interior de um elemento.

Modelo Numérico

121

iv. Forças de volume

Neste trabalho, os efeitos de acelerações rotacionais são desprezados, pelo que apenas se

simulam os efeitos de acelerações que geram forças segundo o sistema coordenado global.

Assim, um volume infinitesimal de um elemento de viga de Timoshenko no espaço fica

submetido às seguintes forças

dVggg

dQdQdQ

g

g

g

gV

gV

gV

=

3

2

1

3,

2,

1,

ρ (4.82a)

ou

dVgFd ggV ρ= (4.82b)

em que gg1 , gg2 e gg3 são acelerações segundo gx1 , gx2 e gx3 , respectivamente, e ρ é a

massa por unidade de volume do material que constitui o elemento. Aplicando o princípio

dos trabalhos virtuais e integrando na área do elemento, )(eA , obtém-se a seguinte

expressão

( )( ) ( )

( )

dLAgUNUFeL

emm

e

mVllll ∫= ρδδ (4.83a)

( )( ) ( )

( )

[ ] dLAgTUNUF gTg

L

emm

e

mVe

llll ∫= ρδδ (4.83b)

em que

[ ] T

mGGGm uuuU llll321 δδδδ = (4.84)

são os deslocamentos virtuais de translação no nó m segundo os eixos locais.

Capítulo 4

122

Como os deslocamentos virtuais devem ser quaisquer, a relação (4.83) converte-se na

seguinte

( )

( )

( )[ ] dLAgTNF gTge

L

memV

e

ll ρ∫=, (4.85)

Aplicando a integração numérica de Gauss Legendre ao integral de (4.85) obtém-se

[ ] ( )

[ ]

{ }∑

∑

∫

=

=

−

=

=

=

1

1

1

1

1

)(

1

)()(

1

11

)()(,

s

p

s

p

N

pp

e

sVm

N

pp

e

s

gTgem

egTgem

emV

WJFN

WJAgTN

dsJAgTNF

l

l

ll

ρ

ρ

(4.86)

em que

( ) [ ]ps

gTgepV AgTsF

1

)(1

= ll ρ (4.87)

são as forças segundo os eixos do referencial local associado ao ponto de Gauss, avaliadas

nesse ponto.

O vector é convertido para o referencial global, por intermédio da matriz de transformação,

obtendo-se

( ) ( ) ( )pemVp

gp

egmV sFsTsF ,1

)(,,1,1

)(,

ll= . (4.88a)

v. Forças distribuídas por unidade de comprimento

Um elemento de Timoshenko 3D pode ser solicitado por forças generalizadas distribuídas

em correspondência com os graus de liberdade, conforme se representa na Figura 4.13.

Modelo Numérico

123

Nesta figura, j

kLq l, ( q f= para forças e q m= para momentos) representa a força

generalizada atribuída ao nó k do elemento, e dirigida segundo o eixo jl , c/j=1,2,3, do

referencial local de um ponto do elemento. Por sua vez j

Lql ( q f= para forças e q m=

para momentos) é a força generalizada distribuída por unidade de comprimento ao longo

do elemento, dirigida segundo o eixo jl .

3

32

2

1

1

11,

lLf

12,

lLf

1lLf

1lLf

13,

lLf

3l2l

1l

2l

3

32

2

1

1

3l

1l

2lLf

2lLf 2

3,l

Lf22,

lLf

21,

lLf

1l2l 3l

3

2

13

2

1

3lLf

3lLf

33,

lLf

32,

lLf

31,

lLf

3

32

2

1

1

11,

lLm 1

2,lLm

1lLm

1lLm

13,

lLm

3l2l

1l

2l

3

32

2

1

1

3l

1l

2lLm

2lLm 2

3,lLm

22,

lLm

21,

lLm

1l2l 3l

3

2

13

2

1

3lLm

3lLm

33,

lLm

32,

lLm

31,

lLm

Figura 4.13 - Forças distribuídas por unidade de comprimento num elemento de Timoshenko 3D de 3 nós.

Capítulo 4

124

Para uma determinada posição 1s ao longo do elemento, o valor da carga uniformemente

distribuída obtém-se por intermédio das seguintes relações (no caso de elementos de três

nós)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 3333

2222

1111

3333

2222

1111

3,132,121,111

3,132,121,111

3,132,121,111

3,132,121,111

3,132,121,111

3,132,121,111

llll

llll

llll

llll

llll

llll

LLLL

LLLL

LLLL

LLLL

LLLL

LLLL

msNmsNmsNsm

msNmsNmsNsm

msNmsNmsNsm

fsNfsNfsNsf

fsNfsNfsNsf

fsNfsNfsNsf

++=

++=

++=

++=

++=

++=

(4.89a)

ou,

( ) ( ) ll

L

e

LqsNsq 1

)(1 = (4.89b)

em que

( )

=

321

321

321

321

321

321

000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

NNNNNN

NNNNNN

NNNNNN

N e

(4.90)

e

[ ]T

LLLLLLLLLLLLLLLLLLLmmmfffmmmfffmmmfffq 321321321321321321

3,3,3,3,3,3,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,lllllllllllllllllll = . (4.91)

No comprimento infinitesimal l1dxdL = , a resultante das forças generalizadas é

Modelo Numérico

125

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )dLsmsdM

dLsmsdM

dLsmsdM

dLsfsdF

dLsfsdF

dLsfsdF

LL

LL

LL

LL

LL

LL

11

11

11

11

11

11

33

22

11

33

22

11

ll

ll

ll

ll

ll

ll

=

=

=

=

=

=

(4.92)

ou

( ) ( )dLsqsQdLL 11ll = . (4.93)

Para converter l

Lqd (força generalizada distribuída em dL ) para o referencial global

efectua-se a seguinte operação

)()()( 111 sqdsTsqdL

gg

L

ll= (4.94)

em que )( 1sT gl é a matriz de transformação deduzida na secção 4.2.2.1. Aplicando o

princípio dos trabalhos virtuais e integrando ao longo do lado solicitado, obtém-se

( )[ ]( )

dLqNQ g

LL

Teg

Le∫= . (4.95)

Convertendo este integral para coordenadas locais obtém-se

[ ]

[ ] 1)(

1

1

)(

1)(

1

1

)(

dsjqTN

dsjqNQ

e

L

gTe

eg

L

Teg

L

ll∫

∫

−

−

=

=

. (4.96)

Recorrendo-se à integração numérica de Gauss-Legendre (4.96) converte-se em

Capítulo 4

126

[ ]{ } p

e

s

Ns

pL

gTeg

LWjqTNQ

p

)(

1

)(

1

∑=

= ll (4.97)

em que Ns é o número de pontos de Gauss utilizados na integração ao longo do elemento

e g

LQ é o vector constituído pelas forças nodais equivalentes às forças generalizadas

distribuídas ao longo do elemento, no referencial global, tal como se representa na Figura

4.14.

1g 21,

gLf

31,

gLf

11,

gLf

11,

gLm

21,

gLm

31,

gLm

22,

gLf

32,

gLf

12,

gLf

12,

gLm

22,

gLm

31,

gLm

23,

gLf

33,

gLf

13,

gLf

13,

gLm

23,

gLm

33,

gLm

3g

2g

1

2

3

Figura 4.14 - Forças nodais equivalentes às forças generalizadas distribuídas num elemento.

vi. Assentamentos de apoio (deslocamentos prescritos)

Os assentamentos de apoio podem ser introduzidos directamente no vector dos

deslocamentos, nas posições correspondentes aos graus de liberdade com deslocamentos

prescritos. Para tal, o sistema de equações de equilíbrio [Bar97a],

( ) ( ) ( )EgEgEg QUK = (4.98)

Modelo Numérico

127

é reorganizado da seguinte forma

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

+=

EgEg

f

Eg

lEg

f

Egl

Egff

Egfl

Eglf

Egll

RQ

Q

UU

KKKK

(4.99)

em que ( )EgllK inclui as linhas e as colunas de interacção entre graus de liberdade livres;

( )EgffK inclui as linhas e as colunas de interacção entre graus de liberdade fixos,

( ) ( )[ ]TEgfl

Eglf KK = inclui os termos de rigidez relativos à interacção entre os graus de

liberdade livres e fixos; ( )EglU e ( )Eg

fU são os vectores que incluem os graus de liberdade

livres, a determinar, e os graus de liberdade fixos, conhecidos, (de valor nulo ou imposto,

como sejam os assentamentos de apoio); ( )Eg

lQ e ( )Eg

fQ são os vectores que englobam as

forças nodais equivalentes em correspondência com os graus de liberdade livres e fixos,

respectivamente; e ( )EgR é o vector que inclui as reacções nos apoios da estrutura. Assim,

os assentamentos de apoio são introduzidos no vector ( )EgfU .

Capítulo 4

128

4.3 Modelo de análise estática não linear

4.3.1 Introdução

O comportamento de elementos de betão armado é manifestamente não linear. Essa não

linearidade resulta, fundamentalmente, do facto das leis constitutivas dos materiais serem

não lineares.

A utilização de um modelo de fibras para a simulação do comportamento não linear de

estruturas reticuladas de betão armado tem algumas vantagens, já que é tida em conta a

pormenorização da estrutura ao nível da secção [Gue94,Gue97,Tau91]. Em vez de se

utilizar uma lei constitutiva global para a secção transversal (geralmente uma relação

momento-curvatura), o modelo de fibras calcula as deformações em vários pontos da

secção transversal, avalia as tensões, segundo as leis constitutivas dos materiais nesses

pontos e calcula as forças locais, que depois são integradas ao longo de toda a secção,

sabendo a posição que ocupam na secção transversal e a área de influência de cada ponto.

Assim, os elementos de uma estrutura estão divididos não só em elementos de viga de

Timoshenko 3D, mas também em fibras longitudinais.

De uma forma esquemática, como se pode ver na Figura 4.15, um elemento de betão

armado é discretizado num elemento de viga de Timoshenko 3D de dois ou três nós (seis

graus de liberdade por nó). Cada elemento finito 3D é dividido longitudinalmente em

fibras. Ao nível da secção essas fibras são discretizadas por elementos finitos planos. As

deformações e as tensões são avaliadas nos pontos de Gauss desses elementos por

intermédio das leis constitutivas dos materiais de cada elemento finito plano. A armadura

longitudinal é também tida em conta, sendo discretizada por elementos finitos de barra

biarticulada 3D (fibras) ao nível do elemento. A posição das armaduras fica definida ao

nível da secção transversal e o seu comportamento é governado por leis constitutivas não

lineares.

Modelo Numérico

129

A solução do sistema de equações de equilíbrio, não lineares, foi obtida por intermédio da

aplicação do método de Newton-Raphson, descrito na secção 4.3.5.

Os ensaios realizados nas vigas de BA, descritos no capítulo 3, foram simulados por

intermédio do modelo numérico desenvolvido. Os resultados obtidos são apresentados e

analisados na secção 4.3.6.

4.3.2 Matriz de rigidez

Tendo em conta a divisão da secção em elementos finitos, a matriz de rigidez é obtida de

forma diferente da descrita na secção 4.2.3.4. A matriz de rigidez de cada elemento, )(eK ,

é a “adição” da rigidez do betão dos elementos finitos que discretizam a secção do

elemento, bK , com a rigidez das armaduras que atravessam a secção, sK .

Quando a resposta dos elementos de uma estrutura passa a ser não linear, a rigidez começa

a depender do estado de deformação a que esses elementos estão sujeitos. O estado de

deformação numa secção de um elemento estrutural pode variar de ponto (fibra) para ponto

(fibra), o que conduz a estados de tensão também diferentes. Sendo as leis constitutivas dos

materiais intervenientes não lineares, a contribuição para a matriz de rigidez de cada fibra

da secção é diferente. A matriz de rigidez obtida desta forma é uma matriz de rigidez

tangente.

Capítulo 4

130

x x

x x

Figura 4.15 – Discretização de um elemento de betão armado, com uma secção qualquer, de acordo com o

modelo de fibras desenvolvido.

Modelo Numérico

131

A relação entre o estado de tensão e o estado de deformação estabelecida em (4.19a) será

rescrita em termos incrementais por forma a analisar-se o comportamento não linear do

material, isto é,

εσ ∆=∆ TD (4.100)

em que TD é a matriz constitutiva tangente.

O cálculo da matriz de rigidez de cada elemento efectua-se através do seguinte

procedimento (Figura 4.16):

– avaliação dos deslocamentos generalizados (U ) nos pontos de integração

(pontos de Gauss) de cada elemento 3D, conhecidos os deslocamentos

generalizados nos nós;

– cálculo das deformações (ε ) ao nível de cada ponto de Gauss dos elementos

finitos que discretizam a secção;

– cálculo da matriz constitutiva tangente ( TD ) ao nível de cada ponto de Gauss

da secção, tendo em conta as relações constitutivas dos materiais

intervenientes;

– cálculo da matriz de rigidez de cada elemento 3D, )(eTK (quer de betão, bK ,

quer de armadura, sK ).

Ao nível do elemento 3D: U )(eTK

⇓ ⇑

Ao nível da secção: ε ⇒ TD

Figura 4.16 – Esquema para a obtenção da matriz de rigidez de um elemento.

Capítulo 4

132

4.3.2.1 Contribuição do betão

A matriz de rigidez de um elemento pode ser obtida calculando as submatrizes de rigidez

associadas à deformação axial, às deformações de corte, à deformação de torção e às

deformações de flexão, tal como se descreve na secção 4.2.3.4, por intermédio das

expressões (4.74a) a (4.74d). Tendo em conta o comportamento não linear material, os

termos que se anulavam nas equações (4.25) e (4.26) na análise estática linear podem não

se anular na análise não linear material. Assim, à matriz de rigidez de um elemento terão

de se adicionar as submatrizes de rigidez associadas à deformação de interacção

axial-flexão (4.101a), flexão-axial (4.101b), corte-torção (4.101c) e torção-corte (4.101d),

( ) [ ]

( )∫=

eL

Tgffaf

Ta

ga

eaf dLTBDBTK ll ˆ , (4.101a)

( ) [ ]

( )∫=

eL

Tgaafa

Tf

gf

efa dLTBDBTK ll ˆ , (4.101b)

( ) [ ]

( )∫=

eL

Tgttct

Tc

gc

ect dLTBDBTK ll ˆ , (4.101c)

( ) [ ]

( )∫=

eL

Tgcctc

Tt

gt

etc dLTBDBTK ll ˆ . (4.101d)

Tendo em consideração que o elemento, na sua espessura, é discretizado em fibras, e

aplicando a integração numérica de Gauss-Legendre, as submatrizes de rigidez de (4.74) e

(4.101) passam a ser obtidas segundo as seguintes expressões:

– submatriz associada à deformação axial

[ ]{ } p

N

ps

Tgaa

ba

Ta

ga

ba WJTBDBTK

afs

p∑=

=1

11

ˆ ll (4.102a)

Modelo Numérico

133

em que,

∑=

=tNG

iiGP

biaf

ba ADD

sec

1,,

ˆ (4.102b)

sendo tsecNG o número de pontos de Gauss de cada elemento finito da secção, iGPA , e

biafD , a área e o módulo de elasticidade longitudinal tangente do betão associado ao ponto

de Gauss i da secção.

– submatriz associada à deformação de flexão

[ ]{ } p

N

ps

Tgff

b

fTf

gf

bf WJTBDBTK

afs

p∑=

=1

11

ll (4.103a)

em que,

( )

( )∑=

−

−=

=

tsecNG

i i,GPi,b

i,afi,GPi,i,b

i,af

i,GPi,i,b

i,afi,GPi,b

i,afb

,fb

,f

b,f

b,fb

fAxDAxxD

AxxDAxDDDDD

D1

2

232

32

2

3

2221

1211

lll

lll

(4.103b)

sendo li,x2 e l

i,x3 as coordenadas locais do ponto de Gauss i da secção segundo 2l e 3l em

relação ao centro de gravidade da mesma.

– submatriz associada à deformação de interacção axial-flexão

[ ]{ } p

N

ps

Tgff

b

afTa

ga

baf WJTBDBTK

afs

p∑=

=1

11

ll (4.104a)

em que,

Capítulo 4

134

{ } { }∑=

−==tsecNG

ii,GPi,

bi,afi,GPi,

bi,af

b,af

b,af

b

af AxDAxDDDD1

231211ll . (4.104b)

– submatriz associada à deformação de interacção flexão-axial

[ ]{ } p

N

ps

Tgaa

b

faTf

gf

bfa WJTBDBTK

afs

p∑=

=1

11

ll (4.105a)

em que,

∑=

−=

=tsecNG

i i,GPi,b

i,af

i,GPi,b

i,af

b,fa

b,fab

faAxD

AxD

D

DD

1 2

3

21

11

l

l

. (4.105b)

– submatriz associada à deformação de corte

[ ]{ } p

N

ps

Tgcc

b

cTc

gc

bc WJTBDBTK

cts

p∑=

=1

11

ll (4.106a)

em que,

∑=

=

=

tsecNG

i*

i,GPb

i,ct

*i,GP

bi,ct

b,c

b,c

b,c

b,cb

c ADAD

DDDD

D12221

1211

00

(4.106b)

sendo bictD , o módulo de elasticidade transversal tangente.

Modelo Numérico

135

– submatriz associada à deformação de torção

[ ]{ } p

N

ps

Tgtt

bt

Tt

gt

bt WJTBDBTK

afs

p∑=

=1

11

ll (4.107a)

em que,

( ) ( )[ ]∑=

+=tNG

iiGPii

bict

bt AxxDD

sec

1,

2

,2

2

,3,ˆ ll . (4.107b)

– submatriz associada à deformação de interacção corte-torção

[ ]{ } p

N

ps

Tgtt

b

ctTc

gc

bct WJTBDBTK

cts

p∑=

=1

11

ll (4.108a)

em que,

∑=

−

=

=tsecNG

i i,GPi,b

i,ct

i,GPi,b

i,ct

b,ct

b,ctb

ctAxD

AxD

D

DD

1 2

3

21

11

l

l

. (4.108b)

– submatriz associada à deformação de interacção torção-corte

[ ]{ } p

N

ps

Tgcc

b

tcTt

gt

btc WJTBDBTK

cts

p∑=

=1

11

ll (4.109a)

em que,

{ } { }∑=

−==tsecNG

ii,GPi,

bi,cti,GPi,

bi,ct

b,tc

b,tc

b

tc AxDAxDDDD1

231211ll . (4.109b)

Capítulo 4

136

O número de pontos de Gauss associados à integração das submatrizes de rigidez axial,

flexão, axial-flexão e flexão axial, afsN 1 , são os mesmos. Verifica-se uma situação idêntica

com o número de pontos de Gauss associados à integração das submatrizes de rigidez de

corte, torção, corte-torção, torção-corte, ctsN 1 .

4.3.2.2 Contribuição da armadura

A armadura é discretizada por elementos de barra biarticulada 3D de dois ou três nós.

Tendo em conta a sua localização na secção transversal, para além dos termos da matriz de

rigidez associados à deformação axial que se adicionam aos do betão, é preciso também

adicionar os termos da matriz de rigidez associados à deformação de flexão e à interacção

axial-flexão e flexão-axial. Assim, o número de pontos de Gauss associados à integração

das submatrizes de rigidez da armadura, sK , são os mesmos que os utilizados na

integração das submatrizes de rigidez afectas ao betão, bK .

Tendo em conta o número de armaduras, a sua localização na secção transversal e

aplicando a integração numérica de Gauss-Legendre, as submatrizes de rigidez da

armadura passam a ser obtidas a partir das expressões que se apresentam de seguida:

– submatriz associada à deformação axial

[ ]{ } p

N

ps

Tgaa

sa

Ta

ga

sa WJTBDBTK

afs

p∑=

=1

11

ll (4.110a)

em que,

∑=

=NS

nns

snaf

sa ADD

1,,

ˆ (4.110b)

Modelo Numérico

137

sendo NS o número de armaduras na secção, nsA , a área associada à armadura n e snafD , o

módulo de elasticidade longitudinal tangente da armadura n .

– submatriz associada à deformação de flexão

[ ]{ } p

N

ps

Tgff

s

fTf

gf

sf WJTBDBTK

afs

p∑=

=1

11

ll (4.111a)

em que,

( )

( )∑=

−

−=

=

NS

n nsns

nafnsnns

naf

nsnns

nafnsns

nafsf

sf

sf

sfs

fAxDAxxD

AxxDAxDDDDD

D1 ,

2

,2,,,3,2,

,,3,2,,

2

,3,

22,21,

12,11,

ˆˆˆˆ

ˆlll

lll

(4.111b)

sendo lnx ,2 e l

nx ,3 as coordenadas locais da armadura n segundo 2l e 3l , em relação ao

centro de gravidade da secção.

– submatriz associada à deformação de interacção axial-flexão

[ ]{ } p

N

ps

Tgff

s

afTa

ga

saf WJTBDBTK

afs

p∑=

=1

11

ll (4.112a)

em que,

{ } { }∑=

−==NS

nnsn

snafnsn

snafafaf

s

af AxDAxDDDD1

,,2,,,3,12,11,ˆˆˆ ll . (4.112b)

Capítulo 4

138

– submatriz associada à deformação de interacção flexão-axial

[ ]{ } p

N

ps

Tgaa

s

faTf

gf

sfa WJTBDBTK

afs

p∑=

=1

11

ll (4.113a)

em que,

∑=

−=

=NS

n nsns

naf

nsns

naf

sfa

sfas

faAxD

AxD

D

DD

1 ,,2,

,,3,

21,

11,

ˆ

ˆˆ

l

l

. (4.113b)

4.3.3 Forças internas

As forças nodais equivalentes ao estado de tensão na estrutura também têm que ser

avaliadas. O processo é idêntico ao cálculo da matriz de rigidez. Quer o betão, bfint

, quer

as armaduras, sfint

, contribuem para o cálculo das forças internas, )(

int

ef .

Para o cálculo dessas forças internas em cada elemento, efectua-se o seguinte

procedimento (Figura 4.17):

– avaliação dos deslocamentos generalizados (U ) nos pontos de integração

(pontos de Gauss) de cada elemento 3D, conhecidos os deslocamentos

generalizados nos nós;

– cálculo das deformações (ε ) ao nível de cada ponto de Gauss dos elementos

finitos que discretizam a secção;

– cálculo das tensões (σ ) ao nível de cada ponto de Gauss da secção, tendo em

conta as relações constitutivas dos materiais intervenientes;

– integração, ao longo da secção, das tensões para se obterem os esforços

generalizados resistentes ( F );

Modelo Numérico

139

– cálculo das forças internas em cada elemento 3D, )(

int

ef (do betão, bfint

e da

armadura, sfint

).

Ao nível do elemento 3D: U )(

int

ef

⇓ ⇑

Ao nível da secção: ε ⇒ σ ⇒ F

Figura 4.17 – Esquema para a obtenção das forças internas de um elemento.

4.3.3.1 Contribuição do betão

Tendo em conta os vários esforços na secção e a integração numérica de Gauss-Legendre,

as forças nodais equivalentes ao estado de tensão instalado no betão determinam-se a partir

das expressões:

– forças nodais correspondentes a graus de liberdade de deformação axial, equivalentes

ao estado de tensão no elemento

{ } p

N

psb

Ta

ga

b

aint,WJNBTf

afs

p∑=

=1

11

l (4.114a)

em que,

∑=

=tsecNG

ii,GP

bi,afb AN

1

σ (4.114b)

sendo biaf ,σ a tensão normal no betão, no ponto de Gauss i da secção.

Capítulo 4

140

– forças nodais correspondentes a graus de liberdade de deformação por flexão,

equivalentes ao estado de tensão no elemento

{ } p

N

psb

Tf

gf

b

fint,WJMBTf

afs

p∑=

=1

11

l (4.115a)

em que,

∑=

−=

tsecNG

i i,GPi,b

i,af

i,GPi,b

i,afb Ax

AxM

1 2

3l

l

σσ

. (4.115b)

– forças nodais correspondentes a graus de liberdade de deformação por corte,


{ } p

N

psb

Tc

gc

b

cint,WJQBTf

afs

p∑=

=1

11

l (4.116a)

em que,

∑=

=tsecNG

i*

i,GPb

i,

*i,GP

bi,

b AA

Q1 13

12

ττ

(4.116b)

sendo bi,12τ e b

i,13τ as tensões tangenciais no betão no ponto de Gauss i da secção segundo

os eixos locais 2l e 3l .

– forças nodais correspondentes a graus de liberdade de deformação por torção,


{ } p

N

psb

Tt

gt

b

tint,WJTBTf

afs

p∑=

=1

11

l (4.117a)

Modelo Numérico

141

em que,

iGPl

ib

i

NG

iiGP

li

bib AxAxT

t

,,2,131

,,3,12

sec

ˆ ττ∑=

+−= (4.117b)

4.3.3.2 Contribuição da armadura

As forças nodais equivalentes ao estado de tensão instalado na armadura, s

af

int,, s

ff

int,, são

obtidas da forma seguinte: – forças nodais correspondentes a graus de liberdade de deformação axial, equivalentes

ao estado de tensão na armadura

{ } p

N

pss

Ta

ga

s

aint,WJNBTf

afs

p∑=

=1

11

l (4.118a)

em que,

∑=

=NS

nns

snafs AN

1,,

ˆ σ (4.114b)

sendo snaf ,σ a tensão normal na armadura n .

– forças nodais correspondentes a graus de liberdade de deformação por flexão,


{ } p

N

pss

Tf

gf

s

fint,WJMBTf

afs

p∑=

=1

11

l (4.119a)

em que,

Capítulo 4

142

∑=

−=

NS

n n,sn,s

n,af

n,sn,s

n,afs Ax

AxM

1 2

3l

l

σσ

. (4.115b)

As forças nodais equivalentes e a matriz de rigidez foram calculadas utilizando-se a mesma

ordem de integração.

4.3.4 Leis constitutivas

Nesta secção apresentam-se as leis constitutivas utilizadas para simular o comportamento

dos materiais intervenientes, designadamente, betão e armaduras.

4.3.4.1 Lei constitutiva do betão à compressão

Para simular o comportamento à compressão uniaxial do betão simples utilizou-se a lei

proposta pelo código modelo CEB-FIP 1990 [MC90], cujos ramos são definidos pelas

seguintes equações,

lim,

11

2

111 ,21

cccm

c

c

c

ci

c

c

c

c

c

ci

c f

EE

EE

εε

εε

εε

εε

σ <

−+

−

= (4.120)

com,

Modelo Numérico

143

−

++

+=

2/12

111lim, 2

11

21

41

121

21

c

ci

c

cicc E

EEE

εε (4.121)

e,

( ) lim,

1

11lim,

2

12

1lim,1lim,

,/

4/2

/1

cccmc

c

ccc

c

ccccc f εε

εε

ξεεε

ε

εεξ

εεσ ≥

−+

−=

−

(4.122)

com

2

11

lim,

11

lim,

1

2

1

lim,

12

224

+

−

−+

−

=

c

ci

c

c

c

ci

c

c

c

ci

c

c

EE

EE

EE

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ξ . (4.123)

O módulo de elasticidade tangente, ciE , o módulo de elasticidade secante, 1cE , a extensão

correspondente à tensão máxima de compressão no betão, 1cε e a extensão limite, lim,cε ,

encontram-se representados na Figura 4.18. O valor sugerido para εc1 é de 0.0022.

Capítulo 4

144

εc1 εc,lim εcu cε

σ c

f cm

05. fcm

eq.(4.120)

eq.(4.122)Ec1

Eci

Figura 4.18 – Diagrama σ εc c− proposto pelo código modelo CEB-FIP 1990 [MC90] para simular o

comportamento do BS à compressão uniaxial.

O confinamento no betão devido ao efeito das armaduras transversais não foi tido em conta

no modelo desenvolvido. Esta opção deve-se ao facto das vigas que se ensaiaram

apresentarem uma secção oca na maior parte do seu desenvolvimento, e não estarem

submetidas a esforços axiais, pelo que é irrelevante a consideração do efeito de

confinamento nestes casos. Contudo, o desempenho do modelo, quando aplicado a

estruturas porticadas, exigirá a inclusão de leis constitutivas que atendam ao confinamento

proporcionado pelas cintas e estribos.

4.3.4.2 Lei constitutiva do betão à tracção

Em tracção, o betão apresenta um comportamento linear e elástico até fendilhar. Após

fendilhar, o seu comportamento é regido pela sua capacidade de absorção de energia,

denominada de energia de fractura, e, se existir armadura, pelas características das

armaduras que atravessam o betão fendilhado. No caso do betão simples a lei que governa

o comportamento do betão fendilhado denomina-se de amolecimento em tracção (tension

softening), enquanto no caso do betão armado a lei designa-se de endurecimento (tension

stiffening).

Modelo Numérico

145

O modelo utilizado neste trabalho para o betão armado fendilhado é o modelo utilizado por

Barros [Bar95]. Este modelo é uma alteração ao modelo proposto por Massicotte et al.

[Mas90] o qual se baseia no princípio de que o comportamento do betão armado

fendilhado deve ser governado pelas propriedades de fractura do betão e pelas

características das armaduras que atravessam as fendas.

– Tension Softening

Para definir o comportamento uniaxial do betão simples fendilhado é proposto um

diagrama bilinear como se ilustra na Figura 4.19. Esta relação constitutiva depende da

resistência à tracção, ctmf , da energia de fractura, fG , da banda de fendilhação, bl , e de

dois parâmetros, α e 1p [Bar95].

Do ponto de vista da ciência dos materiais, e na falta de modelo com base mais científica, a

largura de banda de fendilhação, bl , pode ser considerada igual a três vezes a máxima

dimensão do inerte, tal como é proposto por Bazant e Oh [Baz83]. Do ponto de vista da

modelação numérica, a largura de banda de fendilhação deve estar relacionada com a

dimensão dos elementos finitos, por forma a que os resultados sejam independentes da

malha de elementos finitos adoptada na discretização da estrutura. No presente trabalho

optou-se por atribuir à largura de banda de fendilhação o comprimento associado ao ponto

de Gauss do elemento.

A energia de fractura é obtida por intermédio da expressão apresentada no capítulo 2,

aquando da apresentação dos ensaios de flexão efectuados sob três pontos de carga, nas

vigas entalhadas de BS.

O valor de 2p é calculado através da expressão seguinte [Bar95],

pG

l fpf

b ctm cr2

12

= −−

α εα

α (4.124)

Capítulo 4

146

crp ε1 ctε

soctσ

ctmf

ctmfα

crε crp ε2

Eci

bff l/Gg =

Figura 4.19 – Diagrama de retenção de tensões de tracção para o BS.

– Tension Stiffening

Analisando o processo de fendilhação de um tirante de betão armado, observam-se

diversas fases que correspondem aos pontos característicos representados no diagrama de

retenção de tensões de tracção da Figura 4.20. O ponto A corresponde ao início da

fendilhação, o ponto B corresponde à estabilização da fendilhação, o ponto C está

associado à cedência da armadura na secção da fenda e o ponto D é o ponto onde a

extensão média no tirante alcança a extensão de cedência da armadura.

No diagrama da Figura 4.20b é possível constatar que a capacidade de retenção de tensões

de tracção do betão entre fendas diminui com o aumento da extensão média.

A descrição pormenorizada do modelo de endurecimento encontra-se em [Bar95].

Modelo Numérico

147

FA s

l/2 l o

FcA

l/2

sm

armaduraisolada

a)

∆ ∆

σ = F/As

ctσ = F/Acst

fctm

Fx∆

Fx∆ct,xσ = Ast

c

mε = l/l∆

mε

o

b)

Fx∆ - parcela de força retida pelo betão

A B

C D

D

C

B

A

Figura 4.20 – Diagrama de retenção de tensões de tracção para o BA [Bar95].

a) Relação entre a extensão média e a tensão na armadura.

b) Relação entre a extensão média e a tensão no betão entre fendas.

4.3.4.3 Lei constitutiva do betão ao corte

O betão, quando sujeito a esforços de corte, também desenvolve comportamento não

linear. Para simular esse comportamento é proposta uma lei tensão tangencial-distorção

com um desenvolvimento trilinear, idêntica à utilizada na simulação do comportamento da

armadura (Figura 4.22). Segundo o modelo que se propõe, a resposta é linear até ao

aparecimento da primeira fendilhação. A partir desse ponto, a rigidez ao corte do betão

decresce significativamente, pelo que, os dois ramos lineares que se seguem traduzem essa

diminuição de rigidez até se atingir a tensão de rotura ao corte do betão. A forma da lei

proposta foi calibrada por intermédio dos resultados experimentais obtidos. No entanto,

não foi tida em conta a contribuição da armadura para a rigidez ao corte. Além disto, a lei

Capítulo 4

148

não tem suporte matemático, apenas pretende simular comportamentos observados

experimentalmente.

4.3.4.4 Lei constitutiva da armadura

No modelo desenvolvido, a simulação do comportamento das armaduras pode ser

efectuada por um diagrama linear-parábola ou por um diagrama trilinear [Bar95], como se

ilustra na Figura 4.21 e Figura 4.22, respectivamente.

Para extensões superiores à extensão correspondente à tensão de rotura, suf , admite-se que

o aço desenvolve comportamento perfeitamente plástico.

– Diagrama linear-parábola

Na Figura 4.21 representa-se um diagrama constituído, numa primeira fase, por uma

relação linear entre a extensão e a tensão, seguindo-se uma relação não linear constituída

por uma parábola do 2º grau. A relação ss εσ − deste diagrama expressa-se por,

sss E εσ = se s

sus E

fαε < , (4.125)

22 2 susussuss f γεγεεγεσ ++−= se s

sus E

fαε ≥ , (4.126)

sus f=σ se sus εε > , (4.127)

em que

Modelo Numérico

149

( )

2

2

2 2

1

sus

susu

s

su

su

Ef

Ef

f

εαεα

αγ

+−

−= . (4.128)

Para se demarcar a fase linear da fase não linear é utilizado o parâmetro α que pode variar

de 0 a 1. O módulo de elasticidade longitudinal tangente obtém-se derivando a expressão

(4.126) em relação a sε obtendo-se,

( )susstE εεγ −= 2 (4.129)

σ s

fsu

α f su

Est

Es

ε su ε s

Est ( ) = 0ε sε su=

( ) =ε s =σ s

α f su

Es

( ) =ε sε su=σ s

α f su

f su

Figura 4.21 – Diagrama linear-parábola.

Capítulo 4

150

– Diagrama trilinear

Este diagrama apresenta três ramos lineares (ver Figura 4.22). As expressões para calcular

as tensões para uma determinada deformação são as seguintes,

sss E εσ = se 1ss εε < , (4.130)

( )111 ssssys Ef εεσ −+= se 21 sss εεε ≤< , (4.131)

( )222 ssssys Ef εεσ −+= se suss εεε ≤<2 , (4.132)

sus f=σ se sus εε > , (4.133)

em que,

s

sys E

f 11 =ε , (4.134)

( )

1

1212

s

sysyss E

ff −+= εε , (4.135)

( )

2

22

s

sysussu E

ff −+= εε . (4.136)

Modelo Numérico

151

σ s

fsy2

sE

Es1

εs

fsuEs2

f sy1

εsuεs2εs1

Figura 4.22 – Diagrama trilinear.

Neste trabalho admitiu-se que o aço tem o mesmo comportamento à tracção e à

compressão.

4.3.5 Algoritmo de análise não linear – método de Newton-Raphson

Na análise não linear de uma estrutura, para se acompanhar a evolução do campo de

deformações e de tensões, deve aplicar-se a solicitação por incrementos, aumentando assim

a precisão do método [Aze85,Cru91]. Como os incrementos da solicitação não são

infinitamente pequenos, é preciso que em cada incremento se realizem iterações de modo a

encontrar a solução correcta. No presente trabalho o método de Newton-Raphson foi o

método incremental-iterativo utilizado [Owe80,Zie89].

No modelo desenvolvido estão disponíveis várias vertentes do método de Newton-Raphson

[Owe80]. Assim, a matriz de rigidez pode ser calculada:

– em cada incremento e iteração;

– no 1º incremento e 1ª iteração;

– na 1ª iteração de cada incremento;

Capítulo 4

152

– na 2ª iteração de cada incremento;

– na 1ª e 2ª iteração de cada incremento.

A matriz de rigidez da estrutura terá sempre que ser calculada na 1ª iteração do 1º

incremento.

Em todos os processos iterativos, a solução numérica alcançada é uma solução aproximada

da solução real. Assim, é necessário definir uma tolerância limite, abaixo da qual se admite

que o processo convergiu para a solução.

Vários são os critérios de convergência utilizados:

– norma de deslocamentos;

– norma energética;

– norma de forças.

O critério utilizado no código computacional desenvolvido foi o critério de convergência

em termos de norma de forças. Em determinado incremento k e iteração i , a norma do

resíduo (4.137), ou seja, da diferença entre as forças externas e as forças internas dessa

iteração, em relação à norma das forças exteriores desse incremento, tem que ser menor

que uma determinada tolerância t (4.138).

i

kkext

ik ffr

int,,−= (4.137)

tf

ff

kext

i

kkext <−

,

int,, (4.138)

Modelo Numérico

153

A tolerância depende do tipo de critério utilizado, sendo valores correntes na ordem de

031 −= et para os critérios em termos de norma de deslocamentos e de norma de forças e

de 061 −= et para o critério em termos de norma energética.

No Quadro 4.2 apresenta-se o algoritmo para a resolução das equações não lineares,

resultantes do comportamento não linear material, utilizado no modelo numérico

desenvolvido.

4.3.6 Simulação numérica

Para calibrar e avaliar o desempenho do modelo desenvolvido, os ensaios experimentais

efectuados e descritos no capítulo 3 foram simulados.

A viga foi dividida longitudinalmente em vários elementos finitos de três nós. O

comprimento de cada elemento teve em conta o facto da viga ser constituída por dois

tramos de secção cheia e um tramo de secção oca, e, ainda, que a posição dos pontos de

Gauss de cada elemento coincidisse com as várias secções de leitura, para que os

resultados obtidos através do modelo numérico pudessem ser comparados com os

resultados obtidos por via experimental (ver Figura 3.9).

As secções, maciça e oca, foram discretizadas em elementos finitos planos de 4 nós com

33× pontos de Gauss. A área de influência de cada ponto de Gauss constituiu uma fibra na

secção transversal (ver Figuras 4.23 e 4.24).

A área da secção dos varões e as coordenadas locais da posição que ocupam na secção

transversal definem os varões longitudinais de aço (ver Figuras 4.23 e 4.24).

Capítulo 4

154

Quadro 4.2 – Algoritmo para a resolução das equações não lineares, resultantes do comportamento não linear material.

i) Ciclo aos incrementos ( mk →= 1 ):

i.1) Incremento da solicitação kext

f,

e do vector das forças residuais iniciais 0kr , e

cálculo do vector dos deslocamentos iniciais 0ku :

kextkextkextfff

,1,,∆+=

− ; final

kkextk rfr 1,

0−+∆= ; final

kk uu 10

−=

Nota: para 1=k ⇒ 01,

=−kext

f , 01 =−finalkr e 01 =−

finalku .

i.2) Ciclo iterativo ( ni →= 1 ):

i.2.1) Cálculo, se necessário, da matriz de rigidez tangente ikTK , tendo em

conta o estado de deformação da iteração anterior 1−iku ;

i.2.2) Resolução do sistema de equações:

ik

ikT

ik uKr ∆=−

,1

sendo 1−ikr o vector das forças residuais do incremento actual k e da

iteração 1−i ; i.2.3) Actualização dos deslocamentos nodais:

ik

ik

ik uuu ∆+= −1

i.2.4) Com base nos novos deslocamentos iku , cálculo das forças nodais

equivalentes i

kf

int,;

i.2.5) Cálculo do vector das forças residuais ikr :

i

kkext

ik ffr

int,,−=

i.2.6) Verificação do critério de convergência:

tf

r

f

ff

kext

ik

kext

i

kkext ≤=−

,,

int,, ?

i.2.7) Se a solução convergiu, então o ciclo às iterações acaba: ik

finalk uu = e

ik

finalk rr = , novo incremento de carga ⇒ i); se não, nova iteração ⇒ i.2).

Modelo Numérico

155

0.30m

0.20m

0.075m

0.125m

0.125m

0.075m

⇓ 0.05 m

0.05 m

0.05 m

0.05 m

0.05 m

0.05 m

0.05 m

0.05 m0.05 m0.05 m

× ×× × ×

×

× ××

0.075 m0.075 m

0.125 m

0.125 m


σ c

f cm

0 5. fcm

Ec1

Eci

crp ε1 ctε

soctσ

ctmf

ctmfα

crε crp ε2

Eci

bff l/Gg =

σ s

fsy2

sE

Es1

εs

fsuEs2

f sy1

εsuεs2εs1 Lei constitutiva do betão à

compressão Lei constitutiva do betão à

tracção Lei constitutiva da armadura

Figura 4.23 – Discretização da secção maciça em elementos finitos de 4 nós de 3×3 pontos de Gauss, da armadura e respectivas leis constitutivas .

Capítulo 4

156

0.075m

0.125m

0.125m

0.05m

0.20m

0.05m

0.05m

0.05m 0.10m

0.075m

⇓ 0.05 m

0.05 m

0.05 m

0.05 m

0.05 m

0.05 m

0.05 m

0.05 m0.05 m0.05 m

× ×× × ×

×

× ××

0.075 m0.075 m

0.125 m

0.125 m


σ c

f cm

0 5. fcm

Ec1

Eci

crp ε1 ctε

soctσ

ctmf

ctmfα

crε crp ε2

Eci

bff l/Gg =

σ s

fsy2

sE

Es1

εs

fsuEs2

f sy1

εsuεs2εs1 Lei constitutiva do betão à

compressão Lei constitutiva do betão à

tracção Lei constitutiva da armadura

Figura 4.24 – Discretização da secção oca em elementos finitos de 4 nós de 3×3 pontos de Gauss, da armadura e respectivas leis constitutivas .

Modelo Numérico

157

A solicitação consistiu na aplicação incremental de uma carga pontual (P) na extremidade

livre da viga em consola (Figura 4.25), em conjunto com um momento torsor (P×0.5m).

Este momento torsor pretende simular o facto da carga ter sido aplicada na extremidade de

um perfil em aço ligado à viga, como se ilustra na Figura 2.2.

Os resultados da simulação numérica foram sobrepostos com os resultados experimentais

obtidos em todas as vigas das séries ensaiadas.

P

P×0.5m

2.74 m

Figura 4.25 – Carregamento aplicado no modelo numérico, na simulação dos ensaios experimentais.

Foram realizadas várias simulações dos ensaios por forma a comparar o efeito de alguns

fenómenos, tais como o “tension stiffening”, a forma da lei constitutiva de simulação do

comportamento ao corte do betão, a ocorrência de deslizamento ente o betão e as

armaduras e ainda a influência da redução de algumas características mecânicas da

armadura.

O deslizamento entre o betão e as armaduras é um fenómeno que não está a ser simulado,

directamente, pelo modelo numérico desenvolvido. Para ter em conta a ocorrência de

deslizamento, o que provoca uma deformação adicional na resposta de elementos de BA

fendilhados, Guedes [Gue97] optou pela diminuição do módulo de elasticidade da

armadura longitudinal. Como a armadura é a principal responsável pelo comportamento

pós-fendilhação do BA, ao reduzir-se o módulo de elasticidade diminui-se a rigidez da

Capítulo 4

158

resposta global de elementos de BA fendilhados, resultando numa maior deformação.

Assim, indirectamente, simula-se o deslizamento entre o betão e as armaduras. Neste

trabalho seguiu-se um procedimento similar ao adoptado por Guedes.

As vigas a simular foram agrupadas em duas séries, V_l10 e V_l12, que diferem somente

na armadura longitudinal, já que o efeito da armadura transversal não foi tido em conta no

modelo numérico desenvolvido, dado que na análise experimental se verificou que para

este tipo de estruturas, a resposta, para a mesma quantidade de armadura longitudinal, foi

praticamente independente da quantidade de armadura transversal aplicada.

As principais características do betão e do aço utilizadas na análise numérica das duas

séries, V_l10 (série 1 e φ10) e V_l12 (série 2 e φ12), estão representadas nos Quadros 4.3 a

4.5.

Na Figura 4.26 representa-se a determinação da percentagem efectiva de armadura,

necessária para o modelo de “tension stiffening”.

Quadro 4.3 – Características mecânicas dos varões de aço.

φ10 200 Módulo de Elasticidade do primeiro tramo Es - GPa

φ12 200

φ10 508 Tensão de Cedência fsy1 - MPa

φ12 493

φ10 1 Módulo de Elasticidade do segundo tramo Es1 - GPa

φ12 1

φ10 525 Tensão do segundo tramo fsy2 - MPa

φ12 510

φ10 5 Módulo de Elasticidade do terceiro tramo Es2 - GPa

φ12 5

φ10 625 Tensão de Rotura fsu - MPa

φ12 599

Modelo Numérico

159

Quadro 4.4 – Características relativas ao betão.

série 1 20.6 Tensão média de rotura à compressão uniaxial cmf - MPa

série 2 24.2

Módulo de elasticidade longitudinal tangente ciE - GPa série 1 e 2 26.0

Extensão correspondente à tensão máxima de compressão 1cε série 1 e 2 0.0022

Tensão de rotura à tracção ctmf - MPa série 1 e 2 2.0

série 1 0.2221 Energia de fractura fG - N/mm

série 2 0.1711

α série 1 e 2 1/3 Parâmetros de fractura

1p série 1 e 2 3.0

ci

s

EE

n = série 1 e 2 7.69

1β série 1 e 2 1.0

2β série 1 e 2 1.0

série 1 3.14 1,effρ - %

série 2 4.52

série 1 1.57 2,effρ - %

série 2 2.26

série 1 0.79

Variáveis utilizadas no modelo de “tension stiffening” [Bar95]

3,effρ - % série 2 1.13

1,effρ

2,effρ

3,effρ

ci

sii,eff A

A=ρ

1,effρ

2,effρ

3,effρ

ci

sii,eff A

A=ρ

a) b)

Figura 4.26 – Área de influência de cada varão e definição da percentagem efectiva de armadura para a

secção oca a) e cheia b).

Capítulo 4

160

Quadro 4.5 – Definição do modelo não linear de corte proposto.

Módulo de distorção do primeiro tramo GL - GPa série 1 e 2 10.83

série 1 0.4 Tensão de corte correspondente ao início de fendilhação τcr - MPa

série 2 0.6

série 1 0.8 Módulo de distorção do segundo tramo G2 - GPa

série 2 1.1

série 1 1.4 Tensão de corte do segundo tramo τ 2 - MPa

série 2 1.6

série 1 0.1 Módulo de distorção do terceiro tramo G3 - GPa

série 2 0.55

série 1 2.0 Tensão de rotura por corte τu - MPa

série 2 2.2

Na primeira simulação, apenas da série V_l10, considerou-se um diagrama linear para a lei

constitutiva relativa ao corte e não se teve em conta o efeito do “tension stiffening”. Os

resultados da simulação numérica e os obtidos experimentalmente, na secção S1,

correspondentes às relações força-deslocamento vertical (F-δ), momento flector-rotação

por flexão (Mf -θf) e momento torsor-rotação por torção (Mt -θt) são comparados nas

Figuras 4.27 a 4.29.

Modelo Numérico

161

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


Forç

a (k

N)

v1_l10_t150

v2_l10_t150

v1_l10_t75

v2_l10_t75

Numérico v_l10

Figura 4.27 – Diagrama F- δ na secção S1.

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30


Mom

ento

flec

tor

na s

ecçã

o S

1 (k

Nm

)

v1_l10_t150

v2_l10_t150

v1_l10_t75

v2_l10_t75

Numérico v_l10

Figura 4.28 – Diagrama Mf -θf na secção S1.

Capítulo 4

162

0

3

5

8

10

13

15

0 15 30 45 60 75


Mom

ento

tors

or (

kNm

)

v1_l10_t150

v2_l10_t150

v1_l10_t75

v2_l10_t75

Numérico v_l10

Figura 4.29 – Diagrama Mt -θt na secção S1.

Analisando os gráficos verifica-se um afastamento das curvas da simulação numérica em

relação às obtidas experimentalmente. Depois de uma análise crítica dos resultados,

verificou-se que as curvas obtidas por via experimental, incluem deslocamentos/rotações

de corpo rígido devidas à rotação do “encastramento”, que não foi possível quantificar por

intermédio da instrumentação colocada na secção S0, como se descreveu no capítulo 3.

Para tentar resolver este problema, simulou-se o ensaio em regime linear, incluindo o

pórtico com a sua rigidez real. Verificou-se que a secção de encastramento sofreu

deslocamentos, sendo a rotação por flexão significativa.

Modelo Numérico

163

Com base nas respostas experimentais e numéricas durante a fase elástica das vigas,

estimou-se a rotação do sistema constituído para simular o encastramento.

Calculando os deslocamentos, nas secções instrumentadas, devidos às referidas rotações e

adicionando-os aos resultados obtidos numericamente obtiveram-se as respostas

representadas nas Figuras 4.30 a 4.32, para a secção de leitura S1.

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


Forç

a (k

N)

v1_l10_t150

v2_l10_t150

v1_l10_t75

v2_l10_t75

Numérico v_l10

Figura 4.30 – Diagrama F- δ na secção S1 com a correcção das rotações.

Capítulo 4

164

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30


Mom

ento

flec

tor

na s

ecçã

o S

1 (k

Nm

)

v1_l10_t150

v2_l10_t150

v1_l10_t75

v2_l10_t75

Numérico v_l10

Figura 4.31 – Diagrama Mf -θf na secção S1 com a correcção das rotações.

0

3

5

8

10

13

15

0 15 30 45 60 75


Mom

ento

tors

or (

kNm

)

v1_l10_t150

v2_l10_t150

v1_l10_t75

v2_l10_t75

Numérico v_l10

Figura 4.32 – Diagrama Mt -θt na secção S1 com a correcção das rotações.

Modelo Numérico

165

Da análise das curvas F-δ e Mf -θf, pode-se concluir que:

– a curva numérica apresenta uma fase linear de pequeno desenvolvimento até

atingir o início de fendilhação do betão. Nesta fase os resultados numéricos

aproximam-se, com bastante rigor, dos experimentais;

– depois do início da fendilhação, a curva numérica apresenta uma perda de

rigidez que depois é recuperada. Nesta fase a concordância entre as curvas

numérica e experimentais já não é tão boa;

– na parte final, a curva numérica afasta-se do comportamento registado pelas

curvas experimentais, apresentando uma rigidez e uma capacidade de carga

mais elevada.

Analisando o gráfico Mt-θt, verifica-se que há um grande afastamento entre a curva

numérica e as curvas experimentais, facto que deriva da consideração de um modelo linear

para o corte.

Na simulação seguinte considerou-se o efeito de “tension stiffening” e utilizou-se o modelo

não linear de corte proposto, que simula a degradação da rigidez de corte após a

fendilhação. As Figuras 4.33 a 4.39, apresentam os resultados para as diferentes secções de

leitura e para as duas séries, V_l10 e V_l12.

Capítulo 4

166

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


Forç

a (k

N)

v1_l10_t150

v2_l10_t150

v1_l10_t75

v2_l10_t75

v1_l12_t150

v2_l12_t150

v1_l12_t75

v2_l12_t75

Numérico v_l10

Numérico v_l12

Figura 4.33 – Diagrama F- δ na secção S1 com “tension stiffening” e corte não linear.

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30


Mom

ento

flec

tor

na s

ecçã

o S

1 (k

Nm

)

v1_l10_t150

v2_l10_t150

v1_l10_t75

v2_l10_t75

v1_l12_t150

v2_l12_t150

v1_l12_t75

v2_l12_t75

Numérico v_l10

Numérico v_l12

Figura 4.34 – Diagrama Mf -θf na secção S1 com “tension stiffening” e corte não linear.

Modelo Numérico

167

0

3

5

8

10

13

15

0 15 30 45 60 75


Mom

ento

tors

or (

kNm

)

v1_l10_t150

v2_l10_t150

v1_l10_t75

v2_l10_t75

v1_l12_t150

v2_l12_t150

v1_l12_t75

v2_l12_t75

Numérico v_l10

Numérico v_l12

Figura 4.35 – Diagrama Mt -θt na secção S1 com “tension stiffening” e corte não linear.

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


Forç

a (k

N)

v1_l10_t150

v2_l10_t150

v1_l10_t75

v2_l10_t75

v1_l12_t150

v2_l12_t150

v1_l12_t75

v2_l12_t75

Numérico v_l10

Numérico v_l12


Capítulo 4

168

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30


Mom

ento

flec

tor

na s

ecçã

o S

2 (k

Nm

)

v1_l10_t150

v2_l10_t150

v1_l10_t75

v2_l10_t75

v1_l12_t150

v2_l12_t150

v1_l12_t75

v2_l12_t75

Numérico v_l10

Numérico v_l12

Figura 4.37 – Diagrama Mf -θf na secção S2 com “tension stiffening” e corte não linear.

0

3

5

8

10

13

15

0 15 30 45 60 75


Mom

ento

tors

or (

kNm

)

v1_l10_t150v2_l10_t150v1_l10_t75v2_l10_t75v1_l12_t150v2_l12_t150v1_l12_t75v2_l12_t75Numérico v_l10Numérico v_l12

Figura 4.38 – Diagrama Mt -θt na secção S2 com “tension stiffening” e corte não linear.

Modelo Numérico

169

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


Forç

a (k

N)

v1_l10_t150

v2_l10_t150

v1_l10_t75

v2_l10_t75

v1_l12_t150

v2_l12_t150

v1_l12_t75

v2_l12_t75

Numérico v_l10

Numérico v_l12


O efeito de perda brusca de rigidez após o início da fendilhação já não é visível na

simulação que inclui o efeito de “tension stiffening”, como se pode verificar nos gráficos

força – deslocamento e momento flector – rotação por flexão. A aproximação das curvas

numéricas com as curvas experimentais pode considerar-se aceitável, sendo a resposta da

simulação numérica mais rígida. Na parte final, há um maior afastamento das curvas,

apresentando, como se referiu, uma maior rigidez em relação à obtida nas curvas

experimentais. Este fenómeno pode ser devido a deslizamentos que tenham ocorrido entre

o betão e a armadura, e que resultaria num acréscimo de deformação.

Da análise das curvas Mt-θt, verifica-se, que com a adopção de uma lei constitutiva não

linear para o corte, o comportamento real da viga é simulado com bastante rigor.

Capítulo 4

170

A relação Mf -θf na secção S1, desprezando e considerando o “tension stiffening”, está

representada na Figura 4.40. Verifica-se que, após a fendilhação do betão o efeito de

“tension stiffening” introduz uma maior capacidade de carga ao elemento, devido à maior

capacidade de retenção de tensões do betão entre fendas.

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30

Rotação - flexão - S1 (x10-3)

Mom

ento

flec

tor

- S

1 (k

Nm

)

Numérico v_l10 - comtension stiffening

Numérico v_l10

Figura 4.40 – Contribuição do “tension stiffening”.

Para tentar simular o escorregamento entre a armadura e o betão realizou-se mais uma

simulação. Como a resposta após o início da fendilhação é governada fundamentalmente

pela armadura, diminuiu-se em cerca de 35% o valor do módulo de elasticidade do aço,

com o objectivo de tornar a resposta menos rígida e simular o acréscimo de deformação

que o fenómeno de escorregamento provoca [Gue97]. Os resultados para as duas séries,

V_l10 e V_l12, estão apresentados nas Figuras 4.41 a 4.47.

Modelo Numérico

171

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


Forç

a (k

N)

v1_l10_t150

v2_l10_t150

v1_l10_t75

v2_l10_t75

v1_l12_t150

v2_l12_t150

v1_l12_t75

v2_l12_t75

Numérico v_l10

Numérico v_l12

Figura 4.41 – Diagrama F- δ na secção S1 com redução do módulo de elasticidade do aço.

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30


Mom

ento

flec

tor

na s

ecçã

o S

1 (k

Nm

)

v1_l10_t150

v2_l10_t150

v1_l10_t75

v2_l10_t75

v1_l12_t150

v2_l12_t150

v1_l12_t75

v2_l12_t75

Numérico v_l10

Numérico v_l12

Figura 4.42 – Diagrama Mf -θf na secção S1 com redução do módulo de elasticidade do aço.

Capítulo 4

172

0

3

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8

10

13

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0 15 30 45 60 75


Mom

ento

tors

or (

kNm

)

v1_l10_t150

v2_l10_t150

v1_l10_t75

v2_l10_t75

v1_l12_t150

v2_l12_t150

v1_l12_t75

v2_l12_t75

Numérico v_l10

Numérico v_l12

Figura 4.43 – Diagrama Mt -θt na secção S1 com redução do módulo de elasticidade do aço.

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


Forç

a (k

N)

v1_l10_t150

v2_l10_t150

v1_l10_t75

v2_l10_t75

v1_l12_t150

v2_l12_t150

v1_l12_t75

v2_l12_t75

Numérico v_l10

Numérico v_l12


Modelo Numérico

173

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30


Mom

ento

flec

tor

na s

ecçã

o S

2 (k

Nm

)

v1_l10_t150

v2_l10_t150

v1_l10_t75

v2_l10_t75

v1_l12_t150

v2_l12_t150

v1_l12_t75

v2_l12_t75

Numérico v_l10

Numérico v_l12

Figura 4.45 – Diagrama Mf -θf na secção S2 com redução do módulo de elasticidade do aço.

0

3

5

8

10

13

15

0 15 30 45 60 75


Mom

ento

tors

or (

kNm

)

v1_l10_t150v2_l10_t150v1_l10_t75v2_l10_t75v1_l12_t150v2_l12_t150v1_l12_t75v2_l12_t75Numérico v_l10Numérico v_l12

Figura 4.46 – Diagrama Mt -θt na secção S2 com redução do módulo de elasticidade do aço.

Capítulo 4

174

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


Forç

a (k

N)

v1_l10_t150

v2_l10_t150

v1_l10_t75

v2_l10_t75

v1_l12_t150

v2_l12_t150

v1_l12_t75

v2_l12_t75

Numérico v_l10

Numérico v_l12


Após o início da fendilhação constata-se que houve uma perda significativa de rigidez das

respostas numéricas e que a aproximação às respostas experimentais é bastante boa.

Verifica-se ainda que a redução do módulo de elasticidade longitudinal do aço, não altera

significativamente o comportamento das vigas de BA antes do início da fendilhação.

Na série V_l10, a curva numérica atinge uma carga última superior às curvas experimentais

respectivas. Assim, numa última simulação, reduziu-se em cerca de 10% a tensão de

cedência e a tensão de rotura do aço, já que estas apresentaram valores superiores àqueles

que se esperavam para o tipo de aço em questão. As Figuras 4.48 a 4.54, apresentam os

resultados para as diferentes secções de leitura. A concordância entre curvas numérica e

experimentais é boa.

Modelo Numérico

175

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


Forç

a (k

N)

v1_l10_t150

v2_l10_t150

v1_l10_t75

v2_l10_t75

Numérico v_l10

Figura 4.48 – Diagrama F- δ na secção S1 com redução das tensões de cedência e de rotura do aço.

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30


Mom

ento

flec

tor

na s

ecçã

o S

1 (k

Nm

)

v1_l10_t150

v2_l10_t150

v1_l10_t75

v2_l10_t75

Numérico v_l10

Figura 4.49 – Diagrama Mf -θf na secção S1 com redução das tensões de cedência e de rotura do aço.

Capítulo 4

176

0

3

5

8

10

13

15

0 15 30 45 60 75


Mom

ento

tors

or (

kNm

)

v1_l10_t150

v2_l10_t150

v1_l10_t75

v2_l10_t75

Numérico v_l10

Figura 4.50 – Diagrama Mt -θt na secção S1 com redução das tensões de cedência e de rotura do aço.

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


Forç

a (k

N)

v1_l10_t150

v2_l10_t150

v1_l10_t75

v2_l10_t75

Numérico v_l10


Modelo Numérico

177

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30


Mom

ento

flec

tor

na s

ecçã

o S

2 (k

Nm

)v1_l10_t150

v2_l10_t150

v1_l10_t75

v2_l10_t75

Numérico v_l10

Figura 4.52 – Diagrama Mf -θf na secção S2 com redução das tensões de cedência e de rotura do aço.

0

3

5

8

10

13

15

0 15 30 45 60 75


Mom

ento

tors

or (

kNm

)

v1_l10_t150

v2_l10_t150

v1_l10_t75

v2_l10_t75

Numérico v_l10

Figura 4.53 – Diagrama Mt -θt na secção S2 com redução das tensões de cedência e de rotura do aço.

Capítulo 4

178

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


Forç

a (k

N)

v1_l10_t150

v2_l10_t150

v1_l10_t75

v2_l10_t75

Numérico v_l10


Com todas estas simulações, também se pretendeu, mostrar a dependência dos vários

parâmetros que governam as leis constitutivas dos materiais, o que significa que o seu

conhecimento, (e correcta determinação), é fundamental para simular o comportamento de

elementos de betão armado.

4.4 Conclusões

O modelo numérico desenvolvido para a análise não linear material de estruturas

tridimensionais de betão armado foi apresentado neste capítulo. A formulação do elemento

de viga de Timoshenko 3D para a análise estática linear foi descrita. Esta formulação tem

em conta a deformação provocada pelo esforço transverso e atende aos casos em que o

centro de corte não coincide com o centro de gravidade da secção.

Modelo Numérico

179

O modelo de fibras desenvolvido para secções com geometria qualquer foi apresentado. A

secção pode ser discretizada em elementos finitos planos, e a cada um atribui-se uma lei

constitutiva do material interveniente. As alterações efectuadas no cálculo da matriz de

rigidez e das forças nodais equivalentes por forma a atender ao comportamento não linear

dos materiais também foram apresentadas.

Para simular o comportamento do betão à compressão utilizou-se a lei do CEB-FIP 1990.

O efeito de “tension stiffening” foi tido em consideração e propôs-se para o corte uma lei

não linear, por forma a simular a degradação de rigidez ao corte após a fendilhação. O

comportamento da armadura pode ser simulado através de um diagrama linear-parábola ou

de um diagrama trilinear.

A simulação numérica dos ensaios experimentais foi efectuada, constatando-se que o

modelo simula, com bastante rigor, a resposta experimental das vigas de BA.

Em conclusão, pode dizer-se que o modelo de fibras desenvolvido ao nível da secção, em

conjunto com o elemento de viga de Timoshenko 3D, constitui uma ferramenta útil na

análise não linear material de estruturas de betão armado. Embora só tenham sido

realizados ensaios monotónicos e introduzidas no modelo leis constitutivas para simular

este tipo de ensaios, o modelo de fibras proposto é um modelo versátil e generalista,

podendo ser introduzidas, com facilidade, novas leis constitutivas e assim, simular, por

exemplo, ensaios cíclicos.

CAPÍTULO 5

Conclusão

5.1 Conclusões gerais

O trabalho desenvolvido foi constituído, basicamente, por uma componente experimental e

por uma componente de modelação numérica onde se desenvolveu um código

computacional para a simulação do comportamento não linear material de pórticos

tridimensionais de betão armado.

Durante a campanha experimental, foram efectuados ensaios sobre elementos de viga de

betão reforçados com diferentes percentagens de armadura longitudinal e transversal,

sujeitos a esforços de flexão, de corte e de torção. Para caracterizar os materiais

intervenientes, efectuaram-se testes de compressão uniaxial em provetes cilíndricos de

betão simples (BS), ensaios de flexão sob três pontos de carga em vigas entalhadas de BS e

ensaios de tracção em varões de aço.

Analisando os resultados dos ensaios efectuados com vigas de betão armado (BA) de

secção oca, constatou-se que a resposta é praticamente independente da percentagem de

armadura transversal utilizada. Neste tipo de estruturas, as fibras de aço podem ter um

campo de aplicação a estudar, nomeadamente se se tiver em consideração o elevado custo

da mão-de-obra necessária na aplicação de estribos em peças ocas de parede delgada, bem

Capítulo 5

182

como a dificuldade de betonagem das mesmas. Naturalmente, estas conclusões carecem de

confirmação experimental.

Dos resultados experimentais verifica-se, ainda que a resposta das vigas de BA é

controlada, fundamentalmente, pelas armaduras.

Para simular o comportamento não linear material de estruturas tridimensionais de betão

armado, foi desenvolvido um modelo, baseado no método dos elementos finitos. As barras

de tais estruturas são discretizadas por elementos de Timoshenko 3D. O modelo, ao nível

da secção, é um modelo de fibras, permitindo, assim, por intermédio de leis constitutivas

adequadas aos materiais intervenientes, representar o comportamento não linear dessas

estruturas.

Comparando os resultados numéricos com os resultados obtidos por via experimental, pode

concluir-se que o modelo desenvolvido consegue avaliar, com boa aproximação, a resposta

das vigas de BA ensaiadas.

Apesar de apenas se terem ensaiado vigas, o modelo revela potencial para ser aplicado na

análise não linear de estruturas tridimensionais de BA.

5.2 Sugestões para futuros desenvolvimentos

No desenrolar do presente trabalho foram surgindo novos factos que por limitação

temporal não puderam ser explorados. São, deste modo, apresentadas algumas sugestões

tendo em vista futuros desenvolvimentos do tema abordado nesta dissertação:

– Tendo em conta o facto de, nos resultados obtidos experimentalmente, a

capacidade resistente de peças de secção oca de BA ser pouco sensível à

percentagem corrente de armadura transversal, a substituição dessa armadura

Conclusão

183

por fibras deve ser uma alternativa a explorar com a realização de uma

campanha de ensaios em vigas de secção rectangular oca de betão reforçado

com várias percentagens de fibras de aço.

– Introdução de um modelo de confinamento do betão, de forma a simular a

maior resistência e ductilidade do betão com estribos ou cintas.

– Melhoramento do modelo de corte, introduzindo a contribuição da armadura,

de modo a que o comportamento não linear das forças de corte seja

correctamente simulado.

– Simulação da encurvadura da armadura longitudinal, bem como o

escorregamento entre esta e o betão.

Referências Bibliográficas

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[Bar89] Barros, J.A.O. (1989), “Modelos de análise de estruturas laminares e de compósitos laminados”, Tese de Mestrado, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto.

[Bar95] Barros, J.A.O. (1995), “Comportamento do betão reforçado com fibras – análise experimental e simulação numérica”, Tese para a obtenção do grau de doutor em Engenharia Civil pela Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto.

[Bar97a] Barros, J.A.O. (1997), “Apontamentos da disciplina de Estruturas”, Departamento de Engenharia Civil da Escola de Engenharia da Universidade do Minho.

[Bar97b] Barros, J.A.O. (1997), “Apontamentos da disciplina de Cascas e Lajes do Mestrado em Engenharia Civil, opção de Estruturas, Geotecnia e Fundações”, Departamento de Engenharia Civil da Escola de Engenharia da Universidade do Minho.

[Bar99a] Barros, J.A.O.; Sena Cruz, J.; Erik Ulrix, (1999), “Avaliação da capacidade de absorção de energia de betões reforçados com fibras de aço”, revista da Associação Portuguesa de Análise Experimental de Tensões, Novembro.

[Bar99b] Barros, J.A.O. (1999), “Apontamentos da disciplina de Complementos de Estruturas”, Departamento de Engenharia Civil da Escola de Engenharia da Universidade do Minho.


186

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[EN10002] European Standard EN 10002-1, “Tensile testing of metallic materials - part 1 - Method of test at ambient temperature”, British Standards Institution, CEN 1990.

[Fre98] Freitas, F; Barros, J.A.O.; Fonseca, P., (1998), “SENTUR – Sistema de Ensaio de Estruturas”, manual de utilização, versão 1.0, Setembro.

[Gue94] Guedes, J.P.S.C.M.; Pegon, P.; Pinto, A. V. (1994), “A Fibre/Timoshenko beam element in CASTEM 2000”, Joint Research Centre, special publication n. I.94.31, July.

[Gue97] Guedes, J.P.S.C.M. (1997), “Seismic behavior of reinforced concrete bridges – Modelling, numerical analysis and experimental assessment”, Tese para a obtenção de grau do doutor em Engenharia Civil na Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto.

[Mas90] Massicotte, B.; Elwi, A.E.; MacGregor, J.G. (1990), “Tension-stiffening model for planar reinforced concrete beams”, Journal of Structural Engineering, ASCE, Vol. 116, nº 11, pp. 3039-3058, November.

[MC90] Comité Euro-International du Beton (1990), CEB-FIP Model Code 1990 “Design Code”, Thomas Telford.

[Mon91] Montoya, P. J.; Meseguer, A. G.; Cabré, F. M. (1991), “Hormigón Armado”, Editorial Gustavo Gili, S.A., Barcelona, Vol. 1, 13ª edicion.

[Oña95] Oñate, E. (1995), “Cálculo de estructuras por el metodo de elementos finitos. Análisis estático lineal”, Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería, 2ª edicion., Setembro.


187

[Owe80] Owen, D.R.J.; Hinton, E. (1980), “Finite elements in plasticity: theory and

practice”, Pineridge Press Limited, Swansea, U.K..

[Pip93] Pipa, M.J.A.L. (1993), “Ductilidade de elementos de betão armado sujeitos a acções cíclicas- Influência das características mecânicas das armaduras”, Tese elaborada no Laboratório Nacional de Engenharia Civil para a obtenção do grau de doutor em Engenharia Civil pela Universidade Técnica de Lisboa.

[Reb93] “Regulamento de estruturas de betão armado e pré-esforçado”, Porto Editora, Porto, 1993.

[RIL85] RILEM (1985), Draft Recommendation, 50-FMC Committee Fracture Mechanics of Concrete, “Determination of the fracture energy of mortar and concrete by means of three-point bending tests on notched beams”, Materials and Structures, Vol. 85, Nº 85, pp. 285-290.

[Sen98] Sena Cruz, J.M., (1998), “Comportamento cíclico de estruturas porticadas de betão armado reforçado com fibras de aço – simulação numérica e análise experimental”, Tese para a obtenção do grau de Mestre em Engenharia Civil pela Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, Julho.

[Sha86] Shah, A.P.; Gopalaratnam, V.S., (1986), “Impact resistance measurements for fibre cement composites”, Third International Symposium and Developments in fibre reinforced cement and concrete, eds. R.N. Swamy, R.L. Wagstaffe, D.R. Oakley, volume 1, artigo 3.9, julho.

[Tau91] Taucer, F.; Spacone, E.; Filippou, F. C. (1991), “A fiber beam-column element for seismic response analysis of reinforced concrete structures”, Report n. UCB/EERC-91/17, College of Engineering, University of California at Berkeley, December .

[Tim70] Timoshenko, S.P.; Goodier, J.N. (1970), “Theory of elasticity”, McGraw - Hill,

Third Edition.

[Ven96] Ventura Gouveia, A. (1996), “Análise de estruturas reticuladas segundo o método dos deslocamentos”, Relatório de estágio da Licenciatura em Engenharia Civil, Departamento de Engenharia Civil da Escola de Engenharia da Universidade do Minho.


188

[Ven97] Ventura Gouveia, A. (1997), “Trabalho de Lajes e Cascas – Alterações ao

programa de cálculo FEMIXLS”, Mestrado em Engenharia Civil, opção de Estruturas, Geotecnia e Fundações, Departamento de Engenharia Civil da Escola de Engenharia da Universidade do Minho.

[Zie89] Zienkiewicz, O.C.; Taylor, R.L. (1989), “The finite element method”, McGraw-Hill International (UK), Fourth Edition, Vol. 1 e Vol. 2.

ANEXO I

Anexo I

191

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


For

ça (

kN)

v1_l10_t150

Figura I.1 – Diagrama F-δ na secção S1 da viga

V1_l10_t150.

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


Forç

a (k

N)

v1_l10_t150


V1_l10_t150.

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


For

ça (

kN)

v1_l10_t150

Figura I.3 – Diagrama F-δ na secção S3 da viga V1_l10_t150.

Anexo I

192

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30


Mom

ento

flec

tor

na s

ecçã

o S

1 (k

Nm

)

v1_l10_t150

Figura I.4 – Diagrama Mf-θf na secção S1 da viga

V1_l10_t150.

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30


Mom

ento

flec

tor

na s

ecçã

o S

2 (k

Nm

)

v1_l10_t150


V1_l10_t150.

0

3

5

8

10

13

15

0 15 30 45 60 75


Mom

ento

tors

or (

kNm

)

v1_l10_t150

Figura I.6 – Diagrama Mt-θt na secção S1 da viga

V1_l10_t150.

0

3

5

8

10

13

15

0 15 30 45 60 75


Mom

ento

tors

or (

kNm

)

v1_l10_t150


V1_l10_t150.

Anexo I

193

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


Forç

a (k

N)

v2_l10_t150


V2_l10_t150.

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


For

ça (

kN)

v2_l10_t150


V2_l10_t150.

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


Forç

a (k

N)

v2_l10_t150


Anexo I

194

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30


Mom

ento

flec

tor

na s

ecçã

o S

1 (k

Nm

)

v2_l10_t150


V2_l10_t150.

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30


Mom

ento

flec

tor

na s

ecçã

o S

2 (k

Nm

)

v2_l10_t150


V2_l10_t150.

0

3

5

8

10

13

15

0 15 30 45 60 75


Mom

ento

tors

or (

kNm

)

v2_l10_t150


V2_l10_t150.

0

3

5

8

10

13

15

0 15 30 45 60 75


Mom

ento

tors

or (

kNm

)

v2_l10_t150


V2_l10_t150.

Anexo I

195

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


Forç

a (k

N)

v1_l10_t75


V1_l10_t75.

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


Forç

a (k

N)

v1_l10_t75


V1_l10_t75.

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


Forç

a (k

N)

v1_l10_t75


Anexo I

196

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30


Mom

ento

flec

tor

na s

ecçã

o S

1 (k

Nm

)

v1_l10_t75


V1_l10_t75.

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30


Mom

ento

flec

tor

na s

ecçã

o S

2 (k

Nm

)

v1_l10_t75


V1_l10_t75.

0

3

5

8

10

13

15

0 15 30 45 60 75


Mom

ento

tors

or (

kNm

)

v1_l10_t75


V1_l10_t75.

0

3

5

8

10

13

15

0 15 30 45 60 75


Mom

ento

tors

or (

kNm

)

v1_l10_t75


V1_l10_t75.

Anexo I

197

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


For

ça (

kN)

v2_l10_t75


V2_l10_t75.

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


Forç

a (k

N)

v2_l10_t75


V2_l10_t75.

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


Forç

a (k

N)

v2_l10_t75


Anexo I

198

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30


Mom

ento

flec

tor

na s

ecçã

o S

1 (k

Nm

)

v2_l10_t75


V2_l10_t75.

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30


Mom

ento

flec

tor

na s

ecçã

o S

2 (k

Nm

)

v2_l10_t75


V2_l10_t75.

0

3

5

8

10

13

15

0 15 30 45 60 75


Mom

ento

tors

or (

kNm

)

v2_l10_t75


V2_l10_t75.

0

3

5

8

10

13

15

0 15 30 45 60 75


Mom

ento

tors

or (

kNm

)

v2_l10_t75


V2_l10_t75.

Anexo I

199

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


For

ça (

kN)

v1_l12_t150


V1_l12_t150.

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


Forç

a (k

N)

v1_l12_t150


V1_l12_t150.

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


Forç

a (k

N)

v1_l12_t150


Anexo I

200

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30


Mom

ento

flec

tor

na s

ecçã

o S

1 (k

Nm

)

v1_l12_t150


V1_l12_t150.

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30


Mom

ento

flec

tor

na s

ecçã

o S

2 (k

Nm

)

v1_l12_t150


V1_l12_t150.

0

3

5

8

10

13

15

0 15 30 45 60 75


Mom

ento

tors

or (

kNm

)

v1_l12_t150


V1_l12_t150.

0

3

5

8

10

13

15

0 15 30 45 60 75


Mom

ento

tors

or (

kNm

)

v1_l12_t150


V1_l12_t150.

Anexo I

201

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


For

ça (

kN)

v2_l12_t150


V2_l12_t150.

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


Forç

a (k

N)

v2_l12_t150


V2_l12_t150.

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


Forç

a (k

N)

v2_l12_t150


Anexo I

202

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30


Mom

ento

flec

tor

na s

ecçã

o S

1 (k

Nm

)

v2_l12_t150


V2_l12_t150.

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30


Mom

ento

flec

tor

na s

ecçã

o S

2 (k

Nm

)

v2_l12_t150


V2_l12_t150.

0

3

5

8

10

13

15

0 15 30 45 60 75


Mom

ento

tors

or (

kNm

)

v2_l12_t150


V2_l12_t150.

0

3

5

8

10

13

15

0 15 30 45 60 75


Mom

ento

tors

or (

kNm

)

v2_l12_t150


V2_l12_t150.

Anexo I

203

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


For

ça (

kN)

v1_l12_t75


V1_l12_t75.

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


Forç

a (k

N)

v1_l12_t75


V1_l12_t75.

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


Forç

a (k

N)

v1_l12_t75


Anexo I

204

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30


Mom

ento

flec

tor

na s

ecçã

o S

1 (k

Nm

)

v1_l12_t75


V1_l12_t75.

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30


Mom

ento

flec

tor

na s

ecçã

o S

2 (k

Nm

)

v1_l12_t75


V1_l12_t75.

0

3

5

8

10

13

15

0 15 30 45 60 75


Mom

ento

tors

or (

kNm

)

v1_l12_t75


V1_l12_t75.

0

3

5

8

10

13

15

0 15 30 45 60 75


Mom

ento

tors

or (

kNm

)

v1_l12_t75


V1_l12_t75.

Anexo I

205

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


For

ça (

kN)

v2_l12_t75


V2_l12_t75.

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


Forç

a (k

N)

v2_l12_t75


V2_l12_t75.

0

4

8

12

16

20

24

0 20 40 60 80


Forç

a (k

N)

v2_l12_t75


Anexo I

206

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30


Mom

ento

flec

tor

na s

ecçã

o S

1 (k

Nm

)

v2_l12_t75


V2_l12_t75.

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30


Mom

ento

flec

tor

na s

ecçã

o S

2 (k

Nm

)

v2_l12_t75


V2_l12_t75.

0

3

5

8

10

13

15

0 15 30 45 60 75


Mom

ento

tors

or (

kNm

)

v2_l12_t75


V2_l12_t75.

0

3

5

8

10

13

15

0 15 30 45 60 75


Mom

ento

tors

or (

kNm

)

v2_l12_t75


V2_l12_t75.

ANEXO II

Anexo II

209

0

4

8

12

16

20

24

0 10 20 30 40


Forç

a (k

N)

v1_l10_t150

Figura II.1 – Diagrama F-δ relativo entre as secções

S1 e S2 da viga V1_l10_t150.

0

4

8

12

16

20

24

0 10 20 30 40


For

ça (

kN)

v1_l10_t150



0

4

8

12

16

20

24

0 10 20 30 40


For

ça (

kN)

v2_l10_t150



0

4

8

12

16

20

24

0 10 20 30 40


Forç

a (k

N)

v2_l10_t150



Anexo II

210

0

4

8

12

16

20

24

0 10 20 30 40


For

ça (

kN)

v1_l10_t75



0

4

8

12

16

20

24

0 10 20 30 40


Forç

a (k

N)

v1_l10_t75



0

4

8

12

16

20

24

0 10 20 30 40


For

ça (

kN)

v2_l10_t75



0

4

8

12

16

20

24

0 10 20 30 40


Forç

a (k

N)

v2_l10_t75



Anexo II

211

0

4

8

12

16

20

24

0 10 20 30 40


For

ça (

kN)

v1_l12_t150



0

4

8

12

16

20

24

0 10 20 30 40


Forç

a (k

N)

v1_l12_t150



0

4

8

12

16

20

24

0 10 20 30 40


For

ça (

kN)

v2_l12_t150



0

4

8

12

16

20

24

0 10 20 30 40


Forç

a (k

N)

v2_l12_t150



Anexo II

212

0

4

8

12

16

20

24

0 10 20 30 40


Forç

a (k

N)

v1_l12_t75



0

4

8

12

16

20

24

0 10 20 30 40


Forç

a (k

N)

v1_l12_t75



0

4

8

12

16

20

24

0 10 20 30 40


Forç

a (k

N)

v2_l12_t75



0

4

8

12

16

20

24

0 10 20 30 40


Forç

a (k

N)

v2_l12_t75



universidade do minho escola de engenharia · nesta fase, foram realizados ensaios de compressão...

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