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Universidade do Algarve

Departamento de Física

Problemas de Física I

INTRODUÇÃO

Análise dimensional e vetores

1. A posição de um ponto material é dada por x = kv2 m, onde v representa a velocidade, e k é

uma constante. Determine as unidades de k.

2. A posição de um ponto material é dada por x = ka2 m, onde a representa a aceleração, e k é uma

constante. Determine as unidades de k.

3. A aceleração de um ponto material é dada por a = kv2 m/s

2, onde v representa a velocidade, e k é

uma constante. Determine as unidades de k.

4. Nas equações a seguir, a distância está em metros e o tempo em segundos. Quais as unidades SI e

as dimensões das constantes A e B em cada caso?

tx BA a) 2A

2

1 b) tx

tx BcosA c)

5. Considere um ponto material que se desloca de acordo com a seguinte lei

)cos()sin()( 10 tattatx . Determine as dimensões das constantes a0, a1 e .

6. Um ponto material em movimento retilíneo tem uma aceleração dada pela seguinte lei: 2

10)( taatx . Determine as dimensões das constantes a0 e a1.

7. Qual é o fator de conversão de: a) m3 para cm

3, b) mm

3 para m

3, c) kg/m

3 para g/cm

3 e d) km/h

para m/s.

8. Estime o número de átomos em 1 cm3 de um sólido.

9. A massa de um cubo sólido é 856 g. Supondo que cada lado do cubo tem um comprimento de

5.35 cm, determine a densidade do cubo em unidades SI.

10. A densidade do tecido humano é, em média, de 1.071 g/cm3. Qual é o volume aproximado de

uma pessoa que pesa 60 kg? Considerando as células como sendo corpos esféricos com uma

dimensão média de 1 m, determine quantas células tem, em média, uma pessoa com 60 kg.

11. Transforme de notação polar para cartesiana (e vice-versa), os seguintes vetores:

a) v= (v, ) = (15 mm, 30), (15 mm, 90), (15 mm, 120), (15 mm,-120);

b) v= (x, y) = (20 mm, 10 mm), (20 mm, -10 mm), (-20 mm, -10 mm), (-20 mm, 10 mm).

2

12. Na Figura 1 estão representados os vetores v1 e v2, de módulos 7 e 8 unidades, respetivamente,

= 45°. Determine:

a) S = vl + v2.

b) D = v1 – v2.

c) o ângulo que S e D formam com o eixo X(+).

13. Determine a resultante das forças representadas na Figura 2, e o ângulo que esta faz com a

horizontal, sabendo que = 20, = 60, F1 = 300 N e F2= 200 N.

Figura 1 Figura 2

14. Um navio de carga, avariado, é arrastado por três rebocadores, como mostra a Figura 3.

Sabendo que a tensão em cada cabo é 5000 N, e que = 20, = 10 e = 15°, determine a força

resultante que atua na proa do navio, utilizando as componentes das forças num sistema de

coordenadas cartesianas.

Figura 3

15. Dados os vetores u = ex + 2ey + ez e v = ex + ey - ez determine:

a) os módulos dos dois vetores;

b) a soma e a diferença vetorial e os seus módulos;

c) o produto interno;

d) o produto externo e o módulo do mesmo;

e) o ângulo entre u e v.

16. Uma força 1f

de modulo igual a 300 N faz um ângulo de 30° com o eixo dos xx e uma segunda

força 2f

de modulo 200 N faz um ângulo de 60° com o eixo dos xx. As duas forças estão aplicadas

sobre uma bola. 1f

e 2f

se encontram no plano xy. Determine:

a) Os vetores 21 ffs

(força resultante) e 2112 ffd

e o ângulo que eles fazem com o eixo dos

xx.

b) O ângulo entre s

e 12d

.

c) O produto externo entre s

e 12d

.

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MECÂNICA

Movimento

17. Uma partícula se encontra em x= 5 m em t=0, x= -7 m quando t=6 s e em x= 2 m quando t=10 s.

Calcular a velocidade média da partícula durante os intervalos:

a) t=0 até t=6 s; b) t=6 s até t=10 s; c) t=0 s até t=10 s.

18. Uma partícula move-se ao longo do eixo X de tal modo que a sua posição em qualquer instante é

dada por x(t)=5 t2+ 1, onde x é dado em metros e t em segundos.

a) Calcular a velocidade média nos intervalos de tempo: i) 2 s e 3 s; ii) 2 s e 2.1 s; iii) 2 s e

2.00001 s.

b) Calcular a velocidade instantânea no instante t=2 s. Compare com os resultados da alínea a e

comente.

19. Determine a velocidade média de um corpo em t = 5 s e t = 10 s, sendo o seu movimento dado

pelo gráfico da velocidade (Figura 4) mostrado a seguir

Figura 4

20. Um comboio tem uma velocidade máxima de 144 km/h, um máximo de aceleração de 0.25 m/s2

e um máximo de desaceleração de 0.5 m/s2. O comboio para em duas estações distanciadas de

30 km. Calcule o tempo mínimo que leva o comboio a ir de uma estação a outra.

21. Um carro desloca-se em linha reta com velocidade inicial v0 0 e aceleração constante. Quando

atinge a velocidade de 5v0, a aceleração muda de sentido ficando a sua grandeza inalterável. Qual a

velocidade do carro no instante em que volta a passar no ponto de partida?

22. Dois carros separados por uma distância S, partem, com velocidades iniciais nulas, ao seu

mútuo encontro, animados de acelerações do mesmo e sentidos opostos, encontrando-se ao fim de

10 s. Qual o incremento a dar à aceleração de um deles para que se encontrem ao fim de 5 s.

23. Um corpo tem aceleração constante de 9.8 m/s2 e parte do repouso. Sabendo que durante o

último segundo percorre 3/4 do percurso, determine o espaço total percorrido e o tempo gasto no

mesmo.

24. Uma pedra é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial v0y=2 m/s. Calcule a altura

máxima atingida pela pedra, a velocidade com que chega ao chão e o tempo que leva a ir e a vir.

4

25. Duas esferas são lançadas verticalmente para cima com a mesma velocidade inicial de100 m/s,

mas em instantes que diferem 4 s. Após quanto tempo, desde o lançamento, da primeira esfera, as

esferas se encontram?

26. Uma partícula num movimento plano, num dado instante t passa pelo ponto P (4,3) m.

a) Qual o vetor posição nesse instante t, relativamente à origem do referencial.

b) Qual o módulo (ou norma) desse vetor de posição?

27. As equações paramétricas do movimento de um projétil, lançado horizontalmente, tomando para

origem dos eixos o ponto de partida (à saída da boca da arma) e para sentidos positivos dos eixos

indicados pelos versores, são: x(t)=100 t m e y(t)= 5.0 t2 m. O alvo foi atingido ao fim de 2.0 s.

a) Escreva a equação do movimento.

b) Determine a posição do alvo.

c) Determine a distância a que se encontra o alvo.

d) Escreva a equação da trajetória e classifique a trajetória.

e) Diga se a distância calculada em (c) coincide com o espaço percorrido pelo projétil.

28. As equações paramétricas de um dado movimento plano são: x(t) =3t22t cm e y(t)=4t

25t

cm.

a) Qual o tipo de movimento descrito por estas equações?

b) Determine o ângulo formado pelos vetores velocidade e aceleração no instante t = 1 s.

29. Duas estradas, retas e horizontais, cruzam-se perpendicularmente, uma por cima e outra por

baixo de uma ponte de 12 m de altura. Num dado instante inicial, t0, dois carros A e B passam

exatamente um por cima do outro, isto é, pela mesma vertical. Num instante posterior, t, o carro A

percorreu 160 m, contados a partir do instante t0 e o carro B percorreu, nas mesmas condições,

120 m.

a) Quais os vetores velocidades dos dois carros?

b) Quais os vetores de posição dos dois carros?

c) Qual a distância que separa os carros no instante t?

30. Uma skydiver cai com uma velocidade limite de 120 milhas/h. O para-quedas leva 2 s a abrir e a

reduzir a sua velocidade para 20 milhas/h. Qual a aceleração, que se assume constante, que a

skydiver sofre? Escreva o resultado em unidades de g. (1 milha = 1.6 km).

31. Lança-se uma bola do alto de um edifício para um outro edifício situado a uma distância de

50 m. A velocidade inicial da bola é de 20 m/s e faz um ângulo de 40 acima da horizontal. A que

altura em relação ao nível inicial é que a bola atinge a parede oposta?

32. Seja um passarinho, com ambições de voar, mas sem ter crescido o suficiente, quer se lançar do

ninho, com uma velocidade v0 = 5m/s, paralela ao chão. Assumindo que o passarinho não consegue

ganhar mais nenhuma velocidade por si próprio, e que inicialmente se encontra a uma altura de

20 m do chão. Despreze as forças de atrito.

a) Qual a sua velocidade de impacto?

b) Qual a sua trajetória?

33. Um atleta começa um salto com uma velocidade horizontal de 10.5 m/s e atinge uma altura de

0.6 m.

a) Qual a sua velocidade total inicial?

b) Qual o ângulo inicial do salto?

c) Qual a duração total do salto?

d) Qual o alcance do salto horizontal?

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34. A aceleração da gravidade na Lua é cerca de sete vezes menor do que na Terra.

a) Qual a relação, para uma dada pessoa, entre as alturas máximas de salto na Lua e na Terra?

b) Qual a relação entre os tempos de duração desses dois saltos?

35. Um objeto segue uma trajetória circular com um raio de 10 m. Sendo o ponto de chegada

diametralmente oposto ao ponto de partida, calcule o comprimento da trajetória.

36. Qual a velocidade da Terra na sua órbita à volta do Sol? (O raio da órbita é 1.5 1011

m).

Assuma que a trajetória é circular. Exprima o resultado em km/s.

37. Qual a velocidade angular do movimento da Terra em tomo de si própria? Qual a velocidade

linear à superfície da Terra no equador? Porque é que nós não sentimos nada? (O raio da Terra é

6.38 106 m).

38. O Posat encontra-se numa órbita quase circular a 790 km de altura. Para essa altura a aceleração

da gravidade é a=0.79 g, onde g é a aceleração da gravidade. a) Calcule a velocidade linear do Posat. b) Calcule o período da órbita do Posat.

39. Uma forma de transmitir movimentos circulares entre duas rodas é ligando-as por uma correia.

A figura ao lado ilustra uma engrenagem entre duas rodas dentadas de diferentes tamanhos. A roda

dentada A tem raio de 20 cm e a roda dentada B tem raio de 30 cm. O motor está conectado à roda

B, e gira essa roda numa frequência igual a 80 rpm (rotações por minuto).

a) A roda B gira em sentido anti-horário. Identificar o

sentido em que a roda A gira.

b) Determinar se a velocidade linear de um ponto

periférico de A, em relação a um ponto periférico de

B, é maior, menor ou igual. Justificar.

c) Determinar se a velocidade angular de A, em

relação a B, é maior, menor ou igual. Justificar.

d) Calcular a frequência da roda A em rpm e em

hertz.

e) Calcular o período da roda A em segundos.

Figura 5

40. Um foguetão é lançado da superfície da Terra com uma aceleração vertical de 4g. Ao fim de

10 s, qual é a velocidade do foguetão e a que altura é que ele subiu?

41. Qual deve ser o valor da aceleração constante de um avião ligeiro para que ele atinja a

velocidade necessária para descolar (v = 80 milhas/h) numa pista de 1000 ft? Escreva o resultado

em múltiplos de g (=9.8 m/s2). (1 milha = 1.6 km e 1 ft = 30.48 cm).

42. Uma partícula descreve uma circunferência de raio 27 cm com movimento circular

uniformemente acelerado. Num ponto A, a sua velocidade é 9 cm/s e, num outro ponto B, onde a

partícula se encontra 0.25 s após a passagem em A, a sua velocidade é 10 cm/s.

a) Determine o módulo da aceleração da partícula em A.

b) Determir1e a tangente do ângulo formado pela aceleração com o vetor posição em A, em relação

ao centro.

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Leis do movimento

43. Aplicando uma força de intensidade 30 N sobre um corpo, o mesmo passa a experimentar uma

aceleração de 10 m/s2. Qual a massa desse corpo?

44. Um carro de 1200 kg de massa aumenta sua velocidade de 54 km/h para 90 km/h num intervalo

de tempo de 5s. Qual a intensidade da força resultante que agiu sobre o carro?

45. Um corpo de massa m = 5 kg, com velocidade de 6 m/s, passa a sofrer a ação de uma força

resultante de intensidade 20 N (com mesma direção e sentido da velocidade), durante 3 s. Qual será

a velocidade do corpo após esse tempo?

46. Duas forças 1F

e 2F

, aplicadas num mesmo corpo de massa 4 kg, são perpendiculares entre si e

de intensidades 12 N e 16 N respetivamente. Determine:

a) A intensidade da força resultante.

b) A aceleração do corpo.

47. Duas forças 1F

e 2F

atuam sobre uma esfera de massa m (ver Figura 6). Considere que

m = 8 kg, F1 = 4 N e F2 =6 N. Determine:

a) A aceleração da esfera.

b) A velocidade no instante t =1 s, sabendo que v(0) = 1 m/s e que )0(v

tem a mesma direção que

2F

.

Figura 6

48. Um corpo de massa 5 kg se encontra na Terra, num local em que a gravidade vale 10 m/s2. Esse

corpo é então levado para a Lua, onde a aceleração da gravidade é 1.6 m/s2. Pede-se:

a) O peso e a massa do corpo aqui na Terra.

b) O peso e a massa do corpo na Lua.

49. Dois blocos estão em contacto sobre uma mesa plana. Uma força horizontal é aplicada a um dos

blocos (ver Figura 7).

a) Sabendo que m1=2 kg e m2=1 kg e F=3 N, determine a força de contacto entre os dois blocos.

b) Mostrar que se a mesma força for aplicada em m2 em vez de em m1, a força de contacto entre os

dois blocos é de 2 N (de valor diferente ao caso anterior).

Despreze as forças de atrito.

Figura 7

7

50. Três blocos estão ligados entre si sobre uma mesa horizontal (ver Figura 8), sendo puxados para

a direita por uma força T3=60 N. Sabendo que m1=10 kg, m2=20 kg e m3=30 kg, determine as

tensões T1 e T2. Despreze o atrito e a massa da corda.

Figura 8

51. Um bloco de 3 kg de massa é colocado sobre outro com 5 kg. Admita que não há atrito entre o

bloco de 5 kg e a superfície e que o coeficiente de atrito estático entre os dois blocos é 0.2.

a) Qual é a força máxima que, aplicada no corpo inferior, movimenta o sistema sem que os blocos

se desloquem, um relativamente ao outro?

b) Qual é a aceleração do sistema quando esta força é aplicada?

52. Um bloco de 90.7 kg está em repouso num plano horizontal. Determine o módulo da força

necessária para que o bloco deslize com uma aceleração de 3 m/s2. A força faz um ângulo de 30º

com o plano horizontal e o coeficiente de atrito cinético entre o plano e o bloco é 0.25.

53. Determine a tensão da corda (inextensível), a velocidade e a aceleração dos blocos da Figura 9,

no instante em que m1 se encontra 1.5 m, abaixo da posição inicial. Despreze as forças de atrito e as

massas da roldana e do fio (m1=6 kg, m2=12 kg e v(t=0)=0 m/s).

54. Considere o sistema representado na Figura 10. Determine:

a) A sua aceleração.

b) O espaço percorrido pelos corpos ao fim de um segundo.

Dados: α=60º, β=30º, m1=1 kg, m2=1 kg e v(t=0)=1 m/s. Despreze o atrito e as massas da roldana e

o fio. A corda é inextensível.

Figura 9 Figura 10

55. Determine o intervalo de valores que a massa m0 pode ter de maneira que o bloco de 100 kg,

apresentado na Figura 11, se mantenha estático. O coeficiente de atrito estático entre as superfícies

em contacto é 0.3 e α=20º. A corda é inextensível e o atrito desprezável.

8

Figura 11

56. Considere um comboio que se move sobre uma mesa horizontal com movimento circular e

uniforme, de velocidade angular ω1=const. (ver Figura 12). Suponha que a massa do comboio é de

100 g e que o raio da trajetória é de 2 m. O comboio está ligado por um fio, inextensível de massa

desprezável, a uma massa de m2=2 kg. Determine que velocidade deve ter o comboio para

equilibrar a massa m2.

Figura 12

57. Considere o sistema indicado na Figura 13. Supondo que a roldana (de massa desprezável) está

animada de um movimento vertical com aceleração constante, 0a

, determine a aceleração de cada

uma das massas e a tensão da corda (inextensível e de massa desprezável). Despreze a força de

atrito e a massa da roldana.

Figura 13

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Trabalho e energia

58. Um gafanhoto com uma massa de 30 g salta de uma árvore, a 1.6 m de altura, segundo uma

direção que faz com a horizontal um ângulo de 30. Considerando que a altura máxima atingida no

salto é de 1.8 m calcule .

a) A velocidade inicial do gafanhoto.

b) A força exercida pelo gafanhoto na árvore para executar o salto, considerando que as patas

exercem essa força durante 0.2 s.

c) A distância na horizontal alcançada pelo gafanhoto.

d) A energia cinética máxima adquirida pelo gafanhoto e o ponto do salto em que esse valor foi

atingido.

59. Uma mulher de 55 kg escala uma montanha com 3000 m de altura.

a) Calcule o trabalho realizado pelo peso durante a escalada.

b) Supondo que um quilograma de gordura fornece a 3.8 107 J de energia, calcule a gordura

consumida durante a escalada, admitindo que apenas 20% da energia consumida é convertida em

energia mecânica.

60. Um objeto de massa igual a 100 kg é lançado verticalmente no campo gravítico da Terra com

uma velocidade inicial de 5 m/s.

a) Calcule a altura que o objeto atinge.

b) Calcule o trabalho realizado pela força da gravidade.

c) Verifique que o princípio de conservação da energia é observado calculando a energia total

inicial e a energia total quando o objeto se encontra na altura máxima.

d) A que altura se encontra o objeto quando a sua velocidade é igual a 2 m/s?

61. Uma partícula deslocou-se ao longo de uma reta passando por uma posição A e por outra posição B. Estas posições, num dado referencial, podem ser definidas pelas coordenadas xA= 2.0 m e xB= + 4.0 m. Qual o trabalho realizado sobre a partícula, entre A e B:

a) Por uma força N 40x

eF

.

b) Por uma força N 20- 10yx

eeF

62. Uma criança de 40 kg abandona-se do alto de um escorrega de 3.0 m de altura e 6.0 m de comprimento e atinge o final do escorrega com uma velocidade de 6.0 m/s. Qual a força de atrito, suposta constante, que atuou na criança?

63. Determinar a velocidade com a qual sai um projétil depois de atravessar uma barreira de 7 cm

de espessura e que opõe uma resistência constante de F=1800 N. A velocidade inicial do projétil é

de 450 m/s e sua massa é de 15 g.

64. Um corpo de massa 4 kg move-se para cima num plano inclinado ( = 20). As seguintes forças

atuam sobre o corpo: uma força horizontal de 80 N, uma força de 100 N, paralela ao plano inclinado

no sentido do movimento, e uma força de atrito constante de 10 N. O corpo desliza ao longo de 20

m sobre o plano. Determine o trabalho de cada uma das forças e o trabalho total, realizado pelo

sistema de forças.

65. Um corpo de 0,1 kg de massa cai de uma altura de 3 m, sobre um monte de areia. Se o corpo

afunda 3 cm antes de parar, qual o módulo da força que a areia exerceu sobre o corpo?

10

66. Um bloco de 2 kg é encostado numa mola num plano inclinado sem atrito e com uma inclinação

de 30. A mola em questão, cuja constante vale 19,6 N/cm, é comprimida 20 cm sendo depois

libertada. A que distância ao longo do plano inclinado é arremessado o bloco?

Momento linear e colisões

67. Um homem e uma criança, de massa 80 kg e 40 kg respetivamente, estão parados numa pista de

patinagem sobre o gelo. Depois de se empurrarem mutuamente, o homem afasta-se com uma

velocidade de 0.5 m/s em relação ao gelo. Calcule a distância entre o homem e a criança ao fim de

5s.

68. Uma lula pode expelir de uma vez 100 g de tinta a uma velocidade de 5 ms-1

para afugentar os

seus predadores e fugir deles. Se a massa com que a lula fica é 400 g que velocidade adquire ao

expulsar a tinta? Despreze a força de atrito exercida pela água na lula.

69. Uma bola de aço de massa 0.51 kg está presa a uma extremidade de um fio de 68 cm de

comprimento (veja Figura 14). A outra extremidade está fixa. A bola é liberada quando o fio está na

horizontal. Na parte mais baixa da trajetória a bola se choca elasticamente com um bloco de metal

de 2.6 kg, inicialmente em repouso sobre a superfície sem atrito. Determine, imediatamente após a

colisão:

a) a velocidade escalar da bola.

b) a velocidade escalar do bloco.

Figura 14 Figura 15

70. Um bloco de massa m1=2 kg move-se para a direita com velocidade escalar de 10 m/s sobre um

plano horizontal sem atrito e colide com uma mola (de massa desprezável) que está ligada a um

segundo bloco de massa m2=5 kg, que se move no mesmo sentido do primeiro bloco mas com uma

velocidade escalar de 3 m/s (veja a Figura 15). A mola tem constante elástica 1100 N/m.

a) Determine a velocidade dos blocos após a colisão.

Sugestão: Quando a compressão é máxima o choque é perfeitamente inelástico.

b) Determine a compressão máxima da mola durante a colisão.

Movimento de rotação

71. Uma roda com um raio de 15 cm e um momento de inércia rotacional de 0.085 kg m2 roda

inicialmente à taxa de 75 rotações por minuto.

a) Qual a sua velocidade angular em rad/s?

b) Se um travão aplicar uma força tangencial de fricção constante de 10 N, quantas rotações fará a

roda antes de parar?

11

1.6 m 1.5 m

72. Quatro massas pontuais estão localizadas assim: m1=1 kg em x=0, y=0; m2=2 kg em x=0, y=6 m;

m3 = 6 kg em x=4 m, y=6 m; e m4= 3 kg em x=4 m, y=0. a) Calcule a posição do centro de massa deste sistema.

b) Calcule o momento de inércia em tomo da massa m1.

73. Uma partícula tem um movimento circular sob a ação de uma força não nula cuja componente

tangencial, tF

, é constante em módulo.

a) Poderá ser constante o módulo da componente centrípeta, cF

?

b) Calcule o trabalho realizado pela força tangencial durante uma rotação.

c) Calcule o trabalho realizado pela força centrípeta durante uma rotação.

74. Dois objetos estão se movendo como mostra a Figura 16. Qual é o momento angular em torno

do ponto O? Dados: m1=6.5 kg, v1= 2.2 m/s, r1=1.5 m, m2=3.1 kg, v2= 3.6 m/s, r2=2.8 m.

Figura 16 Figura 17

75. Duas pessoas estão sentadas em lados opostos de uma gangorra, como mostra a Figura 17

(acima). Determine o momento da força resultante em relação ao eixo de rotação? Determine ainda

para que lado a gangorra cairá. O peso da moça é de 470 N e o peso do rapaz é de 500 N.

76. Quando um disco sólido, que rola, passa no topo de um plano inclinado, tem uma velocidade

escalar (do centro de massa), de 80 cm/s. Desprezando os efeitos do atrito, qual o valor da

velocidade escalar do disco quando está a 18 cm do topo do plano inclinado?

Dado: 2

disco2

1MrI .

77. Um cilindro maciço com um núcleo projetando-se para fora da parte cilíndrica maior pode rodar

livremente em torno do eixo z que passa por O (veja Figura 18). Determine o momento da força

resultante que age sobre o cilindro ao redor do eixo de rotação.

Dados: F1 = 5 N, R1 = 1.0 m F2 = 6 N e R2 = 0.5 m.

Figura 18

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OSCILAÇÕES E ONDAS

Movimento oscilatório

78. Qual é a distância percorrida por uma partícula que executa um movimento harmónico simples

de amplitude x0 num intervalo de tempo igual ao período do movimento, T?

79. Se a coordenada de uma partícula varia segundo a equação txx cos0 :

a) Quais são a fase inicial e a abcissa inicial do movimento?

b) Calcule o valor de sabendo que em t = 2 s a partícula passa pela primeira vez em x=x0/2.

80. Uma massa de 0.5 kg ligada a uma mola de constante de força 20 N /m oscila na

horizontal sobre uma superfície sem atrito.

a) Determine a frequência característica das vibrações.

b) Calcule a energia total do sistema sabendo que a amplitude de oscilação é de 3 cm.

c) Calcule a velocidade máxima.

d) Substituindo a mola por outra de constante de força dupla quais seriam as consequências

para a frequência característica e para a energia total da massa em vibração?

81. Uma partícula descreve um círculo de raio 3 m no plano xy, no sentido direto, com velocidade

angular constante de 8 rad s-1

. No instante inicial a partícula tem uma abcissa igual a 2 m.

a) Determine x(t).

b) Determine vx(t).

c) Determine ax(t).

82. Uma partícula move-se de acordo com uma aceleração dada por a(t) = 32 cos(4t).

a) Escreva a expressão da velocidade em função do tempo.

b) Escreva a expressão da trajetória em função do tempo.

c) Qual é a amplitude do movimento? Qual o período do movimento?

83. Uma força de 4 N é aplicada a uma massa de 0.1 kg que está ligada a uma mola e provoca um

deslocamento de 0.l m da mola.

a) Qual a velocidade máxima atingida pela massa depois de a força deixar de ser aplicada?

b) Qual o período do movimento?

84. Uma massa de 0.2 kg oscila ligada a uma mola. Quando a massa passa pela posição de

equilíbrio, a sua velocidade é 0.4 m/s. Calcule o trabalho que foi necessário fazer inicialmente para

esticar a mola. Sabendo que a amplitude da oscilação é 0.1 m, calcule a constante k da mola.

85. Um bloco de massa m = 650 g está preso a uma mola cuja constante elástica, k, é 65 N/m. O

bloco é deslocado de uma distância x =11 cm em relação a sua posição de equilíbrio, numa

superfície horizontal sem atrito, e libertado em repouso (para t =0).

a) Qual é a frequência angular e o período do movimento?

b) Indique qual é a amplitude e a fase inicial do movimento e escreva x(t).

c) Qual é a velocidade máxima do oscilador? Nessa situação qual é a sua energia potencial?

86. O pêndulo da Figura 19 consiste duma esfera de massa m suspensa por um fio leve e

inextensível de comprimento L cuja extremidade superior é fixa. Quando a esfera é afastada da sua

posição de equilíbrio de um ângulo e é solta, oscila com um movimento periódico, de período T.

O movimento ocorre num plano vertical e é regido pela força gravitacional. O pêndulo descreve um

arco de uma circunferência de raio L.

a) Determine as forças que atuam sobre a esfera quando é deslocada de .

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b) Obtenha a equação de movimento na direção tangencial ao arco.

c) Obtenha a equação de movimento na direção tangencial ao arco, quando sin .

d) Escreva (t).

e) Qual é a frequência angular do pêndulo, supondo que o comprimento do pêndulo é L=1 m.

Figura 19

87. Um corpo de massa m está pendurado numa mola vertical de constante elástica 1800 N/m.

Quando o corpo é puxado para baixo 2.5 cm em relação à posição de equilíbrio, e depois é solto em

repouso, o corpo oscila a 5.5 Hz.

a) Determinar a massa m.

b) Qual é o alongamento da mola, em relação ao seu comprimento natural, quando o corpo estiver

em equilíbrio.

Movimento ondulatório

88. A equação de onda para o deslocamento y(x,t) numa corda é dada por:

t

xtxy 4

5cos5.1),( cm, onde x está em cm e t está em segundos.

a) Qual é a amplitude da onda?

b) Qual a velocidade da onda?

c) Qual o comprimento de onda da onda?

d) Qual o período da onda?

e) Em que sentido ao longo do eixo dos xx é que a onda se propaga?

89. Um golfinho encontra-se no mar, num local em que a água está à temperatura de 25C. O

golfinho emite um som dirigido ao fundo do oceano, 150 m abaixo dele. Quanto tempo passa antes

de escutar o eco? (A velocidade de propagação do som na água à temperatura de 25C é 1200

m/s).

90. Um trovão ouve-se 8 s depois do clarão de um relâmpago. A que distância se encontra a

trovoada? (A velocidade do som no ar é 360 m/s).

91. O ouvido humano tem a capacidade de detetar sons num espectro que vai desde

aproximadamente 20 Hz até 20000 Hz. Determine os comprimentos de onda destes extremos à

temperatura de 27C. (Admita que a velocidade do som no ar é de 345 m/s).

92. Uma máquina, usada em fisioterapia, gera radiação eletromagnética que produz o efeito de calor

profundo quando absorvida nos tecidos. Uma frequência usada para esse efeito é 27.33 MHz. Qual

é o comprimento de onda desta radiação?

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93. Qual o comprimento de onda de uma onda sonora de 10 kHz que se propaga numa barra de

ferro? Qual é o comprimento de onda de uma onda sonora com a mesma frequência quando ela se

propaga no ar? (O módulo de elasticidade k, do ferro é 16 Pa, a densidade do ferro é 7.84 g/cm3 e a

velocidade do som no ar é 360 m/s).

94. Uma corda tem 80 em e uma massa de 2 g. Quando esta corda está esticada entre dois suportes

fixos, qual deve ser a tensão para que a frequência fundamental seja 50 Hz?

95. Um morcego pode detetar um objeto pequeno, por exemplo um inseto, cujo tamanho é

aproximadamente igual ao comprimento de onda do som que ele emite. Se a frequência desse som

for de 60 kHz e a sua velocidade no ar for de 340 m/s, qual é o menor tamanho do inseto que o

morcego poderá detetar?

96. Um morcego, voando à velocidade de 5.0 m/s emite um sinal sonoro de 40 Hz. Se este impulso

sonoro for refletido por uma parede, qual é a frequência do eco recebido pelo morcego? (Admita

que a velocidade do som no ar é de 345 m/s).

97. Uma corda de violino tem um comprimento de 36 em e uma massa de 0.42 g. Se a tensão for

90 N, quais são as três harmónicas mais pequenas?

98. Um pedaço de dinamite explode à superfície da água (T=25C). O som propaga-se através da

água e através do ar. Qual dos sinais chega primeiro a um ponto a 3 km de distância? Qual o

intervalo de tempo entre os sinais? (A velocidade do som na água é 1200 m/s e a velocidade do som

no ar é 345 m/s).

99. Uma nota musical de um órgão, de comprimento de onda 11 m é sustentada durante 1 segundo.

Quantas vibrações completas da onda foram emitidas nesse intervalo de tempo? (Considere que a

velocidade do som é 345 m/s).

100. Zero decibéis correspondem a uma onda de intensidade 10-12

W/m2. Qual a intensidade do som

em dB para um som cuja intensidade é 6 10-8

W/m2?

101. Um comboio passa por si e a frequência do apito cai de 1000 Hz para 800 Hz. Qual a

velocidade do comboio em km/h? (A velocidade do som no ar é 345 m/s).

102. Um avião supersónico voa paralelamente ao chão. Quando está na vertical do lugar onde se

encontra um observador, este vê um míssil ser lançado do avião. Dez segundos depois, o observador

ouve a onda de choque, seguida pelo som do motor do míssil 2.8 segundos depois. Qual a

velocidade do avião em unidades Mach?

MECÂNICA DE FLUIDOS

Hidrostática

103. Porque é que as paredes das barragens são mais espessas no fundo que no cimo?

104. Um taco de forma cónica é atuado por uma força de 15 N. O raio do lado do pico é 0.1 mm e o

raio da cabeça é 5 mm.

a) Calcule a pressão aplicada na cabeça do taco.

b) Calcule a pressão aplicada no pico do taco.

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105. Aplica-se uma força de 4 N ao êmbolo de uma seringa de secção transversal 2.5 cm2.

a) Qual é a pressão no líquido dentro da seringa?

b) O líquido passa através de uma agulha hipodérmica de 0.008 cm2 de secção. Que força há que

aplicar no extremo da agulha para evitar que o líquido saia?

c) Qual a força mínima que se deve aplicar ao êmbolo para injetar líquido numa veia em que a

pressão, em relação à pressão atmosférica, é de 120 mm Hg?

106. Suponha que em vez de medir a pressão em mm de mercúrio, media a pressão em mm de óleo.

Qual seria o valor de uma atmosfera nestas unidades? (Considere a densidade do óleo 0.85 g/cm3).

107. Um elevador de automóveis numa garagem consiste numa bomba hidráulica com um pistão de

diâmetro igual a 30 cm e uma massa total de 400 kg. O elevador consegue mover carros com uma

massa máxima de 3000 kg. A bomba é um cilindro com um diâmetro de 2.5 cm. Qual a força que

precisa de ser exercida pela bomba para levantar um carro com 3000 kg?

108. Calcule a variação da pressão entre o rés-do-chão e o décimo andar de um prédio, assumindo

que a cada andar corresponde uma altura de 3 m. Calcule também a variação na altura de uma

coluna de mercúrio.

109. A que profundidade num oceano é que a pressão da água se torna igual a 100 atmosferas?

110. Um cilindro com um diâmetro de 4 m enche-se de glicerina. Sabendo que a pressão da

glicerina no fundo do cilindro é 55.6 Torr, qual é o volume da glicerina no cilindro?

111. Suponha que o ar é incompressível e que a sua densidade em qualquer parte é igual ao valor

que tem ao nível do mar. À superfície da Terra a pressão é 1 atmosfera. A que altitude é que nós

encontraríamos o topo da atmosfera? Como se compara esta altura com a das mais altas montanhas

e dos aviões que voam mais alto?

112. Uma piscina tem um comprimento de 15 m e uma largura de 5 m. O fundo é em rampa e vai de

uma profundidade de 1 m num lado até a uma profundidade de 3 m no outro. Qual é a pressão

máxima da água dentro da piscina? Qual é a força total exercida pela água sobre o fundo da piscina?

113. Alguns peixes enchem os espaços nos seus ossos porosos com ar à pressão de uma atmosfera.

Considerando que eles podem mergulhar até profundidades de 100 m no oceano, qual é a diferença

de pressão que os seus ossos porosos devem ser capazes de suportar?

114. Duas peças, uma de ouro e outra de cobre, são mergulhadas em mercúrio. Diga que

percentagem dos seus volumes se encontra submergida quando atingem uma posição de equilíbrio.

115. Se um elevador sobe inicialmente com uma aceleração de 1.0 ms-2

, compare a pressão arterial

média no cérebro e nos pés de uma pessoa no seu interior com a que teria quando o elevador se

encontra parado. Admita que a pessoa se encontra de pé, e que a sua pressão arterial normal medida

no braço é 120/70 mmHg. Responda à mesma questão considerando o caso em que o elevador

desce com a mesma aceleração. Considere sangue=1.02g/cm3, dcabeçabraco=0.8 m, dpesbraco=1.2 m.

116. Uma mulher de 55 kg flutua na superfície da água do mar, estando o seu corpo 80% submerso.

Qual é o seu volume?

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117. Uma jangada feita de fibra de vidro tem dimensões iguais a 2m 2m 0.2m. Qual a altura da

jangada que se encontra acima da superfície da água? E qual é essa altura quando dois nadadores de

60 kg cada um sobem para cima dela? (densidade da fibra de vidro é 0.3 g/cm3).

118. Um objeto é pesado no ar sendo o resultado 0.98 N. A seguir é pesado na água com um

resultado de 0.855 N. Finalmente, o objeto é pesado quando imerso em óleo, sendo o resultado

0.880 N. Calcule a densidade do óleo e a densidade do objeto.

Dinâmica de fluidos

119. O diâmetro interno aproximado da aorta é de 0.50 cm. O de um capilar é de 10 m. A

velocidade média do fluxo de sangue é de 1.0 m/s na aorta e 1.0 cm/s nos capilares. Se todo o

sangue na aorta fluir também nos capilares, estime o número de capilares no sistema circulatório.

120. Um vaso sanguíneo de raio r ramifica-se em 3 vasos de raio r /2. Se a velocidade média no

vaso maior for v, indique qual é a velocidade média em cada um dos outros vasos na zona da

ramificação

121. Considere um tanque com água até uma altura h. Suponha que no fundo do tanque há um

orifício que, se for aberto, faz a água sair verticalmente de baixo para cima. A que altura sobe a

água quando se abre esse orifício? (Despreze as forças de atrito).

122. Um tanque cilíndrico cheio de água até uma altura de 4 m encontra-se pousado no chão.

Alguém faz um pequeno buraco no lado do cilindro à altura de 1.5 m abaixo da superfície da água.

A que distância do cilindro é que a água que sai desse buraco vai inicialmente atingir o chão?

123. Um grande tanque de água tem um buraco de lado num ponto situado 2 m abaixo da superfície.

Se a massa de água que sai através do buraco por unidade de tempo for 0.5 kg/s, qual é a área do

buraco?

124. O débito médio de sangue na aorta é 8 10-5

m3

s-1

. Suponha que esta artéria tem um raio igual

a 1.3 10-2

m, e considere que a viscosidade do sangue é, sangue=3.02 10-3

N m-2

s.

a) Qual é a velocidade média do sangue na aorta?

b) Qual é a queda de pressão em 10 cm de aorta?

125. Determine a velocidade a que o fluxo de sangue através de uma artéria de 0.20 cm de diâmetro

se tornaria turbulento. (A densidade do sangue é de 1050 kg/m3 e a sua viscosidade é 2.7 10

-3 N

s/m2).

Bibliografia: Problemas compilados das sebentas de problemas de Leonor Cruzeiro, Ana Rodrigues,

Orlando Rodríguez e José Figueiredo.