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UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO

MESTRADO EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA

O uso do geoGebra no processo de ensino e aprendizagem

de matemática no ensino médio

JULIO CESAR FERRI

Orientadora: Profa. Dra. Laura Marisa Carnielo Calejon

Dissertação apresentada ao Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática, da Universidade Cruzeiro do Sul, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências e Matemática.

SÃO PAULO

2015

AUTORIZO A REPRODUÇÃO E DIVULGAÇÃO TOTAL OU PARCIAL DESTE TRABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRÔNICO, PARA FINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE.

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL DA


F448u

Ferri, Julio Cesar. O uso do geoGebra no processo de ensino e aprendizagem de

matemática no ensino médio / Julio Cesar Ferri. -- São Paulo; SP: [s.n], 2015.

116 p. : il. ; 30 cm. Orientadora: Laura Marisa Carnielo Calejon. Dissertação (mestrado) - Programa de Pós-Graduação em

Ensino de Ciências e Matemática, Universidade Cruzeiro do Sul. 1. Ensino de matemática 2. Software livre - GeoGebra 3.

Tecnologia da informação e comunicação 4. Professores de ensino médio 5. Matemática – Processo de ensino - aprendizagem. I. Calejon, Laura Marisa Carnielo. II. Universidade Cruzeiro do Sul. Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática. III. Título.

CDU: 51:37(043.3)


PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO

O uso do geoGebra no processo de ensino e aprendizagem

de matemática no ensino médio

Julio Cesar Ferri

Dissertação de mestrado defendida e aprovada

pela Banca Examinadora em 18/12/2015.

BANCA EXAMINADORA:

Profa. Dra. Laura Marisa Carnielo Calejon

Universidade Cruzeiro do Sul

Presidente

Prof. Dr. Juliano Schimiguel

Universidade Cruzeiro do Sul

Profa. Dra. Rosemary Aparecida Santiago

Universidade Federal do Sul da Bahia

AGRADECIMENTOS

A Deus, por iluminar a minha vida e dar forças para seguir em frente, a

minha família, pelos incentivos e companhia durante a vida permitindo o meu

desenvolvimento, crescimento profissional e social.

A minha orientadora, Professora Doutora Laura Marisa Carnielo Calejon,

pela competência na execução de ideias, mostrando caminhos objetivos na

construção e elaboração da escrita.

Aos Professores Doutor Juliano Schimiguel, por conta das aulas

oferecidas, surgiram minhas primeiras ideias e impressões para realização

desta pesquisa em ensino e Doutora Rosemary Aparecida Santiago, por aceitar

fazer parte da banca de qualificação e defesa contribuindo expressivamente

para conclusão desta.

Um especial agradecimento a Professora Doutora Vera Maria Jarcovis

Fernandes que contribuiu para consolidação desta, em momento de

dificuldade de elaboração textual apoiou-me dando orientações e ideias para

melhoria, meu muito obrigado.

Agradecimentos a Secretaria de Educação de São Paulo, pela bolsa de

estudos e paciência investida na minha pessoa para conclusão desta

pesquisa.

FERRI, Julio Cesar. O uso do geoGebra no processo de ensino e aprendizagem de matemática no ensino médio. 2015. 116 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática)-Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2015.

RESUMO

O presente estudo apresentou uma análise do uso do GeoGebra no ensino da

matemática para as turmas do Ensino Médio de uma escola da Rede Pública

Estadual de São Paulo, enfatizando como o software GeoGebra pode fomentar

maior interesse dos alunos em relação aos conteúdos de geometria. O estudo foi

baseado em uma revisão de literatura e, também, em uma pesquisa realizada com

55 alunos do Ensino Médio, pertencentes a duas turmas de uma escola da rede

pública no Estado de São Paulo. Os resultados da pesquisa demonstraram, de

acordo com a amostra pesquisada, que muitos alunos chegam ao Ensino Médio sem

os conhecimentos matemáticos que deveriam ter sido aprendidos no Ensino

Fundamental. A partir dessa constatação considerou-se importante realizar uma

revisão dos conceitos matemáticos referentes ao Ensino Fundamental antes de

prosseguir com o ensino dos conceitos geométricos em nível de Ensino Médio, bem

como no Ensino Superior conforme esta pesquisa. De acordo com esta pesquisa, as

tecnologias da informação e comunicação são importantes ferramentas para o

processo de ensino-aprendizagem de conteúdos de Geometria e Matemática no

Ensino Médio, sendo que o GeoGebra é um software livre, fácil de usar, utilizado em

âmbito mundial, com resultados positivos para a aquisição e assimilação dos

conteúdos de Matemática e Geometria pelos alunos. As descrições feitas nesta

pesquisa serão apresentadas.

Palavras-chave: GeoGebra, Matemática, Tecnologias da Informação e

Comunicação, Educação.

FERRI, Julio Cesar. The use of GeoGebra in the teaching and learning of mathematics in high school. 2015. 116 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática)-Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2015.

ABSTRACT

This study presented an analysis of the use of GeoGebra in teaching mathematics

for high school classes at a school of the State Public Network of São Paulo,

emphasizing how this software can foster greater student interest in relation to the

geometry of content. The study based on a literature review and in a survey of 55

high school students belonging to two classes of a public school in São Paulo. The

survey results showed, according to the studied sample, which many students come

to high school without the mathematical knowledge that should learned in elementary

school. From this observation, it considered important to conduct a review of

mathematical concepts related to primary education before proceeding with the

teaching of geometric concepts in high school level. It concluded that information,

communication technologies are important tools for the process of teaching and

learning of geometry and mathematics content in high school and GeoGebra is free

software, easy to use, used worldwide, with results positive for the acquisition and

assimilation of math content and geometry by students. The descriptions given in this

research will be presented.

Keywords: GeoGebra, Mathematics, Information and communication technologies,

Education.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 – Interface do GeoGebra ....................................................................... 42

Figura 2 – Os pontos A e B podem ser arrastados ao longo da curva,

mostrando que o declive é constante para a função linear e varia

para a função exponencial ................................................................ 44

Figura 3 – Barra de entrada, chave da função 2x .............................................. 46

Figura 4 – Axiomas .............................................................................................. 57

Figura 5 – Construção do triângulo retângulo .................................................. 58

Figura 6 – Exercício ............................................................................................. 58

Figura 7 – Diferença entre triângulos isósceles e equilátero inscrito numa

circunferência...................... ............................................................... 59

Figura 8 – Desenvolvimento de uma análise ..................................................... 62

Figura 9 – Triângulo ............................................................................................. 67

Figura 10 – Exemplo de resposta de um aluno sobre a questão 2 do

diagnóstico inicial .............................................................................. 68

Figura 11 – Exemplo de resposta incorreta da questão 5 do diagnóstico

inicial...................... ............................................................................. 73

Figura 12 – Aluno 1 – Caderno atividades propostas (arquivo do professor) .. 78

Figura 13 – Aluno 1 – Caderno atividades propostas (arquivo do professor).. 78








Quadro 1 – Matemática e suas Tecnologias – Ensino Médio ............................ 53

Quadro 2 – Exemplos de respostas incorretas da questão 1 do diagnóstico

inicial ................................................................................................... 64

Quadro 3 – Exemplos de respostas erradas da questão 3 do diagnóstico

inicial...................... ............................................................................. 69

Quadro 4 – Exemplos de respostas erradas da questão 4 do diagnóstico

inicial ................................................................................................... 70

Quadro 5 – Exemplos de respostas dos alunos referente à questão 1 no

segundo diagnóstico realizado em outubro/2014 ........................... 84









Quadro 10 – Matemática e suas Tecnologias – Eixos Alcançados ..................... 98

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 1 – Quantidade de alunos das duas turmas do Ensino Fundamental

que participaram do diagnóstico inicial ........................................... 64

Gráfico 2 – Quantidade de alunos que acertaram a resposta da questão 1 do


Gráfico 3 – Quantidade de alunos que acertaram a resposta da questão 2 do

diagnóstico inicial...................... ........................................................ 68

Gráfico 4 – Quantidade de alunos que conseguiram prosseguir com os

cálculos na questão 4 do diagnóstico inicial, apesar de terem

errado as respostas do exercício ..................................................... 72

Gráfico 5 – Formas como os alunos utilizam o computador em sua rotina

diária .................................................................................................... 75

Gráfico 6 – Quantidade de alunos que já utilizaram o computador em aulas de

matemática ......................................................................................... 76

Gráfico 7 – Quantidade de alunos que concordaram com o uso do

computador para a aprendizagem de conteúdos matemáticos ..... 77

Gráfico 8 – Quantidade de alunos que realizaram o diagnóstico novamente.. 83

Gráfico 9 – Resultados do desempenho dos alunos na questão 1 na segunda

avaliação diagnóstica realizada em outubro/2014 .......................... 85









Gráfico 14 – Evolução do desempenho dos alunos entre o diagnóstico

realizado em agosto/2014 e o diagnóstico realizado em

outubro/2014 ....................................................................................... 95

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Quantidade de alunos das duas turmas do Ensino Fundamental

que participaram do diagnóstico inicial ........................................... 63

Tabela 2 – Quantidade de alunos que acertaram a resposta da questão 1 do

diagnóstico inicial................................................ .............................. 66

Tabela 3 – Quantidade de alunos que acertaram a resposta da questão 2 do


Tabela 4 – Quantidade de alunos que conseguiram prosseguir com os

cálculos na questão 4 do diagnóstico inicial, apesar de terem

errado as respostas do exercício ..................................................... 71

Tabela 5 – Formas como os alunos utilizam o computador em sua rotina

diária .................................................................................................... 74

Tabela 6 – Quantidade de alunos que já utilizaram o computador em aulas de

matemática ......................................................................................... 75

Tabela 7 – Quantidade de alunos que concordaram com o uso do

computador para a aprendizagem de conteúdos matemáticos ..... 76

Tabela 8 – Quantidade de alunos que realizaram o diagnóstico novamente.. 83

Tabela 9 – Resultados do desempenho dos alunos na questão 1 na segunda










Tabela 14 – Frequência absoluta e percentual coluna, seguido da estatística

qui-quadrado, p-valor exato e poder do teste, para cada uma das

05 questões, nos testes inicial e final .............................................. 102

Tabela 15 – Frequência absoluta e percentual coluna, seguido da estatística

qui-quadrado, p-valor exato e poder do teste, para o total de acertos e erros

entre todas as 05 questões, nos testes inicial e final .......................................... 103

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

AVA Ambiente Virtual de Aprendizagem

INAF Indicador de Alfabetismo Funcional

INEP Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio

Teixeira

IPM Instituto Paulo Montenegro

MEC Ministério da Educação

MM Modelagem Matemática

ONGAE Organização Não-Governamental Ação Educativa

PCNEM Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio

PCNs Parâmetros Curriculares Nacionais

SP São Paulo

TBC Treinamento Baseado em Computador

THCV Teoria Histórico Cultural de Vygotsky

TICs Tecnologias da informação e comunicação

UNESCO Organização das Nações Unidas para Educação, Ciência e

Cultura

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ............................................................................................... 14

1.1 Trajetória acadêmica e profissional do pesquisador ................................ 16

1.2 Trajetória da pesquisa .................................................................................. 17

1.2.1 Justificativa ................................................................................................... 17

1.2.2 Problema de pesquisa .................................................................................. 18

1.2.3 Objetivos ....................................................................................................... 19

1.2.4 Organização do documento escrito ............................................................ 19

2 APRENDIZAGEM E ESCOLARIZAÇÃO NA PERSPECTIVA HISTÓRICO-

CULTURAL .................................................................................................... 21

2.1 Funções psicológicas superiores ............................................................... 25

2.2 Zona de desenvolvimento proximal e zona de desenvolvimento REAL .. 27

2.3 Mediação ....................................................................................................... 28

2.3.1 Conceito de mediação .................................................................................. 28

2.3.2 Mediação e ensino por Computador/Software ........................................... 29

3 O ENSINO DA MATEMÁTICA E GEOMETRIA NO ENSINO MÉDIO ........... 31

4 TECNOLOGIAS DA INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO NA EDUCAÇÃO –

GEOGEBRA ................................................................................................... 36

4.1 O uso do geoGebra no ensino de conceitos de geometria ....................... 39

4.2 Conceitos geométricos ensinados com o geoGebra ................................ 40

4.3 Modelagem matemática e geoGebra ........................................................... 46

5 METODOLOGIA DA PESQUISA ................................................................... 49

5.1 Tipo de pesquisa .......................................................................................... 49

5.2 Cenário / local da pesquisa .......................................................................... 50

5.3 Participantes ................................................................................................. 51

5.4 Procedimentos .............................................................................................. 51

5.5 Desenvolvimento da pesquisa .................................................................... 55

6 ANÁLISE DE CONTEÚDOS .......................................................................... 60

6.1 Resultados do diagnóstico inicial ............................................................... 62

6.2 Resultados da pesquisa perfil/hábitos ....................................................... 74

6.3 Resultados da efetividade do procedimento educacional após a revisão

dos conteúdos matemáticos – nas aulas computacionais com o

geoGebra ....................................................................................................... 77

6.4 Resultados estatísticos ................................................................................ 99

6.4.1 Teste de exato de qui-quadrado para Independência ............................... 99

6.4.2 Resultados .................................................................................................... 101

7 CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................... 104

REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 108

APÊNDICES ............................................................................................................. 111

14

1 INTRODUÇÃO

Este estudo tem como objetivo refletir sobre a realidade e as tendências do

ensino de Matemática e examinar a importância de tecnologia em sala de aula, em

especial para o ensino de Geometria, considerando o software GeoGebra.

As ideias que revestem o ensino da matemática de uma aura nebulosa,

influenciando e ajudando a sedimentar as dificuldades encontradas por muitos

alunos já foram amplamente documentadas e discutidas, levando a diferentes

proposições nos modos de conceber e ensinar matemática. Assim, a produção dos

educadores matemáticos, desenvolvida em vários países, principalmente a partir de

1980, apresenta avanços e contribuições importantes relacionadas com recursos e

técnicas que podem auxiliar o professor em sua atividade pedagógica.

Propiciar ambientes de estudo em que a participação do professor seja de

mediação nas atividades, e onde os alunos possam exercer a liberdade para

externar seus pensamentos, participando na construção do conhecimento, é o que

realmente se espera das novas tendências da educação brasileira.

Dessa maneira, desenvolver propostas que ajudem os alunos a serem ativos

no processo de ensino-aprendizagem, motivando-os à produção de conhecimento e

transformando-os em cidadãos atuantes, constitui-se em um grande desafio para as

escolas, nos dias atuais. Entre as tendências no ensino da disciplina ora em foco, a

Modelagem Matemática (MM) tem se mostrado adequada no que se refere a

atender às necessidades impostas pela sociedade, pois oferece mais uma

alternativa para o professor organizar o contexto de ensino.

Entretanto, vale ressaltar que para a utilização da Modelagem Matemática em

sala de aula, deve-se ter clareza do que se entende por Modelagem, pois isso traz

implicações quanto aos objetivos que se quer alcançar e a forma como as atividades

serão conduzidas pelo professor.

Por intermédio da Modelagem Matemática, como uma possível forma de se

ensinar Geometria, o aluno se torna mais consciente da utilidade dessa disciplina

para resolver e analisar problemas, momento em que pode aplicar ideias; fase de

15

extrema importância para a construção do saber, pois trata-se de observação,

estudo de fenômenos e aplicabilidade de conceitos, dando maior significado ao

conhecimento adquirido. A organização de um contexto de ensino não se limita a

uma proposição sobre a forma de ensinar um determinado conteúdo e a concepção

que o professor tenha do próprio conteúdo. Implica também na compreensão que o

docente tenha produzido sobre o papel que exerce a escola e a aprendizagem, no

desenvolvimento do aluno.

Ao tratar do desenvolvimento das funções psíquicas superiores, Vygotsky

(1996) destaca dois grupos de fenômenos heterogêneos, à primeira vista, mas que

na realidade constituem-se nas duas linhas, indissoluvelmente unidas no

desenvolvimento das formas superiores de comportamento: em primeiro lugar os

processos que permitem dominar os meios externos do desenvolvimento cultural e

do pensamento (linguagem, escrita, cálculo, desenho); o segundo que consiste no

desenvolvimento das funções psíquicas superiores (CALEJON, 2012).

Como as funções psicológicas superiores consideram o papel dos conteúdos

da cultura assim como as experiências obtidas pelo sujeito no decorrer da vida,

levando-se em conta que esse sujeito se relaciona com o mundo, a cultura, os

afazeres, entre outros, por meio de instrumentos físicos e simbólicos. Cabe ainda

considerar que nas últimas décadas o uso de tecnologias vem ganhando um espaço

surpreendente no cotidiano das pessoas, principalmente entre os jovens que se

utilizam dela com frequência e com grande facilidade, sendo estes conteúdos de

cultura produzidos pelos homens. Assim, estes recursos podem ser importantes na

organização de contextos de ensino que, a partir das concepções de modelagem

matemática e das proposições de desenvolvimento humano apresentadas pelo autor

mencionado, possam valer-se dos recursos da tecnologia para organizar o ensino de

conteúdos da geometria.

Logo, ao se observar com maior ênfase a Modelagem Matemática agregada à

tecnologia, notar-se-á que esta pode ser compreendida a partir das proposições de

Vygotsky, ainda que o tempo transcorrido entre as duas explicações seja bastante

extenso. Este estudo analisa uma proposta de ensino organizada nestas bases,

buscando contribuir com professores e estudantes no sentido de organizar situações

de ensino capazes de contribuir para o crescimento intelectual dos estudantes e

16

estudiosos de Matemática. A motivação para tal estudo está na atividade do próprio

pesquisador enquanto docente e nas dificuldades que pode observar nos alunos em

relação à matemática e particularmente geometria.

1.1 Trajetória acadêmica e profissional do pesquisador

O pesquisador é professor da rede estadual de São Paulo, onde é bolsista da

Secretaria de Educação de São Paulo, financiadora desta pesquisa, tendo iniciado

profissionalmente na adolescência no Curso de Aprendizagem Industrial (CAI) área

de Mecânica Geral, no SENAI (Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial) um

curso profissionalizante. Paralelamente o pesquisador cursava o ensino médio no

período noturno. Identificou-se com o conteúdo de cálculo nas aulas de P.T.O

(Planejamento Técnico Operacional), aulas que davam suporte teórico para

desenvolver o trabalho na oficina. Portanto, desde cedo estas atividades

demonstravam a importância do cálculo para a prática. Posteriormente, o

pesquisador especializou-se em outros cursos na área, como Projetista de

Ferramentas e Dispositivos, encontrando familiaridade com formas e construções

geométricas, dedicou-se na graduação em Matemática, curso iniciado no ano 1995,

na Faculdade Integradas de Guarulhos (F.I.G) e formou-se em 1999, começando a

construir uma carreira na docência.

Começou a lecionar em 1999 na rede estadual de São Paulo, logo em meio

as mudanças da L.D.B.E.N1, que ocorrera em 1996, ainda em plena transformações

no quadro da educação, o pesquisador foi se adaptando as mudanças promovidas,

com o passar dos anos lecionou em colégios particulares e públicos, lecionando

Matemática para Ensino Fundamental, Médio e Ensino de Jovens e Adultos (EJA).

O pesquisador continuou se desenvolvendo, em 2011, especializou-se em

Matemática, por meio de uma nova plataforma de ensino a distância (E.a.D), com

ambiente virtual de ensino (A.V.A), oferecido pela Secretaria de Educação do Estado

de São Paulo, o “REDEFOR”, com parceria pela UNICAMP (Universidade de

Campinas). No ano seguinte, em 2012, especializou-se em Gestão Escolar pela

1 Nova Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional foi promulgada no ano de 1.996 uma

mudança marcante onde programava o ensino por ciclos e não mais anual, os alunos seriam “aprovados ou retidos” somente no final de um ciclo de ensino, ficou determinado 6° e 9° Anos como final de ciclo para esta avaliação.

17

UNICID (Universidade Cidade de São Paulo), preparando-se para novas etapas na

carreira profissional.

Iniciou em 2013 o que vem sendo, seu maior desafio na educação, concluir o

Mestrado Profissionalizante em Ensino de Ciências e Matemática.

Toda esta trajetória permitiu a apropriação de conhecimentos no campo da

Matemática e a percepção dos desafios que os docentes enfrentam no esforço de

ensinar estes conteúdos, particularmente os da Geometria, constituindo a motivação

para organizar a pesquisa do mestrado.

Como demonstra Tardif (2014, p.54) os saberes “[...] não provém das

instituições de formação nem dos currículos. [...] não se encontram apenas

sistematizados em doutrinas ou teorias”. O professor diante deste saber é ao mesmo

tempo produtor e sujeito. Os saberes da experiência como diz Tardif (2014, p.55)

“[...] fornecem aos professores certezas relativas a seu contexto de trabalho na

escola de modo a facilitar sua integração”.

Assim o processo de escolarização do pesquisador e sua atuação como

docente oferecem elementos sistematizados na discrição da trajetória da pesquisa

que justificam e conduzem à elaboração do problema da pesquisa.

1.2 Trajetória da pesquisa

1.2.1 Justificativa

Os estudantes do Ensino Médio, em alguns casos, podem apresentar

dificuldades em assimilar os conteúdos de Geometria, pois não conseguem traçar

parâmetros ou conexões cabíveis entre os conceitos apresentados. Além disso, não

conseguem de imediato relacionar a aplicabilidade desses conteúdos em profissões

futuras. Essas assertivas são baseadas na própria experiência de aprendizagem do

pesquisador, tanto como aluno do Ensino Médio, como atualmente ao exercer a

função de professor.

A partir da experiência do pesquisador como professor de conceitos

Geométricos no ensino médio, foi possível observar que o problema na sua época

18

de estudante não era um fato isolado. Esse mesmo problema estava presente em

outras escolas, com outros alunos e professores, ou seja, em uma escala ampla que

diz respeito ao método de ensino empregado e não exatamente aos conteúdos

apresentados aos alunos.

Algum tempo depois, a partir da experiência profissional como professor, foi

possível observar que a qualidade da aprendizagem dos conceitos da Geometria era

insatisfatória e as dificuldades nesta área aumentavam entre os estudantes,

trazendo com isso, desinteresse, dispersão e até repulsa em relação as aulas.

Com o passar dos anos e um olhar mais atento e experiente em sala de aula,

esse problema recorrente aguçou o interesse do pesquisador que busca alternativa

para sua compreensão. Assim, em busca de novos recursos que pudessem servir

de ferramentas facilitadoras ao ensino-aprendizagem de Geometria, o pesquisador

deparou-se com um recurso especial: o computador e seus meandros tecnológicos.

Neste contexto, a elaboração deste estudo contribui para ampliar o acervo

sobre o uso do computador e das tecnologias da informação e comunicação (TICs)

no ensino da Geometria, focalizando o uso do GeoGebra.

1.2.2 Problema de pesquisa

A pergunta norteadora deste estudo é a seguinte: Como a tecnologia da

informação e comunicação contribui na produção de contextos de ensino dos

conteúdos da Geometria no Ensino Médio?

As tecnologias da informação e comunicação (TICs) podem ser empregadas

na sala de aula com o intuito de facilitar o processo de ensino-aprendizagem. O

ensino dos conteúdos Geométricos, assim como o ensino de outros conteúdos para

alunos do ensino médio atualmente podem contar com um recurso tecnológico que é

o GeoGebra.

19

O GeoGebra é um software de multiplataforma2 no campo da matemática que

auxilia os professores, permitindo que eles criem aulas mais motivadoras para seus

alunos, facilitando o processo de ensino de conceitos da Geometria.

Destas constatações decorre o problema investigado: Qual a contribuição e

efetividade de um contexto de ensino criado com o apoio do software GeoGebra

para a aprendizagem de conceitos da Geometria no ensino médio.

1.2.3 Objetivos

Objetivo geral

O objetivo deste estudo é analisar como o uso do GeoGebra permite

organizar um contexto de ensino de conceitos da Geometria, para as turmas do

ensino médio, em uma unidade de ensino da Rede Pública Estadual de São Paulo,

de modo a ampliar a qualidade da aprendizagem dos alunos.

Objetivos específicos

Analisar os resultados obtidos nas avaliações após o ensino dos

conceitos da Geometria orientado pelos princípios da Modelagem

Matemática (M.M), com o uso do GeoGebra.

Pontuar dificuldades e facilidades no que diz respeito ao emprego da

M.M, em conjunto com as ferramentas tecnológicas, como o software

GeoGebra, para o ensino dos conteúdos Geométricos.

1.2.4 Organização do documento escrito

Para facilitar a compreensão deste estudo, o texto foi dividido em seis

capítulos e as considerações finais.

O primeiro capítulo aborda a trajetória da pesquisa, com ênfase na

justificativa, problema de pesquisa e objetivos (geral e específico).

2 Software GeoGebra funciona nos sistemas operacionais Windows, Mac OS X e Linux para

Desktops, em Tablets e Smartphones necessita do Android app.

20

O segundo capítulo contém elementos teóricos e conceituais sobre a

aprendizagem e a escolarização sistematizados pela perspectiva histórico-cultural.

O terceiro capítulo trata do ensino da matemática e geometria no ensino

médio.

O quarto capítulo apresenta considerações sobre as tecnologias da

informação e comunicação (TICs) na educação, com ênfase no uso do GeoGebra.

O quinto capítulo descreve a metodologia de pesquisa, contendo uma

demonstração dos procedimentos adotados.

Por fim, o sexto capítulo apresenta as análises de dados, com os resultados

do diagnóstico inicial, os resultados da pesquisa de perfil/hábitos dos alunos e os

resultados da efetividade do procedimento educacional adotado.

21

2 APRENDIZAGEM E ESCOLARIZAÇÃO NA PERSPECTIVA

HISTÓRICO-CULTURAL

O foco principal de Lev Semynovitch Vygotsky3, (1896 – 1934), seria

compreender a influência da linguagem e comunicação no desenvolvimento

cognitivo do sujeito, levando em consideração o contexto histórico que vivia, a

Revolução Socialista Russa. Nessa época havia uma enorme luta de classes. Diante

disto era extremamente importante que o sujeito aprendesse para que pudesse

compreender e analisar o contexto histórico no qual estava inserido.

A Psicologia Soviética, serviu como local da explicação de Vygotsky sobre o

desenvolvimento humano, no período de 1924 a 1934, trazia, desde suas primeiras

tentativas para formular uma nova concepção sobre a natureza do psiquismo e seus

determinantes e até o presente, traços distintivos que a diferencia marcadamente de

outros sistemas científicos (SHUARE,1990). Não é possível, nos limites deste estudo

discutir todas as implicações destas tentativas de formular novas direções, para a

psicologia do século XX. Assim, a pesquisa proposta centra-se na discussão das

relações entre o desenvolvimento e a aprendizagem, apoiadas nas explicações que

Vygotsky construiu para a emergência das funções psíquicas superiores e do

psiquismo humano, baseado nas ideias do materialismo histórico dialético.

Segundo Rosa (2014), uma primeira constatação de Vygotsky é que o

pensamento e a linguagem, que para um adulto parecem entidades idênticas, são,

na verdade, dois processos independentes, que convergem para uma mesma

trajetória em um dado momento. A base a partir da qual Vygotsky parte para chegar

a essa conclusão são estudos com primatas superiores, realizados por vários

antropólogos, em que ele resume os resultados obtidos da seguinte forma:

O pensamento e a fala têm raízes genéticas diferentes.

3 Lev Semynovitch “Vygotsky” destacou-se por realizar vários trabalhos em várias áreas. Realizou

pesquisas em linguística, artes, filosofia, psicologia e antropologia. Nas suas pesquisas destacou as importâncias da linguagem no desenvolvimento cognitivo de um indivíduo. [...] indivíduos contextualizados fazem parte de um processo histórico. [...] a história da sociedade e o desenvolvimento humano caminham juntos.” (LAKOMY, 2003, p. 38).

22

As duas funções se desenvolvem ao longo de trajetórias diferentes e

independentes.

Não há qualquer relação clara e constante entre elas.

Os antropoides apresentam um intelecto um tanto parecido com o do

homem, em certos aspectos (o uso embrionário de instrumentos), e

uma linguagem bastante semelhante à do homem, em aspectos

totalmente diferentes (o aspecto fonético da sua fala, sua função de

descarga emocional, o início de uma função social).

A estreita correspondência entre o pensamento e a fala, características

do homem, não existe nos antropoides.

Na filogenia do pensamento e da fala, pode-se distinguir claramente

uma fase pré-linguística no desenvolvimento do pensamento e uma

fase pré-intelectual no desenvolvimento da fala.

Após essas constatações, Vygotsky reproduziu o mesmo tipo de

experimentos com crianças e os resultados foram semelhantes. As duas funções da

fala (social e de comunicação de estados emocionais) já podem ser observadas na

criança no primeiro ano (fase afetiva – conativa). Por volta dos dois anos, o

pensamento e a fala unem-se, dando origem a uma nova forma de comportamento.

Um resumo dos resultados é o que segue (ROSA, 2014):

No seu desenvolvimento ontogenético, o pensamento e a fala têm

raízes diferentes.

É possível estabelecer, com certeza, no desenvolvimento da fala da

criança, um estágio pré-intelectual; e no desenvolvimento de seu

pensamento, um estágio pré-linguístico.

A uma certa altura, essas linhas se encontram; consequentemente, o

pensamento torna-se verbal e a fala racional.

Segundo Vygotsky (1996), o desenvolvimento da fala comporta quatro

estágios:

23

Natural ou primitivo: este é o estágio característico da fala pré-

intelectual.

Psicologia ingênua (correspondendo a uma física ingênua): esta é a

fase da inteligência prática (relacionada à manipulação de objetos).

Neste período ocorre a manipulação dos termos: porque, quando, se,

mas, etc., porém esse domínio é operacional, não havendo ainda uma

apropriação das funções lógicas (causais, temporais, condicionais,

etc.) ligadas a estes termos.

Operações externas: esta fase corresponde à fase egocêntrica

piagetiana.

Crescimento interior: nesta fase ocorre um deslocamento para dentro

da fala, com o aparecimento, na sua etapa final, da fala interior. Esta

tem uma função completamente diferente da fala externa: a sua função

é planificadora. Este é o ponto em que aparece o pensamento verbal,

que é considerado um processo sócio-histórico por excelência.

Logo, a relação entre fala e a ação do sujeito muda ao longo do

desenvolvimento cognitivo.

A internalização progressiva da fala permite que a criança adquira a função de auto-regulação ou função planejadora, sendo, a partir daí, capaz de controlar seu comportamento e seu pensamento, percepção, atenção, memória e capacidade de solucionar problemas, mesmo quando estes não estão no seu campo visual (LAKOMY, 2003, p.41)

De acordo com Vygotsky (1996), o pensamento ocorre por intermédio das

relações que a criança estabelece com a cultura, em sua ação no mundo real. Essa

ação é mediada por signos ou "instrumentos psicológicos":

Os instrumentos psicológicos são elaborações artificiais; são sociais por natureza e não são orgânicos ou individuais; são destinados ao controle dos processos do próprio comportamento ou do comportamento dos outros, assim como a técnica é destinada ao controle dos processos da natureza. Aqui estão alguns exemplos de instrumentos psicológicos: a linguagem, as diversas formas de contagem e de cálculo, os símbolos algébricos, as obras de arte, a escrita, os esquemas, os diagramas, os mapas, todos os signos possíveis (VYGOTSKY, 1996, p. 38).

24

Vygotsky pressupõe uma relação de interdependência entre aprendizagem e

desenvolvimento. De acordo com suas concepções um ensino eficaz deve proceder

ao desenvolvimento, isto é, atuar nos processos em formação para que a criança

consiga atingir resultados além de seu desenvolvimento real.

Desta forma, a aprendizagem cria a zona de desenvolvimento potencial

porque aciona processos internos de desenvolvimento quando a criança interage

com um parceiro mais experiente. Daí a importância da realização de trabalhos em

grupo.

Outro fator importante a ser considerado refere-se à linguagem. Segundo

Vygotsky (1996), o desenvolvimento do pensamento é determinado pela linguagem,

isto é, pelos instrumentos linguísticos do pensamento e pela experiência

sociocultural da criança. O crescimento intelectual da criança depende de seu

domínio dos meios sociais do pensamento, isto é, da linguagem.

Produto e expressão da cultura, a linguagem configura-se, na teoria de

Vygotsky, como um lugar de constituição e expressão dos modos de vida

culturalmente elaborados. A linguagem forneceria, pois, os conceitos e as formas de

organização do real. Em suma, um modo de compreender o mundo, se

compreender diante e a partir dele e de se relacionar com ele.

Vygotsky explicita claramente sua abordagem unificadora entre as dimensões

cognitiva e afetiva do funcionamento psicológico. Afirma ele que:

A forma de pensar, que junto com o sistema de conceito nos foi imposta pelo

meio que nos rodeia, inclui também nossos sentimentos. Não sentimos

simplesmente: o sentimento é percebido por nós sob a forma de ciúme, cólera,

ultraje, ofensa. Se dissermos que desprezamos alguém, o fato de nomear os

sentimentos faz com que estes variem, já que mantêm certa relação com nossos

pensamentos (VYGOTSKY, 1996).

Para Vygotsky (1996), a aprendizagem pode ser compreendida como um

processo de interação social, seja na forma representada pelo processo de

interiorização propiciado pela "Zona de Desenvolvimento Proximal" ou através do

25

construtivismo social, que reconhece na mente do indivíduo a capacidade de

construir modelos da realidade mediante comunicação e negociação.

A fundamentação teórica de uma prática se explica ao mesmo tempo nela,

não como algo acabado, mas como um movimento dinâmico em que ambas, prática

e teoria se fazem e se refazem. Aprender é estar ativamente envolvido na

interpretação e produção dos dados culturais da sociedade. Portanto, o aprendizado

da leitura e da escrita não pode ser feito como algo paralelo à realidade concreta do

educando. Mais do que escrever e ler frases, ele necessita perceber a necessidade

de outro aprendizado: o de "escrever" a sua vida, o de "ler" a sua realidade. Isto só é

possível se assumir o papel de sujeito da história, para fazendo-a, por ela ser feito e

refeito. Certamente, é por isso que, nesta perspectiva crítica, se faça tão importante

desenvolver, tanto nos educandos como nos educadores, um pensar melhor sobre a

realidade. Mas isto só se consegue mediante o respeito à unidade entre teoria e

prática.

2.1 Funções psicológicas superiores

Vygotsky enfatiza as origens sociais da linguagem e do pensamento, o papel

da cultura como parte da natureza de cada pessoa e as funções psicológicas como

produtos da atividade cerebral. De acordo com a THCV, o plano psicológico não é

inato e não vem pronto do ambiente.

Cunha e Magalhães (2011, p. 23) explicaram que a THCV é baseada em três

pilares básicos:

• As funções psicológicas têm um suporte biológico, pois são produtos

da atividade cerebral;

• O funcionamento psicológico é baseado nas relações sociais entre o

indivíduo e o mundo exterior, as quais desenvolvem-se num processo

histórico; e

• A relação home-mundo é uma relação mediada por sistemas

simbólicos.

26

A THCV implica uma abordagem qualitativa, interdisciplinar e orientada para

processos de desenvolvimento do ser humanos (CUNHA; MAGALHÃES, 2011).

De acordo com Stoltz (2010, p. 173),

Para Vygotsky, a atividade como ser humano é definida pelo uso de signos como mediadores. Os signos são instrumentos psicológicos usados para ter controle sobre a realidade. A sua forma mais elementar é a de marca externa que auxilia o homem em tarefas que exigem memória ou atenção para a regulação das atividades psicológicas. Em sua forma mais evoluída, os signos podem ser entendidos como representações da realidade e podem se referir a elementos ausentes do espaço e tempo presentes. Eles podem ser reunidos em sistemas simbólicos, dos quais a linguagem racional é o mais importante. Por inverter a ação ou organizar o real a partir de conceitos, esses mediadores permitem a generalização, induzem ao pensamento generalizante e levam o sujeito a ter consciência de seus processos mentais.

As funções psicológicas superiores podem ser compreendidas como

mecanismos psicológicos sofisticados e complexos que abrangem o controle

consciente do comportamento, a ação intencional e a liberdade do sujeito em

relação às características do momento e do espaço presentes.

Oliveira (2005) explicou que de acordo com o pensamento de Vygotsky, uma

atividade superior é diferente dos mecanismos elementares, como: ações reflexas,

reações automatizadas ou processos de associação simples entre eventos. A

tomada de decisões baseada em novas informações é característica de um

comportamento psicológico superior, voluntário e intencional.

Ramos e Franklin (2010) afirmaram que as funções psicológicas superiores

surgem primeiro nas relações sociais e a partir de processos interpsicológicos ou

intermentais – regulada e controlada pela interação com outras pessoas. Apenas

quando se tornam individuais é que podem ser realizadas no plano intrapsicológico

ou intramental – regulada e controlada pelo sujeito. Esse processo é denominado

por Vygotsky como a lei da dupla formação das funções psicológicas superiores:

primeiro entre as pessoas e depois no sujeito.

Vygotsky (1994, p. 353 apud RAMOS; FRANKLIN, 2010, p. 174), descreve os

processos psicológicos superiores da seguinte forma:

27

As funções psicológicas superiores da criança, seus mais altos atributos que são específicos dos humanos, originalmente manifestam-se como formas de comportamento coletivo das crianças, como uma forma de cooperação com outras pessoas, e é somente depois disso que elas se tornam funções individuais da própria criança.

Portanto, é partir das relações da vida social que o sujeito forma seu histórico

de consciência e cultura, desenvolvendo suas funções psicológicas superiores,

partindo da coletividade para o individual.

2.2 Zona de desenvolvimento proximal e zona de desenvolvimento real

A capacidade de uma criança de realizar atividades de forma independente,

Vygotsky denominou nível de desenvolvimento real ou zona de desenvolvimento real

(ZDR), que pode ser dividido em duas etapas: a) àquelas conquistadas pela criança;

b) aos resultados de processos de desenvolvimento já completos (OLIVEIRA, 2005).

Além do ZDR, também deve ser considerado o nível de desenvolvimento

potencial ou zona de desenvolvimento proximal (ZDP), que consiste na capacidade

da criança em desempenhar tarefas com a ajuda de adultos ou companheiros

capazes (RAMOS; FRANKLIN, 2010).

Segundo Stoltz (2010, p. 177), o conceito de ZDP:

Representa a distância entre o nível de desenvolvimento potencial ou que o sujeito consegue realizar com a ajuda de outros e o nível de desenvolvimento real ou o que ele pode realizar sozinho e que já possui em termos de desenvolvimento. Cada pessoa possui muitas ZDPs e elas dizem respeito às diferentes áreas de seu desenvolvimento. [...] ao atuar na ZDP do aluno objetiva-se que se torne real o que nele é potencial. A atuação na ZDP justifica-se, sobretudo, se se levar em consideração o pressuposto vygotskyano de que o desenvolvimento segue a aprendizagem. A criança adquire primeiro hábitos e habilidades em uma área específica antes de aprender a aplicá-los consciente e voluntariamente.

Vygotsky usou o conceito de ZDP como uma ferramenta metafórica para

explicar o potencial de aprendizado das crianças na colaboração com adultos ou

pares para a resolução de problemas propostos. Ele acreditava que o

desenvolvimento intelectual de uma criança deveria ser examinado durante as

atividades de resolução de problemas.

Segundo Lynch (2010), ao usar a ZDP como uma metáfora, Vygotsky buscou

eliminar a relação unidirecional que ele mesmo criou entre o organismo e o ambiente

28

em seu processo de internalização. A ZDP é o lugar onde as atividades

interpessoais e intrapessoais se misturam e se fundem e não mais existem

entidades diferentes. Para Vygotsky, a consciência individual deveria ser

compreendida como uma forma de realização partilhada entre o indivíduo e seus

ambientes, incluindo a interação com outras pessoas.

Vygotsky usou a ZDP como uma ferramenta para a elaboração metafórica

com as interações entre indivíduos e seus ambientes, incluindo objetos e pessoas. A

interação com o outro é fundamental para o desenvolvimento e aprendizagem por

parte da criança.

2.3 Mediação

2.3.1 Conceito de mediação

Lynch (2010) explicou que Vygotsky introduziu a mediação como um conceito

para explicar o processo semiótico que permite o desenvolvimento da consciência

humana a partir da interação com artefatos, ferramentas e outros, em um ambiente

social e resulta em um indivíduo que encontra novas significados em seu mundo.

Vygotsky assumiu que a relação entre os artefatos, ferramentas e outras

interações sociais não eram constantes e poderiam ser modificadas ao longo do

tempo. As interações em que os indivíduos se envolvem permitem oportunidades

para a ação mediada que contribuem para a formação social de sua consciência.

Nessa interação, os indivíduos não são participantes passivos que esperam o

ambiente para instigar, ou seja, trata-se de um processo de tomada de sentidos, que

ocorre através das interações. Portanto, os indivíduos atribuem sentido ao mundo,

enquanto eles modificam e criam atividades que provocam transformações de

artefatos, ferramentas e pessoas no seu ambiente (LYNCH, 2010).

A mediação ou aprendizagem mediada constitui o processo de intervenção de

um elemento intermediário numa relação que deixa de ser direta e passa a ser

mediada.

29

A mediação é um conceito fundamental para a compreensão da THCV.

Segundo Cunha e Magalhães (2011, p. 23),

Em termos genéricos, é o processo de intervenção de um elemento intermediário numa relação que deixa de ser direta e passa a ser mediada. A mediação é algo característico da espécie humana; trata-se de uma interação que tem atuado desde há muito na história da humanidade, como um ato de transmissão de cultura, de valores, de atitudes, de intenções, efetuado pelas gerações mais velhas, visando proporcionar uma interação intencional transgeracional e pedagógica em que o ser humano desenvolveu aquisições extrabiológicas.

Portanto, um processo simples de estímulo-resposta é substituído por um ato

complexo, a mediação, onde o impulso direto para uma reação é inibido e

incorporado a um estímulo auxiliar que facilita a complementação da operação por

meios diretos.

2.3.2 Mediação e ensino por computador/software

Para que a aprendizagem mediada possa ser compreendida é preciso

abordar os processos cognitivos básicos que são adquiridos pelo indivíduo de duas

maneiras (CUNHA; MAGALHAES, 2011, p. 30),

Através da aprendizagem por exposição direta aos estímulos (fontes de informação), isto é, do contato direto com os acontecimentos e situações;

Por meio de experiências de aprendizagem mediada, ou seja, o processo de aprendizagem que ocorre quando uma outra pessoa serve como um intérprete do estimulo ambiental, tornando-o relevante e significativo para a criança.

No caso do uso de computadores e/ou softwares para a aprendizagem, o

professor realiza o papel de mediador da aprendizagem, sendo um intérprete do

estimulo ambiental, facilitando a compreensão por parte do aluno.

Uma forma desencadeante para influenciar a aprendizagem por parte do

aluno é a utilização de artefatos tecnológicos de mediação por parte do professor,

tais como: tecnologia, folhetos, folhas de cálculos, vídeos, etc. Segundo Shabani et

al. (2010), a tecnologia tem provado servir como uma fonte segura para uma

mudança positiva no desenvolvimento profissional do professor. A internet,

computadores e softwares conhecidos como artefatos tecnológicos podem mediar a

30

aprendizagem do professor e, facilitar o seu processo como mediador da

aprendizagem com seus alunos.

Segundo Cunha e Magalhães (2011), na aprendizagem mediada os estímulos

são “filtrados, modulados e mediados, intercedidos, repetidos, reforçados,

eliminados, não existem por si só, estão consoantes com a necessidade introduzida

e regulada pelo mediador” (p.31).

Portanto, a aprendizagem mediada por computador pode ser compreendida

como um processo que auxilia o aluno a aprender novos conceitos a partir da

interação com o computador, com o suporte da interação com o professor.

31

3 O ENSINO DA MATEMÁTICA E GEOMETRIA NO ENSINO MÉDIO

Não é de hoje que se faz grande a preocupação com a qualidade de ensino

ofertada nas escolas, principalmente as da Rede Pública Estadual de São Paulo.

Atualmente, a cultura e a prática de ensino não são e não estão diretamente

proporcionais à formação do aluno como sujeito, mas cientificamente; o que inibe a

criatividade e não incentiva as descobertas e a praticidade, tão essenciais ao mundo

moderno.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), para o Ensino Médio (Parte

III), no que diz respeito à disciplina de Matemática, defendem:

Um Ensino Médio concebido para a universalização da Educação Básica precisa desenvolver o saber matemático, científico e tecnológico como condição de cidadania e não como prerrogativa de especialistas. O aprendizado não deve ser centrado na interação individual de alunos com materiais instrucionais, nem se resumir à exposição de alunos ao discurso professoral, mas se realizar pela participação ativa de cada um e do coletivo educacional numa prática de elaboração cultural (PCNs – ENSINO MÉDIO, PARTE – III, p. 7).

As políticas curriculares nacionais no Ensino Médio, como observa-se nos PCNEM – MEC, no v2, que trata das ciências da natureza, matemática e suas tecnologias defendem que: “Ao final do ensino médio espera-se que os alunos saibam usar a matemática para resolver problemas práticos do quotidiano; para modelar fenômenos em outras áreas do conhecimento [...]” (BRASIL, 2012).

Todavia, a realidade denota um cenário com resultados distantes daqueles

sugeridos nos documentos mencionados, pois ao que tudo indica até o presente

momento, não se observam grandes mudanças nas formas de ensinar os conteúdos

de matemática e, em particular de geometria.

Valente (1999) se posiciona no sentido de que o ensino de Matemática tem

sido alvo de atenções, destacando-se entre as outras disciplinas escolares pela

preocupação dos professores, pais, alunos e da sociedade, com o rendimento dos

estudantes apontados nos exames nacionais. Dessa forma, tem-se buscado

medidas com o intuito de melhorar as relações entre o que se trabalha em sala de

aula com o que a sociedade necessita no que diz respeito à formação das pessoas

atualmente.

32

O Instituto Paulo Montenegro (IPM) e a Organização Não-Governamental

Ação Educativa (ONGAE), criadores e implementadores do Indicador de

Analfabetismo Funcional (INAF), apontam que, de 2001 a 2011, houve um salto de

61% para 73% da população alfabetizada funcionalmente no Brasil. No entanto,

apenas um em cada quatro brasileiros domina plenamente as habilidades de leitura,

escrita e matemática; dados estes que são bastante preocupantes, pois embora haja

avanços no nível de escolaridade da população, tais progressos não têm

correspondido a ganhos equivalentes no domínio das habilidades citadas. Além

disso, a proporção dos que atingem um nível pleno de conhecimento manteve-se

praticamente inalterada, em torno de 25%.

O que nos permite afirmar, ao analisar resultados apresentados por

estudantes brasileiros e da Finlândia nos exames do Pisa de 2000 a 2012. Os

domínios de conhecimentos enfatizados em cada ano eram diferentes, observando-

se a seguinte sequência: leitura em 2000, matemática em 2003, ciências em 2006,

leitura em 2009 e matemática em 2012. Tomando como foco os resultados em

matemática observamos que enquanto a classificação dos alunos da Finlândia varia

do primeiro ao décimo lugar, o Brasil ocupa a posição 42 em 2000, caindo para a

posição 58 em 2012.

No ano de 2009, em um trabalho de pesquisa, o IPM colheu dados

estatísticos da população brasileira sobre a mensuração do alfabetismo através do

INAF e, com base nos resultados divulgados, deu um sinal de alerta à dimensão e

ao efeito nas instituições nacionais, esclarecendo que apenas 41% dos alunos das

séries finais, chegavam a um nível Pleno de alfabetização.

Conforme INAF, o alfabetismo possui quatro níveis: a) Analfabetismo:

pessoas que não realizam tarefas básicas como ler palavras e frases, mesmo que

identifiquem números. b) Alfabetismo rudimentar: pessoas que identificam

informações claras em textos curtos, sabe ler e escrever os números e consegue

utilizar o dinheiro para realizar pequenos pagamentos. c) Alfabetismo básico:

pessoas que leem e compreendem textos de média extensão e números (milhões),

além disso conseguem resolver problemas com operações simples. d) Alfabetismo

pleno: pessoas que conseguem ler e interpretar textos, comparar e avaliar

33

informações, distinguir fato de opinião e resolver problemas com percentuais e

cálculos de área.

O IPM apoia-se nesse norteador para desenvolver o seu programa: o INAF.

Desse modo, baseado em estatísticas, o referido instituto concluiu que somente no

nível Pleno é que os alunos avaliados em matemática têm habilidade de proporção e

cálculos de área, sendo que em cada 10 estudantes do ensino médio, apenas 4

desenvolvem conceitos de Geometria na sua formação. Dados estes bem

aproximados aos apresentados pelo INEP.

Outro fator a ser considerado na problemática proposta, decorre dos altos

índices de abandono, faltas e descontentamento com as escolas em âmbito

nacional; o que se subentende, por hipótese, que o ensino-aprendizagem está

abaixo do esperado e, portanto, pouco atrativo para que os estudantes permaneçam

nas salas de aula. De acordo com dados do Instituto Brasileiro de Geografia e

Estatística (IBGE, 2015), no Brasil, em 2007, a evasão escolar considerando todas

as séries do Ensino Médio totalizou 13,2%, em 2010 o total de evasão foi de 10,3%.

Além disso, se faz mister ponderar a falta de instrumentos metodológicos para

cumprir uma parte específica da Lei 9.394/96 - LDBEN, onde se prevê, nos seus

Artigos 35 e 36, Seção IV, da parte que trata Do Ensino Médio:

Art. 35, Incisos:

III - o aprimoramento do educando como pessoa humana, incluindo a formação ética e o desenvolvimento da autonomia intelectual e do pensamento crítico;

IV - a compreensão dos fundamentos científico-tecnológicos dos processos produtivos, relacionando a teoria com a prática, no ensino de cada disciplina.

Art. 36, Incisos:

I - destacará a educação tecnológica básica, a compreensão do significado da ciência, das letras e das artes; o processo histórico de transformação da sociedade e da cultura; a língua portuguesa como instrumento de comunicação, acesso ao conhecimento e exercício da cidadania;

II- adotará metodologias de ensino e de avaliação que estimulem a iniciativa dos estudantes;

O que se observa comumente, atualmente, é que grande parte das crianças

que frequentam a escola, em especial os adolescentes integrantes do Ensino Médio,

34

encontram-se, por diversas razões, desmotivados aos estudos de forma

generalizada. Se, por um lado a tecnologia se apresenta como algo inovador e

estimulante, por outro essa facilidade exacerbada tem sido empregada

equivocadamente de maneira errônea e fútil entre eles, justamente porque não se

tem proporcionado um direcionamento correto ao uso dela, com o intuito de

alavancar ações cognitivas capazes de fazer com que esses adolescentes voltem

novamente ao que importa nessa fase de suas vidas: o estudo, a criatividade, a

descoberta e o gosto em aprender e apreender mais e mais, para que se tornem

cidadãos conscientes, inovadores e úteis à construção de uma sociedade melhor

(NASCIMENTO, 2000).

Conforme Nascimento (2000), a maioria das dificuldades que se observam

nos alunos na aprendizagem de Geometria está relacionada com a maneira de

organizarem o raciocínio e construírem argumentações lógicas. Por isso, é preciso

mudar o ensino da geometria, inserir nele a tecnologia do presente e mostrar como

os conceitos e ideias dessa disciplina se aplicam em diversas áreas de

conhecimento e no cotidiano dos seres humanos. Além disso, os alunos deveriam

experimentar a Geometria ativamente, e uma maneira de lhes proporcionar essa

experiência é por meio da informática.

As possíveis dificuldades dos alunos na aprendizagem da matemática e

geometria poderiam ser minimizadas com o uso de recursos tecnológicos, como o

GEOGEBRA, por exemplo.

Nesse sentido, a modelagem matemática associada a softwares voltados à

disciplina, assentados na concepção de Vygotsky sobre as relações entre a

aprendizagem e o desenvolvimento permite organizar uma proposta de ensino que

pode fazer uma diferença significativa no que consiste em melhorar o desempenho

do aprendizado dos participantes da investigação.

Ao tratar da aprendizagem contextualizada da matemática destaca-se a

transmissão dos conteúdos e processos da matemática segundo relevância social; o

ensino das noções de matemática por meio da resolução de problemas e

modelagem; o ensino de noções matemáticas por meio da tecnologia da informação

e comunicação; o ensino das noções de matemática levando em conta a experiência

35

cotidiana do sujeito. Assim, trazemos a matemática do dia a dia, ou seja, da vida

real, que relacionamos a matemática formal; criando-se a necessidade de explorar a

geometria e seus elementos, pois é um campo que certamente irá relacionar-se com

as mais diversas situações cotidianas, ou pelo menos o início delas.

Assim sendo, se a MM pode ser um caminho e a teoria vygotskyana uma

direção, um software didático apresenta-se como uma preciosa ferramenta que

coloca em prática a possibilidade de explorar novas argumentações, vindas deles –

os alunos. E a partir desse momento explorar as resoluções algébricas e

geométricas, formatos arquitetônicos de uma determinada região, ir a campo e

explorar medidas, descobrir a natureza primeiramente, para só após realizar os

cálculos e construções geométricas, referenciar no passado, trazer a curiosidade à

tona, realizar pesquisas, revisar livros didáticos entre várias possibilidades.

36

4 TECNOLOGIAS DA INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO NA

EDUCAÇÃO – GEOGEBRA

Os recursos tecnológicos ultrapassam limites de tempo e espaço, oferecendo

flexibilidade para as pessoas que, em circunstâncias diversas, utilizem-se das

vantagens que ela proporciona, gerando uma fonte de estímulo educativo.

Vários são os recursos de mídia e Tecnologias da Informação e Comunicação

(TICs) que podem ser utilizados dentro da sala de aula, ou fora dela, para que se

possa promover um bom ambiente de aprendizagem.

Entre as muitas contribuições possíveis, a informática, utilizada como um

meio e não como um fim, pode contribuir para difusão de conhecimentos,

possibilitando às pessoas construírem seu próprio aprendizado de acordo com seu

ritmo e interesse.

O Treinamento Baseado em Computador (TBC) vem acontecendo já há bastante tempo, desde que os microcomputadores se tornaram populares no meio empresarial. Em geral adotam-se modelos de instrução programada, o que representa uma certa limitação, considerando-se o aspecto amplo da aprendizagem. Por outro lado, o TBC propicia situações de treinamento em que a aprendizagem estruturada é recomendável. Embora tenha um planejamento demorado, uma vez disponibilizado ao público, este tipo de treinamento permite ao aluno utilizá-lo dentro de suas possibilidades de tempo e de necessidade (PRETTI, 2005, p. 44).

A informática é um recurso muito utilizado nas diversas áreas da Educação.

Atualmente, muitos professores passaram a utilizar a informática para favorecer o

ensino por meio de jogos de computador educativos.

Outro recurso que tem sido muito utilizado na educação é a multimídia, pois

facilita a visualização e o entendimento dos alunos. A multimídia é qualquer

combinação de texto, arte gráfica, som animação e vídeo transferido pelo

computador. Quando se permite que o usuário controle quando e quais elementos

serão transmitidos, isto se chama multimídia interativa (FILATRO, 2011). O

treinamento em multimídia faz parte do dia-a-dia das empresas pelo mundo,

podendo ser facilmente adaptado e utilizado no ambiente educacional.

37

A Internet é uma grande rede que integra computadores espalhados por todo

o mundo, possibilitando a troca de informações. Sua implementação sugere

mudanças educacionais, gerando uma necessidade de ajustes no currículo formal,

repensando o modelo tradicional de avaliação. Nela, surgem novas maneiras de

interagir, que podem gerar diferentes trocas onde estão presentes valores sociais,

relações de poder, status e outros aspectos sociais (EBOLI, 2002).

Além disso, as instituições de ensino podem utilizar a Intranet4 para

compartilhar informações dentro da instituição, permitindo aos alunos navegarem no

sistema de informações. Os sites da Intranet Web são dotados de dispositivos que

bloqueiam o acesso de usuários externos à instituição.

O uso das TICs permite que diversas experiências sejam realizadas em

ambiente virtual. Desse modo, o aluno pode errar e identificar seu erro; e iniciar o

processo de construção do conhecimento novamente.

Ambiente virtual de aprendizagem se apresenta como um contexto de

aprendizagem diferenciado do tradicional, no qual temos o espaço físico

estabelecido e um tempo estipulado que determinam as interações e caracterizam a

sala de aula. No processo de virtualização desse ambiente de aprendizagem são

exercidas diferentes formas de relação de tempo e de espaço que implicam

profundas mudanças no processo de aprendizagem (WAQUIL; BEHAR, 2009).

O AVA pode disponibilizar ferramentas síncrona e assíncrona para

interação/comunicação entre os sujeitos. Essas ferramentas são uma característica

importante desses ambientes, pois com elas todas as intervenções dos alunos e dos

professores ficam registradas, sendo possível acessá-las a qualquer momento

(WAQUIL; BEHAR, 2009).

Desse modo, fica facilitado o acompanhamento, por parte do professor, do

processo de aprendizagem do aluno. Para o aluno, esse registro também é

importante, tanto que ele passa revisar as intervenções feitas pelo professor e pelos

colegas como para que ele acompanhe o seu próprio processo de aprendizagem.

4 A Intranet é uma rede de computadores semelhante à Internet, porém é de uso exclusivo de uma

determinada organização, ou seja, somente os computadores de uma determinada instituição ou empresa podem acessá-la.

38

Uma proposta de mapeamento de conteúdo em um AVA teve origem a partir

de estudos envolvendo as dimensões constituintes do sujeito no AVA, sendo

dimensões cognitiva, tecnológica, social e afetiva (BASSANI; BEHAR, 2009).

Sobre o uso do computador em sala de aula, uma vez que essas dimensões

são complementares, e que cada interação entre o sujeito e o AVA com o meio

produz diferentes pontos de contato, em determinados momentos uma dimensão

pode estar mais em evidência do que as outras. Assim, podem ser definidos quatro

eixos conceituais para a análise das interações em ambientes virtuais de

aprendizagem, baseando-se no conteúdo das mensagens (BASSANI; BEHAR,

2009, p. 95):

Epistemológico: envolve tudo que faz referência e/ou caracteriza o

processo de construção do pensamento sobre o objeto/pesquisa de

estudo, neste caso, o conteúdo/matéria do curso, objeto de

aprendizagem, material instrucional, entre outros;

Tecnológico: envolve tudo que faz referência ao gerenciamento dos

aspectos tecnológicos, em relação a questões essencialmente

relacionadas à tecnologia, como funcionamento/regras/lógica do

sistema computacional (neste caso, o AVA) e demais softwares de

apoio, e o conhecimento necessário para a comunicação/interação e

pertinência nesses ambientes (aspectos operacionais e funcionais);

Social: tudo que envolve o processo de construção em uma

coletividade seja por meio de relações individuais ou interindividuais;

Afetivo: caracteriza-se pela expressão de emoções, como desejos,

emoções e sentimentos.

Segundo Bassani e Behar (2009), é importante observar que a avaliação da

aprendizagem no plano interindividual centra-se nas trocas entre os sujeitos

participantes de um curso em um AVA. Dessa forma, o mapeamento das trocas

interindividuais busca refletir a dinâmica das interações que se constituem entre os

sujeitos e o AVA.

39

A tecnologia está se tornando amplamente influente na educação matemática.

As práticas e crenças sobre o ensino tradicional da matemática estão enfrentando

desafios propostos pelo uso de novas ferramentas tecnológicas como o GeoGebra,

que é uma ferramenta livre, de interface amigável que tem sido cada vez mais

utilizada por professores como recurso didático no ensino da Matemática.

Pires e Athias (2011) demonstram os desafios atuais para formar professores

de matemática em cursos de licenciatura à distância. Os autores destacam as

dificuldades encontradas por professores e coordenadores para desenvolver suas

disciplinas e formar docentes nos cursos de licenciatura em matemática, na

modalidade EaD. Entre as dificuldades mencionadas aparecem: a falta de

conhecimento anterior dos conceitos matemáticos.

Para compreender de forma mais adequada a questão proposta põe esta

pesquisa mostra-se importante compreender o que é o GeoGebra e como ele

funciona.

4.1 O uso do geoGebra no ensino de conceitos de geometria

O GeoGebra (http://www.geogebra.org) é um software com suporte livre

(código aberto) da comunidade matemática, em um ambiente de aprendizagem que

integra múltiplas representações dinâmicas, vários domínios da matemática, e uma

rica variedade de utilidades computacionais para MM e simulações (BU; SCHOEN,

2011).

Inventado no início de 2000, foi efetivamente difundido em 2006, o GeoGebra

visa implementar, por intermédio de uma interface amigável, as conclusões

baseadas em pesquisas relacionadas à compreensão matemática e proficiência,

bem como as suas implicações para o ensino-aprendizagem da matemática, uma

vez que: uma pessoa matematicamente competente pode coordenar várias

representações de uma ideia matemática de forma dinâmica e, ainda, ter uma visão

sobre a estrutura matemática em foco (BU; SCHOEN, 2011).

Em virtude de sua interface amigável e sua acessibilidade, o GeoGebra tem

atraído dezenas de milhares de visitantes de todo o mundo, incluindo matemáticos e

professores (BU; SCHOEN, 2011).

40

Enquanto isso, nas áreas de ciências de aprendizagem e de design

instrucional, os pesquisadores têm destacado as implicações teóricas e práticas dos

modelos mentais e conceituais na complexidade da aprendizagem humana

(SPECTOR et al., 2011).

Um framework centrado no modelo de aprendizagem e instrução não apenas

auxilia a entender os processos cognitivos da aquisição de conceitos matemáticos,

como as dificuldades de aprendizagem, possibilitando uma MM que facilite a

aprendizagem significativa e a compreensão. Assim, o projeto GeoGebra constitui

um esforço concentrado entre a tecnologia e a teoria, invenções individuais e

participação coletiva, as experiências locais e globais (SPECTOR et al., 2011).

Segundo Bu e Schoen (2011), o GeoGebra criou um efeito positivo, centrado

em torno da integração da tecnologia no ensino-aprendizagem da Matemática, que

se estendeu a partir de um projeto de design de pós-graduação na Universidade de

Salzburg, por intermédio de fronteiras internacionais para todas as regiões do

mundo, atingindo desde estudantes universitários e seus professores até crianças

em áreas rurais. Para a maioria dos interessados, o uso do GeoGebra e as

atividades curriculares baseadas nesse software, considerado um fenômeno

popular, é motivada distintamente pelo compromisso profissional dos professores e

sua curiosidade matemática e didática.

4.2 Conceitos geométricos ensinados com o geoGebra

Nos últimos anos, muitos estudos têm sido realizados sobre o uso das

tecnologias da informação e comunicação para o ensino da Matemática, sobretudo,

no âmbito da Geometria.

Segundo Gravina (2004, p. 109),

Os recursos informáticos hoje disponíveis – os ambientes de geometria dinâmica – estimulam a busca de estratégias pedagógicas favoráveis à construção de conhecimento em geometria, para além do que vem fazendo a escola. Entender as suas potencialidades torna-se um objeto de investigação: o que acontece com os processos cognitivos quando o sujeito em interação com a máquina é possibilitada a concretização de seus construtos e ações mentais e quando, com realimentação imediata, ele é levado a novas reelaborações e construções mentais?

41

Pesquisas atestam o potencial desses ambientes, sobretudo no aspecto concernente à construção de conceitos em geometria: construtos individuais, até então deformados por imagens prototípicas, são reconstruídos através de ‘desenhos em movimento’, colocando em sintonia os significados individuais e os significados inseridos na geometria enquanto teoria matemática (LABORDE, 1998 apud GRAVINA, 2004, p. 109).

Também tem-se registro de que alunos sentem-se mais motivados a buscar explicações para conjeturas formuladas em função de suas manipulações sobre os objetos geométricos dinâmicos e das evidências que daí emergem (KEYTON, 1997 apud GRAVINA, 2004, p. 109).

Em seu estudo Gravina (2004) apresentou uma engenharia didática que faz

uso da tecnologia informática – os ambientes de geometria dinâmica – e que atesta

os positivos progressos dos alunos quanto à compreensão da necessidade e do

significado de uma demonstração, bem como progressos na produção de suas

primeiras demonstrações.

Gravina (2004) concluiu que no delineamento da sequência de atividades em

ambientes de geometria dinâmica, parte da engenharia didática implementada,

possibilitou acompanhar o progresso dos alunos, com certeza resultado do papel

que lhes foi delegado na construção do conhecimento, bem preconizado na teoria

piagetiana. Foi dada responsabilidade aos alunos sobre as

ações/formulações/validações, deles se exigindo ativos funcionamentos cognitivos.

No início, esta exigência colidiu com os hábitos adquiridos ao longo dos anos de

vida escolar. Mas não precisou muito para que os alunos, via desenhos em

movimento, se colocassem neste papel ativo e, conforme avançava a

experimentação, mais e mais se concentraram na busca de razões que explicassem

suas constatações empíricas e mostraram autonomia na produção de

demonstrações.

Segundo Gravina (2004), as ferramentas informáticas estão, cada vez mais,

presentes nas práticas educativas. Quanto aos ambientes de geometria dinâmica,

frequente é a sua subutilização, mercê de propostas que simplesmente refletem a

transposição acrítica das aulas tradicionais ao novo ambiente: os alunos recebem

instruções do professor e procedem, passo à passo, na realização de uma

construção geométrica sem bem entender o propósito da atividade. Sob novas

solicitações, usam os recursos de mediação do software para validar,

42

empiricamente, propriedades pretendidas pelo professor. E assim termina a

atividade. Raramente se apresentam situações-problema que provoquem a

exploração, a investigação, a argumentação dedutiva.

Deste modo, com os ambientes de geometria dinâmica tem-se a possibilidade

de realizações didáticas que podem incorporar vivências de atitudes similares aos

dos matemáticos nos seus processos de criação, valorizando a construção do

conhecimento como processo, valorizando as atitudes investigadas e o gosto e o

prazer da descoberta (GRAVINA, 2004).

O GeoGebra oferece a oportunidade de explorar uma grande variedade de

conceitos algébricos e geométricos por meio da prática da manipulação de gráficos,

tabelas, fórmulas e formas. É também uma maneira conveniente e fácil de gerar

gráficos e imagens para apresentações, perguntas de testes, e problemas

(GARBER, 2010).

A tela inicial do GeoGebra contém uma barra de menus, barra de

ferramentas, janela de visualização, janela de álgebra, campo de entrada para

fórmulas, conforme demonstra a figura 1.

Figura 1 - Interface do GeoGebra

Fonte: GeoGebra, 2015.

43

A caixa de ferramentas do GeoGebra contém os menus para a utilização do

software. Para acessar esses menus basta clicar em cada item e escolher a opção

desejada. Tem ferramentas de seleção; de ponto; de reta; de retas específicas; de

polígonos; de curvas; de cônicas; de medidas; de translação; extras; de visualização

e de exibição. A interface do GeoGebra é intuitiva e facilita a acessibilidade tanto

para professores como para os alunos.

A utilização do GeoGebra de modo individual pode reforçar o entendimento

dos conceitos geométricos e de álgebra pelos alunos. Os menus5 são indicados por

ícones e descrições de categorias.

Em particular, o GeoGebra permite aos alunos a representação gráfica de

uma variedade de equações lineares e não-lineares. Os alunos podem inserir várias

equações gráficas e adicionar pontos e retas tangentes a qualquer curva (figura 2).

Além disso, o software tem um indicador de inclinação embutido que exibe o

aumento em relação ao percurso e que pode ser utilizado num ponto tangencial. Os

alunos podem usar um mouse para arrastar o ponto (e inclinação correspondente)

em qualquer lugar na curva, permitindo uma observação das mudanças de

inclinação com os deslizamentos de pontos ao longo da curva. Esta característica

pode ser utilizada para exibir o declive para alterar a curva exponencial, bem como o

declive constante para a curva linear (GARBER, 2010).

5 No site http://www.geogebra.org/ na parte inferior da tela (segunda coluna) clicar em “manual”, tem

toda demonstração dos botões e suas funcionalidades.

http://www.geogebra.org/

44

Figura 2 - Os pontos A e B podem ser arrastados ao longo da curva, mostrando que o declive é constante para a função linear e varia para a função

exponencial.

Fonte: Garber, 2010, p.227.

Segundo Garber (2010), usando o GeoGebra os alunos geram curvas

individuais por entrarem pela primeira vez com a função apropriada no Campo de

Entrada de Fórmulas (figura 3).

45

Figura 3 - Barra de entrada, chave da função 2x

Fonte: Garber, 2010, p. 227.

O GeoGebra oferece várias funcionalidades e o software suporta e

exploração tanto de conceitos algébricos como geométricos. O site do GeoGebra

tem um fórum de usuários com assistência técnica útil e perguntas e respostas aos

usuários. A Web também contém uma série de applets6 desenvolvidos pelos

usuários que graficamente demonstram várias ideias para utilizar os conceitos

algébricos e geométricos.

O GeoGebra é utilizado principalmente para apresentar e demonstrar

conceitos fundamentais de matemática, mas, também para o desenvolvimento de

gráficos para recursos visuais e materiais para uso dos alunos. Aprender a usar

esse software é simples, além dele ser gratuito e necessitar apenas de requisitos

mínimos do computador, de modo que os alunos podem facilmente fazer o download

de uma cópia para o uso individual.

6 Applets são aplicativos que requer pouco recurso para serem executados por qualquer sistema

operacional, embora tenha interatividade limitada a vantagem é de não necessitar nenhum dowload por parte do usuário, fica mais prático, não requer nenhum conhecimento avançado de computação.

46

4.3 Modelagem matemática e geoGebra

O ensino e aprendizagem da matemática constituem um processo altamente

complexo, pois sob a superfície de símbolos e regras encontra-se um ambiente rico

de ideias matemáticas que permeiam uma série de contextos e vários domínios de

conhecimento. A complexidade cognitiva da matemática, geralmente, reflete a

natureza humana do processo de ensino-aprendizagem da matemática que pode ser

caracterizado por múltiplas dimensões (BU et al., 2011):

Em primeiro lugar, a aprendizagem da matemática é ao mesmo tempo

um processo social, onde diversas formas de experiências individuais

interagem com os elementos normativos de um campo de milhares de

anos de história individual.

Em segundo lugar, porque praticamente não há ideias matemáticas

isoladas. A partir de numeração de cálculo, cada conceito matemático

está ligado a outros conceitos e vice-versa.

Em terceiro lugar, essas interconexões entre ideias matemáticas são

frequentemente solidificadas por usar múltiplas representações e as

conexões entre as várias representações.

Com os avanços das tecnologias da informação e comunicação, as práticas

pedagógicas tradicionais no ensino da matemática também evoluíram, trazendo para

o ambiente escolar o uso dessas TICs como ferramentas de ensino-aprendizagem

dos conteúdos de matemática e geometria.

Com uma crescente variedade de novas ferramentas disponíveis para o

ensino-aprendizagem da matemática, os alunos e professores são confrontados com

novas opções no que diz respeito ao uso de ferramentas e o redesenho das

atividades de aprendizagem. Todos esses aspectos da educação matemática

contribuem para a sua crescente complexidade.

Essa complexidade do ensino-aprendizagem matemática se presta a uma

variedade de quadros teóricos e novas tecnologias de aprendizagem interativa,

47

como é o caso do GeoGebra, que utiliza recursos de TICs para o ensino dos

conceitos de geometria.

Entre as várias tecnologias de MM, o GeoGebra ganhou crescente

reconhecimento internacional desde o seu lançamento oficial, em 2006, por causa

de sua condição de fonte aberta, os desenvolvedores internacionais, e uma

crescente base de usuários como: matemáticos, professores de matemática e

professores em geral. Como uma invenção do século XXI, o GeoGebra é um dos

vários instrumentos de TICs voltadas para o processo de ensino-aprendizagem dos

conceitos matemáticos, que estão redefinindo a infraestrutura de representação da

educação matemática e proporcionando a comunidade mundial um acesso fácil, livre

para importantes ferramentas e processos matemáticos (BU et al., 2011).

Visto da perspectiva teórica da modelagem matemática, o GeoGebra oferece

uma variedade de recursos digitais que permitem que os alunos compreendam e

saibam solucionar situações problemáticas realistas, além de poderem inventar e

experimentar com modelos pessoalmente significativos usando múltiplas

representações e ferramentas de modelagem, e ainda podem formular ideais

matemáticas cada vez mais abstratas.

O GeoGebra é de código aberto e, portanto, está disponível gratuitamente

para a comunidade internacional; além de ser ideal para a web, servindo de apoio

tanto para alunos como professores para a reflexão individual e interações sociais

baseadas na web. Esta integração de princípios de MM e recursos tecnológicos

presentes no GeoGebra é fundamental para a compreensão dos conceitos de

geometria pelos alunos.

O GeoGebra fornece uma ponte intelectual que conecta uma teoria específica

de domínio da educação matemática e MM, e um quadro geral de design

instrucional é fundamentado em teorias pedagógicas contemporâneas. Na busca de

um referencial teórico que facilite a aprendizagem da matemática, o GeoGebra

incorpora desenvolvimentos recentes no uso de TICs, em particular a teoria

48

Instrumental Genesis7, que lança luz sobre o relacionamento mútuo na definição

entre o uso da tecnologia e a evolução dos alunos no raciocínio matemático.

Uma vez que o GeoGebra é efetivamente integrado nas aulas de geometria, o

uso de materiais didáticos que facilitem a introdução bem-sucedida do software para

os alunos é um ponto importante. Por um lado, estes materiais são destinados a

apoiar os professores que querem investir o tempo e esforço de ensinar seus alunos

na utilização do GeoGebra. Ao permitir a utilização independente do software pelos

alunos, eles podem se beneficiar de seu potencial como uma ferramenta geral que

facilita a aprendizagem e compreensão da matemática em muitas maneiras

diferentes.

Por outro lado, a preparação de materiais didáticos introdutórios irá facilitar o

primeiro contato dos alunos com o GeoGebra por meio da implementação das

experiências individuais, bem como o conhecimento sobre os problemas e

obstáculos mais comuns que surgem durante o processo de introdução e utilização

do software.

Embora o uso independente do GeoGebra e uma boa visão de seus

potenciais e possibilidades de aplicação deva ser uma meta de longo prazo para os

alunos e professores, uma abordagem diferente precisa ser implementada, a fim de

garantir a usabilidade e uma fácil integração deste material didático no ambiente

tradicional de ensino-aprendizagem. Em vez de introduzir os alunos para todas as

ferramentas e funcionalidade do software de uma única vez, sugere-se que os

professores apresentem pequenas porções de informação técnica que podem ser

incorporadas em tópicos de conteúdos matemáticos e que são apropriadas para os

alunos em determinados níveis de ensino. Os materiais didáticos devem se

concentrar no conteúdo matemático em vez do uso de software, o que torna mais

fácil para os professores justificar a quantidade de tempo gasto ensinando o uso do

GeoGebra, além de auxiliar a introduzir o software como uma ferramenta versátil

para lidar com diferentes temas matemáticos, sobretudo, na aprendizagem dos

conceitos de geometria.

7 Transformação do artefato (computador) em um instrumento para o sujeito.

49

5 METODOLOGIA DA PESQUISA

5.1 Tipo de pesquisa

Este estudo tem seu início em uma revisão de literatura sobre o tema e,

também, em uma pesquisa de campo, realizada com duas turmas do primeiro ano

do ensino médio. Trata-se de uma pesquisa descritiva com dados quantitativos e

qualitativos.

As pesquisas descritivas têm como objetivo primordial a descrição das características de determinada população ou fenômenos ou, então, o estabelecimento de relações entre variáveis. São inúmeros os estudos que podem ser classificados sob este título e uma de suas características mais significativas está na utilização de técnicas padronizadas de coletas de dados, tais como o questionário e a observação sistemática (Gil, 2002, p. 42)

São pesquisas descritivas aquelas que visam descobrir a existência de

associações entre variáveis, como, por exemplo, as pesquisas de nível de

rendimento escolar (GIL, 2002).

Em geral a pesquisa descritiva usa como técnica de coleta de dados a

observação, os questionários, as entrevistas e os levantamentos (também conhecida

como pesquisa de campo).

Segundo Trivinos (1987), a abordagem qualitativa trabalha os dados

buscando seu significado, tendo como base a percepção do fenômeno.

“[...] uma espécie de representatividade do grupo maior dos seus sujeitos que participarão no estudo. Porém, não é, em geral, a preocupação dela a quantificação da amostragem. E, ao invés da aleatoriedade, decide intencionalmente, considerando uma série de condições (sujeitos que sejam essenciais, segundo o ponto de vista do investigador, para o esclarecimento do assunto em foco; facilidade para encontrar com as pessoas; tempo do indivíduo para as entrevistas, etc.” (TRIVINOS, 1987, p. 132).

Por outro lado, conforme Gil (2002), o método estatístico passa a se

caracterizar por razoável grau de precisão, o que o torna bastante aceito por parte

dos pesquisadores com preocupações de ordem quantitativa.

50

Neste aspecto amplo, a pesquisa concentrou-se na abordagem qualitativa e

quantitativa, ambas, não faz sentido desprezar nenhuma das duas.

5.2 Cenário / local da pesquisa

A pesquisa contou com a participação de duas turmas de alunos do primeiro

ano do ensino médio de uma escola da rede pública do estado de São Paulo,

denominada “E.E. Maurício Nazar”. Esta instituição situa-se na extrema periferia do

município de Guarulhos, Estado de São Paulo (SP), Brasil, mais precisamente no

Parque Santos Dumont, onde as características da comunidade são de baixa renda

e pais com pouca escolarização.

Índices de baixos rendimentos escolares chamam atenção dos docentes para

promover ações de melhorias constantemente.

O bairro em si, possui um histórico de violência e de pouca opção cultural ou

lazer, este é o meio onde localiza-se a escola. Os alunos são moradores da região,

convivem socialmente com limitações tecnológicas, isto é, a internet – por exemplo –

não acessa de qualquer parte do bairro, pois o sinal é ruim. Há falta de estrutura no

saneamento básico no bairro que passa por falta de abastecimento de água

constantemente. Já a maioria dos estudantes caminha a pé por cerca de 30 minutos

para chegar ao local de estudo. Enfim, o contexto supracitado reflete um breve

panorama do quadro social da região.

Todas as aulas se passaram em dois locais distintos dentro da escola, o

primeiro é denominado “Acessa São Paulo” um espaço público para a comunidade,

por ser tratar de um ambiente interno da escola, fica constantemente8 sendo usado

por alunos da escola.

Neste ambiente o acesso conta com apenas 11 computadores em

funcionamento, todas as atividades realizaram-se em duplas ou trios, devido a

quantidade de equipamento. Neste momento eles têm a possibilidade de modelar

8 Quem não for aluno, também pode usufruir do espaço, porem tem que ser agendado com a direção

da escola.

51

virtualmente9, mexer com o equipamento e alterar o objeto de estudo. Os alunos

ficam mais motivados quando ensinados por um processo de ensino diferente da

usual, manipulando na tela do computador os objetos geométricos, o mais

importante, os alunos tem espaço para seus experimentos, um momento

fundamental no processo de aprendizagem, segundo Gravina (2001).

Em um segundo momento utilizou também outra sala, no ambiente interno e

restrito da escola a alunos, denominado sala de multi mídias, local esse que temos

um telão de lona para projeção e Data Show, no mais, carteiras de estudantes e

ambiente normal de sala de aula, neste segundo momento eles não manuseiam o

equipamento, eles recebem aulas teóricas dos conteúdos. Adianto que é nesse

momento que o professor percebe o desenvolvimento da autonomia do aprendizado,

a postura do aluno diante as situações problemas, um eixo cognitivo fundamental do

desenvolver.

5.3 Participantes

A amostra foi formada por acessibilidade – alunos para os quais o

pesquisador leciona. Foram duas turmas do primeiro ano do ensino médio da

referida instituição escolar, totalizando 55 alunos do ensino médio.

Ambas as turmas podem ser consideradas homogêneas, pois vem realizando

atividades escolares juntos a mais de um ano, obtêm as mesmas médias no

desenvolvimento escolar, possuem também uma média de idade similar e todos são

moradores da região.

5.4 Procedimentos

Os questionários – diagnóstico e perfil – foram aplicados em dias diferentes,

sendo assim, é importante observar que o questionário de diagnóstico (apêndice A)

foi aplicado apenas para 42 alunos que compareceram à aula no dia, os demais (13)

faltaram no dia da aplicação do questionário. Na aplicação do questionário de perfil

(apêndice B) todos os 55 alunos estavam presentes e responderam à pesquisa.

9 Modelar virtualmente, trata-se de um termo para construir elementos geométricos passíveis para

sua interpretação e validação do seu pensamento, usado pelo autor.

52

O questionário de diagnóstico (apêndice A) foi aplicado aos alunos com o

objetivo de identificar os conhecimentos iniciais dos alunos sobre os conceitos de

Geometria.

O questionário de perfil (apêndice B) serviu para a identificação do perfil dos

alunos em relação aos seus hábitos de estudos e utilização das tecnologias da

informação e comunicação, bem como a facilidade de compreensão de conteúdos

de matemática durante o ensino fundamental.

Após a realização dos dois primeiros questionários (apêndice A – diagnóstico

inicial e apêndice B – pesquisa de perfil/hábitos) realizados no mês de agosto/2014,

com 42 e 55 alunos do 1º ano do Ensino Médio, respectivamente, ao longo do mês

de Setembro/2014 realiza-se uma revisão dos conteúdos matemáticos com

abordagem:

Relações métricas no triângulo retângulo.

Utilizando o software GeoGebra nas aulas computacionais. Ao final da

primeira quinzena de outubro/2014 foi realizada uma avaliação da efetividade do

procedimento educacional utilizando novamente o questionário de diagnóstico

(apêndice A), para avaliar a evolução dos alunos na aprendizagem dos conceitos

apresentados com o uso do software GeoGebra. Nesta avaliação da efetividade do

processo educacional utilizando o GeoGebra, participaram apenas 46 alunos, os

demais (9) não compareceram à aula para realizar a prova.

Os PCNs são referência para elaboração das atividades, contemplar novas

abordagens e metodologia é a busca deste trabalho.

Para isso buscou-se a matriz10 de referência para competências e habilidades

que se incentiva no ENEM (BRASIL, Ministério da Educação, 2009), conforme o

quadro 1, abaixo.

10

Integra no site da INEP “Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira” http://download.inep.gov.br/educacao_basica/enem/downloads/2012/matriz_referencia_enem.pdf

53

Quadro 1- Matemática e suas Tecnologias – Ensino Médio

Fonte: adaptado pelo pesquisador, Enem (BRASIL, Ministério da Educação, 2009).

Competência M1 - Construir significados e ampliar os já existentes para os números naturais, inteiros, racionais e reais.

H1 - Utilizar no contexto social diferentes significados e representações dos números - naturais, inteiros, racionais ou reais.

H2 - Utilizar algum procedimentos de cálculos com números naturais, inteiros, racionais ou reais.

H3 - Resolver situação - problema com números naturais, inteiros racionais ou reais envolvendo significados da adição, subtração, multiplicação ou divisão, potenciação ou radiciação.

H4 - Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.

H5- Avaliar propostas de intervenção na realidade, utilizando conhecimentos numéricos.

Competência M2 - Utilizar o conhecimento geométrico para realizar leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.

H6 – Interpretar a localização a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.

H7 - Identificar características de polígonos ou sólidos (prismas, pirâmides, cilindros).

H8 - Resolver situação - problema que envolva noções geométricas (ângulo, paralelismo, perpendicularismo).

H9 - Utilizar o teorema de Pitágoras ou semelhança de triângulos na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.

Competência M3 - Constuir e ampliar noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.

H10 - Estabelecer relações entre diferentes unidades de medida (comprimento, massa, capacidade, área, volume).

H11 - Aplicar a noção de escalas na leitura de plantas ou mapas.

H12 - Resolver situação - problema que envolva medidas de arcos ou ângulos (grau e radiano), utilizando teorema de Pitágoras ou razão trigonométrica (seno de um ângulo agudo).

H13 - Avaliar a razoabilidade do resultado de uma medição, na construção de um argumento consistente.

H14 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando cálculos de perímetros, área de superfícies planas ou volume de blocos retângulares.

Competência M5 - Construir e ampliar noções de variação dde grandeza para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.

H15 - Identificar leis matemáticas que expressem a relação de dependência entre duas grandezas.

H16 - Resolver situação - problema envolvendo a variação de grandezas direta ou inversamente proporcionais.

H17 - Utilizar informações expressas em forma de juros (simples ou composto) como recurso para a construção de argumentação (aumentos e descontos sucessivos).

H18 - Avaliar propostas de intervenção na realidade, utilizando cálculos de porcentagem e/ou juros.

Competência M5 - Aplicar expressões algébricas para modelar e resolver problemas, envolvendo variáveis socioeconômicas ou técnico-cinetíficas.

H19 - Identificar representações algébricas que expressem a relaçõa de interdepêndencia entre duas grandezas.

H20 - Identificar gráfico cartesiano que represente relação de interdepêndencia entre duas grandezas (variação linear).

H21 - Resolver situação - problema cujos dados estejam expressos em gráfico cartesiano que mostre a variação de duas grandezas.

Competência M6 - Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.

H22 - Identificar informações apresentadas em tabelas ou gráficos (de coluna, de setores e de linha).

H23 - Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.

H24 - Resolver situação - problema com dados apresentados em forma de tabela de dupla entrada ou gráfico.

H25 - Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.

H26 - Avaliar propostas de intervenção na realidade, utilizando informações expressas em gráficos ou tabelas.

Competência M7 - Compreender o caráter aleatório e não - determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas e cálculos de probabilidade, para interpretar informações de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística.

H26 - Relacionar as variedades lingüísticas a situações específicas de uso social.

H27 - Calcular a média aritmética de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequência de dados agrupados (não em classes) ou gráficos de colunas.

H28 - Resolver situação - problema que envolva processos de contagem ou noções de probabilidade.

H29 - Utilizar médias aritméticas, noções de probabilidade ou conhecimentos estatísticos como recurso para a construção de argumentação.

H30 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando probabilidade e/ou conecimentos estatísticos (porcentagem, gráficos, médias).

54

Foram realizadas 04 aulas semanais com duração de 50 minutos cada,

durante um período de aulas de 40 dias entre agosto de 2014 até a primeira semana

de setembro de 2014, foram exatamente 18 aulas de 50 minutos cada.

Todos os arquivos foram sendo disponibilizados aos alunos, por e-mail, pen

drive ou cd, a pedido de cada aluno11. Ao final das aulas os alunos salvavam os

arquivos em pastas próprias com seus nomes, que ficavam no Desktop do

computador, porem como o espaço era público, outros alunos teriam acesso ao local

da pasta, para evitar-se a perda do trabalho, todos alunos salvavam por e-mail, por

pen drive ou cd gravado, com isso todos os alunos montaram uma pasta com as

aulas e com as demonstrações feitas pelo professor no GeoGebra.

Abaixo o exemplo de uma pasta que estava em um Desktop de um

computador:

1. Arquivo: no Desktop do computador;

2. Pastas: com as aulas separadas por conteúdos;

3. Atividade: construção.

4. Triângulo retângulo: feito por um aluno.

A seguir demonstro como se explorou o material das aulas, indicando a

forma de tratamento das informações e como as aulas foram desenvolvidas.

11

Material não foi disponibilizado por nenhum “blog”, pois não fazia parte da pesquisa esta ação, não publiquei todos os exercícios, pois deixaria o texto extenso, porem qualquer pessoa que desejar estes arquivos pode enviar um e-mail para o autor [email protected] que disponibilizo material.

mailto:[email protected]

55

5.5 Desenvolvimento da pesquisa

Momento inicial, nas duas primeiras semanas de aula foram realizadas

revisões de alguns conteúdos usuais da Geometria, necessários para os alunos

progredirem nas aulas, usou-se o GeoGebra para demonstrar e organizar estes

conteúdos.

Num segundo momento usamos arquivos ora já construídos pelos alunos,

para disponibilizar em testar as hipóteses e validar suas ideias, avançando o nível

de estudo.

Os alunos acompanhavam as aulas por um telão projetado pelo Data Show e

interagiam nas construções Geométricas.

Para o pesquisador é uma etapa da Pré – Análise, segundo Bardin (2007),

corresponde a um período de intuições, mas tem por objetivo tornar operacionais e

sistematizar as ideias iniciais, a primeira semana de aula recordamos assuntos do

ensino fundamental, que ora já havia sido diagnosticada uma defasagem e

intuitivamente necessitaríamos destes conteúdos;

Conhecer os axiomas12 de ponto, reta e plano.

Identificar os ângulos: agudo, reto e obtuso.

Classificação do triângulo quanto aos seus lados, Equilátero, Isóscele e

Escaleno.

Compreender ângulos complementares, suplementares e

replementares.

Classificação quanto aos ângulos, acutângulo, obtusângulo e

retângulo.

A seguir demonstro os exercícios utilizados em aula com o GeoGebra, para

descrever os conteúdos citados.

Realizamos demonstração de axiomas na Geometria e definição de ponto,

reta, plano, identificação de ângulo e classificação dos triângulos quanto aos seus

12

Axioma ou Postulado trata-se de uma primícia na Geometria, um princípio na construção de um teorema quando não pode ser feito através da álgebra para se demonstrar.

56

lados, o objetivo é o aluno aprimorar não só o conceito, porem desenvolver a visão

dos elementos geométricos citados necessários para construção da figura final.

Para construção deste exercício usei 3 passos:

1º Passo: Após abrir o GeoGebra, clique em ponto, e clique em qualquer lugar

da tela do GeoGebra, isto fará a criação de um ponto que será denominado ponto A,

após isso pode-se repetir quantas vezes for necessário, criará o ponto B, C, D....

2º Passo: Clicar em serve para limpar o último comando, logo após,

clicar em reta, e clique sobre o ponto A uma reta será criada, porém sem

direção, para dar orientação / sentido a reta clicar em um segundo ponto, pronto

agora a reta está criada denominada reta “a”. Repita o processo quantas vezes

achar necessário.

3º Passo: Podemos fazer uma triangulação entre os pontos dados, construir

um polígono. Mais precisamente um triângulo. Clicar em polígono, em seguida

escolha três pontos quaisquer clicando sobre eles, para destacar o seu triângulo

clique com lado esquerdo do mouse, vai até “propriedades - cor – transparência”

aumente para 50.

Podemos fazer definições com esta demonstração, sobre o ponto A passam

infinitas retas, o triângulo é formado por segmentos de retas, uma reta AB, jamais

interceptaria o triângulo construído. Em momento oportuno poderá ser usado este

mesmo exemplo para dar início a construção da função da reta e seus pontos dando

uma ligação na sequência didática.

Para ficar mais evidenciado podemos utilizar o recurso texto, basta

clica-lo, após clicar dentro do GeoGebra com o botão direito do mouse, abrirá uma

janela onde pode ser inserido um texto de apoio.

Neste exercício explora-se a construção dos conceitos dos axiomas na

Geometria.

57

Figura 4 - Axiomas

Fonte: Elaboração própria

Demonstração finalizada.

Nesta segunda sequência, demonstraremos a construção do triângulo quanto

seus ângulos.

1º Passo: Abrir o GeoGebra e clicar polígono, clicar em três pontos

quaisquer sobre os eixos x e y, desta forma o triângulo ABC estará construído.

2º Passo: Apenas para destacar o triângulo ABC, clique dentro com o lado

direito do mouse e vá até “propriedades – cor – transparência”, aumente para 50.

3º Passo: Verificar os ângulos, no menu de ferramentas clique em

ângulo, e logo após clique entre dois segmentos de reta, o ângulo será dado

imediatamente.

4º Passo: Repetir o passo 3 até obter todos os ângulos.

5º Passo: Conclusões, clicar texto, realizando os comentários e

respondendo questões na própria tela do GeoGebra.

Neste exercício podemos observar uma definição do triângulo quanto aos

seus lados e seus ângulos simultaneamente. Em momento oportuno poderá ser

usado este mesmo exemplo para demonstrar razões trigonométricas no triângulo

retângulo dando uma sequência didática.

58

Figura 5 - Construção do triângulo retângulo


Ao final de cada demonstração constrói-se coletivamente o exercício, que

demonstrava as características do conteúdo da aula. Na segunda semana

desenvolveu-se novas demonstrações, conforme figura 6.

Figura 6 - Exercício


59

O objetivo será preparar quanto aos ângulos complementares, suplementares

e replementares, onde os pontos ABCD e DEFD são dinâmicos, ou seja, podemos

movimentá-los. Permitindo menor abstração no estudo, interagindo no momento da

demonstração.

Na figura 7 podemos destacar polígonos inscritos na circunferência.

Figura 7 - Diferença entre triângulos isósceles e equilátero inscrito numa circunferência


Neste momento, foi percebido diferenças entre as duas figuras, que foram

demonstrada, o professor questiona os alunos, por já possuírem alguma intuição

com o software e eles arriscaram algumas observações.

No primeiro ficou classificado quanto aos lados, depois quanto aos

ângulos. (Aluno)

Não tem ângulo reto, mesmo antes de dar o valor dos ângulos

podemos notar. (Aluno)

Com a aplicação de questionário avaliativo (Apêndice A) e questionário de

perfil (Apêndice B) ao longo das aulas, os argumentos qualitativos e quantitativos

observados e recolhidos pelo professor, necessita-se realizar o tratamento dos

resultados e interpretação, que vem a seguir no capítulo seis.

60

6 ANÁLISE DE CONTEÚDOS

Os resultados analisados neste capítulo envolvem os dados do diagnóstico

inicial e do perfil dos participantes, portanto temos uma análise descritiva. Para

validação da análise dessas informações decidiu-se usar dados estatísticos, desde

operações simples como percentuais e quadro de resultados, para inferência como

dados um pouco mais elaborado como o teste de Qui-Quadrado para

Independência.

Segundo Bardin (2007), quando a pré-análise for convenientemente

concluída, passamos para fase de análise propriamente dita, em função de regra

previamente formulada, entramos na fase de “Exploração de Material”, segundo

ainda Regra da Homogeneidade:

Os documentos retidos devem ser homogêneos, isto é, devem obedecer a critérios preciso de escolha e não apresentar demasiada singularidade fora desse critérios. [...] Esta regra é, sobretudo, utilizada quando se deseja obter resultados globais ou comparar entre si os resultados individuais. (BARDIN, 2007, p.128)

O procedimento adotado, ou seja, a organização da pesquisa fica dividida em

três fases, visando à eficácia dessa, poderá ser subdividida para explicar o

detalhamento.

As etapas discriminadas:

1. A pré-analise;

2. A exploração do material;

3. O tratamento dos resultados, a inferência e a interpretação.

Para Bardin (2007), pré-análise (1), é a fase de organização, tem por objetivo

sistematizar as ideias iniciais:

61

Geralmente, esta primeira fase possui três missões: a escolha dos documentos a serem submetidos à análise, a formulação das hipóteses e dos objetivos e a elaboração de indicadores que fundamentem a interpretação final. Estes três fatores não se sucedem, obrigatoriamente, [...] embora estejam estreitamente ligados (BARDIN, 2007, p. 125)

Neste aspecto buscamos reunir um material de análise:

A análise pode efetuar-se numa amostra desde que o material a isso se preste. A amostragem diz-se rigorosa se a amostra for uma parte representativa do universo inicial. Neste caso, os resultados obtidos para a amostra serão generalizados ao todo [...] Para proceder à amostragem é necessário ser possível descobrir a distribuição dos caracteres dos elementos da amostra. Um universo heterogêneo requer uma amostra maior do que um universo homogêneo. (BARDIN, 2007, p. 127)

Desde que, os documentos da pré-análise foram devidamente concluído,

passaremos a exploração do material (2), fase onde consiste em codificar as regras

previamente formuladas.

Neste mapa conceitual, adaptado pelo autor, podemos ter ideia da dimensão

teórica da técnica procedimental do desenvolvimento da proposta.

62

Figura 8 - Desenvolvimento de uma análise

Fonte: adaptado (BARDIN, 2007, p. 132)

O tratamento dos resultados (3), são tratados de maneira a serem

significativos e válidos, operações estatísticas simples (percentagens), ou mais

complexas, permitem estabelecer quadro do resultado, segundo Bardin (2007).

6.1 Resultados do diagnóstico inicial

Para identificar o nível de aprendizagem e compreensão dos alunos sobre os

conceitos de geometria, o pesquisador partiu da hipótese em diagnosticar os alunos

63

para saber de que ponto poderia partir para preparar aulas de trigonometria com o

auxílio do computador.

O processo inicial para realização do diagnóstico foi fundamentado numa

avaliação dos conteúdos básicos aprendidos durante o Ensino Fundamental, tais

como:

Reconhecimento do tipo de classificação de triângulos;

Relação seno, cosseno e tangente;

Reconhecimento da hipotenusa e catetos;

Problemas envolvendo calculo trigonométrico.

Todos esses elementos são fundamentais para que os objetivos de ensino do

1º Ano referentes às relações trigonométricas em um triângulo qualquer, lei dos

cossenos e lei dos senos, e processo natural da grade curricular possam ser

compreendidos pelos alunos.

Na aplicação deste diagnóstico inicial (apêndice A), foi possível observar a

real condição após o quadro de resultados.

Dos 55 alunos que integravam as duas turmas do Ensino Médio, 42 (76%)

participaram da realização do diagnóstico inicial, por estarem presentes no dia da

aplicação do questionário, os demais alunos (13; 24%) faltaram à aula naquele dia

(tabela 1; gráfico 1).

Tabela 1 - Quantidade de alunos das duas turmas do Ensino Fundamental que participaram do diagnóstico inicial

DESCRIÇÃO QUANTIDADE PERCENTAGEM

Participantes 42 76%

Ausentes 13 24%

TOTAL 55 100%

Fonte: Elaboração própria.

64

Gráfico 1 - Quantidade de alunos das duas turmas do Ensino Fundamental que participaram do diagnóstico inicial


As respostas foram incorretas demonstrando falta de conhecimento dos

conteúdos abordados, que são básicos para o ensino médio.

O quadro 2 apresenta alguns exemplos das respostas dos alunos, que

demonstra a falta de compreensão dos mesmos sobre o que foi solicitado na

questão 1.

Quadro 2 - Exemplos de respostas incorretas da questão 1 do diagnóstico inicial

EXEMPLOS FIGURA DESCRITIVA DAS RESPOSTAS DE ALGUNS ALUNOS

QUE FORAM SELECIONADAS COMO EXEMPLO DE RESPOSTA INCORRETA PARA A QUESTÃO 1 DO DIAGNÓSTICO INICIAL

Exemplo 1

65

EXEMPLOS FIGURA DESCRITIVA DAS RESPOSTAS DE ALGUNS ALUNOS

QUE FORAM SELECIONADAS COMO EXEMPLO DE RESPOSTA INCORRETA PARA A QUESTÃO 1 DO DIAGNÓSTICO INICIAL

Exemplo 2

Exemplo 3

Exemplo 4

Fonte: Arquivo do professor

66

Somente 8 (19%) obtiveram êxito nas respostas, o que significa que 34 (81%)

alunos erraram (tabela 2; gráfico 2). A partir da correção desta primeira questão do

diagnóstico inicial, o pesquisador passou a considerar o fato de revisar os conteúdos

do Ensino Fundamental antes de avançar nos conteúdos Matemáticos do ensino

médio.

Tabela 2 - Quantidade de alunos que acertaram a resposta da questão 1 do diagnóstico inicial


Acertaram 8 19%

Erraram 34 81%

TOTAL 42 100%


Gráfico 2 - Quantidade de alunos que acertaram a resposta da questão 1 do diagnóstico inicial


A segunda questão do diagnóstico foi a seguinte: “Você pode relacionar as

três razões trigonométricas abaixo deste triângulo (figura 9)?”

67

Figura 9 - Triângulo


Nesse exercício, o índice de acerto foi maior, e o erro mais comum foi não

colocar o número 5 como radicando, neste caso desprezaram o radical e 9 alunos

erraram por colocar apenas 5 em vez de 5 o equivalente a 21,5% dos alunos; 3

(7%) alunos não souberam ou não responderam; 13 (31%) acertaram todas as três

razões; outros 17 (40,5%) erraram uma ou mais respostas no exercício em análise.

Por hipótese levantada a princípio a linguagem matemática e seus símbolos

terão de ser reavaliada, apontando que a linguagem é possível caminho para

melhorar o aprendizado matemático, apenas 13 (31%) dos alunos responderam à

questão 2 corretamente (tabela 3; gráfico 3).

Tabela 3 - Quantidade de alunos que acertaram a resposta da questão 2 do diagnóstico inicial


Acertaram 13 31%

Erraram 29 69%

TOTAL 42 100%


68

Gráfico 3 - Quantidade de alunos que acertaram as respostas da questão 2 do diagnóstico inicial


A figura abaixo apresenta um exemplo de resposta da questão 2 por um dos

alunos participantes desta pesquisa.

Figura 10 - Exemplo de resposta de um aluno sobre a questão 2 do diagnóstico inicial


A terceira questão deste diagnóstico inicial serviu para identificar os

conhecimentos de medida de ângulos, muito presente no Ensino Fundamental e

importante para o estudo de trigonometria. O quadro abaixo apresenta alguns

exemplos de respostas dos alunos participantes do diagnóstico inicial.

69

Quadro 3 - Exemplos de respostas erradas da questão 3 do diagnóstico inicial

EXEMPLOS FIGURA DESCRITIVA DAS RESPOSTAS ERRADAS DE

ALGUNS ALUNOS QUE FORAM SELECIONADAS COMO EXEMPLO – QUESTÃO 3 DO DIAGNÓSTICO INICIAL

Exemplo 1

Exemplo 2

Exemplo 3


É importante observar no quadro acima, que nas respostas da questão 3, os

erros foram ainda maiores, 2 alunos não responderam e, todos os outros 40 alunos

erraram.

Não houve nenhuma resposta correta, portanto, nenhum aluno conseguiu

responder corretamente à questão 3, isto reforça a hipótese inicial da avaliação

diagnóstica, “Falta de compreensão da linguagem”.

70

Na questão de número 4, o fato acima também se repetiu – 100% de erro,

como é mostrado a seguir. Um dos alunos que errou seria o que mais se aproximou

do resultado correto se não tivesse trocado o cateto oposto pela hipotenusa. Estes

dados demonstram que os alunos têm dificuldades em reconhecer as razões

trigonométricas como demonstram os exemplos do quadro 4, abaixo.

Quadro 4 - Exemplos de respostas erradas da questão 4 do diagnóstico inicial

EXEMPLOS FIGURA DESCRITIVA DAS RESPOSTAS ERRADAS DE ALGUNS

ALUNOS QUE FORAM SELECIONADAS COMO EXEMPLO – QUESTÃO 4 DO DIAGNÓSTICO INICIAL

Exemplo 1

Exemplo 2

71

EXEMPLOS FIGURA DESCRITIVA DAS RESPOSTAS ERRADAS DE ALGUNS

ALUNOS QUE FORAM SELECIONADAS COMO EXEMPLO – QUESTÃO 4 DO DIAGNÓSTICO INICIAL

Exemplo 3


Como é possível observar no quadro 4 acima, 39 dos participantes (93%) não

conseguiram responder, deixando a questão em branco ou respondendo errado, o

que reforça a não aprendizagem dos conteúdos da geometria agora aplicados nos

problemas, existe a necessidade de transpor o escrito para os cálculos, barreira

ainda no aprendizado. Apenas 3 (7%) conseguiram prosseguir com os cálculos

(tabela 4; gráfico 4).

Tabela 4 - Quantidade de alunos que conseguiram prosseguir com os cálculos na questão 4 do diagnóstico inicial, apesar de terem errado as respostas do

exercício


Prosseguiram com os cálculos e erraram as respostas 3 7%

Erraram e não conseguiram prosseguir com os cálculos 39 93%

TOTAL 42 100%


72

Gráfico 4 - Quantidade de alunos que conseguiram prosseguir com os cálculos na questão 4 do diagnóstico inicial, apesar de terem errado as respostas do exercício


Como ocorreu com as questões 3 e 4, a questão 5 do diagnóstico inicial

também apresentou 100% de erro. Os 42 alunos erraram, não sabiam nem o que

estavam procurando, segundo relato de duas alunas: “Professor falta o x, nesta

questão. Não dá para fazer!”.

O desempenho dos alunos demonstrou uma enorme dificuldade de interpretar

o que a questão pede. Desse modo, é importante auxiliar os alunos a interpretar

melhor o que está sendo pedido no exercício.

Frente às dificuldades dos alunos em responder às questões do diagnóstico

inicial, o pesquisador compreendeu que não seria o momento de entrar com um

conteúdo novo e sim revisar o todo o conteúdo do Ensino Fundamental pontual e

necessário para o novo conteúdo trigonométrico.

Existe claramente uma falta de pré-conteúdo, e o foco foi direcionado,

passando a preparar aulas para atingir a cobrir esta carência e realizar uma nova

avaliação.

A figura 11 abaixo, apresenta um exemplo de resposta incorreta na questão 5

do diagnóstico inicial.

73

Figura 11 - Exemplo de resposta incorreta da questão 5 do diagnóstico inicial


Uma análise dos erros observados neste diagnóstico inicial possibilitou que o

pesquisador elaborasse uma aula utilizando o GeoGebra, com o objetivo de facilitar

a compreensão dos conceitos de geometria que deveria ter sido aprendidos durante

o Ensino Fundamental.

Portanto, com os resultados obtidos a partir deste diagnóstico inicial, uma

nova estratégia foi implementada, pois o pesquisador passou a preparar aulas

voltadas para uma revisão dos conteúdos do Ensino Fundamental (razões

trigonométricas no triângulo retângulo), antes de iniciar o conteúdo de geometria do

Ensino Médio.

O arquivo do GeoGebra possibilitou a realização de aulas sobre razões

trigonométricas no triângulo retângulo, permitindo que os alunos tivessem um

primeiro contato com o software na aprendizagem desses conteúdos.

Neste diagnóstico inicial haviam 42 alunos, cada aluno tinha 5 questões,

perfazendo um total de 210 questões, houve 21 acertos, exatamente 10%. Esses

dados representam a realidade entre o ideal e o realizado no processo de ensino-

aprendizagem dos conteúdos matemáticos no Ensino Fundamental.

74

É importante destacar que, apesar de apenas 42 (76%) dos 55 alunos

estarem presentes no dia da aplicação do questionário de diagnóstico, todos os

alunos receberam as orientações para utilização do GeoGebra e as aulas com os

conceitos básicos de geometria do Ensino Fundamental foram ministradas para

todos os 55 alunos do Ensino Médio.

6.2 Resultados da pesquisa perfil/hábitos

No dia da aplicação do segundo questionário – perfil/hábitos – todos os 55

alunos estavam presentes e responderam ao questionário (apêndice B).

Com os resultados da pesquisa de perfil/hábitos (apêndice B) foi possível

perceber que do total de 55 alunos – do 1º ano do Ensino Médio da rede estadual de

São Paulo, em duas salas de aula, 38 (69%) alunos utilizam o computador com ou

sem internet, para programas, jogos e aplicativos. Um total de 14 alunos (25%)

fizeram menção que somente usam computadores se estiverem conectados na

internet, para redes sociais.

Ainda para completar, 3 alunos (6%) citaram que usam o computador sem

internet, sendo 1 por proibição dos pais e 2 que alegaram não ter acesso e não

gostar (tabela 5; gráfico 5).

Tabela 5 - Formas como os alunos utilizam o computador em sua rotina diária


Utilizam o computador com ou sem internet, para programas, jogos e aplicativos

38 69%

Usam computadores se estiverem conectados na internet, para redes sociais

14 25%

Usam o computador sem internet 3 6%

TOTAL 55 100%


75

Gráfico 5 - Formas como os alunos utilizam o computador em sua rotina diária


Deste total apresentado, foi necessário saber se os alunos já haviam tido

contato com aulas usando o computador para dar a dinâmica no ensino de

matemática, seja recentemente ou em anos anteriores.

As respostas demonstraram que 5 (9%) do total de 55 já haviam passado por

alguma experiência com uso de computadores em sala de aula para o ensino de

matemática, sendo que todos eles gostaram da experiência. A grande maioria dos

alunos (n= 48 – 87%) não havia tido qualquer contato com computadores no

ambiente escolar; e 2 (4%) alunos não responderam (tabela 6; gráfico 6).

Tabela 6 - Quantidade de alunos que já utilizaram o computador em aulas de matemática


Já utilizaram o computador em sala de aula para ensino da matemática

5 9%

Não tiveram qualquer contato com computadores no ambiente escolar

48 87%

Não responderam 2 4%

TOTAL 55 100%


76

Gráfico 6 - Quantidade de alunos que já utilizaram o computador em aulas de matemática


Estes resultados justificavam a intenção do pesquisador em continuar com as

aulas de auxílio do meio computacional, ainda por exceção de 4 alunos que não

responderam e 1 aluno relatou que “não seria legal”, pois não presta atenção

quando está no computador. Esses dados demonstraram que 9% dos alunos foram

resistentes ao uso de computadores para aprendizagem de conteúdos matemáticos,

enquanto 91% concordaram e quiseram utilizar este recurso (tabela 7; gráfico 7).

Tabela 7 - Quantidade de alunos que concordaram com o uso do computador para a aprendizagem de conteúdos matemáticos


Concordaram com as aulas 50 91%

Ficaram resistentes 5 9%

TOTAL 55 100%


77

Gráfico 7 - Quantidade de alunos que concordaram com o uso do computador para a aprendizagem de conteúdos matemáticos


Diante deste cenário, onde a grande maioria dos alunos (91%) se mostrou

favorável as aulas computacionais para aprendizagem dos conteúdos matemáticos,

foi realizado projeto desta pesquisa, pois todos os alunos teriam ‘condições’ de

acessar um computador, seja em casa, lan house ou na escola.

6.3 Resultados da efetividade do procedimento educacional após a revisão dos

conteúdos matemáticos – nas aulas computacionais com o geoGebra

Durante a fase diagnóstica inicial, foi demonstrado que apenas 10% das

questões foram respondidas corretamente pelos alunos do 1º ano do Ensino Médio,

nas duas turmas pesquisadas.

Desse modo, o pesquisador dedicou as aulas no período de setembro/2014

para apresentar todo o conteúdo das relações métricas no triângulo retângulo e seus

cálculos trigonométricos. Para tanto, dedicou-se as aulas não somente para

cálculos, mas para apresentar todo o conceito das relações métricas no triângulo

retângulo, com o objetivo de realizar uma nova pesquisa diagnóstica na primeira

semana de outubro/2014.

Nesse caminho, foram realizadas as aulas computacionais para a

apresentação dos conteúdos citados, com o apoio do GeoGebra. Foram aulas

projetadas e dinâmicas, definindo os conceitos fundamentais (razão seno, cosseno e

78

tangente, Pitágoras, definição de triângulo retângulo ou outro qualquer, ângulos

internos de um triângulo e aplicações práticas em problemas, entre outros).

O pesquisador separou algumas atividades para exemplificar os resultados.

As atividades foram realizadas no caderno durante aulas no mês de setembro de

2014, com o acompanhamento do professor.

As figuras apresentadas a seguir, demonstram as atividades realizadas por

um aluno em seu caderno. Para que os alunos não pudessem ser identificados eles

foram tratados no presente estudo como Aluno 1, Aluno 2 e assim sucessivamente.

Figura 12 - Aluno 1 – Caderno atividades propostas




Nota-se uma evolução nos exercícios realizados pelos alunos. Essa evolução

no conhecimento por parte dos alunos permitiu uma maior integração com o

pesquisador (professor), algo que num primeiro momento não ocorreu: “Todos os

79

alunos presentes estavam tentando, com mais ou menos esforços, porém todos

participavam”. Isso demonstra que a apresentação dos conteúdos matemáticos com

o uso do GeoGebra promove uma maior participação do aluno em sala de aula.

As figuras abaixo representam os exercícios realizados pelo aluno 2 em seu

caderno de atividades.





É importante observar que todos os alunos demonstraram-se participativos,

uns com maior intensidade outros com menos, mas todos participaram.

As figuras apresentadas a seguir, demonstram os exercícios realizados pelo

aluno 3 em seu caderno de atividades.

80



Figura 17 - Aluno 3– Caderno atividades propostas


No exemplo acima, é possível observar que uma das maiores dificuldades

dos alunos é transpor o escrito para o figural, muitos alunos erram ainda, mas o

nível de abstração do que é para ser calculado subiu consideravelmente.

No exemplo abaixo, um quarto aluno (aluno 4) exemplificou o avanço também

na resolução de problemas. As figuras abaixo demonstram os exercícios resolvidos

pelos alunos 5 e 6.

81





82



Após as aulas de apresentação dos conteúdos supracitados, com o uso do

GeoGebra e com a realização de exercícios pelos alunos em seus cadernos de

atividade, na primeira semana de outubro/2014 foram realizadas novas avaliações

com base no diagnóstico inicial (apêndice A) com o objetivo de investigar o a

evolução dos alunos no desempenho do ensino-aprendizagem dos conteúdos

matemáticos apresentados durante o mês de setembro/2014.

O primeiro diagnóstico realizado no mês de agosto/2014 não foi corrigido

junto com os alunos, por hipótese inicialmente, essa opção foi pelo fato do elevado

número de erros, em que apenas 10% das questões foram acertadas. Portanto, já

que não havia sido feita a correção do diagnóstico inicial, foi aplicado o mesmo

diagnóstico para uma avaliação da efetividade do procedimento educacional com o

uso do GeoGebra na primeira semana de outubro/2014.

Dos 55 alunos pertencentes às duas turmas do 1º ano do Ensino Médio que

participaram da pesquisa, 46 (84%) realizaram uma nova prova para avaliar a

83

efetividade do procedimento educacional (tabela 8; gráfico 8); os outros 9 (16%) não

estavam presentes no momento da aplicação do questionário (apêndice B).

Tabela 8 - Quantidade de alunos que realizaram o diagnóstico novamente


Realizaram uma nova prova para avaliar a efetividade do procedimento educacional

46 84%

Não estavam presentes no momento da aplicação do 2º questionário

9 16%

TOTAL 55 100%


Gráfico 8 - Quantidade de alunos que realizaram o diagnóstico novamente


A seguir são apresentados alguns exemplos das respostas dos alunos,

seguidos dos comentários do pesquisador.

O quadro 5, abaixo apresenta os exemplos de respostas de alguns alunos

sobre a questão 1 do diagnóstico que novamente respondido.

84

Quadro 5 - Exemplos de respostas dos alunos referente à questão 1 no segundo diagnóstico realizado em outubro/2014

EXEMPLOS FIGURA DESCRITIVA DAS RESPOSTAS DOS ALUNOS A

QUESTÃO 1 NO SEGUNDO DIAGNÓSTICO REALIZADO EM OUTUBRO/2014

Exemplo 1

Exemplo 2


Nesta primeira questão, dentre os 46 alunos que realizaram a prova, houve

um acerto de 37 alunos, portanto, 80% de acerto, outras 9 avaliações foram

deixadas em branco, 20%. É importante ressaltar que não houve nenhuma resposta

errada, todos os alunos que responderam (80%) acertaram a questão (tabela 9;

gráfico 9).

85

Tabela 9 - Resultados do desempenho dos alunos na questão 1 na segunda avaliação diagnóstica realizada em outubro/2014


Responderam e acertaram a questão 37 80%

Deixaram em branco 9 20%

TOTAL 46 100%


Gráfico 9 - Resultados do desempenho dos alunos na questão 1 na segunda avaliação diagnóstica realizada em outubro/2014


O quadro a seguir apresenta exemplos de respostas relacionadas à questão

2.

86


EXEMPLOS FIGURA DESCRITIVA DAS RESPOSTAS DOS ALUNOS A QUESTÃO 2

NO SEGUNDO DIAGNÓSTICO REALIZADO EM OUTUBRO/2014

Exemplo 1

Exemplo 2

Exemplo 3

87



Exemplo 4


Nesta questão 2, houve dois casos em que os alunos calcularam as projeções

da hipotenusa e altura do triângulo, mesmo sem obrigatoriedade, pois não havia

relação com a resposta solicitada. Isso mostra que os alunos evoluíram na

assimilação dos conceitos apresentados e se sentiram confiantes para realizar os

cálculos, mesmo sem terem sido solicitados na questão.

Na questão 2, 13 (28%) alunos deixaram em branco, 4 (9%) erraram e 29

(63%) acertaram (tabela 10; gráfico 10).




Erraram 4 9%


TOTAL 46 100%


88



O quadro 7, abaixo apresenta exemplos de respostas dos alunos para a

questão 3 do diagnóstico realizado pela segunda vez na primeira semana de

outubro/2014. Nesta questão, houve alguns acertos, mas alguns alunos continuaram

errando as respostas.




Exemplo 1

Exemplo 2

Exemplo 3


89

No exercício 3 houve 31 (67%) acertos e 11 (24%) erros, sendo que 4 (9%)

alunos deixaram as respostas em branco (tabela 11; gráfico 11).




Erraram 11 24%


TOTAL 46 100%




O quadro 8, a seguir contém exemplos de respostas dos alunos para a

questão 4 da avaliação diagnóstica realizada novamente na primeira semana de

outubro/2014.

90




Exemplo 1

Exemplo 2

Exemplo 3

91



Exemplo 4


Na questão 4 houve uma maior dificuldade por parte de 26 (56%) que erraram

as respostas ou deixaram de responder, sendo: 8 (17%) alunos deixaram em branco

ou não souberam responder; 18 (39%) alunos erraram na interpretação do exercício

ou nos cálculos e 20 (44%) alunos acertaram (tabela 12; gráfico 12).




Erraram 18 39%


TOTAL 46 100%


92



O quadro 9, abaixo apresenta os exemplos de respostas dos alunos para a

questão 5 do diagnóstico aplicado novamente na primeira semana de outubro/2014.




Exemplo 1

93



Exemplo 2

Exemplo 3


Neste último exercício (questão 5), nota-se que a participação também foi a

maioria, mesmo em alguns casos terminando com erro na álgebra como no exemplo

3 do quadro 9. Os resultados do desempenho dos alunos nas repostas para a

questão 5 na segunda avaliação diagnóstica foram: 17 (37%) alunos deixaram em

branco; 11 (24%) alunos erraram; e 18 (39%) acertaram (tabela 13; gráfico 13).

94




Erraram 11 24%


TOTAL 46 100%




Os avanços no desenvolvimento do conhecimento dos alunos após a

realização das aulas com o GeoGebra foram claros, conforme demonstra gráfico 14.

95

Gráfico 14 - Evolução do desempenho dos alunos entre o diagnóstico realizado em agosto/2014 e o diagnóstico realizado em outubro/2014


Como pode ser observado no gráfico acima, após a realização da revisão dos

conceitos matemáticos durante o mês de setembro/2014, com a utilização do

GeoGebra, houve uma clara evolução dos alunos na compreensão desses

conceitos, sendo que aqueles exercícios (3, 4 e 5) que não tiveram nenhum acerto

na primeira vez em que o diagnóstico foi realizado apresentaram 67%, 44% e 39%

de acertos respectivamente.

Como foi visto ao longo deste estudo, tanto na revisão de literatura como na

pesquisa de campo, o GeoGebra é um software de matemática dinâmica projetado

para o ensino e aprendizagem dos conceitos matemáticos desde o ensino

fundamental até o ensino superior. O software combina facilidade de uso de um

programa de geometria dinâmica, com certas características de um sistema de

álgebra computacional e, portanto, permite fazer a ponte entre as disciplinas de

matemática, geometria e álgebra, e até mesmo cálculos.

O GeoGebra pode ser utilizado no ambiente escolar para visualizar os

conceitos matemáticos bem como para criar materiais didáticos. Na presente

96

pesquisa, o GeoGebra foi utilizado para a revisão dos conceitos matemáticos do

Ensino Fundamental para os alunos do 1º ano do Ensino Médio, mostrando-se uma

ferramenta eficaz tanto no processo de ensino-aprendizagem quanto na motivação

dos alunos.

O GeoGebra tem o potencial de promover a aprendizagem ativa13 e centrada

no aluno, permitindo experimentos matemáticos, explorações interativas, bem como

descobertas de aprendizagem, por intermédio de simulações realizadas no

computador, considero uma poderosa ferramenta de ensino, em âmbito mundial, e a

escolha deste software para a realização da experiência com os alunos participantes

desta pesquisa demonstrou a importância do GeoGebra no processo de ensino-

aprendizagem dos conceitos matemáticos.

As vantagens do GeoGebra são as seguintes:

É um software multiplataforma, livre, e gratuito de matemática

dinâmica. Assim, devido à sua natureza de código aberto, não há

problemas de licenciamento associados ao seu uso, permitindo que os

alunos e professores tenham liberdade de usá-lo tanto dentro da sala

de aula como em casa.

O GeoGebra combina matemática dinâmica, geometria, álgebra e

cálculos, além das características de planilha em um único pacote de

fácil utilização, tornando-o adequado para o processo de ensino-

aprendizagem de matemática desde o nível básico até a universidade.

O GeoGebra tem uma grande comunidade internacional de usuários e

desenvolvedores com usuários em 190 países. O software está

traduzido em 55 idiomas e atrai aproximadamente 300 mil downloads

por mês.

A característica mais importante do GeoGebra é a ligação que esse

software estabelece entre Geometria, Álgebra, Cálculo e Estatística.

Trata-se de um sistema de geometria dinâmica no qual o usuário

trabalha com pontos, vetores, segmentos, linhas e seções cônicas.

Além disso, ele possui um sistema algébrico dinâmico onde as

13

Na aprendizagem ativa a expectativa é que o aluno não seja apenas um recebedor de informação de seu mediador, mas que seja proativo na busca de conhecimento.

97

equações e coordenadas podem ser inseridas diretamente. As funções

podem ser definidas algebricamente e depois modificadas

dinamicamente.

O GeoGebra apresenta uma dinâmica matemática simples, mas

otimizada, que tem a capacidade de lidar com variáveis para números,

vetores e pontos, encontrando derivadas e integrais de funções.

Outra vantagem do GeoGebra é a sua planilha, que foi acrescentada

recentemente, tornando possível inserir dados na planilha e visualizar

os gráficos na janela de geometria, mantendo a sua característica

dinâmica.

Embora o GeoGebra tenha sido destinado principalmente para o ensino da

matemática nas escolas em modalidade de ensino fundamental e médio, ele passou

a ser empregado também no ensino superior.

O GeoGebra foi utilizado como um recurso para incrementar o processo de

aprendizagem dos conteúdos de geometria.

No quadro 10, abaixo quadro 10, destaco os eixos cognitivos desenvolvidos

nos alunos em relação aos problemas da avaliação (Apêndice A) e que foram

alcançados satisfatoriamente, segundo a matriz de referência ENEM (BRASIL,

Ministério da Educação, 2009);

98

Quadro 10 – Matemática e suas Tecnologias – Eixos Alcançados

Fonte: adaptado pelo pesquisador, Enem (BRASIL, Ministério da Educação, 2009).

Foram desenvolvidas 13 competências de Matemática, um excelente índice,

ainda melhor que estes índices foram que os 5 Eixos Cognitivos do aluno foram

estimulados, ou seja todos os eixos cognitivos proposto pelo ENEM, foram atingidos,

são eles:

Dominar a norma culta da Língua Portuguesa e fazer uso das

linguagens matemáticas, artísticas e científicas (H1; H6; H15)

Construir e aplicar conceitos das várias áreas do conhecimento para a

compreensão de fenômenos naturais, de processos histórico-

geográficos, da produção tecnológicas e das manifestações artísticas.

(H2; H7)

Selecionar, organizar, relacionar, interpretar dados e informações

representados de diferentes formas, para tomar decisões e enfrentar

situações problema (H3; H8; H12)

Relacionar informações, representadas em diferentes formas, e

conhecimentos disponíveis em situações concretas, para construir

argumentações consistentes (H4; H9; H13)

Competência M1 - Construir significados e ampliar os já existentes para os números naturais, inteiros, racionais e reais.

H1 - Utilizar no contexto social diferentes significados e representações dos números - naturais, inteiros, racionais ou reais.

H2 - Utilizar algum procedimentos de cálculos com números naturais, inteiros, racionais ou reais.

H3 - Resolver situação - problema com números naturais, inteiros racionais ou reais envolvendo significados da adição, subtração, multiplicação ou divisão, potenciação ou radiciação.

H4 - Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.

H5- Avaliar propostas de intervenção na realidade, utilizando conhecimentos numéricos.

Competência M2 - Utilizar o conhecimento geométrico para realizar leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.

H6 – Interpretar a localização a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.

H7 - Identificar características de polígonos ou sólidos (prismas, pirâmides, cilindros).

H8 - Resolver situação - problema que envolva noções geométricas (ângulo, paralelismo, perpendicularismo).

H9 - Utilizar o teorema de Pitágoras ou semelhança de triângulos na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.

Competência M3 - Constuir e ampliar noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.

H12 - Resolver situação - problema que envolva medidas de arcos ou ângulos (grau e radiano), utilizando teorema de Pitágoras ou razão trigonométrica (seno de um ângulo agudo).

H13 - Avaliar a razoabilidade do resultado de uma medição, na construção de um argumento consistente.

H14 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando cálculos de perímetros, área de superfícies planas ou volume de blocos retângulares.

Competência M4 - Construir e ampliar noções de variação dde grandeza para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.

H15 - Identificar leis matemáticas que expressem a relação de dependência entre duas grandezas.

99

Recorrer aos conhecimentos desenvolvidos para elaboração de

propostas de intervenção solidária na realidade, respeitando os valores

humanos e considerando a diversidade sociocultural (H5; H14)

Essa tecnologia contribuiu para despertar o interesse dos alunos, além de

facilitar a compreensão dos conceitos de geometria apresentados durante as aulas.

A compreensão dos conteúdos de geometria do Ensino Fundamental é importante

para que os alunos possam prosseguir com autonomia os conteúdos de geometria

durante o ensino médio. Deste modo, o uso do GeoGebra para os alunos

participantes da pesquisa foi essencial para facilitar a compreensão desses

conteúdos, facilitando o processo de aprendizagem dos alunos.

6.4 Resultados estatísticos

Para responder aos objetivos do estudo foram utilizadas, além de

metodologias básicas de análise exploratória como o cálculo da frequência absoluta

e relativa, o teste exato de Qui-Quadrado para Independência.

O teste de Qui-Quadrado foi utilizado para avaliar, estatisticamente, se há

alguma diferença entre a quantidade de acertos e erros entre os testes inicial e final.

Esse teste foi aplicado separadamente para cada uma das 05 questões abordadas

e, posteriormente, foi aplicado para a quantidade total de acertos e erros (soma dos

acertos e erros das 05 questões).

Todos os testes de hipóteses desenvolvidos nesse trabalho consideraram

uma significância de 5%, ou seja, a hipótese nula foi rejeitada quando p-valor foi

menor ou igual a 0,05 (destacados em vermelho ao longo das tabelas).

6.4.1 Teste de Exato de Qui-Quadrado para Independência

Para avaliar a dependência (relação) entre as categorias de duas variáveis,

utilizamos o teste de Qui-Quadrado, no entanto o p-valor do teste sofre distorções

em casos em que o cruzamento de pelo menos duas categorias apresenta

frequência muito baixa - geralmente utilizamos a frequência de 5 observações como

limiar de frequência muito baixa em uma categoria.

100

Em caso de baixa frequência de categoria utiliza-se testes exatos como, por

exemplo, o teste exato de Fisher para independência de variáveis com duas

categorias. Quando falamos em tabelas de RxC categorias é bastante comum o uso

do teste exato de Qui-Quadrado baseado no método de Radlow e Alf.

O método Radlow e Alf (1975) é baseado na permutação de diversos testes

Qui-quadrado para a tabela de contingência em análise. Primeiramente são

simuladas todas as possibilidades de tabelas de frequência com o número de

categorias e observações da tabela original, e para cada tabela gerada compara-se

o valor da estatística Qui-Quadrado com o valor da estatística da tabela original

(tabela observada). Se o valor da estatística Qui-Quadrado na tabela gerada for

maior ou igual ao valor da estatística da tabela observada, o p-valor exato é

incrementado pela probabilidade de ocorrência daquela tabela. A hipótese a ser

testada é:

H0: as categorias entre as duas variáveis são independentes

E a estatística teste é dada por:

Onde o valor estimado eij é dado por:

E nij é a frequência da ocorrência nas categorias i da variável I e categoria j

da variável J.

Dessa forma, rejeitar H0 significa que há dependência entre as categorias das

duas variáveis em estudo, ou seja, há uma relação estatisticamente significativa

entre as variáveis.

101

6.4.2 Resultados

Conforme apresentado, a análise iniciou com a aplicação do teste exato de

Qui-Quadrado para Independência separadamente para cada uma das 05 questões

abordadas. Em todos os 05 testes desenvolvidos, isto é, para as 05 questões

abordadas, detectou-se significância estatística a 95% de confiança, uma vez que p-

valor foi menor que 0,05 em todos os casos. Dessa forma podemos afirmar,

estatisticamente com 95% de confiança, que há diferença na quantidade de acertos

e erros entre os testes inicial e final. Também podemos tomar a mesma conclusão

com 99% de confiança (1% de significância), uma vez que p-valor foi, em todos os

casos, menor que 0,01.

Analisando os resultados da Tabela 1, temos que, em todas as questões, a

quantidade de acertos é maior no teste final. Na questão 1, temos 80% de acerto no

teste final versus 19% de acerto no teste inicial. Na questão 2, temos 63% de acerto

no teste final versus 31% de acerto no teste inicial. Na questão 3, temos 67% de

acerto no teste final versus 0% de acerto no teste inicial. Na questão 4, temos 43%

de acerto no teste final versus 0% de acerto no teste inicial. E na questão 5, temos

39% de acerto no teste final versus 0% de acerto no teste inicial. Em todos esses

casos podemos afirmar, tanto a 95% como a 99% de confiança, que houve um

aumento estatisticamente significativo na quantidade de acertos no teste final em

relação ao teste inicial.

Em relação ao poder do teste, temos nas questões 1, 3, 4 e 5 um poder de

aproximadamente 0,99. Já na questão 2 temos um poder de 0,6383 que, apesar de

ser um poder mais baixo, foi suficiente para rejeitar a hipótese testada. O poder do

teste é a chance de rejeitarmos uma hipótese quando, de fato, ela deve ser

rejeitada. Em todos os casos a hipótese nula foi rejeitada, o que nos faz concluir que

o poder do teste é suficientemente grande para tal rejeição e, consequentemente,

nos faz concluir que a amostra coletada é estatisticamente suficiente.

102

Tabela 14 - Frequência absoluta e percentual coluna, seguido da estatística qui-quadrado, p-valor exato e poder do teste, para cada uma das 05 questões,

nos testes inicial e final

Questão Acerto/Erro

Teste

Total Estatística

Qui-Quadrado

p-valor Poder

Inicial Final

Q1

Acerto 8 37

45

33,1104 <.0001 0,9984 19 80

Erro/Branco 34 9

43 81 20

Q2

Acerto 13 29

42

9,0626 0,0026 0,6383 31 63

Erro/Branco 29 17

46 69 37

Q3

Acerto 0 31

31

43,6979 <.0001 0,9999 0 67

Erro/Branco 42 15

57 100 33

Q4

Acerto 0 20

20

23,6317 <.0001 0,9997 0 43

Erro/Branco 42 26

68 100 57

Q5

Acerto 0 18

18

20,6609 <.0001 0,9998 0 39

Erro/Branco 42 28

70 100 61

Total 42 46 88


Em relação à quantidade total de acertos, isto é, a soma da quantidade de

acertos entre as 05 questões abordadas, também foi detectada significância

estatística a 95% de confiança, uma vez que p-valor foi menor que 0,05 em todos os

casos. Dessa forma podemos afirmar, estatisticamente com 95% de confiança, que

há diferença na quantidade total de acertos e erros entre os testes inicial e final.

Também podemos tomar a mesma conclusão com 99% de confiança (1% de

significância), uma vez que p-valor foi menor que 0,01.

Analisando os resultados da Tabela 2, temos que no teste final a quantidade

total de acertos foi de 59%, enquanto no teste inicial essa quantidade foi de apenas

10%. Podemos afirmar, tanto a 95% como a 99% de confiança, que houve um

aumento estatisticamente significativo na quantidade total de acertos no teste final

em relação ao teste inicial. O poder do teste foi de 0,9912.

103

Tabela 15 - Frequência absoluta e percentual coluna, seguido da estatística qui-quadrado, p-valor exato e poder do teste, para o total de acertos e erros

entre todas as 05 questões, nos testes inicial e final

Total de Questões

Teste Total

Inicial Final

Acerto 21 135

156 10 59

Erro/Branco 189 95

284 90 41

Total 210 230 440

Estatística Qui-Quadrado 113,7463

p-valor

<.0001

Poder

0,9912


A partir das análises desenvolvidas e dos testes de hipóteses realizados,

podemos concluir, estatisticamente, que as aulas com o software GeoGebra,

apresentou um resultado satisfatório, uma vez que pudemos concluir,

estatisticamente, que houve um aumento na quantidade de acertos no teste final em

relação ao inicial para todas as 05 questões abordadas, bem como para o total.

104

CONSIDERAÇÕES FINAIS

A elaboração deste estudo demonstrou a evolução das TICs e sua

aplicabilidade para o processo de ensino-aprendizagem de Matemática, com ênfase

nos conceitos geométricos utilizando o GeoGebra.

A teoria histórico cultural de Vygotsky constitui uma importante contribuição

para a educação, uma vez que trouxe importante reflexões sobre o processo de

formação das funções intelectuais e psicológicas do ser humano sobre as relações

entre ensino, aprendizagem e desenvolvimento.

Na aprendizagem mediada por computador e/ou software é importante que o

professor (mediador da aprendizagem) tenha acesso às informações de diversas

áreas de conhecimento, facilitando processo de mediação da aprendizagem.

Vygotsky postulou que os alunos podem aprender de forma colaborativa por

meio da aprendizagem mediada cujo objetivo é facilitar o desempenho e

desenvolver a competência, conforme foi demonstrado neste estudo com a

utilização do GEOGEBRA.

O GeoGebra pode ser influenciado diretamente pelo usuário (aluno e/ou

professor). Por um lado, a representação geométrica pode ser modificada

arrastando-o com o mouse, em que a representação algébrica é alterada de forma

dinâmica. Por outro lado, a representação algébrica pode ser alterada utilizando o

teclado fazendo com que o GeoGebra ajuste automaticamente a representação

geométrica relacionada. Estas características fazem do GeoGebra um software

importante para o ensino dos conceitos de geometria para os alunos do Ensino

Médio, pois motiva-os na utilização das TICs para o processo de aprendizagem de

matemática; é um software livre – gratuito e de fácil acesso na web; além de atender

às necessidades de aprendizagem dos alunos referente aos conceitos de geometria.

Enquanto o GeoGebra trivializa uma série de tarefas matemáticas

tradicionais, tais como funções gráficas, resolução de equações, reflexões

geométricas, ele abre uma porta para outras interessantes e motivadoras

105

explorações matemáticas e fornece uma plataforma para a concepção e

implementação de investigação com base na aprendizagem.

À medida que as TICs evoluem e passaram a fazer parte da vida dos alunos,

tanto no ambiente escolar como fora dele, a resolução de problemas de modo

tradicional pode ser considerada a partir de uma perspectiva de modelagem

matemática, incorporando a evolução das necessidades dos alunos e as

expectativas da sociedade.

Outro fator relevante está relacionado em função da natureza versátil do

GeoGebra e seu contínuo desenvolvimento, prestando-se a uma variedade de

referenciais teóricos para a educação matemática. Assim, como é possível

reconhecer a natureza dinâmica da compreensão matemática e a utilização do

GeoGebra no processo de ensino-aprendizagem dos conceitos geométricos,

procurou-se adotar uma compreensão dinâmica e diversificada da instrução e

aprendizagem de teorias, baseada na comunidade mundial que utiliza o GeoGebra e

outras TICs oferecendo novas oportunidades para a melhoria da qualidade na

educação matemática e na aprendizagem dos conceitos de geometria.

O GeoGebra combina a facilidade de uso, bem como as características de

construção de um software de geometria dinâmica com o poder e funcionalidade de

um sistema de álgebra computacional, abrindo uma ampla gama de possibilidades

de aplicação para o ensino da matemática. Sua versatilidade permite aos

professores usar o software em todos os níveis de ensino da escola secundária até

a faculdade, e para uma ampla gama de diferentes temas matemáticos. No caso do

presente estudo, o GeoGebra foi empregado para o processo de ensino-

aprendizagem de conceitos de geometria em duas turmas do Ensino Médio.

Devido às suas características, o GeoGebra pode ser utilizado como uma

ferramenta de apresentação de conceitos, bem como para a criação de materiais

didáticos, tais como notas ou fichas interativas de aula. Uma vez que o software foi

inicialmente desenvolvido para ser utilizado por alunos, promove a aprendizagem

ativa e a descoberta, e pode facilmente ser usado por eles para realizar

experimentos matemáticos.

106

A presente pesquisa, durante a realização do diagnóstico inicial, que incluiu

questões sobre razões trigonométricas no triângulo retângulo, conteúdo que deveria

ter sido aprendido e assimilado durante o Ensino fundamental, demonstrou que:

apenas 10% das respostas foram corretas, o que representa um ‘abismo’ entre o

ideal e o realizado em sala de aula no processo de ensino-aprendizagem de

conteúdos matemáticos.

Esses resultados implicaram na necessidade de revisão desses conteúdos,

fazendo com que o pesquisador elaborasse aulas sobre razões trigonométricas no

triângulo retângulo antes de iniciar com novos conteúdos. O GeoGebra possibilitou a

realização dessas aulas, sendo este o primeiro contato dos alunos com o software.

Os resultados da pesquisa de perfil/hábito dos alunos em relação ao uso de

computadores em sala de aula, demonstrou que 91% dos alunos concordaram e se

interessaram em utilizar o computador. Deste modo, o computador foi utilizado para

apresentar os conteúdos matemáticos relacionados às razões trigonométricas no

triangulo retângulo por intermédio do GeoGebra.

É importante destacar que, apesar dos conteúdos apresentados serem uma

revisão do que deveria ter sido aprendido e assimilado pelos alunos durante o

Ensino Fundamental, essa revisão foi totalmente necessária e pôde ser realizada

com o GeoGebra.

O conteúdo foi revisado durante o mês de setembro/2014 para todos os

alunos (55) das duas turmas do 1º ano do Ensino Médio na instituição pesquisada.

E, na primeira semana de outubro/2015, foi realizado um novo diagnóstico para

avaliar a evolução da aprendizagem dos alunos sobre os conteúdos apresentados

com o uso do GeoGebra.

A realização do novo diagnóstico na primeira semana de outubro/2014, após

a revisão dos conceitos matemáticos com a utilização do GeoGebra durante o mês

de setembro/2014, demonstrou uma clara evolução dos alunos na aprendizagem

dos conceitos apresentados.

Estes resultados demonstram que o GeoGebra é uma importante ferramenta

para o processo de ensino-aprendizagem dos conceitos de matemática e geometria.

107

Uma observação importante, é que o professor deve realizar um diagnóstico

de avaliação dos seus alunos para identificar quais são suas reais necessidades de

aprendizagem, pois como aconteceu na presente pesquisa, para os alunos do 1º

ano do Ensino Médio que participaram deste estudo, foi preciso realizar uma revisão

dos conteúdos matemáticos do Ensino Fundamental antes prosseguir com os

conceitos geométricos do Ensino Médio.

Essa revisão dos conceitos matemáticos do Ensino Fundamental foi essencial

para melhorar a compreensão dos alunos e facilitar a aquisição de conhecimentos

na sequência do processo de ensino-aprendizagem dos conceitos matemáticos e de

geometria, que também serão realizados por intermédio do GeoGebra.

Em resposta ao problema de pesquisa apresentado na introdução deste

estudo (como a tecnologia da informação e comunicação contribui na produção de

contextos de ensino de conteúdos da Geometria no Ensino Médio?), concluiu-se que

as TICs são importantes ferramentas para o processo de ensino-aprendizagem de

conteúdos de geometria e matemática no Ensino Médio, sendo que o GeoGebra é

um software livre, fácil de usar, utilizado em âmbito mundial, com resultados

positivos para a aquisição e assimilação dos conteúdos de matemática e geometria

pelos alunos. Esses dados descritos na revisão de literatura foram confirmados com

os resultados desta pesquisa.

Em síntese conclusiva, o GeoGebra mostrou-se uma ferramenta de fácil

acesso e de usar, por parte do professor e de seus alunos, além de ter contribuído

para maior assimilação dos conteúdos apresentados, mantendo os alunos

motivados no processo de ensino-aprendizagem dos conteúdos matemáticos e

geométricos apresentados.

108

REFERÊNCIAS

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111

APÊNDICE A - QUESTIONÁRIO DIAGNÓSTICO

Escola Estadual Maurício Nazar

Rua: João Dias, s/n – Parque Santos Dumont – Guarulhos, SP.

Matemática

Nome: ________________________________ Nº: ________ Série: ________

Avaliação de Reconhecimento

1) Nesta figura geométrica podemos chamar de triângulo retângulo ou triângulo

qualquer? Por quê? (O que define a sua resposta)

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

2) Você pode relacionar as três razões trigonométricas abaixo deste triângulo?

Seno b : .cat oposto

hipotenusa= ______________

Cosseno b : .cat adjacente

hipotenusa = _________

112

Tangente b : .

.

cat oposto

cat adjacente = ________

3) Nas duas figuras acima quantos ângulos retos, agudos e obtusos possuem?

Ângulos agudos: _________ Ângulos retos: __________ Ângulos

obtusos: ________

4) Um menino está “empinando uma pipa”, a linha está a uma inclinação de 60° em

relação ao solo e o carretel tem 40 metros, o menino usou todo o carretel para subir

a pipa. Pergunta-se: A quantos metros do solo a pipa se encontra?

Cálculos: (será considerado como resposta apenas o que estiver nesta área)

113

5) No triângulo abaixo, podemos usar o teorema de Pitágoras para estabelecer uma

relação importante entre a altura (h) e os seus lados (l). Pergunta-se; Qual a altura

do triângulo?

Cálculos: (será considerado como resposta apenas o que estiver nesta área)

114

APÊNDICE B - QUESTIONÁRIO DE PERFIL

1º Ano Ensino Médio

Sexo: ( ) Masculino

( ) Feminino

Perfil / Hábitos

1) De que forma você utiliza o computador?

( ) Sem acesso à internet (usa-se programas instalados)

( ) Com acesso à internet

( ) Indiferente, uso das duas maneiras depende da minha necessidade

2) Marque o que mais usa no computador (pode ser mais de uma), considere como

exemplo que tenha acesso a internet.

( ) Pesquisas de trabalhos escolares em geral em diversos sites

( ) Redes sociais

( ) Notícias

( ) Youtube

( ) Filmes / Música

( ) Vídeos

( ) Programas educacionais

( ) Planilhas de Texto, Cálculo, Apresentação, Desenho, etc...

( ) Outros ; ___________________________________________________

3) Com qual frequência você usa o computador?

( ) Diariamente

( ) 2 a 4 vezes por semana

( ) 1 vez por semana

( ) Raramente

( ) Nunca

115

3) Você usa o computador como um meio para seu estudo?

( ) Frequentemente

( ) Raramente

( ) Nunca

4) Se você respondeu “Frequentemente/Raramente”, diga o nome de um aplicativo,

software ou apenas descreva (resumidamente), o que já usou ou usa no computador

para ajudar em seu estudo.

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

________________________

5) Aonde você tem acesso a computador? Marque apenas uma resposta (considere

onde você fica a maior parte de seu tempo se houver mais de um lugar).

( ) Na escola

( ) Em casa

( ) Lan House

( ) Não tenho acesso

6) Nas aulas de Matemática os professores do Ensino Fundamental já usaram o

computador nas aulas para explicar um ou mais conteúdo?

( ) Sim

( ) Não

7) Só responda caso tenha respondido “Sim”, na questão anterior, caso contrário

pule para a 8.

Você gostou? Saberia dizer qual foi o conteúdo ou os conteúdos ensinados?

( ) Sim, gostei mas não me lembro qual foi o conteúdo ensinado

( ) Sim, gostei o conteúdo foi;

____________________________________________________

( ) Não gostei do uso de computador nas aulas

116

8) Apenas responda, resumidamente, na sua opinião;

Computadores podem ser útil em que na sua opinião?

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________

Obrigado!

universidade cruzeiro do sul programa de pÓs … · para a função exponencial ..... 44 figura 3...

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