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UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES
PÓS-GRADUAÇÃO “LATO SENSU”
FACULDADE INTEGRADA AVM
DIDÁTICA DA MATEMÁTICA PARA O ENSINO SUPERIOR –
A IMPORTÂNCIA DAS DEMONSTRAÇÕES MATERIAIS
Por: Danusa Correia de Andrade
Orientador
Prof. Mônica Melo
Rio de Janeiro
2012
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UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES
PÓS-GRADUAÇÃO “LATO SENSU”
FACULDADE INTEGRADA AVM
DIDÁTICA DA MATEMÁTICA PARA O ENSINO SUPERIOR –
A IMPORTÂNCIA DAS DEMONSTRAÇÕES MATERIAIS
Apresentação de monografia à Universidade
Candido Mendes como requisito parcial para
obtenção do grau de especialista em Docência do
Ensino Superior.
Por: Danusa Correia de Andrade
3
AGRADECIMENTOS
Aos amigos e parentes, colegas de
trabalho e estudo.
4
DEDICATÓRIA
Ao meu marido e minha mãe que sempre
apóiam minhas escolhas.
5
RESUMO
Este trabalho tem como finalidade expor toda a problemática que há em
entender certas fórmulas e expressões matemáticas durante a formação
docente, uma vez que o professor precisa convencer seu aluno de que a
Matemática não é tão difícil e massante quanto se parece para muitos. Nos
ensinos fundamental e médio não há tempo suficiente para tantas
demonstrações afim de que se compreenda o real sentido de uma série de
fórmulas e cálculos matemáticos, porém, no ensino superior se faz necessário
tais demonstrações para que se formem educadores, que visem os princípios e
fins da Matemática, afinal, não se ensina o que se decora e sim o que se
aprende e compreende. Incorporar as demonstrações materiais no percurso da
formação docente em Matemática, criando situações problemas que sejam
resolucionadas com cálculos que por vezes fazemos inconscientemente sem
saber que a Matemática está presente. Fazer com que o discente, no curso de
sua formação, aprenda a demonstrar o uso de fórmulas com a utilização de
matéria física e abstração, o que deixa a aula muito mais atrativa e didática.
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METODOLOGIA
A iniciativa desta pesquisa foi tomada devido a dúvidas apresentadas
durante a graduação com relação ao decoro sem fim de determinadas
fórmulas matemáticas, uma para cada situação.
Os métodos aplicados na construção desta pesquisa foram basicamente
consultas bibliográficas de onde foram extraídas as fórmulas matemáticas e
suas representações, também foram feitos testes práticos com materiais
diversos, os quais as fotografias foram utilizadas neste trabalho, para
comprovação de algumas fórmulas.
Os autores mais importantes para o desenvolvimento deste projeto
foram SELBACH, BELLOS e IEZZI cujo conteúdos de seus livros contribuíram
grandemente no pensamento e abstração deste; também foram extraídas
algumas citações de grandes filósofos matemáticos de websites da internet.
7
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO 08
CAPÍTULO I - A MATEMÁTICA PRESENTE NO COTIDIANO –
AS PRINCIPAIS FÓRMULAS E SUAS UTILIDADES 10
CAPÍTULO II - DIFICULDADES EM MATEMÁTICA E SUA GESTÃO NO
ENSINO SUPERIOR 17
CAPÍTULO III – EXEMPLIFICANDO AS FÓRMULAS PARA APRENDIZAGEM 22 CONCLUSÃO 44
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA 46
ÍNDICE 48
8
INTRODUÇÃO
O indivíduo que escolhe a profissão docente em Matemática é porque
tem afinidade com números e seus derivados, não havendo grandes
dificuldades no aprendizado da mesma. Porém, a absorção de fórmulas e
conteúdos, nem sempre é completa: aprende-se a calcular mas não a
demonstrar.
A Matemática é uma ciência de caráter hipotético-dedutivo, assim
sendo, necessita certo grau de abstração para seu estudo; é muito comum, em
salas de aula, esta matéria ser ensinada aos alunos apenas com o conteúdo
dos livros e explicada com fórmulas e resolução de exercícios, porém nem
todos os alunos conseguem ter idéias e abstraí-las de forma a entender o
problema proposto.
Uma grande dificuldade em sala de aula é a compreensão de
determinadas fórmulas matemáticas, o real sentido de serem como são, para
tal, a demonstração material ou abstração do tema estudado é de fundamental
importância.
É preciso valorizar as formas dinâmicas de aprendizagem matemática
no ensino superior de forma a compreender grandes fórmulas matemáticas
através de demonstrações, utilizando materiais auxiliares para explicar a
Matemática e facilitar a visualização de tais fórmulas na matéria física.
Fundamental seria o uso da teoria junto à prática, o uso dos livros junto
aos experimentos matemáticos, incorporando situações cotidianas para
demonstrar a usabilidade das teorias. Demonstrar nem sempre é fácil, ocupa
um tempo maior, mas quando isso é incorporado à prática docente, em sala de
9
aula, traz bons resultados criando uma abstração matemática nos alunos de
forma que o aprendizado se torne significativo.
A aprendizagem matemática não deve ser considerada difícil,
cansativa ou entediante, esta deve ser tomada como um prazer, como algo
que se torna possível a todo o momento e em todas as coisas. Mais que um
dever, uma necessidade de enxergar a sua utilidade para resolver dos
problemas mais simples em situações cotidianas aos mais complexos por
alguma necessidade ou mesmo curiosidade.
Estudar a Matemática é muito mais do que decorar fórmulas, é o
prazer de enxergá-la no funcionamento das coisas e saber aplicá-la nas mais
diversas situações.
10
CAPÍTULO I
A MATEMÁTICA PRESENTE NO COTIDIANO –
AS PRINCIPAIS FÓRMULAS E SUAS UTILIDADES
Pressupõe-se que, desde os primórdios tempos, a humanidade já
possuía certa capacidade de perceber variações de quantidades, seja para
mais ou para menos, em pequenas coleções de objetos. Essa percepção até
mesmo animais a possuem, como algumas espécies de aves que “contam”
seus ovos e mamíferos em geral, que sabem exatamente quando falta um de
seus filhotes.
Como a espécie humana é dotada de inteligência superior, com o
passar do tempo ela se desenvolveu, veio o início da civilização e a contagem
foi se tornando cada vez mais necessária de modo a lidar com conjuntos
maiores de objetos ou seres.
1.1 – A Matemática pré-histórica
Maneiras primitivas de contagem são datadas de cerca de dez mil
anos antes de cristo, no período paleolítico (idade da pedra), com pedras,
riscos em ossos, entalhes em madeiras ou placas de barro e nós em cordas.
11
Tíbia de lobo pré histórico descoberta em 1937.
(Fonte: http://otimatematica.blogspot.com, de 11/12/11)
O acúmulo de bens, as trocas de materiais equivalentes, que é a idéia
mais rudimentar de comércio, a criação de animais e ainda a prática da
agricultura necessitavam de algum sistema que os quantificasse, uma vez que
pedras ou nós em cordas já não eram mais suficientes.
A Matemática parte da mais pura e simples necessidade de contar,
expressar quantidades exatas para que se reconheça os ganhos e não haja
perdas.
Os primeiros vestígios da criação da Matemática foram encontrados
nas terras às margens do rio Nilo, são de origem dos povos babilônios e
egípcios, os quais a utilizavam no dia-a-dia para cálculo de áreas de terrenos,
de volumes de silos, impostos sobre lotes de terras e na contagem do tempo.
Grandes invenções egípcias são usadas até os dias atuais como o relógio e o
calendário.
12
Modelo de relógio de sol.
(Fonte: http://galeriaphotomaton.blogspot.com/2008/07/relgios-de-sol-1.html)
1.2 – A evolução da Matemática
O tempo passou e a Matemática evoluiu da forma empírica
(experiência prática) para a forma abstrata com os gregos, que interessavam-
se pela investigação da natureza e essência das coisas. A contribuição
matemática dos gregos nos proporcionou os conceitos de números pares,
ímpares, primos, múltiplos e divisores. Seus precursores foram Pitágoras e
Aristóteles.
A partir de então, a Matemática foi dividida em três grandes grupos:
Aritmética (trabalha com as quatro operações matemáticas), Álgebra (maneira
como se faz cálculos) e Geometria (trabalha com medições de formas e
espaços).
Os grandes nomes no campo da Geometria são Talles de Mileto (640
a.C. — 550 a.C.), Pitágoras (570 a.C. — 497 a.C.), Platão (427 a.C. — 347
a.C.), e Euclides de Alexandria (360 a.C. — 295 a.C.); suas descobertas
desvendaram grandes coincidências numéricas no campo físico e visual. A
Matemática grega era basicamente geométrica.
13
Talles de Mileto parte da observação racional com o conhecido
“teorema de Talles” onde se compara triângulos encontrando as medidas de
um de seus lados através da proporção.
Todos conhecemos o triângulo retângulo tal qual relacionado ao
“teorema de Pitágoras”. Este nos revela o mistério de dois quadrados menores
e de tamanhos diferentes possuírem a mesma área de um quadrado maior e
todos estes se encaixam perfeitamente com um de seus lados.
A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa
(Fonte: BELLOS, Alex. Alex no país dos números, p.94)
O tatraedro, o cubo, o octaedro, o icosaedro e o dodecaedro são os
sólidos de Platão, todos construídos a partir de polígonos regulares. Ele os
comparava, através de suas deduções, aos elementos da constituição da
matéria: fogo, terra, ar, água, respectivamente, e o último com relação à
totalidade dos outros.
Polígonos regulares
(Fonte: BELLOS, Alex. Alex no país dos números, p.101)
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Sólidos platônicos
(Fonte: BELLOS, Alex. Alex no país dos números, p.102)
Euclides trabalhava sua Matemática com lápis, régua e compasso,
provava que com estes era possível demonstrar a criação e comprovação de
triângulos equiláteros e outras diversas formas geométricas perfeitas, planas
ou tridimensionais.
1.3 – A presença da Matemática
A história nos mostra que toda a evolução da civilização humana está
ligada à evolução da Matemática e vice-versa, pois com o crescimento da
civilização a Matemática se tornou cada vez mais necessária e presente no
cotidiano das pessoas e, caso a Matemática não evoluísse, também a
civilização continuaria primitiva. Uma citação de Jacques Chapellon (1884 -
1973) vem a afirmar esta premissa: “Existe um paralelismo fiel entre o
progresso social e a atividade matemática, os países socialmente atrasados
são aqueles em que a atividade matemática é nula ou quase nula”.
Se não existisse a Matemática não existiriam móveis,
eletrodomésticos, computadores e qualquer outra invenção; a Matemática está
presente desde uma simples receita de bolo até a fabricação de um produto de
alta tecnologia como um i-phone. Para alguns, ela complica, mas sua natureza
é a de explicar.
15
A Matemática nos apresenta estratégias para resolver problemas
diversos em nosso cotidiano, em nossa vida prática. Não se atravessa a rua na
frente de um carro sem antes calcular, mental e imperceptivelmente, o tempo
para percorrer este trajeto antes que o carro o alcance.
Já disse René Descartes (1637) que: “A Matemática apresenta
invenções tão sutis que poderão servir não só para satisfazer os curiosos
como, também para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens”.
Na natureza se apresentam as mais diversas formas geométricas, as
quais podem ser explicadas matematicamente, como o crescimento de plantas
com determinada incidência de luz, ou como a curvatura e inclinação de um rio
influenciam em sua correnteza; as estações do ano que são propícias ao
cultivo de determinados alimentos devido à inclinação da Terra em relação ao
Sol.
Até mesmo em uma bola de futebol está presente a Matemática, basta
reparar que ela é formada por hexágonos e pentágonos que se encontram
perfeitamente. Há também outros brinquedos ou jogos de criações bastante
antigas como o quebra-cabeça fifteen, o sudoku, o cubo mágico, o tangran e,
um pouco mais atual, o banco imobiliário.
Tangran
Fifteen
Sudoku
(Fonte: BELLOS, Alex. Alex no país dos números, p.247, 252, 241)
Podemos também encontrar a Matemática na astrologia, astronomia,
previsão do tempo, medicina, nutrição, informática, música, costura... Em todas
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as coisas é possível se provar que existe a presença da Matemática, ou até
mesmo provar a existência de tal coisa através desta ciência. Infinita ela se faz
diante de todo o conhecimento humano.
17
CAPÍTULO II
DIFICULDADES EM MATEMÁTICA E SUA GESTÃO NO
ENSINO SUPERIOR
Segundo a linha de estudos da “teoria das inteligências múltiplas”
de Howard Gardner, onde são citados dez tipos de inteligência, são elas:
lógico-matemática (facilidade em contas), lingüística (habilidade com palavras),
espacial (visualização e manipulação de formas e objetos), musical (criar sons
e/ou cantar), corpóreo-cinestésica (boa coordenação motora), intrapessoal
(auto-administração emocional), interpessoal (entende sentimentos alheios),
pictórica (facilidade com pintura e desenho), naturalista (sentir-se parte da
natureza) e espiritual (crença); cada pessoa possui todas estas inteligências,
todavia dispostas em uma escala gradativa decrescente.
Portanto, a pessoa que opta pela graduação em Matemática
certamente possui uma inteligência lógico-matemática maior do que todas as
suas outras nove inteligências. Assim, na universidade se faz unânime a
vontade de aprender todos os ramos desta matéria, ainda que, para uns seja
mais fácil a geometria, para outros a álgebra ou o cálculo.
Contudo, é preciso criar maneiras diversas de explicar temas
matemáticos, pois, na posição futura de professor, em uma sala de aula de
ensino fundamental ou médio, não será unanimidade a inteligência lógico-
matemática predominante.
Apresentar a matemática de forma explicitada, praticada e até
ilustrada, traz a visão do que está sendo feito, do porque de calcular tal coisa e
faz com que fique claro e simples o tema abordado para todas as escalas de
inteligências do público de uma sala de aula.
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2.1 – Grandes dificuldades na docência
Não são muitas as pessoas que gostam de Matemática, é bastante
comum, ao se apresentar como professor desta, que as pessoas se
surpreendam e digam que a matéria é difícil e árdua. Porém, para o professor
é bastante prazerosa; trazer o seu aluno à aula, fazer com que ele
compreenda determinado tema, participe, resolva exercícios, apresente
dúvidas, questione.
Esta matéria já carrega um estigma de insucesso, por isso bastante
temida pelos alunos, é matéria de grande peso curricular e é utilizada por toda
a vida.
De acordo com a pesquisa Relação com o Saber e Matemática, 2004-
2006, feita com alunos do primeiro segmento do ensino fundamental, em São
Cristóvão, área metropolitana de Aracaju (Serjipe), com relação ao porque se
aprende Matemática revela o seguinte resultado:
Concluímos que muitos alunos não sabem por que devem
aprender a matemática. Estudam (quando estudam...)
porque a escola exige, porque a professora ensina,
porque é obrigatório para passar de ano. (...) Outros
alunos conferem sentido à matemática em relação
cotidiana fora da escola (11%) ou dizem que a
matemática é importante para terem um emprego mais
tarde (14%). (SILVA, 2009, p.36)
A exemplo desta pesquisa não é difícil imaginar que o aluno continue
com esse pensamento nos anos seguintes de vida escolar. Exercendo o
magistério, todo docente em Matemática tem essa conclusão: grande parte
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dos alunos não se interessam, não vêem utilidade e, por conta disso, não
gostam da Matemática.
É preciso trazer a matéria ensinada ao campo de conhecimento do
aluno, misturar o que se aprende com sua vida prática: compras no mercado,
troco na padaria, esportes, novela. Ligar a matéria aos níveis de interesse do
aluno criando situações-problema a serem resolvidas coletivamente em sala de
aula com o auxílio do professor.
Após o aluno perceber que pode resolver tais problemas, propor como
tarefa de casa, exercícios parecidos e aumentar o grau de dificuldade sem que
o aluno perceba. Isso o encorajará a concluir suas tarefas, assim estará
aumentando seus conhecimentos com o treino da matéria e trará mais
discussões em sala de aula durante a correção.
Mostra também ao aluno que a Matemática que aprende
não vem pronta em pacote que na sala de aula se
desamarra e apresenta, mas como “refeição” que
coletivamente pode ser construída por alguns, por
diversos e por todos. Uma gostosa refeição. (SELBACH,
2010, p.93)
A Matemática não é apenas uma matéria do currículo escolar, é uma
aprendizagem a ser utilizada por toda a vida, o seu domínio é uma arte, não se
vive sem esta.
2.2 – Didática no ensino superior da Matemática
Ensinar Matemática, como qualquer outro tema, requer dedicação e
esforço, a didática (teoria do ensino) converte essa ciência em matéria de
20
ensino, faz com que deixe de ser puramente teorias e cálculos tornando-se
acessível e útil a todos.
Uma boa aula é feita pela ação de alunos e professores em conjunto,
este deve ser um momento privilegiado construído por eles. Porém a aula de
Matemática é a que apresenta o maior nível de desinteresse dos alunos devido
as suas dificuldades em aprendê-la.
Não é apenas o aluno do ensino fundamental ou médio que apresenta
dificuldades em Matemática, também o aluno do ensino superior possui esta
dificuldade, contudo é preciso saná-la e fazer com que ele encontre seu melhor
caminho e obtenha sucesso em sua aprendizagem.
Conhecer a história de vida do aluno, o meio em que vive, seus
conhecimentos prévios em Matemática são itens importantes ao professor para
que ministre sua aula sem subestimar seu aluno e promover uma melhor
construção de seu conhecimento, seja nos ensinos fundamental e médio ou na
graduação.
Todo tema merece dúbia interpretação, que sempre é
possível contextualizá-lo ao mundo em que se vive, que
existem caminhos diferentes para se buscar resposta
(SELBACH, 2010, p.86).
O ensino de Matemática na universidade constitui um processo de
construção do ser crítico e produtor de conhecimento, ele deve propiciar o
domínio de técnicas e habilidades ao discente, este que deve adquirir a
pesquisa como forma de aprender.
Mesmo depois de formado, o professor deve sempre continuar
buscando maneiras cada vez melhores de ensinar sua matéria afim de que
21
não se torne maçante ao aluno seu aprendizado, caso contrário, a aula se
torna desprezível e aprendizagem se esvai.
O aluno registra palavras ou fórmulas sem compreendê-
las. Repete-as simplesmente para conseguir boas
classificações ou para agradar ao professor (...) habitua-
se a crer que existe uma “língua do professor”, que tem
de aceitar sem a compreender, um pouco como a missa
em latim. (...) O verbalismo estende-se até às
matemáticas; pode-se passar a vida inteira sem saber por
que é que se faz um transporte em uma operação;
aprendeu-se, mas não se compreendeu; contenta-se em
saber aplicar uma fórmula mágica (PIMENTA e
ANASTASIOU, 2010, p.208).
Da ação de ensinar se decorre a ação de aprender, o ato de ensinar
não pode resumir-se ao momento da aula expositiva, deve também haver o
momento do questionamento; a avaliação não deve valer-se somente da nota,
do quanto se acertou, mas do privilégio de qualificar a aprendizagem dos
alunos verificando onde estão as maiores deficiências e sanando-as com
revisão de conteúdos e novas formas de explicação.
A formação básica do docente em Matemática se deve à graduação,
mas a qualidade de seu trabalho se deve às competências aprendidas na
universidade e, ainda mais, às práticas exercidas ao longo de sua vida
profissional.
O graduando, ou seja, o futuro docente que aprende a Matemática de
forma interativa e atrativa também desenvolverá maneiras novas de ensinar
aos seus alunos. Isso se torna um caminho infinito que tende sempre melhorar
em conformidade com as práticas de ensino aplicadas por ele em sala de aula.
22
CAPÍTULO III
EXEMPLIFICANDO AS FÓRMULAS PARA
APRENDIZAGEM
Quando aprendemos algo novo pode ser que fique na memória por
algum tempo, enquanto se tem a necessidade de utilizar tal conhecimento, ou
pode ser tão importante e significativo que se leve para toda a vida, que nos
transforme.
Uma aprendizagem significativa parte do momento em que se cria
situações-problema para exemplificar o tema abordado, é como descobrir uma
nova maneira de perceber coisas que antes não percebia. Para tal, os
conteúdos conceituais com que o professor trabalha, devem ser interessantes,
coloridos, criativos e surpreendentes a fim de buscar a atenção do aluno e, se
possuírem um vínculo com situações reais, isto é, que tais exemplos possam
ser aplicados para resolver problemas da vida prática, isso traz emoção e
sensibilização permitindo assim que a aprendizagem transforme o aluno, que
seja significativa.
Com a Matemática, o processo de aprendizagem não se faz diferente.
As principais fórmulas que se aprende, e que são utilizadas em vários
momentos da vida, como o “teorema de Pitágoras”, o “teorema de Talles”,
cálculos de razão, proporção, juros simples, regra de três, a regra de ouro,
pouquíssimo conhecida mas muito significativa, progressões, somatórios,
arranjos, combinações, permutações e outras.
Com o objetivo de tornar interessante e real tais fórmulas, veremos o
quão possível será a aprendizagem de algumas delas.
23
3.1 – Progressões
Em progressões sabemos que sempre partimos de uma sequência
numérica a qual segue algum tipo de regra para existir. Todavia, o estudo das
progressões serve para nos mostrar qual será o próximo elemento dessa
sequência, ou qual será o nonagésimo elemento dessa sequência, ou qual
seria a soma nos vinte primeiros termos desta sequência, tudo isso a partir de
uma razão, sendo esta a regra da sequência.
Podemos trabalhar com dinheirinho de brinquedo para exemplificar
este tema. Vamos utilizar notas fáceis de se calcular: R$ 2,00 e R$5,00. Então
para cada exemplo dado, estaremos inserindo estas notas.
3.1.1 – Progressões Aritméticas – Razão, termo geral e soma dos n
primeiros termos
As progressões aritméticas, como o próprio nome diz, vem da soma,
esta que fará a regra da sequência. Sendo assim, se temos uma sequência (2,
7, 12, 17, 22, ...) já é possível imaginar que a regra para que essa sequência
exista é que sempre se deve somar cada número com cinco para obter o termo
seguinte: 2 (+5), 7 (+5), 12 (+5), 17, e assim por diante. Com esse pensamento
já temos a razão.
Agora, para se achar o termo geral na de uma PA temos a fórmula
( )rnaan .11 −+= , explicando-a através de um exemplo:
Precisa-se saber qual é o sétimo termo da sequência (2, 7, 12, 17,
22,...).
24
Se queremos obter o sétimo, precisamos ter o primeiro e somar com
seis vezes a razão. Temos dois reais, este é o 1a , o primeiro termo, até chegar
no sétimo precisamos andar mais seis casas e, para cada casa, adicionamos
uma nota de cinco reais:
__,__,__,__,__,__,2 555555 ++++++
Por isso a fórmula ( )rnaan .11 −+= à ( )raa .617 += à ( )5.627 +=a à
3027 +=a à 327 =a .
Já vimos a razão, o termo geral e finalizaremos PA com a soma dos n
primeiros termos.
Pretende-se somar estes sete primeiros termos, se soubermos o
primeiro e o sétimo já poderemos adivinhar o valor da soma.
Reparemos que sempre que somamos os termos simétricos obtemos o
mesmo resultado:
+
34
3202
+
34
2707
+
34
2212
+
34
1717
+
34
1222
+
34
0727
+
34
0232
Assim, ao somarmos dois números simétricos, no caso, o primeiro e o
sétimo, dividimos o resultado por dois: ( )2
71 aa +. Após isso, basta multiplicar
pela quantidade de termos que desejamos somar nesta sequência: ( )
7.2
71 aa +.
Vejamos com o exemplo de uma pilha de moedas formando um
triângulo:
6 casas andadas
25
(Fonte: ANDRADE, 2012)
Basta somar a primeira carreira com a última: 761 =+ , dividir esse
resultado por dois: 5,327 =÷ , e multiplicar pela quantidade de carreiras:
2165,3 =× .
Ou mais fácil, somamos a primeira carreira com a última: 761 =+ , e
multiplicamos o resultado pela metade das carreiras: 2137 =× . Se contarmos
uma a uma as moedas obteremos o mesmo resultado.
3.1.2 – Progressões Geométricas – Razão e termo geral
Nas progressões geométricas trabalhamos com a multiplicação do
primeiro termo por um número que será a regra de formação desta sequência,
ou seja, a razão que agora é representada por q:
( ),...162,54,18,6,2 33333 ×××××
Dessa maneira, calculando um termo geral, no caso, deseja-se o
terceiro termo, justificaremos a maneira de encontrá-lo: começamos sabendo
26
que o primeiro termo da sequência é o 2, então, até chegar ao terceiro termo
desta temos que multiplicar pela razão, que é 3, duas vezes.
Observemos com moedinhas:
(Fonte: ANDRADE, 2012)
Começamos com 21 =a , até chegar ao 3a tivemos que multiplicar pela
razão duas vezes, dessa forma multiplicamos por 23 , obedecendo assim à
fórmula 11.
−= nn qaa .
3.2 – Matemática Financeira
Este ramo da Matemática se utiliza de frações para calcular razão,
proporção, porcentagem e juros os quais se aplicam a dinheiro, neste tópico
não será trabalhará com dinheiro mas com objetos simples para uma melhor
visualização.
3.2.1 – Razão e proporção
Quando procura-se a razão entre dois valores, na verdade está se
buscando uma relação entre eles. Exemplo: Uma empresa abriu 20 vagas de
27
trabalho, onde 50 pessoas se candidataram para concorrer a uma destas
vagas. Qual a razão entre o número de vagas e o de candidatos?
Dizemos que há 20 vagas para cada 50 candidatos ou 5020
, e ainda
simplificando por dez, 52
candidatosvagas
. Ou seja, para cada duas vagas há cinco
candidatos, visualmente cada potinho representa a vaga e cada grão de feijão,
o candidato:
(Fonte: ANDRADE, 2012)
Se fosse ao contrário, pedisse a razão entre o número de candidatos e
o número de vagas seria 25
vagascandidatos
.
Já a proporção trabalha diretamente com a razão, utilizando este
exemplo de vaga/candidato basta aumentarmos o número de vagas que
proporcionalmente o número de candidatos vai aumentar também:
28
(Fonte: ANDRADE, 2012)
Assim, vimos que 52
é proporcional a 156
.
3.2.2 – Porcentagem
A porcentagem, um pouco diferente do que se vê nos livros, pode ser
facilmente explicada e visualizada da seguinte maneira: com um círculo
desenhado e recortado em um pedaço de E.V.A. e dividido em dez partes,
assim, se cada parte vale 10%, teremos 100% no círculo inteiro.
Para cada 10% que for representar, basta cobrir uma parte do círculo
e, para 15%, cobre-se uma parte e meia.
Triplicou o número de vagas: 3 x 2 = 6
Triplicou o número de candidatos: 3 x 5 = 15
29
(Fonte: ANDRADE, 2012)
Este é um meio prático de se visualizar a idéia de porcentagem, outra
idéia é fazer com dinheiro de brinquedo, juntando várias notas até obter cem
reais, depois o professor pede, por exemplo, 22% dos cem reais e o aluno terá
que retirar vinte e dois reais dos cem que possui. Na sequência, introduzir
múltiplos e submúltiplos de dez.
3.2.3 – Juros simples
Os juros simples é o rendimento de uma aplicação financeira, sua
fórmula é niCJ ..= , onde J (juros), C (capital), i (taxa de juros) e n (tempo). Se
ultrapassarmos a data de vencimento de uma conta, a pagaremos com juros,
dessa maneira podemos calcular o valor que iremos pagar determinada conta
após seu vencimento.
30
Como sugestão em sala de aula, cada aluno pode levar uma conta de
luz, por exemplo, e com o auxílio do professor calcularão o valor a ser pago
após n dias do vencimento. Isso traz o aluno à realidade de seu tempo e faz
com que ele veja a Matemática ser utilizada em sua vida prática.
3.3 – Análise Combinatória
Trabalhar com possibilidades e hipóteses é o que se faz em análise
combinatória, nesta se consegue adivinhar a quantidade de chances de acertar
um número jogando-se um dado, de maneiras diferentes de agruparem-se
pessoas e outras coisas mais.
3.3.1 – Fatorial e Permutação – Troca de posição sem repetição
Vamos pensar que temos em uma sala de aula três alunos, eles
precisam apresentar seus trabalhos, mas não sabemos qual ordem de
apresentação seguir. Podemos começar com o aluno A, seguir com o B e
fechar com o C. Mas podemos mudar essa sequência: ACB, BAC, BCA, CAB e
CBA. Com isso temos seis possibilidades de troca de posição.
Bem, com apenas três alunos é fácil permutar. Agora vamos imaginar
essa situação com um número um pouco maior, cinco alunos: A, B, C, D e E.
Quantas seriam as permutações possíveis para a ordem de apresentação
destes alunos?
Para isto basta que multipliquemos uma seqüência numérica crescente
que parte do 1 ao 5. Exemplo: 12054321 =xxxx . Assim fica prático saber o
número de possibilidades de se trocar de posição sem repetir, multiplicando a
partir do número 1 até o número final.
31
Essa contagem é chamada de fatorial e escreve-se desta forma
12012345!5 == xxxx .
Agora vamos verificar na prática como fica essa permutação de
elementos com as cinco letras:
BCCB
D
BD
DBC
CD
DCB
E
BC
CBE
BE
EBC
CEEC
B
D
BDDB
E
BE
EBD
DE
EDB
C
CD
DCE
CE
ECD
DEED
C
B
A
AC
CAD
AD
DAC
CD
DCA
E
AC
CAE
AE
EAC
CE
ECA
D
AD
DAE
AEEA
D
DEED
A
C
CDDC
E
CEEC
D
DE
EDC
A
B
AB
BAD
AD
DAB
BD
DBA
E
AB
BAE
AE
EAB
BE
EBA
D
AD
DAE
AE
EAD
DE
EDA
B
BD
DBE
BE
EBD
DE
EDB
A
C
AB
BAC
AC
CAB
BC
CBA
E
AB
BAE
AE
EAB
BE
EBA
C
AC
CAE
AE
EAC
CE
ECA
B
BC
CBE
BE
EBC
CE
ECB
A
D
AB
BAC
AC
CAB
BCCB
A
D
AB
BAD
AD
DAB
BDDB
A
C
AC
CAD
AD
DAC
CDDC
A
B
BC
CBD
BD
DBC
CDDC
B
A
E
Repare que o número de letras vai diminuindo como na multiplicação
decrescente e é possível visualizar todas as pemutações possíveis e contá-las
na última fileira. Para poupar trabalho, poderíamos ter todas essas letras em
cartões e colá-los ao quadro para exemplificar.
32
3.3.2 – Arranjo – Agrupando elementos como se queira
No caso do arranjo, variamos um pouco a permutação: nesta,
mudamos de posição todos os elementos do grupo, já no arranjo, formamos
subgrupos de número reduzido de elementos e mudamos de posição todos os
elementos destes subgrupos.
Vamos fazer um arranjo de quatro elementos (1, 2, 3 e 4) e tomá-los
de dois a dois:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )3,4;2,4;1,4
;4,3;2,3;1,3
;4,2;3,2;1,2
;4,1;3,1;2,1
. Assim verificamos a existência de doze
subgrupos. O mesmo verificamos na fórmula para arranjo de n elementos
tomados de k a k: ( )!!
, knn
A kn −= à ( ) 123.4
!2!2.3.4
!2!4
!24!4
2,4 ====−
=A
Com cartões e números escritos neles, colamos na lousa desta forma
de modo a explicar:
4
3
2
1
4
3
1
2
4
2
1
3
3
2
1
4
Vejamos um arranjo de cinco elementos tomados de três a três:
33
4
3
2
5
5
3
2
4
5
4
2
3
5
4
3
2
1
4
3
1
5
5
3
1
4
5
4
1
3
5
4
3
1
2
4
2
1
5
5
2
1
4
5
4
1
2
5
4
2
1
3
3
2
1
5
5
2
1
3
5
3
1
2
5
3
2
1
4
3
2
1
4
4
2
1
3
4
3
1
2
4
3
2
1
5
Observamos que o k é quantas colunas fazemos para cada n
elementos.
3.3.3 – Combinação – Conjuntos que não se repetem
A combinação é um arranjo onde não há repetição de elementos em
dois grupos. Se no arranjo podia existir os grupos (1,2) e (2,1), agora na
combinação apenas um deles pode existir.
No nosso alfabeto possuímos um conjunto de cinco vogais (a, e, i, o,
u), agora vamos combiná-las em subgrupos de dois elementos e eliminar os
que as letras se repetem:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )ouiueuau
uoioeoao
uioieiai
ueoeieae
uaoaiaea
,;,;,;,
;,;,;,;,
;,;,;,;,
;,;,;,;,
;,;,;,;,
à
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )uo
uioi
ueoeie
uaoaiaea
,
;,;,
;,;,;,
;,;,;,;,
à 10 combinações
34
Comprovamos pela fórmula matemática de combinação de n
elementos tomados de k a k: ( )!!!
, knkn
C kn −= à
( ) 10220
!3.2!3.4.5
!3!2!5
!25!2!5
2,5 ====−
=C combinações possíveis.
Podemos testar ver essas combinações colocando os elementos do
grupo em um círculo e verificando quantas ligações entre os elementos podem
ser feitas dentro deste círculo, veja:
No geoplano cartesiano podemos representar esse círculo e colocar
elásticos para representar as ligações, assim contamos a quantidade de
elásticos utilizados. Porém, esse tipo de exemplo só serve para k = 2.
Aumentaremos o valor de k. Vamos combinar cinco números tomados
de três a três, lembrando que na combinação os elementos de um subgrupo
não podem se repetir:
35
5
54
5
543
5
54
5
43
2
5
54
5
43
5
4
3
2
1
Verificamos, de acordo com a terceira coluna formada, que são dez
combinações possíveis.
E se combinarmos os mesmo cinco elemento tomados de quatro a
quatro:
36
5
54
5
543
5
54
5
543
2
5
54
5
543
5
54
5
43
2
1
Podemos verificar na quarta coluna que são cinco combinações
existentes.
3.4 – Probabilidade
Não podemos prever o futuro, mas com o cálculo da probabilidade é
possível saber o número de chances de se acertar uma previsão. Seja em
tentativas simples com moedas, dados, cartas de baralho ou bolas em uma
urna ou em jogos arriscados como loterias, a matemática não nos diz a
resposta, mas nos coloca a frente do real número de chance de acertarmos em
nosso palpite.
37
O material mais comum para se explicar probabilidade é o dado, por ser
muito prático de se ter em mãos e conhecido perfeitamente por qualquer
pessoa que goste de jogos ou não.
3.4.1 – Probabilidade com dado
Então vamos ao exemplo prático de probabilidade utilizando um dado:
Lançamos um dado e observamos o número da face voltada para cima.
Qual a probabilidade de esse “número ser o 6”?
A resposta é bem prática, se o dado tem seis lados e apenas um pode
ser o de número 6, então seria uma em seis: 61
.
Mas, se ao lançarmos o dado, desejarmos que o evento, ou seja, a face
voltada para cima seja “um número múltiplo de 3”?
Desmembrando o dado acharemos nosso espaço amostral ( Ω ):
As seis faces, sendo n( Ω ) = 6.
Agora nosso evento favorável (E):
As faces com os números múltiplos de três que são, n(E) = 2.
38
Sendo assim, temos duas chances em seis possibilidades, 62
,
simplificando, 31
.
3.4.2 – Probabilidade com moeda
Agora vamos utilizar uma moeda e, com cartões, montar um diagrama
de possibilidades.
Ao lançarmos uma moeda três vezes sucessivamente, qual a
possibilidade de observarmos apenas “uma cara”?
Vamos montar um diagrama de possibilidades, utilizando cartões com
as letras escritas, nos três lançamentos da moeda, denominaremos cara (k) e
coroa (c):
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
CCCC
CCKKC
CKCC
CKKKK
C
KCCC
KCKKC
KKCC
KKKKK
K
→→
→→
→→
→→
O evento que desejamos é onde há uma cara (k), sendo assim,
podemos obter três eventos favoráveis: (kcc), (ckc) e (cck), em um espaço
amostral de oito acontecimentos: (kkk), (kkc), (kck), (kcc), (ckk), (ckc), (cck) e
(ccc). Respondendo: 83
.
39
Sempre visualizamos o espaço amostral e dele retiramos os eventos
favoráveis e chegamos à fórmula possíveiscasosdenúmerofavoráveiscasosdenúmero
nEn
EP______
)()(
)( =Ω
= .
De qualquer maneira é um jeito simples de introduzir as probabilidades
de maneira visível, não fugindo às regras da fórmula.
3.5 – Geometria
Ramo da Matemática que trabalha com a abstração espacial, é o que
mais se pode exemplificar, o que mais se apresenta a nossa percepção, está
presente em toda forma física e, apesar de tudo, nem sempre se consegue
fazer com que o aluno enxergue a Geometria facilmente, sendo assim, fazer
experimentos se torna de grande valia.
3.5.1 – Pitágoras
O teorema de Pitágoras é famoso, muito conhecido, qualquer um pode
recitar que “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da
hipotenusa”, agora visualizando isso:
40
(Fonte: ANDRADE, 2012)
Para cada um dos lados do triângulo, foram construídos quadrados
projetados neles. Assim comprovamos que se somarmos os quadrados de
cada cateto, neste caso 36 e 64, obteremos 100 que é o quadrado do valor da
hipotenusa. Comprovando a fórmula 222 cba += à 222 8610 += à 6436100 += .
Foi utilizado E.V.A. na construção do triângulo retângulo e dos
quadrados.
3.5.2 – Talles
O teorema de Talles trabalha com proporção, esta pode ser uma
atividade feita fora da sala de aula sob a luz do sol, mas se não for possível,
pode-se apagar as luzes da sala e acender uma lanterna para fazer sombra.
41
(Fonte: ANDRADE, 2012)
Um objeto qualquer, neste caso uma garrafa, foi colocado na frente da
lanterna e com uma régua de 15 cm seguiu-se sua sombra até que chegasse à
mesma altura. Agora, pela proporção, pode-se calcular a altura da garrafa:
(Fonte: ANDRADE, 2012)
réguasombragarrafasombra
réguaalturagarrafaaltura
__
__
= à2027
15=
xà
2015.27
=x à 25,20=x
42
3.5.3 – Regra de ouro
Esta é uma parte muito interessante da Matemática, ela é pouquíssimo
utilizada mas nos proporciona grandes descobertas com relação a um
determinado número, o ϕ (fí), que vale 1,618, também conhecido como razão
áurea e divina proporção.
A regra de ouro descreve a razão BA
proporcional a razão ABA +
, ou
seja, ABA
BA +
= .
Esta razão pode ser comprovada em uma estrela de cinco pontas, ou
pentagrama, que era o símbolo da Fraternidade Pitagórica por sua perfeição
em proporcionalidade.
(Fonte: BELLOS, Alex. Alex no país dos números, p.305)
43
A regra de ouro também é encontrada no nosso corpo, pode-se
verificar que a medida do umbigo ao pé dividida pela medida do umbigo à
cabeça é igual a 1,618 que é a mesma encontrada entre a medida da altura
dividida pela medida do umbigo ao pé.
Outras curiosidades onde o valor de fí é encontrado:
• A altura do crânio e a medida da mandíbula até o alto da cabeça; • A medida da cintura até a cabeça e o tamanho do tórax; • A medida do ombro à ponta do dedo e a medida do cotovelo à ponta do
dedo; • O tamanho dos dedos e a medida da dobra central até a ponta.
Leonardo da Vinci faz uma comparação da perfeição humana quanto à
proporção e simetria do corpo com o “Homem Vitruviano”.
O Homem Vitruviano de Leonardo da Vinci. As idéias de
proporção e simetria aplicadas à concepção da beleza humana.
(fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Propor%C3%A7%C3%A3o_%C3%A1urea)
44
As curiosidades matemáticas não se bastam, quanto mais se
descobre, mais tem-se a descobrir. O importante é fazer com que a
Matemática torne-se interessante e usual para que qualquer um possa
aprendê-la.
45
CONCLUSÃO
A abstração matemática não se faz sozinha no aluno, é preciso um
estímulo, algo que torne a aula mais interessante e prática, fugindo da
memorização de fórmulas e permitindo o entendimento de tais.
Buscar o interesse dos alunos em uma aula de Matemática pode ser
uma tarefa bastante árdua, uma vez que nem todos têm facilidade com
números, cálculos e fórmulas, para estes, uma simples soma de quadrados já
causa repulsa.
Este trabalho serve de sugestões no curso de um trabalho docente, a
fim estimular os futuros docentes a criarem maneiras de otimizar a
aprendizagem de seus alunos. Espera-se que as aulas de Matemática deixem
de seguir o estigma de difícil e maçante para tornarem-se atrativa e funcional,
pois, como sendo uma ciência hipotético-dedutiva, seu aprendizado requer um
nível de abstração um tanto quanto alto.
A Matemática é considerada a engrenagem da humanidade, assim
como nos primórdios da civilização, onde a Matemática era utilizada apenas
para quantificar, até hoje esta ciência se faz de grande importância e valia, ela
que move a evolução humana, pois com ela se trabalha das mais simples
questões cotidianas como ir ao mercado às mais complexas como construir um
edifício com resistência a terremotos.
Devido à grande importância da Matemática, o seu estudo se faz de
extrema necessidade, visto que esta ciência hipotético-dedutiva é base para as
demais, tais como Física, Química, Biologia, entre outras. Com o estigma de
ser uma matéria difícil, cabe ao professor demonstrar aos alunos sua beleza e
importância.
46
Há um grande preconceito dos alunos quanto à Matemática, esta
carrega consigo o peso de freqüentes insucessos, herdados e transmitidos
geração pós geração: o avô já dizia que Matemática era difícil, o pai também o
dizia, assim também, o filho já começa a dizer sem mesmo antes
experimentar.
Assim, o professor tem como missão encontrar as melhores maneiras
de apresentar a Matemática aos seus alunos e estimular seu conhecimento de
formas diferentes de modo a abranger os variados perfis cognitivos presentes
em sua classe.
A demonstração material vem como auxílio ao professor desejando
tornar sua aula mais didática e experimental, trazendo a curiosidade e atenção
do aluno, criando um elo entre a teoria apresentada e a prática usual.
Este projeto desenvolvido contém apenas uma pequena amostra de
como professores podem demonstrar a Matemática realizando experiências,
testando-as, estabelecendo relações entre conceitos e permitindo ao seu aluno
ver esta matéria com mais tranqüilidade e segurança.
47
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA
PIMENTA, Selma Garrido; ANASTASIOU, Léa das Graças Camargos.
Docência no Ensino Superior. 4ª edição. São Paulo: Cortez, 2010.
BELLOS, Alex. Alex no país dos números. 1ª reimpressão. São Paulo:
Companhia das Letras, 2011.
EZENSBERGER, Hans Magnus. O diabo dos números. 16ª reimpressão. São
Paulo: Companhia das Letras, 2009.
FREIRE, Paulo. Pedagogia da autonomia. 39ª edição. São Paulo: Paz e Terra,
1996.
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo, MACHADO, Antônio. Matemática e
Realidade – 6º ao 9º ano. 6ª edição. São Paulo: Atual, 2009.
SILVA, Veleida Anahí da. Por que e para que aprender matemática. São
Paulo: Cortez, 2009.
Vários autores; SELBACH, S. (supervisão geral). Matemática e Didática –
coleção Como Bem Ensinar – Petrópolis, RJ: Vozes, 2010.
48
WEBGRAFIA CONSULTADA
http://galeriaphotomaton.blogspot.com/2008/07/relgios-de-sol-1.html
em 16/12/2011
http://otimatematica.blogspot.com/
em 16/12/2011
http://pensamentos2010.files.wordpress.com/2010/11/sol-relogio.jpg
em 20/12/2011
http://www.somatematica.com.br/frases2.php
em 20/12/2011
http://pt.wikipedia.org/wiki/Propor%C3%A7%C3%A3o_%C3%A1urea
em 17/01/2012
49
ÍNDICE
FOLHA DE ROSTO 2
AGRADECIMENTO 3
DEDICATÓRIA 4
RESUMO 5
METODOLOGIA 6
SUMÁRIO 7
INTRODUÇÃO 8
CAPÍTULO I
A Matemática presente no cotidiano –
As principais fórmulas e suas utilidades 10
1.1 – A Matemática pré-histórica 10
1.2 – A evolução da Matemática 12
1.3 – A presença da Matemática 14
CAPÍTULO II
Dificuldades em Matemática e sua gestão no
ensino superior 17
2.1 – Grandes dificuldades na docência 18
2.2 – Didática no ensino superior da Matemática 19
CAPÍTULO III
Exemplificando as fórmulas para aprendizagem 22
3.1 – Progressões 23
3.1.1 – Progressões Aritméticas –
Razão, termo geral e soma dos n primeiros termos 23
3.1.2 – Progressões Geométricas –
Razão e termo geral 25
50
3.2 – Matemática Financeira 26
3.2.1 – Razão e proporção 26
3.2.2 – Porcentagem 28
3.2.3 – Juros simples 29
3.3 – Análise Combinatória 30
3.3.1 – Fatorial e Permutação –
Troca de posição sem repetição 30
3.3.2 – Arranjo –
Agrupando elementos como se queira 32
3.3.3 – Combinação –
Conjuntos que não se repetem 33
3.4 – Probabilidade 36
3.4.1 – Probabilidade com dado 37
3.4.2 – Probabilidade com moeda 38
3.5 – Geometria 39
3.5.1 – Pitágoras 39
3.5.2 – Talles 40
3.5.3 – Regra de Ouro 42
CONCLUSÃO 45
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA 47
WEBGRAFIA CONSULTADA 48
ÍNDICE 49