universidade anhanguera de são paulo unian · em livros de Álgebra linear e geometria analítica,...

Universidade Anhanguera de São Paulo UNIAN

Mestrado Acadêmico em Educação Matemática Ensino e Aprendizagem de Matemática e suas Inovações

Vetores e suas representações em livros didáticos

de Engenharia

Celso Luiz Andreotti

São Paulo

2017

Celso Luiz Andreotti

Vetores e suas representações em livros didáticos de Engenharia

Dissertação apresentada como exigência parcial à Banca Examinadora da Universidade Anhanguera de São Paulo – UNIAN, para a obtenção do título de MESTRE em Educação Matemática, sob orientação da Professora Doutora Maria Elisa Esteves Lopes Galvão.

São Paulo

2017

Ficha Catalográfica elaborada por: Bibliotecária Roselaine R. de Bastos Novato CRB/8 9676

A577v Andreotti, Celso Luiz

Vetores e suas representações em livros didáticos de engenharia. / Celso Luiz Andreotti. – São Paulo, 2017.

229 f.: il.; 30 cm Dissertação (Programa de Pós-graduação em Educação Matemática) –

Coordenadoria de Pós-graduação - Universidade Anhanguera de São Paulo, 2017.

Orientadora: Profa. Dra. Maria Elisa Esteves Lopes Galvão

1. Vetores. 2. Conceito de vetor. 3. Trigonometria. 4. Representações

semióticas. 5. Tratamento. 6. Conversão. 7. Livros didáticos de engenharia

CDD 510.7

Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total e

parcial desta Dissertação por processos de fotocópias ou eletrônicos.

Assinatura Local e Data

Dedico este trabalho ao meu pai Ângelo (in memoriam) e minha mãe Victória,

minha esposa Valéria e meu filho João Victor, a toda minha família, aos

amigos, a minha orientadora e a todos as pessoas que em graus diferentes me

ajudaram a concluir esta importante etapa de minha vida.

Agradecimentos

Agradeço inicialmente à minha família pelo apoio, pelo incentivo, pela

compreensão e paciência, que tornaram minha tarefa possível de ser realizada.

Sem isso, não teria concluído meu trabalho.

À Professora Dra. Maria Elisa Esteves Lopes Galvão, quem soube com

extrema competência, orientar-me ao longo desse trabalho. Sempre muito paciente,

solícita e muito profissional, permitindo que eu trilhasse um ótimo caminho e a quem

expresso minha imensa gratidão.

À Professora Dra. Monica Karrer e ao Professor Dr. Luiz Gonzaga Xavier de

Barros, por seus valiosos comentários e sugestões dadas em meu exame de

qualificação.

À Professora Dra. Maria Helena Palma de Oliveira, a quem devo agradecer

pelas primeiras sugestões e orientações, que foram muito importantes.

A todos os professores do Programa de Pós-Graduação em Educação

Matemática pelo aprendizado proporcionado e pelas ótimas experiências vividas em

sala de aula. Especialmente àqueles com quem tive o privilégio de participar de

suas aulas: Aparecida Rodrigues, Marlene Alves Dias, Rosana Nogueira de Lima,

Vera Helena Giusti de Souza, Ruy César Pietropaolo e Ubiratan D’Ambrosio.

A todos os amigos do programa de mestrado que participaram de minha

trajetória e contribuíram de certa forma para essa conquista, entre eles, Renato

Agricco e Luís Pacheco.

À Universidade Anhanguera de São Paulo - UNIAN pela concessão de bolsa

de estudos integral, sem a qual não seria possível a realização do mestrado.

A todos vocês, em agradecimento, um sincero e forte abraço.

“Combati o bom combate, terminei a minha carreira, guardei a fé. ”

(II, Timóteo, 4: 6-8)

Resumo ANDREOTTI, C. L. Vetores e suas representações em livros didáticos de Engenharia. 2017. 229f. Dissertação de Mestrado - Mestrado em Educação Matemática, Universidade Anhanguera de São Paulo, São Paulo, 2017. O nosso objetivo com este trabalho é o de investigar, em livros didáticos das disciplinas dos cursos de engenharia nas modalidades Mecânica e Produção, quais são as abordagens conceituais e as representações semióticas utilizadas para o objeto matemático vetor. Analisaremos também de que maneira são realizadas as articulações entre os diversos registros predominantemente utilizados nas áreas de Matemática e Tecnologia, registros estes que podem ser em língua natural, figural, gráfico ou simbólico. Em outras palavras, verificaremos a produção e as transformações de tratamento e conversão entre as diversas representações para os vetores apresentadas nos livros didáticos e também como são especialmente tratados os conhecimentos trigonométricos nas representações vetoriais utilizadas nas áreas técnicas. Esta pesquisa está fundamentada na Teoria dos Registros de Representações Semióticas de Raymond Duval (2006, 2011a, 2011b), que trata do funcionamento cognitivo da compreensão em Matemática, por meio da produção, tratamento e conversão das representações semióticas. Nossas questões de pesquisa estão relacionadas à forma como é abordado o conceito de vetor, aos tipos de representações para os vetores que são utilizadas nas diversas disciplinas e à identificação das transformações de tratamento e conversão nos conteúdos e problemas propostos nos livros didáticos da Engenharia. Realizamos uma pesquisa de cunho documental e com metodologia baseada na análise de conteúdo proposta por Bardin (1977), adaptada à nossa pesquisa. Escolhemos três instituições de ensino e onze livros de diferentes disciplinas para a coleta e análise de dados. Pudemos identificar, que algumas representações vetoriais que são privilegiadas em livros de Álgebra Linear e Geometria Analítica, não são as mais utilizadas, necessariamente, nos livros técnico-científicos e o contrário ocorre com a representação algébrica trigonométrica, amplamente utilizada nas engenharias. Observamos que, nos livros de disciplinas da área de matemática, não é dada ênfase para as transformações de conversão entre as diversas representações semióticas para os vetores, condição oposta ao que foi constatado nos livros técnico-científicos. Notamos, também, outros aspectos importantes que podem tornar a compreensão do objeto matemático vetor mais complexa, aspectos esses relativos à diversidade de notações adotadas nos livros. Concluímos que as muitas possibilidades de representações semióticas e as variadas notações e simbologias não são completamente convergentes quando se trata da abordagem de vetores. Mais especialmente nos textos da área de Matemática, constatamos que é dado maior destaque às representações algébricas, neste caso, às representações em coordenadas cartesianas. Por outro lado, nos textos das áreas técnicas,

predominam as representações geométrica e trigonométrica, o que poderá vir a gerar dificuldades nos processos de ensino e de aprendizagem deste objeto. Palavras-chave: Vetores. Conceito de vetor. Trigonometria. Representações semióticas. Tratamento. Conversão. Livros didáticos de Engenharia.

Abstract ANDREOTTI, C. L. Vectors and their representations in Engineering textbooks. 2017. 229f. A Master's Dissertation. Master’s Degree at Mathematics Education; Universidade Anhanguera de São Paulo, São Paulo, 2017. Our objective in this work is to investigate, in textbooks of the disciplines of the engineering courses in the Mechanics and Production modalities, their conceptual approaches and the semiotic representations used for the vector mathematical object. We shall also analyze how the articulations between the various registers predominantly used in Mathematics and Technology areas, those registers can be shown in natural, figural, graphic or symbolic language. In other words, we shall verify the production and transformations of treatment and conversion between the different representations presented in textbooks and how the trigonometric knowledge in the vector representations used in the technical areas are specially treated. This research is based on Raymond Duval's Theory of Registers of Semiotic Representations (2006, 2011a, 2011b), which deals with the cognitive functioning of understanding in Mathematics, through the production, treatment and conversion of semiotic representations. Our research questions are related to the way in which the concept of vector is approached, the types of representations for the vectors that are used in the different disciplines and the identification of the transformations of treatment and conversion in the contents and problems proposed in the textbooks of Engineering. We conducted a documentary research with methodology based on the content analysis proposed by Bardin (1977), adapted to our research. We chose three educational institutions and eleven books of the different disciplines for our data collecting and analysis. We identified that some vector representations that are privileged in Linear Algebra and Analytical Geometry books, are not the most used, necessarily, in the technical-scientific books and the opposite occurs with the trigonometric algebraic representation, widely used in engineering. We have noticed that, on the mathematics textbooks, no emphasis is presented on conversion transformations between the various semiotic representations for vectors, a condition which is the opposite of what has been found in the technical-scientific books. We have also noted other important aspects that may affect the comprehension of the mathematical object vector, making it more complex, aspects related to the diversity of notations adopted in the books. We conclude that the many possibilities of semiotic representations and the diverse notation and symbology are not totally convergent when it comes to the vector approach. More especially in the texts of the area of Mathematics, we note that the algebraic representations, in this case, are given more prominence to the representations in cartesian coordinates. On the other hand, in the texts of the technical areas, the geometric and trigonometric representations predominate, which can generate difficulties in the teaching and learning processes of this object.

Keywords: Vectors. Vector concept. Trigonometry. Semiotic representations. Treatment. Conversion. Engineering textbooks.

Lista de figuras Figura 1: Paralelogramo de movimentos. ............................................................. 29

Figura 2: Representações figurais de um vetor. ................................................... 32

Figura 3: Segmentos orientados no paralelogramo 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨. .................................. 33

Figura 4: Vetor 𝒗𝒗��⃗ e suas projeções ortogonais relacionadas à base {𝒊𝒊, 𝒋𝒋,𝒌𝒌��⃗ }. ....... 34

Figura 5: Componentes vetoriais do vetor 𝐯𝐯�⃗ . ........................................................ 34

Figura 6: Segmento orientado 𝑨𝑨𝑨𝑨��⃗ . ....................................................................... 43

Figura 7: Vetor no plano cartesiano. Representação gráfica. ............................... 44

Figura 8: Conversão congruente do registro simbólico para o gráfico. ................. 47

Figura 9: Conversões não congruentes................................................................ 48

Figura 10: Três representações distintas de um mesmo vetor no plano. Fenômeno

de congruência. ................................................................................................... 49

Figura 11: Fenômeno de não-congruência. .......................................................... 50

Figura 12: Tratamento: a adição de 𝒖𝒖��⃗ + 𝒗𝒗��⃗ = 𝒘𝒘��⃗ no registro figural. ....................... 51

Figura 13: Soma geométrica de três vetores. ....................................................... 51

Figura 14: Mesa de força com dinamômetro. ....................................................... 60

Figura 15: Da situação do mundo real para o modelo matemático. ...................... 65

Figura 16: Encontrar 𝑭𝑭��⃗ 𝟏𝟏 e 𝑭𝑭��⃗ 𝟐𝟐. .............................................................................. 66

Figura 17: Descrever e marcar as forças. ............................................................ 67

Figura 18: Forças marcadas pelo estudante. ....................................................... 67

Figura 19: Adição geométrica de vetores – Regra do paralelogramo. .................. 69

Figura 20: Respostas de duplas para o exercício 2. ............................................. 70

Figura 21: Resposta de três duplas. ..................................................................... 71

Figura 22: Representações geométricas de um vetor. ......................................... 95

Figura 23: Conversão de RAC para RGR. ......................................................... 100

Figura 24: Base ortonormal. ............................................................................... 102

Figura 25: Representação do vetor 𝒗𝒗��⃗ na base ortonormal.................................. 102

Figura 26: Projeção de um vetor 𝒗𝒗��⃗ na direção de 𝑢𝑢�⃗ ............................................ 103

Figura 27: Transição da representação gráfica para algébrica em coordenadas.108

Figura 28: Soma de vetores usando representação geométrica. ....................... 111

Figura 29: Soma de dois vetores pela regra do paralelogramo. ......................... 112

Figura 30: Diagonal 𝑨𝑨𝑨𝑨 representando a diferença 𝒖𝒖��⃗ − 𝒗𝒗��⃗ . ................................. 112

Figura 31: Representantes de um mesmo vetor. ................................................ 133

Figura 32: Representantes de um mesmo vetor. ................................................ 133

Figura 33: Conceito de magnitude (módulo ou norma) de um vetor. .................. 134

Figura 34: Decomposição de um vetor no plano em suas componentes. ........... 134

Figura 35: Decomposição de um vetor no plano em suas componentes. ........... 135

Figura 36: Componentes para a representação na base (𝒊𝒊, 𝒋𝒋,𝒌𝒌��⃗ ). ........................ 140

Figura 37: Representação vetorial na base (𝒊𝒊, 𝒋𝒋,𝒌𝒌��⃗ ). ............................................ 141

Figura 38: Representação geométrica de vetor e seus elementos. .................... 144

Figura 39: Leis do triângulo e do paralelogramo. ............................................... 145

Figura 40: Notação escalar para vetores. ........................................................... 147

Figura 41: Ângulos 𝜶𝜶, 𝜷𝜷 e 𝜸𝜸 definem a direção de 𝑨𝑨��⃗ . ......................................... 149

Figura 42: Soma geométrica de vetores. ............................................................ 155

Figura 43: Regra do paralelogramo. ................................................................... 157

Figura 44: Adição geométrica de duas forças usando as regras do paralelogramo e

do triângulo. ....................................................................................................... 161

Figura 45: Subtração de vetores. ....................................................................... 161

Lista de quadros Quadro 1: Classificação dos diferentes registros. ................................................ 42

Quadro 2: Classificação das representações semióticas utilizadas nesta pesquisa.

............................................................................................................................. 46

Quadro 3: Vetor como translação e três exemplos de adição de vetores. ............ 57

Quadro 4: Exemplos de equívocos de estudantes. .............................................. 57

Quadro 5: Instituições de ensino superior pesquisadas com grades curriculares

semelhantes......................................................................................................... 84

Quadro 6: Livros didáticos por disciplinas e suas respectivas instituições de ensino

superior. ............................................................................................................... 87

Quadro 7: Representações e suas siglas. ............................................................ 93

Quadro 8: Definição de vetor. .............................................................................. 94

Quadro 9: Definição de vetor. .............................................................................. 94

Quadro 10: Definição de vetor. ............................................................................ 94



Quadro 13: Representação algébrica vetorial. ..................................................... 96




Quadro 17: Representação algébrica vetorial no Livro 06. ................................... 97

Quadro 18: Conceituação algébrica de vetor em coordenadas. ........................... 98





Quadro 23: Ortogonalidade entre vetores. ......................................................... 100

Quadro 24: Ortogonalidade e ortonormalidade entre vetores. ............................ 101

Quadro 25: Ortogonalidade entre vetores, Livros 03, 04, 05 e 06. ..................... 101

Quadro 26: Módulo ou norma de um vetor qualquer. ......................................... 103

Quadro 27: Condições para projeção ortogonal. ................................................ 103

Quadro 28: Exercício resolvido sobre projeção ortogonal. ................................. 104

Quadro 29: Exercícios envolvendo o conceito de cossenos diretores. ............... 105

Quadro 30: Ângulo entre dois vetores. ............................................................... 106

Quadro 31: Cossenos e Ângulos diretores. ........................................................ 106

Quadro 32: Exercício proposto envolvendo a base {𝒊𝒊, 𝒋𝒋��⃗ ,𝒌𝒌��⃗ }. ............................... 108

Quadro 33: Representação algébrica - Base canônica. ..................................... 109

Quadro 34: Representação de vetor com a base canônica. ............................... 110

Quadro 35: Operação de adição. ....................................................................... 111

Quadro 36: Soma geométrica de dois vetores – Regra do triângulo – (Livros 03, 04

e 05)................................................................................................................... 112

Quadro 37: Soma geométrica de dois vetores – Regra do triângulo. ................. 113

Quadro 38: Exercícios sobre soma geométrica de vetores. ............................... 114

Quadro 39: Soma e diferença geométricas com vetores. ................................... 114

Quadro 40: Exercícios envolvendo soma geométrica de vetores. ...................... 115

Quadro 41: Operações com a representação algébrica em coordenadas. ......... 116

Quadro 42: Adição e subtração por meio das componentes escalares. ............. 116

Quadro 43: Adição e subtração por meio das componentes escalares. ............. 117

Quadro 44: Enunciado e resolução em RLN. ..................................................... 119

Quadro 45: Enunciado do item 1.3a em RLN com conversão para RGE. .......... 120

Quadro 46: Exercício proposto 2-7. .................................................................... 120

Quadro 47: Enunciado em RLN e RGE. Conversão de RLN para RGE. ............ 120

Quadro 48: Enunciado de exercício que contém as representações RAC e RAV.

........................................................................................................................... 121

Quadro 49: Representações nos exercícios propostos do Livro 01 e operações

semióticas. ......................................................................................................... 122

Quadro 50: Enunciados em RAC para serem resolvidos em RGR. .................... 123

Quadro 51: Enunciado de exercício em RLN, com etapa de resolução em RGR e

RAC. .................................................................................................................. 123

Quadro 52: Enunciado de exercício em RAV. .................................................... 124

Quadro 53: Representação de vetores em RAC no exercício 13. ...................... 124


semióticas. ......................................................................................................... 125

Quadro 55: Enunciado de exercício em RAC. .................................................... 126

Quadro 56: Representação de vetores em RAC com possível conversão para

RGR. .................................................................................................................. 127


semióticas. ......................................................................................................... 127

Quadro 58: Conversão de RAV (enunciado) para RGE (resolução). .................. 128

Quadro 59: Representação RAC no enunciado e na solução do exercício 1. .... 128


semióticas. ......................................................................................................... 129

Quadro 61: Exercício com conversão da RAC (enunciado) para RGR (resolução).

........................................................................................................................... 130

Quadro 62: Representação RGE no enunciado e para a resolução do exercício 5.

........................................................................................................................... 130


semióticas. ......................................................................................................... 130

Quadro 64: Resumo das representações e operações semióticas dos exercícios

dos livros 01 a 6. ................................................................................................ 131

Quadro 65: Vetor representado pelo módulo e dois ângulos. ............................. 136

Quadro 66: Funções trigonométricas – trecho do “Tutorial Matemático” ............ 137

Quadro 67: Resumo de Trigonometria básica. ................................................... 138

Quadro 68: Definição de vetor unitário segundo autor do livro 07. ..................... 139

Quadro 69: Definição de vetor unitário segundo autor do livro 08. ..................... 139

Quadro 70: Exercício envolvendo a representação RAV. ................................... 141

Quadro 71: Soma de vetores: conceitos geométricos, trigonométricos e em

coordenadas na base ortonormal (𝒊𝒊, 𝒋𝒋,𝒌𝒌��⃗ ). ........................................................... 142

Quadro 72: Erro na definição de produto escalar e nas propriedades. ............... 143

Quadro 73: Erro conceitual de produto escalar e suas aplicações. .................... 144

Quadro 74: Aplicação da lei do paralelogramo, da lei dos cossenos e dos senos.

........................................................................................................................... 146

Quadro 75: Resolução de exercício na forma escalar e vetorial. ........................ 148

Quadro 76: Exercício envolvendo vários conceitos e representações matemáticas.

........................................................................................................................... 150

Quadro 77: Exemplo de aplicação da representação RAV. ................................ 150

Quadro 78: Exemplo de aplicação das representações RGE, RAM e RAT. ....... 151

Quadro 79: Exemplo de aplicação das representações RGE, RAT e RAV. ........ 152

Quadro 80: Exemplo de aplicação das representações RGE e RAM. ................ 153

Quadro 81: Exemplo de aplicação das representações RLN, RGR, RAM e RAT.

........................................................................................................................... 154

Quadro 82: Exemplo de aplicação das representações RGE e RAM no enunciado

e figura. .............................................................................................................. 154

Quadro 83: Subtração geométrica de vetores. ................................................... 156

Quadro 84: Operações com vetores em suas componentes trigonométricas e na

base (𝒊𝒊, 𝒋𝒋,𝒌𝒌��⃗ ). ....................................................................................................... 158

Quadro 85: Posição, deslocamento, velocidade e aceleração em vetores da base

ortogonal (�̂�𝒊, �̂�𝒋,𝒌𝒌�). ................................................................................................ 159

Quadro 86: Forças num plano inclinado com representação geométrica e

trigonométrica. ................................................................................................... 160

Quadro 87: Adição de vetores a partir das notações escalar e vetorial. ............. 162

Quadro 88: Problemas envolvendo notação escalar e notação vetorial cartesianas.

........................................................................................................................... 163

Quadro 89: Exercício 2 para identificar o tipo de representação e a operação

semiótica. ........................................................................................................... 165

Quadro 90: Exercício 16 para identificar o tipo de representação e a operação

semiótica. ........................................................................................................... 165

Quadro 91: Exercício com duas conversões. ..................................................... 166

Quadro 92: Representação de vetores em RAV no exercício 9. ........................ 166


semióticas. ......................................................................................................... 167

Quadro 94: Problema selecionado para identificar representação e operação

semiótica. ........................................................................................................... 169


semiótica. ........................................................................................................... 169


semiótica. ........................................................................................................... 170

Quadro 97: Problema 26 com vetores em representação RGE. ......................... 170


semióticas. ......................................................................................................... 171

Quadro 99: Resumo das representações e operações semióticas dos problemas

dos livros 07 e 08. .............................................................................................. 173

Quadro 100: Problema para análise das representações envolvidas. ................ 175

Quadro 101: Problema para análise das representações envolvidas. ................ 175

Quadro 102: Representações RLN e RGE no problema 4.66. ........................... 176

Quadro 103: Problema com as representações RLN, RAM, RGR, RAC e RAV. 177


semióticas. ......................................................................................................... 179

Quadro 105: Representações de vetores para problemas de Dinâmica. ............ 181

Quadro 106: Representações de vetores no problema 13.9, em Dinâmica. ....... 182

Quadro 107: Representações de vetores para problemas de Dinâmica. ............ 183


semióticas. ......................................................................................................... 184

Quadro 109: Representação de vetores no problema 1.4, em Resistência dos

materiais. ........................................................................................................... 186


materiais. ........................................................................................................... 187


materiais. ........................................................................................................... 188


materiais. ........................................................................................................... 188


semióticas. ......................................................................................................... 189

Quadro 114: Resumo das representações e operações semióticas dos problemas

dos livros 09, 10 e 11. ........................................................................................ 192

Sumário Introdução ............................................................................................................ 22

Capítulo 1 - Considerações sobre vetores ........................................................... 27

1.1 Observações iniciais ............................................................................... 27

1.2 Breve histórico sobre vetores .................................................................. 28

1.3 Considerações sobre representações de vetores ................................... 31

Capítulo 2 - Referencial Teórico ........................................................................... 37

2.1 Vetores e os Registros de Representações Semióticas .......................... 38

Capítulo 3 - Revisão de Literatura ........................................................................ 54

Capítulo 4 - Procedimentos metodológicos .......................................................... 82

Capítulo 5 - Vetores e suas representações em livros didáticos. ......................... 90

5.1 Introdução ............................................................................................... 90

5.2 Conceitos e Representações de vetores nos livros de Matemática ......... 91

5.2.1 Análise da parte teórica e de exercícios resolvidos .............................. 91

5.2.1.1 Operações com vetores (adição e multiplicação por um escalar) nos livros de Matemática ................................................................................... 111

5.2.2 Análise dos exercícios propostos nos livros de Matemática ............... 118

5.2.2.1 Análise dos exercícios propostos no Livro 01 .................................. 119






5.3 Conceitos e Representações de vetores nos livros de disciplinas técnico-científicas .................................................................................................... 131

5.3.1 Análise da parte teórica e de exercícios resolvidos dos livros 07 e 08 132

5.3.2 Análise da parte teórica e de exercícios resolvidos nos livros 09, 10 e 11. ............................................................................................................... 142

5.4 Operações com vetores (adição e multiplicação por um escalar) nos livros de disciplinas técnico-científicas ................................................................. 155

5.4.1 Livro 07 e Livro 08 .............................................................................. 155

5.4.2 Livro 09 .............................................................................................. 161

5.5 Análise dos exercícios propostos nos livros técnico-científicos ............. 164

5.5.1 Análise dos exercícios propostos nos livros de Física ........................ 164



5.5.2 Análise dos exercícios propostos nos livros técnicos ......................... 174

5.5.2.1 Análise dos exercícios propostos no livro 09 ................................... 174



Considerações finais .......................................................................................... 193

Referências Bibliográficas .................................................................................. 206

Anexos ............................................................................................................... 210

22

Introdução

O conceito de vetor está presente em diversas disciplinas do curso de

Engenharia, e é significativa e relevante sua importância para as disciplinas de

Física, Mecânica Aplicada, Mecânica Geral, Resistência dos Materiais, Elementos

de Máquina, Vibrações Mecânicas, entre outras e, de modo mais indireto, para as

disciplinas de Desenho Técnico, Sistemas Hidráulicos e Pneumáticos, Projetos de

Máquinas, Processos de Fabricação, entre outras, que trazem o conceito vetorial

em sua literatura. Podemos encontrar os vários aspectos relacionados aos vetores

elencados nas matrizes curriculares e planos de ensino e aprendizagem dos cursos

de Engenharia Mecânica e Engenharia de Produção e nos livros didáticos dessas

disciplinas, nos quais o conceito de vetor é diversamente explorado. Observa-se

que para as aplicações da Física ou da Engenharia os conteúdos trigonométricos

também são essenciais e estão inseridos em uma das formas de representações

dos vetores.

O interesse por esta pesquisa nasce do grande valor desse objeto

matemático para trabalhar com as aplicações na Engenharia e, especialmente, das

observações cotidianas das dificuldades apresentadas por muitos alunos quando

lidam com o objeto matemático vetor, seja, por um lado, nas operações vetoriais,

que exigem o domínio de alguns conceitos básicos da Matemática, como a

Trigonometria, entre outros, ou, por outro lado, nas diversas possibilidades de

representação do objeto e as habilidades e conhecimentos necessários que

permitam a passagem de uma forma de representação para outra. Tal passagem

de representação é chamada por Duval (2006, 2011a, 2011b) uma transformação

semiótica, e será tratada em maior profundidade em nosso referencial teórico.

Bittar (2011) discutiu, em sua pesquisa de doutorado na França, algumas

dificuldades dos alunos relacionadas à aprendizagem do conceito de vetor. Destaca

a multiplicidade de representações semióticas presentes no ensino do conceito de

vetores e a necessidade de se transitar entre esses registros como motivos para as

muitas dificuldades por parte dos estudantes. Segundo Bittar (2011, p.92), quando

se introduz o conceito de coordenadas vetoriais é comum o estudante relacionar

23

com as propriedades das coordenadas de um ponto, apreendendo de maneira

errônea a ideia de que a posição de um vetor, no espaço ou no plano, é importante

e imprescindível para definir suas coordenadas, em outras palavras, é importante

deixar claro para o estudante que um vetor qualquer pode ser representado com

origem coincidindo com a origem do sistema de eixos ou com origem em qualquer

outro ponto do plano ou do espaço e, desde de que mantenha suas características

inalteradas, ou seja, seu módulo, direção e sentido será um representante do

mesmo vetor.

O primeiro contato do estudante com o conceito de vetor é previsto para

acontecer no Ensino Médio (EM), na disciplina de Física, por meio do paralelogramo

de forças e, posteriormente, nos anos iniciais de alguns cursos universitários, nas

disciplinas de Geometria Analítica e Álgebra Linear, por exemplo. As abordagens

para este objeto são bastante variadas, passando pelas representações em

registros da língua natural, figural, gráfico e simbólico (neste caso, com destaque

para o uso de Trigonometria), registros esses que serão abordados no referencial

teórico.

Basicamente, temos a conceituação e a representação de vetor do ponto de

vista da Física, que também é muito utilizada na Engenharia e, de outra forma, a

conceituação e a representação do ponto de vista da Matemática. Em meio a essas

duas vertentes, encontra-se o estudante que precisa dominar esses conhecimentos

e ter habilidades para transitar entre as diversas representações disponíveis. O livro

didático é uma fonte de estudo e consulta e, portanto, justifica-se a preocupação

com as representações semióticas para os vetores adotadas no desenvolvimento

de seus conteúdos e como são feitas as passagens de uma representação

semiótica para outra.

Para a revisão de literatura, identificamos pesquisas, no âmbito da Educação

Matemática, relacionadas com o objeto matemático vetor e, em particular, à

representação algébrica trigonométrica. Destacamos Castro (2001) que investigou

a articulação entre os registros de representação para os vetores e Patrício (2011)

que tratou das dificuldades dos alunos com relação à produção, ao tratamento e à

conversão das representações semióticas de vetores.

24

Watson, Spirou e Tall (2003) trataram da convergência dos fenômenos

físicos e do simbolismo matemático para a conceituação deste objeto e, Poynter e

Tall (2005) consideraram os diferentes pontos de vista, da Física e da Matemática,

para melhor conceituar vetor para os estudantes.

A representação semiótica, em registro simbólico, na representação

algébrica trigonométrica, é bastante explorada em disciplinas das Engenharias e,

portanto, justifica-se a escolha do artigo de Lima, Sauer e Sartor (2011), que

trataram da importância da interação das ciências da Engenharia junto aos

professores e alunos do Ensino Médio (EM) e a dissertação de Nascimento (2005),

que propõe a construção de uma tabela trigonométrica, a partir da qual os conceitos

das razões trigonométricas pudessem ser apreendidos.

Nossa pesquisa foi fundamentada na teoria dos Registros de

Representações Semióticas de Raymond Duval (2006, 2011a, 2011b), que trata do

funcionamento cognitivo da compreensão em Matemática, por meio da produção,

tratamento e conversão das representações semióticas em distintos registros. Essa

teoria nos permitirá analisar as possibilidades de representações para os vetores,

encontradas em livros didáticos da Engenharia, e comparar com a abordagem

apresentada nos textos destinados às disciplinas de conhecimento matemático.

As disciplinas técnico-científicas da engenharia necessitam do conceito de

vetor, e consequentemente de diversos outros conhecimentos matemáticos

envolvidos em cada uma das formas de representação vetorial adotada nos livros

didáticos, tais como a Geometria, a Trigonometria, a representação gráfica em

espaços bidimensionais e tridimensionais.

Os nossos objetivos específicos tratam, dentre outros, de:

Verificar quais são as formas de registros de representação semiótica

existentes nos livros didáticos, na parte teórica ou nos exercícios

propostos;

Identificar as conversões utilizadas nos livros-texto;

Comparar os tipos de registros de representações semióticas para os

vetores adotadas em livros-texto das diferentes disciplinas;

25

Investigar como os vetores são utilizados na resolução de problemas

específicos nas diversas disciplinas da engenharia e como são

tratados os conhecimentos trigonométricos aplicados no conceito

vetorial.

É necessário investigar como os autores lidam, em seus livros didáticos, com

a diversidade de registros de representações semióticas para vetores levando em

consideração as três atividades cognitivas: a produção, o tratamento e a conversão

dessas representações que serão abordadas no capítulo sobre o referencial teórico.

Identificando, no exercício profissional, esta necessidade, surgiu o interesse em

investigar e responder a algumas questões de pesquisa:

Como é abordado o conceito de vetor nos livros didáticos das diversas

disciplinas científicas de Engenharia?

Como os vetores são utilizados nas diversas disciplinas para a

resolução de problemas?

As conversões das representações semióticas de vetores estão

presentes nas partes teóricas dos livros didáticos?

Os exercícios propostos nos livros didáticos exploram as operações

semióticas de conversão para as possíveis resoluções?

Como a Trigonometria e outros conceitos matemáticos estão

relacionados às representações dos vetores em tais livros?

Realizamos uma pesquisa de caráter documental e o levantamento de dados

foi feito exclusivamente a partir de livros didáticos de diversas disciplinas, comuns

aos cursos de Engenharia Mecânica e da Engenharia de Produção, constantes em

Planos de Ensino e Aprendizagem (PEA) do Ensino Superior (ES) de alguns cursos

de Engenharia de instituições públicas e privadas, do estado de São Paulo, com o

objetivo geral de identificar e analisar quais as abordagens e formas de

representação de vetor adotadas pelos autores.

26

Nossa pesquisa está estruturada em seis capítulos, sendo que o primeiro

capítulo trata de considerações sobre o conceito de vetor.

O segundo capítulo apresenta o referencial teórico, no qual nossa pesquisa

está fundamentada, e trata-se da teoria dos Registros de Representações

Semióticas, Duval (2006, 2011a, 2011b).

No terceiro capítulo está a revisão de literatura, onde são apresentadas

algumas pesquisas alinhadas ou relacionadas ao nosso tema.

No quarto capítulo discutimos a metodologia aplicada no levantamento de

dados e, no quinto capítulo apresentamos os dados e as análises dos livros

didáticos, tanto da parte teórica quanto dos exercícios propostos.

O capítulo seis contempla as conclusões e considerações finais deste

trabalho.

27

Capítulo 1 - Considerações sobre vetores

1.1 Observações iniciais

Os conceitos e objetos da Matemática são utilizados em muitas áreas do

conhecimento humano, como a Física, a Química, a Economia, a Biologia, a

Medicina entre tantas outras, assumindo um papel importante dentro do cenário

científico atual. O vetor, como um objeto matemático, aparece em diversas áreas,

mais especificamente nas diversas disciplinas técnicas que compõem a grade

curricular dos cursos de Engenharia, como Física, Resistência dos Materiais,

Mecânica Geral, Mecânica Aplicada, Vibrações Mecânicas, entre outras.

Quando tratamos do conceito de vetor mobilizamos as noções de

comprimento, direção e sentido, relacionadas à sua definição de caráter geométrico,

como um segmento orientado, a partir da qual podem ser estabelecidas várias

representações, com características algébricas ou trigonométricas. O interesse pela

pesquisa do tema é devido à importância dos vetores, por permear muitas

disciplinas dos cursos de Engenharia e às dificuldades apresentadas pelos alunos

em lidar com este objeto que verificamos na nossa atividade docente. A

identificação das diversas formas de abordagem do conceito de vetor nas variadas

disciplinas sugere uma linha de investigação que passe por uma pesquisa

documental, com foco nos livros didáticos.

Nos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio, PCNEM (1998),

vetores não estão elencados como parte do conteúdo de Matemática para o Ensino

Médio (EM), embora haja menção nas orientações curriculares complementares

para o EM, sobre a necessidade de abordagem do conceito de vetor, por parte do

professor de Matemática, tanto do ponto de vista geométrico, quanto do ponto de

vista algébrico. Embora nos PCNEM se reconheça a importância do estudo de

vetores, este fica relegado a uma única abordagem, ou seja, a abordagem

geométrica e sob o ponto de vista exclusivo da Física, conforme apontado nas

orientações curriculares do EM:

28

A inclusão da noção de vetor nos temas abordados nas aulas de Matemática viria a corrigir a distorção causada pelo fato de que é um tópico matemático importante, mas que está presente no ensino médio somente nas aulas de Física. (BRASIL, 2006, p.77)

Conforme o que atestam as orientações curriculares, alguns alunos tomam

contato com este objeto no EM apenas por meio das aulas de Física e o retomam

no início dos cursos superiores, da área de ciências exatas, nas disciplinas de

Geometria Analítica ou Álgebra Linear e, novamente na Física.

Dentro deste contexto, pretendemos investigar quais são as abordagens para

o conceito de vetor adotadas pelos autores dos livros didáticos destinados a

disciplinas do curso de Engenharia e quais são as opções de representações

semióticas para os vetores por eles utilizadas, de acordo com os quatro tipos de

registros semióticos categorizados por Duval, ou seja, língua natural, figural, gráfico

e simbólico, e os recursos geométricos, algébricos e trigonométricos utilizados na

produção dessas representações; todos esses conceitos são explanados no Capítulo 2 - Referencial Teórico.

Essa abordagem nos conduziu aos textos relacionados principalmente à

disciplina Vetores e Geometria Analítica, da área de Matemática e às disciplinas das

áreas técnicas dos cursos de Engenharia Mecânica e Engenharia de Produção.

Escolhemos deixar de lado a definição de vetor por meio matricial, em razão da

extensão do trabalho, uma vez que essa representação está mais fortemente

relacionada aos conhecimentos matemáticos da Álgebra Linear e às disciplinas das

áreas técnicas dos cursos de Engenharia de Computação e Engenharia Elétrica,

entre outros. Estes recursos algébricos, geométricos, trigonométricos e matriciais

que podem estar associados a este objeto podem torná-lo bastante complexo para

os estudantes, do ponto de vista da Matemática e também do próprio processo

cognitivo.

1.2 Breve histórico sobre vetores

Segundo Katz (1995), o conceito de vetor aparece, pela primeira vez, com

origem na Física, por volta do século IV a.C., num provável tratado atribuído a

29

Aristóteles, intitulado Mecânica. Nele encontra-se um problema no qual é descrito o

movimento de um corpo, possivelmente no plano, que acontece sobre uma linha

reta, que é a diagonal de um paralelogramo, e seria equivalente ao gerado pelo

deslocamento simultâneo, em outras duas linhas retas que contêm os lados deste

paralelogramo, de maneira constante e proporcional.

Como ressalta Katz (1995, p.199), Heron de Alexandria conseguiu uma prova

bastante interessante para essa ideia, assumindo que se um corpo em movimento

uniforme sobre um dos lados do paralelogramo, digamos AB��, tem o mesmo

movimento uniforme que outro corpo que está sobre o outro lado do paralelogramo,

digamos AD��, então, ambos levariam a um movimento sobre a diagonal AC��,

equivalente a soma dos outros dois movimentos, em AB�� e AD��, conforme ilustra a

figura 1.

Podemos considerar, ainda na figura 1, que um objeto cujo movimento tem

origem em 𝑨𝑨 e com fim no ponto 𝑨𝑨, poderia ser o resultado de dois movimentos que

teriam o mesmo efeito físico, como por exemplo, o primeiro movimento sendo

efetuado de 𝑨𝑨 até 𝑨𝑨 e depois de 𝑨𝑨 até 𝑨𝑨, ou o segundo de 𝑨𝑨 até 𝑨𝑨 e depois de 𝑨𝑨

até 𝑨𝑨.

Essa ideia básica de somar dois movimentos vetorialmente foi generalizada

para forças em Física, nos séculos XVI e XVII, e pode ser encontrada, também, no trabalho de Isaac Newton sobre as leis do movimento, o seminal “Philosophiae

Naturalis Principia Mathematica”, no qual Newton afirma que um corpo submetido a

duas forças simultâneas, de direções distintas, descreveria movimento através da

diagonal de um paralelogramo. Heron de Alexandria afirma também que o

Figura 1: Paralelogramo de movimentos. Fonte: Acervo pessoal.

30

movimento teria o mesmo efeito de movimento que duas forças equivalentes,

atuando separadamente em seus outros dois lados. Está implícita nessa ideia, a

noção de adição vetorial. Ainda precedendo Newton, podemos encontrar esta

mesma ideia no trabalho de Galileu Galilei sobre o movimento, quando ele descreve o “Princípio de Independência de Movimentos” tendo como resultante da

combinação dos movimentos, a soma vetorial das velocidades de cada movimento

independente.

Katz (1995) chama atenção para o fato de que apesar de Newton usar

bastante o paralelogramo em seu trabalho, ele não estava somando vetores, pois

não conhecia quaisquer operações algébricas envolvendo as forças consideradas.

A ideia de unir a Álgebra e a Geometria, e criar uma linguagem vetorial tem forte

desenvolvimento nos séculos XVII e XVIII, mas, no entanto, a técnica de usar as

diagonais de um paralelogramo como resultado da combinação das forças, daquela

época, demonstrou ser uma forma bastante interessante e simples de introduzir o

conceito de vetor para os alunos, podendo ser um ponto de partida muito adequado

para a apreensão deste objeto tão importante e de grande aplicação. Esse

pensamento é ancorado, em parte, na seguinte afirmação: “Não obstante, parece

que a noção de combinar as forças pelo método das diagonais é uma excelente

ferramenta pedagógica para transmitir a ideia de um vetor para os estudantes”.

(KATZ, 1995, p.200, tradução nossa)1

Trazer ideias da Física que, por sua própria natureza, estão mais próximas

do mundo real e, portanto, por vezes melhor manipuláveis, pode ajudar a apresentar

os conceitos vetoriais aos alunos, e facilitar a estes a construção de tal

conhecimento. Quando dizemos “manipuláveis”, é óbvio que não estamos nos

referindo ao objeto matemático propriamente, mas sim, à ideia física que está

associada diretamente a ele e é muito mais acessível para o estudante, por ser mais

tangível e, consequentemente, pode tornar-se um conceito não tão abstrato e que

pode fazer mais sentido.

1Never the less, it would seem that the notion of combining forces by this method of diagonals is an excellent pedagogical tool for imparting the idea of a vector to students. (KATZ, 1995, p.200)

31

Katz (1995) utiliza muitos elementos e materiais históricos para apresentar o

conceito de vetor encontrado em muitos problemas da ciência enfrentados e

solucionados por grandes matemáticos e cientistas em geral, tais como Heron de

Alexandria, Newton, Wessel, Hamilton entre outros notáveis. Informações históricas

podem ajudar no estudo de muitos tópicos de Matemática e dão mais sentido ao

aprendizado e, também, podem enriquecer as aulas, tornando-as mais

interessantes e atraentes para os estudantes. Podemos encontrar essas ideias nas

palavras do autor:

Não só os materiais históricos ajudam a fornecer uma visão sobre o entendimento dos próprios assuntos, mas também, a sua discussão ajuda a animar as aulas e mostrar aos alunos que Álgebra Linear, bem como o resto da Matemática, cresceu em um determinado meio e foi desenvolvida a fim de resolver certos problemas. (KATZ, 1995, p.204, tradução nossa)2

Podemos ir um pouco além dessas ideias, e observar que poderíamos ter

estes aspectos históricos incluídos em livros didáticos, já que poderiam ser úteis

para professores e alunos nos processos de ensino e de aprendizagem, do conceito

de vetor. Os elementos históricos envolvidos poderiam ser favoráveis para a

compreensão das diversas maneiras com que um vetor pode ser representado, seja

em sua forma geométrica ou algébrica, uma vez que o estudante contaria com mais

subsídios para o entendimento deste objeto matemático e, consequentemente,

melhor apreensão do conceito e, portanto, facilitando a transição entre essas

possíveis representações.

1.3 Considerações sobre representações de vetores

Apresentaremos as principais definições e representações associadas aos

vetores com as quais os alunos se deparam ao longo dos cursos de Engenharia. A

primeira representação e, em certos aspectos a mais simples, é a representação

que se vale dos recursos da língua natural, como por exemplo: “O vetor

2Not only do the historical materials help provide insight into the understanding of the topics themselves, but also their discussion helps enliven the class and show the students that linear algebra, like the rest of mathematics, grew up in a certain milieu and was developed in order to solve certain problems. (KATZ, 1995, p.204)

32

deslocamento, com direção de 45º, medidos no sentido anti-horário em relação ao

semieixo positivo 𝑶𝑶𝒙𝒙, com sentido nordeste e comprimento de 100m”. Neste caso,

o vetor é descrito por elementos que são as próprias palavras da língua portuguesa,

ou seja, a língua natural.

A representação de um vetor que denotamos por 𝑨𝑨𝑨𝑨��⃗ ou simplesmente por

𝒗𝒗 ��⃗ , como mostrado na figura 2, é realizada por meio de um segmento que é orientado

por uma flecha que indica o sentido do vetor. A ponta da flecha é seu ponto final e

a outra extremidade da flecha é o ponto inicial ou origem do vetor. Tal representação

é feita por meio de uma figura que representa o objeto vetor.

Essa representação permite que o estudante identifique, com certa

facilidade, a direção do vetor dada pela reta suporte “r” que o contém e o seu módulo

(І𝒖𝒖��⃗ І) definido como o comprimento do segmento orientado, também conhecido como

norma do vetor. Ao escrever 𝒗𝒗��⃗ = 𝑨𝑨𝑨𝑨��⃗ , queremos dizer que o segmento orientado 𝑨𝑨𝑨𝑨��⃗

de origem em 𝑨𝑨 e extremidade em 𝑨𝑨, determina um representante do vetor 𝒗𝒗��⃗ . Desta

forma podemos definir vetor como sendo uma classe de equipolência de segmentos

orientados, a partir da qual escolhemos um de seus representantes para descrevê-

lo, pois quaisquer outros segmentos orientados de mesma direção, mesmo sentido

e mesmo comprimento de 𝑨𝑨𝑨𝑨��⃗ , podem ser um representante do vetor 𝒗𝒗��⃗ . Entendemos

por equipolência (BOULOS, 2005, pp.3-4), como sendo a relação de equivalência

Figura 2: Representações figurais de um vetor. Fonte: Acervo pessoal.

33

sob a qual um conjunto de segmentos de reta orientados possuem mesmo módulo,

mesma direção e mesmo sentido. Em consequência desta definição, o representante do vetor pode ser

posicionado em qualquer região do espaço e, ainda assim será um representante

da mesma classe de equipolência dos segmentos orientados, desde que sejam

preservados sua direção, seu sentido e seu comprimento.

No paralelogramo 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 da figura 3, temos os segmentos orientados 𝑨𝑨𝑨𝑨��⃗ e

𝑨𝑨𝑨𝑨��⃗ que possuem mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento e

determinam o mesmo vetor 𝒗𝒗��⃗ , e escrevemos 𝒗𝒗��⃗ = 𝐀𝐀𝐀𝐀��⃗ = 𝐃𝐃𝐃𝐃��⃗ , pois, todos pertencem

à mesma classe de equipolência.

As representações algébricas, em coordenadas, para um vetor 𝒗𝒗��⃗ no espaço

tridimensional 𝑹𝑹𝟑𝟑 podem ser construídas com base num sistema de coordenadas

(em geral, ortogonal) e, considerada a ortogonalidade, o uso dos vetores unitários

𝒊𝒊, 𝒋𝒋 e 𝒌𝒌��⃗ , respectivamente na direção dos eixos ortogonais 𝑶𝑶𝒙𝒙, 𝑶𝑶𝒚𝒚 e 𝑶𝑶𝒛𝒛.

O vetor 𝒗𝒗��⃗ pode ser representado, em sua configuração geral no espaço 𝑹𝑹𝟑𝟑,

na forma vetorial: 𝒗𝒗��⃗ = 𝒙𝒙𝒊𝒊 + 𝒚𝒚𝒋𝒋 + 𝒛𝒛𝒌𝒌��⃗ , conforme podemos verificar com auxílio da

figura 4, ou ainda associado à representação algébrica em coordenadas (𝒙𝒙,𝒚𝒚, 𝒛𝒛) em

relação à base {𝒊𝒊,��⃗ 𝒋𝒋,��⃗ 𝒌𝒌��⃗ }. Esta estrutura é mais simples e vantajosa nas operações

vetoriais de adição e subtração em 𝑹𝑹𝟑𝟑, quando comparamos com as operações

vetoriais na forma geométrica.

Figura 3: Segmentos orientados no paralelogramo 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨. Fonte: Acervo pessoal.

34

Outra possível e particular representação vetorial é a representação

algébrica trigonométrica, na qual o vetor no espaço é representado pela tripla

coordenada 𝒗𝒗��⃗ = (𝒙𝒙,𝒚𝒚, 𝒛𝒛), ou para o plano com o par ordenado 𝒗𝒗��⃗ = (𝒙𝒙,𝒚𝒚). Tais

coordenadas são produzidas a partir do sistema de eixos cartesianos 𝑶𝑶𝒙𝒙,𝑶𝑶𝒚𝒚 e 𝑶𝑶𝒛𝒛,

sobre os quais se projetam, ortogonalmente, as componentes vetoriais e, para tal

representação, precisamos de conceitos de trigonometria para obtê-las. A figura 5

mostra o vetor 𝒗𝒗��⃗ no plano com suas coordenadas (𝒙𝒙,𝒚𝒚), que determinam as

componentes vetoriais deste vetor na forma trigonométrica.

Figura 5: Componentes vetoriais do vetor 𝐯𝐯�⃗ .

Fonte: Acervo pessoal.

Figura 4: Vetor 𝒗𝒗��⃗ e suas projeções ortogonais relacionadas à base {𝚤𝚤,�⃗ 𝚥𝚥,��⃗ 𝑘𝑘�⃗ }. Fonte: Adaptado: Camargo e Boulos, Geometria Analítica, 3ª ed,2005, p.84.

35

O vetor 𝒗𝒗��⃗ pode ser representado da seguinte forma vetorial:

𝒗𝒗��⃗ = 𝒗𝒗. 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒊𝒊 + 𝒗𝒗. 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝒄𝒄𝒋𝒋,

expresso, então, pela soma de suas componentes, ou em suas coordenadas

trigonométricas 𝒗𝒗��⃗ = (𝒗𝒗. 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 ,𝒗𝒗. 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝒄𝒄).

A representação algébrica na forma trigonométrica, tem grande relevância

nas disciplinas de engenharia e é muito utilizada nesta área e, portanto, deve ser

do domínio do estudante.

Uma outra forma de representação para vetores é a forma matricial, podendo

ser uma matriz linha ou coluna. Para um vetor 𝒗𝒗��⃗ , no espaço, cujas coordenadas são

(𝒗𝒗𝟏𝟏,𝒗𝒗𝟐𝟐,𝒗𝒗𝟑𝟑) temos duas possibilidades para esta representação:

Matriz coluna: 𝒗𝒗��⃗ = �𝒗𝒗𝟏𝟏𝒗𝒗𝟐𝟐𝒗𝒗𝟑𝟑� ou Matriz linha: 𝒗𝒗��⃗ = [𝒗𝒗𝟏𝟏 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝒗𝒗𝟑𝟑]

A representação de vetores na forma matricial tem aplicações em várias

áreas específicas da engenharia, tais como Automação, Robótica, Métodos de

Elementos Finitos, Computação, Elétrica, entre outras, que se utilizam fortemente

dos recursos da Álgebra Linear e da Geometria Analítica. No entanto, como já foi

mencionado no início deste capítulo, a complexidade envolvida neste caso e as

análises de tais representações tornariam nosso trabalho muito extenso e, em

consequência disso, consideramos que poderiam ser abordadas em outra pesquisa.

Na tese de Karrer (2006), podemos encontrar estudos que tratam de alguns

aspectos das dificuldades de alunos de Computação com relação à exploração dos

registros gráficos e matriciais.

Neste capítulo, tratamos de algumas representações semióticas de vetores

com ênfase para aquelas que são mais utilizadas nas disciplinas da Engenharia e

que são mais próximas à Física, tais como Mecânica Geral, Mecânica Aplicada,

Resistência dos Materiais, entre outras. Fizemos um breve histórico sobre vetores

para expor as ideias iniciais, que foram o embrião para a construção desse

importante objeto matemático, que possui as mais diversas aplicações.

36

O próximo capítulo trata do referencial teórico, no qual este trabalho está

apoiado. Serão abordados os principais aspectos relativos aos registros de

representações semióticas de Raymond Duval, que detalharão teoricamente a

linguagem utilizada até este momento.

37

Capítulo 2 - Referencial Teórico

A compreensão dos objetos matemáticos é um processo cognitivo bastante

complexo e depende de uma série de fatores, dentre os quais, o conhecimento da

linguagem matemática. A Matemática possui uma linguagem própria e precisa,

tendo uma diversidade enorme de símbolos utilizados para a representação de seus

objetos, e variadas formas de representá-los. Neste sentido, a evolução do

pensamento matemático está associada também, ao desenvolvimento da

semiótica, que por meio de sua estrutura de signos e símbolos permite que um

objeto matemático, totalmente abstrato, possa ser representado e manipulado.

O processo de ensino e de aprendizagem envolve vários atores, quais sejam

professores, alunos, metodologia, entre outros, e também os materiais didáticos

disponíveis. A questão maior envolve o processo de ensino e de aprendizagem e

tem como foco, nesta investigação, a aquisição do conceito de vetor. O livro didático

tem papel importantíssimo nesse processo, tanto do lado do professor que

necessita de um instrumento de apoio para o ensino, como pelo lado do aluno que

o utilizará como referência e suporte para seus estudos.

Segundo Duval (2011a, p.14), para que haja apreensão de um conceito

matemático é necessário que o estudante saiba transitar por pelo menos duas

formas de registros de representações semióticas distintas para o mesmo objeto,

digamos, transitar de uma representação em registro figural de um vetor, para a sua

representação em registro simbólico e vice-versa. O objetivo desta pesquisa é

investigar, entre outros aspectos, como os livros didáticos das disciplinas técnico-

científicas tratam deste assunto, e se essa abordagem proporciona maneiras

diversas de lidar com os vetores e, portanto, facilitar a aquisição do conceito de

vetor pelo aluno. Diferentemente de outras ciências, a atividade matemática se

desenvolve por meio das diversas representações semióticas de seus objetos e das

manipulações dessas representações. Os tipos de registros de representações

semióticas encontrados em livros didáticos para tratar do objeto matemático vetor,

das operações, dos tratamentos e das conversões realizadas entre as diferentes

representações, levam à escolha de um referencial teórico que está embasado nos

38

diferentes textos que tratam da “Teoria dos Registros de Representações

Semióticas” de Raymond Duval, a saber: o artigo de 2006 “A Cognitive Analysis of

Problems of Comprehension In a Learning of Mathematics”, o capítulo “Registros de

representações semióticas e funcionamento cognitivo da compreensão em

Matemática”, In: MACHADO, S.D.A. de 2011a e o livro de 2011b “Ver e ensinar a

Matemática de outra forma – Entrar no modo matemático de pensar: os registros de

representações semióticas”.

2.1 Vetores e os Registros de Representações Semióticas

A comunicação de ideias acontece das mais variadas formas, e se

considerarmos o caso particular da escrita, acontece sempre por meio do uso de

símbolos articulados de forma bem estruturada, como na língua natural, ou de uma

maneira ainda mais específica e própria, como na linguagem matemática.

Os objetos matemáticos são puramente abstratos, existem apenas como

ideias e, com isso necessitam de uma representação semiótica para serem

compreendidos e manipulados, diferentemente do que acontece em outras ciências,

nas quais os objetos podem ser experimentados e muitas vezes manejados

fisicamente dentro de laboratórios, com a reprodução dos fenômenos observáveis

ou ainda, observados diretamente na natureza.

As dificuldades de ensino e de aprendizagem matemática são de

característica global, pois não são a princípio as dificuldades específicas de um

determinado conceito e permeiam todos os estratos da atividade matemática.

Parte do sucesso no processo de aprendizagem é, por um lado, dependente

da capacidade do estudante em saber lidar com as diversas estruturas matemáticas

existentes, com suas propriedades e processos complexos, e com as muitas formas

possíveis de representações para um mesmo objeto matemático. Por outro lado, o

professor deve estimular e desenvolver no aluno a habilidade de trabalhar com toda

essa complexidade e diversidade de processos matemáticos, para que isso possa

gerar evolução em sua maneira de raciocinar.

39

Essas oportunidades podem ser reforçadas, entre outras maneiras, com o

uso de material didático apropriado, que contemple toda essa diversidade de

representações de objetos matemáticos, auxiliando desta forma, professores e

alunos, dentro e fora da sala de aula.

Raymond Duval, psicólogo e filósofo francês, construiu sua Teoria dos

Registros de Representações Semióticas apoiado em boa parte na ciência

chamada Semiótica. Segundo Santaella (2007), a Semiótica surgiu quase que

simultaneamente, entre o fim do século XIX e início do século XX, a partir de três

fontes distintas, vindas da Rússia (antiga União Soviética), Europa e Estados

Unidos, representados respectivamente pelos filósofos A. N. Viesse-Lovski e A. A.

Potiebnia, Ferdinand de Saussure e Charles Sanders Peirce.

Como diz Santaella (2007), a Semiótica enquanto ciência é muito nova e,

portanto, uma área do conhecimento ainda não completamente sedimentada e

cujas indagações e pesquisas continuam em desenvolvimento. A partir dessa ideia

que a autora nos coloca, podemos dizer que, de certo modo, torna-se difícil obter

uma definição que seja em sua totalidade completamente abrangente para uma

ciência incipiente e incompleta como a Semiótica.

Para a autora, a primeira dificuldade passa pelo entendimento do que é

língua e o que é linguagem. A língua é um conjunto de elementos (sons e gestos)

que permitem que haja comunicação, podendo, então, se manifestar por meio da

oralidade ou da gestualidade. A capacidade humana em produzir, ampliar e

compreender a língua e outras formas de expressão, como a pintura, a música entre

outras, é o que se denomina de linguagem. Ainda, segundo Santaella, a

compreensão do mundo acontece por meio da língua, que por sua vez se manifesta

na linguagem verbal oral ou escrita, em complexa comunicação social.

De maneira muito despretensiosa, faremos algumas breves considerações

conceituais sobre a Semiótica. Podemos dizer que Semiótica é a ciência universal

dos signos e símbolos, que tem o objetivo de explicar como o ser humano observa

e entende o mundo ao seu redor, como constrói o conhecimento e ainda como o

compartilha, sendo essencial para toda a comunicação humana, qualquer que seja

o meio em que ela aconteça. Segundo define Santaella (2007, p.13): “A Semiótica

40

é a ciência que tem por objeto de investigação todas as linguagens possíveis, ou

seja, que tem por objetivo o exame dos modos de constituição de todo e qualquer

fenômeno como fenômeno de produção de significação e de sentido”.

Duval (2011b, p.71) distingue dois tipos completamente diferentes de

sistemas semióticos, que são os códigos e os registros. Basicamente os códigos

são sistemas semióticos que cumprem a função de comunicação, de transmissão

de informação, como por exemplo, os alfabetos que possibilitam a passagem da

língua falada para a escrita. Por outro lado, os registros cumprem funções cognitivas

muito específicas dentro de determinado sistema semiótico, tais como os sistemas

de escritas numéricas. Duval3 (2006, p.111, tradução nossa) chama a atenção para

o fato de que “nem todos os sistemas semióticos são registros, apenas os que

permitem uma transformação de representações. ”

Para a pesquisa, o ensino e a aprendizagem em Matemática, os registros

semióticos são essenciais e são constituídos por símbolos e signos com os quais

podemos acessar os objetos matemáticos. Os registros são sistemas semióticos

disponíveis que temos para representar um objeto matemático. Segundo Duval

(2011b, p.72), “Os registros são sistemas cognitivamente produtores, ou mesmo

“criadores”, de representações sempre novas. E a produção de novas

representações permite descobrir novos objetos. ”

Conforme destacado por Duval (2011b), os registros criam possibilidades

para a transformação do conteúdo das representações produzidas e, são essas

transformações que conduzem à aquisição de novos conhecimentos. E como

aponta Barros (2011, p.2): “Um registro de uma representação semiótica é um

sistema semiótico que permite que essa representação semiótica possa sofrer

essas três transformações cognitivas: a produção, o tratamento e a conversão. ”

O sucesso no processo de ensino e de aprendizagem Matemática não está

relacionado somente com as produções das representações para os objetos, mas

principalmente com as operações semióticas de transformações entre as

representações. Tais transformações serão discutidas ao longo deste capítulo.

3 Not all semiotic systems are registers, only the ones that permit a transformation of representations. DUVAL (2006, p.111)

41

Conforme Duval (2011a, p.15) “[...] a compreensão em matemática supõe a

coordenação de ao menos dois registros de representações semióticas”. Ainda,

segundo o autor, é um engano pensar que as representações semióticas são

apenas um mero instrumento para trazer à tona as representações mentais do

indivíduo, para que sejam visíveis e possam ser acessadas e manipuladas por

outras pessoas. As representações semióticas vão além das funções de

comunicação, e são fundamentais para os processos cognitivos do pensamento

matemático e para a própria produção de conhecimento.

A apreensão ou produção de uma representação semiótica do objeto

matemático é chamada por Duval de semiósis, em outras palavras, os objetos

matemáticos se tornam acessíveis e manipuláveis por meio do uso de signos e

símbolos, ou seja, por meio de suas representações. Por exemplo, o vetor pode ser

representado de diversas formas, como na linguagem algébrica, com a qual

representamos 𝒗𝒗��⃗ = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝒊𝒊 + 𝟓𝟓𝒋𝒋, passando a ser esta uma produção do objeto em

questão.

Outro conceito importante é o de noésis, que se trata da apreensão

conceitual de um objeto, ou seja, é o entendimento que se pode ter a partir da

representação do objeto matemático e, também, a capacidade em reconhecer e

extrair informações contidas na representação semiótica ou, quais propriedades

matemáticas ela permite acessar.

De acordo com o conceito precedente e exemplificando, tomamos um vetor

que, para ser definido, necessita de três elementos para caracterizá-lo, o módulo, a

direção e o sentido. O vetor poderia representar, por exemplo, um deslocamento no

plano ou no espaço. Esses aspectos cognitivos de apreensão conceitual, presentes

na representação semiótica do objeto, fazem parte do processo de noésis.

Segundo Duval (2011a) o processo de cognição humano acontece quando

há a mobilização de mais de um registro de representação semiótica e que a

apreensão conceitual do objeto só pode acontecer com a compreensão das representações deste, ou seja, não há noésis sem que tenhamos semiósis.

42

Conforme o autor, os registros de representação semiótica podem ser

classificados em quatro grupos distintos. No quadro 01 abaixo, podemos ver essa

classificação concebida por Duval (2011a):

REPRESENTAÇÃO DISCURSIVA REPRESENTAÇÃO NÃO

DISCURSIVA REGISTROS MULTIFUNCIONAIS: Os tratamentos não

são algoritmizáveis

Língua natural Associações verbais (conceituais).

Forma de raciocinar:

• argumentação a partir de

observações, de crenças...;

• dedução válida a partir de

definição ou de teoremas.

Figuras geométricas planas ou em perspectivas

(configurações em dimensão

0, 1, 2 ou 3):

• apreensão operatória e não

somente perceptiva;

• construção com

instrumentos.

REGISTROS MONOFUNCIONAIS: Os tratamentos são

principalmente

algoritmos.

Sistemas de escritas:

• numéricas (binária, decimal,

fracionária...);

• algébricas;

• simbólicas (línguas formais).

Cálculo

Gráficos cartesianos:

• mudanças de sistema de

coordenadas;

• Interpolação, extrapolação.

Quadro 1: Classificação dos diferentes registros. Fonte: DUVAL, 2011a, p.14.

Os tratamentos mencionados no quadro são transformações das

representações semióticas dentro de um mesmo sistema semiótico e serão melhor

explanados logo adiante. Os tratamentos algoritmizáveis (concebidos a partir de

algoritmos) são aqueles para os quais conseguimos estabelecer um conjunto de

regras lógicas e operações bem definidas que deem conta da solução de um

determinado problema ou classe de problemas. Já os tratamentos não

algoritmizáveis não possibilitam o uso de algoritmos em sua estrutura.

Como definiu Duval (2011a), os registros multifuncionais ou plurifuncionais

são aqueles cujos tratamentos não são algoritmizáveis. De outra maneira, podemos

entender que são aqueles registros utilizados nas mais diversas áreas do

conhecimento humano, com funções variadas de comunicação e tratamento, como

43

a língua natural, por exemplo, que pode ser aplicada em toda a ciência para

descrever algumas situações e estruturas particulares a cada uma das áreas. A

língua natural não se aplica especificamente para essa ou aquela ciência, ela é

estruturada para servir a toda cultura humana indistintamente.

Os registros monofuncionais são registros principalmente algoritmizáveis, ou

seja, podemos criar regras ou um conjunto delas para resolver um problema

específico. São registros concebidos especificamente para uma determinada

função, com uma simbologia própria, da qual se dispõe para a resolução de

problemas matemáticos, obedecendo a uma sequência lógica e complexa. Os

sistemas de escritas numéricas, algébricas, simbólicas e de cálculos gráficos, por

exemplo, são registros monofuncionais que permitem algoritmos particulares para

os tratamentos mobilizados em cada um notadamente.

Quanto aos registros terem funções discursivas ou não discursivas, nos

remete a dizer simplesmente se os registros mobilizados são de uma linguagem

textual ou se são representados por figuras geométricas ou gráficos,

respectivamente.

A seguir, exemplificamos os registros disponíveis considerando os vetores:

Registros da língua natural, que são de natureza multifuncional (ou

plurifuncional) e com representação discursiva, como, por exemplo, as

associações verbais da língua natural para descrever o objeto

matemático: “vetor com dez unidades de comprimento, paralelo ao

eixo das abscissas e com sentido positivo”.

Registros figurais, que são de natureza multifuncional (ou

plurifuncional) e com representação não discursiva. Como exemplo,

temos o vetor representado pelo segmento orientado 𝐴𝐴𝐴𝐴��⃗ , na figura 6,

abaixo:

Figura 6: Segmento orientado 𝐴𝐴𝐴𝐴��⃗ . Fonte: Acervo pessoal.

44

Registros simbólicos, que são de natureza monofuncional e com

representação discursiva; temos como exemplo a representação

algébrica vetorial de um vetor no plano: 𝒗𝒗��⃗ = 𝒗𝒗𝒙𝒙𝒊𝒊 + 𝒗𝒗𝒚𝒚𝒋𝒋

Registros gráficos, que são de natureza monofuncional e com

representação não discursiva, como o vetor �⃗�𝑣 no plano cartesiano,

figura 7, abaixo.

Como já observado anteriormente, os objetos matemáticos são estritamente

abstratos e passíveis de várias formas de representação. O sucesso ou eventuais

dificuldades do aluno na apreensão de um objeto matemático, no processo de

ensino e de aprendizagem, leva em consideração que:

A compreensão em matemática implica a capacidade de mudar de registro.

Isso porque não se deve jamais confundir um objeto e sua representação

[...] A dificuldade se deve ao fato de que o objeto representado não pode

ser identificado com o conteúdo da representação que o torna acessível.

(DUVAL, 2011a, p.21)

A coordenação e articulação entre os vários registros existentes e o

reconhecimento do objeto matemático por meio de suas representações possíveis,

contribui para minimizar as dificuldades acima apontadas. Por exemplo, o estudante

que pensa que um segmento de reta orientado é o próprio objeto matemático vetor,

ao invés de sua representação, pode levá-lo a não reconhecer o mesmo objeto

representado de outra maneira, comprometendo seu aprendizado. Portanto, a

Figura 7: Vetor no plano cartesiano. Representação gráfica. Fonte: Acervo pessoal.

45

diferenciação entre o objeto e o respectivo registro de representação semiótica deve

ser bastante clara.

Uma vez que esteja clara a diferença entre o objeto e sua representação, o

próximo passo envolve a capacidade da passagem de um registro de representação

para outro, que para Duval (2011a) não se trata apenas de mudar o modo de

tratamento, mas pressupõe o conhecimento das propriedades e da estrutura do

objeto em questão. Ora, ignorar as propriedades associadas à representação de um

objeto, pode significar a incapacidade do aluno para mudar de um registro para

outro.

Antes de passarmos para as operações semióticas de transformação,

apresentaremos o quadro 02 com os tipos de registros e representações semióticas

para os vetores que consideraremos em nosso trabalho. Detalhes sobre tais

representações podem ser encontrados no capítulo 1, no subitem 1.3. Na coluna

mais à direita explicitamos a denominação que será utilizada ao longo do texto.

Tipo de registro

Registro Representação Denominação da representação

Língua

natural

Registro em

língua

portuguesa

Vetor com comprimento de dez

unidades, paralelo ao eixo das abscissas

e com sentido positivo.

Representação em

língua natural

Figural Registro em

forma de

desenho

Representação

geométrica

Gráfico Registro

cartesiano

Representação gráfica

Simbólico Registro

algébrico

vetorial

𝒗𝒗��⃗ = 𝒙𝒙𝒊𝒊 + 𝒚𝒚𝒋𝒋 no plano R²

𝒗𝒗��⃗ = 𝒙𝒙𝒊𝒊 + 𝒚𝒚𝒋𝒋 + 𝒛𝒛𝒌𝒌��⃗ no espaço R³

Representação

algébrica vetorial

46

Simbólico Registro

algébrico em

coordenadas

𝒗𝒗��⃗ = (𝒙𝒙,𝒚𝒚) coordenadas do plano

𝒗𝒗��⃗ = (𝒙𝒙,𝒚𝒚, 𝒛𝒛) coordenadas do espaço

Representação

algébrica em

coordenadas

Simbólico Registro

algébrico

trigonométrico

𝒗𝒗��⃗ = (𝒗𝒗. 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 ,𝒗𝒗. 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝒄𝒄)

sendo 𝒗𝒗𝒙𝒙 = 𝒗𝒗. 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 e 𝒗𝒗𝒚𝒚 = 𝒗𝒗. 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝒄𝒄

Representação

algébrica

trigonométrica

Simbólico Registro

algébrico

módulo-ângulo

𝒗𝒗��⃗ = (𝒗𝒗,𝒄𝒄) em coordenadas polares no

plano

𝒗𝒗��⃗ = (𝒗𝒗,𝒄𝒄,𝝋𝝋) em coordenadas esféricas

no espaço

Representação

algébrica módulo-

ângulo

Quadro 2: Classificação das representações semióticas utilizadas nesta pesquisa. Fonte: Acervo pessoal.

Uma vez especificadas as representações abordadas neste trabalho,

passamos, a partir daqui, a usar suas denominações e assim tratar das operações

semióticas de transformações.

Na atividade matemática, Duval considera dois tipos de transformações que

são realizadas para as representações semióticas: o Tratamento e a Conversão. Se

considerarmos o objeto matemático vetor, para que o aluno possa apreender o

conceito deste objeto, é necessário que ele saiba, no mínimo, fazer a conversão

entre duas representações semióticas existentes: por exemplo, passar da

representação algébrica vetorial para a sua representação gráfica e vice-versa (veja

figura 8).

Para Duval (2011a), a conversão das representações semióticas é

basicamente a transformação de uma forma de representação semiótica para outra

forma distinta, ou seja, mudando de sistema de registro de representação para outro

distinto, porém, preservando a referência ao mesmo objeto matemático em questão.

Ressalta-se o fato importante de que os sentidos da conversão não são

transformações equivalentes, ou seja, a conversão de uma representação em

registro figural, por exemplo, para uma representação em registro algébrico pode

não ter o mesmo grau de dificuldade que o caminho inverso, o que é explicado pelo

fenômeno da heterogeneidade dos dois sentidos de conversão.

Para a análise das operações de conversão, além da heterogeneidade, é

necessário levar em consideração também, o fenômeno de congruência e de não

47

congruência, bastando comparar a representação no registro de partida com a

representação no registro de chegada. Segundo Duval (2011a, 2011b) a

congruência considera as unidades de significado (ou seja, os elementos

constituintes das referidas representações semióticas) e ocorre quando a

representação final transparece na representação de partida e leva em conta três

fatores:

1. Correspondência semântica das unidades de significado:

Correspondência, um a um, entre os elementos da representação de

partida e os elementos da representação de chegada.

2. Unicidade semântica final:

Cada unidade de significado no registro de partida corresponde a

uma única unidade de significado no registro de chegada.

3. Conservação da ordem das unidades:

Relaciona-se com a ordem dos elementos com os quais são

construídas as representações de partida e de chegada.

Se a conversão não atende a um dos três fatores acima, então dizemos que

a conversão é não congruente. Ainda considerando a figura 8, temos um exemplo

de conversão congruente na qual há passagem da representação algébrica vetorial

para a representação gráfica de um vetor.

No exemplo da figura anterior, os três fatores que determinam uma

conversão congruente foram atendidos:

Figura 8: Conversão congruente do registro simbólico para o gráfico. Fonte: Acervo pessoal.

48

1. Há correspondência semântica dos elementos da representação de

partida com os elementos da representação de chegada, ou seja, os

valores das componentes da representação simbólica são exatamente os

mesmos valores especificados nos eixos do gráfico cartesiano.

2. A unicidade semântica também é estabelecida, pois, cada componente

da representação simbólica tem um único correspondente na

representação gráfica.

3. A conservação da ordem das unidades também foi mantida, pois a ordem

das componentes da representação simbólica é exatamente a mesma

que as coordenadas do gráfico cartesiano.

Já na figura 9 temos três registros de representações diferentes para o vetor

𝒗𝒗��⃗ cujo módulo ou norma é 10 e o ângulo formado com o semieixo positivo 𝑶𝑶𝒙𝒙 é 𝜭𝜭 =

𝟑𝟑𝟏𝟏°. Podemos considerar duas conversões não congruentes, uma quando partimos

da representação geométrica (1) e chegamos à representação algébrica vetorial (3)

e, outra, quando partimos da representação algébrica módulo-ângulo (2) e

chegamos à representação algébrica vetorial (3).

No exemplo da figura 9 nenhum dos três fatores são atendidos para as

conversões indicadas, ou seja, não há correspondência semântica nem unicidade

semântica e a ordem das unidades não são mantidas.

Em outro exemplo, figura 10, temos na parte (1) a representação geométrica

de um vetor e, na parte (2) a representação gráfica do mesmo vetor e, por fim, na

parte (3) a representação algébrica vetorial. Quando se troca de um tipo de registro

de representação para outro, como, por exemplo de (1) para (2), de (2) para (3) ou

Figura 9: Conversões não congruentes. Fonte: Acervo pessoal

49

vice-versa, temos aí transformações de conversão classificadas como congruentes,

pelos critérios já explanados anteriormente.

Nesse caso, temos três sistemas semióticos distintos, figural, gráfico e

simbólico, no entanto, são conservadas as referências ao mesmo objeto, que neste

caso é um vetor, mesmo ocorrendo as transformações de conversão.

Quando se realiza uma conversão não estamos fazendo simplesmente a

mudança de uma forma de representação para outra, esta transformação implica

muito mais do que isso. É necessário se observar os aspectos distintos trazidos em

cada representação e explicar as propriedades matemáticas referentes ao objeto

representado. Isso pode ter um papel fundamental na construção do conhecimento

matemático. Na figura 11, temos outro exemplo de conversão entre representações

de vetores e mostra outras propriedades matemáticas envolvidas, no caso,

trigonométricas. A parte (1) mostra o vetor em sua representação gráfica e na parte

(2) o mesmo objeto em sua representação algébrica trigonométrica, a passagem de

(1) para (2) caracteriza uma conversão não congruente.

Figura 10: Três representações distintas de um mesmo vetor no plano. Fenômeno de congruência. Fonte: Acervo pessoal.

50

Segundo Duval (2011a) não devemos nos deixar iludir pela ideia de que os

registros de representações de um determinado objeto matemático tenham em si

as mesmas informações contidas em cada uma das representações disponíveis,

conforme podemos comprovar no exemplo anterior. As variadas representações

dos objetos não possuem o mesmo conteúdo, alguns registros podem privilegiar

alguns aspectos, que em outros registros estão ocultos e, por isso a razão da

articulação entre esses registros ser condição para a apreensão de um conceito. No

exemplo da figura 11, a representação gráfica traz informações sobre as

componentes cartesianas 𝒗𝒗𝒙𝒙 e 𝒗𝒗𝒚𝒚 que podem representar o vetor de origem 𝒗𝒗��⃗ na

forma ( 𝒗𝒗𝒙𝒙, 𝒗𝒗𝒚𝒚) ou 𝒗𝒗��⃗ = 𝒗𝒗��⃗ 𝒙𝒙 + 𝒗𝒗��⃗ 𝒚𝒚 , com 𝒗𝒗��⃗ 𝒙𝒙 = 𝒗𝒗𝒙𝒙𝒊𝒊 e 𝒗𝒗��⃗ 𝒚𝒚 = 𝒗𝒗𝒚𝒚𝒊𝒊 com o mesmo efeito,

enquanto que na representação algébrica trigonométrica temos conteúdo de

trigonometria básica. Neste sentido, os experimentos físicos poderiam auxiliar na

compreensão do objeto vetor e ajudar a estruturar esse conceito e separar o objeto

de sua representação.

Outra forma de transformação é o Tratamento, que ocorre quando as

transformações de representações do objeto acontecem dentro do mesmo sistema

semiótico, em outras palavras, o Tratamento é uma transformação de uma

representação para outra, interna ao mesmo sistema semiótico, ou seja, no mesmo

registro. Exemplificando, consideremos exclusivamente o processo de adição

geométrica de dois vetores 𝒖𝒖��⃗ e 𝒗𝒗��⃗ , como vemos na figura 12, parte (1) e, utilizando-

se a regra do paralelogramo, executamos a adição, como vemos na figura 12, parte

Figura 11: Fenômeno de não-congruência. Fonte: Acervo pessoal.

51

(2), mantendo-se a operação dentro do mesmo tipo de sistema semiótico (registro

figural), conforme podemos verificar na figura 12.

A figura 13 mostra outro exemplo de tratamento. Neste caso temos uma

soma geométrica de três vetores e, para esta finalidade utilizamos a regra geral da

adição geométrica para obter 𝒄𝒄�⃗ = 𝒖𝒖��⃗ + 𝒗𝒗��⃗ + 𝒘𝒘��⃗ , permanecendo no mesmo registro

figural. Na parte (1) são apresentados três vetores quaisquer 𝒖𝒖��⃗ , 𝒗𝒗��⃗ e 𝒘𝒘��⃗ e, na parte

(2) temos efetivamente o resultado da soma dos vetores 𝒖𝒖��⃗ , 𝒗𝒗��⃗ e 𝒘𝒘��⃗ pelo processo

geométrico.

Reforçando a ideia de tratamento, vamos agora sair do registro figural, e

considerar os vetores 𝒖𝒖��⃗ e 𝒗𝒗��⃗ representados no registro simbólico, a partir do qual

vamos realizar uma transformação de tratamento. A adição desses vetores dentro

do mesmo sistema semiótico é o que vemos logo abaixo, no qual 𝒘𝒘��⃗ é a

representação algébrica da soma 𝒘𝒘��⃗ = 𝒖𝒖��⃗ + 𝒗𝒗��⃗ , sendo 𝒖𝒖��⃗ = 𝟔𝟔𝒊𝒊 − 𝟐𝟐𝒋𝒋 e 𝒗𝒗��⃗ = 𝟖𝟖𝒊𝒊 + 𝟓𝟓𝒋𝒋,

teremos:

Figura 12: Tratamento: a adição de 𝑢𝑢�⃗ + 𝑣𝑣 = 𝑤𝑤��⃗ no registro figural. Fonte: Acervo pessoal.

Figura 13: Soma geométrica de três vetores. Fonte: Acervo pessoal.

52

𝒖𝒖��⃗ = 𝟔𝟔𝒊𝒊 − 𝟐𝟐𝒋𝒋 𝒗𝒗��⃗ = 𝟖𝟖𝒊𝒊 + 𝟓𝟓𝒋𝒋 𝒘𝒘��⃗ = 𝒖𝒖��⃗ + 𝒗𝒗��⃗ 𝒘𝒘��⃗ = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝒊𝒊 + 𝟑𝟑𝒋𝒋

Nesses três últimos exemplos, vimos que as transformações das

representações ocorreram dentro de um mesmo sistema semiótico, ora no registro

figural, ora no registro simbólico. Permanecer no mesmo sistema semiótico, usando

os símbolos característicos da linguagem deste sistema, portanto, é o que

caracteriza o tratamento.

Com a fundamental importância que essas ideias trazem, as transformações

de tratamento e de conversão são transformações que o discente deve desenvolver

para que a compreensão e a construção do conhecimento matemático sejam

realmente efetivas. Nesse panorama, é primordial que o professor trabalhe e

desenvolva essas habilidades com os estudantes e, por outro lado, que os livros

didáticos tragam em seus conteúdos, material que auxilie na compreensão do objeto

matemático e suas diversas formas de registros e que mostre os tratamentos e as

conversões para as representações existentes.

A multiplicidade de representações em matemática pode trazer dificuldades

para os alunos no reconhecimento do mesmo objeto em suas diversas

representações. Esse reconhecimento e as transformações de conversão não

acontecem de forma espontânea e transparente. Duval (2011a) formula o problema

com a seguinte questão: “Como um aluno pode aprender a reconhecer um objeto matemático por meio de

múltiplas representações que podem ser feitas em diferentes registros de

representação? ”

Para o autor, saber reconhecer o objeto em suas representações é condição

fundamental para que o aluno tenha subsídios próprios para mobilizar ou modificar

as informações para a resolução de problemas. Isso significa que o conceito do

aluno sobre um determinado objeto não está mais amarrado a uma representação

específica daquele objeto, ele passa a entender separadamente o objeto de sua

representação.

53

A aprendizagem matemática é um processo bastante complexo, que conjuga

as dificuldades próprias em articular um emaranhado de elementos matemáticos

com o funcionamento cognitivo do pensamento humano. Com isso Duval (2011a,

p.24) faz uma questão: “Qual o método para pesquisar processos de aprendizagem? ”

Os métodos a serem utilizados em pesquisa dependem da natureza dos

fenômenos a ser estudada. Segundo Duval, é preciso analisar e distinguir com muita

atenção aquilo que sobressalta em um tratamento de um registro e aquilo que

sobressalta em uma conversão, durante as produções realizadas pelos estudantes,

lembrando que são dois domínios cognitivos radicalmente diferentes. Ainda

segundo o autor, as dificuldades variam conforme a natureza dos registros

apresentada. As maiores dificuldades no tratamento estão relacionadas com os

registros multifuncionais, e para a conversão, ela fica mais intrincada com a

necessidade de passar de um registro monofuncional para outro registro

multifuncional. A partir daí, toma-se a conversão como um instrumento de análise

que possibilita evidenciar as variáveis cognitivas que estão envolvidas em cada

registro particularmente.

O autor (ibidem, 2011a, 2011b) reforça a importância da conversão não só

como um instrumento de pesquisa, mas também como uma forte ferramenta para

os processos de ensino e de aprendizagem e, que deve ser observada com cuidado

e estimulada como prática necessária para a apreensão de conceitos e o próprio

desenvolvimento do pensamento matemático.

Os registros de representação, com seus elementos cognitivos de produção,

tratamento e conversão se mostram essenciais no processo de ensino e de

aprendizagem. Identificaremos nos livros didáticos da Engenharia, a ênfase ou não

dos autores com relação à produção dos registros de representação, no tocante às

suas notações e símbolos apropriados e quais as operações de transformação

existentes, tratamento e conversão, e verificar se há privilégio de uma em

detrimento da outra.

54

Capítulo 3 - Revisão de Literatura Para esta pesquisa, procuramos dissertações, teses e artigos no âmbito da

Educação Matemática que fossem relacionados, de uma forma ou de outra, ao

objeto matemático vetor e que tivessem uma proximidade com assunto que estamos

estudando, ou seja, que tratem da abordagem do conceito de vetor e suas

representações semióticas e outros aspectos utilizados nos livros didáticos voltados

para os cursos de Engenharia.

Selecionamos, para a revisão de literatura, três dissertações e três artigos

relacionados a vetores e trigonometria e, apresentamos, inicialmente, uma breve

descrição de cada trabalho escolhido antes de nos aprofundarmos no detalhamento

dos elementos de cada um deles que interessam à nossa pesquisa.

Para o foco principal, que são os vetores e seus registros de representações,

identificamos quatro pesquisas alinhadas diretamente com nosso tema. Castro

(2001), em sua dissertação, trata da noção de vetor no ensino e aprendizagem de

Geometria Analítica, a partir da concepção, realização e análise de uma sequência

didática que tem por objetivo explorar a articulação entre os registros de

representação de vetores.

A pesquisa de Patrício (2011) tratou das dificuldades dos alunos de

Licenciatura em Matemática, com relação à produção, ao tratamento e à conversão

das representações semióticas de vetores. Watson, Spirou e Tall (2003) tratam da

importância, dentro da aprendizagem de vetores, da convergência dos fenômenos

físicos e do simbolismo matemático para a conceituação deste objeto com foco na

ideia de que o efeito físico sentido é uma forma mais significativa de conceituar vetor

para o aluno. Poynter e Tall (2005) tratam dos diferentes pontos de vista, da Física

e da Matemática, para estabelecer uma boa forma de conceituar vetor para os

estudantes.

Daremos também uma especial atenção à representação algébrica

trigonométrica para os vetores por ser esta representação amplamente explorada

nas disciplinas das Engenharias, como constatamos nos textos especializados.

Este fato justifica a ampliação de nossa revisão de literatura levando em conta o

55

ensino de Trigonometria do Ensino Médio, pois tais conhecimentos, adquiridos até

este nível de escolaridade, serão importantíssimos para os alunos que optarem por

um dos cursos de Engenharia, uma vez que este conteúdo será muito solicitado no

desenvolvimento das várias disciplinas técnicas, como já foi mencionado.

Para a representação algébrica trigonométrica de vetor, identificamos e

analisamos duas pesquisas que estudaram especificamente a importância da

Trigonometria para a Matemática e as Ciências em geral. A primeira, o artigo de

Lima, Sauer e Sartor (2011), tratou da importância da interação das ciências da

Engenharia junto aos professores e alunos do Ensino Médio (EM) como um todo,

por meio da realização de oficinas de Matemática, entre as quais uma envolvendo

Trigonometria. Na segunda, a dissertação de Nascimento (2005), a autora propõe

a construção de uma tabela trigonométrica, baseada em trabalhos de matemáticos

da Grécia Antiga, e também a reconstrução de aparelhos utilizados na Antiguidade,

tais como o astrolábio e o teodolito, com a pretensão de que o conhecimento

pudesse ser construído e não meramente transmitido, valendo-se de aspectos

experimentais e históricos para a apreensão dos conceitos das razões

trigonométricas.

No artigo de Poynter, A. e Tall, D. (2005), intitulado “What do mathematics

and physics teachers think that students will find difficult? A challenge to accepted

practices of teaching” os autores consideram que o conceito de vetor foi

desenvolvido distintamente pela Física, que os apresenta como representantes de

força e aceleração e estão diretamente ligados ao movimento; enquanto que a

Matemática o relaciona, por exemplo, com a ideia de translação. Estudam

problemas cognitivos advindos destas diferentes abordagens e testam um conceito

mais próximo ao de vetor livre, que está relacionado ao efeito da ação física de

translação.

Observam que na Física, quando as forças estudadas estão atuando no

plano, ou seja, num espaço bidimensional, o estudante pode trabalhar com suas

componentes e obter as quantidades vertical e horizontal de tais forças,

conservando as suas características unidimensionais cujo entendimento se torna

mais simples. Neste caso, o estudante trabalha com o paralelogramo de forças.

56

A abordagem matemática introdutória na Geometria Analítica, passa, por

exemplo, pelo vetor representado por uma matriz coluna do tipo �𝒙𝒙𝒚𝒚�, na qual 𝒙𝒙 e 𝒚𝒚

representam as quantidades associadas às projeções nos eixos cartesianos, trata-

se de uma representação semiótica em registro simbólico. Temos também a

representação semiótica em registro figural, constituída por segmentos orientados,

denotados por uma seta, que pode ser associada à translação do ponto 𝑨𝑨 para o

ponto 𝑨𝑨. Todos os representantes com mesma direção, sentido e magnitude são

equivalentes e sua classe de equipolência é um único vetor, definido e denotado

como um vetor 𝒖𝒖��⃗ . Poynter (2002, apud Poynter e Tall, 2005) descobriu que muitos de seus

alunos que sabiam operar com as componentes vetoriais, ainda assim,

apresentaram dificuldades em problemas que envolviam forças em Física e,

também, em operações com vetores, propriamente ditas, em Matemática.

Poynter e Tall (2005) entrevistaram dois professores de Física e dois

professores de matemática de uma faculdade que obteve um bom desempenho

escolar. Os professores foram questionados sobre quais dificuldades os alunos

eventualmente poderiam enfrentar, diante de alguns problemas envolvendo o

conceito de vetor. Os professores deveriam avaliar as possíveis dificuldades dos

alunos, para cada problema proposto.

O quadro 3 a seguir, mostra algumas atividades realizadas pelos alunos. Os

professores não tiveram acesso às soluções dos alunos e teceram seus

comentários a respeito das dificuldades que os alunos possam ter encontrado.

Os professores de Matemática e os professores de Física fizeram análises

distintas uns dos outros, porém, acertaram em muitas de suas observações, como

em alguns casos que poderemos ver a seguir, a partir de algumas das respostas

dadas pelos alunos, impressas no quadro 4.

57

Como previsto pelos professores em seus comentários, as respostas da

questão (i), por exemplo, mostram que os alunos ignoram o uso da seta,

representando a translação de 𝑨𝑨 para 𝑨𝑨 apenas com o uso de segmentos de reta,

sem seta para indicar o sentido, como visto na resposta (i)(b) e, também, que os

alunos não têm conhecimento suficiente para representar um vetor com origem a

partir de qualquer ponto, como visto na resposta (i)(a). Algumas respostas deixam

transparecer as falhas conceituais sobre vetor, demonstrando que os alunos não

dominam o conceito de classe de equipolência de segmentos orientados e

confundem os elementos geométricos com vetores.

Quadro 4: Exemplos de equívocos de estudantes. Fonte: POYNTER e TALL (2005).

Quadro 3: Vetor como translação e três exemplos de adição de vetores. Fonte: POYNTER e TALL (2005).

58

O conjunto de respostas oriundas das atividades dos alunos, e os erros

apresentados e curiosamente previstos pelos professores, permite-nos fazer uma

série de análises. No entanto, de modo geral percebe-se que os alunos não

dominam o conceito de vetor como uma flecha, nem tão pouco que ele representa

uma classe infinita de segmentos orientados de mesma direção, sentido e

comprimento.

Os alunos parecem não saber diferenciar um vetor de outro e tem a ideia de

que são fixos no plano, ocupando um lugar específico, o que na concepção deles

seria suficiente para diferenciar um vetor de outro. Tais equívocos se refletem na

inabilidade em utilizar as leis do paralelogramo ou do triângulo.

A partir das entrevistas com professores, e de suas considerações, Poynter

e Tall (2005) puderam perceber que os professores de Física e Matemática estão

cientes das dificuldades com as quais os alunos se deparam. Acreditam que uma

boa estratégia para enfrentar o problema conceitual seria a introdução do conceito

de vetor para os estudantes por meio de uma abordagem de “vetor livre” e, a partir

daí, expandir para os diversos contextos da soma vetorial, de tal forma que a lei do

paralelogramo, a lei do triângulo e a adição de componentes vetoriais, sejam todas

vistas como diferentes aspectos relacionados ao mesmo objeto matemático.

O conceito de “vetor livre” para os matemáticos, trata da classe de

equipolência de segmentos orientados, representada por um vetor dessa classe,

enquanto que os físicos têm o conceito de vetor fortemente ligado ao paralelogramo

de forças, representados pelo vetor flecha. Por este fato, observamos nos livros de

Matemática, diferentemente do que ocorre nos livros de Física e de outras

disciplinas da engenharia, a definição e conceituação deste objeto com um caráter

puramente matemático, não privilegiando, muitas vezes, suas aplicações práticas

nas várias áreas da engenharia e ciências em geral.

Tais abordagens de vetores sob óticas diferentes, podem levar o estudante

a não relacionar o “vetor da Matemática” com o “vetor da Física”, o que por si só,

torna-se um potencial obstáculo ao aprendizado. Acreditamos que as

representações utilizadas nos livros didáticos, devam ser de tal sorte que permitam

59

ao estudante a conexão entre as formas distintas de abordagens e o acesso ao

conceito do objeto matemático, independentemente de sua representação.

Segundo o ponto de vista de Poynter e Tall (2005), uma forma de apresentar

o conceito flexível de ”vetor livre” passa pelo mundo real, e uma maneira eficiente

de fazer isso é levar em consideração a noção física associada à ideia de translação

e ao efeito que ela produz. Este conceito, que está apoiado em ideias do mundo

real e expõe o estudante às experiências físicas, ajuda-o a distinguir o objeto

matemático de suas possíveis representações. O efeito produzido por uma ação

física não é um conceito puramente abstrato e está mais próximo do mundo real do

estudante. Portanto, poderia ser percebido e sentido de forma corporificada e, por

fim, depois dessa noção, partir para o entendimento de sua representação

simbólica, como verificamos nas palavras dos próprios autores, abaixo:

O efeito de uma ação física não é um conceito abstrato. Ele pode ser visto

e sentido no modo corporificado. A ideia é que, se os alunos tiveram tal

senso corporificado do efeito de uma translação, então eles poderiam

começar a pensar em representá-la em termos de uma flecha com dada

magnitude e direção.4POYNTER e TALL (2005, p.133, tradução nossa)

Um instrumento que poderia ser muito útil numa experiência física para os

alunos, seria a mesa de forças. Trata-se de um dispositivo que permite a verificação

experimental da adição de vetores força. A mesa de forças é composta basicamente

de um disco com graduação em graus e, por meio de roldanas móveis, conseguimos

distribuir as forças nas direções desejadas. As forças são obtidas com o uso de

massas cujo peso define as intensidades que se necessitam e, são penduradas por

fios que passam pelas roldanas móveis, como podemos observar na figura 14.

4The effect of a physical action is not an abstract concept. It can be seen and felt in an

embodied sense. The idea is that, if students had such an embodied sense of the effect of a

translation, then they could begin to think of representing it in terms of an arrow with given magnitude

and direction. POYNTER e TALL (2005, p.133)

60

Algumas mesas possuem, também, outros acessórios, como um

dinamômetro que mede a intensidade das forças peso. Com este dispositivo, o

conceito de soma vetorial pode ser sentido pelo aluno, que trabalha com algo

palpável, com os efeitos que uma experiência física pode proporcionar. Pode, ainda,

explorar os conceitos da decomposição de vetores em suas componentes horizontal

e vertical.

Essas ideias relacionadas às experiências físicas para a abordagem do

conceito de vetor podem ser muito valiosas para a construção do conceito desse

objeto matemático. A diversidade de registros de representação existentes para

vetor é bastante ampla e pode afetar a maneira como os alunos constroem o

conhecimento acerca desse conceito, criando algumas dificuldades cognitivas.

Poynter e Tall (2005) traçam estratégias de abordagem ao conceito de vetor

no intuito de facilitar o processo de ensino e de aprendizagem, levando em

consideração os efeitos das experiências físicas que lançam luz sobre uma nova

maneira de compreender este objeto. A maneira como o conceito de vetor é

construída, a partir de ideias físicas, facilita o acesso ao objeto matemático, o que

consequentemente fortalece a ponte entre a representação semiótica e o conceito

de vetor. Essa abordagem reforça ainda a diferença entre o objeto matemático e

sua representação. Tais ideias contribuem para a coordenação entre os diversos

tipos de registros de representação existentes para um mesmo objeto, o vetor, pois

Figura 14: Mesa de força com dinamômetro. Fonte: http://azeheb.com.br/Produtos/mesa-de-forca/

61

a apreensão conceitual neste caso fica mais evidente. Portanto, devem ser

contemplados, com grande atenção, nos livros didáticos.

Então, de acordo com o exposto, os aspectos levantados por Poynter e Tall

(2005) são relevantes no estudo do conceito de vetor e de seus registros de

representação.

No artigo intitulado “The relationship between physical embodiment and

mathematical symbolism: the concept of Vector”, Watson, Spirou e Tall (2003) fazem

uma importante observação sobre a aprendizagem de vetores, considerando que

esta deve ocorrer numa região entre a teoria da corporificação, relativa aos

fenômenos físicos e as ações de conceituação do objeto por meio do simbolismo

matemático específico. Os autores centram-se na ideia da ação do efeito físico do

vetor, como uma maneira mais significativa de apresentar o conceito desse objeto

ao estudante. Isso pode contribuir para a apreensão conceitual de vetor.

Watson, Spirou e Tall (2003) consideraram em seu trabalho os três mundos

da Matemática, respectivamente os mundos corporificado, o simbólico e o formal,

cada qual com sua maneira peculiar de tratar um objeto matemático. De modo

simplificado, o mundo corporificado está associado aos nossos sentidos e com a

nossa percepção das ações e dos efeitos oriundos das experiências físicas. O

mundo simbólico está ligado, por exemplo, aos registros característicos da Álgebra

e da Aritmética e, por fim, o mundo formal, regido pelas estruturas axiomáticas e

pelas demonstrações formais.

Sob esse referencial teórico, os autores exploram os aspectos conceituais de

vetor, de acordo com as características pertinentes a cada um dos três mundos da

Matemática. Da Física, o conceito de força e os efeitos que ela pode causar no

mundo real e, ainda, a ideia mais forte envolvida nesse contexto, que é a

possibilidade de que esses efeitos possam ser sentidos ou corporificados, e

principalmente emprestados para construir o conceito do objeto matemático vetor.

Consideram que essa característica torna o mundo corporificado, com seus

aspectos físicos, bastante importantes para o processo de aprendizagem desse

conceito por parte do aluno.

62

A ideia de translação, como inicialmente pontuaram Watson, Spirou e Tall

(2003), pode ser apreendida da adição geométrica de vetores, na qual o vetor soma

será resultado de um processo que consiste em ordenar os vetores, coincidindo a

origem do sucessor com a extremidade do anterior e, no caso particular da soma

de dois vetores, pode-se chegar à resultante por meio da lei do triângulo, que até

certo ponto, pode ser tratada como uma particularidade da lei do paralelogramo. Em

seguida, o vetor poderá ser representado simbolicamente numa linguagem

algébrica específica, na qual a resultante é obtida por meio da soma de suas

componentes e, neste caso estamos falando dos aspectos do mundo simbólico.

Quanto ao mundo formal, um vetor, por exemplo, pode ser definido em termos de

um espaço vetorial n-dimensional, com elementos puramente abstratos, com suas

operações e propriedades definidas.

Watson, Spirou e Tall (2003) ressaltam que é importante notar que os vetores

são concebidos em cada um dos mundos de formas muito distintas e, que as

operações e demonstrações também são bem particulares em cada um deles. O

principal objetivo e, também, a grande preocupação dos autores é como aproveitar

as ideias conceituais de vetores, características de cada um dos mundos, e com

isso construir de maneira flexível o conceito de vetor para os estudantes. Isso deve

ser conduzido de tal forma que eles possam se beneficiar com o uso, de forma

eficaz, da complexidade e poder embutidos nos vários aspectos desse conceito. No

entanto, ressaltam que é preciso cuidado ao expor os estudantes aos conceitos de

vetor do mundo corporificado, pois as ideias de translação e de efeitos de forças

que, por exemplo, são percebidas de formas diferentes, poderiam criar bloqueios

para os alunos principiantes exatamente no momento em que se desejasse reunir

as ideias distintas do objeto em um só conceito de vetor. Podemos verificar isso nas

palavras dos autores, a seguir:

Acreditamos que esta abordagem tem adicionais complexidades, que

surgem a partir de uma gama de experiências físicas que dão significados

sensoriais muito diferentes. Por exemplo, um vetor tal como uma

transformação "sente diferente" a partir de um vetor, tal como uma força

ou como uma velocidade. Assim, a corporificação, do conceito de vetor

63

leva para uma gama de crenças conscientes ou inconscientes, que podem

causar obstáculos para reagrupar os vários aspectos num núcleo central

do conceito matemático.5 WATSON, SPIROU e TALL (2003, p.2, tradução

nossa)

O conceito matemático de vetor também traz uma variedade de significados,

segundo os autores, como a ideia de translação de um objeto no plano, que tem

aspecto de um processo dinâmico, podendo ser representado por uma flecha que

corporifica, tanto a sensação de movimento dinâmico, como o conceito da própria

flecha como um objeto matemático em si. Valendo-se dessa corporificação, outra

forma de registro de representação semiótica, como 𝒗𝒗��⃗ = 𝑥𝑥 𝒊𝒊 + 𝑦𝑦𝒋𝒋, poderia carregar

o duplo sentido, tanto de processo vetorial como o do conceito de objeto matemático

de acordo com os preceitos simbólicos estabelecidos. Por exemplo, a translação

pode ser obtida através da soma das componentes vertical e horizontal dos vetores

envolvidos, facilmente identificadas nessa última representação.

Na perspectiva teórica de Watson, Spirou e Tall (2003) pretendeu-se unir as

práticas de duas comunidades, de um lado a dos físicos, que estão centrados no

conceito corporificado de vetores a partir das experiências físicas e, de outro, a

comunidade dos matemáticos, que tratam o conceito de vetor por meio do

simbolismo e provas formais. A ideia, nessa perspectiva, é que o estudante inserido

num ambiente de ensino e aprendizagem, que mescle os pontos de vista dessas

duas comunidades, possa se desenvolver com uma estrutura cognitiva mais flexível

em relação ao conceito de vetor e, a partir da integração das práticas dessas

comunidades, possa apreender os elementos característicos do ponto de vista de

cada uma delas e se beneficiar plenamente de ambos os lados.

5We believe that such an approach has additional complexities that arise from the range of physical

experiences that give very different sensory meanings. For instance, a vector as a transformation

‘feels different’ from a vector as a force or as a velocity. Thus the embodiments of the concept of

vector lead to a range of conscious and unconscious beliefs that can cause obstacles to drawing

together the various aspects into a central core mathematical concept. WATSON, SPIROU e TALL

(2003, p.2)

64

Este enfoque é importantíssimo para nosso trabalho por considerar que o

mesmo objeto matemático deve ser tratado não só no contexto da Matemática, mas

também pelo ponto de vista da utilização pelas outras ciências na aplicação prática

do conceito de vetor. Como já averiguamos, os autores de livros didáticos das

disciplinas dos cursos de engenharia adotam uma abordagem mais próxima ao

olhar da Física e, portanto, mais distante dos conteúdos apresentados nos livros de

Matemática, sem a preocupação com o peculiar formalismo ali encontrado. Muitas

vezes, os autores também não levam em conta os aspectos relevantes para a

apreensão do conceito de vetor pelos estudantes da Engenharia. O resultado disso

é o isolamento de ambas as comunidades, tendo cada qual sua forma particular e

distinta de tratar o mesmo objeto e, neste caso, o estudante que deveria reconhecer

o vetor nas duas óticas pode entendê-lo como objetos completamente diferentes.

Os compartilhamentos dos distintos enfoques, sobre o conceito de vetor,

entre as experiências oriundas da Física e da Matemática, podem, de fato, contribuir

de modo muito significativo para a construção do conhecimento acerca desse objeto

matemático, por parte do estudante. Para que isso aconteça, a existência de alguns

elementos precisa ocorrer, segundo Watson, Spirou e Tall (2003) e de acordo com

nossa realidade no Brasil:

• o currículo escolar para a Matemática deve contemplar um tópico

sobre vetores, já a partir dos anos finais do Ensino Fundamental e

também no Ensino Médio;

• os professores de Física e de Matemática devem estar preparados

para a abordagem do conceito de vetor, tanto com o enfoque

corporificado da Física, como do ponto de vista simbólico e formal da

Matemática; em outras palavras, devem buscar um enfoque pluralista,

que por meio da articulação entre os dois pontos de vista, promova

uma ampla cognição por parte do aluno sobre esse conceito, ou seja,

deve-se promover a transdisciplinaridade;

• outro elemento, e neste caso não referenciado pelos autores Watson,

Spirou e Tall (2003), reporta-se aos livros didáticos de modo geral, os

quais poderiam abranger os conceitos de ambas as comunidades para

65

esse objeto, além de referenciar os diferentes registros de

representação, permitindo ao estudante apreender o conceito de

forma mais flexível e também transitar com mais facilidade pelos

distintos registros de vetores. Consideramos isso fundamental, uma

vez que os livros didáticos podem se tornar valorosos instrumentos no

auxílio ao processo de ensino e de aprendizagem de vetores, tanto

para professores como para estudantes.

O artigo de Watson, Spirou e Tall (2003), a partir de evidência experimental,

abordou alguns aspectos importantes no que diz respeito às concepções de vetor e

às leis do triângulo e do paralelogramo. Também nos traz um estudo comparativo

entre a tradicional abordagem de vetor como um ente matemático que representa

uma grandeza com intensidade, direção e sentido e a forma corporificada de vetores

de translação de figuras no plano.

Segundo as evidências empíricas levantadas pelos autores (ibidem, p.3) há

diferenças conceituais, demonstradas pelos estudantes, quando se tomam os

vetores, de um lado, a partir da ideia corporificada de força e, por outro lado, a ideia

corporificada relativa a translação.

No exemplo da figura 15, destacado por Watson, Spirou e Tall (2003), é

possível a discussão do conceito de vetor como força e das respectivas passagens

do mundo real para o científico e por fim, para o modelo matemático, o que pode

ser útil ao aprendizado do conceito vetorial, com os cuidados já mencionados para

esse tipo de abordagem.

Figura 15: Da situação do mundo real para o modelo matemático. Fonte: WATSON, SPIROU e TALL (2003)

66

Essa linha de pensamento reforça a importância de se apreciar os dois

tratamentos dados nos livros didáticos: por um lado o conceito de vetor no âmbito

da Matemática e de outro, as representações utilizadas pelas Engenharias e, os

livros fazendo a ligação entre ambos.

Segundo os autores, certos efeitos físicos, como as sensações provocadas

por puxões sobre o próprio corpo do estudante, podem levá-lo a uma compreensão

da combinação dessas forças e a um aspecto intuitivo para o uso da lei do

paralelogramo, para a adição dessas forças. Ao operar com os vetores, o efeito da

translação de um objeto leva mais naturalmente ao uso da lei do triângulo. Embora

a lei do triângulo possa ser considerada como uma particularidade da lei do

paralelogramo, essa sutil diferença pode levar o estudante a um problema de

cognição com relação à operação com os vetores, pois para ele essa aparente

semelhança entre as leis não se apresenta tão simples e clara quanto pensamos e,

pode assumir como coisas bem distintas.

Segundo Watson, Spirou e Tall (2003) essa sutileza de conceito leva a

equívocos no momento de resolver problemas, como pode ser visto em duas

situações, propostas pelos autores, a seguir.

Na figura 16, a partir de uma situação de equilíbrio entre forças, os

estudantes precisam encontrar o valor de duas forças 𝑭𝑭��⃗ 𝟏𝟏 e 𝑭𝑭��⃗ 𝟐𝟐, conforme mostra o

sistema de forças. Para isso, eles obtêm as componentes verticais e horizontais e

resolvem o problema. Na figura 17, o aluno deve descrever quais são as forças que

atuam sobre o objeto no plano inclinado. Em ambas as situações os alunos não

tiveram muito sucesso.

Figura 16: Encontrar �⃗�𝐹1 e �⃗�𝐹2. Fonte: WATSON, SPIROU e TALL (2003)

67

Uma solução apresentada para o problema da figura 17, é mostrada na figura

18, abaixo:

Pode-se observar nas atividades realizadas com esses alunos, a

possibilidade de confusão entre os conceitos originados a partir das duas sensações

físicas de força e translação e, portanto, legitimam a preocupação dos autores com

as sutis diferenças entre esses dois conceitos, uma vez que força pode ou não

produzir uma translação. Cabe, também, uma observação sobre o fato de que o

estudante não está lidando, nestes casos, somente com o conceito de vetor, mas

também com conceitos próprios da Física, como os das forças especiais envolvidas

no exemplo.

Dessas situações apresentadas por Watson, Spirou e Tall (2003) tiramos

subsídios para nossa pesquisa, por deixarem evidentes a importância dos registros

de representação, seja privilegiando os aspectos da Física, seja privilegiando os

aspectos da Matemática, e destacarem o fato de que o acesso ao objeto matemático

passa por esses distintos aspectos.

Outro trabalho de investigação científica com tema alinhado à nossa

pesquisa é o estudo realizado por Castro (2001) sobre os vetores do plano e do

Figura 18: Forças marcadas pelo estudante. Fonte: WATSON, SPIROU e TALL (2003).

Figura 17: Descrever e marcar as forças. Fonte: WATSON, SPIROU e TALL (2003).

68

espaço e os registros de representação. O estudo está no âmbito das investigações

sobre o ensino e aprendizagem de Geometria Analítica, com foco no conceito de

vetor.

Como suporte teórico para a pesquisa, Castro valeu-se da Teoria dos

Registros de Representações Semióticas de Duval (1995,1999 apud CASTRO,

2001), para a qual a essencialidade do aprendizado em matemática consiste em

distinguir o objeto de sua representação e, ainda, a importância da conversão entre

as representações semióticas nos possíveis registros semióticos para os objetos

matemáticos.

Castro (2001), em sua pesquisa, relatou as dificuldades dos alunos de

primeiro ano na aprendizagem do conceito de vetor e levantou uma hipótese inicial:

partindo do pressuposto de que no ensino médio o aluno trabalha com segmento

de reta caracterizado por um comprimento, talvez ele traga essa ideia para o

conceito de vetor, não levando em consideração os elementos de direção e sentido,

implicados nesse conceito.

De fato, a hipótese levantada pela pesquisadora, faz bastante sentido e pode

ser verificada em outros trabalhos de pesquisa, que apontam para esse tipo de erro

conceitual, como já verificado anteriormente no trabalho de Poynter e Tall (2005),

em que alunos submetidos a situações com operação vetorial, na qual tinham que

representar a translação de um objeto, o faziam sem levar em conta a seta para

caracterizar a direção e o sentido do vetor translação.

A escolha desta pesquisa é justificada, pois Castro (2001) tinha por objetivo

investigar as dificuldades dos alunos universitários iniciantes em relação ao

conceito de vetor e à articulação dos vários registros de representação. Essa

preocupação, em certo ponto, tem forte relação com nosso trabalho, que buscou

nos livros didáticos, as diferentes abordagens dadas a este objeto matemático por

meio de seus registros de representação.

Castro (2001, p.24) trouxe a seguinte questão de pesquisa:

“É possível favorecer a evolução do funcionamento representacional dos

alunos sobre vetor, por meio de uma sequência didática que focalize

atividades de tratamentos e conversões de registros? ”

69

A partir da análise da tese de Pavlopoulou (1994) e de um teste diagnóstico

preliminar, aplicado aos alunos do ensino superior, da área de exatas, Castro (2001)

pôde perceber as dificuldades dos alunos em lidar com os registros de

representação semiótica e as conversões entre as representações, as quais se

assemelhavam às dificuldades apontadas por Pavlopoulou, em sua tese.

Em sua pesquisa, Castro (2001) desenvolveu uma sequência didática para

alunos que estavam cursando ou que já haviam cursado a disciplina de Geometria

Analítica. Este requisito foi necessário para que os alunos já tivessem conhecimento

sobre o tema.

O teste para análises preliminares (baseado na tese de Pavlopoulou) foi

aplicado a três turmas de primeiro ano, sendo duas turmas do curso de engenharia

e uma do curso de matemática, em três faculdades diferentes, num total de 70

alunos. Os estudantes resolveram sete exercícios, em dupla, usando lápis, régua e

papel. O objetivo foi verificar a capacidade dos alunos em fazer a transformação de

conversão entre as representações semióticas de vetores.

No teste diagnóstico, Castro (2001) observou dificuldades que foram comuns

entre os alunos e que também noto em minhas salas de aula, quais sejam não

souberam usar a “regra do paralelogramo”, traçado errado de linhas auxiliares para

obtenção de vetores no plano e no espaço, mescla entre os registros de

representações das n-uplas e das combinações lineares, problemas de visualização

espacial e dificuldades na representação semiótica em registro gráfico, dificuldades

de articulação entre os tipos de registro de representação de vetores, confusão

entre um vetor e um número real, erro na representação da dimensão do vetor, entre

outros. Alguns erros típicos, conforme figuras 19 e 20, podem ser observados nos

exercícios e respostas do teste diagnóstico, proposto pela autora.

Figura 19: Adição geométrica de vetores – Regra do paralelogramo. Fonte: Castro (2001).

70

Mostramos abaixo duas respostas dos alunos para o exercício 2 da figura 19:

Estes exemplos demonstram as dificuldades dos alunos na aplicação da

regra do paralelogramo. Eles não constroem as linhas auxiliares paralelas aos

vetores dados, para desenhar o vetor soma a partir daí. Tais erros podem ser

consequência de um problema maior, além dos conceitos relacionados aos vetores.

Esses aspectos são relevantes, por exemplo, quando estamos falando da

decomposição de um vetor em suas componentes na forma trigonométrica, que

levam a uma representação semiótica importante para o vetor em disciplinas da

engenharia, como já mencionado em momentos anteriores.

A partir do teste diagnóstico foi escolhida a escola que obteve o resultado

menos satisfatório para a aplicação das atividades, e com isso a sequência foi

concebida em duas sessões. As sessões foram realizadas em uma turma de alunos

de primeiro e segundo anos do curso de engenharia, com formação de duplas para

estimular a discussão sobre as estratégias de resolução.

A primeira sessão teve participação de 21 duplas que realizaram cinco

atividades. Na segunda sessão participaram 17 duplas, foram realizadas seis

atividades. Nas sessões foram trabalhadas as coordenadas de um ponto e de um

vetor do espaço, explorando as conversões entre as representações no registro

gráfico e das n-uplas, de vetores do espaço.

Na primeira sessão, Castro (2001) pôde, por meio das atividades, verificar

alguns erros conceituais dos alunos, como, por exemplo, a confusão entre vetor e

ponto, conforme figura 21, a seguir. Destacou que duas duplas não obtiveram êxito

em nenhuma das atividades da primeira sessão.

Figura 20: Respostas de duplas para o exercício 2. Fonte: Castro (2001).

71

Observamos que esse é um aspecto notável e delicado que o professor deve

reforçar quando apresentar a definição de coordenadas de ponto e vetor, e seus

respectivos registros de representação semiótica, para evitar esse tipo de confusão

conceitual. Acreditamos, também, que os livros didáticos da Matemática ou da

Engenharia (que são fontes de estudo para professores e estudantes), que abordam

esse tema, tenham a devida atenção ao apresentá-los e os cuidados necessários

com os registros de representações semióticas envolvidos.

A partir das anotações de Castro (2001), pudemos perceber as dificuldades

que muitos alunos têm com as construções geométricas, sobretudo nas construções

espaciais, que são recorrentes, também, em minhas turmas de engenharia. Esses

são conceitos fundamentais e também essenciais, não só para vetores, mas,

também, para outros campos da Matemática e da Engenharia.

A representação semiótica de vetores e a conversão entre as representações

envolvendo o registro gráfico, foram apontadas por Castro (2001) como as principais

dificuldades encontradas pelos alunos, sobretudo quando o registro gráfico era o de

chegada. Em tais aspectos, segundo a pesquisadora, pôde-se notar, ao longo da

realização das sessões, evolução dos conhecimentos por parte dos alunos. Os

alunos também apresentaram progresso ao reconhecerem como equivalentes,

vetores apresentados no registro gráfico com origens distintas. Destaca-se que um

objetivo da sequência foi atingido: rompeu-se com a concepção de que um vetor

representado graficamente deva sempre ter sua origem na origem do sistema de

coordenadas.

Figura 21: Resposta de três duplas. Fonte: Castro (2001).

72

A pesquisadora pontuou que, a partir da aplicação da sequência e de sua

análise, é possível interferir positivamente, por meio do ensino, na evolução do

funcionamento representacional dos alunos e, que, portanto, é necessário levar em

conta os diferentes tipos de registros de representações semióticas para os vetores

durante o processo de ensino, em concordância com a teoria de Duval (1995,1999

apud CASTRO, 2001).

Essas observações nos mostram o quão essencial é para o aprendizado do

estudante o reconhecimento das diversas representações semióticas de vetores e,

principalmente, a articulação entre os diversos registros semióticos disponíveis,

reforçando o papel do professor e de uma de suas ferramentas de apoio que é o

livro didático, que deve contemplar tais representações e transformações.

Reforçando a essencialidade dos registros de representações semióticas de

vetores e suas transformações que podem ser balizadoras para nossa investigação,

apresentamos outra dissertação que nos ajudará a dar suporte à nossa pesquisa,

na qual buscamos como são trabalhadas as possibilidades de representações

semióticas de vetores nos livros didáticos.

Patrício (2011) investigou as dificuldades dos alunos com relação à

produção, tratamento e conversão das representações semióticas de vetores,

embasado na Teoria dos Registros de Representações Semióticas, Duval (2004,

apud PATRÍCIO, 2011), o que nos interessa especialmente pela afinidade com o

nosso trabalho.

Os sujeitos da pesquisa foram alunos de uma turma de primeiro ano de

Licenciatura em Matemática, da Universidade Estadual do Pará – UEPA. Os

participantes cursavam a disciplina de Geometria Analítica, no período em que

foram aplicados os testes. A pesquisa foi dividida em três etapas: na primeira, os

participantes assistiram às aulas teóricas, que tiveram foco nas várias

representações semióticas de vetores e suas operações básicas; na segunda

etapa, foram realizadas atividades envolvendo a resolução de exercícios, tirados de

livros didáticos recomendados na bibliografia da disciplina, que envolviam as

representações semióticas de vetores nos registros algébrico, figural e da língua

73

natural, e as conversões entre tais representações; na terceira etapa tratou-se da

análise das resoluções produzidas pelos participantes.

Concordamos com Patrício (2011) quando observou que o planejamento e a

abordagem do conceito de vetor, feita para o Ensino Médio, pode ser uma das

origens das dificuldades enfrentadas pelos alunos. No EM o vetor é tratado

exclusivamente na disciplina de Física, que o utiliza apenas como ferramenta para

o estudo da cinemática, dinâmica e estática, entre outros, trabalhando com vetores

apenas no plano, ou seja, em 𝑹𝑹𝟐𝟐.

A partir da observação do autor, podemos afirmar que o aluno chega ao

ensino superior com conhecimento insuficiente sobre este assunto, e somente com

o enfoque da Física, sem o avizinhamento necessário com a Matemática, o que

pode acarretar dificuldades nas disciplinas que, no ensino superior, se utilizam do

conceito de vetor e suas variadas representações semióticas. Sabe-se, no entanto,

que este conteúdo não está previsto nos PCNEM e, por conseguinte, fica para o

ensino superior, a tarefa de adequá-lo neste cenário.

É fato que o conceito de vetor, advindo de experimentos da Física, é

importantíssimo para facilitar a compreensão desse objeto para o aluno, como já

visto em pesquisas mencionadas aqui neste trabalho, como o artigo de Poynter, A.

e Tall, D. (2005), intitulado “What do mathematics and physics teachers think that

students will find difficult? A challenge to accepted practices of teaching” e, também,

o artigo “The relationship between physical embodiment and mathematical

symbolism: the concept of Vector”, Watson, Spirou e Tall (2003) que reforçam essas

ideias. Entretanto, a abordagem do conceito necessita maior abrangência, além do

ponto de vista da Física, para a construção do conceito e a exploração de suas

representações semióticas.

Segundo Patrício (2011), a Álgebra ainda preserva forte ligação com os

conceitos da Geometria, dado que os vetores são apresentados aos alunos, pela

primeira vez, em sua representação semiótica, em registro figural, ou seja,

associados a uma flecha com comprimento, direção e sentido. Esta representação

semiótica para o vetor é utilizada na Física e tem larga aplicação em disciplinas da

engenharia, pelas suas características de cunho experimental. No entanto, em

74

termos cognitivos, é necessário estabelecer o que ou como o método de ensino

baseado em experimentos físicos tem a ver com os conceitos matemáticos para o

objeto vetor, e destacar os aspectos comuns aos dois pontos de vista.

Em nosso trabalho de pesquisa a consideração desses dois pontos de vista,

o da Matemática e o da Física, torna-se relevante, pois se trata aqui de abordagens

diferentes que facilitam a compreensão deste conceito.

Em sua análise, Patrício (2011) trouxe as dificuldades e os erros mais

relevantes, que foram observados nas atividades realizadas pelos alunos, e

classificou-os em quatro categorias:

1- Confusão entre coordenadas de ponto e coordenadas de vetor, que

segundo o autor pode ser explicado pela semelhança existente entre as

duas representações. O ponto tem coordenadas únicas no plano,

enquanto o vetor representa uma classe infinita de segmentos orientados

equipolentes. Ressaltamos nesta primeira categoria classificada pelo

autor, que o fato exposto precisa ser destacado pelo professor em suas

aulas e, também, ser enfatizado nos livros didáticos;

2- Dificuldades na aplicação da regra do paralelogramo foram observadas

pelo autor na maioria das resoluções apresentadas pelos alunos, que

demonstraram não dominar a regra do paralelogramo para a soma de

vetores, nem as propriedades geométricas dessa figura;

3- Dificuldades em identificar vetores iguais ficaram evidentes, por meio das

atividades nas quais os alunos não souberam escolher, dentro de certas

configurações, um representante de vetor que fosse mais conveniente

para a realização das operações indicadas. Muitas vezes os alunos

consideraram que dois vetores de mesma direção, mesmo sentido e

mesma norma, eram diferentes só pelo fato de terem suas origens e

extremidades em pontos diferentes.

4- A conversão entre as representações semióticas envolvendo o registro

gráfico, segundo Patrício (2011), apresentou dificuldades enormes por

parte dos alunos; nenhuma equipe conseguiu realizar a conversão do

registro gráfico para o registro algébrico.

75

Patrício (2011) ainda observou que a abordagem predominantemente

geométrica contribui para as dificuldades dos alunos para a produção das demais

representações dos vetores. Notou, também, que os exercícios presentes nos livros

didáticos de Geometria Analítica ora privilegiam um tipo de registro, ora privilegiam

outro, ou seja, não há preocupação com a conversão entre os vários registros de

representação disponíveis.

As conclusões, apontamentos e observações feitas por Patrício (2011) e

pelos demais autores das pesquisas até aqui apresentadas, são de nosso interesse,

pois consideram aspectos cruciais em nossa pesquisa, tais como as representações

e as dificuldades de articulação, para os alunos, entre os vários tipos de registros.

Quando o estudante está no universo da Matemática, resolvendo problemas

específicos dele, ou quando seu universo, não mais, é o matemático, é desejável

que saiba reconhecer o objeto vetor, no contexto em que está inserido, como sendo

o objeto matemático, porém, com representação particular adequada à situação

problema exposta.

Nesse contexto torna-se necessário investigar como são apresentados os

registros de representações semióticas de vetores nos variados livros didáticos das

disciplinas de engenharia e como são tratadas pelos autores as diferentes

representações, sob olhares distintos das ciências em geral.

As pesquisas de Patrício (2011), Castro (2001), Watson, Spirou e Tall (2003)

e Poynter e Tall (2005) apontaram, a partir de situações diversas, uma série de

problemas recorrentes e semelhantes ligados aos aspectos relacionados à

construção do conceito de vetor e, em certa medida, às representações semióticas

de vetores, sejam em suas produções ou na articulação entre elas.

A segunda etapa de nossa revisão de literatura tem atenção especial à

representação algébrica trigonométrica para vetores e, portanto, discutiremos

temas relacionados ao ensino de Trigonometria do Ensino Médio, por razões já

explicitadas no início deste capítulo.

Lima, Sauer e Sartor (2011) em seu artigo, ressaltam a importância da

interação das ciências da Engenharia junto aos professores e alunos do Ensino

Médio como um todo. Para tanto, realizaram quatro oficinas, destinadas aos

76

professores do EM, nas quais o foco foi o conhecimento matemático e destacamos

a oficina de Trigonometria. A interdisciplinaridade envolvendo a Matemática e as

Engenharias foi um aspecto importante considerado para a realização das oficinas.

Para Lima, Sauer e Sartor (2011), a proposta das oficinas de

Matemática teve o objetivo de buscar formas e métodos mais atraentes, com uma

abordagem contextualizada e também prática, de modo que o professor possa

exercitar a interdisciplinaridade com seus alunos, inserindo, por exemplo, a

Trigonometria em situações comuns a Engenharia e as Ciências de uma maneira

geral.

Segundo as autoras, o tema de Trigonometria, abordado nas oficinas de

Matemática, foi escolhido pela sua importância para a Engenharia e também, pelas

deficiências e lacunas apresentadas pelos alunos. Quando iniciaram a oficina de

Trigonometria, fizeram uma breve abordagem histórica para que se estabelecesse

minimamente, as origens da Trigonometria e sua importância para a ciência em

geral. Apresentaram várias situações nas quais se desenvolveram cálculos com uso

de conceitos trigonométricos, tais como na Astronomia, na Geografia e em sistemas

de navegação via satélite, e chamaram a atenção para a importância dessa área da

Matemática dentro da Engenharia, e também sua aplicação no conceito de vetor,

dizendo:

A Trigonometria é usada em cálculos que envolvem física, mecânica de materiais, mecânica de solos, resistência de materiais, dentre muitos outros ramos da Engenharia. Para efetuar cálculos que envolvem força e

pressão são utilizados vetores e, para realizar cálculos com esses

vetores, utilizam-se conceitos da Trigonometria. (LIMA, SAUER e

SARTOR, 2011, p.5, grifo nosso).

A oficina apresentou uma proposta metodológica baseada na construção das

razões trigonométricas seno, cosseno e tangente, a partir das razões entre os lados

de um triângulo retângulo. Para a realização de todas as atividades foi necessária

a utilização de instrumentos de desenho, tais como régua, esquadros, compasso e

transferidor. As autoras chamaram a atenção para o fato de que essas práticas de

77

ensino, com o uso de instrumentos de desenho, foram sendo esquecidas com o

tempo, com prejuízo aos alunos, sobretudo, aos que optaram pelas áreas técnicas.

Em uma das atividades foi proposta a construção de um “teodolito”, com o

qual os professores foram desafiados a calcularem uma distância inacessível e, por

fim, a resolução de problemas de trigonometria que foram apresentados e discutidos

entre os demais participantes. A partir das conclusões e discussões entre os grupos,

estabeleceu-se uma nova maneira de tratar sobre os conceitos de razão

trigonométrica. Os professores relataram que se sentiram motivados a

desenvolverem atividades planejadas, nas quais os alunos possam aprender novos

conceitos a partir de suas ações e, não só pela ação dos professores.

No registro simbólico, a representação semiótica de um vetor pode ser

construída a partir das suas componentes, que são as projeções ortogonais desse

vetor sobre cada um dos eixos coordenados. Essas componentes vetoriais podem

ser obtidas com o uso da Trigonometria básica, o que confere maior complexidade

à compreensão da representação do vetor. O artigo anteriormente discutido trata

justamente deste objeto matemático e das dificuldades no processo de ensino e de

aprendizagem e de sua importância e aplicação nas áreas técnico-científicas.

Um estudo que consideramos importante para nosso trabalho, alinhado com

o aspecto da representação algébrica trigonométrica, de nossa pesquisa, é o de

Nascimento (2005), que trata dos aspectos relacionados ao significado dos

conceitos das razões trigonométricas no triângulo retângulo, tais como seno,

cosseno e tangente. O autor teve por objetivo investigar como os alunos da 1ª série

do Ensino Médio, de uma escola da rede pública de São Paulo se apropriaram do

significado dos conceitos das razões trigonométricas no triângulo retângulo. Foi

explorada a construção de uma tabela trigonométrica, baseada em levantamentos

históricos de trabalhos de Ptolomeu e de outros matemáticos da Grécia Antiga.

O entendimento de tais razões é vital para a compreensão da produção do

registro de representação algébrica trigonométrica de um vetor e da articulação com

os demais registros e, assim sendo, de grande interesse em nosso trabalho.

Para seu trabalho de pesquisa, a autora fundamentou-se em três referenciais

teóricos: de Vygotsky, Vergnaud e os pressupostos teóricos de Parzysz, este último,

78

para lidar com o ensino de geometria, apoiado nas quatro etapas de

desenvolvimento do pensamento geométrico. O interesse da autora por esta

pesquisa é fortemente ampliado pelos resultados de um problema proposto a mais

de 650 alunos do Ensino Médio, de escolas estaduais, municipais e particulares. O

problema envolveu o conceito da razão trigonométrica seno, a partir do qual o aluno

deveria explicar o porquê de sin 30° ser igual a ½.

A imensa maioria dos alunos não obteve êxito e, segundo a autora, somente

um aluno conseguiu responder corretamente ao problema proposto e, concluiu:

O exposto evidencia que nossos alunos fazem cálculos sem saber ao certo

o porquê. Então procuramos pensar numa sequência de atividades que

levasse o aluno a construir os conceitos elementares da Trigonometria.

(NASCIMENTO, 2005, p.23).

Diante disso, Nascimento (2005) estudou estratégias para conceber

atividades por meio das quais os alunos construiriam seus conceitos

trigonométricos. A partir do estudo das motivações as quais levaram os

matemáticos gregos ao desenvolvimento da Trigonometria e à construção de uma

tabela trigonométrica, é que a autora idealizou suas atividades. O propósito da

construção da tabela trigonométrica está na tentativa de despertar o interesse do

aluno por fatos históricos e de tornar o aprendizado mais atraente, por meio da

utilização de alguns instrumentos ou artefatos, afastando os estudantes do cálculo

puro e do processo mecanizado de ensino e de aprendizagem.

A pretensão da autora era de que, com as atividades, o conhecimento

pudesse ser construído e não meramente transmitido, que fosse possível ao aluno

expandir seu conhecimento elementar de trigonometria para outras áreas

relacionadas aos fundamentos básicos, preliminarmente entendidos, das razões

seno, cosseno e tangente.

Essa visão, de fato, vem ao encontro de nossas ideias com relação a

importância da Trigonometria para as outras áreas da ciência, inclusive para a

própria Matemática, como na Álgebra Vetorial, na representação semiótica do vetor,

79

que, por sua vez, permeia vários ramos da Engenharia e é uma ferramenta

fortemente utilizada.

A metodologia de pesquisa utilizada por Nascimento (2005) baseou-se em

fundamentos da Engenharia Didática, de Michèle Artigue, da qual fez uso de alguns de seus elementos, a saber: concepção e análise a priori das atividades, aplicação

da sequência didática e análise a posteriori das atividades. A partir das análises a

priori e a posteriori a pesquisadora validou sua questão de pesquisa.

Nascimento (2005) propôs atividades divididas em cinco etapas, para um

grupo de 14 alunos, da 1ª série do Ensino Médio, da rede pública de São Paulo. Na

primeira e segunda atividades explorou os conceitos de Semelhança de Triângulos

e das razões trigonométricas seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo, sob a

luz do modelo de Parzysz. Na terceira atividade foram apresentados os conceitos

das razões trigonométricas seno, cosseno e tangente de forma experimental, com

a construção de aparelhos utilizados na Antiguidade, tais como o astrolábio e o

teodolito. Após a construção dos artefatos, foram propostos problemas de aplicação

prática. Na quarta atividade, a finalidade foi construir uma tabela trigonométrica,

seguindo os passos históricos de Ptolomeu e mostrar aos alunos como esta tabela

poderia otimizar os cálculos. A quinta e última etapa, que Nascimento (2005) definiu

como uma situação de reinvestimento, consistiu na avaliação da contribuição da

sequência didática para a aprendizagem dos alunos, referente aos conceitos das

razões trigonométricas. Para a resolução dos exercícios desta etapa, os alunos

tiveram à sua disposição todos os instrumentos utilizados, como régua, compasso,

esquadros, transferidor e a própria tabela trigonométrica construída, só que nesta

etapa, exclusivamente, fariam os exercícios individualmente.

Neste estudo, Nascimento (2005) concluiu que, de maneira geral, os

resultados apontaram para defasagem em relação aos conteúdos abordados na

sequência realizada. Nas atividades iniciais, nas quais os conhecimentos de

Geometria foram avaliados, verificou-se que os alunos souberam identificar as

figuras planas mais conhecidas, porém, não sabiam nenhuma propriedade

relacionada às principais figuras planas e ainda, não sabiam diferenciar figuras

planas e figuras no espaço e retas de segmentos.

80

Esses conhecimentos são relevantes para o estudo de vetores,

principalmente quando se trabalha com a representação semiótica no registro

figural, ou seja, o conceito de vetor por meio do desenho de uma flecha que o

representa.

Os alunos também apresentaram problemas quanto à utilização dos

instrumentos, mostrando que não tinham familiaridade com régua, esquadro,

transferidor, compasso e calculadora, portanto, ignorando os conhecimentos

mobilizados a partir de seu uso.

Este, também, foi um problema apontado por Lima, Sauer e Sartor (2011) em

seu artigo, no qual relatam as mesmas dificuldades dos alunos para trabalhar com

os instrumentos de desenho, deixando transparecer a falta de uso desses

instrumentos em práticas de sala de aula, que ao contrário disso, poderia enriquecer

muito o aprendizado dos estudantes, sobretudo em Geometria e Trigonometria, e

ainda seria de grande valia para os futuros graduandos de engenharia ou outros

cursos da área técnica.

Outra menção interessante, que observamos nesta pesquisa, foi a

relacionada com as dificuldades enfrentadas pelos alunos em converter um registro

de representação da língua natural para um registro gráfico ou algébrico. Esse

problema foi evidenciado pela autora durante a realização da sequência didática e,

a nós, parece corroborar com a importância dada por Duval (2011) às

transformações de conversão das representações semióticas.

Nascimento (2005) diz que ainda há muito a se aprimorar no ensino de

Trigonometria, e que ela encontrou apenas mais um caminho, no qual utilizou fatos

históricos para construir conhecimento junto com os alunos e, aplicações em

situações do dia a dia, como por exemplo, as relacionadas aos fenômenos físicos

envolvendo a Óptica Geométrica, que podem ser bastante úteis.

Os conteúdos de Trigonometria são muito importantes para diversas

aplicações técnicas e, também, para o próprio conceito de vetor e para uma de suas

representações.

Em nossa revisão de literatura procuramos pesquisas que abordassem o

conceito de vetor e suas representações e, também, os aspectos trigonométricos

81

envolvidos em uma de suas representações. Selecionamos alguns trabalhos que

julgamos estarem mais próximos de nossa investigação, conforme algumas

justificativas apresentadas ao longo deste capítulo.

Pudemos observar, nos trabalhos escolhidos, as dificuldades relacionadas

com a produção, o tratamento e a conversão para o objeto vetor, em suas múltiplas

formas de representação disponíveis e constatar a relevância dos aspectos

associados aos registros de representações semióticas.

A partir desse ponto levantamos subsídios para prosseguir com nossa

pesquisa, buscando nos livros didáticos da Engenharia, as questões relacionadas

com a complexidade do objeto vetor em seus principais registros de representações

e a articulação entre eles.

82

Capítulo 4 - Procedimentos metodológicos Nessa pesquisa vamos investigar e analisar os registros de representação

de vetores e as aplicações que fazem uso desse objeto em atividades propostas

nos livros didáticos de algumas disciplinas técnicas da Engenharia Mecânica e

Engenharia de Produção que são comuns aos dois cursos, e também em disciplinas

de Matemática que abordem este tópico. A pesquisa é de caráter documental (Gil,

2002), por se tratar de fontes primárias, uma vez que estes livros ainda não

receberam nenhum tratamento analítico com esse propósito antes. A coleta e

análise de dados serão delineadas e adaptadas a partir do método da análise de

conteúdo proposto por Bardin (1977), de maneira mais livre e própria a esta

pesquisa.

Segundo Bardin (1977) a análise documental realiza operações sobre as

fontes documentais de maneira a criar uma forma interpretativa distinta do original,

sem, no entanto, alterar sua essência e se tornando uma nova fonte de consulta

posteriormente: “Enquanto tratamento da informação contida nos documentos

acumulados, a análise documental tem por objetivo dar forma conveniente e

representar de outro modo essa informação, por intermédio de procedimentos de

transformação”.

Não há um método ou um modelo rígido estritamente a ser seguido, que

possa ser aplicado a qualquer documento com a finalidade de análise de conteúdo

e, que tenha passos bem delimitados. Para cada documento e com um leque de

finalidades de análise tão amplo, devemos desenvolver e adaptar nosso método

inspirando-se em técnicas e modelos de análises disponíveis até o momento, pois

“Não existe o pronto-a-vestir em análise de conteúdo, mas somente algumas regras

de base, por vezes dificilmente transponíveis”. (Ibidem, 1977, p.31)

Cabe ressaltar, como destacado pela autora, que a análise de conteúdo

difere da análise documental pela inferência que se faz na primeira e a limitação à

análise categorial característica na segunda. A finalidade da análise documental é

a de sintetizar o conteúdo a ser armazenado e consultado, enquanto que a análise

83

de conteúdo tem por objetivo manipular o conteúdo das informações e assim

permitir inferências, sendo que nesta última se encaixa nossa pesquisa.

Bardin (1977) organiza a análise em três fases:

1- Pré-análise

Esta é a fase de estruturação e organização daquilo que será

analisado. Determina-se a escolha dos documentos, ou seja, quais livros

serão analisados, a formulação das hipóteses e dos objetivos (quais e como

são utilizados os registros de vetores) e a formulação dos indicadores que

possibilitem a interpretação final dos dados. Segundo Bardin (1977) é necessário constituir um corpus, ou seja,

estabelecer o conjunto de documentos (livros), escolhidos sob certas regras,

que estarão sujeitos à análise de conteúdo. As principais regras são:

• regra da exaustividade, ou seja, deve-se considerar todos os

documentos que sejam relevantes aos propósitos da análise;

• regra da representatividade, ou seja, a análise pode ser efetuada

numa amostra, desde que esta seja representativa do universo

considerado;

• regra da homogeneidade, quer dizer, todo livro selecionado deve

obedecer ao mesmo critério de seleção;

• regra de pertinência, significa que todo livro escolhido deve ser

adequado ao objetivo estabelecido.

O critério de seleção dos livros foi feito de acordo com os livros-texto

indicados nos Planos de Ensino e Aprendizagem (PEA) das disciplinas da

Engenharia e que são adotados em algumas universidades públicas e privadas da

Grande São Paulo, e também que contenham o objeto matemático vetor ou que

façam uso dele como ferramenta para a solução de problemas.

As instituições, por sua vez, foram escolhidas contemplando representantes de

instituições públicas e privadas da Grande São Paulo, conhecidas no meio

acadêmico, de forma a abranger uma amostra significativa e representativa de

instituições. O quadro 05 a seguir, traz informações sobre as instituições

84

pesquisadas. Os livros referidos na sexta coluna desse quadro, que estão

numerados e listados no quadro 06, fazem parte dos PEA’s das disciplinas das

referidas instituições. As universidades FEI, UNICSUL, UNINOVE e USJT não

disponibilizam seus PEA´s, portanto, os livros relacionados a estas universidades

foram confirmados a partir de “blogs” de engenharias e “sites” de estudo dos alunos.

Ordem Instituição de Ensino

Superior Engenharia Mecânica

Engenharia de Produção

Pública(Pu) ou privada (Pr)

Livros (1 a 11) – PEA’s

01 Centro Universitário – FEI Sim Sim Pr 5, 6, 7, 8, 9, 10

e 11

02 Fundação Armando Álvares

Penteado - FAAP

Sim Sim Pr 1, 2, 4, 5, 6, 7,

8, 9, 10 e 11

03 Fundação Santo André - FSA Sim Sim Pu 1, 5, 6, 7, 8,

10, 11

04 Instituto Mauá de Tecnologia Sim Sim Pr 1, 2, 6, 7, 8, 11

05 Pontifícia Universidade

Católica – PUC-SP

Sim Sim Pr 1, 6, 7, 8, 10 e

11

06 Universidade Anhanguera de

São Paulo

Sim Sim Pr 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7, 8, 9, 10 e 11

07 Universidade Cruzeiro do Sul –

UNICSUL

Sim Sim Pr 2, 4, 5, 7, 8, 9,

10 e 11

08 Universidade de São Paulo -

USP

Sim Sim Pu 1, 2, 4, 5, 6, 7,

8, 9, 10 e 11

09 Universidade Estácio de Sá Sim Sim Pr 1, 2, 4, 5, 6, 7,

8, 9, 10 e 11

10 Universidade Mackenzie Sim Sim Pr 1, 2, 4, 5, 6, 7,

8, 9, 10 e 11

11 Universidade Nove de Julho –

UNINOVE

Sim Sim Pr 2, 5, 6, 7, 8, 9,

10 e 11

12 Universidade Paulista – UNIP Sim Sim Pr 1, 2, 4, 5, 6, 7,

8, 9, 10 e 11

13 Universidade São Judas Tadeu

– USJT

Sim Sim Pr 1, 2, 4, 5, 6, 7,

8, 9, 10 e 11

Quadro 5: Instituições de ensino superior pesquisadas com grades curriculares semelhantes. Fonte: Acervo pessoal. Os conteúdos programáticos que constam das disciplinas utilizados para a

seleção dos livros estão reproduzidos parcialmente nos anexos, acompanhados das

85

bibliografias básica e complementar, sendo que o leitor poderá consultar sua íntegra

nas respectivas instituições de ensino.

Selecionamos onze livros didáticos dentre os adotados em disciplinas de

Matemática ou técnico-científicas do currículo de Engenharia Mecânica e

Engenharia de Produção que são de autores reconhecidos no meio acadêmico e

indicados com frequência nas bibliografias básica ou complementar dos Planos de

Ensino e Aprendizagem (PEA) das instituições.

Os livros selecionados têm uma grande frequência de utilização e estão nas bibliografias dos PEA´s das seguintes disciplinas: Álgebra Linear; Geometria

Analítica; Geometria Analítica e Vetores I; Álgebra Linear e Geometria Analítica;

Física I (ou Física Geral I); Resistência dos Materiais I; Mecânica Estática (ou

Mecânica Geral); Mecânica dos Sólidos II (ou Mecânica Aplicada). A partir do

quadro 05 selecionamos três instituições de ensino para centrar nossa análise,

obedecendo aos seguintes critérios:

Oferecem os cursos de Engenharia Mecânica e Engenharia de Produção;

São conhecidas no meio acadêmico;

Ao menos uma representante do setor público e uma do privado;

Grades curriculares com disciplinas comuns;

Disciplinas com livros comuns em suas referências bibliográficas.

Segundo os critérios acima, escolhemos do setor público a Universidade de

São Paulo-USP e do setor privado a Universidade Mackenzie-UM. A Universidade

Anhanguera de São Paulo – UNIAN-SP também foi selecionada segundo os

mesmos critérios, porém, com uma razão a mais, o fato de o pesquisador lecionar

nessa instituição.

Os livros selecionados são comuns aos PEA’s das disciplinas das três

instituições escolhidas e abordam o conceito de vetor e/ou utilizam este objeto na

resolução de problemas. Em boa parte, esses livros também constam nos PEA’s

das outras instituições conforme pode ser observado no quadro 05.

O quadro 06, a seguir, mostra os livros didáticos selecionados em cada

disciplina e as instituições de Ensino Superior nas quais são utilizados. A primeira

coluna enumera os livros, de Livro 01 a 11. O “Livro 06” consta em bibliografias de

86

muitas instituições, no entanto, não está presente no PEA da disciplina “Álgebra

Linear e Geometria Analítica” da Universidade Anhanguera, na qual consta o “Livro

03”. Esse livro traz como autores Steinbruch e Winterle, enquanto que o “Livro 06”,

apenas Winterle. O Livro 03 é o resultado da compilação de materiais extraídos dos

Livros 04 e 05, e faz parte do Programa do Livro Texto (PLT) da Universidade

Anhanguera; e na compilação foram subtraídas as listas de exercícios propostos,

permanecendo apenas os exercícios resolvidos. As abordagens para o estudo dos

vetores nos quatro livros (03, 04, 05 e 06) são muito semelhantes; os autores são

os mesmos e, por esta razão, suas análises serão feitas os considerando

praticamente como um único livro, levando em conta e destacando apenas aspectos

distintos que venham a emergir de tais livros.

Livro Disciplina Livro/autor Instituição de

Ensino Superior Livro 01 Álgebra Linear Geometria Analítica – um tratamento vetorial. 3ª ed.

2005. Camargo, I; Boulos, P. (1ª edição, 1986)

Anhanguera Mackenzie USP

Livro 02 Álgebra Linear Álgebra Linear com aplicações. 10ª ed. 2012. Anton, H.; Rorres, C. (1ª edição, 1973)


Livro 03 Álgebra Linear e Geometria Analítica

Álgebra Linear e Geometria Analítica. (PLT195) 2ª ed. 1987. Steinbruch, A.; Winterle, P. (1ª edição, 1979.)

Anhanguera

Livro 04 Álgebra Linear Álgebra Linear. 2ª ed. 1987. Steinbruch, A.; Winterle, P. (1ª edição, 1979.)


Livro 05 Geometria Analítica

Geometria Analítica. 2ª ed. 1987. Steinbruch, A.; Winterle, P. (1ª edição, 1979.)


Livro 06 Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica. 2ª ed. 2014. Winterle, P. (1ª edição, 2000)

Mackenzie USP

Livro 07 Física Geral I (Física I)

Fundamentos de Física. Vol.1, 9ª ed. 2012. Halliday, D; Resnick, R.; Walker, J. (1ª edição, 1960)


Livro 08 Física Geral I (Física I)

Física para cientistas e engenheiros. Vol.1. 6ª ed. 2009. Tipler, P; Mosca, G (1ª edição, 1976)


Livro 09 Mecânica Geral (Estática)

Estática. Mecânica para engenharia. 12ª ed. 2011.Hibbeler, R. C. (1ª edição, 1974)


Livro 10 Mecânica Aplicada (Dinâmica)

Dinâmica. Mecânica para engenharia. 12ª ed. 2011.Hibbeler, R. C. (1ª edição, 1974)


87

Livro 11 Resistência dos Materiais

Resistência dos Materiais. 7ª ed. 2010. Hibbeler, R. C. (1ª edição, 1991)


Quadro 6: Livros didáticos por disciplinas e suas respectivas instituições de ensino superior. Fonte: Acervo pessoal.

Podemos observar a partir do quadro 06, que os livros de Matemática e Física

em geral são antigos e os livros das disciplinas técnico-científicas da engenharia

geralmente são traduções de livros americanos, não tão completamente adaptados

às características dos cursos de engenharia no Brasil.

Vamos destacar, nos livros escolhidos, os capítulos que tratem

exclusivamente do objeto matemático vetor, propriamente dito, quando for o caso

ou somente suas aplicações ou as duas coisas quando possível. Investigaremos de

que forma os conceitos são apresentados e os tipos de registros de representações

mobilizados; a apresentação das operações de adição e subtração, do módulo ou

norma de um vetor e da multiplicação de um escalar por um vetor. Verificaremos

também que recursos são utilizados para determinar os ângulos entre vetores, ou

entre um vetor e um eixo de referência, o que determina sua direção. Iniciaremos

esse estudo pelo exame dos livros das disciplinas da área da Matemática.

Posteriormente, vamos investigar como é apresentado o conceito de vetor, e quais

são os registros de representações utilizados e aplicados para solução de

problemas nas disciplinas da área técnico-científica.

A análise dos livros foi estruturada em duas partes: a primeira, a análise da

teoria e dos exercícios resolvidos e a segunda, a análise de exercícios propostos.

Cabe salientar que os livros, aqui nomeados de livros da área técnico-científica da

Engenharia, não necessariamente, possuem a teoria específica sobre vetores e

podem trazer, tão somente, problemas nos quais os vetores são utilizados de

alguma forma para a solução.

Uma vez selecionados e coletados os dados extraídos dos documentos

deverão ser preparados, ou seja, organizados para posterior análise.

2- A exploração do material

Esta fase não é independente da anterior, ao contrário, tem aspecto de

complementaridade e consiste basicamente na codificação ou enumeração,

88

de acordo com as regras previamente estabelecidas para a escolha dos

documentos (livros) e procura administrar e organizar a seleção feita.

3- Tratamento dos resultados obtidos e interpretação.

Segundo Bardin (1977), “os resultados brutos são tratados de maneira a

serem significativos (falantes) e válidos” e com algum tratamento estatístico

pode facilitar a emergência das informações da análise a ser feita. Uma vez

que os resultados são considerados significativos, pode-se interpretá-los de

acordo com o objetivo da pesquisa.

Nossa análise está enquadrada na categoria qualitativa e, portanto, não

iremos criar uma codificação para os dados obtidos nos livros, como o seria numa

análise quantitativa. Não estamos, propriamente, buscando elementos que se

repetem com frequência; para nossa análise, “a abordagem não quantitativa,

recorre a indicadores não frequenciais susceptíveis de permitir inferências; por

exemplo, a presença (ou a ausência), pode constituir um índice tanto (ou mais)

frutífero que a frequência de aparição. ” (BARDIN, 1977, p.114)

No entanto, a análise quantitativa não será totalmente rejeitada; à medida

que certos tópicos se tornarem recorrentes poderão ser tratados adequadamente

com as ferramentas quantitativas necessárias.

Segundo Bardin (1977), o processo de categorização pode ser resumido

como sendo uma operação de classificação dos elementos que constituem o

material selecionado para a análise, por meio de diferenciação e reagrupamento,

de acordo com critérios pré-estabelecidos, organizando os dados brutos obtidos.

Para o processo de categorização é necessário que se leve em conta alguns

aspectos essenciais:

• Cada elemento só pode se enquadrar em uma única categoria;

• As categorias devem ser homogêneas, sendo construídas com um

princípio único em sua organização;

• As categorias devem ser pertinentes, ou seja, adequadas ao propósito

das questões de pesquisa;

89

• As categorias devem ser objetivas e fieis de forma a evitar distorções

e falsos juízos de análise;

• Por fim, as categorias devem ser produtivas, fornecendo dados

precisos e que facilitem inferências.

As categorias constituídas com a finalidade de orientar a análise de conteúdo

dos livros didáticos em nossa pesquisa são:

1) Conceito de vetor estabelecido nos livros didáticos da Engenharia;

2) Representações semióticas utilizadas para os vetores;

3) Operações com vetores, ou seja, os tipos de registros de representação e os

tratamentos matemáticos utilizados;

4) Transformações (conversões ou tratamentos) realizadas entre as

representações semióticas de vetores.

A análise de conteúdo apresentada por Bardin (1977) e adaptada à nossa

pesquisa, ajuda a organizar, a delimitar e a estabelecer parâmetros que facilitam

nossa investigação e a obtenção de respostas para as nossas questões de pesquisa

e o processo de inferência.

No próximo capítulo, a partir dos livros selecionados no quadro 06,

apresentaremos os dados com comentários e análises.

90

Capítulo 5 - Vetores e suas representações em livros didáticos.

5.1 Introdução As primeiras noções sobre vetor surgiram, provavelmente, com Aristóteles

no século IV a.C., conforme já relatado no Capítulo 01, e trazem, já em suas ideias

iniciais, a associação com o conceito de força ou de movimento por meio do uso da

regra do paralelogramo, com a qual os vetores podem ser adicionados. A

representação geométrica para vetores talvez seja a mais antiga, está presente nas

considerações iniciais dos livros de Matemática e está fortemente presente nos

livros de Física e de Engenharia, associada às representações algébricas

trigonométricas, como poderemos observar ao longo deste trabalho.

Neste capítulo apresentaremos os dados e as análises feitas sobre os

conteúdos dos livros didáticos dos cursos de Engenharia selecionados, conforme

critérios já estabelecidos no capítulo anterior, nos quais constatamos a presença do

objeto matemático vetor e/ou suas aplicações nas referidas disciplinas. Iremos

investigar quais são os registros de representação mobilizados e quais operações

semióticas são realizadas entre esses registros, de acordo com os fundamentos da

teoria dos Registros de Representações Semióticas, Duval (2006, 2011a, 2011b).

Vamos iniciar nosso trabalho apresentando os conceitos e as representações

utilizadas, primeiramente nos livros de Matemática e depois nos livros das

disciplinas técnico-científicas da Engenharia e, verificar como o objeto vetor é

explorado em ambas as áreas e como são estabelecidas as ligações entre os

diferentes aspectos dessas distintas abordagens feitas para o mesmo objeto.

Para facilitar a leitura das análises dos livros didáticos, estruturaremos o

trabalho em duas etapas distintas, conforme já mencionado no capítulo anterior: a

primeira etapa consistirá na análise da parte teórica e dos exercícios resolvidos

como exemplos, a segunda, uma breve análise dos exercícios propostos,

identificando as representações utilizadas e as operações semióticas implícitas.

91

Inicialmente, podemos observar que, nos livros de Matemática, Física e

Engenharia selecionados, alguns símbolos e notações adotados diferem, como por

exemplo:

• Nos livros de Matemática, em geral: ‖𝒗𝒗��⃗ ‖ significa “norma ou módulo do vetor

𝒗𝒗��⃗ ”;

• Nos livros de Física: 𝒗𝒗��⃗ é o “vetor 𝒗𝒗” e, 𝒗𝒗 (sem a seta sobre a letra) denota o

módulo do vetor;

• Nos livros de Engenharia: 𝒗𝒗 em “negrito” identifica o vetor e, 𝑣𝑣 sem negrito o

seu módulo.

Estes são apenas alguns exemplos; no entanto, quando olhamos para os

livros das disciplinas técnico-científicas da engenharia, que geralmente são

traduções de livros americanos, constatamos que a simbologia como um todo,

diverge da adotada nos livros de Física e Matemática, pois não sofreram completa

adaptação às características dos demais textos utilizados nos cursos de engenharia

no Brasil. Este fato acrescenta um grau a mais na complexidade da produção dos

registros de representação, com o nosso interesse específico voltado para os

vetores. Tais fatos serão observados e comentados ao longo deste capítulo.

5.2 Conceitos e Representações de vetores nos livros de Matemática

5.2.1 Análise da parte teórica e de exercícios resolvidos

Iniciaremos a análise trazendo os elementos dos prefácios dos livros

selecionados. O livro de Geometria Analítica, que denominamos “Livro 01” e o

consideraremos como um modelo, a espinha dorsal, a partir da qual as análises e

comentários dos demais livros da Matemática serão construídos. Em seu prefácio,

os autores evidenciam que os conceitos serão apresentados sob o ponto de vista

da Geometria, com posterior tradução para a linguagem algébrica. Os doze

primeiros capítulos tratam da Álgebra Vetorial, intervalo este no qual se encontra o

objeto de nosso interesse. O Capítulo 1 traz o conceito de vetor tratado em sua

92

forma geométrica; os Capítulos 2, 3 e 4 apresentam as operações e técnicas que

constituem a ferramenta vetorial. O Capítulo 5 traz aplicações na Geometria Plana

e, de modo geral, os Capítulos 6 a 11 trazem os resultados teóricos sobre

dependência linear, base, produto escalar e produto vetorial. Nos capítulos 13 a 26

encontramos o estudo de Geometria Analítica.

O prefácio do Livro 02, Álgebra Linear, apresenta uma série de informações

a respeito da estrutura do livro, com sugestões que servem como guia para o

professor ou para o aluno criarem seu próprio cronograma de estudos e procura

atender a diversos públicos, como estudantes de Engenharia, Ciências da

Computação, Física, Matemática entre outros. No Livro 03, PLT 195, não há

introdução ou prefácio que dê orientações ou sugestões sobre como usar o livro.

Os prefácios dos Livros 04 e 05 são idênticos, pois são o resultado do

processo de desmembramento de um único livro. Neles os autores só ressaltam

que nesse processo, muitos exercícios foram acrescentados, os textos foram

revisados com o intuito de tornar os livros mais acessíveis e práticos, no entanto,

não há nenhuma sugestão ou estratégia de como melhor utilizar os livros.

Na introdução do Livro 06, Vetores e Geometria Analítica, o autor descreve

a estrutura geral do livro constituído por nove capítulos, sendo os quatro primeiros

sobre vetores. O autor destaca sua importância para outras áreas, para além das

disciplinas de Matemática, trazendo exemplos de aplicações na Física. A noção de

vetor é apresentada de forma intuitiva e estudada por meio do tratamento

geométrico e algébrico; a relação entre ambos os tratamentos é estabelecida e,

entre alguns de seus aspectos importantes, o autor destaca o desenvolvimento do

raciocínio geométrico e a visão espacial, que são essenciais, por exemplo, aos

futuros engenheiros.

Para simplificar o desenvolvimento e a compreensão das análises, tornando

a leitura mais acessível, consideraremos as notações estabelecidas no quadro a

seguir, no qual atribuímos siglas para as representações semióticas aqui

consideradas.

93

Tipo de registro

Registro Denominação da representação Sigla

Língua

natural

Registro em

língua portuguesa

Representação em língua natural (para

descrição de situações-problema e linguagem

matemática específica)

RLN

Figural Registro em forma

de desenho

Representação geométrica RGE

Gráfico Registro

cartesiano

Representação gráfica RGR

Simbólico

Registro algébrico

vetorial

Representação algébrica vetorial

RAV

Simbólico Registro algébrico

em coordenadas

Representação algébrica em coordenadas RAC


trigonométrico

Representação algébrica trigonométrica RAT


módulo-ângulo

Representação algébrica módulo-ângulo RAM

Quadro 7: Representações e suas siglas. Fonte: Acervo pessoal.

O quadro 7 mostra a correspondência entre os registros e representações e

as respectivas siglas que serão utilizadas a partir daqui.

O conceito de vetor é abordado no Capítulo 1 do Livro 01, primeiramente de

maneira intuitiva e usando a representação geométrica. A mesma abordagem

geométrica também é dada no Livro 02, Capítulo 3, porém, um pouco mais concisa.

O mesmo acontece com os livros 03, 04, 05 e 06, isto é, todos de modo geral,

apresentam da mesma forma o conceito geométrico de vetor no Capítulo 1. Os

autores do Livro 01 destacam os conceitos de grandezas escalares e vetoriais,

fazem uso da representação de uma força por meio de uma flecha e estabelecem

as noções iniciais de vetor, dizendo que duas flechas de mesmo comprimento,

mesma direção e mesmo sentido são representantes de um mesmo vetor. A

primeira definição formal, dada pelos autores, passa pelo conceito geométrico de

segmento orientado. Podemos observar as definições dos Livros de 01 a 06,

apresentados nos quadros 8 a 12, a seguir.

94

Quadro 10: Definição de vetor. Fonte: LIVROS 03 e 04, p.1.

Quadro 9: Definição de vetor. Fonte: LIVRO 02, p.119.



95

Dessa forma, temos introduzido o conceito de vetor com base numa

abordagem geométrica, em todos os textos, sem diferenças significativas e também

a adoção de um registro figural que denominamos sua representação geométrica.

Os exemplos dos Livros 01 e 02, na figura 22 reproduzem essa representação

geométrica de vetor descrita pelos autores. Observa-se que a notação de vetor no

Livro 02, difere da dos demais livros de Matemática, pois o autor usa letras

minúsculas em negrito para representar os vetores e letras minúsculas em itálico

para os escalares (números reais).

Outra representação de vetor descrita pelos autores é a chamada

representação algébrica, baseada nas operações com vetores ou em coordenadas

definidas a partir da escolha de uma base específica, como veremos a seguir.

Figura 22: Representações geométricas de um vetor. Fonte: LIVRO 01, p.4, LIVRO 02, p.120.


96

No Livro 01, define-se uma base qualquer 𝑬𝑬 = (𝒔𝒔�⃗ 𝟏𝟏,𝒔𝒔�⃗ 𝟐𝟐,𝒔𝒔�⃗ 𝟑𝟑) de um espaço

vetorial 𝑽𝑽³, como um conjunto linearmente independente, a partir do qual se pode

definir as coordenadas dos vetores deste espaço vetorial; ou seja, existem

escalares ou números reais 𝒂𝒂𝟏𝟏, 𝒂𝒂𝟐𝟐, 𝒂𝒂𝟑𝟑 de forma que a expressão ou decomposição

de um vetor 𝒗𝒗��⃗ a partir desta base é dada por:

𝒗𝒗��⃗ = 𝒂𝒂𝟏𝟏𝒔𝒔�⃗ 𝟏𝟏 + 𝒂𝒂𝟐𝟐𝒔𝒔�⃗ 𝟐𝟐 + 𝒂𝒂𝟑𝟑𝒔𝒔�⃗ 𝟑𝟑

Neste trabalho consideramos esta forma de representação como sendo uma

representação algébrica vetorial (RAV), conforme estabelecido no quadro 02, p.46.

Esta definição está presente no Livro 01, conforme quadro 13 e nos demais livros,

como se apresentam nos quadros 14, 15, 16 e 17 a seguir.

Quadro 13: Representação algébrica vetorial. Fonte: LIVRO 01, p.53.

Quadro 15: Representação algébrica vetorial. Fonte: LIVRO 03, p.39 e LIVRO 04, p.39.

Quadro 14: Representação algébrica vetorial. Fonte: LIVRO 02, p.127.

97

Nos quadros 16 e 17 a seguir são apresentados apenas os vetores como

combinação linear de vetores no plano; os autores exibem, da mesma forma, a combinação linear para vetores no espaço R³, não mostrada aqui.

Trata-se, pois, de considerar uma combinação linear de vetores de uma base

𝑬𝑬. Os autores deixam claro que existem infinitas bases, entretanto, as bases

ortonormais (discutidas mais adiante) são, na prática, as mais utilizadas. São essas

bases ortonormais que permitem obter expressões para a norma e as projeções de

um vetor de maneira mais simples. Nos exemplos, cada escalar da tripla ou do par

Quadro 17: Representação algébrica vetorial no Livro 06. Fonte: LIVRO 06, p.18.

Quadro 16: Representação algébrica vetorial. Fonte: LIVRO 05, p.16-17.

98

ordenado é denominado de uma coordenada do vetor 𝒗𝒗��⃗ em relação a base 𝑬𝑬, ou

coeficiente ou componente escalar do vetor, como definido pelos autores (Livro 02,

p.123). Observa-se que, escolhida uma base, cada vetor fica associado a uma única

tripla ordenada de escalares (considerando-se o espaço tridimensional) e, podemos

representar as coordenadas do vetor 𝒗𝒗��⃗ escolhida a base, da seguinte maneira:

𝒗𝒗��⃗ = (𝒂𝒂𝟏𝟏,𝒂𝒂𝟐𝟐,𝒂𝒂𝟑𝟑) Esta forma de representar o vetor será denominada, neste trabalho, uma

representação algébrica em coordenadas (RAC). As formas de conceituação

algébrica de um vetor nos Livros 03 e 04 são exatamente iguais (são os mesmos

autores), o que também acontece, de modo geral, com os Livros 05 e 06, pela

mesma razão. Verificamos essa representação nos seis livros de Matemática,

conforme constata-se nos quadros 18, 19, 20, 21 e 22 a seguir:

Quadro 18: Conceituação algébrica de vetor em coordenadas. Fonte: LIVRO 01, p.53.


99

Observamos que o tratamento algébrico dado ao vetor nos livros de

Matemática produz inicialmente duas representações algébricas que consideramos

Quadro 20: Conceituação algébrica de vetor em coordenadas. Fonte: LIVRO 03, p.5-13 e LIVRO 04, p.5-13.



100

distintas: a representação algébrica vetorial (RAV) e a representação algébrica em

coordenadas (RAC). No Livro 01, os autores fazem a transição da representação

RAV para a RAC, mostrando sua correspondência, numa transformação de

conversão, no entanto, não há ênfase na mudança da representação geométrica

(RGE) ou da representação gráfica (RGR) para uma das representações algébricas,

ficando a cargo do estudante ou do professor fazer esta operação semiótica. Para

os demais livros, de 02 a 06, além de conversões que envolvem representações do

registro algébrico, encontramos ênfase na transição da representação RGR ou RGE

para as representações RAV e RAC, de tal forma que fica mais claro que tais

representações se referem ao mesmo objeto matemático. Para ilustrar isso,

consideramos a figura 23, do Livro 02, que também representa essa conversão para

os demais livros de 03 a 06.

Podemos ter uma base qualquer de um espaço vetorial 𝑽𝑽³ para definir as

coordenadas de um vetor, no entanto, há bases particularmente importantes, que são as bases ortogonais às quais nos referimos anteriormente. Antes convém definir

o conceito de ortogonalidade (notação: ⊥) entre vetores. Segundo definição dos

autores, Livro 01, mostrado no quadro 23:

Figura 23: Conversão de RAC para RGR. Fonte: LIVRO 02, p.122.

Quadro 23: Ortogonalidade entre vetores. Fonte: LIVRO 01, p. 58, grifo dos autores.

101

O quadro 24, Livro 02, apresenta a definição de ortogonalidade a partir do

conceito de produto escalar, o que se repete nas definições dos livros 03, 04, 05 e

06, exceção às pequenas mudanças de linguagem e de notação e aos exemplos,

como a representação geométrica, no Livro 06, que ilustra a relação entre o sinal

do produto escalar 𝑢𝑢�⃗ . �⃗�𝑣 e os intervalos de variação da medida dos ângulos formados

entre estes vetores, podendo ser verificado com o auxílio do quadro 25.

Uma base 𝑬𝑬 = (𝒔𝒔�⃗ 𝟏𝟏,𝒔𝒔�⃗ 𝟐𝟐,𝒔𝒔�⃗ 𝟑𝟑) é dita ortogonal se 𝒔𝒔�⃗ 𝟏𝟏,𝒔𝒔�⃗ 𝟐𝟐,𝒔𝒔�⃗ 𝟑𝟑 são ortogonais entre

si e ortonormal, se 𝒔𝒔�⃗ 𝟏𝟏,𝒔𝒔�⃗ 𝟐𝟐, 𝒔𝒔�⃗ 𝟑𝟑 são unitários e ortogonais entre si, conforme figura 24.

A definição se repete nos demais livros de Matemática, de forma idêntica.

Quadro 24: Ortogonalidade e ortonormalidade entre vetores. Fonte: LIVRO 02, p.143.

Quadro 25: Ortogonalidade entre vetores, Livros 03, 04, 05 e 06. Fonte: LIVRO 03, p.13 e LIVRO 06, p.52.

102

Com a base ortonormal podemos aplicar o Teorema de Pitágoras e obter a

norma de um vetor em função de suas coordenadas. Considerando a figura 25, se

o vetor 𝒗𝒗��⃗ = 𝜶𝜶𝒔𝒔�⃗ 𝟏𝟏 + 𝜷𝜷𝒔𝒔�⃗ 𝟐𝟐 + 𝜸𝜸𝒔𝒔�⃗ 𝟑𝟑, está definido numa base ortonormal, então:

‖𝒗𝒗��⃗ ‖ = �𝜶𝜶𝟐𝟐 + 𝜷𝜷𝟐𝟐 + 𝜸𝜸𝟐𝟐

Lembrando que esta fórmula só é válida se a base 𝑬𝑬 for ortonormal.

Ainda na figura 25, destacamos que o vetor 𝒗𝒗��⃗ pode ser obtido facilmente com

a soma geométrica de cada vetor gerado pelo produto da coordenada e o respectivo

versor da base.

O módulo ou norma de um vetor foi apresentado como uma aplicação do

Teorema de Pitágoras nos espaços bi e tridimensional de maneira semelhante em

todos os livros de Matemática (01 a 06), ressalva feita ao Livro 02, que a partir do

plano e do espaço, vai um pouco além e generaliza a definição para um vetor n-

dimensional, como se verifica no quadro 26.

Figura 25: Representação do vetor 𝒗𝒗��⃗ na base ortonormal. Fonte: LIVRO 01, p.59.

Figura 24: Base ortonormal. Fonte: LIVRO 01, p.58.

103

Na representação do vetor por coordenadas há, ainda, um conceito

importante apresentado pelos autores do Livro 01, enfatizado e bastante útil para

os estudos da Estática, em problemas que envolvem decomposição de forças.

Trata-se da projeção ortogonal de um vetor sobre a direção de outro.

A figura 26 mostra um caso particular em que 𝒖𝒖��⃗ e 𝒗𝒗��⃗ são vetores não nulos

que formam um ângulo 𝜭𝜭 e 𝑨𝑨 é o pé da perpendicular passando por 𝑨𝑨. O vetor 𝒑𝒑��⃗ =

𝑶𝑶𝑨𝑨��⃗ é a projeção ortogonal de 𝒗𝒗��⃗ sobre a direção de 𝒖𝒖��⃗ e 𝒒𝒒��⃗ = 𝑨𝑨𝑨𝑨��⃗ a projeção de 𝒗𝒗��⃗ na

direção ortogonal a 𝒖𝒖��⃗ .

O quadro 27 estabelece as condições para a projeção ortogonal:

Desta forma podemos reescrever o vetor 𝒗𝒗��⃗ como sendo a soma de suas

projeções ortogonais, ou seja, 𝒗𝒗��⃗ = 𝒑𝒑��⃗ + 𝒒𝒒��⃗ .

Quadro 26: Módulo ou norma de um vetor qualquer. Fonte: LIVRO 02, p.131.

Quadro 27: Condições para projeção ortogonal. Fonte: LIVRO 01, p.82.

Figura 26: Projeção de um vetor 𝑣𝑣 na direção de 𝑢𝑢�⃗ . Fonte: LIVRO 01, p.82.

104

O vetor 𝒑𝒑��⃗ é chamado projeção ortogonal de 𝒗𝒗��⃗ na direção de 𝒖𝒖��⃗ e é indicado

por 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒄𝒄𝒑𝒑𝒖𝒖��⃗ 𝒗𝒗��⃗ . A partir da definição os autores (Livro 01, 02, 05 e 06) deduzem a

expressão para obter a projeção e sua norma, como mostrado abaixo:

Projeção de 𝒗𝒗��⃗ na direção de 𝒖𝒖��⃗ :𝒑𝒑��⃗ = 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒄𝒄𝒑𝒑𝒖𝒖��⃗ 𝒗𝒗��⃗ = 𝒗𝒗��⃗ .𝒖𝒖��⃗‖𝒖𝒖��⃗ ‖𝟐𝟐

𝒖𝒖��⃗

Norma de 𝒑𝒑��⃗ :‖𝒑𝒑𝒑𝒑𝒄𝒄𝒑𝒑𝒖𝒖��⃗ 𝒗𝒗��⃗ ‖ = |𝒗𝒗��⃗ .𝒖𝒖��⃗ |‖𝒖𝒖��⃗ ‖

Os autores dos livros 3 e 4 não abordam a projeção ortogonal a partir do

conceito de produto escalar e norma como nos outros livros, apenas se utilizam das

representações algébricas vetoriais e em coordenadas (RAV e RAC) para

apresentar as componentes ou coordenadas de um vetor, como já exposto.

O quadro 28 do Livro 01, a seguir, ilustra o conceito de projeção ortogonal

com um exercício resolvido, que pode ser encontrado de forma semelhante nos

livros 02, 05 e 06. Aqui os autores fazem a conversão da representação RAV para

RAC:

A decomposição vetorial de uma força em suas projeções ortogonais é muito

útil, como bem lembrado pelos autores no livro 01 e encontrada nos estudos da

Estática, Física e tantas outras disciplinas da Engenharia que se valem de vetores

para representar força ou outra grandeza vetorial qualquer. Em nosso ponto de

vista, no entanto, a maneira apresentada para representar as projeções ortogonais

que possibilita reescrever um vetor como a soma de suas projeções (componentes),

ou seja, 𝒗𝒗��⃗ = 𝒑𝒑��⃗ + 𝒒𝒒��⃗ não é a mais encontrada ou a mais utilizada nas disciplinas da

Engenharia.

Quadro 28: Exercício resolvido sobre projeção ortogonal. Fonte: LIVRO 01, p.83.

105

A partir do conceito de produto escalar, os autores do livro 1 desenvolvem

expressões para obter as projeções e suas normas, o que sem dúvida é uma

abordagem bastante abrangente, mas não tão pragmática. A representação

algébrica trigonométrica, que se vale da decomposição de vetores por meio das

razões trigonométricas 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝒄𝒄 𝒔𝒔 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝒄𝒄, e de larga aplicação na Engenharia

conforme apresentamos no capítulo 01, não foi tratada em nenhum dos seis livros

de Matemática selecionados para esta pesquisa. Em certas situações a

representação algébrica trigonométrica simplifica a solução de um problema e se

torna uma ferramenta muito útil para as áreas técnicas.

As projeções do vetor 𝒗𝒗��⃗ nos respectivos eixos coordenados (𝑶𝑶𝒙𝒙,𝑶𝑶𝒚𝒚,𝑶𝑶𝒛𝒛), que

são relacionadas aos cossenos diretores são tratadas de forma superficial pelos

autores no livro 01, e aparecem em apenas um exercício em que se deve mostrar

algumas propriedades importantes, ficando inteiramente a cargo do leitor a

aprendizagem desse conceito, conforme verificamos no exercício do quadro 29. No

Livro 02, os cossenos diretores também não são propriamente tratados, apenas

aparece o conceito de ângulo entre vetores a partir do produto escalar e das normas

dos vetores, por meio da introdução de um problema de geometria, conforme

quadro 30. Os Livros 03 e 04 também não tratam do conceito de cossenos diretores

e, como nos Livros 01 e 02, abordam somente o conceito de ângulo entre vetores.

Quadro 29: Exercícios envolvendo o conceito de cossenos diretores. Fonte: LIVRO 01, p.74.

106

Os conceitos de cossenos e ângulos diretores são tratados de forma

semelhante nos Livros 05 e 06, e como exemplo, partimos da referência ao Livro

06, como mostrado no quadro 31. Nota-se nos quadros 30 e 31, ênfase em

apresentar uma representação gráfica para os ângulos diretores, conforme observa-

se no enunciado, e estabelecer ligação desta com a representação algébrica em

coordenadas, o que em certa medida leva à conversão entre as representações.

A representação algébrica trigonométrica de um vetor é importantíssima,

como constatamos em aulas ministradas em disciplinas da engenharia que se valem

dessa representação, e deve ser de domínio dos estudantes. No Livro 01, Capítulo

19, o conceito de cosseno diretor volta a ser abordado, porém, com o objetivo de

definir medidas angulares entre retas, entre planos e entre reta e plano, não sendo

utilizada especificamente como representação para os vetores, em geral. No Livro 02, capítulo 6, Espaços com Produto Interno, os autores retomam o assunto sobre

ângulo entre vetores e ortogonalidade, no entanto, estendendo o conceito a

Quadro 30: Ângulo entre dois vetores. Fonte: LIVRO 02, p.134.

Quadro 31: Cossenos e Ângulos diretores. Fonte: LIVRO 06, p.57.

107

Espaços Vetoriais, não sendo alvo de nossa investigação. No Livro 03, os autores

voltam a falar de ângulo no capítulo 06, porém, voltado para reta e plano e não

propriamente aos vetores e, no Livro 04 o assunto não é mais retomado. Os autores

dos Livros 05 e 06 tratam do assunto como já descrito.

Nos capítulos iniciais do livro 01, são apresentados os registros de

representação para vetores, em sua forma figural e simbólica (algébrica:

combinação linear das n-uplas das coordenadas), no entanto, não foi observada

nenhuma ênfase em fazer passagens de uma representação para outra, por

exemplo, da representação geométrica para a representação algébrica vetorial (𝒗𝒗��⃗ =

𝒙𝒙𝒊𝒊 + 𝒚𝒚𝒋𝒋 no plano R²) e vice-versa, em outras palavras e à luz da Teoria dos Registros

de Representações Semióticas, uma transformação de conversão. As atividades

(exercícios) exploraram bem os conceitos teóricos apresentados, dentro da mesma

representação, considerando quase que exclusivamente operações de tratamento,

porém, não tinham o objetivo específico da conversão.

Nos capítulos 1 e 2 dos Livros 03, 04, 05 e 06 e no Livro 02, a partir do

capítulo 03, são apresentados os conceitos iniciais sobre vetores nos registros

figural, gráfico e simbólico. A representação geométrica (RGE) é a primeira a ser

utilizada para introduzir a noção de vetor, em seguida, os autores passam para a

representação gráfica (RGR), a partir da qual constroem as representações

algébricas em coordenadas (RAC) e vetorial (RAV), num processo que pode ser

considerado uma operação semiótica de conversão, embora, somente no sentido

aqui descrito e que podemos verificar pela figura 27, extraída do Livro 04, que de

modo geral representa os demais livros de 02 a 06. Os exercícios exploram bem os

conteúdos desenvolvidos, no entanto, não exigem do estudante a transformação de

conversão entre as representações de registros distintos, ficando em sua maior

parte em transformações de tratamento.

108

Outra forma particular de representação algébrica é a que envolve uma base

ortonormal especial, dita canônica e é abordada nos Livros de Matemática aqui

estudados. Cabe uma pequena ressalva ao Livro 01 que traz o resultado teórico

sobre esse assunto no Capítulo 9, Produto escalar, (veja Livro 01, Observação 9.15,

p.86) por meio da descrição do processo de ortonormalização de Gram-Schmidt. É

interessante notar que, antes da abordagem da base canônica {𝒊𝒊, 𝒋𝒋,𝒌𝒌��⃗ } para três

dimensões, alguns exercícios já exploram essa notação para base ortonormal,

como o exercício 9.10 já mencionado no quadro 29 e o exercício 9.56 mostrado no

quadro 32, entre outros. Os autores dos demais livros (02 a 06) consideram a base

canônica {𝒊𝒊, 𝒋𝒋} para o plano e para o espaço tridimensional a base {𝒊𝒊, 𝒋𝒋,𝒌𝒌��⃗ }, a partir

das quais são geradas as representações algébricas vetoriais ou em coordenadas.

Figura 27: Transição da representação gráfica para algébrica em coordenadas. Fonte: LIVRO 04, p.5.

Quadro 32: Exercício proposto envolvendo a base {𝒊𝒊, 𝒋𝒋,𝒌𝒌��⃗ }. Fonte: LIVRO 01, p.84.

109

Nos Livros 03 e 04 os autores tratam desse assunto em dois momentos, o

primeiro com a abordagem dos subespaços vetoriais gerados e aí usando a notação

da base {𝒊𝒊, 𝒋𝒋,𝒌𝒌��⃗ } e, num segundo momento, quando descrevem a base vetorial, e

neste caso não relacionando de forma direta a notação da base canônica {𝒊𝒊, 𝒋𝒋,𝒌𝒌��⃗ }

com sua representação 𝒊𝒊 = (1, 0, 0), 𝒋𝒋 = (0, 1, 0) e 𝒌𝒌��⃗ = (0, 0, 1), conforme

verificamos pelo quadro 33.

Quadro 33: Representação algébrica - Base canônica. Fonte: LIVRO 04, pp.45-46 e 68.

110

O conteúdo do quadro 34 tem origem no Livro 02, no entanto, pode

representar os Livros 05 e 06, que abordam o conceito de base canônica de maneira

muito semelhante, excetuando-se a pequena diferença na notação (Livros 05 e 06:

(𝒊𝒊, 𝒋𝒋,𝒌𝒌��⃗ ) e Livro 02: (𝒊𝒊, 𝒑𝒑,𝒌𝒌)) e o fato de que no Livro 02 a base canônica é definida de

forma mais concisa: inicia por um sistema de coordenadas bi e tridimensional e,

rapidamente, generaliza para um sistema de coordenadas n-dimensional. Nos

outros dois livros (05 e 06), diferentemente da concisão do Livro 02, os estudos no

plano e no espaço são tratados em momentos distintos, de forma mais detalhada,

ou seja, todo conteúdo teórico relativo ao plano é desenvolvido, com exercícios

resolvidos e propostos e, depois disso explana-se o conteúdo teórico relativo ao

espaço.

Os autores dos Livros 02 a 06 apresentam os vetores unitários canônicos em

sua representação gráfica, a partir da qual, posteriormente, exibem um vetor em

sua representação algébrica em coordenadas e por fim, em sua representação

algébrica vetorial, caracterizando conversão entre essas representações, como

podemos observar no quadro 34.

Os autores do Livro 02 apresentam alguns exemplos de aplicação de vetores

em áreas como Economia, Transporte e armazenamento, Circuitos elétricos,

Sistemas mecânicos entre outros, que é algo quase inexistente nos outros livros

Quadro 34: Representação de vetor com a base canônica. Fonte: LIVRO 02, p.132.

111

selecionados e que a nosso ver, é bastante estimulante para o estudante. Outro

aspecto muito interessante desse livro é o fato dos autores introduzirem pequenas

notas históricas sobre matemáticos e outros cientistas que de alguma forma estão

relacionados com o tema abordado naquele momento com bastante frequência.

5.2.1.1 Operações com vetores (adição e multiplicação por um escalar) nos livros de Matemática

A adição de vetores, figura 28, no registro figural, é definida pelos autores

do Livro 01, quadro 35, como sendo:

Para a adição de dois vetores 𝒖𝒖��⃗ e 𝒗𝒗��⃗ não paralelos, os autores se valem de

duas “regras”, ou seja, a regra do triângulo ou a regra do paralelogramo, ambas

baseadas na representação geométrica. A regra do triângulo é exatamente o que

vemos na figura 28, na qual se escolhe um representante do vetor 𝒗𝒗��⃗ com origem na

extremidade do representante do vetor 𝒖𝒖��⃗ , em seguida fecha-se o triângulo 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨

obtendo-se o vetor soma 𝒖𝒖��⃗ + 𝒗𝒗��⃗ = 𝑨𝑨𝑨𝑨��⃗ .

Para a regra do paralelogramo, figura 29, escolhe-se uma origem comum

para os dois representantes dos vetores 𝒖𝒖��⃗ e 𝒗𝒗��⃗ e, construindo o paralelogramo

𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨, a diagonal 𝑨𝑨𝑨𝑨�� que “fecha” o triângulo 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 é um representante do vetor soma

Quadro 35: Operação de adição. Fonte: LIVRO 01, p.8.

Figura 28: Soma de vetores usando representação geométrica. Fonte: LIVRO 01, p.8.

112

𝒖𝒖��⃗ + 𝒗𝒗��⃗ = 𝑨𝑨𝑨𝑨��⃗ . Podemos notar que a regra do triângulo é um caso particular da regra

do paralelogramo.

A diferença 𝒖𝒖��⃗ − 𝒗𝒗��⃗ é definida como a soma 𝒖𝒖��⃗ + (−𝒗𝒗��⃗ ), sendo (−𝒗𝒗��⃗ ) o vetor

oposto de 𝒗𝒗��⃗ , dado pela multiplicação do escalar (−1) pelo vetor 𝒗𝒗��⃗ . No paralelogramo

𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 a diagonal 𝑨𝑨𝑨𝑨�� está associada à diferença 𝒖𝒖��⃗ − 𝒗𝒗��⃗ , conforme figura 30.

O Livro 02 também apresenta as mesmas duas regras para a operação de

Figura 29: Soma de dois vetores pela regra do paralelogramo. Fonte: LIVRO 01, p.9.

Figura 30: Diagonal 𝑨𝑨𝑨𝑨�� representando a diferença 𝒖𝒖��⃗ − 𝒗𝒗��⃗ . Fonte: LIVRO 01, p.11.

Quadro 36: Soma geométrica de dois vetores – Regra do triângulo – (Livros 03, 04 e 05). Fonte: LIVRO 04, p.03.

113

adição vetorial: a regra do triângulo e a regra do paralelogramo. Os exemplos

utilizados para encontrar a soma de vetores em sua representação geométrica são

praticamente idênticos e, portanto, apresentamos apenas os exemplos do Livro 01,

que valem para os demais livros. Os Livros 01 e 02 são os únicos que evidenciam

a regra do triângulo para a adição vetorial. Os Livros 03, 04 e 05 apresentam a

adição vetorial por meio do triângulo, porém, não mencionam como regra do

triângulo, nem essa como uma particularidade da regra do paralelogramo, e não

detalham o processo geométrico de soma, o que podemos verificar com o auxílio

do quadro 36, que traz um exemplo comum a esses 3 livros. Ao contrário, o Livro

06 apresenta e detalha o processo de soma por meio do triângulo, porém, não faz

referência à regra do triângulo, veja quadro 37.

No quadro 38, o autor do Livro 01 propõe o exercício 2.9 que explora bem o

conceito de vetor em sua representação geométrica e as regras da soma

geométrica de vetores, exigindo um bom entendimento por parte do estudante.

Nesse exercício os vetores são mostrados na representação geométrica (RGE) e

para a solução se mantém o mesmo registro de representação (figural) e não é

necessária mudança do registro de representação, portanto, temos um tratamento.

Quadro 37: Soma geométrica de dois vetores – Regra do triângulo. Fonte: LIVRO 06, pp.6-7.

114

Os quadros 39 e 40 trazem exemplos de exercícios propostos nos livros 05

e 06, respectivamente, nos quais é explorada a soma geométrica de vetores. Para

a solução do exercício 2, do Livro 05, é necessário transitar da representação

algébrica vetorial para a representação geométrica, ou seja, temos transformações

de conversões. O exercício 4, Livro 06, mostrado no quadro 40, também deve ser

resolvido partindo da representação algébrica vetorial para a representação

geométrica, caracterizando uma conversão. Para a solução desses exercícios o

aluno tem de ter a capacidade de interpretar os dados algébricos e, a partir daí,

aplicar os procedimentos geométricos.

Quadro 38: Exercícios sobre soma geométrica de vetores. Fonte: LIVRO 01, p.14.

Quadro 39: Soma e diferença geométricas com vetores. Fonte: LIVRO 05, p.14.

115

O autor do Livro 02 não apresenta nenhum exercício resolvido sobre soma

vetorial utilizando a representação geométrica (RGE) como forma de ilustrar o

processo, apenas desenvolve a teoria. Dos 37 exercícios propostos encontramos

apenas um que se vale da representação geométrica para encontrar a soma, com

predominância de exercícios que utilizam a representação algébrica em

coordenadas (RAC) para efetuar as operações solicitadas.

Os Livros 03 e 04 não apresentam nenhum exercício resolvido para

exemplificar o processo de soma geométrica, nem apresentam exercícios para a

prática da teoria. O estudante e o professor não dispõem desses recursos e devem

buscar exercícios em outras fontes, se assim o quiserem. A ausência de exercícios

resolvidos e até mesmo de uma lista proposta, não dá ao estudante, a oportunidade

de pôr em prática o que aprendeu na teoria, nem a prática com operações

semióticas de tratamento, muito menos com as operações de conversão

consideradas essenciais ao processo de aprendizagem.

O procedimento relativo à operação de adição com vetores descritos por

coordenadas pode facilmente ser verificado e executado e conduz à seguinte

generalização descrita no Livro 01 e que, no entanto, não faz a transição da

representação geométrica (RGE) para a representação algébrica em coordenadas

(RAC):

Dadas as coordenadas dos vetores 𝒗𝒗��⃗ = (𝒂𝒂𝟏𝟏,𝒂𝒂𝟐𝟐,𝒂𝒂𝟑𝟑) 𝑒𝑒 𝒖𝒖��⃗ = (𝒃𝒃𝟏𝟏,𝒃𝒃𝟐𝟐,𝒃𝒃𝟑𝟑), as

coordenadas do vetor soma 𝒗𝒗��⃗ + 𝒖𝒖��⃗ são obtidas da seguinte forma:

𝒗𝒗��⃗ + 𝒖𝒖��⃗ = (𝒂𝒂𝟏𝟏 + 𝒃𝒃𝟏𝟏,𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝟐𝟐,𝒂𝒂𝟑𝟑 + 𝒃𝒃𝟑𝟑) Vejamos o exemplo do quadro 41, no qual temos a operação de multiplicação

de escalar por vetor (aqui não explicitado, porém, tratado no Capítulo 3 do Livro 01

Quadro 40: Exercícios envolvendo soma geométrica de vetores. Fonte: Livro 06, p.14.

116

e também, nos demais livros) e a operação de adição para vetores com

representação algébrica em coordenadas, anteriormente apontado.

No exemplo numérico do quadro 41 fica bastante clara a transformação de

tratamento, uma vez que toda operação acontece com a representação algébrica

em coordenadas, na qual, em primeiro lugar executa-se a operação de multiplicação

dos vetores pelos respectivos escalares e, posteriormente, realizam-se as somas

das respectivas coordenadas, obtendo o resultado em cada eixo.

Quadro 42: Adição e subtração por meio das componentes escalares. Fonte: LIVRO 02, p.125.

Quadro 41: Operações com a representação algébrica em coordenadas. Fonte: LIVRO 01, p.54.

117

No quadro 42, verificamos a abordagem dada pelo autor do Livro 02 para o

processo de soma vetorial levando em conta as chamadas componentes escalares

do vetor. A partir da representação gráfica da soma de dois vetores, o autor deduz

a operação de soma algébrica usando as componentes dos vetores em suas

representações algébricas em coordenadas. Esse é o exemplo no qual uma

transformação de conversão ocorre, partindo da representação gráfica para a

representação algébrica em coordenadas.

Podemos verificar a abordagem dada no Livro 06, no quadro 43, e perceber

que se trata de algo bastante semelhante ao apresentado pelo autor do Livro 02,

que também se vale, como partida, da representação gráfica (RGR) para chegar a

definição de soma na representação algébrica em coordenadas (RAC). Os livros 03,

04 e 05 apresentam exatamente o mesmo exemplo, e por isso não são mostrados.

Os exemplos de operações de adição de vetores considerados no Livro 01

restringem-se basicamente às transformações de tratamento, pois ficam dentro do

mesmo sistema semiótico, ou no registro figural ou no registro simbólico.

Quadro 43: Adição e subtração por meio das componentes escalares. Fonte: LIVRO 06, p.20.

118

Uma das maneiras de definirmos um vetor é por meio da especificação de

seu módulo (norma) e de seu ângulo em relação a uma semirreta fixada,

completada com a trigonometria básica do triângulo retângulo; essa é uma

representação bastante utilizada na Estática, por exemplo, para representar forças.

Esta representação é de grande utilidade. A quase inexistência dessa

representação, seja no conteúdo teórico, seja no conteúdo das atividades nos livros

de Matemática denota a baixa importância dada a ela pelos autores,

especificamente nos livros de 01 a 06 selecionados para esta pesquisa. Pensamos

que, de modo geral, a ausência desta forma de representação pode provocar uma

desconexão com os conteúdos de relevância nas áreas técnico-científicas, como

observaremos nos textos seguintes, quando tratarmos dos livros didáticos das

disciplinas técnicas da Engenharia.

5.2.2 Análise dos exercícios propostos nos livros de Matemática

O objetivo desta etapa é o de estabelecer uma visão geral quanto aos

registros de representações utilizados e as operações semióticas explicitas ou

implícitas nos exercícios propostos nos livros didáticos selecionados (01 a 06).

Por exemplo, no exercício 1.1 (LIVRO 01, p.3) “Mostre que, se 𝐴𝐴 ≠ 𝐴𝐴 então

(𝐴𝐴,𝐴𝐴) e (𝐴𝐴,𝐴𝐴) são de mesmo comprimento, mesma direção e sentido contrário”.

Identificamos nesse caso uma proposta de operação semiótica de tratamento em

RLN, pois está em acordo com o quadro anteriormente estabelecido, tratando-se de

um registro em língua natural, com representação em linguagem específica

matemática. Em princípio, todo enunciado traz a representação em língua natural,

no entanto, consideraremos o enunciado em RLN quando este for única e

exclusivamente concebido neste tipo de representação, não havendo outra

identificada, como por exemplo, o exercício 2.12 (LIVRO 01, p.15) “Calcule a soma

dos seis vetores que têm por representantes segmentos orientados com origem em

cada um dos vértices, e extremidade no centro de um mesmo hexágono regular. ”,

no qual identificamos apenas a representação em língua natural (RLN).

119

A seguir, passamos a quantificar as representações encontradas nas séries

de exercícios propostos nos capítulos selecionados dos livros didáticos da

Matemática, identificando e quantificando os tipos de representações, e os tipos de

operações semióticas implícitas ou explicitas. Ao final de cada livro didático, neste

subcapítulo, faremos uma compilação dos resultados analisados e ao término dos

seis livros, uma compilação geral de todos os resultados.

5.2.2.1 Análise dos exercícios propostos no Livro 01

No Livro 01, verificamos os exercícios relativos aos capítulos 1, 2, 3, 4, 5, 7,

9 e 11. A escolha desses capítulos segue alguns critérios: procura identificar a

presença de definições e propriedades gerais, operações de adição e subtração e

ângulo entre vetores, que são tópicos mais comumente utilizados nas disciplinas de

Física e nas técnico-científicas da Engenharia e que constituem ferramentas

vetoriais essenciais. Tais critérios estão estabelecidos para o Livro 01 e também

são válidos para os demais livros de Matemática aqui selecionados. O capítulo 1 desse livro, intitulado Vetor, no qual é introduzido o conceito

geométrico de vetor, contém 11 exercícios propostos, a maioria (nove exercícios)

envolvendo algum tipo de prova relacionada com as definições ou propriedades dos

vetores. Identificamos que todos os enunciados dos exercícios estão em RLN, com

linguagem específica matemática, sendo que dez desses exercícios dão

encaminhamento às resoluções de forma discursiva, seguindo o exemplo

apresentado pelo autor e permanecendo no interior do mesmo registro,

caracterizando uma operação de tratamento, que podemos confirmar com o

exemplo do quadro 44. Apenas o exercício 1.3a, p.4, pede claramente que se faça

uma ilustração geométrica para representar uma proposição algébrica,

caracterizando uma conversão de RLN para RGE, conforme observamos no quadro

45.

Quadro 44: Enunciado e resolução em RLN. Fonte: LIVRO 01, p.6.

120

No capítulo 02, Soma de vetores, encontramos 14 exercícios propostos,

sendo que em sete deles há solicitação de algum tipo de prova e estão assim

distribuídos: oito em RLN (do exercício 2.8, somente itens a e b) e sete em RGE (do

exercício 2.8, somente item c). O exemplo a seguir, quadro 46, mostra um exercício

em cujo enunciado estão presentes os seguintes registros, RLN e RGE, no entanto,

consideraremos este exercício com representação RGE. Para a solução temos

como representação de partida a RGE e a de chegada RLN, portanto, temos uma

operação semiótica de conversão.

No capítulo 3, Produto de número real por vetor, encontramos 18 exercícios

propostos, cujos enunciados possuem as seguintes representações: 18 RLN e 4

RGE. Do total de exercícios nove são relativos a algum tipo de prova. O quadro 47

mostra o enunciado em RLN e RGE com solução em RGE e, portanto, conversão.

Quadro 45: Enunciado do item 1.3a em RLN com conversão para RGE. Fonte: LIVRO 01, p.4.

Quadro 47: Enunciado em RLN e RGE. Conversão de RLN para RGE. Fonte: LIVRO 01, p.17.

Quadro 46: Exercício proposto 2-7. Fonte: Livro 01, p.13.

121

No capítulo 4, que trata da Soma de ponto com vetor, encontramos 13

exercícios propostos, dentre os quais 8 envolvem prova e todos os enunciados

trazem somente a representação RLN, ficando as resoluções restritas à forma

discursiva. No capítulo 5, Aplicações geométricas, encontramos 24 exercícios

propostos, dos quais 12 tratam de provas e as representações identificadas nos

enunciados estão assim distribuídas: 15 RLN e 10 RGE.

No capítulo 7, Base, encontramos 21 exercícios propostos, com apenas três

envolvendo prova e os enunciados contêm as seguintes representações: 3 RLN, 13

RAC, 4 RAV e 1 RGE. O quadro 48 mostra um exercício com as representações

RAC e RAV. Para o cálculo do módulo não é preciso mudar de registro de

representação, portanto, temos uma operação semiótica de tratamento.

No capítulo 9, Produto escalar, encontramos 70 exercícios propostos (dois

relativos a matrizes e não considerados para este trabalho). Desse total temos 23

exercícios que demandam algum tipo de prova e nos enunciados estão presentes

40 RLN, 20RAC, 10 RGE e 1RGR.

No capítulo 11, Produto vetorial, foram encontrados 53 exercícios propostos,

com 23 envolvendo prova cujos enunciados contêm as seguintes representações:

3 RGE, 6 RAV, 17 RAC e 29 RLN.

O quadro a seguir, resume quantitativamente os tipos de representações e

as operações semióticas presentes nos capítulos selecionados. As operações

semióticas de tratamento serão abreviadas por TR e as de conversão por CV.

Capítulo Exercícios

propostos Representações nos enunciados

Operações Semióticas

Sentido da conversão

1. Vetor 11 11 RLN 10 TR e 1 CV 1 RLN para RGE 2. Soma de vetores 14 8 RLN e 7 RGE 10 TR e 4 CV 4 RGE para RLN

Quadro 48: Enunciado de exercício que contém as representações RAC e RAV. Fonte: LIVRO 01, p.60.

122

3. Produto de número real por vetor

18 18 RLN e 4 RGE 14 TR e 4 CV 3 RLN para RGE

4. Soma de ponto com vetor

13 13 RLN 13 TR Não aplicável

5. Aplicações geométricas

24 15RLN e 10 RGE 12 TR e 12 CV 7 RGE para RLN e 5 RLN para RGE

7. Base 21 3 RLN, 13 RAC, 4 RAV e 1 RGE

19 TR e 2 CV 1 RGE para RLN e 1 RAV para RGE

9. Produto escalar 70 39 RLN, 18 RAC, 10 RGE, 3 RAV e 1 RGR

68 TR e 2 CV 2 RGE para RLN

11. Produto vetorial 53 29 RLN, 17 RAC, 6 RAV, 3 RGE

47 TR e 6 CV 4 RGE para RLN e 2 RLN para RGE

Total 224 136 RLN, 35 RGE, 48 RAC, 13 RAV e 1 RGR

193 TR e 31 CV

1 RAV para RGE 11 RLN para RGE 18 RGE para RLN

Quadro 49: Representações nos exercícios propostos do Livro 01 e operações semióticas. Fonte: Acervo pessoal.

A partir da análise dos exercícios propostos, observamos um grande número

de exercícios envolvendo provas matemáticas, ou seja, de um total de 224

exercícios propostos 94 tratam de provas, evidenciando ênfase com o rigor

matemático. Dentre os exercícios, não identificamos aplicações fora do campo

propriamente matemático. Há predominância de operações semióticas de

tratamento, totalizando 193, e 31 operações de conversão, o que denota uma

estrutura de exercícios que não atende plenamente o que é sugerido na teoria de

Duval (2006, 2011a, 2011b), que enfatiza a importância da mudança de registro de

representação como sendo uma das condições de aprendizagem.


No Livro 02, as definições, propriedades e operações vetoriais de nosso

interesse e já mencionadas, encontram-se no capítulo 03, intitulado “Espaços

Vetoriais Euclidianos”. Nesse capítulo encontramos as definições geométrica e

algébrica para os vetores, as operações de adição, subtração, produto escalar e as

definições de norma e ortogonalidade. No capítulo 03, nos detivemos aos

subcapítulos 3.1, 3.2 e 3.3 de acordo com os critérios já explicitados anteriormente.

No subcapítulo 3.1, Vetores bi, tri e n-dimensionais, encontramos um total de

38 exercícios propostos, dos quais cinco se referem a algum tipo de prova. Os

123

enunciados apresentam as seguintes representações: 1 RGR, 8 RLN e 29 RAC.

Nesse subcapítulo, temos as definições geométrica e algébrica de vetor e suas

operações de adição e subtração. No entanto, nota-se na lista de exercícios

propostos, a predominância dos registros de representação algébrica e das

operações de tratamento. O quadro 50 apresenta exercícios com enunciados em

RAC que precisam ser resolvidos em RGR, portanto, caracterizando uma operação

semiótica de conversão.

No subcapítulo 3.2, Norma, produto escalar e distância em Rn, foram

encontrados 35 exercícios propostos, com quatro exercícios envolvendo algum tipo

de prova. As representações presentes nos enunciados estão assim distribuídas: 1

RGR, 14 RLN e 20 RAC. Novamente há predominância de operações de

tratamento.

Podemos observar no quadro 51 um exercício com enunciado em RLN, que

pode ter como etapa intermediária de resolução a transformação de sua

representação para RGR e, em seguida para RAC com posterior resolução

algébrica para a obtenção do resultado solicitado.

Quadro 50: Enunciados em RAC para serem resolvidos em RGR. Fonte: LIVRO 02, p.129.

Quadro 51: Enunciado de exercício em RLN, com etapa de resolução em RGR e RAC. Fonte: LIVRO 02, p.142.

124

No subcapítulo 3.3, Ortogonalidade, encontramos 25 exercícios propostos

(veja observação do quadro seguinte), que tratavam dos assuntos: vetores

ortogonais, projeção ortogonal e teorema de Pitágoras. Desse total de exercícios,

quatro envolviam algum tipo de prova. Os enunciados continham as seguintes

representações: 2 RGR, 5 RLN e 18 RAC com predominância de operações de

tratamento.

Ao final do capítulo 03, o autor apresenta uma lista de exercícios

suplementares com 14 exercícios propostos (veja observação do quadro seguinte),

com apenas um envolvendo algum tipo de prova. Nos enunciados encontramos as

seguintes representações: 1 RAV, 3 RLN e 10 RAC com predomínio das

representações algébricas e somente operações de tratamento. O quadro 52 traz

um exercício com enunciado em RAV como exemplo e, o exercício trata de

operações de adição e subtração desses vetores, portanto, permanecendo no

mesmo registro, o que denota apenas um tratamento.

O exercício 13 mostrado no quadro 53 apresenta em seu enunciado vetores

em representação RAC. Para a solução desse exercício não é necessário mudar de

registro de representação, portanto, consideramos que se refere a uma operação

de tratamento.

O quadro a seguir, resume quantitativamente as representações e operações

semióticas encontradas nos exercícios propostos.

Quadro 53: Representação de vetores em RAC no exercício 13. Fonte: LIVRO 02, p.129.

Quadro 52: Enunciado de exercício em RAV. Fonte: LIVRO 02, p.170.

125

Capítulo/subcapítulo Exercícios propostos

Representações nos enunciados



3.1 Vetores bi, tri e n-dimensionais

38 1 RGR, 8 RLN, 29 RAC

27 TR e 11 CV 6 RAC para RGR 4 RLN para RAC 1 RLN para RGR

3.2 Norma, produto escalar e distância em Rn

35 1 RGR, 14 RLN, 20 RAC

32 TR e 3 CV 2 RLN para RGR 1 RGR para RLN

3.3 Ortogonalidade* 25 2 RGR, 5 RLN, 18 RAC

23 TR e 2 CV 2 RGR para RLN

3 Exercícios suplementares**

14 1 RAV, 3 RLN, 10 RAC

14 TR Não aplicável

Total 112 4 RGR, 30 RLN, 77 RAC, 1 RAV

96 TR e 16 CV 6 RAC para RGR 4 RLN para RAC 3 RLN para RGR 3 RGR para RLN


No quadro 54 temos duas observações, a primeira identificada com (*),

refere-se ao subcapítulo 3.3, Ortogonalidade, no qual, de 47 exercícios, alguns

exercícios não foram analisados, pois não pertencem aos temas abordados nessa

pesquisa: exercícios 9-12 equação ponto-normal, 13-16 paralelismo entre planos,

17-18 perpendicularismo entre planos, 29-32 distância entre ponto e reta, 33-36

distância entre ponto e plano, 37-40 distância entre planos. A segunda observação

identificada com (**), refere-se aos exercícios suplementares, capítulo 03 do Livro

02, no qual temos um total de 29 exercícios, no entanto, desconsideramos 15

exercícios por se relacionarem com sistemas lineares e produto vetorial, que não

foram considerados em nossa abordagem.

Partindo dos resultados gerais apontados no quadro 54, encontramos e

avaliamos 112 exercícios propostos abordando os temas de nosso interesse. Desse

total, apenas 14 envolveram algum tipo de prova, denotando que o formalismo

matemático não foi o objetivo principal dos exercícios propostos. Os exercícios

estão restritos às aplicações exclusivamente matemáticas, com exceção ao

exercício proposto 32, p.130, cuja interpretação geométrica solicitada pode levar ao

conceito de deslocamento em Cinemática. Das operações semióticas identificadas,

a maioria se concentra nos tratamentos, ou seja, 96 operações de tratamento e 16

de conversão, transparecendo uma estrutura de exercícios que não é a mais

favorável ao processo de aprendizagem, conforme já explicitado no quadro teórico.

126

5.2.2.3 Análise dos exercícios propostos no Livro 03 Os dois primeiros capítulos desse livro são Capítulo 01, Vetores e Capítulo

02, Espaços vetoriais, que compreendem as definições, as propriedades e, de modo

geral as operações vetoriais que são os assuntos de nosso interesse. Não há

exercícios propostos nesses capítulos, nem nos demais capítulos de todo o livro,

portanto, não teremos, nesse livro, material para esse tipo de análise.

5.2.2.4 Análise dos exercícios propostos no Livro 04 No Livro 04, os assuntos de nosso interesse estão distribuídos nos capítulos

01, Vetores e capítulo 02, Espaços vetoriais. No capítulo 01 não há exercícios

propostos, apenas os exercícios resolvidos de exemplo, somente a partir do capítulo

02 é que há lista de exercícios. A lista completa do capítulo 02 apresenta 75

exercícios, no entanto, 10 exercícios não serão analisados, pois estão em

representação matricial. São estes: 07, 26, 29, 34, 42, 50, 52, 61, 73 e 74. Não há

nenhum exercício proposto envolvendo algum tipo de prova. A grande maioria das

representações se concentra em RAC, são 54 RAC e 11 RLN. O quadro 55 traz

exemplos de representações de vetores em RAC. As soluções desses exercícios

permanecem com o mesmo tipo de representação, no interior do mesmo sistema

semiótico, portanto, temos operações semióticas de tratamentos.

O quadro 56 apresenta o exercício 39, que traz a representação RAC, usada

nesse caso para definir um subespaço vetorial 𝑮𝑮(𝑨𝑨). A solução 𝑮𝑮(𝑨𝑨) =

{(𝒙𝒙,𝒚𝒚) ∈ 𝑹𝑹²|𝒚𝒚 = −𝟐𝟐𝒙𝒙} não precisa, necessariamente, uma transformação para a

representação gráfica, no entanto, como é pedido o significado geométrico desse

Quadro 55: Enunciado de exercício em RAC. Fonte: LIVRO 04, p.90.

127

subespaço, trata-se de uma oportunidade de se apresentar vetores (RGR)

pertencentes a esse subespaço que é uma reta, portanto, teríamos uma operação

semiótica de conversão.

No quadro 57 temos o resumo da análise dos 65 exercícios propostos.

Capítulo/subcapítulo Exercícios propostos




1. Vetores 0 0 0 0 2. Espaços vetoriais 65 11 RLN e 54 RAC 64 TR e 1 CV 1 RAC para RGR Total 65 11 RLN e 54 RAC 64 TR e 1 CV 1 RAC para RGR


O quadro anterior aponta para a predominância da representação algébrica

e as operações semióticas indicam a quase totalidade das transformações de

tratamento com apenas uma conversão. Quanto a esse aspecto e de acordo com a

“Teoria dos Registros de Representações Semióticas” a estrutura dos exercícios

propostos não favorece o processo de aprendizagem.


No Livro 05, os assuntos de interesse estão presentes nos seguintes capítulos: Capítulo 01, Vetores, Capítulo 02, Vetores no R2 e no R3 e Capítulo 03,

Produtos de vetores. Vejamos o quadro 60, que resume as análises do total de 93

exercícios propostos nos três capítulos destacados. Alguns assuntos presentes em

alguns capítulos podem não ter sido abordados na teoria, como por exemplo

“Produto Vetorial”, no entanto, as representações utilizadas para essa operação

foram as mesmas aqui definidas e já referenciadas para outras operações, portanto,

tendo sido suficientes para determinar o tipo de representação e as operações

Quadro 56: Representação de vetores em RAC com possível conversão para RGR. Fonte: LIVRO 04, p.93.

128

semióticas relacionadas. O quadro 58 mostra também uma das poucas operações

semióticas de conversão identificadas nos exercícios analisados, ou seja, da

representação RAV para RGE e a solução, propriamente, um tratamento em RGE.

No exercício 1 do quadro 59, temos o enunciado em representação RAC e

para a solução não é necessária nenhuma mudança de registro de representação,

permanecendo no mesmo sistema semiótico, com a mesma representação RAC,

sendo, portanto, uma operação semiótica de tratamento.

Considerando as três listas desses três primeiros capítulos, temos apenas

três exercícios solicitando algum tipo de prova, demonstrando não ser esse o

objetivo principal do livro. Não há excesso de provas ou demonstrações que

prendam a teoria e os exercícios a um demasiado rigor matemático, o que o torna

um pouco mais prático, segundo nosso ponto de vista, ao menos dentro do próprio

contexto matemático. No entanto, não traz nenhum exemplo de aplicação em outras

áreas, como Física ou Engenharia. Nos enunciados dos exercícios identificamos os

tipos de representação: 2 RGE, 8 RAV, 15 RLN e 71 RAC.

Capítulo/subcapítulo Exercícios




1. Vetores 03 1 RLN e 2 RGE 1 TR e 2 CV 1 RAV para RGE 1 RLN para RGE

2. Vetores no R2 e no R3

15 15 RAC 14 TR e 1 CV 1 RAC para RGR

Quadro 59: Representação RAC no enunciado e na solução do exercício 1. Fonte: LIVRO 05, p.37.

Quadro 58: Conversão de RAV (enunciado) para RGE (resolução). Fonte: LIVRO 05, p.13.

129

3. Produtos de vetores

75 8 RAV, 14 RLN e 56 RAC

71 TR e 4 CV 1 RLN para RAC 2 RAV para RAC 1 RAV para RGR

Total 93 2 RGE, 8 RAV, 15 RLN e 71 RAC

86 TR e 7 CV 1 RAV para RGE 1 RLN para RGE 1 RAC para RGR 1 RLN para RAC 2 RAV para RAC 1 RAV para RGR


Pela análise do quadro 60, podemos notar facilmente que predominam as

representações algébricas e as operações semióticas de tratamento, em números

86 TR e 7 CV, consideradas importantes para o processo de aprendizagem.


No Livro 06, os assuntos de interesse de nossa pesquisa estão contidos nos seguintes capítulos: Capítulo 01, Vetores e Capítulo 02, Produto escalar. O quadro

63 resume a análise dos 106 exercícios propostos pelo autor, dos quais apenas

cinco envolvem algum tipo de prova.

No Capítulo 02 há exemplos de aplicação de vetores na Física, mais

especificamente com o uso do produto escalar para obter “Trabalho”, sendo esse o

único exemplo dado nos dois capítulos investigados.

A análise do quadro 63 permite observar que as representações algébricas

são mobilizadas na grande maioria dos exercícios propostos e, as operações

semióticas predominantes são as de tratamento. Em números temos 90 TR e 16

CV. Esse resultado nos mostra que as atividades propostas privilegiam os

exercícios que envolvem tratamento, e a conversão é pouco utilizada. O quadro 61

traz o exemplo de exercício no qual temos conversão da RAC (enunciado) para

RGR (resolução).

130

No quadro 62, exercício 5, observamos no enunciado a representação RGE,

e para a resolução não é necessário mudar de registro de representação,

permanecendo no mesmo sistema semiótico, com a mesma representação. Nesse

caso, portanto, temos uma operação semiótica de tratamento.

As representações presentes nos enunciados dos exercícios propostos estão

distribuídas em 2 RGE, 2 RGR, 12 RLN, 12 RAV e 78 RAC.





1. Vetores 56 3 RLN, 2 RGR, 2 RAV, 49 RAC

47 TR e 9 CV 6 RAC para RGR 2 RGR para RAC 1 RLN para RGR

2. Produto escalar 50 9 RLN, 2 RGE, 10 RAV, 29 RAC

43 TR e 7 CV 5 RLN para RAC 1 RLN para RGR 1 RGE para RAC

Total 106 12 RLN, 2 RGR, 2 RGE, 12 RAV e 78 RAC

90 TR e 16 CV 6 RAC para RGR 2 RGR para RAC 2 RLN para RGR 1 RGE para RAC 5 RLN para RAC


O quadro a seguir reúne os dados extraídos dos seis livros de Matemática

selecionados, num total de 600 exercícios analisados, e mostra os números totais

Quadro 61: Exercício com conversão da RAC (enunciado) para RGR (resolução). Fonte: LIVRO 06, p.39.

Quadro 62: Representação RGE no enunciado e para a resolução do exercício 5. Fonte: LIVRO 06, p.14.

131

das representações e das operações semióticas encontradas nesses livros. O

quadro mostra a predominância dos registros algébricos e das operações de

tratamento. Verificamos, também, que não há representações trigonométricas nem

representações que utilizem o módulo-ângulo.


Quant. Operação semiótica

Quant. Sentido da conversão

Quant.

RLN 203 Tratamento (TR) 529 RAV para RGE 2

RGE 39 Conversão (CV) 71 RAV para RGR 1

RGR 7 - - RGE para RAC 1

RAV 34 - - RAV para RAC 2

RAC 330 - - RGR para RAC 2

RAT 0 - - RGR para RLN 3

RAM 0 - - RLN para RGR 5

- - - - RLN para RAC 10

- - - - RLN para RGE 13

- - - - RAC para RGR 14

- - - - RGE para RLN 18

Total 613 Total 600 Total 71

Quadro 64: Resumo das representações e operações semióticas dos exercícios dos livros 01 a 6. Fonte: Acervo pessoal.

Ainda no quadro 64 verificamos que a representação RAC é a mais frequente

com 330 representações e, as representações RGR, RAV e RGE as menos

frequentes, com 7, 34 e 39 representações, respectivamente, dentre um total de

613 representações identificadas nos enunciados, no entanto, as representações

RGR e RGE têm bastante frequência nas conversões.

5.3 Conceitos e Representações de vetores nos livros de disciplinas técnico-científicas Neste subcapítulo apresentaremos a análise dos dados selecionados nos

livros de Física, denominados livro 07 e livro 08 e os livros técnicos, denominados

livro 09, livro 10 e livro 11. Os livros 10 e 11 não abordam o tema vetores em um

132

capítulo específico, apenas o expõem como material auxiliar em seus apêndices.

Portanto, não teremos parte teórica e exercícios resolvidos a serem separadamente

analisados para esses livros.

5.3.1 Análise da parte teórica e de exercícios resolvidos dos livros 07 e 08

Veremos agora o conceito e as representações dos vetores encontrados nos

livros 07 e 08 da área de Física, a partir dos quais faremos as análises e os

comentários. O assunto é tratado no capítulo 03 do livro 07 e capítulo 01 do livro

08. Iniciaremos esse trabalho pelo livro de Física aqui denominado de livro 07. De

maneiras semelhantes, os autores de ambos os livros discutem nos prefácios a

estrutura de seus livros e apontam estratégias de solução de problemas e sugestões

de como utilizar bem as ferramentas e os novos materiais disponíveis. Além disso,

permitem acesso aos materiais de apoio suplementares, acessíveis em sites

específicos, após cadastro.

A abordagem inicial feita pelos autores dos livros 07 e 08 se utiliza da

representação geométrica. A Física lida com uma quantidade enorme de grandezas

que possuem uma amplitude (intensidade ou magnitude) e uma orientação,

passíveis de representação vetorial. O vetor é considerado um ente matemático que

possui um módulo e uma orientação (direção e sentido). Tal linguagem é utilizada

pelos autores nos dois livros de Física. Uma grandeza vetorial no contexto da Física

possui um módulo e uma orientação, podendo, então, ser representada por um

vetor.

A figura 31, livro 07, mostra três representantes de um mesmo vetor, e a

figura 32, livro 08, também apresenta a mesma ideia. Os autores mostram de uma

forma indireta a ideia de equipolência de segmentos orientados e, embora não usem

estes termos, afirmam que um representante de um vetor pode ser deslocado sem

que seja alterado, desde que comprimento, direção e sentido se mantenham

inalterados.

133

[...] as setas de 𝐴𝐴 para 𝐴𝐴, de 𝐴𝐴’ para 𝐴𝐴’ e de 𝐴𝐴" para 𝐴𝐴” têm o mesmo módulo e a mesma orientação; assim especificam vetores deslocamento iguais e representam a mesma variação de posição da partícula. Um vetor pode ser deslocado sem que o seu valor mude, se comprimento, direção e sentido permanecerem os mesmos. (LIVRO 07, p.40)

Os autores do livro 07 não tratam dos conceitos de módulo, direção e sentido

de maneira explícita, ficando subentendido o conhecimento desses elementos,

como algo a ser explorado em sala de aula. Diferentemente, no livro 08, os autores

abordam os três elementos presentes na definição de um vetor, como é feito por

exemplo com o conceito de magnitude (módulo ou norma) apresentado na figura

33. Nesses livros, os vetores são representados por um símbolo em itálico, sobre o

qual se desenha uma seta, como 𝒂𝒂��⃗ . Para indicar apenas o módulo (norma) do vetor,

utiliza-se o mesmo símbolo, porém, sem a seta, como 𝒂𝒂,𝒃𝒃, 𝒄𝒄,𝒗𝒗,𝒖𝒖 e assim por diante.

Figura 31: Representantes de um mesmo vetor. Fonte: LIVRO 07, p.40.

Figura 32: Representantes de um mesmo vetor. Fonte: LIVRO 08, p.14.

134

Há uma pequena diferença, no livro 07 os autores adotam letras minúsculas,

enquanto no livro 08, letras maiúsculas.

Outra representação de vetor bastante utilizada na Física e também na

Engenharia é a representação algébrica trigonométrica, ou apenas trigonométrica,

na qual os vetores são representados em um sistema de coordenadas retangulares,

a partir do qual se faz a decomposição dos vetores nos eixos coordenados 𝑶𝑶𝒙𝒙,𝑶𝑶𝒚𝒚,𝑶𝑶𝒛𝒛

(ou 𝑶𝑶𝒙𝒙,𝑶𝑶𝒚𝒚, no caso de vetores num plano) com auxílio de trigonometria básica,

conhecendo-se o ângulo entre a direção do vetor e um dos eixos coordenados. As

componentes são as projeções ortogonais dos vetores em cada eixo coordenado,

como se vê na figura 34, referente ao livro 07 e figura 35, referente ao livro 08.

Figura 34: Decomposição de um vetor no plano em suas componentes. Fonte: LIVRO 07, p.43.

Figura 33: Conceito de magnitude (módulo ou norma) de um vetor. Fonte: LIVRO 08, p.13.

135

Conforme as figuras acima, obtém-se as componentes a partir do triângulo

retângulo com as expressões 𝒂𝒂𝒙𝒙 = 𝒂𝒂. 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 e 𝒂𝒂𝒚𝒚 = 𝒂𝒂. 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝒄𝒄, onde 𝒄𝒄 é o ângulo que

o vetor 𝒂𝒂��⃗ faz com o semieixo 𝒙𝒙 positivo, que é a referência para a medida dos

ângulos. O vetor 𝒂𝒂��⃗ , então, pode ser representado pela soma de suas componentes,

ou seja, 𝒂𝒂��⃗ = 𝒂𝒂𝒙𝒙 + 𝒂𝒂𝒚𝒚, ou em sua representação algébrica trigonométrica (RAT):

𝒂𝒂��⃗ = (𝒂𝒂. 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄,𝒂𝒂. 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝒄𝒄)

Os autores dizem, de forma semelhante em ambos os textos, que um vetor

no plano fica completamente determinado conhecendo-se seu módulo e ângulo

(𝒂𝒂 𝑒𝑒 𝒄𝒄), ou, conhecendo-se suas componentes (𝒂𝒂𝒙𝒙 e 𝒂𝒂𝒚𝒚) pois os dois pares de

valores carregam a mesma informação. Para o ângulo 𝒄𝒄 é considerada em geral a

primeira determinação, isto é, 0 ≤ 𝒄𝒄 < 2𝝅𝝅. A partir da notação de vetor (no plano)

por meio de suas componentes, pode-se passar para a notação módulo-ângulo

(𝒂𝒂 𝑒𝑒 𝒄𝒄) com o uso da trigonometria básica:

𝒂𝒂 = �𝒂𝒂𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒂𝒂𝒚𝒚𝟐𝟐 e 𝒕𝒕𝒂𝒂𝒔𝒔𝒄𝒄 = 𝒂𝒂𝒚𝒚𝒂𝒂𝒙𝒙

→ 𝒄𝒄 = 𝒕𝒕𝒂𝒂𝒔𝒔−𝟏𝟏 𝒂𝒂𝒚𝒚𝒂𝒂𝒙𝒙

Para um vetor no espaço, o texto considera a representação para a qual

precisamos do módulo e de dois ângulos (𝒂𝒂,𝒄𝒄, ∅) ou de três componentes (𝒂𝒂𝒙𝒙,𝒂𝒂𝒚𝒚,𝒂𝒂𝒛𝒛)

para especificá-lo completamente.

Figura 35: Decomposição de um vetor no plano em suas componentes. Fonte: LIVRO 08, p.17.

136

A representação que usa o módulo e dois ângulos (𝒂𝒂,𝒄𝒄,∅) para definir um

vetor no espaço, é também chamada uma representação por coordenadas esféricas

que é apenas mencionada e não é explorada neste livro, embora encontremos

alguns exercícios que abordem esse conhecimento, como no exercício do livro 07,

quadro 65.

A decomposição de vetores em suas projeções ortogonais, com uso de

trigonometria, que leva à uma representação algébrica trigonométrica é bastante

explorada e antecede, nos livros 07 e 08, a representação por meio de coordenadas

numa base ortogonal (�̂�𝒊, �̂�𝒋, 𝒌𝒌�). A notação para os vetores da base é igual nos dois

livros de Física, que adotam as mesmas letras encimadas com circunflexos, em vez

de setas. Os livros apresentam um breve resumo de Trigonometria, conforme pode

ser conferido no quadro 66, livro 08 e quadro 67 para o livro 07.

Quadro 65: Vetor representado pelo módulo e dois ângulos. Fonte: LIVRO 07, p.58.

137

O resumo de Trigonometria do livro 07 apresentado no quadro 67 e um trecho

do “Tutorial Matemático” disponível ao final do livro 08, são indicativos da

importância que é dada à representação algébrica trigonométrica de vetor. São

revisados os conceitos de ângulos em graus e radianos, de razões trigonométricas

no triângulo retângulo e das funções trigonométricas inversas necessárias para

determinar as componentes vetoriais e a direção do vetor.

Quadro 66: Funções trigonométricas – trecho do “Tutorial Matemático” Fonte: LIVRO 08, p.714-715.

138

A partir de uma base ortonormal obtém-se as chamadas componentes

escalares (𝒂𝒂𝒙𝒙,𝒂𝒂𝒚𝒚,𝒂𝒂𝒛𝒛) do vetor. Um vetor unitário é definido nos textos como sendo

um vetor de módulo ou magnitude 1, segundo os autores do livro 07, cuja única

função é especificar uma orientação. De forma análoga, os autores do livro 08,

Quadro 67: Resumo de Trigonometria básica. Fonte: LIVRO 07, p.45.

139

dizem que os vetores unitários apontam nos sentidos positivos dos eixos

coordenados e são úteis para expressar vetores em termos de suas componentes.

Podemos verificar essas ideias, em trechos de textos extraídos do livro 07, mostrado

no quadro 68, e do livro 08 conforme quadro 69.

No texto do quadro acima se lê “vetor unitário não possui dimensão nem

unidade”; o autor se refere a uma grandeza adimensional, ou seja, não associada a

uma unidade de medida, somente um número.

Os vetores unitários que indicam os sentidos positivos dos eixos

coordenados 𝑶𝑶𝒙𝒙,𝑶𝑶𝒀𝒀,𝑶𝑶𝒁𝒁 são respectivamente �̂�𝒊, �̂�𝒋, 𝒌𝒌� e são muito úteis para

especificar outros vetores. Os autores usam essa notação para representar um

vetor, por exemplo, o vetor 𝒂𝒂��⃗ no plano, fica representado, 𝒂𝒂��⃗ = 𝒂𝒂𝒙𝒙�̂�𝒊 + 𝒂𝒂𝒚𝒚�̂�𝒋 ou no

espaço 𝒂𝒂��⃗ = 𝒂𝒂𝒙𝒙�̂�𝒊 + 𝒂𝒂𝒚𝒚�̂�𝒋 + 𝒂𝒂𝒛𝒛𝒌𝒌�. Lembrando que os vetores unitários, nos livros 07 e

08, são identificados pelo símbolo “^” em vez de setas. No livro 08, os autores abordam

esse tipo de representação apenas mostrando a situação no espaço (�̂�𝒊, �̂�𝒋, 𝒌𝒌� ), como podemos

verificar por meio do quadro 69, para a representação do vetor no plano (�̂�𝒊, �̂�𝒋) o autor não deixa

Quadro 68: Definição de vetor unitário segundo autor do livro 07. Fonte: LIVRO 07, p.45.

Quadro 69: Definição de vetor unitário segundo autor do livro 08. Fonte: LIVRO 08, p.19.

140

explícito. A figura 36, do livro 07, mostra o processo de obtenção dessa

representação a partir das componentes trigonométricas e, o livro 08, de forma

menos detalhada, como se apresenta na figura 37:

A representação no registro simbólico, seja em coordenadas em relação à

uma base ortogonal (𝒊𝒊, 𝒋𝒋,𝒌𝒌��⃗ ), ou em componentes trigonométricas, e a representação

geométrica, com os conceitos e informações que estas representações podem

trazer, são exploradas nesses livros e muitas vezes exigidas nas atividades,

concomitantemente, conforme vemos no quadro 71, na qual os autores do livro 07,

exemplificam uma operação de adição, envolvendo conceitos geométricos,

trigonométricos e da base ortogonal (𝒊𝒊, 𝒋𝒋,𝒌𝒌��⃗ ).

Figura 36: Componentes para a representação na base (�̂�𝒊, �̂�𝒋,𝒌𝒌�). Fonte: LIVRO 07, p.46.

141

Os autores do livro 08, ao contrário dos autores do livro 07, não apresentam

exercício exemplificando esta forma de representação, apenas propõem o que

chamam de problema prático, quadro 70. Tal problema não proporciona solução

que saia da representação RAV e transite por outras formas distintas de

representação, provocando uma operação semiótica de conversão, ficando restrito

apenas a uma operação de tratamento. Já no exemplo do quadro 71, podemos

observar ao menos três representações distintas, RAV, RGR e RAM que

proporcionam que aconteçam operações semióticas de conversão, favorecendo o

aprendizado desse assunto.

Figura 37: Representação vetorial na base (𝒊𝒊, 𝒋𝒋,𝒌𝒌��⃗ ). Fonte: LIVRO 08, p.19.

Quadro 70: Exercício envolvendo a representação RAV. Fonte: LIVRO 08, p.19.

142

5.3.2 Análise da parte teórica e de exercícios resolvidos nos livros 09, 10 e 11. Devemos mais uma vez ressaltar que os livros 10 e 11 não trazem um

capítulo que trate dos aspectos teóricos sobre vetores; portanto, neste subcapítulo

as análises referentes à parte teórica desses livros ficarão restritas aos exemplos

dos exercícios resolvidos colocados pelo autor.

Quadro 71: Soma de vetores: conceitos geométricos, trigonométricos e em coordenadas na base ortonormal (�̂�𝒊, �̂�𝒋,𝒌𝒌�). Fonte: LIVRO 07, p.47.

143

No livro 09, Estática, os vetores são abordados no capítulo 2, Vetores de

força, no qual o objetivo do autor é apresentar uma forma de operar com vetores

para trabalhar com a adição e decomposição de forças em sistemas mecânicos em

equilíbrio. No livro 10, Dinâmica, não há capítulo que trate exclusivamente de

vetores, apenas um breve resumo disponível no apêndice B, intitulado “Análise

Vetorial”, no qual o autor apresenta o vetor baseado na representação geométrica

e na representação algébrica vetorial, e as operações de adição, produto escalar e

produto vetorial. O autor chama o produto vetorial de produto cruzado. Há um erro

de tradução e consequentemente, conceitual com relação ao produto escalar e suas

propriedades, que é erroneamente chamado de produto vetorial, como podemos

verificar no quadro 72. A versão original desse livro em inglês está correta, assim

como as definições de produto vetorial e escalar, não havendo o mesmo erro

detectado na versão em português.

Um pouco mais adiante, ainda no apêndice B do livro 10, os erros continuam

se propagando: são descritas as maneiras de se obter as componentes de um vetor

e o ângulo formado por dois vetores, por meio do “produto vetorial”, quando na

verdade trata-se do produto escalar. Isso pode ser verificado no quadro 73.

Quadro 72: Erro na definição de produto escalar e nas propriedades. Fonte: LIVRO 10, p.537.

144

Nesse apêndice, o autor indica o livro 9, Estática, para um maior

detalhamento sobre vetores. O livro 11, Resistência dos Materiais, não traz nenhum

resumo sobre vetores. Os livros 9, 10 e 11 são todos de mesma autoria.

No livro 9, a discussão inicial trata dos conceitos de grandezas escalares e

vetoriais, sendo que, a partir dessas últimas se define vetor, sua representação

geométrica e seus elementos, conforme figura 38. A direção é estabelecida

inicialmente considerando o ângulo com uma reta horizontal, mas verificamos logo

nos primeiros exemplos que também pode ser tomada como referência a direção

vertical. A notação para vetor, neste livro, é dada por meio de letras em negrito,

como 𝑨𝑨, e sua intensidade (módulo) sem negrito, como 𝐴𝐴.

Não há no livro 9 uma definição formal de vetor; o conceito é introduzido por

meio de sua representação geométrica, sem preocupação em mostrar que uma

“flecha” é apenas um representante de uma classe infinita de segmentos orientados.

Na sequencia o autor trata das operações de adição de vetores, introduzindo

Quadro 73: Erro conceitual de produto escalar e suas aplicações. Fonte: LIVRO 10, p.538.

Figura 38: Representação geométrica de vetor e seus elementos. Fonte: LIVRO 09, p.11.

145

as leis do triângulo e do paralelogramo. O conceito que está embutido na ideia de

vetores como uma classe de segmentos equipolentes nos parece importantíssima,

pois ajuda o estudante a entender que ele pode escolher qualquer representante de

um vetor, conforme a conveniência que a resolução do problema o exigir, e não

necessariamente aquele que tem origem na origem do sistema de eixos. Essa ideia

ajuda também a compreender melhor as leis do triângulo e do paralelogramo

apresentadas na figura 39.

Na figura 39 podemos fazer uma pequena observação quanto à linguagem

utilizada pelo autor quando diz “lei do paralelogramo” e “regra do triângulo”; nesse

caso faltou uniformidade na linguagem adotada, pois num momento usa “regra” em

outro momento “lei”. Não há engano na tradução, pois o original em inglês também

apresenta essas variações. Isso é apenas uma questão de padronização e ao nosso

ver, deveria ser escolhida uma forma única, ou “lei” ou “regra”.

Uma vez representados os vetores e obtido geometricamente o vetor soma,

o autor apresenta a lei dos cossenos e a lei dos senos para calcular a intensidade

da resultante da adição de vetores, como podemos observar no exemplo dado no

quadro 74. Em seguida, apresenta uma série de problemas com aplicação das

propriedades e situações reais da Engenharia, com soluções apoiadas pela

representação geométrica até o momento exposta. Observamos que as soluções

também levam em conta os conhecimentos sobre a soma das medidas de ângulos

internos em um triângulo ou em um paralelogramo.

Figura 39: Leis do triângulo e do paralelogramo. Fonte: LIVRO 09, p.12.

146

A partir da representação geométrica, o autor introduz a representação

algébrica trigonométrica e a algébrica vetorial no plano, utilizando duas maneiras

distintas:

• a primeira, uma representação algébrica trigonométrica, chamada pelo autor

de notação escalar, na qual são determinadas a decomposição do vetor em

componentes retangulares, por meio do uso das razões trigonométricas, que

observamos na figura 40, item a. Ainda na mesma figura, item b, verificamos

que o autor introduz uma forma diferente para obter as componentes,

considerando que ao invés de usar o ângulo 𝒄𝒄 ele considera um “pequeno”

triângulo para definir a direção e a partir da semelhança de triângulos ele

determina as componentes usando a proporcionalidade entre os lados

homólogos dos triângulos para encontrar as intensidades.

Quadro 74: Aplicação da lei do paralelogramo, da lei dos cossenos e dos senos. Fonte: LIVRO 09, p.15.

147

Esta nova forma de obter as componentes vetoriais, por meio da semelhança

de triângulos, acrescenta maior complexidade ao registro de representação

de um vetor e exige do estudante outros conhecimentos de geometria que

podem enriquecer seu repertório ao lidar com as operações vetoriais, ou ao

contrário, podem também, tornar mais difícil seu aprendizado.

• a segunda é a representação algébrica em coordenadas em relação à base

ortonormal (𝒊𝒊, 𝒋𝒋,𝒌𝒌��⃗ ), para a qual usa a denominação de notação vetorial

cartesiana. Nesta representação o autor define os vetores unitários como

sendo adimensionais e de intensidade igual a um, sendo utilizados para

designar as direções dos eixos (𝑶𝑶𝒙𝒙,𝑶𝑶𝒚𝒚,𝑶𝑶𝒛𝒛).

O exemplo dado pelo autor no quadro 75 mostra a aplicação das duas notações, escalar e vetorial, no mesmo exercício. Ao final, o autor comenta a

praticidade da notação escalar, privilegiando seu uso em situações no plano e

apontando que a notação vetorial cartesiana é bastante vantajosa para aplicações

tridimensionais.

Ainda no exemplo do quadro 75 podemos notar a articulação entre as

representações escalar e vetorial, assim denominadas pelo autor, e também, entre

a representação geométrica e as duas últimas, caracterizando assim uma

transformação de conversão.

Figura 40: Notação escalar para vetores. Fonte: LIVRO 09, p.22.

148

A direção de um vetor 𝑨𝑨, definida a partir de sua representação

cartesiana 𝑨𝑨 = 𝐴𝐴𝑥𝑥𝒊𝒊 + 𝐴𝐴𝑦𝑦𝒑𝒑 + 𝐴𝐴𝑧𝑧𝒌𝒌, segundo o autor, podemos considerar os ângulos

de direção 𝜶𝜶, 𝜷𝜷 e 𝜸𝜸, medidos a partir da origem de 𝑨𝑨 em relação aos eixos

coordenados 𝑶𝑶𝒙𝒙,𝑶𝑶𝒚𝒚,𝑶𝑶𝒛𝒛, como na figura 41. Com as projeções de 𝑨𝑨 e os cossenos

diretores abaixo, determina-se as medidas dos ângulos 𝜶𝜶, 𝜷𝜷 e 𝜸𝜸 com a inversa das

funções cosseno, sendo os cossenos diretores: 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝜶𝜶 = 𝑨𝑨𝒙𝒙𝑨𝑨

; 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝜷𝜷 = 𝑨𝑨𝒚𝒚𝑨𝑨

; 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝜸𝜸 = 𝑨𝑨𝒛𝒛𝑨𝑨

.

Quadro 75: Resolução de exercício na forma escalar e vetorial. Fonte: LIVRO 09, p.25.

149

No exemplo do quadro 76 podemos ver que o autor explora vários conceitos

matemáticos em situações que envolvem vetores. A partir da representação

geométrica mostrada no problema, pede-se que a força 𝑭𝑭 seja representada na

forma de um “vetor cartesiano”, ou seja, em sua representação algébrica vetorial

(RAV). São várias etapas envolvidas na solução, começando pelo uso da lei do

paralelogramo para a decomposição do vetor, seguindo com a obtenção das

intensidades das componentes por meio de trigonometria, e a partir disso, chega-

se a representação RAV com uso da base (𝒊𝒊, 𝒋𝒋,𝒌𝒌��⃗ ). Ao final, são obtidos os ângulos

diretores. Nesse exercício podemos observar algumas operações semióticas de

tratamento e, principalmente, de conversão, tais como RGE para RAT, RAT para

RAV, exigindo bons conhecimentos para a solução.

Como os livros 10 e 11 não tratam de vetores em um capítulo específico,

apenas suas aplicações, como já mencionado, apresentamos alguns exemplos nos

quais o conceito de vetor é utilizado para a solução e as representações mais

comumente identificadas.

Figura 41: Ângulos 𝜶𝜶, 𝜷𝜷 e 𝜸𝜸 definem a direção de 𝑨𝑨��⃗ . Fonte: LIVRO 09, p.31.

150

O quadro 77 apresenta um problema de cinemática do livro 10 no qual a

posição de uma partícula é dada por meio de uma função vetorial que descreve o

vetor posição da partícula em cada instante de tempo. De certa forma o enunciado

está em representação RAV e aquilo que se pede no problema é resolvido

permanecendo no mesmo registro de representação, falamos de uma operação

semiótica de tratamento.

Quadro 76: Exercício envolvendo vários conceitos e representações matemáticas. Fonte: LIVRO 9, p.35.

Quadro 77: Exemplo de aplicação da representação RAV. Fonte: LIVRO 10, p.35.

151

O problema do quadro 78 mostra uma situação na qual as leis de Newton

são aplicadas e, por meio de equações vetoriais se chega à solução. Notamos

algumas representações no enunciado: representação RGE, pois a força foi

desenhada, representação RAM, já que conhecemos o módulo e o valor do ângulo

e, na solução, a representação trigonométrica RAT, pois está resolvido com as

componentes trigonométricas da força. As transformações entre essas

representações caracterizam conversões.

No quadro 79 temos um problema de cinemática de um corpo rígido, cujo

enunciado traz informações em representações da língua natural (RLN) e

geométrica (RGE). Para a solução é necessário transformar essas representações

em RAT e RAV simultaneamente, caracterizando conversão, como podemos

observar no exemplo dado pelo autor.

Quadro 78: Exemplo de aplicação das representações RGE, RAM e RAT. Fonte: LIVRO 10, p.90.

152

No livro 11, Resistência dos Materiais, as representações mais comumente

utilizadas são a RGE e a RAM, com soluções que podem envolver a representação

RAT. Os quadros 80, 81 e 82 que se seguem, exemplificam essa característica.

O quadro 80 apresenta um problema cujo objetivo é determinar tensões

internas em um tubo. As forças aplicadas são representadas geometricamente

(RGE) e com módulo e ângulo (RAM) como se pode observar no enunciado e figura.

Para esse tipo de representação são necessários conhecimentos trigonométricos

que são solicitados em muitas situações, tanto em operações de tratamento como

de conversão. Não podemos esquecer de mencionar que na Física e nas disciplinas

técnicas, em muitas situações, os problemas são apresentados em linguagem

natural (RLN), e as demais representações de vetores estão mobilizadas de uma

forma indireta. Por exemplo, vejamos o quadro 80, o enunciado do problema diz

“força vertical de 50N”, temos o módulo da força em “50N” e a medida do ângulo na

Quadro 79: Exemplo de aplicação das representações RGE, RAT e RAV. Fonte: LIVRO 10, p.272.

153

expressão “força vertical” complementada pela representação geométrica na figura,

com isso chegamos às representações RAM e RGE.

O problema do quadro 81 apresenta uma situação na qual a linguagem

natural (RLN) é a primeira a transparecer. A massa de 80kg do enunciado traz de

forma indireta a informação de que temos uma força vertical para baixo, cuja

intensidade pode ser calculada pela segunda lei de Newton, portanto, configurando

uma representação RAM, que será considerada para a solução. Outras informações

são complementadas por meio de ilustração, daí a representação RGR. A solução

envolve trigonometria, por conseguinte, justifica a representação RAT considerada.

Quadro 80: Exemplo de aplicação das representações RGE e RAM. Fonte: LIVRO 11, p.8.

154

O exemplo no quadro 82 mostra em seu enunciado a representação RGE

para os vetores força apresentados e, para a solução, leva em consideração o

Quadro 82: Exemplo de aplicação das representações RLN, RGR, RAM e RAT. Fonte: LIVRO11, p.18.

Quadro 81: Exemplo de aplicação das representações RGE e RAM no enunciado e figura. Fonte: LIVRO 11, p.187.

155

módulo e o sentido da força, portanto, se utiliza da representação RAM. O livro 11

não trata de teoria de vetores, nem mesmo em seu apêndice.

5.4 Operações com vetores (adição e multiplicação por um escalar) nos livros de disciplinas técnico-científicas Como informado, nos livros 10 e 11, não há teoria sobre vetores, portanto,

as operações serão discutidas nessa seção apenas para os livros 7, 8 e 9.

5.4.1 Livro 07 e Livro 08

Define-se de modo análogo, nos livros 07 e 08 (Física), a operação de adição

geométrica de vetores, para dois ou mais vetores bidimensionais, conforme se

verifica na figura 42: [...] (1) desenhe o vetor 𝒂𝒂��⃗ em uma escala conveniente e com o ângulo apropriado. (2) Desenhe o vetor 𝒃𝒃��⃗ na mesma escala, com a origem na extremidade do vetor 𝒂𝒂��⃗ , também com o ângulo apropriado. (3) O vetor soma 𝒄𝒄�⃗ é o vetor que vai da origem de 𝒂𝒂��⃗ à extremidade de 𝒃𝒃��⃗ . [...] quando existem mais de dois vetores, podemos agrupá-los em qualquer ordem para somá-los. (LIVRO 07, p.41)

A operação de subtração entre dois vetores 𝒂𝒂��⃗ e 𝒃𝒃��⃗ é definida pelos autores

dos livros 07 e 08 como sendo a soma do vetor 𝒂𝒂��⃗ com o vetor oposto de 𝒃𝒃��⃗ (−𝒃𝒃��⃗ ), ou

Figura 42: Soma geométrica de vetores. Fonte: LIVRO 07, p.41.

156

seja, o vetor diferença 𝒅𝒅��⃗ pode ser obtido assim: 𝒅𝒅��⃗ = 𝒂𝒂��⃗ + (−𝒃𝒃��⃗ ). O quadro 83 mostra

o processo geométrico nos dois livros.

Na parte esquerda do quadro 83 observamos o exemplo dado pelos autores

do livro 07, no qual são apresentados os vetores 𝒂𝒂��⃗ , 𝒃𝒃��⃗ e −𝒃𝒃��⃗ e o processo para a

obtenção da diferença entre os vetores de forma clara. No livro 08, os autores

mostram o processo de subtração geométrica de forma semelhante, no entanto,

apresentam duas maneiras (itens a e b) distintas de se obter o mesmo resultado.

Para o item a, fica claro, pelo processo geométrico, que o vetor diferença 𝑨𝑨��⃗ é a soma

do vetor 𝑨𝑨��⃗ com o vetor −𝑨𝑨��⃗ , entretanto, no item b, o autor posiciona os vetores 𝑨𝑨��⃗ e

𝑨𝑨��⃗ de tal forma que tenham a mesma origem, e na sequência fecha o triângulo com

o vetor 𝑨𝑨��⃗ . Nesse item, ao nosso ver, não fica evidente a diferença entre os vetores

𝑨𝑨��⃗ e 𝑨𝑨��⃗ com o processo geométrico, apenas com o auxílio de um tratamento algébrico,

ou seja, partindo de 𝑨𝑨��⃗ + 𝑨𝑨��⃗ = 𝑨𝑨��⃗ chegamos a 𝑨𝑨��⃗ = 𝑨𝑨��⃗ + (−𝑨𝑨��⃗ ). Isso pode gerar uma

certa dificuldade, ao transitar da representação RGE para a representação

discursiva.

Ainda para o processo geométrico de adição, observamos que no livro 07 os

autores não apresentaram a regra do triângulo, nem a regra do paralelogramo,

como recursos extras. No livro 08, os autores apresentam a regra do paralelogramo,

Quadro 83: Subtração geométrica de vetores. Fonte: LIVRO 07, p.42, LIVRO 08, p.15.

157

denominada por eles de “método do paralelogramo”, figura 43, e explicitam o

processo geométrico de adição nela envolvido, porém, não fornecem a fórmula para

cálculo do módulo do vetor soma, nem mostram que a diferença entre os vetores

poderia ser obtida por meio da segunda diagonal do paralelogramo. A regra do

triângulo não é mencionada.

O conceito de adição geométrica de vetores, nesses livros de Física, é

apenas de caráter introdutório, com objetivo de iniciar, com os estudantes, a

discussão sobre as ideias e os conceitos básicos sobre a noção de vetor. Os autores

exibem uma representação algébrica com suas componentes trigonométricas e

uma outra em coordenadas da base ortogonal (�̂�𝒊, �̂�𝒋,𝒌𝒌�) como forma mais prática e

simples de operar com vetores, como observamos nos exercícios propostos pelos

autores, no quadro 84.

A operação de adição definida a partir da representação em coordenadas da

base ortogonal (�̂�𝒊, �̂�𝒋,𝒌𝒌�) é definida fazendo-se a soma eixo a eixo, das componentes

dos vetores. O autor considera o seguinte exemplo, para os vetores no plano, 𝒂𝒂��⃗ =

𝒂𝒂𝒙𝒙�̂�𝒊 + 𝒂𝒂𝒚𝒚�̂�𝒋 e 𝒃𝒃��⃗ = 𝒃𝒃𝒙𝒙�̂�𝒊 + 𝒃𝒃𝒚𝒚�̂�𝒋 e a soma dada por 𝒑𝒑�⃗ = 𝒂𝒂��⃗ + 𝒃𝒃��⃗ é obtida da seguinte

maneira:

𝒑𝒑�⃗ = (𝒂𝒂𝒙𝒙 + 𝒃𝒃𝒙𝒙)�̂�𝒊 + (𝒂𝒂𝒚𝒚 + 𝒃𝒃𝒚𝒚)�̂�𝒋

Figura 43: Regra do paralelogramo. Fonte: LIVRO 08, p.14.

158

Nos livros 07 e 08, de Física, podemos notar basicamente três

representações utilizadas para lidar com os vetores: a representação geométrica, a

representação algébrica trigonométrica, na qual é mencionada a possibilidade de

representar o vetor com o módulo e direção (ângulo), por meio de coordenadas

esféricas – e por fim, a representação em coordenadas da base ortogonal (�̂�𝒊, �̂�𝒋,𝒌𝒌�). O

conceito de vetor é desenvolvido fortemente apoiado na representação geométrica.

Na sequência, são introduzidos conceitos trigonométricos importantes até chegar à

representação em coordenadas. A representação que usa a base ortogonal (�̂�𝒊, �̂�𝒋,𝒌𝒌�)

é privilegiada em alguns capítulos subsequentes, porém, as representações

geométricas e trigonométricas não são abandonadas, sendo bastante utilizadas e

privilegiadas em outros capítulos.

Exemplificando, o capítulo do livro 07 que trata dos conceitos de

deslocamento, velocidade e aceleração nos movimentos em duas e três dimensões,

conteúdos da Cinemática, tem praticamente toda a sua teoria desenvolvida com

base em vetores representados pelas coordenadas da base ortogonal (�̂�𝒊, �̂�𝒋,𝒌𝒌�), ou

seja, representação RAV, veja quadro 85.

Quadro 84: Operações com vetores em suas componentes trigonométricas e na base (�̂�𝒊, �̂�𝒋,𝒌𝒌�). Fonte: LIVRO 07, p.56, LIVRO, p.24.

159

Os capítulos que tratam de força e movimento, Dinâmica, privilegiam o uso

da representação geométrica (RGE) e da algébrica trigonométrica (RAT), como

podemos observar no quadro 86.

No livro 07, no capítulo inteiramente dedicado aos vetores são apresentados

os três registros de representação de vetores que serão explorados e utilizados ao

longo do livro. Observa-se claramente uma sequência de construção dos registros

de representação, promovendo articulação entre eles, ou seja, há uma

transformação de conversão entre os registros. Neste livro não há ênfase com o

Quadro 85: Posição, deslocamento, velocidade e aceleração em vetores da base ortogonal (�̂�𝒊, �̂�𝒋,𝒌𝒌�). Fonte: LIVRO 07, p.78.

160

rigor do formalismo matemático, pois procura uma maneira mais prática e objetiva

de lidar com o objeto vetor e, também, deve-se frisar que algumas notações

divergem das adotadas em livros de Matemática, como a simbologia para versores

e módulo de vetor já mencionada neste trabalho.

No livro 08, de forma análoga ao que acontece no livro 07, vetores são

tratados no capítulo 1 do livro, porém, de maneira mais sucinta, tratando das

representações geométrica (RGE), trigonométrica (RAT) e da algébrica vetorial

(RAV), abordando basicamente as operações de adição e de subtração, sendo

menos abrangente quando comparado ao livro 07. O capítulo 1 do livro 08 não traz

os produtos escalar e vetorial, ao contrário do livro 07. Guardadas as pequenas

diferenças, ambos os livros dão tratamentos semelhantes a esse tema.

Quadro 86: Forças num plano inclinado com representação geométrica e trigonométrica. Fonte: LIVRO 07, p.106.

161

A representações RAV e RAT são muito utilizadas na Física e, também, na

engenharia como ajudam a mostrar os quadros 85 e 86, no entanto, as

representações geométricas RGE ou gráficas (RGR) estão sempre presentes nos

enunciados das situações problemas de muitas disciplinas técnicas, sobretudo nos

tópicos nos quais a força é o vetor considerado.

5.4.2 Livro 09

As operações de adição de vetores no Livro 09 também são iniciadas pelas

regras geométricas de adição vetorial, tal como a regra do triângulo e a regra do

paralelogramo, utilizada aqui para somar forças, como ilustrado na figura 44. O autor

aplica a lei dos cossenos ou a lei dos senos para calcular a intensidade e o valor do

ângulo que definem o vetor soma, como já foi apresentado no tópico 5.3.2 deste

capítulo.

O autor define a subtração entre dois vetores 𝐴𝐴 e 𝐴𝐴�⃗ , o vetor 𝑅𝑅�⃗ = 𝐴𝐴 + (−𝐴𝐴�⃗ ),

ou seja, ao vetor 𝐴𝐴 somamos o oposto de 𝐴𝐴�⃗ , conforme mostrado na figura 45.

A adição de um sistema de forças coplanares pode ser realizada, segundo o

autor, após a decomposição dos vetores força em suas componentes retangulares,

Figura 45: Subtração de vetores. Fonte: LIVRO 9, p.13.

Figura 44: Adição geométrica de duas forças usando as regras do paralelogramo e do triângulo. Fonte: LIVRO 09, p.13.

162

ao longo dos eixos 𝑶𝑶𝒙𝒙 e 𝑶𝑶𝒚𝒚, a partir dos quais essas componentes são

representadas. Uma vez definida a notação vetorial cartesiana (denominação do

autor), busca-se a soma total em cada eixo coordenado, como podemos observar

no quadro 87, no qual se trata do processo completo.

De forma análoga, a operação de adição anterior pode ser estendida a

vetores no espaço, e nesta situação o autor privilegia a notação de vetor cartesiano,

representando a soma de vetores com a seguinte equação:

𝑭𝑭𝑅𝑅 = ∑𝑭𝑭 = ∑𝐹𝐹𝑥𝑥𝒊𝒊 + ∑𝐹𝐹𝑦𝑦𝒑𝒑 + ∑𝐹𝐹𝑧𝑧𝒌𝒌

Nesse caso, ∑𝐹𝐹𝑥𝑥, ∑𝐹𝐹𝑦𝑦 e ∑𝐹𝐹𝑧𝑧 representam a soma algébrica das componentes

vetoriais nos eixos coordenados 𝑶𝑶𝒙𝒙, 𝑶𝑶𝒚𝒚 e 𝑶𝑶𝒛𝒛.

De maneira bastante objetiva e prática, o autor articula e transita entre as

representações de vetor mostradas neste livro, embora mantenha sempre o mesmo

sentido da operação de conversão, qual seja da representação geométrica para a

Quadro 87: Adição de vetores a partir das notações escalar e vetorial. Fonte: LIVRO 09, p.23.

163

algébrica trigonométrica (denominada, pelo autor, de notação escalar) e desta para

a representação em coordenadas da base ortogonal (𝒊𝒊, 𝒑𝒑,𝒌𝒌) (denominada, pelo

autor, de notação vetorial cartesiana).

A essas operações de transformação de conversão, acrescentam-se outras

componentes de conhecimento matemático, tais como semelhança de triângulos,

conceitos de vetor posição e coordenadas de ponto, por exemplo, conferindo às

operações maior complexidade, sejam na conversão ou mesmo no tratamento das

representações, que pode ser observada nos exercícios apresentados no quadro

88.

Quadro 88: Problemas envolvendo notação escalar e notação vetorial cartesianas. Fonte: LIVRO 09, p.39–43.

164

5.5 Análise dos exercícios propostos nos livros técnico-científicos

Neste subcapítulo iremos analisar os exercícios propostos nos livros 7 e 8 de Física e, nos livros técnicos 9, 10 e 11.

5.5.1 Análise dos exercícios propostos nos livros de Física

Nesta etapa, o objetivo é estabelecer uma visão geral quanto aos registros

de representações utilizados e as operações semióticas explicitas ou implícitas nos

exercícios propostos nos livros didáticos de Física selecionados (07 e 08). Para o

desenvolvimento das análises, consideraremos as notações já estabelecidas no

quadro 7 (p.93), no qual foram atribuídas siglas para as representações semióticas

aqui consideradas.

5.5.1.1 Análise dos exercícios propostos no Livro 07 No Livro 07 analisaremos os seguintes capítulos: 3 – Vetores, 4 – Movimento

em duas e três dimensões e 5 – Força e movimento I. Os dois primeiros capítulos

que tratam de “Medição” e “Movimento retilíneo” não aplicam, ainda, a linguagem

vetorial e por esse motivo os exercícios ali propostos não foram analisados. O

capítulo 3 foi escolhido por tratar de vetores propriamente. Os capítulos 4 e 5 foram

escolhidos por terem uma boa representatividade dentro do livro, com relação aos

problemas propostos nos quais são utilizados os vetores como linguagem

matemática. Os demais capítulos, não selecionados, apresentam menor número de

problemas com aplicação de vetores.

A escolha dos capítulos mencionados justifica-se pelo fato já exposto e

também, porque a escolha dos demais capítulos elevaria em muito a quantidade de

problemas a serem analisados.

Na sequência, quantificaremos as representações encontradas nos

problemas propostos nos capítulos selecionados dos livros didáticos de Física,

identificando os tipos de representações e os tipos de operações semióticas

165

implícitas ou explicitas. Ao final de cada livro didático compilaremos os resultados

analisados, e ao término, uma compilação geral de todos os resultados dos livros

07 e 08.

Para ilustrar a análise selecionamos os exercícios 2 e 16 (LIVRO 07, p.56)

nos quais identificaremos os tipos de representações e as operações semióticas

presentes. No exercício 2 exibido no quadro 89, reconhecemos no enunciado a

representação algébrica módulo-ângulo (RAM) e também uma representação

gráfica (RGR) do vetor por meio da figura 3.26 introduzida pelos autores.

Para a resolução do exercício é necessária uma transformação da

representação RAM para a representação algébrica trigonométrica (RAT),

caracterizando uma conversão. Não levamos em conta na resolução a

transformação da representação RGR para RAT, por considerarmos não ser essa,

obrigatória para atingir a finalidade do exercício.

O quadro 90 mostra o exercício 16 a partir do qual observamos a presença

do enunciado em representação algébrica vetorial (RAV), sendo que para a

resolução do exercício foi solicitado que os resultados das operações de adição e

subtração fossem apresentados na representação RAM, caracterizando uma

conversão.

Quadro 89: Exercício 2 para identificar o tipo de representação e a operação semiótica. Fonte: LIVRO 07, p.56.

Quadro 90: Exercício 16 para identificar o tipo de representação e a operação semiótica. Fonte: LIVRO 07, p.56.

166

No quadro 91 encontramos um exercício com enunciado em representação

RLN e a resolução leva a duas representações distintas, uma representação RGR

quando é solicitado que se desenhe um “diagrama vetorial” e outra RAM quando se

pede o resultado em “módulo e ângulo” e, portanto, temos duas transformações de

conversão.

O exercício proposto 9 no quadro 92 apresenta vetores na representação

RAV. Para a solução não há necessidade de transformação da representação RAV,

apenas devemos resolver as operações de adição e subtração solicitadas,

permanecendo no mesmo registro. Nesse caso consideramos apenas a operação

semiótica de tratamento.

Com os exemplos dados nos quadros 89, 90, 91 e 92 e critérios de análise já

explicitados, exporemos os resultados referentes aos capítulos 3, 4 e 5 do Livro 07

no quadro a seguir.





3. Vetores 64 6 RGR, 7 RAC, 15 RLN, 19 RAM e 20 RAV

27 TR e 39 CV 1 RAM para RGR 1 RAC para RAV 2 RLN para RGR 2 RLN para RAV 4 RAC para RAM 5 RAV para RAM 5 RGR para RAM 5 RAM para RAV 6 RAM para RAT

Quadro 91: Exercício com duas conversões. Fonte: LIVRO 07, p.56.

Quadro 92: Representação de vetores em RAV no exercício 9. Fonte: LIVRO 07, p.56.

167

8 RLN para RAM 4. Movimento em duas e três dimensões

94 2 RGE, 3 RAC, 26 RAV, 30 RLN e 33 RAM

54 TR e 40 CV 1 RAV para RGR 1 RAC para RAM 1 RLN para RAV 1 RAM para RAV 2 RAV para RAC 2 RAC para RAV 2 RAM para RAC 2 RGE para RAT 4 RAV para RAM 7 RAM para RAT 17 RLN para RAM

5. Força e movimento I

47 1 RGR, 6 RAV, 20 RAM e 21 RLN

23 TR e 24 CV 1 RAV para RAM 2 RAM para RAT 2 RLN para RAV 4 RLN para RAM 5 RAM para RAV 10 RLN para RAT

Total 205 2 RGE, 7 RGR, 10 RAC, 52 RAV, 66 RLN e 72 RAM

104 TR e 103 CV

1 RAM para RGR 1 RAV para RGR 2 RLN para RGR 2 RAV para RAC 2 RAM para RAC 2 RGE para RAT 3 RAC para RAV 5 RLN para RAV 5 RAC para RAM 5 RGR para RAM 10 RAV para RAM 10 RLN para RAT 11 RAM para RAV 15 RAM para RAT 29 RLN para RAM


O capítulo 03 do Livro 07 possui 65 problemas, porém, o número 4 não foi

analisado, pois não trata de vetores, somente sobre conversão entre medidas de

ângulos. A maior parte dos problemas do capítulo 03 remete às operações de

conversão, 39 CV e 27 TR. O capítulo 04 possui total de 119 problemas, dos quais

25 não serão computados para análise por não terem em seus enunciados o objeto

vetor, nem tão pouco suas resoluções necessitem do uso da linguagem vetorial,

bastando para tal as equações do movimento. Os problemas que não entraram para

o cômputo das análises são: 21 a 25, 29, 56 a 59, 61, 62, 71, 92, 101, 102, 104, 108

a 111, 115 a 118. O capítulo 05 contém 96 problemas dos quais 49 não entraram

para análise, pois seus enunciados e possíveis resoluções não contemplam o uso

168

da linguagem vetorial, apenas equações oriundas das leis de Newton. Os problemas

que não entraram na contagem da análise são: 13, 15, 16, 19, 20, 22, 25 a 30, 33,

37, 41, 43 a 46, 48, 50 a 56, 58, 59, 61, 63, 65, 67, 70, 76, 79 a 81, 83, 85 a 90, 92,

93, 95 e 96.

O total de problemas avaliados nos três capítulos do livro 07 é de 280, no

entanto, como já explicitado, somente 205 entraram para análise. Dois dados

importantes chamam atenção no quadro 93: primeiro, praticamente metade das

operações semióticas envolvidas são de conversão, segundo, as representações

são bastante variadas e as conversões, também, muito diversificadas, ou seja,

observamos 15 conversões distintas, exigindo conhecimento mais amplo, pois

necessita conhecer mais de um tipo de representação e como transitar entre elas.

As representações RAC, RAV e RAM compõem a maioria das conversões

envolvendo tais representações e também encontramos a RAT, que abrange

conceitos trigonométricos importantes para a solução dos problemas.

Ainda no quadro 93, podemos observar as representações mais frequentes

nos enunciados dos problemas: 52 representações RAV, 66 RLN e 72 RAM. Dos

52 enunciados com representações RAV, 10 exigem a conversão para

representação RAM, dos 66 enunciados com representações RLN temos 10

conversões para RAT e 29 para RAM e, por fim, dos 72 enunciados com

representação RAM, 11 pedem conversões para RAV e 15 para RAT. Nota-se

nessas conversões a necessidade premente de conhecimento de trigonometria

básica como condição para se efetuar essas operações semióticas, denotando seu

uso expressivo na Física.


O próximo passo é analisar os problemas propostos no Livro 08, nos

capítulos 1- Medida e vetores, 3- Movimento em duas e três dimensões e 4- Leis de

Newton. O capítulo 2- Movimento em uma dimensão não apresenta problemas com

utilização da linguagem vetorial, apenas as equações cinemáticas para o estudo do

movimento em uma dimensão, com 122 problemas propostos. A escolha dos

169

demais capítulos segue a mesma lógica apontada para o livro 07, portanto, não

entraremos em mais detalhes.

Assim como o fizemos para o livro 07, selecionaremos alguns exemplos para

ilustrar as análises feitas a partir do livro 08, com posterior apresentação dos dados

coletados no quadro 98.

O quadro 94 mostra um problema do livro 08 que será o primeiro exemplo de

análise para identificar a representação no enunciado e a operação semiótica

relacionada para a solução. Temos nesse caso um enunciado na representação

RAM, pois o vetor é descrito por seu módulo e ângulo e para a solução será

necessário transformar para a representação RAC, porque o problema pede que se

determinem as coordenadas no plano. Essa operação é caracterizada por uma

conversão de RAM para RAC.

No quadro 95 observamos que o enunciado do problema está em

representação RAC, visto que estão sendo fornecidas as coordenadas no plano

cartesiano; a solução deve ser executada na representação RAM como está sendo

determinado no enunciado. Isso caracteriza uma conversão de RAC para RAM.

Quadro 94: Problema selecionado para identificar representação e operação semiótica. Fonte: LIVRO 08, p.24.


170

O problema do quadro 96 tem seu enunciado em representação RLN e a

solução está em representação RAV, pois é pedido que os vetores sejam

representados em termos de vetores unitários. Temos nesse caso duas conversões:

de RLN para RGR e de RGR para RAV.

O problema 26 do quadro 97 apresenta vetores velocidade na representação

RGE. A solução para a aceleração solicitada é obtida exclusivamente com a soma

geométrica dos vetores, portanto, esta operação envolve apenas representações

RGE num mesmo sistema semiótico; consideramos então, um tratamento.

Com os exemplos de análises já expostos, apresentaremos no quadro 98 o

resumo dos resultados para os problemas dos capítulos selecionados.

No capítulo 1, Medida e vetores, temos 78 problemas propostos, dos quais

apenas 12 (52 a 60, 74, 77 e 78) são relacionados aos vetores, os demais tratam

de conversões de unidades, algarismos significativos e análise dimensional, que


Quadro 97: Problema 26 com vetores em representação RGE. Fonte: LIVRO 8, p.84.

171

não fazem parte desse trabalho. Nos enunciados dos problemas desse capítulo

nota-se a predominância das representações RAM e RLN e, as operações

semióticas de conversão são também predominantes, distribuídas em sete

combinações diferentes. A maioria das conversões, neste capítulo, envolvem as

representações RLN, RAM, RAV e RAC e são necessários conhecimentos de

trigonometria para realizar essas operações semióticas.





1. Medida e vetores 12 1 RAV, 1 RAC, 4 RAM e 6 RLN

2 TR e 14 CV 1 RAC para RAM 1 RAV para RAM 1 RGR para RAV 3 RLN para RGR 2 RLN para RAM 3 RAM para RAV 3 RAM para RAC

3. Movimento em duas e três dimensões

73 1 RAC, 2 RGE, 4 RAV, 25 RAM, 41 RLN

39 TR e 35 CV 1 RLN para RAC 1 RAM para RAV 1 RAV para RAM 3 RLN para RAV 10 RLN para RGE 19 RLN para RAM

4. Leis de Newton 60 2 RAM, 2 RAV, 4 RGE, 52 RLN

3 TR e 83 CV 6 RGE para RAM 8 RAM para RAT 9 RLN para RAM 16 RGE para RAT 44 RLN para RGE

Total 145 2 RAC, 6 RGE, 7 RAV, 31 RAM, 99 RLN

44 TR e 132 CV

1 RAC para RAM 1 RLN para RAC 2 RAV para RAM 3 RLN para RGR 3 RAM para RAC 4 RLN para RAV 4 RAM para RAV 6 RGE para RAM 8 RAM para RAT 16 RGE para RAT 30 RLN para RAM 54 RLN para RGE


O capítulo 3, Movimento em duas e três dimensões, possui 122 problemas

propostos, dos quais 49 não utilizam linguagem vetorial, nem para o enunciado,

nem para a solução; portanto, não entram para o quadro 98 os seguintes problemas:

1, 2, 3, 5, 6, 8, 10, 12, 13, 19, 24, 25, 28, 29, 31, 35, 37, 58, 62, 65, 66, 68 a 73, 75,

172

78 a 80, 82, 90, 91, 94, 95, 97 a 99, 103, 105, 107, 109, 112, 113, 117 a 119 e 121.

Os problemas predominantemente apresentam os enunciados mobilizando

representações RAM e RLN e, as operações semióticas ficam com 39 TR e 35 CV.

As conversões estão distribuídas em 6 combinações diferentes de representações

e a maioria envolve as representações RLN, RGE e RAM, que exigem

conhecimentos trigonométricos. No capítulo 4, Leis de Newton, encontramos 99 problemas propostos, dos

quais 39 não utilizam linguagem vetorial em seus enunciados, nem nas soluções;

são os seguintes problemas: 1 a 12, 15, 18, 20, 25 a 29, 31 a 33, 36, 39, 42 a 45,

55, 62, 71, 78, 84, 89, 91, 96, 97 e 99. A maioria dos enunciados se utilizam da

representação RLN, 52 de um total de 60, pois são descritas as situações em

linguagem natural a partir da qual são escolhidas as representações mais

adequadas para a solução do problema. As conversões são a imensa maioria, 83

CV e 3 TR e, estão distribuídas em cinco combinações diferentes de

representações, com a maior parte envolvendo as representações RLN, RAM, RAT

e RGE.

Foram avaliados 421 problemas em quatro capítulos do livro 08, sendo que

entraram para as análises apenas 145, conforme motivos já explicitados. A partir do

quadro 98, destacamos a presença majoritária de operações de conversão, 132 CV

e 44 TR, que estão distribuídas em 12 combinações diferentes de representações,

a maior parte envolvendo as representações RAM, RAT, RLN e RGE. A diversidade

de conversões encontrada exige conhecimento mais amplo para que seja possível

transitar entre as várias representações disponíveis, dentre os requisitos, são

necessários principalmente conhecimentos trigonométricos.

O quadro 99 reúne os dados extraídos dos dois livros de Física selecionados,

num total de 350 exercícios analisados, e mostra os números totais das

representações e das operações semióticas encontradas nesses livros. O quadro

mostra a predominância das seguintes representações nos enunciados: 59 RAV,

103 RAM e 165 RLN. A maioria das operações semióticas é de conversão, 235 num

total de 383, e dentre as conversões temos 19 combinações distintas, que estão

173

todas descritas no quadro 99, sendo que a maioria envolve as representações RLN,

RAV, RAT, RGE e RAM.




Quant.

RLN 165 Tratamento (TR) 148 RAC para RAM 1

RGE 8 Conversão (CV) 235 RAM para RGR 1

RGR 7 - - RLN para RAC 1

RAV 59 - - RAV para RGR 1

RAC 12 - - RGR para RAV 1

RAT 0 - - RAV para RAC 2

RAM 103 - - RAC para RAV 3

- - - - RLN para RGR 5

- - - - RAM para RAC 5

- - - - RAC para RAM 5

- - - - RGR para RAM 5

- - - - RGE para RAM 6

RLN para RAV 9

RLN para RAT 10

RAV para RAM 12

RAM para RAV 15

RGE para RAT 18

RAM para RAT 23

RLN para RGE 53

RLN para RAM 59


Quadro 99: Resumo das representações e operações semióticas dos problemas dos livros 07 e 08. Fonte: Acervo pessoal.

O quadro 99 mostra uma diversidade muito grande de representações

semióticas que são utilizadas em várias situações da Física e, também, um número

expressivo de combinações dessas representações, como já visto, 19 no total, que

culminam com as transformações de conversão. A multiplicidade de

representações, presentes nos enunciados e em suas soluções, mobilizam uma

gama muito rica de conhecimentos matemáticos, sobretudo trigonométricos que,

em boa parte, são necessários às transformações semióticas.

174

5.5.2 Análise dos exercícios propostos nos livros técnicos

Neste subcapítulo, estabeleceremos o quadro geral quanto aos registros de

representações utilizados e as operações semióticas explicitas ou implícitas nos

exercícios propostos nos livros técnicos selecionados (09, 10 e 11).

5.5.2.1 Análise dos exercícios propostos no livro 09

Os capítulos 02 – Vetores de força, 03 – Equilíbrio de uma partícula, 04 –

Resultantes de um sistema de forças, 05 – Equilíbrio de um corpo rígido, 09 – Centro

de gravidade e centroide e 10 – Momentos de inércia compõem o plano de ensino

das Engenharias de Produção e Mecânica para a disciplina “Mecânica geral”, na

Anhanguera e atende a grande parte dos PEA´s das instituições aqui selecionadas. O capítulo 09 – Centro de gravidade e centroide, mostra como determinar a

localização do centro de gravidade, do centro de massa e do centroide, ou seja,

suas coordenadas e, também, distribuição do carregamento oriundo de pressão

gerada por fluidos. Para esses tópicos não são usados vetores com muita

frequência, apenas conceitos de massa, distância, área e volume, portanto, não

serão analisados os problemas propostos nesse capítulo. O capítulo 10 – Momentos de inércia, também não utilizam vetores como

linguagem matemática, apenas os conceitos de área e massa para determinar os

momentos de inércia, portanto, não analisaremos os problemas propostos. Para os

demais capítulos apresentaremos alguns exemplos para as análises realizadas.

O quadro 100 apresenta um problema no qual podemos identificar no

enunciado e figura as representações RAM e RGR e, para uma possível solução a

representação RAT, pois as forças podem ser decompostas para se calcular

intensidade da força resultante. Temos a possibilidade de duas conversões: da

representação RAM para RAT, ou da representação RGR para RAT. Em qualquer

uma, o uso da trigonometria é necessário.

175

No quadro 101 o problema proposto apresenta o enunciado em

representação RLN, a partir do qual, para a solução, traçamos o diagrama de corpo

livre, no qual as forças envolvidas são representadas em RGR. A força peso é

determinada com seu módulo e ângulo (RAM) a partir da informação “500kg”, as

componentes nos eixos são calculadas com trigonometria (RAT) e, finalmente, os

vetores são escritos na representação RAV com a qual se conclui a solução.

A solução do problema do quadro 101 é bastante complexa e envolve muitos

conhecimentos matemáticos e físicos, temos 4 representações semióticas

mobilizadas, RGR, RAM, RAT e RAV. Para a solução completa verificamos algumas

conversões, de RGR para RAM, de RAM para RAT e, por fim, de RAT para RAV,

num total de três conversões possíveis.

Quadro 100: Problema para análise das representações envolvidas. Fonte: LIVRO 09, p.19.

Quadro 101: Problema para análise das representações envolvidas. Fonte: LIVRO 09, p.80.

176

O problema proposto 4.66 apresentado no quadro 102, mostra o vetor força

em duas representações, a primeira em RLN com o texto “uma força de 𝑃𝑃 = 80𝑁𝑁,

aplicada perpendicularmente”, a segunda em RGE com o vetor representado na

ilustração. Para a solução do problema, no entanto, a transformação de

representação ocorre no mesmo sistema semiótico; basta o cálculo do valor da

distância de aplicação da força até o ponto 𝑨𝑨 considerado, e aplicar a fórmula do

momento de uma força. Consideramos, então, apenas uma transformação de

tratamento.

O quadro 103 mostra um problema resolvido, a partir do qual podemos tornar

mais clara as análises efetuadas para estabelecer as representações presentes no

enunciado, e as possíveis representações nas operações semióticas mobilizadas

para a solução do problema. O enunciado apresenta a situação em representação

da língua natural (RLN), a partir do qual se pode determinar o vetor força em

representação RAM, pois é fornecido o peso de 40𝒌𝒌𝒌𝒌. O próximo passo é construir

o diagrama de corpo livre, que consiste basicamente em representar as forças

(vetores) conhecidas e desconhecidas com auxílio dos eixos coordenados,

necessitando então, da representação RGR.

Quadro 102: Representações RLN e RGE no problema 4.66. Fonte: LIVRO 09, p.107.

177

Quadro 103: Problema com as representações RLN, RAM, RGR, RAC e RAV. Fonte: LIVRO 09, p.77.

178

A partir da representação RGR, e dos vetores-posição em representação

RAC (determinados pelo autor com o uso de coordenadas de pontos, fornecidos por

meio de medidas cotadas na ilustração da estrutura), expressa-se cada força em

sua representação RAV, com a qual, finalmente, chega-se a solução do problema.

Para a solução desse problema, podemos considerar as seguintes conversões:

RLN para RAM, RAM para RGR, RGR para RAC e RAC para RAV.

O quadro 104 resume os resultados para as análises dos enunciados e

soluções para os problemas propostos nos capítulos 02, 03, 04 e 05.





2. Vetores de força 110 9 RAV, 14 RGE, 56 RAM, 57 RLN, 95 RGR

0 TR e 292 CV

1 RGR para RAV 3 RLN para RGE 5 RAC para RAV 6 RGE para RAC 7 RAT para RAC 9 RGE para RAT 10 RAC para RAM 13 RGR para RAC 13 RGE para RAM 20 RAV para RAM 24 RAT para RAV 53 RGR para RAT 54 RAT para RAM 74 RAM para RAT

3. Equilíbrio de uma partícula

79 9 RAM, 13 RGR, 16 RGE e 69 RLN

0 TR e 208 CV

2 RAT para RAV 15 RGE para RGR 18 RAT para RAM 20 RAC para RAV 22 RAM para RGR 23 RGR para RAC 25 RLN para RAM 29 RLN para RGR 54 RGR para RAT

4. Resultantes de um sistema de forças

173 23 RAV, 58 RAM, 68 RGR, 77 RLN e 102 RGE

34 TR e 335 CV

1 RLN para RGE 1 RAV para RAC 1 RAM para RAC 2 RGE para RAV 2 RLN para RGR 4 RAM para RAV 9 RGR para RAV 12 RAV para RAM 12 RGR para RAT 30 RAT para RAM 33 RGR para RAC 35 RGE para RAC 35 RAM para RAT 40 RAT para RAV 49 RGE para RAT

179

69 RAC para RAV 5. Equilíbrio de um corpo rígido

96 2 RAV, 17 RGR, 30 RAM, 40 RGE e 41 RLN

5 TR e 197 CV

2 RAT para RAM 4 RAM para RAT 6 RAT para RAV 7 RGE para RAT 7 RGR para RAV 8 RLN para RGR 15 RAM para RGR 17 RLN para RAM 18 RAC para RAV 19 RGR para RAC 21 RAM para RGR 25 RGE para RGR 48 RGR para RAT

Total 458 34 RAV, 153 RAM, 172 RGE, 193 RGR e 244 RLN

39 TR e 1032 CV

1 RAV para RAC 1 RAM para RAC 2 RGE para RAV 4 RAM para RAV 4 RLN para RGE 7 RAT para RAC 10 RAC para RAM 13 RGE para RAM 17 RGR para RAV 32 RAV para RAM 39 RLN para RGR 40 RGE para RGR 41 RGE para RAC 42 RLN para RAM 58 RAM para RGR 65 RGE para RAT 72 RAT para RAV 88 RGR para RAC 104 RAT para RAM 112 RAC para RAV 113 RAM para RAT 167 RGR para RAT


O quadro 104 apresenta um resumo das análises dos exercícios propostos

em quatro capítulos selecionados do livro 09. A quase totalidade dos exercícios

propostos apresenta, juntamente com o enunciado, uma ilustração da situação

problema, muitas vezes com os eixos coordenados 𝑶𝑶𝒙𝒙, 𝑶𝑶𝒚𝒚 e 𝑶𝑶𝒛𝒛 representados,

com ou sem forças em suas representações geométricas, exceção feita aos

problemas 4.1, 4.2 e 4.3 do capítulo 4, que são exercícios nos quais é solicitado

algum tipo de prova para propriedades vetoriais.

Para os problemas propostos pelo autor é necessária a construção de um

diagrama de corpo livre. Nesse diagrama traçamos os eixos coordenados (situações

180

do plano ou do espaço), caso não tenham sido fornecidos com a ilustração. Algumas

forças podem ser fornecidas na ilustração (RGE), ou são informadas no enunciado

(RLN) e, nesse caso, precisamos representá-las no diagrama (RGR), isso explica a

predominância das representações RLN, RGE e RGR no quadro 104 e, claro, sua

presença majoritária nas conversões. Para a solução dos problemas é quase

sempre necessário construir esse diagrama.

O quadro 104 aponta para 22 tipos de conversões presentes nos quatro

capítulos analisados, dos quais 11 tipos de conversões têm como partida ou

chegada, representações geométricas (RGE) ou gráficas (RGR), que por sua vez

mobilizam conhecimentos trigonométricos e geométricos. Para tais conhecimentos,

podemos atestar, a partir da observação do quadro, a presença de 528 conversões

envolvendo a representação RAT, tanto nas representações de partida como nas

de chegada.

As operações de conversão estão presentes na maior parte dos problemas,

em números, 1032 CV e 39 TR, que totalizam os resultados para os quatro

capítulos. A presença majoritária das operações semióticas de conversão pode ser

explicada pela multiplicidade das representações envolvidas, tanto nos enunciados

como nas soluções possíveis para os problemas. A complexidade dos problemas

mobiliza conhecimentos matemáticos diversos, tais como geométricos e

trigonométricos, necessários e muitas vezes obrigatórios para a realização das

conversões. Observamos 22 tipos distintos de conversão e, conforme já

mencionado, em muitos problemas é comum a necessidade de três a quatro

conversões distintas para se chegar à solução.

A quantidade e diversidade de representações e conversões que são

mostradas no quadro 104 e necessárias às soluções, denotam a riqueza de

conhecimentos a serem mobilizados e que tornam os processos de ensino e de

aprendizagem muito mais complexos.

5.5.2.2 Análise dos exercícios propostos no livro 10

181

Apresentaremos a seguir alguns exemplos nos quais são utilizados vetores

para a solução de problemas do livro 10, Dinâmica. Os capítulos 13 – Cinética de

uma partícula: força e aceleração, 14 – Cinética de uma partícula: trabalho e

energia, 16 – Cinemática do movimento plano de um corpo rígido e 20 – Cinemática

tridimensional de um corpo rígido compõem o plano de ensino das Engenharias de

Produção e Mecânica para a disciplina “Mecânica Aplicada”, na Universidade

Anhanguera e atendem satisfatoriamente aos PEA´s das demais instituições aqui

selecionadas.

O quadro 105 apresenta um problema proposto pelo autor e exemplifica o

tipo de análise realizada para identificar as representações nos enunciados e as

possíveis operações semióticas necessárias para a solução.

Identificamos no enunciado do problema 13.1, proposto pelo autor, a

representação em língua natural (RLN) na informação “massa de 3 Mg”, a partir da

qual chega-se a um vetor força (𝑝𝑝𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝 = 3000𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑥𝑥 9,81𝑚𝑚/𝑝𝑝² = 29430𝑁𝑁) cujo

módulo e ângulo são facilmente obtidos (RAM). Com essa informação se constrói o

diagrama de corpo livre (RGR) e na sequência, com a decomposição dos vetores

por meio de trigonometria (RAT), chega-se a solução. As operações semióticas de

conversão utilizadas são: RLN para RAM, de RAM para RGR e RGR para RAT.

Quadro 105: Representações de vetores para problemas de Dinâmica. Fonte: LIVRO 10, p.96

182

O problema proposto 13.9 apresentado no quadro 106, mostra os vetores

força representados em RGE. Para o cálculo da aceleração pedida basta completar

a ilustração com o vetor aceleração (RGE), com direção e sentido corretos, e aplicar

a equação fundamental da dinâmica para chegar à solução final. A solução vetorial

desse problema permanece no interior do mesmo registro, ou seja, registro figural,

não sendo necessária, portanto, mudança da representação RGE. Para esse caso

consideramos, então, uma operação de tratamento.

No problema proposto do quadro 107 foram identificadas as seguintes

situações: enunciado com representação RLN, pois com a informação da

velocidade angular pode-se obter os vetores velocidade dos pontos 𝑨𝑨 e 𝑨𝑨, com os

quais se completa o diagrama de corpo livre (RGR) para a solução do problema.

Com o diagrama completo decompõem-se os vetores por meio de trigonometria

(RAT) e, em seguida, os vetores são reescritos em representação RAV, que são

utilizados na equação da velocidade para a solução final.

Quadro 106: Representações de vetores no problema 13.9, em Dinâmica. Fonte: LIVRO 10, p.97.

183

Estes foram os exemplos de análises que serão empregadas para os

problemas propostos dos capítulos selecionados do livro 10. O quadro 108

apresentará os resultados das análises para os problemas propostos.





13. Cinética de uma partícula: força e aceleração.

137 11 RAM, 18 RGE e 88 RLN

2 TR e 217 CV

1 RAT para RAM 6 RGE para RGR 43 RLN para RAM 46 RLN para RGR 51 RAM para RGR 70 RGR para RAT

14. Cinética de uma partícula: trabalho e energia.

106 2 RAM, 7 RGE e 72 RLN

0 TR e 131 CV

7 RGE para RGR 21 RLN para RAM 23 RAM para RGR 29 RGR para RAT 51 RLN para RGR

16. Cinemática do movimento plano de um corpo rígido.

160 2 RAV, 3 RAC, 38 RGE, 38 RAM, 82 RLN

0 TR e 319 CV

5 RAC para RAV 7 RAC para RAT 9 RLN para RAC 35 RGE para RGR 39 RAM para RGR 39 RGR para RAV 42 RAT para RAV

Quadro 107: Representações de vetores para problemas de Dinâmica. Fonte: LIVRO 10, p.277.

184

69 RGR para RAT 74 RLN para RGR

20. Cinemática tridimensional de um corpo rígido.

55 1 RGE, 2 RLN, 11 RAC, 12 RAV, 45 RAM, 58 RGR

0 TR e 133 CV

1 RLN para RGR 1 RAM para RAT 8 RAM para RGR 11 RAC para RAV 18 RGR para RAT 21 RAT para RAV 33 RAM para RAV 40 RGR para RAV

Total 458 14 RAC, 14 RAV, 58 RGR, 64 RGE, 96 RAM, 244 RLN

2 TR e 800 CV

1 RAT para RAM 1 RAM para RAT 7 RAC para RAT 9 RLN para RAC 16 RAC para RAV 33 RAM para RAV 48 RGE para RGR 63 RAT para RAV 64 RLN para RAM 79 RGR para RAV 121 RAM para RGR 172 RLN para RGR 186 RGR para RAT


O capítulo 13 - Cinética de uma partícula: força e aceleração - possui um total

137 problemas propostos, dos quais 30 problemas não foram analisados, pois são

problemas que envolvem apenas o uso das equações cinemáticas para o estudo do

movimento, não abordando a linguagem vetorial para essa finalidade. São eles:

13.34, 13.47, 13.52, 13.58, 13.66, 13.67, 13.84, 13.85, 13.116 a 13.137.

O capítulo 14 - Cinética de uma partícula: trabalho e energia - contém um

total de 106 problemas propostos, dos quais 30 problemas não foram analisados,

pois abordam energia cinética e trabalho, conservação da energia e potência e

eficiência, utilizando para isso equações escalares, sem o auxílio da linguagem

vetorial. São eles: 14.2, 14.4, 14.8, 14.12, 14.16, 14.17, 14.28, 14.31, 14.32, 14.43,

14.44, 14.45, 14.50, 14.60, 14.72 a 14.78, 14.81, 14.85, 14.97 a 14.99, 14.101,

14.104, 14.105 e 14.106. No capítulo 16 - Cinemática do movimento plano de um corpo rígido - temos

um total de 160 problemas propostos, dos quais 36 problemas não receberam

análise, pois são problemas que envolvem apenas as equações cinemáticas do

185

movimento circular, sem auxílio da linguagem vetorial. São eles: 16.1 a 16.33,

16.36, 16.40 e 16.42. O capítulo 20 - Cinemática tridimensional de um corpo rígido - apresenta um

total de 55 problemas, todos utilizando linguagem vetorial para a descrição da

situação problema, bem como para as soluções.

No quadro 108 podemos ver o resultado das análises feitas em 458

problemas propostos e destacar inicialmente a quase totalidade de operações

semióticas de conversão, 800 CV e apenas 2 TR, isso denota a necessidade de se

saber transitar entre as diversas representações possíveis.

As representações RGE, RGR, RAM e RLN são muito utilizadas, como

podemos facilmente observar a partir da totalização do quadro 108, e isso pode ser

explicado pelos tipos de problemas propostos, nos quais temos quase sempre a

presença de ilustrações a partir das quais obtemos informações sobre os vetores

força ou velocidade, em suas representações RGE e RGR. Das descrições das

situações problema podemos identificar os vetores a partir de suas representações

em língua natural (RLN), ou também, com as informações de intensidade e ângulo

de forças, caracterizar os vetores em suas representações RAM.

A multiplicidade de representações e consequentes transformações de

conversão, mobilizam muitos conhecimentos matemáticos para as soluções dos

problemas. Observamos no quadro 108, 13 tipos distintos de conversões anotadas,

nas quais há predominância de representações RGE e RGR, cerca de 606

conversões envolvendo essas representações, seja no registro de partida ou no de

chegada. Muitas dessas conversões, por exemplo, de RGR para RAT, necessitam

de mobilização de conhecimentos trigonométricos para a solução dos problemas,

ou de conhecimentos geométricos, por exemplo, nas conversões de RGR para

RAV.

Pelos tipos de conversões realizadas para a solução dos problemas,

notamos a presença, em grande parte delas, do uso da trigonometria para transitar

entre as representações e assim chegar a solução do problema. Essa necessidade

também reforça a importância da representação trigonométrica em situações

problema da engenharia. A mobilização de diferentes representações é um

186

indicativo de quão complexas tornam-se as soluções para os problemas propostos

e, por conseguinte, os processos de ensino e de aprendizagem, por demandarem

muitos conhecimentos.

5.5.2.3 Análise dos exercícios propostos no livro 11 Os capítulos 1 – Tensão, 3 – Propriedades mecânicas dos materiais, 5 –

Torção, 6 – Flexão e 7 – Cisalhamento transversal compõem o plano de ensino das

Engenharias de Produção e Mecânica para a disciplina “Resistência dos materiais

I”, na Universidade Anhanguera e atendem satisfatoriamente aos PEA´s das demais

instituições aqui selecionadas.

A seguir, destacaremos exercícios propostos no livro 11 e apresentaremos

exemplos de análise para determinar quais representações de vetores foram

utilizadas nos enunciados e, também, para as possíveis soluções. O quadro 109

mostra o primeiro exemplo de análise de um problema proposto.

O problema proposto 1.4, quadro 109, apresenta em seu enunciado a representação RGE. Para a solução é necessário traçar o diagrama de corpo livre

a partir do qual representamos as demais forças agindo na estrutura (RGR). Em

seguida, obtemos por meio da trigonometria (RAT) as componentes horizontal e

vertical para resolver as equações de equilíbrio e chegar à solução final. Para esse

problema, com as representações listadas, teremos duas operações semióticas de

conversão: de RGE para RGR e de RGR para RAT.

Quadro 109: Representação de vetores no problema 1.4, em Resistência dos materiais. Fonte: LIVRO 11, p.9.

187

O problema 5.9 apresentado no quadro 110 novamente traz em seu

enunciado a representação RGE. Para a solução será suficiente completar o

diagrama de corpo livre e passar para a representação RGR e, com as equações

de equilíbrio obter a solução final para o problema.

Temos então, uma simples conversão da representação RGE para RGR, a

partir da qual completam-se as equações.

O exemplo apresentado no quadro 111, problema proposto 6.2, apresenta

uma situação na qual a representação utilizada no enunciado é a RGE. Para a

solução basta completar o diagrama de corpo livre e passar para a representação

RGR e, então, chegar à solução final por intermédio das equações de equilíbrio.

Para isso é suficiente uma simples conversão, de RGE para RGR.

Para o problema 6.2, cabe uma pequena observação; o enunciado traz a

informação da intensidade “força aplicada de 250N”, porém, não informa o ângulo

de aplicação e por isso incompleta para considerarmos como sendo uma

representação RAM e, então, consideramos a representação RGE que está

completa, conforme pode ser observado na ilustração.


188

O exemplo do quadro 112, problema proposto 1.34, traz no enunciado e

ilustração a representação de vetor em RGE. Para este caso não é necessária a

conversão da representação para se chegar a solução, basta o valor da intensidade

do vetor força e o valor da área para o cálculo da tensão solicitada. Portanto,

consideramos nesse exemplo apenas uma operação de tratamento.



189

Os quatro exemplos dados até aqui representam bem a situação que ocorre

em grande parte dos problemas apresentados na disciplina Resistência dos

Materiais. As estruturas e dispositivos mecânicos, de uma forma geral, são

dispostos de tal forma que as forças atuantes estão normalmente distribuídas em

eixos verticais e horizontais, assim as representações RGE e RGR são muito

comuns e muitas vezes suficientes para a solução dos problemas. Situações em

que as forças não sejam paralelas a tais eixos, cabe a decomposição por meio da

Trigonometria, assim recaindo na representação RAT.

O quadro 113, a seguir, resume as análises dos exercícios propostos e

mostrará os resultados mediante o método de análise já exemplificado. No capítulo 1-Tensão, apenas 4 problemas de um total de 119 não foram

analisados, pois não tinham a linguagem vetorial em seu escopo. São eles: 1.60,

1.84, 1.85 e 1.116.





1. Tensão 119 8 RLN, 24 RAM e 103 RGE

15 TR e 151 CV

8 RLN para RAM 17 RAM para RGR 41 RGR para RAT 85 RGE para RGR

3. Propriedades mecânicas dos materiais

44 1 RLN e 9 RGE 0 TR e 16 CV 1 RAM para RGR 1 RLN para RAM 5 RGR para RAT 9 RGE para RGR

5. Torção 143 7 RAM e 13 RGE 0 TR e 20 CV 7 RAM para RGR 13 RGE para RGR

6. Flexão 181 4 RLN, 13 RAM e 91 RGE

3 TR e 104 CV

4 RLN para RGR 5 RGR para RAT 8 RAM para RGR 87 RGE para RGR

7.Cisalhamento transversal

83 5 RAM e 27 RGE 0 TR e 28 CV 5 RAM para RGR 23 RGE para RGR

Total: 570 13 RLN, 49 RAM e 243 RGE

18 TR e 319 CV

4 RLN para RGR 9 RLN para RAM 38 RAM para RGR 51 RGR para RAT 217 RGE para RGR


No capítulo 3-Propriedades mecânicas dos materiais, apenas 10 problemas

de um total de 44 fizeram uso de linguagem vetorial, 34 não foram analisados, pois

190

referiam-se a questões que envolviam Lei de Hooke, tensão e diagramas de tensão

versus deformação. São eles: 3.1 a 3.15, 3.17, 3.25 a 3.37, 3.40, 3.41 a 3.44. No capítulo 5-Torção, de um total de 143 problemas propostos, apenas 20

utilizaram a linguagem vetorial e assim receberam análise. Os outros 123 problemas

tratam de questões envolvendo momento de inércia, Lei de Hooke e fórmula para

cálculo de torção e, portanto, não utilizam necessariamente da linguagem vetorial.

São eles: 5.1 a 5.8, 5.11 a 5.15, 5.18 a 5.23, 5.26 a 5.42, 5.44 a 5.51, 5.53 a 5.56,

5.60, 5.62 a 5.73, 5.76, 5.78, 5.79, 5.83 a 5.90, 5.93 a 5.143. No capítulo 6-Flexão, de um total de 181 problemas propostos, 97 problemas

foram analisados, os demais 84 problemas não foram analisados, pois tratam de

questões envolvendo momento de inércia e cálculo de tensão. São eles: 6.43 a 6.47,

6.49 a 6.57, 6.59, 6.71, 6.78, 6.84, 6.85, 6.100 a 6.107, 6.110, 6.111, 6.114 a 6.127,

6.129 a 6.134, 6.138, 6.139, 6.141 a 6.149, 6.151 a 6.154, 6.157 a 6.171, 6.176 a

6.181. No capítulo 7-Cisalhamento transversal, de um total de 83 problemas

propostos, 54 problemas não foram analisados, pois não utilizam necessariamente

a linguagem vetorial e tratam apenas do cálculo de tensão de cisalhamento e

diagramas para determinadas seções especiais. São eles: 7.1 a 7.15, 7.19, 7.31,

7.32, 7.36 a 7.42, 7.46 a 7.48, 7.56 a 7.79, 7.82 e 7.83.

Observamos no quadro 113 os resultados das análises dos 570 problemas

propostos e, destacamos a representação RGE, que está presente em maior parte

dos problemas propostos, sendo utilizada 243 vezes, seguida da representação

RAM, 49 vezes. As 319 operações de conversão não são tão diversificadas como

mostrado nos livros 9 e 10, e majoritariamente concentram-se em representações

envolvendo RGE e RGR, seja no registro de partida ou no de chegada e, são um

total 310 conversões. Nota-se, também, que em muitos casos há necessidade da

representação RAT, ou seja, mobilização de conhecimentos trigonométricos.

Mais uma vez constata-se um número muito maior de conversões, 319 CV e

18 TR, tornando mais complexa a solução dos problemas, embora para a maioria

desses problemas, foi necessária uma ou duas conversões para se chegar à

solução.

191

O quadro 114, a seguir, resume os resultados das análises para os livros 9,

10 e 11.

O quadro 114 mostra um resumo geral das análises dos problemas propostos

nos três livros técnico-científicos selecionados, totalizando um número expressivo

de 1486 problemas. As representações dominantes nos enunciados, apresentadas

no quadro são: 251 RGR, 298 RAM, 479 RGE e 501 RLN. A grande maioria das

operações semióticas são de conversão, 2151 CV e apenas 59 TR, e dentre as

conversões consideradas nas soluções dos problemas temos 24 combinações

diferentes descritas no quadro. Mais da metade das conversões realizadas, ou seja,

1141 CV envolvem as seguintes representações: RLN, RAM, RGE, RGR e RAT.




Quant.

RLN 501 Tratamento (TR) 59 RAV para RAC 1

RGE 479 Conversão (CV) 2151 RAM para RAC 1

RGR 251 - - RGE para RAV 2

RAV 48 - - RLN para RGE 4

RAC 14 - - RAT para RAC 7

RAT 0 - - RAC para RAT 7

RAM 298 - - RLN para RAC 9

- - - - RAC para RAM 10

- - - - RGE para RAM 13

- - - - RAV para RAM 32

- - - - RAM para RAV 37

- - - - RGE para RAC 41

- - - - RGE para RAT 65

- - - - RGR para RAC 88

- - - - RGR para RAV 96

- - - - RAT para RAM 105

- - - - RAM para RAT 114

- - - - RLN para RAM 115

- - - - RAC para RAV 128

- - - - RAT para RAV 135

- - - - RLN para RGR 215

192

- - - - RAM para RGR 217

- - - - RGE para RGR 305

- - - - RGR para RAT 404


Quadro 114: Resumo das representações e operações semióticas dos problemas dos livros 09, 10 e 11.

Fonte: Acervo pessoal.

O quadro 114 mostra uma diversidade de representações semióticas que são

utilizadas em problemas de disciplinas técnicas da Engenharia e as várias

combinações dessas representações convergindo para 24 distintas conversões,

como já mencionado. Também, como observado na Física, essa pluralidade oriunda

dos enunciados e soluções dos problemas propostos, mobilizam múltiplos

conhecimentos matemáticos, sobretudo trigonométricos, necessários às

transformações semióticas propostas ou realizadas.

193

Considerações finais No desenvolvimento de nossa dissertação traçamos um breve histórico sobre

a origem do conceito de vetor, que segundo Katz (1995) teve início na Física, por

volta do século IV a.C. Dos primeiros estudos do movimento realizados por

Aristóteles (séc. IV a.C.) em seu tratado de “Mecânica”, entremeando os trabalhos

de Heron de Alexandria e Galileu, até as leis de Newton para o movimento, os

primeiros conceitos de vetor nasceram basicamente da ideia do paralelogramo de

forças, com o qual se combinavam as forças por meio do uso das diagonais de um

paralelogramo. Nossa ideia, com essa abordagem, era de enfatizar que elementos

e materiais históricos poderiam ajudar no estudo e compreensão de vetores, dando

mais sentido ao aprendizado, apoiado pela exposição de situações de problemas

enfrentados por cientistas da época e de como teriam solucionado tais problemas.

Seria um despertar da curiosidade e um convite ao estudo. Acreditamos que tais

elementos históricos, a partir dos primeiros conceitos de vetores, poderiam auxiliar

no entendimento da produção das primeiras formas de representação semiótica

desse objeto matemático, como as representações geométricas e gráficas, com

posterior passagem para as representações algébricas.

Dos onze livros aqui selecionados e analisados, praticamente só o livro 02

traz algumas referências históricas que são importantes para enriquecer os

processos de ensino e de aprendizagem do objeto matemático vetor. Essa,

portanto, parece uma questão que passa despercebida pelos autores de livros

didáticos e que poderia contribuir, como já observado, para a compreensão da

produção das representações de vetores, inclusive facilitando sua assimilação.

No estudo de Nascimento (2005) os aspectos relacionados aos conceitos das

razões trigonométricas seno, cosseno e tangente são explorados com a construção

de uma tabela trigonométrica, ancorada em levantamentos históricos de trabalhos

de Ptolomeu e outros matemáticos da Grécia Antiga. A autora reforça a importância

dos aspectos históricos na compreensão dos conceitos de objetos matemáticos e

da produção de suas representações, nesse caso, em particular, a representação

algébrica trigonométrica.

194

Nossa primeira questão de pesquisa é:

“Como é abordado o conceito de vetor nos livros didáticos das diversas

disciplinas científicas de Engenharia? ”

A resposta parcial a essa questão, certamente passa pelos conceitos

históricos acerca do objeto vetor e, como já discutido, não tem espaço nem

destaque nos livros didáticos selecionados.

Devemos lembrar que a primeira abordagem de vetores para os estudantes

acontece no EM, exclusivamente por meio das aulas de Física e sob um único ponto

de vista, o geométrico, pois de acordo com os PCNEM (1998), vetores não fazem

parte do conteúdo de Matemática. Não temos, nesse caso, o ponto de vista da

Matemática.

A abordagem geométrica para conceituar vetor é claramente o início dessa

discussão em praticamente todos os livros e, portanto, muito importante. Nos livros

de Matemática essa conceituação geométrica encontra-se apenas como elemento

introdutório e, em seguida é abandonada. Ao contrário, nos livros das disciplinas

técnico-científicas essa forma de conceituar vetor é aplicada ao longo dos tópicos

desenvolvidos nos livros, e pode ser verificada com a presença frequente das

representações geométricas apontadas nos quadros sobre os resultados para os

problemas propostos nos livros. O quadro 64 apresenta o resumo das análises dos

livros de Matemática (1 a 6), e a representação RAC é a que tem maior frequência.

As representações RGR e RGE são as que se apresentam em menor número entre

as representações identificadas nos enunciados, demonstrando a baixa utilização

das representações geométricas e gráficas nesses livros, com predominância das

representações algébricas. Mesmo quando consideramos as representações RGR

e RGE aplicadas nas resoluções, e também, que estejam presentes na maior parte

das operações de conversões identificadas, ainda assim sua utilização é baixa, pois

as operações de conversão respondem a um pouco mais do que 10% do total

registrado.

Nos livros de Física, embora os enunciados dos problemas apresentem

poucas representações geométricas (RGE) ou gráficas (RGR), as resoluções

mostram muitas conversões nas quais as representações de chegada são a RGE

195

ou a RGR, confirmando a presença desses tipos de representações, que é

facilmente verificado no quadro 99.

O quadro 114 resume as análises dos livros 9, 10 e 11 das disciplinas técnico-

científicas e as representações mais frequentes são a RLN, RAM, RGE e RGR,

identificadas nos enunciados e também nas operações de conversão nas

resoluções dos problemas propostos, demonstrando a forte presença das

representações geométricas e gráficas nesses livros.

No artigo de Poynter e Tall (2005), os autores consideram o desenvolvimento

do conceito de vetor de forma particular pela Física, por meio do paralelogramo de

forças, enquanto que a Matemática o relaciona à ideia de translação. Segundo os

autores uma boa estratégia para enfrentar as dificuldades apresentadas pelos

alunos, com relação ao conceito de vetor, passa pelo conceito de “vetor livre” e,

uma maneira mais eficiente de se abordar esse conceito tem a ver com a noção

sobre o efeito produzido por uma ação física, ficando mais próxima do mundo real

do estudante.

No artigo de Watson, Spirou e Tall (2003), eles reforçam a ideia de que o

efeito de uma ação física é mais eficiente para se apresentar o conceito de vetor e,

segundo a perspectiva dos autores, a união de duas comunidades, a dos físicos,

com os conceitos corporificados das ações físicas e a dos matemáticos com o

formalismo e provas formais, possa dar aos estudantes a possibilidade de se

beneficiarem de ambos os lados.

Ante a esses pontos de vista, observamos que tanto os autores dos livros de

Matemática como os dos livros de Física e Técnico-científicos, desenvolvem os

conceitos de vetores e as produções de suas representações de forma bastante

independentes. Falta um alinhamento entre as necessidades da própria Matemática

e as necessidades das demais áreas técnicas. Nesse sentido, podemos dizer em

relação as representações utilizadas e também aos símbolos e linguagens

empregadas por ambos, que não há uma padronização desses elementos, que por

sua vez poderá vir a criar dificuldades para os estudantes, com relação a

aprendizagem de vetores.

196

O benefício de ampliar o entendimento sobre vetor, que poderia vir do

conceito dado por ambas as comunidades, uma com o conceito de vetor apoiado

nos experimentos físicos e a outra baseada no formalismo matemático, como

ressaltam os autores, na verdade não é aproveitado, ou é pouco explorado, ao

considerar os aspectos advindos de pontos de vista diferentes.

Cabe salientar outros aspectos de abordagem de vetores que são distintos

em livros de Matemática, em livros de Física e em Técnico-científicos. Nos livros de

Matemática não são identificadas representações que envolvam a Trigonometria,

ou seja, representações RAM e RAT, sejam nos enunciados ou nas resoluções dos

problemas propostos. A trigonometria não é utilizada para tratar de vetores,

simplesmente não é considerada.

No artigo de Lima, Sauer e Sartor (2011), discutido em nossa revisão de

literatura, as autoras reforçam a importância da Trigonometria para diversas áreas

da Engenharia e, citam exemplos de situações de cálculos nas quais temos força e

pressão envolvidas, sendo utilizados para isso vetores.

Nascimento (2005) desenvolveu atividades com o objetivo do estudante

poder construir conhecimentos mais sólidos sobre Trigonometria e expandi-los para

outras áreas relacionadas aos fundamentos básicos das razões seno, cosseno e

tangente, podendo, por exemplo, serem aplicados aos vetores em suas

representações RAM e RAT.

Embora vejamos nesses dois trechos a importância destacada pelas autoras

para os conhecimentos trigonométricos e suas aplicações, não é o que encontramos

nos livros de Matemática (1 a 6) utilizados nos cursos de Engenharia, acerca de

vetores. Aos autores de tais livros, passou despercebida a necessidade da

introdução dos elementos trigonométricos na conceituação de vetor, mais

especificamente em sua representação trigonométrica, bastante utilizada pelas

áreas técnicas.

No quadro 99, nos Livros 7 e 8 de Física verificamos a predominância das

representações RLN e RAM identificadas nos enunciados e nenhuma

representação RAT. No entanto, a representação RAT aparece significativamente

nas operações de conversões apontadas, cerca de um quarto dessas operações,

197

sendo observada no registro de chegada. Já nos livros de disciplinas técnico-

científicas, verificamos, no quadro 114, a forte presença nos enunciados da

representação RAM e nenhuma representação RAT identificada, embora esta

última tenha uma frequência expressiva em operações de conversão nas

resoluções dos problemas, cerca de mais de um terço das conversões realizadas,

ora no registro de chegada, ora no registro de partida, caracterizando sua grande

utilidade.

De forma geral observamos uma divergência de abordagens de vetores nos

livros didáticos. De um lado, os autores dos livros de Matemática (1 a 6) privilegiam

o uso de representações algébricas, sobretudo em coordenadas (RAC), não

havendo representações RAM ou RAT, nem nos enunciados, nem nas resoluções.

Por outro lado, os autores dos livros de Física e, também, dos livros técnico-

científicos diversificam mais as representações, com presença expressiva das

representações RAM, RAT, RGE e RGR, sejam aplicadas nos enunciados ou nas

resoluções dos problemas propostos. A representação RAT também não aparece

nos enunciados destes livros, porém, são largamente utilizadas nos processos de

resoluções dos problemas, ou seja, nas operações de conversão.

Ressalta-se o fato de que as representações em língua natural (RLN) são

praticamente um terço de todas as representações identificadas nos enunciados

dos livros em geral, com maior presença nos livros de Física, pela própria

característica dos problemas, que é de descrição dos fenômenos envolvidos,

necessitando análise e interpretação do texto, a partir do qual se extrai as

informações iniciais, em nosso caso específico, sobre vetores.

Nossa segunda questão de pesquisa tem por objetivo investigar como os

vetores são aplicados, em termo de suas representações, nos diversos problemas

propostos, como descrevemos abaixo:

“Como os vetores são utilizados nas diversas disciplinas para a resolução de

problemas? “

Começamos pelos livros de Matemática (1 a 6), em que as primeiras

operações de adição e subtração de vetores são apresentadas com as

representações geométricas, por meio das regras do triângulo e do paralelogramo.

198

Posteriormente, essas operações são aplicadas com as representações algébricas,

praticamente sempre em situações exclusivas do ambiente matemático, seja nas

representações algébricas ou geométricas. As representações geométricas e

gráficas, nesses livros, são aplicadas aos problemas dos capítulos iniciais, restritos

a questões puramente matemáticas. Nos capítulos seguintes, os vetores passam a

ser empregados nas resoluções com suas representações em coordenadas, ou em

suas representações na forma de combinações lineares, também, exclusivamente

em situações do ambiente matemático e, assim se estende pelos demais capítulos.

Levando em conta o artigo de Watson, Spirou e Tall (2003), no qual abordam

a convergência dos fenômenos físicos e do simbolismo matemático, e a partir dos

quais consideram que o processo de aprendizagem de vetores deva ocorrer numa

região de interseção entre as duas áreas, pode-se concluir que não se deve limitar

tal processo exclusivamente a um único ambiente. Assim sendo, tanto a

conceituação como as aplicações de vetores devem considerar os aspectos

relativos às duas áreas: da Física e da Matemática.

Um dos problemas que emerge das atividades realizadas por Poynter e Tall

(2005) é o fato de que os alunos não sabem diferenciar um vetor de outro, pois na

concepção deles basta um vetor ter origem em pontos distintos para considerá-lo

diferente. O mesmo problema foi levantado por Patrício (2011), que apontou

dificuldades dos alunos em identificar vetores iguais, em certas atividades

propostas, nas quais o aluno deveria escolher um representante de vetor que fosse

mais favorável às operações solicitadas.

Tais problemas, pontuados por Poynter e Tall (2005) e Patrício (2011),

podem se refletir em dificuldades ao se trabalhar com operações gráficas ou

geométricas envolvidas nas regras do triângulo e do paralelogramo, nas quais os

conceitos de “vetor livre” e, por conseguinte, o conceito de equipolência, são

importantes para o entendimento dessas regras. Esses problemas, além das

dificuldades geradas nas operações de tratamento em resoluções dos problemas,

podem implicar em dificuldades, principalmente nas operações de conversões, em

que representações em registros gráficos e algébricos estão envolvidos, alternando-

se em registros de chegada e de partida.

199

Essa dificuldade é exposta por Patrício (2011) que diz que as conversões

envolvendo representações do registro gráfico são as que mais geraram

dificuldades em suas atividades. Igualmente, Castro (2001) aponta que as

conversões envolvendo os registros gráficos foram as que trouxeram maiores

dificuldades aos alunos, nas atividades desenvolvidas.

Verificamos, então, que as dificuldades já são enfrentadas no âmbito da

própria Matemática, quando se lida com as conversões das representações

gráficas. Nos livros de Física e também nos livros técnico-científicos analisados, as

representações RGR e RGE são muita utilizadas nas resoluções de problemas. Em

contrapartida, as representações RGE e RGR são pouco exploradas nos livros de

Matemática aqui selecionados, o que pode ser verificado no quadro 64.

Nos livros de Física, 7 e 8, os vetores representam basicamente forças,

velocidades e acelerações em contextos da cinemática e da dinâmica e, a

abordagem inicial se utiliza da representação geométrica, com posterior produção

da representação gráfica, a partir da qual são introduzidos os elementos de

trigonometria para a obtenção das componentes vetoriais, ou seja, temos a

produção da representação algébrica trigonométrica.

Nos livros de Física e nos livros técnico-científicos os vetores são

empregados como ferramentas de cálculos, diferentemente de como são tratados

nos livros de Matemática, ou seja, como objetos matemáticos propriamente ditos.

As representações RAT e RAM, assim como as representações RGE e RGR já

mencionadas, são bastante empregadas nas resoluções dos problemas de Física,

como mostra o quadro 99, em que se observa cerca de dois terços das operações

de conversões envolvendo as representações RAT e RAM. Nos livros técnico-

científicos temos cerca de dois terços das resoluções dos problemas envolvendo as

representações RAM e RAT, embora a representação RAT não esteja presente nos

enunciados, mas confirma uma forte presença dessas representações nas

resoluções dos problemas. As representações RGE e RGR também são muito

utilizadas nesses livros, tanto nos enunciados com nas resoluções, lembrando que

todos esses dados podem ser conferidos a partir do quadro 114.

200

A terceira e a quarta questões de pesquisa levantadas estão interligadas,

pois tratam do olhar sobre as operações semióticas de conversão abordadas no

desenvolvimento da teoria e nas possíveis resoluções dos problemas propostos,

como podemos ver a seguir:

“ As conversões das representações semióticas de vetores estão presentes

nas partes teóricas dos livros didáticos? “

“ Os exercícios propostos nos livros didáticos exploram as operações

semióticas de conversão para as possíveis resoluções? “

As questões impostas baseiam-se na premissa da “Teoria dos registros de

representações semióticas” de Duval (2011a), que em linhas gerais diz que, para a

apreensão de um conceito matemático cabe ao estudante saber transitar por ao

menos duas representações semióticas distintas de um mesmo objeto, em nosso

caso, um vetor. De acordo com esse argumento, demos mais ênfase às operações

de conversão, relacionadas aos problemas propostos.

Analisando os dados dos quadros 64, 99 e 114 para os exercícios propostos,

podemos fazer as seguintes observações e conclusões:

Nos livros de Matemática (1 a 6) foram apontadas 600 operações semióticas,

entre os problemas propostos, das quais 529 são operações de tratamento e

apenas 71 são de conversão. A maior parte dessas conversões se concentra

nas representações RGE, RGR e RLN. De acordo com os dados levantados e

com o referencial teórico, o aprendizado pode ser prejudicado ou não é, ao

menos, favorecido pelos conhecimentos mobilizados nas transformações de

conversão. Os números mostram que as conversões são pouco exploradas

nesses livros, muitas vezes justificado pelos tipos de problemas propostos, que

abarcam apenas os conhecimentos envolvidos naquela representação, sem

mobilizar conhecimentos presentes em outras representações distintas,

bastando para tal, apenas as transformações de tratamento, que são

predominantes.

Com relação a parte teórica identificamos, na maior parte dos livros, exceção

feita ao livro 1, uma forma de ligação realizada entre os elementos geométricos

e gráficos de um vetor e os correspondentes elementos algébricos, embora isso

201

se restrinja aos exemplos teóricos e não aos problemas numéricos resolvidos.

Essa ligação feita entre os distintos elementos consideramos uma transformação

de conversão, por exemplo de RGR para RAC, contudo não se percebe que seja

esse o objetivo, trata-se apenas de uma mudança de tópicos. Isso pode ser

confirmado pela baixa frequência de conversões nos problemas propostos,

segundo apontado no quadro 64.

Complementando a resposta às questões de pesquisa, com relação aos

livros de Matemática, é de que a conversão das representações não é em si uma

finalidade. Os números demonstram isso, os exemplos teóricos também,

havendo poucas oportunidades para a exploração dessas operações semióticas,

que poderiam contribuir de forma positiva aos processos de ensino e de

aprendizagem de vetores, criando oportunidades para que se compreendam as

diversas formas de se representar um vetor e que isso possa facilitar a

separação do que é o objeto matemático e as respectivas representações que

permitem acessá-lo.

Nos livros de Física (7 e 8) foram apontadas 381 operações semióticas,

conforme quadro 99, distribuídas em 148 tratamentos e 233 conversões. As

conversões nestes livros são bastante diversificadas, apresentando 19

combinações diferentes de conversões, nas quais as representações RAM,

RAT, RAV, RGE e RLN estão presentes em bem mais que a metade do total de

conversões existentes, em registros de chegada ou de partida. De um lado, a

predominância das conversões, segundo Duval (2011a), favorecem a

mobilização de diversos conhecimentos, cada qual associado e particular a um

tipo de representação, o que deve contribuir favoravelmente aos processos de

ensino e de aprendizagem de vetores. Por outro lado, poderia se pensar que

uma gama muito grande de conhecimentos mobilizados poderia gerar maior

dificuldade ao entendimento desse objeto, pois se tornaria a princípio, num

processo mais complexo, devido aos vários conhecimentos com que se deve

lidar, no entanto, esses conhecimentos poderiam ser tratados separadamente e

aplicados aos vetores.

202

Os problemas propostos nos livros de Física apresentam um bom número de

conversões das representações utilizadas, exigindo maior conhecimento

matemático por parte do estudante, no entanto, dando-lhe mais ferramentas

para resolver problemas e enriquecendo seu aprendizado, requisitos desejáveis

para enfrentar situações problema da Física ou da Engenharia.

Na parte teórica dos livros de Física observa-se com clareza, o cuidado em

mostrar como se transita de uma representação gráfica ou de uma

representação com módulo e ângulo de um vetor para a sua representação

algébrica trigonométrica (RAT), ou seja, o processo de cálculo das componentes

vetoriais por meio da aplicação das razões trigonométricas e, também, partindo

dessa última representação para a representação algébrica vetorial (RAV).

Nessas operações fica bastante explícito o objetivo em se saber transitar por

essas representações, portanto, há a necessária operação de conversão.

Nos livros técnico-científicos (9, 10 e 11) a imensa maioria das operações

semióticas identificadas são de conversão, ou seja 2151 e apenas 59

tratamentos. Assim como na disciplina de Física, nas disciplinas técnico-

científicas é enfático e ajuda a explicar esses números, o fato de que a finalidade

não são os vetores como objetos matemáticos simplesmente, mas sim como

ferramenta para se chegar a solução de problemas específicos das áreas

técnicas. Com isso entende-se a necessidade de trabalhar vários

conhecimentos matemáticos aplicados aos vetores, pois as situações problema

das engenharias demandam.

As conversões são bastante diversificadas e se distribuem em 24

combinações distintas, com a maior parte se concentrando em conversões entre

as representações RLN, RGE, RGR, RAM e RAT, considerando-se os registros

de partida e de chegada.

A última questão de nossa pesquisa refere-se ao uso da Trigonometria e sua

importância em aplicações da área técnica, além de outros conceitos matemáticos

envolvidos na produção, tratamento e conversão de representações de vetores e,

está assim formulada:

203

“Como a Trigonometria e outros conceitos matemáticos estão relacionados

às representações dos vetores em tais livros? “

Primeiramente vamos responder a essa questão, resgatando algumas das

conclusões de Nascimento (2005) sobre atividades de Geometria realizadas com

alunos do 1º ano do EM. Segundo a autora, os alunos não sabiam nenhuma

propriedade relacionada às principais figuras planas e ainda, não sabiam diferenciar

figuras planas e figuras espaciais e, também, não sabiam diferenciar retas de

segmentos. Sem contar a falta de domínio, por parte dos alunos, dos conceitos

elementares de Trigonometria.

Lima, Sauer e Sartor (2011) realizaram oficinas envolvendo Trigonometria,

devido a sua importância para a Engenharia e para as ciências em geral, com os

objetivos de buscar formas mais atraentes de ensinar os conceitos trigonométricos

e estabelecer a interação entre as ciências da Engenharia junto aos alunos e

professores do EM.

Os dois trabalhos citados evidenciam a necessidade do domínio de conceitos

de Geometria e também de Trigonometria para a produção de representações

vetoriais e sua importância em aplicações na Engenharia. O autor do livro 9,

Estática, por exemplo, e também nos livros 10 e 11, explora vários conceitos

matemáticos com relação ao vetor, desde semelhança de triângulos até elementos

de Trigonometria básica. Tais conhecimentos associados aos vetores se fazem

necessários ante várias situações que o aluno pode enfrentar em problemas da

Engenharia.

Identificamos, também, que nos livros de Física a Trigonometria é bastante

utilizada, e está associada aos vetores para calcular suas componentes em cada

eixo coordenado, produzindo uma representação algébrica trigonométrica (RAT).

Quando necessário, é possível, partindo de representações gráfica (RGR), em

coordenadas (RAC) ou algébrica trigonométrica (RAT) retornar à representação

RAM, perfazendo o caminho inverso, sempre se valendo de elementos

trigonométricos básicos, independentes do sentido da conversão, essenciais a

essas operações.

204

Na Física como nas disciplinas técnico-científicas fica evidenciado pelas

análises, tanto da parte teórica como dos problemas propostos, que os conceitos

trigonométricos são fundamentais para a produção da representação de vetor mais

frequentemente utilizada, e também, para as operações de tratamento envolvidas

nos cálculos necessários às resoluções de problemas, assim como para as

conversões necessárias de representações conforme as demandas para as

resoluções dos problemas.

Nos livros de Matemática (1 a 6), os conceitos trigonométricos não são

abordados para a produção de uma representação algébrica trigonométrica,

tampouco elementos de geometria. Isso pode ser confirmado ao se acessar a teoria

sobre vetores e os resultados das análises dos problemas propostos nesses livros,

mostrados no quadro 64.

Os dois trabalhos supracitados já evidenciam as dificuldades dos alunos com

relação à Trigonometria desde o EM e tornam visíveis as necessidades em se

trabalhar mais os processos de ensino e de aprendizagem desses conceitos

matemáticos, uma vez que tem grande utilidade para as áreas técnicas.

Trigonometria é um tema que faz parte do currículo de Matemática e que merece

receber atenção e cuidados especiais quanto as suas aplicações e ir além dos ditos

cálculos de distâncias inacessíveis destacados nos PCNEM (1998).

Como sugerem Watson, Spirou e Tall (2003), para que os distintos enfoques

da Física e da Matemática para os vetores sejam compartilhados e melhorem o

entendimento desse objeto matemático, há necessidade de se introduzir esse

tópico, também no currículo de Matemática, logo no EM. A partir daí, ampliar

também as aplicações dos fundamentos básicos da Trigonometria, como na

produção da representação algébrica trigonométrica para vetor.

Observamos que os livros didáticos de disciplinas de Matemática não

atendem completamente as necessidades dos cursos de Engenharia, com relação

a abordagem e aplicação do objeto matemático vetor. Destacamos esse ponto

baseados nos dados levantados nas partes teóricas e nos problemas propostos,

que demonstram, por sua vez, a baixa exploração das representações geométricas

e gráficas e, principalmente, a ausência da Trigonometria nas representações de

205

vetores e, como já mencionado, são elementos essenciais e de ampla utilização nas

engenharias.

Como sugestão, verificamos a necessidade de reforçar efetivamente a

exploração dos conceitos de Trigonometria, em disciplinas da Engenharia, como

Cálculo e GA, visando a convergência dos objetivos estabelecidos nos livros

didáticos da Matemática e nos livros didáticos das áreas técnicas, e a partir daí,

chegar a uma uniformização das representações de vetores, incluindo símbolos e

notações utilizadas, dando assim, maior proximidade entre as disciplinas de

Matemática e as disciplinas de Física e técnicas, que ao nosso ver, estão um pouco

distanciadas em suas finalidades.

Consideramos importante a abordagem de vetor que não fique somente no

contexto matemático, mas também, que possam ser levados em conta os aspectos

e necessidades relacionados aos pontos de vista de aplicações de outras ciências,

como a Física e a Engenharia.

Este trabalho explorou as representações de vetores, aplicadas em muitas

áreas da Engenharia, como Mecânica e Produção, no entanto, não tratamos da

representação matricial de vetor, que tem grande aplicação em áreas como a

Robótica e Automação e, portanto, pode ser investigada em novas pesquisas

relacionadas a esse tema, dentro do universo da Engenharia.

206

Referências Bibliográficas ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra Linear com aplicações. 10ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2012. BARDIN, L. Análise de Conteúdo. Tradução de Luís Antero Reto e Augusto Pinheiro. Lisboa, Portugal: Edições 70, 1977. BARROS, L. G. X. Uma Introdução Ingênua à Teoria dos Registros de Representações Semióticas. Revista Ceciliana, Ano 22, nº 32, p.33 – 41. Santos, 2011. BITTAR, M.O Ensino de Vetores e os Registros de Representação Semiótica. In: MACHADO, S.D.A. Aprendizagem em Matemática: Registros de Representação Semiótica. 8ª ed. Campinas: Papirus, 2011. p. 71-94.

BRASIL. Parâmetros Curriculares para o Ensino Médio (PCNEM): Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Ministério da Educação e Cultura

(MEC), 1998.

BRASIL, Ministério da Educação, (2015). Disponível em:

http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=21027:mi

nistro-planeja-exame-como-forma-de-avaliar-ensino-dio&catid=418&Itemid=86

Acesso em 13 de agosto de 2015.

BRASIL. Parâmetros Curriculares para o Ensino Médio (PCNEM): Ciências da natureza, matemática e suas tecnologias / Secretaria de Educação Básica.

Brasília : Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, 2006.

135 p. (Orientações curriculares para o ensino médio; volume 2). P.77

CAMARGO, Ivan de; BOULOS, Paulo. Geometria Analítica – um tratamento vetorial. 3ª ed. - São Paulo: Prentice Hall, 2005.

CASTRO, Samira Choukri de. Os vetores do plano e do espaço e os registros de representação. São Paulo: 2001. 111p. Dissertação de Mestrado em Educação

Matemática. PUC-SP.

207

DUVAL, R. Registros de representações semióticas e funcionamento cognitivo da compreensão em Matemática. In: MACHADO, S.D.A. Aprendizagem em Matemática: Registros de representação semiótica. 8ª ed. Campinas: Papirus, 2011. p. 11-33.

DUVAL, R. Ver e ensinar a Matemática de outra forma – Entrar no modo matemático de pensar: os registros de representações semióticas. São Paulo: Proem Editora, 2011. ISBN 978-85-87564-26-9. DUVAL, R. A Cognitive Analysis of Problems of Comprehension In a Learning of Mathematics. In: Educational Studies in Mathematics, New York, v. 61, p. 103-

131, 2006.

GIL, Antônio Carlos. Métodos e técnicas de pesquisa social. 6ª ed. - São Paulo:

Atlas, 2008.

HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física, volume 1: mecânica. 9ª ed. – Rio de Janeiro: GEN LTC, 2012.

HIBBELER, R.C. Estática: Mecânica para Engenharia. 12ª ed. – São Paulo:

Pearson Prentice Hall, 2011.

HIBBELER, R.C. Dinâmica: Mecânica para Engenharia. 12ª ed. – São Paulo:


HIBBELER, R.C. Resistência dos materiais. 7ª ed. – São Paulo: Pearson Prentice

Hall, 2010.

KATZ, Victor J. Historical Ideas in Teaching Linear Algebra. In: SWETZ, Frank;

FAUVEL, John; BEKKEN, Otto; JOHANSSON, Bengt; KATZ, Victor. Learn From the

Masters. The Mathematical Association of America. United States of America: 1995.

p.199-206.

208

KARRER, Monica. Articulação entre Álgebra Linear e Geometria. Um Estudo sobre as Transformações Lineares na Perspectiva dos Registros de Representação Semiótica. São Paulo: 2005. 435p. Tese de doutorado em

Educação Matemática. PUC-SP.

LIMA, Isolda G.; SAUER, Laurete Z.; SARTOR, Solange G. Oficinas de Matemática no projeto Engenheiro do Futuro: aproximando as escolas de Ensino Médio e as de Engenharia. In: CONGRESSO BRASILEIRO DE

EDUCAÇÃO EM ENGENHARIA, art.1931, 2011, Blumenau, Santa Catarina, 2011.

NASCIMENTO, Alessandra Zeman. Uma sequência de ensino para a construção de uma tabela trigonométrica. São Paulo: 2005. 228p. Dissertação de mestrado

profissional em Ensino de Matemática. PUC-SP.

PATRÍCIO, Rafael Silva. As dificuldades relacionadas à aprendizagem do conceito de vetor à luz da teoria dos registros de representação semiótica.

Belém: 2011. 103p. Dissertação de mestrado em Educação em Ciências e

Matemáticas. Universidade Federal do Pará – PA.

POYNTER, A. e TALL, D. What do mathematics and physics teachers think that students will find difficult? A challenge to accepted practices of teaching. Proceedings of the sixth British Congress of Mathematics Education held at the University of Warwick: 2005. pp. 128-135. SANTAELLA, L. O que é semiótica. São Paulo: Brasiliense, 2007. (Coleção Primeiros Passos; 103). STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear e Geometria Analítica

(PLT 195). 2ª ed. - São Paulo: Pearson Prentice Hall, 1987.

STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear. 2ª ed. - São Paulo:


209

STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. 2ª ed. - São

Paulo: Pearson Prentice Hall, 1987.

TIPLER, Paul A.; MOSCA, Gene. Física para cientistas e engenheiros, volume 1. 6ª ed. - Rio de Janeiro: GEN LTC, 2012.

WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. 2ª ed. - São Paulo: Pearson

Education do Brasil, 2014.

WATSON, A.; SPYROU, P.; TALL, D. The Relationship Between Physical Embodiment and Mathematical Symbolism: The Concept of Vector. The Mediterranean Journal of Mathematics Education, 1(2): 2003. p.73-97. http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/book_volume_02_internet.pdf. Acesso em

02/08/16.

http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/book_volume_02_internet.pdf

210

Anexos A – Plano de Ensino e Aprendizagem de Álgebra Linear – Anhanguera

211

B - Plano de Ensino e Aprendizagem de Álgebra Linear - Mackenzie

212

C - Plano de Ensino e Aprendizagem de Álgebra Linear - USP

213

D – Plano de Ensino e Aprendizagem de Geometria Analítica - USP

214

E – Plano de Ensino e Aprendizagem de Física – Anhanguera

215

F – Plano de Ensino e Aprendizagem de Física Geral I - USP

216

G – Plano de Ensino e Aprendizagem de Física – Mackenzie

217

H – Plano de Ensino e Aprendizagem de Física I – USP

218

I – Plano de Ensino e Aprendizagem de Física – Mackenzie

219

J - Plano de Ensino e Aprendizagem de Mecânica Aplicada – USP

220

K - Plano de Ensino e Aprendizagem de Estática – Mackenzie

221

L – Plano de Ensino e Aprendizagem de Estática – Anhanguera

222

M - Plano de Ensino e Aprendizagem de Mecânica Aplicada – Anhanguera

223

N – Plano de Ensino e Aprendizagem de Dinâmica – Mackenzie

224

O - Plano de Ensino e Aprendizagem de Mecânica Aplicada – USP

225

P - Plano de Ensino e Aprendizagem de Resistência dos Materiais – Anhanguera

226

Q – Plano de Ensino e Aprendizagem de Resistência dos Materiais – Mackenzie

227

R – Plano de Ensino e Aprendizagem de Resistência dos Materiais - USP

228

S – Endereços para acesso aos demais planos de ensino http://www.faap.br/pdf/faculdades/engenharia/portaria40/p40_eng_ppc_mc_2012_3615.pdf http://www.faap.br/pdf/faculdades/engenharia/portaria40/P40%20ENG%20PPC%20PRD%2020132%2030515.pdf http://www.fsa.br/images/graduacao/matriz/Eng-producao.pdf http://www.fsa.br/images/graduacao/matriz/Eng-mecanica.pdf http://engenhariamecanicafsa.weebly.com/uploads/2/9/2/6/2926549/projeto_pedag%C3%B3gico_-_2013.pdf http://maua.br/graduacao/engenharia-mecanica/disciplinas-noturno http://maua.br/graduacao/engenharia-producao/disciplinas-noturno http://www.faap.br/faculdades/engenharia/portaria40.asp http://www3.fsa.br/mecanica/conteudo.asp?cat=Grade%20Curricular http://www3.fsa.br/producao/conteudo.asp?cat=Grade%20Curricular http://maua.br/graduacao/engenharia-mecanica/disciplinas-noturno http://maua.br/graduacao/engenharia-producao/disciplinas-noturno http://www.pucsp.br/graduacao/engenharia-de-producao#matriz_curricular http://www.pucsp.br/graduacao/engenharia-mecanica#matriz_curricular http://portal.estacio.br/graduacao/engenharia-mec%C3%A2nica http://portal.estacio.br/graduacao/engenharia-de-produ%C3%A7%C3%A3o Engenhariax=UNIP http://www.engenhariax.com/2012/02/estatica-nas-estruturas.html http://www.engenhariax.com/2014/01/plano-de-ensino-calculo-com-geometria.html http://www.engenhariax.com/2013/08/plano-de-ensino-mecanica-da-particula.html http://www.engenhariax.com/2014/01/plano-de-ensino-cinematica-dos-solidos.html http://www.engenhariax.com/2011/08/plano-de-ensino-complementos-de-fisica.html http://www.engenhariax.com/2011/08/plano-de-ensino-dinamica-dos-solidos.html http://www.engenhariax.com/2012/02/resistencia-dos-materiais.html

http://www.faap.br/pdf/faculdades/engenharia/portaria40/p40_eng_ppc_mc_2012_3615.pdf

http://www.faap.br/pdf/faculdades/engenharia/portaria40/P40%20ENG%20PPC%20PRD%2020132%2030515.pdf

http://www.faap.br/pdf/faculdades/engenharia/portaria40/P40%20ENG%20PPC%20PRD%2020132%2030515.pdf

http://www.fsa.br/images/graduacao/matriz/Eng-producao.pdf

http://www.fsa.br/images/graduacao/matriz/Eng-mecanica.pdf

http://engenhariamecanicafsa.weebly.com/uploads/2/9/2/6/2926549/projeto_pedag%C3%B3gico_-_2013.pdf

http://engenhariamecanicafsa.weebly.com/uploads/2/9/2/6/2926549/projeto_pedag%C3%B3gico_-_2013.pdf

http://maua.br/graduacao/engenharia-mecanica/disciplinas-noturno

http://maua.br/graduacao/engenharia-producao/disciplinas-noturno

http://www.faap.br/faculdades/engenharia/portaria40.asp

http://www3.fsa.br/mecanica/conteudo.asp?cat=Grade%20Curricular

http://www3.fsa.br/producao/conteudo.asp?cat=Grade%20Curricular

http://maua.br/graduacao/engenharia-mecanica/disciplinas-noturno

http://maua.br/graduacao/engenharia-producao/disciplinas-noturno

http://www.pucsp.br/graduacao/engenharia-de-producao#matriz_curricular

http://www.pucsp.br/graduacao/engenharia-mecanica#matriz_curricular

http://portal.estacio.br/graduacao/engenharia-mec%C3%A2nica

http://portal.estacio.br/graduacao/engenharia-de-produ%C3%A7%C3%A3o

http://www.engenhariax.com/2012/02/estatica-nas-estruturas.html

http://www.engenhariax.com/2014/01/plano-de-ensino-calculo-com-geometria.html

http://www.engenhariax.com/2013/08/plano-de-ensino-mecanica-da-particula.html

http://www.engenhariax.com/2014/01/plano-de-ensino-cinematica-dos-solidos.html

http://www.engenhariax.com/2011/08/plano-de-ensino-complementos-de-fisica.html

http://www.engenhariax.com/2011/08/plano-de-ensino-dinamica-dos-solidos.html

http://www.engenhariax.com/2012/02/resistencia-dos-materiais.html

universidade anhanguera de são paulo unian · em livros de Álgebra linear e geometria analítica,...

Documents