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Sistemas Digitais
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
Sistemas Digitais – Subtítulo da Unidade 2
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
Introdução
As grandezas da natureza podem ser classificadas em dois grandes
grupos. O primeiro, o das grandezas discretas, concentra aquelas cuja
dimensão pode assumir um número finito de níveis ou valores diferentes.
Esse é o caso, por exemplo, do número de alunos dentro de uma classe, ou
o número de páginas de um livro. No segundo grupo, o das grandezas
contínuas, estão concentradas as grandezas cuja dimensão pode assumir
infinitos níveis ou valores diferentes. Como exemplo, cita-se a altura média
dos alunos de uma classe ou o peso de um livro.
Os computadores analógicos, que podem ser implementados a partir
de amplificadores operacionais, são especialmente indicados para o
processamento das grandezas contínuas. No entanto, apesar das vantagens
inerentes aos computadores analógicos, como maior velocidade e maior
simplicidade na implementação de funções complexas (somadores,
subtratores, multiplicadores, integradores e diferenciadores), esses
apresentaram problemas (como dificuldade de controle das margens de ruído
eletromagnético e não linearidades) que inviabilizaram sua utilização em
larga escala e restringiram seu uso quase que exclusivamente à área de
controle de sistemas.
Desta forma, o impulso para o desenvolvimento dos computadores
digitais, capazes de processar as grandezas discretas ou que podem assumir
um número finito de níveis, é resultado das dificuldades em implementar
computadores cujas variáveis ou operandos assumem infinitos valores
diferentes. Destacam-se nesse processo os computadores digitais
atualmente em uso em todo o mundo, em que o sistema de numeração
utilizado é o sistema binário.
Sistemas Digitais – Subtítulo da Unidade 3
Sistema binário O sistema de numeração mais difundido e mais utilizado pela
humanidade é o sistema decimal ou de base 10. A razão para tanto está no
fato do homem nascer com um computador sempre à mão, ou melhor, nos
10 dedos das mãos! Isso torna natural o ato de agrupar ou construir
conjuntos de 10 objetos.
Embora seja natural o ato de construir grupos de 10 coisas, registros
históricos mostram que importantes civilizações do passado se
desenvolveram usando sistemas de numeração de base diferente de 10, tais
como base 12 e base 60, caso das civilizações mesopotâmicas - sumérios,
babilônios e assírios. A matemática desses povos antigos influenciou
civilizações ocidentais, como é o caso da Grã-Bretanha e suas colônias que,
durante muito tempo, trabalharam com um sistema de numeração
de base 12.
Por esse motivo, o ano possui 12 meses, o dia tem 24 horas e uma
hora possui 60 minutos. Outro legado desses povos é a divisão da
circunferência em 360 graus (6 vezes 60). Atualmente, mesmo no Brasil, é
possível se comprar produtos em quantidades múltiplas de 12, ou em dúzias.
No sistema de numeração decimal os números são representados
como uma somatória de múltiplos de 10n, em que os algarismos 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8 e 9 são os multiplicadores. Os expoentes das potências 10n
correspondem às posições dos multiplicadores dentro do número, contadas
da direita para a esquerda, iniciando pela posição 0. Assim, considerando o
número 1987 como exemplo, sua decomposição pode ser feita da seguinte
maneira:
1987 = 1000 + 900 + 80 + 7 = 1.1000 + 9.100 + 8.10 + 7.1
1987 = 1 milhar + 9 centenas + 8 dezenas + 7 unidades
1987 = 1.103 + 9.10
2 + 8.10
1 + 7.10
0
Analogamente, para se estudar como é feita a representação de
números numa base 2 ou binário é razoável supor que os números sejam
representados como somatórias de múltiplos de 2n, e que os possíveis
algarismos multiplicadores sejam 0 e 1. Assim, para representar números na
base 2, devemos somar múltiplos de:
20 =1 2
1 = 2 2
2 = 4 2
3 = 8
24 =16 2
5 = 32 2
6 = 64 2
7 = 128
28 = 256 2
9 = 512 2
10=1024 2
11=2048
Sistemas Digitais – Subtítulo da Unidade 4
Vamos procurar, por exemplo, uma representação binária para número
27 que está representado na base 10. A maior potência de 2 que não excede
27, é 16. Assim:
27 = 16 + 11
Analogamente para o número 11 que ainda está representado como
uma potência de 10, tomamos o número 8, que é a maior potência de 2, que
não excede 11. Logo:
27 = 16 + (8 + 3) = 16 + 8 + 3
Finalmente, transformamos o número 3 numa soma de 2 e 1, que são
duas potências de 2:
27 = 16 + 8 + (2 + 1) = 16 + 8 + 2 + 1
27 = 1.16 + 1.8 + 0.4 + 1.2 + 1.1 = 1. 24 + 1. 2
3 + 0. 2
2 + 1. 2
1 + 1. 2
0
Tomando-se, novamente, apenas os algarismos multiplicadores da
representação binária temos:
2710 = 110112
Generalizando, num sistema genérico de base B, os números serão
representados como uma somatória de múltiplos de Bn e os possíveis
multiplicadores serão os algarismos de 0, 1, ..., (B-1). Os expoentes das
potências Bn correspondem às posições dos multiplicadores dentro do
número, contadas da direita para a esquerda, a partir da posição 0. Por
essa razão, o sistema de numeração é dito posicional.
Na tabela a seguir estão representados alguns dos mais importantes
sistemas de numeração:
Sistema Base Algarismos
Binário 2 0 e 1
Ternário 3 0, 1 e 2
Quaternário 4 0, 1, 2 e 3
Quintenário 5 0, 1, 2, 3 e 4
Octal 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7
Decimal 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9
Hexadecimal 16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e
F
Sistemas Digitais – Subtítulo da Unidade 5
Dos sistemas apresentados, aqueles que são de maior interesse para
este curso, são os de bases 2, 4, 8 e 16, respectivamente binário,
quaternário, octal e hexadecimal. No entanto, os sistemas ternário e
quintenário são de grande valia no estudo dos procedimentos utilizados na
mudança de bases.
Apresentando a representação do número 27 em diversas dessas
bases, tem-se:
2710 = 110112 = 10003 = 1234 = 1025
Convertendo-os novamente para a base 10, temos:
10003 = 1.33 + 0.3
2 + 0.3
1 + 0.3
0 = 1.27 + 0.9 + 0.3 + 0.1 = 2710
1234 = 1.42 + 2.4
1 + 3.4
0 = 1.16 + 2.4 + 3.1 = 16 + 8 + 3 = 2710
1025 = 1.52 + 0.5
1 + 2.5
0 = 1.25 + 0.5 + 2.1 = 25 + 2 = 2710
Como é possível se verificar pelos exemplos acima, quando houver
dúvida sobre que sistema de numeração está sendo utilizado num
determinado contexto, utilizam-se índices, iguais à base utilizada, à direita
das representações. As dúvidas que por ventura existirem durante a
utilização dos sistemas binário, octal e hexadecimal, podem ser eliminadas,
respectivamente pelas letras B, O e H, agregadas à direita das
representações numéricas, como segue:
100111112 = 10011111B
2378 = 237O
B80016 = B800H
Cada algarismo de uma representação numérica binária é denominado
de bit, que corresponde à abreviatura de binary digit. Existem ainda outras
denominações que aparecem frequentemente na área de computação, como:
byte = conjunto de 8 bits
nibble = conjunto de quatro bits ou meio byte
word = conjunto de 16 bits ou dois bytes
Sistemas Digitais – Subtítulo da Unidade 6
Procedimento prático para mudança de base
Este procedimento consiste em dividir o número representado na base
10 sucessivamente pela nova base em que se deseja representá-lo, até que
o quociente da divisão seja menor que a base em questão. Em seguida,
toma-se o último quociente e os restos das sucessivas divisões em ordem
inversa e obtém-se, assim, a representação do número na nova base.
Veja o número 6 cuja conversão para a base 2 foi mostrada:
6 2
0 3 2
1 1 Logo 610 = 1102
Executando o mesmo procedimento para o número 27 em várias
bases:
a) Na base 2
27 2
1 13 2
1 6 2
0 3 2
1 1 Logo 2710 = 110112
b) Na base 3
27 3
0 9 3
0 3 3
0 1 Logo 2710 = 10003
c) Na base 4
27 4
3 6 4
2 1 Logo 2710 = 1234
d) Na base 5
27 5
2 5 5
0 1 Logo 2710 = 1025
Como é possível verificar pelos exemplos acima, os valores obtidos
Sistemas Digitais – Subtítulo da Unidade 7
para as representações nas diversas bases são os mesmos já apresentados
anteriormente.
Conversão entre bases 2n
A conversão de números representados na base 2 para as bases 4, 8
e 16, e em sentido contrário, é muito simples de ser executada. O interesse
nessa conversão reside no fato de que os sistemas computacionais
frequentemente se utilizam da base 16 para representação de endereços
dentro de suas memórias.
Para se converter um número representado na base 2 para uma
base 2n, n 2, deve-se agrupar, da direita para a esquerda, os
bits da representação binária em grupos de n bits e substituir
cada grupo pela sua correspondente representação na base 2n.
Exemplo: Converter o número 100001112 para as bases 4, 8 e 16:
a) Para a base 4 = 22, n = 2:
100001112 = 10 00 01 11 = 2 0 1 3 = 20134
o valor correspondente na base 10, é:
20134 = 2.43 + 0.4
2 + 1.4
1 + 3.4
0 = 2.64 + 0.16 + 1.4 + 3.1
= 128 + 4 + 3 = 13510
b) Para a base 8 = 23, n = 3:
100001112 = 010 000 111 = 2 0 7 = 2078
o valor correspondente na base 10, é:
2078 = 2.82 + 0.8
1 + 7.8
0 = 2.64 + 0.8 + 7.1
= 128 + 7 = 13510
c) Para a base 8 = 24, n = 4:
100001112 = 1000 0111 = 8 7 = 8716
Sistemas Digitais – Subtítulo da Unidade 8
o valor correspondente na base 10, é:
8716 = 2.82 + 0.8
1 + 7.8
0 = 2.64 + 0.8 + 7.1
=128 + 7 = 13510
Para executar a conversão de um número representado numa
base 2n, n 2, para sua representação na base 2 devemos
substituir, da direita para a esquerda, cada um de seus
algarismos pela sua correspondente representação binária em
grupos de n bits.
Exemplo: Converter os número 324, 2378 e B80016 para a base 2:
a) 324 = 3 2 = 11 10 = 11102
b) 2378 = 2 3 7 = 010 011 111 = 100111112
c) B80016 = B 8 0 0 = 1011 1000 0000 0000 = 10111000000000002
Conversão de números fracionários
Para se estudar como é feita a conversão de números fracionários
para sua correspondente representação na base 2 vamos, primeiramente,
estudar sua representação na base 10. Consideremos o número 0,375 e
vamos efetuar sua decomposição da seguinte maneira:
0,375 = 0,3 + 0,07 + 0,005
0,375 = 3 . 0,1 + 7 . 0,01 + 5 . 0,001
0,375 = 3 décimos + 7 centésimos + 5 milésimos
0,375 = 3.10-1
+ 7.10-2
+ 5.10-3
No sistema decimal, os números são representados como uma
somatória de múltiplos de 10n, onde n < 0, e os multiplicadores os
algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Para o sistema binário, é razoável
supor que os números sejam representados como somatórias de múltiplos
de 2n, onde n < 0, e os possíveis algarismos multiplicadores sejam 0 e 1.
Assim, para representar números na base 2, devemos somar múltiplos de:
2-1 = 0,5 2-2 = 0,25 2-3 = 0,125
2-4 = 0,0625 2-5 = 0,03125 2-6 = 0,015625
Exemplos: Converter os número 0,375 e 0,1875 para a base 2.
Sistemas Digitais – Subtítulo da Unidade 9
a) 0,375 = 0,25 + 0,125
= 2-2
+ 2-3
= 0.2-1
+ 1.2-2
+ 1.2-3
= 0,0112
b) 0,1875 = 0,125 + 0,06125
= 2-3
+ 2-4
= 0.2-1
+ 0.2-2
+ 1.2-3
+ 1.2-4
= 0,00112
Procedimento prático
A conversão de um número fracionário para binário é obtida por meio
de sucessivas multiplicações desse número pela própria base 2. A parte
inteira do resultado da primeira multiplicação será o valor da primeira casa
fracionária e a parte fracionária deverá ser novamente multiplicada pela base,
e assim por diante, até que parte fracionária do produto seja igual a zero ou
até que seja obtido o número de casas decimais desejado.
Exemplos: Converter os número 0,375 e 0,1875 para a base 2.
a) 0,375 x 2 = 0,750
0,750 x 2 = 1,500
0,500 x 2 = 1,000 0,3752 = 0,0112
b) 0,1875 x 2 = 0,3750
0,3750 x 2 = 0,7500
0,7500 x 2 = 1,500
0,5000 x 2 = 1,000 0,18752 = 0,00112
Sistemas Digitais – Subtítulo da Unidade 10
PROBLEMAS PROPOSTOS
1) Converta os números do sistema decimal para o sistema binário:
a) 13 b) 94 c) 356 d) 39 e) 59 f) 128 g) 10,25
h) 25,125
2) Converta os números do sistema binário para o sistema decimal:
a) 11011 b) 101 c) 10001 d) 10111 e) 1001001 f) 101,1
g) 11111,111
3) Converta os números do sistema decimal para o sistema octal:
a) 94 b) 155 c) 150 d) 187
4) Converta os números do sistema binário para o sistema octal:
a) 1101 b) 10001 c) 101 d) 10111 e) 1001001 f) 1101100
g) 11100111
5) Converta os números do sistema octal para o sistema decimal:
a) 2376 b) 2403 c) 22632 d) 152 e) 1000 f) 13002
6) Converta os números do sistema octal para o sistema binário:
a) 56 b) 43 c) 2312 d) 1301 e) 4354 f) 2222
7) Converta os números do sistema decimal para o sistema
hexadecimal:
a) 33 b) 54 c) 801 d) 932 e) 1110 f) 2566
8) Converta os números do sistema hexadecimal para o sistema
decimal:
a) AAAA b) 1511 c) AB01 d) 1500 e) 120 f) 33
9) Converta os números do sistema binário para o sistema
hexadecimal:
a) 10110111 b) 10011100 c) 1011111111 d) 11101 e)
Sistemas Digitais – Subtítulo da Unidade 11
110011 f) 111101,01
10) Converta os números do sistema hexadecimal para o sistema
binário:
a) CD b) 649 c) A13 d) AA1A e) AB2 f) 23,4
Sistemas Digitais – Subtítulo da Unidade 12
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
1. TOCCI, Ronald J.; WIDMER, Neal S.; MOSS, Gregory L., Sistemas
Digitais: Princípios e Aplicações, Prentice Hall Brasil, 2007.
2. UYEMURA, John P., Sistemas Digitais: Uma Abordagem Integrada,
São Paulo, Thomson Pioneira, 2002.
3. VAHID, Frank; LASCHUK, Anatólio, Sistemas Digitais: projeto,
otimização e HDLs, Bookman, 2008.
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
1. ERCEGOVAC, Milos D.; LANG, Tomas e MORENO, Jaime H., Introdução
aos Sistemas Digitais, Porto Alegre, Bookman, 2000.
2. IDOETA, Ivan V.; CAPUANO, Francisco G., Elementos de eletrônica
digital. Livros Érica Editora. Ltda, 2002.
3. TAUB, Herbert; SCHILLING, Donald, Eletrônica Digital, São Paulo.
McGraw-Hill, 1982.