unidade ondulatória -...

UNIDADE

3 Ondulat—ria

Sabemos que um sistema é dinâmico quando há pelo menos uma grandeza

associada a ele que varia com o tempo ou com outras grandezas; qualquer fator

que provoca essas mudanças é denominado perturbação.

Assim, podemos dizer que o Universo é um sistema dinâmico cuja evolução

se dá segundo perturbações de várias naturezas. Um parafuso mal apertado que

se solta da roda de um veículo e que rola morro abaixo ou uma panela de água

que se aquece no fogo são exemplos de sistemas dinâmicos; e é fácil identificar

a perturbação que faz o sistema evoluir em cada caso.

Se a perturbação provocar alterações que não se afastem muito de um valor

ou uma situa ção intermediária, então temos uma oscilação; cada conjunto de

contração e expansão do coração, que bombeia o sangue, faz nossa pressão

arterial variar, ou oscilar, em torno de valores bem conhecidos.

Outra característica das oscilações é o caráter periódico de certas perturba-

ções, que levam sistemas a assumir as mesmas configurações a intervalos deter-

minados, criando oscilações periódicas ou ondas.

As oscilações informam muito sobre sistemas. De átomos a grandes estruturas, a

amplitude e frequên cia das vibrações e das ondas que produzem são valores típicos,

a ponto de ser possível identificar a presença de uma molécula no espaço distante

apenas analisando a luz que recebemos dela.

Nesta Unidade você vai conhecer muitos fenômenos que podem ser descri-

tos como ondas que se propagam apenas em meios materiais, como o som, e

as que se propagam inclusive na ausência de meios materiais, como a luz; em

meados do século passado, a Teoria das Supercordas estendeu essa discussão

a todos os componentes do Universo. De acordo com essa teoria, minúsculos

componentes da matéria em vibração

criariam os blocos fundamentais de

tudo o que existe.

Ondas circulares, formadas na superfície de um líquido, podem se superpor, gerando pontos de grande amplitude ou depressão. Após a superposição, cada onda segue a trajetória inicial, cada uma se comportando como se a outra não existisse. Essa é uma evidência de que ondas obedecem ao Princípio de Independência, isto é, uma onda se propaga independentemente de qualquer outra e, no máximo, pode interferir com outra no ponto em que se encontram no espaço.

Gustoim

aGes/sPL/

Latinstock

224

224a236_U3C14_FEM2_PNLD2018.indd 224 5/23/16 6:31 PM

Capítulo 14 Oscilações

Capítulo 15 Ondas

Capítulo 16 Ondas sonoras (Acústica)

A luz é capaz de contornar certos obstáculos ou fendas, e isso é uma evidência do seu caráter ondulatório. Essa propriedade é fundamental para a construção de franjas de interferência e difração da luz.Vemos nesta fotografia as franjas de interferência resultantes da incidência de radiação laser de hélio e neônio, de comprimento de onda 632,8 nanômetros, sobre uma chave.

te

d K

insm

an

/Ph

oto

Re

sea

rch

ers

/La

tin

sto

ck

Sinais recebidos ou emitidos por

telefones celulares também são ondas

eletromagnéticas, captadas e transmitidas

por antenas, em frequências determinadas.

No Brasil, as frequências de rádio

destinadas a telecomunicações vão de

700 MHz a 2,5 GHz (a partir de 2014) e são

gerenciadas pela Anatel.

th

ink

sto

ck/G

ett

y i

ma

ge

s

225


226 Unidade 3 • OndUlatória

CAPêTULO

A Mecânica estuda os mais diversos movimentos: os de trajetória retilínea

ou circular; aqueles com velocidade constante ou variável; os periódicos ou

não periódicos etc. Enfim, ela lida com movimentos que estamos acostuma-

dos a observar ao longo de nossas vidas.

Aqui, vamos estudar um outro tipo de movimento, que ocorre cotidia-

namente e que muitas vezes não nos damos conta: o movimento de um

balanço, da corda de um violão ou de uma agulha na máquina de costura.

As primeiras observações sistematizadas desses movimentos datam

de 1583. Quando ainda era um jovem estudante, Galileu observou as

oscilações de um candelabro dependurado na catedral de Pisa (Itália) e

chegou à conclusão de que o “tempo de vaivém” do candelabro era

constante, independentemente de qual fosse a amplitude (ângulo) das

oscilações. Essa constatação serviu para que Christian Huygens construís-

se os primeiros relógios de pêndulo, em 1657, na Holanda.

Qual é a característica comum a todos esses movimentos? Podemos

dizer, inicialmente, que todos são oscilações de um ponto material em

torno de uma posição de equilíbrio.

Essas oscilações apresentam período constante, isto é, o ponto material

assume as mesmas grandezas cinemáticas em intervalos de tempo fixos.

Já definimos período e frequência quando estudamos o movimento

circular uniforme. Agora, vamos retomar essas grandezas, no con texto do

movimento oscilatório:

• Período T: intervalo de tempo necessário para que aconteça uma os-

cilação completa;

• Frequência f: número de oscilações (n) completas por unidade de

tempo Δt, f = nΔt

.

Essas duas grandezas são inversamente proporcionais, porque o

período também pode ser calculado pela relação entre o tempo ne-

cessário para que ocorra um certo número de oscilações e o número

total delas:

T = Δtn

) f · T = 1 ou f = 1T

Como sabemos, a unidade do período no Sistema Internacional (SI) é

o segundo (s) e da frequência é o hertz (Hz), onde 1 Hz = 1 s–1.

As figuras ao lado mostram um pêndulo simples (figura 1) e uma lâmi-

na flexível presa na beirada de uma mesa (figura 2). Tanto a massa pendu-

lar como a extremidade da lâmina realizam um movimento em torno de

um ponto que chamamos de equilíbrio, alternando o sentido de movi-

mento nos extremos da trajetória.

É interessante pedir aos estudantes que declarem, com algum rigor, o que é comum a todos esses movimentos — devemos aceitar frases como “as ‘alturas’ assumem os mesmos valores a intervalos regulares” e rejeitar frases pouco precisas como “vai e vem sempre no mesmo tempo”. É necessário habituar os estudantes a elaborarem discursos claros e precisos, a partir de situações simples como essas.Peça também a eles que encontrem outros exemplos desse tipo de movimento (pêndulo de um relógio, membrana de um alto-falante, pistão trabalhando no interior do cilindro de um motor de carro etc.).

É importante solicitar aos estudantes que revejam o conteúdo sobre movimento circular ou mesmo programar alguns exercícios com essa finalidade.

14 Oscila•›es

TPG

O

l‰mina vibrante

A

O

B

,,

θ θ

Alb

ert

o D

e S

tefa

no

O movimento dos objetos das figuras 1 e 2 é oscilatório e periódico, mas não retilíneo. A sua trajetória é um arco de circunferência; no entanto, para pequenas oscilações, seu movimento pode ser considerado retilíneo.

Essas cenas mostram movimentos periódicos, em que uma mesma situação se repete a intervalos de tempo iguais.

Ed

uard

o S

an

talie

stra

Fern

an

do F

avo

rett

o/C

riar

Imag

em

Figura 2

Figura 1


Capítulo 14 • osCilações 227

Oscila•›esConsidere um pêndulo de comprimento ,. Em um local onde a aceleração da

gravidade é g, afaste o pêndulo da sua posição de equilíbrio de modo que o fio es-

ticado descreva um ângulo q com a vertical.

Ao ser abandonado, o pêndulo oscila em torno de uma posição de equilíbrio

que corresponde ao fio na vertical, num movimento periódico e simétrico em

torno da posição O de equilíbrio.

Desprezadas as forças dissipativas (atritos do fio com o ponto de fixação e re-

sistência do ar) e obedecendo ao princípio de conservação da energia mecânica, a

velocidade instantânea do pêndulo é máxima quando ele está passando pela po-

sição de equilíbrio O — sendo nula nos extremos da trajetória.

Em qualquer ponto da trajetória, o pêndulo fica sujeito a duas forças: a tração

aplicada pelo fio e a força peso. Essas forças se combinam produzindo uma compo-

nente centrípeta Fcp

e outra tangencial Ft, tais que:

Fcp

= T – P · cos q = m · v2

, e F

t = P · sen q

A força que leva o pêndulo sempre para a posição de equilíbrio recebe o

nome de força restauradora ou de restituição, cujo módulo é Ft = m ∙ g ∙ sen q.

Agora, supondo que q seja suficientemente pequeno para que se possa aproximar

sen q q = x,

, teremos:

Ft = m · g · sen q m · g · q = m · g · x

,

Observe a expressão Ft = m · g · x

,: para pequenos arcos de deslocamento x,

quase retilíneos, a força restauradora é do tipo k ∙ x (proporcional ao deslocamen-

to), com k = m · g,

e sentido oposto ao do movimento. É exatamente essa força

que garante o movimento oscilatório com período constante.

O arco percorrido entre o ponto de equilíbrio e uma das extremidades A ou B,

correspondente ao ângulo q formado entre a vertical e as direções dessas extremi-

dades, é chamado de amplitude do movimento.

O período T de oscilação do pêndulo simples é determinado pela mesma expressão

do movimento do pêndulo cônico, onde o corpo executa um movimento circular uni-

forme num plano horizontal; ou seja, para pequenas amplitudes (q , 10°) vale:

T = 2p ,

g, onde , é o comprimento do fio.

Observe que o período do pêndulo simples depende apenas do comprimento do

fio e da aceleração da gravidade do lugar, portanto não considera a massa pendular

em pequenas amplitudes.

A ressalva de que as amplitudes devem ser

pequenas (correspondentes a, no máximo, q , 10°) decorre do fato de que a fórmula para

T é uma aproximação, onde consideramos sen q , q. Seria

interessante perguntar aos estudantes se, observando

essa expressão, poderíamos prever o que ocorreria com o período do pêndulo se a

aceleração da gravidade aumentasse/diminuísse, ou

se o comprimento do fio fosse aumentado/diminuído.

Aumentando a aceleração da gravidade, o período do

pêndulo diminui, e vice-versa; alongando o comprimento

do fio, o período do pêndulo aumenta, e vice-versa.

,

m

Ox

T

P

θ

,

m

Ft

Fcp

O

v

θ

Enquanto o pêndulo se afasta de O, aproximando-se dos extremos, seu movimento é retardado; e ao

avizinhar-se de O, seu movimento é acelerado. Nos extremos da

trajetória, a desaceleração é máxima e o pêndulo tem velocidade nula. No ponto O, Ft é nula, enquanto v e Fcp

são máximas.

TPG


Unidade 3 • OndUlatória228

A FíSICA na História

O pêndulo de FoucaultEm 1851, o físico e astrônomo francês Jean Bernard Léon Foucault (1819-1868) demonstrou em pú-

blico que o movimento de rotação da Terra realizava-se em torno do seu próprio eixo.Esse movimento já era conhecido desde a época de Galileu, sendo ele determinante na ocorrência de

alguns fenômenos, como o fato do amanhecer acontecer em horários distintos em diferentes regiões, de-pendendo da sua posição ocupada sobre a superfície terrestre. No entanto, ninguém ainda havia efetuado a demonstração.

Tanto quanto os resultados, o experimento de Foucault impressionou pela simplicidade. Consistia tão somente em fazer oscilar um pêndulo, com 67 m de comprimento da corda e 28 kg de massa pendular, suspenso na cúpula do Pantheon, em Paris.

Exercício resolvido

ER1. Um relógio de pêndulo possui haste de compri-mento 9,0 cm. Considere que ele está situado num lo-cal onde a aceleração da gravidade é de 10 m/s2 e ad-mita p2 = 10.a) Quantas oscilações completas o pêndulo deve com-

pletar para que o mecanismo do relógio avance 1 minuto? Supondo que esse relógio fosse usado na Lua, onde a aceleração da gravidade corresponde a um sexto da gravidade terrestre, qual seria o núme-ro de oscilações completas realizadas no mesmo in-tervalo de tempo de 1 minuto?

b) Quantos segundos o relógio adiantará ou atrasará em 1 minuto, se a haste do pêndulo for substituída por outra de comprimento 25 cm?

Resolução:a) O período de oscilação do pêndulo é:

T = 2p ,

g = 2

, · p2

g = 2

0,09 · 1010

=

= 2√ 0,09 = 2 · 0,3 ) T = 0,6 s

Portanto, se uma oscilação decorre em 0,6 s, então

100 oscilações acontecerão em 60 s ou 1 minuto.

Se o relógio for colocado na Lua, seu novo pe ríodo

de oscilação será de:

T = 2p ,

g

6

= 2 6 · , · p2

g =

= √ 6 · 2 0,09 · 10

10 = √ 6 · 0,6 ) T > 1,5 s

Nesse caso, se uma oscilação realiza-se em 1,5 s,

então 40 oscilações demandarão 60 s ou 1 minuto;

em outras palavras, esse relógio marcará 1 minu-

to a cada 40 oscilações do pêndulo.

b) Sendo o comprimento da nova haste ,9 = 25 cm =

= 0,25 m, o novo período de oscilação do pêndulo

será de:

T9 = 2p ,9

g = 2 ,9 · p2

g = 2

0,25 · 1010

=

= 2√ 0,25 = 2 · 0,5 ) T9 = 1,0 s

Portanto, o relógio atrasará ΔT = T9 – T =

= 1,0 s – 0,6 s = 0,4 s por oscilação. Como o pêndulo

deve efetuar 100 oscilações para avançar 1 minuto,

teremos um atraso de 100 · 0,4 s = 40 s .

sen q , q?Podemos justificar a aproximação do valor do seno de um

arco suficientemente pequeno ao próprio valor do arco da seguinte maneira:

A figura ao lado representa um arco x em uma circun-ferência de raio ,; a medida do ângulo q correspondente,

em radianos, é q = x,

; por outro lado, sen q = y,

.

Observe: à medida que q diminui, x se aproxima de y; as-sim, podemos dizer que sen q se aproxima de q.

Tendo isso em mente, trace no mesmo sistema de eixos os gráficos de f(x) = sen x e g(x) = x, com x em radianos (como ao lado). Qual é o erro percentual cometido na aproximação de sen q , q para q = 10°?

, ,

x

y

θ

0

1

2

y

0,75π0,5π x0,25π0

Convertendo 10° em radianos,

10° = p

18 > 0,175; comparando

esse valor com sen 10º > 0,174, vemos um desvio de aproximadamente 0,6%, em relação ao valor do seno, quase imperceptível neste gráfico.

TPG


$"1∂56-0��t�04$*-"±ø&4 229

A grande comprovação da experiência de Foucault não foi tanto o

movimento oscilatório em si, mas sim a demonstração do giro simul-

tâneo aparente do plano vertical de oscilação, determinado pela dire-

ção das forças peso e tração no fio.

O giro era lento, cerca de 10° por hora no local da experiência, em

Paris. Na verdade, quando um pêndulo é posto para oscilar, esse plano

está em repouso em relação ao espaço absoluto ou o referencial iner-

cial, que segundo Newton estava fixado nas estrelas distantes. Isso sig-

nifica que não há como girar esse plano. Assim, o deslocamento angu-

lar do plano de oscilação do pêndulo se devia ao movimento do próprio

chão em relação ao espaço absoluto, isto é, o giro era da Terra!

Segundo o próprio Foucault, se o experimento fosse realizado nos

polos (latitude 90°), o plano vertical de oscilação daria uma volta comple-

ta (360°) em 24 horas, que é justamente o período de rotação da Terra.

No entanto, esse efeito varia de acordo com a posição geográfica

do experimento, tanto no valor do período como no sentido de rota-

ção. Como a Terra gira no sentido anti-horário, isto é, de oeste para

leste, veremos o plano de oscilação de um pêndulo disposto no hemis-

fério Norte se deslocar no sentido horário e no hemisfério Sul, no

sentido anti-horário.

Em um experimento realizado com o pêndulo de Foucault na cidade de São Paulo (latitude d = 23° 309 S), o

valor experimental do giro do plano de oscilação é de apenas 144° em 24 horas. Experimentos similares, rea-

lizados em diversos pontos do planeta, mostraram que o período de rotação do plano vertical vai aumentando

à medida que a latitude d vai diminuindo, de acordo com a expressão T = 24 h

sen d.

Essa expressão também justifica o fato observado de que, conforme nos aproximamos da linha do Equador

(latitude 0°), o período de rotação tende a infinito; ou seja, o pêndulo oscila, mas não gira.

De que maneira essa expressão justifica o valor experimental de 144° para São Paulo?

Oscila•›es em sistemas mola-part’culaOs osciladores harm™nicos constituem outra classe de objetos que se movem

de modo análogo aos pêndulos. Um oscilador harmônico consiste em uma partícula

de massa m presa a uma mola ideal, de constante elástica k.

Na figura apresentada a seguir, o conjunto movimenta-se, sem que haja atrito,

sobre um plano horizontal. Inicialmente a partícula ocupa a posição O de equilíbrio,

isto é, a mola está no seu estado natural.

k

m

Ooscilador harm™nico

Aplicando uma força externa F sobre a partícula, no sentido de esticar ou comprimir

a mola, e soltando-a em seguida, ela começa a executar oscilações de período T.

Supondo que não haja forças dissipativas, o valor x do deslocamento efetuado

pela partícula é a amplitude da oscilação. Na trajetória orientada, o ponto de equi-

líbrio O representa sua origem. Portanto, podemos ter x = +a, com a mola na po-

sição A de máxima distensão, ou x = – a com a mola na posição B de máxima

compressão.

Para a cidade de São Paulo,

T = 24 h

sen 23° 309 > 60 h; esse

valor representa o período de rotação do pêndulo nesse local.Se o movimento for uniforme, o plano vertical de oscilação do pêndulo descreve 360° em 60 h; ou seja, 144° em 24 h.

Pêndulo de Foucault, instalado no domo central do Pantheon em Paris, França. Fotografia de março de 2013.

Cla

ud

e T

hib

au

lt/A

lam

y/G

low

Im

ag

es

TPG


6/*%"%&��t�0/%6-"5ª3*"230

A força F resultante sobre o conjunto é, em qualquer instante, igual à força elás-

tica Fel

, cujo módulo é dado pela Lei de Hooke: Fel = –k · x, –a < x < a. O sinal

“menos” na expressão significa que a força elástica é restauradora; ou seja, está

sempre orientada para a posição O de equilíbrio.

Fel

x = –a

B x

k

mola esticada

mola comprimida

k F

A

x = +a

O

m

Fel

Fm

Note que na posição de equilíbrio (x = O) a força elástica é nula e, nos extremos A e B (x = uau), ela assume o valor máximo.

Como uFu = uFel

u, então F = Fel = m ∙ g (2a Lei de Newton) ) m ∙ g = – k ∙ x,

assim, g = – k · xm

, que é a aceleração escalar instantânea de uma partícula em osci-

lação, na posição x.

Sendo T o período da oscilação e começando-se a contar o tempo (t = 0) a

partir de B, as figuras seguintes representam as posições ocupadas pela partícu-

la a cada um quarto de período, até completá-lo. Nos pontos extremos a veloci-

dade é nula, pois a partícula está mudando de sentido, e na posição de equilíbrio

a velocidade é máxima.

Os movimentos de oscilação,

como os que executam os osci-

ladores harmônicos e os pêndu-

los, recebem o nome de movi-

mento harmônico simples

(MHS), que é caracterizado pela

presença de uma força de resti-

tuição cujo sentido de atuação

vai do local ocupado pelo objeto

sobre a trajetória para a posição

de equilíbrio; isto é, sempre ten-

dendo a levá-lo em oscilação até

o ponto O.

F é uma força externa que estica (figura de cima) ou comprime (figura de baixo) a mola.

Ilust

raçõ

es:

Lu

iz F

ern

an

do R

ub

io

Exerc’cio resolvido

ER2. Um corpo de massa 0,2 kg, preso a uma mola de

constante elástica 40 N/m, está oscilando sem que haja

amortecimento, com os extremos nos pontos A e B,

conforme a figura.

k

x

40 cm

AB

Sabendo que o corpo gasta 0,22 s para ir de A a B,

determine:

a) a amplitude desse movimento;

b) seu período e frequência;

c) o valor da força elástica que a mola exerce sobre o

corpo, quando estiver na posição x = –10 cm;

d) a aceleração escalar instantânea do corpo quando

estiver na posição x = +8 cm.

O

0 t = 0 ⇒ x = –a (v = 0)

t = T ⇒ x = –a (v = 0)

t = ⇒ x = 0 (v � 0)T

4

t = ⇒ x = +a (v = 0)T

2

t = ⇒ x = 0 (v � 0)3T

4

B

x = –ax

A

x = +a

v

v


$"1∂56-0��t�04$*-"±ø&4 231

Resolução:a) Se os pontos A e B são extremos, o ponto O, de

equilíbrio, está no ponto médio de AB; ou seja:

2a = 20 cm e a amplitude a do movimento vale

10 cm .

B

a

xO A

a

b) Se o corpo gasta 0,22 s para ir de A a B, também

despende o mesmo tempo para vir de B a A;

desse modo, o período T é 2 · 0,22 s = 0,44 s e a

frequência f é:

f = 1T

= 10,44

) f = 2,27 Hz

c) Usando a Lei de Hooke para deformações elásti-

cas, com x = –10 cm = –0,1 m:

Fel = – k · x ) F

el = –40 · (–0,1) ) Fel = 4 N

d) A aceleração para 8 cm = 0,08 m é dada por:

g = k · xm

= –40 · 0,080,2

\ g = –16 m/s2 .

Que interpretação devemos dar ao sinal da acelera-

ção? Quando o objeto estiver a x = 8 cm, deslocan-

do-se de A para O, o movimento será acelerado; se

estiver se movendo de O para A, será retardado. Nas

oscilações, a tendência da força elástica é sempre de

trazer o objeto para a posição de equilíbrio.

Energia mecânica em osciladores harmônicos

A energia mecânica total de um sistema mola-partícula é a soma das suas energias

cinética Ec e potencial E

pel; ou seja: E = E

c + E

pel, em que E

c = mv2

2 é a energia cinética

da partícula em movimento e Epel

= k · x2

2 é energia potencial elástica relacionada à

posição ocupada por ela.

A figura ao lado ilustra uma partícula de massa m presa

a uma mola de constante elástica k, realizando oscilações

de amplitude a, entre os extremos A e B. O ponto C é um

ponto qualquer da trajetória.

Quando a partícula estiver nos pontos extremos A ou B, x = ± a e v = 0, então:

Ec = 0

Epel

= k · x2

2 =

k(± a)2

2 = k · a2

2

A

+ a x– a 0

B

Assim, E = 0 + k · a2

2 ) E = k · a2

2

Observe que a energia mecânica total cedida ao sistema depende apenas das

características da mola e da amplitude.

No ponto O de equilíbrio, x = 0 e v = ± vmáx

:

Ec =

m · v2

2 =

m(± vmáx

)2

2 =

m · v2

máx

2

Epel

= 0 x0

vmáx

� 0 vmáx

� 0

Por essa expressão, podemos ver que, quanto maior for a energia total do sistema,

maior será a velocidade máxima no ponto de equilíbrio.

Então, E = m · v2

máx

2 + 0 ) E =

m · v2

máx

2

Em um ponto C qualquer:

Ec = m · v2

2

Epel

= k · x2

2

x

0

v � 0

x

Cv � 0

k B C A

–ax

0 +a

m

Ilust

raçõ

es:

Lu

iz F

ern

an

do R

ub

io

Pode ser interessante refazer o balanço de energia do pêndulo simples como mote para recordar o assunto energia mecânica.


6/*%"%&��t�0/%6-"5ª3*"232

Assim, E = m · v2

2 + k · x2

2 é a expressão geral da energia me-

cânica total do sistema.

Observe o diagrama das energias do oscilador harmônico em

função da elongação x, em que E = Ec + E

Pel.

Descri•‹o das grandezas do MHSJá sabemos que o movimento é relativizado pelo ponto de

referência. Diferentes observadores podem discordar sobre a forma da trajetória ou mesmo sobre a existência de movimen-to de um mesmo objeto.

Um ponto situado na periferia de uma roda-gigante pode ser visto executando tanto um MCU como um MHS, depen-dendo apenas da posição ocupada pelo observador.

Consideremos, então, um passageiro sentado na roda-gi-gante em movimento e dois observadores, 1 e 2, conforme pode ser visto na ilustração.

O observador 1, posicionado em um ponto fora do plano da roda-gigante, vê o passageiro P executando um MCU de raio R; enquanto o observador 2, situado no mesmo plano do apare-lho, enxerga P executando não uma circunferência, mas sim um movimento de subida e descida, com velocidade máxima no ponto médio da trajetó-ria, que mede 2R. O que o observador 2 vê é um MHS de amplitude a = R, projetado em um eixo contido no plano da roda-gigante e que passa pelo seu centro.

Exercício resolvido

ER3. A figura ilustra um objeto de massa m = 0,5 kg

oscilando em MHS em torno da posição O.

k

O x–20 cm +20 cm

Desprezando as forças dissipativas e sendo k = 200 N/m

a constante elástica da mola, determine:

a) a energia mecânica total do sistema;

b) a velocidade do objeto, ao passar pela posição de

equilíbrio;

c) a velocidade do objeto, no instante em que ele passa

pela posição x = +10 cm.

Resolução:a) Pela figura, a amplitude do MHS vale:

a = 20 cm = 0,2 m.

A energia mecânica total, quando o objeto estiver

posicionado nos extremos, é expressa por:

E = k · a2

2 = 200 · (0,2)2

2 ) E = 4 J

b) A energia mecânica total do sistema, quando o

objeto estiver passando pelo ponto O de equilí-

brio, é expressa por E = m · v2

máx

2;

logo, 4 = 0,5 · v2

máx

2 \ vmáx = 4 m/s .

Lembre-se de que o sinal “mais” significa que o

objeto está se movendo no sentido da orientação

do eixo x e o sinal “menos”, no sentido contrário.

c) Pela expressão geral da energia mecânica total do

sistema, temos:

E = m · v2

2 +

k · x2

2, em que x = 10 cm = 0,1 m;

logo, 4 = 0,5 · v2

2 +

200 · (0,1)2

2 ) v2 = 12 )

) v = 3,46 m/s .

movimento

observador 1:

vê P em MCU

observador 2:

vê P em MHS

P

R

Pau

lo C

ésa

r Pere

ira

energia

E

Epel

EC

–a O +a

Energia cinética

Energia potencial elástica

Energia mecânica total

E2

elonga•‹o

Pode-se imaginar também que, se o Sol estiver no zênite no instante em que o passageiro executa o MCU, a sua sombra no solo estará executando o MHS correspondente.

Ilust

raçõ

es:

Lu

iz F

ern

an

do R

ub

io


$"1∂56-0��t�04$*-"±ø&4 233

Então, se quisermos obter um movimento harmônico simples a partir de um

movimento circular uniforme, devemos projetar as posições do objeto na trajetória

circular em uma reta que passe pelo seu centro.

Considere a figura abaixo, em que, para efeito de simplificação e sem perda de

generalidade, uma partícula realiza um MCU em sentido anti-horário sobre uma

circunferência trigonométrica.

MCU

eixo dos

cossenos

eixo dos

cossenosMHS

MCU

MHS

Enquanto uma partícula efetua um MCU de raio R, sua projeção ortogonal sobre um eixo horizontal que passa no centro da circunferência executa, simultaneamente, um MHS.

eixo dos

cossenos

eixo dos

cossenosMCU

MHS

MCU

MHS

Observe que, em determinado instante t, estando a partí-

cula situada num ponto P da trajetória circular, as projeções

ortogonais dos vetores raio R, velocidade vc e aceleração cen-

trípeta acp

do MCU correspondem respectivamente, nesse

mesmo momento, ao vetor posição x , velocidade v e acelera-

ção g da partícula projetada, que efetua um MHS no eixo dos

cossenos (que coincide com o eixo horizontal).

Assim, quando a partícula em MCU estiver passando nos

pontos A ou B, as projeções horizontais de R e de acp

coincidirão

com seus próprios vetores componentes (portanto, segundo seu

tamanho efetivo) e a projeção do vetor vc será um ponto.

Daí, podemos concluir que os pontos A e B, onde x = ±a,

correspondem aos extremos do MHS e neles:

• avelocidadeénula:v=0,poisvc é projetado como um ponto;

• aaceleraçãoémáxima:gmáx

= acp

, pois acp

é projetado segundo sua verdadeira

grandeza;

• aposiçãoémáxima:xmáx

= R = a, pois R é projetado segundo sua verdadeira grandeza.

Agora, quando a partícula, em MCU, estiver passando pelos pontos C ou D, o

vetor vc é que estará projetado em verdadeira grandeza, enquanto os vetores R e a

cp

terão projeções pontuais. Portanto, quando x = 0, temos a posição de equilíbrio do

MHS e nesse ponto:

• aposiçãoénula(oudeequilíbrio):x=0,poisR é projetado como um ponto;

• aaceleraçãoénula:g = 0, pois acp

é projetado como um ponto;

• avelocidadeémáxima:v=vmáx

= vc, pois v

c é projetado em verdadeira grandeza.

Per’odo de oscila•‹o do sistema massa-molaJá sabemos que, do mesmo modo que no caso do pêndulo simples, o período

do MHS não depende da amplitude a; mas então que variáveis determinam o

período de oscilação de um sistema massa-mola?

Ilust

raçõ

es:

TPG

x

eixo doscossenos (x)

C

D

B A

acp

γ

v

P

O

R

vc


6/*%"%&��t�0/%6-"5ª3*"234

Há duas maneiras de expressar a aceleração escalar instantânea do MHS:

g = – k · xm

e g = –w2 · x

Igualando e , obtemos k · xm

= w2 · x ) w = km

, que é a expressão da

pulsação do movimento em função das variáveis do sistema massa-mola.

Se lembrarmos que w = 2pT

obteremos o período em função das mesmas variá-

veis: w = 2pT

= km

\ T = 2p mk

.

Exerc’cios resolvidos

ER4. Na extremidade livre de uma mola helicoidal, de constante elástica k = 400 N/m e compri-mento natural ,

0 = 20 cm, é pendurado um corpo de massa m = 2,0 kg, que fica em equilíbrio

na posição 0 do eixo vertical x, fixo, conforme ilustra a figura. Então, uma força vertical para baixo, de intensidade 32 N, é aplicada no corpo, esticando-se a mola e soltando-o imediata-mente, iniciando des sa maneira um MHS vertical. Adote g = 10 m/s2.

a) Qual é o comprimento da mola quando o conjunto está em equilíbrio?

b) Quanto vale a amplitude do MHS executado?

Associação de molasÀs vezes, um corpo pode executar um MHS associado a duas ou mais molas. Sendo k

1 e k

2 as constantes

elásticas de duas molas, podemos associá-las em série ou em paralelo.

• Associaçãoemsérie:

m m

k1

ke

k2

m

ke

m

k1 k2

Nessa associação, a deformação total x é a soma das deformações individuais de cada mola, x1 e x

2. A

força que age no objeto, devido à presença das molas, pode ser entendida como exercida por um conjunto que realiza a força F = k

e · x, chamado de mola equivalente. Demonstra-se que a mola equivalente, nesse caso,

tem constante elástica ke expressa por 1

ke

= 1k

1

+ 1k

2

.

• Associaçãoemparalelo:

k1 kek2

mm

k1

ke

k2

m

m

A característica dessa associação é que todas as molas experimentam a mesma deformação x = x1 = x

2, inde-

pendentemente de quais sejam suas constantes elásticas. A força que age no objeto, devido à atuação do conjun-to, é F = k

e · x = F

1 + F

2. Demonstra-se que a mola equivalente, nesse caso, tem constante elástica k

e = k

1 + k

2.

Qualquer que seja o tipo de associação, o período de oscilação do MHS é dado por T = 2p mk

e

.

x

0

x

Ilust

raçõ

es: Lu

iz F

ern

and

o R

ub

io


$"1∂56-0��t�04$*-"±ø&4 235

Resolução:Completando a figura dada, temos:a) Olhando a figura, va-

mos encontrar o valor de x

0 que somado a ,

0

nos dará o compri-mento total pedido. Com o corpo em equi-líbrio: F

el = P. Assim:

k · x0 = m · g ) 400 · x

0 = 2,0 · 10

\ x0 = 0,05 m ou 5 cm

Portanto, o comprimento total da mola nessas con-

dições é de L = x0 + ,

0 = 5 cm + 20 cmx = 25 cm.

b) O valor da amplitude a do MHS é igual à deforma-

ção xa da mola devida à aplicação da força

F = 32 N; assim:

F = k · xa ) x

a = F

k = 32

400 ) x

a = 0,08 m ou 8 cm

\ a = xa = 8 cm

ER5. Determine o período de oscilação horizontal de

um corpo, de massa 200 g, preso a uma mola de

constante elástica 80 N/m, cujo MHS tem amplitude de 20 cm. Caso a amplitude se reduza à metade, o que ocorrerá com o período?

Resolução:Aplicando a expressão para o período de oscilação no

sistema mola-partícula:

T = 2p mk

= 2p 0,280

= 2p 1

400 =

2p20

T = p

10 s

Mesmo que a amplitude se altere, nada ocorrerá com o período, pois este não depende daquela.

ER6. Ainda sobre o problema anterior, se desejar-mos fazer o objeto de 200 g oscilar na vertical, com mesmo período, de que comprimento deverá ser o fio? Adote: g = 10 m/s².

Resolução:

Se T = p

10 = 2p ,

g , então, com g = 10 m/s2,

decorre 1

20 = ,

10 ) , = 0,025 m ou 2,5 cm .

F

Fel

P

x

0

,0

x0

xm

Outras palavrasNÃO escreva

NO livrO

FaÇa NO caderNO

Queda livre pelo centro da Terra

O diácono inglês Charles Dodgson (1832-1898) tinha interesses diversos, como a lógica matemática e a fotografia. Mas foi com o pseudônimo de Lewis Carroll que ficou conhecido como o celebrado autor de Alice no país das maravilhas e Alice através do espelho.

As aventuras de Alice começam quando ela resolve seguir um coelho que havia entrado em um buraco sob uma árvore, e acaba caindo nesse buraco, em uma longa queda. A esse respeito, escreveu Martin Gardner (1914- -2010), escritor e crítico literário norte-americano:

Na época de Carroll havia considerável especulação popular quanto ao que aconteceria se alguém caísse num buraco que passasse exatamente pelo centro da Terra. Plutarco havia formulado a pergunta e muitos pensadores famosos, entre os quais Francis Bacon e Voltaire, haviam-na discutido. Galileu (Dialogo dei massini sistemi, giorna-ta seconda, editado em Florença em 1842, vol. 1, p. 251-2) deu a resposta correta: o objeto cairia com velocidade crescente mas com aceleração decrescente até atingir o centro da Terra, ponto em que sua aceleração seria zero. A partir daí teria sua velocidade reduzida, com aceleração crescente, até alcançar a abertura no outro extremo. Em seguida cairia de volta. Ignorando-se a resistência do ar e a força de Coriolis que resulta da rotação da Terra (a menos que o buraco vá de polo a polo), o objeto iria oscilar de um lado para o outro eternamente. A resistência do ar, é claro, acabaria por pô-lo em repouso...

Carroll, Lewis. Alice. Edição comentada. Tradução Maria Luiza X. de A. Borges. Rio de Janeiro: Jorge Zahar, 2002.

Organizando as ideias do texto1. Pensando na queda, antes de chegar ao centro:

a) por que motivo a velocidade é crescente?

b) por que motivo a aceleração é decrescente?

2. Podemos dizer que esse movimento é uma oscilação harmônica? Justifique sua resposta.

3. Lewis Carroll interessava-se por todo tipo de jogos, enigmas, charadas e jogos de palavras. Ele chegou a propor um sistema de movimentação de trens impulsionado unicamente pelo campo gravitacional: unir duas cidades distantes por meio de um túnel em linha reta.

a) Faça um desenho da situação, observando as suas condições e a curvatura da superfície terrestre. Explique: por que esse sistema deveria dar certo? Quais variáveis estamos desconsiderando?

b) Explique por que o sistema não deve funcionar. Professor, veja Orientações Didáticas.

Luiz

Fern

an

do

Ru

bio


6/*%"%&��t�0/%6-"5ª3*"236

EP1. O pêndulo de alguns relógios de parede é chama-

do de “pêndulo que bate segundos”, pois o seu perío-

do é de 1 segundo. Qual deve ser o comprimento da

haste do pêndulo, em um local onde a aceleração da

gravidade vale 10 m/s2? Considere p2 = 10. 25 cm

EP2. A oscilação de um pêndulo também permite que

determinemos a aceleração da gravidade em alguma

localidade. Se um pêndulo, cujo período de oscilação

na Terra é de 3,0 s, for levado a um hipotético “Planeta

dos Macacos”, ele passa a balançar com período de 2,0 s.

Sendo de 10 m/s2 a aceleração da gravidade da Terra,

qual seria o valor da aceleração da gravidade no “Pla-

neta dos Macacos”? 22,5 m/s2

EP3. Considere as seguintes afirmações:

i. Se um relógio de pêndulo for levado à Lua, ele cer-

tamente irá atrasar.

ii. Um pêndulo simples oscilará com maior frequência

se aumentarmos sua massa pendular.

iii. O período de um pêndulo simples será de p segun-

dos se a razão entre o valor da aceleração da gravi-

dade e o comprimento do fio, medidos no mesmo

sistema de unidades, for igual a quatro.

Qual ou quais alternativas estão corretas?

a) Somente I e III. X d) Somente a III.

b) Somente a I. e) Somente I e II.

c) Somente a II.

EP4. Um relógio de pêndulo possui um sistema de en-

grenagens que o faz avançar 1 minuto, quando com-

pletadas 30 oscilações. Certa ocasião, o relógio, devido

à dilatação de sua haste, atrasou 3,6 minutos em

24 horas. Nesse dia, o período de oscilação do pêndulo

deveria estar valendo:

a) 2,150 s. c) 2,005 s. e) 1,995 s.

b) 2,015 s. d) 2,000 s.

EP5. Um corpo de 0,4 kg está preso a uma mola de

constante elástica 10 N/m e executa um MHS, confor-

me a figura. Sabe-se que ele gasta 0,63 s para ir do

ponto M ao ponto N, os dois extremos do movimento.

Assim, determine:

k

40 cm

x

NM

m

a) seu período; 1,26 s

b) a intensidade da força elástica que atua sobre o

corpo, quando ele estiver passando pela posição

x = +10 cm. 1,0 N

EP6. O diagrama ao lado mostra como varia a energia cinética de um objeto de massa m = 1,0 kg, preso a uma mola de constante elás-tica k e executando um mo-vimento harmônico simples sobre uma mesa horizontal que não apresenta atrito. Considerando √̀3 = 1,73, de-termine o valor da constante elástica k da mola.

EP7. Um sistema constituído por uma mola ideal, de constante elástica 250 N/m, e um corpo de massa 1,0 kg está oscilando em MHS numa mesa horizontal, livre de atrito, com uma amplitude de 20 cm.

a) Em que posição ou posições se encontra o corpo quando sua energia cinética vale 4,8 J? x = ± 4 cm

b) Qual é o valor da energia cinética do corpo, no ins-tante em que a aceleração escalar do corpo é de –25 m/s2? E

c = 3,75 J

EP8. Em um oscilador harmônico, um corpo de massa 2,0 kg é colocado para oscilar com uma amplitude de 10 cm, sendo a constante elástica da mola de 100 N/m. Portanto, a energia mecânica total e a energia cinética do corpo na posição x = 5,0 cm valem, respectivamente:

a) 0,5 J e 0,375 J. X d) 0,375 J e 0,125 J

b) 0,5 J e 0,125 J. e) 0,375 J e 0.

c) 0,5 J e 0.

EP9. Um corpo de massa igual a 0,2 kg, preso a uma mola de constante elástica 50 N/m, executa na hori-zontal um movimento harmônico simples. Para resolver o exercício, despreze o atrito existente entre oscilador e superfície e considere p2 = 10.

a) Qual é o período de oscilação do corpo? T = 0,4 s

b) Qual teria que ser a nova massa m9 do corpo, para poder dobrar o período encontrado anteriormente, sem efetuar a troca da mola? m9 = 0,8 kg

EP10. A figura mostra um objeto de 5 kg acoplado a duas molas, cujas constantes elásticas valem k

1 = 50 N/m e

k2 = 30 N/m, respectivamente. O sistema está em equilíbrio.

k1 k2

m

a) Represente em um desenho, no caderno, as forças que atuam sobre o objeto, quando ele é deslocado de sua posição de equilíbrio. Responda qual é o tipo de associação (as molas estão em série ou em parale-lo?) e calcule a constante elástica da mola equivalen-te ao sistema.

As molas estão associadas em paralelo, com k

e = 80 N/m.

b) Qual é a força necessária para deslocar o corpo de 10 cm para a direita? 8,0 N

E (J)8

x (m)–0,2 0 +0,2

X

400 N/m

Exerc’cios propostos NÃO escreva NO livrO

FaÇa NO caderNO

Ilust

raçõ

es:

Lu

iz F

ern

an

do R

ub

io


CAPÍTULO

237Capítulo 15 • ondas

15

Nas competições esportivas, a ola é um espetáculo à parte,

protagonizado pela torcida. Obedecendo a um sinal, os torce-

dores situados sobre um segmento transversal à arquibancada

se levantam e movem os braços para cima, sendo seguidos pe-

los torcedores à esquerda ou à direita. Como se o segmento

transversal caminhasse em um sentido determinado sobre a ar-

quibancada, o sinal avança e o resultado é parecido a uma gran-

de onda que varre o estádio de um lado a outro.

Visto de longe, a impressão é de que a massa humana se

move toda para um lado das arquibancadas, mas sabemos que

isso não é verdade: cada torcedor se move na direção vertical, e

apenas quando recebe o “sinal”. Cada integrante da torcida res-

ponde à perturbação e, por assim dizer, “oscila” em torno de

sua posição de equilíbrio, de modo que o que se desloca na ar-

quibancada não são os torcedores, mas o sinal ou perturbação.

Ondas estão sempre presentes em nossas vidas. Existem ondas

que podemos ouvir ou ver, mas também existem aquelas que não

são visíveis e nem audíveis. Quando você está assistindo a um pro-

grama na TV, ouve-se o som por causa da propagação da onda

sonora e vê-se a imagem na tela por causa da propagação da onda

luminosa. O sinal que traz o som e a imagem até o seu aparelho é

também uma onda, que você já conhece e é denominada eletro-

magnética; assim são todos os sinais de transmissão, inclusive do

controle remoto da TV, da estação de rádio AM/FM, do telefone

celular, do forno de micro-ondas etc. Além disso, ondas têm larga

aplicação na Medicina para diagnosticar fraturas, tumores ou ma-

les, em aparelhos de raios X, de ultrassom, de ressonância etc.

Como podemos perceber, existem ondas dos mais variados

tipos quanto à origem e à natureza, mas como no caso da ola no

estádio, todas elas possuem um fenômeno comum: propagam

apenas energia e não transportam matéria. Um exemplo: se você

jogar uma pedra na superfície da água de um lago, formam-se

círculos concêntricos que se propagam. A perturbação se propa-

ga transportando energia; se houver um corpo boiando na su-

perfície, ele apenas executa um movimento de sobe e desce na

vertical e não se desloca com a onda. O mesmo ocorre quando

movimentamos para cima e para baixo a extremidade de uma

corda esticada: enquanto a perturbação passa, cada ponto da

corda oscila, mas volta ao estado inicial de equilíbrio.

Ao fazer um rápido movimento oscilatório (MHS) vertical em

uma das extremidades de uma corda esticada horizontalmente

ou perturbar a superfície da água de um lago deixando cair uma

pedra, estaremos dando origem a ondas.

Ondas

A ressonância magnética é a técnica pela qual ondas eletromagnéticas constroem mapas bi ou tridimensionais de praticamente todo tipo de tecido.

A ola é uma coreografia coletiva, muito usada por torcidas em jogos esportivos.

Bo

ng

art

s/G

ett

y Im

ag

es

Jam

es

Ste

idl/

Th

inkst

ock

/Gett

y Im

ag

es

A perturbação que causou esse trem de ondas concêntricas foi produzida no centro comum dessas ondas.

Th

inkst

ock

/Gett

yIm

ag

es



Na corda e na superfície da água, a onda (ou perturbação)

propaga-se de maneira contínua, ponto por ponto. Cada ponto

adquire, momentaneamente, energias cinética e potencial, movi-

mentando-se para cima e para baixo, voltando à sua posição de

equilíbrio após a passagem da onda. Portanto:

Onda é toda perturbação que se propaga em um meio. Na pro-

pagação apenas a energia é transportada, não havendo transporte

de matéria.

As figuras a seguir mostram a sequência da formação e propagação de uma

onda. Na corda esticada, nota-se que o movimento oscilatório para cima e para

baixo (MHS) foi executado na extremidade 0. Cada ponto subsequente da corda

executa, posteriormente, o mesmo MHS.

De modo análogo, quando a ponta de uma haste toca periodicamente a super-

fície livre da água em repouso, ondas circulares propagam-se concentricamente em

relação ao ponto 0 tocado. Estas, vistas de perfil, em um dos sentidos de propaga-

ção, têm movimentos oscilatórios semelhantes aos executados na corda. Observe a

figura abaixo: colocando-se uma pequena boia na posição 3 da superfície da água,

a cada passagem da onda, ela executa, nessa mesma posição, o MHS vertical da

haste, não ocorrendo o seu transporte. Do mesmo modo, qualquer ponto ao longo

da corda não se deslocaria lateralmente, mas iria apenas movimentar-se vertical-

mente em MHS. Onda não transporta matéria, apenas energia.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1

0 1

0 1

10

2

2 3 4

2 3

haste

Propagação de uma onda em uma corda.

Alb

ert

o D

e S

tefa

no

Fern

an

do M

on

teir

o

Propagação de uma onda na superfície da água.

Natureza das ondas

As ondas podem ter natureza mecânica ou eletromagnética.

• Ondas mecânicas: resultam de deformações provocadas em meios materiais

elásticos, transportando apenas energia mecânica. Por isso, as ondas mecânicas

não se propagam no vácuo, mas apenas na matéria.

A menina sacode a corda, uma vez para cima e depois para baixo; essa deformação caminha para a direita, em direção à árvore.

Alb

ert

o D

e S

tefa

no


Capítulo 15 • ondas 239

Exemplos de ondas mecânicas: ondas em cordas, ondas na superfí-

cie de um líquido, ondas sonoras etc. Veremos as ondas sonoras em

detalhes no próximo capítulo.

• Ondas eletromagnéticas: resultam de vibrações de cargas elétricas,

transportando energia em “pacotes” que chamamos fótons ou quan-

ta de energia. Sendo apenas energia, as ondas eletromagnéticas pro-

pagam-se no vácuo e em alguns meios materiais. Exemplos de ondas

eletromagnéticas: ondas luminosas (luz), ondas de rádio ou TV, micro-

-ondas, raios X ou g, raios cósmicos etc.

Tipos e classifica•›es das ondasVocê viu que, no caso da ola realizada em jogos esportivos, as pessoas se

movem na vertical e a ola se propaga na horizontal: trata-se de um movimento

oscilatório perpendicular à direção de propagação. Massas humanas também

podem se mover na mesma direção da propagação da perturbação, como no

caso de um empurra-empurra em grandes aglomerações.

Antenas parabólicas para recepção de ondas eletromagnéticas. As leis que regem a geometria das antenas e a recepção desses sinais são as mesmas da óptica geométrica.

TPG

/AG

B P

ho

to L

ibra

ry

A ola é uma onda transversal.

Alb

ert

o D

e S

tefa

no

As ondas podem ser do tipo transversal ou longitudinal, dependendo da direção

do movimento vibratório das partículas relativamente à sua direção de propagação.

• Ondastransversais:aquelasemqueadireçãodomovimentovibratórioéperpen-

dicular à de propagação. Exemplo: ondas propagando-se em uma corda.

• Ondaslongitudinais:aquelasemqueadireçãodomovimentovibratóriocoincide

com a de propagação. Exemplo: ondas sonoras propagando-se no ar.

As ondas na superfície da água possuem movimentos vibratórios transversais e lon-

gitudinais simultâneos, de modo que as partículas descrevem, durante a passagem da

onda, trajetórias aproximadamente circulares.

v

Figura B

vibração

propagação

Na figura A, vemos a representação de uma onda

transversal e, na figura B, a de uma onda longitudinal, ambas propagando-se em uma mola

helicoidal.

v

Figura A

vibra•‹o

propagação

vibração

As ondas também podem ser classificadas quanto ao número de dimensões da

propagação de energia em:

• ondas unidimensionais—a energia propaga-se linearmente, comona corda,

que é um meio unidimensional;

• ondasbidimensionais—aenergiapropaga-sesuperficialmente,comonasuper-

fície da água, que é um meio bidimensional;

• ondastridimensionais—aenergiapropaga-senoespaço,queéummeiotridi-

mensional, como as ondas sonoras e as ondas luminosas (eletromagnéticas).

Ilust

raçõ

es:

Luiz

Fern

and

o R

ubio


6/*%"%&��t�0/%6-"5ª3*"240

Velocidade e comprimento de onda (l)

Executando continuamente um MHS vertical, de pequena amplitude a, na ex-

tremidade de uma corda esticada na horizontal, ou tocando com uma haste a

superfície livre da água em repouso, produzimos uma sequência de ondas periódi-

cas ou trem de ondas, que se propaga com velocidade v constante. As figuras se-

guintes representam as configurações das ondas periódicas num instante t, após

iniciado o movimento.

Ondas periódicas em uma corda.

Ale

x A

rgo

zin

o

av

a

MHS

v

Ondas periódicas na superfície da água.

Alb

ert

o D

e S

tefa

no

Conhecendo a configuração de um trem de ondas qualquer (geralmente de for-

ma senoidal), conforme a figura a seguir, chamamos crista da onda o ponto mais

alto da corda ou da água, e vale da onda o ponto mais baixo. Nessas condições,

define-se comprimento de onda (l) como a distância entre duas cristas ou dois

vales consecutivos, na direção de propagação. A distância entre uma crista e um vale

consecutivos na direção de propagação é igual à metade de um comprimento de

onda 1l2 2, e a distância entre uma crista ou um vale e a posição de equilíbrio é igual

a um quarto do comprimento de onda 1l4 2.

λ

λ

crista da onda vale da onda

λ

4

λ

4

λ

2

λ

2

Lembrando que cada ponto do meio material realiza, após certo tempo,

o MHS original, dizemos que dois pontos estão em concordância de fase se

ambos executarem simultaneamente o mesmo MHS, isto é, se tiverem a mes-

ma elongação, a mesma velocidade e a mesma aceleração. Pontos em opo-

sição de fase apresentam, no mesmo instante, elongações opostas. Nessas

condições, podemos definir comprimento de onda como a distância entre

dois pontos em concordância de fase na direção de propagação. Dessa ma-

neira, duas cristas ou dois vales estão sempre em concordância de fase, e

uma crista e um vale, sempre em oposição de fase. Assim:

Comprimento de onda (l): corresponde à menor distância entre dois pontos da

onda em concordância de fase, na direção de propagação.

λ

λ

Existem ondas que não têm forma cossenoidal (ou senoidal). São as ondas dentes de serra ou ondas quadradas, que também podem ser periódicas.

TPG

TPG


$"1∂56-0��t�0/%"4 241

O ponto O da figura ao lado é a fonte que começa a executar um MHS no instante t = 0. O ponto A só será atingido pela perturbação no instante em que a fonte acabar de completar um ciclo. Como o tempo necessário para que isso aconteça é chamado de período (T), só após t = T é que o ponto A entrará em concordância de fase com o ponto O. Daí, conclui-se que, para a onda se deslocar de um comprimento de onda l, necessita de um intervalo de tempo T.

Pela definição da velocidade média: vm = DsDt

.

Sendo vm = v, Ds = l e Dt = T, tem-se v =

l

T.

Sabendo que o período é o inverso da frequência, T = 1f

, obtemos a

equação fundamental das ondas:

v = l · f

Essa expressão da velocidade de propagação das ondas é válida tanto

para ondas mecânicas como para ondas eletromagnéticas. Ocorrendo

propagação no vácuo (ou no ar), a velocidade é sempre v = c = 3 ∙ 108 m/s;

em outros meios materiais, tem valores menores característicos.

Além disso, num dado meio homogêneo, a velocidade de propagação das ondas

é constante e independe:

• daamplitudedaonda—aamplitudeestá relacionada comaquantidadede

energia transportada pela onda; amplitudes pequenas ou grandes indicam ape-

nas que a energia transportada pela onda é menor ou maior e o seu tamanho é

determinado pela fonte, que é o agente causador do movimento oscilatório;

• dafrequência,quetambémédeterminadapelafonte.Aequaçãofundamental

das ondas diz que frequência e comprimento de onda são inversamente propor-

cionais, ou seja, para uma dada velocidade de propagação, se uma dessas gran-

dezas aumenta, a outra diminui, e vice-versa.

Exercícios resolvidos

ER1. Uma onda tem frequência de 8 Hz e propaga-se

com velocidade de 200 m/s. Qual é o seu comprimento

de onda?

Resolução:Pela equação fundamental das ondas:

v = l · f ) l = vf

= 2008

\ l = 25 m

ER2. A figura representa, num certo instante, o perfil

de uma corda por onde está se propagando, da esquer-

da para a direita, uma onda.

y (cm)

x (cm)

v

6020

+10

–10

040

Na propagação da onda, cada um dos pontos da cor-

da executa um movimento harmônico simples de am-

plitude 10 cm. Em x = 20 cm, o mínimo intervalo de

tempo gasto pelo ponto para ir da posição –10 cm

(vale) até o ponto +10 cm (crista) é de 0,4 s. Nessas

condições, calcule:

a) a frequência da onda;

b) a velocidade de propagação da onda.

Resolução:Na figura dada, marcando-se os pontos C

1 e C

2, eles re-

presentam duas cristas consecutivas, portanto, concluí-

mos que o comprimento de onda vale: l = 40 cm.

Pelos dados apresentados, o ponto X, em x = 20 cm,

demora o tempo mínimo de Dt = 0,4 s para se deslo-

car na direção y, de –10 cm (vale da onda) até

+10 cm (crista da onda), ou seja, o tempo gasto para

executar meio MHS, portanto, meio período.

Assim, Dt = 0,4 s = T2

\ T = 0,8 s.

a) Dessa forma, como a frequência é o inverso do

período, temos: f = 1T

= 10,8

) f = 1,25 Hz

b) Pela equação fundamental das ondas:

v = l ∙ f = 40 ∙ 1,25 \ v = 50 cm/s

TPG

TPG

v


6/*%"%&��t�0/%6-"5ª3*"242

ER3. Pela extremidade A de uma corda longa, tensa e horizontal, uma fonte começa a executar um movimento harmônico simples vertical, e 0,7 s depois, a mesma se apresenta com a configuração AB da figura.

x

z

B

y

A

a) Qual é a frequência do movimento da onda que se propaga para a direita?

b) Se a distância entre uma crista e um vale adjacen-tes é de 20 cm, qual é a velocidade de propaga-ção da onda?

c) No instante considerado na figura, os pontos x, z e y possuem velocidades na direção vertical, pois cada um deles está executando um MHS. Represente através de vetores, para cada ponto, se a velocidade vertical é nula, se tem sentido para cima, ou se tem sentido para baixo.

Resolução:A primeira figura representa a corda esticada, no

instante t1 = 0, sem perturbação. A outra figura, o

quanto está perturbada, no instante t2 = 0,7 s. Por-

tanto, Dt = t2 – t

1 = 0,7 s. Também desta figura, pode-

mos concluir que a distância AB é o quanto a onda

se propagou em 0,7 s, ou seja: Ds = 3,5 l.

BA

BA

λ λ λλ

2

x

z

yv

t1 = 0

t2 = 0,7 s

a) Para se determinar a frequência do movimento,

vamos usar a definição de velocidade e a equação

fundamental das ondas:

v = Ds

Dt e v = l · f =

Ds

Dt ) l · f = 3,5 l

0,7 ) f = 5 Hz

b) A distância de 20 cm = 0,2 m entre uma crista e

um vale adjacentes corresponde a meio compri-

mento de onda. Portanto: l

2 = 0,2 ) l = 0,4 m e

como v = l · f , temos:

v = 0,4 · 5 \ v = 2,0 m/s

c) Como o sentido de propagação da onda é da es-querda para a direita, e sabendo que todo ponto posterior da corda repete o mesmo movimento do ponto anterior, podemos concluir que:

O ponto x está descendo, portanto o vetor veloci-dade é para baixo: x #

O ponto z está na crista da onda, tendo portanto velocidade nula.

O ponto y está subindo, portanto o vetor velocida-de é para cima: y

#

ER4. A figura representa dois instantâneos do perfil de uma corda por onde está se propagando uma onda pe-riódica, da esquerda para a direita. O traço cheio cor-responde ao instante t

1 = 3,0 s e o pontilhado ao ins-

tante t2 = 4,0 s. Determine:

y (cm)

x (cm)70605040302010

+10

–10

0

v

a) a velocidade de propagação da onda e a sua amplitude;

b) o seu período.

Resolução:De acordo com a figura, a onda, no intervalo de tem-po Dt = t

2 – t

1 = 4,0 s – 3,0 s = 1,0 s, percorre

Ds = 40 cm – 30 cm = 10 cm.a) Pela definição de velocidade escalar média temos:

v = DsDt

= 101,0

\ v = 10 cm/s

A amplitude da onda é a amplitude do MHS exe-cutado por qualquer ponto da corda na direção do eixo y; pela figura, a = 10 cm.

b) O comprimento de onda é a distância entre duas

cristas sucessivas: na figura, l = 70 – 30 ) l = 40 cm. Da equação fundamental das ondas:

v = l

T ) T =

l

v =

4010

\ T = 4 s

Fun•‹o de ondaUma função de onda, da perturbação que se propaga

em um meio, tem duas variáveis. Nesse estudo, as variáveis

são: x (posição) e t (tempo). A figura ao lado representa a

configuração de uma onda periódica propagando-se em

um meio com velocidade v, ao longo do eixo das abscissas

x, e F é a fonte que executa um MHS de amplitude a, no

eixo das ordenadas y. x

x

P (x, y)

y

+a

F

y

0

–a

v

Ilust

raçõ

es:

TPG


$"1∂56-0��t�0/%"4 243


ER5. A função de uma onda é dada por:

y = 10 · cos 2p 12t – x

52, em que y e x são medidos em

centímetros e t em segundos.

Determine:a) a amplitude da onda;

b) o período da onda;

c) o comprimento de onda;

d) a velocidade de propagação da onda.

Resolução:Comparando-se a expressão numérica dada com a expressão genérica, tem-se:

y = 10 · cos 2p 12t – x5

2 y = a · cos 2p 1 t

T – x

l 2

Portanto:

a) a = 10 cm

b) 1T

= 2 ) T = 0,5 s

c) 1l

= 15

) l = 5 cm

d) v = lT

= 50,5

) v = 10 cm/s

ER6. Uma onda propaga-se em um meio, de acordo com a função:

y = 0,4 · cos 14p

5 t –

p

2 x2, no SI.

Calcule:

a) a frequência da onda;

b) o comprimento de onda;

c) a velocidade da onda.

Resolução:

Inicialmente, deve-se colocar a expressão dada na

forma conhecida, usando-se do artifício indicado:

y = 0,4 · cos 14p5

t – p2

· x2

y = 0,4 · cos 2p2p

14p5

t – p2

· x2

y = 0,4 · cos 2p 1 4p2p · 5

t – p2p · 2

· x2 y = 0,4 · cos 2p 1 2

5 t – 1

4 · x2

Comparando com y = a · cos 2p 1 tT

– xl 2,

resulta: a = 0,4 m

1T

= 25

) T = 2,5 s

1l

= 14

) l = 4 m

a) f = 1T

= 12,5

) f = 0,4 Hz

b) l = 4 m

c) v = lf = 4 ∙ 0,4 ) v = 1,6 m/s

Considerando que a fonte F obedece, no eixo y, à função horária y = a ∙ cos (wt + j0)

e que o ponto P executa o mesmo MHS da fonte, mas com atraso de um intervalo de

tempo Dt = xv

em relação a ela, pode-se escrever a sua função horária da seguinte forma:

y = a ∙ cos [w (t – Dt) + j0].

Como w = 2pT

e Dt = xv

,

y = a · cos 32pT

1t – xv 2 + j

04 = a · cos 32p 1 tT

– x

T · v2 + j04

Sendo v = lT

) l = T · v, vem:

y = a · cos 32p 1 tT

– xl 2 + j

04, que é a função da onda.

Particularizando, no caso de j0 = 0, tem-se:

y = a · cos 32p 1 tT

– xl 24

Qual a vantagem de escrever a função de onda? É uma expressão que fornece a configuração da onda, num instante tdado—aquidevemosentenderaelongaçãodequalquerpontodomeiomaterialondeaondasepropaga—,ouoMHSdeum

ponto, numa posição x dada.


6/*%"%&��t�0/%6-"5ª3*"244

Fenômenos ondulatóriosOs fenômenos ondulatórios mais comuns são:

• Reflexão—ocorrequandoumaondaincidesobreumobstáculoeretornaao

meio original de propagação. A onda refletida mantém todas as características

da onda incidente.

• Refração—ocorrequandoumaondapassadeummeioparaoutro,comvariação

na sua velocidade de propagação. A onda refratada mantém apenas a frequência

da onda incidente.

• Difração—ocorrequandoumaondaconseguecontornarumobstáculoou

abertura.

• Polarização—ocorrequandoumaonda transversal, vibrandoemváriasdire-

ções, passa a fazê-lo em apenas uma.

• Interferência—ocorrequandoduasondasseencontramesesuperpõem.

A ocorrência desses fenômenos depende de a onda ser transversal ou longitudi-

nal ou de em quantas dimensões a energia se propaga (unidimensional, bidimensio-

nal ou tridimensional).

Ondas unidimensionais

Fórmula de TaylorPara iniciar o estudo dos fenômenos ondulatórios que ocorrem em meios

unidimensionais, devemos saber que existe uma expressão conhecida como

Fórmula de Taylor, que calcula a velocidade de propagação da onda em uma

corda tensionada.

Tome uma corda esticada e faça uma única oscilação: você verá um

pulso se propagando, com certa velocidade. Provocando a mesma pertur-

bação em vários tipos de corda, você verá que a velocidade obtida vai

variar. Verifica-se experimentalmente que a velocidade de propagação (v)

depende da intensidade da força (T) que a traciona e da densidade linear (m),

conforme a Fórmula de Taylor: v = Tm

A densidade linear é a relação entre a massa (m)

e o comprimento (,) da corda, ou seja: m = m,

A unidade de densidade linear no SI é o kg/m; é

uma grandeza que indica como a massa se distribui

ao longo do comprimento do meio.

Relação: 1 kg/m = 10 g/cm.

Principais fenômenos ondulatórios

com ondas unidimensionais

Reflexão

Um pulso que se propaga ao longo de uma corda

com velocidade v, ao atingir uma extremidade, sofre

reflexão, retornando ao meio inicial de propagação.

A reflexão pode ocorrer com ou sem inversão de fase, dependendo de a extre-

midade da corda estar fixa a um obstáculo ou se pode se mover ao longo de um

segmento de reta.

Tv

pulso

,

T

Luiz

Fern

an

do R

ub

io

Saiba mais sobre densidade

Obtemos a densidade de um corpo (ou substância)

fazendo-se o quociente entre a sua massa e a dimen-

são em que ele se apresenta. Como já vimos na dila-

tação, uma dimensão pode ser classificada em linear,

caracterizada pelo comprimento (,), superficial (área A)

ou volumétrica (volume V). Portanto, quanto à dimen-

são, podemos ter três tipos de densidade:

• Densidadelinear(m): m = m,

.

Unidades: g/cm ou kg/m

• Densidadesuperficial(s): s = mA

.

Unidades: g/cm2 ou kg/m2

• Densidadevolumétrica(d): d = mV

.

Unidades: g/cm3 ou kg/m3


$"1∂56-0��t�0/%"4 245

Caso a extremidade esteja fixa (figura 1), o pulso incidente sofrerá inversão de fase, de acordo com o Princípio da Ação e Reação. Se a extremidade é livre (figura 2), não haverá inversão de fase. É importante observar que o pulso refletido (com ou sem inversão) possui a mesma velocidade v do pulso incidente (em valor absoluto). A reflexão ocorre em ondas longitudinais e também em ondas transversais.

v

v

v

v

v

v

v

v

Figura 1—Cordacomextremidadefixa

(pulso refletido com inversão de fase).Figura 2—Cordacomextremidadelivre

(pulso refletido sem inversão de fase).

Refra•‹o

A refração ocorre quando um pulso passa de uma corda para outra, associada em série, desde que esta tenha densidade linear diferente daquela. A refração, nes-se caso, é sempre acompanhada de reflexão no ponto de junção das cordas. O pulso que se refrata não sofre inversão de fase, mas no pulso refletido pode ou não haver inversão de fase, dependendo das densidades lineares das duas cordas.

Caso a primeira corda tenha menor densidade linear que a segunda, o

pulso refletido terá fase invertida, pois o incidente encontrará uma corda

mais densa, que se comportará como uma extremidade fixa (figura 3).

Se a ordem das cordas for trocada, o pulso refletido não sofrerá inver-

são de fase, pois o incidente encontrará uma corda menos densa, que se

comportará como uma extremidade livre (figura 4).

Como já foi visto, o pulso incidente e o refletido têm, em valor absolu-

to, a mesma velocidade v; mas o pulso refratado, apesar de continuar com

a mesma frequência do incidente, terá modificada a sua velocidade (v ),

pois, de acordo com a fórmula de Taylor, a velocidade depende da densi-

dade linear.

Pulso incidente: v = Tm

6 m é a densidade linear da corda do pulso incidente.

Pulso refratado: v = T

m 6 m é a densidade linear da corda do pulso refratado.

Aplicando a equação fundamental das ondas, tem-se:

v = l · f ) f = vl

e v = l · f ) f = vl

Como na refração a frequência da onda incidente é igual à da refratada,

f = f ,

vl

= vl

) vv

= ll

A refração ocorre em ondas longitudinais e também em ondas trans-

versais.

Ilust

raçõ

es: TP

G

v' . v

corda menos densa(µ')

corda mais densa(µ)

pulsorefratado

pulso refletidosem inversão de fase

pulsoincidente

Refração

v

v

Figura 4—Refraçãoereflexão

sem inversão de fase.

corda mais densa(µ')

corda menos densa(µ)

pulsoincidente

pulsorefratado

pulso refletidocom inversão de fase

v

refração

v', v

v

Figura 3—Refração(sem

inversão de fase) e reflexão (com inversão de fase).


6/*%"%&��t�0/%6-"5ª3*"246

Polarização

Uma onda natural (ou não polarizada) é aquela

que possui várias direções transversais de vibra-

ção, relativamente à direção da propagação. Pola-

rizar essa onda é fazê-la vibrar em apenas uma

direção por meio de um polarizador. A corda da

figura está vibrando transversalmente em vários

planos, mas, ao atravessar uma abertura conve-

niente da placa rígida (polarizador), a corda passa

a vibrar apenas num plano.

A polarização é exclusiva das ondas transver-

sais, não ocorrendo esse fenô meno com as ondas

longitudinais.

Interferência

A interferência é um processo que obedece a dois princípios da Ondulatória:

o Princípio da Superposição e o Princípio da Independência das Ondas.

Dois pulsos, propagando-se numa mesma corda, em sentidos opostos,

encontram -se em um determinado instante, produzindo a interferência. Durante

o encontro, de acordo com cada ponto da corda, tem-se uma elongação resultan-

te igual à soma algébrica das elongações dos pulsos componentes: este é o Prin-

cípio da Superposição. Após o encontro, cada pulso continua a se propagar como

se nada tivesse ocorrido: este é o Princípio da Independência das Ondas. Na figura 5,

tem-se a superposição de dois pulsos em concordância de fase, ocasionando no

instante do encontro uma interferência construtiva; na figura 6, tem-se a superpo-

sição de dois pulsos em oposição de fase, ocorrendo uma interferência destrutiva.

onda polarizada

onda não polarizada

propagação

polarizador

propagação

vibraçãovibração

Luiz

Fern

an

do R

ub

io

Note que:

• a=a1 + a

2, em que a é a amplitude do pulso resultante;

• a1 é a amplitude do pulso que se propaga para a direita;

• a2 é a amplitude do pulso que se propaga para a esquerda.

Caso ua1u = ua

2u, na interferência construtiva a amplitude resultante será o dobro

da amplitude de um dos pulsos, e na interferência destrutiva a amplitude resultante

será nula.

a1

a1

a2

a2

0a

0

a

a1

a2

0

a1

a2

a2

a1

Figura 5—Interferênciaconstrutiva:emcadapontodomeiomaterial,aelongaçãoresultanteéasomadaselongaçõesindividuais. A energia se conserva nas ondas individuais: basta perceber que, após a interferência, o perfil de cada uma continua inalterado.

0

a1

a2

a1

a2

a0

a

a1

a2

a1

a2

0

a1

a2

Figura 6—Interferênciadestrutiva:emcadapontodomeiomaterial,aelongaçãoresultanteéadiferençaentreaselongaçõesindividuais. A energia também se conserva nas ondas individuais.

TPG


$"1∂56-0��t�0/%"4 247

Ondas estacion‡riasAs ondas estacionárias originam-se em uma corda ou tubo sonoro, como resul-

tado da combinação de dois fenômenos: reflexão e interferência.

A onda estacionária ocorre devido à superposição de duas ondas idênticas pro-

pagando-se em sentidos opostos numa mesma corda.

Para criar ondas estacionárias em uma corda,

podemos usar um vibrador cuja haste, presa à cor-

da, executa um MHS de frequência f e amplitude a.

As ondas perió dicas, que se propagam ao longo da

corda, incidem sobre a sua extremidade B fixa (ou

livre) e refletem-se. As superposições das ondas in-

cidentes com as refletidas possibilitam a formação

de ondas estacionárias, que se caracterizam por

terem pontos de vibração com amplitudes máxi-

mas intercalados por pontos sem vibração, ou seja,

de amplitude nula. Veja as figuras ao lado.

Os pontos de amplitude máxima são chamados de ventres (V ) e os de amplitude

nula, de nós (N).

No ventre, ocorre uma interferência construtiva de uma onda incidente com uma

refletida, dando uma amplitude máxima da onda estacionária, cujo valor é amáx

= 2a;

e, no nó, ocorre uma interferência destrutiva, dando a amplitude nula, isto é, pontos

que não executam MHS.

Os nós não permitem a transferência de energia, que fica confinada no ventre, cujos

pontos executam MHS de mesma frequência da fonte, mas de amplitudes variáveis (má-

ximo de 2a). Portanto, a onda estacionária não transporta energia ao longo da corda.

Dada a configuração de uma onda estacionária (figura 3), definem-se as se-

guintes medidas:

• adistânciaentredoisventresoudoisnósconsecutivosvalel2

;

• adistânciaentreumventreeumnóconsecutivovalel4

.

Figura 3

2a

0

–2a

λ

4

λ

4

λ

2

λ

2

λ

O comprimento da onda estacionária é igual ao comprimento de onda das ondas

que sofrem superposição.

Ilust

raçõ

es:

Lu

iz F

ern

ad

o R

ub

io

TPG

vibrador

B a

haste

vibrador

sentido das

ondas incidentes

sentido das

ondas refletidas

VVV V

B

NNNN

2a = amáx.

Figura 1

Figura 2

ER7. Tem-se uma corda de massa 400 g e de compri-

mento 5 m. Sabendo-se que está tracionada de 288 N,

determine:

a) a velocidade de propagação de um pulso nessas

condições;

b) a intensidade da força de tração nessa corda, para que

um pulso se propague com velocidade de 15 m/s.

Resolução:a) A densidade linear da corda vale:

m = m,

= 0,45

) m = 8 · 10–2 kg/m

Aplicando-se a Fórmula de Taylor:

v = Tm

= 2888 · 10–2

\ v = 60 m/s



6/*%"%&��t�0/%6-"5ª3*"248

b) Para v = 15 m/s, podemos aplicar novamente a

Fórmula de Taylor:

v = Tm

) 15 = T8 · 10–2

) 152 =

T8 · 10–2

2

)

) 225 = T8 · 10–2

\ T = 18 N

ER8. A figura representa um trem de ondas periódicas

propagando-se com velocidade de 10 m/s, em uma cor-

da AC, de densidade linear 2 ∙ 10–1 kg/m. Essa corda

está associada a uma outra, CB, na qual a velocidade

de propagação do trem de ondas passa a ser de 20 m/s.

1 m

A C B

Calcule:

a) a intensidade da força que traciona a associação de

cordas;

b) a densidade linear da corda CB;

c) a frequência da onda;

d) o comprimento de onda na corda CB.

Resolução:

corda AC 5 v1 = 10 m/s

m1 = 2 · 10–1 kg/m

corda CB ! v2 = 20 m/s

λ = 1 m A C B

v1 = 10 m/s v

2 = 20 m/s

a) A associação está tracionada pela força T.

Pela Fórmula de Taylor:

v1 = T

m1

) 10 = T2 · 10–1

\ T = 20 N

b) Na corda CB:

v2 = T

m2

) v2

2 = T

m2

)

) m2 =

Tv

22

= 20

(20)2 =

120

\ m2 = 5 · 10–2 kg/m

c) Pela equação fundamental das ondas:

v1 = l

1 · f ) f =

v1

l1

= 101

\ f = 10 Hz

Observação: a frequência calculada através da

corda AC permanece constante para a onda refra-

tada.

d) Na corda CB:

v2 = l

2 · f ) l

2 =

v2

f = 20

10 \ l

2 = 2 m

ER9. Uma corda vibra no estado estacionário, represen-

tado na figura, com frequência de 20 Hz.

50 cm

Determine:

a) o comprimento de onda;

b) a velocidade de propagação.

Resolução:a) A figura fornece a distância entre dois nós conse-

cutivos 1 l2 2:

l2

= 50 cm = 0,5 m ) l = 1 m

b) Pela equação fundamental das ondas:

v = l · f ) v = 1 · 20 \ v = 20 m/s

ER10. (FEI-SP) Uma corda, de massa m = 240 g e de

comprimento , = 1,2 m, vibra com frequência de

150 Hz, no estado estacionário esquematizado.

Determine a velocidade de propagação da onda e a força

tensora na corda.

, = 1,20 m

Resolução:

Dados: m = 240 g = 0,24 kg; , = 1,2 m; f = 150 Hz

, = 1,20 m

λ

2

λ

2

λ

2

Como a distância que separa dois nós consecutivos

vale l2

, tem-se: 3 · l2

= 1,20 ) l = 0,8 m

Então, v = l · f ) v = 0,8 · 150 \ v = 120 m/s

A força tensora é calculada usando-se a Fórmula de

Taylor:

v = Tm

em que m = m,

= 0,241,20

) m = 0,2 kg/m

120 = T0,2

) 14 400 = T0,2

\ T = 2 880 N

Ilust

raçõ

es:

TPG


$"1∂56-0��t�0/%"4 249

Ondas bidimensionais

Frente de onda — Princípio de Huygens

Para o estudo dos fenômenos ondulatórios em ondas bidimensionais, é conve-

niente trabalhar com o conceito de frente de onda.

Quando a superfície livre de um líquido

é perturbada, formam-se ondas planas que

se propagam, afastando-se da fonte per-

turbadora, com velocidade v. Denomina-se

frente de onda, num determinado instante,

o conjunto de todos os pontos mais distan-

tes da fonte, na superfície líquida, que es-

tão sendo atingidos pela perturbação. Esse

conjunto de pontos pode ser circular, se a

fonte for pontual (extremidade de uma

haste tocando o líquido), ou retilínea, se a

fonte for extensa (toda a extensão da haste

tocando simultaneamente o líquido), como

ilustram os esquemas ao lado.

A frente de onda separa, em determinado instante, a região perturbada da não

perturbada. As circunferências ou os segmentos de reta internos, que estão nesse

mesmo instante em concordância de fase com os pontos da frente de onda, são cha-

mados de linhas de onda. Daí, pode-se concluir que as circunferências concêntricas ou

os segmentos paralelos estão separados, entre si, de um comprimento de onda (l).

Define-se raio de onda (r ) como o segmento de reta com origem na fonte e

orientado perpendicularmente à frente de onda (ou às linhas de onda). Um raio de

onda tem comportamento e função análogos aos do raio de luz.

Considerando, em um determinado instante, a frente de onda e a primeira linha

de onda, sabe-se que elas estão separadas de um comprimento de onda (l) e que o

intervalo de tempo para percorrer essa distância vale um período (T ). Então:

v = l

T ) l = v · T

O Princípio de Huygens permite dizer que cada ponto da primeira linha de onda,

no instante t = 0, comporta-se como uma fonte secundária, com as mesmas caracterís-

ticas da fonte original, formando no instante t = T a frente de onda, que é a superfície

tangente a todas as ondas secundárias formadas pelas fontes secundárias.

λ

λ

λ

λ

λ = v ·T

1ª- linha

de onda

t = Tt = 0

frente

de onda

v

1ª- linha

de onda

t = Tt = 0

frente

de onda

v

λ

λ

λ= v ·T

λ

λ

Princípio de Huygens aplicado a frentes de onda circulares.

Princípio de Huygens aplicado a frentes de onda retilíneas.

Ilust

raçõ

es:

Fern

an

do M

on

teir

o

Ilust

raçõ

es:

TPG


6/*%"%&��t�0/%6-"5ª3*"250

Principais fenômenos ondulatórios com ondas bidimensionais

Reflexão

Quando uma frente de onda, propagando-se em uma superfície líquida, incide

sobre um obstáculo, cada ponto da frente reflete-se, obedecendo à Lei da reflexão

(vista na óptica geométrica), onde o ângulo de incidência é igual ao ângulo de

reflexão: i = r.

Aqui, em vez de raios luminosos, trabalha-se com raios de onda.

As figuras a seguir representam três pontos de uma frente de onda incidindo

em um obstáculo e refletindo-se. Observe que cada ponto obedece à Lei da re-

flexão.

Ilust

raçõ

es:

TPG

(1)

(2)

(3)

F (fonte pontual)

Processo de reflexão de uma

frente de onda circular

(1)

(2)

(3)

F

(1) (2)

F

F9

(3)

(2)

(3)(1)

F

F9

Para a frente de onda refletida, tudo se passa como se houvesse uma fonte F9 simétrica a F, em relação ao obstáculo. No caso dos espelhos planos, F9 seria a imagem virtual conjugada pelo espelho.

Processo de reflexão de uma

frente de onda retilínea

(1)

(1)

(1)

(1)

(2)

(2)

(2)

(2)

(3)

(3)

(3)

(3)

F‘

i = r

Lei da reflexão

r

raio de luzincidente

Reflexão da luz

N

espelho

raiorefletido

Reflexão da onda

raio de ondaincidente

N

obstáculo

raiorefletido

λ

λr

Observe como a reflexão da luz obedece ao Princípio de Huygens: os raios de luz são perpendiculares às frentes de onda em cada instante.

Refração

A refração ocorre, em uma superfície líquida, quando uma onda passa de um

meio para outro. Esses meios são, para ondas mecânicas, diferentes profundidades

do mesmo líquido; assim, há refração de ondas mecânicas na água quando elas

passam de uma região de maior profundidade para outra de menor profundidade

—ouvice-versa.Aqui,também,trabalha-secomraiosdeonda,queobedecemàLei

da refração ou Lei de Snell-Descartes, que já vimos no capítulo 10.

sen isen r

= n

2

n1

= v

1

v2


$"1∂56-0��t�0/%"4 251

em que:

• —ângulodeincidência;

• r —ânguloderefração;

• n1—índicedomeio1;

• n2—índicedomeio2;

• v1—velocidadedepropagaçãodaondanomeio1;

• v2—velocidadedepropagaçãodaondanomeio2.

Observe que esses índices se referem à refração das ondas mecânicas de superfí-

cie na mudança de profundidade do líquido; não confundir com o de refração dos

raios luminosos na mudança de meio óptico.

A figura 1, a seguir, mostra um trem de ondas retas (vistas de cima) passando do

meio 1 (de maior profundidade ou menor índice) para o meio 2 (de menor profun-

didade ou maior índice). A figura 2 mostra o perfil dessa superfície líquida.

Ilust

raçõ

es:

TPG

λ 2

λ 1

rr

raio de onda incidente

meio 1

meio 2

raio de onda refratado

N

v2

v1

n1

n2

λ1

meio 1

meio 2

λ2

Figura 1—Esquemadarefração.

Em qual das regiões o índice de refração é maior, no meio 1 ou no meio 2?

Figura 2—Comovemosarefraçãodas ondas na água.

O comprimento de onda l1 no meio profundo é maior que o l

2 no meio raso.

Como na refração a frequência se mantém constante, tem-se:

v

1 = l1

· f

v2 = l2

· f 6 )

v1

v2

= l1

l2

; como l1 . l

2, conclui-se que: v

1 . v

2.

Assim, a velocidade de propagação da onda é maior nas regiões profundas do

que nas rasas, como se observa na onda do mar ao atingir a praia. O procedimento

descrito para ondas retilíneas é também válido para um trem de ondas circulares.

Difra•‹o

Você pode ouvir pessoas conversando atrás de um muro, mas não pode vê-las, e

o motivo é simples: o som contorna o muro, mas a luz não.

O fenômeno segundo o qual uma onda contorna um obstáculo (ou abertura) é

chamado difração . Mas por que o som sofre difração no muro e a luz não?

A resposta está nas dimensões relativas do muro e dos comprimentos de onda do

som e da luz. O muro tem dimensões comparáveis aos comprimentos de ondas sono-

ras, e a luz tem comprimentos muitíssimo menores! A difração só ocorre quando a

dimensão do obstáculo (ou da abertura) é comparável à dimensão da onda; isso

sugere que a luz também sofre difração, desde que o obstáculo tenha comprimen-

tos de onda muito pequenos, da ordem de 10–7 m.

Se um trem de ondas incidir sobre um obstáculo ou abertura que tenha a mesma

ordem de grandeza do comprimento de onda (l) da onda incidente, irá ocorrer a

difração, ou seja, a onda contornará o obstáculo ou a abertura, atingindo regiões

que não podem receber diretamente a onda incidente.


6/*%"%&��t�0/%6-"5ª3*"252

As figuras abaixo representam, respectivamente, um obstáculo e uma abertura,

cujas medidas têm aproximadamente um comprimento de onda.

Ric

hard

Meh

na, Fu

nd

am

en

tal Ph

oto

gra

ph

s

Padrão de interferência gerado na superfície da água, provocado por duas perturbações sincronizadas.

Legenda

Frentes de ondas circulares:

• : pontos das cristas das ondas

• : pontos dos vales das ondas

Superposição de ondas:

•marcas escuras: interferên cia construtiva (IC) resul tante da superposição de duas cristas ou dois vales

•marcas claras: interferência des trutiva (ID) resultante da superposição de uma crista e um vale

F2F1

V0

λ λ

C

D

V

V V VV

V

N

N

N N N

N

S1

S1

S2

S2

λ

2

λ

2

λ

2

λ

2

A difração é explicada pelo Princípio de Huygens.

Interfer•ncia

Pelas dificuldades apresentadas na observação de figuras de inter-

ferência, causadas pelas superposições de várias ondas na superfície

de um líquido, será estudado aqui apenas um caso particular de in-

terferência bidimensional, origi nada por duas fontes pontuais: F1 e F

2

coerentes (amplitudes e frequências iguais) e em concordância de

fase, como mostra a fotografia.

A figura seguinte esquematiza parte das figuras de interferência

que foram obtidas dentro das condições apresentadas.

d l

Ilust

raçõ

es:

TPG


$"1∂56-0��t�0/%"4 253

As linhas tracejadas são arcos de hipérbole (menos V0, que é retilínea). Recebem

o nome de linhas ventrais (V ) aquelas que contêm as marcas escuras (IC) e de linhas

nodais (N ) as que contêm as marcas claras (ID). O conjunto dessas linhas denomina-

-se franjas de interferência.

Note-se que qualquer marca (clara ou escura) dista das suas respectivas fontes

um múltiplo inteiro de meio comprimento de onda. Sendo S1 e S

2, respectivamente,

as distâncias desde a marca considerada às fontes F1 e F

2, a diferença D, em valor

absoluto, dessas distâncias também será um múltiplo inteiro de meio comprimento

de onda, ou seja:

D = uS1 – S

2u = n ∙ l

2 com n = 0, 1, 2, ...

Aos múltiplos pares (n = 0, 2, 4, ...) dessa diferença correspondem sempre as

marcas escuras das linhas ventrais, e aos ímpares (n = 1, 3, 5, ...), as marcas claras

das linhas nodais. Assim, pode-se identificar uma interferência construtiva ou des-

trutiva usando-se a expressão:

D = n ∙ l2

• Se n for PAR, a interferência é construtiva (IC).

• Se n for ÍMPAR, a interferência é destrutiva (ID).

Na figura dada, o ponto C (marca escura) corresponde a n = 4 (par), pois:

D = uS1 – S

2u = )9 ∙ l

2 – 5 ∙ l

2 ) = 4 ∙ l2

O ponto D (marca clara) corresponde a n = 1 (ímpar), pois:

D = uS1 – S

2u = )7 ∙ l

2 – 8 ∙ l

2 ) = 1 ∙ l2

A regra vista tem validade desde que as fontes F1 e F

2 estejam em concordância

de fase. Caso as fontes estejam em oposição de fase (defasadas de p radianos), a

regra é invertida, isto é:

D = n ∙ l

2n PAR ) interferência destrutiva

n ÍMPAR ) interferência construtiva


ER11. Uma fonte produz frentes de ondas retas na su-perfície da água. A figura ilustra um trem de três ondas atingindo um obstáculo, no instante t = 0.

30°

1 m

20 cm

E

C

F

D

B

obstáculoA

v

Sendo de 10 Hz a frequência da fonte, determine:

a) o ângulo de incidência e reflexão das ondas;

b) a velocidade de propagação das ondas;

c) o tempo necessário para o ponto F atingir o obs-

táculo;

d) a configuração das três ondas no instante encontra-

do no item c.

Resolução:a) Traçando-se um raio de onda incidente, no ponto

I, obtêm-se juntamente com a normal (N) os

triân gulos semelhantes ARI e SRI. Portanto

i = 30° . Como i = r (Lei da Reflexão), con -

clui-se que i = r = 30°

30°A

S

NR

B

ri

I

raio de onda

incidente

raio de onda

refletido

Ilust

raçõ

es: TP

G


6/*%"%&��t�0/%6-"5ª3*"254

b) Pela figura dada, tem-se:

x 1 m

0,4 mF

A 30°

v

l = 20 cm = 0,2 m e

f = 10 Hz; então:

v = l ∙ f = 0,2 ∙ 10 ) v = 2 m/s

c) Do instante inicial (t = 0) até atingir o anteparo, o

ponto F deve percorrer uma distância

d = (0,4 + x) com velocidade v.

Como tg 30° = x1

(triângulo sombreado):

x = √ 33

m 0,58 m

Daí, d = v ∙ t ) t = dv

0,4 + 0,58

2

\ t 0,49 s;

logo, com t0 = 0, Dt = t – t

0 0,49 – 0

\ Dt 0,49 s

d) No instante t = 0,49 s, a configuração das três

ondas será:

r

A

B

C

D

E

F

r

ER12. Ondas circulares propagam-se na superfície da

água. As figuras 1 e 2 mostram, em perspectiva, as per-

turbações das ondas, respectivamente, nos instantes

t1 = 1,2 s e t

2 = 1,8 s após o início.

Figura 1 Figura 2

Se as cristas de duas ondas adjacentes distam entre si

de 6,0 cm, com que velocidade as ondas estão se pro-

pagando?

Resolução:No intervalo de tempo Dt = t

2 – t

1 = 1,8 s – 1,2 s = 0,6 s,

a onda se propagou, conforme as figuras, um compri-

mento de onda; sabendo que o tempo gasto para

percorrê-lo é o período, temos:

Dt = T = 0,6 s.

Figura 1 Figura 2

O

λ

v

Como o comprimento de onda é dado, pois é a medi-

da entre duas cristas adjacentes, tem-se:

l = 6,0 cm.

Portanto, podemos calcular a velocidade usando a

equação fundamental das ondas:

v = lT

= 6,00,6

\ v = 10 cm/s

ER13. O que diferencia a refração de uma onda unidi-

mensional da refração bidimensional?

Resolução:Sabemos que refração é a passagem de uma onda, de

um meio para outro, com mudança na velocidade,

mantendo constante a frequência. No caso da onda

unidimensional (corda), a refração ocorre quando a

onda passa de uma corda para outra de densidades

lineares diferentes. Na onda bidimensional (superfí-

cie da água), a refração ocorre devido à diferença de

profundidade da água, e não da água para um outro

líquido, pois não haveria como “emendar” dois líqui-

dos diferentes sob mesma superfície livre.

ER14. Um trem de ondas planas percorre uma região

de águas profundas e passa para outra, de águas rasas,

conforme a figura.

β

α

40 cm

30 cm

águasprofundas

águas rasas

v2

v1

Sabendo que a frequência de oscilação das ondas inci-

dentes vale 5 Hz, calcule:

a) a frequência das ondas refratadas;

b) a velocidade v1 de propagação das ondas nas águas

profundas;

c) a velocidade v2 de propagação das ondas nas águas

rasas;

d) a relação entre os senos dos ângulos a e b.

Resolução:Tem-se: f = 5 Hz.

Pela figura: l1 = 40 cm (comprimento de onda no

meio mais profundo)

l2 = 30 cm (comprimento de onda no meio mais raso)

Ilust

raçõ

es:

TPG


$"1∂56-0��t�0/%"4 255

AtividAde PráticA

Observando a propagação das ondas

NÃO escreva NO livrO

FaÇa NO caderNO

a) Na refração, a frequência não se altera. Portanto:

f = 5 Hz

b) Pela equação fundamental das ondas, tem-se:

v1 = l

1 ∙ f = 40 ∙ 5 ) v

1 = 200 cm/s

c) Após a refração: v2 = l

2 ∙ f = 30 ∙ 5 )

v2 = 150 cm/s

d) Pela Lei de Snell-Descartes:

α

β

r = β

i = α

v1 N

v2

sen isen r

= v

1

v2

(sendo i = a e r = b)

sen asen b

= 200150

) sen asen b

= 43

ER15. Duas fontes pontuais, F1 e F

2, coerentes, e em

fase, emitem ondas de frequência 10 Hz que se propa-

gam com velocidade de 1 m/s na superfície da água,

conforme ilustra a figura. Se os pontos P e Q represen-

tam pequenos objetos flutuantes, verifique se eles es-

tão ou não em repouso.

QP

F1

F2

2,75 m

2,00 m

3,50 m

3,00 m

Resolução:

f = 10 Hz

v = 1 m/s = 100 cm/s

O comprimento de onda vale:

l = vf

= 10010

\ l = 10 cm

O ponto P dista S1 = 2,75 m de F

1 e S

2 = 2 m de F

2.

Então: D = uS1 – S

2u = 0,75 m = 75 cm e D = n ∙

l2

)

) 75 = n ∙ 102

) n = 15, que é um número ímpar.

Portanto, no ponto P, está ocorrendo uma interferên-

cia destrutiva.

P está em repouso

Repetindo a operação para o ponto Q, tem-se:

S1 = 3,5 m

S2 = 3 m

6 D = uS1 – S

2u = 0,5 m = 50 cm

e D = n ∙ l2

50 = n ∙ 102

) n = 10, que é um número par.

n é par, então ocorre interferência construtiva; assim,

Q está em movimento .

Ilust

raçõ

es:

TPG

Agora que vimos as características básicas de uma onda, vamos observá-las em uma atividade prática. Já discutimos sobre velocidade, frequência, amplitude, comprimento de onda, interferência, reflexão e refração; diante disso, iremos analisar as diversas características de uma onda em uma ex-periência. Esperamos que vocês terminem por diferenciar as características de uma onda, assim como relacioná-las.

Material

• retroprojetor

• assadeiradevidrooucuba

• água

• umgeradordeondas(oualgummotorquevibreemfrequênciaconstante)

• blocosdeobstáculos(dematerialmaisdensoqueaágua,comovidroemetal)

• trenasouréguas

• cronômetros


UNIDADE 3 • ONDULATÓRIA256

Procedimento

III. A assadeira deve ser preenchida com água e colocada sobre o retroprojetor.

III. O gerador de ondas deve estar acoplado no lado da assadeira de modo a vibrar em seu canto. Se possível,

conectar também um calibrador de frequência.

III. Quando o conjunto for acionado, será possível ver a projeção das ondas geradas.

O equipamento deve ser montado de acordo com a imagem de referência abaixo.

Discussão

1. Qual a velocidade das ondas geradas?

2. Quantas ondas há na distância que vocês mediram?

3. Qual é então o comprimento das ondas analisadas?

4. Sabendo a velocidade e o comprimento de onda, qual a frequência de oscilação do gerador de onda e as

frequências das próprias ondas?

5. Coloquem um dos obstáculos um pouco distante da fonte de forma inclinada. Qual efeito pode ser obser-

vado nas ondas? Qual o ângulo desse efeito?

6. Para analisar o fenômeno da interferência, coloquem ao menos três blocos de forma a deixar duas fendas

próximas à fonte de ondas. Observem que as ondas se interferem formando franjas.

Qu anto mede a distância entre as franjas de interferência?

Será que existe alguma relação entre o tamanho da franja e a frequência, a velocidade ou o compri-

mento de onda de que estamos tratando?

Discutam em grupo e com o professor.

Note as ondas se propagando a uma velocidade constante.

Montagem da cuba de ondas

retroprojetor

110 Vgerador

de ondas

imagemprojetada

vibrador

cuba deonda

calibrador defrequ•ncia

Atente como as ondas refletem e ao refletir interferem umas com as outras formando um xadrez de ondas.

Observe que as ondas interferem entre si, formando franjas.

Co

nce

ito

gra

ph

Ilust

raçõ

es:

Stu

dio

Cap

arr

oz

Veja Orientações Didáticas.


Capítulo 15 • ondas 257


NO livrO

FaÇa NO caderNO

Ondas: altera•›es em ‡guas rasas

Dissemos que ondas não transportam matéria, mas um surfista não é transportado por ondas? Isso pode nos sugerir que as ondas do mar não são como as que aprendemos aqui. Leia a seguir um texto do Portal de Praias, uma página do Centro de Estudos do Mar da Universidade Federal do Paraná sobre ondas, arrebentação e surfe.

Quando as ondas chegam próximas à costa, começam a sofrer alterações em sua geometria. Uma onda se modifica a partir do momento em que começa a sentir o fundo. Isso ocorre quando a profundidade é igual à metade do comprimen-to da onda. A parte de baixo da onda passa então a sofrer atrito com o fundo, fazendo com que a parte de cima se desloque mais rápido, a onda vai empinando até que finalmente arrebenta dissi-pando energia. É somente a partir desse momen-to, da quebra da onda, que ela efetivamente transporta matéria, ou seja, antes disso somente energia é transportada. É por esse motivo que os surfistas só conseguem surfar a onda quando ela começa a quebrar.

Se olharmos o oceano de cima, de um ponto mais elevado numa costa, veremos o padrão hori-zontal de cristas de onda que se aproximam dela. E podemos então notar que, seja lá de que direção venham as ondas, elas acabam se curvando ao che-gar mais perto da costa de modo a incidirem à praia quase perpendicularmente a ela.

O que se passa é que, quando uma onda se apro-xima da costa numa direção que faz um determina-do ângulo com a costa, as partes mais próximas da costa “sentem” o fundo mais cedo e, nessas partes, a velocidade de propagação das ondas diminui. À me-dida que cada parte da crista da onda vai sentindo o fundo, as partes que o sentiram antes vão diminuin-do cada vez mais a sua velocidade. Deste modo e de uma forma contínua a linha da onda vai se curvan-do. A esse fenômeno se dá o nome de refração de

ondas, por ser similar ao que se passa com os raios de luz na refração óptica. É isto que faz com que as ondas acabem por incidir na praia numa direção quase perpendicular a ela e arrebentem de modo quase paralelo à costa.

Na refração, passa-se algo parecido com uma fila de soldados que vira uma esquina em formação, com os soldados que estão mais perto da esquina andando mais devagar e os que estão longe dela andando mais depressa. Se uma onda encontra uma parte da costa mais saliente, como um promontório, a parte

que “sente” primeiro diminui mais rapidamente de ve-locidade e as outras partes, de ambos os lados, seguem em frente, mas vão sendo encurvadas e vão acabar por arrebentar de cada um dos lados dessa saliência (os soldados em frente ao promontório param e os outros atacam-no rodeando-o de ambos os lados). As ondas convergem nessas partes mais salientes e ao arrebentar gastam nelas a maior parte da sua energia, causando mais erosão do que nas outras partes da costa. Nas baías ou enseadas, a refração faz com que as ondas di-virjam e a energia aí despendida seja mínima, tornando as águas mais calmas nestes locais. É devido a isso que em frente aos costões rochosos o mar é sempre peri-goso.

Centro de Estudos do Mar da UFPR. Disponível em: <www.cem.ufpr.br/praia/pagina/pagina.php?

menu=ondas_alteracoes#>. Acesso em: 4 nov. 2015.

Fern

an

do M

on

teir

o

Movimentação de ondas próximas à costa. Independentemente da direção de propagação no oceano, as ondas terminam por incidir perpendicularmente à costa.

Direção dasondas

crista de onda

ondas na sua velocidade original em águas profundas

oceano

zonade

surfe

12

3

parte da onda “sente” o fundo e diminuisua velocidade

25

20

praia

Legenda

Sentido das ondas

Isobatimétricas

convergência

promontório

+ ++ + + +++++

+

1515

10 10

5

5

00 00

praia praia

divergência

TPG

Organizando as ideias do texto1. No texto, você aprendeu que a velocidade da onda no mar diminui com a diminuição da profundidade

da água. O que ocorre, então, com a sua energia? Professor, veja comentários nas Orientações Didáticas.


6/*%"%&��t�0/%6-"5ª3*"258

Ondas tridimensionais

Onda eletromagnética

Neste segmento serão estudados alguns fenômenos decorrentes da natureza

ondulatória da luz, que é uma onda eletromagnética.

As frentes de onda tridimensionais são planas ou esféricas, pois se propagam no

espaço.

Já foi visto que a luz se propaga no vácuo com velocidade c = 3 ∙ 108 m/s. Em

outros meios materiais, a velocidade, para o observador, é sempre menor que essa.

Assim, a equação fundamental das ondas, para a luz, é:

c = l ∙ f

em que f é a frequência da radiação eletromagnética e l é o seu comprimento de onda.

São conhecidas faixas de frequência de inúmeras ondas (ou radiações) eletromag-

néticas, as quais estão representadas no eixo orientado ilustrado a seguir:

100 105 1010 1015 1020 f (Hz)

ondas de rádio micro-ondas

luz visível

raios X

ondasde TV e FM

infra-vermelho

ultra-violeta

raios gama (γ)

Os fenômenos ondulatórios a seguir serão estudados na forma de luz, o que não

impede, evidentemente, de serem estendidos às outras ondas eletromagnéticas.

Ondas tridimensionais

Reflexão e refração

Esses fenômenos já foram estudados nos capítulos 8 e 10 deste volume. No entanto,

convémlembrarqueháinversãodefasenareflexãodaluz—queéumaondatridimen-sional—,quandoumraiovindodeummeioencontraumasuperfíciedeseparaçãocomoutromeiomaisrefringente—aspectoessequenãovimosnaÓpticaGeométrica.

A refração, assim como a reflexão interna (total), ocorre sempre sem inversão de

fase. Na reflexão interna, não há inversão de fase, pois o raio luminoso vindo de um

meio defronta-se com uma superfície de separação de outro meio menos refringente.

Difração

A luz também sofre difração, ou seja, contorna obstá-

culos, mas a observação desta é difícil, pois, para ocorrer

esse fenômeno, o obstáculo ou a abertura deve ter di-

mensão da ordem de grandeza do comprimento de onda

da luz (10–7 m).

Consegue-se uma abertura dessa ordem passando o

fio de uma lâmina de barbear numa das faces de uma

fina placa de vidro previamente pintada de preto. Ob-

serva-se a difração colocando-se o “corte” contra a luz

do filamento de uma lâmpada.

Note que a luz visível abrange apenas uma pequena parcela desse espectro, estando aproximadamente na faixa de 4 · 1014 Hz (vermelha) a 7 · 1014 Hz (violeta).

Ric

hard

Meh

na/F

un

dam

enta

l Ph

oto

gra

ph

s

Na imagem ao lado vemos um raio laser difratado após atravessar uma fenda simples.

TPG


$"1∂56-0��t�0/%"4 259

Polarização

A luz, por ser uma onda transversal, pode ser polarizada. Aliás, foi o fato de a onda luminosa ter sido polarizada que evidenciou o seu caráter transversal. Um polarizador de luz é um dispositivo transparente apenas em uma direção de vibração das ondas. O ob-servador da figura ao lado só recebe luz da fonte, por exemplo, na direção vertical.

Se se intercalar um segundo polarizador perpendi cularmente ao

primeiro, o observador não receberá luz da fonte.

InterferênciaA ocorrência do fenômeno da interferência das ondas luminosas só ficou evidenciada

após a experiência de Young, representada na figura, na qual ele colocou, conveniente-mente, entre uma fonte de luz monocromática (F) e uma tela (T ), dois obstáculos: um com fenda simples (O

1) e outro com fenda dupla (O

2). Em cada fenda, ocorreu difração da

luz e, na tela, formaram-se figuras denominadas franjas de interferência, que são consti-tuídas por uma série de franjas claras (iluminadas) e escuras (sem luz). Essas franjas corres-pondem, respectivamente, a regiões de interferência construtiva (IC) e destrutiva (ID).

O1

O2

F1

F2

T

F

Note-se que, nesse dispositivo, a luz que provém das fendas F1 e F

2 é coerente

e em fase.

Observe na figura ao lado o esquema da trajetória de

cada um dos raios que saem das fendas duplas até um

ponto P da tela, onde ocorre uma interferência.

Se ao ponto P corresponde uma franja clara ou escura,

depende do múltiplo n da expressão: D = n · l2

• Sen for PAR, corresponde a uma franja clara e a inter-

ferência é construtiva.

• Sen for ÍMPAR, corresponde a uma franja escura e a

interferência é destrutiva.

A experiência de Young permite determinar o compri-

mento de onda da luz emitida pela fonte, desde que se co-

nheçam as medidas, conforme a figura ao lado, em que:

d – distância entre as fendas (F1F

2);

D – distância do anteparo O2 à tela (AO);

y – distância da franja considerada ao ponto O (PO);

sen q = Dd

tg q (I)

No triângulo retângulo APO: tg q = yD

(II)

Igualando-se (I) e (II): D = dyD

O valor do comprimento de onda da luz emitida pela fonte é determinado ao se

juntar essa expressão com a anterior: D = dyD

= n · l2

Ilust

raçõ

es: A

lex

Arg

ozi

no

S1

F1

F2

O2

T

P

S2

∆ = uS1 – S

2u = uPF

1 – PF

2u

B∆

θθ

D

O

y

T

PO2

F2

Ad

F1

luz nãopolarizada

fonte

luz polarizada

polarizador

observador

Fern

and

o M

on

teir

o


6/*%"%&��t�0/%6-"5ª3*"260

A figura 1, ao lado, representa franjas de

interferência obtidas para n = 0, 1, 2, 3, ...

Observe que, para n pares, a interferência é

construtiva e a franja, clara; para n ímpares,

a interferência é destrutiva e a franja, escura.

A figura 2 mostra a intensidade I da luz

diminuindo gradativamente à medida que y

vai aumentando. A intensidade luminosa má-

xima, para interferências construtivas, ocorre

quando n = 0, onde está a franja central.

Ale

x A

rgo

zin

o


ER16. No experimento de Young para obtenção de fran-

jas de interferência, iluminaram-se perpendicularmente as

duas fendas paralelas F1 e F

2, separadas por 0,5 mm de

distância, com luz monocromática vermelha. Sobre o

anteparo que está a 1,0 m das fendas, foram registradas

franjas de interferência conforme a figura.

Se a distância entre as franjas de interferência constru-

tiva central e a consecutiva distam entre si 0,8 mm,

determine o comprimento de onda da radiação ver-

melha e a sua frequência. Considere a velocidade da

luz c = 3 ∙ 108 m/s.

Resolução:Temos os seguintes dados:d = 0,5 mm = 0,5 ∙ 10–3 m = 5 ∙ 10–4 m

D = 1,0 mn = 2 (no inteiro par, considerando as franjas, central e a consecutiva, de interferência construtiva)y = 0,8 mm = 0,8 ∙ 10–3 m = 8 ∙ 10–4 mc = 3 ∙ 108 m/s

De acordo com a expressão: D = d · y

D = n · l

25 · 10–4 · 8 · 10–4

1,0 = 2 · l

2 ) 40 · 10–8 = l

\ l = 4 · 10–7 m

Da equação fundamental das ondas:

c = l · f ) f = cl

= 3 · 10–8

4 · 10–7 ) f = 0,75 · 1015 Hz ou

f = 7,5 · 1014 Hz

ER17. Uma estação de rádio envia para o espaço, atra-

vés da sua torre de transmissão, ondas de fre quência

2 MHz. Determine o comprimento de onda em que a

rádio opera.

Resolução:

É dado f = 2 MHz = 2 ∙ 106 Hz, pois 1 megahertz equi-vale a 106 hertz.Supondo que as ondas se propagam com velocidade c = 3 ∙ 108 m/s, tem-se:

c = l ∙ f ) l = cf

= 3 ∙ 108

2 ∙ 106 ) l = 150 m

Ale

x A

rgo

zin

o

EP1. Na figura está representada a configuração de

uma onda mecânica que se propaga com a veloci dade

de 10 m/s.

20 cm

v

Determine:

a) o comprimento de onda; l = 0,40 m

b) o período da onda. T = 0,04 s

EP2. Se a velocidade de propagação de um movimento osci-

latório é de 160 m/s, qual o valor da fre quência dessa onda,

sabendo-se que o comprimento de onda é de 40 cm? f = 400 Hz

Exercícios propostos NÃO escreva NO livrO

FaÇa NO caderNO

TPG


$"1∂56-0��t�0/%"4 261

EP3. A figura mostra o perfil de uma corda por onde

se propaga uma onda periódica de frequência 2,0 Hz.

y (cm)

x (cm)

+0,80

1 2 4 5 6 8 9

3 7

–0,80

0

Então, podemos afirmar que o comprimento de

onda e a sua velocidade de propagação valem, res-

pectivamente:

a) 0,8 m e 1,6 m/s. d) 4,0 m e 8,0 m/s. X

b) 1,6 m e 3,2 m/s. e) 8,0 m e 16 m/s.

c) 4,0 m e 2,0 m/s.

EP4. A sucessão de pulsos representada na figura foi

produzida em 2,0 s.

O período da onda vale:

a) 2,5 s. c) 1,0 s. e) 0,4 s. X

b) 2,0 s. d) 0,5 s.

EP5. Uma onda avança, numa corda longa e tensa, da

esquerda para a direita, com velocidade v = 20 cm/s.

Na figura, a linha pontilhada representa a fotografia

da corda um quarto de período após a da linha cheia.

x (cm)

+10

10 20 30

–10

0

vy (cm)

Determine:

a) O comprimento de onda e a sua amplitude;

b) A frequência da onda; f = 1,0 Hz

c) O menor intervalo de tempo em que as duas foto-

grafias foram tiradas. Dt = 0,25 s

EP6. Uma função de onda é dada por:

y = 5 · cos 2p 14 · t – 2 · x

5 2, com x e y em centímetros

e t em segundos.

Determine, em relação a essa onda:

a) sua amplitude; 5 cm

b) o comprimento de onda; 2,5 cm

c) a frequência; f = 4 Hz

d) a velocidade de propagação. 10 cm/s

EP7. Uma onda propaga-se em um meio de acordo

com a seguinte função, no SI:

y = cos 3p 1t – x

3 2.Determine:

a) a amplitude da onda; 1 m

b) a frequência da onda; f = 1,5 Hz

c) o comprimento de onda; l = 2 m

d) a velocidade da onda. v = 3 m/s

EP8. Uma onda propaga-se numa corda, de 2 m de

comprimento e 400 g de massa, com velocidade

20 m/s. Então essa corda deve estar tracionada com

força de intensidade:

a) 4 N. d) 50 kN.

b) 50 N. e) 80kN.

c) 80 N. X

EP9. (Unicamp-SP) A tecnologia de telefonia celular 4G

passou a ser utilizada no Brasil em 2013, como parte da

iniciativa de melhoria geral dos serviços no Brasil, em

preparação para a Copa do Mundo de 2014. Algumas

operadoras inauguraram serviços com ondas eletro-

magnéticas na frequência de 40 MHz. Sendo a veloci-

dade da luz no vácuo c = 3 · 108 m/s, o comprimento de

onda dessas ondas eletromagnéticas é

a) 1,2 m

b) 7,5 m X

c) 5,0 m

d) 12,0 m

EP10. As figuras seguintes representam duas fotos

de um mesmo pulso propagando-se na corda AB.

A 1ª foto foi obtida no instante t1 = 0 e antes da ocor-

rência da reflexão no extremo B, e a 2ª foto foi tirada no

instante t2 = 0,2 s.

1ª- foto

2ª- foto

A10 cm

B

Podemos afirmar que o extremo B da corda e a veloci-

dade de propagação do pulso são, respectivamente,

a) livre e 3,5 m/s. d) fixo e 3,5 m/s.

b) livre e 4,0 m/s. e) fixo e 4,0 m/s. X

c) livre e 4,5 m/s.

EP11. Uma perturbação periódica de comprimento

de onda l1 = 0,4 m propaga-se numa corda fina com

velocidade v1 = 8 m/s. Essa onda passa para uma ou-

tra corda, ligada à primeira pelos extremos, sofrendo

o fenômeno da refração. A densidade linear dessa

segunda corda é de m2 = 0,2 kg/m e está, juntamente

Ilust

raçõ

es:

TPG

l = 20 cm; a = 10 cm


6/*%"%&��t�0/%6-"5ª3*"262

com a primeira, esticada com força T = 7,2 N. Com

relação à segunda corda, indique a alternativa com

todas as grandezas corretas.

Frequência (f

2)

Velocidade (v

2)

Comprimento da onda (l

2)

a) 20 Hz 6 m/s 0,3 m X

b) 20 Hz 8 m/s 0,4 m

c) 20 Hz 36 m/s 1,8 m

d) 40 Hz 6 m/s 0,15 m

e) 40 Hz 36 m/s 0,9 m

EP12. Ondas estacionárias são estabelecidas em uma cor-

da com 2,4 m de comprimento, conforme mostra a figura.

Sabendo-se que as ondas, que originam o estado es-

tacionário descrito, propagam-se na velocidade de

156 m/s, determine a frequência de vibração dos ventres.

EP13. Uma fonte produz ondas planas na superfície de

um líquido com frequência de 20 Hz. A figura represen-

ta a vista de cima de um trem de ondas chegando a um

anteparo no instante t = 0.

X

10 cm

1 m

45° anteparo

Determine:

a) o ângulo de reflexão da onda; 45°

b) a velocidade de propagação das ondas; 2 m/s

c) o tempo necessário para o ponto X da onda atingir

o anteparo. 0,5 s

EP14. Qual é a fonte geradora das ondas no mar e o

que acontece com seus comprimentos de onda à medi-

da que se aproximam da praia?

EP15. Frentes de onda circulares, produzidas por uma pe-

dra jogada no ponto O, propagam-se na superfície da

água. Na posição B, existe uma boia que efetua movimen-

to harmônico simples vertical toda vez que uma onda pas-

sa por ele. O esquema a seguir, mostra uma vista perpen-

dicular e outra de perfil, da parte perturbada da água, 6,0

segundos após a queda da pedra, instante em que o diâ-

metro da primeira onda circular formada vale 36 cm.

v

vPerfil

vB O

v

Com relação à velocidade v de propagação da onda e o

movimento vertical da boia B, no instante 6,0 s, pode-

mos afirmar que:

a) v = 3,0 cm/s e B está descendo.

b) v = 6,0 cm/s e B está parado.

c) v = 6,0 cm/s e B está subindo.

d) v = 3,0 cm/s e B está subindo. X

e) v = 18 cm/s e B está descendo.

EP16. Duas fontes pontuais F1 e F

2,

separadas uma da outra 4,0 m, coe-

rentes, de frequência 4,0 Hz e em

fase, produzem ondas circulares na

superfície da água de um tanque de

profundidade uniforme. No ponto P,

a 3,0 m de F2, está colocada uma pequena boia, forman-

do um triângulo retângulo com F1 e F

2, conforme figura.

Sabendo-se que as ondas possuem velocidade de 1,6 m/s

e que a diferença de caminho da boia às fontes corres-

ponde a um número inteiro de meio comprimento de

onda, determine o tipo de interferência que está ocor-

rendo no ponto P. Justifique a resposta.

EP17. A difração luminosa só ocorre quando a luz passa

por uma fenda (pequena abertura) cujo tamanho é com-

patível com o seu comprimento de onda. A difração é

fundamental para o sucesso da expe riência de Young

para a obtenção das franjas de interferência. O que

aconteceria com as franjas, se o tamanho de cada uma

das fendas do experimento aumentasse ou diminuísse?

EP18. A frequência que determinada estação de rádio FM

opera é de 100 MHz. Quantos metros tem o comprimen-

to de onda das ondas emitidas pela torre de transmissão

da estação? Considere a velocidade de propagação das

ondas eletromagnéticas, no ar, de 3 ∙ 108 m/s. 3 m

EP19. Quando uma criança sopra um canudinho mo-

lhado numa solução de água e sabão, formam-se

bolhas multicoloridas, quando vistas sob a luz do Sol. O

fenômeno ondulatório que é responsável pela forma-

ção das cores é a:

a) reflexão.

b) refração.

c) polarização.

d) difração.

e) interferência. X

130 Hz

Ilust

raçõ

es:

TPG

Interferência construtiva, pois n = 10 (par).

Caso a fenda aumentasse de tamanho, as franjas perderiam a nitidez; se diminuísse, as franjas seriam mais nítidas.

EP14. Geralmente o agente gerador das ondas no mar é o vento. Os comprimentos de onda vão diminuindo à medida que elas vão chegando à praia, ou seja, ocorre a refração na superfície líquida. Em alto-mar, em grandes profundidades, as ondas têm comprimentos de onda maiores e, à medida que vão se aproximando da praia, como vai diminuindo a profundidade, vai também diminuindo o comprimento de onda.

P

F2

F1


CAPÍTULO

Capítulo 16 • ondas sonoras (aCústiCa) 263

Você gosta de música?

Há muitas maneiras de aproximar-se da experiência

musical, seja compondo, interpretando ou trabalhando

com os aspectos mais concretos do som, produzindo

instrumentos ou como engenheiros de som e áudio, ou

simplesmente apreciando uma boa música. Em qual-

quer dessas atividades, devemos saber que a música é

um tipo de som, embora nem todo som seja música.

O som não é só musical: diariamente escutamos as

vozes das pessoas, o canto dos pássaros, a chuva cain-

do, o vento soprando. O juízo que fazemos desse tipo

de som é cultural e, em geral, é para nós agradável.

Mas existem sons cuja intensidade ou duração trazem

sensações incômodas ou desagradáveis, e os denomi-

namos ruídos, como os do trânsito, de uma máquina

em funcionamento, do pernilongo.

As pessoas — e muitos outros animais — comuni-

cam-se por meio do som. Daí a importância deste ca-

pítulo, em que estudaremos os principais fenômenos

ondulatórios que ocorrem com os sons e como os di-

ferenciamos. Também veremos a produção de som

em instrumentos musicais de corda ou de sopro.

Ao estudo das ondas sonoras damos o nome de

Acústica.

Ondas sonoras

Ondas sonoras são ondas de natureza mecânica,

pois necessitam de meio material para se propagarem.

São longitudinais e tridimensionais, ou seja, a direção

de vibração das partículas do meio material coincide

com a direção de propagação, e a frente de onda é

uma superfície esférica.

Sendo mecânicas, as ondas sonoras não se propa-

gam no vácuo, sendo este, portanto, o melhor isolante

acústico. Se você quiser construir um ambiente à prova

de qualquer ruído, deve fazê-lo com duas paredes,

uma separada da outra, reduzindo ao mínimo possível

o ar entre elas.

16 Ondas sonoras (Acœstica)

DA

NIE

L TEIX

EIR

A/A

E

A Sala São Paulo é a sede da Orquestra Sinfônica do Estado

de São Paulo (OSESP). Os painéis que você vê no teto são

móveis e podem ser controlados individualmente, permitindo

que o volume do hall possa ser ajustado para entre 12 mil m3 e

28 mil m³. Isso garante que qualquer composição que

venha a ser executada nesse espaço tenha seu conceito

acústico respeitado. Entre outras atribuições, é tarefa do

engenheiro de som planejar a estrutura da sala de acordo

com as características da obra que será executada.

Fotografia de março de 2012.

Bandas de rock tocam tanto em lugares fechados quanto

abertos. Em cada caso, o engenheiro de som deve produzir

a melhor solução em termos de retorno de som para a

banda e para o público. Show no Rock in Rio, em

setembro de 2015.

Márc

io A

lves/

Ag

ên

cia O

Glo

bo


UNIDADE 3 • ONDULATÓRIA264

Sabemos que o som é produzido pela vibração de objetos. Vamos simular uma

vibração desse tipo, na sequência de figuras a seguir:

direção devibração

direção depropagação

v

v

v

v

região de compressão

região de rarefação

As frentes de ondas sonoras são chamadas também de ondas de pressão.

• um êmbolo móvel na extremidade de um tubo contendo ar é a fonte que execu-

ta os movimentos osci latórios; movendo o êmbolo com frequência f, as camadas

de ar sofrem compressões e rarefações, que se propagam no seu interior com

velocidade v.

• ao chegarem à extremidade aberta do tubo, as frentes de onda atingem a orelha

do observador, que possui uma membrana denominada tímpano. O tímpano

passa a vibrar com a mesma fre quência das ondas, transmitindo-as ao cérebro,

que registra, assim, a sensação fisio lógica chamada de som.

λv

fonte oscilando

com frequ•ncia f

λ

O comprimento de onda (l) de uma onda longitudinal corresponde à distância

entre duas regiões consecutivas de compressão ou de rarefação. A equação fun-

damental das ondas expressa a relação entre o comprimento de onda, a frequên-

cia de vibração da fonte e a velocidade de propagação:

v = l ∙ f

O sistema auditivo de um ser humano normal consegue captar ondas sonoras

de frequências que vão desde 20 Hz até 20 kHz, aproximadamente. Qualquer

frequência abaixo de 20 Hz denomina-se infrassom e acima de 20 000 Hz

(20 kHz), ultrassom.

0 20 20000f (Hz)

ultrassomsom audívelinfrassom

Ilust

raçõ

es:

Pau

lo C

ésa

r Pere

ira


Capítulo 16 • ondas sonoras (aCústiCa) 265

Um exemplo importante de ondas infrassônicas são os

abalos sísmicos. Uma onda ultrassônica pode ser produzi-

da por meio de vibrações elásticas do cristal de quartzo.

Certos animais, como cachorros e morcegos, conseguem

ouvir ultrassons; cães, por exemplo, podem ouvir sons de

frequências até 50 kHz.

Na óptica da visão, vimos que muitas pes soas, com o

avanço da idade, adquirem um defeito visual chamado pres-

biopia, pois não conseguem enxergar objetos próximos. Da

mesma forma, pessoas de idade avançada não conseguem

ouvir frequências acima de 16 kHz.

Alb

erto

De

Stef

ano

Velocidade do somAs ondas sonoras propagam-se em meios sólidos, líquidos e gasosos (ar atmos-

férico), com velocidades que dependem das diferentes características dos materiais. Elas só não se propagam no vácuo. De modo geral, as maiores velocidades de pro-pagação das ondas sonoras ocorrem nos sólidos, e as menores, nos gases.

vsól.

. vlíq.

. vgas.

A 20 °C, o som propaga-se no aço a 5 100 m/s, na água líquida a 1 450 m/s e no ar a 343 m/s.

A temperatura praticamente não influi na velocidade do som nos meios sólidos e líquidos, mas tem importância vital nos meios gasosos: a 15 ºC, a velocidade do som no aço ou na água não se altera em relação aos valores tomados à tempe ratura de 20 ºC, mas para o ar a 15 ºC a velocidade passa para 340 m/s. Demonstra-se, experimentalmente, que a velocidade é diretamente proporcional à raiz qua drada da sua temperatura absoluta, conforme a fórmula de Laplace:

v = √ k á T,em que k é uma constante que depende da natureza do gás e T é a temperatura absoluta do gás, medida em kelvin.

Sonares instalados em navios emitem ultrassons de frequências entre 300 kHz e 600 kHz para detectar cardumes de peixes, verificar a profundidade local ou mesmo localizar objetos submersos.

Escala Richter

Medida da intensidade de terre motos

Quando ocorrem terremotos em diversos locais da Terra, os noticiários fornecem um dado que nos ajuda na avaliação do grau de danos causados pelos tremores. Por exemplo: “Os tremores ocorridos na Armênia atingiram 6,9 graus de magnitude na escala Richter — cujo recorde é de 9,5 graus, registrado no terremoto que atingiu o Chile em 1960”.

A escala Richter é uma escala logarítmica de medição indireta da energia liberada pelos terremotos sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre, definida por geólogos do California Institute of Technology — CalTech. Nela, é utilizado o logaritmo decimal, e os valores são chamados de magnitudes.

Sendo uma escala logarítmica de base 10, as diferenças entre valores de magnitudes são proporcionais às respectivas energias liberadas: um tremor de intensidade 10 vezes menor em relação à magnitude 9 graus é registrado como tendo a magnitude 8 graus, e a cada grau de magnitude de diferença, a energia

liberada é 1032 > 31,6 vezes a energia anterior. Para se ter uma ideia, um tremor de magnitude de 9 graus

pode promover a destruição total de uma grande cidade.

A FíSICA no cotidiano




ER1. Uma onda sonora propaga-se com a velocidade de 350 m/s no ar. Sabendo que o seu comprimento de onda vale 50 cm, determine a sua fre quência.

Resolução:v = 350 m/s; l = 50 cm = 0,50 mPela equação fundamental das ondas:

v = l · f ) f = vl

= 3500,50

) f = 700 Hz

ER2. Por que a velocidade de propagação do som nos

meios sólidos é bem maior que nos gasosos?

Resolução:Sabemos que ondas sonoras ou ondas de pressão propa-gam-se longitudinalmente em um meio, no qual a trans-ferência de energia (perturbação) ocorre sucessivamente de uma molécula (ou átomo) para outra. Assim, nos sóli-

dos, como as moléculas (ou átomos) estão muito mais coesas e próximas uma da outra, a velocidade de propa-gação é bem maior que nos meios gasosos, onde as mo-léculas (ou átomos) estão livres e distantes uma da outra.

ER3. A 0 °C, o som se propaga no ar com a velocidade de 331 m/s. Que velocidade terá à temperatura de 37 °C?

Resolução:T

1 = 0 °C = 273 K; v

1 = 331 m/s; T

2 = 37 °C = 310 K

Aplicando-se a fórmula de Laplace:

v1 = √ k · T

1 e v

2 = √ k · T

2

331 = √ k · 273 (I); v2 = √ k · 310 (II)

Dividindo-se, membro a membro, (I) por (II):

331v

2

= √ k · 273

√ k · 310 = 273

310 = 0,94 ) v

2 > 353 m/s

Como Ž medido um tremor de terra

A medição é feita por sismógrafos, como o da ilustração, dotados de um pêndulo cujo movimento

registra a magnitude dos tremores.

sismógrafovertical

sismógrafohorizontal

tamborde registro

sismo-grama

Esquema de funcionamento e registrode um sism—grafo

movimentoverticalda Terra

movimento horizontalda Terra

Movimentos no interior da Terra, causados pelo atrito entre placas tectônicas, podem produzir ondas de intensidades variadas e capazes de se propagarem pelo globo, chamadas ondas sísmicas. Os sismógrafos registram oscilações do solo provocadas por ondas sísmicas, em gráficos chamados sismogramas.

Pau

lo C

ésa

r Pere

ira

As características da escala Richter de magnitude de terremotos

Magnitude aproximada Efeitos característicos

2,0 a 3,4 Sensação de mal-estar

3,5 a 4,2 Ouve-se o ruído do tremor

4,3 a 4,9 Balança móveis e pode quebrar pratos

5,0 a 5,9 Desloca objetos pesados e racha muros

6,0 a 6,9 Danos consideráveis a edifícios

7,0 a 7,3 Danos graves a edifícios e quebra de encanamentos subterrâneos

7,4 a 7,9 Grandes danos, destruição de prédios

acima de 8 Destruição completa; o chão se move em ondas

Fonte: The American Heritage Dictionary of Science. Boston: Houghton Mifflin Books, 2005. (Traduzido pelos autores.)


$"1∂56-0��t�0/%"4�40/03"4�"$¡45*$" 267

Qualidades do somSão três as qualidades que podemos distinguir nos sons: altura, intensidade e

timbre, chamadas qualidades fisiológicas.

Altura

Altura: qualidade que permite diferenciar um som grave de um som agudo. A altura do som depende apenas da sua frequência.

Frequência maior → som agudoFrequência menor → som grave

Define-se intervalo (i) entre dois sons como sendo o quociente entre suas

frequências: i = f2

f1

Caso f2 = f

1 ) i = 1, diz-se que os sons estão em uníssono.

Caso f2 = 2f

1 ) i = 2, diz-se que o intervalo corresponde a uma oitava acima.

Caso f2 =

f1

2 ) i = 1

2, diz-se que o intervalo corresponde a uma oitava abaixo.

As notas musicais de mesmo nome estão separadas por intervalos de oitavas.intervalo de uma oitava

... DÓ RÉ MI FÁ SOL LÁ SI DÓ RÉ...

intervalo de uma oitava

A FíSICA no cotidiano

Teclas de um pianoAs notas musicais podem ser agrupadas de diversos modos. O agrupamento mais conhecido é chamado de

gama de zarlin (dó, ré, mi, fá, sol, lá, si e novamente dó).O piano é um instrumento de cordas, do qual obtemos os sons pressionando suas teclas. Cada tecla está ligada

a um martelo que percute uma corda de determinado tamanho. Desse modo, a cada tecla corresponde um som.

DÓ MI FÁ SOL LÁ SI DÓRÉ

Considerando parte do teclado de um piano, como mostrado na figura, ao se tocarem as teclas da esquerda para a direita, a altura (frequência) das notas musicais vai aumentando.

Na tabela a seguir mostraremos como obter as frequências das outras notas musicais, a partir da primeira nota dó de uma gama:

Nota Dó Ré Mi Fá Sol Lá Si Dó

Frequência (Hz) f9 8

· f5 4

· f4 3

· f3 2

· f5 3

· f15 8

· f 2 · f

Por exemplo, para a nota dó da terceira gama de um piano, a frequência é 264 Hz. Então, os valores das fre-quências das outras notas serão:


Frequência (Hz) 264 297 330 352 396 440 495 528

Alb

erto

De

Stef

ano


6/*%"%&��t�0/%6-"5ª3*"268

A razão entre as frequências de duas notas consecutivas é denominada intervalo acústico ou musical.Da tabela anterior, podemos verificar que os intervalos acústicos entre as notas musicais da gama natural

(zarlin) assumem os seguintes valores:


Frequência (Hz) 264 297 330 352 396 440 495 528

Intervalo9 8

10 9

16 15

9 8

10 9

9 8

16 15

As duas notas dó estão separadas por um intervalo de uma oitava, ou seja:

i = f2

f1

= 528 264

= 2 (a nota dó 528 Hz está uma oitava acima da nota 264 Hz) e

i = f1

f2

= 264 528

= 1 2

(a nota dó 264 Hz está uma oitava abaixo da nota 528 Hz).

Intensidade

Intensidade: qualidade que permite diferenciar um som forte de um som fraco. A intensidade do som depende da energia que a onda transfere e divide-se em inten-sidade física e intensidade auditiva.

Define-se intensidade física (I) como o quociente entre a quantidade de energia

(E) que atravessa uma unidade de área (A) da superfície perpendicular à direção de

propagação, na unidade de tempo (Dt).

I = E

A · Dt

Como EDt

= P (potência), tem-se, também:

A unidade SI de intensidade física é J/m2 · s ou W/m2.

A mínima intensidade física (I0) ou limiar de audibilidade, que é o

menor valor da intensidade física ainda audível, vale:

I0 = 10–12 W/m2

A máxima intensidade física (Imáx

) ou limiar de dor, que é o maior

valor da intensidade física suportável, vale:

Imáx

= 100 W/m2 = 1 W/m2

À medida que o observador se afasta da fonte sonora, a intensidade

auditiva ou nível sonoro (b) diminui logaritmicamente, de acordo com a

expressão:

b = log II0

ou 10b = II0

A unidade SI de nível sonoro é o bel (B), mas a unidade mais usual é

o decibel (dB), em que 1 dB = 10–1 B.

Um ambiente com até 40 dB é calmo, com 60 dB é barulhento e

com mais de 80 dB já apresenta a chamada poluição sonora. Pes soas que

ficam expostas durante muito tempo a níveis sonoros acima de 80 dB

ficam sujeitas a sofrer danos irreversíveis à audição.

I = PA

L. C

. Le

ite/F

olh

apre

ss

Medição de ruído em um estabelecimento comercial. O Ibama é o órgão governamental responsável pelas diretivas em relação às fontes de ruído, e cabe aos estados e municípios a fiscalização dos níveis máximos de ruído das diversas atividades.


$"1∂56-0��t�0/%"4�40/03"4�"$¡45*$" 269

Timbre

Timbre: qualidade que permite diferenciar dois sons de mesma altura e mesma intensidade, emitidos por fontes distintas.

Uma nota musical emitida por um piano é diferenciada da mesma nota emitida por

um violão pelo timbre. Também é pelo timbre que se reconhece a voz de uma pessoa.

No nosso dia a dia, confundimos altura com intensidade. Som alto quer dizer

som de frequência alta e som intenso quer dizer som forte. Compare dois sons co-

nhecidos, o miado do gato e o mugido do boi: a altura do miado é maior que a do

mugido, mas a intensidade do miado é menor que a do mugido.

A fala das pessoas é produzida pelas vibrações das cordas vocais. Como regra

geral, as mulheres possuem cordas vocais mais finas que as dos homens, por isso

elas falam mais alto (voz aguda) e eles mais baixo (voz grave); já a intensidade da

voz dos homens (que falam “grosso”) é maior que a das mulheres (que falam

“fino”), mas sempre se podem encontrar exceções.

A frequência média das vibrações das cordas vocais das mulheres é em torno de

400 Hz, enquanto a dos homens é de 200 Hz.


ER4. Qual das três qualidades sonoras, altura, intensi-dade e timbre, é a responsável pelo seu reconheci-mento da voz de um amigo ao telefone?

Resolução:O reconhecimento se dá pelo timbre da voz, que inde-pende da altura e da intensidade. A altura da voz é cons-tante (pois a frequência de vibração das suas cordas vo-cais não muda muito) e a intensidade pode variar, falando mais forte (gritando) ou mais fraco (sussurran-do), mas, mesmo assim, a voz é reconhecida.

ER5. Uma onda sonora de comprimento de onda igual a 20 cm propaga-se no ar com velocidade de 340 m/s. Qual é a frequência do som que está uma oitava abaixo desta?

Resolução:l = 20 cm = 0,20 m; v = 340 m/s

f1 = vl

= 3400,20

= 1 700 ) f1 = 1 700 Hz

A frequência f2, que está uma oitava abaixo de f1, é expressa por:

f2 = f1

2 = 1 700

2 ) f2 = 850 Hz

ER6. O limiar da audibilidade corresponde à intensida-

de física de 10–12 W/m2. Num salão de baile, a intensi-

dade física do ambiente é de 10–4 W/m2.

Determine, em decibel, o nível sonoro nesse salão.

Resolução:I0 = 10–12 W/m2; I = 10–4 W/m2

Aplicando-se a expressão

10b = II0

, tem-se: 10b = 10–4

10–12 = 10 8

\ b = 8 B ) b = 80 dB


NO livrO

FaÇa NO caderNO

Poluição sonora

Leia, a seguir, um trecho do artigo sobre a poluição sonora do professor da UFMG Fernando Pimentel

Souza, especialista em Neurofisiologia e membro do Instituto de Pesquisa do Cérebro da Unesco.

A polui•‹o sonora ataca trai•oeiramente o corpoA poluição química do ar, da água e da terra deixa muitos traços visíveis de contaminação. Muitas doenças e mortes

devido a alterações do meio podem ser identificadas por qualquer pessoa. Mas a poluição sonora, mesmo em níveis exa-gerados, produz efeitos imediatos moderados. Seus efeitos mais graves vão se implantando com o tempo, como a surdez, que não tarda a se acompanhar às vezes de desesperadores desequilíbrios psíquicos e de doenças físicas degenerativas. [...]

É um conflito, gerador de ansiedade, já que o nível de ruído em nosso ambiente urbano está quase sempre aci-ma dos limites do equilíbrio, e abre caminho para estresses crônicos. Certas áreas do cérebro acabam perdendo a sensibilidade a neurotransmissores, rompendo o delicado mecanismo de controle hormonal. Esse processo aparece


6/*%"%&��t�0/%6-"5ª3*"270

também no envelhecimento normal e ataca os mais jovens, que se tornam prematuramente velhos num ambiente

estressante. Os efeitos no sono não são menos importantes pela sua nobre função.

Em São Paulo, a poluição sonora e o estresse auditivo são a terceira causa de maior incidência de doenças do trabalho

[...], fadiga, redução de produtividade, aumento dos acidentes e de consultas médicas, falta ao trabalho e problemas de

relacionamento social e familiar.

Instituto de Ci•ncias Biol—gicas da UFMG. Disponível em: <www.icb.ufmg.br/lpf/2-14.html>. Acesso em: 4 nov. 2015.

Organizando as ideias do texto1. Consulte a tabela: Quanto tempo, no máximo, por dia, alguém pode escutar música com fone de ouvido sem

causar consequências à saúde?

2. Considere que um indivíduo escuta música utilizando fone durante o tempo máximo sugerido pela tabela de níveis dada na página anterior. Qual é a intensidade sonora desse aparelho? Agora, estime a área da seção reta do fone de ouvido, que é aproximadamente a área da seção reta do canal auditivo, atravessada pela onda sono-ra; com esse dado, calcule a potência recebida pelo canal auditivo e a energia durante esse intervalo de tempo.Professor, veja Orientações Didáticas.

Fenômenos ondulatórios do somDos fenômenos ondulatórios já estudados (reflexão, refração, difração, polarização e

interferência), uma onda sonora só não sofre polarização, pois é uma onda longitudinal.

Reflex‹o do som

Chama-se persistência acústica o menor intervalo de tempo para que dois sons não se separem no cérebro. A persistência acústica da orelha humana é de 0,1 s. Se dois sons chegam à orelha com intervalos de tempo menores que 0,1 s, o cérebro não consegue distingui-los. Portanto, um ouvinte consegue distinguir dois sons distintos desde que os receba em intervalos de tempo maiores (ou iguais) a 0,1 s. Esse fato possibilita ao observa-dor perceber o fenômeno da reflexão do som em três níveis: eco, reverberação e reforço.

Fonte: Agência Portuguesa do Ambiente. Som, ruído e

incomodidade. Disponível em: <www.apambiente.pt/index.php?ref=

168&subref=86&sub2ref=529>. Acesso em: 4 nov. 2015.

dB

140

130

120

110

100

90

80

70

60

50

40

20

10

30

decolagem de avião

Níveis de ruído de acordo com a atividade

motor de avião naproximidade dos reatorespassagem de um F1ouvido da tribuna

martelo pneumático

passagem de um comboionuma estação

chegada de um tremde passageiros à estaçãorestaurante barulhento erua animadagrande armazém ejanela sobre a rua

escritório

sala de estar calma

quarto

deserto

câmara insonorizada

alarme de viatura emúsica no fone de ouvido

DOLOROSO

PERIGOSO

FATIGANTE

INCOMODATIVO

REPOUSANTE

Níveis máximos de ruído aceitáveis por tempo de exposição

Nível de ruído (dB)Máxima exposição diária permissível

85 8 h86 7 h87 6 h88 5 h89 4 h 30 min90 4 h91 3 h 30 min92 3 h93 2 h 40 min94 2 h 15 min95 2 h96 1 h 45 min98 1 h 45 min100 1 h102 45 min104 35 min105 35 min106 30 min108 20 min110 15 min112 10 min114 8 min115 7 min

Fonte dos dados: Âmbito Jurídico. Disponível em: <www.ambito-juridico.com.br/site/index.php?n_link=revista_

artigos_leitura&artigo_id=9798>. Acesso: 5 nov. 2015.

TPG


$"1∂56-0��t�0/%"4�40/03"4�"$¡45*$" 271

Na figura ao lado, F é a fonte sonora; A representa um

anteparo refletor e O, um observador. Sendo t1 e t

2, respecti-

vamente, os tempos necessários para o som direto e o refle-

tido chegarem ao observador, decorre:

Dt = t2 – t

1

Assim, definem-se:

• Eco — fenômeno que ocorre quando Dt > 0,1 s. O ob-

servador ouve separadamente o som direto e o som

refletido.

• Reverberação — fenômeno que ocorre quando Dt , 0,1 s. O observador ouve o

som refletido quando o direto está se extinguindo. Há um prolongamento da

sensação auditiva.

• Reforço — fenômeno que ocorre quando Dt > 0 s. O observador ouve o som

direto junto com o refletido. Há somente aumento da intensidade sonora.

Observação: o som refletido em uma parede rígida sofre inversão de fase.

Refração do som

A refração sonora é o fenômeno que ocorre quando o som

que se propaga em um meio passa para outro, com mudança

em sua velocidade e em seu comprimento de onda; mas a fre-

quência é mantida constante.

Difração do som

Como já foi estudado, esse fenômeno só ocorre quando as

dimensões do obstáculo ou da abertura tiverem a mesma ordem

de grandeza do comprimento da onda sonora.

Considerando-se a velocidade do som no ar igual a 340 m/s e

sabendo-se que as frequências audíveis estão na faixa de f1 = 20 Hz

a f2 = 20 000 Hz, os comprimentos de onda podem variar de:

l1 =

vf

1

= 34020

m = 17 m a l2 =

vf

2

= 340

20 000 m =

= 0,017 m = 1,7 cm

Então, os obstáculos (ou aberturas) devem ter, aproxima-

damente, tamanhos compreendidos entre 1,7 cm e 17 m

para que ocorra difração sonora, isto é, para que a onda sonora

os contorne.

Interferência do somA interferência sonora ocorre quando duas ondas sonoras se

superpõem num ponto, onde pode ocorrer tanto a interferência

construtiva (IC) quanto a destrutiva (ID), exatamente como foi visto nas ondas em

superfícies líquidas e também nas ondas luminosas.

Um fenômeno interessante é a interferência de dois sons de mesma amplitude,

mas com frequências f1 e f

2 ligeiramente diferentes (diferença de até 7 Hz), denomi-

nada batimento. A amplitude da onda resultante varia, periodicamente, desde um

valor nulo (interferência destrutiva) até um valor máximo (interferência construtiva)

com frequência de batimento (fbat

) igual à diferença (em valor absoluto) das fre-

quências das ondas componentes, ou seja:

fbat

= |f1 – f

2|

O som sofre difração, ou seja, a pessoa não vê o veículo, mas ouve o ruído do seu motor.

O som sofre refração ao se propagar nas camadas de águas com temperaturas diferentes.

Ilust

raçõ

es:

Alb

ert

o D

e St

efa

no

O

v

v

v

FA

t1

t2

Alb

ert

o D

e St

efa

no


6/*%"%&��t�0/%6-"5ª3*"272

f1

f2

fbat

a

a

2a


NO livrO

FaÇa NO caderNO

O timbre

José Miguel Wisnik é professor de Literatura na

Universidade de São Paulo, ensaísta e compositor.

Leia um trecho de seu livro O som e o sentido, em

que ele descreve as características de algumas ondas

sonoras, e o que define o timbre. É certamente um

texto de Física, mas impregnado de uma nuance poé-

tica; é o conjunto das diferenças de muitas ondas que

também cria a nuance poética das notas musicais.

Quando dizemos que o sinal sonoro corres-

ponde a uma onda que fazemos representar por

uma senoide, estamos procedendo a uma redução

simplificadora, a uma abstração que se faz neces-

sária para a apresentação mais elementar de um

fundamento. Isso porque cada som concreto cor-

responde na realidade não a uma onda pura, mas

a um feixe de ondas, uma superposição intrincada

de frequências de comprimento desigual. Os si-

nais sonoros não são na verdade simples e unidi-

mensionais, mas complexos e sobrepostos.

Onda senoidal

Ale

x A

rgo

zin

o

Quase nunca (praticamente só em condições

laboratoriais, a partir de sintetizadores eletrôni-

cos) nos deparamos com um som que seja efe-

tivamente o produto de uma ondulação pura e

simples (ou, como se diz, uma onda sinusoidal).

Um som angelical desse tipo só se produziria em

um sintetizador e se aparenta com o registro mais

agudo de uma flauta transversal. Se o mundo fos-

se sinusoidal, um grande conjunto de ondas pul-

sando na mesma frequência, não haveria música.

Toda música está cheia de céu e inferno, pul-

sos estáveis e instáveis, ressonâncias e defasa-

gens, curvas e quinas. De modo geral, o som é um

feixe de ondas, um complexo de ondas, uma im-

bricação de pulsos desiguais, em atrito relativo.

A onda sonora é complexa, e se compõe de

frequências que se superpõem e interferem. Essa

complexidade é, antes de mais nada, a do som

concreto, o som real, que é sempre, em alguma

medida, impuro. São os feixes de onda mais den-

sos ou esgarçados, mais concentrados no grave

ou no agudo, são em suma os componentes da

sua complexidade (produzida pelo objeto que a

gerou) que dão ao som aquela singularidade co-

lorística que chamamos timbre. Uma mesma nota

Para saber mais

Site

Uma cantora de —pera pode quebrar uma ta•a com a voz?Scientific American Brasil.

Disponível em: <www2.uol.com.br/sciam/noticias/uma_cantora_de_opera_pode_quebrar_uma_taca_com_a_voz_.html>.

Acesso em: 5 nov. 2015.

Excelente texto sobre ressonância escrito pela jornalista e editora da Scientific American Brasil, Karen Schrock.

Ale

x A

rgo

zin

o


$"1∂56-0��t�0/%"4�40/03"4�"$¡45*$" 273

(ou seja, uma mesma altura) produzida por uma

viola, um clarinete ou um saxofone soa comple-

tamente diferente, graças à combinação de com-

primentos de onda que são ressoados pelo corpo

de cada instrumento. Essa ressonância está liga-

da a uma propriedade do som, que é vibrar den-

tro de si, além da frequência fundamental que

percebemos como altura (a frequência mais lenta

e mais grave), um feixe de frequências mais rápi-

das e mais agudas, que não ouvimos como altura

isolada, mas como um corpo timbrístico, muitas

vezes caracterizado como a cor do som. Esse feixe

frequencial embutido no som, esse espectro de

ondas que o compõe, pode ser, como através de

um prisma, subdividido nos sons da chamada sé-

rie harmônica. A série harmônica é a única escala

natural, inerente à própria ordem do fenômeno

acústico. Todas as outras são construções artifi-

ciais das culturas, combinações fabricadas pelo

homem, dialogando, de alguma forma, com a sé-

rie harmônica, que permanece como referência

modelar subjacente, seu paradigma.

Quanto ao timbre, a nota que escutamos como

altura melódica corresponde, em cada caso, à mes-

ma velocidade vibratória fundamental. Mas cada

um dos instrumentos vibra também em outras fre-

quências mais rápidas (os chamados sons harmô-

nicos), diferentes em cada um, frequências que não

escutamos como altura, mas cujo produto reconhe-

cemos como timbre. O próprio corpo singular de

cada som se faz, portanto, de uma multiplicidade

de períodos conjugados.

Wisnik, José Miguel. O som e o sentido. São Paulo: Companhia das Letras, 1989. p. 23-25.


ER7. Sabe-se que a velocidade de propagação do som

no ar é de 340 m/s. Determine a mínima distância a que

um observador deve ficar de um obstáculo refletor para

ouvir o eco de sua própria voz.

Resolução:

Tem-se: v = 340 m/s.

Para ocorrer o eco, o som deve percorrer d = 2x, no

menor intervalo de tempo, para que o observador

possa ouvir distintamente o som direto do refletido.

Esse tempo é Dt = 0,1 s.

v v

x

observador obst‡culo

v = d Dt

= 2x Dt

) 340 = 2x 0,1

) x = 17 m

Alb

ert

o D

e S

tefa

no

Organizando as ideias do texto

1. Qual é o fenômeno ondulatório que permite a ocorrência do timbre?

Duas formas hipotéticas de timbre.

Professor, veja Orientações Didáticas.

Ale

x A

rgo

zin

o


6/*%"%&��t�0/%6-"5ª3*"274

ER8. Por que todo mundo é bom cantor no banheiro?

Resolução:Sendo um compartimento de dimensões reduzidas, as paredes do banheiro devolvem ao cantor a melo-dia refletida sucessivamente pelas paredes, ocor-rendo o fenômeno da reverberação, que causa uma boa acústica.A reverberação também deve ocorrer no interior de um auditório amplo, desde que tenha muitos obstá-culos regularmente distribuídos, como por exemplo espectadores sentados em suas poltronas.

ER9. Na figura, F1 e F

2 são dois pequenos alto-falantes

que emitem sons de mesma frequência e em fase. O

ponto O é um observador.

30 m

40 m

O

F1 F

2

Se as ondas sonoras emitidas têm frequência de 850 Hz

e veloci dade de propagação de 340 m/s, verifique se

o observador ouve o som com intensidade máxima

ou mínima.

Resolução:

f = 850 Hz

v = 340 m/s

l =

vf

= 340850

) l = 0,4 m

Calculando-se a distância OF2, tem-se:

(OF2)2 = (40)2 + (30)2 ) OF

2 = 50 m

Portanto, a diferença de caminho das fontes ao obser-

vador é:

D = |OF2 – OF

1| = |50 – 30| ) D = 20 m

D = n · l2

) n = 2Dl

= 2 · 20

0,4 =

400,4

) n = 100,

que é par.

Como as fontes estão em fase, a interferência é

construtiva e, portanto, o observador ouve o som

com intensidade máxima .

TPG

Frequências naturais e ressonânciaO diapasão é uma peça metálica bifurcada, como

mostra a figura. Batendo-se com um martelo em uma

das hastes, ambas vibram na frequência de 440 Hz, sen-

do este o valor da sua frequência natural ou própria. O

diapasão é um instrumento que serve para afinar instru-

mentos musicais e a frequência de 440 Hz corresponde

à nota musical lá padrão.

Assim, qualquer fonte osciladora (pêndulo simples, oscilador harmônico etc.)

possui uma frequência própria; e isso pode ser estendido para todos os corpos (pré-

dio, ponte, copo etc.).

Existem sistemas oscilantes, como cordas vibrantes e tubos sonoros, que apre-

sentam várias frequências naturais, como será visto adiante.

Resson‰ncia: é um fenômeno pelo qual um sistema oscilante começa a vibrar,

com amplitudes maiores do que as normais, ao receber uma energia externa de fre-

quência igual à frequência natural desse sistema.

Uma taça de cristal pode romper-se por ressonância, quando, por exemplo, uma

cantora com voz de soprano emite uma nota musical com frequência igual à fre-

quência própria da taça.

Th

inkst

ock

/Gett

y Im

ag

es

Diapasão acoplado a uma caixa de ressonância. A função da caixa é

amplificar o som do diapasão.


$"1∂56-0��t�0/%"4�40/03"4�"$¡45*$" 275

Um balanço é basicamente um pêndulo simples com frequência

própria de oscilação. Se for aplicada nele uma série de empurrões

com fre quência igual à sua natural, as amplitudes das oscilações

tornam-se cada vez maiores, caracterizando a resso nância.

A ressonância pode ocorrer em sistemas mecânicos, acústicos,

luminosos, elétricos e atômicos.

Ever

ett

Co

llect

ion

/Gru

po

Key

sto

ne

Em cenas de destruição de alguns filmes utilizam-se maquetes, que são destruídas por ressonância, como em Terremoto (1974).

Fotografia no momento da destruição (real) da ponte sobre o rio Tacoma, nos Estados Unidos em 1940, pela ressonância gerada por um vento.

Bet

tman

n/C

OR

BIS

/Lat

inst

ock

Cordas vibrantes

Quando uma corda, tensa e fixa nas extremidades, é

posta a vibrar, originam-se ondas transversais que se propa-

gam ao longo do seu comprimento, refletem-se nas extre-

midades e, por interferência, ocasionam a formação de on-

das estacionárias. A corda, vibrando estacionariamente,

transfere energia ao ar em sua volta, dando origem às on-

das sonoras que se propagam com frequência igual à frequên-

cia de vibração da corda. Assim, uma corda vibrante é uma

fonte sonora. É dessa maneira que se produzem os sons nos

instrumentos de corda.

Quando uma dessas cordas é percutida ou atritada com

um arco, pode apresentar vários modos de vibração, depen-

dendo das frequências. As diferentes fre quências de vibração

são as frequências naturais ou próprias da corda.

As figuras seguintes representam os primeiros possíveis modos de vibração de

uma corda de comprimento ,, cuja onda tem velocidade de propagação v = l á f.

O primeiro modo de vibração (o mais simples) é chamado de 1º harmônico ou som

fundamental; o segundo, de 2º harmônico, e assim por diante. Note-se que, em

cada maneira de vibrar, o comprimento da corda (,) é sempre um múltiplo inteiro

de meio comprimento de onda 1 l2 2.

AN

DR

EW L

AM

BER

T PH

OTO

GR

APH

y/S

PL/L

atin

sto

ck

A corda do violão que você vê vibrando, na fotografia, emite, no seu comprimento natural, a nota lá.

Alb

erto

De

Stef

ano


6/*%"%&��t�0/%6-"5ª3*"276

,

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

λ2

2

λ3

2

λ1

21 · = , ⇒ λ1 =

2,

1

1º- harmônico

ou fundamental15

5

5

5

2

λ2

22 · = , ⇒ λ2 =

2,

2 2º- harmônico1 2

λ3

23 · = , ⇒ λ3 =

2,

33º- harmônico1 2

λ4

24 · = , ⇒ λ4 =

2,

44º- harmônico1 2

λ1

2

λ3

2

λ3

2

λ4

2

λ4

2

λ4

2

λ4

2

λ2

2

Pelo exposto, pode-se deduzir que o enésimo modo de vibração será:

n · ln

2 = , ) l

n =

2,

ncom n = 1, 2, 3, … representando os respectivos harmônicos.

Como f = vl

a frequência do enésimo harmônico será:

fn =

vln

= v

2,

n

= v · n2,

. Portanto:

fn = v ·

n2,

, n = 1, 2, 3... ou fn = n · f

1, sendo f

1 = 1 ·

v2,

.

A frequência de qualquer harmônico é sempre um múltiplo inteiro do som fun-damental. Quando a corda de um determinado instrumento musical é tangida, sur-gem, na vibração resultante, a frequência fundamental e vários dos seus harmôni-cos, sendo que a fundamental caracteriza a altura e os harmônicos, o timbre do som. É por esse motivo que uma corda que emite um som, correspondente a dada nota, emitirá a mesma nota uma oitava acima se for dividida na metade.

Fórmula de Lagrange

O matemático italiano Joseph-Louis de Lagrange (1736-1813) aproveitou os resul-tados da Fórmula de Taylor, que relaciona a velocidade de propagação em uma corda com a força de tração e a sua densidade linear, e combinou-a com a equação funda-mental das ondas, resultando em uma expressão que leva o seu nome. Ele partiu do princípio de que, dada uma corda de comprimento , e tracionada com força de inten-sidade T, a velocidade de propagação v da onda se mantém constante para qualquer das suas frequências naturais de vibração.

v = Tm

em que m = m,

é a densidade linear da corda.

Mas m = d · V. Portanto: m = d · V,

= d · A, em que d é a densidade volumétrica

da corda e A é a área da sua seção reta. Então, a Fórmula de Taylor pode ser escrita

assim: v = Td · A

(I).

As frequências naturais de vibração dessa corda são expressas por:

fn = n ·

v2,

(II).

Substituindo-se (I) em (II), resulta a Fórmula de Lagrange:

fn =

n2,

· Td · A

, n = 1, 2, 3, ...

Esta fórmula é, também, usada pelos fabricantes de piano e de outros instru-mentos de corda.

T T

l

Ilust

raçõ

es: A

lex

Arg

ozi

no


$"1∂56-0��t�0/%"4�40/03"4�"$¡45*$" 277


ER10. Tangendo-se uma das cordas de violão já afina-

do, estabelece-se uma onda estacionária com um úni-

co ventre, cuja frequência de vibração corresponde a

uma determinada nota musical no seu estado funda-

mental. Que procedimento devemos tomar para do-

brar esta frequência, a fim de obter a mesma nota

musical, mas uma oitava acima da funda mental?

Resolução:A nota musical que corresponde ao intervalo de uma

oitava acima da fundamental é obtida fazendo vibrar

a corda estacionariamente com dois ventres, ou seja,

o 2º harmônico. Para tanto, devemos encurtar a cor-

da, fazendo-a vibrar apenas a metade do comprimen-

to, como mostra a figura.

ER11. Uma corda de 60 cm de comprimento vibra com

um único ventre, emitindo um som de frequência 400 Hz.

a) Qual a velocidade de propagação da onda na corda?

b) Caso o comprimento da corda seja dobrado, qual a

nova frequência do som emitido?

Resolução:

, = 60 cm = 0,60 m; n = 1 (um ventre); f1 = 400 Hz

, = 0,60 m

a) Como fn = n ·

v2,

f1 = 1 ·

v2 · 0,60

) 400 = v

1,20 \ v = 480 m/s

b) , = 2, = 1,20 m e v = 480 m/s (constante); então:

f1 = n ·

v

2 · , = 1 · 480

2 · 1,20 ) f1 = 200 Hz

ER12. Quando uma corda tensa, com 1,2 m de compri-

mento e extremidades fixas, é perturbada, passa a osci-

lar estacionariamente com três ventres, na fre quência

de 240 Hz.

a) Qual é o comprimento de onda da onda que origina

o estado estacionário descrito?

b) Qual é a velocidade de propagação da onda ori ginal?

c) Se a amplitude da onda original era de 2,0 cm,

quanto vale a amplitude de cada um dos ventres?

Resolução:

, = 1,2 m; f3 = 240 Hz; n = 3 (3 ventres, 3º harmônico)

,

λλ

2

λ

22

Vamos resolver os itens a e b de dois modos diferentes.

a) Observando a figura, podemos escrever:

3 · l2

= , ) l = 2 · ,3

= 2 · 1,2

3 ) l = 0,8 m

Ou aplicando a expressão:

ln =

2,

n ) l

3 =

2 · 1,23

) l3 = 0,8 m

b) Pela equação fundamental das ondas, temos:

v = l · f = 0,8 · 240 = 192 ) v = 192 m/s

Ou aplicando a expressão:

f3 = n ·

v2,

) v = f3

n · 2, = 240

3 · 2 · 1,2 ) v = 192 m/s

c) Como a amplitude da onda original vale a = 2,0 cm,

a amplitude de cada um dos ventres formados

vale 2a , pois está ocorrendo uma interferência

construtiva da onda que está incidindo com a onda

refletida em um dos extremos da corda.

ER13. Uma corda de violão, com comprimento 50 cm e

densidade linear 4 á 10–4 g/cm, tem suas extremidades

fixas. Sabendo que está tracionada com força de 10 N,

calcule:

a) a velocidade de propagação de uma onda emitida

pela corda;

b) a frequência do som fundamental;

c) a nova frequência do som fundamental emitida pela

corda, ao encurtá-la de 10 cm.

Resolução:, = 50 cm = 0,5 m; m = 4 · 10–4 g/cm = 4 · 10–5 kg/m

a) Aplicando-se a fórmula de Taylor:

v = Tm

= 10

4 · 10–5 = 106

4 = 103

2 )

) v = 500 m/s

Ale

x A

rgo

zin

o

2º- harmônico: 2f

(uma oitava acima)

Fundamental: f

Alb

ert

o D

e

Ste

fan

o

TPG

TPG


6/*%"%&��t�0/%6-"5ª3*"278

b) Aplicando-se a expressão das frequências, para

n = 1 (som fundamental):

fn = n ·

v2,

) f1 = 1 ·

5002 · 0,5

= 500 ) f1 = 500 Hz

c) Ao encurtar de 10 cm, o novo comprimento da

corda , será:

, = , – 10 = 50 – 10 ) , = 40 cm = 0,4 m; e a fre-

quência:

fn = n ·

v2,

5 n = 1 (som fundamental)

v = 500 m/s (constante)

f1 = 1 ·

5002 · 0,4

= 5000,8

) f1 = 625 Hz

ER14. As cordas A e B da figura têm mesmo compri-mento, são feitas de mesmo material e vibram de modo fundamental.

,

A

B

A corda A, submetida a uma tensão de 30 N, possui o dobro do diâmetro da corda B.Determine a força de tração na corda B, sabendo que a frequência emitida por A é um terço daquela emitida por B.

Resolução:

ØA = 2Ø

B (diâmetro de A é o dobro do de B)

RA = 2R

B (raio de A é o dobro do de B)

f1A =

f1B

3 (frequência fundamental de vibração da corda)

,

A

TB

B

TA = 30 N T

A = 30 N

TB

Na fórmula de Lagrange, fn =

n2,

T

d · A, a área A é

igual a:

A = p · R2 (secção reta circular).

fn =

n2,

T

d · p · R2 =

n2, · R

T

d · p

Como f1A = f1

B 3

(condição do exercício), tem-se:

3f1A = f

1B

Então, 3 · 1

2, RA

TA dp

= 1

2, RB

TB dp

3R

A

√TA =

1R

B

√TB

32R

B

√30 = 1R

B

√TB ) 3

2 √30 = √T

B )

) 9 · 30

4 = √T

B )

2704

= TB ) TB = 67,5 N

Ilust

raçõ

es: TP

G

Tubos sonoros

Da mesma forma que existem cordas vibrantes, o ar (ou gás) contido em um tubo pode vibrar de modo estacionário, com determinadas fre quências, produzindo ondas sonoras. Instrumentos musicais de sopro, como flauta, pistão, corneta, tuba etc., são essencialmente constituídos por tubos sono-ros, nos quais uma coluna de ar é posta a vibrar, soprando-se a extremidade chamada de embocadura, que possui dispositivos vibrantes apropriados.

Os tubos sonoros mais simples, como os do órgão, podem ser abertos ou fechados. No caso de tubo aberto, as duas extremidades são abertas, e, no tubo fechado, uma das extremidades é fechada e a outra é aberta.

Se uma fonte sonora for colocada na extremidade aberta de um tubo, as ondas sonoras emitidas serão superpostas às que se refletirem na outra ex-tremidade, produzindo ondas estacionárias com determinadas frequências. Nessas condições, a coluna de ar no tubo entra em ressonância com a fre- quência emitida pela fonte.

Uma extremidade aberta sempre corresponde a um ventre (interferência construtiva), e a fechada, a um nó (interferência destrutiva).

Nas figuras a seguir, vemos a representação de tubos sonoros de compri-mento ,, cujas ondas se propagam com velocidade v.

Órgão do Duomo de Orvieto, catedral gótico-romana da Itália. Sua construção começou no século XIII. Fotografia de junho de 2011.

An

dre

Jen

ny/

Sto

ck C

on

nec

tio

n/G

low

Imag

es


$"1∂56-0��t�0/%"4�40/03"4�"$¡45*$" 279

Tubo aberto

As três primeiras possíveis configurações de ondas estacionárias são:

,

n = 1

n = 2

n = 3

λ1

4

λ1

4

λ2

4

λ2

4

λ2

4

λ2

4

λ3

4

λ3

4

λ3

4

λ3

4

λ3

4

λ3

4

6 λ1

42 · = 1 · = , ⇒ λ1 =

λ1

2

2,

1

6 λ2

44 · = 2 · = , ⇒ λ2 =

λ2

2

2,

2

som fundamental

ou 1º- harmônico1 2

2º- harmônico1 2

6 λ3

46 · = 3 · = , ⇒ λ3 =

λ3

2

2,

3

3º- harmônico1 2

Ilust

raçõ

es:

Ale

x A

rgo

zin

o

O enésimo modo de vibração será:

n · ln

2 = , ) ln =

2,

n onde n = 1, 2, 3, ...

A frequência dos harmônicos será:

fn =

vl

v

= v

2, n

) fn = n ·

v2,

onde n = 1, 2, 3, ...

fn = n · f

1

No tubo aberto, obtêm-se frequências naturais de todos os harmônicos (como

na corda vibrante).

Th

inkst

ock

/Gett

y Im

ag

es

O som do saxofone, instrumento inventado no século XIX, é produzido por uma palheta que vibra com a passagem do ar; essas vibrações percorrem o corpo do instrumento e são moduladas pelas chaves.

Tubo fechado

As três primeiras possíveis configurações de ondas estacionárias são:

,

i = 1

i = 3

i = 5

λ1

4

λ3

4

λ3

4

λ3

4

λ5

4

λ5

4

λ5

4

λ5

4

λ5

4

6 λ1

41 · = , ⇒ λ1 =

4,

1

6 λ3

43 · = , ⇒ λ3 =

4,

3

6 λ5

45 · = , ⇒ λ5 =

4,

5


6/*%"%&��t�0/%6-"5ª3*"280


ER15. Um tubo sonoro emite som fundamental de fre-quência 100 Hz. A velocidade do som no ar é de 340 m/s. Determine o comprimento do tubo, supondo-o:

a) aberto; b) fechado.

Resolução:a) No tubo aberto, a frequência é expressa por:

TPG

,a

fn = n · v2,a

f1 = 1 · v2,a

) ,a = v2f1

= 3402 · 100

) ,a = 1,7 m

b) No tubo fechado, a frequência é expressa por:

,f

TPG

fi = i · v4,f

f1 = 1 · v4,f

) ,f = v4f1

= 3404 · 100

) ,f = 0,85 m

ER16. A figura representa uma onda estacionária que

se forma em um tubo sonoro fechado. A velocidade do

som no ar é de 340 m/s.

1 m

TPG

Calcule:a) a frequência do som emitido pelo tubo;

b) a frequência do som fundamental que o tubo pode

emitir.

Resolução:v = 340 m/s

, = 1 m (figura)

i = 3 (3º- harmônico)

a) A frequência do tubo fechado é dada por:

fi = i · v4,

) f3 = 3 · 3404 · 1

) f3 = 255 Hz

b) fi = i · f1

f3 = 3 · f1 ) f1 = f3

3 = 255

3 ) f1 = 85 Hz

ER17. Um diapasão emite som de frequência constante sobre o tubo sonoro da figura. A água escoa len-tamente pelo orifício O do tubo ini-cialmente cheio. No instante em que o nível da água encontra-se à distância d = 20 cm da boca do tubo, ocorre um primeiro reforço de som (ressonância).

Sendo de 340 m/s a velocidade do som no ar, calcule:

a) a frequência da onda sonora;

b) o comprimento de onda do som;

c) a distância d da boca do tubo ao nível da água,

para que ocorra o segundo reforço de som.

Resolução:

À medida que o nível da água vai baixando, ocorrem reforços de som quando a frequência de vibração do diapasão coincide com uma das frequências naturais de vibração da coluna de ar do tubo (ressonância).

a) Representando-se o primeiro modo de vibração da coluna de ar no tubo fechado, de compri-mento d = 20 cm, ocorre um ventre de vibração na boca do tubo e um nó na superfície da água.

Então, como d = , = 20 cm = 0,2 m e v = 340 m/s, tem-se:

fi = i · v4,

= 1 · 3404 · 0,2

) f1 = 425 Hz

, = 1 m

λ3

4

λ3

4

λ3

4

TPG

O i-ésimo modo de vibração será:

i = li

4 = , ) li =

4,

i onde i = 1, 3, 5, ...

A frequência dos harmônicos será:

fi =

vl

i

= v

4, i

) fi = i ·

v4,

onde i = 1, 3, 5, ... ou f1 = i · f

1

No tubo fechado, obtêm-se frequências naturais apenas dos harmônicos ím pares.

As mesmas configurações de ondas estacionárias obtidas em um tubo fechado

ocorrem em uma corda tensa de comprimento ,, com um extremo livre e outro fixo.

Luiz

Fern

an

do R

ub

ioLu

iz F

ern

an

do R

ub

io

d = 20 cm

O

d


$"1∂56-0��t�0/%"4�40/03"4�"$¡45*$" 281

b) Como f = 425 Hz e v = 340 m/s:

l = vf =

340425

) l = 0,8 m = 80 cm

c) O segundo reforço do som ocorre

quando a coluna de ar vibra, esta-

cionariamente, na situação do ter-

ceiro harmônico, conforme a figu-

ra. Como a frequência de vibração

só depende da fonte (diapasão),

tem-se: f = 425 Hz.

Assim, f = 3 · v

4d ) d =

3v4f

= 3 · 3404 · 425

)

) d = 0,6 m = 60 cm

Observações:

• O item c pode ser calculado de outra forma:

d = 3d = 3 · 20 cm = 60 cm

• Não se deve confundir o 3º- harmônico de um

tubo de comprimento d = 60 cm, que vibra com

frequência 425 Hz, com o 3º- harmônico do tubo

de comprimento d = 20 cm, que só vibra com fre-

quência:

f3 = 3 ·

v4d

= 3 · 340

4 · 0,2 ) f

3 = 1,275 Hz

d

d

d

d

Luiz

Fer

nan

do

Ru

bio

Efeito DopplerO efeito Doppler, para ondas, é o fenômeno pelo qual um observador percebe

uma frequência diferente da emitida por uma fonte, devido ao movimento relativo entre eles (observador e fonte).

É o que acontece quando uma ambulância, com sua sirene ligada, passa por um observador (parado ou não). Enquanto a ambulância se aproxima, a frequência por ele percebida é maior que a real (mais aguda); mas, à medida que ela se afasta, a frequência percebida é menor (mais grave).

Considerem-se:

• fO — frequência aparente percebida

pelo observador.

• fF — frequência real emitida pela

fonte F.

• vO — velocidade do observador.

• vF — velocidade da fonte.

• v — velocidade da onda sonora.

Determina-se a fórmula geral para se calcular a

frequência aparente percebida pelo observador, da

seguinte forma:

• Supondo-se o observador em repouso e a fonte

em movimento.

Caso a fonte F se aproxime do observador O1,

haverá um encurtamento aparente do compri-mento de onda l

1, em relação ao l normal. Por-

tanto, a frequência percebida pelo observador será maior que a frequência real da fonte (f

O1 . f

F), ou seja:

fO1

= v

l1

= vv

rel

fF

= vv – v

F

fF

= 1 vv – v

F2 · fF

(I)

Caso a fonte F se afaste da observadora O2, haverá um alongamento aparente

do comprimento de onda l2, em relação ao l normal. Portanto, a frequência perce-

bida pela observadora será menor que a frequência real da fonte (fO2

, fF), ou seja:

fO2

= v

l2

= vv

rel

fF

= vv + v

F

fF

= 1 vv + v

F2 · fF

(II)

Combinando-se (I) e (II):f

O = 1 v

v ± vf2 · fF

(III)

Alb

erto

De

Stef

ano

o1

vF

vl1

l2F

vo1

= 0 vo2

= 0

o2


6/*%"%&��t�0/%6-"5ª3*"282


ER18. Uma fonte emite som de frequência 1 110 Hz e

se afasta de um observador com velocidade de 30 m/s.

O observador também se afasta da fonte com veloci-

dade de 10 m/s. Sen-

do a velocidade do

som igual a 340 m/s,

qual a frequência ou-

vida pelo observador?

Resolução:

Dados: fF = 1 110 Hz; v

F = 30 m/s; v

O = 10 m/s;

v = 340 m/s

Aplica-se a fórmula geral do efeito Doppler:

1f

O

v ± vO2 = 1

fF

v ± vF2

Adotando-se a convenção de sinais, fica:f

O

v ± vO

= f

F

v ± vF

) f

O

340 – 10 =

1 110340 + 30

)

)

fO

330 =

1 110370

) fO = 990 Hz

ER19. Um observador parado ouve a sirene de uma ambu-

lância aproximando-se dele, com frequência de 880 Hz.

Depois que passa, a frequência ouvida é de 800 Hz. Sen-

do de 350 m/s a velocidade do som no ar, calcule com

que velocidade a ambulância passou pelo observador.

Resolução:v

O = 0

v = 350 m/s

Fv = 0O

O F

v v( )fF

( )fF

( )fO

vF

vF

+ +

Ilust

raçõ

es:

Alb

ert

o D

e S

tefa

no• Supondo-se a fonte em repouso e o obser-

vador em movimento.

Para o observador O1, que se aproxima da

fonte F, haverá um maior número de encontros

com as frentes de onda do que se estivesse pa-

rado, em um mesmo intervalo de tempo. As-

sim, a frequência por ele percebida será maior

que a frequência normal (fO1

. fF), ou seja:

fO1

= v

rel

l =

v + vO

l =

v + vO

vf

F

= 1v + vO

v 2 · fF (IV)

Mas, caso a observadora O2 se afaste da fonte, haverá um menor número de

encontros com as frentes de onda do que se ela estivesse parada, num mesmo in-

tervalo de tempo.

A frequência por ela percebida será menor que a frequência normal (fO2

, fF), ou seja:

fO2

= v

rel

l =

v – vO

l =

v – vO

vf

F

= 1v – vO

v 2 · fF (V)

Combinando-se (IV) e (V):

fO = 1

v ± vO

v 2 · fF (VI)

• Supondo-se ambos, o observador e a fonte, em movimento relativo sobre a mes-

ma reta. Nessas condições, basta combinarem-se as expressões (III) e (VI), obten-

do-se:

fO = 1v ± vO

v ± vF2 · fF ou 1 f

O

v ± vO2 = 1 f

F

v ± vF2

A expressão anterior, a da fórmula geral do efeito Doppler, é válida, com a

seguinte convenção de sinais:

Orienta-se sempre positivamente do observador O para a fonte F:

• caso os sentidos de vO e v

F coincidam com a orientação convencionada,

adota-se o sinal mais (+);

• caso contrário, adota-se o sinal menos (–).

v vF

λ

vO

vF

= 0

O2

O1

vO

OFv

+

vO

+

vF


$"1∂56-0��t�0/%"4�40/03"4�"$¡45*$" 283

Aplicando-se a fórmula geral, 1 fO

v ± vO2 = 1

fF

v ± vF2,

nos dois casos:

1) a ambulância aproxima-se do observador:

f

O

v ± vO

= f

F

v ± vF

) 880350

= f

F

350 – vF

(I)

2) a ambulância afasta-se do observador:

f

O

v ± vO

= f

F

v ± vF

) 880350

= f

F

350 + vF

(II)

Dividindo-se, membro a membro, (I) por (II):

880350800350

=

fF

350 – vF

fF

350 + vF

) 880800

= 350 + vF

350 – vF

)

) 1110

= 350 + vF

350 – vF

)

) 10(350 + vF) = 11(350 – v

F) ) 21v

F = 350

vF > 16,7 m/s

EP1. Considerando as frequências-limite dos sons per-ceptíveis ao ser humano, e sendo de 340 m/s a veloci-dade do som no ar, determine os comprimentos de onda mínimo e máximo audíveis ao ser humano.

EP2. Uma fonte emite uma onda sonora de compri-mento de onda 50 cm, que se propaga no ar com velo-cidade de 340 m/s. Determine a frequência do som que está uma oitava acima desta. 1 360 Hz

EP3. Ao se medir o nível sonoro de um restaurante baru-lhento, um aparelho registrou 80 decibels. Sabendo-se que a intensidade física mínima é de 10–12 W/m2, quanto era a intensidade física do restaurante?

EP4. Barcos e navios possuem sonar para saber a profun-didade das águas de um local. Normalmente os radares emitem ondas na faixa do ultrassom. O sonar de um navio, em repouso em relação à água do mar, emite uma fre- quência de 50 kHz, a qual se reflete no fundo e é captada 0,8 s após sua emissão. Sendo de 1 500 m/s a velocidade do ultrassom na água, determine a profundidade do local.

EP5. Um técnico de som está testando o alto-falante

de um estádio de futebol de forma oval e sem público.

O aparelho está fixo no ponto F, enquanto o técnico

fica no ponto T, diametralmente oposto, conforme a

figura. Ligado o alto-falante, o técnico ouve distinta-

mente o som direto e

o refletido pela arqui-

bancada. O direto che-

ga até ele em 0,6 s,

enquanto o refletido,

0,2 s depois. Conside-

re a velocidade do som

no ar igual a 340 m/s.

Calcule: 204 m

a) a distância FT que separa o alto-falante do técnico;

b) a distância FI do alto-falante ao ponto de incidência

do som que se reflete na arquibancada; 136 m

c) a distância IT do ponto de incidência ao técnico de som.

Justifique.

EP6. Uma corda de violão vibra estacionariamente no

modo fundamental com frequência de 200 Hz. Sendo

de 60 cm o seu comprimento, determine:

a) o comprimento de onda; 1,2 m

b) a velocidade de propagação. 240 m/s

EP7. (Emem-PPL) Em um violão afinado, quando se toca a

corda Lá com seu comprimento efetivo (harmônico funda-

mental), o som produzido tem frequência de 440 Hz. Se a

mesma corda do violão é comprimida na metade do seu

comprimento, a frequência do novo harmônico

a) se reduz à metade, porque o comprimento de onda

dobrou.

b) dobra, porque o comprimento de onda foi reduzido

à metade. X

c) quadruplica, porque o comprimento de onda foi re-

duzido à metade.

d) quadruplica, porque o comprimento de onda foi re-

duzido à quarta parte.

EP8. As cordas A e B, da figura, têm comprimentos

iguais, são feitas de mesmo material e vibram de modo

fundamental.

A

B

,

A corda A, submetida a uma tensão de 15 N, possui o

triplo do diâmetro da corda B.

Determine a tensão a que está sujeita a corda B, saben-

do que a frequência emitida por A é a metade daquela

emitida por B. 6,7 N

lmín

= 0,017 m = 1,7 cm; lmáx

= 17 m

10–4 W/m2

600 m

F T

I

TPG

136 m, pois no ponto de incidência ocorre reflexão, portanto deve obedecer às leis da reflexão.

TPG

Exerc’cios propostos NÃO escreva NO livrO

FaÇa NO caderNO


6/*%"%&��t�0/%6-"5ª3*"284

EP9. Sabe-se que a velocidade de propagação da onda sonora no ar contido no interior de um tubo é de 340 m/s. Quer-se construir dois tubos sonoros, um fe-chado e outro aberto, tais que ambos emitam som fun-damental de frequência 50 Hz. Que comprimento deve ter cada um dos tubos? 1,7 m (fechado) e

3,4 m (aberto)

EP10. Uma onda estacionária se forma num tubo so-noro fechado, como ilustra a figura a seguir. Admitin-do ser de 340 m/s a velocidade do som no ar, calcule:

= 1,5 m,

a) a frequência do som emitido pelo tubo; 170 Hz

b) a frequência do som fundamental que o tubo po de

emitir. 56,7 Hz

EP11. A figura ao lado mostra um diapasão vibrando na boca de um tubo, em cujo interior o nível de água vai descendo lentamente. Verifica-se que, para determinados níveis de água, há um reforço de som (ressonância) e para outros, não. O primeiro reforço de som ocorre quando o nível da água se encontra a uma distância d = 15 cm da boca do tubo. Sendo de 300 m/s a velocidade do som no ar, determine:

a) a frequência da onda sonora emitida pelo diapasão;

b) o comprimento de onda do som; 0,6 m

c) a distância d do nível da água à boca do tubo, no

instante em que ocorre o segundo reforço de som.

EP12. Paramédicos de um veículo de resgate estão aten-dendo a uma ocorrência numa avenida. O carro está es-tacionado com sua sirene em pleno funcionamento. A sirene possui um disco com 50 furos e realiza 600 rota-ções por minuto emitindo uma frequência característica. Uma pessoa, que estava fazendo uma caminhada na avenida, curiosa, sai correndo em velocidade constante em direção ao carro de resgate, ouvindo o som da sirene aparentemente na frequência de 510 Hz.a) Qual é a frequência característica do som emitido

pela sirene? 500 Hz

b) Com que velocidade a pessoa correu em direção ao acontecido? 6,8 m/s

EP13. O físico Galileu Galilei já afirmava que a Matemá-tica é uma linguagem da Física. Por exemplo, as frequên-cias das notas musicais obedecem a uma progressão geométrica (PG). A escala musical temperada é definida matematicamente como sendo uma PG cujos termos

são as frequências das notas, em Hz, e a razão igual a 1,0594631. A cada doze termos, nós temos a duplica-ção da frequência: (1,0594631)12 = 2.Então, repetem-se os nomes das notas musicais:• uma determinada nota DÓ tem 261,6 Hz e a próxima

nota DÓ tem 523,2 Hz;• uma dada nota LÁ tem 440 Hz e a próxima nota LÁ

tem 880 Hz.Dizemos que uma nota cuja frequência é o dobro da outra está uma oitava acima na escala musical. E cada oitava é dividida em 12 intervalos, em que as notas são:

sonsmais agudos

sonsmais graves

dó mi fá sol lá siré dó mi fá sol lá siré dó mi fá sol lá siré

De uma nota a outra, o intervalo é chamado de um semitom, ou seja, meio-tom.

Conforme as informações anteriores, responda:

a) Se uma nota musical tiver a frequência de 1 046,4 Hz, então qual é a frequência da nota DÓ duas oitavas acima? 4 185,6 Hz b) Sim, pois 14 080 Hz é frequência

de um som audível.

b) É possível a uma pessoa ouvir uma nota LÁ que es-teja 4 oitavas acima de 880 Hz? Justifique.

c) Qual é a menor frequência da nota LÁ audível?

EP14. (UFRGS-RS) Analise cada uma das seguintes afir-mativas:

I. Uma pessoa que observa um objeto distante através de um binóculo o enxerga ampliado. Essa ampliação se deve à luz que, proveniente do objeto, sofre

quando atravessa as lentes do binóculo.

II. Diante de uma pintura colorida e iluminada com luz branca, um observador enxerga diferentes cores. A percepção das diferentes cores por parte do observa-dor também depende da da luz pela pintura.

III. Quando uma ambulância, com a sirene ligada, se aproxima de um observador parado em relação ao ar, o som da sirene se torna mais agudo para o ob-servador do que quando a ambulância se afasta. Essa mudança na altura do som se deve à variação do(a) do som para o observador.

Indique a opção que preenche corretamente, na ordem, as lacunas das afirmativas acima.

a) refração — absorção — comprimento de onda X

b) refração — reflexão — velocidade de propagação

c) difração — refração — interferência

d) interferência — reflexão — velocidade de propagação

e) interferência — absorção — frequência

TPG

O

d

Luiz

Fer

nan

do R

ub

io

500 Hz

d = 0,45 m

Alb

erto

de

Stef

ano

27,5 Hz


unidade ondulatória -...

Documents