unidade iii - transformações lineares (beta)

7/24/2019 Unidade III - Transformaes Lineares (BETA)

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APOSTILA

DE

ALGEBRA LINEAR(3 PARTE)

CURSO: ENGENHARIA CIVIL, DE PETRLEOE DE PRODUO

PROF.: MRIO S. TARANTO

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CDIGO DA DISCIPLINA: FIM!3"

EMENTA:Sistemas Lineares. Espaos vetoriais. Transformaes lineares. Autovalores e autovetores.

OBJETIVOS! "E#AL IS!:A$%uirir e apli&ar os &on'e&imentos $e (l)e*ra linear na resolu+o $e pro*lemas e situaes&on&retas em En)en'aria.

OBJETIVOS ES,E-/I-OS :0. -ompreen$er o &on&eito $e vetor.1. 2tili3ar o &(l&ulo &om matri3es na resolu+o $e sistemas lineares4. -ompreen$er o &on&eito $e espaos vetoriais5. Apli&ar o &on&eito $e Transforma+o Linear na resolu+o $e pro*lemas6. -al&ular autovalores e autovetores

-ONTE78O ,#O"#AM9TI-O:

2ni$a$e I SISTEMAS LINEA#ES0.0 Matri3es e $eterminantes0.1 8is&uss+o e resolu+o $e sistemas lineares0.5 M;to$o $a Matri3 inversa

2ni$a$e II ES,An&ia e in$epen$>n&ia linear= *ase e $imens+o.

2ni$a$e III T#ANS/O#MA


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3 TRANSFORMAO LINEAR

3." DEFINIO

SeFam V e H espaos vetoriais reais. 8i3emos %ue uma fun+o T :V H ; uma#$%&'$*%+ -&/%$ se a fun+o T 0$/'/$1% %' 0/$%+2/' $e a$i+o e $e multipli&a+o pores&alar isto ; se os se)uintes aCiomas s+o satisfeitos:

TL0. ,ara %uais%uer vu V Tv u! K Tv! Tu! .TL1. ,ara to$o v V e para to$o R T v! K Tv!.

ECemplos:

0! T : R R

C ! TC ! K C !

Verifi&an$o os aCiomas:TL0. TC ! 3 t!! K TC ! T3 t! para %uais%uer C ! 3 t! R

TC ! 3t!! K TC 3 t! K C 3! t!! K C 3 t!TC ! T3 t! K C ! 3t! K C 3 t!

Assim a transforma+o linear T preserva a opera+o $e a$i+o $e vetores.

TL1. T C !! K TC ! para to$o C ! Re para to$o R

T C !! K TC ! K C!!! K C! !! K C ! K TC !

Assim a transforma+o linear T preserva a opera+o $e multipli&a+o por es&alar.-onsi$ere v K 0 1! e u K 0 4!.

Tv! K T0 1! K 0 1!Tu! K T0 4! K 0 4!

Tv! Tu! K 0 1! 0 4! K P 6!Tv u! K T0 1! 0 4!! K TP 6! K P 6!

T1 v! K T1 0 1!! K T1 5! K 1 5! K 1 0 1! K 1 T0 1! K 1 Tv!

1! T :R3 R3

C 3! a TC 3! K C P!

T ; uma transforma+o linear Verifi%ue Q!

Esta transforma+o linear asso&ia a &a$a vetor $o R3 sua proFe+o orto)onal so*re oplano R.

A transforma+o linear TP: V H tal %ue v TPv! P; $enomina$a T$%&'$*%+N4-%.

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SeFa a transforma+o linear T :V H . Se os &onFuntos V e H s+o i)uais V K H ent+oT ; $enomina$a um O0/$%5$ L&/%$.

O opera$or linear Iv: V V tal %ue v Ivv! K v ; $enomina$o O0/$%5$ I5/%5/.

As transformaes lineares T :V R s+o $enomina$as F4&6&%' L&/%$/'.

3. OPERADORES LINEARES NO ESPAO VETORIAL R

#efleC+o em torno $o eiCo R: TC ! K C ! .

#efleC+o em torno $o eiCo : TC ! K C ! .

#efleC+o em torno $a ori)em: TC ! K C ! .

#efleC+o em torno $a reta C K : TC ! K C! .

#efleC+o em torno $a reta C K : TC ! K C! .

E7ERC8CIOS

0 U SeFa T : R R um opera$or linear tal %ue T1 4! K 0 6! e TP 0! K 1 0!. 8etermine alei %ue $efine este opera$or

1 U ual ; a transforma+o linear T : RR3tal %ue T0 P! K 1 U0 P! e TP 0! K P P 0!

4 U A&'e a transforma+o linear T : R3 R tal %ue T0 P P! K 1 P! TP 0 P! K 0 0! eTP P 0! K P U0!.

5 U Sen$o a transforma+o $o eCer&&io anterior en&ontre 1$e R3tal %ue Tv! K 4 1!.

6 U ual ; a transforma+o linear T : RR3tal %ue T0 0! K 4 1 0! e TP U1 ! K P 0 P!A&'e T0 P! e TP 0!.

W U SeFa T : R R um opera$or linear tal %ue T0 0! K 0 0! e T0 1! K 0 P!. 8etermine a

lei %ue $efine este opera$or

X U A&'e a transforma+o linear T : R3 R tal %ue T4 1 0! K 0 0! TP 0 P! K P U1! eTP P 0! K P P!.

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Y U SeFam K Z0 U0! P 1![ e K Z0 P U0! P 0 1! 0 1 P![ *ases $e R e R3

respe&tivamente e

[ ]

=

1

1

0

0

1

1

T .

a! A&'e T.

*! Se SC ! K 1 C U C! a&'e [ ]S .

\ U SeFa T : R3Rtal %ue TC 3! K 1C U 3 4C U 1 53!. SeFam K Z0 0 0! 0 0 P!

0 P P![ e K Z0 4! 0 5![. -al&ule [ ]T .

0P U A&'e a transforma+o T $o plano no plano %ue ; uma refleC+o em torno $a reta C K .

3.3 N9CLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAO LINEAR

N6-/ 5/ 4*% #$%&'$*%+ -&/%$ T : V H ; o &onFunto $e vetores $o espao vetorial V&uFa ima)em ; o vetor ;.

Nota+o: NT! K Zv V ] Tv! K P[

I*%


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Assim C K P C K .

,ortanto NT ! K ZC ! R] C K [ K Z ! R[.

2ma *ase ; Z0 0![ e $im NT ! K 0.

E7ERC8CIOS

00 U SeFa a transforma+o linear TC 3! K C 3 C UC U ! $e T : R3R3. -al&ule aima)em $a *ase &an@ni&a $o R3.

01 U 8etermine uma *ase e a $imens+o para ImT!.

04 U 8etermine o nD&leo $e T e sua $imens+o.

05 U Sen$o T : RR!e TC ! K C U C C ! $etermine:

a! Base $a ImT!=

*! 8imens+o $a ImT!= e

&! NT!.

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