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7/24/2019 Unidade III - Transformaes Lineares (BETA)
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APOSTILA
DE
ALGEBRA LINEAR(3 PARTE)
CURSO: ENGENHARIA CIVIL, DE PETRLEOE DE PRODUO
PROF.: MRIO S. TARANTO
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CDIGO DA DISCIPLINA: FIM!3"
EMENTA:Sistemas Lineares. Espaos vetoriais. Transformaes lineares. Autovalores e autovetores.
OBJETIVOS! "E#AL IS!:A$%uirir e apli&ar os &on'e&imentos $e (l)e*ra linear na resolu+o $e pro*lemas e situaes&on&retas em En)en'aria.
OBJETIVOS ES,E-/I-OS :0. -ompreen$er o &on&eito $e vetor.1. 2tili3ar o &(l&ulo &om matri3es na resolu+o $e sistemas lineares4. -ompreen$er o &on&eito $e espaos vetoriais5. Apli&ar o &on&eito $e Transforma+o Linear na resolu+o $e pro*lemas6. -al&ular autovalores e autovetores
-ONTE78O ,#O"#AM9TI-O:
2ni$a$e I SISTEMAS LINEA#ES0.0 Matri3es e $eterminantes0.1 8is&uss+o e resolu+o $e sistemas lineares0.5 M;to$o $a Matri3 inversa
2ni$a$e II ES,An&ia e in$epen$>n&ia linear= *ase e $imens+o.
2ni$a$e III T#ANS/O#MA
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3 TRANSFORMAO LINEAR
3." DEFINIO
SeFam V e H espaos vetoriais reais. 8i3emos %ue uma fun+o T :V H ; uma#$%&'$*%+ -&/%$ se a fun+o T 0$/'/$1% %' 0/$%+2/' $e a$i+o e $e multipli&a+o pores&alar isto ; se os se)uintes aCiomas s+o satisfeitos:
TL0. ,ara %uais%uer vu V Tv u! K Tv! Tu! .TL1. ,ara to$o v V e para to$o R T v! K Tv!.
ECemplos:
0! T : R R
C ! TC ! K C !
Verifi&an$o os aCiomas:TL0. TC ! 3 t!! K TC ! T3 t! para %uais%uer C ! 3 t! R
TC ! 3t!! K TC 3 t! K C 3! t!! K C 3 t!TC ! T3 t! K C ! 3t! K C 3 t!
Assim a transforma+o linear T preserva a opera+o $e a$i+o $e vetores.
TL1. T C !! K TC ! para to$o C ! Re para to$o R
T C !! K TC ! K C!!! K C! !! K C ! K TC !
Assim a transforma+o linear T preserva a opera+o $e multipli&a+o por es&alar.-onsi$ere v K 0 1! e u K 0 4!.
Tv! K T0 1! K 0 1!Tu! K T0 4! K 0 4!
Tv! Tu! K 0 1! 0 4! K P 6!Tv u! K T0 1! 0 4!! K TP 6! K P 6!
T1 v! K T1 0 1!! K T1 5! K 1 5! K 1 0 1! K 1 T0 1! K 1 Tv!
1! T :R3 R3
C 3! a TC 3! K C P!
T ; uma transforma+o linear Verifi%ue Q!
Esta transforma+o linear asso&ia a &a$a vetor $o R3 sua proFe+o orto)onal so*re oplano R.
A transforma+o linear TP: V H tal %ue v TPv! P; $enomina$a T$%&'$*%+N4-%.
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SeFa a transforma+o linear T :V H . Se os &onFuntos V e H s+o i)uais V K H ent+oT ; $enomina$a um O0/$%5$ L&/%$.
O opera$or linear Iv: V V tal %ue v Ivv! K v ; $enomina$o O0/$%5$ I5/%5/.
As transformaes lineares T :V R s+o $enomina$as F4&6&%' L&/%$/'.
3. OPERADORES LINEARES NO ESPAO VETORIAL R
#efleC+o em torno $o eiCo R: TC ! K C ! .
#efleC+o em torno $o eiCo : TC ! K C ! .
#efleC+o em torno $a ori)em: TC ! K C ! .
#efleC+o em torno $a reta C K : TC ! K C! .
#efleC+o em torno $a reta C K : TC ! K C! .
E7ERC8CIOS
0 U SeFa T : R R um opera$or linear tal %ue T1 4! K 0 6! e TP 0! K 1 0!. 8etermine alei %ue $efine este opera$or
1 U ual ; a transforma+o linear T : RR3tal %ue T0 P! K 1 U0 P! e TP 0! K P P 0!
4 U A&'e a transforma+o linear T : R3 R tal %ue T0 P P! K 1 P! TP 0 P! K 0 0! eTP P 0! K P U0!.
5 U Sen$o a transforma+o $o eCer&&io anterior en&ontre 1$e R3tal %ue Tv! K 4 1!.
6 U ual ; a transforma+o linear T : RR3tal %ue T0 0! K 4 1 0! e TP U1 ! K P 0 P!A&'e T0 P! e TP 0!.
W U SeFa T : R R um opera$or linear tal %ue T0 0! K 0 0! e T0 1! K 0 P!. 8etermine a
lei %ue $efine este opera$or
X U A&'e a transforma+o linear T : R3 R tal %ue T4 1 0! K 0 0! TP 0 P! K P U1! eTP P 0! K P P!.
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Y U SeFam K Z0 U0! P 1![ e K Z0 P U0! P 0 1! 0 1 P![ *ases $e R e R3
respe&tivamente e
[ ]
=
1
1
0
0
1
1
T .
a! A&'e T.
*! Se SC ! K 1 C U C! a&'e [ ]S .
\ U SeFa T : R3Rtal %ue TC 3! K 1C U 3 4C U 1 53!. SeFam K Z0 0 0! 0 0 P!
0 P P![ e K Z0 4! 0 5![. -al&ule [ ]T .
0P U A&'e a transforma+o T $o plano no plano %ue ; uma refleC+o em torno $a reta C K .
3.3 N9CLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAO LINEAR
N6-/ 5/ 4*% #$%&'$*%+ -&/%$ T : V H ; o &onFunto $e vetores $o espao vetorial V&uFa ima)em ; o vetor ;.
Nota+o: NT! K Zv V ] Tv! K P[
I*%
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Assim C K P C K .
,ortanto NT ! K ZC ! R] C K [ K Z ! R[.
2ma *ase ; Z0 0![ e $im NT ! K 0.
E7ERC8CIOS
00 U SeFa a transforma+o linear TC 3! K C 3 C UC U ! $e T : R3R3. -al&ule aima)em $a *ase &an@ni&a $o R3.
01 U 8etermine uma *ase e a $imens+o para ImT!.
04 U 8etermine o nD&leo $e T e sua $imens+o.
05 U Sen$o T : RR!e TC ! K C U C C ! $etermine:
a! Base $a ImT!=
*! 8imens+o $a ImT!= e
&! NT!.
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