unidade 3 cap 1.2 (a)

Lógica proposicional clássica= disciplina da Lógica iniciada pelos estóicos (Grécia, séc. III a.C.)

e desenvolvida no séc. XX.

Proposição= pensamento expresso numa frase declarativa com sentido

Forma proposicional= estrutura da proposição (sem qualquer conteúdo)

Variável proposicional= símbolo que representa uma proposição

(consoantes maiúsculas a partir do P)

As variáveis proposicionais surgem nas formas proposicionais

Proposição

Simples = não tem qualquer operador

Composta = tem algum operador

Operador proposicional= expressão que acrescentada a uma ou a duas proposições (simples ou compostas)

forma uma nova proposição

Ex. 1Operador proposicional: “Toda a gente sabe que”. Frase: “Cinco é um número primo”

Nova frase: “Toda a gente sabe que cinco é um número primo”

Ex. 2Operador proposicional: “e”. Frases: “Sábado vou sair”, “Sábado vou divertir-me”.

Nova frase: “Sábado vou sair e [sábado vou] divertir-me”

Operador [proposicional] verofuncional= aquele que faz com que

[sabendo-se] o valor de verdade da(s) proposição(ões) sem eledetermine / [sabe-se]

o valor de verdade da proposição com ele

Existe justiça social

F

Ex. 1 operador não verofuncional:

“O Asdrúbal gostaria que”

O Asdrúbal gostaria que existisse justiça social

?

OperadoresUnários = aplicam-se a uma proposição

Binários = aplicam-se a duas proposições

Ex. 2 Operador verofuncional: “É falso que” ou “não”

É falso que Matosinhos fique a sul do Douro

V

Matosinhos fica a sul do rio Douro

F

No caso do operador verofuncional “É falso que” ou “não”

a sua colocação inverte o valor de verdade da proposição primitiva

Matosinhos não fica a sul do Douro

V

Ex. 3 Operador verofuncional:

“e”

O Pedro é estudante da ESAG e mora em Lavra

F

O Pedro é estudante da ESAG

V

O Pedro mora em Lavra

F

No caso do operador verofuncional “e”

basta que uma das proposições intervenientes seja falsa para que a formada por elas ligadas pelo operador seja falsa

Ex. 4 Operador verofuncional:

“ou”

A Luísa foi para a escola ou passear

V

A Luísa foi para a escola

V

A Luísa foi passear

F

No caso do operador verofuncional “ou”

basta que uma das proposições intervenientes seja verdadeira para que a formada por elas ligadas pelo operador seja verdadeira

Tabelas de Verdade

Tabela de verdade

= dispositivo gráfico que exibe os valores de verdade de uma forma proposicional

em cada uma das condições de verdade

Condições de verdade

= circunstâncias que tornam uma proposição verdadeira ou falsa

Ex. 1“Três é um número par”

Circunstâncias possíveis: I – três ser um número par. II – três não ser um número par.

Na circunstância I a frase é verdadeira e na circunstância II a frase é falsa.

Ex. 2“O Xico caminha gingão e [o Xico] mastiga chiclete.”

Existem quatro circunstâncias possíveis:

I – O Xico caminhar gingão (V) e mastigar chiclete (V).II – O Xico caminhar gingão (V) e não mastigar chiclete (F).III – O Xico não caminhar gingão (F) e mastigar chiclete (V).IV – O Xico não caminhar gingão (F) e não mastigar chiclete (F).

Valor de verdade da frase citada em cada uma das circunstâncias:

• na circunstância I, a frase é V• na circunstância II, a frase é F• na circunstância III, a frase é F• na circunstância IV, a frase é F

OBS:Com outro operador verofuncional, por exemplo “ou” em lugar de “e”,

os resultados seriam diferentes (só na circunstância IV é que a frase citada seria F)

Ex. 1Tabela de verdade de:

“2000 não foi um ano bissexto”

Interpretação: P = 2000 foi um ano bissexto

P Não PV F

F V

Proposição simples

envolvida

Circunstâncias possíveis

Forma proposicional

em questão

Valores de verdade da forma proposicional

em cada uma das circunstâncias

possíveis

Exs. 2 e 3Tabelas de verdade de:

“No sábado fico em casa e leio um livro” e de

“No sábado fico em casa ou leio um livro”

Interpretação: P = No sábado fico em casa. Q = No sábado leio um livro.

P Q P e QV V V

V F F

F V F

F F F

P Q P ou QV V V

V F V

F V V

F F F

OBS:A tabela de verdade não diz se a proposição é V ou F,

diz em que circunstâncias a proposição é V ou F.

AQuantas linhas tem uma tabela de verdade?

2n

Lógica bivalente:2

valores de verdade (V e F)

Número de

variáveis

Exemplos: Uma variável proposicional (P): 2 linhas. Duas variáveis proposicionais (P e Q): 4 linhas.

Três variáveis proposicionais (P, Q e R): 8 linhas...

BQuantas colunas tem uma tabela de verdade?

À esquerda: uma coluna em baixo de cada variável proposicionalÀ direita: uma coluna em baixo de cada operador

CComo se ordenam as linhas?

Na tabela de verdade têm de estar representadas todas as circunstâncias possíveis

A completude da tabela de verdade garante-se com uma convenção: à esquerda...

1.º... colocam-se as variáveis proposicionais por ordem alfabética (P, Q, R, ...)

2.º... e debaixo da:

última (por exemplo R) intercalam-se V e F um a um (VF),penúltima (por exemplo Q) intercalam-se V e F dois a dois (VVFF),

antepenúltima (por exemplo P) intercalam-se V e F quatro a quatro (VVVVFFFF),etc.

Proposições intervenientes

Linguagem natural(frases + operador)

Formalização (variáveis proposicionais

+ constante lógica)

Disjuntas No Homem existe livre-arbítrio ou determinismo P∨Q

P Q P ∨ QV V VV F VF V VF F F

Disjunção [inclusiva] – operação lógica e designação da proposição composta

Regra:A disjunção [inclusiva] é falsa quando ambas as disjuntas são falsas





Disjuntas Os dias do mês são ou pares ou ímpares P∨Q

P Q P ∨ QV V FV F VF V VF F F

Disjunção Exclusiva – operação lógica e designação da proposição composta

Regra:A disjunção exclusiva é verdadeira (falsa)

se as disjuntas tiverem valores de verdade diferentes (iguais).

OBS:

“Inclusiva” se inclui a hipótese de ambas as disjuntas serem verdadeiras“Exclusiva” se exclui essa hipótese

“Ou” / “ou... ou...” não garante a distinção que tem de se fazer intuitivamente em função do contexto

Em Filosofia usa-se sobretudo a disjunção inclusiva.

Variantes:

O aluno é rapaz a menos que que seja raparigaO dia do mês é par a não ser que seja ímpar





Conjuntas O Porto é uma cidade nortenha e litoral P∧Q

P Q P ∧ QV V VV F FF V FF F F

Conjunção – operação lógica e designação da proposição composta

Regra:A conjunção é verdadeira quando ambas as conjuntas são verdadeiras

Variantes:

Tanto a conjunção quanto / como a disjunção são operações lógicas

Quer o vermelho quer o verde são cores nacionais

Portugal bem como / tal como a Espanha são países ibéricos

Agosto foi quente mas / apesar de / embora / no entanto ventoso

Nota:A lógica é indiferente a qualquer expressividade...





Antecedente e Consequente

Se o individuo é português, [então o

individuo] é europeu.

Um individuo ser português implica que

seja europeu.

PQ

P Q P QV V VV F FF V VF F V

Condicional ou Implicação – operação lógica e designação da proposição composta

Regra:A condicional é falsa quando a verdade implica a falsidade.

OBS 1:

A condicional ou implicação é a operação lógica menos intuitiva

Declaração X: Se chover, então levo guarda-chuva

1 – Chove (V) e levo guarda-chuva (V)2 – Chove (V) e não levo guarda-chuva (F)3 – Não chove (F) e levo guarda-chuva (V)4 – Não chove (F) e não levo guarda-chuva (F)

Em que situações é a declaração X verdadeira ou falsa?

Nas situações 1 (VV) e 4 (FF) é obviamente verdadeira.Na situação 2 (VF) é obviamente falsa.

Na situação 3 (FV), menos obviamente, também é verdadeira (não foi dito o que se faria caso não chovesse,

não foi dito que se levaria guarda-chuva se, e só se, chovesse)

OBS 2:


Ser português Ser europeu

VV

FV

FF

Onde se representa a hipótese VF no gráfico ?

Se o cidadão é português, então é europeu.

OBS 3:


1 – não importa o valor de verdade de cada uma das proposições envolvidas (antecedente e consequente)

2 – não importa se há realmente conexão entre as proposições

3 – importa unicamente a relação entre os valores de verdade das proposições

Exemplos de condicionais verdadeiras:“Se a Espanha é uma república, então fica na américa do sul” (FF)

“Se a Espanha é uma república, então fica na europa” (FV)“Se a Espanha é uma monarquia, então fica na europa” (VV)

Exemplo de condicional falsa“Se a Espanha é uma monarquia, então fica na américa do sul” (VF)

OBS 4:

A condicional ou implicação é o único operador binário que não é comutativo (não é indiferente a ordem das proposições antecedente e consequente)

P Q P Q Q PV V V V

V F F V

F V V F

F F V V

Quando o V implica o F a forma proposicional é Fmas

Quando o F implica o V a forma proposicional é V

OBS 5:

Ser português Ser europeu

Condição suficiente(basta para...)

Condição necessária(é imprescindível para...)

As condicionais ou implicações intuitivamente verdadeiras exprimem condições suficientes e necessárias

“Se um individuo é português, então é europeu”

OBS 6:

“Se um individuo é português, então é europeu”

Variantes:

AIdeia sempre presente: o antecedente é condição suficiente do consequente

Se / caso / no caso de / sempre que o individuo é português, [então] é europeu

BIdeia sempre presente: o consequente é condição necessária do antecedente

O cidadão [não] é português somente se / [...] a menos que / [...] a não ser que for [seja] europeu





Equivalentes

Um número é par se, e só se, for divisível por dois.

Um número ser par equivale a ser divisível

por dois.

PQ

P Q P QV V VV F FF V FF F V

Bicondicional ou Equivalência – operação lógica e designação da proposição composta

Regra:A bicondicional ou equivalência é verdadeira (falsa)

se as equivalentes tiverem valores de verdade iguais (diferentes).

OBS:

Cada uma das proposições equivalentes exprime a condição suficiente e necessária do que é expresso pela outra

e,por essa razão, as definições explícitas formulam-se através de equivalências

Variantes:

Um número é primo se, e só se / somente se / apenas se, é apenas divisível por si e pela unidade

Dizer que uma figura geométrica é um triângulo equivale a dizer que tem três ângulos

Homem é animal racional

Se um número é par é divisível por dois e vice-versa

Proposição interveniente Linguagem natural(frase + operador)

Formalização (variável proposicional +

constante lógica)

Matosinhos não fica a sul do Douro.

É falso que Matosinhos fique a sul do Douro.

P

P PV FF V

Negação – operação lógica e designação da proposição composta

Regra:A negação inverte o valor de verdade da proposição

OBS:

A negação pode estar implícita: in(m)- / des- / a- / ...

nem (= e não)

Variantes

A situação é indesejável / desagradável /anormal / ...

Não é verdade que / não é o caso que / Matosinhos seja uma cidade do interior

O oceano que banha Matosinhos não é o Índico nem o Pacífico

P Q ∧ ∨ ∨ V V V V V F VV F F V F V FF V F V F V VF F F F V F V

Mnemónica

Formalização

1.ºColocar a frase na forma canónica

2.ºFazer a interpretação ou o dicionário

(sempre pela afirmativa)

3.ºFormalizar

(substituir cada frase por uma variável proposicional e cada operador por uma constante lógica)

Âmbito dos operadores

Âmbito do operador = proposição(ões) afetada(s) pelo operador; pode ser maior ou menor

Ao fazer as colunas da tabela de verdade segue-se por ordem crescente de âmbito do operador

(começa-se pela do operador de menor âmbito e acaba-se com a do operador de maior âmbito: operador principal)

1.º (das negações) [ (P ∧ Q) ∨ R] S2.º (da conjunção)

3.º (da negação da conjunção)4.º (da disjunção)

5.º (da negação da disjunção)6.º (da condicional)

Dicionário: P = O aluno chega atrasado. Q = O aluno tem falta

(P Q)

1.ª

2.ª

P Q)

1.ª

2.ª

É falso que se o aluno chega atrasado, tem falta

Se o aluno não chega atrasado, tem falta

P Q (P Q)

V V F V

V F V F

F V F V

F F F V

2.ª 1.ª

P Q P Q

V V F V

V F F V

F V V V

F F V F

1.ª 2.ª

Erros na determinação do âmbito (frequentemente do âmbito da negação) resultam em proposições não equivalentes

Nota: dizer “É falso que...” (no início da frase) em vez de “Não” reduz a ambiguidade.

Ambiguidade de âmbito

Ambiguidade de âmbito = situação em que há mais do que uma maneira de entender o âmbito de um operador

Domingo vou à praia ou leio um livro e vou ao cinema

As vírgulas (na linguagem natural) tal como os parêntesis (na linguagem da lógica) eliminam a ambiguidade

Domingo vou à praia, ou leio um livro e vou ao cinema

Domingo vou à praia ou leio um livro, e vou ao cinema

Interpretação: P = Domingo vou à praia. Q = Domingo leio um livro. R = Domingo vou ao cinema

Domingo vou à praia, ou leio um livro e vou ao cinema

Domingo vou à praia ou leio um livro, e vou ao cinema

P Q R P ∨ (Q ∧ R)

V V V V V

V V F V F

V F V V F

V F F V F

F V V V V

F V F F F

F F V F F

F F F F F

2.ª 1.ª

P Q R (P ∨ Q) ∧ R

V V V V V

V V F V F

V F V V V

V F F V F

F V V V V

F V F V F

F F V F F

F F F F F

1.ª 2.ª

Conclusão: as duas proposições não são equivalentes

unidade 3 cap 1.2 (a)

Documents