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unesp UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA FCT - FACULDADE DE CIENCIAS E TECNOLOGIA

Departamento de Cartografia

FOTOGRAMETRIA II Notas de Aulas

“RESTITUIÇÃO FOTOGRAMÉTRICA (ANALÍTICA/DIGITAL): Teoria das Orientações - Orientação Exterior”

Prof. Júlio Kiyoshi Hasegawa

Presidente Prudente Setembro de 2004

unesp UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA - CAMPUS DE PRESIDENTE PRUDENTE ______________ _____________________________________ FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA

____________________________________________________________ Restituição Fotogramétrica Analítica: Fotogrametria - II Júlio Kiyoshi Hasegawa

Sem revisão - Provisória

1

Sumário

1. Restituição Analítica (numérica) ......................................................................................2 2. Restituição analítica Seqüencial ......................................................................................2

2.1. Orientação relativa................................................................................................................. 3 2.1.1. Orientação relativa com equação de coplanaridade....................................................... 6 2.1.2. Orientação relativa com as equações de colinearidade ................................................. 8

2.2. Determinação das coordenadas dos pontos do modelo...................................................... 10 2.3. Orientação Absoluta ............................................................................................................ 10

2.3.1. Orientação Absoluta com transformação Isogonal ....................................................... 11 2.3.2. Orientação Absoluta com transformação Afim.............................................................. 12

2.4. Fluxograma das Etapas da Orientação Seqüencial............................................................. 13 3. Restituição Analítica com Orientação Exterior das duas fotos.......................................16

3.1. Orientação Exterior com Injunções Absolutas ..................................................................... 16 3.2. Orientação Exterior com Injunções relativas........................................................................ 17 3.3. Fluxogramas dos procedimentos de orientação do par de fotos. ....................................... 18

4. Orientação Exterior de uma foto – Resseção Espacial..................................................19 4.1 Fluxogramas dos procedimentos de orientação do par de fotos isoladamente.................... 20

5. Determinação das coordenadas dos pontos..................................................................21 5.1 Interseção Espacial dos raios homólogos............................................................................. 21 5.2 Interseção com as equações de colinearidade..................................................................... 22

6. Restituição Analítica Simultânea ...................................................................................23 7. Restituição analítica com fotos não métricas.................................................................26

7.1. A Transformação Linear Direta (DLT).................................................................................. 26 7.2. Restituição com a DLT......................................................................................................... 27

Apêndice A ........................................................................................................................29 A.1. Resolução das equações de colinearidade pelo método paramétrico ................................ 29

7. Referências Bibliográficas .............................................................................................33




2

1. Restituição Analítica (numérica) A restituição é um processo de transformação do sistema de projeção central

(cônica) para ortogonal (mapa). Assim, para elaborar um mapa (digital), ou ainda,

determinar as coordenadas dos pontos fotogrametricamente, deve-se formar um modelo

tridimensional do objeto imageado, no modo analógico um estereomodelo, no modo

analítico (matemático) modelo numérico do terreno.

O processo de restituição fotogramétrica necessita, obrigatoriamente, dos

elementos de orientação exterior da câmara, cujos valores podem ser determinados por

métodos diretos ou indiretos:

a) no método direto os elementos de orientação exterior são obtidos durante a

execução do vôo, integrando-se sensores de posicionamento (GPS) e de

orientação angular (Sistema Inercial) ao sistema de captura das câmaras.

b) No método indireto os elementos de orientação são determinados por algum tipo

de processamento. Esses elementos (orientação exterior), no processamento,

definido como parâmetros incógnitos, geralmente, são determinados pelo

Método dos Mínimos Quadrados (MMQ).

Basicamente quatro procedimentos de orientação do modelo, no modo analítico,

podem ser realizados: restituição analítica seqüencial, restituição analítica com orientação

exterior das duas fotos, restituição analítica com orientação exterior das fotos isoladas e

restituição analítica simultânea.

2. Restituição analítica Seqüencial Este procedimento simula analiticamente as mesmas etapas do analógico, ou seja,

executa a orientação relativa e a absoluta analiticamente. Para tanto, as etapas

apresentadas abaixo devem ser realizadas:

- Orientação relativa, utilizando-se das equações de colinearidade ou coplanaridade;

- determinação das coordenadas do modelo (dependendo da forma de orientação

relativa);

- Orientação absoluta utilizando-se, geralmente, do modelo matemático de

transformação isogonal ou afim no espaço 3D; e

- Determinação das coordenadas dos pontos (aplicando a transformação inversa)

das feições restituídas.




3

A Figura 2.01 apresenta as etapas utilizadas no processo de restituição analítica

seqüencial.

Figura 2.01: Etapas de uma restituição analítica seqüencial.

2.1. Orientação relativa No processo de orientação relativa determinam-se os elementos de orientação

relativa que relacionam os sistemas de coordenadas fotográficas das duas fotos

consecutivas ao sistema de coordenadas arbitrárias, cujos resultados são as coordenadas

dos pontos (3D).

Com superposição suficiente (mínimo de 50%) é possível determinar os elementos

de orientação relativa sem a necessidade de informação externa (pontos de apoio), isto

Restituição Fotogramétrica Sequencial

Leitura das Coordenadas

Orientação Interior.Correção dos Erros Sistemáticos.

Dados Auxiliares

Orientação Relativa. Formação do ModeloEsterescópico.

Orientação Absoluta Transformação do Modelo para o Terreno

Coordenadas: X Y e Z




4

se deve ao fato do sistema de coordenadas do modelo ser um sistema arbitrário – que

pode ser definido e realizado conforme a necessidade.

Nesta fase, um modelo tridimensional (modelo estereoscópico) é formado a partir

das duas fotografias sucessivas, cujos valores são determinados a partir do

estabelecimento modelo matemático de colinearidade ou coplanaridade, de um mínimo de

observações (pontos de orientação - Grubber), da definição de um sistema de

coordenadas (arbitrário), do MMQ e de injunções mínimas.

A injunções são colocadas neste caso em alguns elementos de orientação das

câmaras, obedecendo aos mesmos critérios utilizados na definição da rotina de

orientação relativa (analógica). A seguir serão apresentados dois casos dos 50 possíveis.

Caso 1: Quando o sistema coincide com sistema da foto da esquerda (figura 2.02).

X

Y

Z = z'

x"

z"

C' C"

f

bx = cte

P(X Y Z)

y"

x'

y'

bz

by

Figura 2.02: Sistema de coordenadas do modelo solidário ao sistema da foto da esquerda.

Para o desenvolvimento será utilizado uma “aspa” para representar a foto da

esquerda e duas “aspas” par foto da direita.

Essa condição, da figura 1.02, é materializada fixando-se o centro perspectivo da

foto da esquerda, tendo ou não como origem este centro perspectivo. Verifica-se que falta




5

mais uma injunção (fixando a foto da esquerda – 6 injunções), como no caso analógico o

movimento a ser fixado é o “bx”, pois este define a escala que o modelo será formado.

Na prática, fixa-se com um valor arbitrário a coordenada X"c (coordenada X do

centro perspectivo da foto da direita).

Os valores considerados conhecidos são: ω', ϕ', κ', X'c, Y'c, e Z'c para a foto da

esquerda e X"c, da foto da direita.

Assim, a solução consiste em determinar somente os elementos de orientação da

foto da direita (Y"c, Z"c, ω", ϕ" e κ").

Restando, assim, a determinação dos 5 elementos dos doze de orientação que são

necessários para a realização de uma restituição fotogramétrica, pois os setes (07) já

foram arbitrados.

Caso 2: Quando o eixo x do sistema do modelo coincide com a linha da base,

resultando em by = bz = 0;

Neste caso os elementos de orientação incógnitos são apenas os de rotação, três

(03) para cada uma das fotos. Neste caso determinam-se as duas matrizes de rotação

que relacionam os sistemas de coordenadas das fotos a do modelo. Essas duas matrizes

são definidas pelos elementos angulares das fotos da esquerda e da direita.

Figura 2.03: Sistema de coordenadas com a base coincidente com o eixo X.

Z

X

Y

xL

yLzL

f f

xR

yR

zR

P(X,Y,Z)

C




6

Os seis (06) elementos de rotação podem ser reduzidos a cinco (05) se considerar

o plano XZ do modelo contendo o eixo CxL, reduzindo-se assim a apenas duas (02)

rotações para a conexão do sistema da foto da esquerda com o sistema do modelo.

Essa condição, na prática, está tornando nulo o movimento angular em torno do

eixo X, isto é ω’ = 0º. Neste procedimento os valores considerados conhecidos, arbitrados,

são: X'c, Y'c, Z'c e ω’ para a foto da esquerda e: X"c, Y"c, e Z"c, da foto da direita.

Na solução da orientação relativa e, conseqüentemente, obtenção dos parâmetros

de orientação, resume-se na determinação dos valores angulares, dois da foto da

esquerda (κ' e ϕ') e os três da foto da direita (ω", ϕ" e κ").

O processo de orientação relativa de modo analítico, tanto no caso 1 como no caso

2, pode ser realizado a partir das duas equações, de coplanaridade (2.01) ou de

colinearidade (2.02) e (2.03).

Equações de coplanaridade:

[ ][ ][ ][ ]

[ ][ ][ ][ ]

[ ][ ][ ][ ] 0)

)((

)

)((

)

)((

´´32

´´22´

´´12

""31

""21´

""11

""32

""22´

""12

´´31

´´21´

´´11

""33

""23´

""13

´´31

´´21´

´´11

´´33

´´23´

´´13

""31

""21´

""11

´´33

´´23´

´´13

""32

""22´

""12

""33

""23´

""13

´´32

´´22´

´´12

=++++

−++++−

+++++

−++++−

+++++

−++++−

pppppp

ppppppec

dc

pppppp

ppppppe

cd

c

pppppp

ppppppec

dc

zmymxmzmymxm

zmymxmzmymxmZZ

zmymxmzmymxm

zmymxmzmymxmYY

zmymxmzmymxm

zmymxmzmymxmXX

(2.01)

Equações de colinearidade:

x fm X X m Y Y m Z Zm X X m Y Y m Z Zp

p c p c p c

p c p c p c

= −− + − + −

− + − + −11 12 13

31 32 33

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

(2.02)

y fm X X m Y Y m Z Zm X X m Y Y m Z Zp

p c p c p c

p c p c p c

= −− + − + −

− + − + −21 22 23

31 32 33

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

(2.03)

2.1.1. Orientação relativa com equação de coplanaridade Na equação de coplanaridade (Eq. 1.01) verifica-se que existem doze (12)

parâmetros à determinar: κ ϕ ω κ ϕ ωe e ece

ce

ce d d d

cd

cd

cdX Y Z X Y Z, , , , , , , , , , , . O problema de

orientação relativa requer somente a solução de cinco parâmetros relativos:

( ), ( ), ( ), ( ), ( )κ κ ϕ ϕ ω ωe d e d e dce

cd

ce

cdX X Z Z− − − − − , ou seja, fica a necessidade de




7

resolver somente as incógnitas: ∂ κ ∂ ϕ ∂ ω ∂ ∂, , , ,Y Z (caso 01). Na prática definem-se

valores arbitrários para todos os parâmetros da foto da esquerda e um parâmetro da foto

da direita :κ ϕ ωe e ece

ce

ce

cdX Y Z cte X base= = = = = = =0 0 0 0 0, , , , , , , assim restam somente

cinco (5) parâmetros para ser resolvido na orientação relativa.

Figura 2.04 - Modelo com os vetores que definem o plano coplanar (Wolf-1988)

No caso 02, fica a necessidade de resolver somente as incógnitas: ∂ϕ1, ∂κ1, ∂ϕ2,

∂ω2. ∂κ2. Os outros parâmetros são arbitrados, geralmente:

Xc' = 0;

Y'c = 0;

Z'c = f;

X"c = base fotográfica;

Y"c = 0;

Z"c = Z'c;

Desta forma, para cada par de raios na quais as coordenadas xe, ye, xd e yd foram

observados, uma equação de coplanaridade pode ser escrita. Assim, para um mínimo de

cinco (pontos) pares de raios há uma solução única, na prática e para aplicar o MMQ

adota-se observar mais do que cinco pares de raio a fim de eliminar erros grosseiros que

eventualmente possa ter ocorrido no processo de medição.




8

2.1.2. Orientação relativa com as equações de colinearidade A equação de colinearidade representa matematicamente um raio do feixe de raios

que compõe a imagem. Desta forma, aplicando a equação de colinearidade nas duas

imagens adjacentes pode-se reproduzir o modelo analiticamente, por meio de interseções

dos raios homólogos.

Desta forma, o modelo estereoscópico (formado matematicamente) produzido deve

ser referenciado ao sistema de coordenada cartesiana (3D) arbitrária, impondo as

injunções nos parâmetros.

A realização da orientação relativa faz-se determinando somente cinco parâmetros

de forma idêntica ao descrito no item 2.1.1. De forma semelhante ao procedimento

analógico à interseção de no mínimo cinco pares de raios para se realizar a orientação

relativa se faz necessária.

Utilizando dois pares de equações de colinearidade (Eqs. 2.02 e 2.03) verifica-se a

existência de doze (12) parâmetros de orientação à determinar:

κ ϕ ω κ ϕ ωe e ece

ce

ce d d d

cd

cd

cdX Y Z X Y Z, , , , , , , , , , , e três coordenadas (X, Y e Z) do ponto. A

solução deste modelo pode ser obtida através de dois procedimentos, básicos:

a) considerar como parâmetros incógnitos somente cinco elementos de orientação das

câmaras (como no caso da coplanaridade) – caso das injunções absolutas.

- neste caso, cada ponto gera quatro equações nas quais estão inseridos os

cincos (05) elementos de orientação como incógnitas e três (03) coordenadas

dos pontos de orientação (medidos) no sistema de coordenadas do modelo.

Assim, de forma semelhante ao da equação de coplanaridade, verifica-se a

necessidade mínima de 5 pontos para proporcionar solução única e mais de 6

para ser aplicada o MMQ.

Para exemplificar, supondo um modelo com seis pontos observados,

tem-se:

- 05 incógnitas referentes aos parâmetros de orientação;

- 06 x 03 = 18 incógnitas referentes às coordenadas dos pontos no

sistema de coordenadas dos modelos;

- Resultando em 23 incógnitas; e




9

- Como cada ponto gera 4 observações, assim 24 observações são

geradas.

b) adotar um procedimento semelhante ao da orientação analítica simultânea, ou seja,

adotar o mesmo critério descrito anteriormente e considerar todos os pontos a ser

fototriangulado como incógnitas e ajustá-los simultaneamente, condição possível

somente à equação de colinearidade.

Para exemplificar, supondo um modelo com seis pontos observados,

tem-se:

- 30 incógnitas são geradas para esse modelo (com os seis pontos),

dos quais 12 referentes aos elementos de orientação e 18 referentes

às coordenadas (XYZ) dos pontos; e

- com 24 observações e 7 injunções (mínimas) – resultando em um

grau de liberdade, a solução por MMQ é possível.

Este desenvolvimento é semelhante ao processo de Orientação analítica

simultânea, diferenciando somente no uso do sistema de coordenadas, do espaço objeto

para determinar elementos de orientação exterior e um sistema 3D arbitrário para

elementos de orientação relativa.

Figura 2.05 - Sistema de coordenadas e 6 pontos de orientação (Wolf-1988).

No caso b, além das incógnitas referentes aos elementos de orientação às

coordenadas (no sistema do modelo) dos pontos são determinados em um único

processamento. No caso a, após o cálculo dos elementos de orientação deve-se calcular




10

as coordenadas do modelo, pois somente os elementos de orientação (relativa) e dos

pontos utilizado como de orientação foram determinados, na qual será analisada no item

2.1.2.

2.2. Determinação das coordenadas dos pontos do modelo Uma vez determinado os parâmetros de orientação (relativa) das fotos, faz-

se necessário à determinação das coordenadas dos pontos do modelo. Este cálculo pode

ser efetuado utilizando-se basicamente os dois procedimentos, descritos nos itens 5.1 e

5.2.

2.3. Orientação Absoluta Terminada a orientação relativa, obtém-se um modelo estereoscópico das imagens

processadas, entretanto, este modelo está num sistema de coordenadas arbitrárias sem

definição de escala e o eixo z não está orientado em relação ao sistema de coordenadas

terrestres utilizadas.

O modelo estereoscópico formado representa perfeitamente a morfologia do

terreno, desta maneira, para validar este modelo como uma representação plani-

altimétrica equivalente ao terreno fotografado faz-se necessário realizar uma

transformação geométrica (Isogonal ou Afim) que sintetiza a Orientação Absoluta.




11

Figura 2.06 - Modelo arbitrário em relação ao sistema de coordenadas do espaço objeto.

Na orientação relativa forma-se um modelo estereocópico num sistema cartesiano

tridimensional arbitrário, desta forma, as coordenadas fornecidas (pela equação de

colinearidade ou coplanaridade) do modelo devem ser transformadas para o sistema de

coordenadas do espaço objeto (por Ex: Sistema Geodésico Cartesiano). Esta

transformação pode ser realizada pelo modelo matemático Isogonal ou Afim.

2.3.1. Orientação Absoluta com transformação Isogonal O modelo matemático 2.04 descreve matematicamente a relação entre o sistema

do modelo arbitrário e sistema de coordenadas retangulares do espaço objeto:

XYZ

MX XY YZ Z

T

=

−

−

−

−λ 10

0

0

'

'

'

(2.04)




12

onde:

X, Y e Z são as coordenadas “observadas” do modelo estereoscópico;

X’, Y’ e Z’ são as coordenadas 3D dos pontos de apoio;

X0, Y0 e Z0 são os parâmetros de translação da transformação;

λ é o fator de escala da transformação; e

M é a matriz de rotação.

A solução da orientação absoluta passa, inicialmente, pela determinação dos

parâmetros (sete) de transformação cuja determinação está condicionada a um mínimo

de pontos, 3 para dar uma solução única e 4 ou mais para MMQ, conhecidos nos dois

sistemas.

A Transformação inversa, necessária para a determinação das coordenadas dos

pontos, no sistema do espaço objeto, pode ser processada manipulando-se o modelo

matemático 1.04, resultando na equação 2.05.

XYZ

MXYZ

XYZ

'

'

'

'

'

'

=

+

λ0

0

0

(2.05)

2.3.2. Orientação Absoluta com transformação Afim Embora este procedimento não seja muito comum para esta aplicação, será

apresentado aqui devido a sua facilidade de solução, pois é um modelo linear.

Diferentemente do caso Isogonal, este modelo não necessita de valores aproximados aos

parâmetros incógnitos.

Modelo matemático:

XYZ

a b cd e fg h i

XYZ

jkl

=

′′′

+

(2.06)




13

Transformação Inversa:

XYZ

a b cd e fg h i

X jY kZ l

′′′

=

′−′−′−

−1

(2.07)

Da mesma forma que no caso anterior, deve-se determinar os parâmetros de

transformação (12) pela equação 2.06 e aplicar a transformação inversa (equação 2.07)

para determinar as coordenadas dos pontos no espaço objeto.

2.4. Fluxograma das Etapas da Orientação Seqüencial As etapas dos procedimentos para realizar a orientação do modelo fotogramétrico da forma seqüencial estão sintetizadas na figura 2.07.

As etapas de orientação relativa e absoluta podem ser observadas nas figuras 2.08 e 2.09, respectivamente.

FLUXOGRAMA – ORIENTAÇÃO DO MODELO (SEQUENCIAL)

Orientação Interior

Orientação Relativa Determinação das coordenadas de modelo dos pontos

Orientação Absoluta Determinação das coordenadas 3D no sistema de coordenadas do terreno.

Observação dos pontos

Figura 2.07: Fluxograma das etapas de orientação seqüencial de um modelo estereoscópico.




14

Leitura dos pontos nas imagens:(x’, y’) e (x”, y”)

Somente ponto de orientação (Gruber)

Valores Iniciais – Matriz de Rotação: Re = I, Rd = I X’c = Y’c = 0, Z’c = f X”c = Y”c = 0, Z”c = f

Equação de Colinearidade: Montagem: Matriz A – Vetor L0 Vetor L = L0 - Lb Matriz P N = (ATPA) U = (ATPL)

Solução de Sistema de equações: X = N-1U Xa = X0 - X

Σ Resíduos < critério

IT < Max. Iter.

IT = 0

IT = IT + 1

Não

Não

Sim

Sim

Fim Problemas

Orientação Relativa concluída.

Leitura de todos os pontos nas duas imagens: (x’, y’) e (x”, y”)

Leitura dos pontos de apoio e os pontos das feições.

Determinar – Coordenadas de todos os pontos do modelo: Xi, Yi, Zi

01

Figura 2.08: Fluxograma das etapas de orientação relativa.




15

01

Orientação Absoluta: - Transformação Isogonal

o 7 parâmetros de transf.

Valores aproximados p/ os parâmetros Montagem: Matriz A Vetor L = L0 - Lb Matriz P N = (ATPA) U = (ATPL)



IT < Max. Iter.

IT = 0

IT = IT + 1

Não

Não

Sim

Sim

Fim Problemas

Utilizando coordenadas dos pontos de apoio medidos no modelo e determinados por meios diretos.

Coordenadas dos pontos de apoio:(apoio de campo) No XT YT ZT

Cálculo das coordenadas dos pontos (3D): NT XT YT ZT

Transformação Inversa:

Gravar

Continua -Mais pontoSim Não Fim

Pontos das feições.

Figura 2.09: Fluxograma das etapas de orientação absoluta.




16

3. Restituição Analítica com Orientação Exterior das duas fotos.

Na restituição analítica o processo de determinação dos elementos de orientação

exterior (ω, φ, κ, Xc, Yc, Zc) de um par de fotografias pode ser realizada anteriormente ao

processo de reconstrução da superfície. Neste caso, um ponto observado no par de fotos

proporcionam 4 equações (duas equações de colinearidade para cada foto), assim, no

mínimo 3 pontos são necessários para se obter as incógnitas envolvidas na determinação

dos 12 elementos de orientação exterior das câmaras. Os modelos matemáticos utilizados

são as equações de colinearidade e o processo dos MMQ é aplicado para estimar os

elementos de orientação exterior.

As injunções podem ser tratadas de duas formas distintas, resultando, numa

alteração do tamanho das matrizes envolvidas no MMQ e na precisão e adequação da

realidade das injunções.

3.1. Orientação Exterior com Injunções Absolutas Neste caso, consideram-se somente os pontos de injunções no processo de

ajustamento pelo MMQ, utilizando as equações de colinearidade, sendo que os

parâmetros incógnitos referentes às coordenadas tridimensionais dos pontos não são

determinados nesta fase, eles são considerados como constantes. As coordenadas dos

pontos de apoio (injunção) são considerados como variáveis conhecidas (não são

parâmetros incógnitos no processo de ajustamento), ou seja, pontos determinados com

altíssima precisão tendo, portanto, variância nula e, conseqüentemente, peso infinito.

Dividindo-se a matriz N (ordem 12 x 12), em 4 sub-matrizes

NN NN N=

11 12

21 22

observa-se que duas delas são nulas N12 e N21. Para determinar os valores das incógnitas

deve-se inverter a matriz N e realizar o produto com o vetor L. Como as sub-matrizes N12

e N21 são nulas pode-se determinar os valores das incógnitas invertendo-se

separadamente as matrizes N11 e N23. Esta forma de solução é a praticada na

determinação da orientação exterior da câmara com uma única foto, procedimento

utilizado na mono-restituição analítica, conhecida como resseção espacial.




17

3.2. Orientação Exterior com Injunções relativas Este procedimento é semelhante ao da restituição analítica simultânea,

considerando apenas como observação os pontos identificados como injunção. Assim,

este procedimento é computacionalmente mais custoso devido a maior ordem da matriz N

e da condição não nula das sub-matrizes derivadas da matriz N. Entretanto, é um

procedimento mais preciso e com maior flexibilidade de se aplicar outros tipos de

injunções.

A injunções possíveis podem ser:

a) nas coordenadas tridimensionais dos pontos,

b) nos coordenadas altimétricas dos pontos,

c) nas coordenadas planimétricas dos pontos, e

d) nas distâncias entre dois pontos.

Atualmente, com o uso do GPS para a determinação das coordenadas dos pontos

de apoio, as injunções mais comuns aplicadas em fotogrametria, são as do item (a).

A figura 3.01 apresenta o fluxo de operações para determinar os elementos de

orientação exterior das duas fotos, bem como a determinação das coordenadas

tridimensionais dos pontos das feições de interesse.




18

3.3. Fluxogramas dos procedimentos de orientação do par de fotos.

Leitura dos pontos na imagem: (x’, y’) e (x”, y”)

Equação de Colinearidade: Montagem: Matriz A Vetor L = L0 - Lb Matriz P N = (ATPA) U = (ATPL)



Cálculo das coordenadas dos pontos (3D): -MMQ -Interseção

IT < Max. Iter.

IT = 0

IT = IT + 1

Somente ponto de apoio


Gravar

Continua -Mais pontoSim Não

Não

Não

Sim

Sim

Fim

Fim Problemas

Pontos das feições.

Elementos de Orientação exterior das duas fotos calculados.

Figura 3.01: Fluxogramas das etapas de orientação exterior com duas fotos e

restituição.




19

4. Orientação Exterior de uma foto – Resseção Espacial Neste procedimento determina-ser os elementos de orientação exterior das fotos

separadamente – conhecidas como resseção espacial, condicionada a utilização das

injunções tridimensionais dos pontos, tanto no modo absoluto como no relativo.

No caso da restituição é necessário o conhecimento dos elementos de orientação

exterior do par de fotografias que formam o modelo estereoscópico. Lembrando que é

possível determinar os elementos de orientação exterior de uma única foto, desde que

tenha um mínimo de três pontos, não colineares, de apoio. Relembrando que na

restituição (determinação tridimensional das coordenadas das feições) são necessários

pelos menos duas fotos para possibilitar a interseção dos raios homólogos. A figura 4.01

apresenta o fluxo de operações para orientar um para de fotos isoladamente.

O processo de restituição analítica com orientação exterior das fotos isoladas tem

as mesmas características da orientação com o par de fotos, tendo somente o cuidado na

utilização de pontos de apoio com injunção relativa, neste caso, os pontos devem ser de

duplo apoio. Pontos somente planimétricos ou altimétricos provocam uma indefinição,

pois não há interseção de raios homólogos.

Segundo ANDRADE (1998), a orientação exterior permite a recuperação da

posição e atitude de cada foto segundo um referencial terrestre – geralmente aquele no

qual se pretende realizar o trabalho fotogramétrico.

Ainda, segundo ANDRADE (1998), uma fotografia está externamente orientada

(segundo um referencial adotado), quando são conhecidos as três coordenadas Xc, Yc, Zc

do ponto de onde foi tomada (centro perspectivo), bem como os três ângulos que definem

a sua atitude. Esses ângulos, definidos como os ângulos de Euler (ω, φ e χ), representam

rotações que se aplicadas ao sistema terrestre fazem-no coincidir com o fotogramétrico.

A resseção espacial de uma foto consiste em calcular os parâmetros de orientação

exterior da câmara, a partir das:

• fotocoordenadas de n pontos;

• coordenadas de pontos correspondentes no espaço objeto;

• constantes de calibração da câmara;

• valores aproximados dos elementos de orientação exterior.

Na verdade deve-se calcular correções a estes parâmetros, uma vez que já se

dispõe de valores aproximados para os mesmos, segundo LUGNANI (1987).




20

4.1 Fluxogramas dos procedimentos de orientação do par de fotos isoladamente.

Leitura dos pontos na imagem da esquerda: (x’, y’)

Equações de Colinearidade: Montagem: Matriz A Vetor L = L0 - Lb Matriz P N = (ATPA) U = (ATPL)


Σ Res. < critério

IT < Max. Iter

IT = 0

IT = IT + 1


Não

Não

Sim

Sim

Fim Problemas

Leitura dos pontos na imagem da direita: (x”, y”)



Σ Res. < critério

IT < Max. Iter

IT = 0

IT = IT + 1


Não

Não

Sim

Sim

Fim Problemas

Cálculo das coordenadas dos pontos (3D): -MMQ ou Interseção


Grav

Continua -Mais ponto Sim

Não

Fim

Pontos das Elementos de Orientação exterior das duas fotos calculadas.

Figura 4.01: Fluxo das etapas de restituição com fotos isoladas e restituição.




21

5. Determinação das coordenadas dos pontos O processo final deste procedimento é a determinação das coordenadas espaciais

dos pontos a serem restituídos, tarefa esta que podem ser realizadas a partir de duas

formas distintas: Interseção Espacial dos raios homólogos ou pela solução das equações

de colinearidade.

5.1 Interseção Espacial dos raios homólogos Conhecendo-se os parâmetros de orientação exterior das câmaras, a posição

espacial de qualquer ponto na área de superposição pode ser calculada a partir das

coordenadas observadas no espaço imagem, reduzidas ao sistema fotogramétrico

(fotográfico), utilizando o modelo matemático descrito a seguir.

Através da equação escrita abaixo,

X - Xc = λ [m11(x - x0) + m21(y - y0) + m31(-f)]

Y - Yc = λ [m12(x - x0) + m22(y - y0) + m32(-f)] (5.01)

Z - Zc = λ [m13(x - x0) + m23(y - y0) + m33(-f)]

Particularizando as equações (5.01) para foto da esquerda,

u1 = m´11(x - x0) + m´

21(y - y0) + m´31(-f)

v1 = m´12(x - x0) + m´

22(y - y0) + m´32(-f) (5.02)

w1 = m´13(x - x0) + m´

23(y - y0) + m´33(-f),

Substituindo as equações 5.02 nas equações 5.01,

X = λ 1 u1 + XC1 ,

Y = λ 1 v1 + YC1 , (5.03)

Z = λ 1 w1 + ZC1 ,

Similarmente para foto da direita,

X = λ 2 u2 + XC2 ,

Y = λ 2 v2 + YC2 , (5.04)

Z = λ 2 w2 + ZC2 ,

Com,

u2 = m”11(x - x0) + m”

21(y - y0) + m”31(-f)




22

v2 = m”12(x - x0) + m”

22(y - y0) + m”32(-f) (5.05)

w2 = m”13(x - x0) + m”

23(y - y0) + m”33(-f),

Manipulando as equações 5.03 e 5.04 os fatores de escalas de cada foto podem

ser determinados, resultando nas equações 5.06 e 5.07.

λ 1 = ( ) ( )X X v Y Y uv u u v

c c c c2 1 2 2 1 2

2 1 2 1

− − −−

(5.06)

λ 2 = ( ) ( )X X v Y Y uv u u v

c c c c2 1 1 2 1 1

2 1 2 1

− − −−

(5.07)

Assim, determinando-se os fatores de escalas, pode-se utilizá-las para calcular as

coordenadas dos pontos, a partir de duas maneiras:

a) substituindo a equação 5.06 nas equações 5.03 e

b) substituindo a equação 5.06 nas equações 5.04.

As coordenadas resultantes serão fornecidas a partir das médias das coordenadas

obtidas pelo procedimento a e b.

5.2 Interseção com as equações de colinearidade Uma vez conhecido os elementos de orientação exterior das câmaras, pode-se

determinar as coordenadas tridimensionais dos pontos no sistema de coordenadas do

espaço objeto. Este cálculo pode ser realizado utilizando-se as equações (1.02 e 1.03) de

colinearidade, agora considerando somente as coordenadas X, Y e Z como incógnitas.

Assim, a determinação das coordenadas dos pontos é realizada resolvendo-se um sistema

com 4 equações a três incógnitas.

)()()(

)()()(´´

33´´

32´´

31

´´13

´´12

´´11´

cpcpcp

cpcpcpp ZZmYYmXXm

ZZmYYmXXmfx

−+−+−

−+−+−−=

)()()(

)()()(´´

33´´

32´´

31

´´23

´´22

´´21´

cpcpcp

cpcpcpp ZZmYYmXXm

ZZmYYmXXmfy

−+−+−

−+−+−−=

)()()(

)()()(""

33""

32""

31

""13

""12

""11"

cpcpcp

cpcpcpp ZZmYYmXXm

ZZmYYmXXmfx

−+−+−

−+−+−−= (5.08)

)()()(

)()()(""

33""

32""

31

""23

""22

""21"

cpcpcp

cpcpcpp ZZmYYmXXm

ZZmYYmXXmfy

−+−+−

−+−+−−=




23

6. Restituição Analítica Simultânea Na restituição analítica de modo simultâneo todos os parâmetros são calculados no

mesmo processamento, inclusive as coordenadas dos pontos das feições a serem

restituídas. Dentre os vários procedimentos de restituição analítica, o simultâneo produz

melhores níveis de precisão (em relação ao seqüencial). Basicamente, o processamento

deste método é realizado através do ajustamento dos pares de feixes (imagens) num bloco

de fotografias (semelhante ao procedimento de fototriangulação) envolvendo rotações e

translações de cada feixe. Estes feixes são definidos pelas equações de colinearidade.

Reconstruir a superfície significa determinar as coordenadas X, Y e Z para todos os

pontos de interesse, neste caso representado pelo modelo matemático de colinearidade.

Dado ao princípio do método, necessidade de iterações, valores iniciais confiáveis

aos parâmetros incógnitos são necessários para que o procedimento tenha uma

convergência para o valor esperado e não realize mais iterações do que necessário. Estes

valores podem ser obtidos de várias maneiras. Por exemplo: adotando-se valores nulos

aos elementos de orientação angular (ω e φ) e com o auxílio de uma carta da área, obter

as coordenadas dos CPs, dos pontos a serem restituídos e do parâmetro angular kappa

(κ). Ainda, pode-se determinar os valores aproximados através de um pré-processamento,

que no caso seria uma fototriangulação seqüencial. Estes valores aproximados são muito

importantes, pois deles dependem a convergência e o tempo computacional.

O processo de restituição no modo simultâneo tem um contraponto, grandes

volumes de dados devem ser processados ao mesmo tempo, por exemplo num modelo

com 500 pontos (modelo com poucas feições) deve-se inverter, pelo menos 3 vezes, uma

matriz da ordem de 1512. Além do processamento para inversão deve se acrescentar os

cálculos efetuados na montagem das matrizes e vetores. Desta forma, conforme o

tamanho da matriz, pode-se verificar que o sistema fica carregado podendo até atingir o

limite de memória de processamento ou ficar processando por um tempo muito longo

inviabilizando o procedimento.

Entretanto, uma adaptação desse procedimento pode ser elaborada, adotando o

mesmo procedimento do caso da simultânea, usando somente um ponto da feição a ser

restituída junto com os pontos de controle. Assim, este novo procedimento deverá

processar simultaneamente todos os parâmetros de orientação exterior e as coordenadas

dos pontos (todos de apoio mais um da feição), tantas vezes quanto forem os pontos

medidos.




24

Utilizando o mesmo exemplo citado anteriormente verifica-se, considerando 5

(cinco) pontos de apoio, que a matriz a ser invertida tem a ordem 30. Agora, este

procedimento deverá ser resolvido pelo MMQ (requerendo iterações) até a convergência

dos parâmetros incógnitos. Ainda, este processamento deverá ser executado 500

(quinhentas) vezes, conforme o número de pontos. O procedimento mesmo tendo vários

processamentos é mais rápido que no caso anterior (número de operações para uma

inversão é n3) e não fica limitado à capacidade de memória do computador.

A figura 6.01 apresenta a seqüência de operações do procedimento de restituição

analítica/digital com orientação exterior simultânea.




25

Módulo Restituição

Módulo O. E.

Leitura dos pontos de apoio na imagem:(x’, y’) e (x”, y”)




IT < Max. Iter.

IT = 0

IT = IT + 1

Leitura das feições na imagem: (x’, y’) e (x”, y”)

Gravar

Continua -Mais ponto

Não

Não

Não

Sim

Sim

Fim

Fim Problemas

Correção dos erros sistemáticos.

Módulo O. E.: Processa o ponto medido junto com os pontos de apoio.

Sim

Dados para correção dos Erros Sistemáticos

Pontos de apoio

Figura 6.01: Fluxograma das etapas de restituição com orientação exterior

simultânea.




26

7. Restituição analítica com fotos não métricas

O processo de restituição ou de transformação de sistemas do espaço imagem

para o do objeto, de imagens obtidas com câmaras não métricas (parâmetros de

orientação interior desconhecido), podem ser efetuadas analiticamente por vários

modelos matemáticos. Dentre eles, pode-se destacar dois modelos matemáticos

usualmente utilizados: Transformação Linear Direta (DLT) e equação de colinearidade

com parametrização dos erros sistemáticos (calibração de câmaras).

7.1. A Transformação Linear Direta (DLT)

Este modelo matemático foi desenvolvido na Universidade de Illinois por Abdel-Aziz

e Karara (1974). Desenvolvido para aplicações em fotografias tomadas com câmaras não

métricas, pois estas, geralmente não são equipadas com marcas fiduciais.

A DLT faz a transformação direta das coordenadas de máquina para o sistema de

coordenadas do espaço objeto, eliminando assim passos intermediários de correção dos

erros sistemáticos (orientação interior). Desta forma, neste modelo não se faz necessário

às marcas fiduciais.

O modelo é baseado no seguinte par de equações:

1))((2))(2())((

11109

43212001

20

263

42

210 +++

+++=−−+−++++−+

ZLYLXLLZLYLXL

PxxyyPxxrrkrkrkxxx

(7.01)

1))((2))(2())((

11109

87551002

20

263

42

210 +++

+++=−−+−++++−+

ZLYLXLLZLYLXL

PxxyyPyyrrkrkrkyyy

r2 = (x - x0)2 + (y - y0)2

onde,

x e y são as coordenadas do ponto imagem no sistema do comparador,

x0 e y0 são as coordenadas do ponto principal no sistema de coordenadas do comparador,

k1, k2, k3, P1, P2 são os coeficientes de distorção das lentes,

X, Y e Z são as coordenadas dos pontos imageados no espaço objeto e

L1, L2, ... ,L11 são os 11 parâmetros de transformação incógnitos.




27

As equações 7.01 são os modelos expandidos que englobam os parâmetros de

refinamentos de imagem (orientação interior). O número de parâmetros levados em

consideração nas equações 7.01 depende do grau de sofisticação desejado na solução.

Baseados em investigações experimentais, Karara e Aziz (1974), concluíram que, para

propósitos práticos, somente o termo K1 necessitaria ser considerado no modelamento

das distorções das lentes e das deformações do filme.

Nos casos testados por Karara e Aziz (1974), nenhum aumento significativo de

precisão foi conseguido incorporando os termos adicionais (k2, k3, P1 e P2), eliminando-se

estes termos nas equações 7.01 e substituindo-se (x -x0) por x´ e (y - y0) por y´ elas

podem ser escritas da seguinte maneira:

1´

11109

432121 +++

+++=+

ZLYLXLLZLYLXL

rkxx

(7.02)

1´

11109

875521 +++

+++=+

ZLYLXLLZLYLXL

rkyy

Observa-se que as equações 7.02 não são lineares, algumas operações

matemáticas são necessárias para torná-las lineares.

Desenvolvendo as equações 7.02 e deixando-a em função das coordenadas de

máquina obtém-se:

x= L1X + L2Y + L3Z + L4 - L9Xx - L10Yx - L11Zx - x’k1r2(L9X + L10Y + L11Z + 1)

(7.03)

y= L5X + L6Y + L7Z + L8 - L9Xx - L10Yx - L11Zx - y’k1r2(L9X + L10Y + L11Z + 1)

Fazendo k’1 = (L9X + L10Y + L11Z + 1)k1, as equações 7.03 podem ser escritas:

x= L1X + L2Y + L3Z + L4 - L9Xx - L10Yx - L11Zx - x’k’1r2

(7.04)

y= L5X + L6Y + L7Z + L8 - L9Xy - L10Yy - L11Zy - y’k’1r2

7.2. Restituição com a DLT

Este modelo matemático foi desenvolvido para ser aplicado em imagens obtidas

por câmaras analógicas não métricas, pois ela dispensa o conhecimento dos elementos




28

de orientação interior, desta forma, a transformação é efetuada diretamente do sistema do

instrumento (arbitrário) para o do objeto.

O modelo matemático DLT (equação 7.04) é adotado neste procedimento, onde

doze parâmetros de cada foto são calculados pelo MMQ, usando o método paramétrico

para o ajustamento. Assim, cada ponto com as coordenadas conhecidas no espaço objeto

geram duas equações do tipo 7.04. Portanto, no mínimo 6 (seis) pontos de controle são

necessários para a solução única dos doze parâmetros incógnitos.

Tendo sido calculado os doze parâmetros incógnitos de cada foto (mínimo de

duas), a determinação das coordenadas dos pontos que definem a feição desejada é

calculada pela equação 7.04, de forma semelhante ao utilizado com a equação de

colinearidade, restando apenas como incógnita as coordenadas X, Y e Z dos pontos.




29

Apêndice A

A.1. Resolução das equações de colinearidade pelo método paramétrico

As equações colinearidade são funções explícitas das observações. Como se pode

observar, no primeiro membro (lado esquerdo), estão as observações e no segundo os

parâmetros (ω, φ, κ, Xc, Yc, Zc, Xp, Yp, Zp). A equação não é linear, havendo a necessidade

da linearização por Série de Taylor, assim iterações devem ser efetuadas. Portanto,

valores aproximados aos parâmetros são requeridos.

Numa restituição de um par de fotografias, considerando que n0 pontos imagens

são observados, têm-se 4n0 observações possíveis. O número de parâmetros depende do

número de pontos no espaço objeto e do número de fotografias. Desta forma o modelo

tem 2 fotos (f = 2), existirão 6f parâmetros incógnitos de orientação exterior e cada ponto

observado, contribuirá com três incógnitas p , resultando na seguinte equação,

u = 6f + 3p (A.01)

n = 4n0 (A.02)

Desta forma, pode-se escrever todas as n funções consideradas na restituição que

podem ser representadas genericamente da seguinte forma,

F(Xa ) = La (A.03)

onde:

La é um vetor (de ordem n) e correspondem aos valores observados ajustados

(coordenadas x e y corrigidas dos erros sistemáticos da imagem);

La = [x1 y1 x2 y2 . . . . . . xn yn ]T.

(A.04)

Xa é um vetor (de ordem u) correspondente as variáveis incógnitas, (coordenadas

dos pontos no espaço objeto e os parâmetros de orientação da câmara),

Xa = [κ1 φ1 ω1 Xc1 Yc

1 Zc1 κ2 φ2 ω2 Xc

2 Yc2 Zc

2 X1 Y1 Z1 X2 Y2 Z2 ............Xp Yp Zp]T. (A.05)

Desta forma, supondo que um modelo a ser restituído tenha 6 pontos de controle

plani-altimétrico e um ponto a ser determinado têm-se os seguintes valores:

u = 12 + 21 = 33 incógnitas e

n = 28 observações.




30

O procedimento ainda não está consistente, pois no sistema de equações normais

verifica-se que há um maior número de incógnitas do que observações, condição esta que

deve ser resolvida introduzindo-se as equações de injunções, no mínimo 7 para definir um

referencial.

Para a solução do problema em questão é necessário que se determine a matriz A,

formada pelas derivadas parciais da equação em relação aos parâmetros incógnitos. Cada

linha da matriz A é definida por uma observação, que no caso da restituição correspondem

às equações de colinearidade. O número de linhas e colunas na Matriz A, são dadas pelas

equações (A.01) e (A.02), respectivamente.

Desta forma a quantidade de elementos não nulos de uma linha da matriz A é 9

(nove). Estes elementos correspondem aos 6 parâmetros de orientação exterior e as 3

coordenadas do ponto. Considerando a superabundância de equações é utilizado o método

dos mínimos quadrados para determinação de uma solução única e sua estimativa de erro

(matriz de covariância).

Assim, estando a matriz montada o procedimento se resume em resolver o conjunto

de equações

X = - (AtPA)-1(AtPL),

N = AtPA

(A.06)

U = AtPL,

NX + U = 0.

Relembrando que o método paramétrico consiste basicamente em atribuir valores

iniciais (aproximado) às incógnitas e determinar as correções desses valores iterativamente.

A obtenção do valor final de Xa, é feita iterativamente usando as equações (A.06) e (A.07),

até a convergência (para o critério estabelecido) seja atingida.

X X Xi i i0

10

1= −− − (A.07)

Para a resolução do sistema de equações normais X = -N-1U, verifica-se que a

matriz N é singular, porque o sistema referencial não foi utilizado (definido). Logo a

deficiência de característica é igual a sete. Isto significa que não haverá solução na

álgebra de Cayley. Poderia ser resolvido pela utilização da pseudo-inversa, procedimento




31

que não é de corriqueiramente utilizado. A solução para o problema pode ser obtida

somente com o conhecimento prévio de alguns pontos (neste caso coordenadas) da

superfície, que serão introduzidos como injunções, no caso como injunções posicionais.

Genericamente, a injunção pode ser representada em forma matricial pela seguinte

equação:

G X Ra Xa( ) =

(A.08)

onde:

RXa é um vetor (u) contendo os valores dos parâmetros de injunção observados ajustados.

Realizando as mesmas considerações no desenvolvimento do método paramétrico,

obtém-se a equação 4.09

X A PA C PC A PL C PRt t t t= − + +−( ) ( )1 (A.09)

Assim a equação A.09 é o modelo linearizado geral (com injunções) do método

paramétrico para se realizar o processamento com MMQ.

Considerando o caso em que as injunções são definidas por três coordenadas de um

simples ponto Pi, as equações de injunções G(Xa) para as coordenadas podem ser

expressas da seguinte forma:

X XY YZ Z

i i

i i

i i

=

=

=

(A.10)

onde:

X Y Zi i i, , são as coordenadas de injunções do ponto Pi no sistema de coordenadas do

espaço objeto; e

Xi, Yi, Zi são as variáveis incógnitas correspondentes às coordenadas ajustadas do ponto Pi

no sistema de coordenadas do espaço objeto;

a matriz peso P terá a seguinte forma,




32

PP

PP

x

y

z

i

i

i

=

0 0

0 0

0 0

onde:

P P PX Y Zi i i, , são os pesos das coordenadas de injunções (inversamente proporcionais às

variâncias).

A matriz C, que é formada pelas derivadas parciais da função injunção em relação aos

parâmetros, os mesmos considerados na formação da matriz A, terá o mesmo número de

colunas da matriz A e terá tantas linhas quanto forem às injunções e no problema em

questão dadas às equações 4.10 terá elementos com valor igual a 1 na posição

correspondente da injunção efetuada e zero em outras posições.

Assim, na matriz N C PCt= os elementos não nulos estarão sobre a diagonal, em

posição correspondente à posição dos parâmetros fixados, e este valor será o peso da

injunção. Da mesma forma o vetor U C PLt= , terá elementos não nulos nas posições

correspondentes aos parâmetros fixos, valor este que será o produto do peso pela diferença

entre os valores ajustados e fixados (injunção).




33

7. Referências Bibliográficas

ANDRADE, J. B. “Refração Fotogramétrica”, Boletim da Universidade Federal do Paraná, no 24,

1980.

ANDRADE, J. B. e OLIVAS, M. A A, “Calibração de Câmeras Fotogramétricas”, Boletim da

Universidade Federal do Paraná, no 26, 1981

BLACHUT, T.J. AND CHRZANOWSK, A. AND SAASTAMOINEN, J. H. "Urban Surveying and

Mapping". Spring-Verlag, 1979.

HASEGAWA, J. K., "Fototriangulação em linha com Depuração de erros em micro-computador",

Dissertação de Mestrado, 1991.

KRAUS, K. “Photogrammetry” Ferd. Dümmlers Verlag. 397 p. 1993.

MERCHANT, D. C. “Analytical Photogrammetry - Theory and Practice - Parte I”. Ohio State

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