cap. i - fotogrametria ii

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Capítulo I 1 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos CAPÍTULO I 1. Ajustamento de observações aplicado na Fotogrametria Devido às propriedades estocásticas das observações (variabilidade das observações), sua redundância não é compatível com o modelo funcional que representa a realidade física. Por exemplo, considere um conjunto de n observações coletadas por um operador humano: se o conjunto supracitado for dividido em 4 (quatro) subconjuntos; ao aplicar qualquer um deles, diferentes resultados serão apresentados, tendo em vista a variabilidade randômica das observações. O Método de estimação por Mínimos Quadrados (MMQ) tem como objetivo encontrar solução única para os parâmetros a serem estimados através da minimização da soma dos quadrados dos resíduos, como segue: min 2 V (1.1) Dentre os métodos de ajustamento de observações, os mais usados em aplicações fotogramétricas são: o método paramétrico para funções lineares e não lineares; o método combinado; e a filtragem kalman. Aqui serão tratados os métodos de ajustamento de observações: paramétrico para funções lineares e não lineares; e combinado. 1.1. Método paramétrico para funções não lineares Admitindo que um conjunto de dados seja observado e suas variâncias são de qualidades diferentes; pode-se então realizar uma

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Page 1: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

1 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

CAPÍTULO I

1. Ajustamento de observações aplicado na Fotogrametria

Devido às propriedades estocásticas das observações (variabilidade

das observações), sua redundância não é compatível com o modelo

funcional que representa a realidade física. Por exemplo, considere um

conjunto de n observações coletadas por um operador humano: se o

conjunto supracitado for dividido em 4 (quatro) subconjuntos; ao aplicar

qualquer um deles, diferentes resultados serão apresentados, tendo em

vista a variabilidade randômica das observações.

O Método de estimação por Mínimos Quadrados (MMQ) tem como

objetivo encontrar solução única para os parâmetros a serem estimados

através da minimização da soma dos quadrados dos resíduos, como segue:

min2 →V (1.1)

Dentre os métodos de ajustamento de observações, os mais usados

em aplicações fotogramétricas são: o método paramétrico para funções

lineares e não lineares; o método combinado; e a filtragem kalman. Aqui

serão tratados os métodos de ajustamento de observações: paramétrico

para funções lineares e não lineares; e combinado.

1.1. Método paramétrico para funções não lineares

Admitindo que um conjunto de dados seja observado e suas

variâncias são de qualidades diferentes; pode-se então realizar uma

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Capítulo I

2 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

ponderação na Equação (1.1) associando um peso para cada um dos

elementos do vetor dos resíduos V . Tem-se então a seguinte expressão, a

saber (DALMOLIN, 2002):

min→PVV T (1.2)

Onde, P é o peso das observações e V é o vetor dos resíduos.

O modelo funcional do método paramétrico é dado por:

)( aa XFL = (1.3)

Onde, VLL ba += é vetor das observações ajustadas, F é o modelo

matemático funcional (linear ou não linear), XXX a += 0 é o vetor dos

parâmetros ajustados, bL é o vetor das observações, 0X é o vetor dos

parâmetros aproximados (somente para funções não lineares) e X é o

vetor das correções dos parâmetros aproximados.

Com os elementos descritos acima, pode-se reescrever a Equação

(1.2) da seguinte forma:

)( 0 XXFVLb +=+ (1.4)

Expandindo o termo )( 0 XXFVLb +=+ pela série de Taylor e

desprezando os termos maiores ou iguais a 2, tem-se:

Page 3: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

3 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

)()()( 00

00 XXXFXFXXFVL ab −

∂∂

+=+=+ (1.5)

Fazendo )( 00 XFL = e 0X

FA∂∂

= tem-se:

( ) ( )ba LLXXAV −+−= 00 (1.6)

A partir da Equação (1.6) é obtido o modelo matemático linearizado

do método paramétrico, como segue:

LAXV += (1.7)

Sendo 0XXX a −= e bLLL −= 0 .

Substituindo a Equação (1.7) na equação (1.2), tem-se:

( ) ( ) min→++ LAXPLAX T (1.8)

Minimizando a Equação (1.8), ou seja, derivando a Equação (1.8),

obtêm-se o vetor das correções aos parâmetros, como segue:

)()( 11 LPAAPAX nnn

Tnuunnn

Tnu

−−= (1.9)

1)( −= PAAN T e )( PLAU T= (1.10)

Onde,

• N é a matriz das equações normais;

• n é o número de observações;

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Capítulo I

4 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

• u número de parâmetros ou incógnitas;

== ∑ −

nobs

nobs

obs

obs

LbP

2

2

2

2

20

120

/1000000/1000000....000000....000000/1000000/1

σσ

σσ

σσ;

• 20σ é a variância de unidade peso a priori; e

• 2obsσ é a variância das observações.

A Matriz Variância-Covariância (MVC) dos parâmetros ajustados (

∑ aX ) é dada por:

12

0

^)( −∑ = NX a σ (1.11)

Sendo 2

0

^σ a variância de unidade peso a posteriori. A variância de unidade

peso a posteriori é calculada como segue:

un

PVV T

−=

2

0

^σ (1.12)

A Matriz Variância-Covariância (MVC) das observações ajustadas (

∑ aL ) é dada por:

Page 5: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

5 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

Ta ANAL

= −∑ 1

2

0

^σ (1.13)

A linearização do modelo matemático funcional F é realizada por

meio de um processo iterativo, onde os parâmetros aproximados são

atualizados a cada iteração e o processo converge quando o vetor das

correções se aproxima de zero ou quando for igual ou inferior a um valor de

limiar pré-estabelecido.

A seguir será apresentado o método paramétrico para funções não

lineares com injunção de peso ou absoluta.

1.1.2. Método Paramétrico para funções não lineares com injunção

de peso ou absoluta

Este método é descrito pela adição do modelo funcional

apresentado por:

)( aia XGL = (1.14)

Onde,

• iaL : vetor das novas observações ajustadas relativas às injunções;

• :G modelo matemático funcional da injunção absoluta.

O modelo funcional linearizado do método é o que segue:

iii LXAV += (1.15)

Sendo,

• :iV vetor dos resíduos das injunções;

Page 6: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

6 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

• )( oa XXi

XGA −∂∂

= matriz das derivadas parciais do modelo funcional

das injunções; e • :iL vetor das observações relativo às injunções.

Como G é representado pelo modelo matemático dado por

ba = , a matriz das derivadas parciais é: 1=∂∂

=bGAi . Admitindo que não

existe corelação entre L e iL então a solução da correção aos parâmetros por meio do método paramétrico para funções não lineares com injunção absoluta é dado como segue:

)()( 11

1 iu

iuunnn

Tnu

iuuunnn

Tnu LPLPAPAPAX ++−= − (1.16)

Onde,

=

2

2

2

2

20

/1000000...000000...000000/1000000/1000000/1

par

par

par

par

iP

σ

σσ

σ

σ

• iP é a matriz dos pesos das injunções calculada em função da confiabilidade atribuída aos parâmetros aproximados;

• 2parσ é a variância dos parâmetros aproximados; e

• aai XXXGL −== 0)( .

A MVC dos parâmetros ajustados é calculada pela expressão que

segue:

12

0

^)( −+=∑ ia NNX σ (1.17)

Page 7: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

7 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

unn

VPVPVVi

iiT

iT

−++

=)()(2

0

^σ (1.18)

Onde in é o número de injunções aplicadas ao modelo.

A seguir será apresentado o método paramétrico para funções

lineares.

1.1.3. Método paramétrico para funções lineares

No caso de funções matemáticas lineares bLL −= , pois 00 →L e

a Equação )()( 11 LPAAPAX nnn

Tnuunnn

Tnu

−−= é reescrita na forma como

segue:

)()( 11

bnnnTnuunnn

Tnu LPAAPAX −= (1.19)

Nos casos em que a variância das observações possuem o mesmo

peso, isto é, a mesma variância, tem-se que: IP = ; ou seja, a matriz dos

pesos é igual a identidade.

1.2. Método combinando de ajustamento de observações De acordo com Mikhail e Ackerman (1976) o método combinado é

aplicado em modelos funcionais que combinam observações e parâmetros.

Os modelos funcionais aplicados a este método são formados por

equações implícitas do tipo:

Page 8: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

8 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

0),( =aa LXF (1.20)

O número de equações de condições (c) é a soma dos graus de

liberdade (r) e o número de parâmetros incógnitos (u), expresso por

(MIKHAIL e ACKERMAN, 1976):

urc += (1.21)

Onde, 0nnr −= , 0n é o número mínimo de parâmetros no modelo, n é o

número total de observações. A Equação (1.20) deve atender as seguintes

condições, a saber:

ncr ≤≤ (1.22)

00 nu ≤< (1.23)

O modelo linearizado correspondente ao método combinado de

ajustamento de observações é obtido através da linearização da equação

(1.19) utilizando a expansão em série de Taylor. Tomando-se apenas os

dois primeiros termos da série, tem-se:

0=++ WBVAX (1.24)

Sendo,

• bLX

aLFB ,0∂∂

= matriz das derivadas parciais do modelo funcional

em relação as observações; • :),( 0XLFW b= vetor das correções.

Page 9: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

9 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

Assim sendo tem-se a seguinte solução para as equações normais, a

saber:

[ ] WBPBAABPBAX TTTT 111 )()( −−−= (1.25)

O vetor das observações inseridas menos o vetor das observações

ajustadas denominado de vetor resíduo é dado por:

)()( 11 WAXBPBBPV TT +−= −− (1.26)

No caso de modelos não lineares, iterações são requeridas.

Assim para a i-ésima interação expansão em série de Taylor:

0=++ iiiii WVBXA (1.27)

Sendo,

• LiXiaXFA ,∂∂

= ;

• LiXiaLFB ,∂∂

= ;

• ),()( iiib

ii LXFLLBW +−= .

A solução para as equações normais é dada por:

[ ] iT

iiT

iiT

iiT

ii WPBBAAPBBAX 111 )()( −−−= (1.28)

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Capítulo I

10 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

Sendo admitido para a primeira iteração oa XX = e b

i LL = Para

as demais iterações os parâmetros ajustados da iteração anterior ( )

serão usados na próxima iteração como parâmetros aproximados

(GEMAEL, 1994). As observações ajustadas da iteração anterior serão

usadas na montagem das matrizes , e . O vetor dos parâmetros

ajustados é obtido por:

iai

ai XXX += −1 (1.29)

O vetor das observações ajustadas é obtido por:

ibai VLL += (1.30)

Sendo iiiT

iii WXAPBBPV += −− 11 )( .

O ajustamento converge, quando os resíduos e os parâmetros

tendem a estabilizar e, portanto, as correções dos parâmetros tendem a

zero. Segundo Mikhail e Ackerman (1976) os graus de liberdade ( ) é

calculado pela equação:

unr −= (1.31)

Assim sendo, a MVC dos parâmetros ajustados (Σ ) é dada por:

[ ] 11

2

0

^)(( −−∑ = ABPBAX TTa σ (1.32)

Page 11: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

11 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

Como a realidade física é demasiadamente complexa é

impossível desenvolver um modelo matemático que a represente de forma

fidedigna. Ao assumir que o modelo matemático é adequado a um suposto

problema, deve ser verificada a consistência entre as observações e o

modelo matemático, para que seja indicada a presença de erros grosseiros.

1.3. Controle de qualidade

O controle de qualidade se resume na verificação da consistência

entre as observações e o modelo matemático, bem como identificar a

presença de erros grosseiros não modelados para que os mesmos sejam

eliminados (TEUNISSEN, 1998).

O controle de qualidade está vinculado à execução de testes

estatísticos, onde uma determinada condição, denominada hipótese nula (

0H ), é estabelecida para os parâmetros a serem examinados. Os testes

estatísticos são baseados em testes de hipóteses.

O teste de hipótese pode ser entendido como uma regra de decisão

para aceitar ou rejeitar uma suposição, que pode ser verdadeira ou falsa,

quanto ao valor de um parâmetro populacional para uma dada

probabilidade. Devido à dificuldade de se examinar a população inteira,

utiliza-se uma amostra aleatória. Com isto, formula-se a denominada

hipótese nula ( 0H ) para os parâmetros a serem testados.

A rejeição de 0H significa a aceitação de uma hipótese alternativa (

aH ), que advém da insuficiência de evidências para rejeitar 0H . Sendo

assim, ao se acatar o resultado de um teste de hipóteses, cometem-se dois

tipos de erros: o erro α e o erro β , no qual o erro do tipo α , também

Page 12: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

12 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

denominado de nível de significância, é a probabilidade de se rejeitar uma

hipótese que na realidade é verdadeira. O erro do tipo β , é a probabilidade

de se aceitar uma hipótese que na realidade é falsa (TIBERIUS, 1998).

Geralmente a etapa de detecção de erros é a etapa mais importante

no controle de qualidade. Nesta etapa testa-se a hipótese 0H contra aH ,

com a finalidade de verificar a consistência entre o modelo matemático e as

observações.

O processo de estimação também fornece o vetor dos resíduos das

observações que possuem uma mistura de todos os tipos de erros. Os

erros sistemáticos são passíveis de modelagem, enquanto os erros

aleatórios são de natureza desconhecida e os erros grosseiros, geralmente,

requerem o uso de técnicas de detecção e eliminação aplicada aos

resíduos provenientes do processo de estimação.

Por isso, os resíduos das observações ajustadas no processo de

estimação devem ser analisados estatisticamente e o processo mais

adequado é o uso de alguma técnica de controle de qualidade das

observações. As técnicas mais comumente utilizadas para análise de dados

paramétricos são: Qui-Quadrado; t-Student; data-snooping, método

danishing, entre outras. Algumas das bibliografias mais utilizadas na área

são: Baarda (1968); Mikhail e Ackermann (1976); Gemael (1994);

Teunissen (1998); Dalmolin (2000). Aqui, serão tratadas as técnicas Qui-

Quadrado e data-snooping.

1.3.1. Teste Qui-Quadrado

Segundo Gemael (1994), o teste estatístico Qui-quadrado (χ )

amostral é calculado por:

Page 13: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

13 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

ra 2

202 ˆ

σσ

χ = (1.33)

Onde, χ é o qui-quadrado amostral, é a variância da observação de

peso unitário a priori e é o grau de liberdade no ajustamento ( ).

A estatística Qui-quadrado populacional é obtida em função de e do

nível de significância ( ), através de uma tabela de dupla entrada (bimodal).

Deste modo os parâmetros ajustados são rejeitados nos testes estatísticos

ao nível de confiança se não cumprir com a condição imposta por:

2

),(2

αχχ ra < (1.34)

Onde, χ ,α é o qui-quadrado tabelado (ver tabelas estatísticas).

Se as observações forem rejeitadas neste teste, existem erros

grosseiros a serem analisadas ou retiradas do processo de ajustamento. A

seguir será apresentada a técnica de detecção de erros grosseiros e

outliers conhecida como data-snooping.

1.3.2. Teste data-snooping

Esta técnica é muito utilizada em processos de estimação cujo

conjunto de observações pode ser tratado de forma dinâmica. O teste para

detecção pode ser realizado a partir de uma análise dos resíduos, que por

estarem em função das observações. A estatística a ser utilizada para

testar 0H contra aH é dado por (BAARDA, 1968):

Page 14: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

14 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

nr

nrSσ

= (1.35)

Onde, nr é o resíduo predito das observações, nr

σ o desvio-padrão dos

resíduos preditos e S a estatística denominada correção normalizada. As

estatísticas apresentadas possuem distribuição normal padrão, isto é,

)1,0(~ 2/αNS , e trata localmente as observações. Se a primeira hipótese

é verdadeira, não existem erros nas observações. Então, as observações

não contêm erros quando a estatística S , a um nível de significância α ,

estiverem situadas no intervalo:

2/2/ αα NSN <<− (1.36)

Nα /2 é extraída da curva normal padrão. Caso algum erro seja

detectado e identificado, as observações são descartadas do processo e o

vetor dos parâmetros calculados não é atualizado.

1.4. Projeto fotogramétrico

Para a execução de um projeto fotogramétrico, usualmente, é

seguido um fluxograma de etapas. Atualmente, com o uso de câmaras

digitais de pequeno, médio e grande formato, o fluxograma é dividido em:

fluxo de etapas baseado no uso de câmaras métricas convencionais; e

baseado em uso de câmaras digitais. A Figura 1.1 apresenta um

fluxograma para a execução de um projeto fotogramétrico.

Page 15: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

15 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

FIGURA 1.1. Fluxograma para um projeto fotogramétrico.

(Adaptado de Santos et al. 2000)

O sucesso na execução de qualquer projeto fotogramétrico depende

da qualidade do planejamento de vôo elaborado. Por isso, geralmente, o

planejamento de vôo é executado pelo engenheiro de maior experiência e o

Page 16: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

16 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

fator de maior importância está relacionado com o tipo de produto que

deverá ser gerado pelo processo fotogramétrico, cuja imposição geralmente

é feita pelo usuário.

Neste caso é necessário decidir a escala da fotografia e a precisão

dos produtos que serão derivados. Por exemplo, um usuário de cartografia

exigiu um produto cartográfico (otofotocarta, por exemplo) na escala

1:2000. Desta forma, poderão ser adquiridas fotografias na escala até

1:8000, tendo em vista que o fator de redução é de 4 vezes.

Como descrito anteriormente, uma missão fotogramétrica deve ser

cuidadosamente planejada e rigorosamente executada de acordo com o

plano de vôo. O plano de vôo consiste de um mapa de vôo (Figura 1.2) e as

devidas especificações, tais como, altura e altitude de vôo, autonomia e

velocidade da aeronave, tempo de exposição das fotografias etc.

FIGURA 1.2. Mapa de vôo.

Page 17: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

17 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

1.4.1 Sobreposição longitudinal e lateral

A cobertura fotogramétrica de uma área é realizada por meio de

fotografias verticais obtidas ao longo de diversas faixas ou linhas de vôo

com uma série de fotografias com sobreposição longitudinal (bloco

fotogramétrico). Cada fotografia possui uma sobreposição em relação à sua

sucessiva fotografia. A Figura 1.3 mostra a sobreposição longitudinal.

FIGURA 1.3. (a) Sobreposição longitudinal. (b) Faixa fotogramétrica.

(a)

(b)

Page 18: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

18 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

Usualmente, o recobrimento longitudinal entre duas fotografias é

entre 60% e 65% (Fig. 1.3a) para fotografias tomadas com câmara métricas

convencionais e de 80% para fotografias tomadas com câmara digitais de

pequeno formato. A razão para tais números se deve à rigidez geométrica

que deve ser estabelecida em função da distância focal e o tamanho do

quadro focal da câmara. Uma seqüência de fotografias tomadas na direção

de vôo forma uma faixa fotogramétrica (Fig. 1.3b). A sobreposição

longitudinal consiste em permitir uma cobertura do terreno de dois pontos

de vista diferentes, permitindo a produção de estereopares para a

observação e medição estereoscópica, construção de mosaicos (Fig. 1.3b,

ilustração à direita), e geração de apoio fotogramétrico derivados do

processo de fototriangulação de imagens.

A sobreposição lateral é requerida para prevenir falhas entre faixas

fotogramétricas consecutivas, como resultado da deriva, inclinações,

variação na altura de vôo da aeronave e na variação do terreno. No caso do

recobrimento lateral entre fotografias adjacentes (alocadas em faixas

fotogramétricas consecutivas, ver Fig. 1.4a) deve-se considerar um

recobrimento entre 30% e 40%. Uma vantagem do uso da sobreposição

lateral é eliminar a necessidade de uso das bordas extremas das

fotografias, cuja qualidade geométrica é influenciada pela distorção radial

da lente e pela característica da propriedade perspectiva da fotografia. A

Figura 1.4 mostra a sobreposição lateral entre as fotografias.

Page 19: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

19 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

FIGURA 1.4. (a) Sobreposição lateral. (b) Ilustração visual.

(a) (b)

A seguir será apresentada a teoria de escala vertical de uma

fotografia.

1.4.2 Escala vertical de uma fotografia

A escala é a razão de uma distância medida em um mapa e sua

correspondente no terreno. A escala de um mapa é geralmente expressa

como uma fração, com numerador e denominador na mesma unidade. Isto

mostra que uma escala não possui dimensão e quanto maior seu

denominador menor é a escala.

A Figura 1.5 ilustra uma seção transversal tomada por meio de uma

fotografia aérea vertical com a estação de exposição posicionada no Centro

Perspectiva da câmara (CP). A distância entre o Datum e a estação de

exposição é denominada altitude de vôo ( Vh ) e a distância entre a

superfície física (S.F.) e a estação de exposição é denominada de altura de

vôo VH .

Page 20: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

20 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

FIGURA 1.5. (a) Escala de uma fotografia vertical. (b) GSD para aplicações com câmaras digitais.

(a) (b)

Onde, o é o ponto principal da fotografia, m é o tamanho físico do pixel no

CCD, M é o tamanho do pixel no terreno também conhecido como GSD (em

inglês, Ground Sample Distance) e f é a distância focal da câmara.

O terreno se apresenta plano, porém possui uma altitude média da

região em relação ao Datum, representado por h . O ponto. A distância

entre CP e o plano da fotografia CPo é denominada distância focal da

câmara ( f ). A escala da fotografia ( fE ) é expressa pela razão das

distâncias ABab

. Mas, pela semelhança de triângulos ∆CPab ∆CPAB tem-se

que:

hH

fEA

f −= (1.37)

A escala do produto final geralmente é especificada pelo contratante

(usuário) do projeto e o fotogrametrista deverá se encarregar em definir

uma escala da fotografia, cujo menor objeto de interesse para o projeto

Page 21: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

21 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

possa ser identificado no produto final compilado. Por isso, este fator é

variante de acordo com as especificações do projeto e depende da

experiência do Engenheiro responsável pela execução do projeto.

No caso de vôos executados com câmaras digitais o conceito

exposto acima deve ser reformulado. Por exemplo, o conceito de escala

não pode ser mais usado e o mesmo é substituído pelo conceito de GSD. O

GSD representa o tamanho real de um determinado pixel no terreno.

Quanto menor o valor do GSD melhor é a resolução espacial da imagem,

ou seja, melhor será a definição geométrica dos objetos presentes na cena.

Considerando a geometria apresentada na Figura 1.5b pela

semelhança de triângulos ∆CPab ∆CPAB tem-se a equação que determina

o valor do GSD, dado por:

f

mHM v= (1.38)

Como pode ser percebido na Equação (1.38), o GSD (M) é função da

altura de vôo, da distância focal da câmara e do tamanho físico do pixel no

CCD.

Outro fator de importância consideração é o tipo de equipamento a

ser utilizado para a execução do projeto e que influencia na determinação

da escala da fotografia.

1.4.3 Escolha dos equipamentos

É de extrema importância a escolha dos equipamentos adequados

para realizar o recobrimento aéreo, bem como executar o produto final. Para

um recobrimento aéreo é necessário sugerir uma aeronave que tenha

velocidade de cruzeiro, capacidade de peso e estabilidade adequada.

Page 22: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

22 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

Dependendo do trabalho a ser realizado, até mesmo um ultra-leve (Figura

1.6b) ou um aeromodelo (Figura 1.6c) podem ser propostas. A Figura 1.6

mostra alguns exemplos de aeronaves a serem selecionados para um vôo

fotogramétrico.

FIGURA 1.6. (a) Cessna 210 bimotor. (b) Ultra-leve. (c) Aeromodelo.

(a) (b) (c)

No entanto, o que definirá o tipo de aeronave a ser utilizada é a

câmara a ser empregada para a aquisição das imagens. A câmara pode ser

métrica convencional (Fig. 1.7a), câmara digital de pequeno formato (de 6-15

MegaPixels, Fig. 1.7b), médio formato (em torno de 15-40 MegaPixels, Fig.

1.7c) ou grande formato (superior à 40 MegaPixels, Fig. 1.7d). A Figura 1.7

mostra os tipos de câmaras supracitados.

FIGURA 1.7. (a) Câmara métrica convencional. Câmaras digitais: (b) Sony

CyberShot. (c) Canon S5 Pro. (d) Intergraph DMC e Leica ADS40.

(a) (b) (c) (d)

Page 23: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

23 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

Quando uma câmara métrica convencional ou câmaras digitais de

grande formato são selecionadas para a execução do projeto fotogramétrico

não restam dúvidas que a melhor aeronave é a ilustrada na Figura 1.6a.

Definido os parâmetros mais críticos para o planejamento de vôo é

necessário estudar a região de recobrimento, calcular a fotobase e aerobase,

a distância entre as faixas, o número de faixas por fotografias, o número de

faixas fotogramétricas e o número total de fotografias para o recobrimento

aéreo.

1.4.3 Região de recobrimento

A variação de escala da fotografia ou entre fotografias, ou GSD é

causada pela variação da movimentação do terreno, pela variação da altura

de vôo, ou ambas as variações. Como exemplo, considere duas fotografias

adquiridas sobre um terreno com elevação média de 120 m em relação ao

Datum, com altitudes variando entre 50 e 180 m. Dada a distância focal da

câmara de 152 mm e uma altitude de vôo de 500 m, qual seria a escala

média da fotografia?

Solução:

Para uma altitude média de 50 m, tem-se:

m

mE f )50500(152.0−

= ∴ A escala da fotografia é 1:2960.

Para uma altitude média de 180 m, tem-se:

m

mE f )180500(152.0−

= ∴ A escala da fotografia é 1:2105.

Page 24: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

24 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

Sendo assim, a escala média da fotografia é 1:2500.

Como descrito anteriormente, a variação de escala da fotografia ou

entre fotografias é causada pela variação da movimentação do terreno, pela

variação da altura de vôo ou ambas as variações. No caso de variação de

escala causada por movimentação do terreno a Figura 1.8 mostra uma

situação onde a aeronave sobrevoa uma região com altura de vôo constante

e o terreno varia da esquerda para a direita, dois efeitos são visíveis, isto é: a

sobreposição longitudinal diminui conforme a movimentação do terreno

aumenta (Fig. 1.8a); e ocorre redução da área de recobrimento e da

sobreposição lateral, conforme a altitude do terreno aumenta (Fig. 1.8b).

FIGURA 1.8. Variação de escala devido à movimentação do terreno. (a)

redução da sobreposição longitudinal. (b) redução da área de recobrimento.

(a)

(b)

Page 25: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

25 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

A solução para os problemas apresentados é variar a altura de vôo da

aeronave ou a distância focal da câmara. Porém, estes fatores devem ser

considerados no momento da elaboração do planejamento de vôo, por isso, é

de extrema importância o estudo da área de recobrimento. Outro fator

importante que deve ser considerado é a precisão dos produtos que deverão

ser obtidos com o processo fotogramétrico, como por exemplo, as curvas de

nível, a ortofotocarta etc.

No momento da tomada das fotografias os componentes de rotação da

câmara nas direções em x (denominado de ω -“movimento de asa da

aeronave”-, Fig. 1.9a) e y (denominado de ϕ -“movimento de nariz da

aeronave”-, Fig. 1.9b) provocam inclinações na aeronave e por isso devem

ser considerados no planejamento de vôo. Quando a aeronave sofre o

movimento em ϕ a sobreposição longitudinal será afetada e quando ocorre o

movimento em ω a sobreposição lateral sofrerá distorções.

FIGURA 1.9. (a) Movimento em ω. (b) Movimento em ϕ.

(a) (b)

O movimento de deriva da aeronave (Fig. 1.10) é provocado pelas

fortes rajadas de vento e da impossibilidade do piloto de vôo manter a

aeronave em linha reta, provocando falhas no recobrimento fotogramétrico.

Page 26: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

26 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

FIGURA 1.10. Deriva (movimento em κ).

A deriva é o ângulo formado entre a direção de vôo e o alinhamento da

aeronave no momento de deriva. A seguir serão apresentadas as

formulações para os devidos cálculos da elaboração do plano de vôo.

1.4.4 Cálculo da altura de vôo

Ao fixar a sobreposição longitudinal e lateral pode ser calculada a

altura de vôo que será estabelecida para a tomada das fotografias. Para isto

é necessário considerar a precisão dos equipamentos que serão utilizados

para a compilação do produto final. Geralmente, quanto maior a precisão

requerida menor a altura de vôo, entretanto, maior será a quantidade de

fotografias a serem adquiridas para o recobrimento completo do terreno.

Portanto, desde que a acurácia vertical do produto é o fator limitante no

processo fotogramétrico, a altura de vôo é função do intervalo entre as curvas

de nível que devem ser geradas. A relação é expressa por um fator de

precisão denominado FatorC do equipamento fotogramétrico, a saber:

VHFatorC V= (1.39)

Page 27: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

27 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

Onde, V é o intervalo entre as curvas de nível.

1.4.5 Cálculo da Aerobase ( B ) e fotobase (b )

A Aerobase e a fotobase são elementos a serem determinados para o

cálculo da distância entre cada estação de exposição da câmara. A Aerobase

é a distância entre cada estação de exposição medida no terreno (Fig. 1.11b)

e a fotobase é a distância entre dois centros fiduciais, medida na fotografia

(Fig. 1.11a).

FIGURA 1.11. (a) Fotobase. (b) Aerobase.

(a) (b)

Para calcular ambos os elementos faz-se:

TFxSLb *)1( −= (1.40)

Onde,

Page 28: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

28 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

SL : é a sobreposição longitudinal fixada para a elaboração do

planejamento de vôo; e

TFx : é a dimensão da fotografia no eixo x.

VH

fBb= (1.41)

VHfbB =∴ (1.42)

Determinada a aerobase deve ser calculado o intervalo de exposição

entre cada fotografia, como segue:

vBei =_ (1.43)

Onde,

ei _ : é o intervalo de exposição entre cada fotografia; e

v : velocidade de cruzeiro da aeronave.

1.4.6 Cálculo da distância entre faixas (W )

Para o recobrimento completo de uma área a ser mapeada é

necessário estabelecer faixas fotogramétricas. O cálculo da distância entre as

faixas é necessário para posicionar a aeronave na execução do planejamento

Page 29: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

29 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

de vôo com a devida sobreposição lateral fixada no plano de vôo. A Figura

1.12 mostra um esquema da distância entre as faixas fotogramétricas.

FIGURA 1.12. Distância entre faixas fotogramétricas.

Para calcular a distância entre as faixas deve-se realizar os seguintes

cálculos, a saber:

TFySaw *)1( −= (1.44)

Onde,

Sa : é a sobreposição lateral fixada para a elaboração do planejamento de

vôo;

w : medida entre dois centro fiduciais em fotografias pertencentes à faixas

fotogramétricas adjacentes;

TFy : é a dimensão da fotografia no eixo y;

Page 30: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

30 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

VH

fWw= (1.45)

VHfwW =∴ (1.46)

1.4.7 Número de faixas fotogramétricas ( Nf ) e do número total de

fotografias (Tf )

Para calcular o número de faixas fotogramétricas necessário para

recobrir completamente a região de interesse, basta considerar a largura do

terreno a ser mapeado ( Lr ) e a distância entre as faixas fotogramétricas,

calculada anteriormente.

WLrNf = (1.47)

Para calcular o número total de fotografias necessária para recobrir

completamente o terreno, basta considerar os seguintes elementos, a saber:

B

CrN = (1.48)

Onde,

N : é o número de fotografias por faixa fotogramétrica;

Cr : comprimento do terreno a ser mapeado;

NfNTf *= (1.49)

Page 31: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

31 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

Desta forma, são determinados os elementos mais importantes para

elaborar um plano de vôo adequado para o recobrimento aéreo. Após os

devidos cálculos, um fator importante a ser considerado é o planejamento do

apoio de campo a ser realizado para os processos de orientação

fotogramétrica (resseção espacial, fototriangulação entre outros).

Além do planejamento de vôo deve ser planejado também o apoio de

campo (levantamento geodésico de pontos de apoio para processos

fotogramétricos), estimativa de custo e tempo de execução do projeto, entre

outros.

1.4.8 Planejamento do apoio de campo

O planejamento do apoio de campo consiste em determinar pontos

tridimensionais sobre a superfície física por meio de métodos de

levantamento direto. Existem dois tipos de pontos de apoio, isto é: pontos

naturais; e pontos artificiais. Os pontos naturais são aqueles pontos

fotoidentificáveis cuja identificação está em cruzamentos de vias, cantos de

culturas e de edificações, entre outros (círculo branco, Figura 1.13a). Os

pontos de apoio artificiais são figuras geométricas implantadas na superfície

física (Figura 1.13b), de forma que os mesmos sejam fotoidentificáveis. Esses

pontos são implantados, geralmente, com diâmetros de 3 à 5 vezes o

tamanho de um pixel no terreno.

Page 32: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

32 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

FIGURA 1.13. Apoio de campo. (a) Pontos naturais. (b) Pontos artificiais.

(a)

(b)

A partir do apoio de campo se define o sistema referencial no espaço-

objeto a ser adotado no projeto fotogramétrico, assim como é fornecido

subsídios para os processos de orientação fotogramétrica.

Diversos produtos são obtidos a partir de um projeto fotogramétrico,

tais como: fotografias ou imagens digitais; foto índice; mosaicos; ortofotos;

ortofotocartas; mapas e cartas topográficas digitais ou vetoriais; base de

dados para SIG; Modelos Digitais de Terreno; mapas cadastrais etc.

Page 33: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

33 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

ANEXO A

DEFINIÇÕES ESTATÍSTICAS

Page 34: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

34 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

As definições e termos apresentados a seguir deverão ser entendidos

para discussões do MMQ.

As observações são valores observados diretamente (ou medidos)

que contém erros randômicos e, por isso, não fornecem solução única ao

problema.

O valor verdadeiro é o valor teoricamente exato de uma medida.

Entretanto, valores verdadeiros, nunca podem ser determinados. Não

importa o cuidado dispensado para medir uma observação, erros

randômicos sempre estarão presentes, devido a natureza probabilística das

observações.

O erro ou discrepância é a diferença entre qualquer quantidade de

medida e o valor adotado como verdadeiro ou de referência, para aquela

medida. Desde que o valor verdadeiro de uma quantidade de medida nunca

pode ser determinado (como descrito anteriormente), os erros também são

indeterminado; portanto, eles são quantidades estritamente teóricas. Os

erros devem ser estimados comparando-se medidas ou valores calculados

com aqueles obtidos por métodos independentes ou de melhor precisão.

Por exemplo, foi calculada uma distância (d1) por meio de técnica

fotogramétrica; para encontrar o erro determinado no cálculo da distância

basta calcular a diferença entre d1 e a mesma distância (d2) determinada

por técnica de levantamento topográfico ou geodésico de precisão.

A média de uma medida ( x ) corresponde a um valor que

representa uma quantidade de medida realizada diretamente ou

independentemente n vezes com observações de mesmo peso ou desvio

padrão. A média de uma medida por ser determinado por:

Page 35: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

35 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

∑= nxx (A1)

Os resíduos são a diferença entre qualquer quantidade de medida e

o valor verdadeiro para aquela quantidade de medida. Os resíduos são

valores tratados no ajustamento de observações, desde que os erros são

indeterminados. Muitas vezes erros e resíduos são tratados como termos

similares, mas existe uma diferença teórica entre eles.

Graus de liberdade ou redundância ( gl ) representam o número de

observações redundantes, ou seja, observações que excedem o número

necessário para solucionar um problema pelo MMQ. Observações

redundantes revelam discrepâncias nos valores observados e tornam

possível a prática do MMQ para solução única e mais provável.

O peso é o valor relativo de uma observação comparada com

qualquer outra observação. No ajustamento de observação são atribuídos

pesos para as observações de acordo com a sua precisão do valor medido.

Isto é, uma observação medida com alta qualidade (precisão) deverá

apresentar um valor de peso maior que medidas de baixa qualidade de

observação. Caso seja utilizado o mesmo equipamento para realizar um

conjunto de medidas deverá ser atribuído o mesmo peso para todas as

observações.

Desvio padrão é uma quantidade usada para expressar a precisão

de um grupo de medidas. O desvio padrão também pode ser chamado de

erro médio quadrático, embora não seja totalmente adequado. Uma

expressão para calcular o desvio padrão de um conjunto de observações de

mesmo peso é a que segue:

Page 36: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

36 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

1

2

−±= ∑

nv

σ (A2)

Considere a Tabela A1 dada abaixo. Os dez valores apresentados na

coluna (a) foram medidas por meio de técnicas fotogramétricas, onde cada

valor foi medido usando o mesmo instrumento. Sendo assim, é assumido o

mesmo peso para cada uma das medidas.

Tabela A1 – Valores medidos, resíduos e o quadrado dos resíduos

(FONTE: Wolf e Dewitt, 2000).

Valores medidos (mm)

Resíduos (mm) Quadrado dos resíduos (mm2)

105,27 -0,005 0,000025

105,26 -0,015 0,000225

105,29 0,015 0,000225

105,29 0,015 0,000225

105,30 0,025 0,000625

105,27 -0,005 0,000025

105,26 -0,015 0,00025

105,28 0,005 0,000025

105,28 0,005 0,000025

105,25 -0,025 0,000625

∑= 75,1052 ∑= 00,0 ∑= 00225,0

Da tabela acima o desvio padrão é calculado como segue:

mm016,0110

00225,0±=

−±=σ

Page 37: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

37 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

Aqui serão apresentados alguns problemas algébricos simples para a

solução com aplicação do MMQ paramétrico para funções lineares e não

lineares.

Problema 1 Dado o modelo matemático da equação paramétrica da reta, a saber:

baxy += (A3)

Considere que 2 pontos de coordenadas cartesianas foram

observados n vezes, e para cada observação foram atribuídas variâncias de

diferentes qualidades. O método de estimação a ser considerado depende

exclusivamente de quatro requisitos básicos, a saber:

1º) Quem são as observações ou medidas e quais os parâmetros a

serem determinados?

2°) O modelo matemático ( F ) é explícito ou implícito?

3º) F é linear ou não linear?

4º) Existe deficiência de posto na matriz das equações normais ( N )?

Baseado nesta seqüência de indagações e o modelo matemático

apresentado na Equação (A1), vamos responder as questões levantadas

para melhor elucidação do leitor em relação ao processo a ser

desenvolvido.

Em primeiro lugar, as medidas observadas são as coordenadas x e y,

sendo x uma observação fixa ao longo da linha reta e y uma observação

variável. Os parâmetros a serem determinados são os coeficientes angular

(a) e linear (b) da linha reta.

Page 38: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

38 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

O modelo matemático ( F ) é explícito, pois as observações (y) estão

em função dos parâmetros (a e b), além de ser linear. Uma dica

importante para descobrir como determinar se F é linear ou não linear:

basta derivar o modelo matemático em função dos parâmetros e verificar se

na formação algébrica da matriz A está adicionado algum parâmetro. Caso

isto aconteça, F não é linear; caso contrário F é linear.

Como sabemos que a equação paramétrica da reta é linear e fornece

uma linha reta, outra dica interessante é analisar se F possui as mesmas

características que a equação paramétrica da reta.

Neste caso o método de ajustamento de observações a ser adotado

é o método paramétrico para funções lineares.

Ainda é necessário verificar se na matriz das equações normais N

existe deficiência de posto. A análise do problema é baseada na existência

ou inexistência da dependência linear entre as linhas da matriz N . Por

exemplo, ao montar o sistema de equações normais verifique se as

mesmas são linearmente dependentes, ou seja, existe uma linha que é

combinação linear das demais? Caso exista: esta linha na matriz N é

combinação linear de quantas outras linhas?

De acordo com a definição de dependência linear, a mesma não se

efetua em função das seguintes operações, a saber:

• Troca de linhas (ou colunas)entre si;

• Multiplicação de uma linha (ou coluna) por um fator

significativo;

• Adição a uma linha (ou coluna) de outra linha (ou coluna)

multiplicada por um fator significativo.

Na Fotogrametria, usualmente, a última operação é bastante usual,

através da prática da aplicação de injunções.

Page 39: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

39 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

Considerando que o modelo matemático é linear e 10 medidas foram

observadas (n) e 2 incógnitas (u) a serem determinadas, tem-se:

[ ]

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

=

=

=

1...1

...

1

......

1...

1

1

0,,,,,,,,,

10

2

1

10

2

10

2

11

2

2

2

20

10

109876543211

10

2

1

x

xx

bF

aF

aF

aF

bF

aF

A

P

LyyyyyyyyyyL

un

y

y

y

nn

n

Tbn

σ

σ

σ

σ

Basta agora calcular o vetor correção dos parâmetros X e ter-se-á

o vetor dos parâmetros ajustados, uma vez que 00 =X , para modelos

funcionais lineares. Pode-se também calcular a MVC das observações e

dos parâmetros e analisar estatisticamente ambas as informações.

Problema 2

Dado o modelo matemático da equação normal da reta, a saber:

0)()cos( =−+ ρθθ ysenx (A4)

Page 40: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

40 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

Considere que 2 pontos de coordenadas cartesianas foram

observadas n vezes, e para cada observação foram atribuídas variâncias de

diferentes qualidades.

1º) Quem são as observações ou medidas e quais os parâmetros a

serem determinados?

2°) O modelo matemático ( F ) é explícito ou implícito?

3º) F é linear ou não linear?

4º) Existe deficiência de posto na matriz das equações normais ( N )?

Baseado na seqüência de indagações apresentadas acima tem-se

que: as medidas observadas são as coordenadas x e y; os parâmetros a

serem determinados são os coeficientes θ e ρ; o modelo matemático ( F ) é

implícito e não linear.

Neste caso o método de ajustamento de observações a ser adotado

é o método combinado com ou sem injunção. Considerando que o modelo

matemático não é linear, 10 medidas foram observadas (n) e existem 2

incógnitas (u) a serem determinadas, tem-se:

Page 41: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

41 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

[ ][ ]

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

=

=

=

>−=

yF

yF

xF

xF

yF

xF

B

F

F

F

F

FF

A

P

LyxyxyxyxyxyxyxyxL

saproximadoX

n

un

y

x

y

x

nn

n

Tbn

T

10

2

10

2

11

2

10

2

10

2

11

2

2

2

2

20

10

1010776655443322111

000

......

......

1

1...

1

1

0;,;...;,;,;,;,;,;,;,

,

10

10

1

1

ρ

ρ

θ

θ

ρθ

σ

σ

σ

σ

σ

ρθ

Problema 3 - Prático

O seguinte exemplo é apresentado para ilustrar uma aplicação

prática do MMQ em fotogrametria (WOLF e DEWITT, 2000). O exemplo

também mostra o método de determinação dos coeficientes do polinômio

Page 42: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

42 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

da curva de distorção radial simétrica para uma câmara métrica

convencional.

Considere os dados de calibração de uma câmara métrica

convencional apresentados na Tabela A2. Calcule os coeficientes do

polinômio que modela a curva de distorção radial simétrica do sistema de

lentes.

Tabela A2 – Distância radial e distorções das lentes (FONTE: Wolf e

Dewitt, 2000).

Distância radial r (mm)

Distorção radial das

lentes r∆ (mm)

20,170 0,004

41,051 0,007

63,460 0,007

88,454 0,001

107,276 -0,003

128,555 -0,004

Para a solução do problema proposto deve ser encontrado o modelo

matemático que melhor represente a realidade física. Neste caso, o modelo

polinomial da forma que segue é a função apropriada para a distorção radial

simétrica das lentes, a saber:

7

45

33

21 rkrkrkrkr +++=∆ (A5)

Na Equação (A5), existem quatro incógnitas, ou seja, 4321 ,,, kkkk

que descrevem os coeficientes de distorção das lentes. Então, no mínimo

quatro observações são necessárias para aplicar o MMQ.

Page 43: Cap. I - Fotogrametria II

Capítulo I

43 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

Do processo de calibração, as distorções são determinadas por seis

distâncias radiais (ver Tabela A2); sendo assim, seis equações podem ser

escritas, e os coeficientes podem ser determinados pelo MMQ.

Baseado nos dados de calibração, as seguintes equações de

observação devem ser escritas (note que a as distâncias radiais foram

convertidas para metros):

IP

L

kr

kr

kr

kr

A

b

obsobs

obsobs

=

−−

=

=

∆∆

∆∆

=

004,0003,0

001,0007,0007,0004,0

128555,0128555,0128555,0128555,0107276,0107276,0107276,0107276,0088454,0088454,0088454,0088454,0063460,0063460,0063460,0063460,0041051,0041051,0041051,0041051,0020170,0020170,0020170,0020170,0

...

.........

...

16

753

753

753

753

753

753

4

6

1

6

4

1

1

1

46δδ

δδ

Resolvendo o sistema de equações bTT PLAPAAX 1)( −= tem-se:

=

=

00,1210526,1018

8926,35229581,0

4

3

2

1

kkkk

X