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UNIDAD DISTRITO FEDERAL
Departamento de Matemática Educativa
Una epistemología del aspecto periódico de las funciones en un
marco de prácticas sociales
(Un estudio socioepistemológico)
Tesis que presenta
Gabriela Buendía Abalos
para obtener el Grado de
Doctora en Ciencias
en la especialidad de
Matemática Educativa
Director de Tesis: Dr. Francisco Cordero Osorio
México, Distrito Federal Junio de 2004
CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DE ESTUDIOS AVANZADOS DEL INSTITUTO POLITÉCNICO
NACIONAL
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Agradezco al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (Conacyt) el apoyo financiero para la realización de mis estudios doctorales. Esta Investigación recibió apoyo del Conacyt: Proyecto 41740-S, “Construcción social del conocimiento matemático avanzado. Estudios sobre la reproducibilidad y la obsolescencia de situaciones didácticas: de la investigación a la realidad del aula”. Gracias por ello.
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Por Manuel, Lolita y Andrés. Siempre.
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Agradecimientos A las comunidades académicas del Area de Educación Superior del Cinvestav-IPN, del Tecnológico de Estudios Superiores de Ecatepec, de la Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo, de la Universidad Autónoma de Chiapas, de la Universidad Autónoma de Guerrero y de Cicata-IPN. A los revisores de esta Investigación, Dr. Ricardo Cantoral, Dra. Sonia Ursini, Dr. Fernando Cajas, Dr. Josip Slisko. Al Director de este proyecto, mi Director, Dr. Francisco Cordero Osorio.
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Índice Resumen viii Introducción 1 Capítulo 1. Antecedentes 9 1. La problemática 10
1.1 La periodicidad en los libros de texto 11
1.2 Algunas consideraciones sobre la definición de periodicidad 24
1.3 Discusión 25
2. Estado del arte 28
2.1 Acerca del comportamiento de las funciones 28
2.2 Las prácticas sociales como fuente de reconstrucción de significados 31
3. La investigación 34
Capítulo 2. La periodicidad funcional 37
1. Estado del arte de la periodicidad en cuanto a objeto de investigación 38
1.1 Acerca del comportamiento de una función 39
1.2 Dualidad local-global 43
1.3 El desplazamiento lineal 46
1.4 Lo periódico 49
2. Análisis epistemológico-histórico 50
2.1 El aspecto periódico de las funciones 50
2.2 El uso de la periodicidad en Euler 54
2.3 La cuerda vibrante 59
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3. Discusión sobre aspectos socioepistemológicos de lo periódico 64
Capítulo 3. La socioepistemología como aproximación teórica 67 1. Las prácticas sociales y la construcció n de conocimiento matemático 70
1.1 La resignficación a través de las prácticas sociales 70
1.2 Contextos interactivos: argumentos y consensos 72
1.3 La reorganización de la obra matemática 74
2. Una socioepistemología de lo periódico 76
2.1 Una epistemología de prácticas 76
2.2 Aspectos cognitivos de lo periódico 78
2.3 Intencionalidad didáctica: la situación 81
Capítulo 4. La situación: su diseño y puesta en escena 84 1. El diseño 87
1.1 Secuencia 1 90
1.2 Secuencia 2 93
1.3 Secuencia 3 98
1.4 La situación: la predicción y lo periódico 99
2. Puesta en escena 101
2.1 Aspectos metodológicos 101
2.2 Secuencia 1 102
2.2.1 Actividad 1 103
2.2.2 Actividad 2 112
2.3 Secuencia 2 117
2.3.1 Actividad 1 117
2.3.2 Actividad 2 128
vii
2.4 Secuencia 3 134
2.5 Análisis a posteriori 138
3. Epistemología revisada 143
Capítulo 5. Comentarios finales 147
1. Perspectivas de la investigación 150
1.1 Acerca de los procedimientos de predicción 150
1.2 Patrones de repetición y su reconocimiento 151
1.3 Periodicidad algebraica y periodicidad geométrica 151
2. Acerca de la Socioepistemología 152 Bibliografía 155 Anexos 161 Anexo 1. La situación: la predicción y lo periódico 162 Anexo 2. Transcripción de una experiencia 164
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Resumen La problemática fundamental que atiende la Matemática Educativa consiste en haber
identificado una confrontación entre la obra matemática y la matemática escolar. En
particular, esta investigación trata el aspecto periódico de las funciones y aborda el
fenómeno didáctico que surge entre la poca coherencia que hay entre la existencia y
aplicabilidad de una definición matemática de periodicidad, componente esencial de
la estructura matemática, con lo que sucede y se interpreta acerca de lo periódico en
los ambientes escolares.
Hemos considerado que la matemática escolar, en especial aquélla del nivel de
educación superior, se nutre no sólo de ella misma, sino de otros dominios científicos
y del propio contexto sociocultural; es de esas otras prácticas de referencia de donde
la matemática toma sentido y significación. El reconocimiento de este tránsito en la
construcción del conocimiento matemático no puede surgir si los objetos
matemáticos, fijos y predeterminados, son la metáfora en la construcción de dicho
conocimiento. En contraste, las prácticas sociales, relacionadas con la generación de
dicho objeto, favorecen un conocimiento matemático articulado y funcional.
Reconociendo a las prácticas sociales como generadoras de conocimiento matemático
entre los grupos humanos, la Socioepistemología es la aproximación teórica con la
que abordamos nuestro estudio sobre la periodicidad. Presentamos una relación entre
la predicción y la periodicidad que proporciona un escenario en el que se articulan
elementos que pertenecen más al tipo de recursos utilizados al hacer matemáticas que
a la propia estructura matemática; tal es el caso del comportamiento repetitivo de la
gráfica de una función.
La epistemología de prácticas que proponemos sobre lo periódico se fundamenta en
esa relación predicción-periodicidad y da cuenta de su ingreso al sistema didáctico a
través de una situación. En ella, la predicción es el argumento que, formado por
ix
significados, procedimientos y aspectos cognitivos situacionales, da cuenta de la
resignificación de lo periódico.
Introducción
2
Esta investigación trata el aspecto periódico de las funciones dentro de la matemática
que se estudia en el nivel superior del sistema educativo. Abordamos un fenómeno
didáctico que surge de la confrontación entre la obra matemática y la matemática
escolar y que se refiere a la poca coherencia que hay entre la existencia y
aplicabilidad de una definición matemática de periodicidad 1, componente esencial de
la estructura matemática, con lo que sucede y se interpreta acerca de lo periódico en
ambientes escolares. Esto se refleja en el manejo que hacen los estudiantes de los
comportamientos repetitivos, particularmente cuando interpretan movimientos a
través de su representación gráfica.
Se han identificado varios problemas alrededor de las interpretaciones que se hace de
lo periódico en ambientes escolares como la falta de sentido que tiene la definición
matemática de las funciones periódicas (Cordero y Martínez, 2001) y la confusión
que se da entre series de objetos y gráficas repetitivos con aquéllos que son
periódicos (Shama, 1998). Adicionalmente, en esta investigación se documenta que
para los estudiantes, al discutir gráficas que representan movimientos, la propiedad
periódica más que tener un significado propio, parece ser la herencia de la función
seno de tal manera que se transfiere automáticamente a cualquier otra gráfica que
resulte similar. Esa falta de sentido se refleja también, cuando lo periódico no suele
ser una característica que resulte relevante ante otras propiedades como la
continuidad. Creemos que lo anterior, es un indicativo de que, alrededor de lo
periódico, se han privilegiado argumentos de corte analítico que toman a los
conceptos matemáticos como objetos elaborados alejados totalmente de argumentos o
herramientas funcionales que permitan lograr un tránsito significativo entre diversas
situaciones.
Como consecuencia, es común que estudiantes y profesores que conocen la definición
de periodicidad, establezcan que gráficas como las de la figura 0.1 sean periódicas. Es
1 Una función es periódica en su dominio si y sólo si f (x ) = f (x ± p) para todo x que pertenezca al dominio, en donde p es un número real llamado periodo
3
como si se generara un teorema factual que establece una relación biunívoca entre
periodicidad y los comportamientos senoidales y que excluye cualquier otra función o
comportamiento periódico.
Figura 0.1
O bien, en el mejor de los casos, se establece una relación biunívoca también entre
cualquier forma de repetición de una gráfica y la propiedad periódica (figura 0.2).
Figura 0.2
Adicionalmente, la periodicidad es un concepto que transita entre diferentes
disciplinas escolares como matemáticas y física. Ambas forman parte de una sola
cultura científica del estudiante; sin embargo, el discurso escolar y, muy en particular,
periodicidad forma
senoidal
propiedad periódica
forma repetitiva
t t
d d
4
el del nivel superior, suele separarlas de tal manera que, para el caso de lo periódico,
la propiedad cambia según el referente. En Cálculo, por ejemplo, una función es o no
periódica según cumpla o no la definición 2, mientras que al estudiar lo periódico con
osciladores, como en Ecuaciones Diferenciales, se habla de funciones casi periódicas3
o bien se define un periodo que se refiere sólo al tiempo4. Una situación similar
ocurre en los textos de física5. Pareciera existir, entonces, una confrontación entre
periodicidad definida y estudiada a través de una función y comportamientos de
carácter periódico asociados con fenómenos. Finalmente, se impone una separación
disciplinar en la que los diferentes dominios científicos quedan con una significación
que no favorece un conocimiento científico funcional y articulado: lo periódico y la
periodicidad.
Creemos que el origen de esta problemática estriba en que muchos fenómenos
didácticos, como el que abordamos, son producto de una concepción de matemática
escolar que niega su carácter social. Por social, no nos referimos a algún tipo de
equivalencia con vida cotidiana; cuando entendemos las matemáticas como una
construcción social, pretendemos enfatizar las prácticas sociales que permiten
generación de conocimiento matemático.
Lo socio no se reduce a explicar la construcción de un conocimiento matemático
como resultado de la interacción entre individuos. Bajo ese enfoque, el saber se
2 Decimos que una función f con domino X es periódica, si existe un número real positivo k tal que f (t + k ) = f ( t ) para todo t en X. Si existe un número positivo k mínimo con esta propiedad, entonces éste se llama el periodo de f (Swokowski, 1982) 3 La superposición de dos vibraciones con frecuencias circulares inconmensurables ? 1 y ? 2 resulta en un proceso de superposición de vibraciones sinusoidales que ya no es periódico. Señalamos que tales funciones siempre tienen un carácter aproximadamente periódico, o, como decimos, son casi periódicas (Courant, 1979) 4 Como )?(sen e) ( 22t ?? ??? ? tAtx ? no es una función periódica, al número 22/2 ??? ? se le llama cuasiperiodo. El cuasiperiodo es el intervalo de tiempo transcurrido entre dos máximos sucesivos de x ( t ) (Zill, 1988) Esas soluciones (y (t) = k1 e-0.1 t cos t + k2 e-0.1 t sen t ) tienen un periodo natural de 2p, pero la amplitud de las oscilaciones decaen con el tiempo. (Blanchard, et al., 1999) 5 En un Movimiento Armónico Simple, el máximo desplazamiento durante la oscilación se llama amplitud. El periodo es el tiempo que se requiere para un ciclo completo (de ida y vuelta). ..Cuando se presenta la fricción, se dice que el movimiento está amortiguado. El desplazamiento máximo disminuye con el tiempo y por último la energía se transforma toda en calor (Giancoli, 1984)
5
percibe como preexistente y único, válido universalmente; mientras que si es
percibido como producto de prácticas realizadas el seno de comunidades, este saber
se problematiza y sólo puede ser entendido dentro del escenario que lo hace posible.
De ahí que hagamos énfasis en que la matemática toma sentido y significación a
partir de prácticas no exclusivas de la misma estructura matemática; sino de aquéllas
que pertenecen a un universo sociocultural mayor. Particularmente, no puede
soslayarse el hecho de que, en la didáctica del nivel superior, la matemática escolar
está al servicio de otros dominios científicos y de otras prácticas de referencia; es de
ellos de donde la matemática adquiere su sentido y significación (Cantoral y Farfán,
2003). Así, reconocemos que el individuo se mueve en un determinado contexto
sociocultural –no exclusivamente matemático- y toma de ahí elementos para realizar
su práctica en terrenos de lo matemático. Proponemos a las prácticas sociales –y no a
los objetos matemáticos- como las que favorecen el tránsito entre dominios para
constituir un conocimiento funcional y articulado.
Lo socio, por otra parte, no responde al dilema sobre si la generación de
conocimiento matemático se da en un plano individual o social; más bien, presenta al
individuo como parte de una organización social en la que se genera conocimiento
normado por la existencia de paradigmas propios y contemporáneos.
En resumen, bajo el enfoque socio, la metáfora de la construcción del conocimiento
matemático cambia, de ser la adquisición del objeto matemático, al desarrollo de
prácticas socialmente compartidas; prácticas asociadas, por supuesto, con la
construcción de dicho objeto.
En nuestra investigación, sostenemos que una práctica asociada con el
reconocimiento del aspecto periódico de las funciones es la predicción; esto es, lo
periódico adquiere sentido cuando los seres humanos necesitan predecir,
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resignificando la repetición que presenta un proceso. Así, la búsqueda de
significaciones para lo periódico no descansa en un virtual encadenamiento lógico
matemático de objetos, sino en el buscar la predicción de la posición lejana que se
tendrá sobre la gráfica del movimiento dada una cierta información actual (Cantoral,
2001).
Estamos planteando un escenario en el que, alrededor de los aspectos meramente
analíticos de la periodicidad, se dibujan muchos más elementos que influyen en su
significado y construcción. Más que hablar de periodicidad, hablaremos entonces, de
lo periódico lo cual incluye aspectos culturales, históricos e institucionales que
tienen que ver con la periodicidad. No bastan, pues, su definición y su operatividad
matemática. Esto le confiere un carácter complejo a la generación de conocimiento
matemático ya que para lograr una explicación coherente se requieren tomar en
cuenta, de manera sistémica, las dimensiones epistemológica, cognitiva, didáctica y
social del saber. El resultado de la interacción de estas dimensiones es algo mucho
más robusto que la simple suma de las partes. Se ha convenido en llamar a esta
explicación teórica, Soc ioepistemología (Cantoral y Farfán, 1998; Cantoral, 2000;
Cordero, 2001).
Su función consiste en buscar las bases para que la reorganización matemática sea
coherente y pertinente con los fenómenos didácticos en cuestión. Desarrolla
estrategias de investigación de naturaleza epistemológica, entendida como el estudio
de las circunstancias que favorecen la construcción del conocimiento. Uno de sus
principales productos es la generación de epistemologías que modelan prácticas
sociales.
Coherentes con esta visión teórica, el objetivo de nuestra investigación es proponer
una epistemología de lo periódico; epistemología construida con elementos extraídos
de las prácticas que realiza el individuo al tratar con aspectos del comportamiento
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repetitivo de gráficas de funciones que describen movimientos. De ahí, que le hemos
llamado socioepistemología de lo periódico.
Otro aspecto que aborda este trabajo es la transformación de las prácticas cuando se
tiene la intención de que el conocimiento ingrese al sistema didáctico. Presentamos
una situación cuyo diseño se fundamenta en la socioepistemología de lo periódico
que hemos propuesto. En ella, la predicción es una práctica desarrollada de manera
intencional en contextos interactivos y juega el papel de argumento situacional.
Desarrollo del trabajo
Hemos dividido este trabajo en cinco capítulos. En el primero, se plantea la
problemática alrededor de la periodicidad por medio de un análisis del discurso
matemático escolar en los libros de texto. Situamos a la investigación dentro una
línea de investigación de tal manera que sea percibido como parte de una Escuela de
Pensamiento que da cuenta de la reorganización de la obra matemática a través de las
prácticas sociales.
En el segundo capítulo, abordamos el estatus epistemológico de la periodicidad
funcional. Se presenta una revisión acerca de las investigaciones relacionadas con la
periodicidad y una revisión de carácter histórico acerca de la periodicidad como una
propiedad de las funciones trigonométricas. El objetivo es exhibir los elementos que
conformarán la socioepistemología de la periodicidad que propondremos.
El capítulo tres está dedicado a la Socioepistemología como una aproximación
teórica. Se plantean sus supuestos teóricos relacionándolos con la problemática de la
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periodicidad que estamos tratando. Esto permite que, en conjunción con lo tratado en
el capítulo anterior, se formule una socioepistemología de la periodicidad. Esta será
la base para el diseño de situación que se presentará posteriormente.
En el capítulo cuatro se presenta la situación diseñada. Se exhibe un análisis a priori
sustentado en la relación entre la situación y la socioepistemología propuesta.
Posteriormente, mostramos la puesta en escena y un análisis a posteriori que permite
plantear una epistemología revisada y conformada por herramientas que se ponen en
juego al discutir sobre lo periódico.
El capítulo cinco presenta las perspectivas de la investigación, comentarios finales
sobre la misma y su contribución a la disciplina y a la reorganización de la obra
matemática.
En los anexos incluimos la situación completa con que se trabajó la puesta en escena,
así como una trascripción de una de ellas con estudiantes de licenciatura.
Capítulo 1
Antecedentes
Capítulo 1
10
En este capítulo presentamos un análisis acerca de lo periódico en el discurso
matemático escolar a través de un análisis de diversos libros de texto. Esto nos
permitirá plantear la problemática que da origen a nuestra investigación. Presentamos
también un estado del arte acerca de lo periódico y de elementos alrededor de dicho
aspecto que detectamos a partir de la problemática planteada. Con base en lo
anterior, plantearemos el objetivo de nuestro trabajo.
1. La problemática La periodicidad es una propiedad que resulta familiar para cualquier individuo y
prácticamente a cualquier edad: las estaciones del año son periódicas, los días de la
semana son periódicos y así, una multitud de ejemplos cotidianos que asocian a la
periodicidad con algo que se repite.
Como humanos organizados en grupos resulta natural transitar entre diferentes
contextos utilizando los mismos significados creados en alguno para aplicarlos en
otros. No resulta extraño que en ambientes didácticos formales lo periódico también
esté ligado, como en las experiencias cotidianas, a cualquier fenómeno que se repite.
El discurso escolar, tanto en los libros de texto en los que se apoya la enseñanza
como el tipo de explicaciones que brinda un docente en los sistemas didácticos, suele
basarse en estas experiencias cercanas del individuo para explicar un fenómeno
periódico. Así, podemos encontrar explicaciones de tipo “si una función tiene esta
propiedad de repeticiones interminables, se dice que es una función periódica” o
“cuando hablemos de una vibración u oscilación nos referimos al movimiento de un
objeto que se repite atrás y adelante sobre la misma trayectoria; esto es, el
movimiento es periódico” en las que lo periódico es finalmente, algo repetitivo.
Nuestra investigación trata el comportamiento periódico de las gráficas de funciones.
Este tipo de comportamiento no es un tema exclusivo del área de matemáticas y
Capítulo 1
11
podemos encontrarlo diseminado en diferentes temas de la currícula escolar.
Presentamos a continuación, una revisión del discurso matemático reflejado a través
de libros de texto y que señala la problemática que abordaremos acerca de lo
periódico.
1.1 Los libros de texto
En el contexto de las ciencias, la periodicidad puede ser vista en diferentes
situaciones. Por ejemplo:
Sucesiones periódicas: Una sucesión no constante {an} es una sucesión periódica si
existe k > 0 tal que para que todo natural n, a n = an + k . k es la longitud de un
periodo de la serie. {an, an+1, ..., an+k} es un periodo de la serie
Funciones periódicas. Una función real no constante f es periódica en su dominio
si existe t > 0 tal que para cada d en el dominio, d ? t está también en el dominio y
f ( d ) = f (d ? t). t es la longitud de un periodo de la función. Sea I una intersección
no vacía del dominio con un segmento semiabierto de longitud t, entonces el conjunto
{(x, f (x)) ? x? I} es un periodo de la función.
Fenómenos periódicos: La característica básica que presentan estos fenómenos es
que, después de un determinado tiempo, vuelven a repetirse, vuelven a pasar
exactamente por la misma sucesión anterior de valores. “Cuando hablemos de una
vibración o una oscilación nos referimos al movimiento de un objeto que se repite,
atrás y adelante, sobre la misma trayectoria. Es decir, el movimiento es periódico”
(Giancoli,1984)
Nuestro trabajo de investigación se centra en la periodicidad de las funciones. En
particular, trataremos relaciones funcionales distancia-tiempo y su representación en
el plano cartesiano. Sin embargo, la plataforma de la cual partimos –las prácticas
sociales- nos hace creer que la epistemología propuesta puede ser extrapolada hacia
una periodicidad más general.
Capítulo 1
12
La mayoría de los textos que analizamos y sobre todo, los que tienen que ver con
Cálculo, presentan a la periodicidad a través del estudio de las funciones
trigonométricas y, en algunos casos, no se hace ninguna otra referencia de la
propiedad en el caso de otras funciones que podrían cumplirla. Presentamos tres
ejemplos que ilustran este tipo de presentación:
Ejemplo 1
Mientras que hay innumerables ejemplos de funciones periódicas, dos en particular son
consideradas básicas: el seno y el coseno...
Figura 1.1
Dado cualquier número real t, mídase una distancia de t unidades alrededor de la circunferencia
del círculo (figura 1.1)... Las coordenadas del punto que se enseña a través de esta manera son,
por definición, las funciones coseno y seno respectivamente... Toda la circunferencia del círculo
mide 2? unidades. Por lo que si sumamos 2? unidades a las t unidades que ya hemos medido,
llegaremos de nuevo al mismo punto sobre el círculo. Esto es, llegamos al mismo punto sobre el
círculo midiendo ya sea t o t+2? unidades alrededor de la circunferencia. Podemos describir las
coordenadas de es te punto de dos maneras:
( cos ( t ), sen ( t ) ) o ( cos (t + 2?) , sen (t + 2?) )
Así,
cos (t + 2? ) = cos ( t ) sen (t + 2? ) = sent ( t )
(Callahan et al., 1993)
Ejemplo 2
...Es importante notar que sen x es una función periódica cuyo periodo es 2?. En efecto,
sen (x + 2? ) = sen x. (Granville, 1993)
t
1
Capítulo 1
13
Ejemplo 3
... una propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son periódicas y tiene
periodo 2?. Esto significa que para todos lo valores de x
sen (x + 2? ) = sen x
cos (x + 2? ) = cos x (Stewart, 1999)
Incluso aun cuando en los capítulos iniciales acerca del concepto de función se
muestren funciones no trigonométricas periódicas, esta propiedad no se menciona de
manera explícita y parece quedar relegada a características como la continuidad-
discontinuidad. La propiedad periódica es presentada posteriormente al abordar las
funciones trigonométricas. Tomemos como ejemplo el siguiente:
....Esta función dientes de sierra (f (x ) = x - 21?x ) es otro ejemplo de función
discontinua (Edwards y Penney, 1987; p. 28). (figura 1.2)
Figura 1.2
-1 3 2 1
Capítulo 1
14
Un poco más adelante en el mismo texto,
Un ángulo de 2? radianes corresponde a una revolución. Esto implica que las funciones seno
y coseno tiene periodo 2? lo que significa que
sen (t + 2? ) = sen t
cos (t + 2? ) = cos t
Se sigue que
sen (t + 2n? ) = sen t , cos (t + 2n ?) = cos t
para cualquier entero n. Esta periodicidad de las funciones seno y coseno resulta evidente en
sus gráficas. (Edwards y Penney, 1987).
Podemos ver en esta muestra de textos que es común que la periodicidad sea
asociada con las funciones trigonométricas, seno y coseno principalmente, y no
siempre se menciona la posibilidad de considerar a otras funciones que también
pueden presentar esta propiedad.
La presentación del Zill (1987), uno de los libros de Cálculo tradicionales en la
educación superior en México es algo distinta pues comienza como la mayoría de los
libros de Cálculo, pero después hace observaciones más puntuales:
Como los ángulos t y t +2? son coterminales, los valores de las funciones seno y coseno se
repiten cada 2? radianes:
sen t = sen (t +2? ) ; cos t = cos (t +2? )
En virtud de estas identidades se dice que sen t y cos t son periódicas con periodo 2? .
Un examen de las gráficas revela claramente la naturaleza periódica de las funciones
trigonométricas. Por ejemplo, la porción de la gráfica de y = sen x en el intervalo [0, ? ] se repite
cada 2? unidades.
Observaciones
Se observó que cada una de las funciones trigonométricas es periódica. En un contexto más
general, se dice que una función es periódica si existe un número positivo p tal que
f (x + p) = f (x) para todo número x en el domino de f. Si p es el menor número positivo para el
que f (x + p) = f (x) entonces p es el periodo de la función f. La siguiente función (figura 1.3)
tiene periodo de 1.
Capítulo 1
15
Figura 1.3
En un tono también distinto a los anteriores, en (Spivak, 1980) se maneja a la
periodicidad como una propiedad de las funciones en general e, incluso, no hace
referencia de ella al hablar de la función seno. En los primeros capítulos (Funciones y
Gráficas), presenta la función seno y su gráfica; sin embargo, lo hace hablando de
otra propiedad, la oscilación:
Es posible definir, de una manera mucho más simple, una función que exhibe esta misma
propiedad de oscilar infinitamente alrededor del cero, utilizando la función seno.
Es en la parte final de ese mismo capítulo, donde retoma la propiedad periódica a
través de ejercicios propuestos:
Describa las características generales de la gráfica de f si:
i) f es par
ii) f es impar
iii) f es no-negativa
iv) f (x ) = f (x+a) para todo x en el dominio de f (una función con esta propiedad se llama
periódica, con periodo a)
Posteriormente, continúa manejando esta propiedad en un contexto general de
funciones y analizando, a través de ejercicios propuestos, qué sucede con funciones
periódicas al derivar o integrar:
-1 3 2 1
Capítulo 1
16
a) Supóngase que f es diferenciable y periódica, con periodo a (es decir, f (x ) = f (x+a) para
todo x). Pruebe que f ’ es también periódica.
b) Si f es periódica con periodo a e integrable en [0,a], muestre que ???
?ab
b
a
ff0
para todo b
c) Hallar una función f tal que f no sea periódica, pero f ’ s í
d) Suponga que f ’ es periódica con periodo a. Pruebe que f es periódica si y sólo si
f (a ) = f (0)
En un capítulo posterior, al abordar las funciones trigonométricas, realiza una
construcción de la función seno en el intervalo [0, 2? ] y no hace referencia explícita a
su propiedad periódica. Aun cuando extiende las funciones seno y coseno a todo R y
presenta sus gráficas, no explicita su propiedad periódica.
Esta forma de presentar la propiedad periódica de las funciones, si bien no provoca
una asociación única de dicha propiedad con las funciones trigonométricas, sí
favorece una centración en los aspectos analíticos de la misma. Esto es, la definición
de propiedad periódica se vuelve el único argumento acerca de lo periódico en las
funciones.
Continuando con la revisión de textos, mostramos dos ejemplos que intentan dar a la
periodicidad un status más general. Ambas terminan presentándola como una
propiedad ligada a las funciones trigonométricas; sin embargo, el primer ejemplo
tomado de un libro de cálculo, enfatiza el aspecto analítico y el segundo, tomado de
un texto de matemáticas dirigidas a estudiantes de ingeniería, caracteriza a la función
periódica a través de la forma de la gráfica.
Ejemplo 1
La importancia de las funciones periódicas proviene del hecho de que muchos fenómenos que
la ciencia estudia son periódicos. Las ondas cerebrales y los latidos cardiacos son periódicos,
como lo son el voltaje y la corriente eléctrica domésticos. El campo electromagnético que
calienta la comida en un horno de microondas es periódico, como lo son el flujo de efectivo
en negocios de temporada y el comportamiento de la maquinaria rotatoria. Las estaciones son
periódicas y el clima también. Las fases de la luna son periódicas, como el movimiento de los
Capítulo 1
17
planetas. Hay una fuerte evidencia de que las glaciaciones son periódicas con un periodo de
90000 – 100 000 años.
Si tantas cosas son periódicas, ¿por qué limitar nuestro estudio a las funciones
trigonométricas? La respuesta está en un sorprendente y bello teorema del cálculo avanzado
que dice que cualquier función periódica que se use en un modelo matemático puede
escribirse como una combinación algebraica de senos y coseno. De esta manera, una vez que
aprendamos el cálculo de senos y coseno, sabremos lo necesario para modelar el
comportamiento matemático de fenómenos periódicos. (Thomas, G. y Finney,R, 1998)
Ejemplo 2
Funciones periódicas. Ahora se consideran algunas funciones que el estudiante muy
probablemente encontrará con mucha frecuencia. Comiéncese observando las tres gráficas
siguientes (figura 1.4). ¿Puede le estudiante notar cualquier propiedad que las dos primeras
tienen en común pero no la tercera? En las primeras dos, toda la curva consiste de repeticiones interminables, una después de la
otra del arco AB. Esto no sucede en el tercer caso.
Si una función tiene esta propiedad de repeticiones interminables, se dice que es una función
periódica.
Una función es periódica si existe un valor de c ? 0 para el cual f (x+c ) = f (x) para todos los
valores de x. El mínimo valor positivo de c que cumple con esta condición se denomina
periodo ( Bajpai, Calus and Fairley, 1977)
Capítulo 1
18
Figura 1.4
Otros textos hablan más ampliamente sobre el aspecto geométrico de la periodicidad.
Implícitamente hemos mencionado algunos en las citas anteriores, por ejemplo,
algunos dicen que la periodicidad es evidente al ver las gráficas (Edwards y Penney,
Capítulo 1
19
1987; Zill, 1987). Veamos otros ejemplos tomados de textos que tradicionalmente
son utilizados en educación superior en México:
Decimos que una función f con dominio X es periódica, si existe un número real positivo k
tal que f (t+k ) = f (t) para todo t en X. Desde el punto de vista geométrico esto significa que
la gráfica de f se repite a medida que las abscisas de los puntos recorren intervalos sucesivos
de longitud k (Swokowski, 1982)
Una función periódica con periodo 2l es representada por la ecuación f (x+2l) = f(x), válida
para todos los valores de x....Gráficamente, en cualesquiera dos intervalos consecutivos de
longitud 2l la gráfica de la función tiene exactamente la misma forma. (Courant, 1979)
Interpretada geométricamente, f (t ) tiene periodo p (p = b-a) si un corrimiento de su gráfica
en p unidades hacia la derecha lleva nuevamente a la misma gráfica (Courant, 1982) (Figura
1.5)
Figura 1.5
Una cuestión interesante que manejan los libros de texto es la “extensión periódica”
de una función cua lquiera. Este término se refiere a poder hacer periódica en todo su
dominio a una función que originalmente no lo es. En los siguiente capítulos
volveremos sobre la importancia de formalizar este tratamiento analítico de
funciones no periódicas para hacerlas periódicas ya que creemos que tiene su origen
en el problema de la cuerda vibrante; un problema histórico en el que la periodicidad
jugó un papel relevante y que causó gran controversia entre los matemáticos de la
época.
Capítulo 1
20
Ejemplo 1
Una ramificación sorprendente del trabajo de Fourier fue el saber que muchas funciones
conocidas pueden desarrollarse en series infinitas que contienen funciones trigonométricas.
Supongamos que f es integrable en [-?, ? ]. La serie de Fourier para f en ese intervalo es la serie
a0 + ? ???
??
1)()cos(
nnxsennbnxna
en donde los coeficientes son los coeficientes de Fourier de f en [-? , ?].
Podemos extender esta discusión a funciones definidas en un intervalo [-L, L] cambiando de
escala. El cambio de variable t = ?x/L convierte al intervalo [-L, L] a [-?, ? ].
Así, la serie de Fourier para f en [-L, L] es.
a0 + ??
????
??? ?
1
)L x() cos(
nnn
nsenbL
xna ??
Es interesante observar que, aunque f puede estar definida únicamente en [-L, L], la serie de
Fourier está definida para todo número real t. Más aún, cada función en la serie de Fourier tiene
periodo 2L; por lo tanto, la serie de Fourier tiene periodo 2L. Esto significa que podemos
utilizar a la serie de Fourier para definir f(t) para todo r real. En efecto, tomamos la gráfica de f
en [-L, L], y la duplicamos sobre cada intervalo [L, 3L], [3L, 5L],...,.[-3L, -L], [-5L, -3L]. La
función resultante está definida para todo t, tiene periodo 2 L y coincide con f en [-L, L].
Esta extensión se llama extensión periódica de f (con periodo 2L) a toda la recta real (figura
1.6) ( O’Neil, 1994).
Figura 1.6
Capítulo 1
21
Courant (1982) menciona que si cualquier función arbitraria f está dada en un
intervalo definido, digamos a ? x ? b, siempre puede ser extendida como una
función periódica con periodo p = b-a definiendo f fuera del intervalo por medio de
la ecuación f (x + np ) = f (x) para n = ? 1, ? 2,...
Por ejemplo, la extensión en forma periódica de la función f (t) definida por f(t) = t para
0 ? t < 1, conduce a una función de periodo p=1, que llamaremos “parte fraccional de t” y la
cual es discontinua en los puntos t que son enteros (fig.1.7a).
Figura 1.7
Por otra parte, hay textos que hacen mayor énfasis en movimientos periódicos entre
los que destaca el movimiento armónico. En estos casos, es común que lo periódico
del movimiento resulte como una herencia de la función trigonométrica que lo
modela:
La solución de esta ecuación (mü + ku = 0) es:
u = A cos ? 0 t + B sen ? 0 t donde ? 02 = k / m
Al analizar esta solución, resulta conveniente escribirla en la forma
u = R cos (? 0 t - ?)
Capítulo 1
22
Debido al carácter periódico de la función coseno, esta ecuación representa un
movimiento periódico, o movimiento armónico simple, de periodo T = 0
2??
Note que este movimiento periódico no termina cuando el tiempo aumenta (Boyce,
DiPrima, 1987)
Cuando estos textos hablan de movimientos oscilatorios, se introduce una de la
principales problemáticas de la periodicidad que tratamos en este trabajo. Esto se
refiere a funciones que presentan un comportamiento repetitivo y que, sin embargo,
no son periódicas. Presentamos dos tratamientos, uno en relación al amortiguamiento
de un resorte y otro referente a la superposición de vibraciones senoidales. Lo que
resulta sobresaliente es el uso del término “cuasiperiodo” cuando se refieren a
movimientos que no son “verdaderamente periódicos”.
.... para el caso de las vibraciones libres amortiguadas, se habla acerca de movimientos
subamortiguados en los que la solución está dada de la forma u = R e-(c/2m) t cos (? t- ?)
(m= masa, R = amplitud del movimiento, ? = ángulo fase)
El desplazamiento debe estar entre las curvas u = ? Re-(c/2m) t y, por lo tanto, se parece a
una curva cosenoidal, con amplitud decreciente.
Aun cuando el movimiento no es verdaderamente periódico, podemos definir un
cuasiperiodo Td = 2? / ? como el tiempo entre los máximos sucesivos del desplazamiento
(Boyce, DiPrima, 1987) (Figura 1.8)
Figura 1.8
Capítulo 1
23
Courant (1979) utiliza el término casi periódica para referirse a funciones con un
carácter aproximadamente periódico. Esto lo hace al estudiar la superposición de dos
vibraciones con frecuencias circulares inconmensurables ? 1 y ? 2 que resulta en un
proceso de superposición de vibraciones senoidales que ya no es periódico
...señalamos que tales funciones siempre tienen un carácter aproximadamente
periódico, o, como decimos, son casi periódicas11 (figura 1.9).
Figura 1.9
Estos términos como casi periódico o cuasiperiodo hacen uso del comportamiento de
la gráfica. Así, mientras que un aspecto exclusivamente analítico catalogaría a una
gráfica como periódica o no periódica haciendo uso de la definición, hay situaciones
que requieren la construcción y uso de herramientas más de corte social; esto es,
herramientas que reconocen que el individuo se mueve en un determinado contexto
sociocultural –no exclusivamente matemático- y toma de ahí elementos para realizar
su práctica en terrenos de lo matemático. Creemos que estas herramientas de corte
social, además de enriquecer la argumentación alrededor de lo periódico, resignifica
este aspecto de las funciones.
11 “or, as we say, they are almost periodic” (Courant, 1979)
Capítulo 1
24
El carácter social que reconocemos en el conocimiento matemático destaca su
pertenencia a un ámbito de significación no exclusivamente matemático y sí
dependiente del entorno sociocultural. Las prácticas sociales –y no los objetos
matemáticos- son lo que favorece el tránsito entre contextos para constituir un
conocimiento funcional y articulado.
1.2 Algunas consideraciones sobre la definición de periodicidad
El tratamiento de corte exclusivamente analítico sobre el aspecto periódico de las
funciones es una característica que podemos identificar del análisis de textos
realizado. Esto es, la definición de propiedad periódica es presentada como la única
herramienta para distinguir lo periódico de lo no periódico. Sin embargo, también la
definición puede tomar distintas formas, como implícitamente puede verse en la
revisión que hemos presentado.
Dormolen y Zaslavsky (2003) mencionan que al hacer matemáticas uno puede elegir
una u otra definición por razones lógicas, pedagógicas o de carácter convencional y
sería peligroso mezclar estas razones o creer que, finalmente, una definición es única
o pura.
Así podemos encontrar definiciones diversas que, si queremos aplicarlas como
dogma podrían causar incluso contradicciones en la propia estructura matemática. Por
ejemplo, aceptar que la definición de función periódica establezca la igualdad, para
todo x, de f(x) con f (x ? a) o solamente con f (x+a); o bien que dicha definición
admita o no a la función constante como periódica. La elección de una u otra
definición debe depender del contexto en el cual se está trabajando lo cual niega la
concepción del saber matemático como único y preestablecido.
Capítulo 1
25
Otro matiz importante acerca de la definición es el uso que se le da al periodo.
Veamos los siguientes dos ejemplos (el subrayado es nuestro) en los que un periodo
puede definirse de dos maneras. En una de ellas, se define a través de su longitud
siendo, entonces, equivalente lo que es un periodo y su longitud medida en el eje x;
en la otra, la longitud y el periodo se distinguen ya que por periodo se entiende un
conjunto formado por (x, f(x)).
En un contexto más general, se dice que una función es periódica si existe un número positivo p tal que f (x+p) = f (x) para todo número x en el domino de f. Si p es el menor número positivo para el que f (x+p ) = f (x) entonces p es el periodo de la función f. (Zill, 1987) Una función real no constante f es periódica en su dominio si existe t>0 tal que para cada d en el dominio, d ? t está también en el dominio y f (d) = f (d? t). t es la longitud de un periodo de la función. Sea I una intersección no vacía del dominio con un segmento semiabierto de longitud t, entonces el conjunto { (x, f (x ) )? x? I} es un periodo de la función. (Shama, 1998)
Adicionalmente, para la periodicidad, los textos manejan frases descriptivas de lo
periódico como:
Si una función tiene esta propiedad de repeticiones interminables, se dice que es
una función periódica
...nos referimos al movimiento de un objeto que se repite, atrás y adelante, sobre la
misma trayectoria. Es decir, el movimiento es periódico
Note que este movimiento periódico no termina cuando el tiempo aumenta
Estas frases son argumentos que pertenecen, como las herramientas que hemos
mencionado anteriormente, más al terreno sociocultural en el cual se desenvuelve el
individuo, que a su producción estrictamente matemática.
1.3 Discusión
Parece existir una confrontación entre periodicidad pensada y definida a través de una
función con comportamientos de carácter periódico asociados a fenómenos a partir de
la cual lo periódico se percibe como algo repetitivo, independientemente del tipo de
Capítulo 1
26
repetición presente. Esto señala una disociación entre diferentes dominios científicos
en la que, finalmente, tanto la definición analítica de función periódica como el tipo
de repetición que presenta un movimiento quedan, ambos, sin un significado
funcional que permita la generación de un conocimiento articulado.
Otro punto relevante derivado del análisis de textos es que, en muchos casos, la
periodicidad únicamente se aborda a través de las funciones trigonométricas: las
funciones trigonométricas, como el seno, son periódicas en todo su dominio con
periodo 2? porque sen (x+ 2? ) = sen x. Cualquier fenómeno que se modele a
través de dicha función será, por consiguiente, periódico.
Creemos que una concepción limitada de la periodicidad como ésta favorece una
errónea generalización en el discurso escolar hacia afirmaciones como “cualquier
función que tenga forma de seno (o coseno) resulta periódica”. El significado que
parece estar sustentar esta generalización es, nuevamente, que lo periódico significa
cualquier tipo de repetición.
Estos aspectos del discurso matemático escolar conforman una concepción de la
enseñanza normada por el contrato escolar en la que no es difícil percibir que las
concepciones de los estudiantes y profesores de la matemática están del lado de lo
utilitario del saber. La enseñanza-aprendizaje es ejercida considerando a la
matemática como un conocimiento acabado y sujeta a procesos de repetición o
memorización (Cordero, 2003a, 2003b).
Percatarnos de la situación que hemos descrito acerca de la periodicidad en los
sistemas escolares nos hace concluir que los aspectos exclusivamente analíticos de la
misma no resultan ser un marco de referencia suficiente que le permita a un alumno
describir lo periódico. Si fueran el marco de referencia, entonces se trataría de
distinguir que un proceso periódico no necesariamente va a producir un objeto
periódico para lo cual bastaría un análisis de corte cognitivo basado en la díada
proceso-objeto.
Capítulo 1
27
Sin embargo, en la situación descrita también se alcanzan a percibir elementos, como
el comportamiento de una función, que forman parte de las argumentaciones
alrededor de lo periódico. Tampoco podemos dejar de lado la pregunta acerca de
cómo los significados de lo que es un movimiento repetitivo influyen o son influidos
al estudiar lo periódico. Esto obliga a considerar dos aspectos primordiales al
estudiar matemáticas:
a) no estamos ajenos al contexto sociocultural en el que nos desenvolvemos el cual
liga necesariamente lo que sucede en clase de matemáticas con lo que sucede en otras
clases y con lo que sucede fuera de éstas.
b) la naturaleza misma del conocimiento matemático en estudio
Respecto a este segundo aspecto, creemos que la propia naturaleza misma de la
periodicidad influye en la problemática que hemos dibujado pues si actualmente esta
propiedad está incorporada a la función seno, parecería natural que siempre haya sido
así. Sin embargo, hasta el siglo XVIII el seno fue tratado independientemente de su
propiedad periódica e incluso fenómenos repetitivos como el resorte, hoy sólidamente
ligados a la función seno y su periodicidad, también fueron tratados sin hacer
referencia a dicha función. La cuestión radica en determinar cuáles son las
circunstancias que permiten contextualizar lo periódico de las funciones.
Entonces, el conocimiento matemático que se imparte en los sistemas didácticos no
puede ser algo acabado, único y predeterminado, que hay que enseñar en el aula o
generar mecanismos y estrategias para adquirirlo. Sobresale su naturaleza social en
la que, además de percibir al individuo en interacción, negociando y argumentando
acerca de la matemática, se habla de una relación dialéctica entre este individuo y su
contexto social, histórico y cultural.
Capítulo 1
28
2. Estado del arte
2.1 Acerca del comportamiento de las funciones
Este proyecto de investigación forma parte de un estudio acerca de la reorganización
del Cálculo (Cordero, 1998,2001). En ese marco, se ha establecido la existencia de
una noción sui generis, llamada comportamiento tendencial de las funciones (ctf) que
tiene un carácter funcional del conocimiento matemático, y su construcción está en
relación con el uso de las herramientas matemáticas. Se pueden formular, en
consecuencia, categorías del conocimiento matemático que a priori no están en la
estructura matemática.
Se han encontrado diferentes construcciones de la noción ctf de las funciones en las
que el estudiante aprende a “identificar” coeficientes en la función, a “reconocer”
patrones de comportamientos gráficos, a “buscar” tendencias en los comportamientos
y a "relacionar” funciones. Los elementos identificar, reconocer, buscar y relacionar
son las herramientas seleccionadas por los estudiantes ante la situación para construir
la noción comportamiento tendencial de las funciones. Por ello, la naturaleza de esta
noción como categoría indica que el foco de atención está en el lenguaje de las
herramientas matemáticas y no sólo en el lenguaje de los objetos matemáticos. Este
planteamiento está creando una nueva base de entendimientos y construcciones
matemáticas en relación con el ámbito de la actividad humana (Cordero, 1998, 2001,
2003b).
El campo de desarrollo que ha tenido el ctf abarca los niveles educativos medio
superior y superior proponiendo la reorganización de distintos temas curriculares. En
ellos, el ctf genera argumentos de tipo cualitativo que determinarán un intercambio
permanente entre contextos algebraicos y gráficos. El núcleo de estos temas es el
comportamiento de las funciones como organizador de la variación de los
coeficientes de las funciones.
Capítulo 1
29
Uno de estos temas es la asintoticidad. Palma (1999), por ejemplo, aborda el concepto
de asíntota oblicua de una función. Diseña una situación que, favorecida por el ctf,
logra que los estudiantes generen un patrón de construcción de comportamientos
asintóticos, considerando la función prototipo 1( )f x
x? y la suma de funciones. El
patrón consistió en haber identificado relaciones entre la suma de funciones y las
formas de las gráficas. Domínguez (2003), por su parte, presenta un marco para
resignificar la asíntota de una función, al considerar un diseño de situación de lo
asintótico donde se confrontan la forma de tendencia de una función y la razón de la
tendencia. El comportamiento tendencial como argumentación gráfica ayudó a
resignificar lo asintótico, logrando ampliar el universo de comportamientos
asintóticos de los estudiantes.
El tema de funciones y sus gráficas es abordado por Cordero y Solís (1999, 2001),
quienes exploran una función mediante la relación de su forma simbólica de la
expresión y la forma de la gráfica, para lo cual se vincula la curva completa de f (x)
con la expresión ? ?( )y A f x B? ? , en la que la variable x deja de ser importante y
pasan a ser importantes los coeficientes A y B de la expresión. Esta forma de
tratamiento permite observar aspectos globales de la función f, donde la “curva” es
un objeto que se mira en forma completa, no percibiéndose en este tratamiento un
proceso previo a la gráfica, sino que la función y la “curva” son los objetos a operar.
La relación entre la gráfica y los coeficientes de la función analítica también ha
mostrado un vínculo entre una ecuación diferencial del tipo y’(x) + y(x) = F(x) y su
solución en la que ésta puede ser determinada en términos globales y cualitativos si se
conoce la gráfica de F(x). Resulta relevante que esto se puede hacer
independientemente de los diferentes métodos analíticos disponibles (Cordero, 2001)
Por otra parte, Campos (2003) propone buscar un marco de referencia que ayude a
resignificar la parábola de tal manera que las gráficas pasen a un plano argumentativo
de la matemática; en otras palabras que se pueda construir o explicar un conocimiento
matemático a través de las gráficas.
Capítulo 1
30
La hipótesis detrás de estas investigaciones es que el ctf es un argumento del
estudiante en el contexto gráfico que posibilita nuevas argumentaciones. Pero
también esta noción ha contribuido a reconstruir propiedades matemáticas como por
ejemplo, la linealidad del polinomio. Esta propiedad se basa en la reconstrucción del
significado de la parte lineal del polinomio (a1x + a0) con relación al comportamiento
tendencial de su gráfica que consta de dos aspectos: identificar la propiedad de
linealidad y establecerla como argumento (Cordero, 2001; Rosado, 2004).
En este marco, situamos nuestra investigación. El comportamiento que presenta la
gráfica de una función es un eje de discusión a lo largo de este proyecto. Argumentos
como “la gráfica se repite por intervalos” ó “tiene movimientos repetitivos en su
gráfica que corresponden a un patrón de comportamiento” son los que el alumno
utiliza, en la interacción del salón de clases, para referirse a gráficas de funciones
periódicas. Aunque el concepto de periodicidad generalmente es tratado en la
currícula como una propiedad de cierta clase de funciones llamadas periódicas, la
definición suele dejarse de lado para privilegiar el uso de argumentos que tienen que
ver con el comportamiento de la función (Cordero y Martínez, 2001). Se hace pues
necesario proponer una cierta reconstrucción de esta propiedad que permita dotarla
de un significado real con capacidad de ser utilizada posteriormente en diversos
contextos argumentativos.
En todo lo anterior, sobresale que el comportamiento de las gráficas es una categoría
que no pertenece a la estructura matemática. Es un recurso para hablar de ciertas
propiedades matemáticas de las funciones y sus gráficas; es una categoría que no está
definida en los textos. Sin embargo, el individuo lo utiliza cuando se involucra en
cierta actividad matemática. Esto parece mostrar la importancia de tomar como fuente
de información acerca de la construcción del conocimiento, no sólo a la producción
matemática del alumno, sino a las actividades que realiza alrededor de ella. De ahí, el
énfasis que haremos en actividades humanas de carácter intencional que desarrolla el
individuo en sistemas didácticos. Estas actividades tienen un contexto institucional,
Capítulo 1
31
histórico y cultural que también las relaciona con el conocimiento matemático
particular. En ese sentido es que hablaremos de la importancia de las prácticas
sociales en la generación de conocimiento matemático.
2.2 Las prácticas sociales como fuente de reconstrucción de
significados
Uno de los objetivos de la Matemática Educativa es formular explicaciones acerca de
la construcción del conocimiento matemático y de cómo se produce su ingreso al
sistema escolar. Para ello, al seno de la disciplina, han surgido diversos esquemas
explicativos cuya naturaleza cognitiva analiza el estatus de los conceptos
matemáticos entre los estudiantes y las construcciones mentales que deben hacer los
individuos para lograr el conocimiento. Estos enfoques suelen asumir que los objetos
matemáticos existen previamente y que las dificultades didácticas yacen en la
distancia entre las imágenes formadas y los objetos matemáticos (Cantoral, 2000).
Y, aunque se reconozca al individuo como parte de una sociedad e influenciado por
ésta, se presenta una tendencia final a analizar sólo el aprendizaje matemático
individual, separado del resto de las actividades que, como humano, realiza el
estudiante.
En la disciplina se ha acuñado el término reificacionista12 para designar a aquellas
aproximaciones que presentan una dialéctica proceso-objeto y que giran alrededor de
la construcción del objeto matemático. El foco de interés de sus respectivos marcos
teóricos está en la actividad matemática que desarrolla el individuo y en la cognición
individual respecto a la adquisición del objeto. Se han formulado, entonces,
epistemologías modelizadas por esta actividad matemática que explican la
12 En la descripción del pensamiento matemático avanzado es central la discusión entre el “proceso” y el “objeto” al aprender matemáticas. Ver, por ejemplo, Confrey y Costa (1996) o el trabajo desarrollado por el grupo RUMEC (Research in Undergraduate Mathematics Education Community). (Harel y Dubinsky, 1992, entre otros)
Capítulo 1
32
construcción de un determinado concepto –preexistente y predeterminado- por parte
de un individuo en función de su cognición.
Este matiz en la producción matemática soslaya al humano como tal y a la actividad
que realiza dentro del contexto social particular que representa el salón de clases.
Además, se minimiza el papel de la interacción humana en la práctica matemática, se
está separando al pensamiento matemático de sus orígenes en contextos y se
obscurece el papel que juega el desarrollo y uso de las herramientas 13 para construir
el objeto matemático (Confrey y Costa, 1996; Wertsch, 1993)
La epistemología debe, entonces, reconocer a la actividad humana como organización
social en la que se construye conocimiento. Para ello, es necesario ampliar los
esquemas explicativos de las teorías reificacionistas y hacer patente la relación que
tiene la construcción de los conceptos con prácticas socialmente compartidas. Esto
implica necesariamente conocer y enfocarse en los recursos, versiones, argumentos y
consensos acerca de cierto contenido matemático que se dan en la construcción del
conocimiento dentro de contextos interactivos.
Estamos hablando, entonces, de una confrontación entre la obra matemática y la
matemática escolar en la que la imagen de un conocimiento matemático puro y
limpio se deja de lado, para dar espacio a un conocimiento no lineal en el que las
argumentaciones y herramientas lo reconstruyen continuamente. Proponemos a esas
prácticas socialmente compartidas como la metáfora del aprendizaje ya que son éstas
las que proveen de sentido y contexto a nuestras experiencias.
De acuerdo a lo anterior, presentamos una aproximación teórica, la
Socioepistemología, en la que las prácticas sociales son la plataforma que brinda
epistemologías para ampliar la problemática. Pretendemos que el objeto de estudio
incluya a las prácticas relacionadas con la construcción del objeto, lo cual implica
13 El concepto “herramienta” lo utilizaremos según las aproximaciones socioculturales en las cuales se destaca su papel crucial como instrumentos mediadores; de esta manera la acción se considera siempre mediada por herramientas
Capítulo 1
33
dotar de importancia al desarrollo y uso de las herramientas involucradas en la
construcción del conocimiento y al papel de la persona y del contexto social en el
cual se está desempeñando. De esta manera, la epistemología planteada brindará
explicaciones en función de las características propias del humano al hacer
matemáticas en contextos socialmente organizados.
Esta perspectiva atiende la problemática fundamental de la disciplina matemática
educativa en la cual se confrontan la obra matemática14 y la matemática escolar.
Ambas son de naturaleza y funciones distintas; sin embargo, la segunda requiere
interpretar y reorganizar a la primera, a través de la reconstrucción de significados de
los procesos y conceptos matemáticos en los diferentes niveles escolar es. El
resultado de esta reconstrucción de significados es el establecimiento de categorías
del conocimiento matemático extraídas directamente de prácticas socialmente
compartidas. En ese sentido, se plantea como hipótesis que estas prácticas son la
fuente de reorganización de la obra matemática y del rediseño del discurso
matemático escolar (Cordero, 2001).
Este proyecto se ubica en la línea de investigación desarrollada en el Área de
Educación Superior del Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav, la
cual consiste en construir una explicación sistémica de los fenómenos didácticos en
el campo de las matemáticas por medio de cuatro componentes fundamentales del
conocimiento matemático: la epistemología, la cognición, la didáctica y la dimensión
sociocultural. A estas componentes en conjunto se le llama aproximación
socioepistemológica, cuya tarea principal de investigación consiste en dar evidencias
sobre la hipótesis anteriormente mencionada (Cantoral y Farfán, 1998; Cantoral,
2000; Cordero, 2001).
14 La obra matemática es tomada en el mismo sentido de Chevallard, et al (1998), el cual consiste en considerarla como respuesta a un tipo de cuestiones o tareas problemáticas y está formada por elementos técnicos, tecnológicos y teóricos. Se puede concebir como una organización estática y determinada de antemano, sin embargo, se prefiere interpretarla en forma dinámica: las técnicas generan nuevos problemas y apelan a nuevos resultados tecnológicos que, a su vez, permiten desarrollar técnicas ya establecidas, así como abordar y pla ntear nuevas cuestiones.
Capítulo 1
34
3. La investigación
Nuestra investigación trata acerca del comportamiento periódico de las gráficas de
las funciones. Parte de la problemática anteriormente descrita y la
Socioepistemología será el marco teórico a utilizar para dar respuesta a lo planteado.
La socioepistemología puede ser percibida en dos planos: el teórico y el
metodológico. Por un lado, es la visión teórica para abordar los fenómenos
didácticos, la cual consiste en asumir que las prácticas sociales son las generadoras
del conocimiento al seno de los grupos humanos. Pero también lo
socioepistemológico es aquella epistemología que tiene como tarea modelar las
prácticas sociales que den cuenta de contenidos matemáticos específicos
(Domínguez, 2003).
Así pues, el objetivo de la inves tigación es plantear una socioepistemología de la
periodicidad en la que el comportamiento de las funciones sea un eje director y se
plantee la relación entre prácticas sociales y la periodicidad (figura 1.10). En
particular, sostenemos que una práctica social asociada el reconocimiento de lo
periódico es la predicción. Es decir, planteamos la existencia de una relación entre el
reconocimiento de la periodicidad de la gráfica de un movimiento y la acción de
informar acerca de ese movimiento en un estado futuro dada una cierta información
actual.
Capítulo 1
35
Figura 1.10
Nuestro estudio analizará esta relación pero no se centra en ninguno de los dos polos.
No nos centraremos sólo en los aspectos analíticos de la periodicidad pues, como
hemos argumentado, necesitamos ampliar la problemática más allá de los objetos
matemáticos. Pero tampoco estudiaremos la práctica de predicción en sí misma,
como una actividad que desarrolla el ser humano en diferentes contextos. Más bien
proponemos estudiar la relación entre ambos polos, en el contexto de las funciones,
en la que uno informa del otro y viceversa.
Así pues, lo periódico y su construcción, bajo nuestra perspectiva involucra mucho
más que aspectos analíticos asociados a la definición (figura 1.11):
Figura 1.11
periodicidad predecir
Aspectos analíticos de la periodicidad
Lo periódico
Comportamiento de una función
Significados y su reconstrucción
El predecir como una práctica relacionada al reconocimiento de lo periódico
Capítulo 1
36
Esta visión teórica hace considerar a la matemática como una construcción social en
la que se rompen cuestionamientos acerca de lo social o lo individual pues, más bien,
no podemos entender uno sin el otro. El contexto sociocultural en el cual se desarrolla
el individuo es fundamental para la creación de conocimiento, pero también lo son los
procesos individuales que afectan a su vez lo social.
Una vez reconocido el papel de las prácticas sociales y basándonos en dicha relación,
la parte final de la investigación se centra en el diseño de una situación que pretende
dar cuenta de cómo se presenta dicha relación en el sistema didáctico. Esta situación
resulta ser entonces un marco de referencia epistemológico en el que el foco de
atención no está centrado en la adquisición del conocimiento, sino en el desarrollo de
actividades (Cordero, 2001).
La situación que presentaremos da cuenta de la predicción como un argumento en la
construcción de lo periódico. Creemos que es así porque al predecir, los significados
acerca de la repetición de un movimiento con los que un estudiante enfrenta la
situación son reconstruidos a través de los procedimientos que genera y los aspectos
cognitivos involucrados. Esta reconstrucción nos brinda un marco de referencia en el
que el individuo argumenta acerca de lo periódico. La predicción, como práctica
social, nos está brindando un contexto argumentativo en el que el conocimiento
matemático emerge como respuesta a los problemas que como humanos nos
planteamos.
Capítulo 2
La periodicidad funcional
Capítulo 2
38
El objetivo de este trabajo es proponer una epistemología de la periodicidad
cuyos elementos surjan de las prácticas, socialmente compartidas, que realiza el
individuo al seno de los sistemas didácticos. Esto permitirá analizar los
argumentos y herramientas alrededor de la construcción de lo periódico los
cuales pudiendo o no ser explícitos de antemano en la estructura del discurso
matemático escolar, no suelen ser la metáfora utilizada para explicar la
construcción de lo periódico.
En este capítulo abordaremos los aspectos epistemológicos de la periodicidad
funcional que nos permitirán plantear la socioepistemología. Para ello,
realizamos un estudio del estado del arte de la periodicidad que resalta elementos
que diversos investigadores han señalado como relacionados con el aspecto
periódico de las funciones. También realizamos un análisis epistemológico-
histórico para determinar las circunstancias de la emergencia de lo periódico en
el contexto de las funciones.
1. Estado del arte de la periodicidad en
cuanto a objeto de investigación
Hemos optado por presentar los resultados de las investigaciones que arroja el
estado del arte acerca de las investigaciones acerca de lo periódico a través de
elementos que hemos hallados comunes en todas ellas. De esta manera,
resaltaremos el hecho de que alrededor de la periodicidad hay elementos que
tienen que ver con la actividad del ser humano al hacer matemáticas aunque las
investigaciones en cuestión no los han considerado como metáforas en sus
esquemas explicativos. Dichos elementos son el comportamiento de una función,
Capítulo 2
39
un tipo de análisis local-global, y la predicción como una práctica social
relacionada con lo periódico.
1.1 Acerca del comportamiento de una función
Como primer fuente hemos tomado un estudio cognitivo (Shama y Movshovitz-
Hadar, 1997; Shama,1998) acerca del entendimiento del concepto de
periodicidad entre alumnos de nivel medio donde se provee evidencia acerca de
la problemática en la identificación del periodo y de que los estudiantes
entienden a la periodicidad como un proceso y no necesariamente como un
objeto. Su marco teórico es, principalmente, la teoría de la Gestalt.
Shama (1998) reporta que los estudiantes suelen citar como ejemplos periódicos
situaciones dinámicas; esto es, experiencias dependientes del tiempo. En las
lecciones de matemáticas, la enseñanza de un nuevo fenómeno periódico
siempre inicia con la descripción de un proceso periódico. Por ejemplo, al
presentar la fracción “un tercio” como decimal, el profesor dice “Es un número
tal que, mientras sigamos dividiendo, nunca acabaremos”. O bien, las funciones
trigonométricas son presentadas por primera vez como el resultado del
movimiento circular de un rayo. Estas situaciones hablan de la relación intuitiva
que se presenta entre lo periódico y un proceso que se lleva a cabo en el tiempo.
Al mismo tiempo, lo anterior parece ser una causa por la que los estudiantes
entienden a la periodicidad como un proceso, y no como un objeto. Esta
situación los lleva a cometer errores en la identificación de fenómenos como
periódicos cuando en realidad no lo son debido a la transferencia de propiedades
del proceso a su producto. Es decir, establecer que por medio de un algoritmo
repetitivo, o patrón, se obtiene necesariamente un fenómeno periódico.
Capítulo 2
40
Para ahondar en esa problemática, tomamos los ejemplos de Shama que señalan
algunas posibilidades en las que el alumno suele hacer la identificación como
periódico de algo que en realidad no lo es:
a) Un fenómeno no periódico compuesto de una parte repetitiva intercalando
partes arbitrarias. Como por ejemplo,
b) Un fenómeno no periódico que sigue un patrón repetitivo. Por ejemplo,
c) Una función real, cuya gráfica sea periódica en el sentido pictórico (proceso
de dibujar la gráfica), pero no en el sentido matemático. Los argumentos para
decir que es periódica son del tipo “la línea se está repitiendo”.
Para un estudio cognitivo como el que realizó Shama, lo anterior señala que los
alumnos privilegian una concepción de la periodicidad como un proceso y no
como un objeto. Así, cualquier objeto que sea construido a partir de un proceso
repetitivo –lo cual equivaldría a decir proceso periódico- es, por consecuencia,
periódico. Pero, en el marco de nuestra investigación, estos resultados señalan al
comportamiento de una función como una herramienta que utilizan los alumnos
para argumentar acerca de lo periódico.
Capítulo 2
41
Esta relevancia del comportamiento de una función es abordada también por
Cordero y Martínez (2001, 2002). Los autores señalan que la noción de
comportamiento periódico parece estar presente en los alumnos, pues al intentar
reconocer las gráficas de las funciones como periódicas, suelen observar el
comportamiento de la gráfica. Por ejemplo, los estudiantes acuden a ideas como:
“La gráfica se repite por intervalos” ó “tiene movimientos repetitivos en su
gráfica que corresponden a un patrón de comportamiento” al discutir porqué una
gráfica podría ser o no periódica. Este comportamiento periódico parece,
entonces, ser equivalente, para los alumnos, a la propiedad periódica.
También reportan que la definición de periodicidad no es un marco de referencia
suficiente puesto que, a pesar de que el alumno puede nombrar dicha definición,
no logra identificar correctamente la generalidad de la misma en un contexto
distinto al continuo, o bien, identifica como periódicas, funciones que aluden a
comportamientos periódicos y no necesariamente son periódicas.
Por otra parte, Callahan et al. (1992) mencionan que al buscar describir y
entender los procesos naturales, se buscan patrones y gracias a ellos se puede
predecir lo que va a pasar en el futuro. Dichos autores afirman que el interés de
la ciencia está alrededor de ejemplos de comportamientos periódicos o casi
periódicos.
Para clarificar este punto mencionan el ejemplo del comportamiento de
poblaciones “predador-presa” en el que los números suben y bajan cada 10 años
en algo como un patrón periódico. La gráfica (figura 2.1) que presentan no es
periódica y, sin embargo, analizar ese comportamiento casi periódico es lo que
permite preguntas que hacen avanzar a la ciencia, como “si una cantidad que
estamos estudiando realmente fluctúa de manera periódica, ¿por qué sucede
esto?”.
Capítulo 2
42
1820 1840 1860 1880 1900 1920
Figura 2.1
El empleo del adjetivo “casi” o “cuasi” también lo hallamos en libros de texto
para calificar comportamientos periódicos. Un ejemplo se refiere al movimiento
de un oscilador amortiguado (figura 2.2). La función que modela este tipo de
movimientos no es periódica ya que la amplitud de la función seno va
disminuyendo conforme pasa el tiempo. Sin embargo, “aun cuando el
movimiento no es verdaderamente periódico, podemos definir un cuasiperiodo
Td = 2? / ? como el tiempo entre los máximos sucesivos del desplazamiento”
(Boyce, DiPrima, 1987).
Figura 2.2
Es interesante notar que la expresión “cuasiperiodo” se refiere a considerar lo
que antes, en oscilaciones no amortiguadas, era el periodo de la función pero
ahora sólo en relación a la repetición que presenta el eje x. Esto es, el
comportamiento de una función tiene dos componentes: el comportamiento en el
Capítulo 2
43
eje x y el comportamiento en el eje y; dicha distinción es fundamental para
distinguir entre algo periódico y algo que “no es verdaderamente periódico”.
Otro ejemplo lo tomamos del texto de Courant (1979) donde utiliza el término
casi periódica para referirse a funciones con una carácter aproximadamente
periódico (figura 2.3). Esto lo hace al estudiar la superposición de dos
vibraciones con frecuencias circulares inconmensurables ? 1 y ? 2 que resulta en
un proceso de superposición de vibraciones senoidales que ya no es periódico.
...señalamos que tales funcio nes siempre tienen un carácter aproximadamente
periódico, o, como decimos, son casi periódicas.
Figura 2.3
1.2 Dualidad local-global
Dreyfus y Eisenberg (1983) encuentran que la visualización global es un
elemento necesario para que el estudiante reconozca lo periódico. Su estudio
consistió en investigar cómo los alumnos manejan características de las
funciones como linealidad, suavidad (diferenciabilidad) y periodicidad. El marco
de investigación se basó en el concepto imagen de lo que es una función y en las
intuiciones del estudiante. Realizaron un cuestionario con 34 preguntas que fue
aplicado a 84 estudiantes de primer semestre en dos universidades israelitas.
Capítulo 2
44
En el caso de la periodicidad, le piden al estudiante continuar el trazo de cada
una de las siguientes gráficas (figura 2.4). Los estudiantes optaron por seguir la
gráfica de una manera periódica 0% para el caso a, 13% para el caso b, 40%
para el caso c, y 79% para el caso d.
Figura 2.4
Esto, concluyen los autores, parece sugerir la necesidad de una visualización
global de la información geométrica para la que la periodicidad sea evidente.
Por su parte, Cordero y Martínez (2002) mencionan que los modelos de
predicción en las funciones periódicas son principalmente globales e integran
caracterizaciones locales y globales. Esto es, se necesita de la especificación del
estado inicial de una función (caracterización local), su comportamiento
(periodo) para poder hacer predicciones en un instante posterior o anterior
(conocer todo en un cierto margen) (figura 2.5 b). Por lo tanto, la periodicidad
es una representación integral que está caracterizada por lo local y lo global en
una relación dialéctica.
De acuerdo a los autores, este modelo de predicción en las funciones periódicas
contrasta con el utilizado tradicionalmente en el Cálculo. El sistema de
predicción local (figura 2.5 a), es la que se utiliza en el Cálculo y generalmente
es preferido para hacer predicciones. La manera de predecir en este sistema, es
tomando información del comportamiento de las propiedades (posición y
variación) del sistema en una vecindad infinitesimal (instante) en el espacio
(t, f (t)), para conocer la solución en un cualquier instante anterior o posterior
a b c d
Capítulo 2
45
(conocer todo en un cierto margen). En este sistema de predicción sólo importan
las caracterizaciones locales. En cambio, el sistema de predicción global (figura
2.5 b), es utilizado para movimientos periódicos (o que se repiten), donde se
definen nuevas caracterizaciones que determinan el movimiento, esto es, el
sistema de predicción global necesita de integrar las caracterizaciones locales y
globales.
Figura 2.5 a
Figura 2.5 b
Otro ejemplo de la globalidad necesaria en fenómenos periódicos lo encontramos
en North (1997) quien menciona la existencia de sistemas como el de los
t
Sistema local
Conocer todo
Predicción
f (t)
t
Sistema Global
Predicción
Instante
Comportamiento
Variación
Periodo
Conocer todo
Comportamiento
Tendencial
Capítulo 2
46
electrones que presentan una existencia discontinua y cuyo análisis debe ser
distinto al puntual para lograr captar su comportamiento. Necesitan de todo un
período para manifestarse. Para aclarar esta proposición hace un símil con el
sistema musical ya que “en un instante, una nota musical no es nada, sino que
requiere todo el periodo para manifestarse” (p. 337)
1.3 El desplazamiento lineal
Uno de los primeros resultados de este proyecto de investigación (Buendía,
2002; Buendía y Cordero, 2002) es el haber reconocido al desplazamiento lineal
como un argumento que se construye en el contexto de la interacción al discutir
acerca de lo periódico. Este se hace evidente cuando se confrontan los tres
movimientos periódicos por excelencia: el movimiento circular uniforme, la
oscilación del resorte y el movimiento del péndulo.
En un primer acercamiento al análisis de cada uno de dichos movimientos, se
observa el instante y se logran resultados locales como, por ejemplo, la
descomposición de fuerzas del movimiento. Además, dado que los tres se
modelan a través de la función seno, heredan de él su periodicidad. Sin embargo,
percibíamos algo más que debían tener estos tres movimientos en común que
hiciera que fueran catalogados como periódicos.
Kline (2000) sugiere analizar el movimiento de un punto P en torno a una
circunferencia de radio 1 a velocidad constante y denotar algunas de sus
posiciones con P1, P2 , etc (figura 2.6) Al mismo tiempo, propone un punto Q,
llamado proyección de P, sobre una recta vertical .
Capítulo 2
47
Figura 2.6
En este esquema, la recta vertical pasa por el centro de la circunferencia. Pero,
esta recta vertical puede estar en cualquier otra posición, incluyendo fuera de la
misma circunferencia y lo que queremos resaltar no se altera: la trayectoria
descrita por el punto Q es un ir y venir continuo.
Esta trayectoria del punto Q tiene las características del movimiento del peso que
cuelga de un resorte que, por cierto, también es identificado como periódico. Por
otra parte, si el péndulo también es un movimiento periódico, cabría la
posibilidad que su movimiento pudiera ser descrito a través de este “ir y venir”.
Al analizar entonces los tres movimientos periódicos de manera conjunta
intentando identificar alguna característica común, pareciera que es este “ir y
venir” lo que puede describir a los tres movimientos (figura 2.7):
Figura 2.7
Q2 Q3
Q1
Q5
Q
P1
P2
P3
P4
P5
Capítulo 2
48
Al analizar las proyecciones sobre la línea recta vemos cómo “las marcas” que
van quedando se desplazan continuamente sobre él, de un límite al otro. Dada la
presencia de este desplazamiento como un argumento común en los tres
movimientos, hemos convenido en llamarle desplazamiento lineal de la
proyección.
Este desplazamiento se realiza de forma continua y a lo largo de una línea de un
límite hasta otro. Por eso elegimos el adjetivo lineal. No se refiere
exclusivamente a las proyecciones en el eje vertical, porque de hecho, podría
hacerse el reflejo hacia el eje horizontal, como se hace en el péndulo. Si hacemos
referencia a los ejes de coordenadas, el desplazamiento lineal empieza en el
origen, pero no tiene que ser necesariamente así, pues no tiene que recorrer la
misma distancia hacia arriba que hacia abajo (o derecha- izquierda en caso de que
se hagan las proyecciones sobre el eje horizontal). Lo que caracteriza al
desplazamiento lineal en movimientos periódicos es que se realiza entre dos
límites fijos y su punto inicial coincide con su punto final.
Resulta relevante cómo los tres movimientos tienen algo en común: pueden ser
descritos a través de un desplazamiento lineal. Para que ese desplazamiento
lineal exista, tendremos que analizar el movimiento en la totalidad de su mínimo
periodo de manifestación. Esto es coherente con la visión global necesaria al
estudiar lo periódico.
Es conveniente hacer la observación de que este desplazamiento lineal no es un
sustituto de la definición porque nuestro objetivo no es redefinir la propiedad
periódica ni redefinir todo movimiento periódico en términos de las
proyecciones lineales, sino más bien, mostrar que este elemento puede ayudar a
reconocer la periodicidad en la argumentación alrededor de dicho tema. Es decir,
mostrar la existencia de herramientas para construir la noción que están
relacionadas con el comportamiento periódico. El desplazamiento lineal es una
Capítulo 2
49
herramienta que puede utilizarse como argumento alrededor de lo periódico, lo
cual estaría propiciando una reconstrucción de significados alrededor de este
tema.
1.4 Lo periódico
El estado del arte sobre la periodicidad que hemos presentado nos señala dos
elementos importantes alrededor de la construcción de dicho tema: el
comportamiento de una función y la necesidad de una relación dialéctica entre
análisis de tipo local y global.
Estos elementos más que pertenecer a una estructura matemática predefinida
enseñable en el salón de clases, son herramientas construidas en relación a la
construcción del conocimiento. El que nuestra aproximación teórica favorezca el
estudio de estas herramientas y sean una metáfora para dar cuenta de la
adquisición de conocimiento favorece la identificación de relaciones en torno de
un contenido matemático más que la adquisición de definiciones preestablecidas
del mismo.
El objetivo de esta investigación es hacer, de dichos elementos presentados
aisladamente, un eje de discusión junto con otros más que abordaremos poco
más adelante. Ese eje, con elementos tomados de la actividad humana, será la
metáfora para explicar la construcción de la periodicidad. De esa manera,
hablaremos de lo periódico.
Capítulo 2
50
2. Análisis epistemológico-histórico de la
periodicidad
La Socioepistemología utiliza técnicas de investigación epistemológica donde
ésta es entendida como el conjunto de circunstancias involucradas en la
generación de conocimiento matemático. Presentamos una revisión que pretende
rescatar aquellos elementos alrededor del surgimiento de la periodicidad en el
contexto de las funciones para elaborar una base de significaciones con relación
a la problemática que queremos abordar. Nuestro enfoque es hacia las prácticas
que, en un contexto socio -histórico-cultural, se relacionan con el aspecto
periódico de las funciones.
Esto proporciona una base sui generis en la que no estamos formulando
epistemologías de conceptos, sino una epistemología de prácticas. Las primeras
han ayudado a tener cierto entendimiento de los conceptos y sus desarrollos, pero
difícilmente logran establecer relaciones funcionales que articulen dichas
estructuras y conceptos a lo largo del sistema educativo. En cambio, si se
anteponen las actividades o prácticas sociales a estos conceptos para entender su
ingreso al sistema didáctico, éstas son las que lograrán relaciones funcionales y
no utilitarias (Cordero, 2003a).
2.1 El aspecto periódico de las funciones
Dado que el seno y coseno son los ejemplos más familiares de funciones
periódicas, uno podría esperar que a lo largo de la historia, estuvieran presentes
en discusiones de fenómenos físicos periódicos. Sin embargo, durante mucho
tiempo se privilegiaron lo s aspectos geométricos, dejando de lado las ideas
analíticas asociadas (Katz,1987).
Capítulo 2
51
Desde las tablas trigonométricas que hiciera Ptolomeo (s. II dc) hasta mediados
del siglo XVIII, el seno fue utilizado no como una relación funcional, sino como
una línea de la circunferencia, por lo que propiedades como la periodicidad
funcional, nunca fueron discutidas. Así pues, los contextos en los que
actualmente aparecen dichas funciones, como la descripción del movimiento de
un resorte ó la solución de ecuaciones diferenciales del tipo y’’ = - ky, por
mencionar algunos, fueron históricamente abordados sin el uso de funciones
trigonométricas. Esta situación se prolongó hasta mediados del siglo XVIII
aparentemente porque nadie había visto algún uso razonable para ellas
(Katz,1987).
Las expresiones más utilizadas durante este tiempo para el seno o el coseno,
estaban en la forma t = arc sen y ó t = arc cos y donde la variable y
(posición del móvil) es la variable independiente y la atención se centra en las
propiedades obtenidas por el tiempo: éste se repite siguiendo cierto patrón.
Es cierto que algunos comportamientos periódicos resultaban ya de interés para
varios autores. Hooke, por ejemplo, utiliza la gráfica del arco coseno para
representar en qué tiempos, el peso colgado de un resorte está en una posición
dada, pero él no utiliza de hecho este término trigonométrico, sino que se queda
sólo con la geometría de la situación. Taylor, al abordar el problema de la cuerda
vibrante, maneja también el arco seno, lo cual le permite estudiar los tiempos
periódicos del movimiento. Al hablar, entonces, de movimientos periódicos
existe una separación entre lo que sucede en el tiempo y en el desplazamiento
aunque no, al menos no todavía, en el contexto explícito de funciones.
En los trabajos de Newton y Leibniz, por ejemplo, aparece el seno de forma
explícita, pero el manejo que le dan es a través de su serie de potencias. Newton
finalmente, lo maneja más bien como una línea del círculo y Leibniz, quien
presenta resultados de ecuaciones diferenciales donde aparece el seno, no discute
las propiedades de dicha serie.
Capítulo 2
52
Así pues, desde 1669 que Newton desarrolló la serie de potencias para el seno
hasta 1739, no había razón por la que el seno y coseno fueran expresado como
fórmulas involucrando letras y números. Por consiguiente, propiedades como la
periodicidad funcional no eran discutidas.
En 1739, Euler presenta el trabajo De novo genere oscillationum que trata acerca
del movimiento de un oscilador armónico dirigido senoidalmente. El autor estaba
considerando el movimiento de un objeto en el que la fuerza que actúa está
compuesta de dos partes separadas, una proporcional a la distancia y la otra
variando senoidalmente. En este momento, Euler está enfocado en la descripción
del movimiento pues le parecía que este dispositivo provoca movimientos muy
diversos y sorprendentes. Entonces los movimientos, más que el periodo
(tiempo) se vuelven centrales. Así pues, el tiempo tendría que jugar el papel de
variable independiente.
En el problema, estaban implicadas cuatro variables: t, el tiempo medido a lo
largo del arco de un círculo de radio a; y, el seno de ese arco; s, representa la
posición del objeto; y, v/a representa el cuadrado de la velocidad. Su propósito
era establecer una ecuación diferencial que relacionara s y t (la posición del
objeto con el tiempo). En ese camino, resultados intermedios como
t = a arcsen (y/a) tenían que ser explícitamente expresados por primera vez
como y = a sen (t/a), debido al interés de expresar al movimiento como una
función dependiente del tiempo y poder así, describir las características del
movimiento.
A partir de ese trabajo, Euler se involucró en áreas de investigación en las que
las funciones trigonométricas jugaban papeles cruciales, como la solución de la
ecuación característica de una ecuación diferencial, la solución de la ecuación
diferencial de cuarto orden, la cuestión de las desigualdades en los movimientos
de Saturno y Júpiter y la discusión sobre el problema de la cuerda vibrante. Una
Capítulo 2
53
sistematización del conocimiento generado acerca de dichas funciones se hacía
necesaria.
Así, en 1748, Euler presenta todo este conocimiento acerca de las funciones
trigonométricas en su texto Introductio in analysis infinitorum . En él, da un
tratamiento completo de lo que se puede llamar el precálculo de las funciones
trigonométricas. Varios autores (Katz, 1987; Boyer, 1991; Struik, 1986; Bell,
1985) concuerdan que es cuando se introduce el tratamiento formal que define a
las funciones trigonométricas numéricamente y ya no como líneas de círculos.
Ahí, discute varias propiedades incluyendo la de periodicidad.
Los trabajos científicos de la época estaban enfocados en dotar a la física del
movimiento de un tratamiento cada vez más analítico de tal suerte que el estilo
de preguntas que se plantean está fuertemente caracterizado por los paradigmas
que le son contemporáneos. En particular, el interés de Euler en el movimiento
en sí es lo que marca la diferencia con los tratamientos que otros autores le
habían dado al seno; este cambio permite la posibilidad de prever la posición de
un móvil en cualquier tiempo. Creemos, basándonos en el contexto en el que se
estaba moviendo Euler, que la práctica que favoreció esta formalización fue el
describir un movimiento que ocurre en el tiempo, manejando a éste como la
variable independiente.
En particular, tratándose de movimientos repetitivos o con cierta regularidad en
su comportamiento, esta práctica se puede ver reflejada en la acción que realiza
el individuo para establecer, sobre datos dados, patrones de regularidad; esto es,
predecir comportamientos del movimiento.
Así pues, creemos que el predecir es una acción que favorece el entender lo
periódico en el contexto de las funciones. Esta relación entre la predicción y lo
periódico es una de las hipótesis sobre la que pretendemos trabajar y dar
Capítulo 2
54
evidencia. La relación es crucial puesto que sería un indicador para formular una
epistemología de prácticas que dé cuenta de la construcción de lo periódico.
2.2 El uso de la periodicidad en Euler
En Introductio in analysis infinitorum , se presentan a las funciones
trigonométricas como trascendentes y se discuten varias de sus propiedades
incluyendo las fórmulas de adición y periodicidad y se presenta el desarrollo de
las series respectivas. Mencionaremos a continuación, varios ejemplos en los que
Euler establece y aplica la propiedad periódica de las funciones trigonométricas.
En el primer tomo de la obra (1948a), en el capítulo XVIII titulado Des
Quantités trascendante qui naciente du Cercle, Euler establece a los senos y
cosenos de los arcos de un círculo como cantidades trascendentes que darán
origen a las funciones trascendentes respectivas. La propiedad periódica de
dichas funciones es utilizada para establecer varios resultados de la siguiente
manera.
Dado que p representa un arco de 180°, se establecen los valores del seno y el
coseno para los ángulos 0p , ½ p, p, 2
3 p , 2 p. Con ayuda de estos valores y las
fórmulas para el seno y coseno de una suma o diferencia de ángulos, Euler
realiza la siguiente tabla:
sen (½ p + x) = + cos x
cos (½ p + x) = - sen x
sen (½ p - x) = + cos x
cos (½ p - x) = + sen x
sen (p + x) = - sen x
cos (p + x) = - cos x
sen ( p - x) = + sen x
cos ( p - x) = - cos x
Capítulo 2
55
sen (2
3 p + x) = - cos x
cos (2
3 p + x) = + sen x
sen (2
3 p - x) = - cos x
cos (2
3 p - x) = - sen x
sen (2 p + x) = +sen x
cos (2 p + x) = + cos x
sen ( 2 p - x) = - sen x
cos ( 2 p - x) = + cos x
Con esta base, generaliza el comportamiento para un número n cualquiera,
incluyendo valores positivos y negativos. Toma como unidad de los múltiplos a
la expresión 2
22
4 kn
kn??
? , para k = 1, 2, 3 ,4. El papel de la fracción k/2 es
hacer que el ciclo inicie en el mismo punto. La expresión 4n/2= 2n representa
así, el periodo de repetición del ciclo.
sen (2
14 ?n p + x) = + cos x
cos (2
14 ?n p + x) = - sen x
sen (2
14 ?n p - x) = + cos x
cos (2
14 ?n p - x) = + sen x
sen (2
24 ?np + x) = - sen x
cos (2
24 ?np + x) = - cos x
sen (2
24 ?np - x) = + sen x
cos (2
24 ?np - x) = - cos x
sen (2
34 ?np + x) = - cos x
cos (2
34 ?np + x) = + sen x
sen (2
34 ?np - x) = - cos x
cos (2
34 ?np - x) = - sen x
sen (2
44 ?n p + x) = +sen x
cos (2
44 ?n p + x) = + cos x
sen (2
44 ?n p - x) = - sen x
cos (2
44 ?n p - x) = + cos x
Capítulo 2
56
En el capítulo IX del mismo tomo, De la recherche des Facteurs trinomes, hace
un uso explícito de la propiedad periódica, de acuerdo a la notación utilizada en
la tabla anterior, del seno y el coseno, dentro del procedimiento que sigue para
hallar los factores trinomios de una función del tipo an + xn.
En su procedimiento, llega a la ecuación sen nf = 0. Y concluye, “Entonces, el
arco nf tendrá la forma (2k + 1) p ó 2kp, k designando un número entero”
(Euler, 1948a; p. 109). Lo mismo menciona acerca del coseno: cos (2k+1)p = -1
o bien cos(2kp) = +1.
Menciona también que dado que los factores de la expresión an + xn, son de la
forma
aa – 2ax cos ???
??? ?
n
k 12p + xx , donde k es un número entero cualquiera, entonces
se pueden obtener varios factores y los primeros factores se estarán repitiendo
ya que cos (2p ± f) = cos f .
En e l tomo II (Euler, 1948b), capítulo XXI , On Trascendental Curves, Euler se
refiere a curvas trascendentales que requieren arcos circulares, en particular, en
el círculo unitario. Es importante hacer notar aquí que, aunque presenta una
gráfica de la función y discute características como la periodicidad, ésta es
pensada como propiedad intrínseca de la función analítica y no como una
característica geométrica.
La función que maneja es cx
arcsenay
? . Debido a que hay un número infinito
de arcos de un círculo cuyo seno es x/c, la ordenada y es una función
multivaluada. El eje y y cualquier otra línea vertical paralela, intersecta a la curva
en un número infinito de puntos.
Si s es el arco más pequeño con seno x/c y p, un arco semicircular, entonces los
valores de y/a son:
Capítulo 2
57
s , p-s , 2p + s , 3p – s , 4p + s, 5p – s
-p – s, -2p + s, - 3p – s, -4p + s, -5p – s
Consideramos que este resultado es consecuencia de ver a la periodicidad como
una propiedad de la función. Para visualizarlo de manera más clara, proponemos
la siguiente gráfica en el sistema de coordenadas que actualmente utilizamos
(figura 2.8).
Figura 2.8
A continuación, Euler propone la gráfica del arco seno. En el manejo que hace
de dicha gráfica, podemos ver nuevamente usos de la periodicidad funcional,
válidos para funciones trigonométricas. E incluso es notorio que lo periódico es
una característica incorporada antes que la bisección.
Las repeticiones que muestra la gráfica (en este caso, de las ordenadas) están
tratadas de la siguiente manera:
Primero, digamos que la abscisa es x = 0, entonces la ordenada A A1 = p a , A A2 = 2 p
a, A A3 = 3 p a, etc. En la otra dirección A A-1 = p a , A A -2 = 2 p a, A A-3 = 3 p a, etc y
la curva pasa por cada uno de estos puntos.
En la gráfica (figura 2.9), identifica el número infinito de partes de las que consta
la gráfica: son los intervalos AE1A1, A1 F1A2, A2 E2 A3, A3 F2A4, etc. Sin
embargo, no identifica el comportamiento similar de algunos de estos
intervalos; esto es, por ejemplo que AE1A1 = A2 E2 A3. O bien AE1A1 F1A2 =
A2 E2 A3 F2A4, lo cual equivaldría a nuestra noción actual de periodo.
y = sen x
- p -s 2p + s p -s
s
Capítulo 2
58
Identifica también que cualquier línea paralela al eje BC que pase por E ó F
serán diámetros de la gráfica. A los diámetros, debido al uso que les da a lo
largo de su obra, los podemos identificar como equivalentes a ejes de simetría.
Esta idea está relacionada con el hecho de que la función seno sea periódica por
el hecho de que dicha línea puede situarse en cualquiera de los puntos E ó F,
siendo que de éstos hay un número infinito.
Señala que los intervalos E1 E2 , E2 E3, E1 E-1 , E-1E-2 ; así como F1 F2 , F1 F-1 ,
F-1F2 son todos iguales a 2ap De esta manera parece que queda establecido que
la longitud del periodo de repetición es precisamente 2ap. Efectivamente, Euler
se vale de argumentos analíticos más que geométricos.
Figura 2.9
Capítulo 2
59
2.3 La cuerda vibrante
Durante el siglo XVIII, el análisis de la cuerda vibrante fue una de las
investigaciones relevantes que se llevó a cabo. Los trabajos publicados alrededor
del tema dieron pauta para reflexionar acerca de las definiciones dadas a varios
de los conceptos que se manejaban hasta entonces, entre ellos el de función, sus
propiedades y representaciones. Así, los fundamentos del Análisis de ese tiempo
influyeron y fueron influenciados por dicha discusión.
El comportamiento periódico de las funciones fue un punto sobre el que se
discutió ampliamente debido a que la primera solución que se dio a la ecuación
de onda tenía la condición de ser una función periódica. Euler consideró que
dicha propiedad resultaba restrictiva para las posibles soluciones. Esto ocasionó
un gran debate que, algunos autores justifican diciendo que se debió al concepto
de función que se manejaba en la época y a la incapacidad de calcular los
coeficientes de la serie trigonométrica considerada en ese momento como la
solución general (Grattan-Guiness, 1970, 1972; Antolín, 1981; Farfán, 1997).
Sin embargo, Grattan-Guiness afirma (1970) que dichos factores efectivamente
existieron pero que son subsidiarios a la cuestión de la periodicidad ya que
salieron a la luz sólo en el mo mento en el que el requisito de la periodicidad fue
establecido. Así pues, esta propiedad parece ser el eje de discusión en este
problema, por ello consideramos importante incluir la discusión en este trabajo
de investigación.
El problema de la cuerda puede describirse de la siguiente manera: supongamos
que una cuerda flexible se tensa y sus extremos se fijan en 0 y a del eje de las
abscisas. Entonces se tira la cuerda hasta que ésta adopte la forma de una curva
y = f(x) y se suelta. La cuestión es: ¿cuál es el movimiento descrito por la
cuerda? (Cañada, 2000).
Capítulo 2
60
El problema tomó mucha fuerza especialmente en la discusión concerniente a los
tipos de solución admisibles al problema y la generalidad que podrían tener.
Partamos de la ecuación de onda que describe el movimiento:
2
2
22
2
1
ty
cxy
???
??
la cual está sujeta a:
a) Condiciones iniciales: y (0,t) = 0 ; y (a, t) = 0
Es decir, que la cuerda está sujeta en los extremos.
b) Condiciones de frontera: 0
0 ???
?tty
; y (x,0) = f (x)
Es decir que la cuerda sólo se suelta cuando es liberada y que y = f(x) es la forma
inicial.
En 1746, D’Alembert propone una solución general de tipo funcional al
problema y(x,t) = F (x + kt) + G (x- kt) donde F y G son funciones arbitrarias,
pero diferenciables. (Antolín, 1981; Struik, 1986).
Dado que los dos extremos de la cuerda (x = 0 , a) deben permanecer fijos
(y = 0),
0 = F (kt) + G(-kt) (1)
0 = F (a + kt) + G (a- kt) (2)
De (2),
- F (a + kt) = G (a- kt)
Pero por (1)
G(a – kt) = - F (kt –a)
Capítulo 2
61
La solución funcional de la ecuación de onda será entonces
y = F (kt + x) - F ( kt - x) (3)
En x = a
0 = F ( kt + a) – F (kt – a)
Si hacemos z = kt + a, entonces z – 2a = kt – a
Por lo que,
F(z) = F (z - 2a)
Es decir, F es una función periódica de período 2a
Y como y = 0 cuando t = 0 entonces por (3), la función F(x) también es impar.
Sea ahora y = f (x) la forma inicial de la cuerda. Haciendo t = 0 en (3)
f(x) = F(x) – F (-x)
Como F debe ser impar,
f(x) = F(x) + F (x) = 2 F(x)
De donde
F(x) = ½ f(x)
Así, la solución completa expresada en términos de la forma inicial de la cuerda
al comienzo del movimiento es
y = ½ f( kt + x ) – ½ f (kt – x)
Capítulo 2
62
Resulta de lo anterior, que la forma inicial de la cuerda debe ser una función
impar y periódica (con periodo 2a), pues de lo contrario el problema no tendría
solución mediante el análisis matemático. Además, la forma inicial de la cuerda
f(x) debe representarse sobre toda su extensión por una única ecuación; es decir,
la cuerda debe ser continua, según la definición de la época.
Un año después, Euler publica su trabajo discrepando en cuanto a la naturaleza
de las funciones que debían admitirse en las condiciones iniciales. Afirma que la
propiedad de periodicidad es restrictiva y que no toma en cuenta a funciones
algebraicas y algunas curvas trascendentes. Muestra que puede admitirse una
parábola f (x) = hx (a-x) como la forma inicial de la cuerda siendo que no es
impar ni periódica y que tampoco está definida por una sola ecuación.
Lo que hace Euler (Antolín, 1981) (figura 2.10) es tomar la función que da la
forma inicial de la cuerda sólo en el intervalo correspondiente a la longitud de la
misma (es decir [0,a] ); a continuación, refleja sucesivamente el arco de curva
correspondiente respecto a las rectas x = ? na y finalmente refleja los arcos así
obtenido uno sí y otro no, respecto al eje de la abscisas. Se obtiene así una curva
que se extiende a lo largo de dicho eje y que cumple con las condiciones
anteriores (impar y periódica).
Figura 2.10
Grattan-Guiness (1970) opina que Euler estaba proponiendo una ampliación a la
teoría de funciones la cual marca un cierto regreso a la geometría. Esto haría
ampliar la definición de función discontinua. Cuando él introduce su teoría de
a 0
Capítulo 2
63
funciones “discontinuas” definidas por medio de segmentos “continuos”, es
necesario dar el paso revolucionario de asignar un intervalo de definición
correspondiente a cada segmento completamente independiente de la forma
algebraica. Esto es lo que implicaría el regreso a lo geométrico y asignarle una
“periodicidad geométrica” a f(x), pero no se consolida esta idea por ahora.
D. Bernoulli entra a escena proponiendo la serie de senos como solución general.
El pretende que, no sólo la forma inicial de la cuerda en el intervalo [0,a], sino su
extensión a toda la recta real se pueda escribir siempre mediante una sola
ecuación (la serie de senos). Euler estaba de acuerdo, pero sólo como un caso
particular, pues dado que excluía cualquier posibilidad de representar en series
de senos a funciones continuas, como las algebraicas, nuevamente éstas estaban
siendo excluidas. Además, existe la posibilidad de requerir, para la extensión a
toda la recta, una infinidad de ecuaciones.
La controversia radica en qué se está entendiendo por periódico en ese momento.
En el siglo XVIII, atributos como el de periodicidad, están intrínsecamente
contenidos en una expresión analítica, sin hacer referencia a un domin io
independiente de ella; la expresión analítica es la función misma (Farfán, 1997).
Así, podemos hablar de una “periodicidad algebraica” como la de las funciones
trigonométricas válida en todo el eje x, o bien una “periodicidad geométrica”
como en las actuales funciones definidas por trozos en las que a partir de
funciones algebraicas o trascendentes, pueden generar funciones periódicas.
Esto tiene que ver con el procedimiento de extensión periódica que, actualmente,
es tratado en algunos textos, como me ncionamos en la revisión del discurso
escolar y parece ser la sistematización de lo que quería mostrar Euler.
Fourier, en su escrito de 1809, hace referencia al problema de la cuerda vibrante
y dice que al emplear el nuevo teorema acerca de la representabilidad de una
función en series trigonométricas se pueden acabar las objeciones presentadas
por Euler y d’Alembert ; es decir, las series trigonométricas pueden proveer una
Capítulo 2
64
solución tan general al problema de la cuerda vibrante como lo puede dar una
solución algebraica. (Grattan- Guinnes, 1972).
Entonces, tanto con las posteriores definiciones de función que permitieron
abarcar a todas las clases de relación conocida por Euler y con el trabajo de
Fourier, esta controversia, surgida al discutir la periodicidad de las funciones,
quedaría superada.
3. Discusión sobre aspectos socioepistemo-
lógicos de lo periódico
El discurso matemático escolar ha favorecido una identificación de lo periódico
con las funciones trigonométricas a través de una relación rígida que excluye
otras funciones; de ahí, que si un fenómeno físico sea descrito a través de la
función seno, adquiere como consecuencia la propiedad de ser periódico.
El análisis histórico epistemológico señala que la asociación entre la función
seno y su propiedad de periodicidad, no es evidente de forma inmediata; aun
cuando el seno era conocido y manejado desde principios de nuestra era como
una línea de la circunferencia, pero su carácter funcional y periódico no eran
relevantes. Movimientos típicamente periódicos, como el resorte, fueron
inicialmente estudiados sin hacer referencia a la función seno.
El interés de Euler, quien estableció formalmente a la periodicidad como una
propiedad de la función seno, estuvo en la descripción de un movimiento que
ocurre a través del tiempo. Fue necesario, hasta entonces, manipular a la
expresión arco seno –la forma para el seno más utilizada en la época- para
Capítulo 2
65
expresar al tiempo como variable independiente y al desplazamiento, como la
variable dependiente. De esta manera, Euler podría realizar diversos cálculos
relacionados con la descripción del movimiento de osciladores armónicos. Entre
ellos, predecir la posición dado un tiempo determinado.
Este interés en la descripción analítica de movimientos es un punto característico
de los desarrollos científicos del siglo XVIII, lo cual ayuda en la consolidación
de la algoritmia del cálculo. El objetivo central de las ciencias físicas -
adelantarse a los acontecimientos, determinar leyes que gobiernen
comportamientos de sistemas- parece permear lo que sucede en ambientes
matemáticos (Cantoral, 2001). De esta manera, podemos identificar prácticas
como la predicción propias de contextos físicos con el reconocimiento de lo
periódico.
La generación de conocimiento tiene que ver, entonces, con un tránsito continuo
entre disciplinas científicas que surge a través del reconocimiento de las
prácticas involucradas en dicha generación. Esta es la fuente que nos permite
investigar cómo podemos dotar de un contexto significativo la construcción de
conocimiento matemático, en particular, el conocimiento alrededor de lo
periódico. La atención está no sólo en los resultados matemáticos obtenidos, sino
en las actividades y herramientas utilizadas alrededor de su construcción.
Enfocarnos en estas prácticas sociales, también nos permite analizar cómo se
profundiza y fortalece dicho conocimiento, ya que los argumentos utilizados para
convencer –y convencernos- viven en un contexto sociocultural interactivo en el
cual, de manera natural, nos movemos los seres humanos. Se hace necesaria,
pues, una reconstrucción continua de significados que permita lograr un mayor y
mejor conocimiento de los conceptos involucrados.
Este es el caso de la discusión de la cuerda vibrante. La definición de función
que proponía Euler aceptaba sólo un cierto manejo analítico de propiedades
Capítulo 2
66
como la periodicidad. Por lo tanto, sus argumentaciones dependían de ese
contexto analítico en el cual se desempeñaba. Posteriormente, a medida que la
definición de función fue evolucionando, también lo hizo el significado de su
propiedad periódica para reconocer ambos aspectos: algebraico y geométrico.
En la revisión de textos que hemos presentado lo periódico está asociado con
otros tipos de funciones a través del procedimiento de extensión periódica de una
función no periódica. En el contexto de la discusión de la cuerda vibrante, este
argumento no fue totalmente sistematizado, pero deja entrever que este
procedimiento de extender periódicamente una función cualquiera pertenece más
al terreno geométrico de la función.
Alrededor de lo periódico hay, pues, aspectos que tienen que ver más con
prácticas socialmente compartidas en las que se involucra el individuo y menos
con aspectos exclusivamente analíticos de la periodicidad. Entre estos aspectos,
hemos mencionado la necesidad de referirse al comportamiento de la gráfica de
una función y la necesidad de una visión global del fenómeno para que lo
periódico sea relevante. El desplazamiento lineal, como argumento sobre
fenómenos periódicos puede ser un ejemplo de cómo se articula esta globalidad.
Creemos que la existencia de estos elementos alrededor de lo periódico se
contextualiza y potencia en el marco de la predicción como práctica. En esta
relación predecir-periodicidad fundamentamos la socioepistemología de la
periodicidad que vamos a proponer en el siguiente capítulo.
Capítulo 3
La Socioepistemología como aproximación
teórica
Capítulo 2
68
En la búsqueda por explicar cómo se construye el conocimiento, la Matemática
Educativa y nuestra propuesta pretenden enfatizar además de los aspectos
cognitivos alrededor de la construcción del objeto matemático, la propia práctica
social que conduce a la adquisición de dicho conocimiento. El propósito es dar
evidencia y clarificar la existencia de relaciones entre prácticas sociales y el
conocimiento matemático.
Ese análisis de las prácticas sociales conforma el aspecto social en el estudio de
la construcción del saber matemático estableciéndose así un marco en el que
también están interactuando de manera sistémica las dimensiones didáctica,
epistemológica y cognitiva del saber para brindar una explicación más robusta
acerca de su construcción. Al resultado de la conjunción de estas cuatro
dimensiones, se le ha llamado aproximación socioepistemológica (Cantoral,
2000). Desde su génesis, esta visión teórica marca una manera de hacer
investigación en Matemática Educativa en la que se reconocen y estudian
científicamente los mecanismos sociales de construcció n del saber matemático.
Si bien es cierto que los aspectos cognitivos, epistemológicos y didácticos del
conocimiento han sido abordados por diferentes esquemas explicativos, el
paradigma predominante ha sido el objeto matemático como la metáfora para
explicar cómo se construye el conocimiento. El enfoque que se suele asumir es
que los objetos matemáticos existen previamente y que las dificultades didácticas
yacen en la distancia entre las imágenes formadas por el individuo y los objetos
matemáticos (Cantoral, 2000). Y, aunque se reconozca al individuo como parte
de una sociedad e influenciado por ésta, la tendencia final es analizar sólo el
aprendizaje matemático individual, separado del resto de las actividades que todo
ser humano realiza. Así, la respuesta epistemológica que se obtiene es guiada
por la pregunta cómo se constituye el objeto de conocimiento, la cognitiva por
cómo el estudiante aprende el objeto y la didáctica por cómo se enseña el objeto.
Las epistemologías formuladas en este marco, en el mejor de los casos, ayudan a
Capítulo 2
69
tener cierto entendimiento de los conceptos y sus desarrollos, pero difícilmente
logran establecer relaciones funcionales que conjunten o unifiquen conceptos y
estructuras a lo largo del sistema educativo. (Cordero, 2003 )
Una visión socioepistemológica propone, en cambio, a las prácticas sociales
como metáfora en la explicación de construcción del conocimiento. Ese énfasis
en el aspecto social del saber reformula las dimensiones cognitiva,
epistemológica y didáctica, pues se reconoce que el conocimiento se construye y
reconstruye en el contexto mismo de la actividad que realiza el individuo al hacer
matemáticas.
El aspecto cognitivo deberá ahora ser guiado por la pregunta cómo los
estudiantes y el profesor, interactivamente, construyen identidades, significados,
sus realidades y su propia cognición. El aspecto didáctico abordará cuestiones
relativas a los contextos argumentativos que se proponen a los estudiantes y las
formas y mecanismos para argumentar y llegar a consensos. Finalmente, la
dimensión epistemológica se centra en analizar la naturaleza social de la
construcción del conocimiento matemático, su conformación cultural y el papel
esencial que desempeña en la acción humana (Arrieta, 2003).
Así pues, la socioepistemología pretende desarrollar estrategias de investigación
de naturaleza epistemológica donde ésta sea entendida como el estudio de las
circunstancias que favorecen la construcción del conocimiento. Creemos que una
epistemología fundamentada en prácticas sociales, en contraposición de una de
objetos matemáticos, favorecerá el establecimiento de relaciones funcionales,
alejadas del utilitarismo, entre los diversos tópicos del saber matemático
(Cordero, 2002, 2003).
Capítulo 2
70
1. Las prácticas sociales y la construcción de
conocimiento matemático
1.1 La resignificación a través de las prácticas sociales
Para la socioepistemología resulta básica la idea de que los grupos humanos
construyen conocimiento a través de las prácticas socialmente compartidas en las
que se involucran. Una idea intuitiva de práctica se refiere a actividades, a la
clase de cosas que las personas hacen. En ese amplio escenario podemos
mencionar actividades como respirar, caerse o soñar como sucesos que nos
ocurren, pero usualmente esta clase de actividades no las hacemos a propósito: en
general, están más allá de nuestro control. Resulta, pues, necesario distinguir
entre aquellas actividades inerciales o no intencionales de aquéllas que se
realizan de manera voluntaria y sean significativas. Van Dijk establece a la
intención como lo que distingue entre actividades y actos:
Las actividades de los seres humanos tienden a llamarse actos sólo si son
(interpretados como) intencionales. Más aún, la mayoría de las acciones
son ejecutadas intencionalmente para realizar o producir alguna otra cosa,
esto es, otras acciones, sucesos, situaciones o estados mentales; es decir,
las acciones tienen metas y esto hace que sean significativas o tengan un
sentido, lo que a su vez hace que sus actores parezcan tener algún
propósito. (Van Dijk ,2001)
Lo que queremos resaltar es que la intencionalidad es una característica que
imprime significado al conjunto de acciones realizado por los grupos humanos;
en particular, estamos tratando con grupos humanos organizados que realizan
acciones que tienen que ver con la intención de hacer, reproducir y comunicar el
conocimiento matemático.
Capítulo 2
71
En particular, nuestra línea de investigación se ha centrado en el sistema
didáctico de la educación superior, donde no puede soslayarse el hecho de que la
matemática escolar está al servicio de otros dominios científicos y de otras
prácticas de referencia, de donde adquiere sentido y significación (Cantoral y
Farfán, 2003). Así, prácticas que tienen que ver con otros dominios como el
desarrollo de tecnología, la experiencia profesional, el campo de la física o
incluso, los problemas cotidianos no pueden ser ignoradas como fuente de
significación para lo que sucede en el aula de matemáticas. El reconocimiento de
las prácticas sociales como fuente de significación para la matemática provocaría
una articulación entre diferentes dominios. En consecuencia, la epistemología del
conocimiento matemático que se formule debe reconocerlo como producto de
una organización social que desarrolla prácticas socialmente compartidas cuyo
desarrollo depende de la organización, de la cultura y de la historia de los grupos
humanos (Cordero, 2003 a).
Creemos, entonces, en la construcción del conocimiento matemático, dentro de la
propia organización de los grupos humanos y normada por aspectos de carácter
institucional y cultural. Esto resignifica al propio conocimiento pero no en
relación a establecer un significado nuevo en un contexto determinado, sino en
cuanto a su uso en la situación donde se debate entre su función y su forma de
acorde con lo que organiza el grupo humano. (Domínguez, 2003)
Se establece, entonces, una clara diferencia con aproximaciones donde el objeto
de estudio, la matemática, se toma como ya dada, externa al sujeto y los
esfuerzos educativos se centran en cómo el sujeto se apropia, construye, reifica o
aprehende este objeto. Si ese fuera el caso, las construcciones alternas a las de
este objeto preexistente, son vistas como errores o desviaciones que hay que
erradicar o corregir (Arrieta, 2003). Estamos hablando de que el conocimiento
matemático se resignifica al paso de nuestra vivencia institucional (Domínguez,
2003). El individuo es, pues, un ente activo modificando su entorno y
Capítulo 2
72
modificándose a sí mismo en el contexto mismo de las prácticas en las que se
involucran y éstas son la fuente de resignificación del conocimiento matemático.
1.2 Contextos interactivos: argumentos y consensos
El carácter social que le hemos conferido a la construcción del conocimiento
matemático ocasiona que éste sea visto como producto de construcciones
sociales surgidas de prácticas y, en consecuencia, producto también de contextos
argumentativos que surgen naturalmente en los grupos sociales.
En ese sentido, nuestra postura coincide con autores como Candela (1999) quien
pone en tela de juicio la concepción que considera a la ciencia, y en especial a la
ciencia que se enseña en la escuela, como un producto de construcciones lógicas
alejada de una organización argumentativa. Su tesis principal es que “la ciencia
en el aula parece construirse, al menos en algunas ocasiones, con una estructura
retórica” (p. 145) donde la argumentación juega un papel central al intentar
convencer de la validez de las versiones particulares.
Argumentar es presentar una postura con la conciencia de que existe otra
opinión, implícita o explícita, diferente de la propia. Un argumento es un invento,
una construcción original planteado para la situación expresa y que utiliza
material conocido (Billing, 1989; citado en Candela, 1999).
Una reconstrucción del conocimiento matemático en contextos argumentativos
puede ser estudiada a través de cuatro elementos propuestos por Cordero (1998,
2000):
? Los significados que pone en juego un estudiante en esa interacción y que se
reflejan a través de argumentos situacionales. Creemos que estos significados
pueden ser tanto conexiones acordes con definiciones y propiedades, como
personales, llenos de imágenes y metáforas (Bishop, 1999)
Capítulo 2
73
? Los procedimientos que son las operaciones induc idas por los significados
? Los procesos-objetos que se refieren a diferentes construcción mentales que
aparecen en los procedimientos. Este aspecto cognitivo influye y es influido por
los elementos anteriores.
? El argumento que se refiere a la nueva reorganización de estos elementos en
esquemas explicativos
Los argumentos son pues, esquemas explicativos extraídos del ejercicio de la
práctica que toman en cuenta los significados, procedimientos y la cognición de
un estudiante al llevar a cabo su actividad en contextos interactivos. Estamos
entendiendo “esquema” como el resultado de una serie de actividades alrededor
de la construcción del conocimiento y no como algo fijo o preestablecido.
Así, los argumentos que en el contexto de la situación se construyen para
convencer, se forman de los significados y los procedimientos generados y van
formando un esqueleto argumentativo. Este andamiaje se va nutriendo en el
transcurso de la propia situación hasta que, en otro nivel de análisis, conforma en
esquema explicativo que engloba todo lo anterior.
Por otra parte y además del uso de argumentos, en la interacción discursiva del
aula, el discurso se orienta a la construcción de una versión del contenido que sea
aceptada por todos los participantes. El consenso es precisamente esa versión
colectiva e involucra las versiones individuales que se expresaron, cotejaron y
argumentaron en el aula. Es decir, se argumenta para convencer de la validez de
una versión del conocimiento y por tanto, llegar después a consensos.
Un consenso no es precisamente una conclusión a la que se llega debido a que:
? hay diferentes grados de adhesión a dicho consenso pues las versiones
verbalmente aceptadas no necesariamente representan versiones compartidas.
Capítulo 2
74
? el consenso puede ser una “confabulación”: consenso entre alumnos
principalmente como oposición al profesor
? puede ser el punto de partida para posteriores argumentaciones.
La construcción de un consenso es demandada principalmente por los alumnos
como un criterio de verdad, como fuente de conocimiento. Como acuerdo
colectivo, el consenso resulta complejo pues está sostenido sobre una amplia
variedad de posturas diversas frente al contenido. La versión aceptada puede ser
el resultado de una negociación entre muchas posiciones con diferente grado de
identificación con ella.
Podemos decir que un consenso se ha establecido cuando no hay manifestaciones
verbales en contra; por ello los consensos verbales no siempre representan
versiones compartidas; hay desde aceptación plena hasta sometimiento temporal.
1.3 La reorganización de la obra matemática
Estudiar la resignificación en los diferentes niveles educativos ha permitido
establecer categorías del conocimiento matemático que permiten establecer
relaciones funcionales entre los dife rentes tópicos que integran el saber
matemático. En el desarrollo de la socioepistemología como marco teórico, esta
reconstrucción de significados en contextos interactivos del salón de clases se ha
logrado precisar en tres marcos, llamados situaciones: variación, transformación
y aproximación (figura 3.1). Cada una de estas situaciones compone un marco
epistemológico del Cálculo y lo que sucede en cada uno de ellos puede ser
explicado en términos de los cuatro elementos que hemos comentado: los
significados que pone en juego un estudiante en esa situación, los procedimientos
que se derivan de éstos, la cognición que influye y es influida por ambos y
finalmente, estos tres serán reorganizados en el argumento. Este grupo de
situaciones ha permitido la articulación de las cuatro componentes fundamentales
Capítulo 2
75
del conocimiento (su cognición, su didáctica, su epistemología y lo social) y a su
vez componer marcos epistemológicos específicos del Cálculo que provean de
marcos de referencia donde se construyen los significados (Cordero, 2001).
En un segundo grupo, se han hallado cuatro categorías (predicción, estado
permanente, acumulación y comportamiento tendencial de las funciones) basadas
en el lenguaje de las herramientas cuyo propósito es identificar todas las
relaciones en el marco de referencia del contenido matemático a través de los
procedimientos en el contexto de la interacción. Así, estas nociones medulares
nos han permitido dar una explicación de cómo el alumno construye matemáticas
y, en conjunto, conforman un programa de investigación que organiza
contenidos, conceptos e ideas (Cordero, 2001). Este grupo permite considerar a
la actividad humana como la fuente de la reorganización del discurso matemático
escolar en los diferentes niveles escolares.
La aproximación socioepistemológica nos brinda un mecanismo que empieza
con formular una epistemología del contenido matemático considerado en la
problemática (interpretación del fenómeno didáctico en G1). Después, la
epistemología es el modelo o la base para el diseño de situación y de su
implementación (reorganización matemática a través de la interacción entre G1 y
G2, donde la actividad humana es incorporada a la epistemología con
intencionalidad). Finalmente, la recolección de datos y su análisis teórico obliga
a una revisión de la epistemología inicialmente formulada. Esta revisión estará
retroalimentando la reorganización matemática con relación a los fenómenos
didácticos. Así es como pretendemos constituir el marco de referencia para
resignificar lo perió dico.
Capítulo 2
76
Aproximación socioepistemológica
Situación de variación
Situación de transformación
Situación de aproximación
significados
procedimientos
procesos-objetos
argumentos
categorías
actividad humana herramienta
formación y distinción de construcciones
Reorganización matemática
(PRIMER GRUPO: G1)
(SEGUNDO GRUPO: G2)
(TERCER GRUPO: G3)
(Cordero, 2001)
Figura 3.1
2. Una socioepistemología de lo periódico
2.1 Una epistemología de prácticas
El alumno enfrenta ejemplos de movimientos periódicos poniendo en juego sus
propios significados acerca de lo que es un movimiento o una función periódica.
En el capítulo anterior, hemos comentado acerca de cómo lo periódico suele estar
asociado con la idea de repetición, con cualquier tipo de repetición que presenta
un fenómeno. De ahí que cualquier gráfica de función que presente alguna
repetición, suela ser catalogada como periódica y no se reconocen otros
argumentos, salvo los de corte meramente analítico, para distinguir lo periódico
de lo repetitivo.
Nuestra búsqueda, entonces, se orientó hacia el reconocimiento de lo periódico
en el contexto de las funciones haciendo ver que el tratamiento formal –en el
Capítulo 2
77
terreno del Análisis Matemático- de la periodicidad fue fuertemente influido por
el paradigma que le era contemporáneo. El interés en describir analíticamente
movimientos motivó el desarrollo de prácticas de predicción sobre los mismos en
las cuales el carácter periódico se convertía en una característica sobresaliente.
Esta relación predicción-periodicidad no resulta ser ni casual ni aislada. Cantoral
(2001) ha detectado una relación de naturaleza dialéctica entre la predicción en
los fenómenos físicos de cambio y variación y lo analítico en la matemática del
movimiento. Afirma que este pasaje entre estados vecinos, quedó completamente
caracterizado por los ambientes, digamos físicos, en los que se sucede la
construcción del saber; este pasaje permea finalmente a todo aquello que surja en
ellos. Así, el estilo de preguntas que tienen que ver con la generación de
conocimiento matemático está influido por los paradigmas que les son
contemporáneos y los instrumentos cognoscitivos se encuentran matizados por
ese marco epistémico en que participan.
Nuestra hipótesis de investigación sostiene que, al realizar prácticas de
predicción sobre gráficas de movimientos repetitivos, podrán hacerse evidente la
existencia de diferentes tipos de repetición que puede presentar una gráfica. Al
predecir el comportamiento del móvil a través de su gráfica tiempo-distancia,
existe una búsqueda de alguna unidad fundamental para comparar estados futuros
con el estado presente. La unidad de análisis tendrá que ser tal que en sí misma
contenga, de algún modo, información del todo y depende totalmente del tipo de
repetición que presente la gráfica. Es más, esta unidad de análisis adquiere
también la característica de una relación dialéctica entre análisis de tipo local y
global para que lo periódico del movimiento sea relevante
Entonces, los significados acerca de la repetición de un movimiento que posee
un alumno, se reconstruyen al involucrarse en prácticas socialmente compartidas.
Dicha reconstrucción es lo que favorece la identificación de lo periódico en el
Capítulo 2
78
contexto de las funciones, lo cual va mucho más allá de poder o no aplicar una
definición para determinar el carácter periódico de un movimiento.
2.2 Aspectos cognitivos de lo periódico
El estudiar a la periodicidad bajo una visión socioepistemológica permite hacer
evidentes elementos alrededor de su construcción que no se refieren a aspectos
meramente analíticos de la misma. Por eso hemos sostenido a lo largo de esta
investigación hablar de lo periódico para indicar elementos de carácter
epistemológico y sociocultural que tienen que ver con el reconocimiento de la
periodicidad.
Hemos mencionado que en la socioepistemología como aproximación teórica
actúan de manera sistémica cuatro dimensiones del conocimiento: lo cognitivo,
lo didáctico, lo epistemológico y lo social. Este último aspecto reformula cada
una de las dimensiones:
a) La epistemología de lo periódico que estamos planteando es de naturaleza
social. Esto ha permitido establecer la relación entre la predicción y la
periodicidad y evidenciar la existencia de diversos elementos al discutir lo
periódico como el comportamiento periódico de una función y un análisis local-
global de la misma.
b) Dado el carácter social que se le atribuye al conocimiento, será necesario que
el aspecto didáctico aborde cuestiones relativas a los contextos argumentativos
así como los mecanismos para argumentar y llegar a consensos. Las
explicaciones epistemológicas podrán ser analizadas en la interacción a través de
los significados que pone en juego el individuo, los procedimientos que de ellos
se derivan, la reconstrucción de su cognición y los argumentos como esquemas
explicativos que engloban lo anterior.
Capítulo 2
79
c) El aspecto cognitivo bajo la visión socioepistemológica deja de verse como un
proceso fundamentalmente interno e individual. Werstch (1981, 1993) afirma que
la mente quedará definida en función de sus propiedades esencialmente sociales
y no como algo que se atribuye sólo al individuo. Es decir, aun cuando la acción
mental es realizada por individuos aislados, resulta inherentemente social en
diversos aspectos. Así pues, creemos que es en la interacción que los actores
construyen identidades, significados, sus realidades y reconstruyen su propia
cognición. En particular, el aspecto periódico de las funciones que estamos
analizando en un contexto gráfico posee características sui géneris acerca de la
naturaleza de la representación gráfica que, provocan conflicto entre las
diferentes concepciones de los actores.
Respecto a este último punto, Kaldrimidou e Ikonomou (1998) han realizado
estudios acerca de la naturaleza de la representación gráfica de una función y
mencionan que hay razones cognitivas relacionadas a las características
específicas del lenguaje de gráficas para explicar las dificultades de los
estudiantes con las representaciones gráficas. Pero también hay algunas razones
conceptuales relacionadas con ideas acerca del concepto de función y sus
representaciones. Estas últimas parecieran estar más en el terreno de lo social que
las meras explicaciones cognitivas individuales. Su estudio reporta tres
diferentes maneras de concebir a la gráfica de una función las cuales
corresponden a tres diferentes concepciones de funciones:
Concepción 1. La curva es considerada independientemente de su sistema de
ejes. La lectura se hace de izquierda a derecha y las variaciones son descritas
como si el estudiante hubiera seguido el trazo de la curva en el plano (es decir, la
función está ascendiendo desde el punto A hasta el punto B; posteriormente,
desciende desde el punto B y luego asciende otra vez). Aquí la designación de los
puntos característicos se hace sobre la curva con una letra singular y lo que se
percibe es la forma de la curva, los ejes prácticamente se ignoran (figura 3.2).
Capítulo 2
80
Figura 3.2
Concepción 2. La curva es considera sólo en relación con el eje x : la curva está
separada en partes, definidas por los puntos característicos establecidos por
medio del valor de la variable independiente sobre el eje x Cada zona se lee sin
tomar en cuenta las otras. Usualmente esta manera de entendimiento está
acompañada por la presentación de las características generales de una función
(dominio de la función, rango de valores, continuidad, propiedad monótona,
concavidad). Puede decirse que en este caso, los estudiantes y profesores están
influenciados por el procedimiento estándar de estudiar una función (figura 3.3).
Figura 3.3
Concepción 3. La curva es considerada en relación con los dos ejes. Los puntos
tienen dos coordenadas y la manera en la que la informació n está dada refleja un
entendimiento maduro de la función (figura 3.4).
Capítulo 2
81
Figura 3.4
Un resultado relevante del análisis que realizan estos autores es que estas
concepciones matemáticas pueden ser reconstruidas durante el proceso de
enseñanza.
En la problemática que estamos abordando, la predicción motiva la búsqueda de
una unidad de análisis que permita informar acerca del comportamiento del
movimiento. Creemos que, en primera instancia, la gráfica de la función es
concebida sin relación a los ejes coordenados: es simplemente “repetitiva”. Al
predecir, el rol que juegan los ejes se vuelve primordial ya que determinarán el
tipo de repetición de la gráfica. Podría ser repetitiva si se percibe sólo el eje
horizontal o repetitiva si se percibe el eje vertical (figura 3.5) ¿Qué sucederá,
entonces, cuando se perciba repetitiva de acuerdo a ambos ejes al mismo tiempo?
Figura 3.5
Con estas bases, se presentará en el capítulo siguiente, una situación que
evidenciará cómo la reconstrucción de las concepciones sobre las gráficas influye
en la reconstrucción de la repetición de un movimiento.
2.3 Intencionalidad didáctica: la situación
Estamos reconociendo a las prácticas sociales como fuente de reconstrucción de
significados (figura 3.6). En particular, la relación entre la predicción y lo
periódico. ¿Cómo puede articularse esta epistemología de prácticas con lo que
4 8 1
4
ti
dis 6
Capítulo 2
82
sucede en los sistemas didácticos? Arrieta (2003) menciona que, ante todo la
didáctica es intervención. Dicha intervención debe ser guiada por la reproducción
de las prácticas (intencionales y que resulten útiles) socialmente validadas
histórica y culturalmente. En el aspecto didáctico, se concretan, pues, las
intencionalidades.
Entonces, para la reproducción intencional de las prácticas y estudiar su ingreso
al sistema didáctico, se diseña una situación que será el marco de referencia
epistemológico para dar cuenta acerca de cómo esos elementos extraídos de la
actividad humana, se transforman en los argumentos y herramientas que utiliza el
alumno para llevar a cabo su interacción en el salón de clases.
Figura 3.6
El diseño de la situación tiene como base los elementos identificados alrededor
de la construcción de lo periódico: la relación de lo periódico con un movimiento
Una socioepistemología de lo periódico
Grupos sociales: actividad humana
Prácticas sociales Predecir Argumentos
y Herramientas
intencionalidad
Situación
didáctica
Capítulo 2
83
que ocurre en el tiempo, la búsqueda de patrones de comportamiento y de una
unidad de análisis, la necesidad de una visión global y la importancia de la
predicción como una práctica que potencia la aparición de dichos elementos. En
ese sentido es que nos referimos a la predicción como el argumento de lo
periódico.
Capítulo 4
La situación: su diseño y puesta en escena
Capítulo 4
85
Hemos presentado una epistemología de la periodicidad que toma como idea central a
la relación de dicho conocimiento con prácticas sociales específicas, en particular, la
predicción. Sus elementos han sido tomados de la actividad en la que se involucra el
individuo al generar conocimiento y del conjunto de argumentos y herramientas del
que se vale. Esta es la base de la situación que presentamos en este capítulo; sus
componentes se refieren a la relación de lo periódico con un movimiento que ocurre
en el tiempo, la búsqueda de patrones de comportamiento y de una unidad de análisis
que refleje una dialéctica instante-todo y la práctica de predecir como una acción
intencional que tiene que ver con lo anterior.
El objetivo de diseñar una situación fundamentada en el análisis socioepistemológico
realizado es ver cómo esos elementos que la conforman – tanto las herramientas
como las prácticas- viven en el sistema didáctico, al seno de contextos
argumentativos. Así, estamos reconociendo, por una parte, una didáctica intencional
y por otra, a los contextos argumentativos como espacios generadores de
conocimiento.
Vista de manera global, la situación aborda el análisis de comportamientos repetitivos
en gráficas que describen movimientos. Dichos comportamientos suelen estar
intrínsecamente ligados sólo a una propiedad periódica sin que ésta sea percibida
como una propiedad realmente significativa: en general, es aplicada como reflejo de
una memorización. En este escenario, la situación considera a la predicción como
una actividad intencional que, a través de las secuencias, propone una confrontación
entre diferentes tipos de regularidad de la gráfica de un movimiento. Se favorece así
una reconstrucción de los significados asociados a la regularidad de un
comportamiento y, en consecuencia, un reconocimiento funcional –no utilitario - de lo
periódico (figura 4.1).
A continuación, describimos el diseño de la situación y, posteriormente, abordaremos
su puesta en escena. Esto incluirá una descripción de la metodología utilizada así
como los respectivos análisis a priori y a posteriori. De esta manera, pretendemos
Capítulo 4
86
presentar evidencias acerca de nuestra hipótesis de investigación la cual consiste en
que la predicción es una práctica asociada al reconocimiento de lo periódico en el
contexto de las funciones.
Figura 4.1
gráfica periódica
PREDECIR
movimiento periódico
Capítulo 4
87
1. El diseño
La situación20 consta de tres secuencias. Cada una de ellas se fundamenta en los
elementos de lo periódico que hemos señalado e intenta reflejar momentos en la
resignificación de lo periódico.
Secuencia 1
Consta de dos actividades: Actividad 1. Se presentan ocho gráficas de movimientos repetitivos y se pide describirlos. Actividad 2. Se pide agrupar las gráficas anteriores por semejanzas y diferencias
Sus elementos se refieren a la relación de lo periódico con un movimiento que ocurre
en el tiempo y la asociación no discriminada de la propiedad periódica con la
regularidad de la gráfica de un movimiento
Momento 1: Las gráficas que representan movimientos repetitivos
son periódicas
Secuencia 2
Consta de dos actividades:
Actividad 1. Se pide predecir la posición del móvil, en cada una de las gráficas
anteriores, en el tiempo 231
Actividad 2. Se pide agrupar las gráficas anteriores por semejanzas y diferencias
Sus elementos se refieren a la búsqueda de patrones de comportamiento y de una
unidad de análisis que permita predecir sobre la gráfica utilizando una dialéctica
instante-todo.
20 La situación, como ha sido presentada en la puesta en escena, puede consultarse en el anexo
Capítulo 4
88
Momento 2: Existen diferentes maneras en las que una gráfica
puede repetirse
Secuencia 3
Consta de una sola actividad:
Actividad 1. Se pregunta acerca de cuáles de las gráficas anteriores son periódicas
Sus elementos se refieren a la identificación de la predicción como una práctica que
favorece la reconstrucción de los significados acerca de la regularidad presente en la
gráfica de un movimiento y la emergencia de la propiedad periódica como una
caracterís tica particular y significativa.
Momento 3. La periodicidad es una propiedad que califica cierto tipo
de repetición
El diseño se articula (figura 4.2) proponiendo una confrontación entre las
clasificaciones de las gráficas antes y después de predecir (Secuencia 1, actividad 2 -
Secuencia 2, actividad 2). Los criterios que se ponen en juego para agrupar por
semejanzas y diferencias pueden ser percibidos de diferente manera cuando sólo son
tomadas en cuenta las características repetitivas de las gráficas en comparación con
tomar en cuenta el modo y tipo de repetición. Esta distinción es la que favorece la
predicción que se realiza en cada una de las gráficas. Una vez confrontadas dichas
clasificaciones, tenemos un escenario para resignificar lo periódico; un escenario tal
que la relación periodicidad-predecir puede percibirse a través de argumentos y
herramientas situacionales.
A continuación presentamos una descripción detallada del diseño de cada una de las
secuencias y de sus actividades correspondientes.
Capítulo 4
89
Figura 4.2
confrontación favorecida por la predicción
SECUENCIA 1 SECUENCIA 2
SECUENCIA 3
Reconstrucción de significados acerca de la repetición de un
movimiento
Capítulo 4
90
1.1 Secuencia 1
Actividad 1
Se presentan ocho gráficas de movimientos repetitivos (figura 4.3) y se pide
describirlos. Esto es, discutir cómo se está moviendo el objeto en cada uno de los
casos.
Figura 4.3
2
d
a
2 6 4 8 10 12
2
3
1 tiempo
distancia
2 6 4 8 10 12
2
tiempo
4
distancia 6
b
2 6 4 8 10 12 t iempo
2 3
1
distancia c
distancia
3 4
1
2 6 4 8 10 12 tiempo 2 6 4 8 10 12 tiempo
3
1 2
e distancia
2 4
2 6 4 8 10 12 tiempo
g distancia
2
4
2 6 4 8 10 12 tiempo
distancia f
h
2 6 4 8 10 12 tiempo
2 3
1
distancia
4
Capítulo 4
91
Estas gráficas representan movimientos tanto periódicos como no periódicos. El
comportamiento que podemos percibir en cada una de ellas es que el proceso con el
cual se construyeron es periódico. De acuerdo a lo que hemos comentado acerca de lo
periódico, este comportamiento conflictúa el determinar si la gráfica cumple o no la
propiedad periódica. Precisamente, este es uno de los aspectos que caracteriza la
primer actividad. Otro aspecto se refiere a la periodicidad como una propiedad poco
relevante de las gráficas frente a otras como la continuidad, por ejemplo, para
describir el movimiento.
Esta primera actividad pretende evidenciar la problemática acerca de lo periódico: la
asociación de lo periódico con cualquier tipo de repetición y lo poco relevante de esta
propiedad frente a otras. En su diseño se utilizan gráficas en las que la repetición es
una característica presente en todas las gráficas y que se manifiesta a través de tres
comportamientos distintos. Esta distinción se basa en la diferenciación entre el
comportamiento presente en el tiempo (eje x) y aquél que se presenta en la distancia
(eje y):
a) El comportamiento en todo el eje x se repite en intervalos idénticos mientra que el
comportamiento en el eje y sigue un determinado patrón de crecimiento o
decrecimiento. Esto provoca que el rango en el eje vertical sea no acotado. Dentro de
este tipo de comportamiento tenemos las gráficas de la figura 4.4.
Patrón de comportamiento repetitivo en el tiempo pero no en la distancia
Figura 4.4
231
dist
2 64 8 1 1tie
44
64 8 1 1 tie
dista
Capítulo 4
92
b) El comportamiento en el eje x sigue un determinado patrón de decrecimiento
mientras que el comportamiento en el eje y sigue un mismo patrón de repetición. Esto
provoca que el rango en el eje vertical sea acotado. Dentro de este tipo de
comportamiento tenemos la siguiente gráfica (figura 4.5)
Patrón de comportamiento repetitivo en la distancia pero no en el tiempo
Figura 4.5
c) Ambos ejes siguen un patrón de repitición; es decir, los intervalos de tiempo se
repiten idénticamente, mientras que el patrón de comportamiento en la distancia es
siempre el mismo (figura 4.6)
Patrón de comportamiento repetitivo en la distancia y en el tiempo
Figura 4.6
2 64 8 1 1 ti231
dis
2 64 8 1 1
23
1ti
dis
2 64 8 1 1tie
4
Capítulo 4
93
Actividad 2
Una vez descrito el movimiento en cada una de las gráficas anteriores, se pide
agruparlas de acuerdo a cualquier criterio de semejanza o diferencia. Esta agrupación
tiene la intención de evidenciar lo poco relevante de la periodicidad de las gráficas
como un criterio de agrupación frente a otros como la continuidad-discontinuidad de
la gráfica, o la existencia de segmentos lineales o curvos en ellas.
Esta primera agrupación se contrastará con la que se realice después de predecir ya
que las características que se perciben como relevantes en las gráficas necesariamente
estarán influenciadas por la práctica de predecir.
1.2 Secuencia 2
Actividad 1
Se pide, en cada una de las gráficas anteriores, predecir la posición del cuerpo en un
tiempo fijo determinado (t = 231). La descripción del comportamiento del móvil es
una actividad que sigue estando presente; sin embargo, esta descripción está
enfocada a la predicción. El objetivo que persigue esta actividad es involucrar
intencionalmente al alumno en prácticas de predicción y no depende del determinado
instante del tiempo en el cual se ha pedido la posición; éste pudo haber sido
cualquiera. En cambio, el involucrarse en prácticas de predicción es el punto
neurálgico de la secuencia y de la propia situación. De ahí que enfatizamos el
carácter intencional de la actividad de predecir.
Al predecir, el alumno puede utilizar diferentes procedimientos que dependen
directamente del contexto sociocultural del individuo como su nivel de estudios o su
formación profesional y de los significados acerca de la repetición de un movimiento
que se ponen en juego.
Capítulo 4
94
Dado que en la primer parte es factible identificar algunas de las gráficas con la
función seno, y estimar alguna expresión analítica que la describa, ese modelo
analítico generado puede ser un tipo de procedimiento que se usa para predecir. Sin
embargo, dado que no todas las gráficas presentadas son de tipo senoidal, tendrá que
desarrollarse el empleo de otros procedimientos que se basen en el análisis del
comportamiento de la gráfica.
La actividad de predecir se fundamenta en la idea de describir el estado posterior de
la gráfica de un movimiento basándose en el estado actual lo que equivale a utilizar la
información de la cual se dispone. Así, es necesaria una unidad de análisis que pueda
dar cuenta del estado posterior de la gráfica dada la información con la que se cuenta
de inicio. Si, en particular, se está tratando con movimientos que presentan algún tipo
de repetición, esta unidad pasa de ser de tipo local (puntual) a una de tipo global y
bajo esta dualidad local-global, básicamente el procedimiento que se siga será la
comparación entre dos estados: el de la unidad de análisis tomada como básica con el
siguiente periodo de tiempo.
Este procedimiento favorece una reconstrucción de significados acerca de lo que es
un movimiento repetitivo por medio de una distinción del tipo de repetición presente
en cada una de las gráficas. Esta resignificación es inducida por la actividad de
predecir ya que cualquier método de predicción basado en el comportamiento de la
gráfica obligará a explicitar el tipo de comportamiento en el eje x y en el eje y.
Veamos el caso de las tres primeras gráficas de la situación propuesta (figura 4.7).
Figura 4.7
Capítulo 4
95
Una vez que el alumno haya encontrado algún procedimiento predictivo para ser
utilizado en la primer gráfica y cuyo sustento es la identificación de una unidad de
análisis, esa estrategia tendrá que reestructurarse para ser utilizado en la segunda
gráfica. En ésta, el comportamiento de la gráfica sigue un patrón de repetición que
hace que los intervalos en el eje x sean id énticos y, por lo tanto, es un
comportamiento similar al de la primera, pero el comportamiento que se presenta en
el eje y, sigue un patrón distinto, uno de crecimiento. Tendrán que realizarse algunos
ajustes en el comportamiento de la unidad de análisis para que reflejen el
comportamiento del eje vertical. Una vez logrado esto, el alumno se enfrenta a la
tercer gráfica en la que no puede utilizar exactamente el mismo procedimiento
predictivo que utilizó en las dos primeras, aunque el fundamento –una unidad de
análisis- siga siendo el mismo. Nuevamente tendrá que realizar un ajuste, pero ahora
será en cuanto al comportamiento del eje x, dejando el del eje y tal y como estaba
desde el principio.
El resto de las gráficas sobre las cuales se va a predecir presenta, en esencia, alguno
de los comportamientos de repetición ya mencionados, por lo que el procedimiento de
predicción a utilizar es semejante a alguno de los tres primeros. Así, tenemos tres
posibles maneras generales de predecir de acuerdo al comportamiento repetitivo de
cada gráfica:
a) Si en la distancia se sigue un patrón de crecimiento o decrecimiento, pero se
mantiene un mismo patrón regular de repetición en el tiempo, bastará con ajustar la
unidad de análisis al comportamiento del rango.
b) Si la distancia sigue un mismo patrón de repetición, pero el tiempo sigue un patrón
de decrecimiento, la unidad de análisis tendrá que transformarse en el dominio, para
dar cabida a la nueva regularidad.
c) Si tanto el tiempo como la distancia siguen un mismo patrón de repetición, sólo
será necesario repetir idénticamente la unidad de análisis hasta el tiempo pedido.
Capítulo 4
96
Esta práctica de predecir, también permite hablar de una resignificación de la gráfica
de una función. En una primera instancia, la curva es considerada
independientemente de su sistema de ejes: lo que se percibe es la forma de la curva.
Entonces, si se presentan varias curvas repetitivas al estudiante, el tipo de repetición
pudiera no ser fácilmente distinguible entre las gráficas, es decir, no ser precisamente
el criterio que las diferencie. En consecuencia, por ejemplo, las siguientes gráficas
son periódicas porque son repetitivas (figura 4.8).
Figura 4.8
Una segunda concepción, se refiere a considerar a la curva sólo con relac ión al eje x.
Si la gráfica es repetitiva, la forma de repetición en el eje x se vuelve lo más
relevante. Y viceversa, si no es regular en relación al eje horizontal, puede ser ya
catalogada como distinta. De ahí que gráficas como las de la figura 4.9a pueden ser
catalogadas bajo un mismo criterio de regularidad, pero que difiera al de la gráfica
4.9b.
Figura 4.9
1
Figura b
Figura a
Capítulo 4
97
Finalmente, bajo una tercer concepción de función en contextos gráficos, la curva es
considerada en relación con los dos ejes; los puntos tienen dos coordenadas y también
la unidad de análisis se maneja en referencia a ambos ejes. Se puede percibir una
distinción en tres criterios de repetición (figura 4.10)
Figura 4.10
De esta manera, el tipo de repetición que presenta una gráfica es distinguible,
reconstruyendo así las concepciones en cuanto a la gráfica de una función y
resignificando la regularidad de un movimiento. Ya no será lo mismo decir sólo “La
gráfica se repite” que especificar cómo es que se repite. El proceso periódico podrá
ser distinguible del objeto periódico ya que, aunque, un proceso periódico implica
una repetición en el movimiento, ahora es evidente que dicha repetición puede tener
diferentes acepciones. Este es un aspecto cognitivo importante que se puede percibir
Comportamiento repetitivo en distancia
Comportamiento repetitivo en tiempo y distancia
Comportamiento repetitivo en tiempo
Capítulo 4
98
dentro de una socioepistemología rodeado de elementos que no son sólo de corte
cognitivo.
Actividad 2
Al terminar de predecir en todas las gráficas restantes, se pide nuevamente agrupar de
acuerdo a semejanzas y dife rencias. Esto tiene el propósito de evidenciar que los
criterios pueden ahora tomar en cuenta el tipo de repetición presente en cada gráfica.
Se espera ver que el comportamiento en el eje x es distinguible del comportamiento
en el eje y ; esto nos permitirá darle significado a la repetición de una gráfica en
cuanto a su forma de repetición. Creemos que este resignificación brinda a su vez
significados funcionales a la periodicidad.
1.3 Secuencia 3
Preguntamos ahora cuáles de las gráficas anteriores son periódicas. El objetivo de
esta última secuencia es evidenciar un escenario en el que puede discutirse la
definición de propiedad periódica. Creemos que la reconstrucción de significados que
favorecen las secuencias anteriores, motiva una adquisición funcional del
conocimiento. Esto lo podemos percibir bajo el nuevo matiz que adquiere la
definición misma en el que se conciben no sólo símbolos, sino significados extraídos
no sólo de aspectos conceptuales, sino de prácticas socialmente compartidas:
f (x) = f ( x + p)
repetición en el eje y
simultaneidad en los dos tipos de repetición
repetición en el eje x
Capítulo 4
99
Creemos, entonces que, la práctica de predecir puede dotar a la definición de un
contexto tal que sea movilizada como un argumento significativo al discutir acerca de
lo periódico. El aspecto periódico de las funciones se percibe como un todo que
involucra más que aspectos analíticos.
1.4 La situación: La predicción y lo periódico
Las secuencias que hemos presentado y su articulación (ver figura 4.2) constituyen
una situación cuyo carácter socioepistemológico hace resaltar la relación entre la
periodicidad y las prácticas de predicción.
En esta situación, proponemos a la predicción como un esquema explicativo
alrededor de lo periódico; es decir, es el resultado de una serie de actividades
alrededor de la construcción del conocimiento (Cordero, 2001). La predicción
constituye un argumento que favorece la reconstrucción de significados alrededor de
lo que es un movimiento regular y, en consecuencia, resignifica el aspecto periódico
de las funciones.
Como esquema explicativo o argumento, la actividad de predecir se puede explicar
(figura 4.11) a través de los significados con los que un individuo se enfrenta a la
situación, los procedimientos que de ahí se generan y la influencia de la cognición
del individuo.
Capítulo 4
100
Situación de periodicidad
Significados Comportamiento repetitivo de una función.
Procedimientos Comparación. Búsqueda y Ajustes en la unidad de
análisis
Procesos-
objetos
Proceso periódico-objeto periódico.
Concepciones de una función en contextos gráficos
Argumento Predicción
Figura 4.11
En esta situación, se espera que los significados del estudiante que entren en juego se
sean acerca de la repetición del comportamiento de una gráfica. Estos significados
generarán determinados procedimientos cuando el alumno se enfrente a la necesidad
de predecir comportamientos; así, se espera que no sea lo mismo una repetición en el
eje x o en el eje y ó bien en ambos ejes de manera simultánea. Deberá existir una
búsqueda de una unidad fundamental para comparar estados futuros con el estado
presente, pero dado el tipo de repetición, tendrán que realizar ajustes que permitan ir
multiplicando dicha unidad para coincidir con el comportamiento que presenta la
gráfica .
Creemos que estos elementos estarán determinados y, en su momento modificarán, el
estatus de lo periódico como proceso u objeto en la estructura cognitiva del
estudiante. Y también las diferentes concepciones acerca de la gráfica de una función
influirán y serán influenciadas por los elementos anteriores.
Englobando lo anterior, la predicción, como argumento, permite una confrontación
entre los diferentes significados de regularidad y posibilita la construcción de la
noción de periodicidad.
Capítulo 4
101
2. Puesta en escena
2.1 Aspectos metodológicos
El objetivo de nuestro trabajo de investigación tiene que ver con proponer una
socioepistemología de la periodicidad en la que se plantea una epistemología de
práctica y una situación cuyo diseño se fundamente en ella. El aspecto principal de la
socioepistemología es la relación predicción-periodicidad y cómo esta relación puede
explicarse a través de la argumentación en contextos interactivos.
La evidencia que se recolecte debe dar argumentos de naturaleza epistemológica
sobre la relación predicción-periodicidad a través de la situación diseñada. El aspecto
metológico que guía la recolección de datos tiene que ver con un análisis a priori en
el que la epistemología inicial informa acerca de lo hipotético, una puesta en escena y
un análisis a posteriori para tratar lo que realmente hicieron los alumnos. La
confrontación entre ambos análisis generará una epistemología final o revisada que
permitirá dar cuenta de nuestra situación diseñada. Con la finalidad de hallar
diferentes argumentos situacionales para dar cuenta de esta confrontación, se ha
elegido realizar no una, sino varias puestas en escenas.
Las secuencias han sido aplicadas a grupos de estudiantes y profesores de nivel
superior y posgrado en Matemática Educativa. El modo de trabajar las secuencias
varió de un trabajo con un solo equipo conformado por tres personas a equipos de tres
a cinco integrantes dentro de un grupo mayor de personas. Lo que mantuvieron en
común las distintas puestas en escena es que el investigador participó en todas
favoreciendo contextos discursivos en los que continuamente los participantes tenían
que hablar acerca de las argumentaciones que ponían en juego.
Una ventaja de haber realizado varias puestas en escenas es que, ya que partimos de
que la predicción es el argumento que actúa como detonante en la situación, las
puestas en escena nos permiten analizar las distintas formas que puede tomar dicho
Capítulo 4
102
argumento para reflejarse a través de argumentos y herramientas situacionales. En
este último sentido, un argumento es una construcción hecha para convencer pero
cada uno de ellos forma parte de un esqueleto argumentativo que, al analizarse como
un todo, puede informar acerca de la predicción como el argumento global de la
situación. Así, las diversas puestas en escena nos han permitido recolectar esas
diferentes formas de argumentación.
En la siguiente sección, presentamos, los análisis a priori de las actividades de cada
secuencia, junto con lo sucedido en su puesta en escena.
2.2 Secuencia 1
Lo que hipotetizamos acerca de las puestas en escena de esta primer secuencia tiene
como antecedente los elementos que hemos identificado alrededor de lo periódico:
? El uso memorístico de la definición de propiedad periódica
? La identificación de la propiedad periódica con cualquier tipo de repetición que
presente la gráfica de un movimiento y la ausencia de un marco de referencia
significativo que permita diferenciarlas
? La supremacía de características como la continuidad ante la periodicidad en una
gráfica
? La referencia al comportamiento de la gráfica como una herramienta para discutir
acerca de las características de la misma
Capítulo 4
103
2.2.1 Actividad 1
Análisis a priori
Al describir el movimiento a través de las gráficas es factible, en primera instancia,
que éstas se interpreten como un dibujo de la trayectoria del cuerpo y no como la
representación de una relación distancia-tiempo La interacción entre pares y el uso de
sensores de movimiento pueden ser estrategias que motiven la evolución de dicha
concepción para continuar con el objetivo de la secuencia.
Se espera que la descripción que se haga del movimiento en cada una de las gráficas
dependa totalmente del contexto en el cual se lleve a cabo la puesta en escena. Cada
grupo humano reflejará en sus comentarios el escenario socio-histórico-cultural al
cual se pertenece: estudiantes de ingeniería, profesores de ingeniería, grupos
conformados sólo por mujeres o sólo por hombres, etc. Sin embargo, habrá que hacer
énfasis en características importantes del movimiento para que las descripciones sean
lo más precisas posibles. Creemos que puede ser suficiente, como ejemplo general,
mencionar en la primer gráfica (figura 4.12) que además de tratarse de un objeto que
va y viene, éste lo hace siempre entre los mismos puntos fijos.
Figura 4.12
Puesta en escena
Existe gran diversidad de argumentos al describir el movimiento que está
representado en cada gráfica que reflejan el contexto sociocultural de cada grupo
humano. Sin embargo, entre ellos pueden percibirse características comunes que,
finalmente, forman la caracterización de cada gráfica. En la Tabla 1, presentamos en
la primer columna dicha caracterización y en la segunda, mostramos algunos
2 64 8 1 1
23
1ti
dis
Capítulo 4
104
ejemplos de cómo es manejada dentro del contexto sociocultural al cual pertenece el
individuo.
Es importante notar que en algunas ocasiones para el caso de las gráficas
discontinuas, los ejemplos suelen cambiar de ser personas u objetos en movimiento, a
ser luces o señales. En cambio, hubo grupos donde mantenían la idea de un objeto en
movimiento aceptando la posibilidad de que un objeto pudiera cambiar de posición de
forma inmediata.
105
Tabla 1
Gráfica Caracterización Diálogos y ejemplos21
? El objeto va y viene siempre a los mismos puntos, en el
mismo intervalo de tiempo
? Movimiento de un cuerpo a lo largo de una
circunferencia o el movimiento de un péndulo o de un
resorte
Juan Carlos, coordinador de Ingeniería Industrial
JC: El objeto está yendo y viniendo; de un lado a otro.
Por ejemplo, mi actividad sería en un tiempo determinado
ir a ver, por ejemplo a un profesor ahí, regreso y es el
mismo tiempo que hago al volver a ir y regresar para
volver a darle una instrucción.
I: ¿Al mismo profesor?
JC: Sí, al mismo lugar
? El objeto va y viene pero no regresa al mismo lugar,
sino un metro antes. Luego avanza un metro más y así
sucesivamente ? El cuerpo alrededor de una circunferencia o un péndulo
o un resorte, pero al mismo tiempo va subiendo o
alejándose del sensor
Juan Carlos, coordinador; Angel: profesor de Ingeniería Mecánica. Continúan referiéndose al ejemplo anterior
JC: Aquí está yendo a otro lado; a lo mejor no regresa,
bueno, a lo mejor sí, pero como que va aumentando y va
a otro lado. Voy a Dirección Académica y luego a
Vinculación y las distancias son diferentes
I: ¿Y no hay regresos?
JC: Pues no creo
A: Es que si el gráfico muestra esto, lo que él dice de que
21 En los diálogos, la participación del investigador se denota con I y la de los participantes, con sus iniciales
ti
dis
106
va y regresa, aquí regresa a su primera comisión pero
hay una distancia de su primer comisión y luego estaría a
otra distancia de su primera comisión. Existe una
variación en su distancia en su regreso total, o sea no
regresa a su condición inicial.
? Algún tipo de maquinaria cuando empieza a moverse:
poco a poco hasta alcanzar el ritmo normal
? Un movimiento en el que va y viene a los mismos
puntos, pero cada vez lo hace más rápido pues lo hace
en menos tiempo
Mario, profesor de Matemáticas y estudiante de Maestría
Este movimiento también podría ser circular pero en vez de uniforme ahora debería ser acelerado (aceleración positiva), en torno a un círculo de radio 1 cuyo centro está ubicado a 2 unidades del origen de coordenadas.
Angel, profesor de Ingeniería Mecánica
Es como todo proceso de inicio, mientras se ajusta a tener una velocidad uniforme
? Son dos personas a diferente distancia del sensor
? Es una persona que brinca a un nivel superior (escalera)
o a una distancia mayor
? El sensor registra sonido o luz; entonces son dos objetos
a diferente distancia (prenden y apagan ó emiten
sonido)
Sharon y Mercedes, alumnas de Licenciatura
S: Aquí nada más está pasando el tiempo; si estuviera
pasando la distancia, subiría.
M: Yo estaría aquí, y Sharon allá.
Mario, profesor de Matemáticas y estudiante de Maestría Para este gráfico podemos pensar en dos focos de luz intermitentes en la oscuridad vistos por un observador
107
que está a 2 unidades del primero y a 4 del segundo. El foco más cercano permanece prendido por 2 segundos, se apaga en los dos segundos siguientes y se vuelve a prender al cabo de ese tiempo repitiendo su comportamiento; el segundo foco se enciende cuando el primero se apaga y viceversa.
? Un objeto que avanza y luego se detiene.
Inmediatamente regresa a su punto de partida y hace lo
mismo
? Varios (tres) objetos que hacen el movimiento anterior:
primero uno y en cuanto acaba, el siguiente
Cristina y Mercedes, alumnas de Licenciatura
M: De aquí me voy a la puerta del baño y esta parte
horizontal es lo que me tardo en el baño peinándome
C: Podría ser todas las personas que van al baño y ahí se
quedan.
Karina, profesora trabajando en un equipo con otras tres mujeres Una persona camina alejándose del sensor y después se mantiene un tiempo parada. Luego, otra vuelve a hacer lo mismo. Es como una pasarela de modelos
? El objeto va y viene pero cada vez se aleja una más y
cada vez regresa una unidad más
? Un movimiento tipo elíptico espiral, con el sensor al
centro, en el que el cuerpo que está girando se aleja
cada vez más
Mario, profesor de Matemáticas y estudiante de Maestría
El gráfico representado podría corresponder a un movimiento circular de velocidad angular constante, donde el sentido de giro es horario y a medida que el objeto gira se va agrandando en forma constante el radio del círculo
4
64 8 1 1tie
dista
108
? El objeto permanece quieto
? Puede tratarse de un movimiento circular pero ahora el
sensor estaría localizado en el centro
Sharon y Mercedes, alumnas de Licenciatura S: La distancia no cambia, pasa el tiempo M: Estoy en clase de Matemáticas, muy atenta,
escuchando
Mario, profesor de Matemáticas y estudiante de Maestría
Este gráfico podría representar la luz de un farol vista por un observador que está quieto a 4 unidades del farol. Alicia, profesora de Matemáticas y estudiante de Maestría También podría representar el movimiento circular de una partícula, que se mueve a una velocidad constante, el sensor detectaría en cada instante t la distancia de esta partícula al centro de la circunferencia, como esta distancia es constante y es igual al radio, obtenemos un gráfico como el proporcionado, el radio correspondería a 4 unidades de distancia.
? Un móvil que sube (de manera instantánea) y queda
quieto por dos segundos
? Varios objetos (de preferencia, 5) situados en una fila a
diferente distancia del sensor. Cada dos segundos, el
que está más cerca, desaparece para que el sensor capte
Mario, profesor de Matemáticas y estudiante de Maestría Si pensamos en faroles que están alineados y separados una cuadra cada uno del siguiente, estando el observador a una cuadra del primero. El gráfico podría corresponder al momento de un encendido de prueba de dichos faroles que solo permanecen encendidos durante 2 segundos. Se
dist
tie
109
al siguiente
? Si se trata de un sensor de luz, entonces serían luces
situadas en filas que se prenden y luego se apagan
enciende primero el farol más cercano al observador y al cabo de 2 segundos se enciende el segundo y se apaga el primero. Así sucesivamente.
Capítulo 4
111
Además del uso de argumentos verbales, se percibieron argumentos de corte icónico.
En el capítulo dos habíamos comentado acerca del desplazamiento lineal co mo un
argumento construido para discutir sobre lo periódico. Nosotros lo presentamos a
través del movimiento circular, de un resorte y de un péndulo. Este se refiere al
conjunto de proyecciones del movimiento sobre una línea recta: un “ir y venir”
continuo.
En las puestas en escena este argumento fue movilizado para discutir sobre el tipo de
repetición que presenta una gráfica, pero tal pareciera que las flechas que indican ese
ir y venir se obtienen directamente de la descripción del movimiento y no como
proyecciones de los puntos sobre la gráfica. Presentamos dos ejemplos de cómo fue
utilizado el llamado desplazamiento lineal ya que lo que sobre sale es el uso de ese “ir
y venir” como una herramienta al referirse a movimientos repetitivos.
Ejemplo 1. Rebeca, estudiante de Maestría
Acerca de la gráfica a:
Es un cuerpo que se encuentra en un punto A, de aquí se mueve a otro punto B,
regresa al punto A y de nuevo se dirige al punto B, ... etc.
B A sensor
Capítulo 4
112
Acerca de la gráfica b:
Es un cuerpo que se encuentra en un punto A, de aquí recorre una distancia
pasando por B hasta llegar a un punto C, regresa al punto B, desde B se dirige
pasando por C hasta llegar a un punto D, regresa al punto C, ....etc. esto con
una velocidad casi constante.
Acerca de la gráfica f
Es un cuerpo que se mueve de un punto C a otro punto B que se encuentra
antes del punto C, de aquí se dirige a un punto D pasando por C, esto lo
realiza con cierta velocidad; de este punto se dirige a un punto A pasando
por C y B tal punto A está antes del punto B, de aquí se dirige a un punto F
que se encuentra después de D, de aquí se dirige a un punto A? que se
encuentra antes de A, de aquí ..... etc.
sensor A B C D E
sensor
A B C D
Capítulo 4
113
Ejemplo 2. Juan, alumno de Maestría
2.2.2 Actividad 2
Análisis a priori Los criterios de agrupación esperados se refieren a: ? Gráficas continuas-discontinuas
? Gráficas que contienen segmentos lineales- curvos
? Gráficas de forma senoidal- lineal
? Gráficas que pueden expresarse mediante una única expresión analítica y gráficas
que no
? Gráficas que reflejan el movimiento de una o de varias personas u objetos
Capítulo 4
114
? Gráficas que reflejan momentos en los que el móvil está parado o aquéllas en las
que nunca lo está
? Gráficas periódicas-no periódicas. En este caso, también se espera que la
clasificación no sea del todo correcta debido a la problemática misma que hemos
comentado
Todos los criterios deberán tomarse en cuenta e incluso, de ser posible, motivar a que
se mencionen los más posibles.
Puesta en escena
En la agrupación por semejanzas y diferencias, los criterios más recurrentes fueron:
* Continuas y discontinuas
* Uno o varios objetos involucrados
* Funciones senoidales y funciones que incluyen partes lineales
Otros criterios menos utilizados fueron:
* Funciones acotadas y no acotadas en su rango
* Funciones periódicas y no periódicas
Presentamos a continuación varios ejemplos de a grupación. En el análisis a posteriori,
estos ejemplos serán retomados para contrastarlos con la agrupación que se realizó
después de predecir.
Capítulo 4
115
Ejemplo 1. Yacir, profesora de matemáticas y estudiante de Maestría
Para hacer una primera clasificación, sin más que mirar las gráficas y sin intentar hallar
previamente sus respectivas expresiones analíticas, (yo) podría decir que una
clasificación posible es:
a) Continuas: a, b, c, f, g . Discontinuas: d, e, h.
b) Algún intervalo real de su dominio, tienen imagen constante: d, e, g, h . No lo
tienen: a, b, c, e.
c) Pueden definirse a través de una única expresión analítica: a, b, c, f, g. No pueden:
d, e, h.
d) Parecen tener acotado su rango: a, c, d, e, f, g . No están acotados: b, h.
e) Las que pueden expresarse analíticamente mediante senos o cosenos: a, b, c, f. Las
que no: d, e, g, h.
Para Yacir, el que las gráficas fueran o no periódicas, no fue un criterio relevante.
Identifica y distingue las gráficas cuyo rango se mantiene constante, pero el criterio
de periodicidad no lo hace explícito. Es importante notar que su primer criterio de
clasificación se refiere a la continuidad-discontinuidad de la gráfica.
Ejemplo 2. Neemías, Liliana y Edgar. Estudiantes de Licenciatura
N: Yo haría dos grupos. d,e,h. Este grupo lo hice porque está en una posición y luego
hay un movimiento brusco que produce discontinuidad. En los otros, los movimientos,
las ondas, son continuas y no hay reposo
En cuanto a la gráfica del inciso g, la señalan como un caso particular de la e y h:
Capítulo 4
116
N: La g sería sola; está parada la persona
Este grupo se limitó a mencionar la propiedad de continuidad-discontinuidad como la
característica más relevante al agrupar las gráficas. También resulta notorio que
consideran a la gráfica de la función constante como totalmente diferente a las demás
porque no refleja movimiento.
Ejemplo 3. Mario, profesor de matemáticas y estudiante de Maestría
Continuas: a, b, c, f, g. Discontinuas: d, e, h. Acotadas: a, c, d, e, g. No acotadas: b, f, h. Periódicas: a, d, e, g. No periódicas: b, c, f, h.
En la clasificación de Mario sí aparece, explícita y correctamente, el criterio de la
periodicidad para distinguir unas gráficas de otras. Sin embargo, es el tercer criterio que
utiliza y, nuevamente como en el equipo anterior, la continuidad de la gráfica es su
primer criterio de distinción.
Capítulo 4
117
Ejemplo 4. Andrés y Enrique, estudiantes de Maestría
Este grupo de estudiantes sí toma como criterio la existencia de un período. Sin
embargo, consideran que sólo dos de las gráficas lo tienen. Nuevamente, aparece el
criterio de continuidad-discontinuidad como una característica distintiva. De manera
similar a Yacir, este equipo también considera como un criterio de clasificación
importante el que la gráfica tenga forma senoidal.
Capítulo 4
118
2.3 Secuencia 2
2.3.1 Actividad 1
Análisis a priori
Para predecir la posición del móvil en el tiempo 231 esperamos que los
procedimientos predictivos se fundamenten en la identificación de una mínima
unidad de análisis que contenga la información necesaria y suficiente. Una vez
identificada la longitud en tiempo de esta unidad, realizar algún procedimiento para
hallar la posición en el tiempo pedido. Dicho procedimiento puede ser dividir el
tiempo pedido entre dicha longitud y realizar los ajustes necesarios con el residuo.
Podemos esperar también que dicha unidad no sea precisamente la mínima (ejemplo,
en lugar de considerar un intervalo el repetición para t = 4, considerarlo para t = 8) o
bien que no se identifique correctamente el intervalo de repetición (ejemplo,
considerar t = 6 en el ejemplo anterior). La estrategia para llegar a un consenso sobre
la unidad de análisis será la interacción entre pares, y en dado caso, crear algún
modelo físico (hoja de papel, borrador) que permita visualizar que al repetir la unidad
de análisis, ésta no debe encimarse o generar espacios vacíos.
En caso de no poder hallar una unidad de análisis porque ésta carezca de sentido para
el grupo o individuo en cuestión, se puede motivar el uso de procedimientos
relacionados con un conteo más puntual ( tiempo = 2 , 4, 6, 8, 10, 12, 14, …) para
identificar el comportamiento global de la gráfica.
Por otra parte, es factible que los grupos se involucren en la búsqueda de una
expresión analítica que describa una gráfica lo más parecida a la que se pide. En caso
de contar con calculadora graficadora, esto, además de invertir tiempo, puede
realizarse sin problema. Sin embargo, a medida que se avance, el hallar la mejor
Capítulo 4
119
expresión analítica es una tarea que se complica sin que esto sea necesario para los
fines de la secuencia. En ese caso, se puede motivar el uso de procedimientos de
predicción que consideren más el propio comportamiento de la gráfica que la
exactitud que podría brindar una expresión analítica.
Esperamos que en ciertas gráficas, algunos grupos no puedan hallar ningún
procedimiento de predicción que informe la posición del móvil en el tiempo 231, a
pesar de haberlo logrado en la primera. Esto puede deberse a que el movimiento en
cuestión se perciba como caótico o que no siga ningún patrón (ejemplo, figura 4.3
incisos b, c, f). Una estrategia para motivar la búsqueda de algún –cualquier- método
es recordar las descripciones realizadas en la primera secuencia para que se haga
evidente que, finalmente, existe algún patrón de comportamiento. Otra estrategia se
refiere a motivar la identificación de ciertas características que, con seguridad, va a
tener el móvil en el tiempo 231; como ejemplo, para las gráficas con rango acotado,
el móvil siempre va a estar entre dos límites fijos. Esta identificación quizá pueda
resultar poca profunda, pero resultaría útil para distinguir entre lo que se puede o no
decir del comportamiento de la gráfica, brindando así también un escenario
argumentativo rico acerca del tipo de comportamiento repetitivo de una gráfica.
Puesta en escena
Al enfrentarse a predecir la posición del móvil en el tiempo 231, un aspecto
importante sobre el que se tuvo que discutir y consensar fue, dado que la gráfica se
muestra hasta un tiempo determinado (t =12), decidir cómo continúa comportándose
la gráfica. En la gráfica a , suele haber consenso unánime acerca de que la gráfica
continúa y cómo continúa; pero, en las demás, sí se presenta el caso de que cuando
termina la gráfica (t = 12), deciden que el cuerpo se detiene. En caso de haber
sucedido eso, se les pidió que supusieran que el movimiento continuaba de la manera
como fuese, pero que sí continuaba.
Capítulo 4
120
En el modo de cómo continuaba el movimiento, se dejó siempre total libertad para
decidirlo. La discrepancia en cuanto al modo como continuaba el movimiento
después del tiempo que se veía explícitame nte, fue especialmente notoria en el caso
de la gráfica cuya frecuencia va aumentando (inciso c) y en la gráfica cuya amplitud
va aumentando (inciso f). Creemos que lo anterior se debe a que el movimiento se
percibe como demasiado irregular y el patrón de comportamiento no es tan inmediato
como en los casos anteriores. Parece que de manera natural y con la finalidad de
evitar modelos en los que la predicción se complica, el alumno tiende a estabilizar el
comportamiento especialmente en ambas gráficas. Por ejemplo, se hace referencia a
un pistón o algún tipo de maquinaria que empieza a funcionar poco a poco hasta
alcanzar su frecuencia o amplitud de funcionamiento normal, por lo que, después del
tiempo 12, la gráfica continuará con la misma frecuencia o amplitud que tenía en ese
tiempo. De esta manera, el modelo predictivo será igual al utilizado en la primer
gráfica. Creemos, entonces, que esta situación refleja la tendencia natural del
individuo a buscar un patrón de regularidad para poder predecir. Y entre más simple
sea el patrón, el procedimiento podrá se similar al que ya se empleó para la primer
gráfica.
Los procedimientos de predicción, al igual que los argumentos, son característicos del
grupo humano en cuestión. De ahí la riqueza que hemos podido obtener de las
diferentes puestas en escena. Podemos percibir cómo la predicción, en un nivel de
análisis, es el argumento global de la situación pero también, en otro nivel de análisis
cómo va formándose de diversos argumentos y procedimientos desarrollados en
contextos muy concretos. Hemos podido percibir tres categorías de procedimientos
para predecir que se relacionan directamente con los significados que se ponen en
juego, aunque, claro, no son excluyentes entre sí.
? Analíticos que se basan en hallar la expresión analítica que mejor describe la gráfica
en cuestión. Es común que profesores que privilegian los aspectos analíticos de las
funciones, realicen procedimientos de este tipo, así como aquéllos que manejen
herramientas como las calculadoras graficadoras con suficiente soltura.
Capítulo 4
121
? Aritméticos que hacen uso de tabulaciones puntuales para percibir un patrón de
comportamiento. Este tipo de prodecimientos refleja dificultades para hallar patrones
de repetición; es decir, se privilegia un análisis de tipo local que no favorece una
visión global.
? Gráficos que hacen uso del comportamiento de la gráfica realizando sobre ella
cualquier tipo de procedimiento.
En la Tabla 2 presentamos cada una de las gráficas; en la primer columna, damos
caracterizaciones de corte general acerca de las herramientas para predecir que se
utilizaron y en la segunda, algunos ejemplos significativos acerca del uso contextual
de las herramientas.
88
Tabla 2
Gráfica Descripción general de herramientas de predicción
Ejemplos contextuales
Se identifica el periodo mínimo (t = 8) en el
cual el cuerpo repite su comportamiento. Se
reproduce ese periodo tantas veces como sea
necesario hasta acercarse el punto pedido y se
le suman o restan las unidades necesario para
llegar al tiempo pedido. O bien, en lugar de
multiplicar, se divide el tiempo pedido entre el
periodo y se hacen los ajustes necesarios con el
residuo.
Mario, profesor de Matemáticas y estudiante de Maestría d (t) = 2 + sen ( ? t / 4 ) d (231) = 2 + sen ( ?.231/ 4 )
Isaías, Manuel, Leticia y Judith, estudiantes de Maestría
Mediante un procedimiento similar al anterior,
se determina cuál sería la posición equivalente
del móvil en la primer unidad de análisis.
Posteriormente, subir esa unidad de acuerdo al
patrón de crecimiento que rige en el eje y; esto
se puede hacer de diferentes maneras:
a) Linealizar el comportamiento. Determinar la
Mario, profesor de Matemáticas y estudiante de Maestría
d ( t) = t/3 + 2 + sen ( ? t / 3 ) d (231) = 231/3 + 2 + sen ( ? 231/ 3 )
Isaías, Manuel, Leticia y Judith, estudiantes de Maestría
ti
dis
89
ecuación de la recta que pasa, en la primer
unidad de análisis, sobre la posición
equivalente y mediante esa ecuación lineal,
predecir.
b) Analizar cuánto va subiendo la unidad de
análisis por ciclo.
Juan.Oscar, Antonio y Jorge, estudiantes de Maestría
90
Si se decide que la frecuencia se estabiliza, se
procede de manera similar al caso a
Si se decide que la frencuencia aumenta,
algunas herramientas utilizadas son:
a) Se intenta constantificar ese aumento. Por
ejemplo, analizar que cada intervalo de 2
unidades de tiempo, hay un ciclo más. Con esta
constante, se procede de manera similar a la
gráfica a para ver cuántas veces tendría que
aumentar el ciclo
b) Sólo se puede decir que estará entre 1 y 3
Mario, profesor de Matemáticas y estudiante de Maestría En este caso no podemos saber la posición del móvil en el segundo 231 observando el gráfico porque este permite ver que a medida que avanza el tiempo la frecuencia se hace mayor por lo que es de esperar que en un entorno de 231 la función tome todos los valores entre 1 y 3 Edith, estudiante de maestría. Aquí , la distancia no va a variar. Vemos que de cero a dos, se desplaza un cachito, de 2 a 4, uno; de 4 a 6, uno y un cachito; de 6 a 8, dos; de 8 a 10, dos y un cachito. Entonces hay que ir juntando el tiempo hasta llegar a 230-232.
Isaías, Manuel, Leticia y Judith, estudiantes de Maestría
? Se establece un periodo de repetición de t = 4 y
se procede de manera similar a la gráfica a. En
este periodo de 4, el comportamiento es más
simple que el de la gráfica a pues sólo hay dos
posibles valores para la ordenada.
? Se establecen progresiones acerca del
Mario, profesor de Matemáticas y estudiante de Maestría ? 2 si t ? [4 k,4k+2] d (t) = ? 4 si t ? [4k+2,4k+4] con k ? N. ? Para k = 57 obtenemos los intervalos [4.57=228, 4.57+2 =230], [4.57+2=230, 4.57+4 =232] o sea que la función d, para k = 57 vale:
91
comportamiento de los impares ( t = 1 , 5, 9
quedan abajo; t = 3 , 7 quedan arriba)
? 2 si t ? [228,230] d (t) = ? 4 si t ? [230,232] ? por lo que d (231) = 4.
Isaías, Manuel, Leticia y Judith, estudiantes de Maestría
92
Se establece un periodo de repetición ( t = 4) y
se procede de manera similar al primer caso
Andrés y Enrique, estudiantes de Maestría
Isaías, Manuel, Leticia y Judith, estudiantes de Maestría
2 64 8 1 1tie
93
? De manera similar a la gráfica dos, pueden
hallarse ecuaciones de líneas rectas que pasen
por la posición equivalente en la primer unidad
de análisis.
? También se optó por analizar cuánto aumenta
la amplitud cada t = 4
Alicia, estudiante de maestría En el gráfico no es posible apreciar exactamente el comportamiento, pero cuando t tiende a infinito, d tiende a cero a través de valores positivos, entonces a los 231 segundos seguramente será un valor muy cercano a cero o cero, sin embargo no tenemos elementos con qué evaluarla para ese tiempo
El objeto siempre va a estar en una posición
de 4
Isaías, Manuel, Leticia y Judith, estudiantes de Maestría
4
64 8 1 1tie
dista
94
Se puede establecer una sucesión de los valores
de la imagen: en 2 la imagen es 2, la de 4 es 3,
la de 6 es 4, y así sucesivamente
Isaías, Manuel, Leticia y Judith, estudiantes de Maestría
Juan, Antonio, Oscar y Jorge, estudiantes de maestría
dist
tie
2.3.2 Actividad 2
Análisis a priori
Se espera que al agrupar nuevamente, los criterios reflejen el trabajo que se
realizó al predecir. La actividad de predecir es una tarea que involucra mucho
más tiempo y esfuerzo que la de describir el movimiento. Por ello, creemos que,
como grupo social, ese trabajo invertido será tomado en cuenta.
Los criterios para agrupar las gráficas por semejanzas y diferencias pueden
referirse a:
? Gráficas en las que es fácil-difícil predecir
? Gráficas en las que el procedimiento para predecir es exactamente el mismo
aunque sean discontinuas o continuas
? Gráficas en las que la unidad de análisis sólo hay que irla multiplicando y
gráficas en las que hay que realizar algún otro tipo de ajuste de acuerdo al
comportamiento variante de algún eje
Esperamos que la gráfica de la función constante presente problema al agruparse
principalmente porque todas reflejan algún movimiento y la función constante es
justo la ausencia del mismo. Si este es el caso, se motivará la creación de
consensos al respecto que brinde un escenario de discusión para la secuencia 3.
Puesta en escena
Para realizar la nueva agrupación, en algunas ocasiones continuaron con los
criterios anteriores y se agregaron nuevos de acuerdo a lo que habían trabajado.
129
O bien, se establecieron criterios totalmente nuevos. Presentamos los siguientes
ejemplos. 12
Ejemplo 1. Yacir, profesora de matemáticas y estudiante de Maestría
La nueva clasificación estará argumentada entonces por dicha predicción. Se
puede decir:
a) las que permiten predecir su valor para cualquier t: a, b, d, e, g, h . Las que
no: c. En duda la f (se puede predecir en caso de que no exista más gráfica o
que la misma vuelva a repetirse).
b) Dentro de las que se pueden predecir, hacer una nueva clasificación respecto
a aquellas que repiten sus comportamientos de a trozos (periódicas): a b, e, g.
y las que no: b, h
Yacir hace explícito que sus argumentos están influídos por la predicción
realizada. Su primer criterio es de acuerdo a si la gráfica es fácil o no para
predecir sobre ella. Sin embargo, se percata de que “dentro de las fáciles” hay
unas cuyo comportamiento ( a trozos) es característico; eso hace que su modo de
predicción sea especial para ellas.
Ejemplo 2. Neemías, Liliana y Edgar. Estudiantes de Licenciatura
N: De acuerdo a la predicción que se puede hacer de un tiempo posterior, yo
clasificaría en un grupo la a, d,e, g ,h de acuerdo a los ciclos que tienen éstas es
fácil de predecir, relativamente.
12 Los ejemplos reflejan las respuestas textuales que dieron los participantes. En caso de diálogo, la intervención del investigador se indica con I. Al final de cada ejemplo, incluímos un comentario.
130
E, L: Y la b
I: Entonces, apunto: a, b , d, e, g, h porque son fáciles de predecir
N: Relativamente...
I: Bueno, pero pudimos. En cambio,…, ¿cuál falta?
L: c, f
I: De plano, no pudieron. Entonces, fáciles y difíciles
En esta primera clasificación están utilizando como criterio si es fácil o no
predecir, las periódicas están incluidas en las fáciles; esto es, aquéllas en las
que se puede hallar una unidad de análisis y multiplicarla tantas veces como sea
necesario. Sin embargo, se incluyeron la gráfica b y h, en las que además de
reproducir la unidad, hay que ajustarla de acuerdo al comportamiento del eje y.
El investigador pregunta si podría hacerse, dentro de las fáciles, alguna
diferencia.
I: Bueno, Neemías dijo “relativamente fáciles”; entonces, ¿habría unas un poco más
fáciles que otras?
N: La b requiere de un poco más de análisis
Se discute acerca de la dificultad para hallar alguna herramienta predictiva en
cada caso.
I: Algunas les salieron muy rápidos. ¿Por qué?
N: Porque ya las habíamos hecho. Su tipo de análisis es similar
I: ¿Cómo cuáles?
L, N: d, e
I: d, e se parecen
E: La b y la h también se parecen
I: ¿La a?
L: El análisis de a es diferente a los demás
N: Es más o menos como el de d.: porque aquí también contábamos
E: los intervalos
131
N: Los intervalos de tiempo
Comentan que veían, cómo se completan las ondas, cómo se comportaban los
ciclos y luego dónde le tocaba; “entre qué y qué”.
I: Entonces, ¿ la a la ponemos con ellas?
N, E: Sí
I: ¿Y a la g?
N: Esa pues ya nada más, es obvia
I: ¿No se parece a ninguna?
L: No
N: Esa a simple vista se ve el resultado, no necesita de análisis
E: Sería un caso particular...
I: ¿La ponemos de las fáciles?
E: Yo sí creo que es un caso particular de las fáciles porque la distancia se mantiene
constante , si vemos un intervalo de tiempo, la distancia es constante. Sería un caso
particular de...
N: De acuerdo al análisis que hicimos, ésta tendría que formar parte de otro
I: ¿Tu la sacas?
N: Pues sí, porque no se hizo ningún análisis. Unicamente se ve la gráfica
I: La ves
N: La veo y ya sé dónde está. Por lógica sé que va a estra a esa distancia
L: En cualquier tiempo siempr va a estar a una distancia de 4
E: Bueno, pero si también veo también este intervalo ya sé dónde está la partícula .
Al igual que Yacir, este equipo empieza distinguiendo “las fáciles de predecir”.
Este criterio lo que hace es distinguir la existencia de un comportamiento
repetitivo –al menos- en el eje x, independientemente de lo que pase en el eje y;
esto es, cuando la gráfica es repetitiva en el tiempo, “es fácil” de predecir. Sin
embargo, también notan que si el comportamiento repetitivo del eje x ocurre
simultáneamente con un comportamiento repetitivo en el eje y, el método de
predicción es mucho más simple. Esta distinción hace que el considerar el
comportamiento de la función constante como similar o no a las otras, sea una
132
cuestión a consensar y no que sea totalmente excluída como lo fue en la primer
clasificación de este equipo.
Ejemplo 3. Mario, profesor de matemáticas y estudiante de Maestría
De los agrupamientos hechos en 1, a la luz de la parte 2, vemos que no afecta que las
funciones sean continuas o no, así como tampoco afecta que las funciones sean acotadas
o no. De lo anterior puedo concluir que en todas las funciones marcadas como
periódicas pude predecir la posición del móvil en el segundo 231
Mario decide no cambiar sus primeras clasificaciones; sin embargo, pareciera que
ahora la propiedad periódica puede ser tan relevante como la continuidad-
discontinuidad.
133
Ejemplo 4. Enrique y Andrés, estudiantes de Maestría
Este equipo compara los procedimientos que siguieron para predecir en cada gráfica. Lo
que distinguen es cómo influye el comportamiento de cada eje en el tipo de
procedimiento que tuvieron que seguir. Así, se percatan de cuatro variaciones y deciden
que aquéllas en las que sólo hay que dividir el tiempo total entre el periodo y no hacer
134
nada después, son las periódicas. Es posible que su decisión de nombrar a este grupo
como las periódicas, esté influenciada por la presenc ia de la función seno –típicamente
periódica- en dicho grupo. Sin embargo, y aunque en su clasificación anterior ya
mencionaban la existencia de un periodo, ahora han extendido su criterio de
periodicidad a otra gráfica.
2.4 Secuencia 3
Análisis a priori
Al preguntar sobre cuáles de las gráficas anteriores son periódicas se espera que
recurran a la distinción entre el tipo de repetición que presenta cada una de ellas.
Es factible también que pidan hacer una distinción entre calificativos como
“oscilatorio”, “repetitivo” ,“periódico”. En este caso, habrá que hacer evidente
el nuevo escenario que se ha creado en el cual se cuenta con herramientas y
argumentos creados y consensados por dicho grupo. Por lo tanto, son capaces de
continuar generando argumentos consensando acerca de cualquier otro punto que
se requiera.
En cuanto a la función constante, la decisión de considerarla o no deberá
sujetarse al tipo de consenso alcanzado. Esto no caería en contradicción con la
estructura matemática pues ésta también presenta diferentes definiciones de
propiedad periódica en las que la función constante es o no considerada como
tal. Así, la creación de consensos se fundamenta en escenarios argumentativos
propios del grupo social que, sin ser conclusiones finales, sí reflejan diversos
grados de adhesión al mismo.
135
Puesta en escena
Una vez realizadas las secuencias 1 y 2 se pregunta acerca de cuáles gráficas son
periódicas. Fue común, como primer reacción, pedir al investigador o consensar
entre ellos una definición de periodicidad; o, al menos, quedar de acuerdo en
cuanto a las diferencias entre adjetivos parecidos como cíclico ó repetitivo.
Ejemplo 1. Martha, Ricardo y Andrés, estudiantes de Ingeniería
I: De los movimiento que vimos, díganme cuáles son periódicos
M: Pues todos
R: ¿Es lo mismo periódico que cíclico?
A: No, yo digo yo
R: Sí, yo también pienso que no
I: Pues entonces digamos qué es cíclico y qué es periódico
A: Un periodo es cuando la misma,...no sé como decirlo, la misma distancia…
Discuten acerca de ejemplos
M: Bueno, algo periódico o cíclico es que no tiene principio ni final
R: Pues sí: el día y la noche
A: O un círculo
M: Algo periódico yo diría que sería algo que empieza y a determinado tiempo vuelve
otra vez. Algo así tendría que pasar aquí.
Consensan acerca de dos maneras de caracterizar lo periódico
I: Entonces, lo periódico es cuando los tiempos son iguales y lo cíclico se repite pero…
R: no con la misma exactitud, ya sea de tiempo o distancia
136
M: O sea que el periodo está bien definido en tiempo y distancia, en cambio algo cíclico
va a pasar pero no al mismo tiempo
I: Intervalos de tiempo o las mismas distancias
Andrés no está de acuerdo en considerar a la función constante como
“periódica”
R: Habíamos dicho que las periódicas eran tiempos iguales y distancias iguales. Esta,
tiene tiempos iguales y distancias iguales y pasa lo mismo en la función constante. No
entiendo porqué dices que no.
A: Porque un periodo habla de movimiento y no hay movimiento. La gráfica se
empezaría a hacer cuando me empiezo a mover.
Posteriormente, después de que sus compañeros argumentan acercan del
comportamiento en el tiempo y en la distancia, Andrés concluye:
Un ciclo es una vuelta. Periodo me da la idea de tener tiempos iguales en distancias
iguales; es un movimiento repetitivo. Un ciclo nos da la idea de cuántas veces se repite
un periodo. Entonces el movimiento puede que esté aquí y se abra como quiera y si
llega de aquí a aquí, ya se cumplió un ciclo. Si es o no periódico es diferente. Ya si
cumple con la condición de tiempos iguales y distancias iguales es periódico.
Este equipo es un ejemplo de la importancia del consenso en contextos
interactivos. Una vez que habían distinguido el papel del comportamiento en
cada eje (tiempo y distancia) para determinar lo periódico, les era necesario
clarificar otros adjetivos como lo cíclico. Así, la resignificación de la
regularidad de un movimiento que favoreció la práctica de predicir brinda
nuevos argumentos para llegar a un consenso.
137
Ejemplo 2. Andrés y Enrique, estudiantes de maestría
Estos estudiantes le pusieron el adjetivo de “periódicas” al grupo formado por las
gráficas a,d,e una vez que terminaron de agrupar el resto. Y esto fue influído por
el tipo especial de procedimiento que siguieron al predecir.
Ejemplo 3. Edith, estudiante de maestría
Edith menciona que algo periódico es algo que se va haciendo a ciclos. Menciona que
un ciclo puede hacerse más chico o más grande y que puede haber ciclos y periodos de
tiempo y de distancia. La diferencia entre ambos se refiere a que en una gráfica
periódica los periodos o ciclos guardan una relación constante ya que no hay necesidad
de hacer otras otras para ubicar la posición del móvil.
Edith es otro ejemplo de la necesidad de consensar. Ella distingue el
comportamiento de cada eje por separado afirmando que hay periodos (o ciclos)
de tiempo y periodos (o ciclos) de distancia. Esto es una conclusión distinta a la
del equipo de Andrés (ejemplo 1) quienes consensan que un periodo está
formado por tiempo y distancia simultáneamente.
138
2.5 Análisis a posteriori
Nuestra hipótesis de investigación se refiere a la relación entre la predicción,
como práctica, y el aspecto periódico de las funciones. En la situación diseñada,
la predicción es el argumento que actúa como un detonante para reconstruir
significados acerca de la repetición regular de un movimiento. Entonces, a
través de la secuencias que integran la situación puede verse dicho argumento
global a través de argumentos y herramientas construídos y utilizados en el
contexto argumentativo. Las tablas 1 y 2 nos dan cuenta de ello.
Por otra parte, podemos analizar la reconstrucción de significados que la práctica
de predecir favorece por medio de una comparación entre las agrupaciones
realizadas antes y después de predecir. El tipo de características que son
sobresalientes en ambas forman criterios de agrupación que están influídas por
las actividades alrededor de la predicción realizada. Y el manejo que se realiza
de dichos criterios permite información acerca de cómo los significados acerca
de la repetición de un movimiento se reconstruyen. En la siguiente tabla,
presentamos un análisis condensado donde realizamos dicha comparación.
Primera clasificación Segunda clasificación
Observaciones
Yacir
? Continuas: a, b, c, f, g . Discontinuas: d, e, h. ? Imagen constante: d, e, g, h No lo tienen: a, b, c, e ? Una única expresión analítica : a, b, c, f, g. No pueden: d, e, h. ? Rango acotado: a, c, d, e, f, g. No están acotados: b, h ? Expresarse analíticamente mediante senos o cosenos: a, b, c, f.
Se puede predecir en:
a, b, d, e, g, h
No se puede en: c, f
Comportamiento
a trozos
Yacir es un ejemplo en el que manejaba adecuadamente lo periódico. Sin embargo, después de predecir, su esquema argumentativo se amplía al considerar el modo de predecir. A pesar de que, finalmente, en todas las gráficas se puede predecir, ella identifica como gráficas donde no se puede a aquéllas con comportamientos nada regulares. Posteriormente, entre los
139
Las que no: d, e, g, h.
comportamientos más regulares, puede hacer una distinción especificando un comportamiento totalmente repetitivo: “comportamiento a trozos”
Neemías
, Liliana
y Edgar
Discontinuas (cambios
bruscos en el movimiento):
d, e, h
La gráfica g es un caso a
parte.
Fáciles de predecir
(por los ciclos): a, b, d,
e, g, h
Difíciles de predecir:
c, f
Análisis similar
(contábamos los
intervalos de tiempo y
luego veíamos entre
qué y qué valor le
tocaba):
De manera inicial, este grupo de estudiantes identificaban periodicidad con cualquier tipo de regularidad. La segunda clasificación permite identificar similitudes en cuanto al tipo de herramienta predictiva utilizada. El uso que le quieren dar a “ciclos” puede especificarse mejor de acuerdo al modo de predicción. El modo de agrupar a la función constante, queda sujeto a consenso. Para convencer, es utilizado el argumento acerca de la herramienta de predicción.
Mario Continuas: a, b, c, f, g. Discontinuas: d, e, h. Acotadas: a, c, d, e, g. No acotadas: b, f, h. Periódicas: a, d, e, g. No periódicas: b, c, f, h.
Gráficas en las que se
puede predecir:
a,d,e,g
Mario identifica desde el principio las gráficas periódicas y éstas son las únicas en las que, establece, se puede predecir. Dado que Mario sí realizó predicciones en gráficas no periódicas, creemos que el criterio de “sí se puede predecir” es más bien equivalente a utilizar la misma herramienta al predecir en las cuatro; un modo de predecir en el que sólo se va multiplicando la unidad de análisis (representada a través de sus expresiones analíticas y los intervalos de definiciòn)
Estudiantes
de maestría
Discontinuas: d, h
Tienen periodo y repetitivas:
a, e
Se alejan: b , f, h
Ondas senoidales: a, b, c, f
En cuanto al
procedimiento de
predicción:
a) Se divide el tiempo
total entre el periodo y
se ajusta el residuo: a,
d, e
b) Se divide el tiempo
El procedimiento de predicción hace que distingan entre el comportamiento que se presenta en el tiempo y el comportamiento que se presenta en la distancia. Esas similitudes son las que hacen las categorías de agrupación. Bajo esta idea de procedimiento, la función constante no está considera.
140
total entre el periodo,
se ajusta el residuo y se
ajusta distancia: b, h
c) Se ajusta el tiempo
pero no en la distancia:
c
d) Ajuste en el tiempo
y en la distancias: f
Sin embargo, cuando este grupo de estudiantes interactuó con otros, aceptaron que la función constante pudiera formar parte del primer grupo pues el procedimiento de predicción es similar o, al menos, más parecido que los otros.
Las clasificaciones después de la actividad de predecir pueden ser de tres tipos:
Tipo a. Se establece el periodo mínimo de repetición o unidad fundamental y se
reproduce, o multiplica, tantas veces como sea necesario. O, se divide el tiempo
pedido entre la unidad fundamental y se ajusta el residuo. Este es el caso en el
que decimos que hay repetición regular en el tiempo y en la distancia (es decir,
distancia acotada)
Tipo b. Hay una repetición regular en el tiempo, por lo que se puede proceder de
manera similar a la anterior. Pero, además, hay que hacer ajustes dependiendo
del comportamiento de la distancia. Hay repetición de tiempo, pero no de
distancia (distancia no acotada)
Tipo c. Se puede dar un tipo de predicción pues el rango se mantiene constante,
pero hay que hacer ajustes en el comportamiento del tiempo (o, simplemente, no
hay repetición en el tiempo) Hay repetición en la distancia (distancia acotada)
pero no hay repetición regular en el tiempo.
Tomando en cuenta estas clasificaciones de tipo de repetición, las gráficas
quedan de la siguiente manera (figura 4. 11). La función constante, bajo estos
argumentos, coincide con el primer tipo categoría.
141
Creemos que características como la forma de repetición del comportamiento de
la gráfica de una función, es un argumento significativo que se moviliza dentro
de la actividad de predecir. La confrontación entre las clasificaciones antes y
después de predecir, plantea un escenario especial para la discusión acerca de la
definición de periodicidad, uno en el que se cuenta con argumentos y
herramientas extraídos de actividades intencionales que brindan contexto al
conocimiento matemático.
Figura 4.11
Al discutir acerca de la propiedad periódica de las funciones, en la tercer
secuencia, la reconstrucción de signficados acerca de la repetición de un
movimiento se utiliza como un argumento para lograr consensos. Por ello, los
c. Regularidad en distancia
a. Regularidad en tiempo y distancia
b. Regularidad en tiempo
Función constante
142
argumentos que se ponen en juego distinguen entre el tipo de regularidad que se
tiene en el eje x de la que se presenta en el eje y, distinción que en un principio
no parecía importante. Esto es lo que brinda un escenario en el que pueden
percibirse significados reconstruidos acerca de la regularidad de un movimiento.
Un consenso tiene diferentes grados de adhesión, por lo que no se puede
considerar como conclusión final ni única o universal y es un reflejo a su vez, de
los significados que se reconstruyeron. Por ejemplo, un consenso que establece
que las gráficas periódicas son las del primer tipo, es factible que esté
influenciado por el conocimiento previo de los participantes al identificar a la
gráfica a como una función senoidal típicamente periódica. Y, por lo tanto, el
grupo en el que quedó esta gráfica, será el de las periódicas. Pero ahora puede
añadirse la resignificación acerca de la regularidad de un movimiento: otras
gráficas, a pesar de ser senoidales, no presentan el mismo tipo de repetición que
la gráfica a, y, en consecuencia, no pertenecen a este grupo y no pueden ser
catalogadas como periódicas. Simultáneamente, otras gráficas que no son
senoidales sí pueden ser catalogadas como periódicas porque su tipo de
repetición es similar.
El carácter argumentativo de la reconstrucción de significados también se refleja
en el caso de la función constante. Esta función no representa movimiento, como
los otros casos, por lo que ha habido ocasiones en que esa es la razón por la que
no se le considera periódica. Así como la definición de periodicidad tiene que
adaptarse para tomar en cuenta o no a la función constante según fines
didácticos específicos, la situación que hemos presentado puede dar evidencia
de cómo en ambientes argumentativos, los grupos humanos consensan acerca de
particularidades como el caso de considerar o no como periódica a la función
constante. Y para ello, se utilizan herramientas y argumentos que han sido
reconstruidos en un escenario centrado alrededor de la actividad de predecir.
143
3. Epistemología revisada
La socioepistemología puede ser percibida en dos planos. Por un lado, es la
visión teórica para abordar los fenómenos didácticos, la cual consiste en asumir
que las prácticas sociales son las generadoras del conocimiento al seno de los
grupos humanos. Pero también lo socioepistemológico es aquella epistemología
que tiene como tarea modelar las prácticas sociales que den cuenta de contenidos
matemáticos específicos (Domínguez, 2003).
Hemos propuesto una socioepistemología de lo periódico que habla de una
relación entre lo periódico y las prácticas de predecir. Con base en esa relación,
presentamos una situación en la que la predicción es un argumento global que
favorece la reconstrucción de los significados acerca de la repetición de un
movimiento y, en consecuencia, puede también resignificarse lo periódico.
Esta resignificación no es establecer un significado nuevo en un contexto
determinado para luego buscar otro que resignifique lo ya significado. Sino es la
construcción del conocimiento mismo en la organización del grupo humano y
normado por aspectos de carácter institucional y cultural. En todo caso, la
resignificación es el uso del conocimiento en la situación donde se debate entre
su función y su forma de acorde con lo que organiza el grupo humano
(Domínguez, 2003).
Retomando los elementos propuestos por Cordero (2001) (significados,
procedimientos, procesos-objetos, argumentos) para articular las dimensiones de
la socioepistemología, podemos analizar lo que sucede con la situación en
contextos interactivos.
144
En las secuencias que conforman la situación, los significados del estudiante que
entran en juego son acerca de la repetición presente en el comportamiento de una
gráfica. Estos significados no suelen contemplar una distinción entre el
comportamiento del eje x y el comportamiento del eje y. Podemos
caracterizarlos a través de la argumentación sobre la primera agrupación que se
realizó en la secuencia uno en la que los criterios se refieren más a características
como continuidad-discontinuidad o el uso del adjetivo “repetitivo” para referirse
a algunas de las gráficas.
Al predecir, lo que significa una gráfica repetitiva genera determinados
procedimientos en los que básicamente existe una búsqueda de una unidad
fundamental para comparar estados futuros con el estado presente, pero dado el
tipo de regularidad que presenta el comportamiento, tendrá que realizar ajustes
que le permitan ir multiplicando dicha unidad. Dependen de los significados ya
que, por ejemplo, si lo periódico o repetitivo no era una característica relevante
antes de la actividad de predecir, es común utilizar procedimientos que permitan
“ver” alguna unidad de análisis que permita predecir comportamientos. Hemos
identificado que a través de los procedimientos se percibe cierta privilegiación de
contextos de tal modo que se pueden catalogar en tres categorías: analíticos,
como el uso de expresiones algebraicas; visuales, que se basan
fundamentalmente en el manejo de la gráfica; y aritméticos, como las que
utilizan tabulaciones.
La reconstrucción de significados va influyendo en el entendimiento acerca de lo
que es un proceso periódico. Una gráfica puede generarse a través de un proceso
periódico, irse repitiendo; pero el resultado puede no ser periódico ya que
depende de cómo se repitió. De esta manera, el objeto periódico adquiere una
nueva significación al seno de prácticas predictivas. Y también las diferentes
concepciones acerca de la gráfica de una función influyen y son influenciadas
por los elementos anteriores.
145
La predicción es lo que permite una confrontación entre los diferentes
significados de repetición y posibilita la construcción de la noción de
periodicidad, a través de una resignificación de la forma y tipo de repetición de
la gráfica de un movimiento. Esa resignificación se forma de significados y
procedimientos construidos en la situación que, finalmente, conforman un
esquema explicativo global. Identificamos dicho esquema con la práctica de
predecir.
Así, la socioepistemología de la periodicidad que proponemos (figura 4.12) está
hecha de relaciones complejas que abarcan dimensiones epistemológicas,
cognitivas, didácticas y sociales en forma sistémica.
Esta socioepistemología nos habla ante todo del reconocimiento de las
matemáticas como una construcción social en la que el individuo que estudia
matemáticas tiene que ser percibido como parte de una comunidad en un sentido
cultural, social e histórico y realizando intencionalmente prácticas alrededor de
la construcción de su conocimiento. De ahí que al estudiar cómo se construye
conocimiento matemático, la socioepistemología realiza un estudio crítico, al
seno de los grupos sociales, para determinar su origen, su valor y alcance. Ese
conocimiento matemático no se percibe como algo fijo o preestablecido al cual
el individuo tenga que acceder, sino como el producto de un conjunto de
herramientas y argumentaciones que producen un conocimiento funcional e
interrelacionado. Para analizar, entonces, esta relación entre práctica y
conocimiento matemático en contextos interactivos se diseña una situación en la
que la práctica se convierte en el argumento: en el esquema argumentativo que
explica, a través de los significados, procedimientos y aspectos cognitivos, la
resignificación de lo periódico.
146
Figura 4.12
Grupos sociales
Prácticas sociales Predecir
Argumento La predicción
Significados, Procedimientos, Aspectos cognitivos Argumentos y Herramientas
Una socioepistemología de lo periódico
intencionalidad
Situación
didáctica
Capítulo 5
Comentarios finales
148
Al inicio de esta investigación mostramos varios problemas relacionados con el
aspecto periódico de las funciones en ambientes escolares. Entre ellos, el poco
significado de la definición formal de propiedad periódica y la asociación no
discriminada de esta propiedad con cualquier tipo de repetición que presente una
gráfica. Señalamos entonces el predominio de argumentos de corte analítico ante
la falta de un marco de referencia suficientemente rico que permitiera distinguir
entre fenómenos y gráficas repetitivas de aquéllos que son periódicos.
Una característica fundamental que hemos señalado acerca del sistema didáctico
del nivel superior, en el que hemos centrado nuestro trabajo, se refiere al hecho
de que la matemática escolar está al servicio de otros dominios científicos y de
otras prácticas de referencia. Es de estos dos aspectos, de donde la matemática
adquiere sentido y significación. En particular, hemos sostenido que la práctica
de predicción, asociada tradicionalmente a un dominio físico, está asociada con
la resignificación del aspecto periódico de las funciones.
Dimos cuenta de esta relación epistemológica predicción-periodicidad a través de
una revisión del estado del arte y un análisis epistemológico histórico sobre la
periodicidad en el contexto de las funciones. Esto último permitió entender cómo
el surgimiento del saber se da a la luz de paradigmas que norman las prácticas de
los grupos humanos. Así, el aspecto periódico de las funciones se reconoce por
la necesidad contemporánea de sistematizar el análisis de movimientos en el que
las prácticas de predicción juegan un papel predominante.
Esas revisiones que presentamos señalan una idea central que sostuvimos a lo
largo de la investigación y es que la construcción de conocimiento matemático se
nutre del pensamiento físico. A partir de ella se marcó como eje de discusión,
elementos como el comportamiento de la gráfica de una función que, en general,
no es una categoría definida en textos de matemáticas, sino que se refiere más al
tipo de recursos que se utilizan para hablar de ciertas propiedades matemáticas.
También se mostraron otros elementos como la necesidad de una visión global y
149
la búsqueda de una unidad de análisis que funcione bajo una dialéctica local-
global para que lo periódico de una gráfica fuera relevante. Todo lo anterior,
junto con la predicción como una práctica que detona la aparición de dichos
elementos, conformó la socioepistemología de lo periódico que hemos propuesto.
Otro aspecto del objetivo de nuestra investigación era dar cuenta del ingreso de
esta epistemología de prácticas al sistema didáctico a través de una situación. En
ella, la práctica de predicción es el argumento que explica cómo se resignifica lo
periódico al seno de contextos interactivos. La puesta en escena de esta situación,
nos permitió dar cuenta de los significados y procedimientos que van formando
el esquema explicativo de la situación.
En el transcurso de la investigación se vislumbraron diversos aspectos sobre los
que vale la pena ahondar ya que fortalecerían la socioepistemología propuesta.
Así, a manera de conclusión, incluimos un primer apartado que aborda
precisamente perspectivas de la investigación. Éstas se refieren a un análisis de
los procedimientos de predicción, a la distinción entre periodicidad algebraica y
periodicidad geométrica y a la importancia del reconocimiento de patrones.
En un segundo apartado, hablaremos acerca de la contribución de esta
investigación a la Matemática Educativa la cual se centra principalmente en
romper el paradigma de centrarse en objetos matemáticos, para reconocer a las
prácticas socialmente compartidas como la fuente de resignificación del saber
matemático. Esto formula una plataforma en la que el propio significado de lo
que es aprender se modifica.
150
1. Perspectivas de la investigación
1.1 Acerca de los procedimientos de predicción
La predicción es el argumento de la situación que hemos presentado. Para
explicar lo que sucede con la situación en contextos interactivos, nos referimos,
entre otras cosas, a los procedimientos de predicción que se usan. La relevancia
de los procedimientos no recae en sí mismos; esto es, no es la posesión o
carenc ia de alguno de ellos lo que nos explique su relación con la resignificación
de lo periódico, sino es su uso en el marco de una situación que propone a la
predicción como una práctica intencional.
Creemos, entonces, que estos procedimientos son dependientes del contexto
sociocultural pues además de reflejar y ser influidos por los significados de cada
individuo que se ponen en juego y reconstruirlos en el contexto mismo de la
actividad, son privilegiados unos sobre otros. Nuestra investigación ha dado
algunas pautas acerca de ello en el sentido de que hemos establecido que todos se
basan en la búsqueda de una unidad de análisis, llamada periodo, que se utiliza
manteniendo una dialéctica de comparación instante-todo; pero pueden también
identificarse tres categorías generales que se refieren a procedimientos de corte
analítico, visual o aritmético. Una profundización en el estudio de los
procedimientos predictivos que incluya las relaciones con los significados
situacionales influyentes en su privilegiació n, permitiría agregar elementos
valiosos a la socioepistemología propuesta.
151
1.2 Patrones de repetición y su reconocimiento
Los significados que se ponen en juego es otro elemento del que nos valimos
para explicar lo que sucede con la situación en contextos interactivos. En el
transcurso de la puesta en escena se hallaron significados ligados al
reconocimiento de patrones de comportamiento de la gráfica de una función. En
particular, señalamos la importancia de distinguir el comportamiento en cada uno
de los ejes de la representación gráfica por medio de la identificación del patrón
de comportamiento presente en ellos. Esto es relevante ya que ambos patrones
son los que constituyen la unidad de análisis y de ellos dependerán los
procedimientos predictivos que se utilicen. Así pues, el análisis de los patrones
de repetición y su reconocimiento enriquecería la socioepistemología de lo
periódico que hemos propuesto.
1.3 Periodicidad algebraica y periodicidad geométrica
Esta es una distinción señalada por la revisión epistemológica de la periodicidad
funcional que realizamos y se refiere a la posib ilidad de tener dos tipos de
funciones periódicas: aquéllas que, digamos nacen periódicas y aquéllas que se
hacen periódicas. Es decir, es fundamentalmente distinto que una función,
definida a través de una sola expresión analítica, sea periódica comparada con
que una función originalmente no periódica en su dominio, sea reconstruida y
definida por trozos para que lo sea; este procedimiento es lo que actualmente se
conoce como “extensión periódica”. Este distinción causó, en su momento, una
controversia que influyó fuertemente y por mucho tiempo en la solución del
problema de la cuerda vibrante. Creemos, en consecuencia, que es un aspecto
sobre el que debería ahondarse.
152
2. Acerca de la Socioepistemología Nuestra investigación ha propuesto una epistemología sui generis del aspecto
periódico de las funciones ya que partimos de considerar que la generación de
conocimiento matemático se da en la interacción con otros dominios incluyendo
el contexto socio-histórico-cultural en el que se sitúa. Esto admite que el
conocimiento se resignifica al paso de nuestra vivencia institucional.
Las prácticas socialmente compartidas, y no los objetos matemáticos, son las que
abren la ruta para relacionar dichos dominios. De ahí que la socioepistemología
que hemos propuesto acerca de lo periódico señale aspectos que tienen que ver
más con las prácticas sociales en las que se involucra el individuo y menos con
aspectos exclusivamente analíticos de la periodicidad. Estamos hablando de
cómo la construcción de conocimiento matemático puede asociarse con
elementos que tradicionalmente quedan fuera de la estructura matemática.
Prácticas como la predicción parecieran pertenecer a un dominio científico
distinto –y muchas veces lejano- de la matemática y aunque su importancia sea
reconocida en el estudio de fenómenos de cambio, no suele ser así en el estudio
de tópicos perteneciente a la estructura matemática que domina en los sistemas
didácticos.
Nuestra investigación se fundamentó, entonces, en reconocer la importancia de
las prácticas en la generación de conocimiento matemático, dotando a éste y a la
epistemología propuesta, de un carácter social. Esta nueva base de entendimiento
exige su ingreso al sistema didáctico y para ello diseñamos una situación en la
predicción juega el papel de argumento al ser una idea germinal de la noción de
periodicidad. La relación entre la predicción y la periodicidad se cristaliza en la
resignificación de gráficas repetitivas planteando un escenario en el que lo
periódico resulta significativo.
153
Así, hemos propuesto una socioepistemología del aspecto periódico de las
funciones que modela las prácticas sociales para que éstas den cuenta de
contenidos matemáticos específicos.
La Socioepistemología como nuestra visión teórica, nos ha permitido la
articulación de componentes esenciales en la construcción del conocimiento
como son la social y la epistemológica ya que asume que las prácticas sociales
son las generadoras del conocimiento al seno de los grupos humanos.
Proponemos, entonces, que las prácticas sociales sean los objetos primarios de la
teorizaciones de la Matemática Educativa.
En ese marco, hemos hablado de la predicción como una actividad de carácter
intencional y social. Esto es, prácticas que se construyen y validan socialmente a
partir de vivencias cotidianas partiendo de terrenos no necesariamente o
exclusivamente matemáticos. La relación epistemológica de estas prácticas con
conceptos matemáticos provoca que éstos no puedan ser percibidos como
objetos fijos y preestablecidos, sino como pertenecientes a escenarios
interactivos y argumentativos. De esta manera, la enseñanza de la matemática
deja de ser un problema de generación de habilidades para convertirse en uno de
argumentaciones y consensos.
En términos globales, podemos situar a nuestra investigación dentro de un
programa mayor que busca, entre otras cosas, hallar categorías del conocimiento
que vertebren el contenido matemático dándole así un verdadero carácter
funcional al mismo. Para ello, dichas categorías deberán basarse no en objetos
matemáticos, sino en las prácticas asociadas y serán la base de la reorganización
de la obra matemática; una reorganización tal que genere condiciones en las
cuales sea posible recrear prácticas sociales intencionales al seno de los sistemas
didácticos dejando de lado la enseñanza de conceptos descontextualizados o
aislados entre sí.
154
Nuestra investigación ha propuesto una situación para el aspecto periódico de las
funciones que ejemplifica el tipo de reorganización de la obra matemática que
buscamos. Su diseño se basa en la relación epistemológica predicción-
periodicidad y muestra cómo la repetición de la gráfica de una función puede
resignificarse, a través de prácticas de predicción, para que lo periódico adquiera
a su vez, una mayor significación. Este diseño de situación abre un eje didáctico
para la periodicidad en el que la construcción del conocimiento se explica a
través de la resignificación y forma parte de una fundamentación para proponer a
las prácticas sociales como el eje reorganizador de la obra matemática.
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Anexos
162
Anexo 1 La situación: La predicción y lo periódico SECUENCIA 1
1. Suponga que un sensor está registrando el comportamiento de un cuerpo durante un determinado tiempo. Describa en cada caso cómo se está moviendo el cuerpo para que el sensor dibuje las siguientes gráficas a) b) c) d)
2 6 4 8 10 12 2 6 4 8 10 12
2
3
1 tiempo
distancia
2
4
tiempo
distancia 6
2 6 4 8 10 12 tiempo
2 3
1
distancia
2 3
1
distancia
2 6 4 8 10 12 tiempo
163
e) f) g) h) 2. Agrupe las gráficas anteriores de acuerdo a semejanzas y diferencias SECUENCIA 2
1. Prediga cuál será la posición del móvil en el segundo 231. Argumente su predicción lo mas ampliamente posible. 2. Agrupe las gráficas anteriores de acuerdo a semejanzas y diferencias. SECUENCIA 3
1. ¿Cuáles de las gráficas anteriores son periódicas?
2 3
1
distancia
2 6 4 8 10 12 tiempo
2
4
2 6 4 8 10 12 tiempo
distancia
2
4
2 6 4 8 10 12 tiempo
distancia
2 3
1
distancia
2 6 4 8 10 12 tiempo
4
Anexo 2
164
Anexo 2
Transcripción de una experiencia
I: Investigador
L: Liliana
N: Neemías
E: Edgar
I: En Chiapas, en octubre, vamos a empezar nuestra secuencia. Estábamos platicando
que tenemos a una persona que se está moviendo; vamos a dejar en general, un objeto
que se está moviendo, ustedes decidan qué. Ya me platicaron que esta recta
horizontal es la persona parada porque..., ¿qué me dijeron?
L: La distancia es la misma
L, N: mientras que el tiempo transcurre
I: La distancia es la misma mientras el tiempo trascurre y estamos analizando esa que
ya está en el pizarrón. Por ahí alguien dijo es una senoidal o algo así por el estilo pero
la pregunta sigue sin contestarse. De hecho estamos empezando en desorden, porque
ésta es la grafica número uno precisamente, entonces la pregunta es ¿Cómo se
movería el objeto para que registrara esta grafica? Esa grafica senoidal en un registro
tiempo- distancia.
N: Este..., lo que estábamos platicando ahorita, lo que primero hace es caminar cierta
distancia hacia adelante y luego volver a caminar hacia atrás para llegar al mismo
punto y regresar una distancia negativa.
I: A ver, ¿lo vas dibujando?
N: ¿con la misma gráfica?
I: Sí
N: Lo que hace es caminar una distancia hacia delante, pero luego vuelve a retroceder
hacia atrás hasta volver a llegar al mismo punto de inicio, o sea al punto de origen.
Anexo 2
165
Para volver a caminar una distancia negativa hacia atrás, y volver a detenerse otra vez
y volver a caminar hacia delante y volver los puntos de inicio y completar ciclos.
I: Completar ciclos. Ok. ¿Cómo ven ustedes?. A ver, antes de continuar ahora si ya
vamos a formalizar, ¿cómo te llamas?
N: Neemías Vázquez
I: ¿Cómo?
N: Neemías Vázquez
I: Tu vas en quinto
N: sexto
I: ¿Tú?
L: Liliana
I: Eres de segundo
L: Tercero, ¿y?
E: Edgar
I: Edgar de segundo
E: Tercero
I: Ah, de tercero.
I: Ok, si porque es que si no nos ubicamos ¿Cómo ven? ¿Están de acuerdo con lo que
dijo Neemías? Edgar no te veo muy convencido
E: Sí este..., es un señor que va caminando, pero al llegar a un cierto tiempo
retrocede una distancia y de todas maneras hace un cierto tiempo y luego vuelve a
avanzar y es lo que da el tiempo, tiempo, igual al que avanza.
I: En un tiempo igual al que avanza, ok, bien, ahora les pongo otra. Secuencia uno,
situación uno. ¿Cómo sería el movimiento del objeto para que la gráfica que
obtuviera yo, es la gráfica dos?
N: Bueno lo que entiendo, es que sería similar a la que vimos anteriormente, pero la
tabla que sube, subiría a cierta distancia pero lo que bajaría sería un poco menor que
lo que subió anteriormente. Igualmente vuelve a ascender otra distancia y
posteriormente desciende por una distancia menor que la anterior y así para conservar
esas ondas ascendentes, y si las ondas fueran iguales sería igual a la anterior, a esta
grafica.
Anexo 2
166
I: ¿A que te refieres con iguales?
N: Este..., que tendría una distancia máxima pero iguales para todas y en éstas tendría
las éstas máximas pero seguirían aumentando por cada ciclo.
I: Ok, la distancia sigue aumentando por cada ciclo.
L: Aquí en esta gráfica la distancia aumenta, conforme pasa el tiempo va aumentando
la distancia pero con rapidez diferente.
I: ¿Por qué con rapidez diferente?
L: Por los ciclos.
E: Yo pienso que abarca un tiempo cero a una altura determinada y se va moviendo a
una distancia pero su velocidad va acelerando cada vez más.
I: ¿Por qué va acelerando? A ver, muéstrame donde va acelerando.
E: Acá, las ondas son más grandes.
I: De hecho, a ver sigue mostrando.
L,N: Son iguales los ciclos.
I: Son iguales los ciclos, es un poco lo que Neemías decía, son iguales los ciclos pero
¿Cómo dijiste? Cada ciclo…
N: En cada ciclo se va aumentando más la distancia, pero el ciclo a una distancia en
cada ciclo es mucho mayor que la anterior, cada una es mucho mayor que la anterior.
I: Pero, ¿a qué te refieres con mayor?
N: O sea, la distancia es mucho mayor, que la otra, ésta es mayor que ésta y así
sucesivamente, y lo que desciende es mucho menor también que lo que desciende
anteriormente.
I: O sea, ¿qué descienden más?
N: No, desciende menos, que descendió anteriormente y hasta hay un incremento
constante.
I: ¿A eso te referías, Edgar, cuando decías que las ondas iban aumentando?
E: Sí, de la altura
I: Ok, bien ¿Liliana que nos dices?
L: Que va aumentando su distancia, pero como dice Neemías que de una forma
constante.
I:. Sí estoy de acuerdo contigo que va aumentando, ok, bien, inciso C. Neemías.
Anexo 2
167
N: Este..., bueno, estas ondas, comienza una cierta partícula un movimiento en un
tiempo cero arranca, hace un movimiento también a una distancia en un tiempo dos y
este..., vuelve a moverse a un tiempo cuatro. Lo que trato de interpretar es que va a
venir una aceleración en sus movimientos, en el intervalo de tiempo que realiza los
movimientos es mucho más pequeño, o sea hay una aceleración en la partícula de
este móvil en este movimiento.
I: A ver, entonces, tu justificas que ese tiempo, dices es mucho más pequeño, eso
quiere decir, que la aceleración es mayor, o sea, que la partícula iba más rápida.
N: Sí. La partícula se va acelerando, es lo que el tiempo en que realiza esa onda se va
haciendo mucho menor conforme va transcurriendo el tiempo.
I: Edgar, Liliana ¿qué piensan?
L: Aquí inicia en un tiempo cero a una distancia de dos, de dos metros puede ser,
conforme se ven los ciclos la rapidez va aumentando y la distancia es la misma.
I: Neemías, ¿estás de acuerdo con eso? Es algo similar, digo , fíjate, Liliana dijo
“conforme se ven los ciclos el tiempo va aumentando”. Bueno y una cosa importante,
que nos hizo notar Liliana es que las distancias siempre son las mismas y otra cosa
que dijo Neemías importante, cada vez mas va más rápido porque el tiempo va cada
vez mas acortándose, o sea, conforme se ven los ciclos pero no así y así ¿Qué más?
¿Algo más que quieran agregar en la C? Bueno inciso D.
N: Estas gráficas son más o menos,.. Sería si yo estuviera parado y luego de repente
me doy un brinco y camino una distancia por la discontinuidad de la gráfica y luego
vuelvo a dar otro brinco y quedar en la misma posición, por lo mismo de la
discont inuidad de las líneas, sí hay movimientos, pero movimientos bruscos.
I: A ver, hay movimientos o movimientos bruscos es como si yo estuviera parado y
de repente salto, y ustedes ¿qué piensan? Ya hicieron su equipo, ¿verdad? ¿Qué
piensan? ¿Edgar? ¿Liliana? O ¿están de acuerdo con Neemías?
E: Pues se va moviendo en el tiempo cero al tiempo dos. La distancia es la misma
pero como a partir del tiempo dos hace, como dijo Neemías, que se para y hace un
movimiento brusco pero la altura, con la distancia vuelve a ser la misma, es
constante.
I: A ver, la distancia vuelve a ser la misma que la distancia…
Anexo 2
168
N: No. Es diferente pero en todo el tiempo dos al tiempo cuatro la distancia es
constante. Y también del tiempo cuatro al seis se observa que la altura disminuye y
que vuelve a caminar otra vez y salto al cuatro.
I: Ok y después de que salto al cuatro, decía Neemías que salta al dos o qué pasa
después del tiempo cuatro ¿Qué pasa después? ¿Qué pasa después de que saltó?, O
sea estoy aquí, salto acá y luego qué pasa.
L: Vuelve a regresar a la rapidez que lleva del tiempo cero al tiempo dos.
I: ¿Por qué rapidez?
L: Es como se mueve una persona
I: A ver, ahí ya tanto Edgar como Neemías nos habían dicho , tu también lo habías
dicho, que aquí estaba parado. Aquí no. Estoy parado y salto.
L: Aquí en este intervalo está parada la persona y pasa el tiempo.
I: Acá, y luego, ¿Qué pasa Neemías?
N: Luego salta hasta esta distancia cuatro. Se hubiera parado unos dos segundos más
y vuelve a regresar, es como
E: si saltara de un escalón hacia otro
N: y luego volviera a saltar del escalón de arriba.
I: A ver, hay dos puntos interesantes: que son escalones, pisa un escalón, otro escalón
y luego dices, regresa.
E: Al escalón inicial.
I: Liliana ¿Qué piensas?
L: Sí, bueno, yo entiendo así como dice Edgar que está en escalones y están por
ejemplo, pasa un tiempo y después brinca al siguiente escalón, pasa otro tiempo y
regresa al escalón inicial y así.
I: Ok, muy bien ¿estamos de acuerdo? La E
E: Esta gráfica es parecida a la del inciso D, la diferencia está en que acá los
movimientos no son bruscos sino que se van dando proporcionales. Para que camine
dos metros tiene que dilatar dos segundos, luego permanece parado un tiempo y
luego hace un movimiento brusco otra vez, se regresa a la misma posición y vuelve a
repetir el ciclo, camina un poco a una velocidad constante y se detiene y vuelve a
darse un brinco hacia atrás hacia la posición que estaba actualmente.
Anexo 2
169
I: Ok,¿qué opinan? Liliana.
L: Este..., aquí la persona está parada, camina en un tiempo de dos segundos, después
se para dos segundos, vuelve a regresar a la posición inicial, vuelve a caminar y se
vuelve a parar.
I: Eso fue lo dijiste, ¿no, Neemías?, ¿Más o menos están de acuerdo?
E: Es una persona que va caminando luego se para un determinado tiempo de
segundos, luego vuelve a regresar a la posición inicial y vuelve a caminar y se vuelve
a parar.
I: Ok, inciso F. ¿Qué hiciste Edgar, que fue ese rayón?
E: Comparando las distancias.
I: Estás comparando las distancias y Liliana dijo no, ¿Qué significó?
L: No es constante.
I: Primera observación interesante: que las distancias no son las mismas, no son
constantes.
E: Es un objeto que experimenta cambios de velocidad.
I: Cambios de velocidad.
E: Porque del tiempo cero al tiempo dos, en el tiempo cero la distancia es diferente a
la del tiempo dos. Se podría decir que es mayor y durante el tiempo dos al cuatro la
velocidad aumenta porque recorre una distancia mayor.
I: Recorre una distancia mayor en el mismo lapso ¿verdad? Del cero al dos y del dos
al cuatro ok, y luego…
E: Y luego aumenta... disminución de velocidad.
I: A ver ¿lo que disminuye es la velocidad o qué disminuye? ¿porque va para abajo?
E: Porque va desacelerando.
I: Porque está desacelerando ¿Qué opinas Neemías?
N: Yo digo que se va acelerando porque las distancias recorridas son mayores y los
tiempos parecen que se van reduciendo.
I: Parece que los tiempos se van reduciendo. A ver ahí hay otra cosa, pero antes había
dicho Edgar que va para abajo porque la velocidad va disminuyendo ¿Por eso va para
abajo? ¿Qué piensan? En la uno, ¿qué significaba que la gráfica fuera para abajo?
N: Que las velocidades... se va desacelerando.
Anexo 2
170
I: Pero ustedes me dijeron que este regreso era porque regresaba en la distancia,
ustedes me dijeron algo así como que aquí iba y venía, ¿es lo que me quieres decir
ahora?.
N: Sí, eso es, acá esto parecía similar a esto pero la única diferencia es que las
distancias van aumentando. Las distancias que recorren hacia arriba es mayor que la
anterior y también van recorriendo, se vuelve a regresar, se pasa de largo y vuelve a
regresar hacia atrás pero a una cierta distancia y vuelve a subir una distancia mayor
que la anterior. Se hace más grande, acá el ciclo irá aumentando su distancia tanta la
positiva como la negativa.
I: A ver y ahora tú, ¿qué piensas de eso?
L: Sí, estoy de acuerdo con Neemías pero sí hay un aumento de distancia, aumenta la
distancia pero…
I: Pero, ¿ qué?
L: Con diferente intervalo de tiempo
I: ¿Con diferentes intervalos de tiempo?
N: Estos intervalos son iguales
I: No sé, tu di.
N: Yo los veo iguales.
I: Neemías los ve iguales ¿ustedes como los ven?
E, L: Sí, son iguales.
I: ¿Cómo lo decidiste Liliana? A ver explíquenme ¿a qué se refieren con intervalos de
tiempo?
N: Son los intervalos de las ondas desde que hace su cambio de la onda de pico a
pico.
I: De pico a pico
N: De este pico a éste, donde comienza a cambiar de distancia, donde se vuelve a
regresar.
I: ¿Esos son los picos?
E: En un intervalo de tiempo, son los segundos que pasan desde que inició su
movimiento a un tiempo x que estamos observando el comportamiento del cuerpo.
I: Cómo decía Neemías, ¿hasta donde se regresa?
Anexo 2
171
E: No es, ¿hasta dónde se regresa?
I: Sí, lo que pasa es que Neemías decía que es como de pico a pico lo que
representaba.
N: Un intervalo de una onda.
I: De donde voy
L: un ciclo
I: y me regreso, y voy y vengo es lo que representaba ese ciclo, ese intervalo de
tiempo ¿ustedes lo están diciendo? ¿Es lo que tú quieres decir o es otra cosa Edgar?
E: Sí.
I: Y por eso dice Liliana ciclos, ok ¿Qué es un ciclo Liliana? ¿Qué representa un
ciclo ahí?
L: Un ciclo,..., es lo mismo que hace en diferente tiempo.
I: Ok, Neemías había hecho una observación de las distancias, ustedes no han dicho
nada de las distancias.
L: Sí, dependiendo de los ciclos conforme pasa el tiempo las distancias son mayores.
N: Cuando las distancias son mayores y los intervalos de tiempo son iguales en cada
onda, para recorrer mayor distancia necesito hacerlo mucho más rápido para lograr
ese aumento en la distancia en menos periodo de tiempo. Tendría que ir acelerando.
I: Mayor distancia ¿estás incluyendo tanto la cuando voy?
N: y la de regreso
I: ¿Cómo cuando la que regreso?
N: Sí
I: ¿O solamente voy cada vez mas lejos?
N: Voy cada vez más lejos y regreso cada vez más lejos
E: Avanza mas y retrocede.
I: Ah, muy bien, estoy de acuerdo ¿ustedes están de acuerdo?
L: Sí
I: Bien inciso G. Ah, si ya me la habían dicho.
N: Sí, ya se la habíamos dicho.
I: ¿Me lo recuerdan?
N: Es una posición de una persona en reposo.
Anexo 2
172
I: Ok y ¿la H?.
N: Son movimientos en reposo, como decía el compañero, como si subiera el
escalón, subo un escalón me detengo y repentinamente subo el otro y así
sucesivamente.
I: ¿Y qué diferencia hay con la primera escalera?
L, E: Que regresaba a la anterior y aquí va subiendo, se detiene un tiempo, sube.
I: Muy bien, ¿están de acuerdo?
N: Sí.
I: Ok. Segunda pregunta, es en base a esa, ¿Cómo agruparían de acuerdo, a estas
gráficas, semejanzas y diferencias?
E: ¿Los agrupamos acá?
I: En tu hoja, donde quieras
I: ¿Cómo agruparían de acuerdo a semejanzas y diferencias?
L: En la grafica B y la gráfica H son semejantes porque es en el mismo tiempo.
I: En los mismos tiempos… A ver Neemías ¿Qué propones?
N: Pues yo haría los grupos
I: A ver
N: En la primera sería la D, la E y la H
I: D, E y la H. ¿Por qué?
N: En la primera, en este grupo por lo que lo hice fue porque para ver, está en la
posición moviéndose se hace cierta distancia, pero en esas distancias hay
movimientos bruscos y hace discontinuidades en las curvas. En esas tres hay
discontinuidades y en los otros grupos, los movimientos son, las ondas son continuas
todas, en todo el movimiento, toda la gráfica hay movimiento, no hay reposo a
excepción de…
I: A ver, entonces propone Neemías que son la D, E y H y luego por la otra parte A,
B, C y la F ( Neemías va repitiendo la agrupación) y ¿la G también?
N: No, la G no y la F.
I: ¿la F no?
N: La F está en esa, con ésta
I: Esa, con esa y con ésta
Anexo 2
173
N: Y las demás quedan todas juntas
I: Ah, o sea la F, o sea A, B, C, F y G ¿la G la ponemos ahí? Neemías dice que sí
¿Por qué?
L: No, porque aquí sería, que está parada la persona, la distancia es constante y en las
otras pues es diferente la distancia.
N: Sería un caso particular de la D, con la H. Sí, sí, tienen razón.
I: Entonces, ¿la sacamos de ahí?
N: Sí
I: ¿Sería con el otro grupo?
L: No, sería sola.
N: (asiente) Sola
I: ¿Sola?
E: Sola, sería como mover del tiempo cero al tiempo dos; está parada la persona.
I: Ok ¿Alguna otra sugerencia de agrupación? Si quieren. Podríamos ver algún...
N: otro criterio
I: ajá, eso, algún otro criterio.
N: Sería poner la B, la F y la H.
I: B, F y H ¿Por qué?
N: Sería porque las distancias con respecto al tiempo, al avanzar el tiempo, las
distancias son mucho mayores, van aumentando, en todas van aumentando. Sería que
hay un movimiento en las distancias y a la vez las distancias son mucho mayores para
cada uno y para las demás. La distancia, aunque vuelva a subir, se regresa al mismo
lugar pero la distancia recorrida máxima es igual que la anterior.
I: A ver, ¿cómo ven? Dice Neemías que él va a agrupar por gráficas cuyas distancias
cambien, entonces cada vez son mayores contra las que guardan relación entre la
distancia
L: constantes
I: Digámosle una palabra, distancia constante. Neemías decía que la distancia
máxima es igual, las distancias máximas son iguales y las distancias mínimas son
iguales o dice Liliana “llamémosle distancias constantes” y ¿la G la dejamos ahí? Les
pregunto la G porque hace rato me la sacaron.
Anexo 2
174
L: Podría ser otro grupo que estuviera la C, E y G porque las distancias son
constantes en las tres en diferentes tiempo.
I: ¿No es lo que me habías dicho hace rato?
E: Sí, la G
I: A ver, habían estado sugiriendo que sea B, F y H y eso porque las distanc ias van
aumentando y A, C, D, E, G, bueno la G es la constante, pero por el argumento que
va a estar dando aquí. Neemías dijo que las distancias máximos son iguales y las
distancias mínimas son iguales, Liliana le había llamado a eso distancias constantes.
Ahora mi pregunta es: ¿la G la dejamos o no?
E: La G en el segundo grupo
I: La G iría en el segundo grupo ¿Por qué?
E: La distancia siempre es la misma en cualquier tiempo, pues ahí la distancia es la
misma.
N: Sería un caso especial porque, la distancia se va conservando todo el tiempo
porque acá las distancias máximas se hacen mínimas acá de este lado hay una única
distancia.
I: ¿Le cabría esa definición siendo un poco flexibles?
N: La distancia mínima podría ser cero, y la distancia máxima podría ser distancia de
tiempo.
I: O sea, lo que estás queriendo decir es que no podemos hablar de máximos o
mínimos, o hablamos de máximos o hablamos de puros mínimos pero seguiría
cumpliéndose el patrón entonces.
N: Sí.
I: ¿Alguna otra alternativa para explicar? Entonces, ¿dejamos la G en este grupo?
N: ¿No podemos meterlo en el tercer grupo?
I: ¿Pero en base a qué categoría, a qué criterio? Oigan, ¿y la A?
N: La A está dentro de ese grupo.
I: Es que no la habían dicho, ah, no, sí.
N: Bueno, yo lo veo como un caso partícula, de un caso especial.
I: Del grupo dos.
N: Del grupo dos.
Anexo 2
175
I: Sí, pero como grupo dos, pero…
L: Caso especial.
N: Siendo un poco tolerante con esta gráfica.
I: ¿La ponemos?
N: Sí
I: Aquí, estamos de acuerdo que está adentro pero como un caso especial siendo de
alguna manera tolerante pero nos gusta que esté aquí, es decir no la sacan de plano ni
me la pone en el primero.
N: No.
I: ¿No, eso no? Ok, muy bien. Vamos con la tercera pregunta vamos a suponer que
ahora les pregunto, ¿cuál sería la posición del móvil en el segundo 231? En cada caso
díganme, la persona que se estuvo moviendo, ¿cómo se movería o donde estaría en el
tiempo 231?
N: En el inciso A estaría a una distancia comprendida entre 1 y 3 y de ahí no se puede
salir.
I: Dice Neemías que entre 1 y 3 ¿Cómo ven ustedes?
E: Si, ahí estaría a punto de volver a retroceder a la distancia inicial, en el tiempo...
I: A ver. Entonces tú estás siendo un poco más preciso. Más o menos por donde
estaría dices, sería a punto de retroceder...
E: Estaría un poco retrocediendo a la distancia inicial.
I: ¿O sea, como en el dos, me estás queriendo decir?
E: Como en el dos.
I: ¿Y cómo decidiste que como en el dos?
E: Hice una escala en el que cada un segundo iba a subir de 1 a 100.
I: de 1 a 100
E: Cada segundo es un…
I: Porqué no nos explicas, ya no entendimos, yo no le entendí, explícanos.
(Ruidos donde se oye que están trabajando con el tiempo 231)
Anexo 2
176
I: A ver, ahorita nos estás dibujando la gráfica tal cual, Neemías está con su
calculadora y Liliana ¿qué estás haciendo?
L: Estoy analizando la pregunta con respecto a la gráfica A
E: Un segundo dura...Es una comparación que en un segundo iba a tener un
comportamiento, en el segundo 2 iba a tener un comportamiento en el segundo 231.
I: Es como regresando, ¿Cómo ven? Dice Edgar que un segundo equivale a 100 dos
segundos equivale a 200, tres segundos equivale a 300 y por otro 231 va estar
despuecito del tres mas o menos, después del tres bajando hacia el dos, ¿Cómo ven?
E: Como es un ciclo, por eso comparé que en el segundo va a tener un
comportamiento.
I: Como es un ciclo. Él justifica esa asociación porque son ciclos.
N: No estoy tan de acuerdo
I: Neemías no está de acuerdo ¿Por qué?
N: La escala está realizando…¿acá son segundos?
I: O minutos como te acomodes mas, como de acomodes. De hecho yo puse 231
segundos creo.
N: ¿Sería algo muy exacto decir a qué distancia estaría?
L: En el dos está...
N: En el tiempo 231...
L: Pero, ¿dónde dices tu, en tu gráfica, que en el dos está en la posición del móvil?,
..., ah, ya te entendí.
I: ¿Cómo ven?
E: Yo lo pondría continuando la curva.
L: Este ciclo es constante.
E: Sí, es constante. Se puede determinar.
L: Está diciendo Edgar que aquí sería 100 segundos 200,231, pues estaría más o
menos aquí el móvil.
E: Yo también, midiendo las ondas para ver qué tiempo hay en cada una y haciendo
cálculos hasta el tiempo 231
Anexo 2
177
I: Tenemos una hora más para trabajar. A ver, allá Edgar nos dio su idea y dice que
estaría bajando apenas. Ok. A ver ahora Neemías si nos convence más o
no....Neemías, compártenos, a lo mejor te ayudamos.
N: Yo lo que quería era medir esto, el intervalo de la onda y hacer un cálculo y
encontrar la forma.
I: Medir el intervalo de la onda.
N: Cómo éstas miden iguales... y más o menos encontrar el tiempo 231, saber más o
menos dónde quedó, y esta onda se va a repetir muchas veces pero si yo llego,..., la
onda llego acá.
I: ¿Cómo ven la idea?. Hazla en el pizarrón para que te sigamos todos. ¿Pueden
ayudar a Neemías?
(Ruidos donde se mencionan números: 6, 8)
N: Debo de encontrar cuántos de estos intervalos puedo ocupar para encontrar el 231,
cuántos de éstos necesito para encontrar el 231.
I: Luego dice que una vez que le digan ustedes cuánto vale esa delta t lo que va a
hacer es decir cuántos de esos intervalos debe completar.
L: Hasta llegar a 231. ¿En el dos? ¿Dónde dices tu que va a estar en la gráfica?
I: Exactamente, ¿a cuánto va a ser? ¿ A 6?
Ruidos.
L: (expresa disconformidad)
I: ¿Por qué no te convence Liliana?
L: No es a 6 el delta t.
I: ¿Cuánto es?
L: Es diferente. Bueno...
I: ¿Será 8?
L: Si divido 231...
Anexo 2
178
E: Lo que pasa es que si observamos bien en la gráfica, este mismo comportamiento
lo va a tener el tiempo 100.
Ruidos
I: Puede llegar hasta el 61. En eso, ¿sí estamos de acuerdo? ¿Y luego?
N: Va a ser lo mismo...
E: El comportamiento que va a tener del tiempo 200 al 600 va a ser este mismo.
I: Aquí yo veo algo. Tú me estas diciendo que éste es 200, 300, 400, 500, 600... Esta
fue tu argumentación pero a él no le convence.
N: Yo lo estoy midiendo como 2,4, 6.
L: Hasta 231.
N: Ajá.
L: Pero como habíamos dicho que era constante va a ser el mismo ciclo que hay en
231 que hay aquí.
I: A ver si es cierto, vamos a encontrar lo mismo. Dice, se propone que hay intervalos
de tiempo 231. ¿Qué haces? ¿Divides? ¿231 entre 8?
N: Encuentro más o menos cuántas veces delta t puedo alcanzar 231. Más o menos
son, digo, no me va a dar exacto, pero me va a dar la cantidad en fracción y esa
fracción de onda es lo que....
N: Esa fraccioncita de onda me va a dar la distancia que quiero.
I: A ver, hazlo.
Realizan operaciones
N: Serían 228... más siete segundos,...hay que sumarle....
E: Comienza acá a partir de acá, entonces debo de encontrar 7 segundos de aquí
para acá. Aquí sería menos 2, ¿verdad? Sería 7 segundos, 2, 4,6,7, son más o menos
en 1.
Anexo 2
179
N: Yo lo que hice fue completar. Estas ondas completan 231 segundos, pero 28 ondas
en 28 segundos. Son 224 segundos, con esos 7 me dan
I. 231
N: me dan 231. Lo que hago es a partir de acá comenzar a contar los 7 segundos,
sería 2,4,6,7 estaría a un metro de distancia, ¿sí le entendieron lo que hice?
I: ¿Cómo ven? ¿qué piensan? Aquí hay algo grave porque no fue lo mismo, ¿cuál es
el bueno o cuál el malo? A Liliana, te toca decidirlo.
L: Yo me voy por lo que dice él, porque es constante el ciclo, esa mi explicación.
I: Y ahí, ¿no?
L: No le entendí
I: ¡Otra explicación!,
N:Aquí lo veo yo es 231 seg. Es una extrapolación de la curva yo lo que hago es
contar cada onda y nos que 8 seg. Entonces vamos a ver cuanto de estos 1,2,3,4 le
hace falta segundos para completar los 232 que necesito, entonces hago operaciones
y digo que 28 ondas y 28 seg. Me dan 224 seg. Lo que falta para los 231 son 7 seg.
para calcularlo, para romper la curva. Luego seguí esta línea central hasta el número
2 a partir de acá que comienza la onda empiezo a contar 7 segundos. Sería. 2,4,6 y 7
seg. Y ya más o menos calculo qué distancia ha recorrido
I: ¿Cómo ves Liliana? Bueno, a ver cual es la buena ¿a ti no te convence ésta? ¿No sé
si ustedes se sientan convencidos de ésta? O porque a ti no te convence la de Edgar.
Dio algo distinto, entonces debe de haber ahí algo extraño, ¿no? En alguna de las dos
¿Qué piensan? Neemías lo que propone es analizarlo como por esos ciclos de hecho
es lo que Liliana siempre ha dicho ciclos y Edgar que empieza a hacer es por escalas.
Que cada punto valga 100, aunque ahí cada punto vale 1, ahí es donde se deben
preguntarse lo mismo que cada punto valga 1 y que cada punto valga 100. Esa es una
primera pregunta. Hay que aclarar es, y otra pregunta es puedo o no puedo tomar
como ciclos si es algo que Liliana había sugerido o está mal esos ciclos o qué, porqué
no dio lo mismo; ese es el problema, ¿cómo ven? Neemías ¿porqué no te gusta la de
Edgar?
N: Cree que debería de conservar las escalas ahí donde está. Las escalas son cientos
de segundos y aquí también serían, o deberían ser cientos de metros.
Anexo 2
180
I: Si tomas cientos de metros, ¿a qué equivale 2?
N: Él lo que está haciendo en su análisis de él, es que las variaciones en ese pedacito
que tomas de tiempo pues únicamente hay 2 variaciones, nunca, no se generaliza
tanto la curva.
I: A ver. Edgar ve lo que dice Nemías, ¿que estás generalizando demasiado la curva?
N: Está tomando nada más este pedazo de acá para acá, entonces tomas esta variación
de aquí. Hasta acá nunca toma todas las variaciones que existen en la curva nada mas
tomas un pedacito de un segundo y varía de aquí para acá. Deberías de analizar un
poco más y tomar encuentra todas las variaciones del tiempo.
I: Liliana, tiene mucho en la cabeza pero no nos dice.
E: Yo pienso que generalicé mucho y lo que yo pienso que el error...ya entendí que el
error en el tiempo 1 tengo comportamientos en el tiempo 10, o en el tiempo 20 y a lo
mejor no se dieron cuenta de que el comportamiento del tiempo estaba acá.
I: entonces sí estaba bien Neemies, que nada más estabas tomando un cacho y ese
cacho estaba dando de vueltas
I: Bueno. Liliana
L: El tomó todos los ciclos, los deltas, hasta el 231 y después ¿cómo le hiciste para
saber...? ¿ multiplicaste 28 por 8?
N: 28 por 8
L: Es el número de ondas por el intervalo de tiempo.
I: Y te falta 7 segundos. Entonces contó otra vez desde el inicio del periodo contó...
N: 7
I: 7 y le caen en el uno ¿cómo ven? No, en el uno, en el 5,
I,N: en el 1,2,4,6,7, ah, perdón en el 1 de distancia ¿Cómo ves Liliana?
L: El analizó toda la gráfica. Creo que sí esta bien tu análisis, porque analizaste toda
la gráfica tomando en cuenta que para cada tiempo son diferentes incrementos, para
cada tiempo es diferente la distancia.
I: Bueno. ¿Edgar?
E: Si, analicé mal la gráfica.
I: ¿Estás de acuerdo?.
Anexo 2
181
E: Sí.
I: Inciso B. Predecir en el siguiente inciso B. ¿Qué pasa en el tiempo 231 en la
gráfica B, ¿qué podrían hacer?
I. ¿Qué hacen? Cuenténme.
N: Lo que podemos hacer es..., se ve se ve que la tendencia es crecer, o que hay o
existen las ondas y se comportan más o menos en forma lineal.
I: Se comportan en forma lineal.
N: Más o menos, relativamente, lo que puedo hacer es ajustar una curva a una línea
recta a estas ondas y circular hasta el tiempo 231.
I: Neemías sugiere ajustarle una línea recta. ¿Ustedes están diciendo otra cosa? ¿Qué
están haciendo ustedes? A ver cuenténme ¿Qué piensas Edgar?
E: Estoy viendo los ciclos.
I: ¿Qué le estás viendo a los ciclos?
E: Cómo se mueven, el comportamiento, cómo se mueve la persona
I. ¿Cómo se mueven?
I: Ya habían dicho que la distancia va aumentando cada ciclo va aumentando la
distancia, en el tiempo 231 en dónde debía de estar.
E: Debía de estar a una distancia mayor.
I: Ese es el comentario que me daba Neemías al principio, y decía va a estar entre 1 y
3, y ahora va a ser una distancia mayor a la que empezó. Bueno, digo eso, es algo
¿no?.
I: ¿Qué había?
N: Una distancia 87.
I: ¿87? ¿Cómo la sacaste?
N: De una curva más o menos tomé como referencia el punto más bajo de la curva, y
el punto más bajo de la otra curva y ya con éste, ya más o menos calculo los puntos.
Este es 11 coma 5...
I: Explícalo en el pizarrón para que ellos también lo escuchen. Neemías está
explicando de ajustarle una recta. Él dice que los dos puntos de abajo, ¿los une con
una línea recta?
Anexo 2
182
N: Sí
I: Ya ajustó la línea.
N: Yo lo tomé de acá. Tome los puntos de abajo como facilidad, se puede ver en
otros....
I: Bueno, y ¿cómo le hiciste?
Ruidos
I: No importa, si quieres nada más pon los puntos que necesitaste
N. Acá encontré este punto, o sea cero coma cinco
I: ¿Están de acuerdo ustedes?
N: Es el primero y el último. Primero éste y luego éste otro, más o menos en once
coma cinco y el otro está en 3...coma 2
I: 5 coma 11 y tres coma 2
N: Quiero tomar estos de acá pero no se ven tan bien; sería más exacto tomar los del
centro
I: ¿Cómo ven? ¿Sí? Ok. ¿Luego?
N: ...donde está la curva, los puntos pasan por la recta esa es la extrapolación hasta
donde está el punto 231
I. ¿Y cómo haces eso
N: ¿Conocer la recta? Con la ecuación de una línea recta
L y N: Y menos Y1 igual a M, X menos X1
N: M es igual a Y2 menos Y1
L: Y2 menos Y1 entre X2 menos....
Ruidos. Haciendo cálculos...
I: A ver M fue un medio y luego Y1 y X1 los tomas como, ah, ya entendí como un
punto. Ya entendí.
E: Es 5 menos 2.
L: Arriba, 5 menos 2.
Anexo 2
183
Neemías sigue haciendo cálculos
I: Ya tiene la ecuación de la recta que estás sacando ¿Cómo ven, sí les late?
N: Ya encontrando la ecuación de la recta entonces ya evalúo cuando Y es igual al
tiempo o Y es igual a 231 y así encontrar a X y así me da la distancia Y.
I: ¿Cómo ven?
E: La distancia al punto iba a ser un poco más bajo.
N: Puede ser cualquier punto pero sería más exacto tomar los de en medio, pero casi
no se ve en el dibujo. Para facilidad tomé el de abajo para conservar la misma
pendiente.
E. Ah
I: ¿Edgar qué estas pensando?¿Sí te convenció?, ¿Liliana?
L: Sí, 231 es X
I. Sí. La respuesta es si X es igual a 231
N: Sí, éste es el tiempo y ésta es la distancia.
L: Y teniendo el tiempo encuentras la distancia que sería la altura.
N: Sí.
I: ¿Cómo ven? ¿Si están de acuerdo? La C ¿Qué ven en la C?¿Qué harían en la C?
N: Está más difícil
I: ¿Porqué esta más difícil?.
N: Porque ya no está fácil de predecir.
I: Y no está fácil de predecir, ¿porqué?
N: Porque la aceleración va aumentando y el intervalo de tiempo va disminuyendo en
cada onda.
Voces: Y recorre más distancia
I: Y recorre más distancia. No. Ustedes me habían dicho que recorría siempre la
misma distancia.
L. más tiempo
N: Recorre la misma distancia pero en menor tiempo.
Anexo 2
184
I: Recorre la misma distancia pero en menor tiempo y eso ¿se les hace muy difícil de
predecir?
N: Tendría que conocer con qué rapidez se van haciendo más pequeñas las ondas.
I: Saber con qué rapidez se van haciendo más pequeñas las ondas y ¿ustedes qué
piensan? A ver, Liliana. Yo vi que pusiste un dibujito, ¿qué significa eso?
L: Que conforme pasa el tiempo, va a ser más rápido y va llegar el momento en que
se va a ser un punto.
I: Pero ¿ no me habías dicho que las distancias se mantienen iguales?
L: Ah, sí
E: Lo que ella dice es que va a recorrer las mismas distancias a menos tiempo y lo
va a ser a una velocidad tal que va a llegar a hacer un punto.
I: ¿Por qué? ¿qué está pasando? ¿Porqué se atoran tanto? ¿Qué tanto piensan?
N: Que encontrando la forma de cómo llegar a ese tiempo 231.
I: ¿Cómo podrían llegar a ese tiempo 231? ¿Qué están pensando? ¿Porque la ven tan
feo?.
N: Yo diría que ya no es tan fácil
I: ¿Por qué así de plano, por qué?
L: Porque en el tiempo 231, como se ve en la gráfica, la partícula iría muy rápido.
N: Ya habrían transcurrido, no sé, muchísimas de esas ondas, tal vez un número
grande grande.
I: En un segundo, muchísimas ondas incluso, bueno. OK. ¿ En la D?
I: Cuéntenme qué hacen. No oigo, no me entero.
N: Es que primero lo encontramos y luego le decimos
I: No, pues yo quiero saber qué están haciendo. Edgar lo veo haciendo restas, no,
divisiones A ver, Edgar qué significan esas divisiones
E: Viendo cuántos ciclos van a ver, hubieran cuando llega el tiempo 231
I: Ciclos de cuántos
E. de dos segundos
I: De dos
N: No son ciclos de dos.
I: ¿No son ciclos de 2? Neemías dice que no son ciclos de dos.
Anexo 2
185
E: Pues sí, pasan 2 segundos que transcurre se para y luego salta al otro escalón, se
para y en 2 segundos vuelve a bajar.
I: Y tú, Neemías, ¿porqué dices que no son ciclos de dos?
N: Porque comienza en el tiempo cero, está en reposo y luego se vuelve en el
segundo 2, se cambia al 4 y vuelve a regresar. Hasta el cuarto segundo regresa en la
misma posición original y permanece ahí hasta el seies, o sea que ya no, en los dos
segundos sería el tiempo de reposo.
I: OK, dos segundos son tiempo de reposo eso ya me lo habían dicho. Liliana, ¿qué
piensas? Ojo, estoy viendo que estás cayendo en el mismo error que Edgar al
principio ¿Qué piensas?
N: Más o menos llego a la solución, va estar en una distancia 2. Son 231 segundos. Si
comienzo a contar llego a una distancia de 230. Diríamos que está a...
L: Estaría en la distancia 2.
I: ¿Cómo supiste Liliana?
L: Como los tiempos son iguales, a una escala de 2 en 2, cuando esté en 200, va a
estar aquí. Cuando esté en 220 va a estar aquí y cuando esté en 231 estaría estar aquí.
I: ¿Cuánto? 200, 220
L: 220.
I: ¿Porqué? Ah ¿por estos?
L: Sí.
N: Pero cambia lo mismo que en lo anterior en la escala. Yo lo que hago es ver que
cada ciclo de 10 o a cada 10 segundos los movimientos van en periodos iguales.
Entonces en 230 sería como partir de cero otra vez
I: ¿En 230 ya regresó a cero digamos?
N: Regresó a lo mismo, son ciclos de 10
I: 10, 20, 30, 40, 50……
N: Hasta llegar a 230.
I: ¿230 equivale a cero?
N: Al cero, vuelvo a contar en segundo o más y está en la posición 231.
I: ¿Cómo ven?
E: Porque empezaste desde...
Anexo 2
186
I: Y va contando de 10 en 10 o sea 210, 10, 20, 30, 40, 50, 100, 200, 210, 220, y 230.
N: Sí.
I: Entonces 231 está en 2
N: Sí, está en 2.
I: Es lo que dice Neemías ¿Tú que dices?
E: Cero, ¿qué que significa?
N: Tiempo cero. Yo parte de que en el tiempo 10 va a regresar al mismo lugar. Va de
10 en 10 hasta 230 y haga de cuenta que está en cero. Caminas uno más, un segundo
más y llegas a una distancia 2.
I: ¿Estás de acuerdo?
E: Sí. Porque si contamos del punto cero al tiempo dos este ....
L: Es que está viendo que los ciclos del 0 al 10 son iguales todos. Entonces hasta 230
va a ser lo mismo y 231 pues ya estaría en esta posición. Aquí en 2 y como la
distancia es 2.
I: Bueno entonces en la E.¿ Qué piensan en el inciso E?
N: Algo similiar al anterior
L: En tu análisis anterior quedaría...¿en el dos?
I: ¿En el 2? ¿Neemías?
N: No sé cómo...
I: ¿Por qué dices que es el mismo análisis?
L: Por que...
N: No, porque ya no tomaría de 10 en 10.
I: ¿Ya no tomarías de 10 en 10?
N: Ya no.
I: ¿Por qué ya no?
L: de 12 en 12
N: Porque podrían ser de 12 en 12 o de 4 en 4 o de 8 en 8
I: De 4 en 4, de 8 en 8 y de 12 en 12 ¿Cual tomamos?
N. el 4
I: ¿de 4 en 4?
N: Sería mejor
Anexo 2
187
L: Es lo mismo que tomarlos de 2 en 2
N: de 2 en 2 ya no porque.....
E: es que de 4 en 4 ya no tienen el mismo comportamiento.
N:¿ de 4 en 4?
E: Y a partir del 1,2 está en reposo.
I: Sí , por eso dijo que de 4 en 4.
N: De 4 en 4 porque esos ciclos, esos mismo ciclos del cero al cuatro es igual que del
cuatro al ocho.
I: Sí, por eso cuando Liliana dijo de dos en dos, él dijo “No”, ¿pero de cuatro en
cuatro sí?
N: Sí.
I: A ver, ¿entonces? ¿Qué estamos haciendo? 4,8,12,...
N: Serían 57
I: Síguele, eso lo vas a hacer, dice Neemías 57 veces.
N. 57 veces...
I: Sí, lo vas a hacer 57 veces ¿ exactas? o ¿ cómo?
N: Sí 57 veces, más sus 3 segundos.
E,I: 57 veces más 3 segundos.
E: Estaría a una distancia de 3
N: Sí.
I: ¿Estaría arriba?
N: Sí, a una distancia de 3, un reposo a 3.
I: ¿Cómo ven?
E: Sí
I: Es más fácil de captarle bien, ¿tú si le captaste de inmediato verdad?. Liliana no
dice nada, ¿cómo ves?
L: Sí, lo tomamos de 4 en 4 sería 57 veces más punto75 que sería...
I: Pero punto 75 ¿de qué?
N: punto75 de esto, ¿ no?
I: ah, pues sí. Punto75 de eso
Anexo 2
188
N: Sería una fracción del ciclo. Sería tres punto setenta y cinco, sería.. y como son
cuatro... tres cuartos de cuatro
I: tres cuartos de cuatro
N,L: de cuatro.
N: Serían los tres segundos.
I: Ah, Ok, ¿sí?. Bien, F
Quejas
I: ¿Qué? Ahí luego, luego caras feas, ¿por qué? ¿Por qué esa cara tan fea?
N: Está muy difícil también.
I: ¿Porqué esta tan difícil?
L: porque va cambiando o las distancias ....
N: porque hay crecimientos de distancias
I: Bueno, esa está muy difícil. Nos la saltamos. La G
Risas
N: ¿La G? Está en cuatro
I: O sea, que después de la dificilísima, la regalada. ¿En dónde va a estar en 231?
L,N,E: en la cuatro
I: La H.
N: Esa está en...
I: Cuéntame Edgar
E: Avanza un metro
I: Avanza un metro
E: por cada dos segundos
I: Avanza un metro por cada dos segundos.
E: por cada dos segundos que pasa
I: por cada dos segundos avanza un metro. Ok. ¿Entonces?
N: Por cada dos...
Anexo 2
189
I: Edgar esta dividiendo en dos, ¿por qué? Ah, ¿porque en cada dos segundos avanza
un metro?
E: Sí.
I: ¿Qué haces Neemías? Yo nada mas veo que le picas y le picas a la calculadora...
N: Como dice Edgar, cada dos segundos avanza un metro, entonces si tenemos 231 y
ya nada mas divides entre dos y te da 115 punto 5
I: Te da 115 punto5 o sea, ¿va a estar en el 115 punto 5?
N: Sí
I: ¿A poco va a estar en el 115 punto 5? pero si no hay ningún punto cinco..
N: Ah sí, sí, sí
I: Ó sea o está en el uno o esta en dos, o en el tres, o esta en el cuatro, o en el cinco,
¿no?
N: Si ¿verdad? Está en el 115
I: Va a estar en el 115 ¿y ese punto cinco?
N: Sí es que es en el 230
I: ¿en el 230?
N: es en el que comienza
L: Sí
N: porque, y tarda dos segundos, estaría en el 230 y231 y ahí en el 232 salta para
abajo
I: Ah, entonces, dice Liliana, que está en medio
L: Sí
I: En el 115, en medio.
L: Sí
N: Está en la distancia 115
I: Pero en medio, lo que dice Liliana es que está...
N: Sí, sí, sí.
I: Es lo que dijo.
N: Si eso.
I: ¿Cómo ven? ¿Si?, Bueno y una última pregunta como ¿agruparían de acuerdo a
semejanzas y diferencias? Después de haber hecho esta última, estas predicciones en
Anexo 2
190
todas que me dijeron, que pasaría, ¿cómo agruparían de acuerdo a diferencias y
semejanzas? O mantendrían lo anterior
N: De acuerdo a la predicción que se puede hacer de un tiempo posterior, yo
clasificaría en un grupo la A, D, E, G, H de acuerdo a los ciclos que tienen éstas es
fácil de predecir, relativamente.
E, L: Y la B
I: Entonces, apunto: A,B,C,E,G,H porque son fáciles de predecir
N: Relativamente...
I: Bueno, pero pudimos. En cambio,…, ¿cuál falta?
L: C, F
N: No...
I: De plano, no pudieron. Entonces, fáciles y difíciles. Bueno, Neemías dijo “fáciles
relativamente”; entonces a lo mejor, dentro de las fáciles hubo unas más fáciles
E: Ah, sí
I: y otras menos fáciles. ¿A ver?
E: La B
N: La B requiere de un poco más de análisis
E, L: La A, la D
I: ¿El mismo tipo de análisis?
N, L: Bueno, no.
I: Bueno, todas requirieron algún análisis; en todas invirtieron tiempo. A lo mejor si
hubiéramos empezado con ésta, hubiera sido no tan fácil. Pero fue fácil porque ya
habían hecho ésta. Pero entonces, váyanse por el tipo de análisis que hicieron.
Algunas les salieron muy rápidas. ¿Por qué?
N: Porque ya las habíamos hecho. Su tipo de análisis es similar
I: ¿Cómo cuáles?
L, N: La D, E
I: D, E se parecen
E: La B y la H también se parecen
I: ¿La A?
E: A la D...
Anexo 2
191
I: A ver, ¿a qué nos vamos a referir con qué se parecen?
L: A su tipo de análisis
I: OK Entonces que su tipo de análisis es similar, porque si nos vamos a la primera
clasificación, ésta y éstas las habían puesto pero porque eran discontinuas, pero ahora
estamos viendo por tipo de análisis. Entonces me dijeron que el análisis de D y E es
similiar. El análisis de B y H es similar. ¿El análisis de A?
L: El análisis de A es diferente a los demás
I: ¿Diferente a los demás?
N: Es más o menos también a la D, el análisis que hicimos.
I: ¿Por qué?
N: Porque acá también contamos...
E: los intervalos
N: Los intervalos de tiempo
I: Sí es cierto, contaron los intervalos y luego, ¿qué hacían?
L: Sí
N: Más o menos, encontrar el tiempo en que iba a comenzar la onda y para poder
calcular dónde va terminar. Donde completáramos las ondas que completaran los
231.
I: O sea, que como que veían los, ¿qué?
L, N: los ciclos
I: Veían cómo se comportaban los ciclos y luego ya nada más le veían en dónde le
tocaba
L: Entre qué y qué
I: Entre qué y qué le tocaba a la onda. Entonces, ¿ la A la ponemos con ellas?
N, E: Sí
I: ¿Y a la G?
N: Esa pues ya nada más, es obvia
I: ¿No se parece a ninguna?
L: No
N: Esa a simple vista se ve el resultado, no necesita de análisis
E: Sería un caso particular...
Anexo 2
192
I: ¿La ponemos de las fáciles?
E: Yo sí creo que es un caso particular de las fáciles porque la distancia se mantiene
constante , si vemos un intervalo de tiempo, la distancia es constante. Sería un caso
particular de...
I: Tú ya me habías dicho algo similar en la otra; desde el principio. Que ésta era
analizar como ésta pero solamente en estos intervalos chiquitos. Por eso sería
parecido pero como un caso particular. ¿No?
E. (Asiente)
I: ¿Si?
N: ¿Cómo es? De acuerdo al análisis que hicimos, ésta tendría que formar parte de
otro
I: ¿Tu la sacas?
N: Pues sí, porque no se hizo ningún análisis. Únicamente se ve la gráfica
I: La ves
N: La veo y ya sé dónde está. Por lógica sé que va a estar a esa distancia
L: En cualquier tiempo siempre va a estar a una distancia de 4
E: Bueno, pero si también veo también este intervalo ya sé dónde está la partícula.
I: Sí, lo que pasa es que dice Egdar si la D la ves sólo de cero a dos; entonces sería
tan fácil como la G. Por eso ve que puedas identificar la G con la D. Sí es distinto,
pero él hace esa distinción. También sería válido si yo decido veo todo, sacarla de
nuestro análisis.