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Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP

Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação - FEEC

Luís Henrique Ferreira Cardoso de Mello

Um modelo para o potencial eletrostático deuma gotícula condutora eletricamentecarregada sobre um substrato isolante

Campinas

2018

Luís Henrique Ferreira Cardoso de Mello

Um modelo para o potencial eletrostático de umagotícula condutora eletricamente carregada sobre um

substrato isolante

Dissertação apresentada à Faculdade de En-genharia Elétrica e de Computação da Uni-versidade Estadual de Campinas como partedos requisitos exigidos para a obtenção dotítulo de Mestre em Engenharia Elétrica, naárea de Automação.

Orientador: César José Bonjuani Pagan

ESTE TRABALHO CORRESPONDE ÀVERSÃO FINAL DA DISSERTAÇÃO DE-FENDIDA PELO ALUNO Luís HenriqueFerreira Cardoso de Mello, E ORIENTADAPELO PROF. DR. César José Bonjuani Pa-gan.

Campinas2018

Agência(s) de fomento e no(s) de processos(s): CAPES, [s/n]

Ficha catalográficaUniversidade Estadual de Campinas

Biblioteca da Área de Engenharia e ArquiteturaRose Meire da Silva - CRB 8/5974

Mello, Luís Henrique Ferreira Cardoso de, 1984-M489m Um modelo para o potencial eletrostático de uma gotícula condutora eletricamentecarregada sobre um substrato isolante/ Luís Henrique Ferreira Cardoso de Mello. – Campinas,2018. 64 p. : il.(algumas color.); 30 cm.

Orientador: César José Bonjuani PaganDissertação (Mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia

Elétrica e de Computação

1. Gotículas (Física). 2. Equações diferenciais parciais. 3. Laplace, Equação de. 4. Ele-trostática. I. Pagan, César José Bonjuani, 1962-. II. Universidade Estadual de Campinas. III.Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação. IV. Título

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: A model for the electric potential of a charged conductive droplet over aninsulating substrate

Palavras-chave em inglês:

Droplets (Physics)

Partial Differential Equations

Laplace, Equation of

Electrostatics

Área de concentração: Engenharia Elétrica

Titulação: Mestre em Engenharia Elétrica

Banca examinadora:

César José Bonjuani Pagan [Orientador]

Maurício Antônio Algatti

Leandro Tiago Manera

Data de defesa: 07-12-2028

Programa de Pós-Graduação: Engenharia Elétrica

Um modelo para o potencial eletrostático de umagotícula condutora eletricamente carregada sobre um

substrato isolante

Campinas, 7 de dezembro de 2018.Banca examinadora:César José Bonjuani Pagan (Orientador)Maurício Antônio AlgattiLeandro Tiago Manera

Ata da defesa com as respectivas assinaturasdos membros encontra-se no SIGA/Sistemade Fluxo de Dissertação/Tese e na Secretariado Programa da Unidade.

Aos meus pais.

Agradecimentos

Em primeiro lugar é necessário agradecer aos profs. Afonso de Oliveira Alonsoe César José B. Pagan por não me deixarem desistir na graduação e na pós-graduação,respectivamente. Agradeço igualmente ao prof. Hugo Figueroa por apresentar o problemaque eventualmente se transformaria neste trabalho e, evidentemente, não poderia deixarde agradecer à CAPES pelo auxílio financeiro.

Por fim, agradeço à minha esposa Ingrid Catarine Pires que conheci à época em quea dissertação mal passava do capítulo 2. Obrigado - mas muito obrigado - por acreditar.

“Às vezes a ciência é mais arte que ciência, Morty”.(Rick Sanchez, Poção Rick #9)

ResumoEm muitos sistemas, o crescimento de materiais sintéticos - filmes finos em particular -depende de como o campo elétrico atrai ou repele os componentes químicos na vizinhança departículas condensadas, apesar de muito do que acontece no processo ainda é desconhecido.Para contribuir com esta análise, propomos um modelo analítico simplificado para ocampo e o potencial elétrico de uma gotícula condutora eletricamente carregada sobreum substrato isolante, imaginando-a como um esferoide oblato clivado horizontalmente auma certa altura do plano do substrato. Iniciamos com a solução da equação de Laplaceem coordenadas esferoidais para o problema do esferoide oblato no espaço livre, somadoà sua imagem dielétrica. Dada a clivagem do esferoide e a intersecção com sua imagem,compensamos o erro pela multiplicação dos termos da equação do potencial por coeficientescujos valores são ajustados pelo método dos mínimos quadrados frente aos resultadosdo mesmo problema quando resolvido via software de elementos finitos. Com base emsucessivas simulações e regressões não-lineares, o resultado é uma equação paramétricaprontamente utilizável para representar o campo e potencial elétricos nos arredores dagotícula - qualquer que seja seu tamanho e achatamento - e que descreve o potencial a umerro RMS menor que 3%, dado que não haja riscos de fenômenos de ruptura dielétrica.

Palavras-chave: gotícula. filmes finos. campo elétrico. potencial elétrico. equação deLaplace. coordenadas esferoidais oblatas. imagem dielétrica. método dos elementos finitos.ajuste por mínimos quadrados. equação paramétrica. modelo.

AbstractFor many systems, the growth of synthetic materials - fine films in particular - dependson how the electric field attracts or repels the chemical components in the vicinity ofcondensed particles, although much of what happens in the process is still unknown.To contribute with this analysis, we propose a simplified analytic model for the electricpotential of a charged conductive droplet on a dielectric substrate, picturing the dropletas an oblate spheroid horizontally cleaved at a certain distance from the substrate plane.We begin with the solution of the Laplace equation in spheroidal coordinates for theproblem of an oblate spheroid in free space, summed with its dielectric image. Given thecleavage of the spheroid and the intersection with its image, we compensate the error bymultiplying the potential equation terms by coefficients whose values are adjusted from aleast-squares fitting of the results of the same problem when solved with a finite elementmethod software simulation. Based on successives simulations and non-linear regressions,the result is a parametric equation that can be readily used to represent the electric fieldand potential in the droplet’s surroundings - whatever its size and flattening - whichdescribes the potential under a RMS error no worse than 3%, given no risks of dialectricrupture phenomena.

Keywords: droplet. fine films. electric field. electric potential. Laplace equation. oblatespheroidal coordinates. dielectric image. finite element method. least-squares fitting. para-metric equation. model.

Lista de ilustrações

Figura 1 – Catálise eletrostática da reação de Diels-Alder . . . . . . . . . . . . . . 18Figura 2 – Controle da velocidade da reação A + B k−−→ 2C . . . . . . . . . . . . 19Figura 3 – EACVD (Electric field Assisted Chemical Vapour Deposition) . . . . . 19Figura 4 – Grafeno por AlexanderAlUS/CC BY-SA 3.0 . . . . . . . . . . . . . . . 20Figura 5 – Borda de grãos por Daniele Pugliesi/CC BY-SA 3.0 . . . . . . . . . . . 21Figura 6 – Síntese de grafeno por CVD goticular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Figura 7 – Proposta de sensor fotônico de junção metal-grafeno . . . . . . . . . . 22Figura 8 – Corrente da junção metal-grafeno e luminosidade . . . . . . . . . . . . 22Figura 9 – Trabalho e campo elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Figura 10 – O problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Figura 11 – Coordenadas esferoidais oblatas (a = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Figura 12 – Soma e diferença das distâncias focais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Figura 13 – Volume infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Figura 14 – O método das imagens - carga puntiforme . . . . . . . . . . . . . . . . 35Figura 15 – A gotícula sobre o substrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Figura 16 – Modelo - representação matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Figura 17 – Simulação do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Figura 18 – Comparativo FEM vs. modelo p/ f = 0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 46Figura 19 – Comparativo FEM vs. modelo p/ f = 0.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 47Figura 20 – Comparativo FEM vs. modelo p/ f = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 48Figura 21 – Comparativo FEM vs. modelo p/ f = 0.7 . . . . . . . . . . . . . . . . 49Figura 22 – Comparativo FEM vs. modelo p/ f = 0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Lista de tabelas

Tabela 1 – Conjunto de parâmetros {A,B,C,D,E, F,G} . . . . . . . . . . . . . . 45

Lista de abreviaturas e siglas

CVD Chemical Vapour Deposition - deposição química em fase vapor

EACVD Electric field Assisted Chemical Vapour Deposition - deposição químicaem fase vapor assistida/auxiliada por campo elétrico

FEM Finite Element Method - método dos elementos finitos

ODE Ordinary Differential Equation - equação diferencial ordinária

RMS Root Mean Square - raiz da média dos quadrados

STM Scanning Tunneling Microscope - microscópio de tunelamento por var-redura

Lista de símbolos

A,B,C,D,E, F,G Parâmetros / α(h, f) e β(h, f)

a Distância focal

a0 Semieixo maior

b0 Semieixo menor

f Achatamento - f = 1− b0/a0

h Altura absoluta

h Altura normalizada - h = h/b0

P0 Coeficiente de ajuste para o potencial do elemento dipolo

Q0 Coeficiente de ajuste para o potencial do elemento monololo

αpol Polarizabilidade elétrica

α Coeficiente de ajuste para o termo potencial do esferoide

β Coeficiente de ajuste para o termo potencial do esferoide imagem

Γ Fronteira ou contorno para a solução da equação de Laplace

∆ Domínio ou região de interesse para a solução da equação de Laplace

εr Permissividade elétrica relativa

Z Parte separável da solução da equação de Laplace em coordenadasesferoidais correspondente à ζ

Ξ Parte separável da solução da equação de Laplace em coordenadasesferoidais correspondente à ξ

Φ Parte separável da solução da equação de Laplace em coordenadasesferoidais correspondente à φ

ζ Coordenada esferoidal / ζ constante → elipsoides oblatos

ξ Coordenada esferoidal / ξ constante → hiperbolóides de uma folha

φ Coordenada esferoidal / ângulo azimutal

λ Fator de amortecimento do algoritmode Gauss-Newton

ρ Coordenada cilíndrica - ρ2 = x2 + y2

χ Função trabalho

ψ Potencial eletrostático

∇ Operador Nabla

Sumário

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

I REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 17

1 PROCESSOS FÍSICO-QUÍMICOS E NANOTECNOLÓGICOS . . . 181.1 Catálise eletrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2 Grafeno e CVD goticular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

II OS MÉTODOS DE CÁLCULO DO CAMPO E DO PO-TENCIAL 23

2 O POTENCIAL ELETROSTÁTICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1 A equação de Laplace e o problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . 242.2 Coordenadas esferoidais oblatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3 A equação de Laplace em coordenadas esferoidais oblatas . . . . . . 282.3.1 O esferoide condutor eletricamente carregado . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.1.1 Prova de conceito: o disco condutor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4 A polarização do substrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS . . . . . . . . . . . . . 37

4 CONSTRUÇÃO DO MODELO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

III RESULTADOS E DISCUSSÃO 42

5 ANÁLISE NUMÉRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6 CONCLUSÃO E PRÓXIMOS PASSOS . . . . . . . . . . . . . . . . 51

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

ANEXOS 54

ANEXO A – IMPLEMENTAÇÃO DO MÉTODO DOS QUADRA-DOS EM PYTHON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

15

Introdução

Esta dissertação trata do cálculo do potencial eletrostático nas imediações de umagotícula condutora depositada sobre um material dielétrico, em abordagem analítica,através de simulações utilizando o software COMSOL e pelo estabelecimento de umaequação paramétrica. Nosso objetivo é contribuir com a simulação do crescimento de filmesfinos sobre substratos dielétricos, uma área de crescente interesse científico e tecnológico.

O campo no entorno de uma gotícula é obtido a partir do gradiente do potencialelétrico. Este produz uma força atrativa em qualquer molécula que esteja na região, tendoem vista que um campo elétrico E com gradiente não nulo produz uma força elétrica sobreum partícula com polarizabilidade αpol dada pela expressão:

F = ∇(p · E) = αpol∇(E · E) (1)

onde p = αpolE é o vetor de polarização de dipolo elétrico (STRATTON, 2007).

A maioria dos modelos de deposição de filmes não toma em conta o campo elétricocriado no entorno de uma gotícula depositada sobre o substrato, uma fase intermediária docrescimento. Simulações dirigem-se principalmente ao fluxo de partículas e è transferência decalor, relacionadas em geral com a geometria do reator (KLEIJN, 2005). Isto é perfeitamenterazoável caso considerarmos nula a carga eletrostática da gotícula. Entretanto, estudosrecentes têm mostrado (GALEMBECK; BURGO, 2017) que sistemas com balanço decargas fora do equilíbrio são mais comuns do que usualmente se suspeita. Este excesso decarga pode ser produzido pelas reações químicas que foram a gotícula ou pela captura decarga com moléculas do gás. De fato, na ausência de outros fatores como campos elétricosexternos, a presença de carga é condição suficiente para que a gotícula apresente umpotencial elétrico bem definido e induza carga de polarização na superfície do substrato.

A força produzida nas moléculas presentes no gás tenderá a trazer estas partículaspara regiões em que o campo apresenta maior gradiente, possibilitando prever a formamais provável com que estas gotículas irão crescer. Evidentemente que à medida em que aenergia cinética média das partículas, proporcional à temperatura, aumenta, menos efetivatal previsão será.

A força entre a gotícula e novas sementes depositadas no substrato (supostasmuito menores), ainda que com carga líquida zero, também pode ser estimada a partirdo potencial elétrico, assim como podemos estimar a adesão da gotícula ao substratocomo função do potencial elétrico ou da carga em sua superfície. Entretanto, deixaremosas consequências do campo elétrico na taxa de deposição de filmes i.e. na velocidade da

Introdução 16

reação para estudos posteriores - o objetivo deste trabalho é o cálculo do campo elétrico.

Elaboramos aqui um modelo teórico que almeja contribuir no entendimento edesenvolvimento dos processos de crescimento de filmes finos - e nanoestruturas em geral -pelo cálculo do campo e potencial eletrostáticos nos arredores de uma gotícula eletricamentecarregada sobre um substrato isolante.

No capítulo 1 apresentamos um breve panorama de tópicos associados em físico-química e nanotecnologia, ilustrando alguns dos ramos de estudo que podem se beneficiarcom o modelo.

No capítulo 2 apresentamos a teoria e as ferramentas matemáticas necessárias aomodelo: eletrostática, a solução da equação de Laplace em coordenadas esferoidais oblatase polarização dielétrica.

No capítulo 3 apresentamos os princípios de otimização / regressão não-linear e ométodo dos mínimos quadrados.

No capítulo 4 construímos o modelo a partir da teoria estabelecida nos capítulosanteriores, introduzimos os parâmetros a serem ajustados pelo método dos mínimosquadrados e obtemos equações paramétricas para o campo e o potencial.

No capítulo 5 ajustamos tais parâmetros a partir de simulações em software deelementos finitos (FEM - Finite Element Method) COMSOL, estabelecendo uma formageral para o cálculo do campo e potencial para qualquer variação da geometria do problema.

No capítulo 6 finalizamos com uma discussão dos resultados.

Este trabalho foi apresentado no XXXIX CBrAVIC - Congresso Brasileiro deAplicações do Vácuo na Indústria e na Ciência realizado em Joiville/SC entre 8 a 11 deoutubro de 2018.

Parte I

Revisão bibliográfica

18

1 Processos físico-químicos e nanotecnológi-cos

1.1 Catálise eletrostáticaA catálise eletrostática - o uso de campos elétricos a fim de controlar a velocidade

de reações químicas e/ou selecionar os produtos destas reações - pouco avançou em relaçãoaos métodos tradicionais de catálise (homogênea, heterogênea, ácido-base, etc.) visto quea influência de campos elétricos é efetivamente “diluída” em meios/solventes polares dadaa força e natureza das ligações intermoleculares nesses meios (interação dipolo - dipoloou dipolo permanente) (ATKINS, 2014) - via de regra, meios polares constituem meiosdielétricos e o potencial elétrico ψ é inversamente proporcional à permissividade relativaεr (ATKINS, 2014) (GRIFFITHS, 2015), logo em um meio dielétrico com εr elevado aforça de interação entre cargas parciais moleculares é comprometida.

Na química orgânica as enzimas dão conta deste problema pela presença de umsítio ativo de baixa polaridade que liga-se precisamente ao substrato; assim uma ou maispartículas residuais eletricamente carregadas geram um campo elétrico local que catalisa areação (WARSHEL et al., 2006), porém a tentativa de mimetizar o comportamento enzi-mático pela introdução de agentes eletricamente carregados no substrato é frequentamentefrustrada pela contradição provocada da necessidade de um solvente de baixa polaridadee a solubilidade limitada de agentes polares em tais solventes (KLINSKA et al., 2015)

H H

O

S

S S

H H

S S

H H

S S

O

S

Au

+

Vcc

-

Figura 1 – Catálise eletrostática da reação de Diels-Alder

Capítulo 1. Processos físico-químicos e nanotecnológicos 19

t

Cc

V2 > V1

V1 > 0

V0 = 0

Figura 2 – Controle da velocidade da reação A + B k−−→ 2C

(FRANCHI; MEZZINA; LUCARINI, 2014).

A aplicação direta de um campo elétrico externo - substituindo o espécime solutoeletricamente carregado - como catalisador pode controlar um conjunto bem mais amplode reações e tem sido um objeto de estudo de interesse crescente. No experimento de(ARAGONèS et al., 2016) a reação de Diels-Alder, ie. a adição conjugada de um dieno eum alceno (ou ’dienófilo’) formando um ciclohexeno (DIELS; ALDER, 1928), é submetidaà ponta de um STM - Scanning Tunneling Microscope e os diasteroisômeros de menorbarreira exo-syn são selecionados e estabilizados pelo campo elétrico elétrico aplicado entreo STM e o substrato (figura 1).

No campo teórico, aponta-se em (DESHMUKH; TSORI, 2016) a viabilidade do

Vcc

vaporizador

precursor

fluxímetro

aquecedor decarvão ativado

placa inferior /substrato

placa superiorcâmara CVD

N2

exaustor

Figura 3 – EACVD (Electric field Assisted Chemical Vapour Deposition)


controle catalítico eletrostático em uma reação simples irreversível do tipo A + B k−−→ 2Cem uma mistura de dois solventes entre dois eletrodos dispostos em cunha; a tensão Ventre os eletrodos controla a concentração do produto Cc em função do tempo t (figura 2).

Uma das mais interessantes aplicações da catálise eletrostática é na técnica CVD -Chemical Vapour Deposition / EACVD - Electric field Assisted Chemical Vapour Deposition:através da introdução de um par de eletrodos dentro de uma câmara CVD (figura 3)é aberta uma gama de novas possibilidades dentro da engenharia de materiais. Vemosem (WARWICK et al., 2014) que a tensão de bias nos eletrodos controla o tamanho doscristalites de óxido de vanádio (dióxido de vanádio VO2 e pentóxido de vanádio V5O5)crescidos a partir de um precursor de acetilacetonato de vanádio (V(acec)2), resultando nafabricação de estruturas muito pequenas (∼ 5 nm) e porosas com altíssima capacitânciaespecífica (até 3700 µF cm−2) - propriedades atrativas para aplicações energéticas taisquais baterias, células de combustível e supercapacitores.

1.2 Grafeno e CVD goticularO grafeno é o alômero de carbono mais discutido e pesquisado pela comunidade

científica na atualidade. Descoberto há pouco mais de uma década (NOVOSELOV; GEIM,2004), o filme monoatômico de carbono (figura 4) chegou a ser classificado como “milagroso”em virtude de sua altíssima resistência, flexibilidade e (super)condutividade (SUR, 2012).

A técnica CVD com níquel (Ni) ou cobre (Cu) como elemento catalisador é bastantepromissora para a produção industrial de grafeno pela grande área sintetizada e baixocusto operacional em comparação a processos como o desgaste mecânico de grafite, ocrescimento epitaxial em carbeto de silício (SiC) ou a precipitação de carbono a partir demetais (SHAMS; ZHANG; ZHU, 2015). Entretanto, a alta solubilidade dos catalisadoresem carbono promove o defeito de borda de grãos (figura 5) e a formação de grafeno

Figura 4 – Grafeno por AlexanderAlUS/CC BY-SA 3.0


grão cristalino

plano de crescimento

borda de grãos

Figura 5 – Borda de grãos por Daniele Pugliesi/CC BY-SA 3.0

policristalino (BANHART; KOTAKOSKI; KRASHENINNIKOV, 2011).

O CVD goticular é uma alternativa à técnica CVD convencional que circunve oproblema da nucleação de grãos pela disposição do catalisador em gotículas no substrato -pelo controle da temperatura e do tamanho médio das gotículas viabiliza-se a produção degrafeno monocristalino de altíssima qualidade e baixo custo relativo (ZANG; LIN, 2014).

A síntese de grafeno pela técnica de CVD goticular dá-se pelo aquecimento de umfilme de niquel ou cobre crescido com a técnica de CVD convencional sobre um substrato deóxido de sílício/silício (SiO2/Si), liquefazendo o filme em gotículas (figuras 6a e 6b). Commetano (CH4) como precursor, hidrogênio (H2) como agente redutor e argônio (Ar) comoagente de transporte em uma câmara sob altas temperaturas, uma camada monocristalinade grafeno é formada sobre as gotículas, cobrindo o metal com resfriamento da câmara(figuras 6d e 6c).

SiSiO2

Ni ou Cu

(a) (b)HC

(c)

(d)

Figura 6 – Síntese de grafeno por CVD goticular


Rg

RgRg

Rm

luz incidente

Rg

Rm

= res. grafeno

= res. metal

iVb

(a) Circuito equivalente

d

d

Ef

χg

χm

χm

χg

Ef

= nível de Fermi

= função trabalho / metal

= função trabalho / grafeno

ΔV

(b) Diagrama de bandas

Figura 7 – Proposta de sensor fotônico de junção metal-grafeno

Outra vantagem da técnica de CVD goticular é a predisposição do material crescidoconstituir células básicas de dispositivos semicondutores. Dada a camada contínua degrafeno sobre a camada descontínua das gotículas de níquel ou cobre, (ZANG; LIN, 2014)propõe a construção de um sensor fotônico a partir da junção grafeno-metal formada noprocesso de CVD goticular (figuras 7a e 7b) - como a função trabalho χ do grafeno é∼ 4.5eV , níquel χ ∼ 4.7eV e cobre χ ∼ 5.0eV , a junção metal-grafeno comporta-se deforma similar à junção metal-metal e os pares elétron-lacuna gerados da exposição dodispositivo à luz incidente aumentam significativamente a corrente da junção (figura 8).

−2.0 −1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

V (V )

−0.03

−0.02

−0.01

0.00

0.01

0.02

0.03

I(mA

)

ambiente escuro, bias positivo

ambiente claro, bias positivo

Figura 8 – Corrente da junção metal-grafeno e luminosidade

Parte II

Os métodos de cálculo do campo e dopotencial

24

2 O potencial eletrostático

Iniciamos nosso estudo com o cálculo do potencial eletrostático de um esferoideoblato, um objeto de perfil elíptico com simetria de rotação em relação a um eixo verticalpreferencial. Supomos que uma gotícula se aproxime dessa forma, em função de seutamanho e excentricidade. Pretendemos calcular o potencial elétrico na proximidade degotículas eletricamente carregadas e, a partir dele, obter o campo elétrico e a força sobreas partículas ao seu redor, sobretudo nas regiões de campo intenso. Ressalta-se que mesmopartículas eletricamente neutras estão sujeitas a forças elétricas devido à polarização(ATKINS, 2014).

2.1 A equação de Laplace e o problema de Dirichlet

Das equações de Maxwell (STRATTON, 2007), toma-se ∂

∂t= 0 para o caso

eletrostático e a Lei de Gauss elétrica e a Lei de Faraday tornam-se, no espaço livre:

∇ · E = ρ

ε0(2.1)

∇× E = 0 (2.2)

respectivamente.

Como o rotacional de E é nulo, segue do Teorema de Stokes (BOYCE, 2010) que¸E · dl = 0 para qualquer caminho fechado e a integral de linha do ponto a ao ponto b

na figura 9 é a mesma para qualquer caminho - esta propriedade define o campo elétricocomo um campo conservativo (KELLOGG, 1967). Desta forma podemos escrever o campoelétrico como o gradiente de uma função escalar, o potencial eletrostático ψ:

E = −∇ψ (2.3)

Substituindo 2.3 em 2.1 temos a equação de Poisson:

∇ · (−∇ψ) = ρ

ε0

∴

∇2ψ = − ρε0

(2.4)

Capítulo 2. O potencial eletrostático 25

Figura 9 – Trabalho e campo elétrico

Em uma região depleta de cargas (ρ = 0) temos a equação de Laplace:

∇2ψ = 0 (2.5)

Interessa-nos encontrar a solução de 2.5 na região de interesse ou domínio ∆conhecendo os valores de ψ na fronteira Γ de ∆ na figura 10 ie. as condições de contorno:este é o clássico problema de Dirichlet (KELLOGG, 1967).

Figura 10 – O problema de Dirichlet


2.2 Coordenadas esferoidais oblatasA resolução do problema de Dirichlet é facilitada com o uso de um sistema de

coordenadas adequadas à geometria das condições de contorno. Líquidos tendem a searranjar em formas geométricas com a menor relação área/volume possível a fim dediminuir a energia de superfície necessária para a manutenção do equilíbrio termodinâmico(ATKINS, 2014). A esfera é o formato que possui a menor relação área/volume, porém sãofrequentes as situações em que outros fenômenos afastem o líquido desta forma (como porexemplo a gravidade e interações moleculares com sólidos e gases) (FRONH; ROTH, 2000)e, como gotículas depositadas ou crescidas em um substrato assemelham-se a esferoidesoblatos (WHYMAN; BORMASHENKO, 2009), o sistema de coordenadas esferoidais é aescolha mais conveniente. Não existe uma representação/convenção matemática cânonepara este sistema de coordenadas na literatura1; segue-se aqui a notação de (SMYTHE,1950) para as coordenadas esferoidais oblatas ζ, ξ, φ definidas pela transformação no R3:

x = a√

(1 + ζ2)(1− ξ2) cosφ (2.6)

y = a√

(1 + ζ2)(1− ξ2) sinφ (2.7)

z = aζξ (2.8)

com ζ > 0, −1 6 ξ 6 1 e 0 6 φ 6 2π.1 Por exemplo, (MOON; SPENCER, 1971) apresenta o conjunto (η, θ, ψ) enquanto (ARFKEN, 2005)

usa a notação (µ, ν, φ)

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3

z

�

� constante ξ constante

Figura 11 – Coordenadas esferoidais oblatas (a = 1)


A figura 11 ilustra este sistema de coordenadas: superfícies com ζ e ξ constantesque descrevem, respectivamente, elipsoides oblatos e hiperboloides de uma folha confocaisem (a,−a), enquanto φ é o ângulo azimutal.

Analiticamente:

ρ2

a2(1 + ζ2) + z2

a2ζ2 = 1 (2.9)

ρ2

a2(1− ξ2) −z2

a2ξ2 = 1 (2.10)

com ρ2 = x2 + y2.

A transformação inversa é obtida a partir de propriedades fundamentais das cônicasno plano: para todo φ (e, consequentemente, todo ρ) constante também é constante a somadas distâncias focais em uma elipse e a diferença das distâncias focais em uma hipérbole(BOLDRINI, 1986). Sejam d1 e d2 as distâncias focais de um ponto (ρ,z) na figura 12a:

d1 =√

(ρ+ a)2 + z2 (2.11)

d2 =√

(ρ− a)2 + z2 (2.12)

Fazendo z = 0 em 2.9 temos ρ =√

1 + ζ2 e, da figura 12a:

-6

-3

0

3

6

-6 -3 0 3 6 9

z

�

� constante

(-a,0) (a,0)

(�',0)

(�,z)

d1 d2

(a) Na elipse (ρ′ = a√

1 + ζ2)

-6

-3

0

3

6

-6 -3 0 3 6 9

z

�

� constante

(-a,0)

(a,0)

(�',0)

(�,z)

d1 d2

(b) Na hipérbole (ρ′ = a√

(1− ξ2)

Figura 12 – Soma e diferença das distâncias focais


d1 + d2 = a√

1 + ζ2 + a+ (a√

1 + ζ2 − a)

= 2a√

1 + ζ2

∴√1 + ζ2 = d1 + d2

2a (2.13)

Fazendo z = 0 em 2.10 temos ρ = a√

1− ξ2 e, da figura 12b:

d1 − d2 = a+ a√

1− ξ2 − (a− a√

1− ξ2)

= 2a√

1− ξ2

∴√1− ξ2 = d1 − d2

2a (2.14)

Finalmente, de 2.11, 2.12, 2.13 e 2.14:

ζ =

√√√√√√

(ρ+ a)2 + z2 +√

(ρ− a)2 + z2

2a

2

− 1 (2.15)

ξ =

√√√√√1−√

(ρ+ a)2 + z2 −√

(ρ− a)2 + z2

2a

2

(2.16)

φ = tan−1(y

x

)(2.17)

com ρ2 = x2 + y2.

2.3 A equação de Laplace em coordenadas esferoidais oblatasUm sistema de coordenadas ortogonais q1, q2, q3 é representado por um conjunto

de superfícies que se interceptam em ângulos retos. Seja o paralelepípedo infinitesimalde lados adjacentes ds1 = q1 + dq1, ds2 = q2 + dq2 e ds3 = q3 + dq3 da figura 13. Comoq1, q2, q3 nem sempre representam distâncias, definimos coeficientes métricos - ou fatoresde escala - para cada sistema de coordenadas de tal forma que ds1 = h1q1, ds2 = h2q2 eds3 = h3q3.

De forma geral, temos os coeficientes métricos h1, h2, h3 em um sistema de coor-denadas ortogonais definido por x = f1(q1, q2, q3), y = f2(q1, q2, q3) e z = f3(q1, q2, q3)(ARFKEN, 2005):


Figura 13 – Volume infinitesimal

h1 =

√√√√( ∂x∂q1

)2

+(∂y

∂q1

)2

+(∂z

∂q1

)2

(2.18)

h2 =

√√√√( ∂x∂q2

)2

+(∂y

∂q2

)2

+(∂z

∂q2

)2

(2.19)

h3 =

√√√√( ∂x∂q3

)2

+(∂y

∂q3

)2

+(∂z

∂q3

)2

(2.20)

sendo o Laplaciano de ψ(q1, q2, q3):

∇2ψ = 1h1h2h3

[∂

∂q1

(h2h3

h1

∂ψ

∂q1

)+ ∂

∂q2

(h1h3

h2

∂ψ

∂q2

)+ ∂

∂q3

(h1h2

h3

∂ψ

∂q3

)](2.21)

De 2.18, 2.19 e 2.20 calculamos os coeficientes métricos:

hζ = a

√ζ2 + ξ2

1 + ζ2 (2.22)

hξ = a

√ζ2 + ξ2

1− ξ2 (2.23)

hφ = a√

(1 + ζ2)(1− ξ2) (2.24)

e substituindo em 2.21 escrevemos o Laplaciano:


∇2ψ = 1a(ζ2 + ξ2)

{∂

∂ζ

[(1 + ζ2)∂ψ

∂ζ

]+ ∂

∂ξ

[(1 + ξ2)∂ψ

∂ξ

]}

+ 1a(1 + ζ2)(1− ξ2)

∂2ψ

∂φ2 (2.25)

Igualando 2.25 a 0 temos a equação de Laplace em coordenadas esferoidais oblatas:

∂

∂ζ

[(1 + ζ2)∂ψ

∂ζ

]+ ∂

∂ξ

[(1− ξ2)∂ψ

∂ξ

]+ ζ2 + ξ2

(1 + ζ2)(1− ξ2)∂2ψ

∂φ2 = 0 (2.26)

A solução de 2.26 se dá pelo método de separação de variáveis: assumimos oque o potencial tenha a forma ψ = ZΞΦ onde Z, Ξ e Φ dependem apenas de ζ, ξ e φ,respectivamente.

Multiplicando 2.26 por [ZΞΦ]−1 temos:

d

dζ

[(1 + ζ2) 1

ZdZdζ

]+ d

dξ

[(1− ξ2) 1

ΞdΞdξ

]+ ζ2 + ξ2

(1 + ζ2)(1− ξ2)1Φd2Φdφ2 = 0 (2.27)

O último termo em 2.27 depende apenas de φ.

Tomando m2 como a primeira constante de separação temos a ODE - OrdinaryDifferential Equation / equação diferencial ordinária:

1Φd2Φdφ2 = −m2 (2.28)

Logo a solução em φ é a combinação linear de senos e cossenos (ARFKEN, 2005):

Φm = Em cos(mφ) + Fm sin(mφ) (2.29)

com m inteiro.

Substituindo 2.28 em 2.27:

d

dζ

[(1 + ζ2) 1

ZdZdζ

]+ d

dξ

[(1− ξ2) 1

ΞdΞdξ

]− ζ2 + ξ2

(1 + ζ2)(1− ξ2)m2 = 0 (2.30)

Visto que:

ζ2 + ξ2

(1 + ζ2)(1− ξ2) = 11− ξ2 −

11 + ζ

(2.31)


é possível separar 2.30 em termos de ζ e ξ.

Tomando n(n+ 1)2 como a segunda constante de separação temos as equações deLegendre associadas para x = iζ e x = ξ:

d

dζ

[(1 + ζ2)dZ

dζ

]−[n(n+ 1)− m2

1 + ζ2

]Z = 0 (2.32)

d

dξ

[(1− ξ2)dZ

dξ

]+[n(n+ 1)− m2

1− ξ2

]Ξ = 0 (2.33)

de modo que a solução em ζ e ξ é a combinação linear das funções de Legendre associadasPmn e Qm

n (ARFKEN, 2005):

Zmn = AmnPmn (iζ) +BmnQ

mn (iζ) (2.34)

Ξmn = CmnPmn (ξ) +DmnQ

mn (ξ) (2.35)

com m e n inteiros.

A solução geral de 2.26 é, portanto:

ψ =∑m

∑n

ZmnΞmnΦm (2.36)

com {Amn, Bmn, Cmn, Dmn, Em, Fm} os coeficientes de ajuste às condições de contorno doproblema.

2.3.1 O esferoide condutor eletricamente carregado

O potencial elétrico ψ associado ao elipsoide condutor eletricamente carregado noespaço livre é função apenas de ζ pois superfícies com ζ constante representam esferoidesoblatos confocais que interceptam os hiperboloides de uma folha em ângulos retos - a“cara” de um potencial eletrostático e as correspondentes linhas de campo. Orientando osemieixo maior a0 ao longo de ρ e o semieixo menor b0 ao longo de z temos um esferoideoblato em ζ = ζ0:

ζ0 = b0

a= b0√

a20 − b2

0

(2.37)

2 Com n inteiro em n(n+ 1) tem-se a forma padrão da equação de Legendre


O potencial ψ0 na superfície do elipsoide condutor é constante; se fixarmos opotencial de referência no infinito temos as seguintes condições de contorno:

ψ|ζ→∞ = 0 (2.38)

ψ|ζ→ζ0 = ψ0 (2.39)

Como ψ depende apenas de ζ a equação de Laplace é reduzida à ODE:

d

dζ

[(1 + ζ2)dψ

dζ

]= 0 (2.40)

logo:

(1 + ζ2)dψdζ

= A

∴

dψ

dζ= A

1 + ζ2 (2.41)

Integrando 2.41 temos3:

ψ = A cot−1(ζ) +B (2.42)

onde A e B são constantes.

De 2.38 temos:

B = 0 (2.43)

De 2.39 temos:

ψ(ζ0) = ψ0

A cot−1(ζ0) = ψ0

∴

A = ψ0

cot−1(ζ0) (2.44)

3 Nota-se que tan−1(ζ) também é antiderivada


Finalmente:

ψ = ψ0

cot−1(ζ0) cot−1(ζ) (2.45)

Como 2.45 é solução da equação de Laplace e satisfaz as condições de contorno,pelo Teorema da Unicidade (BOYCE, 2010) é a única solução.

2.3.1.1 Prova de conceito: o disco condutor

Tomemos um exemplo bastante conhecido na literatura (MAXWELL, 1881) (LAN-DAU; LIFSHITZ, 1960): o disco condutor de raio R = a é descrito em coordenadasesferoidais oblatas pela superfície ζ = 0.

Substituindo ζ0 = 0 em 2.45 temos o potencial:

ψ = 2ψ0

πcot−1(ζ) (2.46)

pois cot−1(0) = π

2 .

Como o campo elétrico no interior de um condutor é nulo (GRIFFITHS, 2015)temos de 2.1 que a componente normal do campo elétrico En é descontínua na interface eproporcional à distribuição superficial de carga σ:

En = σ

ε0(2.47)

Neste caso:

En = − 1hζ

dψ

dζ

∣∣∣∣∣ζ=0

(2.48)

Portanto:

σ = ε0En

= −ε01hζ

dψ

dζ

∣∣∣∣∣ζ=0

= −2ε0ψ0

π

1hζ

(− 1

1 + ζ2

) ∣∣∣∣∣ζ=0

= 2ε0ψ0

aπξ(2.49)


Podemos calcular a carga total q:

q =¨

S

σ

∣∣∣∣∣ζ=0

= 2ˆ 1

0

ˆ 2π

0σhφhξ dφ dξ

= 4aε0ψ0

π

ˆ 1

0dξ

ˆ 2π

0dφ

= 8aε0ψ0 (2.50)

E a auto-capacitância do disco:

C = q

ψ0= 8aε0 (2.51)

Este resultado é conhecido desde o final do século XVIII, quando Cavendish mediue comparou as cargas de um disco e de uma esfera condutoras fixas em um mesmo potencial(MAXWELL, 1879).

2.4 A polarização do substratoA fim de considerar os efeitos da polarização do substrato pela carga na superfície da

gotícula condutora recorremos à teoria das imagens dielétricas (JACKSON, 1975): seja umacarga puntiforme q no vácuo localizada a uma distância perpendicular h de um semiplanodielétrico com permissividade relativa εr. Com a interface no plano z = 0, façamos umacarga imagem q′ no ponto (0, 0,−h′) e uma carga imagem q′′ no ponto (0, 0, h′′) conformeilustrado na figura 14. Do princípio da superposição e da linearidade do operador gradiente(ARFKEN, 2005) escrevemos o potencial ψ como a soma da contribuição do potencial decada monopolo:

ψ = 14πε0

q√ρ2 + (z − h)2

+ q′√ρ2 + (z + h′)2

(2.52)

para z > 0 e

ψ = 14πε0

q

εr√ρ2 + (z − h)2

+ q′′

εr√ρ2 + (z − h′′)2

(2.53)

para z < 0.


O potencial elétrico é contínuo em todo o espaço (JACKSON, 1975). Portanto, asequações 2.52 e 2.53 só possuem solução em z = 0 se:

h′ = h′′ e q′′ = q′ (2.54)

Já a componente normal do campo deslocamento elétrico D é contínua na interface(JACKSON, 1975). Considerando os meios lineares, isotrópicos e homogêneos4 escrevemos:

limz→0+

Ex

Ey

Ez

= limz→0−

Ex

Ey

εrEz

(2.55)

Como Ez = −∂V∂z

:

∂V

∂z

∣∣∣∣∣z→0+

= εr∂V

∂z

∣∣∣∣∣z→0−

qh

[ρ2 + h2] 32− q′h′

[ρ2 + h′2] 32

= εr

(qh

[ρ2 + h2] 32

+ q′h′

[ρ2 + h′2] 32

)(2.56)

4 onde D = εrε0E

(a) Problema original (b) Problema equivalente

Figura 14 – O método das imagens - carga puntiforme


A equação 2.56 só possui solução se h = h′, reduzindo-a a:

q − q′ = εr(q + q′)

∴

q′ = −(εr − 1εr + 1

)q (2.57)

Para z > 0 o campo e o potencial são calculados das cargas efetivas q e q′ nospontos (0, 0,±h) e para z < 0 o problema equivalente é o de uma carga efetiva 2q/(εr + 1)no ponto (0, 0, h).

No limite h→ 0 (carga situada na interface) temos q′ = 2q/(εr + 1).

No limite εr → ∞ temos q′ = −q e o método de imagens dielétricas reduz-se aométodo de imagens “clássico”5.

5 i.e. o problema da carga puntiforme próxima a um semiplano condutor

37

3 O método dos mínimos quadrados

Em nossa tarefa de encontrar um modelo aproximado para o potencial eletrostáticoda gotícula, utilizaremos a regressão não-linear pelo método dos mínimos quadrados parao ajuste de parâmetros. Este método de minimização busca o melhor ajuste do conjuntode dados (x,y) = {(x1, y1), (x2, y2), · · · , (xm, ym)} ao modelo y = f(x,β) com variáveisdependentes - ou parâmetros - β = {β1, β2, · · · , βn} pela minimização da soma:

S =m∑i=1

r2i (3.1)

com os resíduos ri dados por:

ri = yi − f(xi,β) (3.2)

para i = 1, 2, · · · ,m.

Define-se o erro RMS - Root Mean Square como:

S1/2 =√√√√ 1m

m∑i=1

(yi − f(xi,β))2 (3.3)

O valor mínimo de S ocorre no zero do gradiente n-dimensional:

∂S

∂βj= 2

m∑i=1

ri∂ri∂βj

= 0 (j = 1, 2, · · · , n) (3.4)

No caso de um modelo não-linear a solução de 3.4 é obtida por aproximaçõessucessivas de βj:

βj ≈ βk+1j = βkj + ∆βj (3.5)

Na k-ésima iteração o modelo é linearizado no polinômio de Taylor de primeiraordem ao redor de βkj :

f(xi,β) ≈ f(xi,β) +∑j

∂f(xi,β)∂βj

(βj − βkj ) = f(xi,β) +∑j

Jij∆βj (3.6)

Capítulo 3. O método dos mínimos quadrados 38

Onde J é a matriz jacobiana do sistema de equações linearizado. Dessa forma temosos resíduos:

ri = yi − f(xi,β) = (yi − f(xi, βk)) + (f(xi,βk)− f(xi,β)) ≈ ∆yi −n∑s=1

Jis∆βs (3.7)

Substituindo em 3.4 temos:

m∑i=1

n∑s=1

JijJis∆βs −m∑i=1

Jij∆yi = 0 (3.8)

ou, em notação matricial:

(JTJ∆β)− JT∆y = 0 (3.9)

É possível atribuir um sistema de pesos ao conjunto de dados (x,y) estabelecendoa matriz diagonal W :

S =m∑i=1

Wiir2i (3.10)

As equações normais do sistema linear tornam-se, portanto:

(JTWJ)∆β − JTW∆y = 0 (3.11)

A equação 3.11 é base do algoritmo de Gauss-Newton (BATES; WATTS, 1988).Levenberg (LEVENBERG, 1944) introduziu o fator de amortecimento λ no algoritmo deGauss-Newton:

(JTWJ + λI)∆β − JTW∆y = 0 (3.12)

E Marquardt (MARQUARDT, 1963) aprimorou a convergência de 3.12 pela nor-malização de λ:

(JTWJ + λ diag(JTWJ))∆β − JTW∆y = 0 (3.13)

O algoritmo Levenberg-Marquardt atualmente é empregado por default em rotinasde regressão/otimização não-linear.

39

4 Construção do modelo

Partindo do potencial de um esferóide e do método das imagens é possível escrevera solução do problema de um esferóide localizado totalmente na região z > 0, isto é, umagotícula condutora que não faz contato com a superfície do dielétrico, como:

ψ(ρ, z) = ψ0

cot−1(ζ0)

[cot−1(ζ+)−

(εr − 1εr + 1

)cot−1(ζ−)

](4.1)

com ζ± a coordenada “radial” transladada em z por ±h:

ζ+ =

√√√√√√

(ρ+ a)2 + (z − h)2 +√

(ρ− a)2 + (z − h)2

2a

2

− 1 (4.2)

ζ− =

√√√√√√

(ρ+ a)2 + (z + h)2 +√

(ρ− a)2 + (z + h)2

2a

2

− 1 (4.3)

Nossa abordagem para este problema (figura 15) parte do princípio de que ométodo das imagens, se aplicado em um caso como esse, produz uma solução aproximadasobre a qual podemos acrescentar um termo de correção reduza a diferença em relação àsolução exata. Pensando em uma solução multipolar válida para o lado de fora do esferoide,podemos considerar um desenvolvimento em série de polinômios de Legendre. Neste caso,devemos esperar que os dois primeiros termos da série sejam os mais importantes: o termode monopolo, porque a carga do esferoide é maior que a carga induzida no dielétrico, e otermo de dipolo elétrico, já que estas cargas possuem sinais opostos. De fato, esta foi nossa

Figura 15 – A gotícula sobre o substrato

Capítulo 4. Construção do modelo 40

(a) 1a abordagem (b) 2a abordagem

Figura 16 – Modelo - representação matemática

primeira tentativa: em nosso primeiro modelo (figura 16a), ajustamos a magnitude dostermos monopolo Q e dipolo P , produzindo resultados - no máximo - razoáveis, com o erroRMS na ordem de 10% nos piores casos. Neste modelo o valor dos termos de monopolo ede dipolo elétricos somam-se à expressão do potencial na forma:

ψ(ρ, z) = ψ0

cot−1(ζ0)

[cot−1(ζ+)−

(εr − 1εr + 1

)cot−1(ζ−)

]+ Q

r+ P cos θ

r2 (4.4)

com r =√ρ2 + z2 e θ = tan−1

(z

ρ

).

Um modelo alternativo a este que acabamos de descrever surgiu da percepção deque as simetrias representadas pelo monopolo e pelo dipolo elétrico já estão contidas nasdistribuições de carga da gotícula e de sua imagem, de modo que ao invés de ajustar ostermos de um desenvolvimento multipolar, passamos a um novo modelo em que a correçãoem que os parâmetros α e β multiplicam os próprios potenciais da gotícula e de suaimagem, respectivamente.

Para este segundo modelo (figura 16b) escrevemos o potencial:

ψ(ρ, z) = ψ0

cot−1(ζ0)

[α cot−1(ζ+)− β

(εr − 1εr + 1

)cot−1(ζ−)

](4.5)

Este formato para o potencial ψ produz resultados muito melhores quando compa-rados com a simulação feita pelo programa COMSOL, uma vez que reduziu a norma doerro quadrático médio para valores significativamente menores, na ordem de 3% nos piorescasos.

Procedemos com o cálculo do campo elétrico E pelo gradiente do potencial:

Capítulo 4. Construção do modelo 41

E = −∇ψ = −(∂ψ

∂ρaρ + ∂ψ

∂zaz)

= − (Eρaρ + Ezaz) (4.6)

Substituindo em 4.5 temos:

Eρ = ψ0

cot−1(ζ0)

αρ− ad11 − d12

d11 + d12

d11d12

√√√√(d11 + d12

2a

)2

− 1

− β(εr − 1εr + 1

) ρ− ad21 − d22

d21 + d22

d21d22

√√√√(d21 + d22

2a

)2

− 1

(4.7)

Ez = ψ0

cot−1(ζ0)

αz − h

d11d12

√√√√(d11 + d12

2a

)2

− 1

− β(εr − 1εr + 1

)z + h

d21d22

√√√√(d21 + d22

2a

)2

− 1

(4.8)

com:

d11 =√

(ρ+ a)2 + (z − h)2 (4.9)

d12 =√

(ρ− a)2 + (z − h)2 (4.10)

d21 =√

(ρ+ a)2 + (z + h)2 (4.11)

d22 =√

(ρ− a)2 + (z + h)2 (4.12)

Parte III

Resultados e discussão

43

5 Análise numérica

Nosso modelo depende de um bom ajuste dos valores de α e β. Porém, não háum único valor para cada um destes parâmetros: elas são funções da razão de aspectoda gotícula, isto é, da altura normalizada h = h/b0 e do achatamento f = 1− b0/a0 doesferóide.

O ajuste dos valores de α e β é feito pelo método dos mínimos quadrados com umamatriz diagonal de pesosW inversamente proporcional à distância r dos pontos de amostraà origem. Como referência utilizamos o software COMSOL R© Multiphysics, com o qualsimulamos o problema da gotícula condutora, no vácuo, depositada sobre um substratocom permissividade elétrica relativa εr = 4.21, com os valores de h e f variando de 0.1 a0.9 em passos de 0.2. Fixamos o valor do potencial na superfície da gotícula condutora emψ0 = 1 para a normalização do problema em cenários “seguros”, isto é, que não impliquemna possibilidade da ocorrência de fenômenos de ruptura dielétrica devido à altas tensões.

Em um computador pessoal moderno (Intel Core R© i5 @ 3.5GHz - 8Gb RAM)cada simulação é efetuada em menos de um minuto, enquanto o ajuste dos parâmetrospela regressão não-linear em Python é obtida em questão de minutos - a otimizaçãoimplementada não necessita de um aparato computacional especialmente complexo, mesmoque dobremos o número de pontos na grade.1 vidro borossilicato, sílica (dióxido de silício - SiO2) e quartzo

(a) Geometria do problema (b) Conjunto - ou grade - de pontos

Figura 17 – Simulação do problema

Capítulo 5. Análise numérica 44

As figuras 17a e 17b representam, respectivamente, a geometria do problema eo conjunto2 de pontos de amostra utilizado, enquanto as figuras 18, 19, 20, 20, 21 e 22apresentam os resultados das simulações em comparação ao modelo teórico. As linhasequipotenciais traçadas nos gráficos só tem validade como medida do potencial na regiãoonde supomos vácuo, isto é, fora do esferóide e do substrato. Entretanto, deixamos as linhasde equipotencial que penetram o esferóide para facilitar nossa análise, ainda que saibamosque dentro desse volume o potencial é constante e fixado em 1 unidade. Este tipo de invasãoocorre principalmente em gotículas com ângulo de contato com o dielétrico mais agudo, ouseja, para valores mais altos de h, principalmente para h = 0.9. Qualitativamente, pode-seafirmar que o modelo melhor representa o potencial quanto menor a altura normalizada he quanto maior o achatamento f e, quantitivamente, temos que - mesmo nos piores casos -o erro RMS é menor que 3% (ver scripts Python e seus respectivos outputs no anexo A).

Dados α e β ótimos para cada h e f estabelecemos a equação paramétrica:

{α, β}(h, f) =A exp

(−Bh

)+ Ch+D

Ef 2 + Ff +G(5.1)

obtendo - novamente, por mínimos quadrados - os parâmetros {A,B,C,D,E, F,G}, cujosvalores seguem na tabela 1.

A parametrização dos valores de α e β possibilita o cálculo do potencial com grandesimplicidade, o que é muito útil em uma simulação numérica em que esta informaçãofaz parte do modelo. O ajuste apresentou maior erro na borda do contato da gotículacom o substrato, para ângulos de contato mais agudos. Este tipo de problema pode serresolvido de duas maneiras: modificando a grade, o que pode ser feito aumentando onúmero de pontos na região, ou modificando o modelo. Decidimos não realizar este tipo deaprimoramento porque este não é o objetivo último desta dissertação: sempre é possívelmelhorar mais, usando mais pontos, escolhendo outras funções, dividindo o espaço emregiões com grades e funções de ajustes diferentes (desde que o potencial e seu gradientesejam funções contínuas). Por hora, quisemos explorar os aspectos teóricos do potencial deuma gotícula e analisar as possibilidades de parametrização para a construção do modelo.

A descontinuidade na fronteira faz com que a variação do valor de εr não altereproporcionalmente o campo, embora seja plausível supor que o fator εr − 1

εr + 1 da teoria dasimagens dielétricas já considere os casos εr 6= 4.2, ao menos para pequenas variações de εr.

O gradiente do potencial, isto é, o campo elétrico, está relacionado com a forçaatrativa que a gotícula exerce sobre as moléculas que estão na vizinhança. Maior forçasignifica maior probabilidade de colisão entre a gotícula e a partícula, sujeita à condição develocidade da partícula em função da temperatura. As forças mais intensas acontecem na2 tal conjunto - ou grade - pertence ao domínio ∆ do problema de Dirichlet para todo f e h


α β

A +3.060778251722120302e+ 01 +1.917562654210778135e+ 02

B +9.122332020275434772e+ 00 +8.184102783326016706e+ 00

C −1.143644520720598967e+ 00 +9.400923763854905246e+ 00

D +1.221705743570102065e+ 01 +2.411071556190535858e+ 01

E +6.868040116998430733e+ 01 +2.970862413827574073e+ 02

F −1.707980986111427679e+ 00 −1.686192957647624624e+ 01

G +1.435295783968011829e+ 00 +6.211896956444688200e+ 00

Tabela 1 – Conjunto de parâmetros {A,B,C,D,E, F,G}

lateral das gotículas, basicamente respondendo ao fenômeno conhecido em que superfíciescom raios de curvatura menores apresentam campos elétricos mais intensos, conhecidocomo “efeito de pontas” (GRIFFITHS, 2015).

Não é só sobre moléculas em suspensão que o campo elétrico atua, mas tambémentre gotículas na vizinhança, as quais também se polarizam em resposta a presença decampo elétrico. Neste caso, uma gotícula carregada atrairá uma gotícula descarregada.Porém, se algum tipo de reação química predominante no processo de deposição do filmecausar a presença de cargas de mesmo sinal nas gotículas precursoras, uma força repulsivasurgirá, afastando as gotículas umas das outras. É possível que este tipo de força façacom que o filme cresça de modo mais homogêneo, com um espaçamento entre as gotículasprecursoras com mais ou menos constante.


0 1 2 3 4 5

ρ

0

1

2

3

4

5

z

FEM

modelo

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

(a) h = 0.1

0 1 2 3 4 5

ρ

0

1

2

3

4

5

z

FEM

modelo

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

(b) h = 0.3

0 1 2 3 4 5

ρ

0

1

2

3

4

5

z

FEM

modelo

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

(c) h = 0.5

0 1 2 3 4 5

ρ

0

1

2

3

4

5

z

FEM

modelo

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

(d) h = 0.7

0 1 2 3 4 5

ρ

0

1

2

3

4

5

z

FEM

modelo

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

(e) h = 0.9

Figura 18 – Comparativo FEM vs. modelo p/ f = 0.1


0 1 2 3 4 5

ρ

0

1

2

3

4

5

z

FEM

modelo

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

(a) h = 0.1

0 1 2 3 4 5

ρ

0

1

2

3

4

5

z

FEM

modelo

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

(b) h = 0.3

0 1 2 3 4 5

ρ

0

1

2

3

4

5

z

FEM

modelo

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

(c) h = 0.5

0 1 2 3 4 5

ρ

0

1

2

3

4

5

z

FEM

modelo

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

(d) h = 0.7

0 1 2 3 4 5

ρ

0

1

2

3

4

5

z

FEM

modelo

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

(e) h = 0.9



0 1 2 3 4 5

ρ

0

1

2

3

4

5

z

FEM

modelo

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

(a) h = 0.1

0 1 2 3 4 5

ρ

0

1

2

3

4

5

z

FEM

modelo

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

(b) h = 0.3

0 1 2 3 4 5

ρ

0

1

2

3

4

5

z

FEM

modelo

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

(c) h = 0.5

0 1 2 3 4 5

ρ

0

1

2

3

4

5

z

FEM

modelo

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

(d) h = 0.7

0 1 2 3 4 5

ρ

0

1

2

3

4

5

z

FEM

modelo

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

(e) h = 0.9



0 1 2 3 4 5

ρ

0

1

2

3

4

5

z

FEM

modelo

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

(a) h = 0.1

0 1 2 3 4 5

ρ

0

1

2

3

4

5

z

FEM

modelo

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

(b) h = 0.3

0 1 2 3 4 5

ρ

0

1

2

3

4

5

z

FEM

modelo

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

(c) h = 0.5

0 1 2 3 4 5

ρ

0

1

2

3

4

5

z

FEM

modelo

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

(d) h = 0.7

0 1 2 3 4 5

ρ

0

1

2

3

4

5

z

FEM

modelo

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

(e) h = 0.9


51

6 Conclusão e próximos passos

O modelo analítico desenvolvido com o ajuste dos parâmetros α e β mostrou-se,mesmo nos piores cenários (por ex. para f = 0.1 e h = 0.9), bastante satisfatório e, emgeral, representa muito bem o campo e potencial eletrostáticos nos arredores de umagotícula condutora eletricamente carregada sobre um substrato isolante - com erro RMSmenor que 3%, podemos considerar bem-sucedida a tarefa de descrever o campo e potencialnos arredores da gotícula e, do nosso conhecimento, não existe modelo similar na literatura.

O tradeoff do conjunto fixo de pontos é o erro próximo à interface para h ≥ 0.9que existe em virtude do domínio flutuante, isto é, da existência de pontos inválidos naregião para certas combinações de f e h. Uma vez que o tempo computacional necessárioà reprodução de nossos resultados não é particularmente longo, acreditamos que umeventual refinamento da grade é perfeitamente factível e pode amenizar este erro, porémnão julgamos um caso de urgência, visto que o modelo como está deve ser suficientementepreciso na maioria dos casos e, caso de fato seja necessária maior precisão na regiãopróxima à interface, a resolução do problema da cunha é mais adequada para a obtençãodo campo e potencial elétricos.

Por fim, consideremos as seguintes tarefas imediatas: (a) o cálculo do campo edo potencial do mesmo problema sob a aplicação de um campo elétrico uniforme; (b) ainvestigação do significado de α e β a respeito do corte e intersecção dos esferoides; (c) averificação da aplicabilidade do modelo 0para εr 6= 4.2 e a parametrização de εr − 1

εr + 1 casonecessário e (d) a construção de um aparato experimental1 como prova última do modelo.

1 macroscopicamente, por ex., com gotículas de mercúrio ou gálio sobre vidro

52

Referências

ARAGONèS, A. C. et al. Electrostactic catalysys of a diels-alder reaction. Nature, v. 531,p. 88–91, 2016. Citado na página 19.

ARFKEN, G. B. Física Matemática. Rio de Janeiro: Elsevier, 2005. Citado 5 vezes naspáginas 26, 28, 30, 31 e 34.

ATKINS, P. Physical Chemistry. London: Oxford, 2014. Citado 3 vezes nas páginas 18,24 e 26.

BANHART, F.; KOTAKOSKI, J.; KRASHENINNIKOV, A. V. Structural defects ingraphene. ACS Nano, v. 5, n. 1, p. 26–41, 2011. Citado na página 21.

BATES, D. M.; WATTS, D. G. Nonlinear Regression Analysis and its Applications. NewYork: John Wiley & Sons, 1988. Citado na página 38.

BOLDRINI, J. L. Álgebra Linear. São Paulo: Harbra, 1986. Citado na página 27.

BOYCE, W. E. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno.Rio de Janeiro: LTC, 2010. Citado 2 vezes nas páginas 24 e 33.

DESHMUKH, S.; TSORI, Y. Communication: Control of chemical reactions using electricfield gradients. The Journal of Chemical Physics, v. 144, n. 05, p. 191102, 2016. Citadona página 19.

DIELS, O.; ALDER, K. Synthesen in der hydroaromatischen reihe. Justus Liebig’sAnnalen der Chemie, v. 460, p. 98–122, 1928. Citado na página 19.

FRANCHI, P.; MEZZINA, E.; LUCARINI, M. Somo-homo conversion in distonic radicalanions: an experimental test in solution by epr radical equilibration technique. J. Am.Chem. Soc., n. 136, p. 1250–1252, 2014. Citado na página 19.

FRONH, A.; ROTH, R. Dynamics of Droplets. Berlin: Springer, 2000. Citado na página26.

GALEMBECK, F.; BURGO, T. A. L. Chemical Electrostatics. Berlin: Springer, 2017.Citado na página 15.

GRIFFITHS, D. J. Introduction to Electrodynamics. New York: Pearson, 2015. Citado 3vezes nas páginas 18, 33 e 45.

JACKSON, J. D. Classical Electrodynamics. New York: John Wiley & Sons, 1975. Citado2 vezes nas páginas 34 e 35.

KELLOGG, O. D. Foundations of Potential Theory. Berlin: Springer, 1967. Citado 2vezes nas páginas 24 e 25.

KLEIJN, C. R. Multi-scale computational modeling of fluid mechanics in thin filmprocessing. Proceedings of the Fifth GRACM International Congress on ComputationalMechanics, Limassol, Chipre, p. 27–42, 2005. Citado na página 15.

Referências 53

KLINSKA, M. et al. Experimental demonstration of ph-dependent electrostatic catalysisof radical reactions. Chemical Science, n. 8, p. 5623–5627, 2015. Citado na página 18.

LANDAU, L. D.; LIFSHITZ, E. M. Electrodynamics of Continuous Media. New York:Pergamon Press, 1960. Citado na página 33.

LEVENBERG, K. A method for the solution of certain nonlinear problems in leastsquares. The Quarterly of Applied Mathematics, v. 2, p. 164–168, 1944. Citado na página38.

MARQUARDT, D. W. An algorithm for least-squares estimation of nonlinear parameters.Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, v. 11, n. 2, p. 431–441,1963. Citado na página 38.

MAXWELL, J. C. The electrical researches of the honourable Henry Cavendish. London:Frank Cass and Company, 1879. Citado na página 34.

MAXWELL, J. C. A Treatise on Electricity and Magnetism, Vol. I. New York: Oxford,1881. Citado na página 33.

MOON, P.; SPENCER, D. E. Field Theory Handbook. Berlin: Springer, 1971. Citado napágina 26.

NOVOSELOV, K. S.; GEIM, A. Electric field effect in atomically thin carbon films.Science, v. 306, p. 666–669, 2004. Citado na página 20.

SHAMS, S. S.; ZHANG, R.; ZHU, J. Graphene synthesis: a review. MaterialsScience-Poland, v. 33, 01 2015. Citado na página 20.

SMYTHE, W. R. Static and Dynamic Electricity. New York: McGraw-Hill, 1950. Citadona página 26.

STRATTON, J. A. Electromagnetic Theory. New York: John Wiley & Sons, 2007. Citado2 vezes nas páginas 15 e 24.

SUR, U. Graphene: A rising star on the horizon of materials science. International Journalof Electrochemistry, v. 2012, 09 2012. Citado na página 20.

WARSHEL, A. et al. Electrostatic basis for enzyme catalysis. Chemical Reviews, v. 106,n. 8, p. 3210–3235, 2006. Citado na página 18.

WARWICK, M. et al. Electric field assisted chemical vapour deposition - a new methodfor the preparation of highly porous supercapacitor electrodes. J. Mater. Chem. A, RoyalSociety of Chemistry, v. 2, p. 6115–6120, 2014. Citado na página 20.

WHYMAN, G.; BORMASHENKO, E. Oblate spheroid model for calculation of the shapeand contact angles of heavy droplets. Journal of Colloid and Interface Science, n. 331, p.174–177, 2009. Citado na página 26.

ZANG, X.; LIN, L. Graphene synthesis via droplet cvd and its photonic applications.Proceedings of the IEEE International Conference on Micro Electro Mechanical Systems(MEMS), p. 486–489, 01 2014. Citado 2 vezes nas páginas 21 e 22.

Anexos

55

ANEXO A – Implementação do método dosquadrados em Python

# -*- coding: utf-8 -*-

’’’

ajuste_oblato.py

’’’

import numpy as np

from scipy.optimize import curve_fit

# parâmetros

a_0 = 1

e_r = 4.2

psi_0 = 1

def psi_oblato(z, alpha, beta):

’’’

modelo - elipsoide oblato

’’’

a = np.sqrt(a_0**2 - b_0**2)

zeta_0 = b_0 / a

# x e y

x, y = z

# zeta_plus e zeta_minus em coordenadas cartesianas

d1 = np.sqrt((x + a)**2 + (y - h * b_0)**2)

d2 = np.sqrt((x - a)**2 + (y - h * b_0)**2)

d3 = np.sqrt((x + a)**2 + (y + h * b_0)**2)

d4 = np.sqrt((x - a)**2 + (y + h * b_0)**2)

zeta_plus = np.sqrt(((d1 + d2)/(2 * a))**2 - 1)

zeta_minus = np.sqrt(((d3 + d4)/(2 * a))**2 - 1)

# retorno

return (psi_0/zeta_0) * (alpha * np.arctan(1/zeta_plus) -

beta * (e_r - 1)/(e_r + 1) * np.arctan(1/zeta_minus))

ANEXO A. Implementação do método dos quadrados em Python 56

def r(z):

’’’

retorna ’r’

’’’

# x e y

x, y = z

# retorno

return np.sqrt(x**2 + y**2)

files = [’../csv/e_oblato_f010_h010.txt’,

’../csv/e_oblato_f010_h030.txt’,























’../csv/e_oblato_f090_h090.txt’]

# ’chute’ inicial para \alpha e \beta

p0 = (1, 1)


i = 0

for f in [0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9]:

for h in [0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9]:

b_0 = 1 - f / a_0

# dados

xData = np.array([np.loadtxt(files[i])[:, 0],

np.loadtxt(files[i])[:, 1]])

yData = np.loadtxt(files[i])[:, 2]

# vetor de pesos inversamente proporcional à ’r’

sigma = 1 / r(xData)

# ajuste

popt, pcov = curve_fit(psi_oblato, xData, yData, p0, sigma=sigma)

if (f == 0.1 and h == 0.1):

res = popt

else:

res = np.vstack((res, popt))

# erro RMS

RMSE = np.sqrt(np.sum((yData - psi_oblato(xData, *popt))**2) / len(yData))

if (f == 0.1 and h == 0.1):

err = RMSE

else:

err = np.vstack((err, RMSE))

i = i + 1

# output

np.savetxt(’ajuste_oblato.out’, np.hstack((res, err)), header=’ajuste_oblato.out’)


# ajuste_oblato.out

1.251855200048067118e+01 1.463788452366180159e+01 2.399682576669602205e-02

7.092565067664284406e+00 5.767945531433993800e+00 1.705498757702067492e-02

6.151098732524086010e+00 4.337689141885726407e+00 1.057067933309724199e-02

5.830677147699604213e+00 4.066897461086398380e+00 8.301307496361336538e-03

5.744100169660294242e+00 4.390625905495570969e+00 6.570312519995908339e-03

3.371231101855265866e+00 3.876264232138499466e+00 2.022325310316869240e-02

1.933762052865972692e+00 1.533614103797391381e+00 1.347344718082693280e-02

1.688311403632381857e+00 1.168727930174510599e+00 8.268935235919590981e-03

1.607450142656454695e+00 1.110617707740117366e+00 6.493857192609666512e-03

1.590787394274166378e+00 1.210377983268702717e+00 4.921055175951674805e-03

1.493216439933282347e+00 1.673260915387130288e+00 1.566870952936488467e-02

8.838071672600404938e-01 6.853765306934730406e-01 8.598803798126568657e-03

7.758259088271914905e-01 5.278901513990476024e-01 5.902816008557127195e-03

7.443568637495927565e-01 5.117645909593464548e-01 4.418433718140669583e-03

7.408151554797306471e-01 5.609394663316448204e-01 3.468184492988855491e-03

6.672790052381977199e-01 7.249037614674904706e-01 9.384161101037317640e-03

4.086136112360516659e-01 3.074546838081769762e-01 4.591925569945660285e-03

3.649722224826506545e-01 2.460201335089747809e-01 2.660481304436696469e-03

3.546731484634589870e-01 2.449773202779259029e-01 1.752428550708078851e-03

2.907452259643370507e-01 1.402104427082425386e-01 5.149857891339922750e-03

1.915739381273265651e-01 2.051992421520594245e-01 2.176215567944132703e-03

1.247364459618405391e-01 9.784322852522248093e-02 3.266135655266209871e-04

1.145664115785359483e-01 8.364983954101652686e-02 1.501366104380714214e-03

1.131590527857025130e-01 8.449092346604250570e-02 1.872286421193522033e-03

1.147442698029865343e-01 9.087636898142073538e-02 1.673207624151023523e-03


# -*- coding: utf-8 -*-

’’’

ajuste_ab.py

’’’

import numpy as np

from scipy.optimize import curve_fit

# função de ajuste p/ alpha

def alpha_beta(z, a, b, c, d, e, f, g):

’’’

modelo (exp(h) + poly(h)) / poly(f)

’’’

# retorno

return (a * np.exp(-b * z[1]) + c * z[1] + d)/(e * z[0]**2 + f * z[0] + g)

’’’

prepareSurfaceData - exemplo / referência

y(x0, x1) data:

x0 x1 | x1[0] x1[1] x1[2]

_______________________________

x0[0] | y[0, 0] y[0, 1] y[0, 2]

x0[1] | y[1, 0] y[1, 1] y[1, 2]

x0[2] | y[2, 0] y[2, 1] y[2, 2]

x0 = np.array([x0[0],

x0[0],

x0[0],

x0[1],

x0[1],

x0[1],

x0[2],

x0[2],

x0[2]])

x1 = np.array([x1[0],

x1[1],

x1[2],

x1[0],


x1[1],

x1[2],

x1[0],

x1[1],

x1[2])

xData = np.array([x0, x1])

yData = np.array([y[0, 0], y[0, 1], ... y[2, 2]) # row-major order

popt, pcov = curve_fit(f, xData, yData)

’’’

x0 = np.array([0.1, # x0 = f

0.1,

0.1,

0.1,

0.1,

0.3,

0.3,

0.3,

0.3,

0.3,

0.5,

0.5,

0.5,

0.5,

0.5,

0.7,

0.7,

0.7,

0.7,

0.7,

0.9,

0.9,

0.9,

0.9,

0.9])

x1 = np.array([0.1, # x1 = h

0.3,

0.5,

0.7,


0.9,

0.1,

0.3,

0.5,

0.7,

0.9,

0.1,

0.3,

0.5,

0.7,

0.9,

0.1,

0.3,

0.5,

0.7,

0.9,

0.1,

0.3,

0.5,

0.7,

0.9])

# points

xData = (x0, x1)

# grid

X, Y = np.mgrid[0.1:0.9:15j, 0.1:0.9:15j]

#------------------------------------------------------------------------------

# regressão não-linear (\alpha e \beta em função de f e h)

#------------------------------------------------------------------------------

# \alpha

yData = np.loadtxt(’ajuste_oblato.out’)[:, 0]

popt_a, pcov_a = curve_fit(alpha_beta, xData, yData)

# erro RMS

RMSE_a = np.sqrt(np.sum((yData - alpha_beta(xData, *popt_a))**2) / len(yData))

# \beta

yData = np.loadtxt(’ajuste_oblato.out’)[:, 1]

popt_b, pcov_b = curve_fit(alpha_beta, xData, yData)


# erro RMS

RMSE_b = np.sqrt(np.sum((yData - alpha_beta(xData, *popt_b))**2) / len(yData))

# output

file = open(’ajuste_ab.out’, ’w’)

file.write(’’’# ajuste dos parâmetros

a = (A * exp(-B * h) + C * h + D)/(E * f**2 + F * f + G)

A = {0:+.18e} RMSE = {7:+.18e}

B = {1:+.18e}

C = {2:+.18e}

D = {3:+.18e}

E = {4:+.18e}

F = {5:+.18e}

G = {6:+.18e}

b = (A * exp(-B * h) + C * h + D)/(E * f**2 + F * f + G)

A = {8:+.18e} RMSE = {15:+.18e}

B = {9:+.18e}

C = {10:+.18e}

D = {11:+.18e}

E = {12:+.18e}

F = {13:+.18e}

G = {14:+.18e}

’’’.format(popt_a[0],

popt_a[1],

popt_a[2],

popt_a[3],

popt_a[4],

popt_a[5],

popt_a[6],

RMSE_a,

popt_b[0],

popt_b[1],

popt_b[2],

popt_b[3],

popt_b[4],

popt_b[5],

popt_b[6],


RMSE_b))

file.close()


# ajuste dos parâmetros

a = (A * exp(-B * h) + C * h + D)/(E * f**2 + F * f + G)

A = +3.060778251722120302e+01 RMSE = +8.306621536858890820e-02

B = +9.122332020275434772e+00

C = -1.143644520720598967e+00

D = +1.221705743570102065e+01

E = +6.868040116998430733e+01

F = -1.707980986111427679e+00

G = +1.435295783968011829e+00

b = (A * exp(-B * h) + C * h + D)/(E * f**2 + F * f + G)

A = +1.917562654210778135e+02 RMSE = +8.456186016087856305e-02

B = +8.184102783326016706e+00

C = +9.400923763854905246e+00

D = +2.411071556190535858e+01

E = +2.970862413827574073e+02

F = -1.686192957647624624e+01

G = +6.211896956444688200e+00

ummodeloparaopotencialeletrostáticode ...€¦ · universidadeestadualdecampinas-unicamp...

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