uma sequÊncia de atividades para ensinar (e aprender) inequaÇÕes · 2019. 4. 26. · 5 | p á g...
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UMA SEQUÊNCIA DE
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ADIL FERREIRA MAGALHÃES
UMA SEQUÊNCIA DE
ATIVIDADES PARA ENSINAR
(E APRENDER) INEQUAÇÕES
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© 2013
Universidade Federal de Ouro Preto Instituto de Ciências Exatas e Biológicas | Departamento de Matemática
Programa de Pós-Graduação | Mestrado Profissional em Educação Matemática
Reitor da UFOP | Prof. Dr. Marcone Jamilson Freitas Souza
Vice-Reitora | Prof.ª Dr.ª Célia Maria Fernandes Nunes
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLOGIAS Diretor (a) | Prof.ª Dr.ª Raquel do Pilar Machado
Vice-Diretor (a) | Prof. Dr. Fernando Luiz Pereira de Oliveira
PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS - GRADUAÇÃO Pró-Reitor | Prof. Dr. Valdei Lopes de Araújo
Pró-Reitor Adjunto | Prof. Dr. André Talvani Pedrosa da Silva
Coordenação | Prof.ª Dr.ª Regina Helena de Oliveira Lino Franchi
MEMBROS
Ana Cristina Ferreira, Célia Maria Fernandes Nunes, Dale William Bean, Daniel Clark Orey, Dilhermando Ferreira Campos, Frederico da Silva Reis, Marger da Conceição Ventura Viana,
Maria do Carmo Vila, Milton Rosa, Plínio Cavalcanti Moreira, Teresinha Fumi Kawasaki.
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Catalogação: [email protected]
Reprodução proibida Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de fevereiro de 1998.
Todos os direitos reservados.
M188s Magalhães, Adil Ferreira.
Uma sequência de atividades para ensinar (e aprender) inequações / Adil
Ferreira Magalhães, Plínio Cavalcanti Moreira (Orientador) - Ouro Preto:
UFOP, 2013.
48p.: il. color.; quadros.
ISBN:
1. Matemática - Estudo e ensino. 2. Formação de professores. 3.
Aprendizagem. 4. Inequações. I. Moreira, Plínio Cavalcanti (Orientador). II.
Título.
CDU: 512: 37.02
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“A aprendizagem da matemática ressalta fenômenos
complexos, pois é necessário ao mesmo tempo
levar em conta as exigências científicas
próprias dos conteúdos matemáticos
e o funcionamento cognitivo do
pensamento humano.”
(Raymond Duval)
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Expediente Técnico ________________________
Organização | Adil Ferreira Magalhães
Pesquisa e Redação | Adil Ferreira Magalhães
Projeto Gráfico e Capa | Editora UFOP
Fotos | Adil Ferreira Magalhães
Ilustração | Adil Ferreira Magalhães
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Índice ________________________
Apresentação ............................................................................................................09
Motivação: Prática Docente ......................................................................................12
A Literatura de pesquisa sobre o tema .....................................................................15
Público Alvo ..............................................................................................................18
A sequência de atividades.........................................................................................19
Atividade 1.................................................................................................................21
Atividade 2.................................................................................................................26
Atividade 3.................................................................................................................29
Atividade 4.................................................................................................................33
Atividade 5.................................................................................................................37
Atividade 6.................................................................................................................39
A título de conclusão.................................................................................................44
Referências...............................................................................................................46
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Apresentação _____________________________
Prezados Professores,
Apresento-lhes este material referente ao trabalho com inequações, o
qual foi construído com base em uma pesquisa bibliográfica ampla, e implementado
num curso de licenciatura em matemática da região metropolitana de Belo Horizonte.
A ideia da concepção deste material didático é conectar e integrar, num mesmo
processo, diferentes possibilidades de atuação didático-pedagógica sobre as
dificuldades na aprendizagem do tema.
Antes de apresentar o material, no entanto, vou falar um pouco da minha
trajetória pessoal pela Educação Matemática a fim de situar um pouco melhor o
autor do trabalho, a história da construção desse material e os objetivos pedagógicos
e didáticos do próprio trabalho. Lecionando em cursos de aperfeiçoamento
profissional para professores da Educação Básica (Fundamental e Médio), no curso
de Licenciatura em Matemática de uma instituição pública estadual ou diretamente
em escolas públicas e particulares do Ensino Fundamental e Médio, sempre estive
motivado, preocupado e atuante diante das questões da educação matemática,
buscando soluções para os problemas trazidos por meus alunos e para os
problemas decorrentes das reflexões críticas que faço sobre a minha prática
docente.
Entretanto, os questionamentos foram se tornando mais frequentes e me
propunham reflexões mais exigentes a cada dia de trabalho. Diante desse quadro,
ao ingressar no mestrado profissional em Educação Matemática, realizei uma
pesquisa teórica acerca do ensino e aprendizagem das Inequações e construí um
conjunto sequencial de atividades tendo como objetivo principal a retomada do
desenvolvimento do pensamento funcional e algébrico do licenciando, trabalhando,
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em variadas frentes, estabelecendo uma sincronia entre o uso dos conceitos
matemáticos e as técnicas de resolução de inequações, de forma a compor um
sentido para o domínio dessas técnicas a partir de aspectos semânticos e sintáticos.
Diante disso, acredito que a proposta possa trazer contribuições para o
desenvolvimento da formação inicial de futuros professores, levando-os a repensar
criticamente as formas aprendidas na Escola Básica, criando, talvez, oportunidades
de construção de caminhos consistentes para o ensino do tema em sua futura
prática profissional.
Este produto educacional é parte de minha dissertação de mestrado
intitulada “Estudo das Inequações: Contribuições para a Formação do Professor de
Matemática na Licenciatura”, que compartilho com vocês, refletindo acerca da
condução e desenvolvimento das tarefas propostas, sob o ponto de vista do
professor e pesquisador que sou, além de tentar oferecer-lhes algumas sugestões
de uso do material em sala de aula, tanto da escola quanto de cursos de formação
de professores.
Inicialmente, dissertarei de maneira breve sobre minha experiência
docente e a razão que me levou à realização de todo o trabalho no mestrado. Em
seguida, exponho as concepções teóricas que permeiam este Estudo das
Inequações, as quais foram de grande relevância na construção das atividades
propostas. Detalharei a aplicação das seis atividades desenvolvidas junto a uma
turma do 2º período do Curso de Licenciatura em Matemática, na disciplina Funções.
No final, apresento algumas considerações sobre o trabalho como um
todo e algumas sugestões de leitura para aqueles interessados em se aprofundar no
estudo didático das Inequações.
Para mais detalhes sobre este trabalho, sugiro o acesso à dissertação
na página do programa de Mestrado Profissional em Educação Matemática da
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UFOP, por meio do link
http://www.ppgedmat.ufop.br/index.php?option=com_content&view=article&id=60&Itemid=69
ou entrar em contato comigo diretamente por email.
Desejo a todos uma leitura agradável!
Adil Ferreira Magalhães
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Motivação: Prática Docente
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Examinando minha experiência docente, verifico que o tema - estudo das
inequações - sempre me deixou intrigado quanto à necessidade de um trabalho
especial visando seu ensino, uma vez que as dificuldades de alunos e professores
relativas a ele são perceptíveis mesmo a partir de uma observação superficial.
Estudando o assunto, constatei que as dificuldades provêm de diferentes fontes. As
abordagens usuais no trabalho com as inequações procuram, no geral, enfatizar as
técnicas de resolução, normalmente seguidas dos problemas de “aplicação”, mas os
resultados não são nada encorajadores. Assim, passei a tentar novas abordagens
em que as técnicas de resolução das inequações pudessem fazer sentido para o
aluno. Com isso esperava que eles pudessem resolver as inequações, ao mesmo
tempo em que compreendessem o significado e o alcance dessas resoluções, sendo
capazes de transferi-las, então, para situações novas.
A tentativa de levar os estudantes a entender “os porquês” das técnicas
me conduziu a novas ideias sobre a relação delas com a linguagem matemática, em
particular com a linguagem e o pensamento algébrico. Em busca desse olhar teórico,
me deparei com o trabalho de Débora Veloso (2012) que me transportou a uma
reflexão mais profunda sobre as possibilidades de uma abordagem centrada no
desenvolvimento do pensamento algébrico. Pude, então, compreender que o
pensamento algébrico pode se desenvolver ao longo de todo o processo de
escolarização do estudante, possibilitando uma melhor utilização da Matemática
como ferramenta na resolução de problemas, na criação de modelos matemáticos,
na compreensão de fórmulas e interpretação de gráficos, enfim na apropriação
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efetiva da linguagem e dos conceitos matemáticos fundamentais para a inserção do
indivíduo na sociedade contemporânea.
Assim, encontrei-me diante de um problema pedagógico complicado:
uma familiaridade superficial com o simbolismo pode acarretar a ilusão do
aprendizado matemático, reduzindo-o à pura memorização de regras, mas, ao
mesmo tempo, não se deve ignorar o papel que esse simbolismo pode ter no
processo de desenvolvimento do pensamento algébrico. No caso das inequações,
esse problema pedagógico toma uma dimensão ampliada porque o estudo é feito em
estágios relativamente avançados de aprendizagem matemática, quando os
trabalhos didático-pedagógicos que deveriam ter introduzido o aprendiz no processo
de construção e desenvolvimento do pensamento algébrico já ficaram para trás, por
assim dizer, em termos do currículo escolar. Fui me convencendo, então, de que a
grande dificuldade no trabalho com as inequações refere-se a uma deficiência global
no desenvolvimento do pensamento algébrico tanto por parte do estudante da escola
como por parte do estudante da Licenciatura em Matemática, o que, em geral, tem
induzido um tratamento do assunto centrado nos procedimentos de resolução
algébrica de inequações. Incluídas nessa deficiência global referida acima, estão as
dificuldades associadas ao precário desenvolvimento do pensamento funcional,
incluindo familiaridade com a ideia de que certos valores dependem de outros,
variam de acordo com a variação de outros. O pensamento funcional, sendo parte do
pensamento algébrico, torna-se especialmente importante no estudo das inequações
porque, entre outros aspectos, a diferenciação do papel da letra como variável ou
como incógnita pode ser crucial.
Assim, desenvolvi este estudo acreditando na possibilidade de enfrentar
as dificuldades de aprendizagem do tema através de um trabalho sistemático de
retomada do desenvolvimento do pensamento funcional e algébrico, trabalhando, em
várias frentes, como mostrarei adiante.
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No presente trabalho, apresento primeiramente minhas concepções
acerca do ensino do tema Inequações, derivadas de um estudo da literatura
pertinente ao tema e da minha experiência pessoal no ensino dessa temática, tanto
na licenciatura quanto no Ensino Básico. Em seguida, apresento a proposta de uma
sequência de seis atividades, contendo 20 questões relacionadas com as
inequações para que outros profissionais interessados no assunto e vivenciando
dificuldades similares às que descrevi anteriormente possa utilizar da forma que lhe
parecer conveniente e de acordo com o que as suas condições de exercício da
docência permitem. Essa sequência foi aplicada a um grupo de licenciandos em
matemática e as reflexões acerca da aplicação e dos resultados obtidos são
apresentadas também neste texto. É claro que a partir deste relato o leitor professor
poderá realizar as alterações que achar convenientes e adequadas à sua sala de
aula específica. É uma sugestão que pode contribuir para ampliar as possibilidades
de ação do professor e que pode ser usada tanto em partes inseridas entre aulas
(expositivas ou não) sobre o assunto, como também em sua totalidade, na condição
de uma sequência de atividades propostas para o trabalho em grupo ou individual.
Pode ser utilizada também como diagnóstica das condições de aprendizagem dos
alunos, antes do trabalho com o tema ou numa experiência de avaliação, após o
trabalho didático realizado pelo docente com seus alunos. É claro que o professor é
quem decide, o texto relata a experiência e espero que ajude aquele docente que
busca alternativas de ensino do tema.
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A literatura de pesquisa sobre o tema
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Ao desenvolver a revisão de literatura, percebemos que muitas
pesquisas relacionadas ao tema tiveram a Teoria dos Registros de Representação
Semiótica de Raymond Duval como referência. Por isso, fazemos uma pequena
explanação das ideias desse autor, a fim de facilitar a compreensão do texto e a
avaliação das potencialidades da proposta a ser apresentada.
Segundo Duval (2003), nos estudos sobre aprendizagem matemática é
importante levar em consideração as especificidades desta disciplina em relação às
outras disciplinas escolares e científicas, assim como o funcionamento cognitivo do
pensamento humano. Nesse sentido, o autor entende que o acesso aos objetos
matemáticos se dá fundamentalmente através de suas representações, uma vez que
eles, em si, são construções mentais. Por exemplo, uma criança pode ver o símbolo
2, mas não é possível ver o número que este símbolo representa, pois o número é
uma construção da mente. O mesmo raciocínio pode ser estendido para um
quadrado. Pode-se desenhar uma coisa que leve as pessoas a pensar num
quadrado, mas o desenho é apenas uma representação, não o próprio quadrado
(entendido como um objeto matemático). Entre outras considerações que distinguem
uma coisa da outra, podemos pensar que as linhas que formam o bordo do quadrado
desenhado têm espessura, quando, no objeto matemático, não têm.
Um aspecto importante na teoria de Duval é a distinção entre dois tipos
de transformação de representações, o tratamento e a conversão. O tratamento se
refere a transformações que se realizam dentro de um mesmo sistema de
representação de um dado objeto, por exemplo, aquelas que usualmente são
realizadas na resolução algébrica de uma inequação:
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4x3 → 3x – 4 15 → 3x 19 → x
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19. Essas transformações que levam
ao resultado final foram desenvolvidas dentro de um mesmo sistema de
representação, usando uma linguagem algébrica. Já para as conversões,
necessitamos de uma mudança no sistema de registro de representações, como por
exemplo, passar da escrita algébrica da equação de um círculo à sua representação
gráfica.
Por outro lado, Duval observa que o objeto não se identifica
completamente com nenhuma de suas representações, no sentido de que a
representação nunca é exatamente o objeto. Além disso, normalmente uma
determinada representação é sempre parcial como “substituta” do objeto que
representa, portanto é preciso não só conhecer diferentes representações do objeto
a ser apreendido, como também ser capaz de transformar uma representação em
outras, tanto dentro de um mesmo sistema de registro (tratamento), como também, e
principalmente, no contexto de trânsito entre diferentes sistemas de registro
(conversão). Para que não se perca a “congruência” em relação ao objeto no
decorrer dessas transformações, seria necessário desenvolver um domínio
coordenado dos registros envolvidos, especialmente no caso das conversões. Nesse
sentido, o autor afirma que “se se quer analisar as dificuldades de aprendizagem em
matemática, é preciso estudar prioritariamente a conversão das representações e
não os tratamentos” (DUVAL, 2003, p.30).
Visto isso, observamos que a literatura específica sobre o tema das
inequações, influenciou de modo relevante nosso trabalho, no sentido de que foi a
partir da leitura minuciosa dos relatos apresentados na dissertação que construímos
a perspectiva mais ampla, segundo a qual este nosso estudo veio a ser
desenvolvido. As pesquisas relacionadas ao trabalho com as inequações mostraram,
basicamente, que a tendência dominante entre estudantes é restringirem-se ao
tratamento algébrico, não distinguindo adequadamente os procedimentos gerais,
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utilizados na resolução de inequações, daqueles procedimentos particulares,
utilizados na resolução de certas equações específicas como as de primeiro grau,
por exemplo. A ênfase é posta, de modo geral, na memorização de regras
operacionais, as quais acabam sendo incorretamente generalizadas, visto que, na
maioria das vezes, não são indiscriminadamente aplicáveis, sendo necessário
proceder a algum tipo de análise para verificar se se adaptam ao caso em questão, o
que normalmente não é feito.
A partir dessa constatação, nos colocamos a seguinte pergunta: será que
uma abordagem mais ampla, trabalhando globalmente sobre o conjunto das
possíveis fontes de dificuldades de aprendizagem indicadas pela literatura e pela
nossa experiência de sala de aula no trabalho com as inequações, uma abordagem
em que se tenta cobrir (pelo menos parcialmente e no tempo permitido pelas
condições de desenvolvimento do tema dentro de uma disciplina) as deficiências de
desenvolvimento do pensamento algébrico e funcional dos estudantes da
licenciatura, poderia levar a resultados mais substanciais e mais fortemente
evidenciados na aprendizagem do tema?
Nessa perspectiva, mostraremos adiante o desenvolvimento das
atividades que aplicamos no 2º período de um curso de Licenciatura em Matemática,
em uma disciplina denominada Funções, destacando o impacto do trabalho com
essa sequência de atividades na aprendizagem dos alunos.
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Público Alvo
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A proposta foi desenvolvida com uma turma de 34 alunos do 2º período do
Curso de Licenciatura em Matemática, em uma disciplina denominada Funções, de
um Instituto Superior de Educação da rede pública, região metropolitana de Belo
Horizonte, da qual o pesquisador é professor efetivo. Desses 34 alunos, 29
aceitaram participar da pesquisa, embora um destes não tenha efetivamente
participado de nenhuma aula no período em que as atividades foram aplicadas.
Verificamos através da lista de presença dos encontros que 11 estudantes faltaram a
vários encontros, portanto, 12 alunos foram desconsiderados para a coleta de dados,
neste caso, ficamos com dados referentes a 17 estudantes.
As atividades foram desenvolvidas no horário regular das aulas e realizadas
em dois momentos: durante os primeiros 40 minutos da aula, os alunos realizaram
as tarefas propostas individualmente. No decorrer dos outros 60 minutos, eram
formados grupos de trabalho visando a socialização dos resultados, confronto de
ideias, discussões e troca de experiências.
Obtivemos a autorização dos alunos para a realização do trabalho e a
identificação de cada estudante, de forma a preservar sua privacidade, foi
substituída por códigos – E1, E2, E3,..., E17.
Segue, então, o desenvolvimento da sequência de atividades.
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A sequência de atividades
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A sequência de atividades – envolvendo inequações – foi desenhada
com os seguintes objetivos:
1. Desenvolver a capacidade de interpretação e uso dos símbolos matemáticos
em vários sistemas de representação, no contexto de leitura de textos em
linguagem natural, algébrica padrão e gráfica, incluindo o trânsito entre elas
(coordenação de registros e conversões com atenção à congruência);
2. Reconhecer e expressar regularidades em determinados contextos
matemáticos (desenvolvimento do pensamento algébrico), particularmente
aqueles associados a situações envolvendo desigualdades numéricas e
resolução de inequações;
3. Construir e interpretar tabelas e gráficos, relacionando-os com as resoluções
de equações e inequações (pensamento funcional, tratamentos e
conversões);
4. Desenvolver a capacidade de analisar situações-problema e apresentar
respostas a questões a elas relacionadas, especialmente no que concerne a
resolução de inequações (resolução de problemas).
Para aplicação da sequência, realizamos inicialmente uma conversa
com os estudantes para explicar-lhes a metodologia de trabalho que iria conduzir o
desenvolvimento das seis atividades. Em cada encontro, folhas com as questões da
atividade correspondente àquele dia seriam entregues a cada aluno. Ao final deste
primeiro momento, cópias impressas das questões da atividade seriam entregues a
cada grupo. Finalizado o segundo momento seriam recolhidas as respostas
individuais e dos grupos (uma resposta para cada grupo), as quais seriam anexadas
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ao relatório de grupo, postados também comentários das dificuldades encontradas
para realização das tarefas, as estratégias utilizadas, aspectos considerados
importantes das discussões que haviam ocorrido no interior do grupo.
Na próxima seção, descreveremos com detalhes, as atividades
realizadas.
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Atividade 1
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A Atividade 1, assim como as outras, foi aplicada seguindo a
metodologia descrita na seção anterior e propôs as seguintes tarefas:
1ª questão: conversão da linguagem simbólica para linguagem natural e vice-versa.
Leitura de uma expressão algébrica e/ou “tradução” para a linguagem natural, de
modo a facilitar a construção de sentido para os textos algébricos.
FIGURA 1 – Questão 1/Atividade 1 (Q11)
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2ª questão: cálculo ou estimativa do valor numérico de uma expressão algébrica.
Trabalhar com igualdades e desigualdades no contexto de letras como variáveis.
FIGURA 2 – Questão 2/Atividade 1 (Q12)
Ressaltamos que na segunda questão, os estudantes apresentaram
dificuldades acentuadas nos itens a, b e c, demonstrando equívocos em relação às
estimativas dos cálculos de valor numérico que envolviam desigualdades no
contexto de letras como variáveis, o que não ocorreu quando se tratava do contexto
de letras como incógnitas. As setas da figura indicam os itens referidos neste
comentário. Sugerimos, neste caso, que haja intervenção do professor na discussão
dos itens assinalados, para que os estudantes obtenham um desempenho
considerável nestas estimativas, principalmente pelo fato de que nesses itens são
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exigidos conceitos importantes para a compreensão de letras como variáveis, dentro
de certo domínio.
3ª questão: propriedades básicas da ordem nos reais.
FIGURA 3 – Questão 3/Atividade 1 (Q13)
4ª questão: relações de ordem, envolvendo igualdades e desigualdades com
potências, números racionais e irracionais.
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FIGURA 4 – Questão 4/Atividade 1(Q14)
5ª questão: inequações simultâneas, dadas as possíveis soluções. O objetivo era
fixar a ideia do significado da solução: essencialmente, um número é solução se
satisfaz a desigualdade proposta.
FIGURA 5 – Questão 5/Atividade 1(Q15)
6ª questão: reconhecer que ao multiplicar os dois membros de uma desigualdade
por número negativo inverte-se o sentido da desigualdade, num caso que envolve
mais de um “passo”.
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FIGURA 6 – Questão 6/Atividade 1(Q16)
Esta atividade foi utilizada com o objetivo de retomar conceitos
básicos para o desenvolvimento do pensamento algébrico e das propriedades que
envolvem igualdades e desigualdades, além da resolução de inequações de primeiro
grau.
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Atividade 2
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Ao iniciamos a aplicação da Atividade 2 os estudantes mostraram-se
comprometidos e desenvolveram os trabalhos normalmente, pois vivenciaram a
metodologia na atividade anterior. Essa atividade propôs as seguintes tarefas:
FIGURA 7 – Questão 1/Atividade 2 (Q21)
1ª questão: verificação de soluções de inequações, mas dados números e intervalos.
A ideia também era fixar o sentido da solução como números que satisfazem a
inequação, mas com um nível de dificuldade maior, no sentido de que teriam que
testar todo um intervalo.
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2ª questão: resolução de problema escrito na linguagem natural, envolvendo
desigualdades, objetivando a tradução para a linguagem simbólica.
FIGURA 8 – Questão 2/Atividade 2 (Q22)
3ª questão: resolução de questões envolvendo o preenchimento de uma tabela,
estabelecimento da lei da função apresentada por um problema em língua natural,
resolução de equações e inequações de 2º grau. Esperava-se do estudante dois
tipos de resolução: a percepção da regularidade dos valores da tabela ou a
resolução algébrica das equações e inequações
FIGURA 9 – Questão 3/Atividade 2 (Q23)
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4ª questão: Resolução de inequações a partir de uma situação problema. Neste
caso, o estudante poderia recorrer à construção de uma tabela, resolver
algebricamente ou simplesmente chegar ao resultado pela análise da natureza
quantitativa da fórmula dada.
FIGURA 10 – Questão 4/Atividade 2 (Q24)
Ressaltamos que, a 1ª e a 2ª questão desta atividade, têm o mesmo
objetivo das questões da atividade 1, retomada de conceitos básicos, tanto para o
desenvolvimento do pensamento algébrico quanto para desenvolvimento de
propriedades importantes na resolução de inequações, além de introduzir uma
situação-problema (questão 2), com o intuito de iniciar a tradução da linguagem
natural para a linguagem algébrica, tônica de todas as outras atividades
subsequentes.
No entanto, lembramos que as questões 3 e 4 desta atividade, foram
inseridas na análise de dados, constituindo algumas das rotas de aprendizagem
apresentadas na dissertação.
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Atividade 3
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A Atividade 3, composta de três questões, propôs as seguintes
tarefas:
1ª questão: dados fornecidos através de uma figura geométrica; noções sobre área
de trapézio; resolução de equações e inequações apresentadas em linguagem
natural e conversão para linguagem algébrica. A construção de um trapézio visava a
inserção de elementos geométricos na realização das atividades.
FIGURA 11 – Questão 1/Atividade 3 (Q31)
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2ª questão: preenchimento de tabela, reconhecimento da lei geral da função,
resolução de equações e inequações apresentadas em linguagem natural e em
linguagem algébrica, conversão entre elas.
FIGURA 12 - Questão 2/Atividade 3 (Q32)
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3ª questão: preenchimento de tabela, resolução de inequações de 2º grau,
apresentadas em linguagem natural e em linguagem algébrica; conversão entre
linguagens, letras como incógnitas e como variáveis.
FIGURA 13 – Questão 3/Atividade 3 (Q33)
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Nessa atividade, os estudantes mostram algumas dificuldades na
resolução da terceira questão, cujo tema predominante são inequações de 2º grau.
Apresentam as conversões da linguagem natural para a algébrica, mas demonstram
desempenho decrescente nos tratamentos algébricos, como podemos observar pelo
registro do Estudante E3.
FIGURA 14 – Registro da Questão Q33 - Estudante E3
Sugerimos, neste caso, a intervenção do professor na retomada dos
procedimentos algébricos para resolução de inequações simultâneas de 2º grau.
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Atividade 4
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A Atividade 4, composta de duas questões, propôs as seguintes tarefas:
1ª questão: preenchimento de tabela; resolução de inequação de 1º grau; construção
de gráfico; conversão entre linguagem gráfica, algébrica e natural; letras como
incógnitas e como variáveis.
FIGURA 15 – Questão 1/Atividade 4 (Q41)
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2ª questão: área de um triângulo retângulo em função das medidas dos catetos;
domínio da função; resolução de equações e inequações apresentadas em
linguagem natural; gráfico da função. Nesta questão foi inserido o elemento
geométrico, relacionando-a com a atividade anterior, mas exigindo o trabalho com
números irracionais.
FIGURA 16 – Questão 2/Atividade 4 (Q42)
Ressaltamos que os alunos obtiveram desempenho muito bom no
desenvolvimento da 1ª questão desta atividade, mas demonstraram dificuldades na
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resolução de inequações de 2º grau, que apresentaram discriminante inteiro que não
era quadrado perfeito (2ª questão). Entretanto, os estudantes mostraram domínio na
formulação da lei da função Área e na determinação de sua condição de existência.
Outro ponto a ser destacado nesta questão é a tradução da linguagem
algébrica para a linguagem gráfica, referente ao item g da questão 2. Os estudantes,
em sua grande maioria, não apresentaram nenhum registro para este item. E quando
o fizeram, cometeram alguns equívocos na construção do gráfico como podemos
observar no registro do Estudante E14.
FIGURA 17 – Registro da Questão Q42 – Estudante E14
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Sugerimos, neste caso, a intervenção do professor na retomada dos
procedimentos algébricos na resolução de inequações de 2º grau com
discriminantes inteiros que não são quadrados perfeitos (enfatizando aproximações)
e da construção de gráficos dentro de um determinado campo de existência.
Entretanto, enfatizamos o fato de que os alunos apresentam
conversões da língua natural para a algébrica, mas não se sobressaem
adequadamente quanto aos tratamentos algébricos relativos à Função de 2º grau.
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Atividade 5
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A Atividade 5, composta de três questões, propôs as seguintes tarefas:
1ª questão: resolução gráfica e algébrica de equações e inequações de 1º grau;
análise comparativa das soluções e elaboração de uma situação problema em
linguagem natural para as situações apresentadas em linguagem gráfica e algébrica.
Figura 18 – Questão 1/Atividade 5 (Q51)
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2ª questão: resolução gráfica e algébrica de equações e inequações de 2º grau e
análise comparativa das soluções.
Figura 19 – Questão 2/Atividade 5 (Q52)
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3ª questão: resolução gráfica e algébrica de equação e inequações modulares e
análise comparativa das soluções .
Figura 20 – Questão 2/Atividade 5 (Q53)
Ressaltamos um desempenho muito bom nas resoluções gráficas e
algébricas das equações e inequações apresentadas nas questões desta atividade.
Entretanto, apresentaram poucos registros nas análises comparativas das soluções
e na elaboração de uma situação problema em linguagem natural, demonstrando
pouco domínio nesta conversão, como podemos observar no registro do Estudante
E3, na página seguinte. O estudante realiza a análise comparativa e não apresenta a
elaboração da situação problema solicitada no item d.
Sugerimos que o professor faça uma intervenção na realização desses
itens, já que essa conversão é fundamental para que a aprendizagem seja
concretizada.
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FIGURA 21 – Registro da Questão Q51 – Estudante E3
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Atividade 6
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A Atividade 6, composta de duas questões, propôs as seguintes tarefas:
1ª questão: resolução de equações e inequações de 2º grau apresentadas em
linguagem natural. Conversão da linguagem natural para a linguagem algébrica.
Incógnitas e variáveis em equações e inequações de 2º grau.
FIGURA 22 – Questão 1/Atividade 6 (Q61)
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2ª questão: preenchimento de tabela; representação gráfica de função; resolução de
inequação modular e análise comparativa dos resultados. Uso da tabela para auxiliar
na resolução de inequações.
FIGURA 23 – Questão 2/Atividade 6 (Q62)
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Ressaltamos um desempenho muito bom na 2ª questão dessa atividade.
Entretanto, na análise comparativa dos resultados, os estudantes, em sua grande
maioria, não apresentaram registros. Sugerimos, neste caso, a intervenção do
professor para a consolidação desse tipo de atividade, pois, há aqui a confirmação
do trânsito entre as diferentes linguagens, indicando avanços na aprendizagem.
Quanto à primeira questão desta atividade, pudemos verificar pouco
domínio na resolução da equação e inequações de segundo grau, onde o
discriminante é inteiro e não é quadrado perfeito. Observamos que os estudantes
iniciam a resolução e não a finalizam como podemos observar no registro do
Estudante E12. O estudante apresentou tentativas cometendo equívocos nos
tratamentos e na tradução algébrica das questões.
FIGURA 24 – Registro da Questão Q61 – Estudante
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A título de conclusão
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O estudo realizado através da aplicação de uma sequência de
atividades voltada para o desenvolvimento do pensamento algébrico, utilizando
diferentes linguagens e representações, teve como objetivo propor reflexões sobre
elementos que a literatura especializada indica como chaves para a compreensão e
uso das técnicas e dos conceitos relevantes na solução de problemas envolvendo as
inequações.
A análise do processo desenvolvido com os estudantes evidenciou que
houve evolução dos estudantes no reconhecimento do sentido das regras e dos
procedimentos associados ao trato com as desigualdades, assim como na
construção e interpretação de tabelas e gráficos, conseguindo relacionar, algumas
vezes, os resultados obtidos nesse sistema de representação com os obtidos em
tratamentos dentro da representação algébrica.
Diante disso, acreditamos que as reflexões propostas pelas atividades
contribuíram para o desenvolvimento da formação inicial dos estudantes, levando-os
a repensar criticamente as formas aprendidas na escola básica e oferecendo
oportunidade de construção de caminhos mais consistentes de ensino na futura
prática profissional.
No entanto, pudemos identificar também algumas dificuldades
apontadas em outros estudos similares, e que não parecem ter sido ultrapassadas.
Nesse sentido, a grande dificuldade ainda a ser vencida é a forte barreira que se
coloca para os estudantes quando se pede para explicitar, no registro da língua
natural, os procedimentos e os processos dedutivos ou indutivos utilizados por eles
nas resoluções dos problemas. Esse tipo de explicitação, embora realmente difícil, é
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importante na medida em que desenvolve uma espécie de reflexão meta-analítica
sobre os procedimentos utilizados, permitindo perceber as limitações e
potencialidades de generalização a outras situações, além de verificar as possíveis
incongruências entre diferentes representações mobilizadas para um mesmo objeto
matemático.
O estudo também nos indicou possibilidades de modificações
importantes nas atividades propostas e na forma com que elas foram realizadas em
sala de aula. Estamos convencidos de que um retorno aos alunos após o término de
uma atividade e antes do início da seguinte é fundamental para que se oportunize
algum tipo de síntese das aprendizagens potenciais proporcionadas pela atividade
que termina e que poderão ser utilizadas com mais propriedade e segurança na que
começa a seguir.
Nesse sentido, as atividades podem ser reorganizadas, tanto em sua
estrutura, quanto à dinâmica em sala de aula, sempre de acordo com os objetivos do
professor ou professora que irá adotá-las, assim como os de seus alunos. Além
disso, enfatizamos que a sequência de atividades propostas poderá ser aplicada de
forma diagnóstica, processual e avaliativa, já que a mesma contempla uma
diversidade de aspectos importantes para verificação da aprendizagem do tema.
Por fim, acreditamos que a fundamentação teórica sempre vem a enriquecer
a nossa prática docente. Nessa perspectiva, àqueles que acharam relevante nossa
proposta e desejem aprofundar um pouco mais no estudo sobre ensino e
aprendizagem das Inequações, recomendamos as leituras dos estudos citadas em
nossas referências bibliográficas.
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