uma proposta didÁtica para o ensino de mecÂnica
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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências
UMA PROPOSTA DIDÁTICA PARA O ENSINO DE MECÂNICA QUÂNTICA NAS LICENCIATURAS: a
notação de Dirac.
Marina Valentim Barros
Belo Horizonte
2011
Marina Valentim Barros
UMA PROPOSTA DIDÁTICA PARA O ENSINO DA MECÂNICA QUÂNTICA NAS LICENCIATURAS: a
notação de Dirac.
Dissertação apresentada ao programa do mestrado
profissional em ensino de ciências da Pontifícia
Universidade Católica de Minas Gerais como
requisito parcial para obtenção do título de Mestre
em ensino de Física
Orientador: Lev Vertchenko
Belo Horizonte
2011
FICHA CATALOGRÁFICA
Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
Barros, Marina Valentim
B277p Uma proposta didática para o ensino de mecânica quântica nas licenciaturas:
a notação de Dirac/ Marina Valentim Barros. Belo Horizonte, 2011.
100f.: il.
Orientador: Lev Vertchenko
Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática.
1. Mecânica quântica – Estudo e ensino. 2. Notação matemática. 3. Ensino e
aprendizagem. I. Vertchenko, Lev. II. Pontifícia Universidade Católica de Minas
Gerais. Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática. III.
Título.
CDU: 530.145
Marina Valentim Barros
UMA PROPOSTA DIDÁTICA PARA O ENSINO DA MECÂNICA QUÂNTICA NAS LICENCIATURAS: a
notação de Dirac.
Dissertação apresentada ao programa do mestrado
profissional em ensino de ciências da Pontifícia
Universidade Católica de Minas Gerais .
______________________________________________________________
Lev Vertchenko (Orientador)- Puc Minas
______________________________________________________________
Prof. Doutora Adriana Gomes Dickman- Puc Minas
______________________________________________________________
Prof. Doutor Flávio de Jesus Resende- Puc Minas
Belo Horizonte,31 de agosto de 2011
Ao meus pais, Hugo e
Luisa
AGRADECIMENTOS
Aos meus pais pelo apoio total durante toda a minha vida;
Aos meus irmão queridos e minha cunhada Amanda que sempre estão presentes e
são peças importantes;
Ao meu orientador Lev Vertchenko pela dedicação, paciência e competência;
Aos amigos do Unimaster e do Colégio Santo Antônio que indiretamente
possibilitaram a conclusão desse trabalho.
RESUMO
A dissertação apresenta um material introdutório à notação de Dirac ancorado em
álgebra linear vetorial, que foi usado em uma disciplina de mecânica quântica na
licenciatura da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais . O material
apresentado inclui também um texto sobre o fenômeno da interferência com elétrons
utilizando-se da notação de Dirac acompanhado de um estudo dirigido. Esse produto
com as questões sobre o experimento de dupla fenda foi aplicado a alunos do curso
de licenciatura para verificar o aprendizado em relação a compreensão da notação .
Todo o material foi elaborado utilizando-se como referencial teórico a teoria da
aprendizagem significativa de David Ausubel. O principal objetivo dessa dissertação
é oferecer um material significativo para futuros professores de física, que inclua o
aprendizado da notação de Dirac , contribuindo à sua formação e permitindo que o
educador compreenda os fenômenos quânticos .
Palavras- chaves: Notação de Dirac; ensino de mecânica quântica, aprendizagem
significativa
ABSTRACT
The dissertation presents an introductory material to the Dirac anchored in linear
algebra vector notation, which was used in a course on quantum mechanics in the
degree of the Pontifical Catholic University of Minas Gerais. The material presented
also includes an essay on the phenomenon of interference with electrons using the
Dirac notation accompanied by a directed study. This product with the questions
about the double slit experiment was applied to students from undergraduate to verify
learning in relation to understanding the notation. All material has been prepared
using as theoretical framework the meaningful learning theory of David Ausubel. The
main objective of this dissertation is to provide a significant material for future physics
teachers, including learning the Dirac notation, contributing to its formation and
allowing the educator understands quantum phenomena.
Keywords: Dirac notation ; teaching quantum mechanics, meaningful learning
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................... 11 1.1- O ensino de física quântica ........................................................................ 11 1.1.1- A física quântica no ensino médio .......................................................... 11 1.1.2- A física quântica nas licenciaturas .......................................................... 13 2- PANORAMA DA PESQUISA EM ENSINO DA MECÂNICA QUÂNTICA ........ 17 2.1- Dificuldades dos estudantes no aprendizado de mecânica quântica introdutória .......................................................................................................... 17 2.2- A realidade do ensino de mecânica quântica introdutória no Brasil ...... 19 3- FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ........................................................................ 21 3.1- A teoria da aprendizagem significativa de David Ausubel ....................... 21 3.1.1 – Aprendizagem Significativa .................................................................... 22 3.1.2- Os tipos de aprendizagem significativa .................................................. 22 3.2- Condições para Ocorrência de aprendizagem significativa e os organizadores prévios ........................................................................................ 24 3.2.1- A estrutura cognitiva do estudante e o “subsunçores”......................... 24 3.2.2- Os organizadores prévios como facilitadores da aprendizagem significativa ......................................................................................................... 25 3.3- Diferenciação progressiva e reconciliação integrativa ........................... 26 3.4- Medida e avaliação segundo David Ausubel ............................................. 27 4- O MATERIAL E SEUS OBJETIVOS ................................................................ 29 4.1- A necessidade da mecânica quântica ......................................................... 29 4.2- Os vetores e a notação de Dirac .................................................................. 32
4.2.1- Vetores ....................................................................................................... 32 4.2.2- Exercícios ................................................................................................ 36 4.3- A notação de Dirac ..................................................................................... 37 4.3.1- Exercícios ................................................................................................ 38 5- O EXPERIMENTO DE DUPLA FENDA ............................................................ 44
5.1- Experimento de dupla fenda com balas (partículas clássicas) ............... 44 5.2- Experimento de dupla fenda com ondas clássicas .................................. 46 5.3- Experimento de dupla fenda com elétrons ................................................ 50 5.4- Experimento de dupla fenda com elétrons monitorados ......................... 59
6- UTILIZAÇÃO DO MATERIAL E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS .............. 73 6.1- A metodologia e a aplicação do material ................................................... 73 6.2- Discussão dos resultados............................................................................ 74 7- CONCLUSÃO ................................................................................................... 79 REFERÊNCIAS ..................................................................................................... 80 APÊNDICE ............................................................................................................ 84 ANEXOS ............................................................................................................... 90
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1-INTRODUÇÂO 1.1- O ensino de física quântica 1.1.1- A física quântica no ensino médio A física estudada nas escolas brasileiras de ensino médio se encontra
defasada de mais de um século. Na maioria das instituições de ensino do Brasil não
é contemplado nenhum conhecimento sobre física moderna e contemporânea.
Durante os três anos de ensino médio é ensinada somente a física clássica, mas a
teoria da física jovem de 100 anos atrás não é apresentada aos estudantes. De
acordo com Rocha,
Há uma necessidade inerente à reforma curricular do Ensino Médio, de apresentar-se, nas disciplinas de Física, entre outras, teorias científicas desenvolvidas mais recentemente. Pode se dizer que, na maioria dos cursos de nível médio, a Física que se ensina nas escolas está defasada de cerca de dois séculos. (ROCHA,2001,p.2)
Na maioria das vezes os alunos do ensino médio consideram as aulas de física
aborrecidas e completamente fora do contexto do seu cotidiano, fala-se de
alavancas e MRU não atendendo ao dinamismo dos alunos, nem contemplado as
tecnologias mais avançadas, que são de interesse dos jovens. Esse é um dos
motivos do grande desinteresse dos alunos pela disciplina de física nas escolas
brasileiras. De acordo com Pinto,
É preciso transformar o ensino de Física tradicionalmente oferecido por nossas escolas em um ensino que contemple o desenvolvimento da Física Moderna, não como uma mera curiosidade, mas como uma Física que surge para explicar fenômenos que a Física Clássica não explica, constituindo uma nova visão de mundo.(PINTO,2008,p.7)
Pensar em estratégias para modificar a relação entre os alunos e a disciplina
de física e fazê-la mais interessante é tarefa dos professores de física. Uma das
opções para transformar essa realidade é através do ensino de física moderna e
contemporânea já no ensino médio. De acordo com Lobato (2005),
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Atualmente é consensual, entre físicos e professores de Física, a nível internacional, a necessidade de introduzir conteúdos de Física contemporânea nos currículos de Física do Ensino Secundário (LOBATO,2005,p.1).
Essa proposta não é então nada inovadora e já é discutida nas pesquisas brasileiras
e internacionais recentes sobre o ensino de física. Greca, citado por Pereira e
Ostermann , afirma que a atualização curricular do ensino médio deve ser feita
urgentemente e destaca algumas razões para isso como
a deterioração da qualidade do ensino de física das escolas públicas evidenciada pela baixa qualificação acadêmica de professores, desmotivação dos estudantes, demasiada ênfase na cinemática e pela ausência de temas de física moderna e contemporânea (PEREIRA E OSTERMANN,2007,p.3).
O grande sucesso da teoria da mecânica quântica1 tanto no que ela prevê quanto na
variedade de fenômenos que ela descreve também é destacado por Greca e Moreira
(2001a) como fator importante para justificar o ensino da física moderna e
contemporânea no ensino médio e nas licenciaturas.
Até mesmo o Ministério da educação através das orientações Educacionais
Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN+) já ressaltou a
importância desses conteúdos na formação do estudante,
Compreender formas pelas quais a Física e a tecnologia influenciam nossa interpretação do mundo atual, condicionando formas de pensar e interagir. Por exemplo, como a relatividade ou as ideias quânticas povoam o imaginário e a cultura contemporânea, conduzindo à extrapolação de seus conceitos para diversas áreas, como para a Economia ou Biologia. (BRASIL,2002,p.15).
A compreensão desses aspectos pode propiciar, ainda, um novo olhar sobre o impacto da tecnologia nas formas de vida contemporâneas, além de introduzir novos elementos param uma discussão consciente da relação entre ética e ciência. (BRASIL,2002,p.29).
Mesmo diante dessa recomendação do MEC e dos motivos citados anteriormente,
as escolas brasileiras insistem em não abordar esses conteúdos nos três anos do
Ensino médio. Apesar de fascinante, interessante e necessário para a formação do
aluno no nosso século, existem várias questões em relação à inserção desse 1 No texto é usado tanto o termo física quântica quanto mecânica quântica. O termo física quântica é usado quando tratamos de forma mais geral do assunto como, por exemplo, a física quântica utilizada no ensino médio. O termo mecânica quântica é usado quando nos referimos à teoria física, a um ramo da física que explica determinados fenômenos.
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conteúdo no ensino médio. Os principais problemas apontados por Pinto (2008) são:
o grande formalismo matemático envolvido no ensino de mecânica quântica; a
dificuldade em integrar o currículo da mecânica clássica e da mecânica quântica
dentro da mesma programação; às novidades conceituais desse novo assunto que
se distanciam da Física Clássica; o tratamento experimental da física quântica e a
falta de preparo dos próprios professores para o ensino desse assunto.
1.1.2- A física quântica nas licenciaturas A realidade da física quântica nas licenciaturas não é muito diferente do
ensino médio tratado anteriormente. O conteúdo é ausente em algumas licenciaturas
e a ênfase dada a ele é muito pequena, o que é assustador quando se trata da
formação de professores de física. Os professores formados nas escolas brasileiras
de licenciatura em física para trabalhar com estudantes de ensino médio e
estudantes de física em geral são em sua maioria completamente despreparados e
não tem conhecimento técnico adequado do assunto.
Um fato que comprova o despreparo dos professores licenciados em física
para ensinar o conteúdo da mecânica quântica é como já dissemos a ausência ou o
pouco tempo dispensado a elas no curso de licenciatura em física. Quando essas
disciplinas estão presentes, aparecem no final do curso e são apenas uma pequena
parte dele. Nos anexos desse trabalho aparecem os programas e conteúdos
programáticos de quatro universidades UFMG (Universidade Federal de Minas
Gerais), UFV (Universidade Federal de Viçosa), USP (Universidade Estadual de São
Paulo) e UFRGS (Universidade Federal do Rio Grande do Sul) em relação às
disciplinas de mecânica quântica nas licenciaturas de física feito na internet através
do site das universidades. Nesses cursos o conteúdo de física moderna e
contemporânea aparece em apenas duas disciplinas de licenciatura de todo o curso,
exceto no curso de licenciatura da USP que aparece em três disciplinas
obrigatórias2. O levantamento confirma a baixa carga horária desse assunto nos
cursos de licenciatura em física, que tem duração média de quatro anos e tratam
2 2 Foram coletados nas páginas na Internet dos cursos de licenciatura em física da UFMG, UFV, UFRGS, USP as ementas e programas das disciplinas de física moderna e contemporânea, que estão nos anexos A, B, C e D.
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desse assunto em duas disciplinas semestrais. De acordo com Ostermann, Prado e
Ricci (2008), A própria formação de professores deverá contemplar, desde seu início, a atualização curricular, passando a priorizar conteúdos mais atuais da Física, “enxugando” o tempo dedicado aos temas clássicos. (OSTERMANN,PRADO e RICCI, 2008, p.39).
Porém o pouco tempo dispensado às disciplinas de física moderna e
contemporânea durante os cursos de licenciatura não é o maior problema no ensino
de mecânica quântica e sim que os professores formados não tem um
compreendimento conceitual dos postulados básicos da mecânica quântica. Além
disso, se o estudante não tiver contato com o assunto de mecânica quântica na
licenciatura dificilmente procurará estudar ele sozinho após concluir seu curso. De
acordo com Moreira e Greca (2001a),
os estudantes dificilmente aprimoram seus estudos sobre tópicos de Mecânica Quântica depois de terminar o curso de formação (licenciatura), consideramos indispensável uma reorganização das disciplinas destinadas para o ensino da mesma dos cursos de licenciatura, de modo a permitir uma maior reflexão conceitual. (MOREIRA,GRECA,2001a,p.24)
Uma das preocupações desse trabalho é reafirmar a necessidade de um
ensino de mecânica quântica durante os cursos de licenciatura em física, que
aborda os principais postulados permitindo ao licenciando um contato com um
assunto essencial à sua formação. Outra preocupação dessa dissertação é de
facilitar a aprendizagem de física quântica partindo de conhecimentos já adquiridos
durante o curso de física e no ensino médio, facilitando o compreedimento do
formalismo desse assunto essencial ao entendimento de seus postulados. Toda
essa boa preparação do licenciado em física tem uma grande preocupação que é a
formação dos estudantes de física , de acordo com Ostermann,
deveria haver mais física moderna e contemporânea no ensino médio e menos fósseis da Física Clássica, isso se os professores estiverem adequadamente preparados e se bons recursos pedagógicos estiverem disponíveis (OESTERMANN,2004,p.6)
A questão recorrente do ensino de mecânica quântica é a preparação dos
professores, já que dessa forma poderemos inserir e discutir esse conteúdo no
ensino médio , com professores bem preparados. Essa formação conceitual e formal
em mecânica quântica é essencial para possíveis transposições didáticas para o
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ensino médio, já que dependem fortemente de uma sólida formação conceitual do
professor (OSTERMANN; PRADO, 2005).
Um dos motivos apontados para a falta desse compreendimento conceitual é
a forma que essas disciplinas são ensinadas. A maioria dos cursos de física
moderna nas licenciaturas adota uma abordagem histórica e mostra ao aluno como
os físicos abandonaram a física clássica através do desenvolvimento histórico.
Introduzem a mecânica quântica com a lei da radiação de Planck, o efeito
fotoelétrico e o efeito Compton. Após essa introdução o aluno é apresentado ao
postulado de de Broglie, princípio de Heisenberg até ser apresentado à equação de
Schrödinger. Nessa parte perde-se muito tempo trabalhando as várias soluções
dessa equação, com fórmulas que nada significam para os estudantes. De acordo
com Sakurai (1994) devemos apresentar aos alunos situações que exemplifiquem a
inadequação dos conceitos clássicos ao tratamento da mecânica quântica e fazer
com eles um tratamento de choque, para que eles pensem desde cedo de modo
quântico, dando exemplos como o experimento de Stern-Gerlach.
Porém, não é possível prescindir de matemática quando se pretende entender
a gênese, o princípio criador das teorias físicas, especialmente aquelas que versam
sobre conceitos e fenômenos tão alheios as nossas experiências cotidianas
(KARAM; PIETROCOLA, 2008). Esse trabalho propõe, então, que seja ensinado nas
disciplinas de licenciatura, além da parte conceitual, um formalismo matemático
facilitador e adequado ao entendimento da mecânica quântica - o formalismo de
Dirac. O objetivo de se ensinar esse formalismo é preparar o professor de física para
a compreensão conceitual de fenômenos quânticos, como o do experimento de
dupla fenda, o experimento de Stern-Gerlach, o conceito de spin, dentre outros.
Como esse formalismo matemático simplifica a matemática envolvida nos
fenômenos quânticos, a parte conceitual poderá ser mais bem discutida e entendida
pelos alunos.
A utilização do formalismo de Dirac na mecânica quântica é usual em áreas
que trabalham com esse assunto. Porém, mesmo em áreas em que a mecânica
quântica não é utilizada como ferramenta imediata essa linguagem é usada. Esse
formalismo é utilizado em cursos de formação de professores, em cursos de alunos
do ensino médio interessados em estudar a mecânica quântica, em cursos
introdutórios de computação quântica e servindo até mesmo de linguagem para
livros de divulgação científica dirigido ao publico leigo. Uma experiência de utilização
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desse formalismo é um trabalho proposto por Greca, Moreira e Herscovitz para ser
aplicado em disciplinas introdutórias de mecânica quântica, defendendo a notação
de Dirac como facilitadora e simplificadora,
Em relação às ferramentas e simbolismo matemáticos utilizados, escolhemos trabalhar com a ágil notação de “bras” e “Kets” de Dirac. Embora não usual para os estudantes do grupo em foco, a notação não foi um impedimento para a compreensão dos alunos. Ao contrário, uma vez aceita como outra forma de denotar vetores de estado, tornou-se de grande utilidade na discussão,por se compacta e rica.(GRECA;MOREIRA; HERSCOVITZ ,2001,p.2)
Essa mesma notação utilizada na mecânica quântica já foi defendida também por
Richard Feynman, no importante livro Lectures on Physics, como facilitadora de
entendimento do assunto,
O que é usualmente chamado da parte avançada da mecânica quântica é na verdade muito simples. A matemática envolvida é muito simples, envolve álgebra simples e nenhuma equação diferencial.(FEYNMAN, 1968, p.3-1).
Outra publicação de divulgação científica de grande importância dirigida ao público
leigo em geral sobre o assunto de mecânica quântica e o livro Conceitos de Física
Quântica de Oswaldo Pessoa (PESSOA, 2006). Esse texto enfatiza o perfeito
entendimento da parte conceitual da mecânica quântica e utiliza-se ao longo de todo
o texto a notação de Dirac, visando facilitar o compreendimento dos conteúdos
apresentados.
Uma outra razão que podemos destacar para justificar o ensino desse
formalismo no curso de licenciatura é de permitir ao professor formado em física ler
artigos científicos sobre mecânica quântica, que em sua maioria se utilizam dessa
notação. De acordo com Oliveira, Vianna e Gerbassi (2007) essa prática do aluno
trazer reportagens científicas e assuntos divulgados na mídia e discutir com o
professor desperta o interesse dos estudantes,
É comum, nas aulas de física, os alunos trazerem discussões sobre assuntos que leram ou ouviram em revistas, jornais e telejornais e que, por serem mais atuais e/ou estarem presentes no seu no dia a dia, despertam neles um interesse em conhecer e entender que princípios físicos explicam dado fenômeno. (OLIVEIRA,VIANNA, GERBASSI,2007,p.1).
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Se o professor tiver o conhecimento da notação de Dirac e compreeendê-la saberá
ler o artigo apresentado pelo aluno e será capaz de discutir com ele sobre o
conteúdo abordado.
O trabalho a seguir será então estruturado da seguinte forma; o segundo
capítulo fará um panorama sobre a pesquisa em ensino de mecânica quântica
introdutória no Brasil e no mundo baseado em artigos científicos.
O capítulo três apresentará o referencial teórico da aprendizagem significativa
de David Ausubel utilizado no trabalho e no material proposto. Nessa parte do texto
as principais características da teoria da aprendizagem significativa serão explicadas
fazendo relação com a proposta didática da pesquisa.
No capítulo quatro será apresentado o material que introduzirá a notação de
Dirac ancorada em álgebra linear vetorial, que é um conhecimento que foi
apresentado ao aluno no ensino médio e trabalhado na licenciatura. Esse material
foi utilizado em sala com os alunos de licenciatura do curso da PUC- MG e os
exercícios propostos estão acompanhados da sua resolução. Através desse material
e da forma que ele foi estruturado os estudantes relacionarão o novo conteúdo da
mecânica quântica com conhecimentos anteriores de álgebra vetorial, permitindo um
melhor entendimento do formalismo proposto, já que parte do que o aluno já
conhece. O material proposto apresentado nesse capítulo possui também uma
revisão dos conhecimentos necessários de álgebra linear vetorial para o
desenvolvimento da notação de Dirac. Esse texto será introdutório ao de mecânica
quântica e tem como objetivo a familiarização e compreensão do formalismo de
Dirac, possibilitando assim, que o estudante utilize essa notação para os seus
estudos posteriores.
No capítulo cinco será apresentado um texto sobre o experimento de dupla
fenda, que exemplificará a utilização da notação de Dirac em assuntos relacionados
a mecânica quântica. Esse texto é baseado na sequencia didática usada para
descrever o experimento de dupla fenda apresentada por Richard Feynman, no livro
Lectures on Physics e que de acordo com o próprio autor, contém o que há de mais
importante na teoria quântica (FEYNMAN, 1968). No seu texto porém Feynman não
se utiliza da notação de Dirac para tratar o experimento de dupla fenda, tornando o
seu texto muito denso e de difícil compreensão para estudantes de licenciatura em
física. O material produzido e apresentado nessa parte do trabalho utilizará a
notação de Dirac em todo o texto e esmiuçará o experimento de dupla fenda desde
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as ondas passando pelas partículas e chegando aos elétrons monitorados tornando
dessa forma o texto de mais fácil entendimento. Uma preocupação na produção
desse material é que tudo o que fosse apresentado fosse explicado em detalhes não
deixando nenhuma dúvida ao leitor. Outra opção foi começar o texto desde o
experimento com ondas, de conhecimento da maioria dos estudantes porque foi
apresentado a eles durante o curso de mecânica ondulatória, indo assim de acordo
com o que pensa David Ausubel, que a aprendizagem se torna sólida e significativa
quando partimos de algo já conhecido do aluno. Foi preparado juntamente com uma
parte do material um texto em forma de estudo dirigido, que foi aplicado aos
estudantes de licenciatura sobre o experimento com elétrons monitorados e está
inserido nesse capítulo. A opção pelo estudo dirigido foi verificar se o aluno seria
capaz de, ao ser apresentado a um texto sobre mecânica quântica, utilizando-se da
notação de Dirac compreender questões conceituais básicas para o entendimento
do fenômeno descrito.
O sexto capítulo apresentará a metodologia usada na pesquisa, assim como a
realidade da turma em que o material foi aplicado e, finalmente, a discussão dos
resultados apresentados ao questionário aplicado.
O ultimo capítulo, o sétimo, é a conclusão dos trabalho, um texto sobre a
realidade do licenciando em física, que pode ser confirmada com os resultados do
trabalho do estudo dirigido e das observações feitas em sala durante o
acompanhamento da turma de mecânica quântica, que de nada difere de outras
turmas de física quântica em outras universidades do país.
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2- A PESQUISA EM ENSINO RELATIVA À FÍSICA QUÂNTICA INTRODUTÓRIA
2.1- Dificuldades dos estudantes no aprendizado de mecânica quântica introdutória Estudos de todo o mundo apontam que o estudo de mecânica quântica deve
ser introduzido o mais cedo possível aos estudantes, que necessitarão desse
conteúdo para estudar tecnologia moderna e de ponta. Quanto mais cedo esse
assunto for introduzido ,mais tempo os estudantes terão para assimilar e absorver
um conteúdo abstrato e muitas vezes considerado difícil.
(JOHNSTON,CRAWFORD,FLETCHER,1998,p.1) 2.2- A realidade do ensino de mecânica quântica introdutória no Brasil Um levantamento bibliográfico feito por Moreira e Greca (2001a) aponta que a
pesquisa em ensino de física quântica é recente, mas que já existe bibliografia sobre
o assunto suficiente para dividir as publicações em três grupos: “artigos sobre
concepções dos estudantes a respeito de conteúdos de Mecânica Quântica,
trabalhos com críticas aos cursos introdutórios de Mecânica Quântica e estudos
contendo propostas de novas estratégias didáticas” (MOREIRA, GRECA, 2001a).
Em relação às dificuldades apresentadas pelos estudantes, o principal ponto
é que os conceitos da mecânica quântica não são compreendidos pelos alunos.
Nas críticas aos cursos introdutórios de mecânica quântica um dos pontos
abordados pelo autor é a maneira pela qual a abordagem formal é apresentada ao
aluno, não permitindo ao estudante entender a parte conceitual da mecânica
quântica. Segundo Story citado por Moreira e Greca (2001a, p. 38) ,
“a abordagem formal, ainda que possibilite aos estudantes aplicar rapidamente a Mecânica Quântica, cria uma barreira para a compreensão, pois muitos dos conceitos fundamentais (amplitude de probabilidade, operadores representando observáveis como energia e momentum, o conceito global do que um "estado" é, etc.) pareceriam surgir magicamente...”. (Moreira e Greca ,2001a).
Devemos destacar que nesse texto o autor não retira a importância do
formalismo matemático, mas critica a forma com que ele é feito nos cursos
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introdutórios de mecânica quântica, não trazendo significado para o aluno, o que
poderia ser modificado se fosse relacionado com algum conhecimento prévio do
estudante de acordo com Ausubel.
Outro ponto crítico desses cursos é considerar o assunto de interesse
exclusivo de físicos teóricos, o que segundo o autor deve ser superado o mais
rápido possível, dada a importância para a tecnologia (MOREIRA,GRECA,2001a).
Outra questão apontada como dificuldade nos cursos de mecânica quântica
introdutórios é a tentativa de estabelecer elos com a física clássica, através de uma
abordagem histórica ou através da comparação com a mecânica ondulatória, dando
ao estudante a falsa ilusão que a mecânica quântica é uma extensão da física
clássica.
A última categoria do levantamento bibliográfico proposto por Moreira e Greca
são as novas propostas didáticas já apresentadas, que são dirigidas ao ensino
médio, licenciaturas e disciplinas de carreiras de ciências exatas. Dirigidas ao ensino
médio as propostas podem ser agrupadas como: propostas de abordagem histórico
filosóficas; as que estabelecem elos com a física clássica; as que não estabelecem
elos com a física clássica e as que propõem abordagens experimentais. Dirigidas a
licenciaturas, o autor encontrou apenas um trabalho que discute a compreensão de
conceitos quânticos em estudantes desses cursos. Apesar de existirem poucas
propostas para a área da licenciatura, o autor ressalta a importância de se criarem
estratégias de ensino para elas, já que são esses os futuros professores de física
que irão ensinar a física quântica (MOREIRA, GRECA, 2001a).
Um artigo mais recente faz um outro levantamento de estudos
correspondentes ao período de 2001 a 2006 foi realizado por Pereira e Ostermann
(2007), que optaram por dividir a pesquisa recente em cinco categorias
(a) Justificativas para pesquisa sobre o ensino de Física Moderna Contemporânea; (b) Propostas testadas em sala de aula que apresentam resultados de aprendizagem; (c) Concepções alternativas sobre temas de Física Moderna Contemporânea; (d) Recursos didáticos e bibliografia de consulta para professores; (e) Análise de livros didáticos e documentos educacionais que contemplam Física Moderna Contemporânea (PEREIRA,OSTERMANN,2007).
Dentre essas categorias a primeira, das justificativas para a pesquisa sobre o
ensino de física moderna e contemporânea, envolve algumas defesas à inserção
desse conteúdo no ensino médio e outras envolvem críticas ao ensino tradicional de
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mecânica quântica a nível universitário, principalmente a abordagem tradicional nas
disciplinas introdutórias de mecânica quântica. Um ponto importante destacado por
Pereira e Ostermann é
a abordagem tradicional nas disciplinas introdutórias de MQ, nos cursos de ciências exatas, tem o enfoque demasiadamente centrado nos aspectos históricos, destacando mais as características clássicas dos sistemas microscópicos do que as quânticas (PEREIRA,OSTERMANN,2007).
A segunda categoria é das propostas testadas em sala que apresentam resultados
em aprendizagem separadas em dois grupos, o de inovações didáticas no ensino
médio e o de inovações didáticas em nível de graduação e pós-graduação. Quatro
linhas de pesquisa foram identificadas : “(a) mudança de enfoque no ensino de
FMC; (b) história e filosofia da ciência articulada ao ensino de FMC; (c) FMC no
contexto CTS (Ciência, Tecnologia e Sociedade); (d) utilização de recursos
computacionais no ensino de FMC” (PEREIRA,OSTERMANN,2007). O trabalho
apresentado se encaixa nessa categoria já que apresenta uma proposta testada em
sala de aula, no curso de licenciatura em física da PUC-MG, e também pode ser
classificado na linha de pesquisa de mudança no enfoque da física moderna e
contemporânea, já que é uma proposta nova do aprendizado e utilização do
formalismo de Dirac como linguagem da aprendizagem da mecânica quântica. Um
dos estudos apontado por Pereira e Ostermann (2007) que o princípio de
superposição de estados é abordado aponta que apesar de muitos erros conceituais
e errôneos, os estudantes tiveram melhor compreensão da teoria quântica, quando
comparados a outros que tiveram uma instrução da maneira tradicional. Outro
trabalho citado por Pereira e Ostermann (2007) afirma que
os resultados da investigação parecem indicar que não houve dificuldades de aprender conceitos da teoria quântica que fossem maiores que as dificuldades de aprendizagem inerente à física clássica e que o conhecimento prévio sobre ondulatória clássica, por parte dos alunos, não parece influenciar criticamente os resultados de aprendizagem. (PEREIRA,OSTERMANN,2007).
A terceira categoria das concepções alternativas sobre temas de física moderna
contemporânea levanta algumas concepções dos professores de física do ensino
médio em um trabalho realizado no mestrado profissional na Universidade Federal
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do Rio Grande do Sul por Ostermann e Ricci (2004), que é de interesse especial
para essa pesquisa.
Para a maioria dos professores da amostra (dezoito no total): falta clareza sobre os limites de validade da mecânica quântica e da física clássica; massa é uma propriedade exclusiva da física clássica; as leis de conservação de massa e momentum só se aplicam aos objetos clássicos; os objetos quânticos são necessariamente relativísticos; os objetos quânticos possuem necessariamente propriedades físicas discretas; a impossibilidade de se observar diretamente os objetos quânticos está associada à sua natureza probabilística; os fótons só existem nas transições atômicas. (PEREIRA,OSTERMANN,2007).
Na quarta categoria dos recursos didáticos e bibliografias de consulta para
professores os autores classificam quatro grandes temas: as bibliografias de
consulta sobre física moderna e contemporânea, a de divulgação de softwares
desenvolvidos para o ensino de física moderna e contemporânea, a de
desenvolvimento de recursos visuais e laboratório de física moderna e
contemporânea e a de elaboração de unidades didáticas. O material desenvolvido
nesse texto se encaixa também nessa categoria, já que apresenta um novo recurso
didático, o da ancoragem da notação de Dirac na álgebra linear vetorial permitindo o
aluno um melhor entendimento dessa nova linguagem. Além disso, o texto sobre o
experimento de dupla fenda apresentado servirá de material de consulta aos
professores podendo ser utilizado nas licenciaturas em física, já que o texto é
completo e pode ser trabalhado como sugerido nesse trabalho, sendo um texto de
fácil entendimento com o advento do novo formalismo de Dirac. Esse texto como já
foi dito anteriormente possui a mesma sequencia didática proposta por Richard
Feynman e isso deve ser mencionado aos alunos, já que muitos encontram
dificuldades na leitura do texto original Lectures on Physics do mesmo autor,
bibliografia tão importante para os físicos e estudantes de física.
A última categoria estabelecida por Pereira e Ostermann (2007) é a de
análise dos livros didáticos e documentos educacionais que contemplam física
moderna e contemporânea, em que foi possível constatar que alguns textos
interpretam de forma errônea a equivalência massa e energia e delegam ao conceito
de massa relativística uma importância fundamental.
O mais importante a destacar desse artigo de levantamento bibliográfico é a
conclusão dos autores em relação ao que está sendo produzido sobre o ensino de
física moderna e contemporânea ,
22
É possível constatar que, apesar do constante aumento do número de trabalhos publicados que apresentam novas estratégias de ensino com resultados de aprendizagem, bem como levantamento de concepções alternativas acerca de temas de FMC, a maioria das publicações ainda diz respeito à divulgação de recursos didáticos e textos apresentados como bibliografia de consulta para o professor de nível médio. (PEREIRA,OSTERMANN,2007).
Diante da má formação dos professores nos cursos de licenciatura em
mecânica quântica já discutida anteriormente nesse texto é de grande importância a
produção de material dirigido a futuros professores de física que abordem conteúdos
de mecânica quântica . Esse material deve atender a licenciatura de forma a habilitar
o professor a discutir e ensinar aos alunos os postulados básicos de mecânica
quântica e permitir que o futuro educador seja capaz de ler e entender artigos de
divulgação científica tão comuns a área, que permitirão ao professor discussão com
seus alunos e atualização de sua formação.
23
3- FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
3.1- A teoria da aprendizagem significativa de David Ausubel O texto a seguir apresenta a teoria da aprendizagem significativa na proposta
original de David Ausubel (1968). Ao apresentar a teoria apresentamos também as
relações com a pesquisa proposta.
3.1.1 – Aprendizagem Significativa
Se tivesse que reduzir toda a psicologia educacional a um só princípio, diria o seguinte: o fator isolado mais importante que influencia a aprendizagem é aquilo que o aprendiz já sabe. Averigue isso e ensine-o de acordo (AUSUBEL,1968,p.137).
O conceito de aprendizagem significativa foi proposto originalmente na teoria
de David Ausubel (1968) e significa uma aprendizagem na qual a nova informação
se relaciona com a estrutura cognitiva do indivíduo. Ausubel (1968) diz que existe
aprendizagem significativa quando o novo conhecimento se relaciona de maneira
não arbitrária e não literal ou substantivamente à estrutura cognitiva do aprendiz.
Devemos entender por aprendizagem não arbitrária, quando a informação se
relaciona com determinados conhecimentos relevantes e não com quaisquer
conhecimentos já presentes na estrutura cognitiva do aluno. Ou seja, os novos
conhecimentos são aprendidos de forma significativa quando se relacionam com
determinados conhecimentos que foram apreendidos anteriormente pelos alunos,
como se o novo conhecimento tivesse um endereço definido, não ocorrendo de
forma aleatória. A outra parte da definição do que é aprendizagem significativa feita
por Ausubel é que a aprendizagem deve ser não literal, ou seja, deve ser
substantiva, o que significa que o estudante deve aprender a substância (essência)
do conteúdo e deve ser capaz de expressar o conhecimento usando outras palavras
diferentes das utilizadas pelo seu professor, mostrando que ao utilizar o seu próprio
vocabulário ele é capaz de entender a substância do novo conteúdo. Diante dessa
definição ausubeliana de aprendizagem significativa fica claro então que nesse tipo
de aprendizagem o conhecimento prévio do aluno (presente na sua estrutura
cognitiva) é o fator mais importante a para a aprendizagem significativa
24
(MOREIRA,1997,p.2). Porém, esses novos conhecimentos só vão ser aprendidos
significativamente se os conhecimentos anteriores estiverem claros e disponíveis na
estrutura cognitiva do aluno. Caso o novo conteúdo não se relacione de forma não
arbitrária e substantiva a estrutura cognitiva do estudante não haverá uma
aprendizagem significativa e sim uma aprendizagem mecânica ou automática.
Ao elaborar o material introdutório à notação de Dirac, que foi objeto do nosso
trabalho, estivemos atentos aos conhecimentos que os alunos já tinham da
linguagem vetorial e álgebra linear vetorial construídos ao longo de sua vida
acadêmica. A partir desse conhecimento prévio evitamos que os alunos tivessem
uma aprendizagem simplesmente automática e não significativa. Os conhecimentos
anteriores de álgebra linear vetorial mesmo já conhecidos também foram retomados
no texto, como a definição de um vetor unitário, a representação de um vetor no
espaço e o produto escalar, com o objetivo de que eles estivessem prontos e claros
aos erem utilizados. Tivemos o cuidado de retomar os conhecimentos de álgebra
linear e um nível mais alto de abstração do que estão acostumados os estudantes
para que essa material sirva de um organizador prévio como definido por Ausubel
(1968). A segunda parte do material que trata do experimento de dupla fenda parte
também de um conhecimento anterior do aluno, que é do mesmo experimento de
dupla fenda, só que abordado na mecânica ondulatória . Esse texto também é
apresentado em um nível maior de abstração com outros exemplos que é do mesmo
experimento feito com partículas e elétrons monitorados, sendo assim mais geral.
3.1.2- Os tipos de aprendizagem significativa O tipo mais básico de aprendizagem significativa é a representacional, em
que o aluno aprende o significado de palavras ou o que elas representam. Ao
escrever o material introdutório à notação de Dirac levamos em conta esse tipo de
aprendizagem em que os brás e kets são definidos através da representação de
símbolos como | > e < |. O significado desses símbolos para o aluno se compara
nessa parte ao significado de um vetor, conhecimento que ele já tem desde os
tempos de escola.
Um segundo tipo de aprendizagem é a de conceitos (conceitual), em que
palavras ou sentenças de palavras representam para o aluno novos conceitos.
25
Um terceiro tipo de aprendizagem, classificado por Ausubel, é a proposicional,
em que o aluno aprende o significado de ideias expressas por grupos de palavras
combinadas, ao invés de uma palavra isolada. Na aprendizagem proposicional a
tarefa de aprendizagem significativa não é simplesmente aprender o que
representam as palavras isoladamente ou a combinação das mesmas, mas o que
representam as novas ideias expressas por sentenças ou estruturas geradas por
combinação de palavras (AUSUBEL,1978). Esse tipo de aprendizagem
proposicional ocorre também quando o estudante é apresentado à notação de Dirac
e formula sentenças matemáticas inéditas que se utilizam dessa notação , mas
agora com um novo significado .
As formas que a aprendizagem significativa acontecem são classificadas em:
aprendizagem subordinativa, superordenada e a combinatória. Essa classificação
se relaciona à maneira com que os novos conceitos se relacionam à estrutura
cognitiva do estudante.
Na aprendizagem subordinativa os novos conceitos estarão subordinados a
estrutura cognitiva do estudante. Segundo Ausubel, nossa estrutura cognitiva se
organiza, “de forma hierárquica em relação ao nível de abstração, generalização e
abrangência das ideias.”(AUSUBEL,1968,p.48). Primeiramente vem as ideias mais
gerais e abrangentes e posteriormente os conceitos mais específicos, dessa forma a
aprendizagem subordina os novos conhecimentos a essa ordem hierárquica. A
eficiência dessa aprendizagem de acordo com Ausubel (1968) se deve a fato que,
quando as idéias estão agrupadas elas tem ordem de relevância para as tarefas
posteriores , possuem estabilidade interna para proporcionar firmeza dos novos
conhecimentos apreendidos e organizam o novo conteúdo de forma que se forme
um mesmo tema, ajuntando ideias novas com ideias antigas. Distinguem-se dois
tipos de aprendizagem subordinativa: a derivativa e a correlativa. Na aprendizagem
subordinativa derivativa o material novo de aprendizagem serve de exemplo para um
conceito já estabelecido para o estudante, ou seja, esse novo conteúdo é derivado
de um conhecimento prévio do aluno, sendo a sua aprendizagem facilitada. Esse é o
tipo de aprendizagem que ocorrerá quando o estudante relacionar os seus
conhecimentos de álgebra linear vetorial com a nova notação apresentada, a de
Dirac. Na aprendizagem subordinativa correlativa o novo assunto é “uma extensão,
elaboração, modificação ou qualificação de proposições adquiridas anteriormente.
(AUSUBEL,1968,p.49). Nessa aprendizagem, o que está sendo aprendido não é
26
derivado de um conhecimento já existente. Na aprendizagem superordenada os
novos conceitos são ordenados na estrutura cognitiva da pessoa e isso permitirá o
aparecimento de outras ideias. A aprendizagem superordenada ocorre durante o
raciocínio sobre o novo conteúdo ou através do material, que foi organizado com
objetivo de sintetizar ideias compostas, gerando aprendizagem superordenada.
Quando a aprendizagem não apresentar relações subordinativas ou
superordenadas com as ideias já presentes na estrutura cognitiva do estudante,
temos a aprendizagem que chamamos de combinatória. Essa aprendizagem se
relaciona com os conhecimentos mais gerais existentes na estrutura do indivíduo
porém de outra maneira, não subordinativamente nem superordenamente e sim
combinando com os conhecimentos prévios. Esse tipo de aprendizagem que a
relação com o conteúdo não é de subordinação nem de correlação torna o novo
conteúdo mais difícil de ser lembrado e de ser aprendido. Esse tipo de
aprendizagem é um exemplo da “maioria das generalizações que os estudantes
aprendem em ciências e matemática” (AUSUBEL,1978,p.50), o que não significa
que sejam menos estáveis, derivando na maioria das vezes novas proposições e
novas análises.
3.2- Condições para Ocorrência de aprendizagem significativa e os organizadores prévios 3.2.1- A estrutura cognitiva do estudante e os “subsunçores” Quando se pretende tornar a aprendizagem de um estudante significativa
temos que contar com a disposição do estudante para aprender e com um material
que relacione não arbitrariamente e de maneira substantiva à sua estrutura
cognitiva. Ausubel (1968) chama esse tipo de material de potencialmente
significativo, que no caso desse trabalho é um material em forma de texto que será
utilizado em sala de aula juntamente com os alunos. As condições para que um
material seja potencialmente significativo segundo Moreira (1997), são a natureza do
material e a natureza da estrutura cognitiva do aprendiz. Devemos entender por
natureza do material o seu significado lógico para que esse material possa se
relacionar a estrutura cognitiva do estudante. Nessa estrutura cognitiva devem estar
presentes os conhecimentos específicos necessários para o desenvolvimento do
conteúdo do material, o que são chamados de subsunçores.
27
A existência de conhecimentos prévios na estrutura cognitiva do estudante é
o fator mais importante no processo de aprendizagem, como já dito antes. Nesse
processo de aprendizagem, o novo conteúdo deve se ancorar nos conceitos já
existentes para o estudante . A esses conceitos que o aluno já sabe ou algum que
seja relevante na sua estrutura cognitiva Ausubel dá o nome de “subsunçor”. O
“subsunçor” é um conhecimento já existente na estrutura cognitiva do estudante e
que servirá de ancoradouro a nova informação que será apresentada ao aluno. A
aprendizagem significativa ocorrerá quando o conteúdo novo a ser apresentado se
ancorar nos conhecimentos específicos e relevantes já existentes para o sujeito que
aprende. Dessa forma, haverá modificação e crescimentos dos “subsunçores”, não
sendo uma simples associação entre os conteúdos, devendo haver modificação dos
conhecimentos anteriores para existir uma aprendizagem significativa. O que
contribuí para o sucesso desse processo de aprendizagem é a forma com que a
estrutura cognitiva do estudante se organiza, se for claramente organizada, estável e
adequada o novo conhecimento será retido e aprendido, por outro lado se for
instável , ambígua e desorganizada inibirá a aprendizagem significativa.
(AUSUBEL,1968).
Um dos principais problemas na aprendizagem significativa é quando o novo
conteúdo não se relaciona ao que o estudante já conhece, aí não acontece esse tipo
de aprendizagem. Uma preocupação que o professor deve ter é de produzir ou
escolher um material que se relacione à estrutura de pensamento do estudante. No
estudo da mecânica quântica os estudantes apresentam uma série de dificuldades já
levantadas anteriormente, mas uma das maiores é que o estudo desse conteúdo se
apóia em conhecimentos anteriores, que não foram aprendidos de forma
significativa. Por exemplo, no caso da introdução à notação de Dirac, o estudante
deve ter um conhecimento básico de álgebra linear vetorial, que na maioria dos
casos não acontece. Muitos estudantes desconhecem o que é um vetor unitário, o
que significa um produto escalar, o que significa um produto vetorial, dificultando o
aprendizado da nova linguagem. Diante dessa dificuldade com a álgebra linear
vetorial, uma preocupação ao desenvolver o material introdutório a notação de Dirac
foi produzir também um material que contenha conhecimentos anteriores essenciais
para o aprendizado na nova notação. O material introdutório produzido então se
ancora na álgebra linear vetorial e apresenta ao estudante uma linguagem
totalmente nova. De acordo com Moreira,
28
Novas ideias e informações podem ser aprendidas e retidas na medida em que conceitos, ideias ou proposições relevantes e inclusivos estejam adequadamente claros e disponíveis na estrutura cognitiva do indivíduo e funcionem, dessa forma, como ancoradouro para novas ideias, conceitos ou proposições.(MOREIRA,2006, p.135).
3.2.2- Os organizadores prévios como facilitadores da aprendizagem significativa Uma das estratégias para promover uma aprendizagem significativa é a
utilização de organizadores prévios, que como afirma Moreira (1997, p.137) “são
materiais introdutórios apresentados antes do material de aprendizagem em si”. A
partir desse material, que serve de ancoradouro para a nova aprendizagem, o
estudante será capaz de desenvolver conceitos e ideias que facilitem a
aprendizagem subseqüente. Esses organizadores prévios segundo David Ausubel
(1968, p.143) “são apresentados num nível de abstração mais elevado de maior
generalidade e inclusividade, do que o novo material a ser aprendido”. De acordo
com Moreira (2006), os organizadores devem identificar o conteúdo relevante na
estrutura cognitiva e explicitar a relevância desse conteúdo para a aprendizagem do
novo material, o que foi feito no material produzido nessa pesquisa quando as
operações de álgebra linear vetorial foram utilizadas. Moreira (2006) afirma que os
organizadores prévios podem ser usados para reativar significados esquecidos
buscando na estrutura cognitiva do aluno significados que existem, mas que não
estão sendo usados há algum tempo no contexto da matéria de ensino. Além disso,
o organizador antecipatório deve dar uma visão geral do material a ser aprendido em
um nível mais alto de abstração, salientando as relações importantes. Isso é feito no
material introdutório a notação de Dirac produzido, quando são propostos exercícios
de reescrita utilizando a notação completamente nova em num nível mais alto de
abstração e generalidade ao estudante .
Ser passível de apreensão e ser apresentado em termos familiares são
características levantadas por Ausubel (1968), que tornam úteis os organizadores
antecipatórios. O material introdutório a notação de Dirac pode ser assim
considerado um material que contém organizadores prévios, já que possibilita ao
aluno utilizar os bras e kets e suas operações básicas utilizando de conceitos
29
familiares de vetores e com isso permite que esses utilizem essa notação em
conteúdos da disciplina de mecânica quântica. O material do experimento de dupla
fenda que segue esse material introdutório apresenta o novo conhecimento, que é
do experimento com elétrons monitorados, partindo também de experimentos que o
aluno já conhece na descrição da interferência. Segundo Moreira
A principal função dos organizadores prévios é, então, a de preencher a lacuna entre o que o aluno já sabe e o que ele precisa saber, a fim de que o novo conhecimento possa ser aprendido de forma significativa. (MOREIRA,1982,p.15)
3.3- Diferenciação progressiva e reconciliação integrativa
Moreira (2009) diz que quando um novo conhecimento é apreendido por
subordinação ou por um processo de interação com um conhecimento anterior
ocorre a diferenciação progressiva, já que o conceito subsunçor anterior do aluno foi
modificado. De acordo com Ausubel,
quando os assuntos são programados de acordo com os princípios da diferenciação progressiva, as ideias mais inclusivas da disciplina são apresentadas em primeiro lugar. São então progressivamente diferenciadas, em termos de detalhe e especificidade. (AUSUBEL,1968, p.159)
Quando apresentamos no texto o símbolo de um bra ou mesmo um Ket o objetivo é
que o aluno saiba lidar e se familiarize com a nova notação. Posteriormente no
próprio texto será feira um diferenciação progressiva para o que cada bra ou ket
pode representar. Moreira (1982) afirma que quando um novo conceito ou
proposição é aprendido por subordinação, isto é, por um processo de interação e
ancoragem em um conceito subsunçor, este novo conceito também se modifica. A
ocorrência desse processo leva a uma diferenciação progressiva do conceito
subsunçor já que esses conceitos estão sendo constantemente elaborados e
modificados. Dessa forma ao apoiar a notação de Dirac nos conceitos de álgebra
vetorial estamos fazendo com que os estudantes diferenciem os seus conceitos de
álgebra vetorial e os modifiquem para apreender significativamente a nova notação.
Da mesma forma é feito no texto do experimento de dupla fenda ao interagir o
conhecimento prévio desse experimento com ondas com o experimento dos elétrons
30
monitorados, modificando de forma progressiva o conceito de interferência do
estudante de física.
Outro processo que ocorre durante a aprendizagem significativa ,
principalmente quando esta é combinatória ou superordenada é a reconciliação
integrativa, que é o processo no qual o estudante diante de novos conceitos
reorganiza e traz novos significados para a sua estrutura cognitiva . No caso do
experimento de dupla fenda com a introdução do experimento com elétrons
monitorados o estudante traz novo significado ao seu conceito anterior de
interferência e modifica a sua visão sobre o papel do observador , já que ao
observar o elétron há uma modificação no resultado do experimento .
Através desses dois processos que ocorrem durante a aprendizagem
significativa: o da diferenciação progressiva e o da reconciliação integrativa
podemos melhorar a deficiência comentada acima da maioria dos estudantes de
mecânica quântica diante da álgebra linear vetorial, já que esses conceitos
(subsunçores) serão modificados e terão novos significados para o estudante.
3.4- Medida e avaliação segundo David Ausubel A medida e avaliação são partes integrantes da aprendizagem em sala de aula e, portanto, também da psicologia educacional. Se estivermos realmente preocupados com a educação, devemos ter modos exatos de tanto medir os resultados da aprendizagem dos estudantes individualmente como de verificar se eles são consonantes com os nossos objetivos educacionais. (AUSUBEL,1968,p.500)
Saber medir o que o estudante aprende é importante no processo de
aprendizagem. Se soubermos o que o estudante aprendeu saberemos o que ensinar
a ele na sequência, já que segundo Ausubel (1968) devemos ter conhecimento do
que o estudante sabe para a aprendizagem se tornar significativa. Além desse fator
crucial de saber o que o estudante sabe para ensiná-lo algo novo, Ausubel (1968)
aponta que a medida e a avaliação são centrais no conceito de aprendizagem, pois
vigia a aprendizagem e o que está acontecendo, possibilitando a correção e
esclarecimentos, garantindo consolidação do que está sendo ensinado. A avaliação
permite também segundo David Ausubel (1968) constatar a eficácia de diferentes
métodos de ensino e diferentes maneiras de organizar e sequenciar os assuntos,
31
verificando assim até que ponto os seus objetivos foram alcançados. Os pontos
importantes que devem ser verificados em um teste avaliativo são:
medir a compreensão dos conceitos chave em cada disciplina;...testar indiretamente o conhecimento de uma aprendizagem previa ao medir a capacidade de aprender material sequencialmente dependente. (AUSUBEL,1968,p.499).
A partir desses conhecimentos sobre o que uma avaliação bem feita se
propõe a medir foi organizado um questionário em forma de estudo dirigido partindo
do experimento de dupla fenda com elétrons. Tivemos a preocupação em abordar os
conceitos chave do experimento assim como verificar o entendimento e a utilização
da nova linguagem, a notação de Dirac. Através das questões sobre a utilização e
compreensão da nova linguagem podemos verificar se ele é capaz de entender as
diferenças entre o que foi apresentado de novo e o que ele já tinha conhecimento,
tanto no que diz respeito a linguagem quanto no que diz respeito ao fenômeno de
interferência. Uma das grandes preocupações em relação às questões propostas no
estudo dirigido é verificar se houve aprendizagem significativa ao utilizar e
compreender à notação de Dirac. Isso foi medido através de questões mais
abrangentes e diferentes das apresentadas no texto.
32
4- O MATERIAL E SEUS OBJETIVOS O objetivo do texto a seguir é introduzir a notação de Dirac, que é o
formalismo corrente da mecânica quântica, de uma maneira fácil que parte dos
conhecimentos já adquiridos pelos alunos em etapas anteriores, permitindo assim
uma assimilação bem sucedida dessa nova linguagem. A primeira vista essa
notação pode parecer não compreensível, devido ao uso dos caracteres “bra” ( )
e “ket” ( ) e para resolver essa estranheza vamos então relacioná-la a
conhecimentos prévios: os vetores. A necessidade de apreendermos essa notação é
que ela facilitará nossa compreensão dos fenômenos quânticos, por ser uma
notação ágil, prática e elegante.
O nosso texto é dividido em três partes, na primeira parte discorreremos
sobre alguns aspectos gerais da mecânica quântica, tendo em vista que o leitor já
está familiarizado com o formalismo ondulatório de Schrödinger. Na segunda parte,
faremos uma revisão de algumas propriedades vetoriais enfatizando o produto
escalar, já que a notação que iremos apreender é inspirada na versatilidade dos
vetores. Nessa mesma parte do texto vamos realizar uma mudança na
representação dos vetores e introduziremos a notação de Dirac, de uma maneira
bem simples. Na terceira parte mostraremos como a notação de Dirac pode ser
usada na descrição quântica do experimento de interferência de duas fendas
baseando essa parte do texto no trabalho de Feynman (1968). Na parte do texto que
trata da introdução a notação de Dirac existirão exercícios que serão essenciais ao
leitor para a compreensão de outras partes do texto, funcionando como uma
complementação da teoria. Recomendamos fazê-los e disponibilizamos ao final do
material sua resolução. Na última parte do material a que trata do experimento de
dupla fenda optamos por intercalar ao texto perguntas como em um estudo dirigido
para propiciar a verificação do que foi exposto anteriormente, tornando a leitura mais
dinâmica estimulando assim a discussão dos temas com seus colegas e com seu
professor.
4.1- A necessidade da mecânica quântica Quando vamos estudar mecânica quântica pela primeira vez uma das
questões que vem a nossa cabeça são: quais as principais diferenças entre essa
33
nova mecânica e a mecânica clássica que estudamos anteriormente. Podemos
destacar inúmeras diferenças como: várias grandezas quânticas podem ser
quantizadas e devem ser tratadas como quantidades discretas, enquanto que as
grandezas clássicas correspondentes a essas são contínuas; na mecânica quântica
atribuímos para uma partícula aspectos ondulatórios e para o que se considera
“onda” aspectos corpusculares, dentre outras. È importante ressaltar que a mecânica quântica introduz um caráter
probabilístico na física, bastante diferente daquele advindo da estatística sobre
situações da física clássica. Na mecânica quântica podemos prever os resultados de
medição somente em termos de probabilidade e este caráter probabilístico aparenta
introduzir um indeterminismo intrínseco na física, o que perturbou profundamente o
pensamento dos físicos e filósofos. Vamos entender o que vem a ser esse caráter
probabilístico e para isso vamos comparar as medidas na mecânica clássica com as
medidas na mecânica quântica. Na física clássica se for conhecido o estado inicial
de um sistema com exatidão pode se prever o resultado de cada medição futura. Por
outro lado na física quântica conhecido o estado inicial só podemos ter previsões
futuras em termos de probabilidade. Na mecânica quântica objetos preparados em
condições iniciais idênticas levam a resultados finais distintos, quando submetidos a
medições de determinado parâmetro físico. Para um bom entendimento do texto a seguir é desejável que o leitor já esteja
familiarizado com a mecânica quântica ondulatória de Schrödinger, que está
baseada no conceito de “função de onda” que se estende no espaço e evolui com o
tempo. Se a partícula está confinada a uma dimensão espacial, por exemplo, o eixo
x, a função de onda é representada por . Um aspecto importante dessa
função é que em sua expressão são utilizados números complexos e esse fato de a
função de onda ser uma quantidade complexa tem como consequência que ela não
pode ser medida diretamente por nenhum instrumento físico. Isso significa que não
há um sentido físico imediato para essa função. Portanto, vamos deixar bem
estabelecido que, de fato, a função de onda de um sistema nada mais é do que uma representação matemática abstrata do estado do sistema. Vale ressaltar que não
podemos interpretar essa função de onda como se a partícula estivesse
“esparramada” no espaço, senão poderíamos encontrar uma fração de uma
partícula como o elétron, por exemplo.
34
No contexto da teoria quântica a função de onda terá uma interpretação que
foi dada pelo físico Max Born e que veremos a seguir.
A interpretação estatística de Max Born sobre a função de onda nos dá a
probabilidade de se encontrar uma partícula ao longo de um eixo x, num tempo t.
Mais precisamente, é igual à probabilidade de se encontrar a partícula
entre e em qualquer instante de tempo t. No gráfico 1 ilustrado a seguir,
que representa a probabilidade de se encontrar a partícula em função da sua
posição x temos que a partícula provavelmente será encontrada na vizinhança de A,
Gráfico 1-Função de onda em função da posição x
Fonte : Sakurai,1994
em que a probabilidade de encontrá-la é maior e provavelmente não será
encontrada próxima ao ponto B , em que a probabilidade de encontrá-la é menor
A área hachurada representa a probabilidade de se encontrar a partícula ao
redor de dx. A interpretação estatística introduz um novo tipo de indeterminação na
mecânica quântica: mesmo que você saiba tudo sobre o que a teoria tem para
contar a você sobre a partícula (na verdade sobre a sua função de onda), você não
pode prever com certeza o resultado de um simples experimento para medir a
posição da partícula, tudo o que a mecânica quântica pode lhe oferecer é uma
informação estatística sobre os possíveis resultados. (GRIFFITHS, 1994, tradução
nossa) 3
3 The statistical interpretation introduces a kind of indeterminacy into quantum mechanics, for even if you know everything the theory has to tell you about the particle, you cannot predict with certainty the outcome of a simple experiment to measure its position- all quantum mechanics has to offer is statistical information about the possible results.
35
É importante mencionar que a mecânica quântica é necessária para
entendermos as novas tecnologias e tudo ligado ao mundo da escala atômica e
subatômica.
Segundo Dirac (1971),
Verificou-se possível a criação de um novo esquema, chamado mecânica quântica, o qual é mais útil para a descrição dos fenômenos na escala atômica e em alguns aspectos mais elegante e satisfatório que o esquema clássico. A possibilidade é devido às novas mudanças que o novo esquema envolve tendo características profundas e não entrando em conflito com a teoria clássica, o que o torna bastante atrativo. (DIRAC, 1971, p.1).
Para conseguirmos entender essas diferenças e aprendermos sobre o que a
mecânica quântica nos diz, precisamos lançar mão de um formalismo matemático,
que nos fornecerá as regras para se calcularem os valores possíveis de medições e
as respectivas probabilidades. No material a seguir, utilizaremos uma notação
proposta por Paul Dirac em 1930, que ele próprio defende no texto abaixo retirado
seu livro Princípios de Mecânica Quântica
A mecânica quântica é um bom exemplo de novas idéias, que fizeram uma mudança profunda na opinião dos físicos em relação à matemática que governam suas idéias.Devemos começar a criar um formalismo lidando com as relações matemáticas entre os estados de um sistema dinâmico em um instante de tempo, em que as relações surgem da formulação matemática do principio da superposição. O processo da superposição é um tipo de processo aditivo e implica em estados que podem ser somados de certa maneira para fornecer novos estados. A mais óbvia dessas quantidades são os vetores. Vetores comuns existindo em um espaço de um número finito de dimensões não são suficientes para os sistemas dinâmicos na mecânica quântica. Temos que fazer uma generalização de vetores no espaço de um infinito número de dimensões. (DIRAC, 1971, p.15).
4.2- Os vetores e a notação de Dirac De acordo com o texto anterior do próprio Paul Dirac, o criador da notação
que estudaremos a seguir, iremos introduzir a nossa nova linguagem lançando mão
de antigos conhecidos nossos: os vetores.
36
4.2.1- Vetores Desde que iniciamos o contato com Física no ensino médio estudamos essas
grandezas, os vetores, que são utilizados para representar forças, acelerações,
campos, dentre outros. Nada mais cômodo e facilitador utilizar-se do que nós já
vimos e relacionar com a novidade, a notação de Dirac. Para isso, vamos primeiro
fazer uma revisão dos pontos principais do formalismo dos vetores, já estudados nos
anos anteriores.
A palavra vetor provem do verbo latino vehere, que significa transportar,
levar. Um vetor é caracterizado por ter um módulo, uma direção e um sentido. Se
tivermos um conjunto de vetores formaremos o que chamamos de espaço vetorial,
em que podem ser realizadas as operações como soma, subtração, decomposição e
multiplicação de vetores.
Seja x, y e z um sistema cartesiano ortogonal, como na figura 1 abaixo.
Figura 1 - Eixo cartesiano ortogonal e seus versores
Fonte: Notas de aula do Professor Lev Vertchenko
Vamos também nessa mesma figura associar a cada um desses eixos x, y e z como
é usual o vetor eixo x, o vetor ao eixo z e o vetor ao eixo y. Os vetores e
são vetores unitários (vetores de módulo um) também chamados de versores.
Temos então que: . Esses vetores unitários constituem uma base
37
no espaço R3, podendo qualquer vetor desse espaço ser escrito como uma
combinação linear destes.
Diante dessa base estabelecida, podemos agora definir a representação de
um vetor no espaço como uma combinação linear dos vetores da base, ou seja,
,em que é a componente do vetor A na direção x , é a
componente do vetor A na direção y e é a componente do vetor A na direção z.
Verifique essa representação na figura 2 a seguir.
Figura 2- Vetor no espaço tridimensional
Fonte: Notas de aula do Professor Lev Vertchenko
O nosso estudo de vetores como foi dito anteriormente enfatizará o estudo do
produto escalar entre dois vetores. Vamos recordar como esse produto é definido
matematicamente e interpretar o seu significado.
Sejam dois vetores e definidos no espaço
R³. O produto escalar de por é dado por: . Esse
produto será um número real, que pode ser lido como “u escalar v”. Se
recordarmos do nosso estudo de álgebra linear o produto escalar entre dois vetores
e também pode ser escrito como Θ, em que θ é o ângulo
entre eles. A demonstração que utilizando a lei dos cossenos
38
está no apêndice A desse material. Além de recordarmos a definição matemática da
expressão do produto escalar é importante que saibamos interpretar
geometricamente essa expressão.
Figura 3- Projeção de um vetor
Fonte: Notas de aula do Professor Lev Vertchenko
Considere a figura 3 acima, em que A’ B’ é a medida algébrica da projeção do vetor
sobre a direção do vetor . Se considerarmos o triângulo retângulo temos
que então , sendo podemos reescrever a
equação como . Da definição de produto escalar entre dois vetores
podemos concluir que então a equação
anterior pode ser reescrita como . .
A projeção do vetor sobre o vetor que é , nos diz que o produto
escalar é a projeção do vetor sobre o vetor multiplicado pelo módulo de
como em Se o vetor for unitário a projeção do vetor sobre o
vetor será o próprio produto escalar .
!
39
Utilizando a equação de produto escalar entre dois vetores e , que é
dada por vamos fazer algumas observações numeradas a
seguir de I a III que nos ajudarão muito adiante.
I. Se dois vetores e são paralelos entre si, o ângulo entre eles é de
0о e o , então o produto deles coincidirá com o produto de
seus módulos.
II. O produto do vetor por ele mesmo terá como ângulo entre eles 0о e
, será dado então por , que é
o mesmo que escrever . Então, o produto escalar de um
vetor por ele mesmo, será igual ao quadrado do seu módulo. O módulo
de um vetor é também chamado norma do vetor e é indicado por
ou por .
III. Se dois vetores e são perpendiculares entre si o ângulo entre eles
é de 90о e o , então o produto escalar deles será nulo.
Um detalhe que merece destaque na nossa breve revisão é a definição de um vetor
unitário. Como vimos, um vetor unitário é um vetor que possui módulo um, sendo
assim, dado um vetor qualquer não nulo, o seu módulo é obrigatoriamente um
número diferente de zero e, portanto, tem um inverso 1/ . Multiplicando-se o vetor
pelo seu inverso 1/ obtém-se também um vetor unitário ·, que terá a
mesma direção e sentido do vetor .
40
4.2.2- Exercícios 1- Utilizando a figura ao lado, semelhante a figura do
nosso texto acima, com os eixos x, y e z e os versores
encontre os valores das seguintes operações
com os vetores unitários
a)
b)
c)
d)
RESOLUÇÃO
O produto de um vetor unitário por ele mesmo é a unidade, então =1 e =1.
Já o produto de um vetor perpendicular ao outro será zero, podemos interpretar
isso como sendo a projeção de um vetor unitário sobre o outro, que é zero.
Temos então =0 e .
2 - Seja = 3
a) Obtenha um vetor unitário na direção de .
b) Mostre que o módulo do vetor encontrado na letra a é 1, já que encontramos o
vetor unitário.
b) Calcule , onde . Interprete o resultado e desenhe de forma
esquemática os dois vetores
RESOLUÇÃO
a) Para determinarmos um vetor unitário basta dividir o vetor pelo seu módulo, que é
calculado a seguir = = . Temos então = .
b) Para determinarmos o módulo do vetor fazemos
= (3 .( . Ou seja, o resultado desse produto indica que esses vetores são perpendiculares
entre si. Verificar a figura 4 abaixo:
41
Figura 4- Representação gráfica vetor e vetor
Fonte: Notas de aula do Professor Lev Vertchenko
3- Dados dois vetores e que formam ângulo θ entre si, demonstre que o
quadrado do módulo dos vetores soma e diferença de e são dados
respectivamente por .
RESOLUÇÃO
42
4.3- A notação de Dirac Vamos agora introduzir a notação de Dirac proposta por ele no seu livro," Os
princípios da mecânica quântica “, de 1930, que garante uma elegância ao
tratamento formal da mecânica quântica associando aos estados quânticos
grandezas semelhantes a vetores. De acordo com Richard Feynman,
Tudo o que faremos na mecânica quântica pode se feito com álgebra linear simples e essa nova maneira é simplesmente uma forma de escrever a mesma coisa de forma diferente. Sabendo essa nova notação você será capaz de entender o que as outras pessoas dizem. Quando as pessoas trabalham a mecânica clássica estão acostumadas a tratar todas as equações em termos das componentes x, y e z e alguém mostrou que escrever isso em forma de vetores facilitaria o trabalho. O que faremos na mecânica quântica é escrever as grandezas usando o conceito de um vetor de estado. (FEYNMAN, 1968, p 20.1).
Para introduzirmos essa nova notação utilizaremos os vetores já conhecidos por nós
e faremos apenas uma simples troca de representação. Essa troca consiste numa
substituição de um tipo de representação por outro, por exemplo, representaremos o
vetor como , que é um símbolo chamado Ket. Então quando quisermos
representar o vetor exemplificado anteriormente faremos as
seguintes substituições, alterando por enquanto apenas a representação
|k>. Além desse símbolo conhecido como ket | >
temos também o que chamamos de espelho da imagem do vetor ket, que é o vetor
bra < |, representado apenas pelo vetor ket invertido. Por exemplo, o vetor denotado
pelo símbolo ket tem como espelho o vetor denotado pelo símbolo bra .
Uma expressão do tipo é um produto escalar de um vetor bra por
um vetor ket, como na operação de produto escalar entrem dois vetores. Se
quisermos saber o que significa |A> ou <B| separadamente devemos pensar na
representação de um vetor. Então quando quisermos determinar , que é a
componente do vetor A na direção i, como já dito anteriormente um produto escalar
, iremos representar usando a nova notação por . Vamos então tentar
resolver os exercícios propostos a seguir, para nos habituarmos a essa nossa nova
maneira de representar.
43
4.3.1- Exercícios
4- Definimos um vetor num plano tridimensional através da equação
. Utilize no lugar da notação vetor o seguinte símbolo ket
para definir o vetor representado no plano tridimensional, faça a mesma troca
de representação para os vetores unitários. Observe que você devera fazer uma
simples troca de representação, utilizando a notação de Dirac.
RESOLUÇÃO
No lugar do vetor utilizamos e no lugar dos vetores unitários e
utilizamos ficando assim
+
5- Faça agora o exercício proposto a seguir utilizando-se da mesma troca de
representação proposta na questão 4. Para facilitar a sua resolução damos um
exemplo abaixo para que você represente da mesma forma a operação do produto
escalar. Observe que os vetores são os nossos vetores unitários, os
versores.
= = 1
a) =
b) =
c) =
d) =
e) =
RESOLUÇÃO
a) = = 1
b) = = 0
c) = = 0
d) = = 0
e) = = 0
44
6- Utilizando-se dessa mesma representação pictórica feitas nos exercícios 4 e 5
anteriores defina quem são as componentes , e do vetor
, que é um vetor definido no espaço.
RESOLUÇÃO
7- Seja o vetor definido através na notação pictórica utilizada
nos exercícios anteriores, obtenha um vetor unitário > na direção de .
RESOLUÇÃO
Note que:
Assim =
8- Mostre que o vetor obtido na questão anterior 7 é unitário.
RESOLUÇÃO
Para mostrar que o vetor é unitário devemos calcular sua norma
que é o mesmo que fazer =1. Assim temos
45
9- Vamos fazer agora um exercício, usando a nova notação.
Seja
a) Obtenha um vetor unitário na direção de .
b) Calcule , onde , interprete o resultado.
RESOLUÇÃO
a)
b) . Ou
seja, como no exercício dois os dois vetores são perpendiculares entre si.
10- O operador identidade I é definido por e não modifica o vetor.
Mostre que onde , , .
RESOLUÇÃO
, o que é o próprio vetor
+ . Ou seja, aplicando o somatório no vetor temos como resultado o
próprio vetor, então .
Diante dessas novas regras que fazem parte do formalismo de Dirac vamos
aplicá-las à mecânica quântica, que é o nosso principal objetivo. A necessidade de
inserir essa notação nesse momento é aproveitarmos o fato dela ser uma linguagem
compacta e elegante, facilitando assim o entendimento de várias situações, que
iremos encontrar ao longo do nosso curso de mecânica quântica.
Vimos que a função de onda pode ser escrita como uma superposição linear
de autofunções representadas por de um operador hermitiano
como, por exemplo, o hamiltoniano do sistema. Nesse caso,
em que os coeficientes permitem determinar a probabilidade de se
encontrar a partícula sendo descrita por uma destas funções. A probabilidade de
46
uma partícula estar associada a uma determinada função é
dada por . Estes coeficientes são obtidos através da expressão
que podem ser escritos utilizando-se da nova notação como
. Essa expressão assume a forma de um produto
escalar com o qual já lidamos anteriormente, justificando assim o fato da expressão
receber o nome de “produto escalar” na literatura.
11- Sabemos que os coeficientes podem ser números complexos.
Mostre que, para mantermos a compatibilidade entre as expressões
e devemos ter que .
RESOLUÇÃO
A expressão significa que se encontrarmos o conjugado de o devemos ter compatibilidade com as expressões apresentadas
acima. Será o mesmo que encontrar o conjugado da expressão que
deve ser .
Temos que então
Se fizermos analogia entre e a equação anterior
teremos que .
Devemos lembrar também que a probabilidade deve ser normalizada, ou seja, a
probabilidade de se encontrar a partícula em qualquer região do espaço de
, num dado instante de tempo, deve ser igual a 1 se a partícula existir.
. As condições de ortogonalidade ficarão
.
Na formulação da mecânica quântica dizemos que | é um vetor num
espaço de Hilbert, que é um espaço vetorial de dimensões infinitas. Não nos
preocuparemos aqui em definir um espaço vetorial, mas caso o leitor queira
47
Gráfico 2 e 3 - Representação Clássica e Representação Quântica
Fonte : Dados da pesquisa
aprofundar o seu conhecimento nesse assunto é só consultar o apêndice B anexo a
esse material. Faremos agora uma analogia gráfica entre a abordagem clássica de vetores
com a nova abordagem de espaços quânticos, como representado nos gráficos 2 e
3 acima. Podemos verificar que os dois gráficos são idênticos diferindo apenas na
natureza dos coeficientes. Na abordagem clássica no espaço euclidiano o vetor R é
representado por , em que e são números reais e
representam a componente x do vetor R e a componente y do vetor R,
respectivamente. Na representação quântica então o estado será representado por
em que serão números complexos. Na abordagem
quântica usamos o símbolo ,que chamamos de ket para representar um vetor
que será para nós um estado quântico. O nosso espaço agora é um espaço de
Hilbert complexo, que pode ter um número qualquer de dimensões. O estado
pode ser definido em termos das bases e . No capítulo seguinte
aplicaremos a nova notação ao experimento de duas fendas tão importante na
mecânica quântica.
48
5- O EXPERIMENTO DE DUPLA FENDA Iniciamos o nosso estudo de Física pela física newtoniana, a mecânica
clássica de objetos macroscópicos que tem dimensões visíveis a olho nu, em que
aplicamos as leis de Newton. Na maioria das vezes tratamos esses objetos como
partículas ou corpúsculos, abandonando sua estrutura interna e os considerando
como objetos pontuais que se movem no espaço. Em seguida aprendemos a
mecânica ondulatória, das ondas, que apresenta comportamento diferente das
partículas e possui fenômenos específicos como difração e interferência, que não
podem ser explicados com o modelo de partículas. Iremos tratar a seguir de um experimento, o experimento de dupla fenda,
usando primeiramente as partículas e posteriormente as ondas analisando assim as
diferenças de comportamento entre elas. Após esse estudo iremos estudar o mesmo
experimento só que com o elétron, um objeto microscópico que se comportará ora
como uma onda ora como uma partícula. Para esse novo objeto (elétron) teremos
que usar uma mecânica completamente nova e diferente da mecânica clássica e
ondulatória: a mecânica quântica. O texto apresentado a seguir é baseado no texto
de Feynman (1968), como já mencionamos anteriormente. Apesar de ser
apresentada como uma ciência nova a mecânica quântica já possui mais de cem
anos e tem várias aplicações no nosso mundo como o laser, imagens de
ressonância magnética, o computador, etc. . A fim de simplificar e facilitar nossos
estudos utilizaremos a notação de Dirac estudada anteriormente no capítulo 4.
5.1- Experimento de dupla fenda com balas (partículas clássicas).
Trataremos a seguir do experimento de dupla fenda utilizando projéteis que
podem ser, por exemplo, bolinhas de gude, balas de canhão, dentre outros. Vamos
supor que tenhamos uma máquina atiradora desses projéteis, que dispara
aleatoriamente um projétil de cada vez. Essa máquina dispara projéteis
indestrutíveis (que não podem ser divididos) por dois buracos 1 e 2, que são os
únicos buracos que permitem a passagem deles. Considere também que a taxa de
disparos (número de disparos por unidade de tempo) seja constante. À frente dessa
metralhadora encontram-se duas paredes, a parede 1 que contém dois orifícios e a
parede 2 que funciona como um anteparo. A primeira parede (parede 1) tem fendas
49
grandes o suficiente para deixar passar só uma bala de cada vez. Na segunda
parede (parede 2) existe um detector de projéteis como, por exemplo, uma caixa de
areia onde os projéteis se alojam (FIG.5).
Observando a situação descrita podemos tentar responder a seguinte
pergunta: qual a probabilidade de um projétil acertar a posição ? Observe que a
posição representa uma altura do centro da segunda parede, como representado
na figura 5 a seguir.
Figura 5- Experimento de dupla fenda com balas
Fonte : Feynman et al, 1968
O que chamamos de probabilidade é a razão entre o número de balas que chegam
ao detector em uma determinada posição num certo período de tempo e o número
total de projéteis que atingem o anteparo da parede 2 nesse mesmo período de
tempo.
Se fizermos a medida tampando um dos buracos obteremos a curva ilustrada
no gráfico (a) da figura 6 a seguir. A curva P1 ocorre quando apenas a fenda 1 está
aberta e tem seu máximo no ponto que está alinhado com a metralhadora e o centro
da fenda 1.O mesmo ocorre com a curva P2 , que tem seu máximo no ponto
alinhado com a metralhadora e o centro da fenda 2.
50
Na figura 6 apresentamos também o gráfico (b) e não é difícil concluir que
, ou seja , o efeito com os buracos simultaneamente abertos é a
soma dos efeitos de cada buraco aberto sozinho .Esse experimento nos mostra que
não há nenhuma interferência entre as balas, o gráfico (b) ilustrado na figura 6
abaixo é a simples soma das curvas de probabilidade e , o que não nos causa
nenhuma estranheza não é nenhuma surpresa no mundo clássico.
Figura 6- Gráficos de probabilidades em função da posição
Fonte : Feynman et al, 1968
5.2- Experimento de dupla fenda com ondas clássicas.
Vamos ver agora o que acontece quando usamos no lugar dos projéteis
ondas, em um experimento similar ao anterior. A experiência é bem parecida com a
anterior tendo também dois orifícios por onde passarão as ondas, conforme a figura
7 a seguir. Uma diferença desse experimento para o anterior é que temos no lugar
do canhão uma fonte produtora de ondas circulares na água, que pode ser, por
exemplo, um pequeno objeto que vibra para cima e para baixo na água. Na parede 2
51
será colocado um detector para contar a energia carregada pela onda (a intensidade
do movimento), podendo se mover para cima e para baixo no eixo y. A energia é
proporcional ao número de partículas e nesse momento do experimento tentamos
comparar uma grandeza que possa ser comum tanto nesse experimento com ondas
quanto no experimento com partículas. Lembre-se de que a intensidade da onda não
é exatamente a amplitude de oscilação deste objeto, mas é sim proporcional ao
quadrado dessa amplitude. A intensidade de uma onda está relacionada com a
energia que essa onda consegue carregar. Diferentemente do caso anterior, em que
as balas chegavam ou não ao detector, agora a intensidade do movimento da onda
pode ser detectada em valores variáveis, pois a intensidade de uma onda pode
variar.
Figura 7- Experimento de dupla fenda com ondas
Fonte : Feynman et al, 1968
As ondas produzidas passarão por dois orifícios 1e 2 após sofrerem difração
e a segunda parede será construída de forma a não permitir que as ondas sejam
refletidas. Após a medição do detector teremos essa intensidade em função da
posição representada em dois gráficos (a) e (b) ilustrados na figura 8 a seguir.
52
Quando apenas a fenda 1 está aberta e medimos a intensidade da onda e
temos a curva mostrada no gráfico (a) da figura 8, quando apenas a fenda 2 está
aberta medimos a intensidade da onda e temos a curva mostrada também no
gráfico (a) da figura 8. Como já foi dito anteriormente, a intensidade de uma onda é
proporcional módulo ao quadrado da probabilidade da sua amplitude que
representaremos por Ф. Teremos então a seguinte expressão matemática para a
intensidade da onda : . Outra expressão nos dará a intensidade da onda
2 : . O outro gráfico ilustrado na figura 8, o gráfico (b) representará
intensidade da onda quando as duas fendas estão abertas simultaneamente.
Figura 8- Gráficos de intensidade da onda em função da posição
Fonte : Feynman et al, 1968
Diferentemente do experimento de projéteis o gráfico (b) da figura 8 não é a soma
das probabilidades e , ou seja, houve interferência entre as ondas. O gráfico
(b) ilustrado na figura 8 mostra que a intensidade da onda resultante oscila
53
fortemente com a posição, passando por valores máximos (picos) e mínimos (vales).
Se devemos ter uma expressão matemática para a intensidade
, quando existir interferência entre duas ondas. A função matemática que
representa a onda resultante é a soma das funções que a compõem. A função
apropriada para esse caso é a que relaciona a altura do nível da água, então
podemos representar a altura da onda que chega ao detector a partir do buraco 1
pela função , onde é a posição do detector , a amplitude um
número real e positivo e o fator exponencial complexo informa sobre a
dependência temporal da altura. A intensidade dessa onda, conforme já dissemos
anteriormente, será proporcional a , ou seja, , que pode ser escrito como
, não importando nesse momento o valor do fator de proporcionalidade que
apareceria na igualdade.. Da mesma forma da função anterior, a altura da onda 2
que chega ao detector a partir do buraco 2 é dada por . Note
que surge uma diferença de fase devido à diferença de distância percorrida desde
os dois buracos até o ponto . Do mesmo modo anterior a intensidade dessa onda
será dada por . Para obtermos a intensidade da onda resultante basta
somarmos as alturas das duas ondas que são dadas pelas equações das funções
. É mais fácil fazer esta soma graficamente usando o conceito de
fasores que recordaremos agora. . A operação de soma das duas funções
complexas e utilizando fasores foi feita aplicando a lei dos cossenos à figura 9
.
54
Figura 9 - Esquema da soma das duas funções complexas h1 e h2 através de fasores.
F Fonte: Dados da pesquisa
Os vetores complexos e que representam as funções das alturas das
ondas 1 e 2 foram representados por fasores no eixo real (Re) e no eixo imaginário
(Im). Os fasores são vetores que possuem módulo igual a da amplitude da onda.
Portanto o fasor terá módulo igual a amplitude e o fasor terá módulo igual
a amplitude .Se usarmos a lei dos cossenos para a soma dos fasores
representados na figura 9, teremos:
|.| . Ao analisar a equação acima
reparamos que a parte é a parte nova que não existia quando
tratamos as partículas, responsável pela interferência das duas ondas . A diferença
de fase entre as contribuições das duas frentes de ondas é dada por , que resulta
da difração da frente de onda original pelas fendas .
5.3- Experimento de dupla fenda com elétrons. Voltemos a usar o dispositivo das experiências anteriores, mas agora com
uma fonte que emite partículas quânticas, por exemplo, um fio metálico de
tungstênio que quando aquecido emite elétrons. Como nos experimentos de dupla
55
fenda relatados anteriormente os elétrons incidem primeiramente na parede 1, que
possui dois orifícios passando assim por eles e atingindo posteriormente a parede 2,
que é um anteparo no qual há um detector móvel. Para detectar elétrons
utilizaremos um contador Geiger, que é um instrumento usado para detectar
partículas quânticas,elétrons dentre outras. Podemos pensar num contador Geiger
como sendo um tubo de gás que conduz eletricidade quando uma partícula passa
por ele, ionizando-o. Esse instrumento para cada partícula que passa pelo gás
amplifica o sinal produzindo um clique. A chegada desses elétrons ao detector
produz cliques (sons) bem definidos, que são reproduzidos por um alto-falante. Ao
observarmos o comportamento desses elétrons verificamos que:
• Todos os cliques produzidos são idênticos não existindo cliques pela
metade, ou seja, o detector nunca registra pedaços de elétrons, mas
sempre um número inteiro deles.
• Os cliques acontecem de forma aleatória, ou seja, o instante de
chegada de cada elétron é imprevisível.
• Nunca escutamos dois cliques simultaneamente, mesmo se
aumentarmos o número de detectores que cobrem a parede 2, ou seja, os
elétrons chegam um de cada vez.
• Se aumentarmos a temperatura do fio emissor de elétrons mais
elétrons chegarão ao detector por unidade de tempo. Podemos associar a
taxa média de chegada de elétrons ao detector por unidade de tempo à
probabilidade de chegada do elétron para cada posição x no anteparo.
Todos esses resultados nos levam a pensar que os elétrons se comportam
como projéteis, então esperaremos gráficos de probabilidades semelhantes aos
gráficos da figura 6 do experimento com balas relatado anteriormente. No entanto o
gráfico (b) ilustrado na figura 6 do experimento com projéteis quando os dois orifícios
estão abertos não coincide com o gráfico de probabilidades, quando também os dois
orifícios estão abertos desse experimento. Nesse experimento com elétrons o
gráfico de probabilidades quando estão abertos os dois orifícios está representado
pelo gráfico (b) da figura 10 a seguir. Se as duas fendas (buracos) estão abertas,a
distribuição de probabilidades P12, depois de um período de tempo não é igual à das
partículas clássicas é sim idêntico ao gráfico que representa a distribuição de
probabilidades das ondas. Ou seja, os elétrons e outras partículas elementares
56
como, por exemplo o fóton, chegam ao detector inteiros, como as partículas
clássicas indestrutíveis, mas a distribuição de probabilidade de chegada deles é
similar à distribuição de intensidade das ondas clássicas (FIG.10).
Figura 10- Experimento de dupla fenda com elétrons
Fonte : Feynman et al, 1968
Temos que tentar desvendar como apareceu esse padrão de interferência
para elétrons. Não podemos pensar que os elétrons passam ou pelo orifício 1 ou
pelo orifício 2, já que a probabilidade P12 não é a soma da P1 com a P2 (FIG.10).
Será que está havendo uma interferência entre elétrons que passam pelo buraco 1
com elétrons que passam pelo buraco 2 ?
Para tentar resolver essa questão reduziremos bastante a temperatura do
filamento de modo que a taxa de emissão de elétrons seja de um elétron apenas
viajando desde o emissor até o anteparo localizado na parede 2. Assim não terá
como ocorrer interação entre os elétrons emitidos e os cliques ficarão bem
espaçados entre si ficando fácil de distingui-los. Se deixarmos então o experimento
57
funcionando por um período longo de tempo emitindo um elétron por vez será
formado o mesmo padrão de interferência observado anteriormente, ou seja, os
elétrons passam um de cada vez pelo orifício e ainda assim formam padrão de
interferência. Deve existir então uma maneira de obtermos a curva de probabilidades
P12 representada pelo gráfico (b) ilustrado na figura 10. Para isso, utilizaremos a
matemática das ondas e a notação de Dirac apreendida anteriormente. Lembre-se
que o físico de Broglie foi o primeiro a associar uma onda a um elétron, chamando
na ocasião essas ondas de “ondas de matéria”.
Antes de prosseguirmos apresentaremos as regras de cálculo de
probabilidades, que nos auxiliará no entendimento da situação. Como no caso das
ondas, a intensidade não é a quantidade fundamental, mas sim a função de onda,
assim descreveremos as probabilidades através de uma função de onda.
Consideraremos que no experimento da interferência com elétrons que o elétron
será descrito por uma função de onda complexa Quando apenas o buraco 1
estiver aberto teremos a função de onda da mesma forma que se somente o
orifício 2 estiver aberto teremos a função de onda . Se ambos os orifícios
localizados na parede 1 estiverem abertos teremos a função de onda e da
mesma forma que fizemos no experimento de ondas clássicas podemos afirmar que
. No caso das ondas clássicas a intensidade era proporcional ao
quadrado da amplitude da onda algo parecido ocorrerá com o elétron, sendo que
agora a probabilidade é proporcional ao módulo do quadrado da função de onda. A
probabilidade de se encontrar o elétron no caso de somente o orifício 1 estar aberto
será dada por e se somente o orifício 2 estiver aberto .
Quando os dois orifícios estiverem abertos a probabilidade será dada por
.
Para entendermos como a matemática das ondas explica o acontecido com
os elétrons vamos associar ao elétron a um estado quântico representado pelo
símbolo ket , que está representando uma função de onda para o elétron
(FIG.12). Escolhemos utilizar o conhecido símbolo Ket para representar o estado
quântico do elétron com objetivo de facilitar o nosso entendimento e escrever essa
estado de forma elegante.
58
. Figura 12- Experimento dupla fenda com elétron
Fonte : Feynman et al, 1968
Na figura 12 está ilustrado o elétron associado a sua função de onda >,
que foi emitido pela metralhadora e pode atravessar o orifício 1 ou 2, localizados na
primeira parede até chegar ao ponto z localizado na segunda parede.
Para definirmos a amplitude de probabilidade de encontrarmos o elétron que
partiu da metralhadora e chegará até o ponto z da segunda parede utilizaremos a
notação proposta por Dirac, simplificando nossa linguagem teremos a expressão
matemática < . Os símbolos significam “a amplitude de” e o que está à
esquerda no “ bra ” representa a condição final de chegada do elétron e o que
está a direita no “ ket ” representa a condição de partida do elétron.Então
podemos representar que a amplitude de probabilidade de o elétron ser encontrado
em um ponto z localizado sobre a segunda parede é
Essa expressão escrita utilizando a notação de Dirac pode ser lida da seguinte
forma: a amplitude total de probabilidade de encontrar o elétron que foi emito pela
metralhadora e está representado pela sua função de onda chegar ao ponto
z é dada pela amplitude de probabilidade de ir pelo caminho 1 mais a amplitude de
probabilidade de ir pelo caminho 2. Podemos reescrever a expressão
!
!
Figura 11- Esquema da soma das duas funções complexas h1 e h2 através de fasores.
59
da seguinte maneira: a amplitude de probabilidade do elétron que parte de ou pelo caminho 1 ou por 2 chegar a z pode ser escrita como sendo o produto da
amplitude de probabilidade de ir de até a ou b multiplicado pela amplitude de
probabilidade de ir de 1 ou 2 até z, que será o restante do caminho. Para você
entender melhor o que acabamos de dizer vamos desenhar nossa expressão na
linguagem dos “bras” e “kets”. Repare que será bem mais fácil de compreender já
que a notação é sintética, prática e muito elegante para representar o que queremos
dizer.
Podemos ler essa expressão da seguinte maneira para determinar a amplitude de
probabilidade total do elétron que parte de até chegar a z como a soma da
amplitude de probabilidade do elétron passar por dois caminhos diferentes 1 e 2.
Primeiramente o elétron parte de e vai até 1 multiplicado pela
amplitude de ir pelo restante do caminho de 1 até z ( ) ou parte de
até 2 multiplicado pela amplitude de probabilidade de ir por 2 até
z ( ). Consideraremos também que o elétron representado por sua função de onda
antes de passar pelos orifícios 1 e 2 e sofrer a difração tem comportamento
de onda plana e assim teremos
Para simplificar, devemos considerar também que o elétron representado por sua
função de onda comporta-se como uma onda esférica estacionária após
sofrer difração e tem a seguinte equação: , que como veremos,é
solução da equação de Schrödinger de uma partícula em condições esféricas. Quando considerarmos a distância entre os orifícios muito menor que a
distância onde o elétron foi detectado (r>>d) teremos a seguinte equação
, em que é uma constante. Uma das soluções dessa
equação é Então podemos escrever que
60
(3)
Substituindo (2) e (3) em (1) teremos
= , que representa a amplitude de
probabilidade de encontrarmos o elétron na posição z da segunda parede, ou seja, a
função de onda representa as possibilidades do que pode acontecer num
determinado sistema físico.
Como vimos anteriormente conceito de densidade de probabilidade será o
módulo ao quadrado da função de onda e representará a possibilidade de
encontrarmos a partícula numa certa posição. A densidade de probabilidade nos dá
a probabilidade por unidade de volume, num determinado instante de tempo, de
cada uma das possibilidades representadas pela função de onda. A probabilidade do
elétron sair de e chegar a z pelos dois caminhos 1 e 2 será dada então por
. Sabemos também que para calcularmos o quadrado de um
número complexo como , multiplica-se o número pelo seu complexo
conjugado. Temos então .
Considerando o que encontramos anteriormente =
teremos então
= ( . (
(
61
Sabendo que e substituindo na expressão
acima obteremos
Usando as relações trigonométricas
, e que
temos que
Utilizando-se de , em que é a diferença de fase.
Obteremos então
)
Considerando agora nossa última substituição da diferença de fase em que
temos finalmente que . Essa equação
representa o gráfico ilustrado na figura 13 a seguir, que tem seu máximo em x = 0 e
é semelhante ao que encontramos para a experiência feita com ondas.
Figura 13- Gráfico da probabilidade total de se encontrar o elétron sobre a segunda parede
Fonte : Feynman et al, 1968
62
Vamos então analisar melhor o ponto de máximo dessa função, que ocorre no
ponto central como representado no gráfico da figura 12. Esse ponto ocorre quando
os caminhos a e são idênticos, ou seja, como podemos
verificar na ilustração da figura 14 abaixo.
Figura 14- Representação dos caminhos a e b no ponto x=0
Fonte : Feynman et al, 1968
Poderíamos também analisar a mesma situação de máximo analisando a equação
,que terá o seu valor máximo quando
, ou seja quando θ for 0о, que significa não existir diferença de caminho
entre 1 e 2.
Se observarmos a figura 15 a seguir verificaremos que a diferença entre os
caminhos 1 e 2 é que é dada por vale . Então a diferença de fase
é dada pela equação matemática .
63
Figura 15- Diferença de caminho ra - rb
Fonte : Feynman et al, 1968
Os máximos da equação de amplitude de probabilidade ocorrerão quando as
diferenças de caminho forem números inteiros de comprimentos de onda.
Então que é dado por deverá ser um número inteiro multiplicado
por , ou seja, em que . Repare que quando
teremos que , ou seja, não existirá diferença de caminho entre 1 e 2,
será o ponto de máximo central como já verificamos anteriormente.
Outro detalhe importante diante da equação de amplitude de probabilidade
que obtemos é que ela pode ser escrita como
. Quando estudamos o experimento de dupla fenda
para ondas clássicas chegamos à equação da intensidade da onda que é
, se compararmos
essa equação com a de densidade de probabilidade obtida temos um termo em
ambas que acompanha e outro termo independente. Fazendo a analogia
temos como esperávamos
64
, que é o termo responsável pela interferência e
, que é a soma das amplitudes de probabilidade .
O elétron então que é uma partícula microscópica tem comportamento bastante
interessante ao passar por uma fenda dupla. Esse comportamento não é o mesmo
dos projéteis nem o mesmo das ondas, ele tem características de ambos, o que
podemos chamar de comportamento dual onda partícula.
5.4- Experimento de dupla fenda com elétrons monitorados.
Vamos agora modificar o experimento com elétrons colocando uma fonte de
luz entre a primeira parede e a segunda parede localizada entre as duas fendas,
como proposto por Feynman e ilustrado na figura 16 abaixo.
Figura 16- Experimento de dupla fenda com fonte de luz
Fonte : Feynman et al, 1968
O objetivo de se colocar essa fonte de luz entre as fendas é que quando o elétron
passar por uma das fendas ele espalha luz, já que cargas elétricas em movimento
espalham luz, e assim chegará até o nosso olho um clarão. Para sabermos de onde
65
vem os clarões vamos abaixar a intensidade do feixe de elétrons de forma que a
fonte emita só um elétron por vez, mantendo, porém a intensidade da luz forte o
suficiente para que sempre ocorram os clarões. O que se observa é que os clarões,
que é a luz espalhada pelo elétron, são oriundos ou da fenda 1 ou da fenda 2. Se o
clarão estiver vindo das proximidades da fenda 2, saberemos que o elétron passou
pela fenda 2. A mesma coisa ocorrerá se caso o clarão estiver vindo das
proximidades da fenda 1. È colocado também na segunda parede um detector móvel
de elétrons, como ilustrado na figura 16 acima, que emitirá um clique a cada elétron
que chegar a ele. Não vai importar em que posição o detector estará ao longo da
segunda parede, sempre que ouvirmos um clique vindo dele veremos
simultaneamente um clarão vindo do orifício 1 ou do orifício 2. Nunca serão
observados clarões simultâneos das duas fendas.
Designaremos por a função que representa o número de cliques no
detector quando o elétron passar pela fenda 1, o que pode ser visualizado através
dos clarões próximos a fenda 1. Da mesma forma chamaremos de a função que
representa o número de cliques no detector quando o elétron passa pela fenda 2, o
que pode ser observado por clarões próximos a essa fenda. Podemos construir um
gráfico com as duas curvas de probabilidade e , que será como o gráfico
representado na figura 17 . A curva conterá apenas os elétrons que passaram
pela fenda 1 e a curva conterá apenas os elétrons que passaram pela fenda 2.
Note que o gráfico da figura 18 abaixo contém duas curvas de probabilidade que são
idênticas às curvas de probabilidades do experimento de dupla fenda com elétrons
sem a fonte de luz entre as paredes estudado anteriormente, quando apenas uma
das fenda estava aberta e a outra bloqueada. Significa que não faz diferença se
bloquearmos uma das fendas ou se monitoramos a trajetória através da fonte de luz,
que emite um clarão a cada passagem de um elétron, pois obteremos o mesmo
resultado para as distribuições de probabilidade.
66
Figura 17 – Curva de distribuição de probabilidades e
Fonte : Feynman et al, 1968
Mas o que será que vamos obter no gráfico das probabilidades totais que
é como se não tivéssemos prestado atenção no clarão, que indica por qual fenda o
elétron passou? Para determinar a probabilidade total o experimento será feito
com as duas fendas abertas simultaneamente e será a função que representa a
soma de todos os clarões, tanto os correspondentes aos elétrons que passam pela
fenda 1 quanto os correspondentes aos elétrons que passam pela fenda 2. No caso
das duas fendas abertas teremos o gráfico que representa as probabilidades totais
ilustrado na figura 18 . Diante desse gráfico e dos apresentados na figura 17
podemos concluir que . A probabilidade encontrada é diferente
do que encontramos no experimento com elétrons estudado anteriormente, em que
não existia a fonte de luz entre as fendas emitindo clarões, ou seja, os elétrons não
eram monitorados. Concluímos então que, quando monitoramos os elétrons através
de uma fonte de luz que emite clarões , o padrão de interferência desaparece.
67
Figura 18- Curva de distribuição de probabilidades
Fonte : Feynman et al, 1968
Responda agora à questão seguinte , de número 1.
1- Quais as diferenças entre as medidas de probabilidades encontradas com
elétrons monitorados (com a fonte de luz colocada entre as duas paredes) e elétrons
não monitorados?
Para tentar não destruir o padrão de interferência como anteriormente, vamos
então diminuir a intensidade da fonte de luz que foi colocada entre a primeira parede
e a segunda com o objetivo que ela não interfira no experimento. Diminuindo a
intensidade da luz, observamos um efeito interessante. Nem todos os elétrons que
chegam ao anteparo têm sua trajetória marcada por um clarão. Para entender isso
precisamos tratar a luz nessa situação como sendo formado por partículas, com
comportamento próximo a de um elétron. Essas “partículas de luz” são denominadas
fótons e quando diminuímos a intensidade da luz reduzimos a taxa que os fótons
são emitidos. Ao diminuir o número de fótons emitidos pela fonte de luz em um
68
intervalo de tempo alguns elétrons passam despercebidos, já que não existia nesse
momento um fóton nas proximidades das fendas quando o elétron passou. Outra
coisa que observamos é que os clarões quando ocorrem têm a mesma intensidade.
Isso acontece porque ao diminuirmos a intensidade da luz não modificamos a
energia de um fóton e sim o número de fótons emitidos em um intervalo de tempo.
Nesse experimento com a luz de intensidade reduzida existirão elétrons de três
tipos: (1) aqueles que são vistos passar pelo buraco 1; (2) aqueles que são vistos
passar pelo buraco 2; (3) e aqueles que não são vistos. Se computarmos as
distribuições de probabilidades para cada um dos três tipos de elétrons,
encontramos o seguinte: os elétrons do tipo 1 se distribuem como , os do tipo 2 se
distribuem como e os do tipo 3 (aqueles que não são vistos) que se distribuem
como . Esse padrão de distribuição de probabilidades é o
mesmo encontrado no experimento estudado anteriormente em que os elétrons não
eram “observados” através da emissão de clarões, ou seja, quando elétrons não são
observados mostram interferência.
Será que existe alguma maneira de observamos os elétrons e não perturbá-
los, ou seja, não fazê-los perder o padrão de interferência? Nossa ultima tentativa
será reduzir a “intensidade” de cada fóton, ou seja, a energia que ele transporta, já
que quando reduzimos a intensidade da luz estamos reduzindo apenas o número de
fótons emitidos em um intervalo de tempo. Para isso devemos lembrar que a energia
de cada fóton é proporcional à freqüência da onda associada a ele. A energia de um
fóton é dada pela equação , em que é a constante de Plank e é a
freqüência associada ao fóton. Vamos então realizar o experimento novamente só
que utilizando uma luz de freqüência menor, como por exemplo, uma luz
infravermelha.
Para realizar esse experimento iniciaremos com luz de alta freqüência
(pequeno comprimento de onda) e “enxergaremos” os elétrons através dos clarões
emitidos quando eles passarem pelas fendas 1 ou 2. Vamos então reduzir
gradualmente a freqüência da luz (aumentando seu comprimento de onda) até certo
ponto em que recuperamos o padrão de interferência. Quando diminuímos a
frequência da luz e olharmos para os clarões teremos uma surpresa desagradável.
Continuaremos a vê-los, mas eles agora estão maiores, mais difusos, como grandes
borrões. Você deve se lembrar que devido à natureza ondulatória da luz existe uma
69
limitação de quão próximas podem estar as duas fendas e ainda assim serem vistas
como duas fendas separadas. Essa distância mínima entre as fendas a e b deverá
ser da ordem do comprimento de onda da luz. Quando diminuímos muito a
frequência da luz aumentamos o comprimento de onda de forma que ele ficará muito
maior que a distância entre as fendas. Ou seja, ao tentarmos usar fótons de baixa
energia, de modo que eles não atrapalhem o movimento dos elétrons, esses fótons
não permitem uma definição da trajetória do elétron. Na verdade isso se deve ao
efeito da difração e é um efeito ótico. Se tivermos dois objetos muito próximos, eles
só são distinguíveis entre si se forem observados com uma luz de comprimento de
onda menor que a distância entre eles. Caso contrário, os dois objetos aparecerão
juntos, como um borrão, sem que possamos distingi-los. Diz-se, então, que não
temos resolução suficiente para identificar os dois objetos separadamente.
Vamos agora utilizar a notação de Dirac para analisar o experimento, o que
facilitará a nossa compreensão e tornará a linguagem matemática mais elegante.
Para isso vamos considerar que o elétron emitido em s atinge a segunda parede em
uma posição que denominaremos x. Vimos anteriormente que a amplitude de
probabilidade do elétron sair de s e chegar a x pela fenda 1 é dada por
. Chamaremos essa amplitude de probabilidade de , teremos
então a seguinte expressão matemática
Da mesma forma teremos a amplitude de probabilidade do elétron sair de s e chegar
a x pela fenda 2, o que denominaremos , como na equação abaixo
Essas são as amplitudes de probabilidade do elétron passar pelas duas fendas 1 ou
2 e chegar a x, sem nenhuma fonte de luz monitoradora colocada entre as fendas e
a parede.
Responda agora as questões 2 e 3 seguintes.
2- Utilizando a notação de Dirac escreva uma única expressão que represente a
soma das amplitudes de probabilidade do elétron partir de s e chegar a x pela fenda
1 e sair de s e chegar a x pela fenda 2.
70
3-Considere agora um caso mais complicado desse experimento, que pode ser
escrito facilmente utilizando a notação de Dirac. Suponha que entre a parede 1 e a
parede 2 exista uma outra parede com as fendas a,b,c e d, como mostrado abaixo
na figura 19. Escreva a equação da amplitude de probabilidade do elétron passar
pela duas fendas e chegar ao detector x. Lembre-se de que agora serão seis
possibilidades para o elétron chegar a x.
Figura 19- Experiência de dupla fenda mais complicada
Fonte : Feynman et al, 1968
Feynman propôs que tentássemos medir a posição do elétron, quando ele
passasse pelas fendas, por meio de uma fonte de luz e dois detectores
denominados D1 e D2, como ilustrado na figura 20 a seguir.
71
Figura 20- Experimento dupla fenda monitorado por dois detectores.
Fonte : Feynman et al, 1968
Esses detectores serão colocados simetricamente às fendas 1 e 2 e detectarão
fótons espalhados pela fonte de luz, quando elétrons a perturbarem. O detector D1
detectará fótons emitidos quando o elétron passar pela fenda 1 e o detector D2
detectará fótons emitidos quando o elétron passar pela fenda 2.
Vamos lembrar que a amplitude de probabilidade , do elétron sair de s e
chegar a x pela fenda 1 é dada pela equação (1). Da mesma forma temos que a
amplitude de probabilidade , do elétron sair de s e chegar a x pela fenda 2, que é
dada pela equação (2).Essas duas amplitudes são amplitudes do elétron
passar pelas duas fendas se não existisse a fonte de luz. Quando existir a a fonte de
luz, qual será a amplitude de probabilidade do elétron começar em s e um fóton ser
liberado da fonte de luz L, terminando com o elétron em x e um fóton detectado por
D1, ou seja, um fóton emitido quando o elétron passar pelo orifício 1? A amplitude de
probabilidade do elétron sair de s e ir pela fenda 1 é dada por Podemos
supor então que existe certa amplitude de que enquanto o elétron estiver na fenda 1
disperse um fóton no detector D1. A essa amplitude do elétron passar por 1 e ser
detectado um fóton em D1 nós chamaremos de a. Podemos escrever essa amplitude
de probabilidade usando a notação de Dirac através da equação
72
Existirá também uma amplitude de probabilidade do elétron passar pelo orifício 2 e
dispersar um fóton em D1, o que denominaremos como b. Da mesma forma,
escreveremos uma expressão para a amplitude de probabilidade do elétron ir pela
fenda 2 e dispersar um fóton em D1
A amplitude de encontrar o elétron em x e o fóton em D1 é então a soma dos dois
termos anteriores, um termo para cada possibilidade do elétron. Somaremos então a
amplitude do elétron ter passado pela fenda 1 e o fóton ser percebido no detector D1
com a amplitude do elétron ter passado pela fenda 2 e ter sido dispersado no
detector D1.
Essa expressão pode ser sintetizada em outra expressão como
| .
Observe que aparece na expressão acima a letra L, que representa a fonte de luz de
onde foi emitido o fóton.
Podemos obter uma expressão similar quando um fóton é detectado em D2,
passando pela fenda 1 ou pela fenda 2. A amplitude total do fóton ser encontrado
em D2 será a soma da amplitude do elétron ter passado pela fenda 2 e o fóton ser
percebido no detector D2 com a amplitude de probabilidade do elétron ter passado
pela fenda 1 e ter sido dispersado no detector D2. A equação da amplitude de
probabilidade será
Essa expressão pode ser sintetizada em
.
4-Explique com suas palavras o que significa
| .
.
73
Sabemos do nosso estudo anterior de mecânica quântica que a probabilidade
de se encontrar um elétron em determinada posição é dada pelo quadrado do valor
absoluto de um número complexo chamado amplitude de probabilidade. Se
quisermos saber então a probabilidade do elétron passar pela fenda 1 ou 2 e ser
detectado em D1 teremos que encontrar
Da mesma maneira se quisermos encontrar a probabilidade do elétron passar pela
fenda 1 ou 2 e ser detectado em D2 teremos que determinar
Vamos considerar agora uma situação que queremos determinar a densidade
de probabilidade do elétron ter passado pela fenda apenas pela fenda 1 e ter sido
encontrado no detector D1. Essa probabilidade de ser detectado em D1 passando
pelas duas fendas é dada pela equação (7) acima. Para eliminar nessa equação (7)
a chance do elétron passar pela fenda 2 e ser detectado em D1 devemos considerar
o termo b igual zero, já que b envolve a chance do elétron passar pelo orifício 2 e
dispersar um fóton em D1. Se fizermos b=0 na equação (7) a possibilidade do elétron
passar pela fenda 1 e ser detectado em D1 será dada por
Das condições de normalização das probabilidades temos que então
se tivermos teremos . Então a equação (9) anterior ficará
(10)
Esse resultado era esperado, já que essa situação é a mesma de quando a fenda 2
estava bloqueada. O gráfico que representará essa probabilidade será o mesmo de
quando a fenda 2 estava fechada, ilustrado anteriormente na figura 18 e que
reproduzimos abaixo na figura 21.
74
Figura 21- Gráfico probabilidade do elétron passar pelo orifício 1 e ser detectado em D1
Fonte : Feynman et al, 1968
Se repetirmos o mesmo raciocínio, a detecção de um fóton em D2 quando um elétron
passa pela fenda 2 levará a
que é quando consideramos e na equação (8). As mesmas
equações (7) e (8) que mostravam um padrão de interferência nos levam a
destruição dessa interferência se a detecção dos fótons indicarem qual fenda os
elétrons passaram.
Se quisermos agora encontrar a probabilidade de um elétron chegar em x e
um fóton espalhado ser detectado em D1 ou D2 devemos somar as probabilidades do
elétron chegar x e um fóton ser detectado em D1 e do elétron chegar x e um fóton
ser detectado em D2, como a seguir:
|
75
Temos então a equação das probabilidades do elétron passar pelas fendas 1 ou 2 e
ser detectado por D1 ou D2. Observe que na equação acima não somamos as
amplitudes de probabilidades e sim as densidades de probabilidades, como na
equação (12) acima.
Vamos considerar agora o caso em que o comprimento de onda da luz for
muito grande, nesse caso teremos uma acentuada difração dos elétrons que
passam pelo orifício 1 e 2 e espalharão fótons que serão detectados em D1. A
acentuada difração dos elétrons nos dará a mesma amplitude de probabilidade do
elétron passar pela fenda 1 e espalhar um fóton em D1 ou passar pela fenda 2 e
espalhar um fóton de D2 . Então consideraremos nessa situação Isso
significa que a detecção do fóton não indica por qual fenda passou o elétron. A
probabilidade poderá ser encontrada se substituirmos b por a na equação (12) , já
que eles são iguais, como mostramos a seguir
Da condição de normalização das probabilidades ,então se tivermos
para essa equação teremos . Se as expressões para
e para estiverem individualmente normalizadas, a normalização de
usará
=
Como consideramos teremos
=
Considerando teremos
Essa será então a probabilidade de se encontrar os elétrons na segunda parede
passando por qualquer uma das fendas, ou seja, se os fótons espalhados não forem
levados em conta. Podemos fazer uma analogia dessa situação com um
experimento descrito anteriormente, em que a fonte de luz não foi colocada entre as
paredes. O gráfico dessa amplitude de probabilidade em que os fótons não são
levados em conta está ilustrado na figura 22. Esse gráfico ilustrado abaixo é o
mesmo de quando determinamos a probabilidade total do elétron ser encontrado
76
sobre a segunda parede sem a presença da fonte de luz (FIG.12). Esse resultado
para a probabilidade mostra que ocorreu interferência, quando não há
monitoramento. Se os fótons espalhados não forem levados em conta, ou seja, se
os elétrons não forem monitorados, a interferência não será destruída.
Figura 22 - Gráfico probabilidade do elétron passar pelo orifício 1 ou 2 e ser detectado em D1
Fonte : Feynman et al, 1968
Concluímos então que quando os elétrons não são levados em conta o
padrão de interferência não é destruído e encontramos a expressão da
probabilidade de se encontrar os elétrons em x dada por , mostrando
a existência do padrão de interferência. Já quando os elétrons espalham fótons que
são detectados nos detectores D1 e D2 colocados no experimento, a interferência é
destruída e a probabilidade é dada pela soma das probabilidades do elétron passar
apenas pela fenda 1 ( e do elétron passar apenas pela fenda 2 ( ) e é dada
por , mostrando que a interferencia foi destruída. Toda esta
discussão mostra aspectos interessantes no que se refere ao papel do observador
na Mecânica Quântica. Ao observarmos a trajetória do elétron, destruímos sua
natureza ondulatória. Não estávamos acostumados com isso já que na física
77
clássica o observador não interfere com o objeto de medida. Porém, na Mecânica
Quântica, o observador adquire um papel “ativo” e fundamental para a teoria, já que
é impossível realizar uma medida sem interferir com o objeto que estamos medindo.
A medição destrói a interferência quântica, que foi mostrado nesse experimento
monitorado através dos detectores. É importante enfatizar que isso ocorre não
apenas no caso do elétron passando pela fenda dupla, mas com todos os sistemas
quânticos.
Responda agora as questões 5 e 6 a seguir.
5- Os experimentos de dupla fenda podem revelar propriedades fundamentais dos
sistemas regidos pela mecânica quântica. Como você caracterizaria o elétron que
chega a segunda parede:
a) sem ter sofrido qualquer observação.
b) após a detecção de um fóton pelo detector.
6- Após ter conhecido a notação de Dirac e aplicado ela na obtenção das equações
de amplitude de probabilidade e em alguma situações, faça um relato pessoal das
suas dificuldades e vantagens quanto à utilização dessa notação.
78
6- UTILIZAÇÃO DO MATERIAL E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS 6.1- A metodologia e a aplicação do material O material preparado para introduzir a notação de Dirac ancorado na álgebra
vetorial e a parte do material relativa ao experimento de dupla fenda com elétrons
monitorados foram utilizado em uma turma do segundo semestre de 2010 do último
período do curso de licenciatura em física da Pontifícia Universidade Católica de
Minas Gerais. Nessa sala de aula composta de seis alunos, dentre eles dois homens
e quatro mulheres todas as aulas eram no período da tarde com duração de uma
hora e quarenta minutos correspondendo a disciplina de física quântica do curso de
licenciatura da PUC-MG, que tem duração de quatro anos. O material foi aplicado da seguinte nas seguintes condições e da seguinte
forma: após os alunos estudarem o formalismo de Schrödinger e realizarem uma
prova sobre esse assunto foi apresentado a eles à primeira parte do material
correspondente a parte formal da notação de Dirac ancorada na álgebra linear
vetorial e que envolve conceitos básicos de vetores. Através de uma aula expositiva
juntamente com o professor os seis alunos resolveram os exercícios propostos com
auxílio direto do professores e, juntamente com a explanação teórica, tiveram o
primeiro contato com a notação de Dirac. Ao longo do texto sobre a nova linguagem,
a de Dirac, estão inseridos doze exercícios introdutórios, que se utilizam dos
conceitos de produto escalar, definição de um vetor, vetor unitário e determinação
de módulo de um vetor. Esses conceitos de álgebra linear vetorial são conceitos
introdutórios que foram apresentados desde o ensino médio aos alunos, ao longo de
toda a graduação de física e que não exigem um nível grande de profundidade no
assunto. Dessa forma torna a mudança de linguagem uma transição fácil e sem
maiores problemas. A opção da utilização dos vetores de acordo com a teoria
aprendizagem significativa proposta por Ausubel parte de um conhecimento prévio
do aluno permitindo assim que o novo assunto seja construído de maneira
significativa. O professor juntamente com os alunos resolveu todos os exercícios
propostos e através desses foi explicando e retomando a parte teórica, tirando
dúvidas quanto a utilização da nova notação. Durante a aula expositiva que se
utilizou o material ancorado na notação vetorial os alunos participaram ativamente
das atividades, interferindo com perguntas e observações. A aula transcorreu sem
79
maiores dificuldades para os estudantes e quando as dificuldades eram apontadas
se referiam aos conhecimentos anteriores de álgebra vetorial. Um ponto de
destaque é a dificuldade da maior parte dos estudantes com a notação vetorial
principalmente com as operações simples envolvendo vetores como o produto
escalar Alguns alunos não sabiam o que era um produto escalar, confundiam o
produto escalar com o vetorial e tinha dificuldade de definir um vetor unitário . Um
ponto que merece ser mencionado é que os estudantes e alegavam não utilizar esse
formalismo nas disciplinas de física introdutórias como eletromagnetismo, mecânica
entre outras, o que foi uma surpresa para o professor. Quando era relembrado e
comentado os conhecimentos sobre as operações vetoriais, a introdução da nova
notação não apresentou nenhuma nova dificuldade. Os alunos conseguiram fazer a
troca pictórica sem nenhum problema e de forma rápida se assustando com a
simplicidade do assunto. Após essa aula de familiarização com nova notação essa
foi utilizada para o estudo de polarização da luz e para o estudo da interferência,
dentre outros. Após uma aula teórica sobre o experimento de interferência e uma outra aula
de exercícios sobre a notação de Dirac a segunda parte do material, a do
experimento de dupla fenda com elétrons monitorados, foi aplicada aos alunos. O
material foi utilizado na última semana de aula, antes da última avaliação do curso, e
foi realizado um estudo dirigido no período da aula de uma hora e quarenta minutos.
Os alunos leram o texto e responderam as perguntas à medida que iam tomando
conhecimento do assunto. Nesse momento do estudo dirigido sobre o experimento
de dupla fenda com elétrons monitorados os alunos responderam o questionário de
forma individual sem nenhuma interferência do professor. A opção por essa forma
de trabalho era principalmente verificar se o aluno da licenciatura, futuro professor
de física era capaz de ler um texto que se utiliza da notação de Dirac e conseguia
compreender o assunto de que se trata o material. Dessa forma ,guardando as
devidas proporções, verificamos se o licenciando está apto a ler textos que se
utilizem dessa nova linguagem. Após lerem todo o material e responderem as
questões o material foi devolvido ao professor com as seis perguntas respondidas e
os alunos foram liberados. Foram atribuídos a esse estudo dirigido alguns poucos
pontos da disciplina com o intuito de garantir a seriedade e o comprometimento dos
alunos.
80
6.2- Discussão dos resultados A partir das repostas dos seis alunos matriculados na disciplina de Mecânica
Quântica no segundo semestre de 2010 na PUC-MG dadas ao estudo dirigido sobre
o experimento da dupla fenda com elétrons monitorados podemos destacar algumas
questões principais. Para facilitar a exposição dos resultados os alunos foram
classificados como alunos A,B,C,D,E e F.
A primeira pergunta do estudo dirigido exigia do aluno uma leitura rápida do
texto apresentado e era sobre a diferença entre as medidas de probabilidades
encontradas com elétrons monitorados e não monitorados, o que era de
fundamental importância para a continuação da leitura e o entendimento do
experimento. A pergunta está transcrita a seguir:
Questão 1- Quais as diferenças entre as medidas de probabilidades encontradas
com elétrons monitorados (com a fonte de luz colocada entre as duas paredes) e
elétrons não monitorados?
Todos os alunos responderam essa primeira questão de maneira correta
ficando claro que o padrão de interferência é destruído quando os elétrons são
monitorados. Gostaria de destacar duas respostas4:
Quando os elétrons não são observados eles mostram padrão de interferência,e quando são monitorados perdem o padrão de interferência. “...É como se o elétron soubesse que está sendo observado !!!!”...(ALUNO A).
A resposta transcrita acima do Aluno A mostra uma interpretação livre quanto ao
experimento apresentado, sem cópia idêntica do texto, mas correta. Outra resposta
que merece destaque nessa questão é
Concluí então que se observados os elétrons se comporta como se espera, distinguindo sua trajetória quando passa por caminhos diferentes, mas quando não observado a impressão que se tem é que os elétrons passam sempre pelo mesmo caminho. (ALUNO B).
4 Todas as respostas foram transcritas da forma em que foram escritas, sem nenhuma correção ortográfica. Os alunos foram identificados com as letras A,B,C,D,E e F aleatoriamente.
81
O aluno B também faz uma interpretação livre do texto apresentado, porém comete
um erro ao dizer que quando não são monitorados os elétrons passam sempre pelo
mesmo caminho. Para esse aluno a interferência observada é o mesmo que passar
pelo sempre pelo mesmo caminho, o que é um erro conceitual sobre o
conhecimento prévio do fenômeno da interferência.
A segunda questão já trata especificamente da utilização da notação de Dirac
e pede ao aluno que escreva uma única expressão de amplitude de probabilidade
para os dois caminhos 1 e 2.O objetivo dessa questão é saber se o estudante
consegue entender o que seria uma soma de amplitudes de probabilidade utilizando-
se da nova linguagem. O aluno poderia utilizar-se do texto para responder esse item
e transcrever o que já tinha sido feito anteriormente só que separadamente quando
no texto escrevermos a amplitude do elétron partir de s e chegar a x pela fenda 1 e
do elétron partir de s e chegar a x pela fenda 2, acrescentando apenas o sinal de
soma. A seguir está a questão 2 transcrita do original:
Questão 2- Utilizando a notação de Dirac escreva uma única expressão que
represente a soma das amplitudes de probabilidade do elétron partir de s e chegar a
x pela fenda 1 e sair de s e chegar a x pela fenda 2.
Nessa questão dois alunos do total de seis souberam responder corretamente
o que estava sendo pedido e utilizaram corretamente a notação de Dirac. Um
terceiro aluno , o aluno C fez apenas uma troca de posição entre bras e kets
respondendo da seguinte forma:
o que não caracteriza um total desconhecimento da notação e sim um erro na
utilização correta nas posições dos bras e kets. Apenas um aluno dentre os seis não
se utilizou da notação de Dirac, utilizando outra linguagem. O aluno D, que não se
utilizou da notação de Dirac, respondeu de forma errada e fez isso mesmo o
enunciado da questão reforçar que era para se utilizar a notação.
A terceira questão também era uma verificação da utilização da notação de
Dirac bem mais elaborada e semelhante a uma atividade proposta por Feynmam
(1968) no seu texto sobre interferência com elétrons monitorados. Nessa questão
82
não seria suficiente copiar do texto a expressão das amplitudes de probabilidade, já
que a situação apresentada era diferente da explicitada no texto. Todos os alunos
utilizaram-se da notação de Dirac para responder o que estava sendo pedido,
inclusive o aluno D que não a utilizou na questão 2 anterior. O aluno C que fez a
troca de posição entre bras e kets na questão 2 deu uma resposta em forma de
somatório completamente diferente dos demais, utilizando-se da notação como
transcrita a seguir
Esse aluno foi capaz de assimilar a utilização da notação e resolveu a questão por
um caminho completamente inesperado e diferente do texto apresentado. Mesmo
sendo diferente o caminho apresentado por esse aluno vale ressaltar que ele utiliza
a notação de Dirac, atendendo ao objetivo da questão que era verificar se o aluno é
capaz de utilizar a nova linguagem em situações novas. Nesse resposta verificamos
aprendizagem significativa, do ponto de vista de Ausubel(1978), já que deve o aluno
foi capaz de expressar o conhecimento usando palavras diferentes das utilizadas
pelo seu professor .Dois alunos dos seis que responderam essa questão utilizando a
notação de Dirac não entenderam como fazer para inserir a terceira parede no
problema, as fendas a,b e c. Os outros dois alunos restantes fizeram corretamente
as expressões das amplitudes de probabilidades, mas não as escreveram em forma
de soma o que respondia corretamente o que estava sendo pedido .
A questão 4 também explorava uma habilidade com a nova linguagem, a
notação de Dirac, e estava aplicada a situação apresentada no trabalho, explicar
com as próprias palavras o significado de uma expressão bem semelhante a que foi
discutida anteriormente no próprio texto. Devemos observar que no texto lido pelos
alunos foi apresentada a mesma expressão a que se refere à questão 4, sem
nenhuma diferença ou novidade.
4-Explique com suas palavras o que significa
| .
83
Nesse item o aluno deveria consultar o texto e responder usando suas próprias
palavras. Dos seis alunos apenas um soube responder corretamente o que foi
perguntado. Dois alunos entenderam que a expressão se referia também amplitude
de probabilidade do fóton ser percebido no detector D2 e outros dois entenderam
que o elétron só poderia passar pela fenda 1, devido talvez a presença na expressão
do detector D1. Merece destacar que alunos usaram termos diferenciados para
explicitar com suas palavras o significado da expressão
È a soma das amplitudes...(ALUNO D) A amplitude de probabilidade... (ALUNO B) È a probabilidade....(ALUNO C) ...é a amplitude de encontrar...(ALUNO A).
A pergunta referente a questão 5 tem como objetivo verificar se o aluno
entendeu as propriedades reveladas pelo experimento descrito no texto de forma
qualitativa podendo ser respondido de maneira simples e direta.
Questão 5- Os experimentos de dupla fenda podem revelar propriedades
fundamentais dos sistemas regidos pela mecânica quântica. Como você
caracterizaria o elétron que chega a segunda parede:
a) sem ter sofrido qualquer observação.
b) após a detecção de um fóton pelo detector.
Nessa questão acertaram o item a da pergunta todos os seis alunos. O mesmo
aluno B que ao responder a pergunta 1 mostra não entender o significado do
fenômeno da interferência escreve uma resposta que caracteriza esse fenômeno
como algo imprevisto e inesperado, como transcrito a seguir.
Considerando que não seja observado, não é possível saber o comportamento exato do elétron e o padrão de interferência obtido é imprevisto e inesperado.(ALUNO B).
No item b dessa mesma questão cinco dos seis alunos citam o desaparecimento da
interferência ao se detectar um fóton. Apenas o aluno A, mesmo acertando o
primeiro item dessa questão responde sem mencionar a destruição do padrão de
interferência: percebo que o elétron após a detecção de um fóton sofre mudanças na
sua trajetória (Aluno A).
84
A última questão do estudo dirigido é apenas um breve relato das dificuldades
e vantagens que o aluno verificava ao utilizar ou ler um texto que se utiliza da
notação de Dirac. Quatro do seis alunos que fizeram o breve relato confirmam a
facilidade na utilização da notação e a consideram a simplificadora da matemática
envolvida na mecânica quântica. O aluno C trata essa notação como mais limpa,
menos trabalhosa e mais elegante, o aluno D ressalta que
na mecânica quântica tudo possui características específicas inclusive a linguagem. Ela facilita a visualização de quando se tem um produto escalar....A didática do “encaixar” bra e ket é um bom instrumento para aprendizagem ( ALUNO D).
e o aluno E aponta que a notação de Dirac facilita o entendimento das equações e
facilita também a desenvolvê-las. Três alunos apontam no seu texto a dificuldade
com a física quântica: o aluno A aponta que a disciplina deveria ter uma maior carga
horária; o aluno F pondera que ainda tem que estudar muito e que apenas no final
do curso encontrou um livro pra estudar e o aluno E aponta que está tendo muita
dificuldade com essa matéria, não sendo específico na sua resposta. Apenas o
aluno C comenta no seu texto especificamente da nova linguagem utilizada sem se
referir ao conteúdo da mecânica quântica dizendo que a notação de Dirac exige um
maior nível de abstração. Vale ressaltar que esse mesmo aluno C é o que consegue
utilizar a notação na questão 3 em forma de somatório diferentemente do proposto
no texto, como mencionado anteriormente.
85
7- CONCLUSÃO Diante da leitura e da discussão feita anteriormente baseada nos
questionários dos alunos, da observação em sala de aula dos principais obstáculos
enfrentados pelos estudantes de licenciatura de física podemos concluir que
elaborar estratégias para melhorar o ensino de mecânica quântica é uma tarefa
possível de ser realizada e que certamente contribuirá para a formação do professor
de física. Partir dos conhecimentos já adquiridos pelo estudante de física ao longo
do ensino médio e do ensino universitário e construir novos conhecimentos de
acordo com a teoria da aprendizagem significativa traz a esse estudante a
possibilidade de aprender coisas novas de forma significativa para a sua formação.
Apesar de vários problemas encontrados em relação à disciplina de mecânica
quântica já apontados anteriormente, as respostas apresentadas ao questionário
mostram que a maior parte dos alunos conseguiu utilizar a notação de Dirac
aplicada à situação do experimento de dupla fenda. Se existirem estratégias para
aproximar o aluno da nova linguagem da física quântica isso pode ser feito com
sucesso e o compreendimento desse assunto facilitado. Dessa forma esses futuros
professores serão capazes de prosseguir o seu estudo em mecânica quântica caso
seja do interesse deles ou de seus alunos e saberão da importância desse conteúdo
para a nossa nova realidade , podendo contribuir para a formação de estudantes
com conhecimento de novas tecnologias. É claro que o que foi trabalhado nessa
disciplina de mecânica quântica não é o necessário e suficiente para o futuro bom
professor de física, mas já aponta um caminho viável e de mudança significativa na
formação desses estudantes, que serão os futuros professores de física do país.
86
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89
Apêndice A- Demonstração da relação do produto escalar
Figura 23- Produto escalar
Fonte : Feynman et al, 1968 Aplicando a lei dos cossenos ao triangulo retângulo da figura 5 teremos
que é o mesmo que escrever
. Teremos então que
.
Dessa última equação concluímos que - . = portanto
= .
90
Apêndice B- Espaços vetoriais
Para entendermos a afirmação que | é um vetor num espaço de Hilbert
precisamos saber o que é um espaço vetorial e o que é um espaço de Hilbert. Um
espaço vetorial é caracterizado por propriedades satisfeitas dos seus elementos, os
vetores. Se vetores quaisquer como obedecerem as
propriedades listadas a seguir estaremos diante de um espaço vetorial. Essas
propriedades são as seguintes:
• Vetores podem ser adicionados e sua soma também é um vetor. Por
exemplo:
• A operação de adição é comutativa. Por exemplo:
• A operação de adição é associativa. Por exemplo:
(
• Existe um vetor zero , tal que >.
• Para cada vetor há um vetor negativo , tal que
.
• Vetores podem ser multiplicados por um escalar representado, por exemplo,
pela letra a. O resultado será também um vetor. Se é um vetor, então
também será um vetor.
• A multiplicação por um escalar é associativa. No exemplo a seguir também
escolhemos representar os escalares por a e b,
• A lei distributiva também é valida quando multiplicamos um vetor por uma
soma de escalares, representados por a e b. Por exemplo:
• A lei distributiva também será válida se multiplicarmos um escalar
representado por a por uma soma de vetores, como no exemplo a seguir:
91
• Se multiplicarmos a identidade por um vetor teremos como resultado o
próprio vetor, como a seguir
As funções de ondas da mecânica quântica obedecem todas essas propriedades e
podem ser chamadas de vetores formando um espaço vetorial na mecânica quântica
de dimensões infinitas, que são os espaços de Hilbert.
Um dos motivos para o excesso de trabalhos sobre o ensino de mecânica
quântica que sirvam de bibliografia para os professores de ensino médio, apontado
anteriormente por Pereira e Ostermann (2007) é a ausência das disciplinas de
mecânica quântica nas licenciaturas e a falta de material específico sobre esse
assunto na preparação de professores.
Um fato que comprova o despreparo dos professores licenciados em física
para ensinar o conteúdo da mecânica quântica é a ausência ou o pouco tempo
dispensado a elas no curso de licenciatura em física. Quando essas disciplinas
estão presentes, aparecem no final do curso e é apenas uma pequena parte dele.
Foi feito um levantamento através do site de quatro universidades UFMG, UFV,
USP e UFRGS em relação às disciplinas de mecânica quântica nas licenciaturas de
física e nesses cursos o conteúdo de física moderna e contemporânea aparece em
apenas duas disciplinas de licenciatura, exceto no curso de licenciatura da USP que
aprece em apenas três disciplinas obrigatórias5. Esse levantamento mostra que
pouco tempo é dispensado a essas disciplinas e que na maioria dos cursos de
licenciatura em física que tem duração média de quatro apenas duas disciplinas
tratam da física do século XX. De acordo com Ostermann, Prado e Ricci (2008), A própria formação de professores deverá contemplar, desde seu início, a atualização curricular, passando a priorizar conteúdos mais atuais da Física, “enxugando” o tempo dedicado aos temas clássicos. (OSTERMANN,PRADO e RICCI, 2008, p.39).
Mesmo diante do pouco tempo dispensado às disciplinas de física moderna e
contemporânea durante os cursos de licenciatura, o maior problema não é esse e
sim que os professores se formam sem um compreendimento conceitual dos
postulados básicos da mecânica quântica. De acordo com Moreira e Greca (2001a),
5 Nos anexos A, B, C, D e E estão as ementas e programas das disciplinas de física moderna de alguns dos principais cursos do país UFMG, UFV, USP e UFRGS.
92
os estudantes dificilmente aprimoram seus estudos sobre tópicos de Mecânica Quântica depois de terminar o curso de formação (licenciatura), consideramos indispensável uma reorganização das disciplinas destinadas para o ensino da mesma dos cursos de licenciatura, de modo a permitir uma maior reflexão conceitual.”(MOREIRA,GRECA,2001a,p.24).
Uma das preocupações desse trabalho é em relação ao que está sendo
ensinado de mecânica quântica nas licenciaturas e como esse ensino está sendo
feito. De acordo com Ostermann (2004), “deveria haver mais física moderna e
contemporânea no ensino médio e menos fósseis da Física Clássica, isso se os
professores estiverem adequadamente preparados e se bons recursos pedagógicos
estiverem disponíveis". E os professores licenciados em Física não estão
preparados para ensinar aos alunos esse assunto. Essa formação conceitual em
mecânica quântica é essencial para possíveis transposições didáticas para o ensino
médio, já que dependem fortemente de uma sólida formação conceitual
(OSTERMANN, 2005).
Um dos motivos apontados para a falta desse compreendimento conceitual é
a forma que essas disciplinas são ensinadas. A maioria dos cursos de física
moderna nas licenciaturas adota uma abordagem histórica e mostra ao aluno como
os físicos abandonaram a física clássica através do desenvolvimento histórico.
Introduzem a mecânica quântica com a lei da radiação de Planck, o efeito
fotoelétrico e o efeito Compton. Após essa introdução o aluno é apresentado ao
postulado de de Broglie, princípio de Heisenberg até ser apresentada a equação de
Schrödinger . Nessa parte perde-se muito tempo trabalhando as várias soluções
dessa equação, com fórmulas que nada significam para os estudantes. De acordo
com Sakurai (1932) devemos apresentar aos alunos exemplos que exemplifiquem a
inadequação dos conceitos clássicos ao tratamento da mecânica quântica e fazer
com eles um tratamento de choque, para que eles pensem desde cedo de modo
quântico, dando exemplos como o experimento de Stern-Gerlach.
Porém, não é possível prescindir de matemática quando se pretende entender
a gênese, o principio criador das teorias físicas, especialmente aquelas que versam
sobre conceitos e fenômenos tão alheios as nossas experiências cotidianas
(KARAM, 2008).
Esse trabalho então propõe que seja ensinado nas disciplinas de licenciatura
um formalismo matemático facilitador e adequado a mecânica quântica, o
formalismo de Dirac. Um objetivo de se ensinar esse formalismo é preparar o
93
professor de física para a compreensão de fenômenos quânticos como o do
experimento de dupla fenda, o experimento de Stern-Gerlach, o conceito de spin,
dentre outros. Como esse formalismo simplifica a matemática envolvida nos
fenômenos quânticos, a parte conceitual poderá ser mais bem discutida e entendida
pelos alunos. Um livro sobre o assunto, Conceitos de Física Quântica de Oswaldo
Pessoa, que enfatiza o entendimento da parte conceitual da mecânica quântica, já
introduz essa notação no seu texto, visando facilitar o compreendimento dos
conteúdos. O outro objetivo do ensino desse formalismo no curso de licenciatura é
de permitir ao professor ler artigos científicos, que já se utilizam dessa notação. De
acordo com Oliveira, Vianna e Gerbassi (2007) essa prática do aluno trazer
reportagens cientificas e assuntos divulgados na mídia e discutir com o professor
desperta o interesse dos estudantes, É comum, nas aulas de física, os alunos trazerem discussões sobre assuntos que leram ou ouviram em revistas, jornais e telejornais e que, por serem mais atuais e/ou estarem presentes no seu no dia a dia, despertam neles um interesse em conhecer e entender que princípios físicos explicam dado fenômeno. (OLIVEIRA,VIANNA, GERBASSI,2007,p.1).
A notação de Dirac na mecânica quântica já foi defendida por Richard Feynman, no
importante livro Lectures on Physics, também como facilitadora de entendimento do
assunto, O que é usualmente chamado da parte avançada da mecânica
quântica é na verdade muito simples. A matemática envolvida é muito simples, envolve álgebra simples e nenhuma equação diferencial.(FEYNMAN, 1965 p.3-1 ).
O trabalho a seguir será então estruturado da seguinte forma; o capitulo dois
apresentara o referencial teórico da aprendizagem significativa de David Ausubel.
Nessa parte do texto as principais características da teoria da aprendizagem
significativa serão abordadas fazendo relação com a proposta didática da pesquisa.
No capitulo três será apresentado o material que introduzirá a notação de Dirac
ancorada em álgebra linear vetorial. Dessa forma os estudantes relacionarão o novo
conteúdo com conhecimentos prévios de álgebra vetorial, permitindo um melhor
entendimento do formalismo proposto. Será feito nesse capitulo também uma
revisão dos conhecimentos necessários de álgebra linear vetorial para o
desenvolvimento da notação de Dirac. O material será introdutório a mecânica
quântica e tem como objetivo a compreensão do formalismo de Dirac, possibilitando
assim que o estudante utilize essa notação para os seus estudos posteriores. Um
94
exemplo da utilização dessa notação será o experimento de dupla fenda, que de
acordo com Richard Feynman, contém o que há de mais importante na teoria
quântica (FEYNMAN, 1962). O ultimo capitulo será a conclusão dos trabalho, com
várias discussões sobre a proposta didática apresentada e sua importância no
ensino de mecânica quântica.
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ANEXO A
Ementa e programa das disciplinas: Introdução à Física Quântica e Estrutura da Matéria 1, do curso de licenciatura em física da UFMG.
INTRODUÇÃO À FÍSICA QUÂNTICA CARGA HORÁRIA TOTAL : 60 HORAS
EMENTA: Limites da física clássica. Propriedades ondulatórias da matéria. Teoria de
Schrödinger. Potenciais Unidimensionais independentes do tempo.
PROGRAMA
1- Radiação de corpo negro, Teoria de Planck para a radiação de corpo negro,
Postulado de Planck.
2- Propriedades corpusculares da radiação: efeito fotoelétrico, efeito Compton,
produção de raios X.
3- Postulado de de Broglie, Dualidade partícula-onda, princípio da incerteza.
4- Espectro de emissão de gases, modelo de Bohr, quantização de Wilson-
Sommerfeld.
5- Equação de Schrödinger, Interpretação de Born para a função de onda, valores
esperados
6- Equação de Schrödinger independente do tempo, propriedades das autofunções,
quantização da energia.
7- Soluções da equação de Schrödinger para potenciais unidimensionais
independentes do tempo: potenciais constante (degrau, barreira), tunelamento, poço
de potencial quadrado, oscilador harmônico simples.
96
ESTRUTURA DA MATÉRIA I CARGA HORÁRIA TOTAL: 60 HORAS
EMENTA: Átomo de hidrogênio. Momentos magnéticos. Interação spin-órbita.
Átomos multieletrônicos. Estatística Quântica.
PROGRAMA
4- Distribuição de Bose e distribuição de Fermi; aplicações das funções de
distribuição quânticas: laser, gás de fótons, gás de fônons, condensação de Bose,
gás de elétrons.
1- Solução da equação de Schrödinger para átomos de um elétron: autofunções,
autovalores, números quânticos, degenerescência, densidade de probabilidade,
Momento angular orbital.
2- Momento de dipolo magnético orbital; experiência de Stern-Gerlach; Spin;
momento angular de spin; interação spin-órbita; momento angular total; acoplamento
LS.
3- Solução da equação de Schrödinger independente do tempo para partículas
idênticas que não interagem, autofunções simétricas e anti-simétricas; princípio de
Exclusão de Pauli; interações de troca; teoria de Hartree; tabela periódica; efeito
Zeeman
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ANEXO B
Programa das disciplinas Introdução a Física Quântica e Estrutura da Matéria II do curso de licenciatura em física da UFV.
INTRODUÇÃO À FÍSICA QUÂNTICA CARGA HORÁRIA : 60 HORAS
Teoria de Schrödinger da Mecânica Quântica. Soluções da Equação de Schrödinger
Independente do Tempo. O átomo de Hidrogênio. Momento de Dipolo Magnético e
Spin. Átomos multieletrônicos.
ESTRUTURA DA MATÉRIA CARGA HORÁRIA : 60 HORAS
Estatística Quântica. Moléculas. Sólidos. Propriedades Supercondutoras e
Magnéticas dos Sólidos. Modelos Nucleares. Decaimento Nuclear e Reações
Nucleares. Partículas Elementares.
98
ANEXO C
Programa das disciplinas obrigatórias Mecânica Quântica 1, Física Moderna 1 e Física Moderna II do curso de licenciatura em física da USP.
MECÂNICA QUÂNTICA I- Carga Horária: 60 horas
Programa: Pacotes de onda e relações de incerteza. A equação de Schroedinger
para a partícula livre. Interpretação probabilística. Operador momento. Valores
médios e variâncias. A equação para a partícula num potencial unidimensional.
Autovalores e autoestados. Alguns problemas em uma dimensão. A estrutura geral
da Mecânica Quântica. Método dos operadores (aplicação ao oscilador harmônico).
A equação de Schroedinger em três dimensões. Campo central. Momento angular. A
equação radial. Tratamento do átomo de hidrogênio. Momento magnético orbital.
Spin. Partículas idênticas. Simetria por troca de partículas. Princípio de Pauli.
Férmions e bósons.
FÍSICA MODERNA I- Carga Horária: 60 horas
Programa: Evidências químicas e físicas para uma descrição atômica da matéria.
Uma descrição atômica da eletricidade. Carga e massa do elétron. Isótopos. A
origem da quantização da radiação eletromagnética. A radiação eletromagnética
numa cavidade. A hipótese de Planck e a constante h. Radiação do corpo negro.
Calor específico dos sólidos (teoria de Einstein). Efeito fotoelétrico. Energia e
momento do fóton. Interpretação estatística da intensidade da radiação. Raios X
produzidos no freamento de elétrons. Efeito Compton. Difração de raios-X.
Dualidade onda eletromagnética-fóton. O modelo atômico de Rutherford e o
problema da estabilidade do átomo na física clássica. O modelo de Bohr. Partículas
e ondas. A hipótese de de Broglie. A experiência de Davisson e Germer. Discussão
da experiência da fenda dupla com fótons e elétrons. Pacotes de ondas. O princípio
da incerteza. Interpretação probabilística de Born. Uma equação de onda para as
"ondas de elétrons". A equação de Schroedinger dependente do tempo em uma
dimensão. Soluções em ondas planas e princípio da superposição. Problemas
unidimensionais estacionários: estados ligados e espalhamento. Valores esperados.
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A equação de Schroedinger em três dimensões. Partícula na caixa cúbica.
Degenerescência. A mecânica quântica e o átomo de hidrogênio.
FÍSICA MODERNA II-Carga Horária: 60 horas
Programa: Quantização do momento angular. Experiência de Stern Gerlach. O spin
do elétron. Os momentos de dipolo magnético do elétron. Partículas idênticas.
Indistinguibilidade. Princípio de Pauli. Noções de estatísticas quânticas. Átomos de
muitos elétrons. O íon. Moléculas. Poços duplos e múltiplos. Potencial periódico.
Bandas de níveis. Cristais iônicos e covalentes. Propriedades elétricas dos sólidos.
Caracterização de condutores, isolantes e semicondutores. Condução elétrica em
metais. Resistividade. Noções de supercondutividade. Semicondutores intrínsecos e
extrínsecos. Junções p-n. Propriedades gerais do núcleo atômico. Forças entre
núcleons. Energia de ligação nuclear. Estabilidade nuclear. Radioatividade. Fissão.
Fusão nuclear. Reações nucleares. Interação de partículas carregadas e nêutrons
com a matéria. Fenomenologia de partículas elementares. Aceleradores.
100
ANEXO D
Programa das disciplinas obrigatórias: A Física do Século XX – A e B do curso de licenciatura em física da UFRGS.
A Física do Século XX A - Carga Horária: 60 horas
Origem da Física Quântica. Modelos atômicos. Principio da incerteza. Equação de
Schrödinger. Partícula livre e pacotes de onda. Aplicações em uma dimensão.
A Física do Século XX B -Carga Horária: 60 horas
Elementos de física molecular, de física nuclear e de partículas, e da física do
estado sólido, incluindo supercondutividade.