uma proposta de ensino para o estudo da geometria ... valerio roch… · 3.2 idealização da...
TRANSCRIPT
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC-SP
Marília Valério Rocha
UMA PROPOSTA DE ENSINO PARA O ESTUDO DA
GEOMETRIA HIPERBÓLICA EM AMBIENTE DE
GEOMETRIA DINÂMICA
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
SÃO PAULO
2008
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC-SP
Marília Valério Rocha
UMA PROPOSTA DE ENSINO PARA O ESTUDO DA
GEOMETRIA HIPERBÓLICA EM AMBIENTE DE
GEOMETRIA DINÂMICA
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Dissertação apresentada à Banca Examinadora
da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo,
como exigência parcial para obtenção do título de
MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA , sob a
orientação do Prof. Dr. Saddo Ag Almouloud .
SÃO PAULO
2008
Banca Examinadora
________________________________________
________________________________________
________________________________________
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total
ou parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: _______________________________________
Local e Data: ______________
Há um tempo em que é preciso abandonar as roupas usadas que já têm a forma do nosso corpo…
Esquecer os nossos caminhos que nos levam sempre aos mesmos lugares.
É o tempo da travessia.
E se não ousarmos fazê-la, teremos ficado para sempre à margem de nós mesmos.
Fernando Pessoa
AGRADECIMENTOS
Agradeço a todos que de alguma maneira contribuíram
para a realização deste trabalho, em especial:
A Deus, a meus pais e minha irmã pela presença
constante;
Ao Prof. Ms. Sc. João Tomás do Amaral, por ter me
apresentado à obra de Poincaré;
Ao Prof. Dr. Saddo Ag Almouloud, pela orientação e
compreensão nos momentos difíceis;
Aos professores Dr. Claudemir Murari e Dra Celina Abar,
pelas valiosas sugestões apresentadas na qualificação;
Aos amigos de todos os momentos, Gina Miranda, Susan
de Faria, Ederson Manduca, Orlando Gomes e Vicente
Abdoral;
Ao prof. Ms. José Miguel Sousa, que permitiu minha
participação no curso de História da Matemática com o
Cinderella, em 2005;
Aos professores do Programa de Mestrado em Educação
Matemática da PUC-SP, que contribuíram para minha
formação, em particular, os professores Dr. Vicenzo
Bongiovanni e Dra Ana Paula Jahn pelas discussões
sobre geometria e Educação Matemática;
Aos alunos do Mestrado Profissional em Ensino de
Matemática da PUC-SP, que participaram desta pesquisa;
À YMF Financial Architecture, na pessoa de Fátima
Monteiro de Melo, e a todos da área de Produtos, que
permitiram a conclusão deste sonho.
RESUMO
Esta dissertação teve como principal objetivo propor um ambiente
computacional ao aprendizado da Geometria Hiperbólica na formação do
professor de Matemática. Com base na Teoria das Situações Didáticas
desenvolvida por Guy Brousseau (1986) e nos estudos sobre a compreensão
das demonstrações, de Raymond Duval (1993), foi elaborada uma seqüência
didática sobre o tema. A presente pesquisa orienta-se pela questão “Em que
medida a geometria dinâmica pode interferir na construção dos conceitos da
Geometria Hiperbólica, no estudo axiomático realizado pelo professor de
Matemática e como esse novo conhecimento pode contribuir para sua
formação?”. É fundamentada em alguns pressupostos da Engenharia Didática,
descrita por Artigue (1988). Entende-se que a relevância desta pesquisa
justifica-se nas orientações das Diretrizes Curriculares Nacionais para os
cursos de Matemática, Bacharelado e Licenciatura (DCN) e na escassez de
material didático para o estudo desse conteúdo. Visando a responder à
questão de pesquisa e colher informações que possibilitem a melhoria desta
proposta didática, aplicou-se um projeto-piloto com alunos do curso de
Mestrado Profissional em Ensino de Matemática, ministrado pela Pontifícia
Universidade Católica (PUC-SP). Os resultados apontaram que a utilização da
geometria dinâmica na formação dos conceitos da Geometria Hiperbólica, em
uma proposta axiomática inicial, é um recurso que contribui para a
interiorização desses conceitos.
Palavras-Chave : Geometria Hiperbólica. Geometria Euclidiana. Software Cinderella. Engenharia Didática.
ABSTRACT
This dissertation had as its main objective to propose an environment
computational to the learning of Hyperbolic Geometry in the training of teachers
of mathematics. Based on the Theory of Didactical Situation developed by Guy
Brousseau (1986) and studies with the Comprehension of Demonstrations from
Raymond Duval (1993), a didactic sequence has been prepared on the subject.
The present work is oriented by the question “to what extent the dinamic
geometry could interfere in the build of hyperbolic geometry’s concepts, in the
axiomatic study by the professor of mathematics and how this new knowledge
could contribute to your formation?” This research is founded on some
assumptions of Didactic Engieneering, described for Artigue (1988). The
relevance of this research is justified by the Nacional Curriculum Guidelines for
the courses off Bachelor’s Degree in Mathematics, and shortage of teaching-
material for the study of this content. Aimed at responding the question of
research and gather information that enable the improvement of this didactic
proposal, a pilot project was implemented with students of the Professional
Master’s Degree in Mathematics Education given by PUC-SP University. The
results showed that the use of dinamic geometry in the formation of concepts of
Hiperbolic Geometry, in the inicial axiomatic proposal, is a resource that
contribute to understing these concepts.
Keywords : Hyperbolic Geometry. Euclidian Geometry. Software Cinderella.
Didactical Engineering.
SUMÁRIO
ESTUDOS PRELIMINARES.................................................................................................... 17 1.1 Introdução .................................................................................................................. 17 1.2 Estudos Preliminares ................................................................................................. 18
1.2.1 Internet e Educação .......................................................................................... 18 1.2.2 Diretrizes Curriculares Nacionais (DCN)........................................................... 25 1.2.3 Publicações (livros e artigos) sobre a Geometria Hiperbólica .......................... 26 1.2.4 Dissertações sobre a Geometria Hiperbólica.................................................... 34 1.2.5 Descrição de alguns Softwares que possibilitam o estudo da Geometria Hiperbólica........................................................................................................................ 42 1.2.6 Modelos da Geometria Hiperbólica................................................................... 47
ASPECTOS TEÓRICO-METODOLÓGICOS .......................................................................... 56 2.1 Introdução .................................................................................................................. 56 2.2 Questão de Pesquisa e Hipóteses levantadas .......................................................... 56 2.3 Metodologia de Pesquisa........................................................................................... 58 2.4 Procedimentos Metodológicos................................................................................... 63
ELABORAÇÃO DA PÁGINA DA INTERNET .......................................................................... 76 3.1 Introdução .................................................................................................................. 76 3.2 Idealização da página da Internet.............................................................................. 76
SEQUÊNCIA DIDÁTICA.......................................................................................................... 83 4.1 Introdução .................................................................................................................. 83 4.2 Delineamento da experimentação ............................................................................. 83
4.2.1 Preparação do Ambiente................................................................................... 83 4.2.2 Público-alvo....................................................................................................... 83 4.2.3 Dinâmica dos Encontros ................................................................................... 84
4.3 Análises da Seqüência Didática e Resultado da Experimentação............................ 84 4.3.1 Introdução: Explicando o software Cinderella e as atividades propostas......... 84 4.3.2 Atividade 1: Axiomatização de Hilbert............................................................... 91 4.3.3 Atividade 2: Explorando o Disco de Poincaré ................................................... 98 4.3.4 Atividade 3: Retas no Plano............................................................................ 102 4.3.5 Atividade 4: Ângulo de Paralelismo ................................................................ 108 4.3.6 Atividade 5: Explorando as retas hiperbólicas ................................................ 113 4.3.7 Atividade 6: Biângulo....................................................................................... 123 4.3.8 Atividade 7: Quadrilátero de Saccheri............................................................. 132 4.3.9 Atividade 8: Quadrilátero de Lambert ............................................................. 141 4.3.10 Atividade 9: Triângulos.................................................................................... 150 4.3.11 Atividade 10: Explorando as Circunferências ................................................. 156 4.3.12 Atividade 11: Circunferência, Horocírculo e Hipercírculo ............................... 159 4.3.13 Atividade 12: Área ........................................................................................... 163 4.3.14 Questionário Inicial.......................................................................................... 166 4.3.15 Primeira Série de Exercícios........................................................................... 169 4.3.16 Segunda Série de exercícios .......................................................................... 176 4.3.17 Atividade Final................................................................................................. 182 4.3.18 Questionário Final ........................................................................................... 194
4.3 Reflexão e alteração do material didático................................................................ 204 CONSIDERAÇÕES FINAIS................................................................................................... 207 REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 211 ANEXOS ................................................................................................................................ 217
LISTA DE FIGURAS Figura 1.1: construção geométrica com o software Cabri-Géomètry ......................................... 43 Figura 1.2: construção geométrica com o software Cinderella................................................... 44 Figura 1.3: construção geométrica com o software Sketchpad .................................................. 45 Figura 1.4: construção geométrica com o software NonEuclid................................................... 45 Figura 1.5: construções geométricas com os softwares Poincaré Disc e PoincaréDraw........... 46 Figura 1.6: Modelo de Beltrami ................................................................................................... 49 Figura 1.7: Modelo de Klein ........................................................................................................ 50 Figura 1.8: Modelo de Poincaré .................................................................................................. 51 Figura 1.9: Modelo do Semiplano de Poincaré ........................................................................... 53 Figura 1.10: Distância hiperbólica entre dois pontos .................................................................. 54 Figura 1.11: Distância hiperbólica entre dois pontos, representada no eixo cartesiano ............ 55 Figura 1.12: Distância hiperbólica entre dois pontos apresentada pelo software Cinderella ..... 55 Figura 2.1: Estrutura Ternária de um passo da demonstração .................................................. 66 Figura 3.1: Página - Tela Inicial................................................................................................... 77 Figura 4.1: Introdução (a) - Apresentação do Cinderella ............................................................ 85 Figura 4.2: Introdução (b) - Apresentação da Seqüência ........................................................... 86 Figura 4.3: Introdução (c) - Exercício de construção geométrica com o uso do Cinderella ....... 88 Figura 4.4: Introdução (d) - Exercício resolvido com a ferramenta “visualizar próximo passo”.. 89 Figura 4.5: Introdução (e) - Notações e Bibliografia ................................................................... 90 Figura 4.6: Atividade 1 (a) - Apresentação da Axiomatização de Hilbert ................................... 92 Figura 4.7: Atividade 1 (b) - Resumo da Geometria Absoluta e Propriedades........................... 95 Figura 4.8: Atividade 1 (c) - Exercício de Construção e demonstração...................................... 96 Figura 4.9: Atividade 2 (a) - Exploração: retas, segmentos, ângulos ......................................... 99 Figura 4.10: Atividade 2 (b) - Apresentação do modelo de Poincaré ....................................... 101 Figura 4.11: Atividade 3 (a) - Definições e Teoremas da Geometria Hiperbólica .................... 103 Figura 4.12: Atividade 3 (b) - Exploração dinâmica das retas hiperbólicas.............................. 103 Figura 4.13: Atividade 3 (c) - Demonstração dos teoremas hiperbólicos 1 e 2 ........................ 105 Figura 4.14: Atividade 3 (d) - Reflexão sobre a transitividade das paralelas ........................... 106 Figura 4.15: representação de um passo da demonstração do TH 02 .................................... 107 Figura 4.16: Atividade 4 (a) - Exploração dinâmica do ângulo de paralelismo......................... 108 Figura 4.17: Atividade 4 (b) - Demonstração dos teoremas hiperbólicos 2 e 3........................ 110 Figura 4.18: Atividade 4 (c) - Exploração dinâmica: altura e o ângulo de paralelismo............. 111 Figura 4.19: atividade 4: análise de situação............................................................................ 112 Figura 4.20: Atividade 5 (a) - Investigações dinâmicas das retas hiperbólicas ........................ 115 Figura 4.21: Atividade 5 (b) - Exercício de demonstração do teorema 08................................ 116 Figura 4.22: representação das retas ....................................................................................... 117 Figura 4.23: representação do TH 10 ....................................................................................... 118 Figura 4.24: Atividade 6 (a) - Definição de biângulo e teorema do ângulo externo.................. 125 Figura 4.25: Atividade 6 (b) - Exercício de demonstração do teorema 12................................ 126 Figura 4.26: Atividade 6 (c) - Casos de Congruência dos Biângulos ....................................... 128 Figura 4.27: representação do TH 12 ....................................................................................... 129 Figura 4.29: Atividade 7 (a) - Quadrilátero de Saccheri............................................................ 133 Figura 4.30: Atividade 7 (b) - Exercício de demonstração do teorema 16................................ 134 Figura 4.31: Atividade 7 (c) -Demonstração do teorema 17 ..................................................... 135 Figura 4.32: Atividade 7 (d) - Exploração dinâmica e questionamento sobre os quadriláteros 136 Figura 4.33: Atividade 8 (a) - Teorema sobre o Quadrilátero de Lambert ................................ 141 Figura 4.34: Atividade 8 (b) - Teoremas sobre os Quadriláteros.............................................. 143 Figura 4.35: Atividade 8 (c) - Demonstração do teorema hiperbólico 22.................................. 144 Figura 4.36: Atividade 8 (d) - Demonstração do teorema hiperbólico 23 ................................ 144 Figura 4.37: Atividade 8 (e) - Demonstração do teorema hiperbólico 8 ................................... 145 Figura 4.38: Atividade 9 (a) - Construção e investigação: soma dos ângulos de um triângulo 150 Figura 4.39: Atividade 9 (b) - Demonstração do teorema hiperbólico 24 ................................. 151 Figura 4.40: Atividade 9 (c) - Exercício de demonstração ........................................................ 151 Figura 4.41: Atividade 9 (d) - Demonstração do teorema hiperbólico 26 ................................. 153
Figura 4.42: Atividade 9 (e) - Pontos Ideais e Triângulos Ômega ............................................ 153 Figura 4.43: Atividade 10 (a) - Construção e investigação dinâmica:círculos .......................... 157 Figura 4.44: Atividade 10 (b) - Demonstração do teorema hiperbólico 28 ............................... 158 Figura 4.45: Atividade 10 (c) - Investigação Dinâmica.............................................................. 159 Figura 4.46: Atividade 11 (a) - Demonstração do Teorema 29................................................. 161 Figura 4.47: Atividade 11 (b) - Apresentação dos lugares geométricos................................... 162 Figura 4.48: Atividade 11 (c) - Proposta de análise de situação .............................................. 163 Figura 4.49: Atividade 12 (a) - Definição de deficiência............................................................ 163 Figura 4.50: Atividade 12 (b) - Apresentação do Teorema 30.................................................. 164 Figura 4.51: Atividade 12 (c) - Área .......................................................................................... 165 Figura 4.52: Atividade 12 (d) - Análise de Situação.................................................................. 166 Figura 4.53: Questionário Inicial................................................................................................ 167 Figura 4.54: Início da primeira série de exercícios complementares........................................ 169 Figura 4.55: 1ª série de exercícios complementares ................................................................ 171 Figura 4.56: representação do teorema do triângulo inscrito ................................................... 172 Figura 4.57: representação de um passo da demonstração do teorema do triângulo inscrito. 173 Figura 4.58: 2º série de exercícios complementares ................................................................ 176 Figura 4.59: Atividade Final (a) - Questão 1 ............................................................................. 183 Figura 4.60: Atividade Final (b) - Demonstração dos teoremas 16 e 17 .................................. 184 Figura 4.61: Atividade Final (c) - Questão 2 ............................................................................. 185 Figura 4.62: Atividade Final (d) - Questão 3 ............................................................................. 185 Figura 4.63: Atividade Final (e) - Questão 4 ............................................................................. 186 Figura 4.64: Atividade Final (f) - Questão 5 .............................................................................. 186 Figura 4.65: Questionário Final ................................................................................................. 195
LISTA DE QUADROS Quadro 1.1: Características do Modelo de Beltrami ................................................................... 49 Quadro 1.2: Características do Modelo de Klein ........................................................................ 50 Quadro 1.3: Características do Modelo de Poincaré .................................................................. 51 Quadro 1.4: Características do Modelo do Semiplano de Poincaré ........................................... 53 Quadro 2.1: Argumentação x Demonstração.............................................................................. 67 Quadro 2.2: Raciocínio Dedutivo x Argumentação x Raciocínio por Absurdo ........................... 71 Quadro 2.3: Tabela Verdade....................................................................................................... 72 Quadro 2.4: Verificação do método de RAA ............................................................................... 72 Quadro 2.5: Demonstração da Proposição XXVII - Elementos .................................................. 73 Quadro 2.6: Esquema de RAA.................................................................................................... 74 Quadro 4.1: protocolos da análise de situação – atividade 3 ................................................... 107 Quadro 4.2: protocolos da análise de situação – atividade 4 ................................................... 112 Quadro 4.3: protocolos da tese e hipótese do TH 10 ............................................................... 120 Quadro 4.4: protocolos da demonstração do TH10.................................................................. 121 Quadro 4.5: protocolos da demonstração do TH12.................................................................. 130 Quadro 4.6: protocolos da demonstração do TH 16................................................................. 138 Quadro 4.7: protocolos da demonstração do TH 23................................................................. 147 Quadro 4.8: protocolo da demonstração do TH 25................................................................... 154 Quadro 4.9: 1ª série de exercícios - protocolos da 1ª questão................................................. 174 Quadro 4.10: 1ª série de exercícios - protocolos da 2ª questão............................................... 174 Quadro 4.11: 1ª série de exercícios - protocolos da 3ª questão............................................... 175 Quadro 4.12: 1ª série de exercícios - protocolos da 4ª questão............................................... 175 Quadro 4.13: protocolos das respostas da 1ª questão do 2º fórum ......................................... 177 Quadro 4.14: protocolos das respostas da 2ª questão do 2º fórum ......................................... 180 Quadro 4.15: protocolos das respostas da 3ª questão do 2º fórum ......................................... 181 Quadro 4.16: atividade final – protocolos das respostas da primeira questão ......................... 187 Quadro 4.17: atividade final – protocolos das respostas da segunda questão ........................ 187 Quadro 4.18: atividade final – protocolos das respostas da terceira questão .......................... 190 Quadro 4.19: atividade final – protocolos das respostas da quarta questão............................ 191 Quadro 4.20: atividade final – protocolos das respostas da quinta questão ............................ 193 Quadro 4.21: questionário final – protocolos das respostas da primeira questão.................... 195 Quadro 4.22: questionário final – protocolos das respostas da segunda questão ................... 197 Quadro 4.23: questionário final – protocolos das respostas da terceira questão..................... 198 Quadro 4.24: questionário final – protocolos das respostas da quarta questão....................... 199 Quadro 4.25: questionário final – protocolos das respostas da quinta questão ....................... 200 Quadro 4.26: questionário final – protocolos das respostas da sexta questão ........................ 201 Quadro 4.27: questionário final – protocolos das respostas da sétima questão ...................... 203
12
APRESENTAÇÃO
Só pela ciência e pela arte as civilizações têm valor. (Poincaré, 1995, p.172)
Como aluna de graduação em Matemática, estudei a Geometria
Euclidiana e sempre me interessei pelo estudo de outras geometrias que,
infelizmente, não faziam parte do currículo, fato freqüente na maioria dos
cursos do País1.
Ao buscar conhecimento a respeito desse conteúdo, deparei-me
com a dificuldade de encontrar material didático escrito em língua portuguesa.
No período da graduação, durante o estudo da Geometria
Euclidiana, de maneira geral, os graduandos mostravam dificuldades para a
compreensão das demonstrações formais e, mais tarde, verifiquei que tal
dificuldade é comum à maioria dos alunos, sejam eles do Ensino Fundamental,
Médio ou Universitário. Elas levam muitos professores à exposição de
teoremas sem as devidas demonstrações, ainda no ensino fundamental, fato
que priva o aluno de uma possibilidade de desenvolver seu raciocínio lógico-
dedutivo e faz com que essas dificuldades acompanhem-no por toda sua vida
acadêmica.
Com o advento do Movimento da Matemática Moderna que, durante
o final da década de 1960 e início de 1970, esteve presente nas escolas e
universidades, podemos observar que muitos dos professores que, atualmente,
lecionam, não tiveram contato satisfatório com as demonstrações, fato que
também os inibem de incorporá-las às suas aulas. Após esse movimento, muito
pouco se privilegiou o estudo das demonstrações, em todos os níveis de
ensino, inclusive, nos de formação de professores de Matemática.
No início do mestrado em Educação Matemática, travei contato com
o grupo de pesquisa “Conceitos: Formação e Evolução”, coordenado por meu
1 Cabariti (2004) elaborou um levantamento consultando, via Internet, as ementas dos cursos ou disciplinas de geometria em 11 universidades ou faculdades nacionais e verificou que somente quatro (em duas a disciplina era proposta como optativa) propunham o estudo de geometrias não-euclidianas.
13
orientador, o Prof. Dr. Saddo Ag Almouloud, que tem como uma de suas
prioridades o estudo das demonstrações em Geometria e a contribuição do
computador na criação de conceitos geométricos. Embora a importância da
utilização de novas tecnologias na Educação seja amplamente discutida, no
estudo de Geometria sua importância parece ainda mais evidente. Mas é
fundamental não reduzir esse estudo à utilização das mesmas, que devem ser
vistas como mais uma alternativa didática, facilitadoras no processo de ensino
e aprendizagem.
Minhas expectativas aliadas aos trabalhos do grupo de pesquisa
levaram-me a propor a criação de um material didático para o estudo de outras
geometrias. Visando a atingir um número maior de professores e alunos de
graduação, foi idealizada a elaboração de uma página na Internet, que pudesse
contemplar uma seqüência didática na apresentação da Geometria Hiperbólica.
A seqüência inspirou-se nos conceitos da Teoria das Situações Didáticas
(TSD) de Guy Brousseau (1986) e, também, no trabalho sobre a compreensão
das demonstrações, de Raymond Duval (1993).
Foi realizado um projeto-piloto com alunos do curso de Mestrado
Profissional em Ensino de Matemática, ministrado pela PUC-SP, a fim de
validar nossas intenções didáticas, apresentadas nos capítulos III e IV, bem
como identificar pontos de melhoria do material.
O principal objetivo foi propor um ambiente ao aprendizado da
Geometria Hiperbólica na formação do professor de Matemática. Procuramos
investigar, também, se a apresentação das demonstrações feitas passo a
passo, em três colunas, favorece a aprendizagem do raciocínio lógico.
Verificamos em que medida uma seqüência de ensino provoca mudanças no
conhecimento do professor em relação ao estudo da Geometria Hiperbólica e
ainda propomos uma reflexão sobre sua prática no ensino de Geometria nos
Ensinos Fundamental e Médio.
Em razão da escassez de material sobre tal conteúdo, sobretudo
aqueles que privilegiam a elaboração de seqüências de ensino, acreditamos
que a compreensão dos dados extraídos desta pesquisa poderá ser relevante
para a comunidade de educadores no sentido de levantar alternativas didáticas
14
e contribuir com a prática pedagógica do professor e também para sua
formação específica.
As Diretrizes Curriculares Nacionais para os cursos de Matemática,
Bacharelado e Licenciatura (DCN) reforçam a importância do desenvolvimento
do raciocínio lógico no graduando em Matemática e entendemos que propostas
como esta poderão contribuir nesse sentido, conforme será exposto no capítulo
I.
Acreditamos ainda que este estudo contribua para o questionamento
atual sobre a introdução de outras geometrias no conteúdo do Ensino Médio,
uma vez que estas são contempladas nos currículos de outros países.
Segundo Centomo (2002), mesmo considerando a crise atual no ensino de
Geometria, existem vários motivos para se introduzir o estudo desse tema no
Ensino Médio:
• Considerando o plano lógico e demonstrativo: na geometria plana, freqüentemente os alunos confundem as definições com os teoremas, não conseguindo identificar qual deve provar logicamente ou ainda ao se depararem com teoremas considerados “óbvios” não conseguem perceber a necessidade de uma demonstração formal. Como a Geometria Hiperbólica é menos familiar e menos intuitiva, seu estudo favorece a potencialização do raciocínio lógico e do rigor das demonstrações.
• Considerando o estudo da Geometria Euclidiana: o estudo da Geometria Hiperbólica favorece o estudo da Geometria Euclidiana, uma vez que seu estudo é feito com modelos euclidianos, o que leva o aluno a aprofundar seus conhecimentos sobre esta geometria que, de outra forma, não seria necessário.
• Considerando o plano cultural: o estudo de outras geometrias amplia o conhecimento do aluno e possibilita a percepção de que a geometria não é uma teoria que nasceu e morreu na Grécia antiga, mas que passou e passa por um processo de desenvolvimento até os dias atuais. (CENTOMO, 2002, tradução nossa do original italiano).
Inspirados na obra de Trudeau (2004), optamos pela inclusão de
uma introdução histórica abordando desde os Elementos, de Euclides, até a
reorganização axiomática da Geometria Euclidiana, proposta mais tarde,
sobretudo por Hilbert, em sua obra Fundamentos de Geometria. Procuramos
mostrar, também, como a evolução do pensamento filosófico e lógico
influenciou no desenvolvimento da Matemática, possibilitando uma re-análise
15
da obra de Euclides e do próprio conceito de raciocínio lógico-dedutivo. Assim,
esse amadurecimento impulsionou o surgimento de outras geometrias.
Entendemos que a abordagem histórica proposta poderá contribuir no processo
de ensino e aprendizagem da Geometria Hiperbólica, sendo ainda
enriquecedora para o futuro professor de Matemática.
Em nosso entender, conhecer provas na perspectiva de conhecimento substantivo significa que o professor deve possuir um conjunto suficiente de conhecimentos, que lhe dê autonomia intelectual sobre esse tema. Essa autonomia significa, por exemplo, não apenas conhecer as demonstrações dos teoremas e fórmulas que irá desenvolver futuramente, mas também ter a capacidade de selecionar e organizar tais teoremas e respectivas aplicações. Saber diferenciar o que é importante daquilo que é secundário. Ele precisa, sobretudo, saber problematizar as demonstrações de modo a integrá-las ao assunto que está desenvolvendo. Para isso, ele precisa ser mediador entre os conhecimentos produzidos historicamente e aquele que será apropriado pelos alunos.(PIETROPAOLO, 2005, p.222)
A apresentação do presente trabalho foi elaborada em cinco
capítulos, descritos na seqüência:
• Em Estudos Preliminares realizamos levantamentos
referentes à literatura disponível, em língua portuguesa, sobre
a Geometria Hiperbólica e os softwares disponíveis para o
tratamento do tema proposto e ainda como potencializar o uso
das novas tecnologias na Educação. Complementamos os
estudos preliminares com um levantamento histórico do
surgimento de outras geometrias, necessário para
complementar a proposta. Optamos por apresentar o
resultado final do último levantamento por meio do material
produzido, exibido em nossa página (anexos I a XIII).
• O Capítulo II apresenta a questão de pesquisa e a
metodologia utilizada, que foi a Engenharia Didática, de
Artigue (1988). Apresenta também os teóricos da Didática da
Matemática, Brousseau (1986) e Duval (1993), que
procuramos seguir para responder aos questionamentos do
estudo.
16
• No Capítulo III, expomos como a página foi idealizada e
construída com a intenção de apresentar nossas atividades e
munir o aprendiz das informações necessárias ao estudo
proposto.
• No Capítulo IV, apresentamos os elementos da análise a
priori feita nas atividades elaboradas, que foram estruturadas,
pretendendo a criação de situações que proporcionem um
aprendizado e possam nos oferecer subsídios para responder
à questão de pesquisa. Apresentamos, também, a
experimentação propriamente dita, a análise a posteriori e os
resultados obtidos na pesquisa.
• Finalmente nas Considerações Finais, mostramos a
conclusão geral do trabalho e as sugestões para futuras
pesquisas.
17
CAPÍTULO I
ESTUDOS PRELIMINARES
Cada ator, desviando e reinterpretando as possibilidades de uso de uma tecnologia intelectual, acaba por conferir-lhe um novo significado.
(LÉVY, Pierre. 1993, p.146)
1.1 Introdução
A apresentação dos estudos preliminares foi segregada em dois
blocos. No primeiro bloco, iniciamos com a apresentação do uso da Internet na
educação e pesquisamos sobre a importância e os cuidados necessários para
o emprego desse veículo no ensino. Pesquisamos nas Diretrizes Curriculares
Nacionais para os cursos de Matemática, Bacharelado e Licenciatura (DCN) as
orientações pertinentes ao estudo das geometrias e levantamos a literatura
publicada a respeito da Geometria Hiperbólica. Na seqüência, listamos os
softwares destinados ao estudo de geometria e finalizamos com a
apresentação dos modelos da Geometria Hiperbólica. Tais levantamentos nos
foram particularmente úteis para a elaboração da página da Internet,
oferecendo subsídios para a escolha do software, a delineação da forma, a
linguagem do texto e a definição do conteúdo matemático.
O segundo bloco consolida os estudos históricos, que optamos por
apresentá-los como anexo. Assim, listamos as telas que denominamos de
Tópicos Históricos, disponíveis no material didático. Procuramos apresentar
uma visão histórica do desenvolvimento das demonstrações e do raciocínio
lógico para melhor compreensão do momento que permitiu o surgimento das
outras geometrias e, também, familiarizar o aprendiz com os termos
empregados no decorrer da seqüência didática. Expusemos o desenvolvimento
histórico da Geometria, apresentamos em linhas gerais a influência das
principais correntes filosóficas nesse processo e o impacto do surgimento das
outras geometrias na Física Moderna.
18
1.2 Estudos Preliminares
1.2.1 Internet 2 e Educação
O uso da Internet é uma realidade que, em um mundo globalizado,
possibilita acesso às informações nunca antes imaginado. Embora esse acesso
seja imediato, nem sempre nos deparamos com materiais voltados ao ensino,
que sejam apresentados em uma linguagem apropriada e que
fundamentalmente sejam capazes de produzir um novo saber.
Se olharmos, ao mesmo tempo, a velocidade na qual os conhecimentos se desenvolvem, a extensão da capacidade cognitiva individual mediante as tecnologias, as novas possibilidades de aprendizagem cooperativa e de colaboração entre as pessoas, no nível intelectual, eu acredito que nos deparamos com uma paisagem completamente nova na relação com o saber e somos obrigados a constatar que muitas de nossas concepções pedagógicas a respeito do ensino e aprendizagem, muitas das nossas instituições de ensino e dos nossos métodos para reconhecer ou validar competências foram elaboradas em um período em que a relação com o conhecimento era muito diferente do atual. Então, há muito trabalho a fazer para que os nossos conceitos, as nossas instituições, os nossos modos de organização se adaptem a essa nova fase. (LÉVY, 1997, p.2, tradução nossa do original em italiano)
Como professores, temos, também, o desafio de contribuir para que
os alunos sejam capazes de optarem por boas escolhas, distinguindo
produções de qualidade e que desenvolvam as habilidades necessárias para o
estudo individual.
Os professores do futuro serão manager do conhecimento e encorajadores, ao invés de pessoas que detêm e distribuem um saber. Deverão ensinar aos seus estudantes como procurá-lo, porque os alunos deverão continuar a fazê-lo por toda a sua vida social e profissional, e não terá sempre um professor que os colocará de frente a uma informação certa e pronta. (LÉVY, 1997, p.3)
2 A Internet foi resultado dos trabalhos da Darpa (Agência de Projetos Avançados de Pesquisa e Defesa), uma instituição militar americana. Sua intenção era elaborar uma rede com quatro computadores, por meio de linhas telefônicas. Em seguida a National Science Foundation (NSF), financiadora de pesquisas americanas, interligou computadores de universidades e escolas, surgindo a Internetworking, conhecida hoje como Internet. O meio acadêmico passou a utilizá-la para atividades docentes.
19
O acesso às mídias pode ser aproveitado como mais uma
possibilidade de contribuição à educação tradicional, ou ainda, como um
veículo que viabiliza o ingresso de muitos estudantes a uma formação ou
especialização.
Nesse cenário, entendemos que a concepção de materiais que
possam ser disponibilizados na Internet permite sua utilização no ensino nas
modalidades presencial, semipresencial, ou ainda, a distância. Nossa
pretensão é criar um material que tenha tal funcionalidade, embora esta
pesquisa seja voltada à modalidade presencial.
Na elaboração de materiais didáticos para utilização em ambientes
virtuais, vários aspectos específicos desse ambiente devem ser observados.
Os textos propostos via Internet podem e devem ser apresentados como
hipertextos, possibilitando aos usuários transitarem por textos não-lineares,
construindo assim sua própria leitura.
Lévy (1999, p.55) ressalta que “o hipertexto é constituído por nós (os
elementos de informação, parágrafos, páginas, imagens, seqüências musicais,
etc.) e por links entre esses nós, referências, notas, ponteiros, ‘botões’
indicando a passagem de um nó a outro”.
O autor acrescenta que podemos considerar a hipertextualização
dos documentos como “uma tendência à indeterminação, à mistura das
funções de leitura e de escrita”, pois, o autor, definindo os links, atua como um
leitor que selecionou uma possível leitura e o leitor, ao definir sua navegação,
cria uma leitura particular possível do texto. Temos, então, que “com o
hipertexto toda leitura é uma escrita potencial” (LÉVY, 1999, p.57). Desse
modo, percebemos que esse aspecto do hipertexto torna-o sempre inacabado
e o indivíduo pode construir um mesmo conhecimento por caminhos diferentes,
respeitando suas necessidades e carências próprias.
Peters (2003) reforça a possibilidade de um aprendizado não-linear:
A objeção de que o ensino com hipertextos não seria científico nem acadêmico pode ser contestada com facilidade. Pois o saber de modo algum está ordenado linearmente por si mesmo, mas sim apenas é tradicionalmente compactado de forma cronológica ou contígua, sendo com isso deformado. Nesse sentido, outras formas de
20
exposição e explanação de saber são perfeitamente possíveis, se forem tecnicamente viáveis e talvez até mais apropriadas. (PETERS, 2003, p.237)
Kalinke (2003) ressalta também certos aspectos negativos do uso da
Internet na Educação, levantados por alguns pesquisadores, mas, em seguida,
reforça que estes pesquisadores também apontam alternativas, deixando um
saldo positivo para seu emprego em atividades pedagógicas.
A quantidade de informações pode levar à perda de foco no assunto principal, além da facilidade de dispersão durante a navegação, a falta de fidedignidade de muitas informações, a lentidão de acesso em função da qualidade das linhas telefônicas, os efeitos colaterais das máquinas, tais como sonolência, resignação e sensação de impotência intelectual e a possibilidade de acesso a informações não educacionais, como pornografia, drogas e materiais explosivos, por exemplo. (KALINKE, 2003, p.53)
Para idealizar um hipertexto, seu autor deve estar atento aos
aspectos levantados, no sentido de possibilitar ao leitor condições para uma
navegação intuitiva e produtiva. Inserir sua produção em uma plataforma e-
learning limita algumas das questões citadas, e as demais podem ser
minimizadas por uma concepção eficiente da página.
Na introdução de um material didático em uma plataforma e-
learning, vimos alguns pontos positivos e podemos citar outros, pois ela
proporciona o acompanhamento do aprendiz, permite discussões em fóruns,
possibilita ao mediador sanar eventuais dúvidas dos alunos, propicia um
convívio enriquecedor entre o grupo e ainda permite a extração de dados para
subsidiar a avaliação.
Alguns dispositivos de ensino em grupo são especialmente projetados para o compartilhamento de diversos recursos computacionais e o uso dos meios de comunicação próprios do hiperespaço3. Falamos, então, de aprendizagem cooperativa assistida
3 Lévy (1999) em suas pesquisas sobre tecnologias da inteligência define importantes conceitos: Ciberespaço: “meio de comunicação que surge da interconexão mundial dos computadores. O termo especifica não apenas a infra-estrutura material da comunicação digital, mas também o universo oceânico de informações que ela abriga, assim como os seres humanos que navegam e alimentam esse universo”. Cibercultura: “conjunto de técnicas
21
por computador (em inglês, computer supported cooperative learning, CSCL). Estes dispositivos permitem a discussão coletiva, a divisão de conhecimentos, as trocas de saberes entre indivíduos, o acesso a tutores on-line aptos a guiar as pessoas em sua aprendizagem e o acesso à base de dados, hiperdocumentos e simulações. Nos sistemas mais aperfeiçoados, os hipertextos encontram-se estruturados e enriquecidos em função das perguntas e navegações dos aprendizes.(LÉVY,1999, p.101)
Kalinke4 (2003) baseou-se nos conceitos das teorias Construtivista e
Ergonômica5 para propor uma lista mínima de critérios para análise de sites
educacionais, como abaixo é descrita e nos guiou na elaboração da página.
Aspectos como clareza, facilidade de acesso, disposição de links,
distribuição e visualização do conteúdo, compatibilidade entre faixa etária e
linguagem são considerados pela ergonomia. Entendemos que tais aspectos
são fundamentais para que os benefícios desse veículo sejam usufruídos pelos
usuários, contribuindo para o processo de aprendizagem.
A ergonomia trata do estudo de interfaces homem computador que permitam ao usuário utilizar o recurso de forma adequada e com o menor desgaste possível, tanto físico quanto intelectual. Ressalve-se que minimizar o desgaste intelectual significa direcionar a capacidade intelectual do usuário para atividades de cunho pedagógico. Dessa forma, a ergonomia preocupa-se com que ele não se desgaste com aspectos técnicos e de navegação, podendo direcionar seus esforços intelectuais para a aprendizagem. (KALINKE, 2003, p.22)
Os itens da lista mínima de critérios para análise de sites
educacionais são:
1. Critérios relativos a aspectos construtivistas
(materiais e intelectuais), de práticas, de atitudes, de modos de pensamento e de valores que se desenvolvem juntamente com o crescimento do ciberespaço”.
4 A dissertação Uma proposta para análise e seleção de sites educacionais de matemática, à luz das teorias Construtivista e Ergonômica, foi apresentada como requisito parcial à obtenção do grau de Mestre em Educação, Curso de Pós-Graduação em Educação, Setor de Educação, Universidade Federal do Paraná, orientada pelo professor Dr. Alexandre Luís Trovon de Carvalho e defendida em 2002. Esse trabalho originou o livro Internet e Educação.
5 O termo ergonomia pode ser definido como o “estudo científico das relações entre homem e máquina, visando a uma segurança e eficiência ideais, no modo como um e outra interagem”. (HOUAISS, 2001 apud KALINKE, 2003, p. 91)
22
• Ferramentas de Interação
Um ambiente propício ao aprendizado possibilita a interação do
aluno com o conteúdo proposto, com outros alunos e ainda com o mediador.
O aluno participa ativamente de seu processo de aprendizado, ao
encontrar um meio que favoreça as investigações e as trocas de experiências,
podendo extrair dessas conjecturas um novo conhecimento.
Para os contatos entre alunos e entre alunos e mediador, é
necessária a inclusão de ferramentas de comunicação síncronas (salas de
Chat) e assíncronas6 (e-mail, fórum de discussões, mural). Estes contatos
favorecem o diálogo entre o grupo para levantamento de hipóteses, sugestões
e exposição de conjecturas. Permitem, também, ao mediador exercer suas
funções em momentos-chave como na “observação” da evolução individual,
como articulador de discussões, bem como no momento de reforçar as
institucionalizações disponíveis no material didático.
• Tratamento do Erro
O site não deve se limitar a apresentar as respostas, ou ainda,
classificar o desempenho alcançado pelo aluno. O erro, uma vez identificado,
deve orientar a proposta de outras atividades sobre o mesmo tema, dando
oportunidade do aluno adquirir o conhecimento em jogo.
• Ambiente Dinâmico
Um ambiente dinâmico pode ser entendido como um local que
permita a manipulação de objetos, favorecendo a investigação por parte do
aluno. O movimento, permitido nos softwares computacionais é, sem dúvida,
um diferencial em relação às figuras estáticas (livro, quadro negro) que
contribui para a análise de uma determinada situação, que pode levar a
aquisição do saber em questão.
• Modelagens, Simulações e Inovações
6 Ferramentas síncronas possibilitam contato em tempo real e assíncronas possibilitam comunicação em qualquer tempo.
23
O autor sugere o uso de ferramentas tecnológicas (softwares
educacionais, ferramentas de autoria intuitivas) na elaboração da página, por
possibilitem a experimentação, a modelagem e a simulação. Dessa forma o
aluno sente-se motivado e desafiado, favorecendo o seu avanço na busca do
conhecimento almejado.
A possibilidade de simulação permite que o aluno, mesmo antes de
conhecer os conceitos matemáticos envolvidos, possa elaborar conjecturas e
levantar hipóteses que, posteriormente, poderão ser devidamente validadas.
2. Critérios relativos a aspectos ergonômicos
• Legibilidade
A legibilidade está ligada aos aspectos de criação como clareza,
simplicidade, linguagem adequada ao público-alvo, tamanho e estilo das letras,
cores e disposição lógica do conteúdo e dos ícones empregados para os links.
Estes aspectos, quando bem empregados, contribuem para o aprendizado,
pois minimizam o cansaço frente ao computador, fazendo com que o aluno se
atente mais facilmente ao conteúdo proposto.
• Documentação
Para que o site seja devidamente explorado, deve apresentar
manuais para o professor, para o aluno, ajuda on-line e mapa do site,
possibilitando ao leitor conhecer os objetivos, o público-alvo e os aspectos
pedagógicos. Enfim, as instruções prévias para sua melhor utilização.
• Navegabilidade
Uma organização eficiente dos links favorece a navegação, exigindo
menor esforço do aluno. Este, ao escolher seus caminhos e traçar seu
aprendizado baseado em suas necessidades individuais, não deve encontrar
dificuldades nas retomadas necessárias, bem como nas seqüências
apresentadas. Estes cuidados otimizam o tempo empregado na navegação,
24
permitindo que o aluno possa focar seu tempo e interesse no conteúdo
proposto.
Outro aspecto fundamental que deve ser considerado na
estruturação do material é a inclusão de situações que possibilitem o processo
de avaliação, pois devemos analisar o aproveitamento efetivo em termos de
aquisição do conhecimento conquistado pelo aluno, verificar se essa
experiência contribuiu para sua formação e ainda analisar a qualidade do
material proposto.
O processo de avaliação pode ser feito por meio de avaliações
diagnósticas, formativas ou somativas. É vasta a discussão acadêmica sobre
estas alternativas, mas vislumbramos uma tendência na caracterização de
avaliações contínuas, nas quais as características de cada uma sejam
mescladas com o objetivo de avaliar o crescimento individual de cada aluno,
bem como do professor.
O professor se torna um aprendiz do processo, pois se aprofunda nas estratégias de pensamento do aluno, nas formas como ele age, pensa e realiza essas atividades educacionais, desta forma, o professor poderá intervir, colaborar e orientar esse estudante. (HOFFMANN7, 2001, apud LOPES, 2004, p.19)
As três modalidades de avaliação foram descritas por Lopes (2004),
inspirado em Bloom et al8 (1985):
Avaliação Diagnóstica: tem como objetivo identificar alunos com padrão aceitável de conhecimentos, constatar as deficiências em termos de pré-requisitos e as particularidades dos alunos. Ao identificar os alunos com problemas de aprendizagens, o correto é propor atividades com vistas a superar tais deficiências e isso faz com que se individualize o processo. Em suma, é uma preparação inicial para a aprendizagem;
Avaliação Formativa: esta é contínua e ocorre durante o processo de instrução, incluindo todos os conteúdos importantes, fornecendo feedback ao aluno no tocante ao que ele aprendeu e do que precisa
7 HOFFMANN, Jussara. Avaliação Mediadora: uma prática em construção da pré-escola à Universidade. 8ª ed. Porto Alegre: Mediação, 1996.
8 BLOOM, B., Hastings e Madaus. Handbook on Formative and Somativa Evaluation of Student Learningl New York: McGraw-Hil Book Company. Manual de Avaliação Formativa e Somativa do Aprendizado Escolar. São Paulo: Pioneira Editora, 1971.
25
aprender, fornecendo feedback ao professor quanto à identificação das falhas dos alunos e quais os aspectos da instrução que devem ser modificados, buscando o atendimento às diferenças individuais dos alunos e, ainda, prescrevendo medidas alternativas para a recuperação de falhas de aprendizagem. Resumidamente, é uma verificação da existência de dificuldades por parte do aluno durante a aprendizagem;
Avaliação Somativa: ocorre ao final da instrução com a finalidade de verificar o que o aluno efetivamente aprendeu; inclui conteúdos mais relevantes e os objetivos mais amplos do período de instrução; visa à atribuição de notas; fornece feedback ao aluno; presta-se à comparação de resultados obtidos com diferentes alunos, métodos e materiais de ensino. Enfim, há um controle se os alunos atingiram os objetivos fixados previamente. (LOPES, 2004, p.21)
1.2.2 Diretrizes Curriculares Nacionais (DCN)
Como competências a serem desenvolvidas pelo graduando em
Matemática nas Diretrizes Curriculares Nacionais para os cursos de
Matemática, Bacharelado e Licenciatura (DCN), são citadas “o raciocínio
lógico, a postura crítica e a capacidade de resolver problemas” (DCN, Brasil,
2001, p.1).
Entendemos que atividades que proponham trabalhos com as
demonstrações podem contribuir para o desenvolvimento do raciocínio lógico-
dedutivo do aluno, preparando-o melhor para entender e interagir criticamente
com a sociedade em que vive.
Nas Diretrizes Curriculares Nacionais, além da indicação para o
estudo de Fundamentos de Geometria, é recomendada a necessidade de
conhecimentos de “Física Geral e noções da Física Moderna, como forma de
possibilitar ao bacharelando o estudo de uma área na qual historicamente o
uso da Matemática é especialmente significativo” (DCN, Brasil, p.5). Desse
modo, percebemos que o conhecimento da Geometria Hiperbólica contribui
para o entendimento das noções da Física Moderna, sendo essencial para a
compreensão de seu desenvolvimento histórico. Podemos citar ainda os
recentes estudos da Geometria Hiperbólica aplicada à área de
telecomunicações que reafirmam sua importância atual (SOUZA, 2005).
26
Em linhas gerais, optamos pela inclusão, no link Tópicos Históricos,
das influências que a Física Moderna sofreu, após a nova concepção do
espaço, que surgiu com a apresentação das novas geometrias.
1.2.3 Publicações (livros e artigos) sobre a Geometria H iperbólica
Como parte dos estudos preliminares, pesquisamos as publicações
(livros ou artigos) em língua portuguesa que abordam a Geometria Hiperbólica,
sob a ótica histórica, filosófica ou matemática. Preocupamo-nos, também, em
verificar quais, eventualmente, se propunham a expor as demonstrações dos
principais teoremas dessa Geometria, com os axiomas de Euclides ou de
Hilbert, seu público-alvo e a preocupação didática da obra.
1. AVILA, G. Legendre e o postulado das paralelas. Revista do
Professor de Matemática. n. 22. p.16-28. 1992
Geraldo Ávila nos lembra que o trabalho de um pesquisador pode
conter também publicações com erros que, posteriormente, serão revistos por
ele ou por outros investigadores. O artigo objetiva descrever as tentativas de
Legendre em provar o V postulado e suas várias publicações feitas no sentido
de corrigir as anteriores. Por fim, ele nos remete a algumas reflexões sobre o
ensino de geometria.
Depois de uma introdução biográfica de Legendre, o autor introduz o
postulado de Palyfair, como sendo equivalente ao V postulado de Euclides.
Descreve a obra Elementos e apresenta, em linguagem atual, os cinco
postulados e as proposições XVI, XVII e XXVII, devidamente demonstradas.
Em seguida, é provada a equivalência entre os postulados de
Euclides e de Playfair e, então, o autor propõe o postulado de Legendre e sua
demonstração. Finalmente, o erro do matemático é apresentado.
Ávila faz uma crítica afirmando que “a axiomatização da Geometria é
tarefa longa, que requer bastante tempo e não cabe no 2º grau [atual Ensino
Médio]. O professor de segundo grau, sim, deve ser informado além daquilo
27
que ensina, inclusive sobre fundamentos e axiomática, justamente para que
possa ter senso crítico que o auxilie a decidir sensatamente sobre o que deve
ensinar e como”.
2. BARBOSA, João Lucas, M. Geometria Hiperbólica, Rio de
Janeiro: IMPA, 1985. 167p.
Segundo a apresentação do livro, este destina-se a servir de texto a uma
disciplina de Geometria não-euclidiana dirigida a alunos de cursos de licenciatura e
bacharelado em Matemática. O autor propõe-se a apresentar uma continuação de
seu livro Geometria Euclidiana Plana (Rio de Janeiro: SBM, 1985, Coleção
Fundamentos da Matemática Elementar).
A obra apresenta um capítulo inicial sobre os fundamentos da Geometria
Euclidiana e expõe a axiomática de Euclides. O capítulo seguinte destina-se a
apresentação de algumas das proposições equivalentes ao quinto postulado. Na
seqüência, é dado um enfoque histórico, no qual os trabalhos antecessores ao
surgimento das outras geometrias são apresentados. As proposições de Ptolomeu,
Proclus, Nasir-Edin, Wallis, Saccheri e Lambert são discutidas.
O próximo capítulo destina-se à apresentação de alguns teoremas de
Legrendre, entre eles, sua tentativa de provar o quinto postulado. A descoberta da
nova Geometria é apresentada no capítulo 5, em um contexto histórico, e é mostrada
a influência dos trabalhos de Gauss, Bolyai e Lobachewsky. No capítulo 6, os
principais teoremas da Geometria Hiperbólica são apresentados, com as
devidas demonstrações. O capítulo 7 é dedicado à trigonometria hiperbólica e,
finalmente, o último capítulo, trata da consistência dessa geometria,
apresentando o modelo de Poincaré.
3. BARKER, S.F. Filosofia da Matemática. Rio de Janeiro:
Zahar, 1969. 141p. (Curso Moderno de Filosofia).
Baker apresenta algumas considerações sobre os conhecimentos a
priori e o empírico. Em seguida, analisa a obra de Euclides sob a ótica kantiana
28
e expõe a maneira moderna de encarar os sistemas dedutivos. Levanta alguns
postulados substitutivos do V postulado, o trabalho de Saccheri, a importância
de Gauss e o surgimento das geometrias não-euclidianas feita por
Lobachewsky e Bolyai. Comenta sobre o sentido de consistência de um
sistema. Apresenta o conceito de geometria interpretada e seu caráter empírico
e a priori.
O livro apresenta uma visão geral da revolução que sofreu a
Matemática, influenciada pelas concepções filosóficas.
4. BRITO, Arlete de Jesus e MORAES, Lafayette. A obra de
Gerolamo Saccheri e a história da geometria não-euclidiana.
Zetetiké, Campinas, CEMPEM, v. 6, n.10, jul-dez 1998.
O artigo tem uma preocupação histórica e destina-se à tradução de
parte do livro9 de Gerolamo Saccheri e são tecidos comentários sobre o V
postulado de Euclides. Brito e Moraes justificam esse trabalho, citando a
importância histórica da obra, seu caráter inovador, pois, segundo os autores,
“foi o primeiro geômetra ocidental a tentar uma demonstração por absurdo”.
Acrescentam ainda a interferência da crença de Saccheri na veracidade da
obra de Euclides, impedindo-o de admitir a existência de outras geometrias,
que estavam se descortinando no decorrer de suas descobertas e, ainda,
ressaltam a dificuldade de encontrar textos traduzidos para o português,
referentes às outras geometrias10.
O prefácio da obra é apresentado, e Saccheri ressalta a importância
dos Elementos, cita três de suas imperfeições, uma delas versa sobre o V
postulado (livro I). O autor não questiona sua veracidade, mas refere que
Euclides assumiu esse postulado como se fosse auto-evidente, e o fato de
9 Euclides ab omni naevo vindacutus: sive conatus geometricus quo stabiliuntur prima ipsa universae Geometriae Principia (Milão, 1733)
10 Brito deparou-se com essa dificuldade quando da elaboração de sua dissertação de mestrado.
29
somente o utilizar a partir do teorema 29 fez surgir nos matemáticos o desejo
de torná-lo um teorema.
Quatro proposições da obra são traduzidas, bem como as
demonstrações, que tratam de seu trabalho com os quadriláteros, na tentativa
de dar uma nova redação ao V postulado e torná-lo, finalmente, aceito.
5. COSTA, Manuel Amoroso. As Ideias Fundamentaes da
Mathematica. Rio de Janeiro: Pimenta de Mello, 1929. 246p.
O reconhecido matemático do início do séc. XX escreveu sobre as
questões filosóficas da Matemática. Dedicou o capítulo XVII às geometrias não-
euclidianas e não-archimedianas, mas não avaliamos seus comentários sobre esta
última.
Um esboço histórico é apresentado, no qual se define o que se entende
por geometrias não-euclidianas, as tentativas de demonstração do V postulado em
que são lembrados os trabalhos de Ptolomeu, Proclo, os matemáticos árabes e
Wallis. A obra de Saccheri evidencia que a questão foi tratada, utilizando a redução
por absurdo. Ressalta o trabalho pioneiro de Gauss, embora não publicado e cita a
descoberta de Lobachewsky e Bolyai.
Costa dedicou-se a apresentar a noção de paralelismo nas três
geometrias: Euclidiana, Hiperbólica e a de Riemann. Em seguida, expõe as principais
características das geometrias lobachewskiana e riemanniana e apresenta as
relações entre as três geometrias.
Antes de explanar sobre as geometrias não-archimedianas, o autor afirma
que
Em suma, compete ao físico, e não ao geômetra, escolher o tipo de geometria que melhor convenha à representação dos fenômenos naturais, quando mesmo tenha de recorrer a uma concepção pouco conforme ao senso comum. Mas o geômetra é livre de erguer as suas construções abstratas, respeitando apenas as leis da razão.(COSTA, 1929, p.210)
30
6. COSTA, Sueli I. Rodrigues & SANTOS, Sandra Augusta.
Geometrias não-euclidianas. Ciência Hoje. v. 11, n. 65, p.14-
23, Ag./90.
O artigo tem um enfoque histórico, comentando sobre a geometria na
Grécia, o trabalho de Euclides, as controvérsias do V postulado, os trabalhos de
Saccheri, Lambert, Bolyai, Lobachewsky e Riemann. Comenta ainda sobre os
modelos desenvolvidos por Beltrami, Klein e Poincaré.
Apresenta um quadro sobre o trabalho de Hilbert, intitulado “Hilbert e
a ratificação de Euclides”, em que apresenta a axiomática hilbertiana para as
três geometrias: euclidiana, hiperbólica e elíptica e argumenta sobre suas
consistências. Na seqüência, explora a construção dos modelos construídos
em cartolina.
Finalmente, apresenta no quadro “Medindo Dessemelhanças” a
possibilidade de se utilizar um modelo hiperbólico semelhante ao de Poincaré,
para representar a curva de distribuição normal, considerando a noção de
distância de Fisher.
7. COUTINHO, Lázaro. Convite às Geometrias não-Euclidianas.
Rio de Janeiro: Interciência. 2001.
Conforme o autor, o livro destina-se a um leitor com formação pré-
universitária ou interessado em geometria. Elaborado em uma linguagem
acessível, no final de cada capítulo alguns exercícios são deixados ao leitor.
Como introdução, temos a apresentação de um método axiomático, seguido
dos axiomas e postulados de Euclides. Uma breve introdução histórica sobre o
questionamento do V postulado é feita para introduzir a possibilidade dos dois
tipos clássicos de geometrias não-euclidianas: a Hiperbólica e a Elíptica.
O capítulo II é destinado à apresentação da Geometria Hiperbólica.
Algumas passagens históricas são citadas e a importância dos trabalhos de
Gauss, Bolyai e Lobachewsky. O primeiro postulado dessa geometria é
exposto com sua representação na pseudo-esfera. Em seguida, são mostrados
31
os modelos de Felix Klein e Poincaré. Os principais teoremas são
apresentados e devidamente demonstrados nos capítulos III (Pontos e
Triângulos Impróprios), IV (Quadriláteros e Triângulos), V (Ponto Ultra-Ideal e
Conceito de Área) e VI (Curvas).
Os demais capítulos tratam da exposição da Geometria Elíptica, que
não estaremos observando neste trabalho.
8. EVES, Howard. História da Geometria. Tradução de Hygino
H. Domingues. 8 ed. São Paulo: Atual, 1992. 77 p. v.3.
(Tópicos da História da Matemática para uso em sala de
aula).
Em razão da preocupação de se inserir a história da Matemática no
ensino dessa disciplina, esta série, elaborada em uma linguagem simples, tem
a pretensão de contribuir com uma nova proposta, sendo apresentadas
passagens importantes da história da Matemática elementar. Segundo o
tradutor, a proposta tem a preocupação de criar um texto no qual os pré-
requisitos do leitor não são considerados; contemplar temas de valor
matemático significativo a todos os níveis escolares; fornecer material para uso
imediato na sala de aula; e, finalmente, ser um texto motivador para que os
professores e alunos possam buscar outros textos de caráter histórico. Toda a
série consta de duas partes: uma visão geral, “com o objetivo de dar ao leitor
um quadro tão amplo quanto possível do desenvolvimento histórico da área
focalizada” e uma visão mais específica, que visa a “tornar facilmente
acessíveis fatos pertinentes relativos a importantes teoremas, conceitos e
avanços em Matemática”.
São destinadas cerca de duas páginas voltadas à história da
geometria não-euclidiana, de Alice I. Robold. Acreditamos que, sendo um tema
que não consta como conteúdo dos Ensinos Médio e Fundamental, não há a
preocupação de mostrar o assunto com mais detalhes, embora o resumo
histórico seja preciso.
32
Após a apresentação do V postulado, são citados os principais
matemáticos que tentaram prová-lo como teorema e é dada ênfase no trabalho
de Saccheri. A seguir, são citados os descobridores da Geometria Hiperbólica
e os trabalhos de Riemann.
O texto ressalta a importante contribuição do desenvolvimento de
outras geometrias para a revisão dos fundamentos da Matemática.
9. KASNER, E. e NENNAN, J. Matemática e imaginação.
Tradução de Jorge Fortes. Rio de Janeiro: Zaha, 1968. 347p.
É um livro destinado a leitores comuns e pode ser lido por alunos do
ensino médio. No capítulo Geometrias Diversas – Plana e Fantasia, os autores
apresentam em linguagem acessível a quarta dimensão no sentido matemático
e físico, introduzindo o conceito de “agregado” e discutindo sobre nossas
limitações sensoriais. Em seguida, expõe a idéia principal das geometrias não-
euclidianas: o questionamento do quinto postulado e a possibilidade de
substituí-lo. Em uma visão histórica, apresentam os trabalhos de Bolyai e
Lobachewsky que consideraram a existência no plano de duas linhas paralelas,
por um ponto, a uma terceira. Da mesma forma, apresentam o trabalho de
Riemann que considerou que, por um ponto do plano, não se pode traçar
nenhuma paralela a uma reta dada. Citam alguns teoremas euclidianos válidos,
e outros não válidos nessas geometrias. Na seqüência, introduzem algumas
superfícies (da pseudo-esfera e esférica) e apresentam de forma intuitiva o
conceito de curvatura.
10. MARTINS, Roberto de Andrade. A influência das Geometrias
Não-Euclidianas no pensamento físico do século XIX. Revista
da Sociedade Brasileira de História da Ciência. Jan.-Jun.,
n.13, p. 67–79, 1995.
Segundo o autor, o objetivo do artigo “consiste em discutir de que modo
as geometrias não-euclidianas foram empregadas na Física antes do início do séc.
33
XX”. O artigo inicia pelo conceito de espaço-tempo e são apresentadas algumas
referências históricas sobre a consideração do tempo como a quarta dimensão, a
partir do séc. XVIII. Na seqüência, são apresentadas uma abordagem clássica e uma
abordagem diferencial sobre as geometrias não-euclidianas. O texto é finalizado com
a seguinte observação: “Foi apenas com o desenvolvimento da teoria da relatividade
que surgiu, como uma proposta física propriamente dita, a utilização da geometria
não-euclidiana na descrição dos fenômenos naturais”.
11. OLIVA, W.M. A independência do axioma das paralelas e as
Geometrias não-euclidianas. Revista do Professor de
Matemática, São Paulo, n.2, p.28 – 31, 1º sem.1983.
Conforme nota da revista, o trabalho foi o texto de uma conferência
proferida em Presidente Prudente (SP), pelo então reitor da USP (Universidade de
São Paulo), por ocasião da aula inaugural do curso de Matemática, em 1981.
O texto expõe brevemente a abrangência da Geometria: a necessidade
prática dos povos antigos, a axiomatização grega, geometria analítica, geometria
diferencial, geometria projetiva e a topologia diferencial.
Em seguida, apresenta o V postulado, cita o trabalho de Saccheri e as
descobertas de Gauss da possibilidade de outras geometrias. Apresenta as primeiras
publicações de Lobachewsky e Bolyai e ainda os trabalhos de Riemann.
Finalmente, expõe o modelo do semiplano de Poincaré para a Geometria
Hiperbólica.
É um texto breve que, provavelmente, tenha despertado interesse
nos ouvintes por descortinar possibilidades que os alunos, recém-chegados à
universidade, talvez não imaginassem.
12. SOUZA, J.C.M. O escândalo da geometria. RJ: Gráfica Ed.
Aurora. 1948.
O texto tem uma preocupação em expor a parte histórica do
desenvolvimento das outras geometrias. Inicialmente, o autor apresenta o método
34
euclidiano, descrevendo os cinco postulados, seguidos das tentativas de
demonstrações do V postulado. Na seqüência, descreve os trabalhos de Saccheri,
Lambert e Gauss. Finalmente, apresenta em linhas gerais a obra de Lobachewsky e
Bolyai. Os modelos de Beltrami e de Poincaré (no semiplano) são descritos
seguidos de uma discussão sobre o espaço e a geometria e ainda sobre a
indemonstrabilidade do V postulado. O trabalho de Riemann, o universo e a
geometria, a curvatura das superfícies, os espaços homogêneos são outros
argumentos tratados no texto.
O levantamento da literatura disponível reforça o número reduzido
de publicações voltadas ao estudo axiomático dessa geometria. Em nossa
pesquisa, tal levantamento contribuiu para listar as obras de Barbosa (1985) e
Coutinho (2001), em complemento a outras obras não editadas em língua
portuguesa, como referencial da proposta. O trabalho de Barker (1969)
enriqueceu a apresentação histórico-filosófica do presente estudo.
1.2.4 Dissertações sobre a Geometria Hiperbólica
Uma análise similar à feita na literatura foi elaborada para as
dissertações.
1. ARCARI, Inedio. Um texto de Geometria Hiperbólica. 2008.
Dissertação (Mestrado em Matemática) – Universidade Estadual
de Campinas, Campinas.
Arcari propõe um texto introdutório sobre a Geometria Hiperbólica
indicado para os cursos de licenciatura e bacharelado de Matemática. O texto
incorpora notas históricas e perpassa pelos dois modelos hiperbólicos de Poincaré,
de Klein, Beltrami, e outros da Geometria Elíptica, que não analisamos. Explora os
principais conceitos dessa geometria e conclui com uma explanação sobre a
trigonometria hiperbólica. O autor cita ainda que o estudo da Geometria Hiperbólica
foi facilitado com os softwares de geometria dinâmica, relacionando o Cabri-
35
Géomètre, GeoGebra e o NonEuclid. Ele utiliza este último em algumas das
construções apresentadas.
2. BONETE, Izabel Passos. As geometrias não-euclidianas em
cursos de licenciatura: algumas experiências. 2000. Dissertação
(Mestrado em Educação) – Universidade Estadual de Campinas,
Campinas.
A dissertação de Bonete é voltada a uma reflexão e discussão sobre o
ensino das geometrias não-euclidianas nos cursos de licenciatura, fato que poderia
melhor preparar os futuros professores não só para o ensino da Geometria Euclidiana
como também para ampliar a possibilidade do estudo das outras geometrias nos
Ensinos Fundamental e Médio.
Uma pesquisa bibliográfica e empírica foi elaborada com trabalho de
campo. A geometria não-euclidiana foi apresentada por meio de três experiências em
diferentes salas de aula, em duas turmas do primeiro ano do Curso de Ciências-
Licenciatura Plena e uma turma do segundo ano do Curso de Ciências Licenciatura-
Curta. Optou-se pelo uso de material concreto nas atividades propostas, como esfera
de isopor (plano esférico), chuveiro (plano hiperbólico), fitas adesivas para a
representação de retas que se mostraram úteis nos processos de investigação.
O capítulo I apresenta um levantamento da situação do ensino de
geometria no Brasil, o que levou a autora a optar pelo construtivismo em suas
atividades. O capítulo II mostra o estudo bibliográfico a respeito das mudanças
qualitativas ocorridas na geometria. O último capítulo relata o contexto filosófico que
permitiu o surgimento de outras geometrias, bem como a experiência e os resultados
da pesquisa.
Nas considerações finais a autora afirma que
Ao realizar três experiências em diferentes salas de aula, constatou-se que o ensino das geometrias não-euclidianas nestes cursos, pode proporcionar aos futuros professores, mudanças nas concepções de verdade Matemática e espaço, uma visão mais ampla dos conhecimentos geométricos euclidiano e não-euclidiano e uma compreensão do significado filosófico desses conhecimentos. (BONETE, 2000, p.229)
36
Na seqüência, a autora complementa que o conhecimento de outras
geometrias
Permitirá a melhoria da qualidade do ensino da Geometria Euclidiana e possibilitará também a inclusão dessas geometrias nesses níveis de ensino [fundamental e médio], uma vez que, com esse conhecimento não terão a Geometria Euclidiana como a única geometria possível e verdadeira, mas como, uma das possíveis e verdadeiras. (BONETE, 2000, p.229)
3. BRITO, Arlete de Jesus. Geometrias não-euclidianas: um
estudo histórico-pedagógico. 1995. 187f. Dissertação
(Mestrado em Educação) - Universidade Estadual de Campinas,
Campinas.
Brito apresenta um estudo histórico-pedagógico voltado à
reconstituição histórica do surgimento das geometrias não-euclidianas.
Simulando o andamento de uma sala de aula, a professora e quatro alunos, de
um suposto curso de licenciatura em Matemática, inicialmente, vão
apresentando a Geometria Euclidiana, as tentativas de demonstração do V
postulado e a influência de Kant para o surgimento das outras geometrias.
Preocupam-se em apresentar os contextos filosóficos e culturais desde os
gregos do séc. V a. C., até Kant no séc. XIX. A obra apresenta alguns dos
principais teoremas da Geometria Hiperbólica com as devidas demonstrações,
mas seu foco é a compreensão do contexto que possibilitou uma nova
concepção da geometria.
Sua proposta, de um estudo histórico-pedagógico, pode ser
explicada no texto de Miguel:
Para poderem ser pedagogicamente úteis, é necessário que histórias de Matemática sejam escritas sob o ponto de vista do educador matemático. Tais histórias, no meu modo de entender, tentariam e tenderiam a privilegiar certos temas e não outros, determinados problemas e métodos e não outros, a enfatizar a reconstituição, não tanto dos resultados matemáticos, mas dos contextos epistemológicos, psicológicos, sócio-político e culturais de sua produção, contribuindo, desse modo, para a explicação das relações que a Matemática estabelece com a sociedade, em geral, e com as
37
diversas atividades teóricas especificas e práticas produtivas setorizadas.(MIGUEL11, 1993, apud BRITO, 1995, p. 173)
4. CABARITI, Eliane. Geometria Hiperbólica: uma proposta didática
em ambiente informatizado. 2004. 180f. Dissertação (Mestrado em
Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica, São
Paulo.
Este trabalho visa a contribuir com o processo de ensino e aprendizagem
da Geometria Hiperbólica, propondo seqüências didáticas, com o uso do software
Cabri-géomètre, para um curso de formação de professores de Matemática.
Segundo a apresentação de Cabariti,
Nossas análises baseiam-se em dois aspectos: a dinâmica das trocas entre os domínios geométricos – Geometria Euclidiana e Hiperbólica – além de interações entre os campos espaço-gráfico e teórico, e o papel do Cabri como ferramenta de construção, exploração e verificação, especialmente relacionadas aos ”modos de arrastar”. (CABARITI, 2004, p. 16)
É feita uma breve introdução histórica da Geometria Euclidiana, das
geometrias não-euclidianas e do modelo do disco de Poincaré, este último necessário
para a utilização do menu hiperbólico do software.
Em seguida, a autora apoiada nas pesquisas em Educação Matemática,
apresenta a distinção entre desenho e figura e versa sobre a importância que o
desenho associado ao objeto geométrico exerce na formação da imagem mental. Os
aspectos didáticos da utilização de ambientes de geometria dinâmica são abordados,
bem como o papel dos diferentes modos de “arrastar” no processo de raciocínio do
aluno.
A metodologia utilizada é qualitativa, e na elaboração das seqüências foi
empregado um tipo de método clínico (model eliciting ou thought revealing).
A proposta previu uma apresentação histórica inicial aos professores que
conteve: o livro I dos Elementos, os enunciados equivalentes ao V postulado, a
Geometria Absoluta, a interpretação dos objetos hiperbólicos no disco de Poincaré.
11 MIGUEL, A. Três estudos sobre história e educação matemática. 1993.Tese (Doutorado em
38
Resumindo as demais atividades propostas temos: atividade de familiarização com o
menu hiperbólico; investigações utilizando o software (soma das medidas dos
ângulos internos de um triângulo, congruência dos ângulos da base de um triângulo
isósceles, medida dos ângulos internos de um triângulo eqüilátero, teorema de
Pitágoras, inscrição de triângulos na circunferência, propriedade das medianas de um
triângulo); Quadrilátero de Saccheri; Quadrilátero de Lambert; construção dos objetos
hiperbólicos (retas, ângulos) no modelo de disco de Poincaré.
Como resultados da pesquisa, a autora ressalta a importância de um
ambiente dinâmico que favoreceu a compreensão dos conceitos e relações. Cita,
também, a insegurança dos pesquisados na construção de objetos hiperbólicos, por
não serem intuitivos e a dúvida sobre os teoremas que compõem a Geometria
Absoluta.
5. LINS, Geraldo Henrique Botelho. Introdução à Geometria
Hiperbólica: Semelhanças e Diferenças. 2002. 200 f. Dissertação
(Mestrado em Matemática Aplicada) - Universidade Federal do Rio
de Janeiro, Rio de Janeiro.
O capítulo I destina-se a uma apresentação histórica dos Elementos,
como proposta de um método axiomático, seguido por mais de dois mil anos. Cita
suas falhas e a proposta de Hilbert para saná-las.
No capítulo II, são apresentadas as noções comuns, postulados de
Euclides, Axioma de Dedekind e as tentativas de prova direta do V postulado
(Proclus, Clavius, Clairaut, Simson, Playfair). O estudo da Geometria Hiperbólica é
feito a partir dos Fundamentos de Geometria de Hilbert, cujos postulados (incidência,
ordem, congruência e continuidade) são apresentados.
O capítulo III é destinado à apresentação da Geometria Hiperbólica.
Inicialmente, são mostrados os principais matemáticos envolvidos em sua descoberta
(Gauss, Bolyai, Lobachewsky), e a caracterização do plano hiperbólico. Os principais
teoremas dessa Geometria são apresentados e devidamente demonstrados neste e
no capítulo seguinte.
Educação) – Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas, Campinas.
39
Na seqüência, os capítulos são destinados às isometrias do plano
hiperbólico, à sua métrica, à aritmética dos pontos ideais e, finalmente, à
trigonometria hiperbólica.
No capítulo X, o autor propõe uma comparação entre as Geometrias
Hiperbólica X Euclidiana, tendo como objetivo mostrar que muitos dos teoremas de
Euclides são também válidos na Geometria Hiperbólica.
No último capítulo, destinado à Construções com Régua e Compasso,
Lins preocupa-se em fornecer uma base teórica para as construções apresentadas,
segundo o livro The Non-Euclidean Hiperbólica Plane, de Paul Kelly.
6. SOUZA, Márcia Cristina Garrido. O 5º Postulado de Euclides:
a Fagulha que Desencadeou uma Revolução no Pensamento
Geométrico. 1998. 225p. Dissertação (Mestrado em
Matemática) - Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de
Janeiro.
Segundo a autora, o trabalho analisa o 5º Postulado de Euclides sob
três pontos de vista: o matemático, o histórico e o qualitativo. O conhecimento
dos professores sob o tema é analisado, bem como a influência dos livros
didáticos no ensino de Geometria e, ainda, examina a importância das
geometrias não-euclidianas para a atualidade.
Em uma pesquisa qualitativa, são entrevistados 35 alunos de
graduação e 30 professores de Matemática para investigar questionamentos a
respeito do conhecimento dos pesquisados sobre o tema, o ensino das
demonstrações nos cursos de graduação, as concepções dos professores de
geometria a respeito da problemática gerada pelo Axioma das Paralelas e
ainda a abordagem do tema nos livros didáticos.
O capítulo I destina-se à apresentação histórica da Geometria desde
a antiguidade até o surgimento das outras geometrias, incluindo as várias
tentativas em provar o 5º Postulado ao longo da história. Apresenta a
axiomatização de Euclides e de Hilbert. O capítulo II apresenta a Geometria
40
Hiperbólica e a Elíptica. A Geometria Diferencial é utilizada para demonstrar
que tais geometrias são completas.
A partir dos dados levantados na pesquisa, o capítulo seguinte
apresenta as concepções dos entrevistados a respeito do tema bem como a
pertinência desse conteúdo em todos os níveis de ensino. Mostra ainda a
descrição das atividades propostas e, finalmente, uma análise da Geometria
em seis livros didáticos, de épocas diferentes (1933-1997), que foram
influenciados pelas correntes pedagógicas em vigor na época. A conclusão
final é listada no capítulo IV, após a apresentação do estudo de caso.
Como resultado da pesquisa, a autora afirma que
Os alunos de graduação em Matemática, geralmente, não conseguem ver relações entre as disciplinas que estudam e – no caso dos alunos de licenciatura - entre estas e o que irão lecionar. (SOUZA, 1998, p.172)
Pelos resultados das atividades que envolviam argumentação e
demonstrações a pesquisadora concluiu que a origem do despreparo dos
entrevistados deve-se
a uma atitude não questionadora, infelizmente comum aos nossos alunos. Esse é um fator que apóia-se tanto na postura passiva do graduando quanto na afirmação da autoridade do saber do professor de 3º grau. Por exemplo, se a demonstração – um dos “choques” universitários para alunos da área de exatas – surgisse naturalmente, desde cedo, como conseqüência de uma dúvida, de uma conjectura não confirmada, isto é, da real necessidade de fazê-la, as argumentações apareceriam e, provavelmente, demonstrar tornar-se-ia um hábito. (SOUZA, 1998, p.173)
7. TERDIMAN, Esther Wajskop. A Geometria Hiperbólica e sua
consistência. 1989. 203 p. Dissertação (Mestrado em
Matemática). Pontifícia Universidade Católica, São Paulo.
É um trabalho rigoroso sob orientação do professor Doutor Benedito
Castrucci e apresenta uma breve introdução histórica das origens da
Geometria, do sistema axiomático de Hilbert e das tentativas de demonstração
do V postulado.
41
Posteriormente, apresenta os principais teoremas da Geometria
Hiperbólica, devidamente demonstrados. Expõe o modelo de Beltrami-Klein e
os dois modelos de Poincaré apresentando a consistência dessa Geometria.
Da leitura das dissertações, extraímos alguns aspectos relevantes
que contribuíram diretamente na elaboração da presente pesquisa: Brito
(1995), reforça a importância histórica do surgimento de outras geometrias na
formação do futuro educador. Souza (1998) mostra como resultado de sua
pesquisa a importância da apresentação das demonstrações nos primeiros
níveis escolares diminuindo, assim, o “choque” sofrido no ingresso da
universidade. Entendemos que os resultados de pesquisas didáticas voltadas a
uma aprendizagem axiomática podem contribuir para que os educadores
compreendam e minimizem esse “choque”.
Bonete (2000) relata que sua experiência emergiu nos professores
uma mudança das concepções de espaço físico e verdade Matemática, o que
ratificou nossa inserção nos Tópicos Históricos dos subtítulos: Geometria e
Espaço Físico e a Influência do surgimento das geometrias não-euclidianas na
Física Moderna.
Cabariti (2004) expõe em seus resultados a influência positiva de um
ambiente dinâmico na apreensão dos conceitos apresentados. As dúvidas
demonstradas pelos pesquisados sobre quais teoremas compõem a Geometria
Absoluta, reforçam a importância de explicitá-los no início de nossas
atividades. Em sua proposta para o estudo da Geometria Hiperbólica, Arcadi
(2008) ressalta a contribuição do uso de softwares dinâmicos. Das publicações
na área da educação, comentadas nestes parágrafos em ordem cronológica,
podemos observar uma crescente importância dada ao fato de se incluir no
programa dos educadores de Matemática uma visão não só histórica como
geométrica das outras geometrias.
Os trabalhos na área de Matemática de Terdiman (1989) e Lins
(2002), pioneiros na apresentação axiomática da Geometria Hiperbólica, foram
42
enriquecedores não só quanto ao conteúdo matemático, mas também quanto
às suas respectivas abordagens.
1.2.5 Descrição de alguns Softwares que possibilitam o e studo da
Geometria Hiperbólica
A geometria dinâmica12 é uma das ferramentas que apareceram nos
últimos anos, afetando diretamente o ensino de Geometria, que permite uma
construção geométrica seguida da movimentação de seus elementos, sem que
as construções (propriedades geométricas) sejam desrespeitadas. As figuras
geométricas de estáticas passam a adquirir movimento e podemos citar alguns
benefícios como a exploração de situações, interatividade, visualização,
rapidez e uma nova possibilidade do estudo das transformações e dos lugares
geométricos.
Vemos emergir uma nova forma de ensinar e aprender Geometria; a partir de exploração experimental viável somente em ambientes informatizados, os alunos conjecturam e, com o feedback constante oferecido pela máquina, refinam ou corrigem suas conjecturas, chegando a resultados que resistem ao “desenho em movimento”, passando então para a fase abstrata de argumentação e demonstração Matemática. (GRAVINA, 1996, p.1)
Relatamos os principais softwares não gratuitos que existem no
mercado que possibilitam o estudo da Geometria Hiperbólica e suas principais
características, que serviram de base para a escolha do programa utilizado no
desenvolvimento desta proposta.
1. O Cabri-Géomètre13 II é dinâmico, foi criado na França, na
Universidade Joseph Fourier, em Grenoble, por Yves Baulac,
Frank Bellemain e Jean-Marie Laborde (Laborde & Bellemain,
12 A denominação Geometria Dinâmica (dynamic geometry) é marca registrada da Key Curriculum Press.
13 A denominação Cabri é originada do francês Cahier de Brouillon Informatique (caderno de rascunho informático).
43
1994), é disponível em seis línguas e compatível com várias
plataformas. Tem o CabriJava como ferramenta de
exportação das construções para a Web que possibilita
construções prévias que podem ser inseridas nos menus e
utilizadas em outras construções (macro construções).
Existem também menus para o estudo de outras geometrias.
Em especial, para a Geometria Hiperbólica o menu pode ser
extraído do site http://www-
cabri.imag.fr/abracadabri/GeoNonE/GeoNonE.htm. É o software
mais conhecido no Brasil, foi distribuído gratuitamente para a
rede estadual de ensino.
Figura 1.1: construção geométrica com o software Cabri-Géomètry
2. O Cinderella foi criado na Alemanha por Jϋrgen Richter-
Gebert e Ulrick Kortenkamp (Gerbet & Kortenkamp; 1996-
2003), é dinâmico e escrito na linguagem JAVA (Sum
Microsystems – 1992). Seu principal diferencial é a
exploração da mesma construção em diferentes geometrias
(Euclidiana, Hiperbólica e Esférica) e a facilidade para salvar
44
as construções como página HTML para disponibilização na
Internet. O modelo hiperbólico (disco de Poincaré) faz parte
do software (suporte nativo), não sendo necessária sua
construção. Permite a elaboração de exercícios interativos
com sugestões e posterior verificação automática da solução.
Este software foi distribuído às escolas de Portugal e é mais
utilizado na Europa.
Figura 1.2: construção geométrica com o software Cinderella
3. The Geometer’s Sketchpad (Jackin, 1990) ou GSP é
dinâmico, foi desenvolvido por Nicolas Jackiw nos Estados
Unidos da América (USA), sendo comercializado pela Key
Curriculum Press e é semelhante ao Cabri. Possui
possibilidade de estudo da Geometria Hiperbólica no modelo
de Poincaré. Converte as construções para HTML, utilizando
o JavaSktchpad, como ferramenta de exportação para a Web.
45
Figura 1.3: construção geométrica com o software Sketchpad14
4. NonEuclid é um software “estático” criado por J. Castellanos
(1994-2002) permite o estudo da Geometria Hiperbólica nos
dois modelos de Poincaré: o disco e o semiplano. Apresenta
uma versão em espanhol e outra em italiano.
Figura 1.4: construção geométrica com o software NonEuclid
14 Extraído de: http://toledo.pcc.usp.br/pdf/graphica2000_software.pdf. Acesso em 21 dez. 2006.
46
Existem também alguns softwares estáticos específicos para o
estudo da Geometria Hiperbólica, pouco divulgados no Brasil, entre eles, o
Poincaré Disc, (George D. Parker) e o PoincaréDraw, (Robert L. Foote, 1998),
freqüentemente, empregados na construção de tesselações.
Poincaré Disc PoincaréDraw
Figura 1.5: construções geométricas com os softwares Poincaré Disc e PoincaréDraw15
Educadores experientes refletem sobre o uso dessas tecnologias em
sala de aula, apresentam preferências em relação aos softwares, classificando-
os segundo a faixa etária dos alunos, a interatividade, o conteúdo matemático e
a contribuição no ensino.
[...] os programas de geometria dinâmica contribuem para que o ensino da geometria constitua uma verdadeira experiência Matemática para os alunos... não se pode querer melhor renovação para o ensino do que esta! [...] Quanto ao Cinderella, acho que nesta versão inicial a sua utilização preferencial deva ser feita de acordo com aquilo que o distingue positivamente dos outros dois programas [Cabri, GSP], ou seja, a facilidade de trabalho em geometrias não-euclidianas. (VELOSO, 2002, p.5)
15 A tela do software Poicaré Disc foi extraída de http://homepages.gac.edu/~hvidsten/explorer/projects/nonEuclidExample/index.html e a tela do software PoincaréDraw foi extraída de http://persweb.wabash.edu/facstaff/footer/PDraw/PDraw.htm. Acesso em 21 dez. 2006.
47
Balcewicz (2003) idealizou um estudo de caso com o software
Cinderella para analisar o ensino de desenho em ambiente virtual e concluiu
que 80% das respostas foram positivas:
[...] o que possibilita inferir que o software Cinderella ora avaliado é “muito bom” e apropriado para a mediação do ensino de desenho. Considerando os resultados apresentados nesta pesquisa, pode-se afirmar que os recursos disponibilizados no software Cinderella são adequados como instrumento de mediação para o processo de ensino-aprendizagem do desenho, analisados na interface pedagógica, recomendando-se este como recurso didático para as disciplinas de desenho geométrico, desenho técnico e geometria descritiva. (BALCEWICZ , 2003, p. 87)
Reis (2006, p.18) em sua dissertação trabalhou com o software
Cinderella no estudo da Geometria Esférica. Cita seu diferencial em relação
aos outros softwares, que é o fato de permitir construções geométricas no
plano euclidiano, hiperbólico e elíptico, mostrando as projeções das figuras de
um plano em outro. A autora relata também suas deficiências, como a falta do
recurso de construção de “macros”, presente na versão 2.0 do software,
problemas em colorir totalmente as tesselações esféricas e ainda a
impossibilidade de se “construir retas com ângulos fixos passando por um
ponto predeterminado na Geometria Elíptica” (REIS, 2006, p.24).
Dentre os softwares dinâmicos listados, optamos pelo Cinderella,
considerando ser a divulgação de um software pouco conhecido, e sobretudo
por três fatores:
• A facilidade de salvar as figuras em html;
• A possibilidade de incluirmos instruções, passo a passo, nos
exercícios de construções geométricas, fato que permite ao
aluno a validação de suas construções; e
• Pelo modelo de Poincaré ser nativo, o que permite o recurso
de exploração de uma mesma figura nas duas geometrias:
Euclidiana e Hiperbólica.
1.2.6 Modelos da Geometria Hiperbólica
48
Na Geometria Euclidiana, uma vez que os axiomas e os postulados
eram auto-evidentes e, portanto, aceitos por todos, as proposições decorrentes
deles (teoremas) só poderiam ser verdadeiras. Mas com as outras geometrias,
não era possível essa garantia a priori, pois os novos postulados, em
substituição ao V de Euclides, não eram evidentes nem tinham significado
físico.
A elaboração de um modelo, ou seja, uma representação gráfica,
tornou-se necessária, isto é, uma interpretação dos termos primitivos de forma
que os axiomas fossem reconhecidos como verdadeiros. Trudeau (2004) define
modelo de um sistema axiomático formal “toda interpretação (significado) dos
termos primitivos tais que os axiomas tornem-se enunciados verdadeiros”.
(TRUDEAU, 2004, p.254, tradução nossa original em italiano)
Segundo Bergamini et al (2003)
Modelos construídos mostram também uma outra vantagem: por meio deles foi possível visualizar os entes do plano não-euclidiano com entes particulares do plano euclidiano, o que tornou claro, ao menos em parte, a natureza altamente não intuitiva da Geometria de Lobachewsky. (BERGAMINI et al., 2003, p.25, tradução nossa do original italiano).
O primeiro a elaborar um modelo para a Geometria Hiperbólica foi
Beltrami, seguido de Klein e Poincaré, cujas idéias principais apresentaremos a
seguir.
• Eugenio Beltrami (1835-1900) – Modelo: Pseudo-esfera
(1868)
Em sua obra Saggio de interpretazione della geometria non-euclidea
de 1868, Beltrami desenvolveu um modelo que, depois, verificou-se ser
somente válido localmente, conforme trabalhos de Helmholtz (1870), Klein
(1871), Genocchi (1877) e Hilbert (1901), que não é mais utilizado como
modelo da Geometria Hiperbólica. Segundo Laffi (1999),
O modelo e Beltrami, não sendo um modelo rigoroso, é importante do ponto de vista histórico, pois foi o primeiro de vários modelos que possibilitaram a queda da oposição preconceituosa dos novos sistemas axiomáticos e forneceu a chave para interpretar as novas geometrias não-euclidianas (LAFFI, 1999).
49
Figura 1.6: Modelo de Beltrami16
A superfície da pseudo-esfera é uma superfície de revolução,
ilimitada, obtida pela rotação de uma tractriz17 (LAFFI, 1999).
Características do Plano:
Quadro 1.1: Características do Modelo de Beltrami Elementos Modelo hiperbólico
Ponto B-Ponto: pontos da pseudo-esfera.
Reta B-Reta: geodésia (arco de círculo máximo)
Plano B-Plano: Pseudo-esfera
• Félix Klein (1849-1925) – Modelo: Disco de Klein (1871)
16 Extraído de: http://www-cabri.imag.fr/abracadabri/Courbes/Tract/Tract4c.html
17 “A tractriz foi imaginada por um médico francês, Claudio Perrault (1613-1688), que a apresentou sob a forma de um problema: qual seria a curva descrita por um ponto pesado preso ao extremo de um fio, supondo que o outro extremo desse fio percorresse uma reta fixa ? Essa curva não pode ser construída com régua e compasso, mas Huyghens descobriu várias formas mecânicas para desenhá-la. Pois bem, imaginem esta curva girando ao redor de suas assíntotas. No fim da rotação completa ela vai gerar uma superfície de revolução, ilimitada, conhecida pelo nome de pseudo-esfera.(BRITO, 1995, p.138)
50
Klein sugeriu um modelo plano que utiliza a Geometria Projetiva.
Retas e e f são paralelas limites à d
por M.
Retas b e d são secantes
Retas g e h são hiperparalelas à d
por M.
P e Q são pontos ideais, pois se
localizam na circunferência limite.
Figura 1.7: Modelo de Klein18
Características do Plano:
Quadro 1.2: Características do Modelo de Klein Elementos Modelo hiperbólico
Superfície Disco de Klein: círculo euclidiano C de raio
r=1 e centro O.
Ponto K-Ponto: pontos do plano euclidiano do
interior de C. Os pontos da circunferência
são os pontos ideais (ou do infinito) e não
pertencem ao plano hiperbólico.
Reta K-Reta: Cordas abertas de C e diâmetros
abertos
Plano K-Plano: conjunto de pontos do interior de C.
Distância entre dois pontos (A e
B). Os pontos P e Q pertencem
à circunferência C e a reta que
passa por AB
18 Extraído de: http://www-cabri.imag.fr/abracadabri/GeoNonE/GeoHyper/KBModele/IntroKB.html
51
1 .( , ) ln
2 .k
AP BQd A B
BP AQ
=
• Jules Henri Poincaré – (1854-1912) – Modelo: Disco de
Poincaré
Poincaré criou um modelo que utiliza transformações elementares.
Retas ABsuur
e FEsuur
são paralelas à CDsuur
por M
Reta IJsur
é secante à CDsuur
RetaGH é hiperparalela à CDsuur
Figura 1.8: Modelo de Poincaré19
Características do Plano:
Quadro 1.3: Características do Modelo de Poincaré Elementos Modelo hiperbólico
Superfície Disco de Poincaré: circunferência euclidiana
C de raio r e centro em O.
Ponto P-Ponto: pontos do plano euclidiano do
interior de C. Os pontos da circunferência
19 Extraído de: http://www-cabri.imag.fr/abracadabri/GeoNonE/GeoHyper/HDroite/HDroite1.htm
52
são os pontos do infinito.
Reta P-Reta: arcos de circunferências abertos20,
ortogonais a C; e cordas abertas que
passam pelo centro O de C (diâmetros
abertos).
Plano P-Plano: conjunto de pontos do interior de C.
Distância entre dois pontos (A e
B). Os pontos P e Q pertencem
à circunferência C e a reta que
passa por AB
.( , ) ln
.P
AP BQd A B
BP AQ
=
Características e Propriedades:
a. é definida por cada par de pontos internos ao disco
de Poincaré.
b. é sempre positiva ou nula (se A coincide com B)
c. possui a propriedade aditiva, graças à propriedade
do logaritmo: se A, B e C pertencem ao mesmo
segmento e B está entre A e C, então, o comprimento
de AC é: ( ) ( ) ( )med AB med BC med AC+ =
d. O comprimento de AB tenderá ao infinito se o
ponto B tender a Q ou se o ponto A tender a P.
e. ( ) ( )med AB med BA=
f. o comprimento da reta hiperbólica é ∞.
• Jules Henri Poincaré – (1854-1912) – Modelo: Semiplano
Superior de Poincaré
Poincaré criou outro modelo, com as características abaixo
descritas:
20 São abertos os arcos ortogonais e as cordas, que não contenham as extremidades.
53
O modelo é um semiplano
superior.
Figura 1.9: Modelo do Semiplano de Poincaré21
Características do Plano:
Quadro 1.4: Características do Modelo do Semiplano de Poincaré Elementos Modelo hiperbólico
Superfície Semiplano Superior: semiplano euclidiano,
determinado pelo eixo x e pelos pontos que se
encontram acima do eixo x (chamado horizonte),
de ordenada positiva.
Ponto P1-Ponto: pontos do interior de semiplano.
Reta P1-Reta: semicircunferências no semiplano com
centro no eixo x; e semi-retas de origem em
pontos do eixo x e ortogonais a ele.
Plano P1-Plano: conjunto de pontos do interior do
semiplano.
Optamos por representar a Geometria Hiperbólica no primeiro
modelo apresentado por Poincaré, por ser o mais freqüentemente utilizado e
estar disponível no software Cinderella. A demonstração da coerência dos
axiomas de Hilbert no modelo de Poincaré pode ser consultada em Terdiman
(1989).
Introduzimos uma apresentação da distância entre dois pontos no
modelo de Poincaré, pois exploramos esse conceito em nosso material
didático, com a ferramenta disponibilizada no Cinderella.
54
Construímos uma circunferência euclidiana de centro O e raio
igual a um e os pontos P e Q situados na circunferência e sendo extremos
de um diâmetro qualquer. Podemos considerá-la a circunferência limite do
modelo de Poincaré. Tomemos dois pontos quaisquer A e B, desse
diâmetro para cálculo da distância entre eles.
Note que P e Q não pertencem ao modelo.
Segundo a definição dada, e
utilizando as medidas
euclidianas fornecidas pelo
software, podemos calcular a
distância hiperbólica entre os
pontos A e B, segundo Klein,
em cm:
Figura 1.10: Distância hiperbólica entre dois pontos
Segundo Cabariti (2004, p.37), podemos ainda considerar a
circunferência em um eixo cartesiano em que o centro O da circunferência
seja o ponto O (0,0).
Os pontos P e Q são determinados por P (-1, 0) e Q (1,0).
Podemos escrever as coordenadas dos pontos A e B como A (t,
0) e B(u, 0), com t e u positivos.
21 Extraído de: http://www-cabri.imag.fr/abracadabri/GeoNonE/GeoHyper/HIntro/HIntro1.htm
55
Nessas condições, podemos
considerar a distância entre os
pontos A e B, em cm.
Figura 1.11: Distância hiperbólica entre dois pontos, representada no eixo cartesiano
No modelo hiperbólico do
Cinderella, podemos verificar, que a
distância entre os pontos A e B é
0,65812 cm.
Observamos também que a
distância entre o centro O e Q é
infinito.
Podemos calcular o limite de d(A,B)
quando A tender a P ou ainda
quando B tender a Q. Pela
propriedade dos logaritmos,
obteremos o infinito como
resultado.
Figura 1.12: Distância hiperbólica entre dois pontos apresentada pelo software Cinderella
56
CAPÍTULO II
ASPECTOS TEÓRICO-METODOLÓGICOS
Siempre que enseñes, enseña a la vez a dudar de lo que enseñas. (José Ortega e Gasset, apud FERNÁNDEZ, 2004, p.127).
2.1 Introdução
O capítulo II destina-se a apresentação de nossa questão de
pesquisa e das hipóteses levantadas, que motivaram e guiaram na execução
deste estudo. Posteriormente, descrevemos os princípios de uma Engenharia
Didática, que foi a metodologia que escolhemos.
Finalmente, apresentamos as teorias da Educação Matemática de
Brousseau (1986) e Duval (1993), que buscamos seguir na elaboração da
presente seqüência didática.
2.2 Questão de Pesquisa e Hipóteses levantadas
O problema central da pesquisa é “Em que medida a geometria
dinâmica pode interferir na construção dos conceitos da Geometria Hiperbólica,
no estudo axiomático realizado pelo professor de Matemática e como esse
novo conhecimento pode contribuir para sua formação?”.
Esta pesquisa apóia-se em três hipóteses:
• Os conhecimentos da Geometria Hiperbólica devem influenciar
positivamente a prática do professor de Geometria Euclidiana.
Considerando as dificuldades apresentadas pelos graduandos,
amplamente discutidas no meio acadêmico, na apreensão dos conceitos da
Geometria Euclidiana, na compreensão das demonstrações formais e ainda na
interpretação e visualização dos teoremas, entendemos que a perspectiva de
uma nova geometria, confrontada com a Geometria Euclidiana, poderá
57
contribuir para que o professor termine por assimilar melhor também esta
última.
Conhecer o desenvolvimento histórico e epistemológico da
Geometria, sua repercussão em vários campos da ciência, entre eles, na
Filosofia, na Física, e na própria concepção de Ciência, torna-se fundamental
na formação do professor, fazendo-o mais crítico e ampliando suas
possibilidades nas escolhas futuras das variáveis didáticas, que serão
utilizadas em sua produção como professor.
• A geometria dinâmica influencia positivamente a construção dos
conceitos da Geometria Hiperbólica e, inserida em uma seqüência didática,
contribui para a apreensão de um novo saber.
Os conceitos da Geometria Euclidiana estão enraizados no aluno
desde sua infância. A construção de um novo saber, no caso os conceitos da
Geometria Hiperbólica, cria inicialmente um conflito com os saberes antigos,
que deve ser vencido em um entendimento mais abrangente da Geometria.
Entendemos que, na construção desse novo saber, a utilização da
geometria dinâmica contribui para que o aprendiz, visualizando o
comportamento dos entes geométricos, possa evoluir em seus conhecimentos.
• A apresentação das demonstrações em três colunas (número do
passo, passo, justificativa) e a explicitação de todos os seus passos favorecem
a aprendizagem do raciocínio lógico.
Esta pesquisa tem o interesse de averiguar a eficácia dessa
exposição no processo de aprendizagem das demonstrações. Acreditamos que
a explicitação de todos os passos de uma demonstração, feita em três colunas,
favoreça o entendimento, minimize as eventuais dúvidas e incentive os
estudantes a elaborar suas próprias demonstrações.
58
2.3 Metodologia de Pesquisa
Adotamos alguns princípios da Engenharia Didática, que “se
caracteriza por um esquema experimental baseado em realizações didáticas
em sala de aula, isto é, na concepção, na realização, na observação e na
análise de seqüências de ensino” (ARTIGUE, 1988, p.196).
Apresentamos as fases que percorremos para a criação de nosso
material, inspiradas na Engenharia Didática.
1. Análises preliminares
As análises preliminares prevêem, observando os objetivos da
pesquisa, considerações sobre o quadro teórico didático geral, a análise
epistemológica do conteúdo em questão, a análise do ensino atual, das
concepções dos alunos e seus obstáculos.
Desse modo, as seguintes análises preliminares foram elaboradas:
• Histórica e epistemológica sobre o desenvolvimento da
Geometria Hiperbólica (anexos I a XIII);
• Sobre o desenvolvimento das demonstrações ao longo da
história (anexo XIV);
• Do material didático disponível, entre eles, livros, artigos e
dissertações sobre o tema e também as recomendações das
Diretrizes Curriculares Nacionais para os cursos de
Matemática, Bacharelado e Licenciatura, apresentadas no
capítulo I;
• Da importância da Internet na Educação, no que se refere aos
cuidados necessários na elaboração de materiais didáticos a
serem vinculados por esse veiculo, apresentados no capítulo
I;
• O conhecimento do grupo de pesquisa a respeito do tema,
que procuramos levantar por meio do questionário inicial
explicitado no capítulo III;
59
• Os conhecimentos prévios necessários à apreensão do
conteúdo, que procuramos incluir no material proposto,
apresentado no capítulo III.
2. Concepção e análise a priori das situações didáticas
Nessa fase, Artigue (1988) cita que o investigador identifica e decide
sobre um determinado número de variáveis didáticas pertinentes ao sistema.
A partir dos estudos preliminares, é possível delimitar as variáveis de
comando:
• variáveis macrodidáticas: referentes à organização global da
engenharia.
• variáveis microdidáticas referentes à organização local da
engenharia (um encontro, uma fase).
Estas escolhas, embora apareçam separadamente, são
interdependentes, pois segundo Brousseau (1986), a concepção geral deve ser
capaz de permitir a invenção, a organização e o desenrolar de situações locais.
Artigue (1988) acrescenta que o objetivo da análise a priori é
determinar em que as escolhas feitas permitem controlar os comportamentos
dos alunos em uma fase adidática22 e o significado de cada um desses
comportamentos para aquisição do saber visado.
As análises preliminares possibilitaram que delineássemos as
variáveis macrodidáticas que foram utilizadas na confecção, tanto de nossa
página como das atividades propostas:
a. Resumo histórico
22 Uma situação didática é o conjunto de relações estabelecidas explicitamente e/ou implicitamente entre um aluno ou grupo de alunos, um certo milieu (contendo eventualmente instrumentos ou objetos) e um sistema educativo (o professor) para que esses alunos adquiram um saber constituído ou em constituição. (BROUSSEAU 1978, apud ALMOULOUD, 2007, p.33). Uma situação adidática, como parte essencial da situação didática, é uma situação na qual a intenção de ensinar não é revelada ao aprendiz, mas foi imaginada, planejada e construída pelo professor para proporcionar a este condições favoráveis para a apropriação do novo saber que deseja ensinar. (ALMOULOUD, 2007, p.33).
60
A análise histórica do desenvolvimento da Geometria Hiperbólica
levou-nos a considerar a relevância em introduzir em nosso material um
resumo de suas passagens mais importantes, pois consideramos que tal
conhecimento possa motivar as discussões sobre o comportamento de
diversas situações que foram apresentadas nas duas geometrias (Euclidiana e
Hiperbólica), além de acreditarmos ser enriquecedor para o aluno.
b. Demonstrações – estudo axiomático
Considerando que nossa proposta foi destinada a alunos com
conhecimento da Geometria Euclidiana, assumimos previamente que os
mesmos apresentam alguma familiaridade com as demonstrações. Após o
levantamento histórico do desenvolvimento das demonstrações, pareceu
conveniente introduzir um material de apoio, com a pretensão de uniformizar a
linguagem, definir alguns termos utilizados na seqüência e ainda ressaltar
nossa preocupação na elaboração de um material auto-suficiente.
Após a análise do material disponível sobre o conteúdo em questão
e também das Diretrizes Curriculares Nacionais para os cursos de Matemática,
Bacharelado e Licenciatura, pudemos perceber a carência de textos, sobretudo
aqueles com preocupações didáticas, além da relevância do tema para a
carreira do futuro educador. Esta análise fez com que percebêssemos existir
uma lacuna que pretendemos diminuir com a elaboração do material.
Idealizamos, então, uma seqüência voltada ao estudo axiomático, tendo a
preocupação de explicitar passo a passo as justificativas de uma
demonstração, com o intuito de minimizar as eventuais dúvidas.
c. Ergonomia
Na criação de nossa página, preocupamo-nos em observar alguns
aspectos importantes, como: clareza (inclusão de um ‘mapa do site’;
apresentação detalhada da proposta, explicitação do público-alvo); disposição
de links (possibilitar uma navegação circular sem prejudicar o entendimento do
texto), disposição do conteúdo (criação de atividades com tópicos específicos,
de maneira a distribuir o conteúdo ao longo do texto).
61
Detivemo-nos também na legibilidade, criando atividades não muito
longas, com cor, tamanho e estilo de letra que potencializem a leitura e a
compreensão do texto.
d. Aspectos Didáticos
Um dos objetivos do material foi proporcionar um aprendizado
axiomático de outra geometria. Para tanto, elaboramos um resumo para servir
de ponto de partida para o estudo. Criamos um Resumo da Geometria
Absoluta, para que o aluno soubesse quais axiomas, termos definidos ou
teoremas, deveriam ser utilizados nas demonstrações dos teoremas propostos.
A cada nova atividade, o resumo passou a incorporar as definições,
axiomas e teoremas hiperbólicos estudados. Criamos assim o Resumo da
Geometria Hiperbólica (RGH), disponibilizando ao aluno o quadro atualizado do
conteúdo, disponível para a resolução dos exercícios propostos no decorrer
das próximas atividades. Nossa intenção foi criar um fio condutor que
facilitasse a aprendizagem, de modo que ao término da seqüência o quadro
contivesse todo o conteúdo estudado.
Preocupamo-nos também em apresentar as demonstrações em três
colunas (número do passo, passo, justificativa) para explicitar todos os passos
da demonstração. Incluímos a apresentação da hipótese e da tese, para que o
aluno percebesse o “ponto de partida” e o “ponto de chegada”. Acreditamos
que tal procedimento minimize as dificuldades de entendimento e encoraje o
aluno a desenvolver o raciocínio na elaboração de suas próprias
demonstrações. Nas atividades iniciais, optamos por solicitar uma investigação
e, posteriormente, apresentar as demonstrações. Nas atividades seguintes,
depois da apresentação de algumas demonstrações, iniciamos o processo de
solicitação, para que o aluno pudesse vivenciar eventuais dificuldades e
avançasse em seus conhecimentos. Como a maioria dos teoremas foi provada
pela negação da tese, instruções foram dadas no sentido de direcionar a
demonstração, com a intenção de diminuir as dificuldades e estimular o aluno a
tentar uma alternativa de resolução.
62
Ressaltamos que admitimos a possibilidade de construções
geométricas dos principais entes geométricos, sem justificá-las
matematicamente, pois entendemos que isto possa ser feito em um segundo
momento do aprendizado. Caso haja interesse, poderemos buscar tal
conhecimento na bibliografia listada.
Introduzimos algumas perguntas nas atividades, esperando que o
aluno refletisse sobre o tópico estudado e chegasse a uma resposta
satisfatória.
O foco de nosso trabalho não foi a aprendizagem de construções
geométricas, motivo pelo qual a maioria das figuras foi previamente elaborada.
Desta forma, pretendíamos que a atenção do aluno fosse voltada ao
comportamento dinâmico da figura, evidenciando uma característica da
Geometria Hiperbólica que pudesse auxiliar a futura demonstração.
As variáveis microdidáticas escolhidas encontram-se apresentadas
no capítulo IV, complementando a análise a priori das atividades.
3. Experimentação
Trata-se da fase da realização da engenharia, da aplicação das
seqüências didáticas a um grupo de alunos, da explanação dos objetivos e
condições de realização, do estabelecimento do contrato didático23 e do
registro das observações que deveriam ser elaboradas na experimentação.
No primeiro encontro, idealizamos uma apresentação de nossa
proposta, para explicitar o contrato didático e os objetivos da pesquisa (Anexo
XVIII).
23 Almouloud cita a definição de Guy Brousseau para contrato didático, como sendo o conjunto e comportamentos específicos do professor esperado pelos alunos, e o conjunto de comportamentos dos alunos esperado pelo professor. É uma relação que determina – explicitamente em pequena parte, mas sobretudo implicitamente – aquilo que cada parceiro, professor e aluno, tem a responsabilidade de gerir e pelo qual será, de uma maneira ou de outra, responsável perante o outro. (BROUSSEAU 1986, apud ALMOULOUD, 2007, p.89).
63
Além dos encontros presenciais, previmos dois fóruns, troca de
dúvidas e entrega de material por correio eletrônico. Tanto a análise das
observações presenciais como a do material colhido por meio assíncrono se
complementam na coleta de dados. Dessa forma, as observações podem ser
retiradas de análises dos fóruns, da troca de e-mails, da entrega dos exercícios
com a finalidade de levantar os obstáculos, os questionamentos e
institucionalizar localmente a partir das estratégias elaboradas pelos alunos.
Entendemos que tais situações possibilitem ao pesquisador identificar os
momentos que solicitam uma intervenção, de modo que os alunos dêem
continuidade ao aprendizado.
No início das atividades, introduzimos a aplicação de um
questionário para levantamento dos conhecimentos prévios dos alunos e suas
expectativas em relação ao curso. Aplicamos outro questionário no
encerramento do período de experimentação com o intuito de avaliar a
aprendizagem, colher sugestões e reflexões sobre a experiência. Os resultados
obtidos foram apresentados no capítulo IV.
4. Análise a posteriori e validação
Nesta fase, os dados colhidos serão tratados para posterior
confronto com a análise a priori, para validação ou rejeição das hipóteses
levantadas.
Podemos verificar que diferente de outras metodologias cuja fase de
validação é feita com a comparação entre o desempenho do grupo observado
com um grupo testemunho, a validação na Engenharia Didática é
essencialmente interna, ou seja, verifica-se pelo confronto entre as análises a
priori e a posteriori.
O material coletado durante a aplicação da seqüência em nosso
projeto-piloto, entre eles, os questionários, a análise do fórum, a entrega das
atividades e os questionamentos feitos no período, foram analisados no
Capítulo IV.
2.4 Procedimentos Metodológicos
64
Propusemos uma seqüência didática, embasada na Teoria das
Situações Didáticas (TSD) de Guy Brousseau (1986) e nos trabalhos com
Demonstrações de Raymond Duval (1993).
O objetivo da TSD é analisar as interferências que ocorrem no
ensino da Matemática e, posteriormente, modelar estratégias vencedoras,
considerando as relações entre professor, aluno e o saber almejado. O papel
inicial do professor é a elaboração de uma situação em que o aluno,
considerando seus conhecimentos anteriores, consiga elaborar estratégias de
resolução, a partir de sua ação com um meio propício ao processo de ensino e
aprendizagem, denominado milieu24.
Assim, o aluno deve assumir a responsabilidade de seu
aprendizado, devendo se comprometer com a tentativa de criar alternativas de
resolução à situação proposta, cabendo ao professor explicitar essa devolução
ao aprendiz. “O professor tem, pois, de imaginar e propor aos alunos situações
que eles possam viver e nas quais os conhecimentos apareçam como a
solução ótima e passível de ser descoberta para os problemas colocados”.
(BROUSSEAU, 1986, p.38)
A TSD sugere quatro fases distintas para o processo de ensino e
aprendizagem:
1. Situação de Ação
Momento em que se espera que o aluno se articule, individualmente
ou em grupo, na tentativa de solucionar um problema proposto. Agindo com o
milieu, o aluno deve buscar uma solução, provocando uma aprendizagem por
adaptação. Nessa fase, o professor deve observar o desenvolvimento das
estratégias elaboradas, sem intervir.
2. Situação de Formulação
24 Na teoria das situações, o milieu é um sistema antagonista ao sujeito, sendo o milieu adidático um sistema sem intenção didática, exterior ao sujeito, que, por suas retroações às ações do sujeito, permite sua reflexão a respeito de suas ações e sua aprendizagem. Ou seja, o aprendiz é o responsável pelo processo de sua aprendizagem. (ALMOULOUD, 2007, p.35).
65
Nesta situação o aluno deve formular suas estratégias de resolução,
socializando-as com o grupo, justificando as soluções propostas na busca do
resultado correto. Nessa fase, o aluno deve identificar os conhecimentos
adquiridos que poderão contribuir na descoberta da solução.
3. Situação de Validação
Momento quando o aluno utiliza mecanismos de provas para a
solução de um problema, divulgando suas descobertas. O professor deve
mediar as apresentações para valorizar as estratégias vencedoras e
uniformizar os avanços conquistados pelos alunos.
4. Situação de Institucionalização
Após a exploração da situação proposta, o professor finalmente
deverá expor o conteúdo pretendido, o que terá muito mais significado ao
aluno, que então poderá utilizar esse saber na resolução de outras situações.
Entendemos que a TSD pode ser utilizada em nossa proposta
didática, que contempla momentos presenciais e tarefas a serem realizadas
fora do ambiente escolar, inseridas em uma página da Internet.
A dialética da ação propicia ao aluno momentos individuais de
investigação, nos quais o professor não deverá interferir. As formulações
podem ser validadas pelos alunos pelo confronto de suas respostas com as
soluções que foram disponibilizadas e também pelos fóruns e discussões
propostos. Além da disponibilização das respostas, esperamos que a
institucionalização seja complementada após a análise dos questionamentos
dos alunos e da entrega dos exercícios que, nesse momento, terá o papel de
apresentar quais os tópicos que ainda não foram entendidos pelos alunos. No
decorrer da experimentação, esperamos que tais indícios possam nos orientar
no sentido de, eventualmente, propor outras situações de investigação que
proporcionem o aprendizado por parte do aprendiz.
Devemos considerar também que os conhecimentos anteriores que
se espera que o aluno já tenha apreendido, no caso a Geometria Absoluta e
66
noções de demonstrações, foram incluídos em nossa página. Dessa forma,
pretendemos munir o sujeito do material necessário para que possa pesquisar,
apreender e, finalmente, avançar em seus conhecimentos.
Raymond Duval (1993) publicou vários textos sobre a importância da
demonstração no ensino da Matemática, em particular na Geometria e defende
que, cognitivamente, a demonstração requer uma maneira de raciocinar
específica.
Uma demonstração apresenta uma estrutura ternária, devendo
contemplar uma premissa (hipótese), regras de inferência (axiomas, teoremas,
definições) que permitem concluir uma afirmação (tese). Podemos
esquematizar na figura 2.1:
Regras de Inferência
Verificação das condições
Premissa Inferência
Conclusão
Figura 2.1: Estrutura Ternária de um passo da demonstração
As condições da premissa são verificadas utilizando uma
determinada regra de inferência e, somente então será possível inferir para se
chegar a uma conclusão, ou seja, esta é obtida pela implicação da regra de
inferência. A estrutura (premissa, regra de inferência e conclusão) terá um
“estatuto operatório”, definido no interior de uma demonstração e, à medida
que o encadeamento de inferências é feito, seu papel poderá se alterar.
Exemplificando, o que foi uma conclusão em um passo da demonstração (em
uma estrutura ternária) poderá se tornar uma premissa no passo seguinte.
Duval (1993) propõe que somente com base no entendimento de tal
encadeamento é que o aluno se apropria desse conhecimento, a partir do qual
a demonstração passa a ser compreendida como um encadeamento de passos
válidos.
67
O autor defende que, nas séries iniciais, o aluno sente dificuldades
para perceber as diferenças entre demonstração e argumentação. Demonstrar
não é uma atitude natural do sujeito e, portanto, requer uma didática explícita.
D’Amore (1999, p. 351, tradução nossa do original italiano) esboça
as principais diferenças apontadas por Duval:
Quadro 2.1: Argumentação x Demonstração Argumentação Demonstração
Passagem de uma proposição a outra
Usam-se regras implícitas que dependem da estrutura lingüística e da representação escolhida; entram em jogo a metalinguagem e o significado das proposições isoladas; estamos, portanto em plena fase semântica.
Usam-se regras de derivação que devem (deveriam) ter sido explicitadas em precedência ou acordadas; as preposições não veiculam conteúdos semânticos particulares, mas intervêm para o seu papel (ex. premissa, conseqüência) passo por passo, no curso da demonstração.
Papel da proposição
Cada proposição apresenta um papel diferente de seu conteúdo retórico.
Muda ou pode mudar a segunda situação, e isto depende do quadro teórico.
Papel dos conectivos que ligam as proposições
Os conectivos são os mesmos da linguagem natural, e a sua função é manifestar a reação entre proposições (ex. uma proposição é conseqüência de outra ou a justifica, ou a contradiz, ou a se opõe).
Os conectivos são sempre traços da língua natural, mas são somente os operatórios que agem sobre as preposições não tanto pelo que veiculam do ponto de vista semântico, mas pelo seu estado operatório, podem, às vezes, ser omitidos e subentendidos.
Modalidade da concatenação (encadeamento) entre proposições
Ocorre por conexão extrínseca, por acumulação, unem-se umas as outras.
Ocorre por substituição, como em um cálculo, aplicando regras as novas proposições substituem as precedentes.
Para Duval (1993), os passos do raciocínio apresentam naturezas
diferentes:
• Passagem direta ou pela referência a uma regra, das premissas à
conclusão.
Podemos exemplificar como passagem direta a que é feita em língua
natural e considerando-se o conteúdo das premissas. A passagem pela
68
referência a uma regra é feita quando as premissas fornecem condições para
aplicarmos um teorema, uma definição, um axioma ou uma lei lógica.
Neste caso, o passo de raciocínio tem uma estrutura ternária e as proposições não são mais tomadas em função de seu conteúdo, como na passagem direta, mas em função de seu estatuto operatório. (DUVAL, 1993, p.197, tradução nossa do original francês)
• Passagem feita a partir de uma única premissa ou a partir de
várias.
O aumento do número de premissas necessárias requer uma maior
complexidade cognitiva, exigindo uma apreensão sinóptica, ou seja, uma visão
geral do todo.
Segundo Duval (1993) existem quatro tipos de raciocínio que
dependem da maneira como é feita a passagem das premissas à conclusão,
bem como do número de proposições dadas:
1. Diretamente a partir de uma premissa (inferência semântica –
passo do tipo 1): é a inferência imediata de uma proposição à
outra, como na compreensão da linguagem natural. Podemos
inferir, por exemplo, a partir da premissa “Ele não fuma mais”,
que “ele fumou”. Duval (1993a, p.239-245) argumenta que no
raciocínio do tipo 1, os tratamentos por negação, ou seja, que
combinam duas operações elementares de oposição, para
passar de uma proposição à sua contradição, são também
inferências semânticas. Desta forma, na elaboração de uma
demonstração pela negação da tese, o passo da
demonstração (contra-tese) que nega a tese apresentada, é
considerado como sendo um passo do tipo 1.
2. Em referência a uma regra, a partir de uma premissa (passo
do tipo 2): é a conversão lógica das proposições como, por
exemplo, o silogismo aristotélico. O autor segrega o silogismo
da dedução, pois considera que o funcionamento dos passos
do raciocínio, da passagem das premissas à conclusão é
diferente em dois pontos: no silogismo clássico, essa
passagem se faz diretamente e não por enunciados
69
intermediários (resultados dos passos de uma demonstração)
e que as premissas não podem ser independentes umas das
outras, apresentando sempre um termo comum, que permite
a realização do passo do raciocínio. Considerando como
premissas, por exemplo, “Todos os pássaros são animais” e
“Todas as gralhas são pássaros” podemos concluir que
“Todas as gralhas são animais” (Duval, 1983, p. 240).
Observa-se que o termo comum é a palavra pássaros. Em
razão do tipo de funcionamento, o silogismo aproxima-se
mais das inferências semânticas do que de um passo de
dedução e se reduz a um único passo de raciocínio.
3. Diretamente a partir de pelo menos duas premissas
(inferências discursivas - passo do tipo 3): estas utilizam os
enunciados intermediários, não pertencentes a um quadro
teórico25. Eles podem ser “uma declaração, um acordo ligado
a um contexto particular, um princípio que se impõe como
uma norma no meio social” e nesse contexto as inferências
são realizadas.
4. Em referência a uma regra, a partir de pelo menos duas
premissas (dedução modus ponens - passo do tipo 4): na
dedução Matemática, todas as proposições novas derivam
como conseqüência de um grupo de axiomas, teoremas e
definições, regras, assumidos ou demonstrados em
precedência. Um enunciado intermediário comporta duas
partes funcionalmente distintas: as proposições antecedentes,
a serem consideradas, e a proposição conseqüente que é
destacada, devendo ser provada como conclusão. Esse
processo de substituição cessa quando se valida a tese.
25 “Um quadro teórico caracteriza-se por um conjunto de estatutos teóricos que determinam sua organização e as possibilidades de seu desenvolvimento: definições, axiomas, regras, hipóteses, etc. Uma proposição não pode ser enunciada em um quadro teórico sem considerar um desses estatutos”. (DUVAL, 1993, p. 224). Os Elementos, de Euclides, é exemplo de um quadro teórico.
70
Do ponto de vista lógico, entre os passos dos tipos 2 e 4 não existe
diferença, mas devemos considerar as diferenças cognitivas envolvidas.
A sucessão dos passos que objetivam, no caso de uma
demonstração, validar um teorema ou no caso de uma argumentação refutá-la,
ou aceitá-la, pode ocorrer de duas formas:
• Os passos sucessivos estão explicitamente conectados: quando
cada novo passo tem, entre suas premissas, a conclusão do passo precedente,
ou seja, há a substituição sucessiva de conclusões até a conclusão final.
• Os passos sucessivos estão extrinsecamente conectados: quando
ela não tem essa reciclagem, e a ligação lógica é feita por meio de um
conectivo: “então”, “mas”, entre outros.
Embora somente os passos dos tipos 2 e 4 sejam dados em uma
dedução, listamos os passos dos tipos 1 e 3 que, além de serem utilizados em
uma argumentação, são também empregados em uma demonstração por
absurdo, que freqüentemente utilizamos para demonstrar os teoremas da
Geometria Hiperbólica.
O raciocínio por absurdo contém passos explicitamente conectados,
dos tipos 2 e 4, mas também passos extrinsecamente conectados, dos tipos 1
e 3.
O seu passo inicial consiste em supor verdadeira a proposição contrária a que se deseja demonstrar; o seu passo final parte da contradição entre uma conseqüência desta suposição e uma premissa, para rejeitar a suposição e tomar a proposição a ser demonstrada como o único caso possível. Estes dois passos são do tipo 1 e 3, como em uma argumentação, porque descansam sobre as relações de oposição e não são estritamente separáveis de um conteúdo semântico....Entre o passo inicial e o passo final, pode haver uma simples inferência ou um raciocínio dedutivo e, por conseguinte unicamente passos do tipo 2 ou 4 explicitamente conectados. Este raciocínio dedutivo é desenvolvido até o momento em que produz uma conclusão incompatível com uma das premissas. A dificuldade desse raciocínio está nos passos de diferentes naturezas: uns fundados sobre relações de oposição e outros sobre a aplicação de uma regra de substituição. (Duval, 1993, p. 200)
71
Os dados do quadro abaixo consolidam a idéia do autor. (Duval,
1983, p.200, tradução nossa do original francês).
Quadro 2.2: Raciocínio Dedutivo x Argumentação x Raciocínio por Absurdo Raciocínio
Dedutivo
Argumentação Raciocínio por
Absurdo
Tipo de passo Referência a uma
regra (tipo 2 ou 4)
Passagem direta
(tipo 1 ou 3)
1,2,3,4
Tipo de
sucessão entre
os passos
Explicitamente
conectados
Neutro Explicitamente
conectados e
conexão externa
Estatuto
operatório das
proposições
Sim, determinado
pelo valor
epistemológico
Não Sim, no âmbito de
uma
demonstração
Redução ao Absurdo (RAA)
Considerando que grande parte dos teoremas da Geometria
Hiperbólica é demonstrada pela negação da tese, exploramos essa forma de
raciocínio para posterior exemplificação dos tipos de passos definidos por
Duval.
A negação da tese é uma forma de raciocínio lógico que consiste em
negar a tese apresentada. O passo seguinte consiste em, utilizando a negação
da tese e também as premissas apresentadas na hipótese (ou em passos
anteriores), derivar uma contradição. Dessa forma, pela lei do terceiro excluído,
é possível concluir que a tese é verdadeira.
Com tal raciocínio, supondo a hipótese como p, assumimos ~p
(negação da tese) e derivamos uma contradição26, o que nos permite assumir
p.
26 Considera-se uma contradição uma expressão da forma p ^ ~p (p e não p)
72
Há vários esquemas de raciocínio por absurdo27, mas limitar-nos-
emos a apresentar um deles, utilizado nas demonstrações geométricas desde
Euclides.
Aplicando a tabela verdade das proposições simples, determinamos
o valor28 das proposições compostas. Na verificação da proposição
((( ^ ~ ) ~ ) ( ))p q p p q→ → → , utilizamos, portanto, a tabela verdade das
proposições simples (Quadro 2.3):
Quadro 2.3: Tabela Verdade p q ~p
(não p) p∧ q
(p e q) p∨ q
(p ou q) p∨ q
(ou p ou q)
p→q
(se p então q) p⇔ q
(p se e
somente se q)
V V F V V F V V
V F F F V V F F
F V V F V V V F
F F V F F F V V
Aplicando a tabela verdade teremos (Quadro 2.4):
Quadro 2.4: Verificação do método de RAA p q ((( ^ ~ ) ~ ) ( ))p q p p q→ → →
V V V F F V F V V V V
V F V V V F F V V F F
F V F F F V V V F V V
F F F F V V V V F V F
27 1. RAA Clássico (~ ~ ) ((~ ~ ) )p q p q p→ → → → ;
2. RAA Clássico – forma alternativa: ( ^ (( ^ ~ ) ) ^ (( ^ ~ ) ~ ))) )p p q r p q r q→ → → ;
3. RAA Intuicionista: ( ) (( ~ ) ~ )p q p q p→ → → → ;
4. Princípio de Saccheri: (~ )p p p→ → ;
5.RAA Forma Simples: ( ~ ) ~p p p→ → . (COSTA e KRAUSE, 2004, p.39)
28 O valor de uma proposição é “verdade” ou ‘falsidade”.
73
Verificamos que esse método de raciocínio é uma tautologia29, ou
seja, para qualquer valor de p e q o valor da proposição
((( ^ ~ ) ~ ) ( ))p q p p q→ → → é sempre verdade.
Para exemplificar, demonstraremos a proposição XXVII dos
Elementos.
Proposição: se duas retas de um plano e uma transversal formam
ângulos alternos internos congruentes, então as duas retas são paralelas.
Quadro 2.5: Demonstração da Proposição XXVII - Elementos
Hipótese: Sejam as retas ABsuur
e CDsuur
intersectadas pela transversal , EFsuur
tal
que ^ ^
A E F E F D≡ .
Tese: As retas ABsuur
e CDsuur
são
paralelas ( ABsuur
� CDsuur
).
Demonstração:
No do
Passo
Passo Justificativa
01 Sejam as retas ABsuur
e CDsuur
intersectadas
pela transversal EFsuur
, tal que
^ ^
A E F E F D≡ .
Hipótese
02 ABsuur
não é paralela a CDsuur
Negação da Tese
03 ABsuur
e CDsuur
concorrem em um ponto G
(que pode estar no semiplano esquerdo
determinado por EFsuur
)
02, definição de paralelas
29 Fórmula que possui somente V em sua tabela verdade.
74
04 Considerando o triângulo EFG e o ângulo
externo ^
A E F , temos que ^ ^
A E F E F D>
03, teorema do ângulo
externo
05 Absurdo, pois pela hipótese
^ ^
A E F E F D≡
01; 04
06 Logo ABsuur
� CDsuur
01-05
07 Prova-se o mesmo considerando que ABsuur
e CDsuur
concorrem em um ponto H
01-06
Considerando a Hipótese (^ ^
A E F E F D≡ ) como p e a Tese ( ABsuur
�
CDsuur
) como q, podemos elaborar o seguinte esquema (quadro 2.6):
Quadro 2.6: Esquema de RAA No do
Passo
Passo Justificativa
01 p Hipótese
02 ~ q Negação da Tese (passo do
tipo 1)
03 , 04 ~ p Por deduções (passos do
tipo 4)
75
05 ( p ^ ~p) , que é absurdo Contradição entre 01 e 04
(passo do tipo 3)
06 Logo ( )p q→ RAA (passo do tipo 4)
Ao observar os dados do Quadro 2.5, segundo Duval, o passo 2 é
considerado do Tipo 1 (negação da hipótese) e o passo 5 do Tipo 3. Este
último é de conexão externa, pois reporta-se à lei do terceiro excluído. Os
passos 03, 04 e 06 são referentes ao raciocínio dedutivo do Tipo 4, sendo
explicitamente conectados e, finalmente, o passo 5 é de conexão externa.
Nas demonstrações elaboradas em nossa seqüência didática,
preocupamo-nos em explicitar a regra de inferência utilizada. Empenhamo-nos
também pela indicação explícita de todas as premissas consideradas para se
concluir uma passagem. No caso das demonstrações por absurdo,
explicitamos os passos contraditórios que nos permitiram a conclusão final.
Nossas escolhas foram feitas para sanar eventuais dúvidas e também
possibilitar que o sujeito possa apreender essa forma de raciocínio.
Optamos não inserir no material alternativas de múltipla escolha,
mesmo que justificadas, pois pretendíamos identificar as passagens de uma
demonstração que o aprendiz não realizou e quais dificuldades foram
superadas. Tivemos a intenção de analisar o desempenho apresentado nos
passos dados de diferentes tipos.
76
CAPÍTULO III
ELABORAÇÃO DA PÁGINA DA INTERNET
Hoje, faz-se geometria com o mouse, o que é completamente diferente de fazer geometria com o papel e o lápis, ou com o giz e o quadro-negro. Tudo é hoje muito
diferente e tudo isso faz com que as representações do espaço, que é ponto de partida para a geometria, sejam diferentes. A geometria nasce de representarmos um
fato e trabalharmos sobre essa representação. Essa representação hoje se faz de outra maneira. O mouse não é lápis nem giz. Possibilita outras formas de trabalhar. Essa tecnologia traz utilidades que não existiam antes, e devemos utilizá-las. Se as soluções tecnológicas facilitam nossa vida em vários setores da sociedade, porque
não também no ato de aprender? (D’Ambrósio, 2000, p.3)
3.1 Introdução
A construção de nossa página foi embasada nas orientações
expostas nos estudos preliminares apresentados no capítulo I. Nesse capítulo,
descrevemos as escolhas feitas na elaboração do material na tentativa de
maximizar seu potencial de aprendizagem.
Expomos também os quadros que consolidam essa proposta, que
foram inseridos na apresentação do curso, presente na página da Internet
(anexo XVI).
3.2 Idealização da página da Internet
Para a concepção de nossa página sobre Geometria Hiperbólica,
orientados pelos pontos positivos e negativos do emprego da Internet na
educação, empregamos alguns critérios listados por Kalinke (2003), descritos
no capítulo I.
Uma vez que utilizamos os conceitos da Teoria das Situações
Didáticas na elaboração das atividades, expostos no capítulo II, entendemos
que a abordagem construtivista pode ser considerada na elaboração do
77
material didático, pois ambas consideram que o aprendizado ocorre por
adaptação a novas situações propostas aos alunos e que o aprendiz torna-se o
protagonista de seu aprendizado.
As primeiras pesquisas em Didática da Matemática se apoiaram em alguns aspectos fundamentais do construtivismo de Piaget, como a noção de desenvolvimento cognitivo e o papel central da ação no desenvolvimento. De acordo com essa concepção, o conhecimento está, de fato, intimamente ligado à ação e à experimentação do sujeito e tem sua origem na atividade do sujeito em relação aos objetos. (ALMOULOUD, 2007, p. 24, grifo do autor)
Apresentamos a Tela Inicial da página e, posteriormente, as
justificativas de nossas escolhas:
Figura 3.1: Página - Tela Inicial
1. Quantos aos aspectos construtivistas:
78
• Ferramentas de Interação
Nossa proposta se for utilizada em conjunto com os recursos de uma
plataforma de ensino a distância, poderá ser complementada com as
ferramentas síncronas e assíncronas, que favorecerão a interação do aluno,
tanto com os outros alunos como com o mediador.
Caso contrário, pensando em um ensino presencial, o material
poderá ser hospedado em um servidor, para que os alunos possam acessá-los
remotamente, permitindo a realização das tarefas. Dessa forma, o correio
eletrônico poderá contribuir para as trocas entre os pares e o professor.
• Tratamento do Erro
Outro ponto comum entre as teorias Construtivista e a proposta por
Brousseau é o tratamento do erro. Estas consideram um erro como uma
oportunidade de aprendizagem, como uma constatação da necessidade de se
trabalhar novamente um determinado conteúdo, não apreendido pelo aluno.
As situações didáticas foram propostas para que possam permitir ao
aluno a retomada do conteúdo, após a verificação de um desempenho não
satisfatório, como no caso das construções geométricas. Na elaboração das
demonstrações e análises das situações propostas, optamos por propor uma
discussão dos pontos não alcançados pelos alunos, seguida de uma nova
institucionalização.
• Ambiente Dinâmico
Em nossas atividades, constam momentos de investigação dinâmica
das construções geométricas disponibilizadas e de outras construídas pelo
aprendiz, que devem contribuir para que o aluno aproprie-se do conhecimento
em questão.
2. Quantos aos aspectos ergonômicos:
79
• Legibilidade
Procuramos utilizar cores claras, letras grandes e disposição de links
sem que possam poluir visualmente o texto ou levar o indivíduo a uma
navegação cansativa. Dispusemos o conteúdo por tópicos, criando assim
atividades mais curtas e específicas, o que também contribui para a conclusão
das tarefas.
Optamos por criar seções específicas para listar os softwares
relacionados com nossa proposta, bem como o site do software Cinderella.
Entendemos que os acessos poderão ser feitos em momentos pontuais, sem
concorrer com a leitura e execução das atividades.
Nas páginas do site, criamos uma borda nas margens de maneira a
centralizar o conteúdo, facilitando, dessa forma, a impressão das telas, sem a
necessidade de formatação específica.
• Documentação
Incluímos duas seções na página inicial voltadas a esclarecer o
aluno:
Mapa do Site: apresenta a disposição dos tópicos na página,
contribuindo para uma navegação satisfatória (anexo XV).
Apresentação: as intenções de nossa proposta são explicitadas.
Além da preocupação dos conceitos das teorias construtivista e
ergonômica descritas acima, seguindo as orientações do design
instrucional, idealizamos nossa proposta didática, segundo o roteiro
sugerido no curso “Educação a distância na prática”, ministrado pela
PUC-SP, incluímos os seguintes quadros, na tentativa de apresentar
as intenções do curso (anexo XVI):
Quadro A: Descrição do Curso
Quadro B: Dinâmica do Curso
Quadro C: Conteúdo Programático do Curso
80
• Navegabilidade
Incluímos seções específicas na página inicial com a intenção de
segregar os conteúdos:
Tópicos Históricos: apresentam um resumo histórico do
desenvolvimento das geometrias não-euclidianas (anexos I ao XIII).
Demonstrações: mostra um histórico do desenvolvimento da
demonstração Matemática, tendo como objetivo a apresentação da
linguagem que será utilizada nas atividades (anexo XIX).
Atividades: contém as 13 atividades que tratam do conteúdo a ser
estudado, apresentadas no capítulo IV.
Outros: apresenta os questionários inicial e final e também as séries
de exercícios apresentados no capítulo IV.
Atividade Final: apresenta uma atividade a ser elaborada ao término
do curso, na qual constam questões sobre o conteúdo proposto,
apresentada no capítulo IV.
A separação por tópicos visa a contribuir para que o aluno acesse as
seções que julgar necessárias, pois caso tenha conhecimentos prévios sobre o
aspecto histórico do desenvolvimento da Geometria, ou ainda, a respeito das
demonstrações, possa se dirigir diretamente às atividades propostas. Dessa
forma, optamos por incluir nos tópicos históricos algumas retomadas,
permitindo, assim, que o aluno percorra a leitura de acordo com suas
necessidades.
Ressaltamos ainda a importância didática da introdução histórica no
estudo das outras geometrias. Segundo Speranza,
Apresentada [geometria não-euclidiana] sem um adequado fundo epistemológico da parte do professor, é fácil que nos alunos suscite a
81
impressão que se trata de uma ‘geometria de loucos’. O professor deverá conhecer e apresentar, mais que demonstrações dos teoremas não euclidianos, uma visão global do problema, deverá se preocupar que também os alunos conheçam o que significou essa ‘revolução’ no desenvolvimento do pensamento matemático...(SPERANZA, 1996, p.4, tradução nossa do original italiano).
Concordamos com Moran sobre a importância de uma avaliação
contínua, que considere o progresso do indivíduo ao longo do curso:
Acho que toda avaliação, seja ela virtual ou presencial, deve ser continuada; o que significa que devemos avaliar não apenas um questionário de perguntas e respostas previamente elaboradas, mas devemos levar em conta também a participação do aluno, com dúvidas, comentários, críticas e atitudes em relação aos conteúdos abordados e em relação ao grupo e ao professor. Além disso, a pesquisa, o desenvolvimento de projetos, a criatividade nos trabalhos, a organização e, sobretudo, a flexibilidade com que o aluno faz conexões e relações entre em diversos temas, autores e áreas de conhecimento devem ser levados em consideração na avaliação (MORAN, 2006, p.4).
No decorrer do curso, idealizamos os seguintes momentos, que
possibilitarão avaliar o aprendiz, mesclando as avaliações diagnósticas,
somativas e formativas:
• Questionário Inicial: embora não seja uma avaliação
tradicional, pretendemos levantar o contato prévio do aluno
com as geometrias e as demonstrações, para melhor
entender sua formação, além de seus dados profissionais.
Estes nos darão uma visão da situação inicial do aluno;
• Atividades: as atividades prevêem momentos de entrega de
exercícios, quando será possível levantar as eventuais
dificuldades encontradas pelos aprendizes;
• Séries de Exercícios: é um momento destinado a verificação
do aprendizado, da construção dos saberes em jogo, que nos
darão subsídios para a avaliação;
• Atividade Final: a atividade final, por contemplar situações em
que se espera que o sujeito aplique os conhecimentos
82
adquiridos em situações novas, proporcionar-nos-ão um
momento precioso na avaliação;
• Correio Eletrônico: procuraremos incentivar o uso do correio
eletrônico na troca de experiências e a apresentação de
dúvidas, que nos permitirão analisar os avanços conquistados
pelos sujeitos.
O processo de avaliação continuada poderá se dar pelas
observações dos itens: participação, interesse, entrega de material e
contribuição ao grupo.
83
CAPÍTULO IV
SEQUÊNCIA DIDÁTICA
Especificamente quando se trata do material didático para educação a distância, sabe-se que a alta qualidade pedagógica é essencial para o sucesso em sua utilização. Parte-se do princípio de que qualquer pessoa é capaz de aprender por si só (auto-
aprendizagem) desde que tenha acesso a materiais suficientemente compreensíveis e atrativos.
(FLEMMING, D.M.; LUZ, E.F. e COELHO, C. , 2000, p.1)
4.1 Introdução
No capítulo IV, apresentamos as atividades propostas na seqüência
didática e as respectivas análises a priori com nossas intenções didáticas.
Incluímos, também, a descrição da experimentação e as análises a posteriori.
Concluímos com uma reflexão a respeito das alterações pertinentes que foram
inseridas nas atividades.
4.2 Delineamento da experimentação
Para a realização da pesquisa, optamos por testar nosso material
didático na modalidade presencial, pois entendemos que a análise da
observação direta dos alunos pode enriquecer os resultados da pesquisa.
Acreditamos que tais observações irão nos munir de dados que
poderão contribuir para alterações pontuais nas atividades propostas.
4.2.1 Preparação do Ambiente
Definimos a instalação do material no laboratório da PUC-SP, no
qual realizamos os encontros e, também, foi criado um link na página do grupo
de pesquisa30, para que os alunos pudessem acessar remotamente as
atividades, dando continuidade aos trabalhos (anexo XVII).
4.2.2 Público-alvo
30 http://www.pucsp.br/pensamentomatematico/
84
O projeto-piloto foi realizado com uma turma, formada por 11 alunos,
do curso de Mestrado Profissional em Ensino de Matemática, na disciplina
Tópicos de Geometria, no período de 19 de agosto a 18 de setembro de 2008.
4.2.3 Dinâmica dos Encontros
Previmos um total de cinco encontros, de três horas de duração, nos
quais pretendíamos percorrer as 13 atividades, considerando que parte das
atividades seria realizada como tarefa, pois os alunos contavam com o uso do
link na página do programa.
As observações foram realizadas pela pesquisadora. Os encontros
iniciais, que visaram a percorrer os pré-requisitos, foram dedicados à
apresentação da proposta e à institucionalização desses saberes. Nos demais
encontros, pudemos observar também momentos de ação, formulação e
validação. Pretendíamos propor que parte das tarefas fosse realizada em grupo
e parte individualmente, para que pudéssemos, analisando os desempenhos,
verificar a eficácia de nosso material frente a tais situações.
Mas como relatamos a seguir, percebemos que o trabalho em grupo
mostrou-se mais produtivo, pois os alunos sentiram-se mais seguros em propor
alternativas de resolução das questões. Entendemos que tal fato deveu-se, em
parte, pelo hábito que os mesmos possuíam de trabalhar em dupla,
incentivados pela maioria das disciplinas do curso e, em parte, pela pouca
familiaridade com o tema abordado.
Diante do exposto, percorremos na experimentação as atividades de
Introdução até a Atividade 8: Triângulos.
4.3 Análises da Seqüência Didática e Resultado da E xperimentação
A apresentação e as análises da seqüência didática, composta de
13 atividades, duas relações de exercícios, questionários inicial e final e uma
atividade de avaliação, são descritas a seguir:
4.3.1 Introdução: Explicando o software Cinderella e as atividades
propostas
85
Análise a priori
Os principais objetivos da atividade de introdução foram apresentar
o software, detalhar a proposta didática, as notações que foram utilizadas nas
atividades, bem como a bibliografia utilizada.
Optamos por uma apresentação dos recursos do Cinderella visando
à familiarização do software. Nosso objetivo foi dar ao aluno uma visão geral
dos ícones e, em seguida, apresentar uma atividade na qual fosse possível o
uso de algumas ferramentas.
Figura 4.1: Introdução (a) - Apresentação do Cinderella
86
Preocupamo-nos, também, em listar os momentos que estariam
presentes nas atividades, como: a exploração dinâmica das figuras, a
apresentação das demonstrações, as construções geométricas, as perguntas e
o resumo dos teoremas. Nossa pretensão foi esclarecer a proposta e explicitar
o que se esperava do aluno em cada situação.
Figura 4.2: Introdução (b) - Apresentação da Seqüência
87
Propusemos uma construção geométrica pretendendo não só a
experiência com o software, como também a apresentação do recurso
disponível no Cinderella, que é a criação prévia de exercícios. Este recurso
possibilita que os passos da construção sejam apresentados ao aluno, caso ele
tenha dificuldades para executá-los. Entendemos que esta ferramenta seja
benéfica, pois possibilita a pronta correção do exercício. O aluno, após a
verificação de algum passo, poderá reiniciar e concluir a construção com
sucesso.
Se o aprendiz desconhecer os softwares de Geometria e tiver
eventual dificuldade em prosseguir, inserimos o link Construções Geométricas
(anexo XIX) com duas construções elementares da Geometria Euclidiana,
detalhadas passo a passo. Nossa intenção é minimizar os possíveis entraves.
88
Figura 4.3: Introdução (c) - Exercício de construção geométrica com o uso do Cinderella
Esta atividade possibilitou a visualização da construção nos modelos
euclidiano e hiperbólico, outro recurso do software que objetivou um primeiro
contato com o disco de Poincaré. Esperamos que os alunos, após a exploração
dinâmica, percebam como são representados os segmentos, triângulos e
circunferências hiperbólicas.
89
Figura 4.4: Introdução (d) - Exercício resolvido com a ferramenta “visualizar próximo passo”
As notações utilizadas e a bibliografia consultada foram
apresentadas ao final da atividade.
90
Figura 4.5: Introdução (e) - Notações e Bibliografia
Análise a posteriori
O primeiro encontro contemplou uma apresentação inicial de nossa
proposta e percorreu as atividades de Introdução, Atividade 1 e Atividade 2,
consideradas como pré-requisitos ao estudo da Geometria Hiperbólica.
Estavam presentes os 11 alunos da turma.
1. Apresentação
Inicialmente, a pesquisadora apresentou uma visão geral da
proposta (anexo XVIII), com a intenção de explicitar aos alunos as intenções da
pesquisa e apresentar a página construída para o estudo da Geometria
Hiperbólica. Ressaltamos, também, a importância da contribuição dos alunos à
presente pesquisa.
O orientador da dissertação estava presente e acrescentou a
relevância histórica do estudo das outras geometrias e, também, a
oportunidade para o grupo de participar do projeto, tendo oportunidade de
apreender esse saber.
Os alunos mostraram-se receptivos; trabalharam individualmente em
suas respectivas máquinas, no laboratório previamente preparado para que as
máquinas tivessem acesso à nossa página.
Exploramos a navegação da página para que os alunos
familiarizassem-se com o material proposto. Exploramos os links iniciais e
relatamos brevemente suas respectivas funções. Os links acessados foram:
91
“Mapa do Site”, “Apresentação”, “Tópicos Históricos”, “Demonstrações”, “Sites
Relacionados”, “Software Cinderella” e “Atividades”. Os alunos tiveram
oportunidade de navegação individual pela página.
Solicitamos que a leitura completa do link “Apresentação” fosse
realizada posteriormente.
2. Atividade de Introdução
Ao considerar que os alunos possuíam alguma familiaridade com
softwares de geometria dinâmica, optamos por apresentar diretamente um
exercício interativo de construção geométrica, para observar se estes
apresentariam alguma dificuldade com a utilização do Cinderella.
Nesse primeiro contato com o software, observamos que, mesmo
não sendo explicitados todos os ícones, os alunos trabalharam intuitivamente
sem apresentar dificuldade na realização da construção geométrica.
Identificamos os momentos de ação e formulação que foram vivenciados pelos
alunos. A validação foi feita pelo software que, após a conclusão com sucesso
da construção geométrica, retornou o texto “Correto!”.
Os alunos não precisaram utilizar o recurso de “visualizar o próximo
passo” e entendemos assim que a Atividade de Introdução, que visava ao
conhecimento do software, foi realizada com sucesso.
Os alunos mostraram-se, em especial, interessados com a criação
dos exercícios interativos proporcionados pelo software.
4.3.2 Atividade 1: Axiomatização de Hilbert
Análise a priori
A Atividade 1 teve o propósito de introduzir a base axiomática
utilizada nas demonstrações. Optamos pela axiomatização de Hilbert, em
detrimento da axiomatização de Euclides, por acreditar que a primeira fosse do
conhecimento dos alunos. Embora em algumas atividades, pelo desenrolar
histórico, tenhamos nos reportado também à proposta euclidiana. Limitamo-nos
92
a listar somente os axiomas da geometria plana, com exceção do postulado
das paralelas, que atende ao propósito do presente estudo.
Figura 4.6: Atividade 1 (a) - Apresentação da Axiomatização de Hilbert
Pelo exposto no parágrafo precedente, ou seja, admitindo que os
axiomas fossem do conhecimento do público-alvo, disponibilizamos o Resumo
da Geometria Neutra, composto por:
• Termos primitivos
• Relações Primitivas
• Axiomas de Incidência
• Axiomas de Ordem
• Axiomas de Congruência
• Axiomas de Continuidade
• Termos Definidos
• Alguns teoremas demonstrados sem o V Postulado
93
Algumas propriedades também foram incluídas e usadas nas
justificativas de alguns passos das demonstrações elaboradas. Com a
introdução desse resumo, pretendemos disponibilizar ao aluno um dos pré-
requisitos necessários para iniciar o estudo da Geometria Hiperbólica.
94
95
Figura 4.7: Atividade 1 (b) - Resumo da Geometria Absoluta e Propriedades
Após definir o ponto de partida para nosso estudo, apresentamos
uma atividade de construção geométrica seguida da apresentação da
demonstração do primeiro teorema listado no quadro-resumo. Pretendíamos,
mais uma vez, que os alunos familiarizem-se com o recurso do software antes
de ingressar no estudo da Geometria Hiperbólica propriamente dita e
percebessem que o teorema em questão não utiliza o postulado das paralelas
(ou algum teorema que seja justificado por ele) em sua demonstração, o que
justifica sua inclusão na lista de teoremas da geometria absoluta.
96
Figura 4.8: Atividade 1 (c) - Exercício de Construção e demonstração
Na atividade apresentada acima, optamos por incluir a
demonstração do teorema, para explicitar que a hipótese e a tese foram
97
apresentadas, os passos listados e justificados com base no resumo
elaborado.
Análise a posteriori
A pesquisadora dissertou sobre essa atividade, focada na
apresentação de um dos pré-requisitos necessários ao estudo axiomático da
Geometria Hiperbólica. Foi ressaltado que a substituição do V Postulado (de
Euclides) por outro (Axioma das Paralelas) possibilita a construção dessa
geometria. Exploramos o Resumo da Geometria Absoluta (RGA) e explicitamos
que ele seria a referência às justificativas dos passos das demonstrações.
Nesse momento, foi perguntado aos alunos se eles possuíam
conhecimento prévio da axiomática proposta por Hilbert e, também, sobre
Lógica Clássica. Um dos alunos explicitou o conhecimento dos axiomas,
relatando que estes não costumam ser apresentados em sua totalidade. Quatro
alunos afirmaram ter esse conhecimento, dois alunos afirmaram que os
desconheciam, embora conhecessem a Geometria Euclidiana.
A última parte da atividade contou com a apresentação da
demonstração de um dos teoremas da Geometria Euclidiana. A demonstração
foi percorrida pela pesquisadora, que procurou ressaltar que, nesta e nas
demais demonstrações, seriam apresentadas a hipótese e a tese. Ressaltou
também que as demonstrações seriam expostas em três colunas, com as
respectivas justificativas de cada passo dado, com o emprego do Resumo da
Geometria Hiperbólica (RGH), disponibilizado no site.
Na explanação dos passos da demonstração, as justificativas foram
detalhadas. Os alunos contribuíram com suas explicações. Citou-se também a
estratégia de raciocínio chamada Negação da Tese, utilizada na demonstração
em questão. Todos os alunos afirmaram conhecê-la. No passo em que havia
uma contradição lógica, alguns alunos não conseguiram percebê-la de
imediato; este passo precisou ser explicado pela pesquisadora, para que fosse
compreendido. O pouco contato com o RGA dificultou a sugestão das
justificativas.
98
Sugerimos a leitura completa da atividade, inclusive do RGA,
ressaltando que este seria utilizado nas demais atividades da seqüência
didática. Esperávamos que tal leitura contribuísse para a produção das
próximas demonstrações.
Ao analisar o perfil do grupo, elaborado com a análise do
Questionário Inicial, notamos que o pouco contato na graduação com a
Geometria Euclidiana, apresentada de forma axiomática, explica, em parte, a
dificuldade para contribuir com as justificativas dos passos apresentados na
demonstração.
Em razão da pesquisa ser programada em cinco encontros, optamos
por apresentar o RGA, mas a atitude dos alunos nos fez refletir a respeito.
Percebemos que precisam de um tempo maior dedicado ao estudo (seja inicial
ou de recordação) dos teoremas da Geometria Absoluta e Euclidiana, pois
essa distinção não é, de forma alguma, clara para eles.
4.3.3 Atividade 2: Explorando o Disco de Poincaré
Análise a priori
A atividade contou com um momento inicial de exploração dinâmica
de retas, segmentos de retas, ângulos e medidas de ângulos nas duas
geometrias. Nosso objetivo foi criar uma situação de desequilibro, para que o
aluno confrontasse seu conhecimento da Geometria Euclidiana com uma nova
possibilidade, na qual as retas hiperbólicas eram representadas por “curvas”
euclidianas.
99
Figura 4.9: Atividade 2 (a) - Exploração: retas, segmentos, ângulos
Mais uma vez empregamos o recurso disponível no software que
permite, ao movimentar os elementos em um plano, visualizar o mesmo
movimento no outro, ou seja, se movimentamos, por exemplo, o segmento FG,
no primeiro plano, este ocorrerá no plano hiperbólico. Poderemos ainda
“perceber” como se comportam tais elementos nos respectivos planos.
Em seguida, preocupamo-nos em definir e construir
geometricamente o modelo de Poincaré e relacionar as interpretações dos
termos primitivos. Optamos por introduzir a construção da circunferência
ortogonal a uma circunferência dada, para que o aluno pudesse identificá-la no
modelo de Poincaré, disponibilizado pelo Cinderella. Pretendíamos que o aluno
percebesse as características do modelo que iria utilizar e efetuasse as
conversões necessárias para trabalhar com as duas geometrias.
O software Cinderella disponibiliza dois modelos hiperbólicos: o de
Klein e o de Poincaré. Embora tenhamos detalhado tais modelos no capítulo I,
elaboramos as atividades propostas no modelo de Poincaré, pois é o mais
comumente divulgado.
O link Inversão (anexo XX) apresenta uma formalização de Inversão,
necessária para o entendimento das circunferências ortogonais que
representam as retas hiperbólicas nesse modelo.
100
101
Figura 4.10: Atividade 2 (b) - Apresentação do modelo de Poincaré
As Atividades 1 e 2 são consideradas introdutórias e visam a dar os
requisitos mínimos para que o aluno inicie o estudo axiomático da Geometria
Hiperbólica.
Análise a posteriori
Iniciamos a atividade apresentando o conceito de Inversão. Em
seguida, propusemos a realização da investigação dinâmica presente no inicio
da atividade.
Nessa investigação esperava-se que os alunos concluíssem que, no
modelo hiperbólico, os arcos são ortogonais à circunferência limite, mas
pudemos perceber que o resultado dessa atividade não atendeu às nossas
expectativas.
Após a investigação realizada individualmente (ação) e discutida no
grupo (formulação), os alunos notaram que os segmentos de reta ao se
aproximarem do centro, ou seja, quando um de seus pontos aproxima-se ou
102
coincide com o centro da circunferência limite, ele apresenta a aparência de um
segmento de reta, no sentido euclidiano. Quando o segmento de reta afasta-se
do centro da circunferência, aproximando-se da borda da circunferência limite
ele se comporta como um arco, no sentido euclidiano. Mas não foi possível
perceber a ortogonalidade das circunferências, que só foi assimilada após a
dialética da institucionalização.
Esta experiência nos fez repensar a seqüência da exposição
proposta nessa atividade. Vislumbramos uma nova construção de exploração,
na qual a construção geométrica das circunferências ortogonais fosse
visualizada, após a definição de Inversão.
No encerramento do encontro, propusemos aos alunos que as
seguintes tarefas fossem executadas até o encontro seguinte, acessando
nossa página pelo link disponibilizado no site do grupo de pesquisa:
1. O preenchimento do Questionário Inicial;
2. A leitura completa das atividades apresentadas em sala de
aula e a execução das demais construções geométricas da
atividade de Introdução; e
3. A leitura dos seguintes tópicos históricos: do Início da
Geometria até Geometria Absoluta.
A leitura dos tópicos históricos foi solicitada, pois pretendíamos
propor, no início do próximo encontro, um debate sobre as questões contidas
na primeira série de exercícios. Além das informações a respeito da
apresentação e do conteúdo, esperávamos também colher informações a
respeito dos aspectos ergonômicos do site observados durante a execução
dessas tarefas.
4.3.4 Atividade 3: Retas no Plano
Análise a priori
103
A Atividade 3 teve por objetivo introduzir o conceito das retas
hiperbólicas. Iniciamos essa atividade apresentando as primeiras definições
hiperbólicas: retas paralelas assintóticas, paralelas divergentes, secantes e
sentido de paralelismo.
Figura 4.11: Atividade 3 (a) - Definições e Teoremas da Geometria Hiperbólica
Optamos por incluir uma situação de exploração das retas paralelas
divergentes para que o aluno verificasse seu comportamento, antes de
introduzir o respectivo teorema. Esperávamos que observassem que tais retas
mantêm o paralelismo com a reta a. Nesse momento de ação, o software
exerce um papel fundamental na investigação.
Figura 4.12: Atividade 3 (b) - Exploração dinâmica das retas hiperbólicas
104
Decidimos por apresentar as demonstrações dos teoremas 01 e 02
para que o aluno se familiarizasse com as demonstrações, sobretudo as
elaboradas por negação da tese, e observasse como os passos foram
justificados. Pretendíamos incentivar que o aprendiz apresentasse suas
eventuais dúvidas nas demonstrações que elaboramos.
105
Figura 4.13: Atividade 3 (c) - Demonstração dos teoremas hiperbólicos 1 e 2
Introduzimos um momento de reflexão por meio de uma pergunta
sobre o conteúdo estudado (figura 4.14). Previmos uma situação em que estão
presentes as dialéticas de ação, formulação e validação. O aluno, confrontando
seus conhecimentos da Geometria Euclidiana com a nova situação, pode
106
analisar, investigar e formular, mesmo que individualmente, sua resposta.
Inserimos as “análises de situações” nas demais atividades também com esse
objetivo.
Esperávamos que o aluno recuperasse seu conhecimento sobre a
transitividade das retas paralelas e comparasse tal conhecimento com a
situação proposta.
Finalizamos esta e todas as demais atividades com a atualização do
Resumo da Geometria Hiperbólica, para ser empregado na atividade seguinte.
Figura 4.14: Atividade 3 (d) - Reflexão sobre a transitividade das paralelas
Análise a posteriori
A atividade foi iniciada com a proposta da leitura do primeiro axioma
e das definições 1 e 2 da Geometria Hiperbólica. Após a leitura, os alunos
relataram seus entendimentos. A substituição do axioma das paralelas pelo
axioma proposto foi comentada, pois em conjunto com a RGA seria nosso
ponto de partida. Após a institucionalização das “descobertas” relatadas pelos
alunos, iniciamos a atividade de exploração dinâmica.
Nesse momento de ação, com a manipulação individual da figura e
posterior formulação feita em grupos, os alunos rapidamente perceberam que
as retas eram paralelas.
A leitura da respectiva demonstração foi solicitada. No caso de
dúvidas, estas deveriam ser relatadas com a informação do respectivo passo.
No entanto, não houve questionamentos. Percebi certa inibição por parte dos
alunos e prontifiquei-me a ajudá-los. O procedimento foi o mesmo para a
107
definição 3 e o teorema 2. Só nesse momento o Grupo 1 questionou o passo 4
dessa demonstração, afirmando não entender a contradição. Nesse momento,
dirigi-me à lousa, efetuei um desenho (Figura 4.15) e perguntei: “se c é paralela
assintótica à reta a por P, a reta r, que está situada ‘abaixo’ de c é ?”
Figura 4.15: representação de um passo da demonstração do TH 02
O aluno F respondeu: “é secante!”. Então, eu prossegui: “se é
secante pode ser também paralela assintótica, que é o que estamos tentando
provar?”. Ele complementou: “Não. Ah, entendi agora...”.
A última proposta dessa atividade é uma análise de situação.
Solicitei que fosse realizada em casa e enviada por e-mail.
Os alunos, em sua totalidade, responderam corretamente. Podemos
exemplificar por meio das seguintes respostas (Quadro 4.1):
Quadro 4.1: protocolos da análise de situação – atividade 3 Aluno G: “As retas b e c não são paralelas, pois elas se intersectam no ponto P”.
Aluno D: “As retas não serão paralelas, pois se intersectarão e terão um ponto em
comum”.
Aluno I: “Não, pois como as retas b e c encontram-se no ponto P, elas são
concorrentes”.
Aluno F: “Não, as retas b e c são concorrentes, pois se encontram no ponto P”.
Podemos inferir que, mesmo após a “surpresa” do comportamento
das retas hiperbólicas, foi possível aplicar corretamente um conhecimento da
Geometria Euclidiana (transitividade das paralelas) na resolução da análise
proposta.
108
4.3.5 Atividade 4: Ângulo de Paralelismo
Análise a priori
Inicialmente, definimos o conceito de ângulo de paralelismo e em
seguida apresentamos uma situação de exploração dinâmica para que o aluno
percebesse o comportamento dos ângulos de paralelismo. Após a
investigação, pretendíamos que o aluno identificasse que eles eram
congruentes e agudos, conforme demonstramos na seqüência.
Figura 4.16: Atividade 4 (a) - Exploração dinâmica do ângulo de paralelismo
Nesse momento, optamos por apresentar a demonstração que se
divide em duas etapas, para que o aluno observasse os passos dados e
reforçasse o aprendizado de demonstrações pela negação da tese.
Concordamos com Duval que a aprendizagem de uma demonstração não é
natural, pois necessita de um aprendizado explícito.
109
110
Figura 4.17: Atividade 4 (b) - Demonstração dos teoremas hiperbólicos 2 e 3
Apresentamos uma análise de situação sobre o conteúdo,
esperando que o aluno, em um momento de ação e validação, percebesse a
relação entre a altura e os ângulos de paralelismo. Nessa dialética de ação,
vislumbramos o surgimento de alguma dificuldade na aceitação de que,
movimentando dinamicamente a figura, os segmentos permanecessem
congruentes. A expectativa deveu-se ao comportamento dos arcos ortogonais,
que se comportam diferente dos segmentos de retas euclidianos.
111
Figura 4.18: Atividade 4 (c) - Exploração dinâmica: altura e o ângulo de paralelismo
Análise a posteriori
Depois da leitura da definição 4, os alunos explanaram seus
entendimentos para a turma. A investigação dinâmica foi iniciada
individualmente. Após movimentarem o ponto P, foi verificado rapidamente que
as medidas dos ângulos eram sempre as mesmas e que variavam de 0º à 90º,
exclusive. Embora tivessem verificado corretamente, não expressaram que o
ângulo era agudo.
A leitura da demonstração foi solicitada, mas os alunos B, E e K
continuaram movimentando a construção anterior e analisando as paralelas
assintóticas e os ângulos de paralelismo. Retomaram as definições
apresentadas (paralelas assintóticas, paralelas divergentes, secantes e ângulo
de paralelismo). Percebi que os mesmos estavam se familiarizando com tais
conceitos. Um deles desenhou no papel uma representação desses entes
geométricos, acrescentando “agora estou começando a entender...” Nesse
momento, foi possível perceber as mudanças de concepções necessárias para
a compreensão dessa geometria.
A última proposta da Atividade 4 foi a análise de uma situação.
Solicitei a exploração dinâmica em sala e o posterior envio eletrônico da
resposta.
Realizando a investigação dinâmica, o aluno B afirmou que não
conseguia se “convencer” que os segmentos vermelhos (congruentes)
possuíam o mesmo comprimento quando um deles se aproximava da
circunferência limite (Figura 4.19).
112
Figura Inicial Figura após movimentação do ponto C
Figura 4.19: atividade 4: análise de situação
Nesse momento, retomei a Atividade 2: Explorando o disco
Poincaré, reforçando o comportamento das circunferências ortogonais.
Depois de uma reflexão sobre o fato, ocorreu-me que a inclusão na
figura da medida dos segmentos e não só a informação que os mesmos eram
congruentes, poderia contribuir para a apreensão do aluno. Percebemos
também a importância de incluir um trabalho com as medidas no modelo
hiperbólico.
Após o reforço das atividades que deveriam ser entregues por e-
mail, o encontro foi encerrado.
Havia planejado iniciar a Atividade 5 nesse segundo encontro,
porém notei que os alunos foram impactados pelos conceitos iniciais dessa
geometria e necessitavam de um tempo maior para assimilá-los.
As respostas da análise de situação proposta na Atividade 4
(Quadro 4.2) revelaram que foi possível perceber a relação entre o ângulo de
paralelismo e a altura do segmento dado, considerando uma redação informal.
Quadro 4.2: protocolos da análise de situação – atividade 4 Aluno G: “Inicialmente podemos perceber pela movimentação da figura que dois
segmentos de mesma altura definem ângulos de paralelismo de mesma medida....”.
Aluno K: “A altura de um segmento de reta determina a medida do ângulo de
paralelismo, isto é, as retas paralelas assintóticas a uma reta dada, por pontos que
apresentam a mesma distância dessa reta, determinam ângulos de paralelismo
113
congruentes”.
Aluno B: “Explorando o software, podemos observar que quando variamos a altura
dos segmentos CD e EF, o ângulo de paralelismo permaneceu igual. Observei ainda
que quanto maior a altura do segmento, menor é o ângulo de paralelismo formado e
quanto menor o segmento, maior o ângulo formado, atingindo o máximo de 90º”.
4.3.6 Atividade 5: Explorando as retas hiperbólicas
Análise a priori
Na Atividade 5, apresentamos seis investigações sobre as retas
hiperbólicas; após cada investigação, listamos os respectivos teoremas. Nossa
tentativa foi criar uma situação na qual o aluno “verificasse” os principais
teoremas das retas com base na construção dada. Pretendíamos que o
aprendiz, interagindo com as construções geométricas pudesse em um
primeiro momento, se convencer da veracidade desses teoremas e se sentisse
motivado a demonstrá-los.
114
115
Figura 4.20: Atividade 5 (a) - Investigações dinâmicas das retas hiperbólicas
Na seqüência, apresentamos mais um teorema, solicitando sua
demonstração. Explicitamos que, para tanto, seria necessário o emprego de
um dos cinco teoremas previamente apresentados. Identificamos a “devolução”
de um problema ao aluno e pretendemos analisar se o mesmo, refletindo sobre
os três tipos de retas, conclua a demonstração solicitada.
Tal demonstração requer um raciocínio elaborado, em que o aluno
para concluir a demonstração, deve perceber que, escolhendo as demais
opções, se depara com uma contradição.
116
Figura 4.21: Atividade 5 (b) - Exercício de demonstração do teorema 08
Pretendíamos disponibilizar as respostas das demonstrações
solicitadas como exercício, nesta e nas demais atividades, após o recebimento
da resposta do aprendiz. Entendemos que o acesso às respostas constitui um
ponto importante que permite ao aluno não só uma auto-avaliação, como
também a compreensão dos pontos ainda não claramente assimilados. Em
contrapartida, ao recebermos as respostas, pretendíamos identificar os
avanços e as dificuldades que enfrentaram.
Análise a posteriori
No terceiro encontro estavam presentes 11 alunos.
O aluno D informou-me que, após acessar o endereço eletrônico da
página do grupo de pesquisa, as figuras realizadas com o Cinderella não foram
atualizadas. Informei sobre a necessidade de ter instalado o JAVA no
117
computador. O fato fez-me pensar na inclusão de um link que contemplasse
algumas informações técnicas para que a página fosse corretamente
atualizada.
No início da Atividade 5, foi explorada a situação 1. Os alunos
imediatamente verificaram o TH 04. O mesmo ocorreu com as demais
situações dessa atividade, pois os alunos rapidamente “concordaram” com os
teoremas apresentados, após a investigação dinâmica das figuras
apresentadas.
Recebi como sugestão a utilização de cores para melhor
identificação do nome atribuído a uma determinada reta, pois, em algumas
construções, a tarefa torna-se difícil. Exemplificando, na Figura 4.22,
percebemos a dificuldade de identificar qual é a reta a (a reta vermelha ou a
reta azul).
Figura 4.22: representação das retas
Na seqüência, foi solicitado que os alunos redigissem uma
demonstração para o TH10, em casa, e enviassem por e-mail. Foi ressaltado
que, mesmo se eles não conseguissem realizar a demonstração por completo,
que os passos percorridos fossem enviados. Explicitei também que eles
deveriam examinar todos os tipos de retas que passam por T e, após identificar
as contradições, poderiam, finalmente, concluir a tese do teorema proposto.
No encontro seguinte, informei que havia recebido, por e-mail,
somente a atividade realizada pelo aluno B. Perguntei o motivo da não
realização das tarefas e os alunos argumentaram falta de tempo e um, em
especial, relatou que havia tentado realizar a demonstração, mas não havia
conseguido.
118
Alterando a proposta inicial do encontro sugeri que os exercícios
fossem realizados em grupo, durante a aula, o que me permitiria acompanhar
as dificuldades encontradas na execução das tarefas. Eles concordaram e
disseram que preferiam assim. Esperava utilizar parte da aula e,
posteriormente, iniciar a proposta do dia, porém, para realizar as tarefas, os
alunos necessitaram das três horas de nosso encontro, para debaterem em
grupo e elaborar as demonstrações que foram entregues no final da aula.
No último encontro, ao percorrer os grupos e colher um feedback da
participação da pesquisa, os alunos reforçaram que não realizaram a atividade
em casa, individualmente, porque não conseguiram. Eles se sentiram
inseguros e esta sensação só foi diminuindo durante as atividades em grupo,
realizadas em sala de aula. Nesse momento, ao verificarem que conseguiam
argumentar, discutir e utilizar os conceitos apresentados, eles passaram a se
sentir mais seguros e verificaram que era “possível” realizar as tarefas.
Os alunos reuniram-se em quatro grupos e realizaram inicialmente a
demonstração do teorema TH 10.
Solicitou-se que eles retomassem os teoremas apresentados nessa
atividade. Após alguns minutos dirigi-me à lousa e elaborei uma representação
(Figura 4.23) desse teorema.
Solicitei-lhes que
pensassem a respeito das
retas (a-parelelas, d-
paralelas e secantes) que
passam por T e tentassem
identificar que tipo de reta
seria a reta d em relação à
reta a.
Figura 4.23: representação do TH 10
119
Os alunos iniciaram os trabalhos. O Grupo 2 questionou-me sobre o
enunciado do teorema que, segundo eles, estava confuso.
O enunciado foi apresentado com a seguinte redação: “Uma reta d
paralela divergente a uma reta a por um ponto P também o será por qualquer
outro seu ponto (T)”.
Tentei elaborar outra redação do teorema: ”Uma reta d é paralela
divergente a uma reta a por um ponto P. A reta d também será paralela
divergente à reta a por qualquer outro ponto de d (por exemplo T)”.
Eles então compreenderam que estávamos falando de dois pontos
distintos da d-paralela d.
O fato levou-me a pensar em reescrever o enunciado desse
teorema.
O Grupo 1 buscou seguir o caminho da demonstração do teorema
TH 01 (atividade 3), mas sem sucesso. Lembrei que, para justificar o TH 10,
seria utilizado um dos teoremas apresentados na Atividade 5. O fato está
explicito na descrição da tarefa. Eles então se voltaram à leitura dos teoremas
dessa atividade.
O aluno B, do Grupo 4 explicitou a dificuldade de “pôr no papel” o
que eles estavam pensando. Ele me mostrou um esboço em que havia a
negação da tese e a descrição das três possibilidades de retas que passam por
T. Prossegui perguntando se a reta d pode ser secante à reta a por T. Como
resposta, eles me disseram que não, pois “elas são paralelas”. Então, disse-
lhes: “vocês já têm a conclusão e a justificativa. Pensem agora se d pode ser
uma das a-paralelas à reta a por T”. Eles não conseguiram avançar e deixei-os
trabalhando.
O Grupo 2 ainda apresentava dúvidas sobre o enunciado e explicitei
o que havia dito ao Grupo 4. Eles rapidamente perceberam que as retas d e a
não podiam ser secantes e ficaram pensando na possibilidade seguinte: das
retas serem paralelas assintóticas.
O Grupo 1 não conseguiu avançar. O mesmo ocorreu com o Grupo
3. Nenhum grupo conseguiu associar o TH 04 à justificativa do passo da
demonstração.
120
Para que fosse possível avançar, dirigi-me a cada grupo e pedi que
eles analisassem o TH 04 e a demonstração que estavam elaborando. Após
alguns minutos cada grupo, com exceção do Grupo 2, percebeu a relação.
Conversei com esse grupo elaborando o desenho feito na lousa. Perguntei “se
a reta d fosse a-paralela à reta a por T não seria também por D?”.
“Mas professora e se D e T fossem coincidentes?”.
“Se considerássemos D e T coincidentes, não teríamos a condição
da hipótese, ou seja, a condição de que devemos tomar um ponto distinto de D
e verificarmos se as retas a e d permanecem divergentes por tal ponto (no caso
um ponto T qualquer)”.
Um aluno da dupla percebeu a contradição e, após alguns minutos,
o outro aluno concordou.
Os grupos redigiram a demonstração antes de avançarmos para a
próxima questão. Os grupos A e D questionaram-me se deveriam elaborar a
demonstração necessariamente em três colunas. Respondi que, desde que
justificassem suas conclusões, poderiam redigi-las como preferissem.
Ao analisar os protocolos (Quadro 4.3), verificamos que os grupos
conseguiram identificar a hipótese e a tese do teorema em questão, embora
somente o Grupo 4 tenha explicitado que T é um ponto de d.
Quadro 4.3: protocolos da tese e hipótese do TH 10 Grupo 1:
Hipótese: “Uma reta d paralela divergente a uma reta a por um ponto P”.
Tese:”Uma reta d é paralela divergente pela reta a por qualquer outro ponto”.
Grupo 2:
Hipótese: “Se uma reta d paralela divergente a uma reta a por um ponto P”.
Tese: “Então será por qualquer outro ponto (T)”.
Grupo 3:
Hipótese: “Reta d paralela divergente a uma reta a por um ponto P”.
Tese: “reta d paralela divergente a uma reta a por qualquer outro ponto (T)”.
Grupo 4:
121
Hipótese: “d é d-paralela à a por P”.
Tese: ”d será d-paralela à a por qualquer outro ponto T de d”.
Observamos que as demonstrações foram redigidas por passos,
embora nem todos fossem justificados (Quadro 4.4).
Quadro 4.4: protocolos da demonstração do TH10 Grupo 1:
Demonstração:
- Uma reta d é paralela divergente a uma reta a por um ponto P.
- Seja um ponto T da reta d.
- A reta d pelo ponto T não é paralela divergente à reta a.
- A reta d intersecta a reta a pelo ponto qualquer Q, logo isso é absurdo, a reta a não é
secante à reta d.
- Vamos mostrar que a reta d á assintótica à reta a.
- Pelo TH 04 se a reta d é assintótica à reta a pelo ponto P, ela também o será por um
ponto T qualquer da reta d, mas pela hipótese a reta d é paralela divergente à reta a.
Grupo 2:
Demonstração:
01 - A reta d é divergente à reta a, logo não será secante à reta a.
02 - Qualquer ponto situado em uma reta assintótica à reta a, toda reta que passar por
esse ponto também o será (TH 04).
03 - O ponto T encontra-se na reta divergente à reta a por P, logo não será uma reta
assintótica.
Sendo assim, uma reta d paralela divergente a uma reta a por um ponto P, também o
será por qualquer outro seu ponto T.
Grupo 3:
Demonstração:
Passo 01: Seja uma reta d paralela divergente a uma reta a por um ponto P.
Passo 02: Demonstraremos que a reta d é paralela divergente à reta a por qualquer
outro ponto.
Negação da Tese:
1. A reta d é secante a uma reta a por um ponto T, pertencente
122
a d.
2. Pela hipótese, a reta d é paralela divergente à reta a por um
ponto P. Desta forma, pela definição D10, a reta d também
será paralela à reta a por um ponto T.
Negação da Tese:
3. A reta d é paralela assintótica à reta a por um ponto T.
4. Pelo TH 04, temos que, se a reta d é paralela assintótica a
uma reta a por um ponto T também o será em um ponto P, o
que contradiz a hipótese.
5. A reta d é paralela à reta a por qualquer ponto pertencente à
reta d.
Grupo 4:
Demonstração:
d é d-paralela à a por P –hipótese
Negação da Tese: d não será d-paralela à a por T
Restam as opções: d será a-paralela à direta, à esquerda ou secante.
1. a-paralela à direta: Por TH4, se fosse a-paralela pelo ponto
T, seria também a-paralela por qualquer outro ponto P. Mas
pela hipótese d é d-paralela à a por P (contradição da
hipótese). Absurdo!
2. a-paralela à esquerda: idem
3. Secante: Absurdo, pela hipótese d é divergente à a.
Logo, d só poderá ser d–paralela à a por qualquer outro ponto T de d.
A demonstração solicitada foi construída pela negação da tese,
requerendo também passos do Tipo 1 e 3. Uma vez que a análise das retas
que passam por T, fosse realizada, esperávamos que os alunos pudessem
chegar a um absurdo, partindo da afirmação de que as retas a e d fossem
secantes ou a-paralelas entre si. Observamos tal raciocínio nos protocolos dos
Grupos 3 e 4. Notamos que eles negaram a tese (passo do tipo 1), e
concluíram, a partir da verificação dos absurdos, que as retas só poderiam ser
d-paralelas por T (passo do Tipo 3). Nos mesmos protocolos, vimos que os
123
alunos puderam articular os teoremas e definições estudados para justificar os
passos do Tipo 4, como, por exemplo, na citação do TH 04 e da definição D 10.
Pudemos observar ainda a passagem explicitamente conectada, em uma
substituição de afirmações, como no passo seguinte ao da negação da tese.
Embora os grupos tivessem a opção de elaborar suas
demonstrações livremente, com a observação de sempre justificar os passos
dados, notamos nos protocolos que os grupos que construíram suas
demonstrações seguindo tal instrução, obtiveram melhores resultados. Pela
análise do protocolo do grupo 1 percebemos a dificuldade de relacionar entre si
os passos e a ausência das justificativas que, acreditamos, tenha dificultado
uma conclusão final.
Os dois primeiros itens referiam-se à hipótese e, na seqüência, a
negação da tese. O passo seguinte referia-se à tentativa de concluir que as
retas a e d não eram secantes. Os dois próximos passos visavam concluir que
as retas a e d não eram paralelas assintóticas por T. Percebemos a linha de
raciocínio do grupo que, embora correta, não possibilitou uma explicitação da
tese, como conseqüência lógica dos passos dados.
O Grupo 2 estruturou a demonstração em quatro passos, sendo o
primeiro a observação de que as retas a e d não podem ser secantes; os
segundo e terceiro destinados a concluir que as retas a e d não podem ser a-
paralelas e, finalmente, a conclusão, a partir das conclusões obtidas pelos
passos anteriores.
4.3.7 Atividade 6: Biângulo
Análise a priori
A Atividade 6 destinou-se ao aprendizado dos biângulos. Para tanto,
incluímos sua definição seguida da demonstração do teorema do ângulo
externo.
124
125
Figura 4.24: Atividade 6 (a) - Definição de biângulo e teorema do ângulo externo
A demonstração do próximo teorema foi solicitada e sugerido que a
prova seja construída pela negação da tese. A partir das respostas enviadas,
pretendíamos identificar as possíveis dificuldades com que os alunos se
depararam na tentativa de resolução de uma demonstração que envolvia
passos de diferentes naturezas. Analisamos com esta devolutiva, as dialéticas
percorridas pelo sujeito, ou seja, se ao se deter no teorema foi possível
levantar conjecturas, identificar possíveis “falhas” no raciocínio e formular uma
demonstração.
126
Figura 4.25: Atividade 6 (b) - Exercício de demonstração do teorema 12
Os biângulos apresentam dois casos de congruência que
mostramos, com as devidas demonstrações. Esses teoremas foram
introduzidos na atividade, pois seriam utilizados em futuras demonstrações.
127
128
Figura 4.26: Atividade 6 (c) - Casos de Congruência dos Biângulos
Análise a posteriori
Os alunos realizaram a leitura da definição de biângulo e a
demonstração do TH11. Em seguida, foi institucionalizado esse saber.
Um aluno questionou-me que, para realizar a demonstração, foi
utilizado o conceito de triângulo que ainda não havíamos estudado nessa
129
geometria. Ressaltei que o RGA contempla a definição e os teoremas
relacionados aos triângulos, o que nos permite utilizá-los nas demonstrações.
Pedi que o TH 12 fosse demonstrado, mas antes retomei os
teoremas 27, 28 e 29 de Euclides (T 07 do RGA). Reforcei que, embora
inversos, somente o T 29 não pertencia à Geometria Absoluta.
Em razão do horário, optei por apresentar os casos de congruência
dos biângulos e recomendei que a leitura completa fosse realizada em casa. A
decisão deu-se pelo fato de pretender iniciar a atividade dos quadriláteros,
nesse encontro, para que fosse proposta a resolução da segunda série de
exercícios, em um fórum de discussões.
Retomamos o conteúdo apresentado na Atividade 6, ou seja, a
definição de biângulo e o TH 11. Em seguida, foi elaborada uma representação
do teorema TH 12 (Figura 4.27).
Reforçamos o texto de apresentação
da atividade:
Demonstre o TH12 negando a tese
(considere como hipótese uma das
relações válidas, e prove que d ║a.
Em seguida, negue a tese supondo a
e d paralelas assintóticas à direita e
depois à esquerda, chegando a
contradições).
Figura 4.27: representação do TH 12
Após alguns minutos de trabalho, o Grupo 2 apresentou suas
conclusões. “Pelo TH 11, obtenho uma contradição com a hipótese, pois o
ângulo 7 seria maior que o 3”. Informei que estavam no caminho certo e que
partissem para a redação da demonstração.
O Grupo 4 também concluiu corretamente e apresentou-me um
esboço da demonstração. Reafirmou a dificuldade em redigir a demonstração,
130
mesmo quando já haviam percorrido seus passos. “Falar é uma coisa e
escrever é outra”.
Na seqüência, o Grupo 1 também percebeu a contradição com a
hipótese. O Grupo 3 concluiu o mesmo.
O Grupo 1 falou que tentavam provar o teorema inverso ao teorema
dado, ou seja, duas retas d-paralelas intersectadas por uma transversal
formam ângulos em que se verificam as oito relações dadas. O fato levou-me a
pensar que seria uma oportunidade enriquecedora de, propondo os dois
teoremas, levantar a questão dos teoremas inversos.
Percebi que os grupos trabalharam melhor no segundo teorema e
sentiram-se mais seguros em suas argumentações.
Quadro 4.5: protocolos da demonstração do TH12 Grupo 1:
Hipótese: Duas retas a e d intersectadas por uma transversal t.
Tese: Verifica as relações de ângulos, então, a e d são divergentes.
Demonstração:
- relações: (Atividade 6), mas não são divergentes.
- A reta d e a são assintóticas.
- ^
7 diferente de ^
3 pois, pelo TH 11, logo as retas são divergentes.
Grupo 2:
Hipótese: Se duas retas intersectadas por uma transversal formam ângulos em que se
verifica uma das oito relações
Tese: Então as retas são paralelas divergentes.
Demonstração:
Sejam a e b paralelas assintóticas e t transversal às retas, intersectando-as nos
pontos K e L respectivamente. Seja B e A pontos das retas b e a, respectivamente, do
mesmo lado do paralelismo, formando, assim o biângulo BKLA.
Seja o ponto T da transversal t, abaixo da reta a, formando o ângulo ^
A LT .
Por TH11, ^ ^
A LT B K L> , contrariando a hipótese, pois não se verificam as oito
relações de correspondência angular.
Grupo 3:
131
Hipótese: Se duas retas intersectadas por uma transversal formarem ângulos em que
se verifica uma das oito relações
Tese: As retas são paralelas divergentes.
Demonstração:
Demonstrar que as retas d e a são
paralelas divergentes.
Negação da Tese: a reta d é paralela
assintótica à reta a
1. Se a reta d é paralela assintótica à reta a, à direta, podemos traçar o biângulo
KABL, pelo TH11, temos que o ângulo externo é maior que o ângulo interno
não adjacente no biângulo, o que contradiz a hipótese (oito relações).
2. De forma análoga, o procedimento é válido para a paralela assintótica à
esquerda.
Logo, d é paralela divergente à reta a.
Grupo 4:
Hipótese: Se duas retas a e d intersectadas por uma transversal formarem ângulos em
que se verifica uma das oito relações acima
Tese: a e d são d-paralelas
Demonstração:
Por T06 e T07 da Geometria Absoluta, as retas a e d são paralelas.
Negação da Tese: a e d são a-paralelas
Se fossem a-paralelas à direita por TH11 da Geometria Absoluta teríamos que
^ ^
C B L B A K> . Absurdo, pois contradiz a hipótese. Logo não podem ser a-paralelas.
Raciocínio análogo para a-paralelas à esquerda.
Então, a e d só podem ser d-paralelas.
Os teoremas da Geometria Absoluta T 06 e T 07 nos garantem que
as retas a e b são paralelas e o TH 11 prova que são d-paralelas. Esta
132
demonstração é realizada pela negação da tese. Ela requer, portanto, passos
do Tipo 1, 3 e 4. A partir da negação da tese, esperava-se que os alunos
realizassem duas análises distintas, porém, de mesmo raciocínio: a análise de
que as retas a e d são a-paralelas à direita e à esquerda. Pelos absurdos
encontrados, tais análises levariam a concluir que a e d são d-paralelas.
Identificamos, também, como fator de dificuldade o fato que haver
passos justificados por afirmações não consecutivamente apresentadas.
Exemplificando, as contradições encontradas no desenvolvimento da
demonstração são justificadas pelo absurdo entre a hipótese (passo 1) e,
respectivamente, o seu passo imediatamente anterior.
Na explicitação da hipótese e da tese, observamos que três grupos
realizaram-nas corretamente. Estes conseguiram percorrer os passos da
demonstração pela negação da tese. Embora, presencialmente, tivéssemos
observado que o Grupo 1 conseguia explicitar os passos a serem dados, na
análise de seu protocolo observamos uma estruturação que, nos pareceu, não
contribuir para uma apresentação adequada das conclusões obtidas, que não
foram explicitadas.
4.3.8 Atividade 7: Quadrilátero de Saccheri
Análise a priori
Destinamos a Atividade 7 para definir o quadrilátero de Saccheri e
apresentar três teoremas relacionados com tal figura geométrica.
133
Figura 4.29: Atividade 7 (a) - Quadrilátero de Saccheri
134
Para um dos teoremas apresentados, solicitamos que a
demonstração fosse elaborada e explicitamos a necessidade do emprego do
teorema 15 na resolução. Pretendíamos, dessa forma, identificar nas respostas
quais os elementos mobilizados na construção dessa demonstração.
Figura 4.30: Atividade 7 (b) - Exercício de demonstração do teorema 16
135
Na seqüência, apresentamos o teorema sobre os ângulos do topo do
quadrilátero de Saccheri.
Figura 4.31: Atividade 7 (c) -Demonstração do teorema 17
136
Introduzimos, também, o questionamento sobre a existência dos
retângulos na Geometria Hiperbólica. Esperávamos que o aprendiz, com base
nos conhecimentos anteriores, concluísse sobre a impossibilidade da
existência dos retângulos (pela definição euclidiana). Esse questionamento,
mesmo implicitamente, foi feito com a intenção de suscitar outros
questionamentos sobre os demais quadriláteros conhecidos na Geometria
Euclidiana, como o quadrado, losango e paralelogramo.
Figura 4.32: Atividade 7 (d) - Exploração dinâmica e questionamento sobre os quadriláteros
Análise a posteriori
Os alunos realizaram a leitura da definição de um quadrilátero de
Saccheri. Na seqüência, discutimos o teorema TH 15.
A atividade contemplava um exercício de demonstração que,
embora tenha sido solicitado que fosse realizado em casa, optei por propor
uma discussão.
Propus que os alunos relacionassem o conhecimento adquirido
sobre as retas divergentes. Retomei a definição de retas divergentes e, em
seguida, eles relacionaram o TH 06, TH 09 e o TH 12. O TH 10 não foi
lembrado, talvez pelo fato de ainda não terem trabalhado em sua
demonstração, pois foi deixado como tarefa.
Embora a demonstração do TH 12 também tivesse sido proposta
como tarefa, por termos dialogado sobre os teoremas 27, 28 e 29, parece que
o fato teve um papel importante na visualização da demonstração. Solicitei que
137
o grupo informasse como a demonstração poderia ser realizada. O aluno B
percebeu que se deveria utilizar o teorema TH 12 e começamos a analisar
quais seriam as paralelas e qual seria a reta transversal na proposição do TH
16. O aluno C disse que deveríamos considerar os segmentos AB e CD como
paralelas e AD como sendo a reta transversal. Após a análise conjunta,
verificamos que os ângulos correspondentes não eram congruentes.
Finalmente, o aluno G sugeriu que considerássemos a segmento KL
(segmento que unia os pontos médios da base e do topo do quadrilátero),
como sendo a reta transversal. Rapidamente, constatamos que poderíamos
utilizar o TH 12. Fizemos o mesmo procedimento considerando os segmentos
AD e BC como paralelas. Proporcionamos a discussão para analisar,
posteriormente, após o recebimento da tarefa, se os alunos foram capazes de
elaborar uma demonstração, que sabiam antecipadamente qual o teorema a
ser empregado.
A Atividade 5 foi finalizada com uma análise da situação que foi
discutida em sala de aula, após os alunos, de forma espontânea, reunirem-se
em quatro grupos. Depois da exploração da construção geométrica, eles
concluíram que não era possível a construção de um retângulo (considerando a
definição euclidiana).
No encerramento do encontro, combinamos que seria incluído um
fórum no Teleduc31, plataforma conhecida pelos alunos.
Para a realização da demonstração do teorema TH 16, realizada em
grupo no encontro seguinte, foram recapitulados a definição de um quadrilátero
de Saccheri e o conteúdo do teorema TH 15.
Foi perguntado se alguém se lembrava do que havíamos discutido
no final do encontro anterior, e os alunos G e F citaram o conteúdo do TH 12.
31 O TelEduc é um ambiente para realização de cursos a distância, de livre distribuição, sendo desenvolvido no Nied (Núcleo de Informática Aplicada a Educação) sob a orientação da Profa. Dra. Heloísa Vieira da Rocha do Instituto de Computação da Universidade Estadual de Campinas. Para maiores informações, consultar http://teleduc.nied.unicamp.br/teleduc/.
138
Propus que os alunos iniciassem a discussão em seus grupos na tentativa de
elaborarem a demonstração.
O Grupo 3 mostrou-me seus argumentos na escolha das retas
paralelas e transversal e perguntou-me por que não poderiam utilizar a reta que
une os pontos médios dos lados congruentes do quadrilátero. Respondi que
não poderíamos afirmar nada a respeito dela, pois só havíamos estudado as
características da reta que une os pontos médios da base e do topo do
quadrilátero. Eles concordaram que não poderiam ir por esse caminho.
O Grupo 4 não sentiu dificuldade para identificar as retas e aplicar o
teorema.
O Grupo 1 percebeu corretamente as retas na primeira situação
(para os lados AB e CD), porém não conseguiu escolher de imediato a reta
transversal às retas ACsuur
e BDsuur
. Após discutirmos as duas possibilidades, eles
optaram corretamente. Ocorreu o mesmo com o Grupo 2.
Quadro 4.6: protocolos da demonstração do TH 16 Grupo 1:
Hipótese: A base e o topo de um quadrilátero de Saccheri são paralelas divergentes
Tese: Os outros dois lados também são paralelas divergentes.
Demonstração:
- Sejam K e L os pontos médios respectivamente de AB eCD .
- Pelo TH 15, o ângulo D é congruente ao ângulo C, KL perpendicular a AB e KL é
perpendicular à CD .
- Logo valem as relações do TH 12.
Vamos provar que a reta CB e AD são paralelas divergentes.
- Por AB (lado da base), ângulo A e ângulo B são iguais a 90 (definição de
quadrilátero de Saccheri).
- Então, valem as relações do TH 12.
- Logo as retas CB e AD são paralelas divergentes.
Grupo 2:
Hipótese: Seja ABCD� um quadrilátero de Saccheri, sendo AB a base e seja K e L
139
os pontos médios, respectivamente, de AB e CB .
Tese: AB é paralela divergente à BC e, também, os outros dois lados também são.
Demonstração:
- Seja K o ponto médio de AB e L o ponto médio deCD .
- Tracemos uma transversal pelos pontos médios K e L, devido ao TH 15, esta
transversal será perpendicular aos lados CD e AB .
- Pela correspondência dos ângulos, AB é paralela à CD , por TH 12.
- AB é perpendicular à AD e BC (por definição do quadrilátero de Saccheri).
- Pela correspondência dos ângulos, AD e BC são paralelas por TH12.
Grupo 3:
Hipótese: O quadrilátero ABCD é de Saccheri.
Tese: A base e o topo são retas paralelas divergentes e também o são os outros dois
lados.
Demonstração:
1. Traçar uma reta e que passe pelos
pontos médios da base e do topo, pelo
TH 15, esta reta e é perpendicular à
base e ao topo. Logo, a base e o topo
serão paralelos.
2. Pela hipótese, como ABCD é um
quadrilátero de Saccheri, então, a reta
a será transversal e perpendicular às
retas b e c. Logo b e c serão retas
paralelas.
Grupo 4:
Hipótese: Seja ABCD quadrilátero de Saccheri.
AD e BC lados opostos congruentes. AB e DC base e topo respectivamente.
Tese: AD e BC são d-paralelas. AB e DC são d-paralelas
Demonstração:
Vamos mostrar que:
140
1. AD e BC são d-paralelas.
Temos que ^
B A D e ^
A BC =90º (DH 06). Por T07 da Geometria Absoluta, AD e BC
são paralelas, e por TH 09, podemos afirmar que são d-paralelas.
2. AB e DC são d-paralelas
Pelo TH 15, existe KL perpendicular a AB e DC simultaneamente. Por T07 da
Geometria Absoluta, AB e DC são paralelas e por TH 09 são d-paralelas.
A demonstração do TH 16 é realizada com a aplicação do teorema
TH 15, da definição DH 06 e, também, da aplicação do teorema TH12 em dois
momentos.
A tese e a hipótese foram listadas corretamente pelos três grupos.
Os Grupos 2 e 3 optaram por apresentar a demonstração, conforme havíamos
planejado. O Grupo 4 percorreu um caminho diverso e, também, correto,
utilizando a definição do quadrilátero de Saccheri (DH 06), os teoremas T 07 e
TH09, além do TH 15.
Analisando o protocolo do Grupo 1, a frase “logo valem as relações
do TH 12” pareceu-nos vaga e não confirmou que, pelo passo anterior e a
aplicação de uma regra lógica, podemos concluir tal afirmação. A leitura do
material não evidencia o entendimento dos alunos, percebido nas observações
realizadas no encontro.
No decorrer desse encontro, notei a importância da visualização da
figura na tomada de decisão dos grupos. Todos realizaram desenhos próprios
para discussão entre eles e, também, com a pesquisadora.
O aluno F disse que gostou muito desse encontro, pois puderam
trabalhar em grupo e discutir as propostas. O aluno K relatou que, no início dos
encontros, “era tudo muito novo e que agora estava dando para discutir a
respeito dessa geometria. Antes era muita informação”.
O aluno G disse que gostou da dinâmica da aula.
No decorrer da aula, notei pelas falas que eles foram se sentindo
mais seguros e perceberam que também era possível discutir, analisar
situações em que poderiam utilizar o conteúdo até então estudado.
141
No encerramento da aula, reforcei que o fórum permaneceria aberto
e incentivei a participação de todos.
4.3.9 Atividade 8: Quadrilátero de Lambert
Análise a priori
No inicio da Atividade 8, a definição do quadrilátero de Lambert foi
apresentada. Em seguida o teorema sobre seu quarto ângulo foi demonstrado.
Figura 4.33: Atividade 8 (a) - Teorema sobre o Quadrilátero de Lambert
Apresentamos três teoremas, mas demonstramos dois, relativos aos
lados de um quadrilátero. Eles foram necessários às demonstrações propostas
na seqüência.
142
143
Figura 4.34: Atividade 8 (b) - Teoremas sobre os Quadriláteros
O teorema 22 refere-se aos lados dos Quadriláteros de Lambert que,
para ser demonstrado, necessita do teorema 19 apresentado anteriormente.
144
Figura 4.35: Atividade 8 (c) - Demonstração do teorema hiperbólico 22
Solicitamos que os conhecimentos adquiridos fossem empregados
na demonstração de um teorema que envolve o Quadrilátero de Saccheri.
Optamos por explicitar que a resolução ocorre pela construção dos
Quadriláteros de Lambert com o Quadrilátero de Saccheri, dado na hipótese. E
esperamos que o aprendiz elaborasse esta demonstração que apresenta
somente passos do Tipo 4. Intencionamos averiguar se, conforme ressalta
Brousseau (1986), o aluno foi capaz de aplicar um conhecimento da Geometria
Hiperbólica em uma nova situação, explicitando desta forma a apreensão
desse saber.
Figura 4.36: Atividade 8 (d) - Demonstração do teorema hiperbólico 23
145
Finalmente, retomamos um dos teoremas apresentados na Atividade
5 (TH 08) e o demonstramos facilmente a partir dos conceitos introduzidos.
Esta retomada visou reforçar no aluno que, embora tenha sido possível
“visualizar” um comportamento da figura, feito na Atividade 5, só seria possível
demonstrar tal teorema baseado no conhecimento do teorema 21.
Figura 4.37: Atividade 8 (e) - Demonstração do teorema hiperbólico 8
146
Análise a posteriori
No quinto encontro, estavam presentes nove alunos. Informei ao
grupo que seria nosso último encontro, assim, as tarefas seriam realizadas em
grupo e entregues ao término da aula.
Finalmente, informei que a atividade final seria disponibilizada no
site. A mesma deveria ser realizada em grupo e enviada por e-mail. Coloquei-
me à disposição para sanar eventuais dúvidas.
A definição de Quadrilátero de Lambert foi apresentada na lousa.
Assim, solicitei que os mesmos observassem que o ângulo não reto é
necessariamente agudo e identificassem, a partir do quadrilátero de Saccheri, a
justificativa para o fato.
Após a leitura, os alunos rapidamente entenderam a aplicação direta
do Teorema TH 15, na elaboração dessa demonstração.
Em seguida, apresentei na lousa os teoremas TH 19, TH 20 e TH 21
e solicitei que os grupos elaborassem uma demonstração do TH 23.
Por ser nosso último encontro, percorri os grupos colhendo as
primeiras informações sobre a experiência, obtendo as seguintes respostas:
• “Deu para aprender as propriedades, o conteúdo proposto,
mas é difícil considerando a falta de um conhecimento inicial
mais sólido sobre a geometria e devido ao pouco tempo que
realizamos a pesquisa”;
• “Reconheço que minha dificuldade pessoal em Geometria
dificultou e, também, a falta de material disponível na Internet
e literatura”;
• “Não conhecia a GH, trabalhar com um software dinâmico é
uma vantagem”;
• “Apresentação das demonstrações, passo a passo, levou-me
a uma reflexão sobre as demonstrações e a consolidação dos
teoremas é um ponto positivo”;
• “Deveria ser mais trabalhada a GA, os teoremas, para depois
iniciar a GH”.;
147
• “Não conhecia, tive grande dificuldade no início em aceitar
duas paralelas a uma terceira, tive que me ‘libertar’ dos
conceitos antigos e encarar tal fato com naturalidade”;
• “Só começou a clarear na aula passada. Percebemos que
conseguíamos, trabalhando em grupo, discutir os teoremas e
propor alternativas”;
• “Trabalhar em grupo e na sala de aula tornou possível realizar
as atividades, pois trabalhar em casa, sozinho, é bem mais
difícil”;
• “A partir da segunda aula, com os trabalhos em grupo, ficou
mais fácil”; e
• “O material está bem completo e a disponibilidade dos
teoremas ajuda”.
Quadro 4.7: protocolos da demonstração do TH 23 Grupo 1:
Hipótese: Seja ABCD� , um quadrilátero de Saccheri, de base AB , com ângulos
retos ^
A e ^
B , e os ângulos agudos ^
C e ^
D .
Tese: DC AB>
Demonstração:
- Seja ^
A e ^
B ângulos retos de AB .
- No ponto médio de AB , traçamos uma perpendicular ligando a DC no ponto médio,
encontramos os pontos E e F.
- Temos os ângulos A, B, E e F sendo retos e D e C agudos.
- Se o ângulo C é menor que o ângulo B, CF é maior que EB (TH 21).
- Se o ângulo D é menor que o ângulo A, DF é maior que EA (TH 21).
- A soma dos segmentos DF e FC é maior que a soma dos segmentos AE e EB .
- Logo DC é maior que AB .
Grupo 2:
Hipótese: ABCD é um quadrilátero de Saccheri em que AB é a base e CD é o topo.
148
Tese: CD AB>
Demonstração:
1. Seja d a perpendicular à CD e AB , passando pelos seus respectivos pontos
médios (L e K) (TH 15).
2. AKLD é um quadrilátero de Lambert (DH 7); logo, DL AK> . (TH 21)
3. BKLC é um quadrilátero de Lambert (DH 7); logo, LC KB> . (TH 21)
4. DL LC AK KB+ > + , como L DC∈ e K AB∈ , então DC AB> .
Grupo 3:
Hipótese: Seja ABCD� um quadrilátero de Saccheri de base AB .
Tese: DC AB> (o topo é maior que a base).
Demonstração:
Passo 1: seja ABCD� um quadrilátero de Saccheri de base AB .
Passo 2:
Sendo ABCD, um quadrilátero de Saccheri,
ao traçar uma reta e, que passe pelo ponto
médio P’ da base e P do topo, de acordo
com o TH 15, esta reta e será perpendicular
ao topo e à base.
Assim, obtemos dois quadriláteros de Lambert ADPP’ e CBPP’, em que ^
D e ^
C são
agudos.
Vamos analisar o 'ADPP� : seja DP o topo e 'AP a base, de acordo com o TH 22
sabemos que 'DP AP> .
Analogamente no 'CBPP� , temos que 'PC P B> .
Passo 3: logo DC AB> , ou seja, provamos que o topo é maior que a base.
149
Grupo 4:
Hipótese: Quadrilátero de Saccheri ABCD, de base AB .
Tese: DC AB> , topo é maior que a base.
Demonstração:
Passo 1: Quadrilátero de Saccheri ABCD de base AB - hipótese
Passo 2: D=C e agudos, logo menores que A=B (retos) – TH 15, TH 17, DH 06, D06 e
D08.
Passo 3: Seja F o ponto médio de CD e G ponto médio de AB , então FG é
perpendicular (TH15) e quadrilátero de Lambert BCFG (DH07). Logo, C é agudo e B,
F e G são retos. Por TH 21 FC GB> ;
Passo 4: Analogamente, temos o quadrilátero de Lambert AGFD, com A, G e F retos e
D agudo (DH07). Então, D < F. Por TH 21 DF AG> .
Logo FC GB> e DF AG> (Passos 3 e 4) e (F é ponto médio de CD ), então,
CD AB> .
A demonstração do TH 23 é realizada de forma direta pela aplicação
da DH 07, TH 15, TH 22 e P 16.
Nos protocolos entregues, observamos que todos os grupos listaram
corretamente a hipótese e a tese. Os Grupos 1, 2 e 4 construíram suas
demonstrações, utilizando o TH 21 e o Grupo 3, utilizou o TH 22.
No protocolo do grupo, embora alguns passos não tenham sido
explicitamente justificados, como por exemplo, “Se o ângulo C é menor que o
ângulo B”, observamos uma seqüência lógica dos passos, o que evidenciou um
aprendizado crescente do grupo.
Os demais grupos também realizaram a tarefa com sucesso.
Notamos que a passagem da soma das medidas dos segmentos
não foi justificada por nenhum grupo, fato que, em conjunto com as
observações, nos levou a concluir que o emprego das propriedades é realizado
de forma espontânea pelos sujeitos. Eles não percebem a necessidade de
150
justificá-las. O fato nos remeteu à observação de Duval, sobre a necessidade
de um aprendizado explícito das demonstrações.
4.3.10 Atividade 9: Triângulos
Análise a priori
A Atividade 9 iniciou-se com a construção geométrica de um
triângulo qualquer e uma investigação dinâmica sobre a soma de seus ângulos
internos. Esperava-se que o aluno verificasse que tal soma era inferior a 180º.
Figura 4.38: Atividade 9 (a) - Construção e investigação: soma dos ângulos de um triângulo
O teorema correspondente é demonstrado na seqüência.
151
Figura 4.39: Atividade 9 (b) - Demonstração do teorema hiperbólico 24
A demonstração do teorema da soma dos ângulos de um
quadrilátero foi solicitada aos alunos. Ela é uma aplicação direta do teorema
anterior, sendo necessário o emprego de passos do Tipo 4.
Figura 4.40: Atividade 9 (c) - Exercício de demonstração
Um caso de congruência específico para os triângulos hiperbólicos
(ângulo-ângulo-ângulo) é provado na seqüência, seguido do teorema do ângulo
externo.
152
153
Figura 4.41: Atividade 9 (d) - Demonstração do teorema hiperbólico 26
Retomamos o conceito de ponto ideal e apresentamos a definição
de triângulos ômega, para completar o estudo dos triângulos.
Figura 4.42: Atividade 9 (e) - Pontos Ideais e Triângulos Ômega
Análise a posteriori
Os alunos construíram rapidamente um triângulo qualquer e
investigaram que a soma dos ângulos internos é sempre menor que 180º.
Nesse momento, ficou evidente a necessidade de uma calculadora no
software, para agilizar a investigação.
Antes de iniciar a demonstração do teorema nos reportamos ao T12,
assim, observando a construção disponível no RGH, identificamos oralmente
os passos para se demonstrar o teorema. Em seguida, relembrando esse
conhecimento, fomos identificando que o quadrilátero construído era o
quadrilátero de Saccheri.
154
Na seqüência, retomamos a demonstração do TH 24. Esta escolha
deu-se na tentativa de trabalhar o teorema da GA antes de aplicá-lo, o que foi
bem-sucedido, pois os alunos rapidamente entenderam a demonstração do
TH24. Ficou claro que as deficiências iniciais no que se refere aos teoremas da
GE, podem ser minimizadas com tal procedimento.
Posteriormente, foi realizado mais um trabalho em grupo, no qual foi
demonstrado o TH 25, que é uma aplicação do teorema anterior.
Para encerrar a atividade dos triângulos, citei os triângulos com
vértices ideais.
Quadro 4.8: protocolo da demonstração do TH 25 Grupo 1:
Hipótese: Dado um quadrilátero qualquer ABCD
Tese: ^ ^ ^ ^
0( ) ( ) ( ) ( ) 360m A m B m C m D+ + + <
Demonstração:
- Traçando um segmento AC, sendo a diagonal do quadrilátero.
- Formando os triângulos ABC e ADC, menores que 180º (TH24).
- A soma dos triângulos ABC e ADC é igual ao quadrilátero ABCD.
- Logo ^ ^ ^ ^
0( ) ( ) ( ) ( ) 360m A m B m C m D+ + + <
Grupo 2:
Hipótese: ABCD é um quadrilátero
Tese: ^ ^ ^ ^
0( ) ( ) ( ) ( ) 360m A m B m C m D+ + + <
Demonstração:
1. Seja DB uma diagonal de ABCD, assim, temos: DAB� e DCB� (D05)
2. No DAB� : ^ ^ ^
0( ) ( ) ( ) 180m A D B m D A B m D B A+ + < (TH 24)
No DCB� : ^ ^ ^
0( ) ( ) ( ) 180m DC B m C D B m D BC+ + < (TH 24).
3. No quadrilátero ABCD, temos
a. ^ ^ ^
( ) ( ) ( )m A D C m C D B m A D B= + (D05)
b. ^ ^ ^
( ) ( ) ( )m A B C m D B A m C B D= + (D05)
155
Assim: ^ ^ ^ ^
0( ) ( ) ( ) ( ) 360m A D C m A BC m D A B m DC B+ + + <
Grupo 3:
Hipótese: Dado um quadrilátero ABCD�
Tese: ^ ^ ^ ^
0( ) ( ) ( ) ( ) 360m A m B m C m D+ + + <
Demonstração:
Passo 01: Dado um quadrilátero ABCD
Passo 02:
Traçando uma reta c, que passa pelos
pontos B e C obteremos dois triângulos:
ABC e BCD.
Pelo teorema TH 24, sabemos que a
soma dos ângulos internos do triângulo
hiperbólico é menor que 180º.
A soma dos ângulos internos do quadrilátero ABCD é igual a soma dos ângulos
internos dos triângulos ABC e BCD.
Passo 3: Logo ^ ^ ^ ^
0( ) ( ) ( ) ( ) 360m A m B m C m D+ + + < , ou seja, a soma dos ângulos
internos de uma quadrilátero é menor que 360º.
Grupo 4:
Hipótese: Seja ABCD um quadrilátero qualquer
Tese: ^ ^ ^ ^
0( ) ( ) ( ) ( ) 360m A m B m C m D+ + + <
Demonstração:
Passo 1: Seja ABCD um quadrilátero qualquer – hipótese
Passo 2: Então, temos 2 triângulos ABD e BCD. Por TH 24 temos que
0( ) ( ) ( ) 180m A m B m D+ + <
Passo 3: Analogamente, temos que 0( ) ( ) ( ) 180m B m C m D+ + < . (TH 24)
156
Passo 4: Então, temos que ^ ^ ^ ^
0( ) ( ) ( ) ( ) 360m A m B m C m D+ + + <
Para demonstrar o teorema hiperbólico 25, utilizam-se os passos do
Tipo 4. A tese e a hipótese foram corretamente apresentadas pelos grupos,
assim como as demonstrações.
Conforme esperávamos, percebemos que as demonstrações diretas
obtiveram melhor rendimento por parte dos grupos, em relação às
demonstrações realizadas pela negação da tese.
Antes de encerrar o encontro, percorremos a Atividade 11, na qual
apresentamos os possíveis lugares geométricos a partir de três pontos não
colineares no plano. Pretendeu-se, desta forma, apresentar, mesmo sem
trabalhar a atividade por completo, uma noção desses conteúdos, para
incentivar e facilitar uma leitura por parte dos alunos da atividade completa.
A atividade final, o questionário final e a leitura dos demais tópicos
históricos foram passados como tarefa.
4.3.11 Atividade 10: Explorando as Circunferências
Análise a priori
A Atividade 10 pretendia discutir a construção geométrica de uma
circunferência a partir de três pontos dados. Esperávamos que o aluno ao
investigar dinamicamente a figura pudesse verificar a necessidade de todos os
seus pontos pertencerem ao plano de Poincaré. Pretendíamos também
despertar a curiosidade do aprendiz a respeito dos outros lugares geométricos
possíveis na Geometria Hiperbólica, que foram formalizados na Atividade 11.
157
Figura 4.43: Atividade 10 (a) - Construção e investigação dinâmica:círculos
Em seguida, apresentamos a versão hiperbólica de um conhecido
teorema euclidiano, sobre a relação entre a medida do ângulo inscrito e a
medida do respectivo ângulo central, com a devida demonstração.
158
Figura 4.44: Atividade 10 (b) - Demonstração do teorema hiperbólico 28
159
Finalmente, solicitamos a análise de uma situação. Apresentamos
um teorema válido na Geometria Euclidiana. A partir da exploração dinâmica
dessa situação no plano hiperbólico, questionamos sua validade nessa
geometria. Nossa intenção era possibilitar uma situação em que se esperava
que o aluno “percorresse” as duas geometrias e verificasse que tal teorema
também é válido, pois independe do V postulado.
Figura 4.45: Atividade 10 (c) - Investigação Dinâmica
Esperávamos, também, que os dois teoremas apresentados na
Atividade 10 motivassem o aluno a se questionar sobre outros teoremas a
respeito das circunferências.
4.3.12 Atividade 11: Circunferência, Horocírculo e Hiperc írculo
Análise a priori
A proposta desta atividade foi dar continuidade às investigações
iniciadas na atividade anterior a respeito de outros lugares geométricos
possíveis na Geometria Hiperbólica.
160
Inicialmente, apresentamos um teorema com a devida
demonstração, necessário ao desenvolvimento desse tópico.
161
Figura 4.46: Atividade 11 (a) - Demonstração do Teorema 29
Em seguida, apresentamos a definição dos três lugares geométricos.
162
Figura 4.47: Atividade 11 (b) - Apresentação dos lugares geométricos
Para encerrar a atividade, propusemos uma análise de situação.
Esperávamos que o aluno mobilizasse os conhecimentos adquiridos sobre o
quadrilátero de Saccheri e vislumbrasse a solução da questão, o que nos daria
subsídios para identificar se realmente houve uma apreensão do conteúdo.
163
Figura 4.48: Atividade 11 (c) - Proposta de análise de situação
4.3.13 Atividade 12: Área
Análise a priori
A última atividade apresentou a definição de deficiência que é um
importante conceito da Geometria Hiperbólica.
Figura 4.49: Atividade 12 (a) - Definição de deficiência
Na seqüência, introduzimos um teorema sobre a deficiência dos
triângulos e a posterior generalização para os polígonos.
164
Figura 4.50: Atividade 12 (b) - Apresentação do Teorema 30
Nesta atividade, o objetivo foi introduzir a relação entre os conceitos
de área e de deficiência.
165
Figura 4.51: Atividade 12 (c) - Área
Para concluir, apresentamos uma análise de uma interessante
situação sobre uma relação muito divulgada na geometria plana, nem sempre
explicitada como sendo dependente do V postulado, extraído de Agazzi e
Palladino (1998).
166
Figura 4.52: Atividade 12 (d) - Análise de Situação
Concluímos assim nossas atividades. Os conteúdos que
selecionamos foram os principais teoremas dessa geometria. Não
pretendíamos esgotar seu vasto conteúdo, mas objetivávamos que os
aprendizes adquirissem conhecimento e curiosidade para dar continuidade ao
estudo de um tema tão envolvente e encantador.
4.3.14 Questionário Inicial
Análise a priori
As perguntas do questionário inicial visavam o levantamento dos
perfis dos sujeitos, de sua experiência com as geometrias, com o uso do
software e com educação a distância.
Curso de Geometria Hiperbólica
Questionário Inicial
1. Você utiliza computador em casa? E no trabalho?
2. Qual a sua familiaridade com o computador? Quais os programas/aplicativos de seu conhecimento?
167
3. Descreva seu contato com a geometria nos Ensinos Fundamental e Médio. Como foi ministrado o conteúdo (exposição axiomática, uso de software, exposição história)?
4. Descreva a disciplina de Geometria cursada na universidade. Como foi ministrado o conteúdo (exposição axiomática de euclidiana ou de Hilbert, uso de software, exposição história)?
5. Você possui algum conhecimento das geometrias não-euclidianas?
6. Descreva suas experiências em cursos ministradas a distância.
7. Qual a sua expectativa em relação ao nosso curso?
8. Caso deseje, acrescente os comentários que julgar conveniente.
9. Especifique sua formação, idade e experiência profissional.
Figura 4.53: Questionário Inicial
Pretendíamos, também, conhecer as expectativas em relação a
nosso curso e, posteriormente, confrontá-lo com o Questionário Final.
Análise a posteriori
A análise do Questionário 1 permitiu delinear o perfil do grupo em
relação a seus conhecimentos e experiências com a geometria, ensino a
distância e experiência profissional:
• Todos possuíam computador em casa e cerca de 80%, no
trabalho;
168
• Além do pacote Office, conheciam alguns softwares
destinados ao estudo de Matemática, entre eles, Cabri
Géomètre, Winplot, Graphmatica. Cerca de 30% dos alunos
afirmaram que esse conhecimento devia-se às exigências das
disciplinas do Mestrado Profissional;
• Nos Ensinos Fundamental e Médio (ou equivalentes), o
ensino de Geometria era realizado com os livros didáticos.
Um aluno reforçou que o conteúdo de Geometria, por ser
apresentado sempre no final do livro, era pouco explorado;
• Na universidade, todos os alunos cursaram uma disciplina
sobre a Geometria Euclidiana, e um aluno citou o estudo da
Geometria das Transformações. O Desenho Geométrico e a
preocupação histórica foram citados por 36% dos alunos e
27% registraram que a Geometria foi apresentada de forma
axiomática;
• Quanto ao conhecimento de outras geometrias, um aluno
informou ter conhecimento da parte histórica e 27% do grupo
informaram possuir “algum” conhecimento, por terem ouvido
ou lido algo a respeito;
• A experiência com alguma modalidade do ensino a distância
foi assim relatada:
1. 45% do grupo participaram como alunos de cursos
semipresenciais;
2. 18% do grupo participaram como tutores de cursos
semipresenciais;
3. 18% do grupo participaram como aluno de cursos a
distância;
• As expectativas dos alunos em relação ao curso eram
positivas, e eles esperavam estudar a Geometria Hiperbólica,
rever as construções geométricas, recordar as
demonstrações e ainda poder aplicar esse conhecimento aos
seus alunos;
169
• A formação do grupo foi em Licenciatura Plena e Bacharelado
em Matemática ou em Ciências Matemáticas; mas 27%
apresentavam especialização em Educação Matemática e
9%, em Álgebra e Geometria; e
• O grupo apresentava idade média de 36 anos (variando de 27
a 53 anos) e leciona em média há dez anos (de 5 a 29 anos).
Pela idade dos alunos, pudemos inferir que, como conseqüência de
terem estudado na época do advento da Matemática Moderna, tiveram pouco
contato com as demonstrações e, também, com a própria Geometria, que se
apresentava freqüentemente no final do livro didático, como lembrou um dos
alunos pesquisados.
O contato com outros softwares, proporcionado também pelas outras
disciplinas do mestrado, bem como a experiência em cursos semipresenciais,
pareceu um aspecto positivo, que contribuiu para a realização das atividades
propostas.
4.3.15 Primeira Série de Exercícios
Análise a priori
Elaboramos duas séries de exercícios complementares, que foram
assim estruturados para que fossem realizados em grupo ou eventualmente em
um fórum de discussão.
A primeira série de exercícios propõe inicialmente uma leitura dos
primeiros tópicos históricos apresentados na página.
Curso de Geometria Hiperbólica
1ª Série de Exercícios
Faça a leitura dos seguintes tópicos históricos: Início da Geometria; Geometria Euclidiana; Filosofia; O V postulado; Geometria de Hilbert; Geometria Absoluta; Outras Geometrias e Demonstrações.
Figura 4.54: Início da primeira série de exercícios complementares
170
A primeira questão teve por objetivo a conscientização da
importância da obra de Euclides e da necessidade, imposta pelo
amadurecimento científico do séc. XIX, de se suprir as inconsistências lógicas
dessa obra.
Com a segunda questão, de enfoque geométrico, pretendíamos que
o aprendiz, retomando a leitura sugerida dos tópicos históricos, refletisse sobre
a relação nem sempre explicitada entre o V Postulado e a afirmação
apresentada.
Entendemos que a resolução desta questão pudesse proporcionar
uma reflexão também sobre as outras afirmações equivalentes ao V postulado,
apresentadas na leitura proposta.
As questões 3 e 4 pretendiam levantar o conhecimento prévio do
aluno em relação às demonstrações formais e à importância do V postulado no
surgimento de outras geometrias. Esperávamos criar condições para que o
aluno explicitasse a contribuição que os tópicos históricos exerceram em seus
conhecimentos.
1. Qual a importância dos Elementos. Cite alguma de suas inconsistências lógicas.
2. “Dados três pontos não pertencentes a uma mesma reta, é sempre possível traçar um círculo que passe por eles". Qual a relação dessa afirmação com o paralelismo entre retas.
3. Você possuía conhecimentos sobre as regras de uma demonstração? Você teve algum estudo explícito sobre o tema?
171
4. Você possuía conhecimentos sobre a importância do V Postulado de Euclides?
Figura 4.55: 1ª série de exercícios complementares
Análise a posteriori
No segundo encontro, estavam presentes dez alunos, que relataram
que não houve problemas técnicos para acessar o site. Foi ressaltada a
importância de um material de apoio impresso, pois este possibilita a leitura em
locais em que não é possível o acesso à Internet.
Quanto à leitura dos tópicos históricos, foi citado que seu conteúdo,
por se propor a apresentar um resumo do desenvolvimento da geometria, foi,
particularmente, interessante pois, de maneira geral, não existe uma literatura
consolidada. O aluno F complementou que foi bom “ter tudo resumido em um
único lugar”.
O debate iniciou-se com a primeira pergunta, a respeito da
importância dos Elementos e suas inconsistências.
Alguns alunos contribuíram explicando ao colega A, o que se
entendia por inconsistências na obra de Euclides, deixando claro que
realizaram a leitura. Um aluno explicitou que não conhecia as análises
realizadas no livro I.
A segunda questão propunha que os alunos apresentassem a
relação da seguinte afirmação com o paralelismo de retas: “dados três pontos
não pertencentes a uma mesma reta, é sempre possível traçar uma
circunferência que passe por eles”.
O aluno G relatou que executou em casa a construção geométrica
de uma circunferência, a partir de três de seus pontos, mas não conseguiu
verificar qual a relação com o teorema das paralelas. Nesse momento, foi
perguntado se mais alguém havia tentado construir ou demonstrar o teorema
172
correspondente à afirmação dada. Eles disseram que não pensaram investigar
sua demonstração.
Ressaltei que uma das construções propostas na atividade de
Introdução era a de circunscrever uma circunferência a um triângulo dado.
Dirigi-me à lousa e pedi ao aluno G, que havia realizado a tarefa, que relatasse
como foi feita tal construção. Rapidamente, realizamos a construção na lousa
(Figura 4.56) e foi lançada a seguinte questão: “após a construção das duas
mediatrizes, você está afirmando que elas se intersectam, mas qual o motivo
delas se intersectarem? O fato é sempre verdade? Por quê?”
Figura 4.56: representação do teorema do triângulo inscrito
Os alunos não souberam a resposta e, então, foi dito que em uma
construção geométrica alguns passos podem nos parecer “evidentes”, como
nesse caso em que as mediatrizes intersectam-se no ponto I, que é o centro da
circunferência, que circunscreve o triângulo. Por esse motivo, o aluno F não
percebeu a relação desse passo com o V postulado, fato possível com a
realização da demonstração do teorema correspondente.
Em seguida, foi perguntado: “se as retas não fossem concorrentes
como poderiam ser?” Recebi como resposta que elas seriam paralelas.
Analisando esta possibilidade, eles disseram saber que o fato não era possível,
mas não souberam dizer o motivo. Na seqüência, propus um desenho (Figura
4.57) e perguntei: “Os ângulos ^
D e ^
E são retos por construção. Se as
mediatrizes fossem paralelas, como seriam as retas BAsuur
e BCsuur
(verdes)?
Rapidamente, foi dito que seriam também paralelas. O aluno B acrescentou
que não seria possível, pois nesse caso não “teríamos o triângulo”.
173
Figura 4.57: representação de um passo da demonstração do teorema do triângulo inscrito
O aluno K ficou surpreso ao perceber a relação desse teorema com
as paralelas. Afirmei que, ao se demonstrar qualquer afirmação apresentada no
texto Tópicos Históricos: Tentativas de Demonstração do V Postulado, eles
poderiam verificar o mesmo.
A discussão pareceu-nos, particularmente, produtiva pois os alunos
puderam refletir a respeito da importância de uma demonstração.
A terceira questão investigava se os alunos possuíam conhecimento
das regras de demonstração e se tiveram algum estudo específico a respeito
do tema.
O aluno B afirmou que não teve estudo específico na graduação,
nem mesmo a disciplina Lógica. Alguns alunos relataram que tiveram a
oportunidade de ler um artigo sobre demonstração, apresentado em outra
disciplina do curso. O aluno G relatou que achava importante a união da “teoria
com a geometria dinâmica”, ou seja, investigar as situações antes de realizar
as demonstrações era válido, pois permitia a conjectura e análise das situações
antes de se conhecer a teoria propriamente dita. O mesmo aluno julgou
importante que os alunos familiarizassem-se com o RGA, antes de iniciar as
demonstrações e questionou sobre tal dificuldade no ensino a distância. Nesse
momento, ressaltei uma observação na Atividade I em que é explicitada tal
importância. O aluno B afirmou que a leitura do material disponibilizado no link
Demonstrações era interessante, pois ele não possuía tal conhecimento.
Como resposta da quarta questão, sobre os conhecimentos prévios
da importância o V Postulado, o aluno J explicitou que sabia apenas que “a
tentativa de demonstração do V postulado possibilitou o surgimento de outras
geometrias”. O aluno F afirmou não saber que ele era “tão importante”, pois
174
achava que tinha a mesma importância dos demais. Três alunos, G, K e E,
afirmaram saber de sua importância.
Solicitamos que as questões fossem entregues individualmente, pois
esperávamos analisar a aproveitamento de cada aluno, quanto
à leitura e, também, quanto ao debate proposto.
Na primeira questão, as respostas obtidas foram consideradas
adequadas. Exemplificando, listamos as respostas de dois alunos (Quadro 4.9):
Quadro 4.9: 1ª série de exercícios - protocolos da 1ª questão Aluno B: “Os Elementos têm sua importância justificada devido a ser o primeiro livro a
agrupar os conhecimentos matemáticos (geometria, álgebra e aritmética) e consolidar
axiomaticamente esses conhecimentos. Como inconsistências lógicas, podemos citar
o fato de Euclides não ter definido alguns termos necessários para as demonstrações,
pois julgou serem conhecimentos intuitivos, como por exemplo, estar entre, maior
que, entre outros.”.
Aluno K: “Os Elementos de Euclides é um marco na história da Matemática, durante
mais de 2400 anos os Elementos foram aceitos como verdades evidentes, mas o V
Postulado, por não ser tão evidente como os demais, despertou um interesse de
alguns matemáticos, que o mesmo poderia ser um teorema, passível de ser
demonstrado”.
Na segunda questão, mesmo após a discussão proposta na sala de
aula, obtivemos respostas discordantes e o aluno G preferiu não a responder
(Quadro 4.10):
Quadro 4.10: 1ª série de exercícios - protocolos da 2ª questão Aluno H: “Aparentemente, essa afirmação não tem ligação com o V Postulado das
paralelas”.
Aluno F: “Este foi um dos diversos enunciados que visavam demonstrar o V
Postulado de Euclides, mas notavam que sempre necessitavam utilizar algo desse
Postulado, ou seja, não era possível demonstrá-lo.”
Aluno E: “.... A relação com paralelismo não é visível à primeira vista. Só na
demonstração da proposição dada pode ser que seja possível alguma relação”.
175
Constatamos a dificuldade para desvendar se um teorema é
equivalente a outro e, mais uma vez, a necessidade de se destinar um tempo
inicial para trabalhar com os teoremas das Geometrias Absoluta e Euclidiana.
As respostas dadas a terceira questão (Quadro 4.11) reforçam que
os alunos não tiveram um estudo explicito sobre as demonstrações na
graduação, pois, em geral, os que responderam conhecê-la reportaram-se aos
estudos realizados no mestrado profissional.
Quadro 4.11: 1ª série de exercícios - protocolos da 3ª questão Aluno J: “Possuía algum conhecimento sobre demonstrações, porém superficial”.
Aluno D: “Na faculdade, não tive uma abordagem aprofundada sobre demonstrações,
mas trabalhei com demonstrações algébricas nas aulas de Tópicos de Álgebra.”
Aluno H: “Sim, eu possuía conhecimentos sobre regras de demonstração, porém
nunca tive um estudo explicito sobre isso”.
Na última questão apresentada, alguns alunos demonstraram
conhecer o V Postulado, mas nem sempre sua importância histórica (Quadro
4.12):
Quadro 4.12: 1ª série de exercícios - protocolos da 4ª questão Aluno K: “Não sabia que o V Postulado de Euclides provocou tanta discórdia e que a
partir dele foram criadas outras geometrias”.
Aluno F: “Eu conhecia o trabalho de Euclides como uma totalidade, somente após a
leitura do texto pude notar sua enorme importância, pois na tentativa de alguns
matemáticos em tentar demonstrá-lo, ‘surgiu’ uma nova geometria.”
Aluno E: “A única importância do V Postulado de Euclides que eu ouvi durante a
graduação é que esse postulado é que deu origem a outras geometrias, ditas não
euclidianas, quando matemáticos tentaram demonstrar que este postulado, apesar de
sua formulação ser simples, parecia ser um teorema, logo, passível de ser
demonstrado; contudo descobriram que sua demonstração não era fácil”.
Aluno D:” Bem superficial”.
Ao analisar as respostas, acreditamos que a opção pela inserção
dos tópicos históricos em nossa página contribuiu para o enriquecimento dos
conhecimentos dos aprendizes.
176
4.3.16 Segunda Série de exercícios
Análise a priori
As questões da segunda série de exercícios foram voltadas à
aplicação do conteúdo apresentado e visavam proporcionar uma discussão no
grupo na tentativa da resolução dos exercícios propostos.
Figura 4.58: 2º série de exercícios complementares
177
A primeira questão referia-se à demonstração de uma propriedade
do biângulo, em que o aluno deveria partir da negação da tese e encontrar uma
contradição.
A segunda questão reportava-se a uma exploração dinâmica de um
quadrado hiperbólico. Solicitamos que o aluno, após investigação, informasse
outras propriedades comuns entre o quadrado hiperbólico e o euclidiano, como
a perpendicularidade das diagonais, que elas se encontram no ponto médio ou
ainda que o quadrado é inscritível e circunscritível. Estas propriedades podem
ser percebidas pelas construções que foram apresentadas.
Na última questão, solicitamos uma definição para losango
hiperbólico. Reflexões sobre o exercício anterior, aliadas à definição conhecida
de um losango euclidiano, devem guiar o aluno na resolução da questão.
Análise a posteriori
O segundo fórum contou com 26 participações, sendo três acessos
realizados pela pesquisadora. Embora as contribuições tenham sido individuais
optamos por agrupá-las em razão das semelhanças.
A primeira questão, destinada a elaboração de uma demonstração
contou com as seguintes respostas (Quadro 4.13):
Quadro 4.13: protocolos das respostas da 1ª questão do 2º fórum Resposta 1:
Hipótese: A ECDA é um biângulo
Tese: m(ECD) + m(CDA) < 180º
Demonstração:
1. Seja c uma reta qualquer e seja a reta a, a sua paralela assintótica.
2. Em a estão os pontos E e C; em c, estão os pontos D e A
3. Seja CD o segmento que forma o biângulo com as retas a e c (com seus outros
pontos E e A, respectivamente)
4. 180 - m(CDA) > m(ECD) - (T03) e (TH11)
178
5. 180 - m(CDA) + m(CDA) > m(ECD) + m(CDA) - (P05)
6. 180 > m(ECD) + m(CDA)
7. m(ECD) + m(CDA) < 180
Resposta 2:
Hipótese: A soma das medidas dos ângulos internos de um biângulo
Tese: é menor que 180º
Demonstração:
1. Prolongando o segmento CD determinamos o ponto F
2. O ângulo FDB é ângulo externo ao biângulo BDCE
3. Pelo TH12, temos m(FDB) + m(BDC) = 180º
4. Pelo TH11, temos que em um biângulo a medida do ângulo externo é maior
que a medida do ângulo interno não adjacente a ele
5. Portanto, com base em (2) e (3) temos m(DCE) + m(BDC) < 180º.
Resposta 3:
Hipótese: A Figura ECDB é um biângulo, e seus ângulos são C e D
Tese: a soma dos ângulos internos de um biângulo é menor que 180º
Demonstração:
Passo 01: ECDB é um biângulo.
Passo 02: (Negação da Tese)
A soma dos ângulos C e D é maior que 180º, ou seja, med(c) + med(d) > 180º.
1. Prolongando o segmento CD, podemos determinar um ponto A (ao prolongar o
segmento), assim obtemos o ângulo ADB.
2. Pelo Teorema TH12, temos que ADB + BDC = 180º.
3. De acordo com o TH 11, sabemos que em um biângulo o ângulo externo é
maior que o ângulo interno adjacente, assim, ADB > DCE.
4. Analogamente, podemos proceder com o ângulo D do biângulo em questão.
5. Desta forma, concluímos que os ângulos BDC e ECD medem menos que 90°,
desta forma, BDC + ECD < 180°.
Passo 03: Logo a soma dos ângulos internos de um biângulo é menor que 180º.
Resposta 4:
Hipótese: ECD um biângulo e C e D seus ângulos
179
Tese: ∠ C + ∠ D < 180º
Demonstração:
No do
passo
Passo Justificativa
01 Seja ECD um biângulo, C e D seus ângulos Hipótese
02 Consideremos as retas a e c paralelas assintóticas
no sentido do paralelismo (à direita)
DH 05
03 A reta b é a-paralela por C em relação á reta a pela
direita. A reta c é a-paralela por C em relação a a
pela direita
DH 03
04 As retas c e b por P formam ângulos de paralelismo
congruentes e agudos
TH 03
Demonstraremos que ∠ C + ∠ D < 180º.
Suponhamos que ∠ C + ∠ D = 180º.
Negação da tese
05 Então, deve ser que ∠ C = 90º e ∠ D = 90º. Mas
não pode ser que ∠ C = 90º porque ∠ C = 90º é
ângulo de paralelismo das retas b e c por C. Única
possibilidade é ∠ D = 90º. Mas se ∠ C é ângulo de
paralelismo e ∠ D = 90º, ∠ C + ∠ D < 180º.
(Contradição).
Conclusão: ∠ C + ∠ D é sempre menor que 180º .
Resposta 5: “Não consegui organizar a estrutura para a demonstração. Porém acredito
que o raciocínio seja mais ou menos esse”.
Demonstração:
Vamos supor que a soma seja igual a 180º.
Temos que, por TH 11, ângulo externo é maior que o interno oposto de um biângulo.
Se a soma dos dois ângulos internos fosse igual a 180º teríamos por TH 12 que as
retas que formam o biângulo seriam d-paralelas, (verificaríamos uma das oito
relações) o que contraria a definição, pois por DH05 o biângulo é formado por retas a-
paralelas.
Absurdo!!
Podemos estender o mesmo raciocínio analogamente supondo que a soma seja maior
que 180º.
180
Logo como a soma dos ângulos internos do biângulo não pode ser maior nem igual a
180°, concluímos que a soma é menor que 180º.
As respostas 1 e 2, percorreram caminhos diversos, mas utilizaram
os mesmos teoremas para justificar os passos dados. Percebemos, de forma
inédita nos protocolos, na resposta 1, o uso de uma propriedade para justificar
um passo.
Na resposta 5, vimos que o aluno utilizou um outro caminho,
estruturou a demonstração negando a tese, obtendo sucesso no primeiro
parágrafo. Mas, não houve a explicitação do absurdo encontrado, supondo que
a soma fosse maior que 180º. Entretanto podemos observar a seqüência lógica
dos passos, o emprego dos passos do Tipo 1 e 3 e, também, dos passos de
dedução, do Tipo 4.
Na resposta 3, observamos a tentativa de demonstração pela
negação da tese, mas não houve a ligação dos passos 2 e 3. Percebemos a
dificuldade de utilizar esse raciocínio que requer o emprego de passos com
conexão externa, ou seja, recorrer a uma regra de inferência que não compõe
o quadro teórico.
Na resposta 4, após negar a tese, não havia a justificativa de que
“ ∠ C = 90º e ∠ D = 90º”. Percebemos que os passos em que não são
apresentadas as devidas justificativas, tendem a levar os alunos a conclusões
incorretas.
Como respostas a segunda questão obtivemos:
Quadro 4.14: protocolos das respostas da 2ª questão do 2º fórum Resposta 1:
Quadrado hiperbólico é um quadrilátero convexo de lados e ângulos congruentes
entre si.
Resposta 2:
Os ângulos A, B, C e D são congruentes entre si.
Os lados AB, BC, CD e DA são congruentes entre si.
181
Os lados opostos são paralelas divergentes.
O encontro das diagonais forma 90º.
Resposta 3:
Os ângulos A, B, C e D são congruentes entre si.
Os lados AB, BC, CD e DA são congruentes entre si.
As diagonais intersectam-se no ponto médio.
Resposta 4:
Aparentemente, o quadrado hiperbólico tem suas diagonais ortogonais e lados
opostos paralelos, falta a prova disto!
Percebi movimentando a figura que suas diagonais não se cruzam em seus
respectivos pontos médios, opondo-se ao quadrado euclidiano.
O quadrado hiperbólico pode ser inscrito em uma circunferência, assim como o
euclidiano.
Resposta 5:
O quadrado hiperbólico possui lados e ângulos congruentes, as diagonais são
bissetrizes dos vértices que se intersectam nos respectivos pontos médios.
Nas respostas 1, 2, 3 e 5, observamos que as análises estavam
corretas e na resposta 4 pudemos inferir que o fato de não incluir as medidas
dos segmentos diagonais, levou o aluno a presumir que estas não se
intersectam no ponto médio. Se não tivermos em mente o comportamento das
retas no modelo de Poincaré, o movimento da figura poderá nos levar a
conclusões precipitadas. A observação da resposta 4, de que não existem
provas de que os lados são paralelos (divergentes), também é um fato que
poderá ser explorado pela pesquisadora. A inclusão dos segmentos
perpendiculares aos lados pelo ponto de intersecção das diagonais poderá
contribuir para uma discussão a esse respeito.
A terceira questão obteve as seguintes respostas (quadro 4.15):
Quadro 4.15: protocolos das respostas da 3ª questão do 2º fórum
182
Resposta 1:
Losango hiperbólico é um quadrilátero que possui os quatro lados congruentes entre
si, os lados opostos são paralelos divergentes e os ângulos opostos são congruentes
entre si.
Resposta 2:
Losango Hiperbólico é um quadrilátero que possui os ângulos opostos congruentes e
os quatro lados com a mesma medida, sendo os lados opostos formados por retas
paralelas divergentes.
Resposta 3:
O losango possui lados opostos congruentes e ângulos opostos congruentes e as
diagonais são bissetrizes dos vértices.
Resposta 4:
O losango é um quadrilátero de ângulos opostos congruentes e lados iguais.
Resposta 5:
Losango hiperbólico é um quadrilátero que possui os quatro lados congruentes entre
si, os lados são paralelas divergentes e os ângulos opostos são congruentes entre si.
Resposta 6:
Podemos definir “losango hiperbólico” como sendo um quadrilátero convexo de lados
congruentes entre si e ângulos opostos congruentes.
Resposta 7:
Quadrilátero de lados opostos d-paralelos, com ângulos opostos congruentes e com
todos os lados congruentes entre si.
Nas duas últimas questões, ocorreram observações que vão além
dos dados apresentados na figura, como lados e ângulos congruentes, o que
evidencia que os alunos foram capazes de utilizar um conhecimento da
Geometria Hiperbólica, no caso o conceito de retas paralelas divergentes, e
reconhecê-lo nos lados da figura apresentada.
4.3.17 Atividade Final
Análise a priori
183
A atividade final foi elaborada no sentido de verificar se os
aprendizes conseguiriam aplicar os conhecimentos adquiridos no curso em
situações diferentes, para que pudéssemos verificar evidências de um
aprendizado.
A primeira questão visou a perceber se o aluno, realizando a leitura
dos tópicos históricos, foi capaz de identificar a importância do surgimento de
outras geometrias no desenvolvimento da Física Moderna.
Figura 4.59: Atividade Final (a) - Questão 1
A segunda questão iniciou-se com a demonstração de dois teoremas
da geometria neutra, necessários para a resolução da demonstração solicitada
na seqüência.
184
Figura 4.60: Atividade Final (b) - Demonstração dos teoremas 16 e 17
Este teorema também é da Geometria Neutra, fato que esperamos
que o aluno identifique.
185
Figura 4.61: Atividade Final (c) - Questão 2
As três últimas questões proporcionam a vivência das situações de
ação, validação e formulação, em que o aprendiz explorando as situações
propostas, utilizando seus conhecimentos anteriormente adquiridos, buscando
alternativas de resolução possa atingir seu objetivo.
Na terceira questão, retomamos os conceitos dos quadriláteros, no
caso o paralelogramo, solicitando uma definição por parte do aluno, a partir da
exploração dinâmica de uma construção geométrica. Na seqüência, solicitamos
uma comparação com as definições euclidianas e esperamos que o aluno
conclua que os lados de um paralelogramo são paralelas divergentes. O
conhecimento sobre os lados dos quadriláteros de Saccheri deve contribuir
para o seu sucesso.
Figura 4.62: Atividade Final (d) - Questão 3
186
Na quarta questão pedimos uma demonstração válida na Geometria
Hiperbólica. O aluno deveria aplicar os conhecimentos adquiridos para elaborar
sua própria demonstração, na qual era necessário o emprego do raciocínio do
Tipo 4.
Figura 4.63: Atividade Final (e) - Questão 4
Finalmente, a última questão destinava-se a analisar uma situação
baseada em um teorema apresentado na Atividade 9, que demonstrava o caso
de congruência AAA (ângulo-ângulo-ângulo).
Figura 4.64: Atividade Final (f) - Questão 5
Análise a posteriori
A Atividade Final poderia ser realizada em grupo, sem a presença da
pesquisadora, e objetivou colher elementos que comprovassem a apreensão
dos tópicos trabalhados durante os encontros.
187
A primeira questão, referente ao assunto abordado nos itens finais
dos tópicos históricos, obteve as seguintes respostas (Quadro 4.16), que
evidenciam que os alunos realizaram a leitura sugerida:
Quadro 4.16: atividade final – protocolos das respostas da primeira questão Grupo 1: “A existência Matemática de geometrias não-euclidianas gerou um debate
sobre a natureza da geometria que mais se aproximaria do mundo físico. A teoria da
relatividade geral proposta por Einstein no início do século passado apresenta uma
teoria física que expõe de maneira efetiva a implicação de geometrias não-euclidianas
na sua concepção do mundo físico”.
Grupo 2: “Com o surgimento de outras geometrias, foi possível entender e responder
questões ligadas à Física. Com a inclusão do tempo como uma quarta variação para
o espaço, desvincula-se da Geometria Euclidiana como espaço físico real, pois leva-
se em consideração, dessa forma, o campo gravitacional, possibilitando a prova de
que o espaço é curvo. Fica, de certa forma, superada a física clássica de Newton,
ligada à geometria de Euclides, dando lugar à teoria da relatividade”.
Grupo 3: “O surgimento dessa nova geometria possibilitou o avanço da Física
Moderna, uma vez que diversos estudiosos, como Galileu, Gauss, Riemann, entre
outros, buscassem questionar uma geometria que melhor representasse o espaço. A
partir dessa idéia, mostram que o espaço é curvo, formado por quatro dimensões.
Mais adiante a teoria da Relatividade Geral contribuiu para demonstrar as relações
entre geometria e espaço físico, introduzindo a quarta variável, o tempo, concluindo
que a estrutura do espaço é determinada pelos espaços gravitacionais e não pela
Geometria Euclidiana”.
A segunda questão obteve as respostas (Quadro 4.17):
Quadro 4.17: atividade final – protocolos das respostas da segunda questão Grupo 1:
Hipótese: ABC é um triângulo. Tese:
188
AB < AC + BC
Demonstração:
• Prolonguemos o lado AC e determinemos o ponto D de tal modo que CD =
BC
• Por construção AD seja igual a AC +CD , mas como CD = BC , AD =
AC + BC
• O triângulo BCD é isósceles
• A medida dos ângulos ^
B DC e ^
C B D é congruente (ângulos da base de um triângulo isósceles)
• O ângulo ^ ^ ^
A B D A B C C B D= + , logo ^ ^
A B D C B D> e ^ ^
A B D B D C>
• No triângulo ABD, temos que AB < AD
• AB < AC + BC
Qual o motivo da desigualdade triangular também ser válida na Geometria
Hiperbólica?
Esta desigualdade vale por não depender do postulado das paralelas.
Grupo 2:
Hipótese: ABC é um triângulo. Tese:
AB < AC + BC
189
Demonstração:
Tracemos D na reta suporte do segmento AC , tal que AD = AC +CD e
CD = BC (construção).
Assim, AD = AC + BC (P22)
O triângulo BCD é isósceles (D16).
m(BDC) = m(CBD) (T14).
m(ABD) > m(CBD) (P4).
m(ABD) > m(BDC) (P6)
No triângulo ABD, AB < AD (T16)
AB < AC + BC (P6) e (2)
Qual o motivo da desigualdade triangular também ser verdadeira na Geometria
Hiperbólica?
Esta desigualdade é válida devido aos teoremas, propriedades e termos definidos não
dependerem do axioma das paralelas.
Grupo 3:
H: a, b e c são lados de um triângulo.
T: a < b + c.
Demonstração.
1. Considere um ponto D na semi-reta oposta à semi-reta AC , de tal maneira que
AB≡ DA
190
2. AC+ AB=DC⇒AC+ DA=DC
3. O DAB∆ é isósceles de base DB̂A≡BD̂AeDB .
4. A é interno ao ângulo DB̂A>DB̂CDB̂C ⇒ .
5. Logo BD̂C≡DB̂A>DB̂C
6. No triângulo BCD, AC+AB<BColog,DC>BC , isto é, a < b + c.
O motivo da desigualdade triangular também ser válida na Geometria Hiperbólica é
que os axiomas de congruência e postulados de Geometria Absoluta também o são
na Euclidiana.
Ao analisar o protocolo do Grupo 2, vimos que a apresentação da
demonstração foi feita, segundo nossa proposta, ou seja, justificando cada
passo pelo Resumo da Geometria Absoluta (RGA). Verificamos que sua linha
de raciocínio estava correta, com exceção da penúltima justificativa que seria o
T 17 (e não o T 16). Como conseqüência, além da demonstração foi
apresentada uma justificativa plausível para que a desigualdade triangular
também fosse validada na Geometria Hiperbólica, bastando para tanto
observar os teoremas e as definições usados como justificativa dos passos
dados.
Embora o grupo 1 tenha realizado a demonstração, não foram
apresentadas as justificativas dos passos dados. O mesmo ocorreu com o
Grupo 3. No momento de apresentar o motivo pelo qual tal teorema é válido na
Geometria Hiperbólica, observamos que o grupo não o fez de forma
satisfatória.
Comparando o desempenho dos Grupos 2 e 3, podemos observar
que talvez a elaboração estruturada dos passos, com as justificativas, possa
contribuir para obtermos melhores resultados.
Em seguida, apresentamos as respostas dadas pelos grupos da
terceira questão (Quadro 4.18):
Quadro 4.18: atividade final – protocolos das respostas da terceira questão
191
Grupo 1:
É um quadrilátero em que seus lados opostos são formados por segmentos que
estão sobre retas d-paralelas.
Na Geometria Euclidiana, um paralelogramo é um quadrilátero convexo que possui
lados opostos paralelos.
Como são as retas suporte de seus lados opostos?
Retas paralelas divergentes.
Grupo 2:
É um quadrilátero em que seus lados opostos são formados por segmentos que
estão sobre retas d-paralelas.
Na Geometria Euclidiana, um paralelogramo é um quadrilátero convexo com lados
opostos paralelos.
Como são as retas suporte de seus lados opostos?
Retas paralelas divergentes.
Grupo 3:
Paralelogramo hiperbólico é um quadrilátero convexo que possui lados opostos
congruentes entre si; os lados opostos são paralelos divergentes e os ângulos
opostos são congruentes entre si.
As retas suporte dos lados opostos são congruentes entre si.
A quarta questão não apresentou dificuldades na resolução e os
grupos perceberam que os lados opostos são d-paralelas, evidenciando a
apreensão desse conteúdo.
Quadro 4.19: atividade final – protocolos das respostas da quarta questão Grupo 3:
• o triângulo ABC é equivalente ao Quadrilátero de Saccheri BCGF Hipótese: ABC é um triângulo, e o quadrilátero BCGF é um quadrilátero de Saccheri.
Tese: o triângulo ABC é equivalente ao Quadrilátero de Saccheri BCGF.
Demonstração:
1-) O quadrilátero DEBC é comum ao quadrilátero de Saccheri BCGF e ao
192
triângulo ABC, desta forma, para provarmos que os dois são equivalentes
demonstraremos que o ∆ ADE = ∆ FBD + ∆ ECG.
2-) Tracemos a perpendicular ao segmento FG, passando por A, que
intersecta FG no ponto H; assim, obtemos os triângulos ∆ADH e ∆AEH.
3-) Por hipótese, os pontos D e E são o ponto médio, respectivamente, dos
segmentos AB e AC; então AE = EC e BD = AD.
4-) De acordo com o T15, se AE = EC, os ângulos m(AHE) = m(EGC) = 90º, e
m(AEH) = m(GEC), pois são opostos pelo vértice; então o triângulos ∆AEH é
congruente ao ∆ECG. Analogamente, o triângulos ∆ADH é congruente ao ∆FBD.
5-) Assim, ∆ECG + ∆FBD = ∆ADE.
6-) Logo, o triângulo ABC é equivalente ao Quadrilátero de Saccheri BCGF.
• ( )
( )2
m BCm DE <
Hipótese: o quadrilátero BCGF é um quadrilátero de Saccheri.
Tese: ( )
( )2
m BCm DE <
Demonstração:
1-) Por hipótese, o quadrilátero BCGF é um quadrilátero de Saccheri, assim
BC é o topo e FG é a base (perpendicular comum à FB e GC).
2-) Nota-se que DE + FD + EG = FG; pela demonstração anterior podemos
afirmar que as medidas dos segmentos DE = FD + EG.
3-) Sendo BC > FG, concluímos que ( )
( )2
m BCm DE < .
Ao analisar a demonstração do Grupo 3, na primeira parte da
questão, vimos que a maioria dos passos foi justificada, levando os autores a
uma conclusão correta, com a ressalva da soma dos triângulos (e não a
congruência) para representar a equivalência entre eles. Na segunda parte da
demonstração, vimos no passo 3, que não foi justificado, um “salto” para a
conclusão. Vislumbramos mais um ponto de dificuldade, pois passo exigia a
concatenação de passos não consecutivos, do Tipo 4.
193
As respostas da quinta questão estão listadas no quadro 4.20:
Quadro 4.20: atividade final – protocolos das respostas da quinta questão Grupo 1:
(LAL), (LLL), (ALA), (LAAo). Além desses há o caso (AAA): se dois triângulos
apresentam respectivamente iguais os três ângulos, então, os triângulos serão
congruentes que só é válida na GH.
Grupo 2:
Na GH, existe apenas um caso de congruência de triângulos (dois triângulos são
congruentes, quando apresentam-se respectivamente iguais os três ângulos
internos). Nessa geometria, não existem casos de semelhança de triângulos, pois
os ângulos internos dos triângulos dependem dos comprimentos dos lados do
triângulo, assim, não ocorre a proporcionalidade dos lados, mantendo-se os
mesmos valores angulares entre eles.
Grupo 3:
Na Geometria Hiperbólica, há triângulos semelhantes, assim como na Geometria
Euclidiana que a seguir descreve:
C 05 - Se em dois triângulos ABC e A'B'C' verificam-se as congruências
' 'AB A B≡ , ' 'AC A C≡ , ' ' 'BAC B A C∠ ≡ ∠ , então, teremos sempre também que
' ' 'ABC A B C∠ ≡ ∠
D 07 - Um triângulo ABC diz-se congruente com um triângulo A'B'C', se forem
verificadas todas as congruências: ' 'AB A B≡ , ' 'AC A C≡ , ' 'BC B C≡ , 'A A∠ ≡ ∠ ,
'B B∠ ≡ ∠ e 'C C∠ ≡ ∠
T 01 - (LAL) Dados os triângulos ABC e A'B'C' se ' 'AB A B≡ , ' 'AC A C≡ e ' ' 'BAC B A C∠ ≡ ∠ , então, os triângulos serão congruentes.
T 10 - (LLL) Dados os triângulos ABC e A'B'C' se ' 'AB A B≡ , ' 'AC A C≡ e
' 'BC B C≡ , então, os triângulos serão congruentes.
T 11 - (ALA) Dados os triângulos ABC e A'B'C' se ' ' 'BAC B A C∠ ≡ ∠ , ' 'AB A B≡ e ' ' 'ABC A B C∠ ≡ ∠ , então, os triângulos serão congruentes.
T 15 - (LAAo) Dados os triângulos ABC e A'B'C' se ' ' 'BAC B A C∠ ≡ ∠ , ' 'BC B C≡
e ' ' 'ABC A B C∠ ≡ ∠ , então, os triângulos serão congruentes.
194
A resposta do Grupo 2 , embora tenham sido omitidos os demais
casos de congruência válidos também na Geometria Hiperbólica, apresenta
uma resposta coerente.
Na resposta do Grupo 3, não foi listado justamente o TH 26, citado
pelos Grupos 1 e 2, que invalida a possibilidade de semelhança entre os
triângulos hiperbólicos. Pelo fato da Atividade 8, dedicada aos triângulos, ter
sido a última atividade apresentada nos encontros em conjunto com
desempenho dos Grupos 1 e 3, podemos inferir que não houve tempo
suficiente para que os novos conceitos fossem devidamente assimilados.
4.3.18 Questionário Final
Análise a priori
As perguntas do questionário final visavam ao levantamento da
percepção do sujeito em relação ao avanço conquistado após a execução das
tarefas.
Curso de Geometria Hiperbólica
Questionário Final
Conclua a leitura dos seguintes tópicos históricos: Coerência; Espaço; Nova Filosofia e Física Moderna. Em seguida, responda ao questionário.
1. Comparando suas expectativas iniciais com o desenvolvimento do curso, qual seu sentimento?
2. O que você considera que apreendeu de nossa proposta, em termos de conteúdo?
3. O que você considera que apreendeu de nossa proposta, em termos de processo de aprendizagem?
195
4. Qual sua opinião sobre a construção de nossa página? Quais aspectos devem ser ressaltados e quais devem ser melhorados?
5. Comente sobre o tempo dado para o estudo e entrega das atividades. Ele foi satisfatório.
6. Descreva suas críticas e sugestões para o aprimoramento de nosso curso.
7. Reflita sobre a educação de Geometria. Após essa experiência, como você apresentaria os tópicos tradicionais nos Ensinos Fundamental e Médio? Você mudaria sua atual abordagem?
Figura 4.65: Questionário Final
A análise das respostas permitirá colher informações para a melhora
de nossa proposta didática, bem como entender se as expectativas iniciais
foram alcançadas. Previmos um momento de reflexão sobre a prática do
Ensino de Geometria, após o aprendizado conquistado com nossa proposta,
que nos ajudará na resposta à questão de pesquisa.
Análise a posteriori
Após a realização dos encontros e da entrega das tarefas, os alunos
responderam ao Questionário Final que permitiu conhecer um pouco do
impacto proporcionado pela experiência do curso.
A primeira questão propunha uma reflexão sobre as expectativas
iniciais e finais (Quadro 4.21):
Quadro 4.21: questionário final – protocolos das respostas da primeira questão Aluno A: “O meu sentimento de alívio, quando há outras possibilidades de geometria
sem ser a euclidiana”.
Aluno B: “Sentimento de realização e capacidade. Geometria Hiperbólica era um
assunto que assustava, que nunca tinha visto, mas as más línguas apontavam que
196
era um assunto difícil, só para “os loucos da Matemática pura”. Durante o curso, pude
perceber que não é bem assim. Pudemos acompanhar o curso, aprender um pouco
sobre as concepções e origens da GH e das demais geometrias não-euclidianas.”
Aluno C: “Meus sentimentos foram os melhores, pois tive a oportunidade de aprender
um conteúdo que nunca tinha visto.”
Aluno D: “Gostei de ter trabalhado com Geometria Hiperbólica de forma dinâmica e
adquiri novos conhecimentos”.
Aluno F: “Ao iniciar o curso, eu não tinha conhecimentos da Geometria Hiperbólica,
assim iniciei o curso sem saber o que aprenderia, sendo assim nas aulas iniciais
sentia-me muito confusa, sem entender bem os conceitos e sem saber o que estava
fazendo. No entanto, no decorrer das aulas, apoiando-me nas leituras,
demonstrações contidas na página da Internet e nas atividades propostas, os
conceitos começaram a fazer sentido. Na minha concepção, uma nova “porta” de
geometria foi aberta para meus estudos, ou seja, por meio do curso tive a
oportunidade de conhecer essa “outra” geometria, que me despertou muita vontade
de compreendê-la com estudos mais profundos”.
Aluno G: “Pelo pouco tempo de curso, acho que o aproveitamento foi bom”.
Aluno H: “No início, tudo parecia difícil, talvez por meu conhecimento no assunto ser
quase zero, porém com o desenvolver das atividades, principalmente em grupo, tudo
foi ficando claro e, hoje, tenho pelo menos um conhecimento básico em Geometria
Hiperbólica”.
Aluno I: “No começo, fiquei com muito medo. Nunca tinha ouvido falar em Geometria
Hiperbólica. Mas depois de discutir as diversas atividades em grupo, fiquei aliviada e
percebi que não era um bicho de sete cabeças”.
Aluno J: “Achei o curso satisfatório e, em se tratando de um assunto pouco, ou nada,
explorado em sala de aula, ele apresentou as principais idéias da Geometria
Hiperbólica”.
Aluno k: “A minha expectativa inicial foi de apreensão, porque o meu conhecimento
sobre Geometria Hiperbólica era superficial, mas no final do curso já estava muito
mais tranqüilo e mais confiante para até fazer demonstrações”.
Pelas expressões relacionadas, percebemos ter havido uma
ansiedade inicial, sobretudo pelo não conhecimento do tema. Desequilíbrio que
foi se dissolvendo ao longo da experiência, que podemos identificar
especialmente nas frases dos alunos B e K.
197
Desse modo é possível inferir que a experiência foi positiva e trouxe
algum conhecimento aos participantes, observando as frases dos alunos F, I e
J.
A segunda questão destinava-se a verificar o que os alunos
julgavam que apreenderam com o curso (Quadro 4.22):
Quadro 4.22: questionário final – protocolos das respostas da segunda questão Aluno A: “As retas paralelas e as assintóticas”.
Aluno B: “Aprendi as bases da origem da GH, que nasceu através da negação do
quinto postulado de Euclides, e como ela, várias outras geometrias não-euclidianas.
Aprendi, também, que existe a Geometria Absoluta, que são as definições da
geometria plana e que também são válidas e que são a base das outras geometrias.
Verifiquei que várias relações da Geometria Euclidiana são válidas na GH e que
outras não são. E o conceito de retas que, na realidade são curvas, foi a descoberta
mais sensacional, e que temos retas a-paralelas e d-paralelas”.
Aluno C: “Uma geometria que não estava acostumado a ver”.
Aluno D: “Definição hiperbólica, retas no plano, ângulo de paralelismo, biângulo,
Quadrilátero de Saccheri e Lambert e Triângulo”.
Aluno F: “Seria difícil pontuar tudo o que aprendi com o curso, pois como descrevi
anteriormente o mesmo serviu como estopim para novas aprendizagens, assim,
posso citar alguns conteúdos:
o Os diferentes modelos de plano (utilizamos o modelo de Poincaré);
o Retas paralelas (assintóticas e divergentes);
o Conceito de um biângulo e suas propriedades;
o Os quadriláteros de Saccheri e Lambert, e suas propriedades”.
Aluno G: “Ficou bem claro as condições do plano em que está a Geometria
Hiperbólica”.
Aluno H: “a. desenvolvimento histórico-filosófico da Geometria Hiperbólica.
b. teoria e seus termos primitivos, relações, axiomas e teoremas com suas
respectivas demonstrações”.
Aluno I: “Aprendi a fazer algumas demonstrações”.
Aluno J: “Conheci as idéias principais da GH e apreendi muito sobre a importância
dos axiomas para o estudo da GE e conheci o que vem a ser a GA. Tive algumas
198
dificuldades em fazer as demonstrações. Se o conteúdo se fixar muito nesse ponto
ele se tornará difícil”.
Aluno k: “Aprendi sobre o desenvolvimento histórico-filosófico da Geometria
Hiperbólica, assim como a teoria e seus termos primitivos, relações, axiomas e
teoremas com suas respectivas demonstrações”.
Pelas afirmações dos alunos, percebemos que eles acreditam ter
apreendido alguns dos conteúdos apresentados nas atividades, alguns deram
ênfase à parte histórica, outros às demonstrações e, ainda, aos conceitos
próprios da Geometria Hiperbólica. Embora algumas respostas fossem
sucintas, não recebemos nenhuma afirmação que invalide a contribuição do
curso no aprendizado desses alunos.
Pretendíamos investigar também se nossa proposta impactou-os de
alguma forma quanto às suas concepções sobre o processo de aprendizagem.
As respostas foram transcritas abaixo (Quadro 4.23):
Quadro 4.23: questionário final – protocolos das respostas da terceira questão Aluno B: “Que a aprendizagem colaborativa ajuda muito, pois com a contribuição e os
comentários dos colegas de turma, pude aprofundar e esclarecer alguns tópicos que
estavam nebulosos, e que os softwares de geometria dinâmica propiciam um melhor
entendimento dos conceitos estudados”.
Aluno F: “Durante o curso de Geometria Hiperbólica, houve alguns tópicos
interessantes, entre eles, a utilização das construções e demonstrações Matemáticas
para aprendizagem de conteúdos e, também, a Internet como ferramenta de
aprendizagem”.
Aluno I: “Que o trabalho em grupo é fundamental no processo de ensino-
aprendizagem. Talvez se eu tivesse feito as atividades individualmente não
conseguiria obter tamanho sucesso”.
Aluno J: “O processo de aprendizagem foi mediado presencialmente pela profa.
Marília e foi construído ao longo do curso por etapas sucessivas. A forma como foi
apresentado o conteúdo foi bem clara e possibilitou uma independência por parte dos
alunos para seu estudo. O que, às vezes, nos impedia de prosseguir era um
desconhecimento muito grande desse assunto”.
199
Aluno K: “Os conhecimentos adquiridos na Geometria Hiperbólica influenciaram
positivamente, notei que é possível explorar muito mais as demonstrações em
Geometria Euclidiana”.
Após a reflexão, os alunos citaram a importância do trabalho em
grupo, a contribuição dos softwares de geometria dinâmica, a inserção de
construções geométricas e de demonstrações na aprendizagem de conteúdos.
Podemos registrar que alguns pontos inicialmente levantados por nós, também,
foram percebidos pelos alunos como itens que podem favorecer a
aprendizagem.
A questão cinco pretendia colher informações sobre os aspectos
ergonômicos de nossa página. As respostas estão no quadro 4.24:
Quadro 4.24: questionário final – protocolos das respostas da quarta questão Aluno A: “Muito interessante. Os aspectos são as construções e as demonstrações,
que são referência dos postulados”.
Aluno B: “Achei muito boa a página, com as atividades bem organizadas, bem claras
e estimulantes. Ressalto a divisão de conteúdos a ser tratado na forma de atividades,
de módulos e o botão no final de cada tópico, onde após verificado e demonstrado os
novos conceitos estudados na atividade proposta eles já iam para o resumo
atualizado da GH, para podermos utilizá-los nas próximas atividades como conceitos
já demonstrados”.
Aluno C: “A página está interessante, com links que facilitam o entendimento das
demonstrações, um aspecto que poderia melhorar é a parte das construções, poderia
ter partes dos exercícios para o aluno construir”.
Aluno D: “A página é muito boa, pois o aluno consegue fazer as atividades de forma
dinâmica. Acredito que o que pode ser melhorado é com relação a algumas
identificações de retas (letras), por exemplo, que confundiram um pouco”.
Aluno F: “A página da Internet, serviu como um apoio durante todo o curso, na minha
concepção está bem organizada, dinâmica e de fácil ‘manipulação’ para quem a
utiliza”.
Aluno G: “As figuras foram muito úteis para o entendimento do conteúdo. Poderiam
200
ter outros espaços para construções nas páginas das demonstrações”.
Aluno H: “A página está didaticamente fácil de ser manipulada e pedagogicamente
satisfatória, qualquer pessoa que tenha um conhecimento da Geometria Euclidiana
poderá manipulá-la.
Nosso grupo gostou bastante do desenvolvimento histórico-filosófico, como foi
tratado, o resgate dos axiomas, postulados e teoremas da Geometria Euclidiana e
como foi elucidada a Geometria Hiperbólica e axiomatização de Hilbert, assim como
os exercícios interativos”.
Aluno I: “Na página, você consegue obter tudo que precisa para realizar as atividades.
Está fácil de manipular e bem acessível. Adorei o resgate da Geometria Euclidiana.
Ajudou muito para que eu pudesse entender a Geometria Hiperbólica”.
Aluno J: “Achei que a apresentação da página está muito boa. Tanto visualmente
como na forma com que estão organizados os assuntos, ela apresenta uma coerência
e clareza que facilitam ao aluno”.
De maneira geral, a manipulação da página foi amigável, mas,
observando as respostas dadas à Questão 4, percebemos alguns pontos de
melhoria:
• Inclusão de outros exercícios de construção geométrica.
• Melhor identificação das retas, exemplificado na Figura 4.22.
A questão seguinte, a quinta, levantou a percepção dos alunos
quanto ao tempo destinado aos estudos e entrega das atividades. As respostas
estão listadas no Quadro 4.25:
Quadro 4.25: questionário final – protocolos das respostas da quinta questão Aluno A: “Sobre o tempo, ficou curto, pois, temos outras disciplinas e a dissertação a
cumprir, mas foi satisfatório”.
Aluno B: “Foi meio corrido, devido a meu acúmulo de tarefas, pois estou cursando
três disciplinas e época de final de bimestre nas escolas, que gerou acúmulo de
tarefas a serem executadas. Mas se não fosse essa época, acredito que o tempo de
uma semana para revolução o suficiente para trabalharmos os conteúdos vistos e
resolver as atividades propostas”.
Aluno C: “Com relação ao tempo, acho que foi o suficiente”.
Aluno D: “Gostaria de ter tido mais algumas aulas para terminar todos os tópicos
201
disponíveis e com relação a entrega de atividades, ficou um pouco corrido devido a
outras atividades desse curso”.
Aluno F: “O tempo para a realização das atividades comumente era definido para uma
semana, e a princípio as atividades iniciais eram simples e o tempo foi compatível
com as atividades, no entanto ao iniciar as primeiras demonstrações este tempo foi
curto, pois tínhamos muitas dúvidas em relação à realização das mesmas”.
Aluno G: “De forma nenhuma, o tempo foi muito curto”.
Aluno I: “Como em todo “curso” que participei, no começo é tudo muito pausado,
explícito. Depois quando se percebe que não haverá mais tempo, a realização das
atividades é “meio atropelada”.
Aluno J: “O tempo para a entrega das atividades foi satisfatório, porém, no nosso
caso, como temos muitas atividades, ele poderia ser um pouco mais extenso”.
Aluno K: “Acredito que o tempo oferecido para o estudo e entrega das atividades
foram curtos, seria melhor que este fosse prolongado para fazer melhores reflexões
em suas demonstrações. Quanto ao tempo oferecido para a entrega das atividades
foi satisfatório”.
Pelos textos colhidos no último encontro e os relatados nas
respostas da quinta questão, podemos concluir que os alunos preferiam um
número maior de encontros que possibilitasse uma dedicação maior a cada
atividade, propondo outros momentos de reflexão e discussão dos conteúdos
propostos. Quanto ao tempo de uma semana para a entrega das atividades, a
maioria concordou ser um tempo satisfatório.
Como respostas da sexta questão, que solicitava críticas e
sugestões para o aprimoramento de nosso curso, obtivemos (Quadro 4.26):
Quadro 4.26: questionário final – protocolos das respostas da sexta questão Aluno B: “Se possível deixar o site no ar para que possamos dar continuidade e ter
uma fonte de pesquisa para nos aprofundarmos mais no assunto”.
Aluno C: “Para um curso a distância, poderiam ser oferecidos alguns tópicos de
Geometria Euclidiana antes de tratar a GH”.
Aluno D: “Acredito que com mais tempo todas as atividades teriam sido feitas e com
isso se chegaria a uma aprendizagem mais significativa”.
Aluno F: “O curso foi ministrado com etapas a distância e etapas presenciais, no
202
entanto o mesmo é proposto para uma educação a distância. Refletindo nesta
proposta de educação a distância, acredito ser um pouco complicado se o público-
alvo não possuir um conhecimento básico em Geometria Hiperbólica, pois ao nos
depararmos com essa Geometria temos muitas dúvidas e inquietações, assim
necessitando do apoio de um formador”.
Aluno G: “Uma introdução sobre a Geometria Absoluta, descrevendo já algumas
diferenças entre a euclidiana e hiperbólica.”
Aluno I: “A dinâmica foi muito boa, porém é necessário reorganizar o tempo para a
realização das atividades”.
Aluno J: “Acho que o curso está bom. Como já disse a apresentação da página facilita
a aprendizagem. Eu sei que para o estudo da geometria, as demonstrações cumprem
um papel essencial, mas a abordagem da GH pra quem não a conhece ainda não
poderia ser explorada enfatizando outros aspectos. (Desculpe-me essa é a opinião de
um leigo no assunto)”.
Aluno K: “Sugiro que explore mais as demonstrações, partindo das mais simples até
as mais complexas”.
Consolidando as sugestões podemos organizá-las como segue:
• Dedicação de um tempo inicial para trabalhar as
demonstrações das Geometrias Neutra e Euclidiana,
permitindo a familiarização com o processo antes de se
ingressar no estudo da Geometria Hiperbólica;
• Quanto à aplicação do material em um curso a distância,
entendemos que a utilização dos mecanismos síncronos e
assíncronos, bem como o incentivo de um trabalho em
equipe, mesmo que a distância pode minimizar a ausência
física do professor. Mas tal observação nos parece importante
e necessita de investigações futuras; e
• Quanto ao tempo, considerando que os alunos estejam se
referindo ao tempo dedicado à aplicação do projeto-piloto que
foi realizado em cinco encontros semanais. Entendemos que
o mesmo foi adequado para uma abordagem inicial do tema e
para a coleta de material. O estudo completo da nossa
203
proposta foi inicialmente idealizado para ser disponibilizado
em 12 etapas, com intervalo de quatro dias. Após a
experiência presencial, concordamos que esse tempo deve
ser reavaliado após a reorganização do material.
Finalmente, a sétima questão propõe uma reflexão sobre a
Educação de Geometria e a abordagem do professor nos Ensinos
Fundamental e Médio, após o contato com outras geometrias. As respostas
foram consolidadas no quadro 4.27:
Quadro 4.27: questionário final – protocolos das respostas da sétima questão Aluno B: “Mudaria em relação à utilização de softwares, com a utilização da geometria
dinâmica, pois percebi que eles facilitam muito o entendimento, propiciam a reflexão e
conjecturas de possibilidades”.
Aluno C: “Tentaria trazer algumas noções da GH para a sala de aula”.
Aluno D: “A geometria apresentada de forma dinâmica faz com que o aluno se
interesse mais pelos conteúdos apresentados despertando uma maior atenção, pois
se aprende ‘brincando’. O aluno é estimulado a criar, relacionar idéias, analisar,
pensar na melhor estratégia, raciocinar, decidir que situação tomar, entender os
teoremas, obtendo uma aprendizagem mais significativa. Com certeza tentaria aplicar
a Geometria de forma dinâmica”.
Aluno F: “Refletindo após o término do nosso curso em Geometria Hiperbólica, pensei
em algumas coisas que deveria modificar na abordagem de minhas aulas, uma delas
seria trabalhar as construções geométricas e demonstrações, em Geometria
Euclidiana. Por enquanto, não optaria por abordar a Geometria Hiperbólica nas aulas,
pois ainda necessito compreender melhor o tema”.
Aluno G: “Não mudaria, pois acredito que mesmo os alunos do ensino médio não
absorveriam o conteúdo da Geometria Hiperbólica. Ficaria feliz se entendessem um
pouco da euclidiana”.
Aluno I: “Com certeza, principalmente no que diz respeito às demonstrações”.
Aluno J: “Apresentação da geometria na educação básica pode ser enriquecedora
com a apresentação desses tipos de Geometria. Mostrar aos alunos uma outra visão
do espaço físico ajuda na compreensão da Geometria tal qual ele a percebe”.
Aluno K: “Os conhecimentos adquiridos na Geometria Hiperbólica influenciaram
204
diretamente na concepção dos conceitos da Geometria Euclidiana, principalmente na
compreensão das demonstrações e suas necessidades”.
Depois da reflexão quanto à mudança da atual abordagem dos
professores, podemos citar:
• Uso de softwares de geometria dinâmica, por favoreceram
uma reflexão e levantamento de conjecturas;
• Inclusão de construções geométricas e demonstrações da
Geometria Euclidiana.
4.3 Reflexão e alteração do material didático
Após a aplicação do projeto-piloto, vislumbramos alguns pontos de
melhoria em nosso material, que foram implementados nas atividades
propostas.
1. Com o intuito de proporcionar momentos de construções
geométricas criamos o link Lousa Eletrônica, na Atividade de Introdução (anexo
XXI). Assim, os alunos podem realizar suas construções na tentativa de
investigar situações específicas nas Geometrias Euclidiana e Hiperbólica.
2. A necessidade de trabalharmos inicialmente com alguns dos
teoremas da Geometria Absoluta e da Geometria Euclidiana tornou-se
evidenciada, tanto em nossas observações como nas respostas dadas no
questionário final.
Inserimos o link Teoremas das Geometrias Absoluta e Euclidiana, na
Atividade 1: Axiomatização de Hilbert.
A Atividade inicia-se com a apresentação de dois teoremas inversos,
seguidos de uma investigação da situação, na qual procuramos explorar essa
questão. Posteriormente, solicitamos duas demonstrações. Optamos pelos
teoremas 27 e 28 (de Euclides) e apresentamos a demonstração do teorema
29 (de Euclides). Dessa forma, pretendíamos explorar também a importância
205
desses teoremas na compreensão do surgimento das outras geometrias.
(Anexo XXII). Depois da pesquisa ficou evidente a necessidade da introdução
de momentos de ação que explorassem esse pré-requisito. Acreditamos poder
antecipar a familiarização do sujeito com as demonstrações, com o emprego do
Resumo da Geometria Absoluta.
3. Pelas observações e pelo resultado do fórum, embora não
pretendêssemos inicialmente trabalhar o conceito de medida (distância),
pareceu-nos que, dada a mudança de concepção necessária para se identificar
a congruência de segmentos em uma investigação dinâmica, seria proveitosa a
inclusão de um momento em que tal ponto fosse devidamente explorado.
Na Atividade 2, identificamos também a necessidade de
reconstrução da apresentação das circunferências ortogonais, para facilitar sua
identificação no modelo da Geometria Hiperbólica. Reestruturamos, portanto,
tal atividade, de maneira a contemplar as alterações citadas (anexo XXII).
4. Quanto aos aspectos ergonômicos:
• Incluímos o link Informações Técnicas (anexo XXIII),
na página inicial, que contempla as informações para a
instalação do JAVA;
• Pesquisamos alternativas nas construções hiperbólicas
que minimizassem a dificuldade de identificação das
retas, porém não obtivemos sucesso. Mesmo na
versão 2.0 do software as alternativas nos limitaram
também, em relação à inclusão de marcas dos
ângulos, que não se encontravam disponíveis no
modelo de Poincaré (vista hiperbólica). Outro fato que
poderia contribuir para as investigações seria uma
calculadora, recurso que o software não apresenta.
5. Incluímos também dois momentos visando a proporcionar um
debate sobre os teoremas inversos. A seleção dos teoremas para
206
demonstração no link Teoremas das Geometrias Absoluta e Euclidiana teve
esse propósito e introduzimos o teorema inverso ao TH 12 na segunda série de
exercícios (Anexo XXIV).
6. Ao pensar na possibilidade de direcionar a construção das
demonstrações em três colunas, inserimos o Formulário (Anexo XXV), para
incentivar o aluno a justificar todos os passos dados. Acreditamos que ele
possa ser testado em investigações futuras, devendo apresentar melhores
resultados daqueles apresentados nesta pesquisa.
Reformulamos o link Apresentação (Anexo XXVI) e, também,
atualizamos o Mapa do Site, para que possam refletir as mudanças realizadas.
Desse modo, também, repensamos a respeito do tempo de realização das
atividades e sugerimos que o material, a princípio, seja utilizado em cursos
presencias, pois essa pesquisa não explorou o seu desempenho nas demais
modalidades de ensino.
207
CONSIDERAÇÕES FINAIS
O atual ensino de ciências e Matemática não permite atingir os grandes objetivos da educação que são: (i) possibilitar a cada indivíduo atingir seu potencial criativo; (ii)
estimular e facilitar a ação comum, com vistas a viver em sociedade, exercitando a cidadania plena.
(D’AMBRÓSIO, 1999, p.1)
Nossa proposta inicial era a elaboração de um material didático
voltado ao estudo da Geometria Hiperbólica, a ser disponibilizado em uma
página da Internet. Pretendíamos utilizar os recursos de uma plataforma de
ensino a distância para testar a potencialidade de material em cursos não
presenciais.
Realizamos os estudos preliminares, descritos no capítulo I, que
reforçaram a carência de materiais para esse propósito, a escolha do software
e o conhecimento dos pontos críticos na elaboração de um material a ser
disponibilizado via Internet, voltado à Educação. Suportados pelas sugestões
das Diretrizes Curriculares Nacionais para os cursos de Matemática,
Bacharelado e Licenciatura (DCN) que apontam a importância do
desenvolvimento do raciocínio lógico, engajamo-nos na idealização de nossa
página.
Na elaboração das atividades, procuramos seguir a Teoria das
Situações Didáticas, de Brousseau e, também, os trabalhos com
demonstrações de Duval, que nortearam nossas escolhas didáticas,
apresentadas no capítulo III. Procuramos proporcionar momentos em que os
alunos pudessem, interagindo com nossa proposta, conquistar um novo
conhecimento.
A experimentação, realizada com os alunos do Mestrado Profissional
em Ensino de Matemática, foi enriquecedora e permitiu que identificássemos
algumas alterações no material, descritas no capítulo IV, na tentativa de torná-
lo mais eficiente.
208
Depois de analisar os resultados da experimentação, colhemos
subsídios na tentativa de responder à questão de pesquisa e validar as
hipóteses levantadas.
Pelas observações realizadas nos encontros, tivemos a
oportunidade de perceber a importância da investigação das construções
geométricas na elaboração dos conceitos da Geometria Hiperbólica.
Exemplificando, aparentemente os alunos só “concordavam” que era possível
haver mais de uma reta paralela à uma reta data, porque estavam
visualizando-as nas construções apresentadas na Atividade 3: Retas no Plano.
Em outro momento, na resolução da análise de situação
apresentada na Atividade 4: ângulo de paralelismo, a construção foi
fundamental para a verificação da questão proposta. Na Atividade 5, com a
exploração dinâmica das situações propostas, percebemos que os alunos
foram se apropriando do conhecimento do comportamento das retas no plano
hiperbólico.
Ao analisar as respostas dos alunos (Quadro 4.23 – aluno B, Quadro
4.24 – aluno G), vimos a explicitação da importância do uso da geometria
dinâmica. Pela experiência vivida, alguns pensam inseri-la em suas práticas
docentes (Quadro 4.27 – alunos B e D).
Pelos exemplos citados, podemos inferir que a geometria dinâmica
foi fundamental para a construção dos novos conceitos. Esses momentos
permitiram que os alunos estivessem mais preparados para se debruçar nas
respectivas demonstrações, pois, aparentemente, conseguiam “aceitar” as
proposições pela internalização dos conceitos envolvidos. O fato leva-nos a
afirmar que, em um estudo axiomático inicial, a geometria dinâmica apresenta
uma importante função. Ressaltamos que pudemos observar, na prática, a
importância em se destinar tempos específicos aos momentos de ação,
formulação, validação e institucionalização, para que os alunos pudessem
apropriar-se de um novo conhecimento.
Pela análise dos protocolos, identificamos um avanço por parte dos
alunos nas produções de suas demonstrações. Inicialmente, apresentavam
dificuldades para redigir a hipótese e a tese (Quadros 4.3 e 4.5). Pudemos
209
observar que, nas demonstrações diretas, os alunos obtiveram um melhor
resultado (Quadros 4.7 e 4.8). Esperamos que a introdução das demonstrações
da Geometria Absoluta, no início da proposta, contribua para um melhor
resultado.
Pelas frases dos pesquisados, podemos observar, também, que
alguns cogitam a introdução de demonstrações e construções geométricas em
sua prática (Quadro 4.27, alunos F e I). Tal afirmação nos leva a crer que eles
consideraram positiva a experiência com as demonstrações.
Embora os alunos não tivessem formalizado nenhuma mudança em
sua prática voltada à inserção de momentos destinados à história da
Geometria, pelo exposto acima consideramos validada a hipótese de que os
conhecimentos da Geometria Hiperbólica podem influenciar positivamente a
prática do professor de Geometria Euclidiana.
Procuramos colher informações que evidenciassem o favorecimento
da aprendizagem do raciocino com a apresentação das demonstrações em três
colunas. Nas observações percebemos que tal apresentação favorece o
entendimento das demonstrações disponibilizadas no material didático. Mas
nem todos os grupos optaram por apresentar suas elaborações nessa
estrutura. Observamos que o Grupo 4, que procurou seguir nossas
recomendações, de modo geral, saiu-se bem. No entanto, entendemos que
não existem evidências para afirmar que essa apresentação possa contribuir
para a aprendizagem das demonstrações. Para melhor investigar esta hipótese
seria necessário induzir os alunos para que trabalhassem dessa forma, mas
optamos por deixá-los escolher o formato. Inserimos como melhoria o
“Formulário” que pode ser explorado em novas aplicações da proposta, para
melhor entender a contribuição de tal estrutura na aquisição desse
conhecimento.
Consideramos, assim, respondidas nossas inquietações, mas
percebemos as limitações da presente pesquisa. Assim, sugerimos para
futuros estudos:
• A investigação da viabilidade dessa proposta na modalidade
semipresencial ou a distância;
210
• A inserção das construções geométricas como atividade a ser
vivenciada pelo aprendiz em complemento àquelas que
propusemos;
• A importância de uma disciplina de Lógica nos cursos de
Licenciatura em Matemática no sentido de apresentar os
conhecimentos necessários para a realização de uma
demonstração Matemática; e
• A elaboração das demonstrações nos esquemas gráficos,
segundo Duval, como uma ferramenta útil no
desenvolvimento do raciocínio lógico, possibilidade não
explorada nesta pesquisa.
Finalmente, para se estimular a vivência de uma cidadania plena,
não podemos negligenciar a compreensão das demonstrações como uma
extensão para a formação de um indivíduo mais crítico e consciente de seu
papel no mundo onde vive. Citamos Aristóteles para lembrar que a
demonstração “diz respeito não ao discurso externo, mas ao discurso interno
da alma”. (ARISTOTELES, 2005, p. 271)
211
REFERÊNCIAS
AGAZZI, Evandro; PALLADINO, Dario. Le Geometrie non Euclidee e i fondamenti della geometria dal punto de vista elementare. Milão: La Scuola, 1998. 342 p. ALMOULOUD, Saddo Ag. Fundamentos da Didática da Matemática . Paraná: UFPR, 2007.217p.
ARCARI, Inedio. Um texto de Geometria Hiperbólica . 2008. 127f. Dissertação (Mestrado em Matemática) – Universidade Estadual de Campinas. Campinas, São Paulo.
ARISTÓTELES. Órganon . Tradução de Edson Bini. São Paulo: Edipro, 2005. 608 p. ARTIGUE, Michèle. Engenharia Didática. In: BRUN, Jean (Org.). Didáticas das Matemáticas . Tradução de Maria José Figueiredo. Lisboa: Instituto Piaget, 1988. cap. 4, p.193-217. (Coleção Horizontes Pedagógicos). AVILA, G. Legendre e o postulado das paralelas . Revista do Professor de Matemática. n. 22. p.16-28. 1992. BALCEWICZ, Raquel Cruz. Ambiente Virtual para o ensino de desenho : um estudo de caso com a mediação do uso do software Cinderella. 2003. 96f. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Produção) – Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis. BARBOSA, João Lucas, M. Geometria Hiperbólica , Rio de Janeiro: IMPA, 1985. 167p. BARKER, Stephen F. Filosofia da Matemática . Tradução de Leônidas Hegenberg e Octanny Silveira da Mota. Rio de Janeiro: Zahar, 1969. 141p. (Curso moderno de Filosofia). BERGAMINI, Massino et al. Le geometrie non euclidee e i fondamenti della Matemática . Bolonha: Zanichelli, 2003. 56p. (corso base blu – modulo Omega)
BIEZUNSKI, Michel. História da Física Moderna . Tradução de Joaquim Nogueira Gil. Lisboa: Instituto Piaget, 1993. 267p. (História e Biografias)
BONETE, Izabel Passos. As geometrias não-euclidianas em cursos de licenciatura : algumas experiências. 2000. Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade Estadual de Campinas, Campinas. BONOLA, Roberto. Geometrias no Euclidianas . Tradução de Luis Gutiérrez Del Arroyo. Madri: ed. Calpe, 1923. 233p.
212
BRASIL. Ministério da Educação. Conselho Nacional de Educação/ Câmara de Educação Superior. Diretrizes Curriculares Nacionais para os cursos de Matemática, Bacharelado e Licenciatura . Brasília: 2001.
BRITO, Arlete de Jesus. Geometrias não-euclidianas : um estudo histórico-pedagógico. 1995. 187f. Dissertação (Mestrado em Educação) - FE- UNICAMP, Campinas.
BRITO, Arlete de Jesus e MORAES, Lafayette. A obra de Gerolamo Saccheri e a história da geometria não-euclidiana. Zetetiké , Campinas, CEMPEM, v. 6, n.10, jul-dez 1998. BROUSSEAU, Guy. Fundamentos e Métodos da Didática da Matemática. In: BRUN, Jean (Org.). Didáticas das Matemáticas . Tradução de Maria José Figueiredo. Lisboa: Instituto Piaget, 1986. Cap.1. p. 35-113. (Coleção Horizontes Pedagógicos). CABARITI, Eliane. Geometria Hiperbólica : uma proposta didática em ambiente informatizado. 2004. 180f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica, São Paulo. CABRERA, Emanuel S. Los Elementos de Euclides como exponente del “Milagro Griego” . Ensayo sobre lãs relaciones de la Matemática com la filosofia gregas. Buenos Aires: Libreria Del Colégio, 1949. 150 p. CARRION, Rejane; COSTA, Newton C.A. da. Introdução à lógica elementar . Porto Alegre: ed. da Universidade, 1988. 66 p.
CENTOMO, Vicenza Andrea. Studio interattivo dos modelos de Poincaré Del Disco e Del Semipiano per la Geometria Iperbóli ca. 2002. Disponível em <http://www.cs.unm.edu/%7Ejoel/NonEuclid/NonEuclid-Italian.html>.Acesso em 25 out. 2005.
COSTA, Newton C.A. e KRAUSE, Décio. Notas de Lógica. Parte I: Lógicas Proposicionais Clássica e Paraconsistente . Texto Preliminar. Florianópolis: Universidade Federal de Santa Catarina. 2004. COSTA, Manuel Amoroso. As Ideias Fundamentaes da Mathematica . Rio de Janeiro: Pimenta de Mello, 1929. 246 p. COSTA, Sueli I. Rodrigues & SANTOS, Sandra Augusta. Geometrias não-euclidianas . Ciência Hoje. v. 11, n. 65, p.14-23, Ag./90. COUTINHO, Lázaro. Convite às Geometrias não-euclidianas . Rio de Janeiro: Interciência, 2001. 114p.
213
D’AMBROSIO Ubiratan. Informática, Ciências e Matemática . São Paulo, 1999. Disponível em: <http://vello.sites.uol.com.br/tve.htm>. Acesso em: 10 jan. 2005. D’AMBROSIO Ubiratan. Seção Entrevista. Boletim Informativo Cabri . São Paulo, n. 01, jun. 2000. Disponível em: <http://www.cabri.com.br/boletins/1_jun_2000.htm>. Acesso em: 10 dez. 2004. D’Amore, Bruno. Elementi di Didattica della Matematica . Bolonha: Pitagora Editrice, 1999. p. 348-358. v.6 (Complementi di Matematica per l’indirizzo didático). DOMINGUES, Hygino H. A demonstração ao longo dos séculos. Bolema , Rio Claro, v.18, set.2002 DUVAL, Raymond. Quels sont les éléments constitutifs d'un raisonnement. Strasbourg : IREM de Strasbourg, 1993. p.195-221. DUVAL, Raymond. Sémiosis et pensée humaine. Paris : Peter Lang, 1993a. p.209-321. EINSTEIN, Albert; INFELD, Leopold. A Evolução da Física . Tradução de Giasone Rebuá. Rio de Janeiro: Jorge Zahar Ed., 2008. 244 p. EVES, Howard. História da Geometria .Tradução de Hygino H. Domingues. 8 ed. São Paulo: Atual, 1992. 77 p. v.3 (Tópicos de história da Matemática para uso em sala de aula). FERNÁNDEZ, Santiago Fernández. Lobachevski : Um espíritu indomable. Espanha: Nivola, 2004. 238 p. v.17 (La Matemática em sus personajes). FETISSOV, A.I. A Demonstração em Geometria . Tradução de Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1997. 74 p. (Matemática Aprendendo e Ensinando). FLEMMING, D. M.; Luz, E. F. e COELHO, C. Desenvolvimento de Material Didático para Educação a Distância no Contexto da E ducação Matemática . 2000. Disponível em: http://www.abed.org.br/publique/cgi/cgilua.exe/sys/start.htm?infoid=171&sid=105&UserActiveTemplate=4abed . Acesso em 11 set. 2002. GRAVINA, Maria Alice. Geometria Dinâmica : uma nova abordagem para o aprendizado da Geometria. In: SIMPÓSIO BRASILEIRO DE INFORMÁTICA NA EDUCAÇÃO, VII. 1996. Belo Horizonte. p.1-13. Disponível em http://penta.ufrgs.br/edu/telelab/mundo_mat/curcom2/artigo/artigo.htm. Acesso em 16 jan. 2004.
214
HILBERT, David. Fundamentos da Geometria . OLIVEIRA, A. J. Franco de (Coord). Lisboa: ed. Gradiva, 2003. 338 p.
KALINKE, Marco Aurélio. Internet na Educação . Curitiba: Chain, 2003, 143p.
KANT, Immanuel. Crítica da Razão Pura . Tradução de Alex Marins. São Paulo: Martin Claret. 2005. n.3. 605p.(Coleção Obra-Prima de cada autor – Série Ouro).
KASNER, Edward; NEWMAN, James. Matemática e Imaginação . Tradução de Jorge Fortes. Rio de Janeiro: Zahar, 1968. 347p.
LAFFI, Giulia. Le geometrie non euclidee . 1999. Disponível e <http://progettomatematica.dm.unibo.it/NonEuclidea/index.htm>. Acesso em 25 out. 2005.
LENTINI, Luigi. Le geometrie non euclidee . Disponível em <http://www.univirtual.it/corsi/fino2001_I/Lentini/moduli.htm>. Acesso e 29 mar 2005.
LINS, Geraldo Henrique Botelho. Introdução à Geometria Hiperbólica: Semelhanças e Diferenças. 2002. 62f. Dissertação (Mestrado em Matemática Aplicada) - Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro.
LÉVY, Pierre. As Tecnologias da Inteligência : o futuro do pensamento na era da informática. Tradução de Carlos Irineu da Costa. São Paulo: Editora 34, 1993. 208p. LÉVY, Pierre. Evoluzione del concetto de sapere nell’era telemati ca. Veneza, 1997. Disponível em http://www.mediamente.rai.it/home/bibliote/intervis/l/LÉVY02.htm. Acesso em 10 nov. 2006.
LÉVY, Pierre. Cibercultura . Tradução de Carlos Irineu da Costa. São Paulo: Editora 34, 1999. 264p. LOPES, Anderson. Avaliação em Educação Matemática a Distância : uma experiência de geometria no ensino médio. 2004. 181f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica, São Paulo.
MAGNANI, Lorenzo. Filosofia e Geometria: Temi teorici e storici. Milão: Guerini e Associati, 1990. 173p.
MARCONDES, Danilo. Iniciação à História da Filosofia : dos pré-socráticos a Wittgenstein. 9 ed. Rio de Janeiro: Jorge Zahar Editor, 2006. 298p. MORAN, J. M. O que aprendi sobre avaliação em cursos semi-presen ciais . São Paulo, 2006. Disponível em <http://www.eca.usp.br/prof/moran/aprendi.htm>.Acesso em 17 jun. 2007.
215
MARTINS, Roberto de Andrade. A influência das Geometrias Não-Euclidianas no pensamento físico do século XIX. Revista da Sociedade Brasileira de História da Ciência . Jan.-Jun., n.13, p. 67–79, 1995. PATY Michel. Introdução a três textos de Einstein sobre a geometria, a teoria física e a experiência. Scientiae studia . São Paulo. v.3. n.4. p 641-662, 2005. PETERS, Otto. Didática do ensino a distância . Tradução de Ilson Kayser. Rio Grande do Sul: Unisinos, 2003. 402p. PIETROPAOLO, Ruy César. Re(significar) a demonstração nos currículos da educação básica e da formação de professores de Matemática . 2005. 249f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica, São Paulo.
PLATÃO. A República . Tradução de Pietro Nassetti. São Paulo: Martin Claret. 2006. 320 p. n.36. (Coleção Obra-Prima de cada autor).
POINCARÉ, Henri. O valor da ciência . Rio de Janeiro: Contraponto, 1995, 180p.
REIS, Joana d’Arc da Silva. Geometria Esférica por meio de materiais manipuláveis . 2006. 158f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Universidade Estadual Paulista, Rio Claro (SP).
RUSSELL, Bertrand. Introdução à filosofia Matemática . Tradução de Maria Luiza X. de A. Borges. Rio de Janeiro: Jorge Zahar Ed, 2007. 247p. SPERANZA, Francesco. I fondamenti della Matemática per la sua didattica e nei loro legami com la societá contemporanea : I fondamenti epistemologici della Matemática. In: CONGRESSO NAZIONELE DELLA MATHESIS. 1996. Verona.Disponível em <http://www.apav.it/mat/filoslette/epistemologia/lavorisperanzarota/fondamepistmatem.pdf>. Acesso em 15 jan. 2007. SOUZA, J.C.M. O escândalo da geometria . RJ: Gráfica Ed. Aurora. 1948. SOUZA, Márcia Cristina Garrido. O 5º Postulado de Euclides: a Fagulha que Desencadeou uma Revolução no Pensamento Geométrico. 1998. 225f. Dissertação (Mestrado em Matemática) - Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro. SOUZA, Mário José de. Realizações de Constelações de Sinais Hiperbólicas Densas Associadas a Sistemas Lineares Através das Funções Automorfas . 2005. 126 f. Tese (Doutorado em Engenharia Elétrica) – Universidade Estadual de Campinas – Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação. Campinas, SP.
216
TERDIMAN, Esther Wajskop. A Geometria Hiperbólica e sua consistência. 1989. 203 p. Dissertação (Mestrado em Matemática). Pontifícia Universidade Católica, São Paulo. TRUDEAU, Richard. La revoluzione non euclidea . Tradução de ALBANO, Alberto; MARCHISEPPE, Carla e CANNILLO, Tullio. 2 ed. Torino: ed. Bollati Boringhieri, 2004. 280 p. VELOSO, Eduardo. Cabri, Cinderella e Sketchpad. Educação e Matemática - Tecnologias na Educação Matemática. Portugal, n.70, p.5-9, nov/dez.2002.
217
ANEXOS
Anexo I : Menu: Tópicos Históricos................................................................................................ i Anexo II : Do início da geometria a Euclides..................................................................................ii Anexo III : Elementos de Euclides.................................................................................................iv Anexo IV : Axiomatização de Euclides..........................................................................................vi Anexo V : Geometria e Filosofia.................................................................................................... x Anexo VI : Tentativas de Demonstração do V Postulado ............................................................xii Anexo VII : Fundamentos da Geometria de Hilbert.....................................................................xiv Anexo VIII : Geometria Absoluta .................................................................................................xvi Anexo IX : O surgimento das outras geometrias........................................................................ xvii Anexo X : Coerência - O modelo de Poincaré ............................................................................xix Anexo XI : Geometria e espaço físico ..........................................................................................xx Anexo XII : A nova filosofia do conhecimento .............................................................................xxi Anexo XIII : Impactos na Física Moderna .................................................................................. xxii Anexo XIV : Demonstrações ..................................................................................................... xxiv Anexo XV : Mapa do Site .......................................................................................................... xxvi Anexo XVI : Apresentação do Curso........................................................................................ xxvii Anexo XVIII : Apresentação da proposta – 1º encontro........................................................... xxxii Anexo XIX: Construções Geométricas Elementares ............................................................. xxxiii Anexo XX: Inversão................................................................................................................. xxxv Anexo XXI: Lousa Eletrônica.................................................................................................. xxxvi Anexo XXII: Teoremas das Geometrias Absoluta e Euclidiana............................................ xxxvii Anexo XXIII: Informações Técnicas .............................................................................................xl Anexo XXIV: 2ª Série de Exercícios – questão 4........................................................................xli Anexo XXV: Formulário.............................................................................................................. xlii Anexo XXVI: Apresentação....................................................................................................... xliii
i
Anexo I : Menu: Tópicos Históricos
ii
Anexo II : Do início da geometria a Euclides
iii
iv
Anexo III : Elementos de Euclides
v
vi
Anexo IV : Axiomatização de Euclides
vii
viii
ix
x
Anexo V : Geometria e Filosofia
xi
xii
Anexo VI : Tentativas de Demonstração do V Postulado
xiii
xiv
Anexo VII : Fundamentos da Geometria de Hilbert
xv
xvi
Anexo VIII : Geometria Absoluta
xvii
Anexo IX : O surgimento das outras geometrias
xviii
xix
Anexo X : Coerência - O modelo de Poincaré
xx
Anexo XI : Geometria e espaço físico
xxi
Anexo XII : A nova filosofia do conhecimento
xxii
Anexo XIII : Impactos na Física Moderna
xxiii
xxiv
Anexo XIV : Demonstrações
xxv
xxvi
Anexo XV : Mapa do Site
xxvii
Anexo XVI : Apresentação do Curso
xxviii
xxix
xxx
xxxi
Anexo XVII : Página do grupo de pesquisa
http://www.pucsp.br/pensamentomatematico/
xxxii
Anexo XVIII : Apresentação da proposta – 1º encontro
Tela Inicial do Site
xxxiii
Anexo XIX: Construções Geométricas Elementares
xxxiv
xxxv
Anexo XX: Inversão
xxxvi
Anexo XXI: Lousa Eletrônica
xxxvii
Anexo XXII: Teoremas das Geometrias Absoluta e Euclidiana
xxxviii
xxxix
xl
Anexo XXIII: Informações Técnicas
Alteração da Tela Inicial
xli
Anexo XXIV: 2ª Série de Exercícios – questão 4
xlii
Anexo XXV: Formulário
Demonstração Teorema:
( ) Direta ( ) Por Absurdo
Tese: Figura:
Hipótese:
No Passo
Passo Justificativa
01 Hipótese
xliii
Anexo XXVI: Apresentação
xliv
xlv
xlvi