DERIVAES LOCALMENTE NILPOTENTES E O DCIMO QUARTO

PROBLEMA DE HILBERT

Aluno: Pedro Paulo Rocha de Castro, graduando em Engenharia QumicaOrientador: Marcelo Oliveira Veloso, DEFIM

HISTRIA

2Histria Dcimo quarto problema de Hilbert Anel polinomial Derivao localmente nilpotente Ncleo Resultado Referncias

Congresso Internacional de Matemtica de 1900

Hilbert props 23 problemas

Foco de estudo: dcimo quarto problema de Hilbert

DCIMO QUARTO PROBLEMA DE HILBERT

3Histria Dcimo quarto problema de Hilbert Anel polinomial Derivao localmente nilpotente Ncleo Resultado Referncias

Atualmente pode ser enunciado da seguinte maneira:

Em 1954, Zariski obteve soluo para o caso n = 2

Figura 1 : David Hilbert

4Histria Dcimo quarto problema de Hilbert Anel polinomial Derivao localmente nilpotente Ncleo Resultado Referncias Nagata, em 1958 encontra o primeiro resultado negativo

Hoje em dia, existem contra-exemplos para todon 3

Para n 4, equivalente a encontrar uma derivao localmente nilpotente, D, em [n] tal que o ker D (ncleo de D) no seja finitamente gerado

ANEL POLINOMIAL

5Histria Dcimo quarto problema de Hilbert Anel polinomial Derivao localmente nilpotente Ncleo Resultado Referncias

Anel polinomial nada mais do que um anel cujos elementos so polinmios com coeficientes em um determinado anel.

Soma de elementos de um anel:

6Histria Dcimo quarto problema de Hilbert Anel polinomial Derivao localmente nilpotente Ncleo Resultado Referncias Multiplicao de elementos de um anel:

Anis com mais de uma varivel apresentam caractersticas anlogas:

7Histria Dcimo quarto problema de Hilbert Anel polinomial Derivao localmente nilpotente Ncleo Resultado Referncias

O grau de um elemento de um anel polinomial o grau do seu monmio de maior grau

DERIVAO LOCALMENTE NILPOTENTE

8Histria Dcimo quarto problema de Hilbert Anel polinomial Derivao localmente nilpotente Ncleo Resultado Referncias

Derivao em um anel B uma funo aditiva D: B B que satisfaza regra de Leibniz, ou seja:

D(a+b) = D(a) + D(b) e D(ab) = D(a)b + aD(b)

9Histria Dcimo quarto problema de Hilbert Anel polinomial Derivao localmente nilpotente Ncleo Resultado Referncias Definio de derivao localmente nilpotente:

Seja D Der(B), ento define-se o conjunto

Nil(D) = {b B | Dn(b) = 0 para algum n }

A derivao D dita localmente nilpotente se B = Nil(D), ou seja, se para todo b B existe um n natural tal que Dn(b) = 0 .

NCLEO

10Histria Dcimo quarto problema de Hilbert Anel polinomial Derivao localmente nilpotente Ncleo Resultado Referncias

O ncleo de uma derivao D :

Dado D Der(B), definimos o conjunto

ker D = {b B | D(b) = 0}, como o ncleo de D.

11Histria Dcimo quarto problema de Hilbert Anel polinomial Derivao localmente nilpotente Ncleo Resultado Referncias Seja B uma lgebra tal que B. B dita lgebra finitamente gerada sobre se existemf1,...,fn B tais que B = [f1,...,fn]

12Histria Dcimo quarto problema de Hilbert Anel polinomial Derivao localmente nilpotente Ncleo Resultado Referncias O corpo de fraes de um anel B definido da seguinte maneira:

frac(B) = {a/b | a, b B e b 0}

RESULTADO

13Histria Dcimo quarto problema de Hilbert Anel polinomial Derivao localmente nilpotente Ncleo Resultado Referncias

Obtido por Daigle e Freudenburg em 1999 para n = 5

Enunciado do problema:

14Histria Dcimo quarto problema de Hilbert Anel polinomial Derivao localmente nilpotente Ncleo Resultado Referncias Corolrio:

Analisando o enunciado e o corolrio, entendemos porque basta encontrar uma derivao localmente nilpotente, D, em [n] cujo ker D no seja finitamente gerado

Trabalho baseado na busca pela derivada

15Histria Dcimo quarto problema de Hilbert Anel polinomial Derivao localmente nilpotente Ncleo Resultado Referncias O anel e a derivada utilizados foram:

O resultado obtido para essa derivao D foi que o seu ncleo (ker D) no finitamente gerado

REFERNCIAS

16Histria Dcimo quarto problema de Hilbert Anel polinomial Derivao localmente nilpotente Ncleo Resultado Referncias

[1] C. Marques, Introduo Teoria de Anis, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, (1999).

[2] M. Veloso, Derivaes Localmente Nilpotentes: Princpios Bsicos, Universidade Federal de So Joo del Rei, Ouro Branco, (2012).

[3] A. van den Essen, A simple solution of Hilberts fourteenth problem, Colloq. Math. 105, 167-170 (2006).

[4] G. Freudenburg, Algebraic Theory of Locally Nilpotent Derivations, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volume 136, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006).