uma história da geometria na física

Geometrizando a Mecânica Quântica

Uma História da Geometria na Física

Daniel Doro FerranteBrown University

[email protected]

Geometria e Física: Os

primórdios

Era uma vez. . .

A Geometria de Galileo

A Geometria de Newton

Geometria e Física: O

Contemporâneo

A Geometria de Einstein

A Geometria da Mecânica

Quântica

Perguntinha Capciosa

Geometria e Física: Os primórdios

primórdios

Era uma vez. . .

Contemporâneo

Quântica

Era uma vez. . .

■ Percepção sensorial: Geométrica (álgebra é secundária).

■ Babilônia: Idéias sobre o Teorema de Pitágoras 1000 anosantes de Pitágoras!

■ Grécia: physiks significa Natureza — Filosofia Natural.◆ “Filósofos” tentaram entender os fenômenos Naturais

sem invocar o supernatural: Hipócrates (doenças),Platão e Demócrito (átomo).

◆ Idéias geométricas importadas do Egito: aprofundadas.

◆ Teorema de Pitágoras e Números Irracionais —introdução do infinito.

◆ Aristóteles: Primeira Filosofia (matemática emetafísica) e Segunda Filosofia (da física à biologia);Leis do Movimento e Dinâmica Planetária.

■ Alexandria: Euclides (geometria) e Arquimedes(aproximação precisa de π e quase invenção do cálculo,paradoxos de Zeno).

primórdios

Era uma vez. . .

Contemporâneo

Quântica

Era uma vez. . .

■ Percepção sensorial: Geométrica (álgebra é secundária).■ Babilônia: Idéias sobre o Teorema de Pitágoras 1000 anos

antes de Pitágoras!

■ Grécia: physiks significa Natureza — Filosofia Natural.◆ “Filósofos” tentaram entender os fenômenos Naturais

sem invocar o supernatural: Hipócrates (doenças),Platão e Demócrito (átomo).

primórdios

Era uma vez. . .

Contemporâneo

Quântica

Era uma vez. . .

antes de Pitágoras!■ Grécia: physiks significa Natureza — Filosofia Natural.

◆ “Filósofos” tentaram entender os fenômenos Naturaissem invocar o supernatural: Hipócrates (doenças),Platão e Demócrito (átomo).

primórdios

Era uma vez. . .

Contemporâneo

Quântica

Era uma vez. . .

primórdios

Era uma vez. . .

Contemporâneo

Quântica

Era uma vez. . .

primórdios

Era uma vez. . .

Contemporâneo

Quântica

Era uma vez. . .

primórdios

Era uma vez. . .

Contemporâneo

Quântica

Era uma vez. . .

primórdios

Era uma vez. . .

Contemporâneo

Quântica

Era uma vez. . .

primórdios

Galileo Galilei

Contemporâneo

Quântica

Galileo Galilei

■ Copérnico: desafia Ptolomeu (Terra → Sol no centro).

■ Galileo:◆ Telescópio (montanhas na Lua).◆ Áreas e volumes escalam diferentemente (L2 e L3).◆ Movimento: planos inclinados, queda livre e parábolas

(uso pesado da geometria grega).

primórdios

Galileo Galilei

Contemporâneo

Quântica

Galileo Galilei

■ Copérnico: desafia Ptolomeu (Terra → Sol no centro).■ Galileo:

◆ Telescópio (montanhas na Lua).◆ Áreas e volumes escalam diferentemente (L2 e L3).◆ Movimento: planos inclinados, queda livre e parábolas

primórdios

Galileo Galilei

Contemporâneo

Quântica

Galileo Galilei

◆ Telescópio (montanhas na Lua).

◆ Áreas e volumes escalam diferentemente (L2 e L3).◆ Movimento: planos inclinados, queda livre e parábolas

primórdios

Galileo Galilei

Contemporâneo

Quântica

Galileo Galilei

◆ Telescópio (montanhas na Lua).◆ Áreas e volumes escalam diferentemente (L2 e L3).

◆ Movimento: planos inclinados, queda livre e parábolas(uso pesado da geometria grega).

primórdios

Galileo Galilei

Contemporâneo

Quântica

Galileo Galilei

◆ Telescópio (montanhas na Lua).◆ Áreas e volumes escalam diferentemente (L2 e L3).◆ Movimento: planos inclinados, queda livre e parábolas

primórdios

Isaac Newton

Contemporâneo

Quântica

Isaac Newton

■ Tycho Brahe e Johannes Keppler: as observações deTycho permitiram a Kepler concluir que as órbitasplanetárias são elípticas (Leis de Kepler)!

■ Newton: órbita (gravitacional) é como o movimento deprojéteis — amarra as idéias de Galileo com o movimentodos corpos celestes.

primórdios

Isaac Newton

Contemporâneo

Quântica

Isaac Newton

■ Tycho Brahe e Johannes Keppler: as observações deTycho permitiram a Kepler concluir que as órbitasplanetárias são elípticas (Leis de Kepler)!

■ Newton: órbita (gravitacional) é como o movimento deprojéteis — amarra as idéias de Galileo com o movimentodos corpos celestes.

primórdios

Isaac Newton

Contemporâneo

Quântica

Isaac Newton

■ Leis de Newton:

1. Inércia;

2. ~F = m~a;3. Ação e Reação.

■ Movimento Circular (uniforme e acelerado): aceleraçãotangente e perpendicular (centrípeta).

■ Lei da Gravitação Universal: ~FG = G M m

■ Co-invenção (com Leibniz) do Cálculo Integral eDiferencial.

primórdios

Isaac Newton

Contemporâneo

Quântica

Isaac Newton

■ Leis de Newton:1. Inércia;

primórdios

Isaac Newton

Contemporâneo

Quântica

Isaac Newton

2. ~F = m~a;

3. Ação e Reação.■ Movimento Circular (uniforme e acelerado): aceleração

tangente e perpendicular (centrípeta).

primórdios

Isaac Newton

Contemporâneo

Quântica

Isaac Newton

primórdios

Isaac Newton

Contemporâneo

Quântica

Isaac Newton

primórdios

Isaac Newton

Contemporâneo

Quântica

Isaac Newton

primórdios

Isaac Newton

Contemporâneo

Quântica

Isaac Newton

primórdios

Contemporâneo

E todos viveram felizes. . .

Quântica

Geometria e Física: O Contemporâneo

primórdios

Contemporâneo

Quântica

■ Isaac Newton: Mecânica Clássica — GeometriaEuclidiana (extrínseca; métrica);

■ James Clerk Maxwell: Eletrodinâmica Clássica —Geometria Euclidiana (extrínseca; métrica);

■ Georg Riemann: Geometria Riemanniana, não-Euclidiana(intrínseca; métrica, conexão, curvatura e torção)!

■ Carl Jacobi, Sir William Hamilton e Jules Henri Poincaré:Introduziram os conceitos da Geometria Riemanniana naMecânica Clássica de Newton e na EletrodinâmicaClássica de Maxwell:◆ Campos Elétrico e Magnético → 2-forma (“matriz”):

F = Fµ ν dxµ dxν ;◆ Métrica de Jacobi → Fluxo Hamiltoniano ≡ Fluxo

Geodésico: g̃E = 2 (E + V ) g ⇒

E = H =1

2g(p, p) + V ≡ g̃E(p, p) .

primórdios

Contemporâneo

Quântica

E = H =1

2g(p, p) + V ≡ g̃E(p, p) .

primórdios

Contemporâneo

Quântica

E = H =1

2g(p, p) + V ≡ g̃E(p, p) .

primórdios

Contemporâneo

Quântica

■ Carl Jacobi, Sir William Hamilton e Jules Henri Poincaré:Introduziram os conceitos da Geometria Riemanniana naMecânica Clássica de Newton e na EletrodinâmicaClássica de Maxwell:

◆ Campos Elétrico e Magnético → 2-forma (“matriz”):F = Fµ ν dxµ dxν ;

◆ Métrica de Jacobi → Fluxo Hamiltoniano ≡ FluxoGeodésico: g̃E = 2 (E + V ) g ⇒

E = H =1

2g(p, p) + V ≡ g̃E(p, p) .

primórdios

Contemporâneo

Quântica

F = Fµ ν dxµ dxν ;

◆ Métrica de Jacobi → Fluxo Hamiltoniano ≡ FluxoGeodésico: g̃E = 2 (E + V ) g ⇒

E = H =1

2g(p, p) + V ≡ g̃E(p, p) .

primórdios

Contemporâneo

Quântica

E = H =1

2g(p, p) + V ≡ g̃E(p, p) .

primórdios

Contemporâneo

para sempre. . .

Quântica

para sempre. . .

■ Velocidade da Luz, c, é constante:c = 299.792.458m/s ≈ 300.000Km/s;

■ “Cadê o æther que estava aqui?” : O conceito de aither,criado por Aristóteles (material formador dos corposcelestes; movimento circular natural) é experimentalmentefalsificado pelo experimento de Michelson-Morley.

■ Albert Einstein (veja também Einstein Archives Online,Albert Einstein Archives, Albert Einstein Online,Einstein AMNH, Einstein Image and Impact eEinstein’s Big Idea): Usando e extendendo as idéias deMaxwell, Jacobi, Hamilton e Poincaré, usa a GeometriaRiemanniana para generalizar a Mecânica Clássica,criando as Teorias da Relatividade Restrita e Geral (vejatambém The General Relativity Tutorial)!

■ espaço-tempo 4-dimensional; Curvatura ≡ Massa!

primórdios

Contemporâneo

para sempre. . .

Quântica

para sempre. . .

primórdios

Contemporâneo

para sempre. . .

Quântica

para sempre. . .

primórdios

Contemporâneo

para sempre. . .

Quântica

para sempre. . .

primórdios

Contemporâneo

Quântica

Teorias de Gauge. . .Aonde nenhum homem jamais

foi. . .

Teorias de Gauge. . .

■ Espaço-tempo: variedade de base, relatividade restrita;Fibra: grupo de simetria, Campo Quântico.

■ Toda informação duma determinadaTeoria Quântica de Campos está contida na Integral deTrajetória de Feynman:

L (φ)Dφ .

primórdios

Contemporâneo

Quântica

foi. . .

Teorias de Gauge. . .

■ Espaço-tempo: variedade de base, relatividade restrita;Fibra: grupo de simetria, Campo Quântico.

■ Toda informação duma determinadaTeoria Quântica de Campos está contida na Integral deTrajetória de Feynman:

L (φ)Dφ .

primórdios

Contemporâneo

Quântica

foi. . .

Aonde nenhum homem jamais foi. . .

■ Gravitação Quântica: É a arte de integrar a MecânicaQuântica e a Relatividade Geral num mesmo arcaboçomatemático! Dessa forma elas deixam de existir por si sóse passam a formar uma nova teoria, mais completa e maisprofunda.

■ Candidatos atuais: Teoria de SuperCordas, GravitaçãoQuântica de Laços; Teoria Quântica de Campos emEspaços Curvos; Triangulação Dinâmica e Cálculo deRegge; Geometria Não-Comutativa, Formulações emSuperfícies Nulas, Modelos de Espuma de Spin;Conjuntos Causais e “Twistors”.

primórdios

Contemporâneo

Quântica

foi. . .

Aonde nenhum homem jamais foi. . .

■ Gravitação Quântica: É a arte de integrar a MecânicaQuântica e a Relatividade Geral num mesmo arcaboçomatemático! Dessa forma elas deixam de existir por si sóse passam a formar uma nova teoria, mais completa e maisprofunda.

■ Candidatos atuais: Teoria de SuperCordas, GravitaçãoQuântica de Laços; Teoria Quântica de Campos emEspaços Curvos; Triangulação Dinâmica e Cálculo deRegge; Geometria Não-Comutativa, Formulações emSuperfícies Nulas, Modelos de Espuma de Spin;Conjuntos Causais e “Twistors”.

primórdios

Contemporâneo

Quântica

Será?

Quantas vezes você pode cortar um pizza grande emmetades até que cada pedaço tenha o tamanho de umátomo?

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