Uma abordagem prática no estudo de sistemas de equações lineares para o

ensino fundamental.

Egleci Terezinha de Oliveira Souza

egleci@seed.pr.gov.br

Programa de Desenvolvimento Educacional, PDE

Secretaria de Estado da Educação, SEED

Universidade Estadual do Centro-Oeste, UNICENTRO.

Resumo:

Este artigo retrata sobre a experiência vivida com a aplicação em sala de aula de metodologias alternativas para o ensino de Sistemas de Equações Lineares, aos alunos da sétima série do Ensino Fundamental. A metodologia apresentada tem por finalidade auxiliar no processo de ensino-aprendizagem facilitando a compreensão dos conceitos e resolução dos problemas, por meio de atividades com significado para os alunos. Foi realizada uma avaliação diagnóstica em duas turmas A e B. A opção foi pela aplicação da metodologia na turma tida como mais indisciplina e carente de conteúdo. Após as atividades foi possível verificar a mudança de comportamento relativo ao interesse, atenção, independência dos alunos na resolução dos problemas.

Palavras-chave: Sistemas de Equações do 1º grau. Metodologia de ensino.

Atividades didáticas.

Abstract:This article reflects about the adhibition of alternative methodologies in the Linear Equations Systems teaching to seventh-grade students of the Elementary School. The methodology aims to help the teaching-learning process by facilitating the comprehension of the concepts and the problems resolution through significative activities. A diagnostic-evaluation was executed in class A. The alternative methodology was applied to the class considered more undisciplined and with weak contents. After the activities, we could verify the behavior changes regarding the increase of interest and attention in classes as well as the autonomy aquired by students in order to solve problems.

keywords:first degree equations system; teaching methodology; teaching activities

1

1. IINTRODUÇÃO

Sabemos que a educação, não só no Brasil, mas no mundo inteiro, passa por uma grande crise, em todos os níveis, uma crise de obsolescência, uma crise de não saber acompanhar a evolução deste mundo. (Ubiratan D’Ambrósio, 1997. p 9).

O mundo evolui de forma muito rápida e da mesma forma tem-se que

evoluir as estratégias de ensino/aprendizagem para permitir uma sintonia entre o

professor e o aluno onde possa fluir o entendimento dos conteúdos de forma

contextualizada. O comportamento de desinteresse, insatisfação e dificuldade de

aprendizagem, demonstrados pelos alunos na escola, retratam em parte a

rejeição ao trabalho desenvolvido no seu interior e a dificuldade da escola e

demais órgãos educacionais, em acompanhar assa evolução, apesar de seus

esforços.

Em nosso foco de estudo, a maioria dos livros didáticos apresenta os

conteúdos de Sistemas de Equações Lineares para o Ensino Fundamental, com

um viés muito abstrato e desvinculado da realidade. Ainda, na atuação docente

tem-se trabalhado com esse conteúdo, também, de forma abstrata, sem estar

vinculado a uma significação prática, o que torna o assunto sem atratividade.

Os Sistemas de Equações Lineares fazem parte dos conteúdos

estruturantes de Álgebra proposto nas Diretrizes Curriculares de Matemática do

Ensino Fundamental. Encontrar alternativas que dêem significado aos Sistemas

de Equações Lineares para que os alunos se apropriem da aprendizagem deste

conteúdo, é o objetivo deste trabalho.

Portanto, após observações, constatações e reflexões sobre essa

realidade que vem nos incomodando, e certamente, a vontade de mudá-la, aliada

à oportunidade de formação continuada proporcionada aos Professores da rede

Pública do Paraná, por meio do Programa de Desenvolvimento Educacional –

PDE foram os motivadores e incentivaram à realização desse estudo. O trabalho

contou com a orientação e o apoio da Universidade Estadual do Centro Oeste –

UNICENTRO. Resultando na elaboração de um material “Unidade Didática” que

apresenta uma metodologia de intertextualidade do conteúdo matemático de

Sistemas de Equações Lineares, com a linguagem e a vivência do dia-a-dia.

2

Prioriza o entendimento da situação problema e a formulação de algoritmos em

linguagem natural para dar maior compreensão da sua linguagem matemática, e

assim, propiciar uma aprendizagem mais atrativa e participativa. Um ferramental

importantíssimo para a formação científica e para a vida de nossos alunos.

Esse trabalho teve também a colaboração de seis professores participantes

do Grupo de Trabalho em Rede – GTR, por meio do sistema de Educação a

Distância os quais tiveram a oportunidade de discutir e dar sugestões ao trabalho.

Configura-se num método de pesquisa-ação integrando a pesquisa

simultaneamente com a ação de fazer acontecer à aprendizagem de forma bem

dinâmica e atual. Essa metodologia foi aplicada aos alunos da sétima série A, do

Colégio Estadual José de Anchieta em Santa Maria do Oeste, Paraná.

2. DESENVOLVIMENTO

A produção de idéias, de representações e da consciência está em primeiro lugar direta e intimamente ligada à atividade material e ao comércio material dos homens; é a linguagem da vida real... Não é a consciência que determina a vida, mas sim a vida que determina a consciência. ( PPP do Colégio Estadual José de Anchieta, apud Engels, 1980).

2.1. Fundamentação teórico-metodológica

Sabe-se que a educação é um processo natural dos seres humanos e que

dela depende o desenvolvimento da sociedade. Que para sua sobrevivência, o

homem necessita intervir na natureza, transformando-a e procurando adaptá-la de

modo a suprir suas necessidades e por isso trabalha utilizando-se de

conhecimentos produzidos por uma educação, um saber proveniente do próprio

ato de viver na relação com o outro e com a natureza, bem como os

conhecimentos adquiridos da sua participação na escola.

A ação educativa desenvolvida e os meios utilizados (metodologias, técnicas, conteúdos, relacionamentos) podem ajudar as pessoas a irem se libertando de tudo que as escraviza interior e externamente (...) mas pode também ser de natureza tal que mantenha as pessoas e os grupos em situação de dependência, manipulando-os como objetos

3

e sujeitando-os às estruturas injustas. (...) (Celso V. dos Santos, 1993).

A mudança social não depende apenas das ações dos educadores, porém

a Escola está inserida nessa sociedade enferma, carente de valores humanos, de

justiça e de organização, fatos estes que vêm nos incomodando e que nos

incentiva a procurar, a pesquisar, a estudar formas de contribuir para que a escola

cumpra o seu papel na formação de cidadãos críticos, autônomos, capazes de

transformar a realidade, pois é através do conhecimento que o homem poderá

fazer valer os seus direitos e construir sua cidadania, sendo agente transformador

da realidade social, participando, buscando novos direitos, cumprindo com seus

deveres, viabilizando uma verdadeira democracia, conhecedor da realidade social

e sensibilizando-se com os fatos que ocorrem no contexto social e buscando

construir uma sociedade mais justa, mais humana e mais feliz.

Como diz Ubiratan D’Ambrósio: “Não sabemos o que deve ser feito,

estamos à procura de um mundo melhor”. O mundo está em transformação; a

Escola também deve estar. Muitos são os desafios que devem ser enfrentados

para superação dessas dificuldades e como já foi citado, não depende só das

ações dos educadores, mas essas são de extrema importância, porém o que se

observa hoje no interior das escolas é certa dificuldade dos professores

encontrarem tempo para pesquisar, estudar, estar em constante aperfeiçoamento,

devido ao desgaste causado pela carga de atividades muito grande que a função

exige.

Segundo Celso Vasconcelos, 1993, p 13: São de duas ordens os fatores

determinantes da prática do professor em sala de aula:

1. Objetiva: salário; instalações, equipamentos, recursos didáticos; número de alunos por classe; tempo para preparação das aulas; reuniões pedagógicas freqüentes; cobrança por parte da direção, coordenação (hoje equipe pedagogia), colegas, pais, sistema educacional;

2. Subjetiva: formação; valores, opção ideológica, vontade política, compromisso; concepção do processo de conhecimento.

4

Segundo Vasconcelos ainda, o referencial teórico pode desempenhar um

papel importante ao educador, para que ele dê conta da compreensão da

realidade que se trabalha e que o oriente na interação com as contradições e o

desenvolvimento da prática. É por meio da leitura, da pesquisa, de estudos, ou

seja, do constante aperfeiçoamento profissional, que o educador se aproxima da

compreensão da complexidade da realidade e do processo ensino-aprendizagem,

bem como acontece a construção do conhecimento no indivíduo para que ele

possa melhorar sua prática e contribuir para a melhoria da educação.

É vital que se realize uma prática pedagógica competente e socialmente comprometida com a educação e principalmente com o desenvolvimento do ser humano (...) Cabe ao educador rever sua ação pedagógica ( ... ) Da boa formação docente depende o bom andamento da educação, a formação de cidadãos críticos, reflexivos e comprometidos com a construção de uma sociedade mais justa e igualitária. (Projeto Político Pedagógico do Colégio José de Anchieta – Sta. Maria do Oeste, 2007 ).

Acreditamos que o ponto de partida para melhorar nossa prática

pedagógica, é a vontade de querer mudar a situação, para então partirmos numa

ação coletiva para pesquisa, estudos, planejamentos, estratégias de ações,

experimentações, observações, avaliações, constantes intervenções, para que

possamos construir de fato uma escola de qualidade, tendo como referencial uma

educação para a humanização e o cumprimento da sua função social.

A Educação Matemática para as séries finais do Ensino Fundamental e

para o Ensino Médio, proposta nas Diretrizes Curriculares da Rede Pública do

Estado do Paraná, requer um professor pesquisador, em contínua formação,

reflexivo na sua prática e interessado em desenvolver-se intelectual e

profissionalmente, fundamentado numa ação crítica que conceba a Matemática

como atividade humana em construção, que suas ações possibilitem aos

estudantes, análises, discussões, conjecturas, apropriação de conceitos e

formulação de idéias, promovendo a formação de cidadãos críticos capazes de

agir com autonomia nas suas relações sociais, ampliarem seus conhecimentos e

contribuir para o desenvolvimento da sociedade.

5

Quando nós, educadores, nos reunimos para pensar sobre a prática escolar, no que se refere à Matemática, ... não hesitamos em reconhecer que o conhecimento Matemático, no Ensino Fundamental, deve estar a serviço da formação da cidadania, pois a Matemática é uma linguagem que permite a leitura do mundo, a descrição e a relação entre vários aspectos da realidade com vistas à transformação. (Ministério da Educação, apud Ana Teresa de C. C. de Oliveira e Christina Cardoso, 1998).

Nessa perspectiva a Matemática na sala de aula não deve estar

desvinculada da realidade social para construir seus conceitos e suas

significações cumprindo com o seu papel na formação do cidadão.

No entanto, quando olhamos para nossa prática do dia a dia na escola,

encontramos um ensino, muitas vezes, com instruções e procedimentos

centrados apenas nos livros didáticos, que às vezes não deixam espaço para

essa conexão da Matemática com a realidade e também temos pouco tempo para

investir em atividades mais elaboradas, mergulhando-nos em pesquisas,

investigações e experimentações de novas alternativas. Tentar superar essa

realidade exige compromisso, esforço e principalmente atitudes de nós

educadores de forma a conseguirmos mudanças significativas, pois sabemos que

o conhecimento Matemático vem sendo construído e evoluindo para atender as

necessidades da sociedade em que vivemos.

Ensinar Matemática tem sido, frequentemente, uma tarefa difícil. Às dificuldades intrínsecas, somam-se as decorrentes de uma visão distorcida da matéria, estabelecida, muitas vezes, desde os primeiros contatos. (Nilson J. Machado, 1994, p 9).

Essa é uma realidade que nos incomoda e que nos move para a busca de

soluções, pois a Matemática pela sua característica seqüencial acaba tornando-se

difícil a uma grande parte de alunos que por uma diversidade de fatores não

compreenderam alguns conceitos fundamentais para a aquisição de novos

conceitos e isso nem sempre é detectado pelo professor que não tem muito

tempo para conhecer seus alunos, as suas lacunas na aprendizagem. Isso requer

um esforço maior dos alunos, os quais, muitas vezes, não estão dispostos a

6

superarem essas dificuldades, também até por não terem consciência da etapa

não assimilada.

Essa é uma questão que deve ser considerada pelos profissionais da

educação e ser superada por meio de estudos e pesquisas para entender melhor

como acontece o processo de aprendizagem dos alunos, poderem conhecê-los e

ajudá-los a sanarem suas dificuldades de aprendizagem.

“A Álgebra, consiste em um conjunto de afirmações, para as quais é possível produzir significados em termos de números e operações aritméticas, possivelmente envolvendo igualdade ou desigualdade,” (Rômulo C. Lins e Joaquim Gimenes, 1997)

George Polya, em seu livro, A Arte de Resolver Problemas; apresenta

quatro passos necessários para que haja sucesso na resolução de problemas. O

primeiro passo consiste em ler o problema e entendê-lo, pois ninguém conseguiria

aplicar qualquer processo de resolução de problemas, sem entender o problema,

esse é o primeiro e o passo fundamental para que os demais sejam aplicados; o

segundo passo é o estabelecimento de um Plano, ou seja, é a tradução do

problema para a linguagem simbólica da matemática; o terceiro passo é a

execução do plano elaborado, os cálculos matemáticos e o quarto passo é

examinar a solução obtida, ou seja, analisar, testar a solução para verificar se faz

sentido ao problema.

Segundo o autor, cabe ao professor auxiliar os alunos nesse processo,

utilizando-se de diversas estratégias e utilizando-nos desses quatro passos e de

todos os conhecimentos já adquiridos, passou ao desafio de compreender os

sistemas de equações lineares, sua aplicabilidade e seus processos de

resoluções.

2.2. Condições preliminares para o processo de ensino/aprendizagem

desenvolvido no presente trabalho.

7

a) Avaliação diagnóstica aplicada aos alunos da 7ª série A e 7ª série B -

relatório

Para melhor planejar e direcionar as ações pedagógicas da Unidade

Didática na escola foi aplicado uma avaliação diagnóstica às duas turmas – 7ª A e

7ª B, afim de verificar os conhecimentos matemáticos básicos adquiridos pelos

alunos no decorrer de seus estudos, conhecimentos mínimos e necessários para

compreensão do projeto a ser aplicado, bem como constatar suas dificuldades e

lacunas nos conteúdos estudados.

A avaliação aplicada foi composta de questões com conteúdos básicos e

necessários estudados ou que deveriam ser estudados nas séries anteriores do

Ensino Fundamental, principalmente aqueles que seriam base para a aplicação

do projeto. Questões envolvendo: as quatro operações (adição, subtração,

multiplicação e divisão), operações básicas com números inteiros, relação de

ordem em Z, reta numérica, equações do 1º grau e localização de pontos no

Referencial Cartesiano.

A - CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO UTILIZADOS

Verificar se o aluno:

• Interpreta problemas que envolvem as quatro operações básicas da

matemática: adição, subtração, multiplicação e divisão (questões 1 e 2);

• Resolve operações básicas de matemática como: adição, subtração,

multiplicação e divisão (questões 1 e 2);

• Desenvolveu o raciocínio lógico matemático (questão 1.c);

• Compreende e resolve operações básicas com números inteiros, a relação de

ordem em Z e sua representação na reta numérica (questões 3, 4 e 5);

• Sabe encontrar o valor desconhecido numa Equação do 1º Grau (questão 6);

• Traduz (equaciona) para linguagem matemática, problemas que envolvem

equações do 1º grau (questão 7);

• Sabe localizar pontos no Referencial Cartesiano (questão 8).

8

O modelo de questionário utilizado consta do anexo 1.

B - RESULTADOS OBTIDOS COM A AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA

Questões APRENDIZAGENSCONSTATADAS

Nº de alunos

7ªA

Nº de alunos

7ªB

% 7ªA

% 7ªB

1.a) Interpretam problemas e efetuam operações de adição e multiplicação

15 22 40,5 61

1.b) Interpretam problemas e efetuam operações de subtração

12 22 32,4 61

1.c) Interpretam problemas e raciocinam matematicamente

4 11 10,8 30,5

2) Interpretam problemas e efetuam operações de divisão

14 22 37,8 61

3) Compreendem e representam os números inteiros na reta numérica

13 21 35 58,3

4) Compreendem a relação de ordem em Z

9 10 24,3 27,7

5) Resolvem operações básicas com números inteiros

2 3 5,4 8,3

6) Sabem encontrar o valor desconhecido numa equação do 1º grau

3 3 8 8,3

7) Traduzem para a linguagem matemática, problemas que envolvem equações do 1º grau

0 2 0 5,5

8) Sabem localizar pontos no referencial cartesiano

0 0 0 0

TOTAL DE ALUNOS 37 36

C - CONSIDERAÇÕES SOBRE OS RESULTADOS DA AVALIAÇÃO

DIAGNÓSTICA.

Ao analisar os resultados constatados por meio da avaliação diagnóstica,

percebe-se em primeiro lugar, que são duas turmas com níveis de conhecimentos

diferentes, ou seja, os alunos da 7ªB no geral apresentaram um nível de

conhecimento mais elevado que os alunos da 7ª A e isso pode ser comprovado

também no trabalho desenvolvido dia-a-dia em sala de aula.

Especialmente na 7ª série A, a maioria dos alunos apresentaram

dificuldade em operar com números inteiros, com as quatro operações de

números naturais, na interpretação de problemas e no raciocínio lógico.

9

Por meio de conversas com os alunos e também com os professores que

haviam trabalhado com eles na série anterior, pude constatar que nas duas

turmas, 98% dos alunos não haviam estudado equações e não conheciam o

referencial cartesiano. Portanto eram duas turmas com conhecimentos

matemáticos fraquíssimo, nas quais poderia ser aplicada a proposta pedagógica.

A opção foi pela aplicação na turma “A” onde eram observados os maiores

problemas e desafios.

A matemática, pela sua característica seqüencial, acaba tornando-se difícil

a uma grande parte de alunos que por uma diversidade de fatores não

compreenderam alguns conceitos fundamentais para a aquisição de novos

conceitos esse fato nem sempre é detectado pelo professor que por outros fatores

(sala de aula lotada, indisciplina, desinteresse, muita falta dos alunos ...) não

conseguem conhecer seus alunos.

Cipriano C. Luckesi (2005) comenta que os alunos que apresentarem a

aprendizagem dos mínimos necessários seriam aprovados para o passo seguinte

de sua aprendizagem enquanto aqueles que não apresentaram tal aprendizagem

merecem ser reorientados.

Diante do conhecimento matemático demonstrado pelos alunos da turma

em que seria aplicado o projeto, ou seja, grandes dificuldades, lacunas na sua

aprendizagem, nenhum conhecimento sobre equações do 1º grau e de referencial

cartesiano, conhecimentos básicos e necessários para entender os conteúdos de

Sistemas de Equações do 1º Grau, o qual se refere o projeto e, sabendo que a

Matemática é uma ciência contínua, foi inevitável reorientá-los retomando os

conteúdos em que não se efetivou a aprendizagem e fazendo o estudo completo

dos conteúdos não estudados anteriormente.

Enfrentamos muitos problemas que dificultaram esse trabalho: turma

indisciplinada, sem interesse pelo estudo, não faziam atividades em casa, a

maioria deles necessitam de transporte para chegar à escola e quando chove os

transportes não vêm (foram muitos dias de chuva), período sem aulas por motivo

da Gripe Influenza A H1N1, entre outros do dia-a-dia. Porém, para cada

dificuldade apresentada, estratégias de soluções foram estudadas e aplicadas e o

trabalho foi se desenvolvendo na medida do possível com resultados de

10

aprendizagem muito lento, pelo alto grau de dificuldade demonstrado pela maioria

deles, como, por exemplo: alunos que não conseguiam dividir 10 por 2; que não

compreendiam o que é metade; que não sabiam quanto dá 2 vezes 3 entre

outros, dessa qualidade.

Foi um esforço grande para se obter o mínimo necessário de

aprendizagem e prosseguir para a próxima etapa do processo, que foi o estudo

de equações do 1º grau com duas incógnitas.

Como obter uma educação significativa? Reiteradas vezes a resposta que se dá a essa pergunta é que a educação, os conteúdos, devem estar ligados à realidade do educando. (Celso dos S. Vasconcelos, 1993, p. 55)

Nessa perspectiva a matemática na sala de aula deve estar vinculada a

realidade social para construir seus conceitos e suas significações. Para

esse estudo foi utilizado problemas em sala de aula, ligados a realidade dos

alunos, os quais num exercício de substituição dos objetos do problema para a

linguagem simbólica da matemática (x,y,z,....). equacionavam buscando possíveis

soluções e representando-os graficamente.

Embora a maioria dos alunos demonstrasse interesse e aprendizagem,

outros pela sua rebeldia e desinteresse, fatores preocupantes nessa turma, não

aprendiam. Porém quando foram ao laboratório de informática para construir retas

de equações do 1º grau com duas incógnitas, utilizando o Software “Régua e

Compasso”, disponíveis nos laboratórios Paraná Digital das Escolas Públicas do

Estado do Paraná, o comportamento muda e percebe-se um grande interesse

desses alunos em aprender os conteúdos que não haviam aprendido

anteriormente, ou seja, eles queriam aprender tudo naquelas duas aulas para

poderem utilizar os computadores. Foram muitas as perguntas. E conseguiram

equacionar os problemas; encontraram soluções e construiram os gráficos

utilizando o software.

Segundo Maria Tereza Treseisol (2009, p.86) é preciso diversificar a

metodologia, pois interagimos com alunos conectados ao mundo por diferentes

redes e ferramentas. Por isso a necessidade do professor estar utilizando

11

metodologias de trabalho diversificadas a fim de oportunizar aprendizagem a

todos os alunos.

Após a realização desse estudo e da constatação da aprendizagem

demonstrada pela maioria dos alunos por meio de várias atividades desenvolvidas

no caderno em sala, em casa, no laboratório de informática e também de

avaliações individuais, foi proposto a eles uma atividade em forma de uma

brincadeira desafiadora (Caça aos tesouros escondidos) como introdução ao

estudo de Sistemas de Equações do 1º Grau.

2.3. Resultados de duas atividades metodológicas desenvolvidas

2.3.1 Relatos da Atividade 1 - Introdução ao estudo de Sistemas de

Equações do 1º Grau: Caça aos tesouros escondidos - alunos da 7ª série A.

A maioria dos livros didáticos de Ensino Fundamental aborda o assunto de

Sistemas de Equações do 1º Grau: uns apenas de forma algébrica (Jakubovic,

1995, p. 132); outros de forma geométrica e algébrica (Bonjorno, 2006, p. 82),

utilizando de introdução problemas como, por exemplo, os de balança (jakubovic,

1995, p. 132), e a partir daí propõem vários outros problemas para a aplicação de

sistemas, utilizando os métodos de resolução por eles descritos.

Nesta seção, a proposta é de introduzir o conteúdo de Sistemas de

Equações do 1º Grau, de forma geométrica e algébrica, utilizando uma atividade

lúdica e desafiadora (brincadeira em grupo), mais condizente com o dia-a-dia

vivido por alunos dessa faixa etária (12 a 14 anos).

“É só por meio de desafio que o aluno vai sair de um patamar para outro

patamar”. (Profª Drª Maria Aparecida da Silva. Palestra em Foz do Iguaçu em

06/11/08):

Os problemas devem ser desafiadores e interessantes, afim de que haja motivação para se buscar uma forma de resolvê-los. (Reflexões sobre a educação para o próximo milênio/ Secretaria de Educação à Distância. Brasília, 1998, p. 50).

12

A atividade proposta teve a intenção de motivar os alunos a buscar

soluções, a querer aprender, a participar ativamente e, utilizando os

conhecimentos adquiridos anteriormente, construir novos conceitos de uma forma

mais atraente e agradável, atuando como sujeitos no processo ensino-

aprendizagem.

Evidencia-se no desenvolvimento dessa atividade, a construção dos

conceitos de uma forma diferente da tradicional: definição (conceitos) → métodos

de resolução → aplicação (exercícios), ou seja, há uma recíproca relação entre

professor, alunos e objetos de aprendizagem acontecendo de acordo com os

processos mentais individuais dos alunos.

Aprendizagem é um processo de mudança de comportamento obtido através de experiência construída por fatores emocionais, neurológicos, relacionais e ambientais. Aprender é o resultado da interação entre estruturas mentais e o meio ambiente. (Demo, 2009).

ATIVIDADE APLICADA - CAÇA AOS TESOUROS ESCONDIDOS

Atividade de Laboratório Didático:

Materiais:

folha (fornecida pelo professor) contendo gráfico e equações; folha contendo a

atividade e os procedimentos; caderno, lápis, borracha, régua, calculadora e

computador.

Problema: Cada grupo constituído por alunos deverá encontrar três tesouros: A,

B e C. Os tesouros foram colocados na intersecção da sua reta (cada reta é

13

representada por uma equação) com a reta (equação) dada pelo professor. Você

deverá indicar as coordenadas (x, y) da localização dos tesouros.

Procedimentos:

a) O professor deverá fornecer 2 folhas para cada grupo de alunos: uma

contendo esta atividade com seus procedimentos e outra contendo o gráfico e

equações conforme sugestão de modelo abaixo:

O modelo deve ser feito em folha milimetrada, para cada grupo de alunos

conforme o número de alunos de sua classe.

Equações para os demais grupos: (fazer conforme modelo acima)

Grupo 2

Reta dos Tesouros → x + y = 18 Tesouro A → 2x – y = 9

14

Reta dos Tesouros2x + y = 34 Grupo 1

Tesouro A→ x – y = - 4x y

Tesouro B → 3x – y = 6x y

Tesouro C → x – 2y = 2x y

Formar os sistemas Soluções dos sistemas A B C A= B= C=

Coordenadas dos tesourosTesourosCoordenadas(x,y)ABC

Tesouro B → 3x – y = 6

Tesouro C → 4x – 2y = 6

Grupo 3

Reta dos Tesouros → 3x + y = 10 Tesouro A → x – y = 2

Tesouro B → - x + y = 2

Tesouro C → 3x – y = 20

Grupo 4

Reta dos Tesouros → 2x + 4y = 22 Tesouro A → 3x – 4y = 3

Tesouro B → x – 2y = 3

Tesouro C → x + y = 7

Grupo 5

Reta dos Tesouros → x + 3y = 11 Tesouro A → x + y = 5

Tesouro B → - x + 6y = 7

Tesouro C → - x + 2y = 9

Grupo 6

Reta dos Tesouros → 5x + y = - 1 Tesouro A → 3x + 4y = 13

Tesouro B → x – y = 7

Tesouro C → 4x + y = - 3

b) de posse desse material cada grupo irá representar suas rotas (retas) no

referencial cartesiano dado. Marque pontos coloridos na intersecção das suas

retas com a reta dada;

Exemplo

↓

15

OBS: Esse é só um exemplo para fazer no material que você recebeu do

professor.

c) Para cada ponto de intersecção encontrado, localize os valores

correspondentes no sistema de coordenadas x e y. Esses valores indicam a

localização dos tesouros escondidos;

Pontos de Intersecção

Tesouros

Coordenadas de

Intersecção (x,y)

ABC

d) Quando vocês encontraram a intersecção da reta dada (reta dos tesouros)

com as suas retas (tesouros A, B e C), vocês obtiveram valores comuns à

cada duas equações. Por exemplo:

2x + y = 34

x - y = -4

A essa situação é que chamamos de “Sistema de Equações do 1º Grau” ou

Sistema de Equações Lineares. E a solução encontrada para o sistema de

16

equações acima foi (.....;......). Assim, forme o sistema de equações das outras

duas situações que você resolveu e indique a solução encontrada.

e) Após cada grupo realizar suas tarefas, vocês podem discutir, o sucesso que

obtiveram, bem como as dificuldades encontradas;

f) Para finalizar esta brincadeira vamos ao laboratório de informática para

construir esse gráfico utilizando o software Régua e Compasso (tutorial

disponível em: www.professores.uff.br/hjbortol ou qualquer outro de sua

preferência.

Resultado da avaliação da atividade aplicada na 7ª série A

Nessa atividade, de posse do material fornecido pelo professor e em grupo,

os alunos deveriam, utilizando os conhecimentos matemáticos aprendidos

anteriormente, adquirir novos conhecimentos.

TAREFAS A SEREM CUMPRIDAS ACERTOS %

ERROS %

Encontrar pelo menos duas possíveis soluções (valores para x e y) para cada equação da sua atividade;

93 7

Representar a reta de cada equação no gráfico dado; 67 33Encontrar as coordenadas de cada tesouro (A,B,C) que estavam no cruzamento de suas retas com a reta dada;

67 33

Formar cada Sistema de Equação e apresentar sua solução pelo gráfico construído.

70 30

Quadro de notas obtidas pelos alunos

NOTAS Nº DE ALUNOSMÁXIMA (4,0) 06MÉDIA (2,7 a 3,9) 24MÍNIMA (1,4) 7

Conclusão da Atividade: Caça aos tesouros escondidos.

Observando os grupos, evidenciam-se os seguintes comportamentos:

alguns alunos atribuíam valores a x e y por tentativas, outros atribuindo valores a

17

x e resolvendo as equações, uns com muita facilidade, outros demonstrando

dificuldades de raciocínio lógico e, ainda, de cálculo algébrico; nas construções de

retas no gráfico, alguns fizeram com facilidade e outros demonstravam falta de

atenção provocada por uma ansiedade em acabar rapidamente o trabalho e

trocavam o eixo x pelo y; para encontrar as coordenadas dos tesouros, formar os

sistemas e encontrar suas soluções, os comportamentos demonstrados foi como

nos casos anteriores, uns com facilidade e outros com dificuldades.

Considerando que, essa atividade foi aplicada a uma turma de pré-

adolescentes com um alto grau de dificuldade matemática, indisciplina,

desinteresse e lacunas no seu conhecimento matemático, ficou evidente que tal

proposta, instigou toda a turma para encontrar os tesouros escondidos, até

porque o 1º grupo que encontrasse os tesouros e desse as suas coordenadas iria

levar os tesouros (prêmio – bombons).

Vale promover mais a participação de todos em situações desafiadoras que

dêem protagonismo a cada aluno. ( Revista Nova Escola, 2009, p. 86)

Aqueles alunos que ainda não haviam aprendido os conteúdos estudados

anteriormente e necessários para a realização desse trabalho, questionavam a

professora e colegas o tempo todo, ou seja, queria aprender tudo o que não

haviam aprendido e que era base para realização das tarefas. Ao aprender a

atividade o assuntou passou a ser de interesse. Segundo Piaget (apud Gasparim,

2003) “...todo estudante normal é capaz de aprender se sua atenção está

concentrada sobre assuntos de seu interesse,...”.

A partir daí o professor terá preparado um ambiente propício para

experimentar a aprendizagem, propondo novos desafios com problemas

significativos e contextualizados, alcançando o ensino desse modo, os resultados

esperados, ou seja, a efetivação do processo ensino-aprendizagem.

Ensinar é garantir que os conhecimentos façam um sentido amplo para todos os estudantes, em sua vida para além da sala de aula, ou seja, para que possam, efetivamente, construir e promover cultura. Saber, sabores e valores. Matemática com desafios.

(Revista Nova Escola, 2009, p. 134)

18

Consta em anexo a atividade realizada por um grupo de alunos que tiveram

facilidade em resolvê-la e outra atividade de alunos que tiveram dificuldades.

2.3.2 Atividade 2

ATIVIDADE II – PARQUE DE DIVERSÕES

“A formação de conceitos é seguida por sua transferência para outros objetos: o sujeito é induzido a utilizar os novos termos ao falar sobre outros objetos (...), e a definir o seu significado de uma forma generalizada”.

(Baquero, 1998, p. 49)

No desenvolvimento da proposta de implementação, após ter aplicado a

atividade “Caça aos Tesouros Escondidos”, o momento era de propor novas

atividades significativas e desafiadoras aos alunos para dar oportunidade de

experimentarem o que aprenderam, transferindo os conhecimentos adquiridos à

nova situação e prosseguindo na construção de novos conceitos.

Essa atividade também colabora para que os alunos vão exercitando a

aproximação entre os conteúdos estudados e os fatos da realidade, fazendo com

que estes tenham significado para eles, eliminando de sua mente, o

distanciamento entre esses elementos, resultantes de práticas pedagógicas com

predomínio tradicional.

A atividade foi proposta para ser resolvida em grupos de alunos novamente

para que os sujeitos aprendentes e o objeto da sua aprendizagem fossem postos

em recíproca relação através da mediação do professor.

“A problematização é o fio condutor de todo o processo de ensino aprendizagem. Todavia, este momento é ainda preparatório, no sentido de que o educando, após ter sido desafiado, provocado, despertado e ter apresentado algumas hipóteses de encaminhamento, compromete-se teórica e praticamente com a busca de solução para as questões levantadas. O conteúdo começa a ser seu”.

(Gasparin, 2003, p.50)

19

Explicação do problema:

Aplicando os conhecimentos já adquiridos e com a ajuda dos colegas de

seu grupo, vamos experimentar o que aprendemos, fazendo o próximo desafio?

Uma turma de alunos da 7ª série resolveu fazer um passeio num parque de

diversões, para sua confraternização de final do ano. O líder da turma fez uma

pesquisa e constatou que o parque mais próximo oferece dois planos para o seu

uso.

Plano 1 – R$ 5,00 por hora de permanência no parque por pessoa;

Plano 2 – R$ 8,00 de taxa mais R$ 3,00 por hora de permanência por pessoa.

Questões propostas:

a) Escreva a equação que representa o Plano 1;

b) Escreva equação que representa o Plano 2;

c) Qual o melhor plano para permanecer no parque por 5 horas?

d) Qual o melhor plano para permanecer no parque por 3 horas?

e) Por quantas horas os custos dos dois planos seriam iguais, ou seja, nem

mais caro nem mais barato? Faça uma tabela.

f) Utilizando o software Régua e Compasso ou qualquer outro de sua

preferência represente essa situação graficamente e analise para quantas

horas de permanência no parque o Plano 1 seria mais vantajoso? E para

quantas horas o Plano 2 seria mais vantajoso?

g) O que significa o ponto de intersecção das retas no referencial cartesiano?

h) A partir do ponto de intersecção o que irá acontecer com os Planos 1 e 2?

Após os grupos terem lido o problema, demonstraram, com expressões

verbais e de modo geral, não conseguirem começar a resolvê-lo sem a

intervenção do professor e até demonstraram certa resistência em colocarem-se

como protagonistas na situação do problema que era própria deles.

No trabalho desenvolvido no decorrer do ano letivo com a turma, observa-

se uma grande dificuldade dos alunos, em fazer a relação dos conteúdos

estudados com os fatos da realidade.

20

O uso de metodologias tradicionais por muitos anos seguidos levam os educandos à acomodação e à resistência a propostas mais inovadoras. Automaticamente rejeitam tudo aquilo que é proposto e perdem a sensibilidade para perceber uma proposta alternativa e significativa.

(Celso dos S. Vasconcelos, 2003, p. 28)

Porém com a intervenção do professor, questionando-os, levando eles a

pensar, logo começaram a responder as questões propostas, alguns grupos com

mais facilidades, outros com dificuldades, mas conseguindo fazer, e alguns

alunos ( os muito indisciplinados) no início estavam desinteressados e alheios ao

que estava acontecendo.

Realmente o procedimento aplicado, requer um esforço grande do

professor que deve atender as necessidades de cada grupo de alunos,

questionando-os para induzí-los em busca de soluções, respondendo aos

questionamentos deles e tendo muita paciência com o ambiente causado com

nesse trabalho (40 alunos inquietos, impacientes e indisciplinados). Se o

professor não estiver comprometido com a aprendizagem e a transformação

dessa realidade e não tiver paciência, acaba desistindo e voltando ao método

meramente expositivo.

“... Obviamente, a metodologia expositiva é a mais fácil de ser colocada em prática; seu uso constante, portanto, não deixa de revelar o comodismo do professor (da escola, da família). Alia-se a isto a falta de fundamentação científica por parte dos professores com relação à atividade pedagógica.

(Celso dos S. Vasconcelos, 1993, p. 26)

Levar os alunos a pensar, a raciocinar, a interpretar num ambiente agitado,

não é tarefa fácil, mas é desse modo que os alunos dessa faixa etária se

comportam e aprendem. Usar uma metodologia que proporcione silêncio na sala

de aula é cômodo para o professor, porém traz como resultado alunos que não

aprendem, pois não têm oportunidade de construir o conhecimento e isso se

manifesta na expressão utilizada pelos professores das séries seguintes como

“falta de base”, ou seja, o aluno não aprendeu. “Se o sujeito efetivamente

21

aprendeu, se apropriou dos mecanismos de produção, será capaz de reconstruir

o conhecimento tempos depois” (Celso dos S. Vasconcelos, 2003, p. 27)

RESULTADOS CONSTATADOS NA ATIVIDADE: PARQUE DE DIVERSÕES

QUESTÕES

OBJETIVOS

COMPORTAMENTO DEMONSTRADO

FACILIDADE

DIFICULDADE

NÃO

CONSEGUIRAM

Compreensão do problema; 100% - -

a)Traduzir para a linguagem simbólica da matemática – equacionar o Plano 1; 62% 26% 12%

b)Traduzir para a linguagem simbólica da matemática – equacionar o Plano 2; 62% 12% 26%

c) e d)

Substituir na equação, um valor numérico, fazer os cálculos e encontrar o resultado 79% 12% 9%

e) Calcular os custos para uma variedade de horas – atribuir valores a x e encontrar os valores de y

66% 12% 22%

f) Representar as duas equações graficamente e analisar o seu comportamento

53% 13% 34%

g) Encontrar a solução do sistema de equações formado dando o seu significado 53% 6% 41%

h) Analisar o comportamento das retas pelo gráfico ou comparar os valores numéricos das tabelas por eles construídas

47% 6% 47%

Considerações sobre os resultados observados com a atividade

De modo geral a turma aceitou com entusiasmo a proposta, entenderam

perfeitamente o problema, mas quando pegaram no lápis para iniciar a resolução

da primeira questão, sentiram dificuldades as quais foram sendo sanadas com a

intervenção do professor questionando-os e orientando-os e aplicarem os

conhecimentos anteriormente estudados. Após equacionarem o Plano 1 (questão

a) do problema, logo transferiram o conhecimento para equacionar o Plano 2

(questão b). Alguns tiveram dificuldade para entender o significado da taxa (8,00

22

reais) no plano 2, fazendo 3,00 + 8,00 = 11,00 e y=11x, mas através de

questionamentos, conseguiram entender e concertar o erro. Nas questões c e d

os alunos demonstraram uma certa familiaridade com os cálculos mentais,

resistindo a encontrar os resultados através da substituição de valores na

equação formada nas questões anteriores (dificuldade de amarrar uma questão à

outra). Na questão e observa-se novamente maior facilidade para fazerem as

tabelas numéricas e encontrar a resposta comparando os resultados de cada

tabela, do que formarem o sistema de equações e resolvê-lo. Após a intervenção

do professor a maioria entendeu, formou o sistema e resolveu para comprovar o

resultado. Foi fácil para eles, construir o gráfico na questão f, mas analisar o

comportamento das retas só foi possível após questionamentos, eles preferiam

analisar numericamente as tabelas construídas o que entende-se perfeitamente

nessa turma que estava apenas começando um trabalho com gráficos. Também

demonstraram facilidade para encontrar a solução do sistema formado através do

gráfico, porém não conseguiam dar o significado dessa solução sem levá-los a

pensar (questão g). A interpretação das retas do Plano 1 e 2 (questão h) pelo

gráfico, só foi possível com acompanhamento do professor, novamente a

preferência era pelas tabelas fato também compreensivo nesse momento.

Analisando a realidade dessa turma, pode-se concluir que os resultados

obtidos com essa atividade foi satisfatório para uma turma que apenas iniciou sua

participação numa proposta diferente da qual estavam habituados. Não é

simplesmente a aplicação de uma Unidade Didática inovadora que vai transformar

totalmente a realidade apresentada, mas isso é uma iniciativa necessária e

urgente para a melhoria da educação.

3. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Muitos são os desafios a serem enfrentados para superação das

dificuldades apresentadas na educação de um modo geral. E sabemos que a

transformação dessa realidade não depende apenas do trabalho desenvolvido

pelo professor na sala de aula, mas do empenho de todos os órgãos envolvidos

com a educação e que é um processo a longo prazo.

23

O Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE é uma iniciativa do

Governo do Estado do Paraná/SEED para o enfrentamento a essa situação.

Participar do programa PDE foi a oportunidade de olhar para a realidade da

escola, para a prática pedagógica de sala de aula, estudá-la, pesquisar em busca

de alternativas metodológicas, preparar um material de apoio (Unidade Didática)

com uma nova proposta de estudo de Sistemas de Equações Lineares para o

Ensino Fundamental e experimentá-lo na prática de sala de aula.

No decorrer da implementação enfrentamos muitos obstáculos, mas que a

cada superação associava-se a um crescimento para transformação da realidade

apresentada.

Pode-se concluir que a metodologia aplicada motivou a turma, envolvendo-

os no trabalho proposto indo em busca de soluções e nesse caminho percorrido

foram sanando suas dificuldades, preenchendo as lacunas de sua aprendizagem,

rompendo com vícios adquiridos pela participação como expectadores passivos

de aulas predominantemente tradicionais e isso de uma maneira mais atraente e

agradável. Teve alunos com idade para estudar no período noturno que quando

convidados pela escola para mudarem de turno, não quiseram, dando como

justificativa, não perder as aulas de matemática da turma deles.

Em relação ao conteúdo estudado, observa-se que comparando aos anos

de experiências anteriores em que os alunos não gostavam e não aprendiam,

com a metodologia aplicada, observa-se que aconteceu a aprendizagem

significativa, mudou a visão que eles tinham sobre os conteúdos estudados na

sala de aula e sua relação com os fatos da realidade.

Já é notável na turma também, ainda que lentamente, uma autoconfiança

na aplicação dos seus conhecimentos e independência da ajuda do professor,

fatores inexistentes anteriormente e também uma mudança no comportamento de

indisciplina e desinteresse fortemente presentes na turma.

Pelos estudos realizados anteriormente, sabemos que a lentidão na

mudança de comportamentos é perfeitamente normal para uma turma que

apenas iniciou sua participação numa proposta diferente da qual estavam

habituados.

24

Na turma (7ª série B) em que não foi aplicada essa metodologia, as aulas

prosseguiram normais e “sem graça” enquanto que na turma (7ª série A) onde foi

aplicada a nova proposta as aulas foram “participativas, significativas,

transformadora e prazerosas”.

4. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BAQUERO, Ricardo.Vygotsky e a aprendizagem escolar. Trad. Ernani F. da

Fonseca Rosa.- Porto Alegre: Artes Médicas, 1998.

BONJORNO, José Roberto. Matemática - fazendo a diferença. São Paulo :

FTD, 2006.

BRASÍLIA. Ministério da Educação, Secretaria da educação Básica. Explorando

o Ensino da Matemática. Brasília, p. 3 e 4. 2004.

COLÉGIO ESTADUAL JOSÉ DE ANCHIETA – EFMNP. Projeto Político

Pedagógico. Santa Maria do Oeste, Pr. 2007.

CORD E COL. BOM JESUS. Matemática Aplicada. Projeto desenvolvido pelo

Centro de Pesquisa e Desenvolvimento Ocupacional dos Estados Unidos da

América do Norte, com a assistência dos professores de matemática do

Colégio Bom Jesus de Curitiba, Pr , 2002.

D`AMBROSIO, Ubiratan. A Era da Consciência. São Paulo, SP: Fundação

Peirópolis, 1997.

DEMO, Pedro. Política social do conhecimento.

http://www.educador.brasilescola.com/trabalho-docente/o-que-e-

aprendizagem.htm. Acesso em 19 de out. 2009

GASPARIM, João Luiz. Uma didática para a pedagogia histórico-crítica. 2ª

ed.- Campinas, São Paulo: Autores Associados, 2003.

25

JAKUBOVIC, José. Matemática na medida certa. 2 ed. São Paulo : Scipione,

1995.

LINS, Rômulo C.; GIMENEZ, Joaquim. Perspectiva da Aritmética e Álgebra

para o Século XXI. Campinas, SP : Papirus, 1997.

LUCKESI, Cipriano Carlos. Avaliação da Aprendizagem Escolar: estudos e

proposições. 17 ed.-São Paulo: Cortez, 2005.

MACHADO, José N. Matemática e Realidade. São Paulo, SP : Cortez, 1994.

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO E SECRETARIA DE

EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA. Reflexões Sobre Educação no Próximo

Milênio. Salto para o Futuro. Brasília, DF: Coronário Editora Gráfica, p. 49-56,

1998.

PARANÁ. Secretaria de Estado da educação. Superintendência da Educação.

Diretrizes Curriculares para o Estado do Paraná – Matemática. Curitiba,

2008.

POLYA, George. A Arte de Resolver Problemas. Rio de Janeiro : Interciência,

1986.

RÉGUA e COMPASSO [Software de Geometria Gratuito]. Disponível em

www.professores.uff.br/hjbortol. Acesso em 16 de agosto de 2009.

Revista Nova Escola. Indisciplina. Editora Abril. n° 226, outubro de 2009.

VASCONCELOS, Celso dos S. Construção do Conhecimento em Sala de

Aula. São Paulo, SP : Libertad, 1993.

26

Anexo 1 - AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA APLICADA

Caros Alunos:

Esta avaliação tem por objetivo, verificar alguns conhecimentos matemáticos básicos que você adquiriu no decorrer de seus estudos, para que eu possa direcionar e planejar o meu trabalho como professora.

Por isso é muito importante que você se esforce em resolvê-la para que eu possa te ajudar.

Resolva cada questão da maneira que você quiser, mas deixe na avaliação todos os cálculos que você utilizar.

1) Em uma loja de Som, cada vendedor recebe R$ 80,00 por semana e mais comissão de R$ 5,00 por aparelho de DVD que vender. Em uma semana João vendeu 8 aparelhos e Paula vendeu 4. Calcule e responda:

a) Quanto João recebeu nessa semana? E Paula?

b) Quanto João recebeu a mais que Paula?

c) Se João vendeu o dobro que Paula, por que ele não recebeu o dobro? Explique com suas palavras o que aconteceu.

2) Arrecadei 220 figurinhas e vou separá-las em pacotes com 5 figurinhas cada um. De quantos pacotes vou precisar? E se fosse para separá-las em pacotes com 10 figurinhas cada um, de quantos pacotes eu iria precisar?

3) Desenhe uma reta numérica e represente nela os números inteiros que vão de -5 a +5.

4) Complete utilizando os sinais de > (maior que), < (menor que) ou = (igual):

a) -3 ........ +9 b) -18 ...... 0 c) 0 ....... -1 d) +2 ........ -2

e) -6 ........ -2 f) +4 ........ 4

5) Calcule o valor de cada uma das expressões abaixo:

a) (-5) – (-3) – (+7) + (-4) = b) (-7) . (-3) =

c) -3 . 4 = d) -5 . 0 = e) (-3)2 =

f) (-16) : (-2) = g) (+4) : (-2) = h) -52 =

6) Encontre o valor desconhecidos nas equações:

a) x + 6 = 11 b) x – 5 = 7 c) 2x = 8

d) 3x + 10 = 3x e) 2(x + 1) = 12

7) Escreva a equação que representa o problema e encontre a solução:

Um número somado com 5 é igual a 12. Qual é esse número?

8) Desenhe o Referencial Cartesiano x e y e localize os pontos A(-1; 2), B(4; 0), C(0; 3), D(2; 3) no referencial cartesiano.

27