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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO
INSTITUTO DE EDUCAÇÃO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO
LINHA DE PESQUISA: EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTIC A UM OLHAR PARA A ABORDAGEM DO CONTEÚDO DE DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS EM LIVROS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA
DOS ANOS INICIAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL
MICHELLE CRISTINE PINTO TYSZKA MARTINEZ
Cuiabá – MT 2012
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MICHELLE CRISTINE PINTO TYSZKA MARTINEZ UM OLHAR PARA A ABORDAGEM DO CONTEÚDO DE DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS EM LIVROS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA
DOS ANOS INICIAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação do Instituto de Educação da Universidade Federal de Mato Grosso, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Educação, na área de concentração Teorias e Práticas Pedagógicas da Educação Escolar Matemática, e da Linha de Pesquisa Educação em Ciências e Matemática, sob a orientação da professora Drª Gladys Denise Wielewski.
Cuiabá - MT
2012
3
Dados Internacionais de Catalogação na Fonte
M385o Martinez, Michelle Cristine Pinto Tyszka.
Um olhar para a abordagem do conteúdo de divisão de números naturais em livros didáticos de matemática dos anos iniciais do ensino fundamental / Michelle Cristine Pinto Tyszka Martinez. -- 2012.
106 f. : il. color. ; 30 cm. Orientadora: Gladys Denise Wielewski. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Mato Grosso,
Instituto de Educação, Programa de Pós-Graduação em Educação, 2012.
Inclui bibliografia. 1. Matemática – Livros didáticos. 2. Divisão (Matemática). 3.
Matemática – Didática. 4. Matemática – Ensino fundamental. 5. Divisão (Matemática) – Parâmetros Curriculares Nacionais. I. Título.
CDU 373.3.011.33:512.12(075.2)
Ficha Catalográfica elaborada pelo Bibliotecário Jordan Antonio de Souza - CRB1/2099
Permitida a reprodução parcial ou total desde que citada a fonte
4
5
DEDICATÓRIA
Às famílias Pinto, Borges, Neves, Tyszka Martinez e a todos que de alguma forma fazem parte dessas famílias.
Ao pequeno Luca.
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AGRADECIMENTOS
A Deus, pela vida, bênção e proteção.
À professora Gladys Denise Wielewski, pela orientação, pelo respeito e acolhimento.
À professora Marilena Bittar, por aceitar fazer parte da comissão julgadora e pela valiosa
colaboração no momento do Exame de Qualificação.
À professora Rute Cristina Domingos da Palma, pelas inúmeras contribuições sempre
enriquecedoras e por aceitar fazer parte da comissão julgadora.
Às professoras Marta Darsie, Andréia Dalcin e Rute da Cunha, pelas contribuições.
Aos professores Sérgio Antonio Wielewski e Luzia Palaro, pelas discussões e colaborações.
À equipe da Secretaria do Programa de Pós-Graduação em Educação da Universidade Federal
de Mato Grosso, especialmente Luiza, Mariana e Jeison pelo acolhimento e pelas inúmeras
informações necessárias.
Às editoras Ática (distribuidora Curitiba) e Positivo (distribuidora Cuiabá) por contribuírem
no fornecimento das coleções de livros didáticos de matemática para esta pesquisa.
À Capes, pelo auxílio financeiro.
À amiga-irmã Eliane, por estar ao meu lado nos momentos de reflexões e incertezas, além do
auxílio contínuo ao longo dessa jornada.
Às preciosas amigas Letícia e Osinéia, pelas palavras de incentivo e por estarem sempre
dispostas a me ajudar.
Aos colegas do GRUEPEM, em especial aos amigos Gilcimar, Gresiela, Peterson, Aloísio,
Edson, Izolda, Daltron, Jacqueline e Mirta, pelas oportunas contribuições.
Ao meu querido Diego, pelo apoio, carinho, compreensão, colaboração e paciência.
Aos meus amores: Leonardo, Bruno, Millena e Letícia, por serem grandes inspirações na
minha vida.
À minha mãe, minha vovó, minha sogra, minhas irmãs Lausanne e Fabíola, mulheres que eu
admiro e que sempre me incentivam com sábias palavras.
Ao meu avô Inácio, ao me pai, ao Emerson, à Tânia, aos meus irmãos Fernando, Taci, Kely,
Leandro e Lucas, à madrinha Mone, à Yasmin, à tia Mara, tia Sônia e tio Dirceu (in
memorian), Andressa e Ale pelas palavras de apoio e torcida.
À minha família e amigos de Curitiba e também à minha família e amigos que formei em
Cuiabá.
A todos que direta ou indiretamente me ajudaram a realizar esse trabalho.
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RESUMO
O objetivo desta pesquisa foi investigar como os livros didáticos de matemática, mais escolhidos pelas escolas públicas de Cuiabá-MT, abordam o conteúdo de divisão de números naturais nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Para tanto, analisamos duas coleções do 1º ao 5º ano do Ensino Fundamental, tendo em vista a introdução do conteúdo de divisão e os diferentes exemplos apresentados em cada volume das coleções. Nossa pesquisa é de cunho qualitativo de análise interpretativa por entendermos ser a opção mais coerente à nossa temática. Tal escolha baseia-se no fato de concebermos que nesta, ocorre a valorização do processo, não somente a valorização do produto. Como referencial teórico-metodológico utilizamos a Teoria Antropológica do Didático (TAD) que por meio do estudo da organização matemática focamos a análise nos tipos de tarefas e técnicas que contemplam o conteúdo de divisão. Com relação a organização didática as duas coleções introduzem o conteúdo de divisão a partir de situações problema, que geralmente são acompanhados do objeto ostensivo imagem. Dentre os resultados encontrados por meio da análise da organização matemática, destacamos que os tipos de tarefas correspondem à divisão em partes iguais e a de medida. Das doze técnicas elencadas, todas são aplicadas na coleção A e duas técnicas estão ausentes na coleção B. Consideramos que o conteúdo de divisão é abordado com algum exagero na coleção A, principalmente no que diz respeito à sistematização do conteúdo nos livros do 2º e 3º anos. Na coleção B, o conteúdo de divisão é abordado gradualmente e nos livros do 4º e 5º anos o conteúdo de divisão é efetivamente sistematizado. Em ambas as coleções o 4º volume é o qual mais enfatiza o conteúdo de divisão de números naturais nas aplicações das diferentes técnicas. Palavras-chave: Divisão de números naturais. Livros didáticos de Matemática. Organização matemática. Organização didática.
8
ABSTRACT
The aim of this research was to investigate how the most popular mathematics textbooks chosen by public schools in Cuiabá-MT, discuss the contents of the division of natural numbers in the early years of Elementary School. To achieve that, we analyzed two collections from the 1st to 5th years of Elementary School, in view of the introduction of the contents of division, and the different examples presented on each volume of the collections. Our research has a qualitative approach to interpretative analysis, as we thought it to be the most coherent option for our theme. Such choice is based in the fact that not only the product is appreciated, but also the process. As theoretical and methodological reference, we use Anthropological Theory of Didactics (TAD). By the means of the study of Didactic Organizations we focus on the analysis on the types of tasks, techniques and ostensible objects (problem solving, game, calculator and image), which contemplate the division content. Based on the analysis, we found that only the meanings of the division of equal parts and measures (how many fit) are discussed in the examples of the authors in both collections. A striking feature of both collections is the introduction of the division content from the ostensible problem solving, which is usually followed by ostensible image. Among the findings we highlight that the types of tasks correspond to the division into equal parts and measuring. All of the twelve techniques listed are applied to the collection A and two techniques are absent in the collection B. We consider that the division content is discussed with a certain overstatement in collection A, as far as the systematization of the content in the books of the 2nd and 3rd year is concerned. In the collection B, the division content is gradually discussed, and in the books of the 4th and 5th years the division content is effectively systematized. In both collections the 4th volume is the one that most emphasize the natural numbers division content, both in the applications of the different techniques and in the utilization of ostensible problem solving and image. Key words: Division of natural numbers. Mathematics textbooks. Mathematics Organizations. Didactic Organizations.
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LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 – Como repartir um pacote de balas.................................................................38
Figura 2 – Divisão em partes iguais - 2º ano A..............................................................70
Figura 3 – Divisão em partes iguais e medida - 3º ano A..............................................71
Figura 4 – Divisão em partes iguais e medida - 3º ano A..............................................72
Figura 5 – Divisão em partes iguais – 5º ano A.............................................................73
Figura 6 – Algoritmo usual – 3º ano A..........................................................................74
Figura 7 – Quantos cabem – 2º ano A............................................................................75
Figura 8 – Metade – 2º ano A........................................................................................76
Figura 9 – Operações inversas – 2º ano A.....................................................................76
Figura 10 – Reta numérica - 2º ano A...........................................................................77
Figura 11 – Divisão exata e não-exata – 3º ano A........................................................78
Figura 12 – Algoritmo usual 2– 3º ano A.....................................................................79
Figura 13 – Decomposição – 2º ano.............................................................................79
Figura 14 – Resolução de problema - 4º ano A............................................................80
Figura 15 – Algoritmo usual – 4º ano A.......................................................................81
Figura 16 – Divisor com dois algarismos – 4º ano A...................................................81
Figura 17 – Estimativas – 4º ano A..............................................................................82
Figura 18 – Estimativas - 5º ano A...............................................................................82
Figura 19 – Cálculo mental – 4º ano A.........................................................................83
Figura 20 – Cálculo aproximado – 4º ano A.................................................................83
Figura 21 – Cálculo aproximado – 5º ano A.................................................................84
Figura 22 – Tabuada – 5º ano A...................................................................................84
Figura 23 – Algoritmo usual – 5º ano A.......................................................................85
Figura 24 – Divisão em partes iguais – 2º ano B..........................................................88
Figura 25 – Operação divisão – 2º ano B......................................................................89
Figura 26 – Divisão em partes iguais – 3º ano B..........................................................90
Figura 27 – Elemento de abordagem Calculadora – 3º ano B......................................91
Figura 28 – Algoritmo da divisão – 4º ano B...............................................................91
Figura 29 – Diferentes algoritmos – 4º ano B..............................................................92
Figura 30 – Termos da divisão – 4º ano B...................................................................93
Figura 31 – Cálculo mental – 4º ano B........................................................................93
10
Figura 32 – Algoritmos – 5º ano B..............................................................................94
Figura 33 – Divisões – 5º ano B...................................................................................95
Figura 34 – Multiplicação – 5º ano B...........................................................................96
11
LISTA DE QUADROS E TABELAS
Quadro 01 – Pesquisas realizadas entre 1987 e 2009 sobre o conteúdo de divisão nos anos iniciais do Ensino Fundamental......................................................17 Quadro 02 – Processo Americano .................................................................................35 Quadro 03 – Técnicas.....................................................................................................69 Quadro 04 – Síntese das Praxeologias- Coleção A........................................................86 Quadro 05 – Síntese das Praxeologias - Coleção B.......................................................97 Tabela 1 – As duas coleções de livros didáticos de matemática mais escolhidas pelas
escolas públicas de Cuiabá –MT....................................................................................61
Tabela 2 – Tipos de tarefas (T) correspondentes à quantidade de tarefas contempladas
nos Livros Didáticos.......................................................................................................68
12
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO...............................................................................................................12
1 ESTUDOS INICIAIS.................................................................................................16
1.1 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ...............................................................................16
1.1.1 Detalhamento e interpretação dos dados da revisão bibliográfica..........................18
1.2 O LIVRO DIDÁTICO NO BRASIL.........................................................................23
1.3 DESENVOLVIMENTO HISTÓRICO DA DIVISÃO..............................................26
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA .............................................................................31
2.1 A OPERAÇÃO DE DIVISÃO..................................................................................31
2.1.1 Algoritmos da Divisão............................................................................................34
2.1.1.1 Processo Americano ............................................................................................34
2.1.1.2 Algoritmo Euclidiano...........................................................................................36
2.2 A DIVISÃO NOS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS....................39
2.2.1 Elementos de Abordagem: resolução de problemas, jogo e calculadora................42
2.2.1.1 Resolução de Problema........................................................................................43
2.2.1.2 Jogo......................................................................................................................46
2.2.1.3 Calculadora..........................................................................................................49
2.3 TEORIA ANTROPOLÓGICA DO DIDÁTICO.......................................................51
2.3.1 Objetos ostensivos e não-ostensivos.......................................................................52
2.3.1.1Objeto ostensivo imagem......................................................................................53
2.3.2 Uma ótica da Praxeologia.......................................................................................54
3 PERCURSO METODOLÓGICO .............................................................................58
3.1 A PESQUISA ............................................................................................................58
3.2 A ESCOLHA DAS COLEÇÕES...............................................................................59
3.2.1 Caracterização das Coleções...................................................................................63
3.2.1.1 Coleção Aprendendo Sempre – Coleção A..........................................................64
3.2.1.2 Coleção Hoje é Dia - Coleção B..........................................................................65
3.2.3 Critérios para seleção do conteúdo de divisão de números
naturais.............................................................................................................................66
3.2.3.1 Seleção do conteúdo de divisão - Coleção A ......................................................66
3.2.3.2 Seleção do conteúdo de divisão - Coleção B.......................................................67
4 UM ESTUDO DAS PRAXEOLOGIAS ...................................................................68
13
4.1 TIPOS DE TAREFAS (T) E TÉCNICAS ( τ)...........................................................68
4.2 ANÁLISE DOS LIVROS DIDÁTICOS....................................................... ............70
4.2.1 Coleção A................................................................................................................70
4.2.2 Coleção B................................................................................................................87
5 CONSIDERAÇÕES....................................................................................................99
REFERÊNCIAS...........................................................................................................102
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INTRODUÇÃO
Na infância, especificamente na 3ª série do Ensino Fundamental vivenciei uma
experiência nada agradável com a divisão matemática. Tive uma professora inesquecível,
pois, ela exigia que eu resolvesse as operações de divisão pelo processo americano (processo
longo) sendo que, eu sabia somente o processo euclidiano (curto). Chamava-me para resolver
algumas operações no quadro aos olhos dos colegas da turma, me expondo perante uma
dificuldade (que parecia minha) que hoje percebo, era da professora. O tempo passou e as
dificuldades foram superadas. Mais de 20 anos se passaram, me graduei em Licenciatura
Plena em Pedagogia, fiz especialização em Psicopedagogia. Atuei 8 anos em sala de aula com
Educação Infantil e Anos Iniciais do Ensino Fundamental em Curitiba - PR.
Em 2009 eu e outra professora, Edivânia Gasparin, redigimos quatro livros didáticos
de Matemática para o 1º ano do Ensino Fundamental. Esta experiência foi muito significativa
para meu crescimento como profissional da educação e, em especial, como professora. Foi
quando decidi fazer um anteprojeto sobre livro didático de matemática e me candidatar ao
curso de Mestrado em Educação na Universidade Federal de Mato Grosso (UFMT), pois, de
qualquer maneira, no ano de 2010 residiria em Cuiabá.
Já como mestranda da UFMT em 2010, participando das discussões nas disciplinas
com a orientadora, decidimos pesquisar o conteúdo de divisão em livros didáticos destinados
aos anos iniciais do Ensino Fundamental. Desde então, o conteúdo de divisão voltou a fazer
parte da minha vida, agora como pesquisadora.
O interesse de analisar o conteúdo de divisão em livros didáticos de matemática
iniciou pelo fato de que este recurso está presente em grande parte das salas de aula. Este
material didático também serve como veículo de divulgação do saber escolar e pode
contribuir para o processo de ensino e aprendizagem destinado à grande parte da população
educacional.
Em uma pesquisa realizada por Saiz (1996), a autora identifica frequente dificuldade
dos alunos relacionada à divisão. Outra pesquisa mais recente de Darsie e Paula (2009, p. 2)
aponta que a operação da divisão é considerada uma situação tida como problemática, na qual
“os alunos em geral não atribuem significado à aplicação algorítmica, e o que se estabelece é
uma relação superficial dos alunos em relação ao conhecimento, em situações que envolvem
ideias dentro deste contexto.”
15
Outro motivo que atentou nosso olhar para essa temática, se deve ao fato de constatarmos
poucas publicações referentes à divisão em livros didáticos de Matemática dos anos iniciais
do Ensino Fundamental, dado este obtido por meio de levantamento realizado no banco de
teses e dissertações localizado no site da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de
Nível Superior – CAPES, e que consta na Revisão Bibliográfica desta dissertação.
Com base nos dados encontrados identificamos sete pesquisas que tratam desse assunto:
uma tese de doutorado e cinco dissertações de mestrado.
Tendo presente tal realidade, pretendemos responder em nossa investigação, a seguinte
questão: Como o conteúdo de divisão é abordado em livros didáticos de matemática nos anos
iniciais do Ensino Fundamental?
Atualmente, temos no mercado brasileiro grande quantidade de coleções de livros
didáticos destinados a todos os níveis escolares. Mesmo considerando as coleções dos anos
iniciais do Ensino Fundamental, teríamos um número razoável para ser estudado, o que
tornaria um trabalho difícil de ser realizado durante o mestrado, em que se tem dois anos para
desenvolver a pesquisa. Diante disso, optamos por identificar nas escolas públicas do
município de Cuiabá - Mato Grosso, quais coleções foram mais escolhidas pelas escolas que
atendem os anos iniciais do Ensino Fundamental.
Levando em consideração a natureza da problemática temos como objetivo geral
investigar como os livros didáticos de matemática, mais escolhidos pelas escolas públicas de
Cuiabá-MT, abordam o conteúdo de divisão nos anos iniciais do Ensino Fundamental. A
partir de tal consideração, nos propomos a alcançar os seguintes objetivos específicos:
• Verificar se os significados da divisão (multiplicação comparativa, comparação
entre razões, configuração retangular e combinatória) são contemplados nos
exemplos dos autores quanto ao conteúdo de divisão de números naturais nos
livros didáticos selecionados;
• Caracterizar como o conteúdo de divisão de números naturais é introduzido
nos livros didáticos selecionados e os exemplos presentes em cada um deles;
• Realizar uma análise praxeológica referente ao conteúdo de divisão de
números naturais, de cada livro das coleções selecionadas.
Pretendemos, com os objetivos supracitados, complementar e respaldar a busca pela
resposta para o problema em questão.
16
Para responder nosso problema de pesquisa, optamos inicialmente, por analisar duas1
coleções de Livros Didáticos do 1º ao 5º ano do Ensino Fundamental, totalizando dez livros.
No decorrer da análise e, em consonância com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN),
constatamos que nos livros didáticos destinados ao 1º ano do Ensino Fundamental não há a
presença formalizada do conteúdo de divisão.
Assim, considerando as diferentes formas de abordar o conteúdo de divisão,
organizamos a análise das coleções Aprendendo Sempre (coleção A) e Hoje é Dia (coleção B)
por meio da Teoria Antropológica do Didático TAD, da qual destacamos a organização
didática contemplada com os elementos de abordagem resolução de problema, jogo e
calculadora; a organização matemática, na qual apresentamos os tipos de tarefas e técnicas;
ainda com base na TAD, identificamos o objeto ostensivo imagem. A presente dissertação
expõe os resultados de nossa investigação, bem como os caminhos percorridos para tal. A
organização do trabalho está dividida em quatro capítulos, que explicitamos sucintamente a
seguir.
No Capítulo I, Estudos Iniciais, disponibilizamos os estudos preliminares, em que
constam dados sobre uma revisão bibliográfica realizada referente às pesquisas relacionadas
ao conteúdo de divisão nos anos iniciais do Ensino Fundamental, com base no Banco de teses
e dissertações da CAPES; uma breve perspectiva histórica do livro didático no Brasil e um
histórico do conteúdo de divisão.
No Capítulo II, A Operação de Divisão, procuramos delinear a fundamentação
teórico-metodológica de nossa pesquisa, composta sobre a operação de Divisão, alguns
algoritmos da Divisão como: o Americano e o Euclidiano. Também neste capítulo trazemos
as orientações da divisão presentes nos Parâmetros Curriculares Nacionais (2000) –
Matemática e os elementos de abordagem resolução de problema, jogo e calculadora.
Finalizamos o capítulo com o referencial da Teoria Antropológica do Didático proposta por
Chevallard (1999), bem como o objeto ostensivo imagem.
No Capítulo III, Percurso Metodológico, discorremos a metodologia de nossa
pesquisa, as características e os critérios para a seleção das coleções de livros didáticos, como
também os critérios de seleção quanto ao conteúdo de divisão de números naturais a ser
analisado.
No Capítulo IV, Análise dos Dados, apresentamos a análise referente às praxeologias
didática e matemática. Na praxeologia didática destacamos a resolução de problemas, o uso
1 Um dos critérios de seleção de material para esta pesquisa foi optar pelas duas coleções de livros didáticos de Matemática mais escolhidas pelas escolas públicas de Cuiabá - MT.
17
da calculadora e os jogos. Na praxeologia matemática focamos os tipos de tarefas e as
técnicas, presentes no conteúdo de divisão de números naturais.
Finalizamos nossa pesquisa com algumas Considerações que acreditamos ser
relevantes e alguns apontamentos referentes à como o conteúdo de divisão de números
naturais é abordado nos livros didáticos de matemática mais escolhidos pelas escolas públicas
de Cuiabá dos anos iniciais do Ensino Fundamental.
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1 ESTUDOS INICIAIS
Disponibilizamos neste capítulo, um panorama de pesquisas referentes ao conteúdo de
divisão e/ou livros didáticos de Matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental,
realizado por meio do site da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior
- CAPES. Apresentamos ainda, uma breve história do livro didático no Brasil e finalizamos o
capítulo com um contexto histórico do conteúdo matemático da divisão na relação com seu
ensino.
1.1 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Ao definir o objeto de estudo da pesquisa uma das primeiras atividades que realizamos
foi um levantamento para identificar e discutir as produções de teses e dissertações sobre o
conteúdo de divisão em livros didáticos de Matemática no Brasil. As produções foram
relativas às pesquisas defendidas a partir do ano de 1987 até o ano de 2009, período este, em
que os resumos das pesquisas foram disponibilizados pela Coordenação de Aperfeiçoamento
de Pessoal de Nível Superior – CAPES, no Banco de Teses e Dissertações. As informações
sobre as produções são fornecidas diretamente à CAPES pelos programas de Pós-Graduação,
que se responsabilizam pela veracidade dos dados.
Como não identificamos pesquisas que abordam a temática “divisão em livros
didáticos de matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental” pelo título, decidimos
ampliar nosso foco para o conteúdo de divisão nos anos iniciais do Ensino Fundamental e
assim, encontramos sete pesquisas que tratam desse assunto, entre elas uma tese de doutorado
e seis dissertações de mestrado.
Após o levantamento de dados elaboramos o estudo inicial, isto é, destacamos recortes
dos textos que se referem ao livro didático e/ou divisão. A revisão bibliográfica nos apontou
que apenas duas pesquisas tratam de alguma forma o assunto do referente tema em estudo,
sendo que uma delas muito superficialmente, mesmo porque, não era o objetivo principal de
tal pesquisa.
O levantamento nos fez perceber que poucos estudos sobre o conteúdo de divisão em
Livros Didáticos de Matemática foram realizados no Brasil. Apontou também que a maior
parte das pesquisas realizadas está relacionada às práticas pedagógicas, poucas delas
19
consideram o livro didático de matemática, um dos mais utilizados recursos no processo de
ensino e aprendizagem, como objeto de estudo.
Disponibilizamos, no Quadro 1, as pesquisas realizadas entre 1997 e 2009 sobre o
conteúdo de divisão nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Utilizamos as letras D para
dissertação de Mestrado e a letra T para tese de Doutorado. Na primeira coluna, os números
ao lado de cada letra correspondem à sequência cronológica das pesquisas.
Quadro 1 - Pesquisas realizadas entre 1997 e 2009 sobre o conteúdo de divisão nos anos iniciais do Ensino Fundamental.
Ano Pesquisa Título Autor/ Autora
Orientador(es)/ Orientadora(s)
Instituição
D1 1997 Mestrado Ensino de
Matemática
O Campo Conceitual Multiplicativo na
Perspectiva do Professor das Séries Iniciais (1a. a
4a. série)
Silvia Swain Canoas
SandraMaria Pinto Magina
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo
D2 2000 Mestrado Piscologia Cognitiva
A representação de operações e problemas de
divisão em criança: da linguagem oral para outras formas de representação
Síntria Labres Lautert
Alina Galvão Spinillo; Jorge
Tarcísio da Rocha Falcão
Universidade Federal de
Pernambuco
T1 2002 Doutorado Educação
O Conhecimento Matemático Escolar:
Operações com Números Naturais (e adjacências) no
Ensino Fundamental
Vanderlei Rodrigues Gregolin
Regina Maria Simões
Puccinelli Tancredi
Universidade Federal De São Carlos
D3 2006 Mestrado Educação
Produção discursiva na aula de matemática: uma
interpretação sociointeracionista
Eleonora Dantas Brum
Jackeline Rodrigues Mendes
Universidade São Francisco
D4 2007 Mestrado Educação
O ensino desenvolvimental e a aprendizagem de
matemática na primeira fase do ensino fundamental
Fernanda Chaves C.
Soares
Raquel Aparecida Marra Da
Madeira Freitas
Pontifícia Universidade Católica de
Goiás D5 2007 Mestrado
Educação As dificuldades na
aprendizagem da divisão: analise da produção de
erros de alunos do ensino fundamental e sua relação com o ensino praticado
pelos professores
Edileni Garcia
Juventino de Campos
Leny Rodrigues Martins Teixeira
Universidade Católica Dom
Bosco
D6 2009 Mestrado Psicologia
Habilidades metacognitivas em
Matemática: desenvolvimento por meio de problemas aritméticos verbais com história no
ambiente lúdico de aprendizagem de
Realidade Suplementar
Roselaine Cristina Pupin
Antônio dos Santos Andrade
Universidade De São Paulo/ Ribeirão Preto
Fonte: As autoras
20
Com base no Quadro 1 consideramos que o estudo referente ao conteúdo de divisão se
caracteriza com preocupações um tanto quanto isoladas, visto que as produções foram
construídas em diferentes anos, em distintas instituições e sob orientação de diferentes
doutores.
1.1.1 Detalhamento e interpretação dos dados da revisão bibliográfica
Seguimos, em ordem cronológica, a interpretação das pesquisas, iniciando pela
defendida em 1997 e finalizando com a de 2009, conforme os dados apresentados no Quadro
1.
D1
Em concordância com a revisão bibliográfica, a primeira pesquisa relacionada à
divisão nos anos iniciais do Ensino Fundamental foi a de Sílvia Swain Canoas, cujo objetivo
de seu trabalho foi de realizar um estudo diagnóstico das representações que os professores
das séries2 iniciais do Ensino Fundamental têm sobre o campo conceitual multiplicativo. O
problema apresentado partiu de considerações sobre a formação de professores e suas relações
com a matemática. A metodologia da pesquisa se desenvolveu em dois momentos: o estudo I
e o estudo II, objetivando um levantamento das concepções e competências dos professores
com relação às operações de multiplicação e de divisão. Com relação ao livro didático de
matemática, a autora traz também como uma ideia central, conhecer o tipo de material que os
professores tem disponibilidade para sua prática em sala de aula e quais subsídios esses
professores adquiriram na formação para a implantação desses recursos. Ainda, considera
importante uma discussão a respeito da utilização de livros didáticos.
A conclusão da pesquisa, com relação às escolhas que as professoras fizeram, aponta
que a utilização do livro didático como fim e não como meio, reforça o comportamento de
que as professoras desconhecem as várias situações presentes nos campos conceituais e por
isso não as usem. Conforme a autora, o professor deve estar atento e escolher um bom livro de
Matemática para ser adotado no decorrer do ano letivo, porém isso não vem a garantir que
seus alunos vão aprender mais por ter em sala um bom livro didático.
Para a autora, o importante é que os professores tenham sempre em mente que o que
realmente contribui para o processo de ensino aprendizagem, é sua própria visão crítica desse
2 Atualmente, denomina-se ano em vez de série.
21
material. Deve considerar que o professor desconhece o conteúdo que pretende trabalhar em
sala de aula, ou ainda, sente dificuldade em abordá-lo de forma diversificada.
Ao ler esta dissertação, pudemos perceber que o objetivo está relacionado às práticas
dos professores e não ao livro didático, porém, houve uma parte da pesquisa que retratou
conceitos, exemplos e análise de alguns livros didáticos.
D2
A dissertação de Síntria Labres Lautert, não foi localizada por completa, por isso,
tomamos como base o resumo disponível no site da CAPES. O objetivo de seu trabalho foi de
examinar como as crianças com diferentes níveis de instrução escolar (Jardim, Alfabetização,
1ª e 2ª série do ensino fundamental) representam a divisão. A pesquisa partiu de
representações no papel e por meio de material concreto sobre as operações e problemas de
divisão, com posterior análise. O estudo indicou que a instrução escolar não gera diferenças
substanciais na forma de lidar e representar a divisão.
T1
A tese de doutorado de Vanderlei Rodrigues Gregolin, propôs investigar o
conhecimento matemático escolar nas séries iniciais do Ensino Fundamental. O problema gira
em torno da seguinte indagação: “como romper o círculo vicioso que envolve o conhecimento
matemático nas séries iniciais do ensino fundamental?”. Esta pesquisa foi de natureza
qualitativa, desenvolvida em uma escola pública de São Carlos, SP. Constituiu-se em um
estudo de caso, o estudo das operações - adição, subtração, multiplicação e divisão - com
números naturais, nas séries finais do primeiro ciclo do Ensino Fundamental.
No decorrer de seu trabalho, o autor fez um breve histórico dos algoritmos e
investigou também os sistemas de numeração. Com relação aos livros didáticos e
paradidáticos o autor faz referência ao relatar as observações nas turmas de 3ª e 4ª séries.
Na 3ª série o autor destaca um relato da professora que declarou não ter dificuldade
em nenhum conteúdo de matemática e que, para os alunos, números racionais, frações e
divisão por dois algarismos são os conteúdos mais difíceis: “alunos fracos não pegam”. Na 4ª
série, o autor relata que a professora utilizou um caderno de anotações, que atualizava a cada
ano. A professora usou os livros dos autores Guelli (1996, v4), Meireles & Miranda (1993,
v4), Dante (1997, v4), Imenes et al. (1997, v4; 1995, v4) “para tirar exercícios”. Declarou não
ter dificuldade em nenhum conteúdo de matemática e que a multiplicação é o conteúdo mais
difícil de ensinar, e a divisão, o mais difícil de ser aprendido pelos alunos.
Nas aulas, o autor observou que não foram feitas referências escritas aos termos da
divisão, aos significados da palavra divisão e o que é a operação matemática divisão.
22
Segundo o autor, a compreensão depende de múltiplos fatores, um deles é
fundamental e independente do professor e do aluno, uma vez determinado: a
compreensibilidade do próprio conhecimento matemático, que deve ser insistentemente
buscada e questionada.
D3
A dissertação com o tema “Produção discursiva na aula de matemática: uma
interpretação sociointeracionista”, de Eleonora Dantas Brum, apresenta como objetivo
analisar a produção discursiva de um grupo de crianças e dois professores em salas de aula de
matemática, em dois momentos diferentes. Seu objetivo carrega a intenção em contribuir para
uma melhor compreensão da produção discursiva na aula de matemática.
O problema apresentado gira em torno de duas questões: “Quais as práticas
discursivas que permeiam os eventos de numeramento-letramento na aula de matemática?” e
“Como se estabelecem essas práticas em dois processos interativos distintos: na 4ª e na 5ª
séries?”.
A pesquisa de cunho qualitativo que utiliza a metodologia da etnografia escolar
ocorreu em uma escola particular de Campinas, onde a pesquisadora observou crianças no
processo de transição da 4ª para a 5ª série nas aulas de matemática com uma professora
polivalente e um professor especialista, respectivamente.
No decorrer da dissertação a autora apresenta um subtítulo sobre a divisão: “Evento:
Algoritmo da Divisão”. Nesse momento a autora retrata que no segmento de 1ª a 4ª série, a
ênfase no processo de ensino/aprendizagem de matemática está nas operações fundamentais.
Brum conclui que o trabalho foi feito com a intenção de fornecer aos professores que ensinam
matemática, novas possibilidades de olhar para sua prática docente .
Esta pesquisa nos aponta o interesse pela matemática e sua prática docente, porém não
aborda questões sobre o livro didático de matemática.
D4
A pesquisa de Fernanda Chaves C. Soares, teve como objetivo geral, implementar as
etapas do ensino desenvolvimental para a aprendizagem de um objeto de conhecimento da
matemática. A questão central desse estudo girou em torno de: “como organizar o ensino de
matemática para que ocorra melhor aprendizagem dos alunos?”
Soares considera que sua dissertação apresenta uma abordagem qualitativa a qual
constitui num experimento didático realizado em uma turma do Ciclo 2 de uma Escola
Municipal de Goiânia. O conteúdo específico do experimento didático foi a divisão de
números naturais. Foram elaborados, organizados e realizados procedimentos de ensino
23
visando à aprendizagem desse conteúdo. Posteriormente realizou-se a análise dos dados
coletados.
No desenvolvimento da dissertação há alguns subcapítulos que discorrem sobre a
divisão no Ensino Fundamental. Um deles trata sobre o ensino desenvolvimental e
aprendizagem da divisão de números naturais. Nesse momento, a autora procurou identificar
o conhecimento dos alunos acerca do conteúdo divisão e números naturais. Em outro, a
pesquisa discorre sobre a modelação da divisão de números naturais. No subcapítulo seguinte,
a autora versa sobre a apreensão das propriedades particulares da divisão de números naturais.
Como conclusão, a pesquisadora constatou que a dificuldade de aprendizagem decorre
por múltiplos fatores, um deles é a forma como a matemática vem sendo ensinada nas salas de
aula brasileiras. A principal contribuição desta pesquisa consistiu em mostrar que, apesar das
dificuldades e limitações de diversas ordens presentes na escola e na vida escolar dos alunos,
é possível utilizar os procedimentos baseados na teoria do ensino desenvolvimental e
provocar mudanças que conduzem os alunos a melhores resultados na aprendizagem de
matemática.
D5
O objetivo geral da pesquisa de Edileni Garcia Juventino de Campos, foi descrever e
analisar os erros produzidos por alunos das 4ª, 5ª e 7ª séries na aprendizagem da divisão,
tendo em vista compreender as dificuldades envolvidas nesse processo, e suas relações com o
ensino praticado pelos professores. Como “compreender as dificuldades, muitas vezes
constantes, que vários alunos têm na compreensão da matemática?” e “qual é a natureza
dessas dificuldades?” são questões que problematizam a referida pesquisa.
A metodologia utilizada para tal pesquisa foi considerada qualitativa, por meio da qual
se pretendeu descrever e analisar: a) as dificuldades dos alunos na aprendizagem do conceito
de divisão; b) as concepções dos professores sobre o ensino e aprendizagem desse conceito.
Foi baseada também em aulas expositivas, exercícios e uso do livro didático.
No decorrer deste trabalho a autora discorre sobre a preocupação que diversos
pesquisadores vêm apresentando em desvendar como ocorre o desenvolvimento e a
aprendizagem de conceitos matemáticos. A discussão sobre livro didático, abordada na
dissertação, refere-se ao tipo de recurso didático que o professor utiliza em sala de aula. A
pesquisa apontou que todos os professores utilizaram o livro como recurso exclusivo no
processo de ensino da divisão, porém não foi relatado quais foram os livros.
A partir dos resultados encontrados nas entrevistas com os alunos e com os
respectivos professores, foi possível perceber que as dificuldades dos alunos na aprendizagem
24
da divisão dependeram, em parte, da complexidade que envolve este conceito e, em parte, da
falta de domínio do professor neste conteúdo e do tratamento dispensado ao ensino do mesmo
em sala de aula.
D6
A pesquisa de Roselaine Cristina Pupin teve como objetivo investigar a eficácia do
procedimento de desenvolvimento de habilidades metacognitivas em matemática, utilizando-
se de “problemas aritméticos verbais com história” em um ambiente lúdico de aprendizagem.
O problema gira em torno do tema “problemas aritméticos verbais com história”. No
decorrer da pesquisa a autora discorre sobre o histórico da metagognição.
A metodologia se caracteriza como quantitativa e, como se refere a autora, também
aspectos qualitativos ou etnográficos. Os sujeitos de sua pesquisa foram cem alunos de três
turmas de segunda série do Ensino Fundamental. A partir dos resultados das avaliações que
todos os sujeitos fizeram por meio da prova de problemas Aritméticos Verbais com História
(das quatro operações básicas) e do Subteste de Aritmética do Teste de Desempenho Escolar,
as turmas foram divididas e subdivididas em grupos, dos quais um deles foi o grupo de
intervenção.
Na conclusão da pesquisa a autora aponta que o trabalho realizado com o Grupo de
Intervenção, foi eficaz no sentido de promover uma melhoria nas habilidades metacognitivas
em matemática.
Por meio do levantamento bibliográfico percebemos a preocupação de pesquisadores
com a educação matemática, a formação de professores e as práticas pedagógicas atuantes na
intenção de promover o processo de ensino aprendizagem. Porém, a panorâmica deste estudo
indica que a estreita relação entre livro didático com professores e alunos ainda tem muitos e
novos caminhos a serem estudados. Consideramos de suma importância estar a par, mesmo
que de uma parte, dos estudos e pesquisas já realizados referentes ao conteúdo de divisão e/ou
a livros didáticos de Matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental, até porque, tal
conteúdo é abordado nesses livros, que é fornecido a todas as escolas públicas de nosso país.
Levando em consideração que o professor é o mediador entre os conteúdos e conceitos
presentes no livro didático, justificam-se o desenvolvimento de pesquisas que se preocupam
com a formação e prática dos professores atuantes nas salas de aula.
Autores como Machado (1997, p. 24) afirmam que nada adianta ter um bom livro
didático se não souber utilizá-lo. Porém, um mau livro em boas mãos pode-se até tornar-se um
bom recurso. Portanto, consideramos importante o investimento em formações de professores
25
que visam uma preparação para a utilização adequada desse tipo de material didático, bem
como, formações que contemplem o conhecimento específico e pedagógico da disciplina, no
caso, a matemática. Pois, não podemos permitir que se propague a ideia apresentada na tese
de Gregolin de que:
[...] quando não dominam com profundidade aquilo que ensinam, os professores ensinam da forma como aprenderam, ou seja, ensinam por meio de regras. Estabelece-se assim um círculo vicioso: quem não sabe ensina; quem precisa aprender decora; quem decora se torna professor e ensina. E melhores condições de aprendizagem dependem, muito diretamente, da atuação desses professores (depoimento de TANCREDI, apud GREGOLIN, 2002, p. 5).
Conforme Gregolin, podemos considerar a fala da professora Tancredi numa outra
perspectiva como: “quem compreende aprende; quem aprende se torna professor e ensina”
(2002, p. 150).
Nas demais pesquisas, como a de Canoas (1997), também podemos perceber a
preocupação com relação à instrução do professor quanto à sua exigência crítica perante o
material que é utilizado nas salas de aula. Na mesma pesquisa, a autora considera que o
professor desconhece o conteúdo que pretende trabalhar, ou ainda, sente dificuldade em
abordá-lo de forma diversificada.
Desse modo, a revisão bibliográfica inicial nos apontou aspectos relevantes,
principalmente com relação às práticas docentes. Sabemos que antes de chegar às mãos de
professores e alunos, o livro didático passa por todo um processo de análise, porém, quem tem
a opção de escolher o livro didático que mais se aproxima da realidade e necessidades
escolares da escola, é o professor.
1.2 O LIVRO DIDÁTICO NO BRASIL
Livros que informam; Livros que formam ou pretendem formar;
Livros que movem ou comovem. (OLIVEIRA, 1986, p. 13)
Há algumas décadas, o livro didático tem sido objeto de debates e análise. Segundo
Oliveira (1986, p. 11) a própria definição do que seja livro didático já o torna instigante.
Segundo o autor, algumas pessoas argumentam que todo livro é ou pode ser didático. Assim
como Oliveira (1986), nesta pesquisa nós estamos entendendo Livro Didático a partir da
26
definição de Richaudeau (1979, p. 5), que considera que “o livro didático será entendido
como material impresso, estruturado, destinado ou adequado a ser utilizado num processo de
aprendizagem ou formação”.
Além da importância do livro didático quanto aos seus aspectos pedagógicos e às suas
possíveis influências na aprendizagem e no desempenho dos alunos, há a questão do
“mercado” criado em torno do livro didático que faz dele uma respeitável mercadoria
econômica. A influência dos custos desse material pode restringir as possibilidades de acesso
de alguns de seus interessados no ambiente escolar. Oliveira considera também que,
[...] o livro didático também é importante por seu aspecto político e cultural, na medida em que reproduz e representa os valores da sociedade em relação à sua visão da ciência, da história, da interpretação dos fatos e do próprio processo de transmissão do conhecimento (1984, p. 11).
Entendemos que as características expressas, seja explicitamente ou implicitamente,
nesse tipo de material são carregadas de intenções, além de agir como um veículo que atinge
um significativo número da população educacional nas diferentes classes sócio-econômicas.
No Brasil, os livros didáticos aparecem logo após o surgimento da imprensa3, em 1808
com a chegada da família real portuguesa. Até então, toda e qualquer atividade de imprensa,
fosse publicação de jornais, livros ou panfletos era proibida, embora nas demais colônias
européias no continente, a imprensa se fazia presente desde o século XVI. A partir da
imprensa, os livros didáticos tornaram-se os primeiros a serem produzidos em série e, ao
longo do tempo a concepção do livro como “fiel depositário das verdades científicas
universais” foi se consolidando (GATTI JÚNIOR, 2004, p.36). Lopes (2000) acrescenta que:
No Brasil, esta parceria foi permeada por reformas oficiais e por movimentos de atualização do ensino, pelas políticas educacionais, particularmente no campo do livro didático, e pela participação das editoras e autores nos programas estabelecidos pelo governo (LOPES, 2000, p.15)
O histórico do livro didático no Brasil, segundo Freitag (1993, p. 11) confunde-se com
a própria história política do país. Com início por volta de 1930, por meio de uma sucessão
3 A imprensa brasileira nasceu oficialmente no Rio de Janeiro em 13 de maio de 1808, com a criação da Impressão Régia, hoje Imprensa Nacional, pelo príncipe-regente dom João.
27
de decretos, leis e medidas. Foi nesse período que se desenvolveu uma política brasileira
educacional mais consciente, progressista que buscava o exercício da democracia e, com isso,
o embasamento científico. Devido às políticas públicas brasileiras, o livro didático foi
produzido a fim de atender a parcela carente que correspondia, e ainda corresponde, à maioria
da população, com a intenção de compensar as desigualdades sociais.
Em 1929, o Estado cria o INL – Instituto Nacional do livro Didático, para legislar
sobre políticas do livro didático, com a finalidade de abranger maior legitimação ao livro
didático nacional. Nove anos mais tarde, o Estado institui a Comissão Nacional do Livro
Didático (CNLD), estabelecendo sua primeira política de legislação e controle de produção e
circulação do livro didático no País.
É consolidada a legislação sobre as condições de produção, importação e utilização do
livro didático, restringindo ao professor a escolha do livro a ser utilizado pelos alunos,
conforme definido no art. 5º. - Pelo Decreto-Lei nº 8.460, de 26/12/45, no ano de 1945. Onze
anos mais tarde, o Ministério da Educação (MEC) faz um acordo com a Agência Norte-
Americana para o Desenvolvimento Internacional (USAID) que permite a criação da
Comissão do Livro Técnico e Livro Didático (COLTED), com o objetivo de coordenar as
ações referentes à produção, edição e distribuição do livro didático. O acordo assegurou ao
MEC recursos suficientes para a distribuição gratuita de 51 milhões de livros no período de
três anos. Ao garantir o financiamento do Programa pelo governo, a partir de verbas públicas,
o mesmo obteve continuidade.
Em 1970, o Ministério da Educação implementou o sistema de coedição de livros com
as editoras nacionais, com recursos do Instituto Nacional do Livro (INL) e em 1971, o INL
passa a desenvolver o Programa do Livro Didático para o Ensino Fundamental (PLIDEF),
assumindo as atribuições administrativas e de gerenciamento dos recursos financeiros até
então a cargo da COLTED. Neste mesmo ano, o convênio MEC/USAID é encerrado.
Posteriormente, em 1976, o governo assume a compra de boa parcela dos livros para
distribuir a parte das escolas das unidades federadas. Com a extinção do INL, a Fundação
Nacional do Material Escolar (FENAME) torna-se responsável pela execução do programa do
livro didático. Os recursos provêm do Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação
(FNDE) e das contrapartidas mínimas estabelecidas para participação das Unidades da
Federação. Devido à insuficiência de recursos para atender a todos os alunos do Ensino
Fundamental da rede pública, a grande maioria das escolas municipais é excluída do
programa.
28
Somente em 1983, a FENAME é substituída pela Fundação de Assistência ao
Estudante (FAE). Nesse período a FENAME incorpora o PLIDEF e é proposta a participação
dos professores na escolha dos livros e a ampliação do programa, com a inclusão das demais
séries do Ensino Fundamental.
Em 1985, o Programa do Livro Didático para o Ensino Fundamental (PLIDEF) dá
lugar ao Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), que traz diversas mudanças, como:
• Indicação do livro didático pelos professores;
• Reutilização do livro, implicando a abolição do livro descartável e o aperfeiçoamento
das especificações técnicas para sua produção, visando maior durabilidade e
possibilitando a implantação de bancos de livros didáticos;
• Extensão da oferta aos alunos de 1ª e 2ª série das escolas públicas e comunitárias;
• Fim da participação financeira dos estados, passando o controle do processo decisório
para a FAE e garantindo o critério de escolha do livro pelos professores.
Em 1996, inicia o processo de avaliação pedagógica dos livros inscritos para o PNLD
1997, que é aplicado e aperfeiçoado até hoje.
Dentre tantas mudanças, percebe-se o quanto esse material é instigante e é nos Livros
Didáticos que se materializa o nosso objeto de estudo: o conteúdo de divisão.
1.3 DESENVOLVIMENTO HISTÓRICO DA DIVISÃO
O homem, na Antiguidade, vivia da caça, da pesca e de outros alimentos da natureza.
Não havia, nesse momento, a preocupação em armazenar maiores quantidades de alimentos
além das que necessitava para sua sobrevivência diária e de sua família. Embora não soubesse
contar, a sensação numérica estava presente à medida em que a vida social ia evoluindo. Com
o aumento da intensidade da vida coletiva entre os homens, a contagem impõem-se como uma
necessidade.
A importância da contagem evidencia-se quando o homem passa de nômade à
produtor de seu alimento, como consequência do desenvolvimento da agricultura e da
pecuária. Conforme Lanner de Moura et al (2004, p. 1), “o homem começa a organizar as
quantidades e apreendê-las por meio da contagem”. Ainda, com relação à contagem, continua
a autora:
As primeiras destas ações são desenvolvidas pela correspondência um a um através do auxílio do numeral-objeto. Aos poucos a linguagem escrita, bem como a
29
representação escrita de quantidades é desenvolvida. Várias civilizações criam os seus sistemas de numeração (LANNER DE MOURA et al, 2004, p. 1).
Se pensarmos na vida do homem primitivo, percebemos que já efetuava a adição ao
fazer marcas em rochas, fazer talhes em madeiras ou ossos a quantidade de alimento que
tivera caçado ou colhido naquele dia.
A palavra cálculo origina-se do latim calculus que significa pedra, pedrinha. Como
vários povos utilizavam as pedras para a contagem, essa palavra veio a designar as operações
aritméticas primárias, isto é, a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão.
Segundo Davis (1992, p.1) o primeiro estágio da invenção dos números não serviu
para fazer operações aritméticas e sim, para usar os algarismos apenas para memorização de
quantidades e enumerações, sendo que os cálculos eram efetuados, com a utilização de
recursos para contagem.
Com as pedras o homem iniciou a arte de calcular, e estas estão ligadas a “origem dos
ábacos e dos contadores mecânicos, instrumentos estes que o homem inventou no dia em que
precisou fazer cálculos cada vez mais complicados e que tanto usou quando ainda não
dispunha do cálculo escrito por meio dos algarismos “arábicos’” (IFRAH, 1998, p. 117).
A história do cálculo aritmético iniciou com o uso das pedras e, a partir daí, passou
pela utilização dos dedos, de barbante, talhas em madeiras e ossos, tábuas de contar e ábacos
de cera, de pó ou de contas, até chegar à nossa numeração posicional atual.
A primeira calculadora é a mão humana, utilizada pelos povos ao longo dos tempos
para contar e calcular. Porém, a mão atendia apenas como representação visual dos números e
não para registrá-los e memorizá-los. Mais uma vez, o homem necessita de melhores recursos
para a realização de cálculos e para os registros dos mesmos.
Foi a partir da criação do zero pelos hindus que o homem conseguiu realizar os
cálculos sem mais precisar recorrer à mão ou ao contador mecânico.
As técnicas do cálculo escrito atualmente são resultados de muitas outras maneiras de
calcular, como na terra, na prancheta de madeira com areia ou pó e com giz em quadro negro
(onde era registrado os resultados parciais e por cima deles os intermediários), que por meio
das simplificações das regras operatórias dos calculadores indianos, e posteriormente dos
europeus, possibilitaram a técnica atual.
A partir do contato que os europeus estabeleceram com a cultura muçulmana, durante
as cruzadas no século VI a XIII, em que parte do clero das cruzadas aprendeu o modo de
calcular com desenhos na areia, com o uso do zero e sem o uso do ábaco – é que os
30
algarismos arábicos, com o zero e as técnicas de cálculo escrito de origem hindu entraram na
Europa (LANNER DE MOURA et al, 2004).
Este contato, levou ao conhecimento da Europa as obras de Euclides, Ptolomeu,
Aristóteles, al-Khowarizmi, al-Biruni entre outros (IFRAH, 1992, p.313). Com a publicação
do livro “Liber abaci” de Leonardo de Pisa (conhecido como Fibonacci4), no século XIII, é
que ocorreu o movimento de democratização do cálculo na Europa.
Segundo Boyer (1996, p. 148), não se sabe quando ou onde a multiplicação apareceu,
mas a Índia parece ser a fonte mais provável. Por volta do século XII, o algoritmo utilizado
para a multiplicação era diferente do que utilizamos hoje. Da Índia, parece ter sido levada à
China e à Arábia. Dos árabes passou para Itália nos séculos XIV e XV e lá o nome gelosia lhe
foi associado, por causa da semelhança com os gradeados colocados em frente às janelas em
Veneza.
Os métodos aritméticos da Índia foram provavelmente adotados pelos árabes, e mais
tarde, por meio desses, pelos europeus.
Com base em informações históricas sobre a multiplicação, é provável que o
esquema de divisão conhecido como “método de riscar” ou “método do galeão” (por se
parecer com um navio) possa também, ter surgido na Índia.
Assim como a subtração é o inverso da adição, a divisão é da multiplicação. Como a
multiplicação é considerada uma espécie de adição repetida, a divisão é uma espécie de
subtração repetida (ASIMOV, 1988, p. 34).
Alguns autores, incluindo Caraça (1989, p. 20), consideram as operações aritméticas
da adição, multiplicação e potenciação como diretas e as de subtração, divisão e radiciação
como inversas. Caraça explica a divisão como operação inversa da multiplicação da seguinte
maneira:
[...] A inversão consiste em – dado o produto e um dos factores, determinar o outro. Deveria também haver duas inversas, mas que se fundem numa só – divisão – em virtude da propriedade comutativa do produto. (CARAÇA, 1998, p. 20).
4 Fibonacci (filho de Bonaccio), nasceu por volta de 1180 em Pisa e foi um dos matemáticos mais importantes da Idade Média. Seu nome tornou-se conhecido devido ao problema dos coelhos publicado no seu livro "Liber Abaci". Este livro foi um meio pelo qual a numeração hindu-árabe foi introduzida na Europa Ocidental. Escreveu também o livro "Practica Geometriae" em 1220.
31
Com relação ao sinal da divisão, consta-se que no século XIII o matemático Leonardo
de Pisa5 (Fibonacci) passou a indicar a divisão pelo traço horizontal b
a. Em 1647 o
matemático W. Oughtred6 substituiu a letra r, que utilizava para repartição, por “:”, para
representar a divisão. No século XVII, Descartes já usava o sinal ÷ para indicar a operação de
divisão. A forma a/b também simboliza a divisão.
Os dados históricos apontam que a aritmética começou a assumir a forma moderna no
século XV, porém, a síntese dos algoritmos para a forma atual levou mais algum tempo.
Conforme Davis (1992, p. 52), a divisão foi utilizada no padrão atual em 1491 no livro de
aritmérica de Calandri, mas só consolidou-se no final do século XVII.
A dificuldade em operar a divisão na Antiguidade ainda é vivenciada atualmente,
mesmo com tantas simplificações que ocorreram e que nos proporcionaram mais facilidade
para a realização de cálculos.
Saiz (1996, p. 156) faz um resgate, com relação à divisão na Antiguidade “só os
homens sábios sabiam dividir”. Esta citação relaciona-se com os métodos utilizados pelos
nossos antepassados, que eram muito difíceis, demorados, confusos e exigia grande trabalho.
Depois de longa prática era possível resolver com agilidade a divisão, porém a resolução só
era considerada possível para pessoas que gozavam de talento e extraordinária capacidade,
“sabedoria que para os homens simples era inacessível” (SAIZ, 1996, p. 156). Ifrah (1992)
retrata essa situação:
Será um verdadeiro entretenimento retraçar as etapas de uma multiplicação egípcia ou de uma divisão suméria; compreender porque as quatro operações de aritmética, que nos parecem hoje elementares, representaram durante dezenas de séculos, para milhões de homens, uma arte obscura e complexa, reservada para uma elite incomum, geralmente os sacerdotes; e perceber talvez com espanto, que na Europa, há poucos séculos, ainda se calculava não com algarismos, mas com os dedos da mão ou por meio de fichas sobre mesas, e que se fazia a contabilidade através de entalhes em madeira. Daí que, para dominar os mistérios da multiplicação e da divisão, o filho de um rico comerciante da Idade Média necessitava de vários anos de estudos e passava pela vicissitude de uma viagem por toda a Europa – em suma, o equivalente ao doutoramento atual. (IFRAH, 1992, p.10)
6 William Oughtred, sacerdote e matemático inglês nascido em 1574 , escreveu sobre matemática, inclusive o famoso livro de texto Clavis mathematicae publicado em 1631, traduzido como Chave para a Matemática, um livro sobre álgebra que introduzia novos símbolos, como o sinal de "x" para a multiplicação e o de ":" para a divisão. Além disso, foi o inventor da régua de cálculo.
32
Percebemos que a divisão, assim como os números e as outras operações, surgiu a
partir da necessidade humana. A partir dessa necessidade também foram criados métodos
mais rápidos e eficazes para se calcular. Para isso, muitas práticas de cálculo foram
vivenciadas até se chegar aos processos de cálculos da atualidade.
No próximo capítulo disponibilizamos a fundamentação teórica de nosso estudo no
que se refere à operação de divisão, a divisão nos Parâmetros Curriculares Nacionais (2000),
os elementos de abordagem de resolução de problemas, jogo e calculadora. Utilizamos a
Teoria Antropológica do Didático (1999), à qual remetemos na análise mais especificamente
nas praxeologias didática e matemática.
33
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Neste capítulo temos por objetivo apresentar a operação de divisão, bem como os
algoritmos euclidiano e americano. Explicitamos também, como a divisão se apresenta nos
Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática e os elementos de abordagem resolução de
problemas, jogo e calculadora. Apresentamos também, os fundamentos teóricos com
embasamento na Teoria Antropológica do Didático de Chevallard (1999).
2.1 A OPERAÇÃO DE DIVISÃO
Percebemos que a divisão desde o seu surgimento já causava certo espanto, pois na
Antiguidade, era considerada possível de ser resolvida apenas por homens sábios e de altas
habilidades. Parece que esse conteúdo ainda hoje é caracterizado como uma operação difícil
de se ensinar e de se aprender. Pesquisas como as de Darsie e Paula (2008), Campos (2007),
Gregolin (2002) e Lautert (2000) apontam dificuldades de alunos e professores com relação às
situações que envolvem a divisão.
Por se tratar de um conteúdo presente nos Parâmetros Curriculares Nacionais de
Matemática e, consequentemente, estar inserido nos livros didáticos, temos a intenção de
analisar como esse conteúdo é abordado nos livros didáticos de Matemática mais escolhidos
pelas escolas públicas de Cuiabá.
Considerando que o livro didático de Matemática está presente em grande parte das
salas de aula de nosso país e que esse material muitas vezes é utilizado como única fonte de
informações e conhecimentos, acreditamos ser necessário um olhar atento e cauteloso para
com ele.
As crianças entram em contato com a divisão antes mesmo de irem para a escola, isto
é, em momentos de repartir objetos, doces um a um, por exemplo, figurinhas etc. Conforme
os autores Bittar e Freitas, partindo deste conhecimento prévio da criança, a escola deve
construir o conceito de divisão. Outra situação que pode ser explorada no ambiente escolar é
que a divisão realizada pela criança, nem sempre é em partes iguais “dividir pode significar,
na linguagem comum, classificar, separar, marcar limites e repartir em partes iguais (o que
nem sempre é possível)” (BITTAR; FREITAS, 2005, p. 74).
Quando falamos de divisão é necessário tratar de dois tipos de grandezas que podem
ser trabalhadas na divisão: uma é a grandeza discreta e a outra é a grandeza contínua.
34
A primeira não pode ser medida com unidades arbitrárias, a unidade deve ser da
mesma natureza da grandeza. Ao dividirmos certa quantidade de carrinhos por um
determinado número de crianças, não pode ter como resultado um carrinho e meio por
criança, por exemplo, assim, trata-se de uma grandeza discreta. Segundo Centurión (1994, p.
206) ao utilizar uma quantidade discreta numa divisão pode haver resto, porém não há sentido
em subdividi-lo.
A segunda grandeza, que é a contínua, é medida com unidades arbitrárias da mesma
espécie. Essa grandeza pode crescer ou decrescer o quanto seja necessário. Esta grandeza está
associada ao conceito de fração. Se tivermos um bolo, pode-se dividi-lo em pedaços do
tamanho que quisermos, sua natureza não muda. O resto pode ser subdividido sem alterar o
significado das partes que resultarão na divisão de grandezas contínuas. “É claro que há
limites para a subdivisão, pois se dividirmos uma molécula de chocolate ela deixará de ser
chocolate. Nesse nível, passaremos a trabalhar com outro tipo de grandeza” (CENTURIÓN,
1994, p. 74).
Na matemática, ficou convencionado, conforme Centurión (1994, p. 94), que a divisão
sempre será feita em partes iguais, porém, há exceções. Há duas situações ligadas à ideia de
divisão, uma que é a de repartir igualmente determinada quantidade por um determinado
número (também denominada como ideia partitiva). Por exemplo; repartir 30 lápis entre 5
alunos. E a outra situação está ligada à ideia de medir, ou seja, de verificar quantos cabem
(também denominada de ideia subtrativa). Exemplo: sabendo que há 100 folhas de papel,
formar pacotes com uma dezena de folhas cada.
A divisão também está associada à formação de subconjuntos equivalentes:
4 = 2 + 2.
Exemplo:
= +
Os elementos do conjunto A, por exemplo, pode ser separado nos dois conjuntos
equivalentes B e C, o que nos sugere a operação da divisão.
B A C
35
Também podemos observar a divisão considerando o exemplo numérico de 8 : 4 = 2,
da seguinte forma:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Tendo como referência este exemplo de reta numérica, uma das interpretações pode
ser: que partindo de 8 e se deslocando de 4 em 4 unidades, o número de deslocamentos será 2.
Considera-se que as operações de multiplicação e de divisão são inversas uma da
outra e utilizadas para verificar se os cálculos estão corretos. Este procedimento é
denominado de prova real, como menciona Centurión (1994, p. 99).
Com relação à divisão de números naturais, percebemos dois tipos de operações: as
exatas e as não-exatas. Chama-se de divisão exata quando a operação apresenta dois números
inteiros, sendo o dividendo múltiplo do divisor e o quociente (resultado) que indica quantas
vezes o primeiro contém o segundo, conforme Centurión (1994, p. 191).
A sentença matemática que traduz esta operação é:
a ÷ b = q significa que a = q.b
Sendo, a, b e q três números quaisquer e b diferente de zero.
Para que o quociente (q) seja inteiro, deve-se ter o dividendo (a) igual ou maior que o
divisor (b): a ≥ b e b diferente de zero.
Já, a divisão não-exata, também conhecida como inexata, está relacionada à ideia de
resto, também pode ser relacionada às grandezas contínuas e discretas. Se tivermos 3 bolas
para dividir entre duas crianças, serão dadas uma bola para cada criança e sobrará uma bola,
que não podemos cortá-la ao meio. Ao analisarmos esta situação, percebemos que nem
sempre é possível dividir uma quantidade em partes iguais. Essa situação cogita a ideia de
divisão inexata, a qual introduz o conceito de resto na divisão. No resultado da divisão não-
exata além do dividendo, do divisor e do quociente, há o termo denominado resto. O resto
deve sempre ser menor que o divisor, caso contrário, pode-se continuar a divisão.
As ideias de repartição e de medida também estão associadas à divisão não-exata.
a b
r q
a ÷ b = q
q x b + r = a
36
2.1.1Algoritmos da divisão
Sabemos que é possível relacionar a divisão com algumas ideias, como a de repartir
em partes iguais e a de medida. Assim como as ideias, também há alguns processos
algorítmicos para a resolução de algumas situações que envolvem a divisão, porém, antes de
apresentarmos os algoritmos da divisão, vamos discorrer um pouco sobre o que é um
algoritmo.
Conforme o dicionário Aurélio (1985, p. 54), a palavra algoritmo significa “processo
de cálculo, ou de resolução de um grupo de problemas semelhantes, em que se estipulam, com
generalidade e sem restrições, regras formais para a obtenção do resultado ou da solução de
um problema”. Já em Lalande (1996, p. 43),
Algoritmo (Encontra-se também algumas vezes a forma Algorismo mais próxima da etimologia: Al Korismi ou Al Kwarizmi, nome do autor de uma Álgebra que introduziu na Europa do século IX a numeração decimal.) De onde, na origem, este sistema de numeração; depois, em consequência, conjunto das regras do cálculo dos números escritos no sistema decimal (as “quatro regras”); e, por fim, por extensão, regras das operações simples em toda a espécie de cálculo. D. Algorithmus; E. Algorithm; F. Algorithme; I. Algoritmo. Na atualidade, conjunto de símbolos e procedimentos de cálculo. Ex.: algoritmo de Euclides (para encontrar um maior divisor comum de dois números); algoritmo infinitesimal (em oposição ao método infinitesimal concebido in abstracto como um modo de raciocínio que se encontra quer nos indivisíveis, quer nas fluxões, quer nos diferenciais). Rad. int.: Algoritm (LALANDE 1996, p. 43).
Segundo Centurión (1992, p. 150), algoritmo é uma sequência de etapas que fazem
parte de uma instrução exata a ser seguida. Um bom exemplo disso é uma receita de culinária,
que é preciso seguir cada instrução corretamente para conseguir fazer um bolo.
Apresentamos, a seguir, alguns processos algorítmicos. São eles: o Euclidiano também
conhecido como processo curto, breve ou usual e o Americano conhecido como processo
longo, de subtrações sucessivas e deste origina-se o processo por Estimativas.
2.1.1.1 Algoritmo Americano
Quando a divisão é feita por subtrações sucessivas é utilizado o processo americano,
também conhecido como processo longo.
Podemos construir um quadro que indique essa divisão nas suas etapas, considerando
o seguinte exemplo: Precisa-se repartir 24 lápis de maneira que cada criança receba 4 lápis.
Na prática, o que se faz é distribuir 4 lápis de cada vez, até que acabem os 24 lápis, quando
37
então, teremos o número de crianças que receberão os lápis, como a representação no Quadro
2:
Quadro 2 – Processo Americano Nº crianças Nº de lápis Lápis que restam
0 0 24
1 4 20
2 8 16
3 12 12
4 16 8
5 20 4
6 24 0
Fonte: As autoras O quadro também pode ser reproduzido na conta feita pelo algoritmo das subtrações
sucessivas:
Essa técnica é usada por crianças para dividir quantidades, antes mesmo de entrarem na escola, porém sem formalismos, os cálculos são efetuados com base nos materiais que têm para distribuir (balas, bolinhas de gude, palitos, figurinhas,...) [...] começar o processo da divisão através desse tipo de atividade e usando o conhecimento anterior do aluno favorecerá a construção do algoritmo por ele. Começando com números pequenos, e ir aumentando gradativamente, levará os alunos a melhor elaborar e construir a técnica de divisão (BITTAR; FREITAS, 2005, p. 78).
Aos poucos a criança vai percebendo que distribuir um lápis de cada vez toma muito
tempo e que é possível distribuir mais de um lápis em cada etapa da divisão. Quando a criança
descobre que pode distribuir maiores quantidades, ela pode utilizar estimativas como
estratégia de resolução de um problema e/ou operação. Esse processo estimula a habilidade
24 4
- 4 1
20 - 4
1
16 - 4
1
12 - 4
1
8 - 4 4 - 4 0
1 1 6
+
38
de fazer estimativas, principalmente ao se tratar de números maiores como, por exemplo: 100,
1000, 3900. Dessa maneira, tal processo pode ser utilizado como estratégia para aproximar do
resultado por meio de estimativas. Podemos fazer uso da estimativa e retirar mais de um
grupo de 4 lápis de cada vez, como por exemplo:
Centurión (1994, p. 194), considera que a capacidade de estimativa é adquirida
lentamente pela criança. Ao iniciar o aprendizado do algoritmo da divisão pelo processo das
subtrações sucessivas, a tendência da criança é ir colocando um, mais um, mais um etc. Com
o tempo a pergunta que se deve fazer é “Cabem dez?”, “e cem?”, “e mil?” O processo então,
fica bem mais rápido, e a criança fica satisfeita por acabar a conta em menos tempo. Esse
processo favorece ao aluno, o cálculo mental aproximado, principalmente em relação aos
números maiores.
2.1.1.2 Algoritmo Euclidiano
O algoritmo euclidiano é um dos mais antigos. É conhecido desde que surgiu nos
Livros VII e X da obra de Os Elementos de Euclides por volta de 300 a.C., por isso, nomeou-
se de algoritmo euclidiano ou de Euclides7, atualmente, também conhecido como processo
curto ou usual. Este, não permite experimentar possíveis formas de distribuição, mas já se
procura a maior quantidade possível de elementos a serem distribuídos para se formar um
total igual ou menor que a quantidade de elementos a se distribuir. O maior valor possível
que, multiplicado pelo divisor, não ultrapasse o dividendo e que seja diferente de zero.
Para efetuar divisões pelo processo euclidiano, será útil que os alunos tenham
memorizado as tabuadas para facilitar o cálculo. O algoritmo que apresentamos a seguir é
geralmente o mais utilizado, por isso, é considerado também como usual. Considera-se a
seguinte situação: precisa-se dividir 115 tampinhas igualmente em 5 caixas. Por meio do
algoritmo usual, vamos encontrar o quociente da divisão 115 ÷ 5.
7 Pouco se sabe sobre a vida de Euclides. Parece que foi ele quem criou a famosa escola de matemática de Alexandria da qual sem dúvida, foi professor. É provável que sua formação matemática tenha se dado na escola platônica de Atenas. Autor de pelo menos dez trabalhos, o destaque é para sua obra Elementos.
24 (lápis) _ 20
4 (lápis)
4 - 4
5 1ª distribuição + 1 2ª distribuição
0 6 total de crianças
1º resto 2º resto
39
1 5 23 0
0
Concretamente, na situação de dividir 115 tampinhas em 5 caixas pode-se pensar
assim:
Como 20 x 5 = 100, colocamos inicialmente 20 tampinhas em cada caixa, isto é, 2
dezenas de tampinhas. Como uma centena de tampinhas já foi distribuída, ou seja, 100
tampinhas, restam 15 tampinhas que representam 1 dezena e 5 unidades, que serão
distribuídas em 5 caixas, ficando mais 3 tampinhas em cada caixa. Que já tinha 20.
Destacamos que antes de formalizar os processos algorítmicos de divisão, é
interessante e favorável ao aprendizado, o uso de materiais manipulativos como: ábaco,
Q.V.L (quadro valor lugar), Material Dourado, dentre outros.
Selecionamos um exemplo de processo utilizado para fazer uma divisão com base em
Chevallard e seus colaboradores que partem da ideia de que é possível saber se uma pessoa
está ou não fazendo matemática, porém, exemplificam que nem sempre é uma situação tão
clara quanto parece:
Temos um pacote de balas, que queremos repartir em partes iguais entre alguns amigos. A primeira coisa que podemos fazer é pedir a eles que fiquem em círculo ou em fila, dar uma bala para cada um, fazendo uma primeira rodada, e repetir isso quantas vezes forem necessárias até ficarmos sem balas – levando em conta que, se na última rodada não conseguirmos dar uma bala para cada um, então teremos de pegar as últimas balas distribuídas. Assim, poderemos realizar a divisão sem necessidade de nenhuma noção matemática explícita (CHEVALLARD; BOSH; GASCÓN, 2011, p. 47).
Relacionamos que esse tipo de divisão é a distribuição termo a termo, um a um, que
ocorre naturalmente entre as crianças até mesmo antes de frequentar a escola.
Os autores consideram esse procedimento simples e eficaz, porém limitado, pois,
supõe-se que todos os amigos estejam presentes e muito próximos uns dos outros. Então,
representam outra solução, como na Figura 1:
1 1 1 5
5
- 10 _______ 15 - 15
2 3
1 1 5
5 ou
40
Figura 1 – Como repartir um pacote de balas
Fonte: CHEVALLARD; BOSH; GASCÓN, 2011, p. 48.
Assim, os amigos são representados como círculos no chão e distribuem-se todas as
balas, para, em seguida, pegar as balas de cada círculo e as entregar a cada um dos amigos.
Com essa resolução os autores consideram que:
Ao realizar esse procedimento, distanciamo-nos um pouco da realidade inicial do problema, substituindo os amigos por um modelo de mais fácil manipulação: algumas figuras que os representam. Essa representação aumenta bastante a eficácia e confiabilidade do procedimento: não importa se os amigos estão quietos ou brincado de esconde-esconde, nem se estão próximos ou, ao contrário, moram em outra cidade. Podemos trabalhar tranquilamente com os nomes de nossos amigos, os círculos e as balas. Estamos nos aproximando da matemática (CHEVALLARD; BOSH; GASCÓN, 2011, p. 48).
Os autores ampliam o exemplo anterior ao associar uma pedrinha a cada bala para que
estas, não sejam tão manipuladas e basta substituir cada pedrinha do círculo por uma bala e
entregá-la ao amigo que corresponde. Os autores consideram que o procedimento melhorou,
mas ainda é limitado: “o número de amigos ou de balas pode ser muito grande, a menos que
disponhamos de um espaço muito grande, para que caibam todos os círculos, e de muita
paciência, para ir dividindo as pedrinhas” (CHEVALLARD; BOSH; GASCÓN, 2011 p. 48)
Consideram assim, um passo a mais. No caso de haver muitas balas e muitos amigos,
o melhor a fazer é dividir o número de balas pelo número de amigos para saber realmente
quantas balas correspondem a cada um deles. Nesse procedimento, há a necessidade de contar
e precisa-se de algarismos para designar os números obtidos e efetuar a divisão. Uma vez
realizada a operação, resta somente interpretar o resultado em termos de “balas” e de
“amigos”, para que cada um deles receba seu pacote de balas. Se alguém nos vir recorrendo a
esse procedimento, não terá dúvidas em afirmar que estamos fazendo matemática.
41
Exemplo:
0 3 1 4
0 3 1 4
Percebemos que os exemplos apresentados nos remetem a pensar nos processos
algorítmicos que podem ser, e são, utilizados para fazer divisão, isto é, fazer matemática na
escola.
Concordamos com Toledo e Toledo (1997, p. 159), que o processo americano no seu
limite, chega ao processo euclidiano. Pois, no americano coloca-se um número estimado no
quociente e enquanto o resto for maior que o dividendo faz-se nova distribuição. Continuam-
se os processos até que o resto seja menor que o divisor e ao final, soma-se os quocientes
parciais, obtendo assim o quociente da divisão. Já no processo euclidiano, procura-se o
número que multiplicado pelo divisor seja o dividendo ou mais próximo dele como quociente,
obtendo assim o resto menor que o divisor ou zero. Outro fato muito interessante é que no
processo americano trabalha-se sempre com o total de unidades, enquanto que no euclidiano
as unidades são agrupadas em dezenas, centenas etc.
2.2 A DIVISÃO NOS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS
Como nossos estudos se referem aos livros didáticos destinados aos anos iniciais do
Ensino Fundamental, optamos por utilizar os Parâmetros Curriculares Nacionais (2000) como
referência para o primeiro e segundo ciclo, isto é, 1º, 2º, 3º, 4º e 5º anos do Ensino
Fundamental respectivamente.
Sabe-se que as necessidades diárias fazem com que alunos desenvolvam uma
inteligência prática, que permite reconhecer problemas, buscar e selecionar informações,
tomar decisões e com isso, desenvolver sua capacidade para lidar com a atividade matemática.
Quando essa capacidade é potencializada pela escola, a aprendizagem apresenta melhor
resultado (BRASIL, 2000), sendo o aluno o agente da construção de seu conhecimento.
3 2 5 0 9 5
23
O que fizemos aqui foi construir um modelo numérico da situação do problema, construção que não requer que tenhamos nem os amigos nem as pedras fisicamente presentes. Basta termos alguma informação prévia, dispor de lápis e papel... e um pouco de calma. O que fazemos é transformar a questão inicial – “Como repartir as balas”? – em um problema matemático: “Quanto é 325 (balas) dividido entre 23 (amigos)”?, e utilizar um modelo escrito – os números e a operação de dividir – para resolver o problema apresentado. Uma vez resolvido o problema, temos de voltar à situação inicial para realizar a divisão: dar 14 balas para cada um, sabendo que sobrarão 3 (CHEVALLARD; BOSH; GASCÓN, 2011 p. 48-49).
42
No primeiro ciclo8 é dada maior evidência às hipóteses levantadas pelos alunos e a
exploração de estratégias pessoais que desenvolvem para resolver situações-problema. As
operações de adição e de subtração são priorizadas neste ciclo, contudo, as operações de
multiplicação e de divisão também fazem parte dos objetivos do primeiro ciclo, como por
exemplo:
[...] resolver situações problema e construir, a partir delas, os significados das operações fundamentais, buscando reconhecer que uma mesma operação está relacionada a problemas diferentes e um mesmo problema pode ser resolvido pelo uso de diferentes operações (BRASIL, 2000, p.65).
Nesse caso, as diferentes operações correspondem às quatro operações básicas: adição,
subtração, multiplicação e divisão. Sabemos que nesse período escolar, o conteúdo de divisão
deve ser explorado por meio de hipóteses, jogos, brincadeiras, mas também, inicia a utilização
dos sinais convencionais (+, -, x, ÷, = ) em exercícios que envolvem a escrita das operações,
bem como o cálculo da divisão por meio de estratégias pessoais.
Já no segundo ciclo o trabalho com os alunos contempla a compreensão de
enunciados, terminologias e técnicas convencionais, porém, continua valorizando suas
hipóteses e táticas pessoais.
Sobre os objetivos da Matemática para o segundo ciclo destacam: a resolução de
problemas, a concretização e construção de alguns significados das operações básicas em
situações que envolvam números naturais e racionais; ampliação dos procedimentos de
cálculo (mental, escrito, exato, aproximado); reflexão dos procedimentos de cálculo que
levem à ampliação do significado do número e das operações e a utilização da calculadora
como estratégia de verificação de resultados. Como também, possibilitar ao aluno vivenciar
diferentes processos de resolução de problemas e fazê-lo com que perceba que para resolvê-
los é necessário compreender, propor e executar um plano de solução, verificar e comunicar a
resposta (BRASIL, 2000, p. 82).
Quanto às operações, os significados já trabalhados no ciclo anterior são consolidados
e novas situações são propostas com vistas à ampliação do conceito de cada uma delas.
Os recursos de cálculo são ampliados neste ciclo por considerar que o aluno já
adquiriu uma compreensão mais ampla do sistema de numeração decimal, além de uma
flexibilidade de pensamento para a construção do seu cálculo mental. Destacamos que é
8 O 1º ciclo contempla os itens que são trabalhados na 1ª e 2ª série do Ensino Fundamental. Como atualmente o Ensino é de 9 anos e ainda não há uma reformulação dos PCN’s, consideramos como primeiro ciclo o 2º e o 3º anos do Ensino Fundamental, segundo ciclo 4º e 5º anos do Ensino Fundamental.
43
fundamental que o aluno reafirme confiança em si próprio diante da resolução de problemas,
valorize suas estratégias pessoais e também aquelas que são frutos da evolução histórica do
conhecimento matemático (BRASIL, 2000, p. 85).
Espera-se que o aluno saiba calcular com agilidade, utilizando-se de estratégias
pessoais e convencionais, distinguindo as situações que requerem resultados exatos ou
aproximados. É importante também avaliar a utilização de estratégias de verificação de
resultados, inclusive as que fazem uso de calculadoras (BRASIL, 2000, p. 94).
Destacamos os quatro grupos de situações da divisão a serem explorados
principalmente no segundo ciclo, são eles: grupo de situações associadas à multiplicação
comparativa; o grupo de situações de comparação entre razões que envolvem a ideia de
proporcionalidade e, a partir desta, as ideias de dividir igualmente e de determinar quanto
cabe (medida); o de configuração retangular e o quarto grupo que está associado à ideia de
combinatória.
Apresentamos alguns exemplos de cada grupo que envolve o significado da divisão.
Iniciamos pelo primeiro que é o da multiplicação comparativa. Vejamos como a ideia que
envolve a divisão está presente neste grupo, por exemplo: Bruno tem 12 bolinhas de gude, sei
que ele tem o dobro de bolinhas que Léo. Quantas bolinhas têm Léo? Notamos que nesse
grupo compara-se as quantidades de objetos entre coleções.
Agora, vamos exemplificar o segundo grupo no qual estão as situações associadas à
comparação entre razões, que, conforme os PCN envolve também, a ideia de
proporcionalidade: Juca comprou 5 pacotes de figurinhas, sendo que cada pacote custou 4
reais. Quanto ele pagou pelos 5 pacotes? Percebemos a ideia de proporcionalidade ao
relacionar que 1 está para 4 assim como 5 está para 20.
No PCN de Matemática (BRASIL, 2000, p. 110), consta que, “a partir dessas situações
de proporcionalidade, é possível formular outras que vão conferir significados à divisão,
associadas às ações ‘repartir (igualmente)’ e ‘determinar quanto cabe’”. Conforme os
exemplos respectivos: Se Bruno pagou 20 reais por 4 pacotes de figurinhas, quanto custou
cada pacote? Assim, o valor pago foi repartido igualmente em 4 partes para se encontrar o
valor de cada uma das partes.
Bruno gastou 20 reais em pacotes de figurinhas, sendo que cada pacote custou 4 reais.
Quantos pacotes de figurinhas Bruno comprou? Nessa situação o objetivo é verificar quantas
vezes o 4 cabe no 20. Essas duas últimas situações são as mais utilizadas para representar as
ideias de divisão.
44
O terceiro grupo está relacionado as situações de configuração retangular, por
exemplo: Em um teatro há 72 cadeiras dispostas em fileiras e colunas. Sabendo que são 9
colunas, quantas são as fileiras?
No quarto e último grupo estão às situações associadas à ideia de combinatória: Julia
separou algumas roupas para sua boneca e formou 12 maneiras diferentes de vesti-la. Sabendo
que das roupas 3 eram camisetas, quantas eram as saias?
Ao ter como referência quatro grupos apresentados, pondera-se que:
Levando-se em conta tais considerações, pode-se concluir que os problemas cumprem um importante papel no sentido de propiciar as oportunidades para as crianças, do primeiro e segundo ciclos, interagirem com os diferentes significados das operações, levando-as a reconhecer que um mesmo problema pode ser resolvido por diferentes operações, assim como uma mesma operação pode estar associada a diferentes problemas (BRASIL, 2000, p. 112).
Percebemos que há uma estreita relação entre a multiplicação e a divisão, nos quatro
grupos propostos nos PCN de Matemática, portanto, é importante o trabalho dessas operações
“com base em um campo mais amplo de significados do que tem sido usualmente realizado”
(BRASIL, 2000, p.109).
Dessa maneira, utilizamos os quatro grupos de significados da divisão como um
aspecto a ser olhado quanto a abordagem do conteúdo de divisão nos livros didáticos de
matemática mais escolhidos nas Escolas Públicas de Cuiabá-MT.
2.2.1 Elementos de abordagem do conteúdo de divisão de números naturais: resolução de
problemas, jogo e calculadora
Consideramos importante um olhar para a resolução de problemas, para o jogo e para
a calculadora por serem elementos frequentemente presentes em livros didáticos dos anos
iniciais do Ensino Fundamental e por constarem nas orientações dos PCN de Matemática.
Outro fator é que a ficha de avaliação do Programa Nacional do Livro Didático de 2010,
aponta alguns itens que fazem parte dos aspectos teóricos-metodológicos que devem
contemplar nas coleções de livros didáticos são: apresentar situações que envolvem a
utilização de diferentes estratégias na resolução de problemas, estimular a utilização de
materiais manipuláveis, de jogos, de calculadora, imagens adequadas de acordo com os
critérios de avaliação etc. O que fortalece nossa escolha quanto a esses elementos de
abordagem.
45
2.2.1.1 Resolução de Problemas
Somente nas últimas décadas que a resolução de problemas passou a receber maior
atenção por educadores matemáticos e pesquisadores.
Um dos pioneiros em pesquisa sobre Resolução de Problemas foi George Polya
(1887–1985), autor do livro clássico: “A Arte de Resolver Problemas”, publicado pela
primeira vez em 1944. Nessa obra, ele discute sobre problemas, sugerindo condutas para
desenvolver habilidades de resolução. Assim, segundo ele, na resolução de um problema de
Matemática, deveriam ocorrer quatro etapas: compreensão do problema; elaboração de um
plano de resolução; execução do plano e uma última etapa denominada retrospecto ou exame
da solução produzida. Embora a maioria dos problemas apresentados na obra de G. Polya seja
mais adequada para o nível de Ensino Médio ou Superior, as ideias e propostas contidas nesse
livro podem ser adaptadas para o trabalho com resolução de problemas em qualquer nível de
escolaridade, em particular nos anos iniciais do Ensino Fundamental. (BITTAR; FREITAS,
2005, p. 25).
Por influência de Polya, nos Estados Unidos, nos anos de 1960, o ensino de Resolução
de Problemas, enquanto campo de pesquisa em Educação Matemática, passou a ser
investigado de forma sistemática. De acordo com Andrade, citado por Onuchic (1999, p. 203):
Em nível mundial, as investigações sistemáticas sobre Resolução de Problemas e suas implicações curriculares têm início na década de 1970. Embora grande parte da literatura hoje conhecida em Resolução de Problemas tenha sido desenvolvida a partir dos anos 70, os trabalhos de Geoge Polya datam de 1944. A partir do final da década de 1960, a metodologia de investigação, utilizando sessões de resolução de problemas em grupo e com alunos se manifestando em voz alta, se tornou prática comum. O período de 1962 a 1972 marcar a transição de uma metodologia de investigação de natureza quantitativa para uma qualitativa. De um modo geral, os estudos em Resolução de Problemas preocuparam-se inicialmente, período anterior a 60, com o desempenho bem-sucedido da obtenção da solução de problemas. Não houve preocupação com o processo. Para desenvolver sua capacidade em resolução de problemas, a criança deveria exercitar-se exaustivamente na solução de uma grande quantidade de problemas do mesmo tipo. O ensino de resolução de problemas limitava-se ao ensino da busca de solução, tipo treino, num esquema cognitivo estímulo-resposta. Posteriormente, período 60-80, a preocupação voltou-se para o processo envolvido na resolução do problema e, assim, centrando o ensino no uso de diferentes estratégias.
Conforme Onuchic (1999, p. 204), no fim dos anos 70, a resolução de Problemas
ganhou espaço no mundo inteiro. Começou o movimento a favor do ensino de resolução de
problemas. Em 1980 é editada, nos Estados Unidos, uma publicação do NCTM – National
Council of Teachers of Mathematics – Na Agenda for Action recomendations for School
46
Mathematics of the 1980’s, que chamava todos os interessados, pessoas e grupos, para juntos,
num esforço cooperativo maciço, buscar uma melhor educação matemática para todos.
Segundo Onuchic,
A verdadeira força da resolução de problemas requer um amplo repertório de conhecimento, não se restringindo às particularidades técnicas e aos conceitos, mas estendendo-se às relações entre eles e aos princípios fundamentais que os unifica. A matemática precisa ser ensinada como matemática e não como um acessório subordinado a seus campos de aplicação. Isso pede uma atenção continuada à natureza interna e a seus princípios organizados, assim como a seus usos e aplicações (1999, p. 204-205).
Os estudos na década de 1980 deram evidente importância ao processo de resolução
de problemas, sem limitar-se à uma solução, porém, o processo continuou preso à busca da
solução do problema (ONUCHIC, 1999, p. 206). Foi a partir da década de 1990 que a
resolução de problemas passou a ser considerada como ponto de partida e um meio facilitador
de se ensinar Matemática.
Acreditamos que ensinar matemática por meio da resolução de problemas é uma das
abordagens mais consistentes conforme as recomendações dos PCN, pois, conceitos e
habilidades matemáticas são aprendidos no contexto de resolução de problemas.
A partir dos PCN de Matemática, consideramos que um problema matemático deve
problematizar situações que envolvam a resolução por meio de conhecimentos matemáticos.
Sendo assim, Brasil (2001) define que:
Um problema matemático é uma situação que demanda realização de uma sequência de ações ou operações para obter um resultado. Ou seja, a solução não está disponível de início, no entanto é possível construí-la (BRASIL, v. 3, p. 44)
Não devemos considerar como problemas as situações que se resolve com facilidade,
tem que ser algo que se configure em um desafio. Para que uma situação, seja caracterizada
como um problema, é necessário que quem esteja diante dela sinta vontade de encontrar uma
solução e não tenha, de imediato, caminhos óbvios a seguir (BITTAR; FREITAS, 2005).
Concordamos com PALMA (1999, p. 33) ao considerar que um sujeito está diante de
um problema quando toma consciência do mesmo e para solucioná-lo necessita dispor de uma
“atividade mental intensa no processo de planejamento, execução e avaliação de suas ações”.
A partir de Dante, Palma (1999, p. 58-60) classifica os tipos de problemas em:
47
• Problema padrão que é o mais comum, também considerado como problema de livro
didático, problema rotineiro, convencional ou trivial. Esse tipo de problema é
geralmente proposto após explicação das operações aritméticas, sua resolução envolve
a aplicação direta de técnicas e algoritmos que levem ao resultado imediato, ou seja,
são meros “exercícios”.
• Problema processo que se caracteriza por ter como objetivo desencadear a
aprendizagem da matemática, privilegiar os processos, a investigação, o raciocínio. É
um tipo de problema que desenvolve a criatividade, o senso crítico e possibilita maior
autonomia do aluno perante a resolução de problemas.
• Problema do cotidiano, que surge do contexto sócio-cultural em que a criança vivencia
ou se assemelha às situações por ela vivenciadas, esse tipo de problema também
valoriza o processo;
• Problema de Lógica, que geralmente apresenta-se em forma de textos como histórias e
diálogos em que os dados e a solução nem sempre são numéricos;
• Problema recreativo é caracterizado como aquele que envolve jogos do tipo quebra-
cabeças e aspectos históricos curiosos.
Utilizamos os tipos de problemas classificados por Palma (1999) em nossa análise,
com o intuito de verificar os tipos mais presentes no conteúdo de divisão de números naturais
nos livros didáticos selecionados.
A prática de resolução de alguns tipos de problemas dá oportunidade ao aluno de
desenvolver habilidades de reconstrução de propriedades matemáticas, bem como de
comunicar ideias, resultados e experiências. Dessa forma, ele deverá confrontar resultados
fazendo uso de argumentos próprios e de procedimentos de validação. Aceitar erros ou estar
aberto para outras formas de resolução pode contribuir para o aprimoramento da linguagem,
da capacidade de inferir, generalizar, deduzir, argumentar e sintetizar (BRASIL, 2000, p. 44).
Corroboramos Pozo (1998), ao acreditar que a resolução de problemas contribui em
tornar os alunos pessoas capazes de enfrentar situações e contextos variáveis, que exijam
deles a aprendizagem de novos conhecimentos e habilidades. Sendo assim, o autor considera a
resolução de problemas como um dos “veículos mais acessíveis para levar os alunos a
aprender a aprender” (POZO, 1998, p. 9).
Segundo Charnay (1996, p. 42), uma situação problema deve comportar a ideia de
novidade, de algo nunca feito e ainda não compreendido, mas que traz, em sua estrutura, as
condições para investigar, questionar e elaborar novas ideias e novos conhecimentos.
48
Podemos dizer que os conceitos matemáticos são construídos em estreita relação com as
situações que lhes dão sentido. Assim, as situações-problema oferecem um contexto de
significação para os conceitos e, por isso, a solução delas deve ser “fonte, local e critério para
elaboração do saber” (CHARNAY, 1996, p. 46).
Panizza (2006, p. 54) faz uma consideração muito interessante com relação à
resolução de situações-problema:
[...] não se aprende matemática somente resolvendo problemas. É necessário, além disso, um processo de reflexão sobre eles e também sobre os diferentes procedimentos de resolução que possam surgir entre os integrantes da turma. Destaca-se, pois, o papel das interpretações das notações dos alunos, bem como a dos erros cometidos, pois os alunos devem ser incentivados a falar e interagir sobre seus próprios erros e os dos colegas. É importante inserir o erro em um contexto interativo, de análise e compreensão de suas causas, valorizando mais os procedimentos empregados na solução do que a resposta final. A ênfase deve estar no processo utilizado e não na resposta correta.
Consideramos que atividades que envolvem situações-problema, além de estimular o
raciocínio matemático e de instigar as diferentes possibilidades de resolução, aprimora o
aluno quanto aos desafios e persistência perante as dificuldades.
Conforme Palma (2011, p. 176), no contexto escolar, a resolução de problema deve ser
um processo criativo em cujo desenvolvimento o aluno aja com liberdade e seja incentivado a
utilizar seus próprios recursos. Em conformidade com Moreno, citado em Palma (2011,
p.176), “comunicar uma resolução permite tornar explícito o que era implícito e torna possível
o reconhecimento desse conhecimento por parte do sujeito”.
2.2.1.2 Jogo
Tentar definir o jogo não é tarefa fácil, ao pronunciar a palavra jogo cada um pode
entender de uma maneira diferente. Pode-se estar falando de diferentes tipos de jogos, pois há
uma infinidade deles. Segundo Kishimoto (1999, p. 13), embora diferentes jogos recebam a
mesma denominação, cada qual possui suas especificidades.
Segundo Kishimito, foi a partir de Froöebel, que os jogos passam a fazer parte central
da educação, constituindo o ponto mais importante de sua teoria, porém, a importância
relacionada ao fato de a criança aprender se divertindo é muito antiga, desde os gregos e
romanos (KISHIMOTO, 1999).
A vida em sociedade exige que os indivíduos conheçam regras e convenções, bem
como seus domínios de validade. A socialização da criança ocorre por meio da compreensão
49
do funcionamento dessas regras, e dos seus limites, nas relações entre pessoas. Nesse sentido,
os jogos e as brincadeiras são instrumentos que podem favorecer a interação, bem como o
processo de ensino e aprendizagem.
Concordamos com Moura, citado em Kishimoto (1999, p. 80), que:
O jogo na educação matemática, passa a ter o caráter de material de ensino quando considerado promotor de aprendizagem. A criança colocada diante de situações lúdicas apreendem a estrutura lógica da brincadeira e, deste modo, apreende também a estrutura matemática presente [...] o jogo deve estar carregado de conteúdo cultural e assim o seu uso requer um certo planejamento que considere os elementos sociais em que se insere.
Ainda, conforme Moura (1991, p. 81), o jogo aproxima-se da matemática via
desenvolvimento de habilidades de resolução de problemas e mais, permite trabalhar os
conteúdos culturais inerentes ao próprio jogo.
Temos alguns indicadores que nos permitem inferir que estamos começando a sair de
uma visão de jogo como puro material instrucional para incorporá-lo ao ensino, tornando-o
mais lúdico e propiciando o tratamento dos aspectos afetivos que caracterizam o ensino e a
aprendizagem.
Ao considerar uma ampla definição de jogo, é perceptível que este vem sendo usado
no ensino de matemática além do que imaginamos. Moura (1991, p. 81) considera Perelman
um “grande precursor do uso do jogo no ensino de matemática, tomando-o como
possibilidade de explorar um determinado conceito e colocando-o para o aluno de forma
lúdica”.
Consideramos que jogo pelo jogo não favorece o significado do conhecimento que
pode ser adquirido pelo aluno, pois para isso, é imprescindível que um conjunto de ações seja
efetuado com métodos adequados.
Partindo da ideia de que o jogo possibilita diferentes conceitos devido a sua
abrangência com relação aos tipos de jogos, destacamos o jogo pedagógico e, assim,
consideramos importante a posição de Kishimoto, com relação a esse tipo de jogo:
Ao permitir a imaginação do imaginário infantil, por meio de objetos simbólicos dispostos intencionalmente, a função pedagógica subsidia o desenvolvimento integral da criança. Neste sentido, qualquer jogo empregado na escola, desde que respeite a natureza do ato lúdico, apresenta caráter educativo e pode receber também a denominação geral de jogo educativo (KISHIMOTO, 1999, p. 83).
50
Destacamos a importância do jogo em suas diversas possibilidades de aproximar a
criança do conhecimento científico, como, vivenciar situações de solução de problemas
imaginadas que se assemelham com fatos reais. Moura (1999) relaciona que:
O jogo na educação matemática parece justificar-se ao introduzir uma linguagem matemática que pouco a pouco é incorporada aos conceitos matemáticos formais, ao desenvolver a capacidade de lidar com informações e ao criar significados culturais para os conceitos matemáticos e estudo de novos conteúdos. A matemática, dessa forma, deve buscar no jogo (com sentido amplo) a ludicidade das soluções construídas para as situações-problema seriamente vividas pelo homem. (MOURA, 1999, p. 85-86).
Entendemos que os jogos promovem contextos ricos e desafiadores para o aluno
explorar diferentes tipos de situações-problema. Por meio de situações lúdicas, a criança tem a
oportunidade de se apropriar de novos conhecimentos, pois pode levantar hipóteses,
confrontar estratégias, discutir, interagir com os colegas, com as situações e os objetos de
conhecimento, confrontando pontos de vista diferentes e vivenciando situações de
comunicação. O jogo permite ao aluno vivenciar uma experiência cultural e social com
possibilidades criativas e transformadoras que estimulam a descentralização, a apropriação de
regras, a expressão do imaginário e assimilação significativa de sentimentos e conhecimentos.
Percebemos uma consonância com o que consta nos PCN de Matemática com relação
aos jogos:
Por meio de jogos as crianças não apenas vivenciam situações que se repetem, mas aprendem a lidar com símbolos e a pensar por analogia (jogos simbólicos): os significados das coisas passam a ser imaginados por elas. Ao criarem essas analogias, tornam-se produtoras de linguagens, criadoras de convenções, capacitando-se para se submeterem a regras e dar explicações (BRASIL, 2000, p. 48).
Segundo Moura, a perspectiva do jogo na educação matemática significa a
“matemática transmitida de brincadeira”, mas a “brincadeira que evolui até o conteúdo
sistematizado”. Assim, destacamos que uma característica marcante em jogos é a existência
de regras.
Conforme Brasil (2000, p. 49) com o avanço dos estágios dos jogos, as crianças
aprendem a lidar com situações mais complexas, isto é, jogos com regras, e a partir daí,
passam a compreender que as regras podem ser combinações arbitrárias que os jogadores
definem; percebem também que só podem jogar em função da jogada do outro (ou da jogada
51
anterior, se o jogo for individual). Os jogos com regras têm um aspecto importante, pois neles
o fazer e o compreender constituem faces de uma mesma moeda.
Assim como Brenelli (1996, p. 27) consideramos que jogar é estar interessado, não
pode ser uma imposição; é um desejo, isto é, precisa haver um motivo que envolva o aluno a
querer jogar.
Entendemos que o uso de jogos em contextos educacionais, seja individual ou em
grupos, favorece as relações afetivas, as trocas de experiências, além de considerarmos como
um estímulo para o desenvolvimento do raciocínio lógico e social da criança.
2.2.1.3 Calculadora
A introdução de novas tecnologias no Brasil, conforme Cysneiros (2003, apud
SELVA; BORBA, 2010), aponta que foi concebida no início dos anos de 1980, como um
avanço na atividade educativa, sem considerar as especificidades de disciplinas e de
conteúdos.
Dentre tantas tecnologias, muitas delas podem ser exploradas no ambiente educacional
e algumas estabelecem uma relação mais estreita com a matemática. Dos diferentes recursos
tecnológicos existentes, um dos mais utilizados nos anos iniciais do Ensino Fundamental é a
calculadora.
Segundo Cysneiros, há necessidade de explorar os aspectos da tecnologia como
potencializadores de atividades de ensinar e de aprender, e não, simplesmente, utilizar esses
recursos como adereços de técnicas tradicionais de ensino (SELVA; BORBA, 2010, p. 11).
Dessa forma, as autoras consideram que,
[...] novas concepções de ensinar e de aprender têm que ser apreendidas para que o professor possa utilizar a calculadora de modo eficiente em sala de aula. A mera introdução da calculadora, sem reflexão sobre suas possibilidades e seus limites, não é suficiente para essa mídia ser propulsora de desenvolvimento conceitual (SELVA; BORBA, 2010, p. 11).
O incentivo ao uso da calculadora não é algo novo. Os PCN de matemática (BRASIL,
2000) sugerem seu uso em diferentes situações de aprendizagem e destacam a importância de
se lançar desafios às situações propostas. Ainda em conformidade a tal documento, a
utilização das tecnologias traz contribuições ao processo de ensino e aprendizagem de
matemática.
52
Conforme a pesquisa de Abreu e Pais (2008), a calculadora não é mais um item que
deve ser desprezado; ela está presente no dia-a-dia de todos nós e, principalmente, nos livros
didáticos, e estes fazem a sua parte em promovê-la como recurso didático. Então, é possível
conciliar o estudo da matemática por meio de atividades que proporcionam aos nossos alunos
uma reflexão prévia sobre uma determinada atividade. Um exemplo é utilizá-la nas operações
básicas, que inclui a divisão, podendo explorar as diferentes possibilidades de resoluções e
registros.
Um dos objetivos da Matemática relacionado à calculadora é refletir sobre a grandeza
numérica utilizando-a como instrumento para produzir e analisar escritas (BRASIL, 2000, p.
65). Além disso, a calculadora pode ser instrumento de “realização de tarefas exploratórias e
de investigações conceituais, na verificação de resultados e na correção de erros, podendo ser
também, um valioso instrumento de autoavaliação” (SELVA; BORBA, 2010, p. 13).
Algumas recomendações quanto ao uso de calculadora para o 1º e 2º ciclos do Ensino
Fundamental, tal como verificar resultados, trabalhar com o registro numérico e também da
literatura que envolve essa temática (BRASIL, 2000), são propostas nos PCN de Matemática.
Selva e Borba (2010) apontam que a maneira mais frequente como os livros didáticos
destinados aos alunos dos anos iniciais do ensino Fundamental abordam o uso da calculadora,
é em atividades que solicitam a exploração do teclado, a automatização de operações e a
confirmação de resultados obtidos.
Outro indicativo que favorece o uso da calculadora pelos diferentes níveis
socioeconômicos, é o custo e a acessibilidade em adquiri-la. As autoras Selva e Borba
apontam uma questão desfavorável quanto ao uso da calculadora, que é o seu uso “precoce”,
isto é, de crianças novas, que ainda não aprenderam a realizar as operações aritméticas, pois,
podem deixar de aprender a realizar as contas básicas – com números naturais e números
racionais – envolvidas em problemas matemáticos (SELVA; BORBA, 2010, p. 10). As
autoras ressaltam que:
[...] a calculadora não opera por si mesma e que os alunos precisam decidir o que realizarão com o auxílio desse recurso e, assim, essa ferramenta não restringe a autonomia dos alunos em decidirem quais os procedimentos que adotarão para a resolução de determinados problemas. Deve-se ter cuidado, entretanto, em possibilitar que os alunos explorem conceitos com o uso da calculadora, não permitindo que a utilização dela se torne um empecilho para o aprendizado matemático. Dessa forma, a atividade realizada com a calculadora é determinante em possibilitar, ou não, o desenvolvimento matemático dos alunos (SELVA; BORBA, 2010, p. 11).
53
Ainda, consideramos muito importante a ressalva que as autoras Selva e Borba fazem
quanto ao uso da calculadora, que esta, nem sempre possibilita explorações conceituais,
porém, o desenvolvimento de atividades bem planejadas com objetivos claros e metodologia
adequada é possível relacionar e aprimorar conceitos com o uso da calculadora.
Sabemos que, assim como outros materiais e recursos didáticos, a calculadora se bem
utilizada, pode ser um elemento facilitador com relação à compreensão de alunos quanto ao
sistema de numeração decimal, às quatro operações etc.
2.3 TEORIA ANTROPOLÓGICA DO DIDÁTICO (TAD)
Como nossa investigação se refere a análise de livros didáticos, escolhemos utilizar a
Teoria Antropológica do Didático - TAD9 como referencial, pelo fato de esta possuir
fundamentos para analisarmos os elementos que compõem uma organização praxeológica.
Segundo Chevallard, a TAD estuda o homem perante o saber matemático, e para ser
mais preciso, perante situações matemáticas. Essa teoria nasceu no campo da matemática,
com a intenção de elaborar um dispositivo capaz de analisar os materiais docentes, entre eles,
consideramos também o livro didático.
Três elementos são enfatizados na TAD, são eles: instituições (I), pessoa (X) e as
posições que as pessoas ocupam nas instituições. A palavra instituição, nesta teoria, tem um
significado mais amplo que o uso corrente. Ela pode ser: uma escola, uma sala de aula, um
livro, além da instituição “trabalho”, da instituição “curso” e a instituição “família”
(CHEVALLARD, 1992).
Na visão de Chevallard (1999), citado em Almoloud (2000) o que determina a
existência de uma instituição é a posição que as pessoas ocupam, tornando-se sujeitos ativos
das instituições. O conhecimento – o saber (O) entra em jogo com a noção de relação entre os
principais elementos (instituição, objeto do saber e pessoa) da teoria.
O objeto de estudo que permite caracterizar a didática da matemática como ciência não
está concentrada no estudo do aluno, nem do professor, e sim, no saber matemático que eles
pretendem trabalhar em conjunto, isto é, a partir de uma análise detalhada deste saber, é
possível estabelecer um projeto comum de atividades a realizar.
O didático se identifica com tudo aquilo que está relacionado com o estudo e com a
ajuda para o estudo da matemática, identificando-se, então os fenômenos didáticos com os
9 A TAD foi inserida por Guy Brousseau nos finais dos anos 1970 dentro de um programa denominado Programa Epistemológico e desenvolvida por Chevallard desde 1990.
54
fenômenos que surgem de qualquer processo de estudo da matemática, independentemente de
que tal processo esteja voltado para a utilização da matemática, para aprendê-la, ensiná-la ou
para a criação de uma nova matemática. Portanto, a didática da matemática é definida como a
ciência do estudo da matemática (2007, p. 46).
No conceito teórico da TAD, Chevallard (1999) define como organização didática as
situações presentes no decorrer do trabalho didático realizado em torno de uma dada
organização matemática, já a organização matemática considera como é direcionado o
conteúdo com relação ao enfoque matemático.
2.3.1 Objetos ostensivos e não-ostensivos
Conforme Bosch e Chevallard, citados em Almouloud (1999, p. 119), o problema da
“natureza” dos objetos matemáticos e o de seu funcionamento na atividade matemática
conduziram os autores a estabelecer uma dicotomia fundamental entre esses objetos,
dividindo-os em dois tipos: ostensivos e não ostensivos. Consideramos o conceito de
objetos ostensivos e não ostensivos relevante para nossa pesquisa, pois, identificamos os
objetos ostensivos nos exercícios analisados.
Almouloud (1999) informa que estes autores buscaram a origem do termo ostensivo.
Este termo advém do latim ostendere, que significa “mostrar, apresentar com insistência,
fortemente presente” como todo objeto que tendo uma natureza sensível e certa materialidade,
tem para o sujeito, uma realidade perceptível. Pode-se dizer, dessa forma, que os ostensivos
são os objetos manipuláveis na realização da atividade matemática (ALMOULOUD, 1999, p.
119).
Já os objetos não-ostensivos, se configuram em todos os “objetos” que, como as
ideias, as instituições ou os conceitos, existem institucionalmente sem que, no entanto, eles
sejam percebidos pelos órgãos dos sentidos por conta própria. Assim, consideramos que o
objeto não-ostensivo está relacionado com a concepção do indivíduo, suas crenças, seus
conceitos. Esses objetos só podem ser evocados ou invocados pela manipulação adequada de
certos objetos ostensivos que lhes são associados, tais como uma palavra, uma frase, um
gráfico, uma escrita, uma figura (BOSH, 1999).
Corroboramos a afirmação de Silva (2011, p. 30) com relação à dialética que existe
entre os objetos ostensivos e os não-ostensivos, uma vez que envolve todos os objetos que
existem institucionalmente. Por exemplo, o conceito, as ideias de divisão são objetos não-
ostensivos, enquanto que o algoritmo, ou seja, a representação de um processo de divisão é
55
considerado um objeto ostensivo. Sabemos que para o entendimento dos objetos não-
ostensivos podem ser utilizados os ostensivos. Uma vez que os objetos ostensivos podem ser
manipulados e/ou materializados, portanto, contribuem para a materialização das ideias ou
conceitos que são considerados objetos não-ostensivos.
Em qualquer atividade humana, mais especificamente em toda atividade matemática,
existe a coativação de objetos ostensivos e de objetos não-ostensivos. Na abordagem
antropológica, podemos dizer que o cumprimento de toda tarefa envolve necessariamente a
manipulação de ostensivos regulados pelos não-ostensivos, fazendo com que os objetos
ostensivos tornem-se a parte perceptível da atividade (ALMOULOUD, 1999, p. 120)
A partir desse entendimento, consideramos a imagem como objeto ostensivo.
2.3.1.1 Objeto ostensivo imagem
Como o livro didático é um recurso destinado a população educacional e que neste
material, há uma diversidade de tipos e quantidades de imagens, especialmente se tratando em
educação dos anos iniciais do Ensino Fundamental, decidimos agregar ao nosso estudo do
conteúdo de divisão, as imagens utilizadas para desenvolver tal conteúdo em livros didáticos.
As imagens presentes no contexto educacional, assim como em livros didáticos, estão
carregadas de significados e intenções, ou pelo menos deveriam. Percebemos a importância
dada à imagem contida em livros didáticos ao observar que um dos critérios de avaliação do
Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) proposto pelo MEC (BRASIL, 2010)
relaciona-se a essa temática e fazem parte dos critérios eliminatórios comuns a todas as áreas
de conhecimento propostas nos Parâmetros Curriculares Nacionais.
O critério com relação à estrutura editorial e aspectos gráfico-editoriais apresentam
algumas especificidades a serem contempladas nos livros didáticos, entre as quais
destacamos:
O projeto gráfico deve integrar adequadamente o texto principal, ilustrações, textos complementares e as várias intervenções gráficas que conduzem o leitor para dentro e para fora do texto principal visando a compreensão, aplicação e à avaliação da aprendizagem; As ilustrações devem explorar ao máximo as várias funções que as imagens podem exercer no processo educativo, e não somente o papel estético ou reforçador do texto principal; As ilustrações devem reproduzir adequadamente a diversidade étnica da população brasileira e a pluralidade social e cultural do país, não expressando, induzindo ou reforçando preconceitos e estereótipos; As ilustrações devem ser adequadas à finalidade para as quais foram elaboradas e apresentar clareza e precisão contemplando os objetivos, devem ser de fácil compreensão, porém, não deixar de intrigar, problematizar, despertar a curiosidade, motivar, facilitar e até substituir a verbalização, comprovar, explicar, informar e contribuir para o equilíbrio estético da página (BRASIL, 2010).
56
Ressaltamos que o livro didático passa por uma nova avaliação antes de chegar às
escolas, o que geralmente ocorre a cada três anos. Contudo, consideramos importante uma
atenção especial para esse tipo de material, assim como o conteúdo, considerando também as
imagens que estão presentes em grande parte das páginas dos livros didáticos destinados ao
Ensino Fundamental.
A imagem no livro, segundo Ramos e Panozzo (2004), tem como função produzir
sentidos. Segundo as autoras, o papel da ilustração no livro didático, pode orientar o leitor na
compreensão de um texto. Portanto, como meio de identificar os tipos de imagens presentes
no conteúdo de divisão em livros didáticos de matemática dos anos iniciais do Ensino
Fundamental, pesquisamos alguns trabalhos e categorias de imagens. Assim, para a análise e
embasamento teórico das imagens nos respaldamos em Tonelli e Camargo (2009).
Dessa maneira, a classificação das imagens foi embasada nas seguintes categorias: as
Estéticas, que apresentam função decorativa (ornamentar) a atividade ou página do livro; as
Funcionais, isto é, quando a imagem faz parte da atividade; e, por fim, a Suporte, que tem a
intenção de esclarecer elementos presentes na atividade que está sendo desenvolvida
(TONELLI; CAMARGO, 2009).
Na ficha de avaliação do Programa Nacional do Livro Didático de 2010, um dos itens
que fazem parte dos aspectos teóricos-metodológicos é a presença de imagens adequadas de
acordo com os critérios de avaliação. Em nossa pesquisa nos referimos ao objeto ostensivo
imagem, no que se refere a imagens presentes no conteúdo de divisão dos livros didáticos
selecionados.
2.4 Uma ótica da praxeologia
Nossa pesquisa apresenta uma análise do conteúdo de divisão em livros didáticos de
matemática, embasada em alguns elementos teóricos presentes na TAD, são eles: as noções de
organizações praxeológicas, e os objetos ostensivos. Diferentes pesquisas, como as de
Nogueira (2008), Abreu (2009), Silva (2010) têm sido feitas sob a ótica da organização
praxeológica proposta por Yves Chevallard (1999).
A palavra praxeologia origina-se de práxis, isto é, prática, e logos – teoria. A
praxeologia é dividida em dois blocos: o primeiro, relacionado à práxis faz parte do bloco
57
saber fazer (técnico prático) que é composto pelo tipo de tarefa (T) e pela técnica (τ); o
segundo refere-se à logos cujo bloco é saber (tecnológico/teórico) composto pela tecnologia
(θ) e pela teoria (Θ). Segundo Chevallard, a Organização Praxeológica, é a junção desses dois
blocos.
Não há práxis sem logos, mas também não há logos sem práxis. Ao unir as duas faces da atividade matemática, obtemos a noção de praxeologia: para responder a um determinado tipo de questão é necessário elaborar uma praxeologia matemática constituída por um tipo de tarefa determinado por uma ou várias técnicas, sua tecnologia e a teoria correspondente (CHEVALLARD; BOSCH; GASCÓN, 2001, p. 275).
O autor “situa a atividade de estudo em matemática, em todas as atividades humanas e
as instituições sociais”, e ainda, propõe um postulado básico para essa teoria, admitindo que
toda atividade humana pode ser submetida a uma praxeologia (CHEVALLARD, 1999, p.
223). Ou seja, ao procurar compreender o que é um objeto, é preciso buscar que tipos de
tarefas e técnicas compõem as praxeologias institucionais em que ele intervém e que
tecnologias e teorias permitem justificar as práticas existentes por meio de um discurso sobre
este objeto. Chevallard, Bosch e Gascón (2001) ressaltam que:
Na atividade matemática, como em qualquer outra atividade, existem duas partes, que não podem viver uma sem a outra. De um lado estão as tarefas e as técnicas e, de outro, as tecnologias e teorias. A primeira parte é o que podemos chamar de “prática”, ou em grego, a práxis. A segunda é composta por elementos que permitem justificar e entender o que é feito, é o âmbito do discurso fundamentado – implícito ou explícito – sobre a prática, que os gregos chamam de logos (CHEVALLARD; BOSCH; GASCÓN, 2001, p. 251).
Ainda, conforme os autores, a “Organização Praxeológica” é formada por um conjunto
de técnicas, de tecnologias e de teorias organizadas para um tipo de tarefa. Assim, ao
identificar a tarefa, a técnica, a tecnologia e a teoria relativa a alguma situação, organiza-se o
estudo de um conceito ou tema. Como já vimos, os tipos de tarefas e suas técnicas fazem
parte do bloco saber fazer e a tecnologia e a teoria compõem o bloco saber.
Descrevemos, a seguir, a praxeologia ou organização praxeológica, assim denominada
por Chevallard, simbolizada pela notação [T,τ , θ, Θ].
As ideias de tarefa (t) e de tipos de tarefas (T) estão presentes na noção de
praxeologia. Quando uma tarefa (t) faz parte de um tipo de tarefa (T), consideramos que t∈T.
Uma tarefa ou um tipo de tarefa se exprime por meio de um verbo expressando uma ação,
como por exemplo: distribuir igualmente 15 balas entre 3 crianças; percebemos que o tipo de
tarefa supõe um objetivo preciso, ao contrário se considerarmos apenas o verbo “distribuir”
58
por exemplo, pois, somente o verbo não explicita o que é para distribuir. Quando o verbo
apresenta-se sozinho como: “dividir” ou “distribuir” ou “quantificar”, entre outros, são
considerados gêneros de tarefas. As tarefas, tipos de tarefas, gêneros de tarefas são
“elementos” reconstruídos em cada situação específica, dependendo da instituição na qual são
reconstruídos, não são simplesmente criados pela natureza.
Uma praxeologia relativa a um tipo de tarefa requer inicialmente, uma maneira de
realizar as tarefas, denominada por Chevallard (1999) de técnica (τ) (do grego tekhnê, saber-
fazer), ou seja, uma praxeologia relativa a um tipo de tarefa contém no mínimo uma técnica.
A técnica (τ) é uma maneira de fazer ou realizar as tarefas. Segundo Chevallard
(1998), uma praxeologia relativa a um tipo de tarefa necessita, em princípio, de uma técnica.
No entanto, ele afirma que uma determinada técnica pode não ser suficiente para realizar as
tarefas. Ela pode funcionar somente para uma parte das tarefas, significando que em uma
praxeologia pode existir uma técnica superior a outras técnicas, ao menos no que se reporta à
realização de certo número de tarefas (CHEVALLARD, 1998, apud ARAUJO, 2009).
A tecnologia (θ) é definida inicialmente como um discurso racional sobre uma técnica,
cujo primeiro objetivo consiste em justificá-la racionalmente, isto é, em assegurar que a
técnica permite que se cumpra bem a tarefa do tipo (T). Em Matemática, tradicionalmente, a
justificação de uma técnica é realizada por meio de demonstração. O segundo objetivo da
tecnologia consiste em explicar, tornar inteligível e esclarecer uma técnica, isto é, em expor
por que ela funciona bem. Além disso, a tecnologia tem a função de reproduzir novas
técnicas, mais eficientes e adaptadas à realização de uma determinada tarefa (CHEVALARD,
1998 apud ARAUJO, 2009).
A teoria (Θ) tem como objetivos justificar e esclarecer a tecnologia, bem como tornar
inteligível o discurso tecnológico. Passa-se então a um nível superior de justificação,
retomando, com relação à tecnologia, o papel que esta tem em relação à técnica. O autor
adverte, no entanto, que geralmente essa capacidade de justificar e de explicar a teoria é quase
sempre obscurecida pela forma abstrata como os enunciados teóricos são apresentados
frequentemente (CHEVALLARD, 1998, apud ARAUJO, 2009).
Na concepção de Chevallard (1999) o discurso, ou seja, a tecnologia é composta por
proposições, definições, teoremas etc. Muitas vezes podemos pedir explicação da tecnologia.
Passamos assim, a um nível superior de justificação–explicação–produção, estamos no nível
da teoria Θ. Esta retoma o papel da tecnologia com relação à técnica. Assim, a teoria é o
discurso suficientemente amplo que serve para interpretar e justificar a tecnologia.
59
A teoria é a tecnologia de sua tecnologia. De alguma maneira, é o fundamento último
da atividade que vai além do que parece óbvio e natural, sem necessidade de nenhuma
justificativa (CHEVALLARD, 1999).
Bosch e Chevallard (1999, p. 84) destacam que o que distingue a atividade matemática
das outras atividades humanas é que, diante de uma tarefa, é preciso saber como resolvê-la. O
“como resolver a tarefa” é o motor gerador de uma praxeologia: é preciso ter (ou construir)
uma técnica que deve ser justificada por uma tecnologia, a qual, por sua vez, precisa ser
justificada por uma teoria. A palavra técnica será utilizada como processo estruturado e
metódico, às vezes até algorítmico, que é um caso muito particular da técnica.
As praxeologias, ou organizações praxeológicas, para Chevallard (1999), associadas a
um saber matemático são de duas espécies: matemáticas e didáticas.
Chevallard (1999, p. 232) considera que dado um tema de estudo, deve-se considerar a
realidade matemática que pode ser construída, esta, denominada de praxeologia matemática
ou organização matemática e outra maneira pela qual essa realidade pode ser estudada, que
será denominada de organização didática, não necessariamente nesta ordem.
As Praxeologias Didáticas ou Organizações Didáticas são as respostas (a rigor) a questões
do tipo como realizar o estudo de determinado assunto. Refere-se ao modo que possibilita a
realização do estudo de um determinado tema, o conjunto de tarefas, de técnicas, de tecnologias,
entre outras, mobilizadas para o estudo de um tema.
Chevallard (1999) enfatiza que qualquer prática institucional pode ser traduzida em
forma de tarefa, na qual a realização decorre a partir de uma técnica que é justificada por uma
tecnologia, que por sua vez é defendida por uma teoria ou discurso tecnológico-teórico.
Nesta pesquisa, a análise da abordagem do conteúdo de divisão foi embasada na TAD
(CHEVALLARD, 1999) mais especificamente nas organizações didáticas, nas organizações
matemáticas nas quais identificamos os tipos de tarefas e as técnicas, bem como os objetos
ostensivos e os elementos de abordagem, com o olhar para duas coleções de livros didáticos
de Matemática destinadas ao Ensino Fundamental dos anos iniciais.
60
3 PERCURSO METODOLÓGICO
Neste capítulo discorremos sobre o percurso pelo qual se desenvolveu a nossa
investigação, a natureza da pesquisa, a escolha e as características das coleções dos livros
didáticos, bem como os critérios para análise do conteúdo de divisão presentes nos livros
selecionados.
3.1 A PESQUISA
Em nosso estudo optamos por uma abordagem metodológica qualitativa de análise
interpretativa por entendermos ser a opção mais coerente à nossa temática. Tal escolha baseia-
se no fato de concebermos que esta nos possibilita uma melhor e maior aproximação com a
problemática “como o conteúdo de divisão de números naturais é abordado em livros
didáticos de matemática dos anos iniciais do Ensino Fundamental?”.
Quanto a essa etapa de desenvolvimento de nossa pesquisa, Bogdan e Biklen (1999)
consideram que na pesquisa qualitativa ocorre a valorização do processo, não somente a
valorização do produto, além de ser uma pesquisa que favorece uma compreensão delineada
dos dados obtidos.
Todavia, estamos cientes de que nosso trabalho como investigadores estabelece
esforço pessoal e intelectual principalmente pelas peculiaridades que naturalmente surgem em
pesquisas científicas cuja abordagem é qualitativa. Nos consideramos sabedores de que a
compreensão ou interpretação de um problema social, na área da Educação, estará sempre
impregnada de subjetividade, pois tanto o problema de pesquisa quanto os dados e o trabalho
do pesquisador mostram-se entrelaçados.
Nesse contexto, Bogdan e Biklen (1994), afirmam que o objetivo fundamental do
pesquisador qualitativo é “construir conhecimento e não o de dar opiniões sobre determinado
contexto [...]” (BOGDAN; BIKLEN, 1994, p. 67 e 68).
Com respaldo em algumas leituras que emergiram da revisão de literatura referente à
nossa temática, construímos os capítulos teóricos de nossa pesquisa. Destacamos, em nosso
estudo, os significados da divisão (BRASIL, 2000), a TAD (CHEVALLARD, 1999) cuja
teoria destacamos o objeto ostensivo imagem, a organização didática que envolve os
elementos de abordagem resolução de problema, jogo, e calculadora; a organização
matemática com ênfase nos tipos de tarefa e nas técnicas.
61
Consideramos que a necessidade em pesquisar sobre o conteúdo de divisão em livros
didáticos de matemática é de relevante importância pelo fato de ser um conteúdo apontado
como difícil, por alunos e professores e por este conteúdo estar presente em todos os livros
destinados à Educação dos anos Inicias do Ensino Fundamental.
Com base nos Livros Didáticos de Matemática aprovados pelo PNLD (2009),
selecionamos duas coleções de livros destinadas aos anos iniciais do Ensino Fundamental.
Cada uma dessas coleções é contemplada com cinco livros do 1º ao 5º ano dos anos iniciais.
Conforme já relatamos anteriormente, os livros do 1º ano de cada coleção não contemplam os
critérios estipulados, ou seja, o conteúdo de divisão não está presente nos exemplos propostos
pelos autores, o que vem ao encontro com o que preceituam os documentos oficiais.
Utilizamos algumas palavras chaves como: dividir, repartir igualmente, divisão como
critério de seleção do conteúdo de divisão presente nesses livros. Após a seleção do conteúdo,
procedemos para a avaliação do mesmo.
Em consonância com o objeto de nossa investigação, que se refere ao conteúdo de
divisão em livros didáticos de matemática, organizamos a análise por coleção10, com o
objetivo de evidenciar as abordagens específicas de cada qual.
3.2 A ESCOLHA DAS COLEÇÕES
Desde 1997 os professores e a equipe pedagógica das escolas públicas têm autonomia
para fazer a escolha dos livros didáticos aprovados pelo PNLD. Nesse sentido corroboramos a
ideia de Oliveira (1986, p. 51) ao considerar que “a escolha pessoal permite a integração do
professor com seu constante material de trabalho”, visto que o livro didático acompanha
alunos e professores durante todo o ano letivo.
Discussões realizadas em nosso grupo de orientação nos levaram a questionar: Quais
são os livros didáticos de matemática mais utilizados nas escolas públicas de Cuiabá?
O levantamento das coleções mais escolhidas pelas escolas públicas de Cuiabá-MT,
no ano de 2010, foi com base no site do Fundo Nacional de Desenvolvimento e Educação
(FNDE) e no Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), no qual identificamos sessenta e
10 Utilizamos Coleção A para os livros que fazem parte da coleção Aprendendo Sempre da editora Ática e Coleção B para os livros que fazem parte da coleção Hoje é dia da editora Positivo, ambas as coleções de Matemática.
62
nove escolas estaduais11 e noventa e seis escolas municipais de Cuiabá em 2010, referentes
aos anos iniciais do Ensino Fundamental.
Esse levantamento apontou que das dezoito coleções destinadas à Alfabetização (1º e
2º anos) e dezenove destinadas aos três anos subsequentes (3º ao 5º ano) do Ensino
Fundamental, aprovadas pelo MEC, nem todas constam como opções das escolas. Entre as
coleções, destacamos as duas mais escolhidas pelos professores de escolas públicas de
Cuiabá-MT para a apresentação das sínteses avaliativas realizadas pelo MEC, disponíveis no
Guia do Livro Didático. Lembramos que a mesma coleção está dividida em Alfabetização
Matemática (1º e 2º ano) e em Matemática (3º ao 5º ano), porém, consideramos que cada uma
das coleções abrangem os livros do 1º ao 5º ano do Ensino Fundamental. Com esses dados,
comparamos a análise de ambas as coleções e as interpretamos.
De acordo com FNDE o Guia do Livro Didático compõe as resenhas dos livros
didáticos indicados pelo MEC para subsidiar o trabalho do professor. O livro didático deve
atender a uma série de critérios, sem os quais não será aprovado pela equipe designada pelo
MEC.
Sabe-se que o livro didático é uma das ferramentas que auxiliam o professor no
processo de ensino e aprendizagem. Segundo os pesquisadores Gérard & Roegiers (1998)
citado pelo FNDE (http://www.fnde.gov.br/index.php/pnld-guia-do-livro-didatico, 2010), no
que diz respeito ao professor, o livro didático desempenha as importantes funções de auxiliar
no planejamento anual do ensino da área; auxiliar no planejamento e na gestão das aulas;
favorecer a aquisição dos conhecimentos, assumindo o papel de texto de referência; favorecer
a formação didático-pedagógica; entre outros. Por outro lado, há também a necessidade de
vincular a matemática na vida da criança, como mencionam Nunes e Bryant, citado em Lopes
(2005, p. 18):
[...] a matemática é uma matéria escolar, porém no que tange às crianças é também uma parte importante das suas vidas cotidianas: sem matemática elas ficarão desconfortáveis não apenas na escola, mas em uma grande parte de suas atividades cotidianas: quando partilham bens com seus amigos, planejam gastar suas mesadas, discutem sobre velocidade e distâncias, viajam e têm que lidar com o mundo do dinheiro, de compras e vendas, hipotecas e apólices de seguro, precisam de habilidades matemáticas.
Considerando que os livros didáticos estão presentes nas escolas e que a cada três anos
os professores têm autonomia para analisar e escolher os livros que fazem parte do Guia
11 Consideramos as escolas estaduais pelo fato de o estado também atender os anos iniciais do Ensino Fundamental.
63
fizemos um levantamento e destacamos as duas coleções dos livros didáticos de Matemática
do 1º ao 5º ano, mais utilizadas, nas 165 escolas públicas, sendo 96 municipais e 69 estaduais,
de Cuiabá no ano de 2010.
Tabela 1 - As duas coleções de Livros Didáticos de Matemática mais escolhidas pelas escolas públicas de Cuiabá-MT
Fonte: As autoras
Constatamos que as duas coleções de matemática mais escolhidas nas escolas públicas
de Cuiabá, em 2010, são: Aprendendo Sempre (Luis Roberto Dante – Editora Ática) e Hoje é
dia de Matemática (Edilaine do Pilar F. Peracchi, Cláudia M. T. Siedel e Carla Cristina
Tosatto – Editora Positivo).
As sínteses avaliativas que são apresentadas a seguir foram retiradas do Guia do Livro
Didático 2010 (http://www.fnde.gov.br/index.php/pnld-guia-do-livro-didatico):
Quanto aos livros do 1º e 2º anos – Aprendendo Sempre – Alfabetização Matemática:
Os conteúdos da obra são abordados a partir de situações do cotidiano e de uma grande quantidade de atividades diversificadas. Muitas destas, porém, são dirigidas passo a passo e possuem enunciados longos, o que pode dificultar o acompanhamento de sua leitura por crianças ainda não alfabetizadas. Outras são atividades bastante complexas e relacionadas a conteúdos ainda não explorados, pressupondo-se a aquisição prévia de conhecimentos pelos alunos em contextos sociais extra-escolares. A coleção valoriza as ideias das operações, que são exploradas, inicialmente, por meio da contagem. A construção do sistema de numeração decimal também é bem feita, porém, há uma preocupação excessiva com a sistematização, desde o 1º ano. É dada pouca importância ao tratamento da informação, que está praticamente ausente do livro do 2º ano ( BRASIL, 2010, p. 42).
Para os livros do 3º ao 5º ano,- Aprendendo Sempre – Matemática, temos a seguinte
síntese:
Os conteúdos são desenvolvidos com base em exemplos e explanações. Estas últimas são acompanhadas de atividades nas quais se conduz o aluno a responder questões ou a realizar procedimentos.
COLEÇÕES N º DE ESCOLAS QUE OPTARAM PELA COLEÇÃO
APRENDENDO SEMPRE
67 ALFABETIZAÇÃO
MATEMÁTICA (1º E 2º ANOS)
HOJE É DIA 23
APRENDENDO SEMPRE
89 MATEMÁTICA (3º AO 5º ANO) HOJE É DIA 40
64
A sistematização dos conteúdos é feita, em geral, de forma apropriada, mas há casos em que ela é precoce ou traz excesso de simbologia, o que pode limitar a autonomia e a criatividade do aluno. Por outro lado, em várias situações, o aluno é solicitado a refletir, verificar processos e resultados e a interagir com os colegas e com o professor, o que pode favorecer sua participação ativa na construção do conhecimento. Os conteúdos de cada campo de conteúdo são abordados adequadamente, sendo retomados em diferentes volumes ou em distintos momentos num mesmo volume. É dada atenção excessiva ao campo de números e operações, particularmente no volume do 3º ano (BRASIL, 2010, p. 145).
Sobre os livros da coleção Hoje é dia de Matemática (1º e 2º anos) o Guia faz as
seguintes considerações na síntese avaliativa:
A metodologia da obra favorece a construção do conhecimento de forma significativa. O trabalho com jogos é um destaque nos livros. Feito de forma integrada com as ideias matemáticas, ele incentiva a experimentação, a descoberta, a construção de conceitos e torna a aprendizagem mais agradável à criança. Há uma valorização de materiais concretos, especialmente os de fácil acesso, como barbantes e garrafas plásticas. Além disso, são utilizados quadrinhos, cantigas e parlendas que aproximam a coleção do mundo infantil. No livro do 1º ano, todos os textos estão em letra maiúscula e são acompanhados por ilustrações apropriadas. Embora a abordagem dos conteúdos seja adequada, os dois volumes são muito extensos, sendo que o livro do 2º ano tende a repetir o que é trabalhado no livro do 1º ano (BRASIL, 2010, p. 63).
E na síntese dos livros do 3º ao 5º ano consta o seguinte:
A metodologia da obra favorece a construção do conhecimento de forma significativa. Bem distribuídos nas unidades, encontram-se jogos interessantes. Há vários exercícios desafiadores ao longo de toda a coleção, particularmente nos capítulos específicos para resolução de problemas. Em diferentes temas, ao longo das unidades, alguns conceitos, como velocidade, densidade populacional e número negativo são antecipados de forma intuitiva. Isso é feito de forma bem contextualizada e compreensível, o que auxilia o aluno a se preparar para estudos futuros. Há valorização dos materiais concretos, especialmente os de fácil acesso, como barbantes e garrafas plásticas. Também são utilizados histórias em quadrinhos, esquemas, balões e imagens de obras de arte (BRASIL, 2010, p.181).
A coleção Aprendendo Sempre foi a mais escolhida pelas escolas públicas de Cuiabá.
A síntese avaliativa apresentada no Guia aponta que esta coleção possui enunciados longos,
atividades muito complexas para os alunos dos primeiros anos, ênfase excessiva na
sistematização e símbolos, atenção excessiva ao campo de números e operações e ainda, a
parte de tratamento de operação praticamente não é abordada. Contudo, destaca que
quantidade de atividades diversificadas, a valorização das ideias das operações, construção do
sistema de numeração decimal e os conteúdos são abordados adequadamente e retomados no
decorrer das atividades, são alguns aspectos positivos apresentados na coleção.
Já nos livros da coleção Hoje é dia de Matemática, percebemos melhores resultados
apresentados na síntese avaliativa. Observamos que são apontadas algumas questões
65
desfavoráveis apenas na alfabetização, sendo mais a extensão dos volumes do 1º e 2º anos e a
repetição de conteúdos do 1º para o 2º ano. A coleção apresenta metodologia que favorece a
construção significativa do conhecimento, incentiva a experimentação, valoriza a utilização
de materiais concretos de fácil acesso. Mesmo que a análise do Guia tenha apresentado pontos
mais favoráveis para os livros desta coleção, a quantidade de escolas que adotou esse material
foi inferior ao livro citado anteriormente.
Neste sentido, resolvemos ler a síntese de todos os outros livros que são indicados
para a escolha e constatamos que entre os 18 livros (1º e 2º anos) e 19 livros (3º ao 5º ano)
indicados pelo MEC para a escolha não existe o livro ideal. Todos eles, alguns mais criticados
que outros, possuem pontos positivos e negativos.
Há vários aspectos positivos, que no geral superam os negativos, caso contrário o
material não seria aprovado. Entre os fatores mais criticados negativamente, estão a má
distribuição dos conteúdos, a ausência do tratamento de informação e o exagero de
informação visual.
Interpretamos que as duas coleções de livros didáticos de Matemática mais escolhidas
pelas escolas públicas de Cuiabá, foram as que mais apresentaram fatores positivos quanto à
análise crítica do Guia. Concluímos, neste momento que, conforme Oliveira (1986, p. 120),
“não é simples o critério de escolha do melhor livro: o melhor para o país, para aquela região,
para aquele grupo de alunos”, pois há de se considerar as especificidades locais de cada
região, de cada indivíduo e, em especial, de cada professor.
O livro didático é uma forte ferramenta utilizada por professores em sala de aula e sua
participação é atuante no cenário da educação brasileira. Ressaltamos que o livro didático, em
muitas circunstâncias, é utilizado como única referência, tanto teórica quanto metodológica e
merece um olhar atencioso e minucioso quanto aos diferentes aspectos que este material pode
contribuir para o processo de ensino e aprendizagem.
3.2. 1 Caracterização das coleções
Embora o Guia do Livro Didático divida as coleções em Alfabetização Matemática e
Matemática, entendemos como coleção os livros que contemplam do 1º ao 5º ano do Ensino
Fundamental. Mesmo porque, em ambas as coleções, suas características apresentam-se
iguais no manual do professor do 1º ao 5º volume. Portanto, consideramos duas coleções:
Aprendendo Sempre e Hoje é Dia, ambas destinadas à Matemática.
66
3.2.1.1 Aprendendo Sempre - Coleção A
A coleção Aprendendo Sempre foi escrita por um único autor, Luiz Roberto Dante12 e
publicada pela editora Ática. A editora colaborou prontamente com o fornecimento do
material para esta pesquisa.
Esta coleção apresenta uma proposta pedagógica para os cinco primeiros anos do
Ensino Fundamental. No manual do professor consta que a coleção enfatiza os quatro blocos
temáticos: números e operações, espaço e forma, grandezas e medidas e tratamento da
informação, propostos nos Parâmetros Curriculares de Matemática.
A coleção é separada por seções como: o mundo da matemática, eu e a matemática,
abertura de capítulo, seis ícones (Desafio, Só pra conversar, Você sabia que?, Vamos ler?
Você vai gostar! e Brincando também se aprende), além de uma revisão de cada capítulo
denominada “Vamos ver de novo?” “ Você terminou o livro” (esse tópico é um espaço para o
aluno expressar o que estudou em Matemática), Glossário, Projeto (está indicado ao final de
cada capítulo no livro do professor) e Bibliografia. O Livro Didático do 1º ano é composto
por oito capítulos, o do 2º ano por dez capítulos, o do 3º ano por onze, o do 4º ano contempla
quinze e o do 5º ano contém treze capítulos que abrangem os conteúdos dos blocos temáticos.
Em cada capítulo apresentam-se os subcapítulos.
No manual do professor constam as orientações metodológicas, características da
coleção e no mesmo, consta que a coleção prioriza o ensino em espiral. Além disso, apresenta
uma revisão de conteúdos ao final dos capítulos, como também ao final de cada volume dos
livros. Ainda, segundo o autor (DANTE, 2009, p. 6), os conceitos matemáticos a serem
trabalhados na coleção Aprendendo Sempre, partem geralmente de situações-problema, além
do uso da tecnologia da informação, como a calculadora por exemplo.
Conforme o autor (DANTE, 2009) as atividades desta coleção procuram fazer com
que a aprendizagem seja vivenciada como uma experiência progressiva, interessante e
formativa, apoiada na ação, na descoberta, na reflexão e na comunicação, como preceituam os
Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática.
No manual do professor consta que a coleção enfatiza a formulação e resolução de
problemas, a geometria experimental, as grandezas e medidas, a estatística, o raciocínio
lógico e o combinatório, as estimativas, os arredondamentos e o cálculo mental.
12 Doutor em Psicologia da Educação: Ensino da Matemática – PUC São Paulo. Mestre em Matemática – USP. Pesquisador em ensino e aprendizagem da Matemática – UNESP – Rio Claro, São Paulo. Autor de vários livros.
67
3.2.1.2 Hoje é Dia - Coleção B
A coleção Hoje é Dia de Matemática foi escrita por três autoras, são elas: Carla
Cristina Tosatto13, Cláudia Miriam Tosatto14 e Edilaine do Pilar F. Peracchi15, ilustrações de
Circus Projetos Criativos, Daniel Cabral, Fábio Sgroi, Marília Pirillo e Sônia Horn, publicada
pela editora Positivo, que nos forneceu o material para a pesquisa.
No início da coleção há uma carta das autoras para os alunos, e no manual do
professor há também uma carta para o professor. A coleção é dividida em unidades e em cada
volume, isto é, do 1º ao 5º ano do Ensino Fundamental, há igualmente oito delas. Estão
presentes, em cada unidade, os capítulos que iniciam com uma problematização e geralmente
são seguidos da seção “Trocando ideias” para a participação dos alunos. Como consta no
próprio manual do professor (TOSATTO; PERACCHI; TOSATTO; p. 16), os capítulos
exploram diferentes conteúdos matemáticos que se relacionam e desenvolvem no decorrer dos
livros, além de estabelecer relações entre si e entre os blocos de conteúdos: números,
operações e sistema de numeração, grandezas e medidas, espaço e forma e tratamento da
informação.
A coleção apresenta seções, cuja intenção dessas, é favorecer a participação e
envolvimento do aluno e abordar situações-problema. As seções são: Jogando e aprendendo,
Lendo o texto, Lendo a imagem, Conversando sobre o texto, Conversando sobre a imagem,
Trocando ideias, Fazendo uma viagem no tempo e Momento de relembrar. Há também na
coleção quatro ícones com o “objetivo de orientar a dinâmica e explicitação de algumas das
ações a serem desenvolvidas” (TOSATTO; PERACCHI; TOSATTO, p. 19). Os ícones são:
Atividade oral, Atividade em dupla, Atividade em grupo e Atividade coletiva.
No manual do professor consta que a coleção “prioriza a construção de conhecimentos
matemáticos de forma significativa e prazerosa, oferecendo à criança a oportunidade de falar,
pensar e fazer matemática na sala de aula e na vida” (TOSATTO; PERACCHI; TOSATTO, p.
16).
As autoras explicitam os objetivos desta coleção, dos quais destacamos: desenvolver o
prazer, a curiosidade, o interesse e atitudes favoráveis ao ensino e aprendizagem da
13 Formada em Psicologia – UEM-PR, autora de material didático de matemática para a Educação Infantil e o Ensino Fundamental. 14 Licenciada em Ciências com habilitação em Matemática – PUCPR, pós-graduada em Matemática pela UFPR, entre outras especializações, autora de livros didáticos e paradidáticos para o ensino fundamental. 15 Licenciada em Matemática – UFPR, pós-graduada em Matemática pela UFPR, professora de Matemática do Ensino Fundamental e do Ensino Médio da rede particular de ensino em Curitiba e autora de material didático de Matemática para o Ensino Fundamental.
68
matemática; utilizar a resolução de situações-problema como estratégia para ensinar e
aprender; propor situações que estimulem a troca e o confronto de ideias e de diferentes
estratégias para a resolução das situações-problema, valorizar a socialização das descobertas e
estimular a interação entre professor, aluno e entre os alunos; Relacionar a Matemática com
outras áreas do conhecimento; Instigar a relação da Matemática com a própria Matemática;
Valorizar o uso de estratégias próprias na resolução de situações-problema.
3.2.3 Critérios para seleção do conteúdo de Divisão de números naturais
Sabendo que nosso objetivo foi investigar como o conteúdo de divisão de números
naturais é abordado em livros didáticos de matemática dos anos iniciais do Ensino
Fundamental, consideramos necessário estipular alguns critérios para a seleção desse
conteúdo a ser analisado.
Optamos por selecionar os exemplos e exercícios resolvidos pelos autores nos
diversos momentos de um mesmo volume e dos demais volumes, visto que nossa análise
ocorreu por meio das organizações matemática e didática. Também consideramos algumas
palavras-chave, como: dividir, repartir, partes iguais, divisão e outras semelhantes como
forma de nos deter aos exercícios diretamente relacionados ao conteúdo de divisão de
números naturais.
3.2.3.1 Seleção do conteúdo - Coleção A
Nesta coleção, o conteúdo de divisão é identificado no sumário, se fazendo presente
em alguns capítulos específicos, o que facilitou a seleção das páginas diretamente
relacionadas ao conteúdo de divisão exemplificadas pelo autor. Assim mesmo, folheamos as
páginas dos livros e constatamos que o conteúdo em estudo está realmente presente nas
páginas concentradas nos capítulos específicos, conforme podemos visualizar na sequência
das páginas a seguir:
• 2º ano – Páginas: 174, 175, 178, 181, 184 e 187;
• 3º ano – Páginas: 139, 140, 142, 143, 144, 147, 188 a 191;
• 4º ano – Páginas: 139 a 141, 144, 145, 146, 148, 149, 150, 151, 153 a 156;
• 5º ano – Páginas: 63 a 66, 69 a 71.
69
Com relação à quantidade de páginas, constatamos que esse conteúdo é mais
enfatizado no 4º ano.
3.2.3.2 Seleção do conteúdo - Coleção Hoje é Dia (Coleção B)
Percebemos que nesta coleção as autoras envolvem o conteúdo de divisão em
diferentes unidades, sendo que em cada unidade é proposto diferentes conteúdos distribuídos
em capítulos, não há uma Unidade somente para o conteúdo de divisão de números naturais.
Assim, selecionamos as páginas a seguir, conforme nosso critério de seleção:
• 2º ano – Páginas: 68 e 278;
• 3º ano – Páginas: 10, 11, 218, 219, 221;
• 4º ano – Páginas: 82, 87, 88, 193, 196, 340, 341, 342, 345;
• 5º ano – Páginas: 55, 171, 173.
Notamos que o 4º volume é o que apresenta a maior quantidade de páginas
exemplificadas pelas autoras, no que concerne ao conteúdo em estudo.
Lembramos que as páginas selecionadas correspondem aos exemplos apresentados
pelas autoras e não a todo o conteúdo explanado nos livros didáticos da coleção.
70
4 UM ESTUDO DAS PRAXEOLOGIAS
Destacamos neste momento a organização matemática por meio dos tipos de tarefas e
das técnicas contemplados nos exercícios resolvidos pelos autores nas obras estudadas.
Conseguimos, então, identificar dois tipos de tarefas e quinze técnicas que utilizamos para
descrever a praxeológica matemática de cada coleção, no que concerne ao conteúdo de
divisão de números naturais. Temos, portanto, uma lista de tipos de tarefas e uma de técnicas
que contemplam as duas coleções.
Na organização didática, analisamos como os autores procedem ao ensino do conteúdo
de divisão de números naturais por meio dos elementos de abordagem resolução de
problemas, jogo e imagem, com base nos exemplos e/ou exercícios resolvidos pelos autores.
Embora nossa análise tenha partido desde o livro do 1º ano, foi a partir do 2º ano que
identificamos os tipos de tarefas e técnicas, que quando semelhantes agregamos os exemplos
dos demais volumes, isso, para não nos tornarmos muito repetitivos. A seguir, damos
sequência às diferentes técnicas apresentadas nos livros do 2º, 3º, 4º e 5º anos, apresentando
suas especificidades. Iniciamos pela coleção A e posteriormente pela coleção B.
4.1 TIPOS DE TAREFAS (T) E TÉCNICAS (t)
Inicialmente tínhamos como ideia, identificar mais tipos de tarefas, como por
exemplo, as que envolvem os outros três significados da divisão apresentados nos PCN,
porém, ao analisar as coleções percebemos que na organização matemática, os tipos de tarefas
(T) abordados pelos autores são dois: T1 – Dividir quantidades em partes iguais e T2 –
Determinar quanto cabe (medida). A seguir, apresentamos uma tabela com a quantidade dos
tipos de tarefas identificadas em cada volume das coleções:
TABELA 2 – Tipos de tarefas (T) correspondentes à quantidade de tarefas contempladas nos Livros Didáticos Tipos de Tarefas
(T)
LD1A LD1B LD2A LD2B LD3A LD3B LD4A LD4B LD5A LD5B
T1 - - 4 2 10 4 5 4 4 2
T2 - - 2 - 6 - 6 1 1 3
Fonte: as autoras
71
A tabela apresenta os tipos de tarefas citados anteriormente, sendo que a primeira
coluna representa os tipos de tarefas e as demais colunas representam os livros didáticos do 1º
ao 5º ano do Ensino Fundamental. Cada coluna indica a quantidade de tipos de tarefa
correspondentes em cada livro didático da coleção A e da coleção B.
Como percebemos na tabela 2, os livros dos 1º anos de ambas as coleções não
contemplam os critérios quanto ao conteúdo selecionado, mesmo porque tal conteúdo não
deve ser sistematizado nesse período escolar. Sendo assim, a análise teve início a partir do 2º
volume de cada coleção.
Nossa intenção foi estudar as praxeologias por meio da organização matemática, ao
identificar os tipos de tarefas e as técnicas e da organização didática no que se refere a
resolução de problema, ao uso da calculadora e os jogos, ainda com base na TAD destacamos
o objeto ostensivo imagem, abordados no conteúdo de divisão nos livros selecionados.
Para o estudo das técnicas relativas ao conteúdo de divisão de números naturais
elencamos 12, conforme Quadro 3:
Quadro 3 - Técnicas.
Técnicas
(τ)
Descrição de cada técnica (τ)
τ1 Observar objeto ostensivo imagem
τ2 Utilizar o objeto ostensivo imagem como registro matemático
τ3 Utilizar o registro numérico
τ4 Calcular e/ou registrar a operação divisão
τ5 Verificar o cálculo da divisão por meio da multiplicação (operações inversas)
τ6 Utilizar cálculo aproximado
τ7 Utilizar cálculo mental
τ8 Aplicar algoritmo (Euclidiano, Americano, outro)
τ9 Utilizar as etapas para a Resolução de Problemas: compreender, planejar, executar,
verificar e responder.
τ10 Identificar os termos de uma divisão (divisor, dividendo, quociente e resto)
τ11 Utilizar a tabuada
τ12 Dividir por meio da sequência numérica
Fonte: As autoras
72
As técnicas presentes no Quadro 3 representam técnicas possíveis de estarem
presentes nas duas coleções, portanto, algumas são contempladas em uma das coleções e não
em outra. Isso ocorreu pelo fato de selecionarmos técnicas gerais, ou seja, possíveis de
permearem ambas as coleções.
4.2 A ANÁLISE DOS LIVROS DIDÁTICOS
A seguir, apresentamos as praxeologias matemática e didática das coleções. Olhamos
como os autores propõem o texto do saber [Τ,τ], com o intuito em identificar como o
conteúdo de divisão de números naturais é abordado em livros didáticos de matemática dos
anos iniciais do Ensino Fundamental.
4.2.1 Coleção A
No livro do 2º ano, o autor introduz o conteúdo de divisão por meio de um objeto
ostensivo imagem, relacionando duas situações, cuja intenção é explorar as relações entre
quantidades de brinquedos e de crianças em cada brinquedo (T1). Logo abaixo do mesmo, o
autor insere um exercício do tipo complete para que seja resolvido por meio da técnica (τ3) e
finaliza o exercício destacando que tal operação é chamada de divisão, conforme constatamos
na Figura 2:
Figura 2 – Divisão em partes iguais - 2º ano A
Fonte: Ática (2008) - Extraída da coleção “Aprendendo Sempre”
73
Percebemos que o objeto ostensivo imagem se faz totalmente necessário para a resolução
do exercício, portanto, a característica dessa imagem é Funcional, ou seja, sem ela não há
como resolver a tarefa. Esse exercício evoca a aplicação da técnica (τ3) registro numérico, que
nesse caso, deve ser realizada pelos alunos.
Nos livros do 3º ano e do 4º ano o autor introduz o conteúdo de divisão por meio do
elemento de abordagem resolução de problema e do objeto ostensivo imagem. Ele parte dos
tipos de tarefas T1 (divisão em partes iguais) e T2 (medida) como exemplos. Nesse momento,
as técnicas aplicadas no livro do 3º ano são as τ2 (utilizar desenho como registro) e a τ4
(representação e/ou cálculo da operação), como podemos observar na Figura 3:
Figura 3 – Divisão em partes iguais e medida - 3º ano A
Fonte: Ática (2008) - Extraída da coleção “Aprendendo Sempre” Vejamos na Figura 4 o que difere a introdução do conteúdo de divisão do 4º ano em
relação às técnicas:
74
Figura 4 – Divisão em partes iguais e medida - 4º ano A
Fonte: Ática (2008) - Extraída da coleção “Aprendendo Sempre”
A técnica agora presente é apenas a τ4 (representação e/ou cálculo da operação), pois,
no 3º ano o autor representa a operação também por meio de desenho (τ2) em forma de
quadradinhos, enquanto que no 4º ano não há mais a aplicação de tal técnica.
Percebemos que o autor retoma as ideias da divisão em partes iguais e a de medida ao
referir-se ao ano anterior nos dois volumes e os exemplos nos mostram as diferenças
gradativas que ocorrem em cada volume de um ano para o outro.
Consideramos que o tipo de problema padrão está presente em ambas as situações e os
objetos ostensivos imagens se caracterizam como imagens Suporte, que visam auxiliar o
aluno na compreensão da explicação e/ou do exemplo.
A introdução do conteúdo de divisão de números naturais no livro do 5º ano parte do
elemento de abordagem resolução de problema padrão cujo tipo de tarefa é dividir em partes
iguais (T1). Nesse caso, o tipo de tarefa (T1) é introduzido e resolvido pelo autor por meio das
técnicas τ9, que representa as etapas para a resolução de um problema que o autor as define
como: compreendendo, planejando, executando, verificando e respondendo, da τ8 que
compreende em aplicar algoritmo, da τ5 que é verificar o cálculo da divisão por meio da
75
multiplicação (prova real), da τ3 que é a utilização do registro numérico e da τ10 que é
identificar os termos de uma divisão. Figura 5:
Figura 5 – Divisão em partes iguais - 5º ano A
Fonte: Ática (2008) - Extraída da coleção “Aprendendo Sempre”
A τ3 é uma técnica que o autor propõe para registro dos alunos. O objeto ostensivo
imagem presente é de característica Suporte, cujo papel é contribuir na compreensão do
exercício. Além das técnicas citadas observamos que o autor destaca outra técnica, a τ10, cuja
função é identificar os termos de uma divisão (divisor, dividendo, quociente e resto), como já
observamos na Figura 5. Essa técnica (τ10) é apresentada pela primeira vez no 4º volume desta
coleção e em uma única vez.
A técnica (τ9) que introduz o conteúdo de divisão no 5º volume está fortemente presente
nos volumes 2 e 3. O que a difere em cada volume são as outras técnicas envolvidas e o tipo
de tarefa. No exemplo do 5º volume apresentado acima, o tipo de tarefa (T1) é o mesmo do
que do 3º volume, porém, se diferem quanto às técnicas aplicadas. Vejamos na Figura 6:
76
Figura 6: Algoritmo usual – 3º ano A
Fonte: Ática (2008) - Extraída da coleção “Aprendendo Sempre”
Observamos que além das técnicas τ9, τ8, τ5 e τ3 o autor utiliza a técnica τ2 para a
exemplificação. Ainda no volume 3, o autor apresenta mais um tipo de tarefa T1 e outro T2
com a aplicação das técnicas τ9, τ5 e τ3 na resolução de problema do tipo padrão, em ambas as
situações. Um exemplo extraído do 2º volume é:
77
Figura 7 – Quantos cabem – 2º ano A
Fonte: Ática (2008) - Extraída da coleção “Aprendendo Sempre”
Notamos que neste exemplo a tarefa é do tipo T2 e as técnicas aplicadas para a
resolução são as τ9 e τ5. Há mais outro exemplo neste volume, cuja resolução envolve as
mesmas técnicas (τ9 e τ5 ) porém, a tarefa é a do tipo T1.
O elemento de abordagem resolução de problema e o objeto ostensivo imagem são
respectivamente padrão e Suporte nos dois tipos de tarefas.
Mais especificamente no 2º volume, outro exemplo que o autor utiliza está relacionado
ao tipo de tarefa (T1) dividir em partes iguais, porém, com a ideia de metade. Vejamos:
78
Figura 8 – Metade – 2º ano
Fonte: Ática (2008) - Extraída da coleção “Aprendendo Sempre”
O autor exemplifica o conteúdo de modo que nos leva a interpretar o que é feito por
meio do objeto ostensivo na forma de imagem Funcional (sem a imagem não tem como
resolver o exercício), cuja intenção é ilustrar a ideia de metade. A técnica aplicada é a da
utilização de desenho como registro (τ2).
Embora não seja nosso foco de investigação, nos chamou a atenção o fato de que no
exemplo o autor utiliza um objeto ostensivo imagem de grandeza contínua, enquanto que nos
exercícios propostos aos alunos apresenta-se em objeto ostensivo imagem de grandeza
discreta. A ideia de metade, ao se tratar da organização matemática da coleção, é
exemplificada pelo autor somente neste momento.
Ainda no 2º volume, da coleção A, o autor introduz a multiplicação e a divisão como
operações inversas como podemos observar na Figura 9:
Figura 9 – Operações inversas – 2º ano A
Fonte: Ática (2008) - Extraída da coleção “Aprendendo Sempre”
79
Percebemos que o autor parte de um ostensivo imagem Funcional (a imagem se faz
necessária para a resolução do exercício) e aplica a técnica τ4 (calcular e/ou registrar a
operação divisão) para ser feita pelos alunos. Em seguida, o autor mostra uma relação entre a
multiplicação e a divisão com a intenção de mostrar que a divisão é a operação inversa da
multiplicação. Na sequência, o autor propõe quatro exercícios semelhantes ao exemplo, para
serem resolvidos pelos alunos.
Com base em alguns exemplos, foi possível constatar que o autor utiliza, em vários
momentos, a técnica das operações inversas, principalmente quanto à verificação de uma
divisão, que utiliza-se da multiplicação.
Ainda no 2º volume, o autor exemplifica a divisão de uma maneira muito interessante
que é por meio de uma sequência numérica. Nesse exercício, o tipo de tarefa é T2 e é
introduzido por meio de um objeto ostensivo imagem Funcional, conforme podemos constatar
na Figura 10:
Figura 10: Reta numérica – 2º ano A
Fonte: Ática (2008) - Extraída da coleção “Aprendendo Sempre”
As técnicas aplicadas são τ1 (observar a imagem), τ12 (sequência numérica) e τ4
(calcular e/ou registrar a operação divisão). O autor propõe mais dois exercícios do mesmo
tipo para a resolução dos alunos. Um exercício como esse está presente também no 3º volume
da coleção, cujas tarefa e técnicas são as mesmas.
Quanto ao livro do 3º ano do Ensino Fundamental, um exemplo ainda não apresentado
pelo autor é o da divisão exata e da divisão não-exata. Esse ocorre por meio do elemento de
abordagem resolução de problema do tipo padrão e a tarefa é a T2. Podemos observar na
figura 11 que o objeto ostensivo imagem é de característica Estética:
80
Figura 11: Divisão exata e não-exata – 3º ano A
Fonte: Ática (2008) - Extraída da coleção “Aprendendo Sempre”
As técnicas utilizadas são a τ11 e a τ8, ou seja, multiplicação de tabuada e aplicação de
algoritmo, que neste caso é o euclidiano. O autor destaca que o exemplo é de uma divisão
exata, isto é, quando o resto é zero. Em seguida, como pudemos observar, o autor apresenta a
divisão não-exata, ou seja, quando o resto é diferente de zero. Nessa segunda situação, o autor
aplica as técnicas τ11, τ8, τ5 e τ3, das quais se diferem do exemplo anterior é a verificação do
cálculo da divisão por meio da multiplicação (τ5) e a aplicação de registro numérico (τ3), esta
última técnica o autor deixa para registro dos alunos. É retratado brevemente uma tarefa (T2)
no 5º volume semelhante à exemplificação da divisão não-exata.
Os objetos ostensivos imagens presentes nesse exemplo e no anterior são do tipo
Suporte.
O algoritmo euclidiano, denominado pelo autor como usual, é apresentado de maneira
mais detalhada em um exemplo resolvido por ele a partir de um problema padrão. O tipo de
tarefa é T1 e as técnicas aplicadas são as τ9, τ2, τ8 e τ5. O autor utiliza o objeto ostensivo
81
imagem do tipo Suporte acompanhado da técnica de desenho como registro (τ2) e, em
seguida, apresenta a técnica τ8 (aplicação de algoritmo), que nesse caso é o usual.
Figura 12: Algoritmo usual – 3º ano A
Fonte: Ática (2008) - Extraída da coleção “Aprendendo Sempre”
O objeto ostensivo imagem está presente como meio de ilustrar a explicação, sendo a
imagem categorizada como Suporte. Outro exemplo é dado pelo autor e em seguida é
proposto dois exercícios que envolvem a divisão por decomposição, o que não ocorre mais no
decorrer do livro. O autor apresenta a divisão por decomposição da seguinte maneira:
Figura 13: Decomposição – 3º ano A
Fonte: Ática (2008) - Extraída da coleção “Aprendendo Sempre”
82
Depois de dois exercícios propostos aos alunos, referentes à divisão por decomposição
(que é contemplado somente neste volume), o autor retoma o conteúdo de divisão pelo
algoritmo euclidiano.
O algoritmo euclidiano é exemplificado nos 3º, 4º e 5º volumes. Outros algoritmos,
como o uso da tabuada e por estimativas, assim nomeados pelo autor, estão presentes na
coleção conforme veremos a seguir.
No 3º volume o algoritmo euclidiano é apresentado pela primeira vez conforme já
ilustramos no exemplo de divisão exata e de divisão não-exata (Figura 11), também ilustrado
no exemplo de algoritmo usual da divisão ( Figura 6). Na sequência do volume o autor
apresenta a divisão por decomposição e volta à divisão pelo algoritmo usual.
No 4º volume o conteúdo de divisão com números naturais é introduzido conforme já
apresentado e ilustrado na Figura 4, na página seguinte, o autor retoma o algoritmo euclidiano
por meio da resolução de problema do tipo padrão. Esse primeiro exemplo do 4º volume é do
tipo de tarefa T1 e as técnicas aplicadas são as τ8, τ10 e τ5. O objeto ostensivo imagem é do tipo
Suporte, conforme observamos a seguir:
Figura 14: Resolução de Problema – 4º ano A
Fonte: Ática (2008) - Extraída da coleção “Aprendendo Sempre”
Depois de cinco exercícios propostos aos alunos, o autor apresenta outro exemplo
muito semelhante a esse, o que difere é que o tipo de tarefa no segundo caso é T2, as técnicas
presentes são as τ8, τ5 e τ3 e o objeto ostensivo imagem é de característica Estética.
Também nesse volume o autor apresenta a divisão pelo algoritmo euclidiano em mais
quatro exemplos, sendo três deles com números de três e quatro algarismos no dividendo e
um no divisor, como um dos exemplos ilustrado na Figura 15:
83
Figura 15: Algoritmo usual – 4º ano A
Fonte: Ática (2008) - Extraída da coleção “Aprendendo Sempre”
Observamos que a técnica τ8 está em destaque conforme a descrição acima
mencionada. O outro exemplo que o autor propõe a τ8 é da divisão com dois algarismos no
divisor, vejamos na Figura 16:
Figura 16: Divisor com dois algarismos – 4º ano
Fonte: Ática (2008) - Extraída da coleção “Aprendendo Sempre”
Nessa situação, percebemos que o problema é do tipo padrão e o objeto ostensivo
imagem é do tipo Estética, a tarefa expressa é T2, cuja técnica em destaque é a τ8. Mais três
exemplos semelhantes são expressos neste volume e entre um e outro alguns exercícios são
propostos para resolução dos alunos.
A divisão pelo algoritmo das estimativas, assim chamada pelo autor, é apresentada no
4º volume e está presente também no 5º. Esse algoritmo é desenvolvido por um objeto
84
ostensivo imagem Suporte. Observamos na Figura 17, que a técnica τ8 ocorre de duas
maneiras:
Figura 17: Estimativas – 4º ano A
Fonte: Ática (2008) - Extraída da coleção “Aprendendo Sempre”
Visualizamos a seguir, como a técnica de aplicação de algoritmo (τ8), que nesse caso é
pelas estimativas, é apresentada no 5º volume:
Figura 18: Estimativas – 5º ano A
Fonte: Ática (2008) - Extraída da coleção “Aprendendo Sempre”
Constatamos que a situação partiu da técnica de resolução de problema do tipo padrão
e do objeto ostensivo imagem é de característica Estética, ou seja, não agrega nenhuma
relevância para o entendimento do exercício. O tipo de tarefa (T2) é realizado por meio das
técnicas τ8 e τ11. Além desse exemplo, não há mais outro referente a esse tipo de algoritmo na
coleção.
85
Voltando ao 4º volume, o autor apresenta duas situações que envolvem as técnicas τ6
(utilizar e aplicar cálculos aproximados) e τ7 (utilizar o cálculo mental), ambas presentes
também no 5º volume.
A partir da técnica de resolução de problema padrão do tipo T2, o autor introduz a
técnica τ7, ou seja, estratégias para o uso de cálculo mental e a τ3 conforme verificamos na
Figura 19:
Figura 19: Cálculo mental – 4º ano A
Fonte: Ática (2008) - Extraída da coleção “Aprendendo Sempre”
Identificamos que o objeto ostensivo imagem presente nesse exemplo é Estético. Mais
três exemplos que envolvem a técnica τ7 estão presentes nesse mesmo volume, dois deles
aplica-se a técnica τ3 também. O que diferencia os exemplos é a quantidade de algarismos no
divisor e no dividendo. A técnica τ7 também é desenvolvida no 5º volume.
Ainda no 4º volume, a técnica τ6 (utilizar cálculos aproximados) também se faz
presente por meio da resolução de problema padrão, cujo tipo de tarefa é T2 e além da τ6, as
técnicas τ4 e τ3 também são utilizadas, vejamos:
Figura 20: Cálculo aproximado – 4º ano A
Fonte: Ática (2008) - Extraída da coleção “Aprendendo Sempre”
86
Dos dois ostensivos imagem um é de característica Funcional e o outro é Estética. O
autor explora mais uma situação por meio da resolução de problema padrão com o tipo de
tarefa T2, cujo objeto ostensivo imagem é considerado Estético e além da técnica τ6 é aplicada
a técnica τ3. No 5º volume também há uma exemplificação da aplicação da τ6, vejamos na
Figura 21:
Figura 21: Cálculo aproximado – 5º ano A
Fonte: Ática (2008) - Extraída da coleção “Aprendendo Sempre”
Constatamos que o problema ocorre por meio de um objeto ostensivo imagem
Funcional e em seguida, o autor apresenta estratégias de aplicação da τ6.
No 5º volume a introdução do conteúdo de divisão de números naturais ocorre
conforme já apresentamos na Figura 5. Na página seguinte do livro didático, o autor apresenta
a técnica de cálculo mental (τ7) para a divisão de números naturais e propõe alguns exercícios
para resolução dos alunos. Na sequência o autor apresenta técnicas de cálculos aproximados
(τ6) e a relação da divisão e da multiplicação como inversas (τ5). Esse volume se difere dos
demais quanto ao algoritmo usando a tabuada, conforme a Figura 22:
Figura 22: Algoritmo tabuada – 5º ano A
Fonte: Ática (2008) - Extraída da coleção “Aprendendo Sempre”
87
Percebemos a aplicação das técnicas τ11, τ4 e τ11 para a resolução da tarefa T2, cujo
exercício é apresentado na forma de problema, nesse caso também do tipo padrão, e em
objetos ostensivos imagem Suporte e Estético. Depois de um exercício para os alunos
efetuarem as divisões usando a tabuada, o autor apresenta o algoritmo das estimativas
conforme o exemplo da Figura 18 , citado anteriormente. Após propor a resolução de quatro
divisões pelo uso do algoritmo das estimativas, o autor retoma ao exemplo do algoritmo
euclidiano.
O autor recorda o algoritmo (τ8) euclidiano e na página seguinte apresenta o cálculo
mental (τ7) de divisões com divisores de dois algarismos. Outro exemplo de divisão com dois
e três algarismos no divisor é feito por meio do objeto ostensivo imagem do tipo Suporte.
Vejamos um dos exemplos conforme a Figura 23:
Figura 23: Algoritmo usual – 5º ano A
Fonte: Ática (2008) - Extraída da coleção “Aprendendo Sempre”
Por meio do objeto ostensivo imagem do tipo Suporte, o autor utiliza as técnicas τ8, τ5 e τ10
para resolver a divisão não-exata. O mesmo procedimento ocorre em um exemplo de uma divisão
exata com cinco algarismos no dividendo e três no divisor. Depois, alguns exercícios são propostos
para a resolução dos alunos.
Comentários
Notamos que esta coleção demonstra certa consonância com as orientações dos PCN
(2000), que propõem a realização do trabalho com as operações básicas, sendo uma delas a
88
divisão, bem como o trabalho por meio de resolução de problemas. Entretanto, consideramos
precoce a sistematização da operação divisão no 2º ano do Ensino Fundamental, mesmo
porque, segundo os PCN, a divisão deve ser sistematizada a partir do 4º ano do Ensino
Fundamental, isto é, no 2º ciclo.
Por meio da análise foi possível perceber as organizações matemática e didática da
coleção, ou seja, como os exercícios são abordados, os tipos de tarefas e técnicas mais
utilizados, bem como os elementos de abordagem e objeto ostensivo imagem mais frequentes.
Percebemos a importância dada ao cálculo mental (τ7), às etapas para a resolução de um
problema (τ9) e quanto aos algoritmos (τ8) o destaque na coleção é o euclidiano. A relação da
multiplicação e da divisão como operações inversas está presente desde o 2º volume e no
decorrer dos volumes, o autor amplia suas técnicas.
Com relação ao elemento de abordagem resolução de problema, identificamos que o
tipo padrão, semelhante a exercícios de aplicação de técnicas, ou seja, problemas
considerados rotineiros, comuns sem grandes desafios para os alunos, é o único presente na
coleção, no que diz respeito aos exemplos resolvidos pelo autor referentes ao conteúdo de
divisão de números naturais. O objeto ostensivo imagem está presente com frequência nesta
coleção, vejamos o Quadro (4) síntese:
Quadro 4 – Síntese das Praxeologias – Coleção A
Fonte: As autoras
Os elementos de abordagem Calculadora e Jogo não estão dispostos no Quadro 4 pelo
fato de não estarem presentes nas coleções, nos exemplos do autor.
Tipos de Tarefas
(T)
Elemento de Abordagem Resolução de Problemas
Objeto Ostensivo Imagem Coleção A
Quantidade de páginas
T1 T2
Técnicas (τ)
Padrão Outros Estética Suporte Funcional LD2A 6 4 2 τ1, τ3,τ4, τ5,
τ9, τ12 2 - - 1 4
LD3A 10 6 7 ττττ2, τ3,τ4, τ5, ττττ8, τ9,
ττττ11,τ12
9 - 6 13 1
LD4A 14 10 7 τ3,τ4, τ5, ττττ6, ττττ7, τ8,ττττ10,
τ11
10 - 8 7 -
LD5A 10 8 2 τ3,τ4, τ5, τ6, τ7, τ8, τ9, τ10,
τ11
4 - 3 6 -
89
Com base no Quadro 4, notamos que o 4º volume apresenta maior quantidade de
páginas, de tarefas, de problemas padrão e objeto ostensivo imagem do tipo Suporte. As
técnicas em destaque são as que se diferem de um volume para o outro. As τ3,τ4 e τ5 são
técnicas aplicadas em todos os volumes em questão, já as τ6 e τ7 são introduzidas a partir do 4º
volume e a τ9 só está ausente neste volume. As demais técnicas estão presentes de maneiras
diversificadas conforme observamos a distribuição no Quadro 4. Identificamos que o objeto
ostensivo imagem do tipo Suporte está inserido com maior frequência na coleção. O elemento
de abordagem calculadora não está presente nos exemplos apresentados pelo autor, contudo,
ele solicita a utilização da calculadora em exercícios propostos para a realização dos alunos
no livro do 4º ano nos relacionados à verificação de cálculos (prova real) e em cálculos de
números grandes como, por exemplo: 3847167 ÷ 9941 (DANTE, p. 157). O elemento de
abordagem jogo está presente ao final dos capítulos em todos os volumes da coleção, porém,
não há uma proposta de exercícios com base nesse elemento. Embora no 5º volume todas as
técnicas foram, de alguma forma, aplicadas anteriormente, destacamos que o grau de
dificuldade entre um volume e outro, é diferenciado, sendo efetiva a organização em espiral
mencionada pelo autor no Manual do professor.
4.2.2 Coleção B
A organização desta coleção é construída, em grande parte, a partir de objeto ostensivo
imagem e do elemento de abordagem resolução de problema, em sua maioria, acompanhada
de observações e questionamentos que possibilitam a reflexão e questionamento sobre o
desenvolvimento e a aplicação da técnica ou técnicas apresentadas.
Nos 2º e 3º volumes da coleção, o conteúdo de divisão de números naturais é
apresentado por meio de um objeto ostensivo imagem Funcional, isto é, característica de uma
imagem que se faz necessária para a resolução do exercício, conforme observamos na Figura
24:
90
Figura 24: Dividir em partes iguais – 2º ano B
Fonte: Editora Positivo (2007) - Extraída da coleção “Hoje é Dia de Matemática”
As autoras introduzem o conteúdo de divisão recorrendo a um objeto ostensivo
imagem e por meio da técnica τ1 (observar imagem). Consideramos pertinente tal abordagem,
visto que está relacionada a possíveis experiências (já vivenciadas ou fácil de vivenciar) nessa
fase escolar. Observamos que os questionamentos propostos com relação ao objeto ostensivo
imagem propiciam o relato de experiências e requer do aluno algumas respostas, bem como o
levantamento de hipóteses, portanto, percebemos que neste ostensivo também está presente o
elemento de abordagem resolução de problema a partir de uma imagem. A técnica solicitada
pelas autoras, para a resolução dos alunos é a τ2, ou seja, a utilização de desenho como
registro. Depois, as autoras dão sequência a uma série de exercícios propostos para a
resolução dos alunos. O mesmo tipo de tarefa e técnicas aplicadas correspondem também ao
3º volume, se diferenciando pelo objeto ostensivo imagem Funcional (neste caso é outra
ilustração do Maurício de Sousa) e questionamentos levantados.
Um pouco mais de duzentas páginas adiante, as autoras apresentam um problema
padrão de divisão em partes iguais (T1) para que os alunos o resolvam. As autoras destacam
uma operação da divisão por meio da técnica τ4 (representação e/ou cálculo de operação) pela
primeira vez no 2º volume, vejamos:
91
Figura 25: A operação divisão – 2º ano B
Fonte: Editora Positivo (2007) - Extraída da coleção “Hoje é Dia de Matemática”
Percebemos o destaque como maneira de apresentar a operação de divisão por meio da
τ3, bem como quanto ao sinal e a representação dos números numa divisão.
Entendemos que a abordagem do conteúdo de divisão presente no 2º volume desta
coleção, ocorre como uma introdução à ideia de dividir em partes iguais (T1).
No 3º volume a ideia de dividir em partes iguais (T1) é apresentada nas primeiras
páginas do livro. Depois, nas páginas 218 e 219, o conteúdo está inserido em forma de
resolução de problema padrão acompanhado dos objetos ostensivos imagem Funcional e
imagem Suporte, conforme a Figura 26:
92
Figura 26: Dividir em partes iguais – 3º ano B
Fonte: Editora Positivo (2007) - Extraída da coleção “Hoje é Dia de Matemática”
Após esse exemplo, as autoras propõem algumas perguntas e alguns exercícios para
serem resolvidos pelos alunos de maneira espontânea, ou seja, um registro de preferência dos
alunos.
Outro exercício proposto pelas autoras, porém, que serve como exemplo para outros
exercícios é quanto ao uso da calculadora. As autoras identificam as teclas que os alunos devem
apertar na calculadora, porém o registro da técnica τ3 deve ser realizado pelos alunos, conforme
observamos a Figura 27:
93
Figura 27: Elemento de abordagem Calculadora – 3º ano B
Fonte: Editora Positivo (2007) - Extraída da coleção “Hoje é Dia de Matemática”
Observamos que o uso do elemento de abordagem calculadora está relacionado à resolução de
problema do exemplo anterior. Portanto, o tipo de tarefa permanece o mesmo, já as técnicas
aplicadas são a τ3e a τ4. As autoras continuam com mais alguns exercícios propostos para resolução
dos alunos, cujo elemento de abordagem calculadora se faz necessário.
No 4º volume o conteúdo é introduzido por meio do objeto ostensivo imagem Funcional
seguido de uma situação problema. Duas páginas depois, as autoras apresentam um problema
padrão de tarefa tipo Τ1 e diferentes maneiras de aplicar a técnica τ8, conforme observamos na
Figura 28:
Figura 28: Algoritmo da divisão – 4º ano B
Fonte: Editora Positivo (2007) – Extraída da “Coleção Hoje é dia de Matemática”
94
Notamos que o objeto ostensivo imagem é de característica Funcional, isto é, a imagem que se
faz necessária para o entendimento do exercício, já que a intenção das autoras é apresentar
diferentes estratégias para a aplicação de algoritmo τ8. Essa técnica é exemplificada por meio de
outra técnica, ao utilizar a resolução por meio de desenho (τ2), outra resolução do exemplo ocorre
pelo uso da calculadora, outra maneira é por meio de subtrações e outro exemplo é a resolução
pelas estimativas. O algoritmo das estimativas está em destaque e as autoras chamam a atenção
quanto ao significado de cada número nessa representação da divisão. Em seguida, propõem alguns
exercícios que exploram a técnica τ8, cuja indicação é o algoritmo pelas estimativas.
Mais adiante, no mesmo volume, as autoras apresentam novamente um problema padrão cuja
técnica aplicada é a τ8 por meio de subtrações, de estimativas e do algoritmo americano, em
seguida, elas disponibilizam exercícios para ser resolvidos com o uso do algoritmo τ8 da preferência
dos alunos.
As autoras ilustram mais um exemplo de resolução de uma divisão por meio de estimativas,
algoritmo americano e por decomposição, conforme a Figura 29:
Figura 29: Diferentes algoritmos – 4º ano
Fonte: Editora Positivo (2007) - Extraída da coleção “Hoje é Dia de Matemática”
95
Notamos que a tarefa do tipo T2 é contemplada na resolução de problema padrão e a resolução
ocorre por meio de um objeto ostensivo imagem Funcional. Além da aplicação da técnica τ8 nas
diferentes maneiras, há também um questionamento quanto à operação inversa. Na página seguinte,
as autoras aplicam a técnica τ10 como maneira de explicar os termos correspondentes aos números
numa divisão:
Figura 30: Termos da divisão – 4º ano
Fonte: Editora Positivo (2007) - Extraída da coleção “Hoje é Dia de Matemática”
Depois desse exemplo, cujo objeto ostensivo imagem é do tipo Funcional, outros exercícios
são propostos para a aplicação da técnica τ10 pelos alunos.
Ainda no 4º volume, a τ7 (técnica de cálculo mental) por decomposição é exemplificada por
meio do objeto ostensivo imagem Funcional, vejamos:
Figura 31: Cálculo mental – 4º ano B
Fonte: Editora Positivo (2007) - Extraída da coleção “Hoje é Dia de Matemática”
Alguns poucos exercícios são propostos para a resolução dos alunos após a exemplificação
do cálculo mental (τ7).
O conteúdo de divisão é introduzido no 5º volume da seguinte maneira:
96
Figura 32 Algoritmos – 5º ano B
Fonte: Editora Positivo (2007) - Extraída da coleção “Hoje é Dia de Matemática”
As autoras aplicam a τ8 de três maneiras diferentes para a resolução do problema. Percebemos
que no quadro de questões, as autoras chamam a atenção quanto a τ8 pelas estimativas, quanto à
identificação dos números na operação (τ10) e a relação das operações inversas como meio de
verificar o cálculo (τ5). Observamos que no “trocando ideias” as autoras fazem algumas
indagações para que os alunos reflitam sobre a situação proposta, e percebam que há diferentes
maneiras de resolver um mesmo problema.
O elemento de abordagem resolução de problema padrão apresenta um tipo de tarefa T2 e está
acompanhado do objeto ostensivo imagem Suporte.
Na página seguinte, as autoras destacam a definição de uma divisão exata e de uma não-exata,
ou seja, quando o resto de uma divisão é zero, a divisão é exata, e quando o resto é diferente de zero
a divisão não é exata e finalizam o destaque relacionando que em toda divisão vale a seguinte
relação: dividendo = divisor x quociente + resto (τ5). Outro destaque como esse é exemplificado em
97
algumas páginas mais adiante, ou seja, a aplicação da τ5, porém o exemplo é por meio da τ8
utilização de algoritmo pela tabuada do 15 (τ11). Exercícios que envolvem as técnicas τ8, τ5, τ10 de
divisões exatas e não-exatas são propostos para resolução dos alunos nas páginas seguintes.
Ainda no 5º volume, as autoras apresentam uma situação que envolve a técnica (τ6) de cálculo
aproximado, como ilustra a Figura 33:
Figura 33: Divisões – 5º ano B
Fonte: Editora Positivo (2007) - Extraída da coleção “Hoje é Dia de Matemática”
Por meio do objeto ostensivo imagem Funcional, acompanhado da tarefa (T1) as autoras
demonstram como pode ser feito um cálculo de divisão mais rápido utilizando a τ6 e tratam da
importância da tabuada para uma resolução mais rápida.
Nas páginas seguintes elas lançam exercícios que necessitam das aplicações de técnicas de
cálculo mental (τ7) e de cálculo aproximado (τ6). Nesses exercícios há um objeto ostensivo imagem
Suporte que indica o uso da calculadora, que é um elemento de abordagem, para a verificação dos
cálculos já realizados.
O último exercício apresentado como exemplo e/ou explicação pelas autoras, no que se refere
ao conteúdo de divisão de números naturais, vem de uma sequência de exercícios propostos aos
alunos. O exemplo é quando as autoras apresentam a resolução de um problema padrão,
98
acompanhado do objeto ostensivo imagem Funcional, por meio da multiplicação da tabuada (τ11).
Vejamos o exemplo representado na Figura 34:
Figura 34: Multiplicação – 5º ano B
Fonte: Editora Positivo (2007) - Extraída da coleção “Hoje é Dia de Matemática”
A tentativa de Bruna inicia pelo 40, pois, anteriormente é disponibilizada uma tabela que vai
de 1 caixa até 30 caixas, correspondentes à quantidade de ovos. Dessa maneira é possível perceber
que são mais de 40 caixas. Como a operação não é exata, Bruna foi multiplicando até encontrar um
número mais próximo de 1038. Em seguida, as autoras exploram questões que envolvem a
quantidade de caixas formadas, quantos ovos faltam para formar mais uma caixa, além de outros
exercícios semelhantes a esse.
Comentários
Percebemos que na coleção B as autoras geralmente partem de objetos ostensivos de caráter
lúdico, como as imagens de gibis (tirinhas conhecidas) e de situações possíveis da realidade. A
coleção está condizente à proposta dos PCN (2000), tanto do primeiro ciclo que prioriza a
construção de fatos básicos da operação de divisão a partir de situação-problema, a utilização de
sinais convencionais, o cálculo por meio de estratégias pessoais. Além disso, estimula o
conhecimento por diferentes estratégias de cálculo. No 2º ciclo amplia os procedimentos de cálculo,
bem como a verificação de resultados de uma divisão.
99
Por meio da análise foi possível perceber que na organização didática da coleção, o objeto
ostensivo imagem e o elemento de abordagem resolução de problemas são os mais frequentes e na
maioria das vezes desencadeadores do conteúdo. No Quadro 5, que representa uma síntese,
podemos observar a organização em espiral do conteúdo com base nas técnicas aplicadas e em
como essas vão ampliando no decorrer dos volumes:
Quadro 5 – Síntese das Praxeologias – Coleção B
Fonte: As autoras
Em relação aos elementos de abordagem calculadora e jogo, são pouco explorados nos
exemplos das autoras. Identificamos apenas três exemplos que se referem ao uso da
calculadora, e quanto ao jogo, notamos sua presença quando as autoras partem de alguma
situação problema. Tanto o jogo quanto a calculadora estão presentes com maior frequência
nos exercícios propostos para a resolução dos alunos e não nos exemplos resolvidos pelas
autoras.
Com base no Quadro 5, constatamos que o tipo de tarefa T1 é o mais frequente na
coleção. O 4º volume é o que apresenta maior quantidade de páginas, de tarefas, de novas
técnicas aplicadas e de objeto ostensivo imagem. A τ4 é a técnica aplicada em todos os
volumes, a τ7 somente do 4º volume e a τ6 no 5º volume. Notamos que o trabalho relacionado
às técnicas τ8, τ5, τ10, τ11 é introduzido a partir do 4º volume e que as técnicas τ9 e τ12 estão
ausentes nesta coleção. As técnicas são aplicadas de maneiras diversificadas e gradativamente
16 As técnicas em negrito são as que se diferem de um volume para o outro.
Tipos de Tarefas
(T)
Elementos de abordagem Resolução Problemas
Objeto Ostensivo Imagem
Coleção B
Quantidade de páginas
T1 T2
Técnicas 16(τ)
Padrão Outros Estética Suporte Funcional LD2B 2 2 - τ1, τ2,τ4, - 1
- - 1
LD3B 5 3 - τ1, τ2,ττττ3, τ4
1 1
- - 4
LD4B 8 5 3 τ4, ττττ5, ττττ7, ττττ8,ττττ10,
ττττ11
3 1 - 2 3
LD5B 4 2 2 τ3, τ4, τ5, ττττ6, τ8, τ10,
τ11
3 - - 1 2
100
nos exemplos dispostos. Consideramos que a coleção contribui para a aquisição de
significado do conteúdo de divisão de números naturais.
101
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Tendo como objetivo investigar como o conteúdo de divisão de números naturais é
abordado nos anos iniciais do Ensino Fundamental, optamos por utilizar a Teoria
Antropológica do Didático (TAD) proposta por Chevallard (1998). Com base na TAD
estudamos as organizações matemáticas e o objeto ostensivo imagem, apresentados por meio
dos exemplos dos autores.
Com relação aos grupos de significados da divisão dispostos nos PCN, verificamos
que o grupo de comparação entre razões, que envolve a ideia de proporcionalidade, teve
destaque nas situações associadas às ideias de dividir em partes iguais e de determinar quanto
cabe (medida) tanto na coleção A quanto na coleção B. As situações de multiplicação
comparativa que envolvem a divisão e as que estão associadas à ideia de combinatória não
foram identificadas em ambas as coleções. O grupo que envolve situações associadas à
configuração retangular está ausente na coleção A e presente em alguns exercícios propostos
para a resolução dos alunos na coleção B.
Verificamos que na organização matemática de ambas as coleções, os tipos de tarefas
T1 e T2, dividir em partes iguais e medida de quantidade respectivamente estão presentes,
sendo que o tipo de tarefa de dividir em partes iguais é mais enfatizado.
Na organização matemática da coleção A, o autor utiliza de todas as técnicas
selecionadas, agregando-as em seus exemplos a cada volume. Percebemos que as técnicas
que envolvem o cálculo mental (τ7), as etapas para a resolução de um problema (τ9) e os
algoritmos (τ8) são as mais abordadas na coleção. A técnica τ9 está ausente apenas no 4º
volume e quanto a técnica τ8, predomina o algoritmo euclidiano, denominado pelo autor como
usual. A relação da multiplicação e da divisão como operações inversas (τ5) está presente
desde o 2º volume e no decorrer dos volumes o autor amplia suas técnicas. Com relação a τ8,
identificamos que embora o autor apresente a divisão por meio da tabuada, pelas subtrações
sucessivas, pelas estimativas, ele sempre retoma ao algoritmo euclidiano, ou seja, o usual.
Nos enunciados, o autor indica, em sua maioria, qual processo ou algoritmo o aluno deve
utilizar na resolução dos exercícios.
Consideramos que o grau de dificuldade das técnicas aplicadas é ampliado em cada
exemplo apresentado pelo autor em um mesmo volume e entre um volume e outro, efetivando
uma organização em espiral.
102
Quanto à organização didática da coleção A, identificamos que o conteúdo de divisão
de números naturais é introduzido, em sua maioria, por meio do elemento de abordagem
resolução de problema padrão, semelhante a exercícios de aplicação de técnicas, ou seja,
problemas considerados rotineiros, comuns sem grandes desafios para os alunos, é o único
presente na coleção, no que diz respeito aos exemplos resolvidos pelo autor referentes ao
conteúdo de divisão de números naturais. O objeto ostensivo imagem está presente com
frequência nesta coleção e o de característica Suporte (auxilia ou facilita o entendimento do
aluno em relação à explicação e/ou exercício) é predominante.
Concordamos com o que está disposto no Guia do PNLD 2010 com relação à
preocupação excessiva da sistematização do conteúdo e também das operações abordadas na
coleção A, que em alguns casos apresenta-se precocemente, dessa maneira, podendo limitar a
autonomia e a criatividade do aluno.
Na organização matemática da coleção B o tipo de tarefa de dividir em partes iguais
(T1) é o mais frequente. A técnica de calcular e/ou registrar a operação de divisão (τ4) está
presente em todos os volumes, a técnica de cálculo mental (τ7) está presente somente do 4º
volume e a técnica de cálculo aproximado (τ6) no 5º volume. Notamos que o trabalho
relacionado às técnicas τ8, τ5, τ10, τ11 é introduzido a partir do 4º volume e que as técnicas de
aplicar algoritmo (τ9) e dividir por meio da sequência numérica (τ12) estão ausentes na
coleção. As técnicas são aplicadas de maneiras diversificadas e gradativamente nos exemplos
dispostos. A técnica de aplicar algoritmo (τ8) pelas estimativas é enfatizada nesta coleção,
contudo, as autoras apresentam além desse procedimento, outras exemplificações de
resolução por meio de algoritmos (τ8).
A organização didática da coleção B geralmente parte do objeto ostensivo imagem de
característica Funcional, cuja imagem se faz necessária para o entendimento e resolução do
exercício, ou seja, sem ela não há como resolver o que é proposto, e a partir do elemento de
abordagem resolução de problema. O tipo de resolução de problema presente com maior
frequência é o padrão, porém, identificamos três exemplos de resolução de problemas que
dependem diretamente do objeto ostensivo imagem. O elemento de abordagem jogo é
proposto aos alunos de maneira que as autoras o envolvem em alguns exercícios propostos
para a resolução dos estudantes. Quanto ao uso da calculadora, as autoras apresentam o
instrumento de maneira que as crianças possam identificar as teclas e aplicar a técnica τ3.
Outros exercícios que envolvem o uso desse elemento de abordagem são retomados a partir
do 3º volume.
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Percebemos, por meio dos enunciados, que as autoras da coleção B valorizam a
escolha pessoal do aluno para a resolução dos exercícios propostos. Dessa maneira,
concordamos com o PNLD 2010 quanto à metodologia da coleção B que possibilita a
construção de conhecimento de maneira significativa e a utilização de quadrinhos que
propicia a aproximação da coleção com o mundo infantil. Consideramos que a coleção B se
aproxima mais da proposta contemplada nos Parâmetros Curriculares Nacionais no que
concerne ao primeiro e segundo ciclo do Ensino Fundamental.
Notamos que o 4º volume das coleções A e B, é o qual apresenta maior quantidade de
páginas, de tarefas, de elementos de abordagem e de objeto ostensivo.
Percebemos que as praxeologias (T,τ8) e (T,τ9) recebem maior cuidado na coleção A e
que tal coleção contempla todas as técnicas selecionadas. Na coleção B, a praxeologia (T,τ4) é
aplicada do 2º ao 5º volume e consideramos que a praxeologia (T,τ8) é explorada de maneiras
mais diversificadas.
De fato as coleções se diferem quanto a abordagem do conteúdo de divisão de
números naturais, cada qual com suas especificidades. Porém, entendemos que um bom livro
se mal utilizado pouco contribui, além de que, um livro pode ser considerado bom em
determinados locais e nem tão apreciado em outros. Essa é uma de nossas indagações quanto
ao uso de livros didáticos em sala de aula, tanto pelo professor quanto pelo aluno, o que
caberia ser pesquisado em outro momento.
Entendemos que nossa pesquisa não se finda neste trabalho, pois, acreditamos
também, em perspectivas de estudos futuros no que se refere à prática de professores no
desenvolvimento do conteúdo de divisão de números naturais em sala de aula; à utilização do
livro didático por professores; estudar outros conteúdos dos anos iniciais do Ensino
Fundamental sob o olhar da praxeologia, entre outros.
Almejamos que esta pesquisa possa contribuir com outros estudos relacionados à
aprendizagem não só de divisão como de Matemática de um modo geral, nos anos iniciais do
Ensino Fundamental.
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