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UmnovotipodecinciaeofuturodamatemticaANewKindofScienceandtheFutureofMathematics,StephenWolfram,7deJaneirode2004.TraduzidodoartigooriginalporAmauryCarvalho,2005.

Bem,oqueeugostariadefazeressamanhfalarsobrealgumascoisasqueeufiz,nocursodemuitosanos,quepensoserdealgumaimportnciaparaamatemticaematemticos.Seroexpostosaquiapenasesboos,maioresdetalhespoderoserencontradosnomeulivro.

Creioqueissotudocomeoucomoumpequenoexperimentocomputacionalqueeufiznocomeode1980,oqualgostariademostraravocs.

Tenhotrabalhoemalgunsproblemasbsicosemfsica,ealgumacoisamaisembiologia.Euprocuravaosmaissimplesmodelospossveis.Efoioquemelevouparaumparticulartipodemodelo,bastantesimples,quesetornouumaversodoqueconhecidocomoautmatocelular.

Aquiestcomoumautmatocelulardeumanicadimensotrabalha.

Imagineumalinhadeclulas,cadaqualtendoacorpretaoubranca...[VejaANewKindofScience,pgina24.]

...evoluindopaginabaixo,emdiscretospassos.[VejaNKS,pgina24.]

Comacordecadaclulacadapassosendodeterminadaporumaregrafixa,queutilizaacordacluladopassoanterior(esuasvizinhas)comoentrada.

http://www.stephenwolfram.com/publications/talks/jmm2004/index.html

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Ento,sendoiacordaensimacluladopassot,matematicamentetemos:

Bem,vocpoderepresentaressaregraporumconequemostraoqueaconteceemcadaumados8casospossveisondeastrsclulasdopassoanteriorpodemserencontradas.Nocone,asclulasdebaixorepresentamaregraaserseguida.[VejaNKS,pgina24.]

Ento,iniciandooexemplocomumasimplesclulapretacentral,temos:

Tentemosagoramodificararegraapenasumpouco.Aquiestoutroexemplo.[NKS,pgina25]

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Oexemploresultaemumpadroquadriculadoparecidocomumjogodedamas.

Noentanto,nadadissoaindasurpreendente.Nstemossimplesregras,asquaisresultamemcomportamentosigualmentesimples.

Serqueissosempreacontece?Bem,dumaolhadanisso.[NKS,25]

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Noparecehaverrepeties.Executemosumpoucomais.[NKS,26]

Bem,mostraseumpadrofractalbastanteregular.

Dasetiraumaproposiogeral:searegraesuascondiesiniciaissosimples,entoocomportamentosempreterdesercorrespondentementeregularesimples.Bem,aomenosat1981issoeraoqueeuassumiaserverdade.

Masumdiadecidifazerumexperimentosistemtico:rodarcadaumadaspossveisregrasdoautmatocelularmaissimples.

Existeumtotalde256delas(doisestadospretooubrancoelevadoaoitopossibilidades),evocpodeenumerarsuasregrasassim:[NKS,53]

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Eaquiestoqueelasfazem.Existeumpoucodediversidade.Masamaioriadoscomportamentosparecembastantesimples.Uniforme,ourepetitivo,oupelomenosaninhado.[NKS,55]

Massevocolharcomcuidado,existealgunscasosondeoutrascoisassurgem.Aprimeiradelasaregra30.[NKS,27].

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Ento,vamosdarumaolhadanela:

Pareceumpoucocomplicada.Toassimtricaquantoaprpriaregra.Tentemosexecutlaumpoucomais.[NKS,30]

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Bem,existeumgrupodelistasperidicassobreaparteesquerda.Masooutroladoparecerealmentecomplicado.Verdadeiramenteumtipodealeatoriedade.

Quandoviissopelaprimeiravez,euacrediteiqueeraumproblemacomnossosistemavisual.Oqueaconteciacomalgumaregularidade,masnossosistemavisualnotinhaquebrado.

Entocomeceiatentartodotipodemtodosestatsticosematemticosnessaregra.Eexistecertamentemuitacoisaquepoderamosdizersobrearegra30:quehummapa,pequenasecrescentesperturbaes,ecertosespectrosdepontosperidicos.

Opadrotemumaprofundidadediagonalddepelomenosdoiselevadod.Naesquerda,operodomuitopequeno,masnadireita,beiraaolimite.

Digamosqueolhemosnacolunaverticalcentraldeclulas.Poderiaseimaginaremutilizlaparaumpasseioaleatrio.Aquiestoprimeiromilhodepassos.[NKS,871]

Certamente,noparecehaverrepetio.Eseolharmosemumaclulavizinhaocasional,podeseconstatarisso.Defato,essaregrapassaemtodosostestesestatsticosdepadrodealeatoriedade.Incluindoasdeanlisecriptogrficas.

Atualmente,nsusamosessencialmenteessaseqnciaparacriarinteirosaleatriosnoMathematicanosltimos16anos.Eelepassouemzilhesdetestes,mesmonaquelesondemuitosoutrosgeradoresdenmerospseudoaleatriosfalharam.[NKS,30]

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Aindaassimaregra30tosimplesinternamente,quealgumquefiguranomundodamatemticadirquedevehaver*alguma*formadeanalisla.

Bem,comoaquecimento,vamosdarumaolhadanaregra90.[NKS,26]

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Essaregraapenasusaovalordorestodadivisodasomadasvizinhaspordois.

Ento,elacriaotriangulodePascalmdulo2.[NKS,611]

Issosignificaquevocpodeencontraracor(restodadivisopordois)daposioxepassotdeumcoeficientebinomial.Outambm,atualmenteapenasfazeroperaesbinriasdeOUdosdgitosentreosinteirosdexet.[NKS,608]

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Bem,temosaquioutroexemplocomoesse.Aregra150.

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outraregraaditiva.[NKS,611]

Masagoraprocedendocomtrinmios,nobinmios,envolvendoentofunesdeGegenbauer.[NKS,610]

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Bem,qualquerregraaditivaresultarempadresaninhados.Essasuspeitapodeserdescritaporalgumafunohipergeomtrica.

Masaregra30noaditiva,enohnenhumafunoespecialquepareadescrevla.[NKS,30]

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Naturalmente,emcadapasso,elafazapenasumasimplesfunobooleana.[NKS,616]

Aqualpoderseiaescreverdediversasformas.

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Masopontoquesuasiteraesnososimples.Naregra90,tudopermanecemuitosimples.[NKS,618]

Masnaregra30,issonoacontece.[NKS,618]

AquiestasexpressesDNF(DisjunctiveNormalForm)mnimasdecincopassos,almdarvoreNAND(noE)

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absolutamnimadedoispassos.[NKS,619]

Poderiaseprosseguir,masobsicoqueexistedefinitivamentealgumacoisarealacontecendo.

Existealgoquerealmenteestnosimpedindodeexplicarmosaregra30.[NKS,30]

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Serissomesmoimportante?Seraregra30apenasumcuriosocasoisolado?Ouissooprimeirosinaldealgumprofundoegeralfenmeno?

Bem,aquiestumoutroautmatocelular.[NKS,67]

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Muitodomesmotipodecomportamentoacontece.Mesmoemumadimensoouemduasdimenses.[NKS,174]

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Outrs.[NKS,183]

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Maseemoutrossistemas?Regrasdeautmatoscelularespossuemmuitosaspectosespeciais.Ento,oqueacontecesevocanalisaroutroexemplodesistema?

AquiestumamquinadeTuring.[NKS,78]

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Demuitasformaselapareceumautmatocelular.Masumadiferenabsicaqueelasomenteatualizaumaclulaporvez.

Bem,asprimeirasmilmquinasdeTuringsomentefazemessetipodecoisa.[NKS,79]

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Massecontinuarmosexecutandoas,aindacomregrasbemsimples,encontraremosisso:[NKS,81]

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Omesmotipodecomportamentoquevimosemumautmatocelular.

Eaquiestumautmatodeiteraofinitadeumgrupodetericosquerecentementechamaramminhaateno:

Novamente,amesmaestria.

Bem,oqueacontecesensnofixarmosvetoresdeclulas?Aquiestumsistemadesubstituioseqencial,quecadaiteraoreescrevecadeias(strings).[NKS,90]

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Eusaregrassimplesparaobtercomportamentosbastantecomplexos.[NKS,92]

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Aquiestumtipoumpoucodiferentedesistema:umamquinaregistradora.[NKS,100]

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comoumaidealizaomnimadalinguagemdamaquina.Eamenormaquinaregistradorapossuicomportamentocomplexo.

Aquiestoqueeuchamosistemasimblico.[NKS,102]

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UmtipodeidealizaomnimadaestruturaporbaixodoMathematica.Ougeneralizaodecombinadores.E,novamente,amesmaestria.[NKS,104]

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Umacoisasobretodosessessistemasquetenhomostradoqueelessomenteevoluemseqencialmentedeumpassoparaoutro.Bem,aquiestumquenofazisso.

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Euchamoodesistemademltiploscaminhos.Eletemregrasparareescrevercadeias(strings),quepodemseraplicadasdetodasasformaspossveis.umtipodesemisemigrupo.E,novamente,mesmoamaissimplesregraresultaemtodotipodecomportamentocomplexo.[NKS,206]

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Realmentenotemquehaverqualquertipodeprocessoevolutivo.Considereumproblemademalhaemquetemoscomorestriocircularemcadaclula,ondesomentecertasvizinhanassopermitidas.[NKS,213]

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Bem,comessaconfigurao,setraarmosoplanoentopoderemossemprefazloperiodicamenteemumadessas171formas.[NKS,214]

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Massetambmdissermosqueoplanonopodesertodobranco,entoaproximadamente19milhesderestriesdaroisso.[NKS,219]

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Esseoprimeirotraadodemalhanecessariamentenoperidico.Tipodequadradomnimoquasecristal.Ou,umainteressantebidimensionalsubtrocadefinitostipos.

Bem,indoumpoucomaisalm,veramoscasoscomoesse:[NKS,221]

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Umamalhaforadaafazeropadrodaregra30.Oqueseriabastanteinteressantedeencontraremumcristalreal.

Bem,OK,esobreosnmeros?Aquiestaseqnciadedgitosobtidospelosucessvelincrementodeuminteiro.[NKS,118]

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Umsimplespadroaninhado.

Aquiestoosmltiplosdedois,nabasedois.[NKS,119]

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Bemtrivial.Masaquiestoosmltiplosdetrs,nabasedois.[NKS,119]

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Avanar

http://www.geocities.ws/amaurycarvalho/artigo_NKS_x_matematica1.html