matemática discreta para ciência da...

Matemática Discreta para Ciência da Computação - P. Blauth Menezes 1

Matemática Discreta paraCiência da Computação

P. Blauth Menezes

[email protected]

Departamento de Informática Teórica

Instituto de Informática / UFRGS


Matemática Discreta para Ciência da Computação

P. Blauth Menezes

1 Introdução e Conceitos Básicos2 Lógica e Técnicas de Demonstração3 Álgebra de Conjuntos4 Relações5 Funções Parciais e Totais6 Endorrelações, Ordenação e Equivalência7 Cardinalidade de Conjuntos8 Indução e Recursão9 Álgebras e Homomorfismos10 Reticulados e Álgebra Booleana11 Conclusões


9 – Álgebras eHomomorfismos

9.1 Operações Binárias9.2 Propriedades das Operações Binárias9.3 Grupóides, Semigrupos, Monóides, Grupos9.4 Importantes Propriedades dos Monóides e

Grupos9.5 Homomorfismos9.6 Monóide Livre Gerado e Fecho de Kleene9.7 Grafos9.8 Categorias


9 Álgebras e Homomorfismos

◆ Já foi introduzido que

• Álgebra, desde a sua origem até a sua forma atual∗ refere-se a cálculos

• Desenvolvida de forma informal ou formal∗ praticamente em todos os níveis de escolaridade∗ ex: operações aritméticas (adição, multiplicação…) sobre R

• Álgebras, em CC, destaca-se a partir de 1950∗ Teoria dos Autômatos e Linguagens Formais

• De certa forma, toda a CC é construída sobre álgebras∗ Álgebra: denominação alternativa para a Matemática Discreta


◆ Assim, o estudo mais amplo de álgebras

• central no contexto da Matemática Discreta

◆ Alguns exemplos de álgebras já introduzidos

• Álgebra de Conjuntos∗ conjuntos e as operações sobre conjuntos (união,…)

• Álgebra de Funções∗ funções e composição de funções

• Álgebra de Proposições∗ proposições e conetivos lógicos (e, negação,…)

◆ Seguindo a mesmo linha de raciocínio

• Álgebra de Relações, Álgebra de Funções Parciais, ...


◆ Conceito formal de álgebra

• simples• mas com um nível de abstração relativamente alto

∗ para caracterizar todos os tipos de álgebras

◆ O conceito é construindo do concreto para o abstrato

• inicialmente são introduzidos alguns exemplos

◆ Exemplos acima são de álgebras grandes

• operações definidas sobre coleções (e não conjuntos)

◆ Neste capítulo

• ênfase às álgebras pequenas


◆ Homomorfismo de Álgebras

• conceito tão importante quanto o de álgebra• são funções (álgebras pequenas)

∗ mapeiam álgebras (estruturalmente similares)∗ preservando as estruturas

• morfismo∗ alguma forma de mapeamento (relação, função, …)∗ entre duas estruturas similares

• homo∗ preserva a estrutura

• noção de homomorfismo é desenvolvida gradativamente


◆ Estudo mais formal de álgebra

• conceito de operação• principais propriedades das operações

◆ Importantes álgebras e homomorfismos

• fecho de Kleene• grafo (visto como álgebra)• categoria (vista como álgebra)


9.1 Operações Binárias

◆ Operação (pequena): função parcial

• já foi introduzido

◆ De especial interesse para a Computação e Informática

• operações binárias∗ domínio: produto cartesiano

• operações internas a um conjunto A∗ domínio e contra-domínio são definidos sobre A

• operações fechadas∗ total


Def: Operação Binária, Interna, FechadaA, B e C conjuntos

Operação Binária

⊕: A × B → C

Operação Interna ao conjunto A• domínio e contra-domínio são definidos em A

∗ o próprio A ou∗ conjunto resultante do produto cartesiano sobre A

• operação binária interna ao conjunto A

⊕: A × A → A

Operação Fechada: operação total (função)


Exp: Operação binária? interna? fechada?

Divisão nos reais. div: R × R → R

div〈x, y〉 = x/y

Quadrado nos naturais. quadrado: N → N

quadrado(n) = n2

Elemento. 1 = { * } conjunto unitário. zero: 1 → N

zero〈*〉 = 0

União. A conjunto. ∪: P(A) × P(A) → P(A)


Obs: Elemento de Conjunto como FunçãoFunção zero: 1 → N tal que zero〈*〉 = 0

• forma de identificar um elemento de um conjunto por uma função• se 1 é conjunto unitário fixo, e A conjunto qualquer

#A = #{ f f : 1 → A é função }

• exemplo

true

false

1 boolean

truetrue

false

1 boolean

false


9.2 Propriedades das OperaçõesBinárias

◆ Principais propriedades das operações binárias,internas e fechadas

• Comutativa *

• Associativa *

• Elemento neutro *

• Elemento inverso

* introduzidas anteriormente: Álgebra de Conjuntos & Lógica


Def: Comutativa, Associativa, Elemento Neutro,Elemento Inverso

⊕: A × A → A operação binária, interna e fechada

Comutativa

(∀a ∈ A)(∀b ∈ A) ( a ⊕ b = b ⊕ a )

Associativa

(∀a ∈ A)(∀b ∈ A)(∀c ∈ A) ( a ⊕ (b ⊕ c) = (a ⊕ b) ⊕ c )

Elemento Neutro

(∃e ∈ A)(∀a ∈ A) ( a ⊕ e = e ⊕ a = a )

Elemento Inverso

(∀a ∈ A)(∃a ∈ A) ( a ⊕ a = a ⊕ a = e )


◆ Associativa ???

• precedência na aplicação do operando não é importante• parênteses podem ser omitidos

a ⊕ b ⊕ c

◆ Elemento Neutro

• satisfazer simultaneamente à esquerda e à direita é fundamental

(∃e ∈ A)(∀a ∈ A) ( a ⊕ e = e ⊕ a = a )

• divisão nos reais∗ possui neutro à direita número um∗ não possui neutro à esquerda


Exp: Propriedades da UniãoA conjunto. ∪: P(A) × P(A) → P(A)

• Comutativa?

• Associativa?

• Elemento neutro? (qual ?)

• Elemento inverso?


Exp: Propriedades da Adição+: N × N → N

• comutativa• associativa• elemento neutro (zero)

+: Z × Z → Z

• comutativa• associativa• elemento neutro• elemento inverso

n + –n = –n + n = 0


Exp: Propriedades da Multiplicação

*: N × N → N

• comutativa, associativa e elemento neutro (um)

*: R × R → R

• comutativa, associativa e elemento neutro

• se considerada sem o zero∗ elemento inverso

x * 1/x = 1/x * x = 1


9.3 Grupóides, Semigrupos, Monóides,Grupos

◆ Exemplo de álgebra

• operação binária e interna ⊕: A × A → A

• usualmente denotada como um par ordenado

〈A, ⊕〉

• álgebra interna∗ operação ⊕ é interna

• conjunto suporte da álgebra interna 〈A, ⊕〉∗ conjunto A


◆ Operações binárias e internas são especialmenteimportantes para Computação e Informática

◆ Tipos mais importantes de álgebras internas com umaúnica operação binária

• se a operação for comutativa, é dita abeliana

Tipo deÁlgebra

Fechada Associativa ElementoNeutro

ElementoInverso

Grupóide ✔

Semigrupo ✔ ✔

Monóide ✔ ✔ ✔

Grupo ✔ ✔ ✔ ✔


◆ Hierarquia entre estes tipos de álgebras

Grupóides(fechada)

Semigrupos(fechada + associativa)

Universo de Todas as Álgebras Internas(uma operação)

Monóides(fechada + associativa + neutro)

Grupos(fechada + associativa + neutro + inverso)


Def: Grupóide, Semigrupo, Monóide, GrupoGrupóide: álgebra interna 〈A, ⊕〉

• ⊕: A × A → A operação (binária e interna)• fechada

Semigrupo: álgebra interna 〈A, ⊕〉• 〈A, ⊕〉 grupóide• associativa

Monóide: álgebra interna 〈A, ⊕〉 ou 〈A, ⊕, e〉• 〈A, ⊕〉 semigrupo• elemento neutro

Grupo: álgebra interna 〈A, ⊕〉 ou 〈A, ⊕, e〉• 〈A, ⊕〉 monóide• elemento inverso


Def: Grupóide, Semigrupo, Monóide, Grupo

Se a operação for comutativa

• Grupóide Comutativo ou Grupóide Abeliano

• Semigrupo Comutativo ou Semigrupo Abeliano

• Monóide Comutativo ou Monóide Abeliano

• Grupo Comutativo ou Grupo Abeliano


Exp: Grupóide, Semigrupo, Monóide: ConcatenaçãoΣ alfabeto não-vazio, operação de concatenação

conc: Σ* × Σ* → Σ*• fechada• associativa• elemento neutro (palavra vazia ε)

Portanto, a álgebra interna 〈Σ*, conc〉 é simultaneamente• grupóide• semigrupo• monóide

Não é• grupo (e se o alfabeto for vazio?)• comutativa (e se o alfabeto for vazio ou unitário?)


Exp: Grupóide, Semigrupo, Monóide: União eIntersecção

A conjunto, operações de união e de intersecção

∪: P(A) × P(A) → P(A) e ∩: P(A) × P(A) → P(A)

• fechadas• associativas• elemento neutro (∅ e A)• comutativas

Portanto álgebras internas 〈P(A), ∪〉 e 〈P(A), ∩〉 são simultaneamente• grupóides abelianos• semigrupos abelianos• monóides abelianos


Exp: Grupóide, Semigrupo, Monóide: União eIntersecção

Se união e intersecção

• definidas sobre todos os conjuntos• constituem grupóides?

Se o conjunto suporte A for vazio,• 〈P(A), ∪〉 e 〈P(A), ∩〉• constituem grupos?


Exp: Grupóide, Semigrupo, Monóide, Grupo: Adição eMultiplicação

Simultaneamente grupóides abelianos, semigrupos abelianos emonóides abelianos (qual o elemento neutro ?)

• 〈N, +〉 e 〈N, ∗〉• 〈Z, +〉 e 〈Z, ∗〉• 〈R, +〉 e 〈R, ∗〉

Grupos abelianos

• 〈Z, +〉 adição nos inteiros• 〈R, +〉 adição nos reais• 〈R – { 0 }, ∗〉 multiplicação nos reais sem o zero


Exp: Grupóide, Semigrupo, Monóide, Grupo: UnitárioSimultaneamente grupóide abeliano, semigrupo abeliano, monóideabeliano e grupo abeliano

Unitário. 〈{ ∗ }, !〉, operação !: { ∗ } × { ∗ } → { ∗ }

• fechada• associativa• comutativa• elemento neutro (o único elemento do suporte)• elemento inverso (por quê?)• única op. com origem em { ∗ } × { ∗ } e destino em { ∗ } (por quê?)

Menor monóide (em termos do cardinal do conjunto suporte)

• unitário


Exp: Grupóide, Semigrupo: VazioSimultaneamente grupóide abeliano e semigrupo abeliano

Vazio. 〈∅, ∅〉, operação vazia ∅: ∅ × ∅ → ∅

• fechada• associativa (por quê?)• comutativa• única operação com origem em ∅ × ∅ e destino em ∅ (por quê?)

Menor grupóide (em termos do cardinal do conjunto suporte)

• vazio


Exp: Álgebra Não-GrupóideA conjunto não-vazio. Não são grupóides (por que?)

• Subtração nos naturais: 〈N, -〉

• Divisão nos reais: 〈R, /〉

• Produto cartesiano no conjunto das partes 〈P(A), ×〉

Exp: Álgebra Não-SemigrupoSão grupóides, mas não são semigrupos (operações não-associativas)

• Subtração nos inteiros: 〈Z, -〉

• Divisão nos reais sem o zero: 〈R - { 0 }, /〉


Exp: Álgebra Não-MonóideVazio. Semigrupo abeliano 〈∅, ∅〉

• operação ∅: ∅ × ∅ → ∅

• não possui elemento neutro∗ suporte de um monóide não pode ser vazio

Adição e Multiplicação. Excluindo-se, respectivamente, 0 e 1

• 〈N - { 0 }, +〉 e 〈N - { 1 }, ∗〉

• 〈R - { 0 }, +〉 e 〈R - { 1 }, ∗〉


Exp: Álgebra Não-Grupo

Adição e Multiplicação.

• 〈N, +〉 adição nos inteiros• 〈R, ∗〉 multiplicação nos reais

União e Intersecção. A conjunto não-vazio

• 〈P(A), ∪〉• 〈P(A), ∩〉

Concatenação. Σ alfabeto não-vazio

• 〈Σ*, conc, ε〉


9.4 Importantes Propriedades dosMonóides e Grupos

◆ Elemento neutro em um monóide é único???

• Técnicas de Demonstração - prova por absurdo

0 é o único elemento neutro da adição em N

Teorema: Elemento Neutro de um Monóide é Único

〈A, ⊕, e〉 monóide. Então, e ∈ A é o único elemento neutro do monóide

Prova: (por absurdo)〈A, ⊕, e〉 monóide. Suponha que e não é o único elemento neutro

• existe um outro elemento neutro e, diferente de e


Então (suponha a ∈ A)

• e é neutro∗ a = e ⊕ a = a ⊕ e∗ para a = e tem-se que e = e ⊕ e = e ⊕ e

• e é neutro∗ a = e ⊕ a = a ⊕ e∗ para a = e tem-se que e = e ⊕ e = e ⊕ e

• transitividade da igualdade∗ e = e∗ contradição!!! foi suposto que e ≠ e

É absurdo supor que o elemento neutro de 〈A, ⊕, e〉 não é único

Logo, o elemento neutro é único


◆ Teorema a seguir

• importante propriedade dos grupos

• generaliza a intuição sobre operações como a adição nos reais∗ se x + 3 = y + 3∗ então, x = y

• propriedade cancelamento


Teorema: Propriedade de Cancelamento dos Grupos〈A, ⊕〉 um grupo satisfaz à propriedade de cancelamento, ou seja,simultaneamente:

• Cancelamento à direita

(∀a ∈ A)(∀x ∈ A)(∀y ∈ A) ( x ⊕ a = y ⊕ a → x = y )

• Cancelamento à esquerda:

(∀a ∈ A)(∀x ∈ A)(∀y ∈ A) ( a ⊕ x = a ⊕ y → x = y )


Prova:

Cancelamento à direita. Suponha que x ⊕ a = y ⊕ a

• x = elemento neutro• x ⊕ e = elemento inverso• x ⊕ (a ⊕ a) = associatividade• (x ⊕ a) ⊕ a = hipótese• (y ⊕ a) ⊕ a = associatividade• y ⊕ (a ⊕ a) = elemento inverso• y ⊕ e = elemento neutro• y

• Portanto, x = y

Cancelamento à esquerda. A prova é análoga (exercício)


Teorema Elemento Inverso em um Grupo é Único〈A, ⊕〉 grupo. Então, para qualquer a ∈ A, o elemento inverso de a éúnico

Prova:

Exercício


9 – Álgebras e Homomorfismos9.1 Operações Binárias9.2 Propriedades das Operações Binárias9.3 Grupóides, Semigrupos, Monóides, Grupos9.4 Importantes Propriedades dos Monóides e

Grupos9.5 Homomorfismos

9.5.1 Grupóides e Semigrupos9.5.2 Monóides9.5.3 Grupos

9.6 Monóide Livre Gerado e Fecho de Kleene9.7 Grafos9.8 Categorias


9.5 Homomorfismos

◆ Homomorfismo de álgebras (já foi afirmado)

• é constituído por funções (no caso de álgebras pequenas)

• mapeiam álgebras de um mesmo tipo

• preservando as suas estruturas

◆ Como estruturas (abelianas ou não) são preservadaspor homomorfismos de

• Grupóides?• Semigrupos?• Monóides?• Grupos?


◆ Monomorfismo, epimorfismo e isomorfismo?

• seria de se esperar que os conceitos fossem naturalmenteestendidos para mapeamentos de álgebras

• somente o de isomorfismo pode ser estendido

Obs: Monomorfismo, Epimorfismo e Isomorfismo deÁlgebras

Isomorfismo• baseado na existência de um morfismo inverso• pode ser naturalmente estendido para as estruturas algébricas

Monomorfismo e epimorfismo• necessitam de noções e conceitos baseados em Teoria das

Categorias (fogem do escopo da disciplina)


◆ Estruturas algébricas isomorfas

• se existe um isomorfismo entre tais estruturas• são consideradas basicamente a mesma

iguais a menos de isomorfismo

• e, obrigatoriamente

possuem as mesmas propriedades


9.5.1 Homomorfismo: Grupóides e Semigrupos

◆ Homomorfismo de grupóides

• função entre os conjuntos suportes• preserva a operação

a1a2

a3 = a1⊕a2

b1b2

b3 = b1⊗b2

homomorfismo

〈A,⊕〉〈B,⊗〉


◆ Homomorfismo de semigrupos

• é como um homomorfismo de grupóides• preserva operação ⇒ preserva associatividade

Def: Homomorfismo de Grupóides〈A, ⊕〉 e 〈B, ⊗〉 grupóides

h: 〈A, ⊕〉 → 〈B, ⊗〉

função entre os conjuntos suportes h: A → B tal que

(∀a1 ∈ A)(∀a2 ∈ A)( h〈a1 ⊕ a2〉 = h〈a1〉 ⊗ h〈a2〉 )


◆ Notação

h: 〈A, ⊕〉 → 〈B, ⊗〉

• e não simplesmente como função h: A → B

• destaca o fato de que se trata de um morfismo entre álgebras


Exp: Homomorfismo de Grupóides: Identidade, Inclusão

〈A, ⊕〉, 〈N, +〉 e 〈Z, +〉 grupóides

Identidade. Função identidade idA: A → A induz

id〈A,⊕〉: 〈A, ⊕〉 → 〈A, ⊕〉

Inclusão. Função inclusão incN,Z: N → Z induz

inc〈N,+〉,〈Z,+〉: 〈N, +〉 → 〈Z, +〉

◆ Termos identidade e inclusão

• consideram toda a estrutura do grupóide

• e não apenas o conjunto suporte


Exp: Morfismo Não-Homomorfismo de GrupóidesA um conjunto e 〈P(A), ∪〉, 〈P(A), ∩〉 grupóides

Morfismo induzido pela identidade idP(A): P(A) → P(A) não é, em geral,um homomorfismo de grupóides

idP(A): 〈P(A), ∪〉 → 〈P(A), ∩〉

Exemplo: A = { a, b }, P(A) = { ∅, { a }, { b }, { a, b } }

• São diferentes∗ idP(A)〈{ a } ∪ { b }〉 = idP(A)〈{ a, b }〉 = { a, b }∗ idP(A)〈{ a } ∪ { b }〉 = idP(A)〈{ a }〉 ∩ idP(A)〈{ b }〉 = {a} ∩ {b} = ∅

Exercício: função inclusão (não-identidade) a qual induz um morfismonão-homomorfismo de grupóides


Exp: Homomorfismo de Grupóides: Concatenação

Σ1 = { a, b, c } e Σ2 = { r, s } alfabetos

〈Σ1*, conc1〉 e 〈Σ2*, conc2〉 grupóides

Função f: Σ1 → Σ2 tal que (função entre alfabetos)

• f〈a〉 = r• f〈b〉 = r• f〈c〉 = s

induz canonicamente o homomorfismo de grupóides (mapeia palavras)

f*: 〈Σ1*, conc1〉 → 〈Σ2*, conc2〉


indutivamente definido

• f*〈ε〉 = ε• para qualquer x ∈ Σ1, vale f*〈x〉 = f〈x〉• se x ∈ Σ1 e w ∈ Σ1*, então f*〈x w〉 = f〈x〉 f*〈w〉

εabcaaabacbb

Σ1* ε

r

s

r r

rs...

Σ2*

f*

...


Exemplo:

• f*〈abc〉 =

• f〈a〉 f*〈bc〉 =

• f〈a〉 f〈b〉 f*〈c〉 =

• f〈a〉 f〈b〉 f〈c〉 f*〈ε〉 =

• r r s ε = r r s

εabcaaabacbb

Σ1* ε

r

s

r r

rs...

Σ2*

f*

...


Função entre alfabetos g: Σ2 → Σ1

• g〈r〉 = a• g〈s〉 = b

induz o homomorfismo de grupóides

εabcaaabacbb...

ε

r

s

r r

rs...

Σ2* Σ1*

g*


Def: Isomorfismo de Grupóides

h: 〈A, ⊕〉 → 〈B, ⊗〉 é um Isomorfismo de Grupóides se e somente se

• h possui um homomorfismo de grupóides inversog: 〈B, ⊗〉 → 〈A, ⊕〉

g o h = id〈A,⊕〉 e h o g = id〈B,⊕〉


Exp: Isomorfismo de Grupóides

〈{ a }*, conc〉 e 〈N, +〉 grupóides

h: { a } → N

• tal que h〈a〉 = 1

induz o homomorfismo de grupóides indutivamente definido

h*: 〈{ a }*, conc〉 → 〈N, +〉

• h*〈ε〉 = 0• h*〈a〉 = h〈a〉• se w ∈ { a }*, então h*〈a w〉 = h〈a〉 + h*〈w〉


Exp: …Isomorfismo de Grupóides

Mapeia cada palavra no seu correspondente tamanho

h*〈aaa〉 = h〈a〉 + h*〈aa〉 = h〈a〉 + h〈a〉 + h*〈a〉 =

h〈a〉 + h〈a〉 + h〈a〉 + h*〈ε〉 = 1 + 1 + 1 + 0 = 3

Homomorfismo induzido h*: 〈{ a }*, conc〉 → 〈N, +〉• é isomorfismo de grupóides (qual o homomorfismo inverso?).

Logo, 〈Σ*, conc〉 e 〈N, +〉 são

iguais a menos de isomorfismo

• base unária para os naturais e a operação de adição


Obs: Base de Sistemas Numéricos

Base decimal• base dos sistemas numéricos usualmente adotada na Matemática

∗ origem: número de dedos das duas mãos

• base complicada para representação em sistemas computadores∗ computador: usa base binária∗ os dois valores possíveis de um bit: 0 e 1 ou qq alfabeto binário

Exemplo anterior: base unária para os naturais e a adição

Estudo de bases

• Arquitetura de Computadores e Aritmética Computacional

Exercício: base binária para os números naturais e a adição


◆ Dois teoremas importantes

• composição de hom. de grupóides é hom. de grupóides• hom. de grupóides preservam a propriedade associativa

Teorema: Composição de Homomorfismo de Grupóides〈A, ⊕〉, 〈B, ⊗〉 e 〈C, ∇〉 grupóides

f: 〈A, ⊕〉 → 〈B, ⊗〉 e g: 〈B, ⊗〉 → 〈C, ∇〉 hom. de grupóides

g o f: 〈A, ⊕〉 → 〈C, ∇〉

induzido pela composição das funções f: A → B e g: B → C

g o f: A → C

é homomorfismo de grupóides


Prova: Suponha f: 〈A, ⊕〉 → 〈B, ⊗〉 e g: 〈B, ⊗〉 → 〈C, ∇〉 hom. de grupóides

Como a composição de funções é uma função

• mostrar que g o f: 〈A, ⊕〉 → 〈C, ∇〉 é hom. de grupóides• basta mostrar que preserva a operação

Para quaisquer a1 ∈ A e a2 ∈ A

• g o f〈a1 ⊕ a2〉 = definição de composição• g〈f〈a1 ⊕ a2〉〉 = f hom. de grupóides• g〈f〈a1〉 ⊗ f〈a2〉〉 = g hom. de grupóides• g〈f〈a1〉〉 ∇ g〈f〈a2〉〉 = definição de composição• g o f〈a1〉 ∇ g o f〈a2〉

Portanto g o f: 〈A, ⊕〉 → 〈C, ∇〉 é hom. de grupóides


Teorema: Hom de Grupóides Preserva a AssociatividadeSejam 〈A, ⊕〉 e 〈B, ⊗〉 grupóides e f: 〈A, ⊕〉 → 〈B, ⊗〉 hom. de grupóides

Se 〈A, ⊕〉 ou 〈B, ⊗〉 é semigrupo

• então f: 〈A, ⊕〉 → 〈B, ⊗〉 preserva a associatividade


Prova:

Caso 1: 〈A, ⊕〉 é semigrupo

Como ⊕ é associativa, para quaisquer a ∈ A, b ∈ A e c ∈ A

f〈a ⊕ (b ⊕ c)〉 = f〈(a ⊕ b) ⊕ c〉

Como f: 〈A, ⊕〉 → 〈B, ⊗〉 preserva a operação

• f〈a ⊕ (b ⊕ c)〉 = f〈(a ⊕ b) ⊕ c〉 ⇔

• f〈a〉 ⊗ f〈(b ⊕ c)〉 = f〈(a ⊕ b)〉 ⊗ f〈c〉 ⇔

• f〈a〉 ⊗ (f〈b〉 ⊗ f〈c〉) = (f〈a〉 ⊗ f〈b〉) ⊗ f〈c〉

Logo, preserva a associatividade


Caso 2: 〈B, ⊗〉 é semigrupo

Para quaisquer a ∈ A, b ∈ A e c ∈ A

• f〈a ⊕ (b ⊕ c)〉 = f preserva a operação• f〈a〉 ⊗ f〈b ⊕ c〉 = f preserva a operação• f〈a〉 ⊗ (f〈b〉 ⊗ f〈c〉) = ⊗ é associativa• (f〈a〉 ⊗ f〈b〉) ⊗ f〈c〉 = f preserva a operação• f〈a ⊕ b〉 ⊗ f〈c〉 = f preserva a operação• f〈(a ⊕ b) ⊕ c〉

Logo, preserva a associatividade

Portanto, hom de semigrupos é como um hom. de grupóides

• basta preservar a operação


Def: Homomorfismo de Semigrupos

〈A, ⊕〉 e 〈B, ⊗〉 semigrupos

Homomorfismo de Semigrupos

h: 〈A, ⊕〉 → 〈B, ⊗〉

• é um homomorfismo de grupóides h: 〈A, ⊕〉 → 〈B, ⊗〉

Isomorfismo de semigrupos

• se e somente se h possui um hom. de semigrupos inverso


◆ Comutatividade

• raciocínio análogo• exercício

Teorema: Hom. de Grupóides Preserva Comutatividade

〈A, ⊕〉 e 〈B, ⊗〉 grupóides

f: 〈A, ⊕〉 → 〈B, ⊗〉 hom. de grupóides

Se 〈A, ⊕〉 ou 〈B, ⊗〉 é abeliano

• então f: 〈A, ⊕〉 → 〈B, ⊗〉 preserva a comutatividade


9.1.2 Homomorfismo de Monóides

◆ Mapeamento de monóides

• preservar a operação

• não necessariamente implica preservar o elemento neutro∗ exercício

◆ Homomorfismo de monóides

• função entre os conjuntos suportes tal que, preserva∗ operação (como hom. de grupóides/semigrupos)∗ elemento neutro


◆ Homomorfismo de monóides

• função entre os conjuntos suportes∗ preserva operação (como hom. de grupóides/semigrupos)∗ preserva elemento neutro

eAa1a2

a3 = a1⊕a2

eBb1b2

b3 = b1⊗b2

homomorfismo

〈A,⊕,eA〉〈B,⊗,eB〉


Def: Homomorfismo de Monóides

〈A, ⊕, eA〉 e 〈B, ⊗, eB〉 monóides

Homomorfismo de Monóides

h: 〈A, ⊕, eA〉 → 〈B, ⊗, eB〉

• hom. de semigrupos (ou grupóides) h: 〈A, ⊕〉 → 〈B, ⊗〉• preserva o elemento neutro

h〈eA〉 =eB

Isomorfismo de monóides

• se e somente se possuir um hom. de monóides inverso


Exp: Homomorfismo: Identidade, Inclusão〈A, ⊕, e〉, 〈N, +, 0〉 e 〈Z, +, 0〉 monóides

Identidade. Função identidade idA: A → A

• induz homomorfismo identidade de monóides• isomorfismo de monóides

id〈A,⊕,e〉: 〈A, ⊕, e〉 → 〈A, ⊕, e〉

Inclusão. Função inclusão incN,Z: N → Z

• induz o homomorfismo inclusão de monóides abelianos

inc〈N,+,0〉,〈Z,+,0〉: 〈N, +, 0〉 → 〈Z, +, 0〉


Exp: Homomorfismo: União

A = { a, b } e X = { x, y, z } conjuntos

〈P(A), ∪, ∅〉 e 〈P(B), ∪, ∅〉 monóides abelianos

h: 〈P(A), ∪, ∅〉 → 〈P(X), ∪, ∅〉

tal que:

• h〈 ∅ 〉 = ∅• h〈 { a } 〉 = { x, y }• h〈 { b } 〉 = { y, z }• h〈 { a, b } 〉 = { x, y, z }

Preserva elemento neutro e operação


Exp: …Homomorfismo: União

Exemplificando a preservação da operação

• h〈 { a } ∪ { b } 〉 =

• h〈 { a, b } 〉 =

• { x, y, z } =

• { x, y } ∪ { y, z } =

• h〈 { a } 〉 ∪ h〈 { b } 〉

Portanto, h〈 { a } ∪ { b } 〉 = h〈 { a } 〉 ∪ h〈 { b } 〉


Exp: Homomorfismo: Isomorfismo

O homomorfismo de grupóides (exemplo anterior)

h*: 〈{ a }*, conc, ε〉 → 〈N, +, 0〉

é um isomorfismo de monóides

• preserva operação (é hom. de grupóides)• preserva elemento neutro

h*〈ε〉 = 0


Teorema: Composição de Homomorfismo de Monóides

〈A, ⊕, eA〉, 〈B, ⊗, eB〉 e 〈C, ∇, eC〉 monóides

f: 〈A, ⊕, eA〉 → 〈B, ⊗, eB〉 e g: 〈B, ⊗, eB〉 → 〈C, ∇, eC〉 hom. de monóides

O homomorfismo composto

g o f: 〈A, ⊕, eA〉 → 〈C, ∇, eC〉

• induzido pela composição das funções f: A → B e g: B → C• é um homomorfismo de monóides


Prova: (direta)f: 〈A, ⊕, eA〉 → 〈B, ⊗, eB〉 e g: 〈B, ⊗, eB〉 → 〈C, ∇, eC〉 hom. de monóides

Como a composição de hom. de semigrupos é hom. de semigruposbasta mostrar que g o f: 〈A, ⊕, eA〉 → 〈C, ∇, eC〉 preserva elem. neutro

• g o f〈eA〉 = definição de composição• g〈f〈eA〉〉 = f é homomorfismo de monóides• g〈eB〉 = g é homomorfismo de monóides• eC

Portanto, g o f〈eA〉 = eC

Logo, g o f: 〈A, ⊕, eA〉 → 〈C, ∇, eC〉 é um homomorfismo de monóides


9.1.3 Homomorfismo de Grupos

◆ Homomorfismo de grupos

• como homomorfismo de grupóides• basta preservar a operação

◆ Prova-se que, em se tratando de grupos

• preservar a operação• implica preservar

∗ elemento neutro∗ elemento inverso


◆ Composição homs. de grupóides é hom. de grupóides

• Implica: composição de homs. de grupos é hom. de grupos

◆ Analogamente aos homs. Anteriores

• isomorfismo de grupos se e somente se∗ possuir um homomorfismo de grupos inverso

Teorema: Homomorfismo de Grupos × Elemento Neutro〈A, ⊕, eA〉 e 〈B, ⊗, eB〉 grupos

f: 〈A, ⊕, eA〉 → 〈B, ⊗, eB〉 homomorfismo de grupóides

Então, f preserva o elemento neutro

f〈eA〉 = eB


Prova: Suponha 〈A, ⊕, eA〉 e 〈B, ⊗, eB〉 grupos e f: 〈A, ⊕, eA〉 → 〈B, ⊗, eB〉 hom.de grupóides

• f〈eA〉 ⊗ f〈eA〉 = f é homomorfismo de grupóides• f〈eA ⊕ eA〉 = elemento neutro de ⊕• f〈eA〉 = elemento neutro de ⊗• f〈eA〉 ⊗ eB

Portanto, f〈eA〉 ⊗ f〈eA〉 = f〈eA〉 ⊗ eB. Pela propriedade do cancelamento

f〈eA〉 = eB

Logo, f preserva o elemento neutro


Teorema: Homomorfismo de Grupos × Elemento Inverso〈A, ⊕, eA〉 e 〈B, ⊗, eB〉 grupos

f: 〈A, ⊕, eA〉 → 〈B, ⊗, eB〉 homomorfismo de grupóides

Então f preserva o elemento inverso

(∀a ∈ A) ( f〈a〉 = f〈a〉 )


Prova: Suponha 〈A, ⊕, eA〉 e 〈B, ⊗, eB〉 grupos, f: 〈A, ⊕, eA〉 → 〈B, ⊗, eB〉homomorfismo de grupóides e qualquer a ∈ A

• f〈a〉 ⊗ f〈a〉 = f é homomorfismo de grupóides• f〈a ⊕ a〉 = elemento inverso de ⊕• f〈eA〉 = f preserva elemento neutro• eB = elemento inverso de ⊗• f〈a〉 ⊗ f〈a〉 f é homomorfismo de grupóides

Portanto, f〈a〉 ⊗ f〈a〉 = f〈a〉 ⊗ f〈a〉. Pela propriedade do cancelamento

f〈a〉 = f〈a〉

Logo, f preserva o elemento inverso


9.6 Monóide Livre Gerado e Fecho deKleene

◆ Já foi visto

• para um alfabeto Σ, a álgebra interna 〈Σ*, conc, ε〉 é monóide• Σ* pode ser indutivamente definido a partir do alfabeto Σ

◆ Definição indutiva

• Base de Indução∗ ε ∈ Σ*∗ para qualquer x ∈ Σ, tem-se que x ∈ Σ*

• Passo de Indução∗ se u e v são palavras de Σ*, então a concatenação u v ∈ Σ*


◆ O raciocínio pode ser aplicado a um conjunto A qq

• não necessariamente é um alfabeto (não finito)

• passo de indução∗ considera a palavra vazia ε como elemento neutro

se u ∈ A*, então u ε = ε u = u

◆ Monóide livre

• tipo especial e importante de monóide

• conjunto suporte A* é (livremente) gerado por um conjunto A


Def: Monóide Livre, Fecho de Kleene

A conjunto

Monóide Livre Gerado por A ou Monóide Livremente Gerado por A

〈A*, conc, ε〉

• conjunto suporte A* = Fecho de Kleene de A• A é denominado de Gerador

Base de Indução• ε ∈ A*• para qualquer x ∈ A, tem-se que x ∈ A*

Passo de Indução

• se u e v são palavras de A*, então a concatenação u v ∈ A*


◆ Portanto

• conjunto de todas as palavras sobre um alfabeto∗ conjunto suporte do monóide livremente gerado pelo alfabeto∗ Fecho de Kleene do alfabeto

• linguagem formal (como Pascal)∗ subconjunto do Fecho de Kleene do alfabeto

◆ Condições para que monóide livre seja abeliano???


Exp: Homomorfismo – Monóides Livres∑1 = { a, b, c } e ∑2 = { r, s } alfabetos

〈∑1*, conc1, ε〉 e 〈∑2*, conc2, ε〉 monóides

Canonicamente induzidos por funções nos geradores

• f: ∑1 → ∑2 função∗ f〈a〉 = r∗ f〈b〉 = r∗ f〈c〉 = s

• g: ∑2 → ∑1 função∗ g〈r〉 = a∗ g〈s〉 = b


Exp: …Homomorfismo – Monóides Livres∑1 = { a, b, c } e ∑2 = { r, s } alfabetos

Homomorfismo não induzido por função entre os geradores∗ h〈ε〉 = ε∗ h〈a〉 = rr∗ h〈b〉 = rs∗ h〈c〉 = ss∗ se x ∈ Σ1 e w ∈ Σ1*, então h〈x w〉 = h〈x〉 h〈w〉

• exemplo∗ h〈abc〉 =

∗ h〈a〉 h〈bc〉 =

∗ h〈a〉 h〈b〉 h〈c ε〉 =

∗ h〈a〉 h〈b〉 h〈c〉 h〈ε〉 =

∗ rr rs ss ε =

∗ rr rs ss


9.7 Grafos

◆ Até o momento, as álgebras apresentadas

• uma única operação

• definida sobre um único conjunto

◆ Freqüentemente, álgebras

• mais de uma operação

• operações definidas sobre mais de um conjunto


◆ Álgebras polissortidas

• definidas sobre mais de um conjunto• termo sorte: gênero, classe ou espécie

◆ Álgebras monossortidas

• definidas sobre um único conjunto

◆ Noção de grafo

• informalmente apresentada: estudo das endorrelações• toda endorrelação pode ser vista como um grafo

∗ e conseqüentemente, como uma álgebra• nem todo grafo pode ser visto como uma endorrelação

∗ exercício


◆ Grafos são importantes para Computação eInformática

◆ Estudo de Grafos é brevemente apresentado

◆ Ênfase grafos

• grafos pequenos∗ nodos e arcos constituem conjuntos

• grafos direcionados∗ arcos possuem sentido


◆ Grafo visto como álgebra

• nodos e arcos∗ conjuntos sobre os quais as operações são definidas∗ álgebra polissortida

• origem e destino∗ operações unárias fechadas (não-internas)∗ associam, para cada arco, o nodo origem e destino


Def: GrafoGrafo Pequeno Direcionado ou simplesmente Grafo G

• álgebra polissortida

G = 〈V, T, orig, dest〉

• V conjunto de Nodos ou Vértices

• T conjunto de Arcos, Arestas ou Setas

• orig: T → V e dest: T → V∗ operações totais (funções)∗ denominadas Origem e Destino


◆ Notação

• arco t tal que orig〈t〉 = A e dest〈t〉 = B• denotado por t: A → B• representado na forma de diagrama

tA B


Exp: Grafo

Arco único. G1 = 〈{ A, B }, { t }, orig1, dest1〉• orig〈t〉 = A• dest〈t〉 = B

Nodo isolado. G2 = 〈{ X }, ∅, orig2, dest2〉• orig2: ∅ → { X } e dest2: ∅ → { X }• funções vazias

Arcos paralelos. G3 = 〈{ 1, 2 }, { r, s, t, u, v }, ∂03, ∂13〉• arcos paralelos: mesmos nodos origem e destino

1 2r

s

t

u

vtA B X


◆ Multigrafo

• freqüentemente, grafos com arcos paralelos são ditos multigrafos

◆ Homomorfismo de grafos

• preserva a estrutura dos grafos,• ao mapear os nodos e arcos

∗ deve preservar as operações origem e destino

• mapeamento de um arco∗ de acordo com o mapeamento dos seus nodos origem e destino


Def: Homomorfismo de GrafosG1 = 〈V1, T1, orig1, dest1〉 e G2 = 〈V2, T2, orig2, dest2〉 grafos

h: G1 → G2

par de funções

h = 〈hV, hT〉

onde

hV: V1 → V2 e hT: T1 → T2

tais que

orig2 o hT = hV o orig1 e dest2 o hT = hV o dest1


Exp: Homomorfismo de Grafos

A

B

C

1 2

3

r

st

a

bc

d

e

G1 G2 hV

hT

• existe mais algum homomorfismo de grafos de G1 para G2?• existe pelo menos um morfismo de G2 para G1?


Teorema: Composição de Homomorfismos de GrafosSejam f: G1 → G2 e g: G2 → G3 homomorfismos de grafos

g o f: G1 → G3

tal que g o f = 〈gV o fV, gT o fT〉, é um homomorfismo de grafos

Prova: (direta)Seja t: A → B arco de G1. Então

• t: A → B é arco de G1 ⇒• fT(t): fV(A) → fV(B) é arco de G2 (f é hom. de grafos) ⇒• gT(fT(t)): gV(fV(A)) → gV(fV(B)) é arco de G3 (g é hom. de

grafos)

Logo, g o f é homomorfismo de grafos


9.8 Categorias

◆ Em um primeiro momento, Teoria das Categorias podeser vista como

• generalização da álgebra de funções

• principal operação: composição de funções

◆ Categoria é uma estrutura abstrata

• constituída de objetos e setas entre os objetos

• com uma propriedade fundamental∗ composicionalidade das setas


Categoria Objetos Setas Composição

conjuntos e funções conjuntos funções (totais) composição de funções

figuras figuras transform. de figuras construtor de transform.“complexas”

um programafuncional

tipos de dados operações construtor operaçõesnão-primitivas

espaços vetoriais espaços vetoriais transforma. lineares composição detransformações lineares

grafos grafos homomorfismo degrafos

composiçãohomomorfismo de grafos

lógica proposições provas transitividade das provas

uma máquina deestados

estados transições construtor decomputações

conjuntosparcialmenteordenados

conjuntosparcialmenteordenados

funções monotônicas composição de funçõesmonotônicas

um conjuntoparcialmenteordenado

elementos doconjunto

pares da relação deordem parcial

transitividade da relaçãode ordem parcial


◆ Qq modificação sobre objetos, setas ou composição

• nova categoria

Exp: Conjuntos e FunçõesSubstituição das funções (totais) por funções parciais

• nova categoria∗ conjuntos e funções parciais∗ com diferentes propriedades

• produto cartesiano∗ generalizado categorialmente∗ diferente nas duas categorias


◆ Objeto, seta e composição

• não necessariamente possuem estruturas∗ que lembrem as da Teoria dos Conjuntos

Exp: Conjunto Parcialmente Ordenado como Categoria

0 1 20 ≤ 1 1 ≤ 2

(0 ≤ 2) = (1 ≤ 2) • (0 ≤ 1)

0 ≤ 0 1 ≤ 1 2 ≤ 2

• objetos - não possuem qualquer estrutura (elementos de conjunto)• setas - pares de elementos• composição - transitividade da relação


◆ Uma mesma estrutura, simultaneamente

• pode constituir uma categoria por si só∗ conj. parcialmente ordenado como categoria

• ou ser objeto de uma categoria∗ categoria dos conj. parcialmente ordenados∗ (conjuntos parcialmente ordenados e funções monotônicas)

Exp: Categoria dos Conjuntos Parcialmente Ordenados

• pode ser vista como uma categoria de categorias∗ uma categoria∗ cujos objetos são conjuntos parcialmente ordenados vistos

como categorias


◆ Teoria das Categorias e Ciência da Computação

• possuem muito em comum

• são enriquecidas mutuamente∗ a partir de visões e abordagens de um campo sobre o outro


◆ Entre as características que motivam o seu uso

• destaca-se a expressividade de suas construções• observado nas Diretrizes Curriculares do MEC para Cursos de

Computação e Informática

Teoria das Categorias possui construções cujo poder deexpressão não possui, em geral, paralelo em outras teorias. Esta

expressividade permite formalizar idéias mais complexas de formamais simples, bem como propicia um novo ou melhor

entendimento das questões relacionadas com toda a Ciência daComputação. Como Teoria das Categorias é uma ferramenta

nova, para exemplificar, vale a pena estabelecer um paralelo coma linguagem Pascal: Teoria das Categorias está para a Teoria dosConjuntos assim como Pascal está para a linguagens Assembler.


◆ Apenas o conceito de categoria (como álgebra) éapresentado

• estudo de suas propriedades e aplicações∗ não é objetivo desta disciplina

◆ Categoria é basicamente um grafo

• eventualmente grande

• arcos são componíveis, formando caminhos

• cada nodo possui um endoarco especial: identidade


Def: CategoriaUma álgebra polissortida

C = 〈ObC, MorC, orig, dest, ι, o〉

• ObC - coleção de Objetos

• MorC - coleção de Morfismos ou Setas

• orig: MorC → ObC e dest: MorC → ObC

∗ operações fechadas e totais Origem e Destino∗ um morfismo f tal que orig(f) = A e dest(f) = B é denotado por

f: A → B


• o: (MorC )2 → MorC - operação Composição∗ cada par de morfismos

〈f: A → B, g: B → C〉∗ é associado a um morfismo

g o f: A → C∗ deve satisfazer a propriedade associativa

(h o g) o f = h o (g o f)

• ι: ObC → MorC - operação Identidade∗ cada objeto A é associado a um morfismo

ιA: A → A∗ deve satisfazer a propriedade da identidade (suponha f: A → B)

f o ιA = ιB o f = f


Exp: Categoria SetSet = 〈ObSet, MorSet, orig, dest, ι, o〉

• ObSet - coleção de todos os conjuntos• MorSet - coleção de todas as funções (totais)• orig: MorSet → ObSet e dest: MorSet → ObSet

∗ para qualquer função f com domínio em A e codomínio em B,

orig(f) = A e dest(f) = B

• o: (MorSet )2 → MorSet∗ operação de composição de funções (é associativa)

• ι: ObSet → MorSet - operação identidade∗ cada conjunto A é associado à função identidade idA: A → A

ι〈A〉 = idA


Exp: Categoria Mon• objetos: todos os monóides• morfismos: todos os homomorfismos de monóides• composição: composição de homomorfismos de monóides• identidade: dada pelo homomorfismo identidade de cada monóide

◆ Análogamente, as categorias

• grupóides e correspondentes homomorfismos• semigrupos e corrrespondentes homomorfismos• grupos e corrrespondentes homomorfismos


Exp: Categoria Gr• objetos: todos os grafos

• morfismos: todos os homomorfismos de grafos

• composição: composição de homomorfismos de grafos

• identidade: dada pelo homomorfismo identidade de cada grafo


Exp: As "Menores" CategoriasCategoria Vazia (justifique cada componente)

〈∅, ∅, ∅, ∅, ∅, ∅〉

Categoria 1• um objeto e um morfismo (identidade desse objeto)

Categoria 1+1• dois objetos e dois morfismos (identidade)

Categoria 2• dois objetos e três morfismos (sendo dois identidade)

2A B

1+1A B

1 A


EXEMPLO Categoria Três Porquinhos e o Lobo Mau

3 porquinhos P1, P2 e P3, o lobo mau L e os morfismos “persegue”com origem no lobo mau e destino em cada um dos porquinhos,

além dos morfismos identidade "outra atividade qualquer"


Matemática Discreta para Ciência da Computação

P. Blauth Menezes

1 Introdução e Conceitos Básicos2 Lógica e Técnicas de Demonstração3 Álgebra de Conjuntos4 Relações5 Funções Parciais e Totais6 Endorrelações, Ordenação e Equivalência7 Cardinalidade de Conjuntos8 Indução e Recursão9 Álgebras e Homomorfismos10 Reticulados e Álgebra Booleana11 Conclusões


Matemática Discreta paraCiência da Computação

P. Blauth Menezes

[email protected]

Departamento de Informática Teórica

Instituto de Informática / UFRGS

matemática discreta para ciência da...

Documents