Matemática Discreta – if670Matemática Discreta – if670

Anjolina Grisi de OliveiraAnjolina Grisi de Oliveira

Ciência da ComputaçãoCiência da Computação

Colaboração: lnpa e ljacsColaboração: lnpa e ljacs

Teoria dos GrafosIntrodução

Porque estudar Grafos?Porque estudar Grafos?

Importante ferramenta matemática com aplicação Importante ferramenta matemática com aplicação em diversas áreas do conhecimento;em diversas áreas do conhecimento;– Genética, química, pesquisa operacional, Genética, química, pesquisa operacional,

telecomunicações, engenharia elétrica, redes de telecomunicações, engenharia elétrica, redes de computadores, conexão de voos aéreos, restrições de computadores, conexão de voos aéreos, restrições de precedência, fluxo de programas, dentre outros.precedência, fluxo de programas, dentre outros.

Utilizados na definição e/ou resolução de Utilizados na definição e/ou resolução de problemas.problemas.

Em computação:Em computação:

Estudar grafos é mais uma forma de solucionar Estudar grafos é mais uma forma de solucionar problemas computáveis;problemas computáveis;

Os estudos teóricos em grafos buscam o Os estudos teóricos em grafos buscam o desenvolvimento de algoritmos mais eficientes.desenvolvimento de algoritmos mais eficientes.

O que são grafos?O que são grafos?

Tipicamente um grafo é representado como um Tipicamente um grafo é representado como um conjunto não vazio de pontos ou vérticesconjunto não vazio de pontos ou vértices ligados ligados por retas, que são chamadas de arestas;por retas, que são chamadas de arestas;

Ferramenta de modelagem;Ferramenta de modelagem; Abstração matemática que representa situações Abstração matemática que representa situações

reais através de um diagrama.reais através de um diagrama.

Problemas solucionados com a teoria dos grafosProblemas solucionados com a teoria dos grafos

As pontes de KönigsbergAs pontes de Königsberg

As pontes de KönigsbergAs pontes de Königsberg

O rio Pregel divide o centro da cidade de O rio Pregel divide o centro da cidade de Königsberg (Prússia no século XVII, atual Königsberg (Prússia no século XVII, atual Kaliningrado, Rússia) em quatro regiões. Essas Kaliningrado, Rússia) em quatro regiões. Essas regiões são ligadas por um complexo de sete (7) regiões são ligadas por um complexo de sete (7) pontes, conforme mostra a figura; pontes, conforme mostra a figura;

Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as pontes, voltando ao lugar de atravessar todas as pontes, voltando ao lugar de onde se saiu, sem repetir alguma. Havia-se onde se saiu, sem repetir alguma. Havia-se tornado uma lenda popular a possibilidade da tornado uma lenda popular a possibilidade da façanha quando Euler, em 1736, provou que não façanha quando Euler, em 1736, provou que não existia caminho que possibilitasse tais restrições.existia caminho que possibilitasse tais restrições.

As pontes de KönigsbergAs pontes de Königsberg

Resolvido em 1736 por Leonhard Euler;Resolvido em 1736 por Leonhard Euler;

Necessário um modelo para representar o Necessário um modelo para representar o problema;problema;

Abstração de detalhes irrelevantes:Abstração de detalhes irrelevantes:– Área de cada ilha;Área de cada ilha;– Formato de cada ilha;Formato de cada ilha;– Tipo da ponte, etc.Tipo da ponte, etc.

As pontes de KönigsbergAs pontes de Königsberg

Euler generalizou o problema através de um Euler generalizou o problema através de um modelo de grafos.modelo de grafos.

As pontes de KönigsbergAs pontes de Königsberg

Euler mostrou que não existe o trajeto proposto Euler mostrou que não existe o trajeto proposto utilizando o modelo em grafos.utilizando o modelo em grafos.

Verifique nos grafos abaixo se o trajeto proposto é possívelVerifique nos grafos abaixo se o trajeto proposto é possível

O problema das 3 casasO problema das 3 casas

É possível conectar os 3 serviços às três casas É possível conectar os 3 serviços às três casas sem haver cruzamento de tubulação?sem haver cruzamento de tubulação?

A teoria dos grafos

mostra que não é

possível!

Coloração de MapasColoração de Mapas

Quantas cores Quantas cores são necessárias são necessárias para colorir o para colorir o mapa do Brasil, mapa do Brasil, sendo que sendo que estados estados adjacentes não adjacentes não podem ter a podem ter a mesma cor?mesma cor?

Questões sobre o caminho mínimoQuestões sobre o caminho mínimo

De forma a reduzir seus custos operacionais, De forma a reduzir seus custos operacionais, uma empresa de transporte de cargas deseja uma empresa de transporte de cargas deseja oferecer aos motoristas de sua frota um oferecer aos motoristas de sua frota um mecanismo que os auxilie a selecionar o melhor mecanismo que os auxilie a selecionar o melhor caminho (o de menor distância) entre quaisquer caminho (o de menor distância) entre quaisquer duas cidades por ela servidas, de forma a que duas cidades por ela servidas, de forma a que sejam minimizados os custos de transporte. sejam minimizados os custos de transporte.

Modelagem com grafosModelagem com grafos

Estamos interessados em objetos e nas relações Estamos interessados em objetos e nas relações entre eles;entre eles;

Quem são eles nos problemas apresentados?Quem são eles nos problemas apresentados?

Como representar graficamente?Como representar graficamente?

Modelagem com grafosModelagem com grafos

No problema das casasNo problema das casas– Vértices são casas e serviçosVértices são casas e serviços– Arestas são as tubulações entre casas e serviçosArestas são as tubulações entre casas e serviços

No problema da coloração de mapasNo problema da coloração de mapas– Vértices são estadosVértices são estados– Arestas relacionam estados vizinhosArestas relacionam estados vizinhos

No problema do caminho mais curtoNo problema do caminho mais curto– Vértices são as cidadesVértices são as cidades– Arestas são as ligações entre as cidadesArestas são as ligações entre as cidades

Três desenvolvimentos isolados despertaram o Três desenvolvimentos isolados despertaram o interesse pela áreainteresse pela área

Formulação do problema das 4 cores (De Morgan Formulação do problema das 4 cores (De Morgan 1852)1852)

Qual a quantidade mínima de cores para colorir um Qual a quantidade mínima de cores para colorir um mapa de tal forma que países fronteiriços possuam mapa de tal forma que países fronteiriços possuam cores diferentes?cores diferentes?

Apresenta-se um exemplo em que 3 cores não são Apresenta-se um exemplo em que 3 cores não são suficientes. Uma prova de que 5 cores é suficiente foi suficientes. Uma prova de que 5 cores é suficiente foi formulada. Conjecturou-se então que 4 cores seriam formulada. Conjecturou-se então que 4 cores seriam suficientes. Esta questão ficou em aberto até 1976 suficientes. Esta questão ficou em aberto até 1976 quando Appel e Haken provaram para 4 cores.quando Appel e Haken provaram para 4 cores.

Três desenvolvimentos isolados despertaram o Três desenvolvimentos isolados despertaram o interesse pela áreainteresse pela área

Problema do ciclo Hamiltoniano (Hamilton 1859)Problema do ciclo Hamiltoniano (Hamilton 1859)

Existem n cidades. Cada par de cidades pode ser Existem n cidades. Cada par de cidades pode ser adjacente ou não arbitrariamente. Partindo de uma adjacente ou não arbitrariamente. Partindo de uma cidade qualquer, o problema consiste em determinar cidade qualquer, o problema consiste em determinar um trajeto que passe exatamente uma vez em cada um trajeto que passe exatamente uma vez em cada cidade e retorne ao ponto de partida. cidade e retorne ao ponto de partida.

Três desenvolvimentos isolados despertaram o Três desenvolvimentos isolados despertaram o interesse pela áreainteresse pela área

Teoria das árvoresTeoria das árvores

- Kirchoff (1847) – Problemas de circuitos elétricosKirchoff (1847) – Problemas de circuitos elétricos

- Cayley (1857) – Química OrgânicaCayley (1857) – Química Orgânica