Árvores (introdução) anjolina grisi de oliveira obs: vários slides foram cedidos por

Árvores (introdução)

Anjolina Grisi de OliveiraObs: vários slides foram cedidos por

Adolfo Almeida Duran (UFBA)

Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE 2

Uma árvore é um grafo conexo não orientado e sem circuitos simples

Árvores


Uma floresta é um grafo cujas componentes conexas são árvores


TeoremaUm grafo não orientado é uma árvore se e somente se existe um único caminho simples entre qualquer par de vértices.ProvaAssuma que G é uma árvore. Logo G é um grafo conexo e sem circuitos simples. Sejam x e y dois nós de G. Logo, como G é conexo, existe um caminho simples entre x e y. Adicionalmente, esse caminho é único, pois se existisse um outro caminho, o caminho formado através da combinação do caminho de x até y com o segundo caminho começando por y e chegando a x formaria um circuito, o que contraria a hipótese de que G é uma árvore.


Árvore Enraizada

Uma árvore T = (V,E) é denominado enraizada quando algum vértice v é escolhido como especial. Esse vértice v é a raiz da árvore.


Árvore EnraizadaUsualmente representamos graficamente a raiz no topo. Podemos transformar uma árvore sem raiz numa árvore enraizada simplesmente escolhendo um vértice como raiz.


Árvore Enraizada ancestrais de j={e,c}

descendentes de j={i,k}

pai de j=e

filhos de j={i,k}

nível de j=2

altura da árvore =3

folhas={b,a,i,k,f,h,d}

Raiz = c


Árvore Enraizada O nível de um vértice é o tamanho do único caminho da raiz até ele.

nível de j=2

A altura da árvore é o maior nível entre os nós. É o tamanho do maior caminho da raiz até uma das folhas.

altura da árvore =3

Raiz = c


Árvore Enraizada

A raiz de uma árvore não possui pai, e todo vértice v diferente de r, possui um único pai.

Uma folha é um vértice que não possui filhos. Vértices que possuem filhos são chamados de vértices internos.Quando a raiz é o único nó do grafo ela é uma folha.

O nível da raiz é zero, de seus filhos é 1. O nível de um nó é igual ao nível de seu pai mais um.Para dois vértices irmãos v e w, nível(v)=nível(w).A altura de uma árvore é o valor máximo de nível(r) para todo vértice v de T.


Subárvore

Seja T(V,E) uma árvore enraizada e v V.Uma subárvore Tv de T é uma árvore enraizada cuja raiz é v, definida pelo subgrafo induzido pelos descendentes de v mais o próprio v. A subárvore de raiz v é única para cada v V.

s v

xwt

u

x

v

w


Árvore m-ária

Uma árvore enraizada é chamada de m-ária se todo nó interno não possui mais que m filhos. A árvore é chamada árvore m-ária cheia se todo nó interno possui exatamente m filhos. Uma árvore m-ária com m=2 é chamada de árvore binária.

3-ária Binária


Árvore m-ária

A árvore é chamada árvore m-ária cheia se todo nó interno possui exatamente m filhos. Uma árvore m-ária com m=2 é chamada de árvore binária.

Binária cheia

s

xw

t

u v

z-


Árvore m-ária

Uma árvore enraizada m-ária de altura h é balanceada se todas as folhas estão no nível h ou h-1.


Árvore Balanceada?

h=3

Nível(a) =1

Não está balanceada


Árvore Enraizada Ordenada

Na definição de árvore enraizada, é irrelevante a ordem em que os filhos de cada vértice v são considerados.

Caso a ordenação seja relevante a árvore é denominada enraizada ordenada.

Assim, para cada vértice v pode-se identificar o primeiro filho de v (o mais a esquerda), o segundo filho (o segundo mais a esquerda), etc.


Árvores


Árvore enraizada ordenada No caso de árvores binárias, se um nó interno possui dois filhos, temos o filho da esquerda e o filho da direitaA árvore cuja raiz é o filho da esquerda de um vértice é chamada de subárvore da esquerda desse vértice.

a

d

cb

e

b

de

Subárvore da esquerda de a


Teorema

Uma árvore com n nós possui n-1 arestas.

Prova

Definimos uma bijeção entre as arestas e os vértices diferentes da raiz, de forma que associamos cada vértice terminal de uma aresta com ela própria. Como existem n-1 nós além da raiz, logo existem n-1 arestas na árvore.


Teorema

Uma árvore m-ária cheia com i nós internos contem n = mi + 1 nós.

Prova

Cada vértice com exceção da raiz é filho de um nó interno. Como cada um dos i nós internos possui m filhos, existem mi nós na árvore além da raiz. Consequentemente, a árvore contem n = mi + 1 nós.


Teorema

Uma árvore m-ária cheia com

(i) n nós possui i=(n-1)/m nós internos e l = ((m-1)n +1)/m folhas

(ii) i nós internos possui n = mi + 1 nós e f= (m-1)i + 1 folhas

(iii) f folhas possui n = (mf – 1)/ (m-1) nós e i= (f-1)/(m-1) nós internos


Teorema - Prova

Uma árvore m-ária cheia com

(i) n nós possui i=(n-1)/m nós internos e l = ((m-1)n +1)/m folhas

Vimos que n= mi + 1, logo i = (n-1)/m.

Temos também que n = i + f, onde f é o número de folhas.

Logo, f = n – i;

f = n – (n-1)/m = (mn – (n-1))/m = (mn – n + 1)/m =

((m-1)n + 1)/m


Exemplo

Suponha que alguém iniciou uma corrente de cartas. Cada pessoa que recebe a carta é convidada a enviá-la para outras quatro pessoas. Quantas pessoas receberam a carta, incluindo a pessoa que iniciou a corrente, se nenhuma pessoa recebeu mais que uma carta e se a corrente acabou depois que 64 pessoas leram a carta e não mais a enviaram? Quantas

pessoas enviaram a carta?


Solução

A corrente pode ser representada usando uma árvore 4-ária. Os nós internos correspondem às pessoas que enviaram a carta, e as folhas às pessoas que não a enviaram.

Temos que 64 pessoas não enviaram a carta. Assim o número de folhas f é igual a 64.

Temos n = i + f e n = mi + 1.

Logo: 64 + i = 4.i + 1 => 3.i = 63 => i = 21

Resposta: 21 pessoas enviaram a carta


Teorema Existem no máximo mh folhas em uma árvore m-ária de altura h.Prova: por indução sobre a altura

h-1 h-1 h-1

Cada uma dessas subárvores possui altura no máximo h-1. Portanto, pela H.I. existem no máximo mh-1 folhas em cada uma delas. Como existem no máximo m dessas subárvores, cada uma com no máximo mh-1 folhas, então existem no máximo m.mh-1 = mh folhas.


Aplicações: Árvore binária de busca

Busca de itens numa lista.

Cada vértice é rotulado por uma chave de forma que a chave de um vértice é maior do que as chaves de todos os nós da subárvore da esquerda e menor do que as chaves dos nós da subárvore da direita.

55

30 80

45

90

32

3520


Construindo uma árvore binária de busca

Procedimento recursivo que recebe uma lista de itens.

O primeiro item da lista é a raiz da árvore.

Para adicionar um novo item compare-o com os nós que já estão na árvore: comece pela raiz e siga para a esquerda se o item é menor que o item que rotula o nó que está sendo comparado ou siga para a direita, caso contrário. Quando o novo item é menor que um item cujo nó não tem filho da esquerda, adicione-o como filho da esquerda desse nó. Analogamente, quando o item é maior que o item cujo nó não tem filho da direita, adicione-o como filho da direita desse nó,


Construindo uma árvore binária de busca

Construa uma árvore binária de busca a partir da seguinte lista:

55,30,80,90,35,32,20,45


Exemplo: árvore binária de busca

Use a ordem alfabética para construir uma árvore binária de busca com as palavras da seguinte frase:

O título de uma das músicas de sucesso do cantor Bruno Mars é ``The Lazy Song´´.


Caminhado em árvores enraizadas e ordenadas

Procedimento universal para ordenar os seus nós:

• Rotule a raiz com o inteiro 0. Em seguida rotule seus k filhos da esquerda para direita com 1,2,3,....,k.

• Para cada vértice v no nível n com rótulo A, rotule seus k filhos da esquerda para a direita com A.1, A.2, ...A.k.


Exemplo0

3.13.2

32

1.1.1

1.1

1

1.2

1.1.2

1.1.2.31.1.2.2

1.1.2.1

3.1.2

3.3

3.1.1


Procedimento universal para ordenar os nós

• Podemos ordenar os nós usando a ordem lexicográfica de seus rótulos.

x1.x2....xn < y1.y2....ym se

• existe um i, 0 i n, com x1= y1, x2=y2, ...xi-1 = yi-1 e xi< yi; ou

• n < m e xi=yi, para i =1,2,...,n.


Caminhamento em pré-ordem

Seja T uma árvore enraizada e ordenada com raiz r. Se T possui apenas r, então o caminhamento em pré-ordem de T é r. Caso contrário, sejam T1, T2,... Tn

as subárvores de r da esquerda para a direita. O caminhamento em pré-ordem começa visitando r e continua fazendo um caminhamento em pré-ordem em T1, em seguida em T2, e assim sucessivamente até que Tn seja percorrida em pré-ordem.


Exemploa

gh

dc

j

e

b

f

k

pon

m

i

l


Caminhamento em ordem

Seja T uma árvore enraizada e ordenada com raiz r. Se T possui apenas r, então o caminhamento em ordem de T é r. Caso contrário, sejam T1, T2,... Tn as subárvores de r da esquerda para a direita. O caminhamento em ordem começa fazendo um percorrendo em ordem em T1 em ordem, em seguida visita r, e continua fazendo um caminhamento em ordem em T2, em T3 , e finalmente em Tn .


Caminhamento em pós-ordem

Seja T uma árvore enraizada e ordenada com raiz r. Se T possui apenas r, então o caminhamento em pós-ordem de T é r. Caso contrário, sejam T1, T2,... Tn

as subárvores de r da esquerda para a direita. O caminhamento em pós-ordem começa percorrendo T1 em pós-ordem, em seguida T2, T3 , ... Tn , e finaliza visitando r.


Notação infixa, pré-fixa e pós-fixa

Podemos representar expressões complicadas, tais como proposições compostas, combinações de conjuntos, e expressões aritméticas usando árvores enraizadas ordenadas.

• O nós internos representam operações

• As folhas representam as variáveis ou valores

• As operações são executadas na subárvore da esquerda e depois na direita


Notação infixa: exemplo Árvore que representa a expressão

((x+y)^2) + ((x-4)/3):• A árvore binária é construída de baixo para cima.

• Construímos a subárvore (x+y), depois a incorporamos como parte de uma subárvore maior que representa (x+y)^2.

+

x y

+

x y

2

^


Notação infixa: ((x+y)^2) + ((x-4)/3)• Do mesmo modo a subárvore (x-4) é construída e incorporada à subárvore maior de (x-4)/3

+

x y

+

x y

2

^

-

x 4

-

x 4

3

/


Notação infixa: ((x+y)^2) + ((x-4)/3)

Por último as subárvore de ((x+y)^2) e de

((x-4)/3) são combinadas para formar a expressão toda

+

x y

2

^

-

x 4

3

/

+


Caminhamento em ordem: ((x+y)^2) + ((x-4)/3)

+

x y

2

^

-

x 4

3

/

+


Qual é a forma pré-fixa da expressão ((x+y)^2) + ((x-4)/3) ? (notação polonesa)

Fazemos um caminhamento em pré-ordem

+ ^ + x y 2 / - x 4 3

+

x y

2

^

-

x 4

3

/

+


Qual o valor da expressão + - * 2 3 5 / ^2 3 4 ?

+ - * 2 3 5 / ^2 3 4

+ - * 2 3 5 / 8 4

+ - * 2 3 5 / 8 4

+ - * 2 3 5 2

3

2

* 2 3

5 2+ -

6

5 2+ -

6

5 2+ -

1

- 6 5+

+

21

+

2


Qual é a forma pós-fixa da expressão ((x+y)^2) + ((x-4)/3) ? Fazemos um caminhamento em pós-ordem

x y + 2 ^ x 4 – 3 / +

+

x y

2

^

-

x 4

3

/

+


Qual o valor da expressão em notação pós-fixa?7 2 3 * - 4 ^9 3 / +

7 6 - 4 ^9 3 / +

1 4 ^ 9 3 / +

1 9 3 / +

1 3 +

4


Encontre a árvore enraizada ordenada que representa a seguinte proposição composta (¬(pΛq))↔(¬p v ¬q)

Λ

p q↔

p

v

¬

q

¬Λ

p q

¬

p

¬

q

¬

p

v

¬

q

¬Λ

p q

¬


Forneça a notação pré-fixa e pós-fixa dessa expressão (¬(pΛq))↔(¬p v ¬q)

↔

p

v

¬

q

¬Λ

p q

¬

Pré-fixa: ↔¬Λpqv¬p¬q

Pós-fixa: pqΛ¬p¬q¬v↔

O caminhamento em ordem colocaria a negação imediatamente após o seu operando. Isso acontece sempre com os operadores unários.

A expressões em notação pré-fixa e pós-fixa não são ambíguas. Por esse motivo, são utilizadas em computação. Especialmente na construção de compiladores


Desenhe a árvore enraizada ordenada da seguinte expressão aritmética escrita usando a notação pré-fixa.+ * + - 5 3 2 1 4Em seguida, escreva a mesma expressão em notação infixa.

-

5 3

2

+ 1

* 4

+

((((5-3)+2)*1)+4)


Mais aplicações de árvores

1 Árvores de decisão 2 Código de prefixo-Pode ser usado em compactação de arquivos ou criptografia-Considere o problema em que letras são codificadas por sequências de bits-Uma maneira de garantir que nenhuma sequência de bits corresponde a mais de uma sequência de letras, é escolher códigos de forma que a cadeia de bits para uma letra nunca ocorre como prefixo de uma cadeia de bits de outra letra.


Construa a árvore binária com os códigos de prefixo que representam os seguintes esquemas de codificação:

1) a:11, e:0, r:101, s:100 2) a:1,e:01,r:001, s:0001, n:00001

s r

a

e 0

1

1

10

0


2) a:1,e:01,r:001, s:0001, n:00001

s

r

0

1

1

0

e

a

0

1

1

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