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SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES PARA O ENSINO DE ANÁLISE
COMMBINATÓRIA
ACYLENA COELHO COSTA1
JORGE FELIPE GONÇALVES DA SILVA2
TATIANA LEÃO VALDARES CARDOSO3
RESUMO
A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar o número de elementos de um conjunto, sendo estes agrupamentos formados sob certas condições, a mesma permite também que se realize contagem de elementos de um conjunto, sem a necessidade de enumerá-los, e também contribui para o desenvolvimento do raciocínio lógico dos alunos. Porém, as pesquisas realizadas revelam que os alunos enfrentam muitas dificuldades na aprendizagem desse conteúdo, um dos motivos é que os mesmos apenas memorizam fórmulas, que não possuem significados para eles. Assim o objetivo desse minicurso é apresentar uma sequência de atividades voltadas para o ensino de tópicos de análise combinatória, a saber princípio fundamental da contagem (PFC), permutação, arranjo e combinação simples. Este minicurso apresentará, para discentes e docentes interessados no ensino e aprendizagem desse conteúdo, cinco atividades que poderão ser desenvolvidas com alunos do segundo ano do ensino médio, e para alunos do ensino fundamental se forem feitas adaptações para a série destinada. O minicurso acontecerá em três encontros, sendo cada um com duas horas de duração. Para o desenvolvimento das atividades serão necessários materiais como: Mapa, folha de papel, caneta, cadeiras numeradas, Camisas não-numeradas, Papel cartão, canetas coloridas e tesoura. Entendemos que apresentar o conteúdo através de situações-problema torna o ensino mais fácil e agradável. A demonstração de fórmulas através da manipulação de situações também é um fator positivo, uma vez que o aluno conhece a origem dos algoritmos necessários para a resolução de problemas. Portanto esperamos com esse minicurso contribuir para o ensino aprendizagem do conteúdo de Análise Combinatória.
1Universidade do Estado do Pará, Doutora em Educação Matemática, [email protected] 2Universidade do Estado do Pará, discente do curso de Licenciatura em Matemática,
[email protected] do Estado do Pará, discente do curso de Licenciatura em Matemática,
XXII Semana Acadêmica do CCSE/UEPA. “O que será o amanhã: escola, universidade e cidadania”. Belém, v.xx, n.xx, p. xxx – xxx, mês/mês. 2017http://ccse.uepa.br/ccse /anais
e-ISSN: 2237-9320
Palavras-chave: Educação Matemática; Sequência de Atividades; Análise Combinatória.
INTRODUÇÃO
A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar o número de
elementos de um conjunto, sendo estes agrupamentos formados sob certas condições. De
acordo com Hazzan, “tais métodos podem parecer desnecessários quando trabalhamos com
problemas que envolvem número de elementos pequenos” (2010, p. 1). Porém, se o número
de elementos envolvidos for elevado, faz-se necessária a utilização de métodos especiais.
Em pesquisa realizada anteriormente, verificamos que os alunos possuem
dificuldades em questões de permutação, arranjo e combinação. Por meio de um teste
aplicado, percebemos que parte das resoluções estava incorreta por apresentar troca de técnica
para resolução das questões. Outro encontrado foi o de distorção em fórmulas. Autores como
Contessa et al. (2014), Pessoa (2009) e Teixeira et al. (2011), em seus trabalhos, observaram
dificuldades dos alunos em princípio multiplicativo e raciocínio combinatório.
A partir de estudos feitos por Vygotsky na década de 1930 em Moscou,
Leontiev desenvolveu a Teoria das Atividades, para buscar um caminho para a internalização
de conceitos através de atividades, pois acredita que o desenvolvimento do homem decorre
das atividades que ele realiza. O autor entende que o homem é um ser social e que, fora da
interação, nunca poderá desenvolver aquelas qualidades que surgirão como resultado de seu
desenvolvimento histórico e da humanidade. (GRYMUZA e RÊGO, 2014)
Em suma, o objetivo desse minicurso é apresentar uma sequência de atividades
voltadas para o ensino de tópicos de análise combinatória, a saber, Princípio Fundamental da
Contagem, permutação, arranjo e combinação simples. Pois, de acordo com Grymuza e Rêgo
(2014), para Leontiev, o desenvolvimento do homem se dá pela realização de atividades e,
portanto, a aprendizagem acontece por meio de atividades realizadas entre os indivíduos num
meio e entre o indivíduo e o objeto a ser aprendido. Cada atividade possui um objetivo, e é
este que impulsiona a ação do aluno, de forma que ele seja o responsável por sua
aprendizagem.
1. Metodologia
Neste minicurso nos propomos a apresentar uma sequência de atividades tomando
como base os estudos de Farias (2013) e Malagutti e Vazquez (2009), sobre tópicos de
Análise Combinatória. Afim de, contribuir para o ensino- aprendizagem dos alunos.
Produzimos uma sequência com cinco atividades, com uso de materiais concretos tais como
cartolina, papel A4, lápis, canetas coloridas e tesoura e objetos da própria sala de aula como
cadeiras e camisas.
As atividades abordam os conteúdos de Princípio Fundamental da Contagem (PFC),
Arranjo, Combinação e Permutação, partindo do conceito de PFC para ensinar os conceitos
dos demais conteúdos. As atividades são destinadas para alunos do 2° ano do Ensino Médio,
porém podem ser aplicadas com alunos do ensino fundamental, se for adaptada a série. O
minicurso acontecerá em três encontros, sendo cada um com duas horas de duração. As
atividades serão divididas da seguinte maneira:
1º dia: atividade 1- Analisando caminhos, Atividade 2- contando Caminhos;
2º dia: atividade 3- Quantos anagramas tem meu nome?, atividade 4- Formando
Equipes;
3º dia: atividade 5- Criando Jogos.
2. Sequência de atividades
A seguir apresentamos as atividades que serão desenvolvidas no minicurso.
Atividade 1- Analisando os caminhos
Objetivo: Verificar o raciocínio lógico-indutivo do aluno.
Material: Mapa, folha de papel e caneta.
Conceitos envolvidos: Princípio Fundamental da Contagem.
Procedimentos: O professor fornecerá ao aluno um mapa, em que haverá um rato e
um queijo. O aluno terá que analisar, individualmente, quantos trajetos diferentes existem
para o rato chegar onde está o queijo. Ele poderá, por exemplo, escolher uma via entre duas,
depois uma entre três, e assim por diante. Uma condição que deve ser respeitada é a de que o
rato nunca caminhe na direção oeste. Mapas distintos serão distribuídos aos alunos. Os alunos
deverão responder a seguinte questão: Quantos trajetos distintos o rato pode percorrer para
chegar onde está o queijo?Figura 1 – exemplo de mapa
Fonte: material do autor
Os alunos terão 20 minutos para resolverem atividade, em seguida apresentarão suas
respostas explicando como procederam para resolver a questão. Ao final o professor
formalizara o conceito de Princípio fundamental da contagem (PFC).
Formalizando: Princípio Fundamental da Contagem
Considere a seguinte situação: Arthur possui 3 camisas (vermelha, verde e amarela) e
2 calças (preta e marrom). De quantas formas distintas Arthur poderá se vestir?
Podemos definir com A e B o conjunto disponível de camisas e calças,
respectivamente. Em cada conjunto, Arthur fará uma escolha:
Camisa vermelha, verde ou amarela com calça preta: 3 possibilidades.
Camisa vermelha, verde ou amarela com calça marrom: 3 possibilidades.
3 + 3 = 3 . 2 = 6 possibilidades
2 linhas
Definição: sejam A e B dois conjuntos com elementos de naturezas distintas.
Se A tem m elementos e B possui n elementos, então o número de pares distintos que
podemos formar com um elemento de cada conjunto é o produto mn.
Sejam A, B e C são três conjuntos com elementos de naturezas distintas. Se A
tem m elementos, B possui n elementos e há p elementos em C, então o números de triplas
distintas que podemos formar com um elemento de cada conjunto é o produto mnp. E assim
por diante.
Atividade 2- Contando as possibilidades de grupos
Objetivo: calcular o número de possibilidades intuitivamente.
Material: Cadeiras numeradas, folha de papel e caneta.
Conceitos envolvidos: Permutação e Arranjo.
Procedimentos: Os alunos serão divididos em grupos de 4, 5 e 6 pessoas.
Inicialmente, cada grupo terá à disposição 2 cadeiras a mais em relação ao número de
integrantes. O professor selecionará um aluno de cada grupo e perguntará a ele quantas
cadeiras tem à disposição para se sentar. Depois, fará o mesmo com os outros até que todos
estejam sentados. Será solicitado aos alunos que realizem trabalho em grupo e calculem o
número de maneiras distintas de posicionamento dos alunos em sala.
Em seguida, será retirada uma cadeira de cada grupo e o procedimento será repetido.
Mais uma vez, os alunos terão que calcular o número de possibilidades. Depois, mais uma
cadeira será retirada e não haverá sobra. Os alunos deverão calcular novamente o número de
possibilidades. Então, poderemos estabelecer os conceitos de arranjo e permutação,
mostrando aos alunos as definições e fórmulas referentes a esses tópicos
Formalizando: Arranjo
Imaginemos a seguinte situação: 8 alunos concorrem a duas vagas para intercâmbio,
sendo uma para o Japão e outra para Canadá. Cada aluno só pode ficar com uma vaga. De
quantas formas dois alunos podem ser selecionados para as viagens?
Vamos chamar de F o conjunto de alunos. Para uma das viagens, há 8 candidatos. O
escolhido para a primeira viagem não poderá concorrer à segunda, que é disputada pelos
outros 7 postulantes. Portanto, o total de possibilidades é de 8 . 7 = 56. Esse é um caso de
cálculo do número de arranjos de 8 elementos tomados 2 a 2
Definição: seja M um conjunto de n elementos. Chamamos de arranjo de n elementos
tomados p a p a qualquer sequência de p elementos (n ≥ p) formada por elementos de M,
todos distintos. Calculamos o número de arranjos de n elementos selecionando p elementos
através da seguinte fórmula:
An,p = n . (n – 1) . ... . 3 . 2 . 1
p elementos
Com o auxílio de fatorial, podemos simplificar a fórmula de arranjo:
An,p = n!
(n−p )!
Permutação: é um caso particular de arranjo, onde calculamos o número de
sequências com todos os elementos do conjunto, ou seja, n = p.
Exemplo: 5 pilotos disputam uma corrida. De quantas maneiras distintas pode ficar a
classificação ao final da corrida?
Existem 5 candidatos ao primeiro lugar, 4 candidatos ao segundo, 3 ao terceiro, 2 ao
quarto e o último ficará em quinto. Logo, são 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 possibilidades diferentes.
O cálculo do número de permutações, pode ser feito através da fórmula:
An,n = Pn = n!
Atividade 3- Quantos Anagramas tem meu nome?
Objetivo: diferenciar permutações com elementos repetidos e sem elementos
repetidos.
Material: Folha de papel e caneta.
Conceitos envolvidos: Permutação e Permutação com elementos repetidos.
Procedimentos: a turma será dividida em dois grupos, o primeiro grupo será composto
por alunos que não possuem letras repetidas no primeiro nome, e o segundo com alunos que
possuem letras repetidas no primeiro nome. Será apresentado, o conceito de anagrama, e os
alunos deverão calcular o número de anagramas existentes para seu nome.
Os alunos sem letras repetidas no primeiro nome apresentarão suas resoluções. Em
seguida, verificaremos as respostas dos alunos com letras repetidas. Ao notarmos que existem
algumas diferenças, será perguntado a todos os alunos por qual motivo isso ocorre, exemplo:
“Se os nomes JORGE e JOANA possuem 5 letras, por que o número de anagramas de cada
nome não é o mesmo? ”.
A resolução: JORGE possui 5 letras distintas, enquanto JOANA tem 5 letras, sendo
que a letra A repete duas vezes. O número de anagramas para JORGE é P5 = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 =
120. Contudo, JOANA possui menos possibilidades. Vamos calcular P5 e representar uma das
letras A com a notação A*. Contudo, vemos que JOANA* = JOA*NA, JONAA* = JONA*A,
A*JONA = AJONA*, etc. Para cada duas possibilidades, existe apenas uma. Logo, dividimos
P5 por 2!. “Joana” tem 60 anagramas.
Outra situação: Quantos números distintos podemos formar com os algarismos de
1.234 e com os algarismos de 1.444? Os alunos deverão calcular e depois o professor
apresentará a resposta. O número de números formados a partir de 1.234 é P4 = 24, pois todos
os números são diferentes. Mas 1.444 possui três vezes o algarismo 4. Vamos representar os
algarismos de 4 com a notação 4* e 4**. Temos, então, que:
1.44*4** (1) = 1.44**4* (2) = 1.4*44** (3) = 1.4*4**4 (4) = 1.4**4*4 (5) = 1.4**44* (6)
Logo, 6 possibilidades tornam-se uma só. Então, temos P4 = 24 /6= 4.
Ao final apresenta-se a definição e a fórmula de permutação com repetição. Devido à
complexidade do conteúdo, iremos aplicar uma atividade e reforçar a ideia com resoluções de
questões.
Formalizando: Permutação com repetição
Calcularemos o número de anagramas para a palavra “ana”. Será utilizada a notação
A*.
ANA* (1), A*NA (2), NAA* (3), NA*A (4), AA*N (5), A*NA (6)
Sem letras repetidas, o número de anagramas seria P3 = 6, porém (1) = (2), (3) = (4) e
(5) = (6). Logo, não temos 6, mas sim 3 anagramas.
Se temos um conjunto M com n elementos onde duas letras são iguais entre si
(“ANA”, por exemplo), então o número de permutações é Pn2 = n!2! .
Se temos um conjunto M com n elementos onde três letras são iguais entre si
(“CABANA”, por exemplo), então o número de permutações é Pn3 = n !3! .
Se temos um conjunto M com n elementos onde duas letras são iguais entre si e
outras três letras são iguais entre si (“BANANA”, por exemplo), então o número de
permutações é Pn2 ,3 =
n!2!3 ! .
Termo geral: se temos um conjunto M com n elementos, onde q elementos são iguais
entre si, outros r elementos são iguais entre si, outros t elementos são iguais entre si, etc.,
então, o número de permutações é dado pela fórmula:
Pnq , r ,…, t =
n !q !r !…t !
Atividade 4- Formando equipes.
Objetivo: Apresentar ao aluno o conceito de combinação e diferencia-lo de arranjo
Material: Camisas não-numeradas; folha de papel e caneta.
Conceitos envolvidos: Combinação e conjuntos.
Procedimentos: Os alunos serão divididos em grupos de 8. O professor ordenará,
então, que sejam formadas equipes de futebol a partir desses grupos. Inicialmente, cada grupo
receberá 8 camisas não-numeradas. O professor perguntará quantas equipes podem ser
formadas utilizando as camisas recebidas? Em seguida, o professor recolherá uma camisa de
cada grupo. Os alunos, que continuarão em grupos de 8 pessoas, terão que calcular quantas
possibilidades há de se formar um time com 7 jogadores a partir do grupo. Cada grupo deverá
anotas suas respostas.
A cada contagem, o professor recolherá uma camisa e o processo será repetido até
que os alunos tenham que calcular quantos times de 3 atletas podem ser formados em cada
grupo de 8. Ao final da atividade, o professor informará aos alunos que as camisas não são
numeradas para induzir o aluno à ideia de que a ordem não importa, mas sim o fato de o aluno
estar ou não na equipe. Em seguida, cada grupo apresentará as respostas que encontrou para
cada caso e as mesmas serão comparadas.
Formalizando: Combinação
Imaginemos a seguinte situação: Alex vai a um supermercado para comprar
refrigerantes. No supermercado há refrigerantes de 5 sabores diferentes: laranja, uva, guaraná,
limão e cola. Dos quais irá levar apenas 3 refrigerantes e que devem ser de sabores distintos,
de quantas formas ele pode escolher quais refrigerantes levar?
Consideremos A o conjunto dos sabores de refrigerantes disponíveis. Vamos
verificar os conjuntos de 3 elementos que podemos formar. Como se trata de, a ordem dos
elementos não importa.
Inicialmente, calculemos o número de possibilidades como se trabalhássemos
com arranjo. Há 5 possibilidades para o primeiro elemento, 4 para o segundo e outras 3 para o
terceiro. Logo, podemos formar 3! = 6 sequências diferentes com os três elementos
escolhidos. Entretanto, cada 6 sequências formadas a partir de cada trio de elementos será só
uma, pois, como já foi destacado, a ordem não importa. Logo, cada arranjo será dividido pelo
fatorial do número de elementos escolhidos.
Definição: seja M um conjunto de n elementos. Chamamos de combinação de
n elementos tomados p a p a qualquer conjunto de p elementos (n ≥ p) formado por elementos
de M, todos distintos. Calculamos o número de combinação de n elementos selecionando p
elementos através da seguinte fórmula:
Cn,p = n !
p ! (n−p ) !
Atividade 5- Criando Jogos
Objetivo: identificar a base de formação das peças de jogos.
Material: Papel cartão, canetas coloridas e tesoura.
Conceitos envolvidos: Princípio Fundamental da Contagem, Arranjo e Combinação.
Procedimentos: Os alunos serão divididos em 3 grupos. O primeiro deverá
desenvolver um baralho, o segundo irá criar um dominó com pedras de apenas uma cor e o
terceiro ficará responsável por um dominó com duas cores diferentes. As peças dos jogos
serão feitas de papel cartão. As canetas coloridas servirão para pintar pedras de dominós de
duas cores.
A equipe responsável pelo baralho deverá elaborar um baralho diferente do
tradicional, porém utilizando o mesmo princípio de formação. Nele, vamos considerar as
letras A, B, C, D, E e F, os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 e os naipes alfa, delta, ômega, pi e gama.
Assim como no baralho tradicional, as cartas terão número ou letra e naipe. As cartas devem
ser desenhadas em uma folha de papel e os alunos deverão informar quantas cartas distintas
foram produzidas e o conceito matemático utilizado para o cálculo.
Outas duas equipes formarão dominós nos moldes do tradicional, porém a equipe do
dominó de pedras de cor única irá considerar os números de 0 a 4 e a equipe do dominó de
pedras de duas cores formará peças com os números de 5 a 8. As pedras devem ser
desenhadas em uma folha de papel e, deverão informar quantas cartas distintas foram
produzidas e o conceito matemático utilizado para o cálculo. As equipes terão uma hora para
produzir os jogos. Cada uma deverá apresentar seus resultados. Após as apresentações, o
professor mostrará as leis de formação das peças dos jogos tradicionais e apontará diferenças
para os genéricos.
Sejam A o conjunto das letras e números das cartas de um baralho e B o conjunto dos
naipes. A possui 13 elementos e B tem 4. Cada carta possui um elemento de cada conjunto, o
que caracteriza PFC. São 13 elementos em A e 4 em B; portanto, um baralho possui 52 cartas
distintas (13 opções de elementos em A e 4 em B: 13 . 4 = 52). No caso do baralho genérico
produzido, são 12 opções de letras e números e 5 de naipes. Portanto, o baralho genérico
criado possui 60 cartas diferentes.
Seja M o conjunto de números representados em uma pedra de dominó. Como M tem
7 elementos e devemos selecionar 2 diferentes, exceto nos “carrões”, e a ordem na qual os
elementos estão dispostos não importa, as pedras com duas representações de números
distintos do dominó são criadas a partir de combinações de 7 elementos, tomados 2 a 2. Os
“carrões” fogem à regra, pois neles há repetição de números. Um dominó comum tem,
portanto, 28 pedras (C7,2, igual a 21, somada aos 7 “carrões”).
O dominó de pedras de cor única tem representações de 5 números distintos (0, 1, 2,
3 e 4). Como a pedra tem uma cor só, a ordem não importa. Logo, temos os carrões dos 5
números mais pedras com dois números diferentes (C5,2 = 10). São, portanto, 15 peças.
O dominó de pedras de duas cores tem representações de 4 números distintos (5, 6, 7
e 8). Como a pedra tem duas cores, a ordem importa. Logo, temos os 4 carrões somados às
pedras de dois números distintos (A4,2 = 12). Logo, temos 16 peças.
3. Considerações finais
Entendemos que apresentar o conteúdo através de situações-problema torna o
ensino mais fácil e agradável. Devido a isso, muitos alunos podem enxergar de uma forma
diferente a Matemática e, ao invés de tanto detestá-la, gostar de aprender. A demonstração de
fórmulas através da manipulação de situações também é um fator positivo, uma vez que o
aluno conhece a origem dos algoritmos necessários para a resolução de problemas.
Outro lado positivo de trabalhar com sequência de atividades é a ação do aluno.
Pois, ele participa ativamente e constrói a sua própria forma de pensar, tornando-se um ser
mais crítico e sendo capaz de avaliar eventuais erros nas resoluções de questões. A
diversidade de atividades é altamente recomendável tanto ao aluno quanto ao professor.
Portanto esperamos com esse minicurso contribuir para o ensino aprendizagem do conteúdo
de Análise Combinatória.
REFERENCIAS
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GRYMUZA, Alissá Mariane Garcia. RÊGO, Rogéria Gaudêncio do. Teoria da Atividade: Uma possibilidade no ensino de Matemática. Revista Temas em Educação. João Pessoa, v.23, n.2, p.117-138, 2014.
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MALAGUTTI, Pedro Luiz Aparecido; VAZQUEZ, Cristiane Maria Roque. Atividades experimentais de Análise Combinatória no Ensino Médio em uma escola estadual. São Carlos, 2009. Disponível em: <http://www.enrede.ufscar.br/participantes_arquivos/E5_Vazquez_TA.pdf>. Acesso em 12 dez. 2016.
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