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Sinais e SistemasAula 3

Professor: Rafael Antunes Nbrega

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Vimos...

CAPTULO 1: Introduo:

Sinais de tempo contnuo e de tempo discreto;

Energia e Potncia de um sinal

Transformaes de variveis independentes;

Sinais peridicos

Sinais senoidais e exponenciais;

Funes impulso unitrio e degrau unitrio;

Sistemas de tempo contnuo e de tempo discreto;

Propriedades bsicas de sistemas;

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Continuao

CAPTULO 2: Sistemas lineares invariantes no tempo:

Representaes de sinais em termos de impulso;

Convoluo.

Esquema de Interconexes

Propriedades de sistemas LIT

Equaes diferenciais lineares com coeficientes constantes

Funes de singularidade

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Sinais e Sistemas

Captulo 2

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Sistemas Lineares invariantes no tempo (LIT)

Essas duas propriedades so fundamentais na anlise de sinal: Motivao: muitos processos fsicos tm essa propriedade;

Sistemas LIT podem ser analisadas de maneira detalhada facilitando a compreenso de suas propriedades e fornecendo um conjunto de ferramentas poderosas.

Por sua linearidade, os sinais podem ser representados por uma combinao linear de um conjunto de sinais bsicos viabilizando a anlise.

Sinais bastante gerais podem ser representados como combinaes lineares de impulsos deslocados. Soma de Convoluo (discreto) ou Integral de Convoluo (contnuo).

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Exemplo: Represente x[n] como uma combinao linear de impulsos deslocados.

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Exemplo (soluo):

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Eq. (2.1)Propriedade seletiva do impulso unitrio

Uma consequncia das propriedades de linearidade e invariabilidade temporal que um sistema LTI discreto pode ser completamente caracterizado por sua resposta ao impulso; Logo, sabendo sua resposta ao impulso podemos computar a sada do sistema para qualquer

entrada arbitrria.

Como o sistema tempo-invariante,

Como o sistema linear, x[n] = 0.5[n+2] + 1.5[n-1] - [n-2] y[n] = 0.5h[n+2] + 1.5h[n-1] - h[n-2]

Logo, uma sequncia qualquer x[n] pode ser expressa por uma combinao linear de sequncias de amostras unitrias com atrasos e avanos.

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SLTI[n] h[n] = resposta ao impulso

SLTI[n-1] h[n-1]

SLTI



Sistemas LIT de tempo discreto:Soma de convoluo

Logo uma sequncia de sada obtida a partir de uma entrada impulso pode caracterizar completamente um sistema LTI.

A sada do sistema para qualquer sinal de entrada pode ento ser calculada a partir de sua convoluo com a resposta ao impulso obtido.

Logo, sabendo a resposta ao impulso h[n] podemos construir a resposta a um sinal arbitrrio.

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][][ y[n] nhkxk

k

SLTI[n-1] h[n-1]

Qualquer sequncia de entrada pode ser expressa por uma combinao linear de sequncias de amostras unitrias com atrasos de avanos na forma:

A resposta de um sistema LTI ser dada por:

Que pode ser escrita como:

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SLTIx[k][n-k] x[k]h[n-k]



Essa soma

conhecida como convoluo entre as sequncias x[n] e h[n].

Representao simblica:

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Exemplo: Considere um sistema LIT com resposta ao impulso h[n] e entrada x[n] dada por:

Ache y[n].

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0 1 2

1h[n]

0 1 2

0.5

x[n]

2

Exemplo (soluo):

Interpretao de

Ache y[n].

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][][ y[n] knhkxk



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Exemplo:

Ache y[n].



Progresso Geomtrica

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Progresso Geomtrica

Exemplo (soluo):



Para o contnuo, devemos usar similarmente a propriedade seletiva do impulso.

Primeira aproximao em degraus para achar

Como tem valor unitrio, temos a expresso:

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Sistemas LIT de tempo contnuo:Integral de convoluo


(t)

contrrio caso ,0

t0 ,1

(t)

k

ktkx )()((t)x

(t)x

][][ y[n] knhkxk

discreto

Note que, assim como no caso discreto, apenas uma parcela do somatrio do termo a direita no nula.

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k

ktkx )()((t)x

Fazendo 0, a aproximao se torna cada vez melhor, e no limite iguala-se a x(t), logo:

No limite 0 a equao acima aproxima-se da integral.

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(t)x

(t)xlimx(t) 0

k

ktkx )()(limx(t) 0

dtx )()(x(t)

Propriedade seletiva do impulso no tempo contnuo

Remete a combinao linear de impulsos...

Exemplo: Represente x(t) por uma combinao linear de impulsos;

x(t) = u(t)

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No caso discreto....

Exemplo: x(t) = u(t)

Soluo

Que remete a uma das relaes entre o impulso e o degrau.

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0)()()(u(t) dtdtu

Lembrando que essa equao deve ser vista como uma idealizao que para efeitos prticos a soluo exata.

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dtx )()(x(t)



k

ktkx )()((t)x

k

ktkx )()(limx(t) 0

Podemos chegar ao mesmo resultado utilizando diretamente as propriedades do impulso unitrio.

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)()()(

)()(

)()(x(t)

txdttx

dttx

dtx

Continuao

CAPTULO 2: Sistemas lineares invariantes no tempo:

Representaes de sinais em termos de impulso;

Convoluo.

Propriedades da convoluo

Esquema de Interconexes

Propriedades de sistemas LIT

Equaes diferenciais lineares com coeficientes constantes

Funes de singularidade

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Prxima aula....

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