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Sinais e SistemasAula 12

Professor: Rafael Antunes Nóbrega

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Continuação...• CAPÍTULO 1: Introdução:

– Sinais de tempo contínuo e de tempo discreto;– Energia e Potência de um sinal– Transformações de variáveis independentes;– Sinais periódicos– Sinais senoidais e exponenciais;– Funções impulso unitário e degrau unitário;– Sistemas de tempo contínuo e de tempo discreto;– Propriedades básicas de sistemas;

• CAPÍTULO 2: Sistemas lineares invariantes no tempo:– Representações de sinais em termos de impulso;– Convolução.– Esquema de Interconexões– Propriedades de sistemas LIT– Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes– Funções de singularidade

• CAPÍTULO 3: Série de Fourier– Perspectiva histórica– Resposta dos sistemas LIT às exponenciais complexas– Representação de sinais periódicos de tempo contínuo– Convergência da série de Fourier– Propriedades da série de Fourier de tempo contínuo– Representação de sinais periódicos de tempo discreto– Propriedades da série de Fourier de tempo discreto– Série de Fourier e sistemas LIT– Filtragem– Exemplos filtros contínuos– Exemplos filtros discretos

• CAPÍTULO 4: A transformada de Fourier de tempo contínuo– Representações de sinais aperiódicos (tempo contínuo)– TF para sinais periódicos– Propriedades da TF de tempo contínuo– A propriedade da convolução– A propriedade da multiplicação

– Sistemas caracterizados por equações diferenciais lineares com coeficientes constantes (boa parte do Cap. 6)

• CAPÍTULO 5: A transformada de Fourier de tempo discreto– Representações de sinais aperiódicos (tempo discreto)– TF para sinais periódicos– Propriedades da TF de tempo contínuo

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visto

• Como vimos, uma classe importante e útil de sistemas LIT é aquela para qual a entrada e a saída satisfazem uma equação diferencial linear com coeficientes constantes.

• Como determinar a resposta em frequência desses sistemas?

• Iremos aqui considerar sempre que a TF existe:

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Sistemas caracterizados por equações diferenciais lineares com coeficientes constantes

Transformada de Fourier

Converge para H(jw)

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• Considere um sist. LIT caracterizado pela prop. da convolução:

• O sistema pode ser obtida a partir de:

• Podemos agora aplica a TF em ambos os lados da equação:

• E usando a prop. de diferenciação

LINEARIDADE

• Temos uma função racional (razão entre polinômios em (jw));

• Note que a resposta em frequência pode ser obtida simplesmente por inspeção da eq. diferencial:

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EQ. DIFERENCIAL DE ORDEM N

NUMERADORDENOMINADOR

• Exemplo:

– Ache h(t) do sistema abaixo:

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• Exemplo:

– Ache h(t) do sistema abaixo:

– Resolvendo por inspeção:

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TFI

• Exemplo:

– Ache h(t) para o sistema abaixo:

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• Exemplo:

– Ache y(t) para o sistema anterior para a entrada x(t).

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• Consideremos um sistema de 1ª ordem dada pela equação

• Por inspeção, temos:

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TFI

RESPOSTA AO DEGRAU

τ = constante de tempo*Quando t = τ h(τ) = 1/e∙h(0)

Quanto menor τ, mais brusca a queda

Quanto menor τ, mais curta a subida

• Diagrama de Bode do sistema:

– Note que:

– Repare também que para w = 1/τ, temos:

– Podemos usar isto para obter um diagrama de Bode aproximado.

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Pode-se fazer algo similar para calcular a fase...

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• Consideremos um sistema de 2ª ordem dada pela equação

• Por inspeção, temos:


Frações Parciais

• Note que a equação

pode ser reescrita como:

– Assim, mudar wn é o mesmo que uma mudança de escala de tempo e frequência

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– Fator de amortecimento

– Frequência natural não amortecida

• Se c1 e c2 são complexos e podemos reescrever h(t) da seguinte forma:

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Resposta ao impulso oscilatório amortecido e é chamado de subamortecido

• Se , c1 e c2 são reais e negativos e a resposta ao impulso é a diferença entre duas exponenciais decrescentes.

Sistema superamortecido.

• Se , c1 = c2 sistema criticamente amortecido.

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Resposta ao impulso

Resposta ao degrau

• Subamortecido = sobresinal + oscilações (overshoot + ringing);

• Criticamente amortecido = resposta mais rápida sem sobresinal;

• A medida que aumenta além de 1, a resposta torna-se mais lenta.

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Resposta ao impulso

Resposta ao degrau

• Em relação a wn, como dito, temos o controle da escala de tempo que age de maneira inversa para o tempo e para a frequência;

• Note que quando = 0 o sistema perde o fator de amortecimento e por isso wn é chamado de frequência natural não-amortecida

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Resposta ao impulso

freq. de oscilação

wn = freq. de quebra

• Resumindo:

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= 0

• Resolvendo o Diagrama de Bode:

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2/12

22

12

1

)(

)()(

nn w

w

w

wjwX

jwYjwH

22

12

1

12

1)(

nnnn w

w

w

wj

w

wj

w

wj

jwH

Re2{} +Im2{}

Re2{} +Im2{}

222

2

2/12

22

14log1012log20)(log20nnnn w

w

w

w

w

w

w

wjwH

• Resolvendo o Diagrama de Bode:

– Temos que para w << wn

– Para w >> wn

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222

2

2/12

22

14log1012log20)(log20nnnn w

w

w

w

w

w

w

wjwH

dBw

w

w

wjwH

nn

014log10)(log20

222

2

0 0

)log(40)log(40log1014log10)(log20

22

222

2

n

nnn

www

w

w

w

w

wjwH

• As 2 assintóticas se encontra no ponto w = wn;

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0)log(40)log(40)(log20 nn wwjwH

Podemos fazer algo similar para achar uma aproximação para a fase.

• Pode ser mostrado que para ζ < 0.707, |H(jw)| tem um valor máximo (pico) em:

• Com um valor máximo de:

• Para ζ > 0.707 a curvadiminui monotonicamente

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221 nmáx ww

2212

1)(

máxjwH

Importante para amplificadores seletivos de frequência por exemplo.

• Os sistemas de 1ª e 2ª ordem podem ser usados como blocos básicos para construir sistemas LIT mais complicados, com respostas em frequência racionais.

• Como consequência, os diagramas de Bode vistos nos fornecem toda a informação necessária para construir diagramas de Bode para quaisquer respostas em frequência racionais;

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• Podemos também obter prontamente os diagramas de Bode para respostas em frequência nas formas:

• Note que


MATLABw = 0:0.01:100;H = 20*log10(1+i*w);plot(w, abs(H));

τ =1

• Considere agora H(jw) = K

• Podemos construir este Diagrama de Bode assim:

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MATLABw = 0:0.01:100;H = 20*log10(1/(1+i*w)) + 20*log10(1+i*w);plot(w, abs(H));

• Exemplo:

– Obtenha o Diagrama de Bode para o sistema abaixo:

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• Exemplo:

– Obtenha o Diagrama de Bode para o sistema abaixo:

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A transformada de Fourier de tempo discreto

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