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Sinais e SistemasAula 11

Professor: Rafael Antunes Nóbrega

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Continuação...• CAPÍTULO 1: Introdução:

– Sinais de tempo contínuo e de tempo discreto;– Energia e Potência de um sinal– Transformações de variáveis independentes;– Sinais periódicos– Sinais senoidais e exponenciais;– Funções impulso unitário e degrau unitário;– Sistemas de tempo contínuo e de tempo discreto;– Propriedades básicas de sistemas;

• CAPÍTULO 2: Sistemas lineares invariantes no tempo:– Representações de sinais em termos de impulso;– Convolução.– Esquema de Interconexões– Propriedades de sistemas LIT– Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes– Funções de singularidade

• CAPÍTULO 3: Série de Fourier– Perspectiva histórica– Resposta dos sistemas LIT às exponenciais complexas– Representação de sinais periódicos de tempo contínuo– Convergência da série de Fourier– Propriedades da série de Fourier de tempo contínuo– Representação de sinais periódicos de tempo discreto– Propriedades da série de Fourier de tempo discreto– Série de Fourier e sistemas LIT– Filtragem– Exemplos filtros contínuos– Exemplos filtros discretos

• CAPÍTULO 4: A transformada de Fourier de tempo contínuo– Representações de sinais aperiódicos (tempo contínuo)– TF para sinais periódicos– Propriedades da TF de tempo contínuo– A propriedade da convolução– A propriedade da multiplicação

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visto

• Também podemos desenvolver a Transformada de Fourier (TF) para sinais periódicos;

• Podemos construir de forma direta a TF de um sinal periódico a partir da Série de Fourier (SF);

• A transformada resultante consistem em um trem de impulsos proporcionais aos coeficientes da SF.

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TF para sinais periódicos

Transformada de Fourier

• Considere um sinal x(t) com TF igual a X(jw) que consistem em um único impulso de área 2π em w = w0:

• Para determinar x(t) podemos aplicar a TF Inversa (TFI)

– Temos então que...

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Transformada de Fourier Transformada inversa de Fourier

w0

X(jw)

2π

w

• Considere um sinal x(t) com TF igual a X(jw) que consistem em um único impulso de área 2π em w = w0:

• Para determinar x(t) podemos aplicar a TF Inversa (TFI)

– Temos então que...

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Transformada de Fourier Transformada inversa de Fourier

tjwetx 0)(

1 k

ak

1

w0

w0

X(jw)

2π

w

• Generalizando, se X(jw) tiver uma forma de uma combinação linear de impulsos igualmente espaçados em frequência, ou seja:

• corresponde e à representação da SF de um sinal periódico:

• Assim a TF de um sinal periódico com os coef.s da SF {ak} pode ser interpretada como um trem de impulsos ocorrendo nas frequências harmonicamente relacionadas onde a área dos impulsos é 2π vezes o k-ésimo coef. ak da SF.

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TFI

• Exemplo:

– Considere a onda quadrada abaixo onde os coeficientes da SF para esse sinal são:

– E a transformada de Fourier do sinal é?

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k

Tkwsenak

)( 10

• Exemplo:

– Considere a onda quadrada abaixo onde os coeficientes da SF para esse sinal são:

– E a transformada de Fourier do sinal é?

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k

Tkwsenak

)( 10

k

kwwk

TkwsenjwX )(2

)()( 0

10

k

kwwk

TkwsenjwX )(2

)()( 0

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• Para T = 4T1, temos a figura abaixo:

• As únicas diferenças em comparação com a solução usando a SF (Figura 3.7a) são:– Um fator de proporcionalidade de 2π;

– O uso de impulsos ao invés de um gráfico de barras.

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por aproximação, no limite w0

• Lembrando Figura 3.7a

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x2π

• Exemplo:

– Ache a TF de x(t) a partir da SF.

x(t) = sen(w0t)

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• Exemplo:

– Ache a TF de x(t) a partir da SF.

x(t) = sen(w0t)

• Exemplo:

–

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k

kTttx )()(

• Exemplo:

–

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k

kTttx )()(

• Muitas das propriedades são úteis para reduzir a complexidade do cálculo das TF e TFI;

• Como existe uma relação próxima entre a SF e a TF de um sinal periódico, podemos transferir muitas das propriedades da SF para a TF;

• As equações de síntese e análise relacionam o sinal e sua transformada como vimos anteriormente:

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Propriedades da TF de tempo contínuo


• Usando a notação:

• Exemplo:– Temos que (exemplo 4.1) para x(t) = e-atu(t), a > 0

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• Linearidade

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• Deslocamento no tempo

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TF inversa


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TF inversa

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– Exemplo:• Calcule a transformada de Fourier do sinal x(t):



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• Conjugação e simetria conjugada



TF

(erro no livro)

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TF

(erro no livro)

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– Exemplo• Qual a TF do sinal x(t) = e-a|t|, a > 0?



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