tunelamento em teoria quântica de campos · tunelamento em muitas dimens~oes assim como no caso...

Introducao N-dimensional T.C. Metodo de Aproximacao Metodo Variacional Conclusao Bibliografia

Tunelamento em Teoria Quantica de Campos

Leonardo Peixoto de MouraOrientador: Prof. Dr Gabriel Flores Hidalgo

Universidade Federal de Itajuba - UNIFEI

March 29, 2017



Sumario

1 Introducao

2 N-dimensional

3 T.C.

4 Metodo de Aproximacao

5 Metodo Variacional

6 Conclusao

7 Bibliografia



Aproximacao WKB em Mecanica Quantica

• Dado equacao de Schrodinger unidimensional independente do tempode uma partıcula de massa unitaria

−~2

2

d2ψ

dx2+ V (x)ψ = Eψ .

• Podemos reescreve-la da seguinte maneira

d2ψ

dx2= −p

2

~2ψ(x) ,

onde p(x) =√

2[E − V (x)] .




• Em uma regiao classica, ou seja, E > V temos uma solucao do tipo

ψ(x) = A(x)eiϕ(x) .

• Substituindo essa equacao acima na equacao de Schrodinger temos

ψ(x) ∼=C√p(x)

e±i~∫dxp(x) .

• Em uma regiao para E < V

ψ(x) ∼=C√|p(x)|

e±1~∫dx|p(x)| ,

onde C e uma constante real.




• Exemplo

Figure: Espalhamento de uma barreira retangular com uma ondulacao emcima [3] .

• Para (x < 0) ψ(x) = Aeikx +Be−ikx .E para (x > a) ψ(x) = Feikx .

• A Taxa de tunelamento e dada por T = |F |2|A|2 .




• O comportamento da funcao de onda e dado na figura a seguir

Figure: Estrutura qualitativa da funcao de onda paro o espalhamento deuma barreiro alta e ampla [3] .

• Para (0 ≤ x ≤ a)

ψ(x) ∼=C√|p(x)|

e1~∫dx|p(x)| +

D√|p(x)|

e−1~∫dx|p(x)| .




• A taxa de tunelamento e dada por

T ∼= e−2γ ,

onde

γ ≡ 1

~

∫ a

0dx|p(x)| .



Introducao

• Dado um campo escalar em quatro dimensoes do espaco-tempo cominteracoes nao relativıstica, onde

L =1

2∂µφ∂µφ− U(φ) ,

onde

Figure: Potencial com dois mınimos relativos φ± [10] .

• Onde, apenas φ− e um mınimo absoluto.



Introducao

• O que devemos calcular?

• O que devemos calcular e probabilidade de decaimento do falso vacuopor unidade de tempo e volume Γ/V .

• A Expressao e da forma

Γ

V= Ae−B/~ [1 +O(~)] , (1)

onde A e uma correcao quantica e B e o termo mais relevante.



Tunelamento em Muitas Dimensoes

• Dado uma partıcula de massa unitaria movendo se em uma dimensao.

L =1

2q2 − V (q) . (2)

E V (q) e da forma

Figure: Potencial V (q) [10] .




• A largura associada a essa penetracao e dada pela equacao (1). OndeB e dado por:

B = 2

∫ σ

q0

dq(2V )1/2 . (3)

• Para um problema em mais de uma dimensao temos

L =1

2~q · ~q − V (~q .) (4)




• Assim como no caso unidimensional escolhemos o mınimo local, ~q0,como um zero do potencial, e o σ no caso unidimensional esubstituıdo por uma superfıcie de zero, Σ.

B = 2

∫ ~σ

~q0

ds(2V )1/2 , (5)

• onde(ds)2 = dq · dq .

• E ~σ e algum ponto em Σ.




• E a integral sobre esse caminho e tal que B e mınimo, ou seja

δB = δ2

∫ ~σ

~q0

ds(2V )1/2 = 0 . (6)

• A mesma equacao pode ser escrita em uma forma mais conhecida.

δ

∫ds [2(E − V )]1/2 = 0 . (7)

d2~q

dt2= −∂V

∂~q, (8)

1

2

d~q

dt· d~qdt

+ V = E . (9)




• O problema variacional (6) e da mesma forma, exceto que E = 0 e osinal de V (~q) e invertido, e o ponto ~σ nao e fixo.

• Fixando ~σ temos do problema (6) dado pro

d2~q

dτ2=∂V

∂~q, (10)

com1

2

d~q

dτ· d~qdτ− V = 0 . (11)




• Assim temos

δ

∫dτLE = 0 , (12)

onde

LE =1

2

d~q

dτ· d~qdτ

+ V . (13)

• Pela equacao (11) temos

limτ−→−∞

~q = ~q0 . (14)

• Pela a invariancia de translacao

d~q

dτ

∣∣∣∣0

= ~0 . (15)




• Novamente pela equacao (11)∫ ~σ

~q0

ds(2V )1/2 =

∫ 0

−∞dτLE . (16)

• Assim concluımos que B e a acao Euclidiana total para o salto.

B =

∫ ∞−∞

dτLE (17)



Tunelamento em Teoria de Campos

• A equacao de movimento Euclidiana em Teoria Quantica de Campos e(∂2

∂τ2+∇2

)φ = U ′(φ) . (18)

• As condicoes de contorno do salto sao

limτ−→±∞

φ(τ, ~x) = φ+ , (19)

∂φ(0, ~x)

∂τ= 0 . (20)




• O coeficiente B e

B = SE =

∫dτd3x

[1

2

(∂φ

∂τ

)2

+1

2(∇φ)2 + U

]. (21)

• Para B ser finito e necessario que

lim|~x|−→±∞

φ(τ, ~x) = φ+ . (22)




• Fazendo uma mudanca de variavel ρ =√τ2 + |~x|2 podemos escrever

a equacao (18), o coeficiente B e as condicoes de contorno comosegue

d2φ

dρ2+

3

ρ

dφ

dρ= U ′(φ) (23)

B = SE = 2π2∫ ∞0

ρ3dρ

[1

2

(∂φ

∂ρ

)2

+ U(φ)

], (24)

∂φ

∂ρ

∣∣∣∣0

= 0 , (25)

limρ−→∞

φ(ρ) = φ+ . (26)



Aproximacao de Parede Fina

• Considerando uma funcao simetrica em φ

U+(φ) = U+(−φ) , (27)

U+ =λ

8

(φ2 − µ2

λ

)2

. (28)

• Com mınimosU ′(±a) = 0 . (29)

• E definimos µ2 = U ′′(±a).




• Adicionando um pequeno termo que quebre a simetria de U+, temos

U = U+ +ε

2a(φ− a) , (30)

onde ε e um numero positivo.

• A menor ordem nao trivial de ε,

φ± = ±a . (31)

• E ε e a densidade de energia entre o verdadeiro e falso vacuo.




• Desconsiderando o termo de atrito na equacao (23) e a dependenciade ε em U obtemos

d2φ

dx2= U ′+(φ) , (32)

onde x e a variavel espacial em uma teoria unidimensional.

• A solucao fundamental e uma funcao de x, φ1(x), definida por

x =

∫ φ1

0

dφ

[2U+(φ)]1/2. (33)




• Para essa solucao a acao unidimensional e dada por

S1 =

∫dx

[1

2

(dφ1dx

)2

+ U+

]=

∫ a

−adφ [2U(φ)]1/2 . (34)

• Para µ|x| � 1

φ1 = ±(a−Ke−µ|x|

), (35)

S1 =µ3

3λ. (36)

E K = 2a .




• Em termos de φ1, podemos expressar analiticamente nossa descricaoaproximada do salto

φ = −a, ρ� R ,

φ = φ1(ρ−R), ρ ≈ R ,

φ = a, ρ� R .

• Precisamos calcular R agora

SE = 2π2∫ ∞0

ρ3dρ

[1

2

(dφ

dρ

)2

+ U

]= −1

2π2R4ε+ π2R3S1 . (37)




• O primeiro termo vem do interior da bolha, o segundo termo da walL)variando em relacao a R, obtemos

dSEdR

= 0 = −2π2R3ε+ 6π2R2S1 . (38)

• Com isso chegamos em

B =π2µ12

6ε3λ4. (39)



Metodo Variacional

• Escolhemos uma funcao que respeitasse as condicoes de contornoencontrada pelo Coleman.

φ(ρ) = φ+

(1− ae−bρ2

). (40)

• E o Potencial escolhido e

U(φ) = λ(φ2 − 1

)2+ εφ+ U0 . (41)



Metodo Variacional

• Escolhemos uma funcao que respeitasse as condicoes de contornoencontrada pelo Coleman.

φ(ρ) = φ+

(1− ae−bρ2

). (42)

• E o Potencial escolhido e

U(φ) = λ(φ2 − 1

)2+ εφ+ U0 . (43)

• U0 e escolhido de tal forma a retirar as divergencias.



Metodo Variacional

• Antes de calcular B analisamos o potencial

dU

dφ

∣∣∣∣φ+

= 0⇒ φ3+ − φ+ = − ε

4λ. (44)

• Chegamos em um B

B = π2{a2φ2+

2b+λφ2+b2

[a4φ2+

16− 4

9φ2+a

3 +a2

2

(3φ2+ − 1

)]}. (45)



Metodo Variacional

• Analisando B como funcao B(a, b). Pontos crıticos

∂B

∂a= 0⇒ b = −λ

(φ2+a

2

4− 4

3φ2+a+ 3φ2+ − 1

), (46)

∂B

∂b= 0⇒ b = −4λ

(φ2+a

2

16− 4

9φ2+a+ 3φ2+ − 1

). (47)

• Dessa duas equacoes obtemos a

a =9

4φ2+

(9φ2+ − 3

). (48)



Metodo Variacional

• Usando as equacoes (34) e (36) obtemos b

b =λ

64

(−4833φ2+ + 3862− 729

φ2+

). (49)

• Usando a equacao cubica (32) tiramos uma raiz aproximada para φ+

φ+ ∼= 1− ε

8λ. (50)

• Usando essa raiz nos obtemos um b < 0, e isso viola uma dascondicoes de contorno que a funcao deve respeitar.



Referencia Bibliograficas I

S. Weinberg .The quantum theory of fields,Vol.2. Cambridge university press, 1996.

T. Damour, B. Duplantier, and V. Rivasseau,Gravitation and Experiment: Poincare Seminar 2006. Progress inMathematical Physics..Springer, 2007. , ano 2007.

D. GriffitthIntroduction to Quantum Mechanics,.Prentice Hall, 1995.



Referencia Bibliograficas II

B. D. e. F. L. C. Cohen-Tannoudji,Quantum Mechanics,vol. 1. WllEY-VCH, 2nd ed., 1977.

D. Griffitth,The Quantum to Elementary Particle Physics.WllEY-VCH, 2 ed., 2008.

J. J. Sakurai and J. J. Napolitano,Modern quantum mechanics.2 ed., 2013.

P. Ramond,Field Theory A Modern Primer.Westview, 2nd ed.



Referencia Bibliograficas III

e. F. E. H. G. B. Arfken, H. J.Weber,Mathematical Methods For Physicists.Elsevier, 7nd ed., 2013.

B. Hatleld,Quantum Field Theory Of Point Particles and Strings.Perseus Books, 1991.

S. Coleman,Fate of the false vacuum:Semiclassical theory .1977.



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