Ponto de Máximo e Ponto de Mínimo

Por: Cristina Alves de S. Cardoso

Para determinarmos o ponto de máximo e de mínimo de uma função do 2º grau, basta calcular o vértice da parábola, utilizando as seguintes expressões matemáticas.

Importante: Se a > 0, Yv assume o valor mínimo da função.

Se a < 0, Yv assume o valor máximo da função.

4a- y

2a

b- v

vx

Representação GráficaPonto de Máximo Ponto de Mínimo

Representação gráfica da Imagem de uma função.

Situações-problema envolvendo o ponto de máximo e de mínimo

O ponto máximo e o ponto mínimo podem ser atribuídos a

várias situações presentes em outras ciências, como Física,

Biologia, Administração, Contabilidade entre outras.

Física: movimento uniformemente variado, lançamento de projéteis.

Biologia: na análise do processo de fotossíntese, no estudo da vida dos animais.

Administração: Estabelecendo pontos de nivelamento, lucros e prejuízos.

Na Física

• Exemplo 1: Lançamento de projéteis.• Uma bala é atirada de um canhão. A trajetória

da bala descreve uma parábola de equação:

y = -3x2 + 60x (onde x e y são medidos em

metros).

a) Calcule o alcance do disparo.

b) Qual é a altura máxima atingida pela bala?

Solução• a) Temos que resolver a equação: -3x2 + 60x = 0 para encontrar o

alcance do disparo (diferença entre as raízes da função). Calculando o valor do discriminante Delta:

• Como a raiz quadrada de 3600 é 60, segue que: • x = (-60 + 60) / -6 = 0 ou x = (-60 - 60) / -6 = -120 / -6 = 20

Logo o alcance da bala é 20 - 0 = 20 m.

3600

03460

ac4b2

2

-

-

• b) Altura é o y da coordenada do vértice da parábola.

= -3600 / -12 = 300. Assim, a altura

máxima da bala é 300 m.

a4

y

Na Administração:• Exemplo 2: Lucro Máximo• O lucro de uma empresa pela venda diária de x peças, é dado

pela função: L(x) = -x2 + 14x - 40. Quantas peças devem ser

vendidas diariamente para que o lucro seja máximo?

SoluçãoObservando o vértice da parábola, temos que o valor

de uma função f(x) = ax2 + bx + c é máximo (ou

mínimo) quando x é igual a média aritmética das raízes,

ou seja , quando: x = -b / 2a. Então, L(x) = -x2 + 14x - 40 tem valor

máximo quando x = -14 / 2(-1) = 14 / 2 = 7. Assim, devem ser vendidas 7 peças para que o

lucro seja máximo.

Na Biologia

• Exemplo 3: Na trajetória de um sapo• Um sapo, ao pular de uma vitória-régia para outra vitória-régia

em busca de alimentar-se de um inseto, percorre uma trajetória

parabólica dada pela função y = -x² + 4x. Qual a altura máxima

atingida pelo sapo na busca de seu alimento?

Agora é com você?Jesus, estava no Monte da

Oliveiras e de repente, começou a falar:

___ x² - 2x + 3 = 0