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Triângulo Retângulo

Relações Métrica e Teorema de Pitágoras

1. (Pucrj 2013) Uma bicicleta saiu de um ponto que estava a 8 metros a leste de um hidrante, andou 6 metros na direção norte e parou. Assim, a distância entre a bicicleta e o hidrante passou a ser: a) 8 metros b) 10 metros c) 12 metros d) 14 metros e) 16 metros 2. (G1 - ifsp 2013) Um instrumento musical é formado por 6 cordas paralelas de comprimentos

diferentes as quais estão fixadas em duas hastes retas, sendo que uma delas está perpendicular às cordas. O comprimento da maior corda é de 50 cm, e o da menor é de 30 cm. Sabendo que a haste não perpendicular às cordas possui 25 cm de comprimento da primeira à última corda, se todas as cordas são equidistantes, a distância entre duas cordas seguidas, em centímetros, é

a) 1. b) 1,5. c) 2. d) 2,5. e) 3. 3. (Unesp 2013) A figura, fora de escala, representa o terreno plano onde foi construída uma

casa.

Sabe-se do quadrilátero ABEF que:

• Seus ângulos ˆABE e ˆAFE são retos.

• AF mede 9 m e BE mede 13 m.

• o lado EF é 2 m maior que o lado AB .

Nessas condições, quais são as medidas, em metros, dos lados AB e EF?


4. (Ufsj 2013) Um triângulo isósceles inscrito em um círculo de raio igual a 8 cm possui um

lado que mede 16 cm. A medida dos outros dois lados do triângulo, em cm, é igual a

a) 8.

b) 8 2. c) 16.

d) 16 2. 5. (Ufsj 2013) Considere uma corda AB, perpendicular ao diâmetro EC de um círculo de centro

O. Sendo o ponto D a interseção dos segmentos AB e EC e sabendo que CD = 4cm e ED = 9cm, a área do triângulo AED, em cm

2, é igual a

a) 27. b) 18. c) 36. d) 78. 6. (Fgv 2013) Um triângulo tem lados medindo 1cm, 2cm e 2,5cm. Seja h a medida da altura

relativa ao maior lado. O valor de h

2 expresso em cm

2 é, aproximadamente, igual a

a) 0,54 b) 0,56 c) 0,58 d) 0,60 e) 0,62

7. (Uepb 2013) No retângulo ABCD de lado AB 3 cm, BC 7cm, o segmento AP é

perpendicular à diagonal BD.

O segmento BP mede em cm:

a) 9

2

b) 7

4

c) 9

4

d) 3

4

e) 5

4


8. (Espm 2012) Na figura plana abaixo, ABCD é um quadrado de área 10 cm2. Os segmentos

CE e CF medem 4 cm cada. Essa figura deverá ser dobrada nas linhas tracejadas, fazendo com que os pontos E e F coincidam com um ponto P do espaço.

A distância desse ponto P ao ponto A é igual a: a) 6 cm b) 5 cm

c) 4 2 cm

d) 5 2 cm

e) 6 2 cm 9. (G1 - ifal 2012) Sejam (x – 5)cm, (x + 2)cm e (x + 3)cm, com x > 5, as medidas dos lados de um triângulo retângulo. Assinale a alternativa errada. a) Esse triângulo é escaleno. b) A hipotenusa desse triângulo mede 13 cm. c) Os catetos desse triângulo medem 5 cm e 12 cm. d) A área desse triângulo tem 30 cm

2.

e) Existem dois triângulos nessas condições. 10. (G1 - ifal 2012) Considere um triângulo cujas medidas dos lados são: 10 cm, 100 mm e

2 dm, e um quadrado de área igual a 100 cm2. Assinale a alternativa correta.

a) A área do triângulo é igual à metade da área do quadrado. b) O lado do quadrado mede 50 cm. c) O lado do quadrado mede 10 dm. d) A área do triângulo tem 100 cm

2.

e) A área do triângulo é igual ao dobro da área do quadrado. 11. (Espm 2012) A figura abaixo representa um paralelepípedo reto-retângulo de medidas AF

= 4, FC = 3 e CE = 2 3, sendo B o ponto médio de DE. O perímetro do triângulo ABC é igual

a:

a) 12 b) 14 c) 13 d) 15 e) 11


12. (Unesp 2012) No futebol, um dos gols mais bonitos e raros de se ver é o chamado gol

olímpico, marcado como resultado da cobrança direta de um escanteio.

Suponha que neste tipo de gol: 1. A projeção da trajetória da bola descreva um arco de circunferência no plano do gramado; 2. A distância (d) entre o ponto da cobrança do escanteio e o ponto do campo em que a bola

entra no gol seja 40 m;

3. A distância máxima (h) da projeção da trajetória da bola à linha de fundo do campo seja 1m.

Determine o raio da circunferência (R), em metros, do arco descrito pela trajetória da bola, com uma casa decimal de aproximação.

13. (Pucrj 2012) Seja ABC um triângulo retângulo em B. Seja AD a bissetriz de CÂB.

Sabemos que AB mede 1 e que BD mede 1

.2

Quanto mede o cateto BC ?

a) 1 b) 2

c) 3

2

d) 4

3

e) 2


14. (Insper 2012) A figura mostra parte de um campo de futebol, em que estão representados

um dos gols e a marca do pênalti (ponto P).

Considere que a marca do pênalti equidista das duas traves do gol, que são perpendiculares ao plano do campo, além das medidas a seguir, que foram aproximadas para facilitar as contas. • Distância da marca do pênalti até a linha do gol: 11 metros. • Largura do gol: 8 metros. • Altura do gol: 2,5 metros. Um atacante chuta a bola da marca do pênalti e ela, seguindo uma trajetória reta, choca-se contra a junção da trave esquerda com o travessão (ponto T). Nessa situação, a bola terá percorrido, do momento do chute até o choque, uma distância, em metros, aproximadamente igual a a) 12. b) 14. c) 16. d) 18. e) 20. 15. (Ufpa 2012) Uma passarela construída em uma BR no Pará tem um vão livre de comprimento 4L. A sustentação da passarela é feita a partir de 3 cabos de aço presos em uma coluna à esquerda a uma altura D da passarela. Esta coluna por sua vez é presa por um cabo de aço preso a um ponto na mesma altura da passarela, e a uma distância L da passarela, conforme representa a figura a seguir.

Supondo L=9m e D=12m, comprimento total dos quatro cabos de aço utilizados é, em metros,: a) 57 b) 111

c) 21 1341

d) 30 6 13 3 97

e) 30 2 13 97


16. (G1 - ifal 2011) Num triângulo retângulo, as projeções dos catetos sobre a hipotenusa

medem 4 m e 1 m, respectivamente. Calcule a área desse triângulo. a) 5 cm

2

b) 50 cm2

c) 50.000 cm2

d) 50 dm2

e) 5 dm2

17. (G1 - ifce 2011) A altura, baixada sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo, mede 12

cm, e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa diferem de 7 cm. Os lados do triângulo são, em centímetros, iguais a a) 10, 15 e 20. b) 12, 17 e 22. c) 15, 20 e 25. d) 16, 21 e 26. e) 18, 23 e 28. 18. (Ufsc 2010) Calcule o valor numérico de t na figura a seguir:

19. (G1 - cftmg 2010) Na figura seguinte, as raízes da equação da parábola expressa por y = a (x – x1) (x – x2), com a lR*, são x1 e x2.

Os valores de a, x1 e x2 são, respectivamente,

a) 13 25 144

, ,60 13 13

b) 1 25 144

, ,60 13 13

c) 13 25 144

, ,60 13 13

d) 1 25 144

, ,60 13 13


20. (Uerj 2010) Observe a figura a seguir, que representa um quadrado ABCD, de papel, no

qual M e N são os pontos médios de dois de seus lados. Esse quadrado foi dividido em quatro partes para formar um jogo.

O jogo consiste em montar, com todas essas partes, um retângulo cuja base seja maior que a altura. O retângulo PQRS, mostrado a seguir, resolve o problema proposto no jogo.

Calcule a razãoPS

.PQ


Gabarito: Resposta da questão 1: [B]

Sejam A o ponto onde se encontrava inicialmente a bicicleta e B o ponto a 6 metros ao norte

de A. Chamando de C o ponto onde se encontra o hidrante, segue que a distância pedida

corresponde à hipotenusa do triângulo retângulo ABC, reto em A. Portanto, pelo Teorema de

Pitágoras, vem

2 2 2 2 2 2BC AC AB BC 8 6

BC 100

BC 10 m.

Resposta da questão 2:

[E]

25

2 = 20

2 + (5x)

2

625 = 400 + 25x

2

25x

2 = 225

x2 = 9

x = 3 Resposta da questão 3:

Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos AFE e ABE, obtemos

2 2 2AE 9 (AB 2)

e 2 2 2AE AB 13 .

Logo,

2 281 AB 4 AB 4 AB 169 AB 21m.

Portanto, AB 21m e EF 23 m.



[B]

O lado que mede 16 cm é diâmetro da circunferência e a ângulo ˆACB 90 , logo:

2 2 2

2

2

x x 16

2x 1256

x 128

x 8 2.

Resposta da questão 5: [A]

EÂC 180 : 2 90

No triângulo retângulo AEC, temos:

2h 9 4 h 36.

Logo, h 6.

Portanto, a área do triângulo AED será dada por:

2A (6 9) : 2 27cm



[C]

Considere a figura, em que AC 1, AB 2, BC 2,5 e AH h.

Façamos HB x, com 0 x 2,5.

Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos AHC e AHB, obtemos

2 2 2h 1 (2,5 x)

e 2 2 2h 2 x .

Logo,

2 21 6,25 5x x 4 x 5x 9,25

x 1,85cm.

Portanto,

2 2h 4 (1,85) 0,58.


[C] Pelo Teorema de Pitágoras, temos:

2 2 2 2 2 2BD AB AD BD 3 ( 7)

BD 4cm.

Portanto, como o quadrado de um cateto é igual ao produto da sua projeção pela hipotenusa, vem:

2 2AB BP BD 3 BP 4

9BP cm.

4



[A]

Como o quadrado ABCD tem área igual a 210cm , vem que 2 2AB 10cm .

De acordo com as informações, temos que o segmento PA é a hipotenusa do triângulo

retângulo de catetos CP 4cm e AC AB 2cm. Portanto, pelo Teorema de Pitágoras,

obtemos

2 2 2 2 22

2 2

2

PA AC CP PA (AB 2) CP

PA 2 10 4

PA 36

PA 6cm.


[E] Aplicando o teorema de Pitágoras temos: (x + 3)

2 = (x + 2)

2 + (x – 5)

2 x

2 – 10x + 20 = 0 x = 2 (não convém) ou x = 10

Portanto, os lados do triângulo são 5, 12 e 13 e a alternativa incorreta é a [E]. Resposta da questão 10: [A]

100 mm = 10 cm e 2dm 10 2cm

Este triângulo é retângulo, pois 2 2 210 2 10 10 , logo, sua área será

210,

2 ou seja,

metade da área de um quadrado de lado 10 cm. Resposta da questão 11: [B]


2 2

22

22

AC 3 4 25 5

BC 2 2 3 16 4

GB 2 2 3 16 4

Logo, o perímetro será: P = 5 + 4 + 4 = 13. Resposta da questão 12:

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo assinalado, temos: R

2 = (R – 1)

2 + 20

2

R2 = R

2 – 2 R + 01 + 400

2 R = 401 R = 200,5 m. Resposta da questão 13: [D] Pelo Teorema da Bissetriz Interna, temos que

1BD CD CD2

1AB AC AC

AC 2 CD.

Desse modo, pelo Teorema de Pitágoras, vem

22 2 2 2 2

2

1AC BC AB (2 CD) CD 1

2

53 CD CD 0

4

5CD u.c.

6

Portanto,


BC BD CD

1 5

2 6

4u.c.

3


[A]

Considerando x a distância pedida, temos: y

2 = 4

2 + 11

2

y2 = 137

x2 = y

2 + 2,5

2

x2 = 137 + 6,25

x2 = 143,25

x 12m Resposta da questão 15:

[D] Considere a figura.

Como BC CD e AC BD, segue que AB AD.

Queremos calcular 2 AB AE AF.

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, vem

2 2 2 2 2AB BC AC 9 12 225 AB 15 m.

Analogamente, para os triângulos ACE e ACF, obtemos

2 2 2 2 2AE CE AC 18 12 468 AE 6 13 m


e

2 2 2 2 2AF CF AC 27 12 873 AF 3 97 m.

Portanto, o resultado pedido é:

2 AB AE AF 2 15 6 13 3 97

(30 6 13 3 97) m.


[C] A hipotenusa medirá 1 + 4 = 5 m Utilizando que a quadrado da altura é igual ao produto das projeções, temos:

A altura será calculada por h2 = 1.4 h = 2m. Logo,

5.2A

2 5m

2 = 50.000 cm

2

Resposta da questão 17: [C]

Considere a figura abaixo, em que a, b e c são os lados procurados.

Sabemos que m n 7 m n 7 e que h 12.

Das relações métricas no triângulo retângulo, obtemos

2

2

h mn (n 7)n 144

n 7n 144 0

n 9 ou n 16.

Logo, m 9 7 16 e a m n 16 9 25 5 5. Daí, como o triângulo dado é semelhante

ao triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5, segue que b 5 4 20 e c 5 3 15.


t =60

.13



[A]

x

2 = 5

2 + 12

2 x= 13

Utilizando relações métricas no triângulo retângulo, temos:

52 = 13.m m =

25

13logo, 1

25x

13

122 = 13.m m =

144

13logo, 2

144x

13

13.h = 12.5 h = 60

13

logo B(0, 60/13)

Substituindo o ponto B na função, temos: Resposta da questão 20:

2 2 2 2 2 2CN NB BC CN x 4x CN x 5

CDMC MC x

2

A seguinte relação é válida para o triângulo ADM:

2x 2x5xDE 2x DE

5

Como PQ DE , pode-se obter a razão:

PS 2x 55

2xPQ

5

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