ESCOLA SECUNDÁRIA DE PAREDES TRIGONOMETRIA 11.º C - 2006/2007

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”Círculo Trigonométrico”

1. Sinal das razões trigonométricas

1.º Quadrante 2.º Quadrante 3.º Quadrante 4.º Quadrante seno cosseno tangente cotangente

2. Razões trigonométricas de ângulos fundamentais:

Sistema sexagesimal 0o 90o 180o 270o Sistema circular

0 π2

π 32π

seno cosseno tangente cotangente

Sistema sexagesimal 30o 45o 60o Sistema circular

π6

π4

π3

seno

cosseno

tangente

cotangente

sen y

x

α

α

=

=

cos

tg

cotg

ααα

α

ααα

α

= ≠

= ≠

sense

sense sen

coscos

cos

0

0

− ≤ ≤ ∀ ∈

− ≤ ≤ ∀ ∈

1 1

1 1

sen IR

IR

α α

α αcos

Fórmula Fundamental da Trigonometria

sen

:

cos 2 2 1α α+ =

112

2+ =cotg α

αsen 1

122

+ =tg ααcos

eixo dos cossenos

eixos dos senos eixo das tangentes

eixo das cotangentes

O x

y

tg α

cotg α

sen α

cos α 1 x

y

α

sen α≠0 cos α≠0

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3. Redução ao 1.º quadrante:

sen

sen

tg g

g tg

πα α

πα α

πα α

πα α

2

2

2

2

−

=

−

=

−

=

−

=

cos

cos

cot

cot

sen

sen

tg g

g tg

πα α

πα α

πα α

πα α

2

2

2

2

+

=

+

= −

+

= −

+

= −

cos

cos

cot

cot

( )( )

( )( )

sen sen

tg tg

g g

π α α

π α α

π α α

π α α

− =

− = −

− = −

− = −

cos cos

cot cot

( )( )

( )( )

sen sen

tg tg

g g

π α α

π α α

π α α

π α α

+ = −

+ = −

+ =

+ =

cos cos

cot cot

sen

sen

tg g

g tg

32

32

32

32

πα α

πα α

πα α

πα α

−

= −

−

= −

−

=

−

=

cos

cos

cot

cot

sen

sen

tg g

g tg

32

32

32

32

πα α

πα α

πα α

πα α

+

= −

+

=

+

= −

+

= −

cos

cos

cot

cot

( )( )

( )( )

sen sen

tg tg

g g

− = −

− =

− = −

− = −

α α

α α

α α

α α

cos cos

cot cot

4. Equações trigonométricas:

ZZkkxcotgxcotg

ZZkkxtgxtg

ZZkkxkxx

ZZkkxkxsenxsen

∈+=⇔=

∈+=⇔=

∈+−=∨+=⇔=

∈+−=∨+=⇔=

,

,

,22coscos

,22

παα

παα

παπαα

παππαα

O x

y

1 α

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5. Gráficos das funções trigonométricas:

y sen x=

[ ]D DIR= = −' ,11

Paridade: É uma função ímpar

f x f x x IR( ) ( ),− = − ∀ ∈

Período: 2 2π π→ + = ∈∀sen x sen x x IR( ) , Zeros: x k k ZZ= ∈π ,

Máximos: x k k ZZ= + ∈π

π2

2 ,

Mínimos: x k k ZZ= − + ∈π

π2

2 ,

y tg x=

D x IR x k k ZZ= ∈ ≠ + ∈

: ,π

π2

D IR'=

Paridade: É uma função ímpar

f x f x x IR( ) ( ),− = − ∀ ∈

Período: π π→ + = ∈∀tg x tg x x Dtg( ) , Zeros: x k k ZZ= ∈π ,

Assimptotas: x k k ZZ= + ∈π

π2

,

y x= cos

[ ]D DIR= = −' ,11

Paridade: É uma função par

f x f x x IR( ) ( ),− = ∀ ∈

Período: 2 2π π→ + = ∈∀cos( ) cos ,x x x IR

Zeros: x k k ZZ= + ∈π

π2

,

Máximos: x k k ZZ= ∈2 π , Mínimos: x k k ZZ= + ∈π π2 ,

y g x= cot

{ }D x IR x k k ZZ= ∈ ≠ ∈: ,π D IR'= Paridade: É uma função ímpar

f x f x x IR( ) ( ),− = − ∀ ∈

Período: π π→ + = ∈∀cot ( ) cot , cotg x g x x D g

Zeros: x k k ZZ= + ∈π

π2

,

Assimptotas: x k k ZZ= ∈π ,

1 1

-1 -1

π/2

π/2 π/2

π/2 π

π π

π 3π/2

3π/2 3π/2

3π/2 2π

2π 2π

2π -π/2

-π/2 -π/2

-π/2

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6. Problemas 1. Faz a redução ao 1.º quadrante e calcula:

1.1.

−+

−+

πππ

314

623

430

cot sentgg 1.1. ( ) ( ) ( )º315º1380cos2º390 −++−− tgsen

2. Exprime nas razões trigonométricas do ângulo x:

2.1. ( )( ) )cos(5cos

25

3cot

xx

xtgxg

−−−

−−+

π

ππ

2.2. ( ) ( ) ( )xtgxsenxtg −−−−− º540º270

3. Sabendo que Q.º2∈α e que 5−=αtg , calcula o valor numérico de: ( )ααπ

−−

− cos

2cos .

4. Determina os valores do parâmetro real k que satisfazem a condição: Qkksen º22 2 ∈∧−= αα .

5. Determina os valores de RIp ∈ que satisfazem simultaneamente as equações: 2

cos1p

epsen =−= ββ .

6. Resolve as equações trigonométricas seguintes:

012cos301cos

05

)2(03cos20

22 =

−⋅==−

==−=−=

xsenxxtgx

tgxtgsenxsenyxsenπ

π

7. Resolve no intervalo [ ]π2,0 as equações trigonométricas: 21

2=

−

πxsen ( )

21

cos −=+ πx .

8. Determina o período das seguintes funções reais de variável real, definidas por:

−=

+=

+=

23)(

52)(3

3cos)(

πππxtgxh

xsenxgxxf

9. Considera a função real de v. real definida por: xsenxf 21)( += .

9.1. Determina o contradomínio de f e indica uma expressão geral dos seus maximizantes.

9.2. Calcula os zeros de f pertencentes ao intervalo ] [ππ ,− .

9.3. Sabendo que 51

2=

− atg

π e

−∈

2,

2ππ

a , calcula o valor numérico de )(af .

10. No domínio de validade das expressões demonstra que:

10.1. xtg

xtg

x

xg 2

21

cos

cot += 10.2.

xtgx

xsenxsen

cos1=− .

11. Ao tocar uma nota de música num piano forma-se uma onda sonora dada pela equação: ( )tseny π880002,0 ⋅= (t em segundos).

11.1. Sendo y=g(t) prova que: )(880

1tgtg −=

+ .

11.2. Determina a frequência f da nota, sabendo que p

f1

= e p é o período da função.