trigonometrÃa (grupo iii)

8/18/2019 TrigonometrÃ a (Grupo III).

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ACADEMIA PRE-UNIVERSITARIA Y DE REFORZAMIENTO “SANTA CATALINA” 1

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN CUALQUIER MAGNITUD

Ángulo en Posición Nor!l: Un ángulo “θ” está en posición normal (posición estándar o canónica), si su vérticecoincide con el origen del sistema de coordenadas su lado inicial coincide con el semieje positivo de las abscisas y sulado terminal se encuentra en cualuier cuadrante!

R!"ones Trigono#$ric!s %e un Ángulo en Posición Nor!l&

r

y

vectorradio

ordenadaθ"en ==

y#

ordenadaabscisa

θ$otg ==

r

#

vectorradio

abscisaθ$os ==

#

r

abscisa

vectorradioθ"ec ==

#

y

abscisa

ordenadaθ%g ==

yr

ordenadavectorradio

θ$osec ==

Signos %e l!s R!"ones Trigono#$ric!s&

Cu!%r!n$e !l 'ue (er$enece el )ngulo R!"ones (osi$i*!s R!"ones neg!$i*!s&rimer cuadrante (') %odas inguna

"egundo cuadrante ('') "eno y $osecante $oseno, %angente, $otangente y "ecante

%ercer cuadrante (''' ) %angente y $otangente "eno, $oseno, "ecante y $osecante

$uarto cuadrante ('* ) $oseno y "ecante "eno, %angente, $otangente y $osecante

R!"ones Trigono#$ric!s %e Ángulos Cu!%r!n$!les&

+ - +

.

/0+, =

/12+, =

.

3/.4+, =

./35+, =

Seno + 1 + 61 +Coseno 1 + 61 + 1

T!ngen$e + 7 + 7 +Co$!ngen$e 7 + 7 + 7Sec!n$e 1 7 61 7 1

Cosec!n$e 7 1 7 61 7

R!"ones Trigono#$ric!s %e Ángulos Neg!$i*os:"en (6θ) - 6"en θ$os (6θ) - $os θ%g (6θ) - 6%g θ$otg (6θ) - 6$otg θ

"ec (6θ)- "ec θ$osec (6θ) - 6$osec θ

Eduardo Vásque V!"e # Tr$%o&o'e(r)a *AULA III+

8unciones

impares8unciones

ares


2/9


PRO+LEMAS DE APLICACI,N&Resuel*e los siguien$es e-ercicios . (ro/le!s !(lic!n%o el !rco $eórico . (ro(ie%!%es es$u%i!%!s so/reÁngulos en (osición Nor!l0

1! "i "en θ - +,5! 9$uál es el valor de “$os θ” sabiendo ue θ es un ángulo en posición normal del segundo

cuadrante!) +,2 ;) +,0 $) +,5 7)


3/9


12! "i “#” es un ángulo del '' , Galla el signo de:##!$otg$osec

##!%g#!$os"enI

3

.= !

) 6 ;) B $) B y 6 7) B o 6 =)

10! Heduce: J - .(m < n < p)"en.

/ 6 3(m B n < p)$os + B (m < n B p)"ec /!

) 6Dn ;) 6Dm $) 6Dp 7) .p =) 3m

.+! 'ndica el signo de:3?+,.++,!$osec..+,!$otg"ec

.41,.1?,!%g1.+,!$os"en% = !

) B ;) 6 $) B y 6 7) B o 6 =)

.1! 9ué signo tiene la siguiente e#presión en el cuarto cuadranteK: #!%g#$os#"ec

#"en#$osec8 .

++

= !

) B ;) 6 $) B y 6 7) B o 6 =)

..! "impliAica la e#presión: = - (a B 1)"en # B (b B 1)$os .# B (a B b)%g.#

@ para./

# = !

) ab ;) b $) .b 7) .a =) a

.3! $alcula: #)$os(y

y)$os(#> −

−= !

) !

) 1 ;) . $) 3 7) D =) ?

33! "i: a M + y b M +@ calcula el mNnimo valor ue toma L:

12+,ab$os

.4+,"enb12+,.ab%g0+,"enaL

..

−

−+= !

) + ;) 1 $) . 7) 3 =) D



4/9


3D! "impliAicar la e#presión:( )

53+,.ab"en21+,"enb4.+,$osa

?D+,Dab$osD?+,"enba>

..

.

++

++= !

) + ;) 1 $) 61 7) . =) 6.

REDUCCI,N DE ÁNGULOS AL PRIMER CUADRANTE

Ias raOones trigonométricas de ángulos del '', ''' y '* o de ángulos mayores ue 35+, se pueden e#presar entérminos de las raOones trigonométricas de ángulos del primer cuadrante llamados ángulos de reAerencia oreAerenciales!

TEOREMA 1UNDAMENTAL&"i “θ” es un ángulo en posición normal y “θH” su ángulo de reAerencia, entonces se cumple ue las HaOones%rigonométricas de “θ” y las HaOones %rigonométricas de “θ H” tienen los mismos valores numéricos y en algunoscasos diAieren en el signo!

( ) ( )HθH% θH% ±=

CASOS DE REDUCCI,N DE ÁNGULOS AL PRIMER CUADRANTE&

A2 Re%ucción %e )ngulos (osi$i*os enores %e un *uel$!&7ado un ángulo “θ” en posición normal, tal ue + P θ P 35+ (+ P θ P ./ rad)! =l ángulo de reAerencia “θH” se determina

como se indica en el cuadro adjunto.

Sis$e! Se3!gesi!l(θH)

Sis$e! R!%i!l(θH)

θ Q ' θ θ

θ Q '' θH - 12+ 6 θ θH - / 6 θ

θ Q ''' θH - θ < 12+ θH - θ 6 /

θ Q '* θH - 35+ 6 θ θH - ./ 6 θ

+2 Re%ucción %e )ngulos (osi$i*os !.ores %e un *uel$!& =n este caso se divide el ángulo dado entre 35+ ó ./rad, para Ainalmente tomar la misma HaOón %rigonométrica del residuo si este pertenece al '! "i el residuo nopertenece al ', se procederá a reducir este ángulo segRn lo indicado en el caso anterior!

( ) ( ) ( )θH% θ vueltasde),

./n! H% θH% θ

vueltasde),

n!35+, H% =+∨=+

C2 REDUCCI,N DE ÁNGULOS NEGATI4OS& =n este caso en primer lugar se aplica el principio de Aunción

trigonométrica par o impar! continuación aplicar alguno de los casos analiOados anteriormente, segRn como loe#ija el problema!

1unciones P!res 1unciones I(!res $os (6θ) - $os θ "en (6θ) - 6"en θ

% g (6θ) - 6%g θ

"ec (6θ) - "ec θ $otg (6θ) - 6$otg θ

$osec (6θ) - 6$osec θ

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS ÁNGULOS DE LAS 1ORMAS&

a) R!"ones Trigono#$ric!s %e l!s 1or!s& (0+ 6 θ) ó

− θ.

/

"e cumple: ( ) ( ) ( )θH% $oθ./

H% θH% $oθ0+,H% −=

−∨−=−

"en(0+ 6 θ) - $os θθ$osθ

.

/"en =

−

$os(0+ 6 θ) - "en θ θ"enθ./$os =

−



5/9


%g(0+ 6 θ) - $otg θθ$otgθ

.

/%g =

−

$otg(0+ 6 θ) - %g θθ%gθ

.

/$otg =

−

"ec(0+ 6 θ) - $osec θθ$osecθ./"ec = −

$osec(0+ 6 θ) - "ec θθ"ecθ

.

/$osec =

−

(0+ 6 θ) ó

− θ.

/ representan ángulos del primer cuadrante, por lo ue no Gay necesidad de

reducirlos! =n el segundo miembro se escribe la $o 6 HaOón %rigonométrica!

=l signo del segundo miembro es positivo en todos los casos!

b) R!"ones Trigono#$ric!s %e l!s 1or!s& (0+ B θ) ó + θ./

"e cumple: ( ) ( ) ( )θH% $oθ./

H% θH% $oθ0+,H% −±=

+∨−±=+

"en(0+ B θ) - $os θθ$osθ

.

/"en =

+

$os(0+ B θ) - 6"en θθ"enθ

.

/$os −=

+

%g(0+ B θ) - 6$otg θθ$otgθ

.

/%g −=

+

$otg(0+ B θ) - 6%g θθ%gθ

.

/$otg −=

+

"ec(0+ B θ) - 6$osec θθ$osecθ

.

/"ec −=

+

$osec(0+ B θ) - "ec θθ"ecθ

.

/$osec =

+

(0+ B θ) ó

+ θ.

/ representan ángulos del segundo cuadrante!

=n el segundo miembro se escribe la $o 6 HaOón %rigonométrica!

=l signo (B ó 6) depende de la HaOón %rigonométrica inicial en el segundo cuadrante!

c) R!"ones Trigono#$ric!s %e l!s 1or!s& (12+ 6 θ) ó (/ 6 θ)"e cumple: ( ) ( ) ( ) ( )θH% θ/H% θH% θ612+,H% ±=−∨±=

"en(12+ 6 θ) - "en θ "en(/ 6 θ) - "en θ

$os(12+ 6 θ) - 6$os θ $os(/ 6 θ) - 6$os θ

%g(12+ 6 θ) - 6%g θ %g(/6 θ) - 6%g θ

$otg(12+ 6 θ) - 6$otg θ $otg(/6 θ) - 6$otg θ

"ec(12+ 6 θ) - 6"ec θ "ec(/ 6 θ) - 6"ec θ

$osec(12+ 6 θ) - $osec θ $osec(/ 6 θ) - $osec θ

(12+ 6 θ) ó (/ 6 θ) representan ángulos del segundo cuadrante! =n el segundo miembro se escribe la HaOón %rigonométrica inicial!



6/9


=l signo (B ó 6) depende de la HaOón %rigonométrica en el segundo cuadrante!

d) R!"ones Trigono#$ric!s %e l!s 1or!s& (12+ B θ) ó (/ B θ)"e cumple: ( ) ( ) ( ) ( )θH% θ/H% θH% θ 12+,H% ±=+∨±=+

"en(12+ B θ) - 6"en θ "en(/ B θ) - 6"en θ$os(12+ B θ) - 6$os θ $os(/ B θ) - 6$os θ

%g(12+ B θ) - %g θ %g(/ B θ) - %g θ

$otg(12+ B θ) - $otg θ $otg(/ B θ) - $otg θ

"ec(12+ B θ) - 6"ec θ "ec(/ B θ) - 6"ec θ

$osec(12+ B θ) - 6$osec θ $osec(/ B θ) - 6$osec θ

(12+ B θ) ó (/ B θ) representan ángulos del tercer cuadrante!

=n el segundo miembro se escribe la HaOón %rigonométrica inicial!

=l signo (B ó 6) depende de la HaOón %rigonométrica en el tercer cuadrante!

e) R!"ones Trigono#$ric!s %e l!s 1or!s& (.4+ 6 θ) ó

− θ.

3/

"e cumple: ( ) ( ) ( )θH% $oθ.

3/H% θH% $oθ.4+,H% −±=

−∨−±=−

Sbserva ue el signo del segundo miembro es positivo para todos los casos!

"en(.4+ 6 θ) - 6$os θθ$osθ

.3/

"en −=

−

$os(.4+ 6 θ) - 6"en θθ"enθ

.3/

$os −=

−

%g(.4+ 6 θ) - $otg θθ$otgθ

.

3/%g =

−

$otg(.4+ 6 θ) - %g θ θ%gθ.3/$otg =

−

"ec(.4+ 6 θ) - 6$osec θθ$osecθ

.

3/"ec −=

−

$osec(.4+ 6 θ) - 6"ec θθ"ecθ

.

3/$osec −=

−

(.4+ 6 θ) ó

− θ.3/

representan ángulos del tercer cuadrante!


=l signo (B ó 6) depende de la HaOón %rigonométrica en el tercer cuadrante!

f) R!"ones Trigono#$ric!s %e l!s 1or!s& (.4+ B θ) ó

+ θ.

3/

"e cumple: ( ) ( ) ( )θH% $oθ.

3/H% θH% $oθ.4+,H% −±=

+∨−±=+

"en(.4+ B θ) - 6$os θθ$osθ

.

3/"en −=

+

$os(.4+ B θ) - "en θθ"enθ

.

3/$os =

+

%g(.4+ B θ) - 6$otg θ

θ$otgθ.3/

%g −= +



7/9


$otg(.4+ B θ) - 6%g θθ%gθ

.

3/$otg −=

+

"ec(.4+ B θ) - $osec θθ$osecθ

.

3/"ec =

+

$osec(.4+ B θ) - 6"ec θθ"ecθ.3/$osec −= +

(.4+ B θ) ó

+ θ.

3/ representan ángulos del cuarto cuadrante!


=l signo (B ó 6) depende de la HaOón %rigonométrica en el cuarto cuadrante!

g) R!"ones Trigono#$ric!s %e l!s 1or!s& (35+ 6 θ) ó (./ 6 θ)"e cumple: ( ) ( ) ( ) ( )θH% θ./H% θH% θ635+,H% ±=−∨±=

"en(35+ 6 θ) - 6"en θ "en(./ 6 θ) - 6"en θ

$os(35+ 6 θ) - $os θ $os(./ 6 θ) - $os θ

%g(35+ 6 θ) - 6%g θ %g(./6 θ) - 6%g θ$otg(35+ 6 θ) - 6$otg θ $otg(./6 θ) - 6$otg θ

"ec(35+ 6 θ) - "ec θ "ec(./ 6 θ) - "ec θ

$osec(35+ 6 θ) - 6$osec θ $osec(./ 6 θ) - 6$osec θ

(35+ 6 θ) ó (./ 6 θ) representan ángulos del cuarto cuadrante!

=n el segundo miembro se escribe la HaOón %rigonométrica inicial!

=l signo (B ó 6) depende de la HaOón %rigonométrica en el cuarto cuadrante!

ÁNGULOS RELACIONADOS ENTRE SI&!2 Ángulos Co(leen$!rios&

( ) ( ) ( ) ( )θH% $oEH%

.

/θE:"i θH% $oEH% 0+,θE:"i −=⇒=+∨−=⇒=+

"en E - $os θ %g E - $otg θ "ec E - $osec θ$os E - "en θ $otg E - %g θ $osec E - "ec θ

/2 Ángulos Su(leen$!rios&( ) ( ) ( ) ( )θH% EH% /θE:"i θH% EH% 12+,θE:"i ±=⇒=+∨±=⇒=+

"en E - "en θ %g E - 6%g θ "ec E - 6"ec θ$os E - 6$os θ $otg E - 6$otg θ $osec E - $osec θ

c2 Ángulos Re*olucion!rios&( ) ( ) ( ) ( )θH% EH% ./θE:"i θH% EH% 35+,θE:"i ±=⇒=+∨±=⇒=+

"en E - 6"en θ %g E - 6%g θ "ec E - "ec θ

$os E - $os θ $otg E - 6$otg θ $osec E - 6$osec θ

PRO+LEMAS DE APLICACI,N&Resuel*e los siguien$es e-ercicios . (ro/le!s !(lic!n%o el !rco $eórico . (ro(ie%!%es es$u%i!%!s so/reRe%ucción %e Ángulos !l Prier Cu!%r!n$e0

1! $alcula el valor de: T - %g 1?+!%g 13? B %g 1.+!

)3

.− ;)

3

1 $) 3. 7) 3=)

3

3.−

.! $alcula el valor de: I - $os 1.+!"en 1?+!$otg 13?!%g 1?+!

) 3 ;) 3−

$) 1.

3

7) 1.

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3! $alcula el valor de: - .%g 1.+!%g 1?+ B %g 13?!



8/9


) + ;) 1 $) . 7) 3 =) D! $alcula el valor de: - "en 1?+!$os 3++!$os 33+!$os 31?!

) .;)

.

.$)

D

.7)

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?! 7etermina el valor de:D2+,$osec

1?+,"enI = !

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5! $alcula el valor de:..?,$otg3++,$os33+,"en

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10! $alcula el valor de la e#presión: ( )( ) ( ) 3++,!%g31?,!$os1.+,"en .1+,..?,!$os1?+,!%g"en8 −− −= !

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5

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.+! "impliAica la e#presión:( )

( )( )

( )E"enE35+,"en

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+++

−= !

)


9/9


..! Heduce la e#presión:

( ) ( )

( ) ( )#/!"en#.

/!%g#/%g

#./!$os#.

/!$otg#/"en

&

−

++

−

++

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) "en # ;)

trigonometrÃa (grupo iii)

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