TRIÂNGULOS RETÂNGULOS

1. (Unesp 2015) A figura representa a vista superior do tampo plano e horizontal de uma mesa de bilhar retangular ABCD, com caçapas em A, B, C e D. O ponto P, localizado em AB, representa a posição de uma bola de bilhar, sendo PB 1,5 m= e PA 1,2 m.= Após uma tacada na bola, ela se desloca em linha reta colidindo com BC no ponto T, sendo a medida do ângulo PTB igual 60 .° Após essa colisão, a bola segue, em trajetória reta, diretamente até a caçapa

D.

Nas condições descritas e adotando 3 1,73,≅ a largura do tampo da mesa, em metros, é próxima de a) 2,42. b) 2,08. c) 2,28. d) 2,00. e) 2,56. 2. (Unifor 2014) Uma rampa retangular, medindo 210 m , faz um ângulo de 25° em relação ao piso horizontal. Exatamente embaixo dessa rampa, foi delimitada uma área retangular A para um jardim, conforme figura.

Considerando que cos 25 0,9,° ≅ a área A tem aproximadamente: a) 23 m b) 24 m c) 26 m d) 28 m e) 29 m

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3. (Unifor 2014) Um corredor A está sobre uma linha reta e corre sobre ela no sentido AX com velocidade constante igual à metade do corredor B que se desloca no sentido BX.

Sendo a partida simultânea e considerando que a reta BA faz um ângulo reto com a reta AX, o ângulo α que a trajetória de B deve fazer com a reta BA para que seja possível o encontro é de: a) 30° b) 35° c) 40° d) 45° e) 60° 4. (Uepa 2014) Num dos trabalhos escritos no começo do século V d.C. na Índia, encontramos uma tabela “meias-cordas”, representado na figura abaixo. Essas “meias-cordas” representam os nossos atuais senos. Os indianos pensavam na meia-corda como o real segmento em um círculo com raio particular, como, por exemplo, ocorre no livro Almagest de Claudius Ptolomeu (85 – 165), que utilizou um círculo de raio 60.

Texto adaptado do livro A Matemática através dos tempos, Editora Edgard Blücher, 2008.

Utilizando o mesmo raio considerado por Ptolomeu, o valor da meia corda indicado na figura para um ângulo de 45θ = ° é: a) 30 2. b) 15 2. c) 15 2 2. d) 2 2. e) 2 4. 5. (Unifor 2014) Uma cama de hospital, equipada com um ajustador hidráulico, move-se de acordo com um controle manual de subir e descer.

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A altura y que a cama varia em função de θ é de: a) y 2 sen= θ b) y 2 sen 2= +θ c) y tg 2= +θ d) y 2 cos= θ e) y 2 cos 2= +θ 6. (Upe 2014) A figura a seguir representa o campo de jogo da Arena Pernambuco. O ponto A situa-se exatamente no meio do campo, e o ponto B, exatamente no meio da linha do gol.

Nivelada a partir de medições a laser, a fundação tem inclinações muito suaves que evitam o acúmulo de água nas zonas centrais, conforme o esquema a seguir:

Considerando essas inclinações do campo, qual a diferença de altura entre os pontos A e B, representados no desenho do campo? a) 15,90 cm b) 26,50 cm c) 29,00 cm d) 34,00 cm e) 53,00 cm 7. (Unifor 2014) Sobre uma rampa de 3m de comprimento e inclinação de 30° com a horizontal, devem-se construir degraus de altura 30cm.

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Quantos degraus devem ser construídos? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 8. (Unifor 2014) Uma pessoa está a 80 3 m de um prédio e vê o topo do prédio sob um ângulo de 30 ,° como mostra a figura abaixo.

Se o aparelho que mede o ângulo está a 1,6 m de distância do solo, então podemos afirmar que a altura do prédio em metros é: a) 80,2 b) 81,6 c) 82,0 d) 82,5 e) 83,2 9. (Enem 2013) As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15° com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem.

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Utilizando 0,26 como valor aproximado para tangente de 15º e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço a) menor que 100m2. b) entre 100m2 e 300m2. c) entre 300m2 e 500m2. d) entre 500m2 e 700m2. e) maior que 700m2. 10. (Insper 2013) Um empreendedor está desenvolvendo um sistema para auxiliar o julgamento de lances duvidosos em partidas de futebol. Seu projeto consiste de um chip instalado na bola e um sensor posicionado em um dos cantos do campo (ponto P).

O sensor detecta a distância r entre os pontos P e B (bola) e a medida α do ângulo ˆBPQ. Em seguida, transforma essas informações nas distâncias x e y indicadas na figura. Isso pode ser feito por meio das expressões

a) 1x senr

α= e 1y cos .r

α=

b) 2x r cosα= e 2y r sen .α= c) x r sen2α= e y r cos2 .α= d) x r cosα= e y r sen .α=

e) 1x sen2r

α= e 1y cos2 .r

α= 11. (Pucrj 2013) Se 1 e=tgθ θ pertence ao primeiro quadrante, então cosθ é igual a:

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a) 0 b) 1

2

c) 22

d) 32

e) 1 12. (Espcex (Aman) 2013) Em uma das primeiras tentativas de determinar a medida do raio da Terra, os matemáticos da antiguidade observavam, do alto de uma torre ou montanha de altura conhecida, o ângulo sob o qual se avistava o horizonte, tangente à Terra, considerada esférica, conforme mostra a figura. Segundo esse raciocínio, o raio terrestre em função do ângulo α é dado por:

a) ( )sen h

R1 sen

αα

=−

b) hsenR1 sen

αα

=−

c) hsenRsen – 1

αα

=

d) 1 senRhsen

αα

−=

e) 1 senRhsen

αα

+=

13. (Ufrn 2012) Numa escola, o acesso entre dois pisos desnivelados é feito por uma escada que tem quatro degraus, cada um medindo 24 cm de comprimento por 12 cm de altura. Para atender à política de acessibilidade do Governo Federal, foi construída uma rampa, ao lado da escada, com mesma inclinação, conforme mostra a foto a seguir.

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Com o objetivo de verificar se a inclinação está de acordo com as normas recomendadas, um fiscal da Prefeitura fez a medição do ângulo que a rampa faz com o solo. O valor encontrado pelo fiscal a) estava entre 30° e 45 .° b) era menor que 30 .° c) foi exatamente 45 .° d) era maior que 45 .° 14. (Uepb 2012) Os lados iguais de um triângulo isósceles têm comprimento 3 cm e os ângulos congruentes medem 30 .° O perímetro deste triângulo em cm é a) 2 3 3+ b) 2 3 2+ c) 8 3 d) 3 3+ e) 3 3 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de Engenharia, visitou a PUCRS para colher informações. Uma das constatações que fez foi a de que existe grande proximidade entre Engenharia e Matemática. 15. (Pucrs 2012) Em uma aula prática de Topografia, os alunos aprendiam a trabalhar com o teodolito, instrumento usado para medir ângulos. Com o auxílio desse instrumento, é possível medir a largura y de um rio. De um ponto A, o observador desloca-se 100 metros na direção do percurso do rio, e então visualiza uma árvore no ponto C, localizada na margem oposta sob um ângulo de 60°, conforme a figura abaixo.

Nessas condições, conclui-se que a largura do rio, em metros, é

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a) 100 33

b) 100 32

c) 100 3

d) 50 33

e) 200 16. (Ufjf 2011) Considere um triângulo ABC retângulo em C e α o ângulo ˆBAC. Sendo

=AC 1 e 1sen( ) ,3

α = quanto vale a medida da hipotenusa desse triângulo?

a) 3

b) 2 23

c) 10

d) 3 24

e) 32

17. (Pucrj 2010) O valor de cos45 sen30 é :cos60

+

a) 2 1+

b) 2 c)

24

d)

2 12+

e) 0

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Gabarito: Resposta da questão 1: [A] Vamos supor que PTB DTC.≡ Assim, do triângulo BPT, vem

BP 1,5tgPTB BT m.1,73BT

= ⇒ ≅

Por outro lado, do triângulo CDT, encontramos

CD 2,7tgCTD CT .1,73CT

= ⇒ ≅

Em consequência, segue que o resultado pedido é

4,2BT CT 2,43 m.1,73

+ ≅ ≅

Resposta da questão 2: [E] Tem-se que 2x y 10 m .⋅ = Logo, como z y cos25= ⋅ ° e A x z,= ⋅ segue-se que

2A x y cos25 10 0,9 9 m .= ⋅ ⋅ ° ≅ ⋅ = Resposta da questão 3: [A] Sejam Av v= e Bv 2v,= respectivamente, as velocidades dos atletas A e B. O encontro ocorrerá se A e B levarem o mesmo tempo para percorrer as distâncias Ad AX= e Bd BX,= ou seja, se

A B

A B

d d AX BXv v v 2v

AX 1.2BX

= ⇔ =

⇔ =

Portanto, sendo α um ângulo agudo, devemos ter

AX 1sen sen2BX

30 .

α = ⇔ α =

⇒ α = °

Resposta da questão 4: [A] Se x é o valor da meia corda pedida, então x corresponde à medida dos catetos de um triângulo retângulo isósceles de hipotenusa igual a 60, ou seja,

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x 2sen45 x 60 30 2.60 2

° = ⇔ = ⋅ =

Resposta da questão 5: [D] Considere a figura.

Supondo DAB 90 ,= ° temos 90 .= ° −α θ Além disso, do triângulo retângulo ABC, vem

BCsen y 2sen .AB

= ⇔ =α α

Mas sen sen(90 ) cos= ° − =α θ θ e, portanto, y 2cos .= θ Resposta da questão 6: [B] Se a diferença de altura entre A e B é de 0,5%, então o resultado pedido é dado por 0,005 53 0,265 m 26,5cm.⋅ = = Resposta da questão 7: [B] Seja h a altura da rampa. Logo, tem-se que

hsen30 h 150cm.300

° = ⇔ =

Portanto, devem ser construídos 150 530

= degraus.

Resposta da questão 8: [B] Seja h a altura do prédio. Logo, segue que

h 1,6 3tg30 h 1,6 80 3380 3

h 81,6 m.

−° = ⇔ − = ⋅

⇔ =

Resposta da questão 9: [E] Considere a vista lateral de uma das torres Puerta de Europa.

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Do triângulo ABC, obtemos

BC BCtgB A C tg15114AB

BC 114 0,26

BC 29,64 m.

= ⇔ ° =

⇒ ≅ ⋅

⇔ ≅

Portanto, como a base é um quadrado, segue-se que sua área é aproximadamente igual a

2 2 2BC (29,64) 878,53 m .= ≅ Resposta da questão 10: [D] Considere a figura.

É imediato que

xcos x r cosr

α = ⇔ = α

e ysen y r sen .r

α = ⇔ = α

Resposta da questão 11: [C] Se θ é um arco do primeiro quadrante e tg 1,θ = temos que 45 .θ = ° Portanto,

2cos cos45 .2

θ = ° =

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Resposta da questão 12: [B] Supondo que a Terra seja uma esfera, considere a figura.

Como AB é tangente à esfera, segue que OB AB.⊥ Além disso, AO h R= + e OB R.= Portanto, do triângulo AOB, obtemos

OB Rsen senh RAO

R hsen RsenR Rsen hsenR(1 sen ) hsen

hsenR .1 sen

α α

α αα αα ααα

= ⇔ =+

⇔ = +⇔ − =⇔ − =

⇔ =−

Resposta da questão 13: [B] Seja α o ângulo que a rampa faz com o solo.

O ângulo α é tal que 12tg 0,50.24

α = =

Desse modo, como a função tangente é crescente e 3tg30 0,58 0,50,3

° = ≅ > segue que

30 .α < ° Resposta da questão 14: [A] Considere o triângulo isósceles ABC de base BC. Assim, AB AC 3 cm= = e ABC ACB 30 .≡ = ° Sendo M o ponto médio de BC, do triângulo AMC, vem

BCMC 2cos ACB cos30

3ACBC 3cm.

= ⇔ ° =

⇔ =

Portanto, o resultado é

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AB AC BC 3 3 3

(2 3 3)cm.

+ + = + +

= +

Resposta da questão 15: [C]

O resultado pedido é dado por ytg60 y 100 3 m.100

° = ⇔ =

Resposta da questão 16: [D]

Sabendo que =AC 1 e α =1sen ,3

vem

α = ⇔ = ⇔ =BC 1 BC ABsen BC .

3 3AB AB

Aplicando o Teorema de Pitágoras, obtemos:

= + ⇔ − =

⋅⇒ =

⇒ = =

22 2 2 2 2

2

ABAB AC BC AB 13

8 AB 19

3 3 2AB .42 2

Resposta da questão 17: [A]

12

21

)12(21

21

21

22

+=+

=+

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