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1. (Unesp 2015) Em 09 de agosto de 1945, uma bomba atômica foi detonada sobre a cidade japonesa de Nagasaki. A bomba explodiu a 500 m de altura acima do ponto que ficaria conhecido como “marco zero”.

No filme Wolverine Imortal, há uma sequência de imagens na qual o herói, acompanhado do militar japonês Yashida, se encontrava a 1km do marco zero e a 50 m de um poço. No momento da explosão, os dois correm e se refugiam no poço, chegando nesse local no momento exato em que uma nuvem de poeira e material radioativo, provocada pela explosão, passa por eles. A figura a seguir mostra as posições do “marco zero”, da explosão da bomba, do poço e dos personagens do filme no momento da explosão da bomba.

Se os ventos provocados pela explosão foram de 800 km h e adotando a aproximação

5 2,24,≅ os personagens correram até o poço, em linha reta, com uma velocidade média, em km h, de aproximadamente a) 28. b) 24. c) 40. d) 36. e) 32. 2. (Uern 2015) Matheus marcou, em uma folha quadriculada de 1 1cm,× três pontos e ligou-os formando o seguinte triângulo:

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É correto afirmar que o produto dos lados do triângulo é a) 10 13. b) 20 17. c) 10 221. d) 20 221. 3. (Unesp 2015) A figura representa a vista superior do tampo plano e horizontal de uma mesa de bilhar retangular ABCD, com caçapas em A, B, C e D. O ponto P, localizado em AB, representa a posição de uma bola de bilhar, sendo PB 1,5 m= e PA 1,2 m.= Após uma tacada na bola, ela se desloca em linha reta colidindo com BC no ponto T, sendo a medida do ângulo PTB igual 60 .° Após essa colisão, a bola segue, em trajetória reta, diretamente até a caçapa

D.

Nas condições descritas e adotando 3 1,73,≅ a largura do tampo da mesa, em metros, é próxima de a) 2,42. b) 2,08. c) 2,28. d) 2,00. e) 2,56. 4. (Fgv 2015) Um edifício comercial tem 48 salas, distribuídas em 8 andares, conforme indica a figura. O edifício foi feito em um terreno cuja inclinação em relação à horizontal mede α

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graus. A altura de cada sala é 3m, a extensão 10m, e a altura da pilastra de sustentação, que mantém o edifício na horizontal, é 6m. α senα cosα tgα 4° 0,0698 0,9976 0,0699 5° 0,0872 0,9962 0,0875 6° 0,1045 0,9945 0,1051 7° 0,1219 0,9925 0,1228 8° 0,1392 0,9903 0,1405

Usando os dados da tabela, a melhor aproximação inteira para α é a) 4° b) 5° c) 6° d) 7° e) 8° TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Considere o texto e as figuras para responder a(s) questão(ões).

O circo é uma expressão artística, parte da cultura popular, que traz diversão e entretenimento. É um lugar onde as pessoas tem a oportunidade de ver apresentações de vários artistas como mágicos, palhaços, malabaristas, contorcionistas e muito mais. Mas antes que a magia desse mundo se realize, há muito trabalho na montagem da estrutura do circo.

A tenda de um circo deve ser montada em um terreno plano e para isso deve ser construída uma estrutura, conforme a sequência de figuras.

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Nas figuras, considere que: - foram colocadas 8 estacas congruentes perpendiculares ao plano do chão; - cada estaca tem 4m acima do solo; - as estacas estão igualmente distribuídas, sendo que suas bases formam um octógono regular; - os topos das estacas consecutivas estão ligados por varas de 12m de comprimento; - para imobilizar as estacas, do topo de cada uma delas até o chão há um único cabo esticado que forma um ângulo de 45° com o solo (a figura mostra apenas alguns desses cabos). Todos os cabos têm a mesma medida; - no centro do octógono regular é colocado o mastro central da estrutura, que é vertical; - do topo de cada estaca até o topo do mastro é colocada uma outra vara. Todas essas varas têm a mesma medida; - na estrutura superior, são formados triângulos isósceles congruentes entre si; e - em cada um desses triângulos isósceles, a altura relativa à base é de 15m. 5. (G1 - cps 2015) A quantidade de cabo utilizada para imobilizar as oito estacas, é, em metros, Para o cálculo, considere apenas a quantidade de cabo do topo de cada estaca até o solo. Despreze as amarras. a) 16 2. b) 24 2. c) 32 2. d) 40 2. e) 48 2.

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6. (Uepg 2014) Um observador situado a 12 metros de um prédio avista o seu topo sob certo ângulo. Afastando-se em linha reta mais 20 metros percebe que o ângulo de visualização é a metade do anterior. Sendo H, em metros, a altura do prédio, assinale o que for correto. 01) H é um múltiplo de 6. 02) H 12.< 04) H é um número par. 08) H 15.> 7. (Cefet MG 2014) A figura abaixo tem as seguintes características: - o ângulo E é reto; - o segmento de reta AE é paralelo ao segmento BD; - os segmentos AE, BD e DE, medem, respectivamente, 5, 4 e 3.

O segmento AC, em unidades de comprimento, mede a) 8. b) 12. c) 13. d) 61. e) 5 10. 8. (Unesp 2014) Em um plano horizontal encontram-se representadas uma circunferência e as cordas AC e BD. Nas condições apresentadas na figura, determine o valor de x.

9. (G1 - cftmg 2014) A figura a seguir apresenta um quadrado DEFG e um triângulo ABC cujo lado BC mede 40 cm e a altura AH, 24 cm.

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A medida do lado desse quadrado é um número a) par. b) primo. c) divisível por 4. d) múltiplo de 5. 10. (Fgv 2014) a) Para medir a largura x de um rio sem necessidade de cruzá-lo, foram feitas

várias medições como mostra a figura abaixo. Calcule a largura x do rio.

b) Demonstre que a distância do vértice B ao baricentro M de um triângulo é o dobro da

distância do ponto E ao baricentro M.

11. (G1 - cftmg 2014) Numa festa junina, além da tradicional brincadeira de roubar bandeira no alto do pau de sebo, quem descobrisse a sua altura ganharia um prêmio. O ganhador do desafio fincou, paralelamente a esse mastro, um bastão de 1m. Medindo-se as sombras projetadas no chão pelo bastão e pelo pau, ele encontrou, respectivamente, 25 dm e 125 dm. Portanto, a altura do “pau de sebo”, em metros, é a) 5,0. b) 5,5. c) 6,0. d) 6,5. 12. (G1 - ifce 2014)

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O valor do lado de um quadrado inscrito em um triângulo retângulo, conforme o esboço mostrado na figura, é a) 10. b) 8. c) 6. d) 4. e) 2. 13. (G1 - ifce 2014) Na figura abaixo, o valor da área do quadrado de lado “a”, em função dos segmentos “b” e “c”, é

a) b2 + c2 b) b2 - c2 c) b2c2 d) c2 - b2 e) b2/c2 14. (Unifor 2014) Cada pneu traseiro de um trator tem raio 0,8 m e cada pneu dianteiro tem raio 0,3 m. Sabendo-se que a distância entre os pontos A e B, onde esses pneus tocam o solo plano, é de 2,5 m, a distância x entre os centros dos pneus é de: a) 6,2 m b) 6,3 m c) 6,4 m d) 6,5 m e) 6,6 m 15. (Unifor 2014) Uma rampa retangular, medindo 210 m , faz um ângulo de 25° em relação ao piso horizontal. Exatamente embaixo dessa rampa, foi delimitada uma área retangular A para um jardim, conforme figura.

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Considerando que cos 25 0,9,° ≅ a área A tem aproximadamente: a) 23 m b) 24 m c) 26 m d) 28 m e) 29 m 16. (Unifor 2014) Um corredor A está sobre uma linha reta e corre sobre ela no sentido AX com velocidade constante igual à metade do corredor B que se desloca no sentido BX.

Sendo a partida simultânea e considerando que a reta BA faz um ângulo reto com a reta AX, o ângulo α que a trajetória de B deve fazer com a reta BA para que seja possível o encontro é de: a) 30° b) 35° c) 40° d) 45° e) 60° 17. (Uepa 2014) Num dos trabalhos escritos no começo do século V d.C. na Índia, encontramos uma tabela “meias-cordas”, representado na figura abaixo. Essas “meias-cordas” representam os nossos atuais senos. Os indianos pensavam na meia-corda como o real segmento em um círculo com raio particular, como, por exemplo, ocorre no livro Almagest de Claudius Ptolomeu (85 – 165), que utilizou um círculo de raio 60.

Texto adaptado do livro A Matemática através dos tempos, Editora Edgard Blücher, 2008.

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Utilizando o mesmo raio considerado por Ptolomeu, o valor da meia corda indicado na figura para um ângulo de 45θ = ° é: a) 30 2. b) 15 2. c) 15 2 2. d) 2 2. e) 2 4. 18. (Upe 2014) A figura a seguir representa o campo de jogo da Arena Pernambuco. O ponto A situa-se exatamente no meio do campo, e o ponto B, exatamente no meio da linha do gol.

Nivelada a partir de medições a laser, a fundação tem inclinações muito suaves que evitam o acúmulo de água nas zonas centrais, conforme o esquema a seguir:

Considerando essas inclinações do campo, qual a diferença de altura entre os pontos A e B, representados no desenho do campo? a) 15,90 cm b) 26,50 cm c) 29,00 cm d) 34,00 cm e) 53,00 cm 19. (Unifor 2014) Sobre uma rampa de 3m de comprimento e inclinação de 30° com a horizontal, devem-se construir degraus de altura 30cm.

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Quantos degraus devem ser construídos? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 20. (Unifor 2014) Uma pessoa está a 80 3 m de um prédio e vê o topo do prédio sob um ângulo de 30 ,° como mostra a figura abaixo.

Se o aparelho que mede o ângulo está a 1,6 m de distância do solo, então podemos afirmar que a altura do prédio em metros é: a) 80,2 b) 81,6 c) 82,0 d) 82,5 e) 83,2 21. (Unifor 2014) Uma cama de hospital, equipada com um ajustador hidráulico, move-se de acordo com um controle manual de subir e descer.

A altura y que a cama varia em função de θ é de: a) y 2 sen= θ b) y 2 sen 2= +θ c) y tg 2= +θ d) y 2 cos= θ e) y 2 cos 2= +θ

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22. (Ufg 2014) Um navio, que possui 20 m de altura sobre a água, passa por um canal e, em certo momento, o capitão da embarcação avista uma ponte plana sobre o canal, a qual ele desconhece as dimensões e tem de decidir se o navio pode passar sob a ponte. Para isso, ele inicia uma série de cálculos e medições. A primeira constatação que ele faz é a de que, a uma certa distância, d, da projeção da base da ponte, a inclinação do segmento que une a parte retilínea inferior da ponte e o ponto mais avançado do navio, que está a 4 m de altura sobre a água, é de 7°. Percorridos 102 m em linha reta em direção à ponte, ele volta a medir a inclinação, obtendo um ângulo de 10°, e verifica que a distância entre a parte retilínea inferior da ponte e o ponto mais avançado do navio é de 100 m, como ilustra a figura a seguir.

Diante do exposto, admitindo que a superfície do rio é plana, determine a altura da ponte e conclua se esta é suficiente para que o navio passe sob ela. Dados: tg(7 ) 0,12 e cos(10 ) 0,98° ≅ ° ≅ 23. (Enem 2013) As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15° com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem.

Utilizando 0,26 como valor aproximado para tangente de 15º e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço a) menor que 100m2. b) entre 100m2 e 300m2. c) entre 300m2 e 500m2. d) entre 500m2 e 700m2. e) maior que 700m2. 24. (Pucrj 2013) O retângulo DEFG está inscrito no triângulo isósceles ABC, como na figura abaixo:

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Assumindo DE GF EF DG AB ,= = 12, = = 8 e = 15 a altura do triângulo ABC é:

a) 354

b) 1507

c) 907

d) 1807

e) 285

25. (Unesp 2013) Uma semicircunferência de centro O e raio r está inscrita em um setor circular de centro C e raio R, conforme a figura.

O ponto D é de tangência de BC com a semicircunferência. Se AB s,= demonstre que R s R r r s.⋅ = ⋅ + ⋅ 26. (Enem 2013) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6m e 4m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados.

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Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF? a) 1m b) 2 m c) 2,4 m d) 3 m e) 2 6 m 27. (Unesp 2013) A figura, fora de escala, representa o terreno plano onde foi construída uma casa.

Sabe-se do quadrilátero ABEF que: • Seus ângulos ˆABE e ˆAFE são retos. • AF mede 9 m e BE mede 13 m. • o lado EF é 2 m maior que o lado AB . Nessas condições, quais são as medidas, em metros, dos lados AB e EF? 28. (Uerj 2013) Um modelo de macaco, ferramenta utilizada para levantar carros, consiste em uma estrutura composta por dois triângulos isósceles congruentes, AMN e BMN, e por um parafuso acionado por uma manivela, de modo que o comprimento da base MN possa ser alterado pelo acionamento desse parafuso. Observe a figura:

Considere as seguintes medidas: AM AN BM BN 4 dm;= = = = MN x dm;= AB y dm.= O valor, em decímetros, de y em função de x corresponde a:

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a) 216 – 4x b) 264 – x

c) 216 – 4x

2

d) 264 – 2x

2

29. (Uepb 2013) No retângulo ABCD de lado AB 3 cm, BC 7cm,= = o segmento AP é perpendicular à diagonal BD.

O segmento BP mede em cm:

a) 92

b) 74

c) 94

d) 34

e) 54

30. (Pucrj 2013) Uma bicicleta saiu de um ponto que estava a 8 metros a leste de um hidrante, andou 6 metros na direção norte e parou. Assim, a distância entre a bicicleta e o hidrante passou a ser: a) 8 metros b) 10 metros c) 12 metros d) 14 metros e) 16 metros 31. (Insper 2013) Um empreendedor está desenvolvendo um sistema para auxiliar o julgamento de lances duvidosos em partidas de futebol. Seu projeto consiste de um chip instalado na bola e um sensor posicionado em um dos cantos do campo (ponto P).

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O sensor detecta a distância r entre os pontos P e B (bola) e a medida α do ângulo ˆBPQ. Em seguida, transforma essas informações nas distâncias x e y indicadas na figura. Isso pode ser feito por meio das expressões

a) 1x senr

α= e 1y cos .r

α=

b) 2x r cosα= e 2y r sen .α= c) x r sen2α= e y r cos2 .α= d) x r cosα= e y r sen .α=

e) 1x sen2r

α= e 1y cos2 .r

α= 32. (Pucrj 2013) Se 1 e=tgθ θ pertence ao primeiro quadrante, então cosθ é igual a: a) 0 b) 1

2

c) 22

d) 32

e) 1 33. (Espcex (Aman) 2013) Em uma das primeiras tentativas de determinar a medida do raio da Terra, os matemáticos da antiguidade observavam, do alto de uma torre ou montanha de altura conhecida, o ângulo sob o qual se avistava o horizonte, tangente à Terra, considerada esférica, conforme mostra a figura. Segundo esse raciocínio, o raio terrestre em função do ângulo α é dado por:

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a) ( )sen hR

1 senαα

=−

b) hsenR1 sen

αα

=−

c) hsenRsen – 1

αα

=

d) 1 senRhsen

αα

−=

e) 1 senRhsen

αα

+=

34. (Espm 2012) Na figura plana abaixo, ABCD é um quadrado de área 10 cm2. Os segmentos CE e CF medem 4 cm cada. Essa figura deverá ser dobrada nas linhas tracejadas, fazendo com que os pontos E e F coincidam com um ponto P do espaço.

A distância desse ponto P ao ponto A é igual a: a) 6 cm b) 5 cm c) 4 2 cm d) 5 2 cm e) 6 2 cm 35. (Ufrn 2012) Numa projeção de filme, o projetor foi colocado a 12 m de distância da tela. Isto fez com que aparecesse a imagem de um homem com 3 m de altura. Numa sala menor, a projeção resultou na imagem de um homem com apenas 2 m de altura. Nessa nova sala, a distância do projetor em relação à tela era de a) 18 m. b) 8 m. c) 36 m. d) 9 m. 36. (Udesc 2012) Quando olhamos para um ambiente qualquer, a percepção de profundidade é possível devido a nossa visão binocular. Por estarem separados em média 65 mm em adultos, cada um dos nossos olhos registra uma imagem de um ângulo ligeiramente diferente. Ao interpretar essas imagens ao mesmo tempo, o cérebro forma um "mapa" dessas diferenças, tornando possível estimar a distância dos objetos em relação a nós. A estereoscopia (popularmente conhecida como "imagem 3D") é uma técnica que consiste em exibir imagens distintas para cada olho do observador, representando o que se observaria em

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uma situação real. Assim, o cérebro pode ser "enganado" a interpretar os objetos representados como se estivessem flutuando diante da tela ou atrás dela. Diversas tecnologias existem atualmente para conseguir isso. A mais comum delas, usada nas salas de cinema 3D, funciona com o uso de óculos polarizadores que filtram a imagem projetada na tela, permitindo que cada olho receba somente a imagem correspondente. Um observador está em uma sala de cinema 3D usando óculos polarizadores e sobre a tela são projetados dois pontos A e B a uma distância de 30 cm um do outro, com A à esquerda de B. Os filtros polarizadores dos óculos fazem com que o ponto A seja visto apenas por seu olho direito e o ponto B apenas por seu olho esquerdo, de forma que as linhas de visão de cada um dos olhos se interseccionem em um ponto X, conforme a figura. O observador verá apenas um único ponto, resultado da junção em seu cérebro dos pontos A e B, localizado em X. Sabendo que a reta imaginária que passa por seus olhos é paralela àquela que passa pelos pontos A e B e estas distam 20 m entre si, e que sua distância interocular é de 60 mm, a distância da tela em que ele verá a imagem virtual, formada no ponto X, é aproximadamente:

a) 6,6 m b) 3,3 m c) 4 m d) 16,7 m e) 16 m 37. (Uftm 2012) Um pintor utiliza uma escada de 5 m de comprimento para pintar a área externa de uma casa. Ao apoiar a escada, o pintor deixa uma das extremidades afastada y cm da parede e, assim, a outra extremidade atinge uma altura x na parede.

Nessas condições, determine: a) a medida, em metros, indicada por y (figura 2), sabendo que ˆˆsenB 2senC.= b) a medida, em metros, indicada por h (figura 2), sabendo que a altura da parede é 6 m.

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38. (Ufrn 2012) Numa escola, o acesso entre dois pisos desnivelados é feito por uma escada que tem quatro degraus, cada um medindo 24 cm de comprimento por 12 cm de altura. Para atender à política de acessibilidade do Governo Federal, foi construída uma rampa, ao lado da escada, com mesma inclinação, conforme mostra a foto a seguir.

Com o objetivo de verificar se a inclinação está de acordo com as normas recomendadas, um fiscal da Prefeitura fez a medição do ângulo que a rampa faz com o solo. O valor encontrado pelo fiscal a) estava entre 30° e 45 .° b) era menor que 30 .° c) foi exatamente 45 .° d) era maior que 45 .° 39. (Uepb 2012) Os lados iguais de um triângulo isósceles têm comprimento 3 cm e os ângulos congruentes medem 30 .° O perímetro deste triângulo em cm é a) 2 3 3+ b) 2 3 2+ c) 8 3 d) 3 3+ e) 3 3 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de Engenharia, visitou a PUCRS para colher informações. Uma das constatações que fez foi a de que existe grande proximidade entre Engenharia e Matemática. 40. (Pucrs 2012) Em uma aula prática de Topografia, os alunos aprendiam a trabalhar com o teodolito, instrumento usado para medir ângulos. Com o auxílio desse instrumento, é possível medir a largura y de um rio. De um ponto A, o observador desloca-se 100 metros na direção do percurso do rio, e então visualiza uma árvore no ponto C, localizada na margem oposta sob um ângulo de 60°, conforme a figura abaixo.

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Nessas condições, conclui-se que a largura do rio, em metros, é

a) 100 33

b) 100 32

c) 100 3

d) 50 33

e) 200 TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES: As ruas e avenidas de uma cidade são um bom exemplo de aplicação de Geometria. Um desses exemplos encontra-se na cidade de Mirassol, onde se localiza a Etec Prof. Mateus Leite de Abreu. A imagem apresenta algumas ruas e avenidas de Mirassol, onde percebemos que a Av. Vitório Baccan, a Rua Romeu Zerati e a Av. Lions Clube/Rua Bálsamo formam uma figura geométrica que se aproxima muito de um triângulo retângulo, como representado no mapa.

Considere que – a Rua Bálsamo é continuação da Av. Lions Clube; – o ponto A é a intersecção da Av. Vitório Baccan com a Av. Lions Clube; – o ponto B é a intersecção da Rua Romeu Zerati com a Rua Bálsamo; – o ponto C é a intersecção da Av. Vitório Baccan com a Rua Romeu Zerati;

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– o ponto D é a intersecção da Rua Bálsamo com a Rua Vitório Genari; – o ponto E é a intersecção da Rua Romeu Zerati com a Rua Vitório Genari; – a medida do segmento AC é 220 m; – a medida do segmento BC é 400 m e – o triângulo ABC é retângulo em C. 41. (G1 - cps 2012) Considere que o trecho DE da rua Vitório Genari é paralelo ao trecho AC da Av. Vitório Baccan. Sabendo que a medida do segmento DE é 120 m, então a medida do

trecho CE da Rua Romeu Zerati é, em metros, mais próxima de a) 182. b) 198. c) 200. d) 204. e) 216. 42. (G1 - cps 2012) Para resolver a questão, utilize a tabela abaixo.

26° 29° 41° 48° 62° sen 0,44 0,48 0,66 0,74 0,88 cos 0,90 0,87 0,75 0,67 0,47 tg 0,49 0,55 0,87 1,11 1,88

No triângulo ABC, o valor do seno do ângulo ˆABC é, aproximadamente, a) 0,44. b) 0,48. c) 0,66. d) 0,74. e) 0,88. 43. (Unesp 2011) Para que alguém, com o olho normal, possa distinguir um ponto separado de outro, é necessário que as imagens desses pontos, que são projetadas em sua retina, estejam separadas uma da outra a uma distância de 0,005 mm.

Adotando-se um modelo muito simplificado do olho humano no qual ele possa ser considerado uma esfera cujo diâmetro médio é igual a 15 mm, a maior distância x, em metros, que dois pontos luminosos, distantes 1 mm um do outro, podem estar do observador, para que este os perceba separados, é 44. (Ufpr 2011) Um telhado inclinado reto foi construído sobre três suportes verticais de aço, colocados nos pontos A, B e C, como mostra a figura ao lado. Os suportes nas extremidades A e C medem, respectivamente, 4 metros e 6 metros de altura.

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A altura do suporte em B é, então, de: a) 4,2 metros. b) 4,5 metros. c) 5 metros. d) 5,2 metros. e) 5,5 metros. 45. (G1 - col.naval 2011) ABCD é um quadrado de lado L. Sejam K a semicircunferencia, traçada internamente ao quadrado, com diâmetro CD, e T a semicircunferencia tangente ao lado AB em A e tangente à K. Nessas condições, o raio da semicircunferencia T será

a) 5L6

b) 4L5

c) 2L3

d) 3L5

e) L3

46. (Ufjf 2011) Considere um triângulo ABC retângulo em C e α o ângulo ˆBAC. Sendo

=AC 1 e 1sen( ) ,3

α = quanto vale a medida da hipotenusa desse triângulo?

a) 3

b) 2 23

c) 10

d) 3 24

e) 32

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:

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Observando-se o campo de futebol da imagem 1, identificam-se vários elementos geométricos: ângulos, segmentos de retas, pontos, circunferências, raio, diâmetro, diagonais e arcos, entre outros. Além disso, há simetrias nas figuras geométricas.

Também se observam figuras geométricas nos diferentes esquemas táticos adotados pelos times. O esquema tático 4-3-3 (4 zagueiros, 3 jogadores de meio de campo e 3 atacantes) é um esquema muito ofensivo que os treinadores usam quando estão em desvantagem no placar ou precisam reverter algum resultado desfavorável. Esse esquema foi muito utilizado no passado, quando a prioridade era jogar um futebol bonito chamado futebol-arte. No esquema tático 4-3-3, podem ser observadas figuras geométricas como: triângulos equiláteros, triângulos isósceles, trapézios, hexágonos e retângulos, conforme imagem 2.

A imagem 3 apresenta o diagrama de um esquema 4-3-3, onde os pontos A, B, C, ... e J representam jogadores.

Na imagem 3, temos que: • o triângulo ABC é equilátero, e o vértice C pertence à circunferência; • o ponto O é o centro da circunferência; • o segmento AB tangencia a circunferência; • os pontos D, E e F pertencem ao lado do retângulo que representa a grande área; • o ponto E é o ponto médio do segmento DF ;

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• o segmento AB é paralelo ao segmentoDF ; • o segmento AB é perpendicular à reta CE . 47. (G1 - cps 2011) 12,8. a) 12,8. b) 15,4. c) 16,8. d) 17,6. e) [A] Seja K o pé da altura baixada do vértice H.

Logo,

HKsen40 HK 0,64 20 12,8 m.GH

° = ⇒ = ⋅ =

48. (Ufpr 2010) Uma corda de 3,9 m de comprimento conecta um ponto na base de um bloco de madeira a uma polia localizada no alto de uma elevação, conforme o esquema abaixo. Observe que o ponto mais alto dessa polia está 1,5 m acima do plano em que esse bloco desliza. Caso a corda seja puxada 1,4 m, na direção indicada abaixo, a distância x que o bloco deslizará será de:

49. (Pucrj 2010) O valor de cos45 sen30 é :cos60

+

a) 2 1+

b) 2 c)

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24

d)

2 12+

e) 0 50. (Enem 2006)

Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a a) 1,8 m. b) 1,9 m. c) 2,0 m. d) 2,1m. e) 2,2 m. 51. (G1 1996) No triângulo da figura a seguir, o valor de x é:

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

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Gabarito: Resposta da questão 1: [D] A distância d do ponto em que a bomba explodiu até o poço é dada por

2 2 2d 1 (0,5) d 1,25d 0,5 2,24d 1,12km.

= + ⇒ =⇒ ≅ ⋅⇒ ≅

Desse modo, a nuvem de poeira atinge o poço em 1,12 0,0014 h800

= e, portanto, podemos

concluir que a velocidade média dos personagens foi de 0,05 36km h.0,0014

≅

Resposta da questão 2: [D] Cada um dos segmentos pode ser medido utilizando o Teorema de Pitágoras, conforme os triângulos retângulos apresentados na figura a seguir:

Assim, pode-se escrever:

2 22 2

2 22 2

2 22 2

AB 4 6 AB 52 AB 52

BC 5 3 BC 34 BC 34

AC 1 7 AC 50 AC 50

= + → = → =

= + → = → =

= + → = → =

Logo, o produto dos lados do triângulo será: AB BC AC 52 34 50 88400 AB BC AC 20 221⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = → ⋅ ⋅ = Resposta da questão 3: [A] Vamos supor que PTB DTC.≡ Assim, do triângulo BPT, vem

BP 1,5tgPTB BT m.1,73BT

= ⇒ ≅

Por outro lado, do triângulo CDT, encontramos

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CD 2,7tgCTD CT .1,73CT

= ⇒ ≅

Em consequência, segue que o resultado pedido é

4,2BT CT 2,43 m.1,73

+ ≅ ≅

Resposta da questão 4: [C] Considerando os ângulos formados por duas retas paralelas e uma transversal, e sabendo que ângulos alternos internos são congruentes, temos

6tg tg 0,1.6 10

α α= ⇒ =⋅

Portanto, de acordo com a tabela, o arco cuja tangente mais se aproxima de 0,10 é 6 .° Resposta da questão 5: [C] A hipotenusa do triângulo retângulo isósceles de catetos 4 m mede 4 2 m. Portanto, o

resultado é 8 4 2 32 2 m.⋅ = Resposta da questão 6: 04 + 08 = 12. Supondo A, B e D alinhados, considere a figura, em que AD 20 m, BD 12 m= = e BDC 2 DAC.= ⋅

No triângulo ACD, pelo Teorema do Ângulo Externo, tem-se que ACD DAC.≡ Logo, CD AD 20 m.= = Em consequência, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo BCD,

encontramos H BC 16 m.= = [01] Incorreto. Tem-se que 6 2 16 6 3 12 H 18.⋅ < < ⋅ ⇒ < < [02] Incorreto. É claro que 16 12.> [04] Correto. De fato, pois 16 2 8.= ⋅ [08] Correto. Com efeito, temos 16 15.> Resposta da questão 7:

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[E] Desde que os triângulos ACE e BCD são semelhantes por AA, vem CD BD CD 4

5CE AE CD 3CD 12.

= ⇔ =+

⇔ =

Portanto, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ACE, encontramos

2 2 2 2 2 2AC AE CE AC 5 15

AC 5 10.

= + ⇔ = +

⇒ =

Resposta da questão 8: Utilizando a relação entre as cordas, temos:

2 2

2

2x (x 3) x (3x 1)

2x 6x 3x x

x 7x 0

⋅ + = ⋅ −

+ = −

− + =

Resolvendo a equação temos: x = 0 (não convém) ou x 7 .= Resposta da questão 9: [D] Seja a medida do lado do quadrado DEFG. Os triângulos ABC e AEF são semelhantes por AA. Portanto,

24 120 5 340 24

15cm,

−= ⇔ − =

⇔ =

que é um múltiplo de 5. Resposta da questão 10:

a) Supondo que CAB BED 90 ,≡ = ° é fácil ver que os triângulos ABC e EBD são semelhantes por AA. Desse modo, temos

AC AB x 24

2 2,5ED BEx 19,2 m.

= ⇔ =

⇔ =

b) Queremos mostrar que BM 2 ME.= ⋅

De fato, sabendo que D e E são pontos médios de AB e AC, respectivamente, tem-se que

DE é base média do triângulo ABC e, portanto, 1DE BC2

= ⋅ e DE BC. Em consequência,

os triângulos DEM e BCM são semelhantes por AA. Daí,

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BM BC BM BC

1ME DE ME BC2

BM 2 ME.

= ⇒ =⋅

⇔ = ⋅

Resposta da questão 11: [A] Sabendo que a altura é proporcional ao comprimento da sombra projetada, segue-se que a altura h do pau de sebo é dada por

h 1 h 5 m.125 25

= ⇔ =

Resposta da questão 12: [D] Considere a figura.

É fácil ver que os triângulos BFE e DGC são semelhantes por AA. Portanto, se é a medida do lado do quadrado, temos

28 16 4.2= ⇔ = ⇒ =

Resposta da questão 13: [A] A área A de um quadrado de lado a é dada por 2A a .= Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo DFH, temos 2 2 2a b c .= + Portanto, 2 2A b c .= + Resposta da questão 14: [D] Aplicando o Teorema de Pitágoras, obtemos

2 2 2x (0,5) (2,5) x 6,5 m.= + ⇒ = Resposta da questão 15: [E] Tem-se que 2x y 10 m .⋅ = Logo, como z y cos25= ⋅ ° e A x z,= ⋅ segue-se que

2A x y cos25 10 0,9 9 m .= ⋅ ⋅ ° ≅ ⋅ =

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Resposta da questão 16: [A] Sejam Av v= e Bv 2v,= respectivamente, as velocidades dos atletas A e B. O encontro

ocorrerá se A e B levarem o mesmo tempo para percorrer as distâncias Ad AX= e Bd BX,= ou seja, se

A B

A B

d d AX BXv v v 2v

AX 1.2BX

= ⇔ =

⇔ =

Portanto, sendo α um ângulo agudo, devemos ter

AX 1sen sen2BX

30 .

α = ⇔ α =

⇒ α = °

Resposta da questão 17: [A] Se x é o valor da meia corda pedida, então x corresponde à medida dos catetos de um triângulo retângulo isósceles de hipotenusa igual a 60, ou seja,

x 2sen45 x 60 30 2.60 2

° = ⇔ = ⋅ =

Resposta da questão 18: [B] Se a diferença de altura entre A e B é de 0,5%, então o resultado pedido é dado por 0,005 53 0,265 m 26,5cm.⋅ = = Resposta da questão 19: [B] Seja h a altura da rampa. Logo, tem-se que

hsen30 h 150cm.300

° = ⇔ =

Portanto, devem ser construídos 150 530

= degraus.

Resposta da questão 20: [B] Seja h a altura do prédio. Logo, segue que

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h 1,6 3tg30 h 1,6 80 3380 3

h 81,6 m.

−° = ⇔ − = ⋅

⇔ =

Resposta da questão 21: [D] Considere a figura.

Supondo DAB 90 ,= ° temos 90 .= ° −α θ Além disso, do triângulo retângulo ABC, vem

BCsen y 2sen .AB

= ⇔ =α α

Mas sen sen(90 ) cos= ° − =α θ θ e, portanto, y 2cos .= θ Resposta da questão 22: Tem-se que

d 102 d 102cos10 0,98100 100

d 200 m.

− −° = ⇒ ≅

⇒ ≅

Daí,

htg7 h 0,12 200d

h 24 m.

° = ⇒ ≅ ⋅

⇒ ≅

Portanto, como 24 16,> segue-se que a altura da ponte é suficiente para que o navio passe sob ela. Resposta da questão 23: [E] Considere a vista lateral de uma das torres Puerta de Europa.

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Do triângulo ABC, obtemos

BC BCtgB A C tg15114AB

BC 114 0,26

BC 29,64 m.

= ⇔ ° =

⇒ ≅ ⋅

⇔ ≅

Portanto, como a base é um quadrado, segue-se que sua área é aproximadamente igual a

2 2 2BC (29,64) 878,53 m .= ≅ Resposta da questão 24: [D] Seja h a altura do triângulo ABC. Como os triângulos ABC e DGC são semelhantes, temos que h 12 8 15h 180 8h

h 15180h u.c.

7

−= ⇔ − =

⇔ =

Resposta da questão 25: Considere a figura.

Os triângulos retângulos ODC e BAC são semelhantes. Logo, OC OD R r r

R sBC BAR s r s R rR s R r r s.

−= ⇔ =

⇔ ⋅ − ⋅ = ⋅⇔ ⋅ = ⋅ + ⋅

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c.q.d. Resposta da questão 26: [C] É fácil ver que os triângulos AEC e BED são semelhantes. Logo, AF AC AF 4

6BF BD BFAF BF 2 3

2AFAF 2 .

5AF BF

= ⇔ =

+ +⇔ =

⇔ =+

Além disso, como os triângulos AEF e ABD também são semelhantes, vem AF EF AF EF

6AB BD AF BFEF 26 5

EF 2,4 m.

= ⇔ =+

⇔ =

⇔ =

Resposta da questão 27: Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos AFE e ABE, obtemos

2 2 2AE 9 (AB 2)= + + e

2 2 2AE AB 13 .= + Logo,

2 281 AB 4 AB 4 AB 169 AB 21m.+ + ⋅ + = + ⇔ = Portanto, AB 21m= e EF 23 m.= Resposta da questão 28: [B] Considere a figura.

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Seja H o ponto de interseção dos segmentos AB e MN. Como AMN e MBN são triângulos isósceles congruentes, segue que AMBN é losango. Logo,

yAH2

= e xHN .2

=

Portanto, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo AHN, obtemos

2 22 2 2 2

2 2

2

y xAH HN AN 42 2

y 64 x

y 64 x dm.

+ = ⇔ + =

⇔ = −

⇒ = −

Resposta da questão 29: [C] Pelo Teorema de Pitágoras, temos:

2 2 2 2 2 2BD AB AD BD 3 ( 7)

BD 4cm.

= + ⇔ = +

⇒ =

Portanto, como o quadrado de um cateto é igual ao produto da sua projeção pela hipotenusa, vem:

2 2AB BP BD 3 BP 49BP cm.4

= ⋅ ⇔ = ⋅

⇔ =

Resposta da questão 30: [B] Sejam A o ponto onde se encontrava inicialmente a bicicleta e B o ponto a 6 metros ao norte de A. Chamando de C o ponto onde se encontra o hidrante, segue que a distância pedida corresponde à hipotenusa do triângulo retângulo ABC, reto em A. Portanto, pelo Teorema de Pitágoras, vem

2 2 2 2 2 2BC AC AB BC 8 6

BC 100BC 10 m.

= + ⇔ = +

⇒ =

⇒ =

Resposta da questão 31: [D] Considere a figura.

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É imediato que

xcos x r cosr

α = ⇔ = α

e ysen y r sen .r

α = ⇔ = α

Resposta da questão 32: [C] Se θ é um arco do primeiro quadrante e tg 1,θ = temos que 45 .θ = ° Portanto,

2cos cos45 .2

θ = ° =

Resposta da questão 33: [B] Supondo que a Terra seja uma esfera, considere a figura.

Como AB é tangente à esfera, segue que OB AB.⊥ Além disso, AO h R= + e OB R.= Portanto, do triângulo AOB, obtemos

OB Rsen senh RAO

R hsen RsenR Rsen hsenR(1 sen ) hsen

hsenR .1 sen

α α

α αα αα ααα

= ⇔ =+

⇔ = +⇔ − =⇔ − =

⇔ =−

Resposta da questão 34: [A]

Como o quadrado ABCD tem área igual a 210cm , vem que 2 2AB 10cm .= De acordo com as informações, temos que o segmento PA é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos CP 4cm= e AC AB 2 cm.= Portanto, pelo Teorema de Pitágoras, obtemos

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2 2 2 2 22

2 2

2

PA AC CP PA (AB 2) CP

PA 2 10 4

PA 36PA 6cm.

= + ⇔ = +

⇒ = ⋅ +

⇒ =

⇒ =

Resposta da questão 35: [B]

Se d é a distância procurada, então d 2 d 8 m.12 3

= ⇔ =

Resposta da questão 36: [D] Considere a figura, em que d é a distância pedida.

Como os triângulos ABX e EDX são semelhantes, temos que 20000 d 60 d 100000 5d

d 300100000d

6d 16666,7mmd 16,7 m.

−= ⇔ = −

⇔ =

⇒ ≅⇒ ≅

Resposta da questão 37:

a) Da relação entre os senos dos ângulos agudos do triângulo, obtemos

x ysenB 2senC 2 x 2y.5 5

= ⇔ = ⋅ ⇔ =

Portanto, aplicando o Teorema de Pitágoras, vem

2 2 2 2 2

2x y 5 (2y) y 25

5y 25

y 5 m.

+ = ⇔ + =

⇔ =

⇒ =

b) De (a), obtemos x 2 5 m.= Por conseguinte, a medida pedida é dada por h 6 x 6 2 5 2 (3 5) m.= − = − = ⋅ −

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Resposta da questão 38: [B] Seja α o ângulo que a rampa faz com o solo.

O ângulo α é tal que 12tg 0,50.24

α = =

Desse modo, como a função tangente é crescente e 3tg30 0,58 0,50,3

° = ≅ > segue que

30 .α < ° Resposta da questão 39: [A] Considere o triângulo isósceles ABC de base BC. Assim, AB AC 3 cm= = e ABC ACB 30 .≡ = ° Sendo M o ponto médio de BC, do triângulo AMC, vem

BCMC 2cos ACB cos30

3ACBC 3cm.

= ⇔ ° =

⇔ =

Portanto, o resultado é AB AC BC 3 3 3

(2 3 3)cm.

+ + = + +

= +

Resposta da questão 40: [C]

O resultado pedido é dado por ytg60 y 100 3 m.100

° = ⇔ =

Resposta da questão 41: [A] Como os triângulos ABC e BED são semelhantes, vem BE DE 400 CE 120

400 220BC AC11 (400 CE) 400 6

2000CE11

CE 182 m.

−= ⇔ =

⇔ ⋅ − = ⋅

⇔ =

⇒ ≅

Resposta da questão 42: [B] Pelo Teorema de Pitágoras, segue que

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2 2 2 2 2 2

2

AB AC BC AB 220 400

AB 208400

AB 208400AB 456,5 m.

= + ⇔ = +

⇔ =

⇒ =

⇒ ≅

Portanto,

AC 220senABC senABC456,5AB

senABC 0,48.

= ⇔ =

⇒ ≅

Resposta da questão 43: [C]

1 x 15x x 3000mm 3m0,005 15 0,005

= ⇔ = ⇔ = =

Resposta da questão 44: [D]

Traçando DF AC, temos que os triângulos DHE e DGF são semelhantes por AAA. Se HE x,= vem: x 12 x 1,2 m.2 20= ⇒ =

Assim, a altura do suporte em B é: 4 x 4 1,2 5,2 m.+ = + = Resposta da questão 45: [E]

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Sejam Q o ponto em que T tangencia K, M o centro de T e N o centro de K. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo MND, vem:

= + ⇒ + = − +

⇒ + ⋅ + = − ⋅ + +

⇒ ⋅ =

⇒ =

2 22 2 2 2

2 22 22

2

L LMN MD ND MQ (L MQ)2 2

L LMQ L MQ L 2L MQ MQ4 4

3L MQ LLMQ .3

Resposta da questão 46: [D]

Sabendo que =AC 1 e α =1sen ,3

vem

α = ⇔ = ⇔ =BC 1 BC ABsen BC .

3 3AB AB

Aplicando o Teorema de Pitágoras, obtemos:

= + ⇔ − =

⋅⇒ =

⇒ = =

22 2 2 2 2

2

ABAB AC BC AB 13

8 AB 19

3 3 2AB .42 2

Resposta da questão 47: [A] Seja K o pé da altura baixada do vértice H.

Logo,

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HKsen40 HK 0,64 20 12,8 m.GH

° = ⇒ = ⋅ =

Resposta da questão 48: [C] Destaquemos os triângulos retângulos formados nas situações inicial e final.

Aplicando Pitágoras no primeiro triângulo: D2 + h2 = L2 ⇒ D2 + 2,25 = 15,21 ⇒ D = 12,96 ⇒ D = 3,6 m Aplicando Pitágoras no segundo triângulo: d2 + h2 + C2 ⇒ d2 + 1,52 = 2,52 ⇒ d2 = 6,25 – 2,25 = 4 ⇒ d = 2 m. Comparando os dois triângulos: x = D – d = 3,6 – 2 ⇒ x = 1,6 m. Resposta da questão 49: [A]

12

21

)12(21

21

21

22

+=+

=+

Resposta da questão 50: [D] Considere a figura, em que =BC x.

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Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, obtemos

= + ⇒ = = =2 2 2x 90 120 x 22500 150cm 1,5 m. Portanto, o comprimento total do corrimão é + ⋅ =1,5 2 0,3 2,1m. Resposta da questão 51: [B] Altura = h

2 2 2

2 2 2(3,8) h 5 [I]

(10 3,8) h x [II]

+ =

− + =

Fazendo a diferença [II] – [I]:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2

2

(10 3,8) h (3,8) h x 5

(10 3,8) (3,8) x 5

100 38 38 (3,8) (3,8) x 5

100 76 x 5

x 100 76 25

x 49 x 7

− + − − = −

− − = −

− − + − = −

− = −

∴ = − +

= ⇒ =

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