E s c o l a S e c u n d á r i a J o ã o d e D e u s – F a r o

M a t e m á t i c a A

12.º Ano

Ano Lectivo

2005/2006

Triângulo de Pascal

Vamos começar por dispor os valores de n numa forma triangular, como se vê

de seguida:

pC

Vamos calcular os diferentes valores de n e substituí-los na pirâmide de cima. pC

Vamos observar atentamente para a forma triangular, e podemos concluir que:

1. Cada linha do triângulo começa e acaba por 1;

2. Em cada linha, elementos igualmente afastados das extremidades têm o

mesmo valor;

3. a partir da 2.ª linha, cada elemento (com excepção dos extremos) é a

soma dos dois elementos imediatamente acima dele.

Por exemplo ou ainda 4

2

3 31

C

C C+ 25

3

4 42 3

C

C C+ .

Triângulo de Pascal 1

4. A soma da n é linha do triângulo é 2 . sima− n

Podemos agora formalizar estas observações e definir assim as propriedades do

Triângulo de Pascal:

Propriedade 1

0 1, n nnC C n= = ∀ ∈

Propriedade 2

0 com n np n pC C , n,p n− p= ∀ ∈ ≥

Propriedade 3

11 1, , com 2n n n

p p pC C C n p n n++ + p+ = ∀ ∈ ≥ ∧ ≥

Propriedade 4

0 1 2 1... 2 , n n n n n nn nC C C C C n−+ + + + + = ∀ ∈

Exercícios

1. Demonstra as propriedades do triângulo de Pascal.

2. A soma de todos os elementos de uma linha de Pascal é 32. Escreve essa linha.

3. Se o terceiro elemento de uma linha do triângulo de Pascal é 120, qual é o

penúltimo elemento dessa mesma linha?

4. O produto dos dois primeiros elementos de uma linha do triângulo de Pascal é igual

a 32. Qual é o terceiro elemento da linha seguinte?

5. é igual a 1997 1997100 101C C+

A. 1998101C B. 1 996

100C

C. 1997201C D. 1 998

201C

6. O quarto número de uma certa linha do triângulo de Pascal é 19600. A soma dos

quatro primeiros números dessa linha é 20876. Qual é o terceiro número da linha

seguinte?

A. 2634 B. 2193 C. 1581 D. 1275

Triângulo de Pascal 2

7. Considere-se duas linhas consecutivas do triângulo de Pascal, das quais se

reproduzem alguns elementos:

Indique o valor de b.

A. 164 B. 198 C. 210 D. 234

8. a b c d e f g representa uma linha completa do triângulo de Pascal, onde todos os

elementos estão substituídos por letras. Qual das seguintes igualdades é verdadeira?

A. B. C. D. 63c C= 7

3c C= 62c C= 7

2c C=

9. O penúltimo número de uma certa linha do triângulo de Pascal é 10. Qual é o

terceiro número dessa linha?

A. 11 B. 19 C. 45 D. 144

10. Os quatro primeiros números de uma linha do triângulo de Pascal são 1, 11, 55 e

165. Então os três últimos números da linha seguinte são:

A. 36, 24 e 12 B. 66, 12 e 1 C. 220, 66 e 12 D. 24, 12 e 1

11. Uma certa linha do triângulo de Pascal tem quinze elementos. Qual é o sexto

elemento dessa linha?

A. B. 15 C. 14 D. 145C 5C 6C

156C

12. No triângulo de Pascal existe uma linha com onze elementos. Seja a o maior

número dessa linha. Qual o valor de a?

A. 10 B. 10 C. 11 D. 5C 6C 5C11

6C

13. A soma dos dois últimos elementos de uma certa linha do triângulo de pascal é 21.

Qual é o valor da soma dos três primeiros elementos dessa linha?

A. 121 B. 151 C. 181 D. 211

14. Considera a linha do triângulo de Pascal em que o segundo elemento é 35.

Escolhem-se, ao acaso, dois elementos dessa linha. Qual é a probabilidade de estes

dois serem iguais?

A. 35

2

1C

B. 36

2

18C

C. 35

2

19C

D. 36

2

35C

Resolve todos os exercícios de escolha múltipla acerca do Triângulo de Pascal que

estão no livro do GAVE.

Triângulo de Pascal 3