Triângulos

DEFINIÇÃO

Do latim - triangulu, é

um polígono de três lados

e três ângulos. Os três

ângulos de um triângulo

são designados por três

letras maiúsculas A, B e C

e os lados opostos a eles,

pelas mesmas três letras,

minúsculas a, b e c.

ELEMENTOS

1. A mediana (do latim -

mediana) de um triângulo

é o segmento de reta que

une um vértice ao ponto médio do lado oposto.

2. A ceviana de um

triângulo é o segmento de

reta com um extremo num

vértice e o outro extremo

na reta que contém o lado oposto.

3. O incentro de um

triângulo é o ponto de

encontro das três

bissetrizes do triângulo. É

também o centro da

circunferência inscrita no triângulo.

4. O baricentro (do grego - baros "peso", do latim - centrum "centro de

gravidade") de um triângulo é também chamado de centro de gravidade ou

centróide. É o ponto de encontro das três medianas de um triângulo. É também o

ponto que divide cada mediana do triângulo em duas partes: um terço a contar do lado e dois terços a contar do vértice.

5. O circuncentro de um triângulo (de circun + centro) é o ponto de encontro das

mediatrizes dos lados do triângulo. O circuncentro pode ser interno ou externo ao triângulo. É também o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.

6. O ortocentro de um triângulo é o ponto de encontro das três alturas do

triângulo. O ortocentro pode ser interno ou externo ao triângulo.

CLASSIFICAÇÃO PELOS ÂNGULOS

1. Acutângulo é o

triângulo que tem todos os ângulos agudos.

2. Eqüiângulo é o

triângulo que possui os

seus três ângulos

congruentes. Um triângulo

eqüiângulo também é um triângulo eqüilátero.

3. Obtusângulo é o

triângulo que possui um

ângulo obtuso.

4. Retângulo é o triângulo

que possui um ângulo

reto. Veja a demonstração do teorema de Pitágoras.

CLASSIFICAÇÃO PELOS

LADOS

1. Eqüilátero é o triângulo que possui seus três lados congruentes, ou seja,

iguais. Um triângulo eqüilátero também é um triângulo eqüiângulo

2. Escaleno é o triângulo que não possui os seus tres lados congruentes.

3. Isósceles é o triângulo que possui dois lados e os dois ângulos adjacentes à

base congruentes.

TRIÂNGULO INSCRITO EM TRIÃNGULO

Ortico é um triângulo cujos vértices A'B'C' são os pontos resultantes da

interseção das alturas de um outro triângulo ABC com suas respectivas bases (pés das alturas). Portanto ele se encontra inscrito dentro de um outro triângulo.

Atividade I : Assista ao video sobre triângulos.

http://tvescola.mec.gov.br/tve/video/mao-na-forma-dialogo-geometrico

Atividade II

1. Diga se é possível construir um triângulo com lados cujas medidas são:

a) a = 8 cm, b = 6 cm e c = 5 cm

b) a = 10 cm, b = 10 cm e c = 8 cm

c) a = 5 cm, b = 2 cm e c = 3 cm

d) a = 5,4 cm, b = 1 cm e c = 3,5 cm

e) a = 6,5 cm, b = 4,5 cm e c = 5 cm

2. Classifique os triângulos abaixo:

QUANTO AOS LADOS QUANTO AOS ÂNGULOS

( ) Equilátero ( ) Acutângulo

( ) Isósceles ( ) Obtusângulo

( ) Escaleno ( ) Retângulo

QUANTO AOS LADOS QUANTO AOS ÂNGULOS

( ) Equilátero ( ) Acutângulo

( ) Isósceles ( ) Obtusângulo

( ) Escaleno ( ) Retângulo

3. Determine o valor dos termos desconhecidos nos triângulos abaixo:

b) 4x – 40º

x + 20º x

a) 52º

85º x

x

c) d)

4. Na figura abaixo. Determine os segmentos que representam, mediana, bissetriz

e altura, sabendo que BP = PC e BÂN = NÂC.

A AH =

AN =

B H N P C

AP =

5. Na figura, med B = 40º, med C= 60º. Se D é o incentro do triângulo ABC, então

x vale:

A

B C

a) 40º b) 120º c) 130º d) 150º e) 100º

6. No triângulo ABC abaixo, AM é a mediana. Determine o perímetro desse triângulo.

A

2,5

B 1,9 cm M C

3x – 16º

4x + 22º 2x + 6º

60º

x

y 26º

30º

3,5 cm cm

x

20°

7. Na figura abaixo, AH é altura, calcule x e y:

A

B H C

8. Na figura abaixo, AD é bissetriz. Calcule a e b:

A

B D C

9. Determine o valor de x, sabendo que AD e BC são bissetrizes dos ângulos

indicados. E

C

A B

10. Determine o valor de x de cada figura abaixo:

a) b)

x y

30º 50º

a b

30º 50º

x

2x

3x

40º

130º

x 120º

5 cm

30º 50º

3 cm

11. Na congruência de triângulos, estudamos quatro casos, são eles: L.L.L., L.A.L.,

A.L.A. e L.A.AO. Indique o caso de congruência nos pares de triângulos abaixo:

a) c) 5 cm

3 cm

3 cm

4 cm

b) d) 4cm

3 cm 100º

4 cm

4 cm

100º

3 cm

30º

120º

4 cm

30º

120º

3 cm 4 cm

30º

40

40º

12. Quais os possíveis casos de congruência para o par de triângulos abaixo?

30

a) LLL; LAL; ALA

b) LAL; LAAo; LLL

c) LAAo; LAL; ALA

d) AA; LAL; LAAo

e) AA; LAAo; LLL

13. Na figura, o ABC é congruente ao EDC. Determine o caso de congruência e o valor de x e y.

2

30 30º

40º 40

15 23

3y +

2x – 3

QUADRILÁTEROS

Um quadrilátero é um polígono de quatro lados. Pode ser dito

que é porção do plano limitada por uma poligonal fechada,

B A Lados:

AB

BC

CD AD

C

Vértices:

A

B

C

D

Diagonais:

AC

BD

D

Algumas Propriedades dos quadriláteros

1. A soma dos seus ângulos internos é 360°.

2. A soma dos seus ângulos externos é 360°.

Classificação dos Quadriláteros

a) Paralelogramo

Chama-se paralelogramo o quadrilátero que possui lados paralelos dois a dois (lados opostos paralelos).

Propriedades dos Paralelogramos

• Seus lados e seus ângulos opostos são congruentes.

• Suas diagonais se cortam no ponto médio.

Classificação dos paralelogramos

QUADRADO

1. No quadrado

•As diagonais são iguais e perpendiculares nos seus pontos médios.

•Todos os ângulos interno são retos.

•Seus lados são iguais.

•O quadrado pose ser inscrito numa circunferência de raio igual a sua

semi diagonal.

RETÂNGULO

LOSANGO

PARALELOGRAMO

No retângulo

• As diagonais são oblíquas, iguais e se cortam

nos seus pontos médios.

•Todos os ângulos interno são retos.

•Seus lados opostos são iguais.

•O retângulo pose ser inscrito numa circunferência de raio igual a

sua metade da diagonal.

No losango

• As diagonais são diferentes, perpendiculares, se cortam nos seus

pontos médios e são bissetrizes dos ângulos internos.

•Nenhum ângulo interno é reto.

•Seus lados são iguais.

•Não é inscritível.

No paralelogramo

• As diagonais são diferentes, oblíquas e se cortam nos seus pontos

médios.

•Nenhum ângulo interno é reto.

•Seus lados opostos são iguais.

•Não é inscritível.

b) Trapézio

Chama-se trapézio o quadrilátero que possui somente dois lados opostos paralelos

e estes recebem a denominação de bases do trapézio.

Trapézio Retângulo:

Trapézio Isósceles

Apresenta dois

ângulos de 90°

Os lados opostos não paralelos são congruentes

As diagonais são congruentes

Os ângulos de uma mesma base são congruentes

Trapézio Escaleno

Os lados opostos não

paralelos, não são

congruentes

Atividade I: Assista o vídeo

sobre quadriláteros.

http://tvescola.mec.gov.br/tve/video/mao-na-forma-quadrado-cubo-e-cia

Desenhar um quadrado de

diagonal = 65 mm

Atividade II

Desenhar um quadrado

de lado = 40 mm

Desenhar uma circunferência de diâmetro igual a

diagonal e inscrever o quadrado nesta circunferência.

Desenhar perpendiculares pelos extremos do lado

e sobre estas marcar o valor do lado. (não usar

esquadros nas construções).

Desenhar um quadrado sabendo

que a somo da diagonal e do lado

é igual a 55 mm Desenhar um retângulo conhecendo os dois lados, simultaneamente 40

mm e 20 mm.

C

•Desenhar quadrado de lado AB qualquer:

•Acrescentar, sobre a mesma reta suporte da

diagonal e a partir de seu extremo, o valor do lado

obtendo o ponto C:

•Unir o ponto C ao Ponto B:

•Marcar, a partir do ponto A e sobre a reta suporte

da diagonal, o valor 55 mm (diagonal + lado do

quadrado que se quer desenhar) obtendo o ponto

D;

•Pelo ponto D traçar uma paralela ao segmento BC

obtendo o ponto E;

•AE é o lado do quadrado proposto.

A

B

•Desenhar um dos lados, por exemplo AB, e por

um dos extremos levantar uma perpendicular;

•Sobre a perpendicular marcar o valor do outro

lado obtendo o ponto C;

•O segmento AC é o diâmetro da circunferência

que inscreve o retângulo.

Desenhar o losango de diagonal =

50 mm e lado = 30 mm

•Desenhar uma reta e sobre ela marcar 50 mm

(diagonal do losango;)

•Centrar o compasso nos seus extremos e traçar

arcos de raio = 30 mm (lado do losango);

•As intersecções dos arcos são os dois outros

vértices do quadrilátero.

Desenhar o trapézio retângulo de

bases 50 e 20 mm, sabendo que sua

altura é 30 mm.

•Desenhar uma reta e sobre ela marcar 50 mm

(base maior);

•Por um de seus extremos levantar uma

perpendicular de 30 mm (altura);

•Pelo extremo da perpendicular traçar uma paralela

a base;

•Sobre esta paralela marcar 20 mm (base menor).

Desenhar o trapézio isósceles com os seguintes dados:

Base maior = 50 mm; Base menor = 30 mm e Altura = 30 mm.

Desenhar uma reta e sobre ela marcar 50 mm (base maior);

•Por um de seus extremos levantar uma perpendicular de 30 mm (altura);

•Pelo extremo da perpendicular traçar uma paralela a base;

•Sobre esta paralela marcar 20 mm (base menor).

Foram apesentados alguns modelos que podem ser usados em sala de aula, com vídeos,

exercícios tradicionais e construção de figuras com instrumentos geométricos. Em grupo

produza um texto informando como vocês imaginam poder utilizar essas ferramentas na sua

prática profissional.