transformada z
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Transformada z
Carlos Alberto Ynoguti
September 14, 2007
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Definicao
Definicao
Introducao
Definicao
Relacao entre aDTFT e atransformada zRegiao deconvergencia
Observacoes
Exemplo 3.22
Observacao
Exemplo 3.23
Observacoes
Alguns pares detransformadas z
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Propriedades datransformada z
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Introducao
Definicao
Introducao
Definicao
Relacao entre aDTFT e atransformada zRegiao deconvergencia
Observacoes
Exemplo 3.22
Observacao
Exemplo 3.23
Observacoes
Alguns pares detransformadas z
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Propriedades datransformada z
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n DFT fornece uma representacao no domnio da frequenciapara sinais e sistemas discretos
n Por causa da condicao de convergencia, a DTFT de umasequencia pode nao existir, e desta forma nao podemos usaresta caracterizacao nestes casos
n A transformada z e uma generalizacao da DTFT, que podeexistir para muitas sequencias para as quais nao existe aDTFT.
n O uso das tecnicas da transformada z permite manipulacoesalgebricas simples
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Definicao
Definicao
Introducao
Definicao
Relacao entre aDTFT e atransformada zRegiao deconvergencia
Observacoes
Exemplo 3.22
Observacao
Exemplo 3.23
Observacoes
Alguns pares detransformadas z
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Propriedades datransformada z
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Para uma dada sequencia g[n], sua transformada z, G(z), edefinida como
G(z) = Z{g[n]} =
n=
g[n]zn (1)
onde z = (z) + j(z) e uma variavel complexa.
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Relacao entre a DTFT e a transformada z
Definicao
Introducao
Definicao
Relacao entre aDTFT e atransformada zRegiao deconvergencia
Observacoes
Exemplo 3.22
Observacao
Exemplo 3.23
Observacoes
Alguns pares detransformadas z
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Propriedades datransformada z
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G(z) = Z{g[n]} =
n=
g[n]zn
Se fizermos z = rej, entao temos:
G(rej) =
n=
g[n]rnejn (2)
que pode ser interpretada como a DTFT da sequenciamodificada {g[n]rn}.
n Para r = 1 (isto e, |z| = 1), a transformada z de g[n]reduz-se a` sua DTFT (desde que exista).
n O contorno |z| = 1 e um crculo no plano z de raio unitario,e e chamado de crculo unitario.
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Regiao de convergencia
Definicao
Introducao
Definicao
Relacao entre aDTFT e atransformada zRegiao deconvergencia
Observacoes
Exemplo 3.22
Observacao
Exemplo 3.23
Observacoes
Alguns pares detransformadas z
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Propriedades datransformada z
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n Para uma dada sequencia, o conjunto de valores R de z paraos quais sua transformada z converge e chamada de regiaode convergencia (ROC: region of convergence).
n A serie da eq. (2) converge uniformemente se g[n]rn forabsolutamente somavel, isto e:
n=
|g[n]rn|
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Observacoes
Definicao
Introducao
Definicao
Relacao entre aDTFT e atransformada zRegiao deconvergencia
Observacoes
Exemplo 3.22
Observacao
Exemplo 3.23
Observacoes
Alguns pares detransformadas z
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Propriedades datransformada z
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n A transformada z definida na equacao (1) e uma forma deuma serie de Laurent e e uma funcao analtica em todos ospontos da ROC.
n Isto implica que a transformada z e todas as suas derivadassao funcoes contnuas da variavel complexa z na ROC.
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Exemplo 3.22
Definicao
Introducao
Definicao
Relacao entre aDTFT e atransformada zRegiao deconvergencia
Observacoes
Exemplo 3.22
Observacao
Exemplo 3.23
Observacoes
Alguns pares detransformadas z
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Propriedades datransformada z
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Seja x[n] = nu[n]. Determine sua transformada z e sua regiaode convergencia.
Solucao:
X(z) =
n=
nu[n]zn =
n=0
nzn
A serie acima converge para
X(z) =1
1 z1, |z1| < 1
indicando que a ROC e a regiao anular |z| > ||
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Observacao
Definicao
Introducao
Definicao
Relacao entre aDTFT e atransformada zRegiao deconvergencia
Observacoes
Exemplo 3.22
Observacao
Exemplo 3.23
Observacoes
Alguns pares detransformadas z
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Propriedades datransformada z
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Podemos obter a transformada z de u[n] se fizermos = 1 noexemplo anterior. Neste caso:
U(z) =1
1 z1, |z1| < 1
A ROC de U(z) e entao a regiao anelar |z| > 1.
Note que u[n] nao e absolutamente somavel, e portanto naopossui transformada de Fourier. Entretanto, possui transformadaz.
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Exemplo 3.23
Definicao
Introducao
Definicao
Relacao entre aDTFT e atransformada zRegiao deconvergencia
Observacoes
Exemplo 3.22
Observacao
Exemplo 3.23
Observacoes
Alguns pares detransformadas z
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Propriedades datransformada z
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Encontre a transformada z da sequencia anti-causalx[n] = nu[n 1]
Solucao:
X(z) =
1n=
nzn =
m=1
mzm
= 1zn=0
mzm =1z
1 1z=
1
1 z1, |1z| < 1
onde agora a ROC e a regiao anular |z| < ||
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Observacoes
Definicao
Introducao
Definicao
Relacao entre aDTFT e atransformada zRegiao deconvergencia
Observacoes
Exemplo 3.22
Observacao
Exemplo 3.23
Observacoes
Alguns pares detransformadas z
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Propriedades datransformada z
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n Note dos exemplos anteriores que as transformadas z saoidenticas apesar das sequencias que as originaram seremmuito diferentes entre si. Desta forma, para associarmos umasequencia a` sua transformada z de forma unvoca, devemoslevar em conta tambem a sua regiao de convergencia.
n A transformada de Fourier G(ej) de uma sequencia g[n]converge uniformemente se e somente se a ROC datransformada z de g[n] incluir o crculo unitario.
n Por outro lado, a existencia da transformada de Fourier nemsempre implica a existencia da transformada z. Por exemplo,
hLP [n] =
{1, 0 || c
0, c < || pi
tem transformada de Fourier, mas nao tem transformada z.
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Alguns pares de transformadas z
Definicao
Introducao
Definicao
Relacao entre aDTFT e atransformada zRegiao deconvergencia
Observacoes
Exemplo 3.22
Observacao
Exemplo 3.23
Observacoes
Alguns pares detransformadas z
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Propriedades datransformada z
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Sequencia transformada z ROC
[n] 1 z
u[n]1
1 z1|z| > 1
nu[n]1
1 z1|z| > ||
(rn cos0n)u[n]1 (r cos0)z
1
1 (2r cos0)z1 + r2z2|z| > r
(rn sen0n)u[n]1 (r sen0)z
1
1 (2r cos0)z1 + r2z2|z| > r
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Transformadas z racionais
Definicao
Transformadas zracionais
Sistemas LTI
Formas alternativas
Exemplo
Interpretacao fsica
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Propriedades datransformada z
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Sistemas LTI
Definicao
Transformadas zracionais
Sistemas LTI
Formas alternativas
Exemplo
Interpretacao fsica
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Propriedades datransformada z
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A transformada z de sistemas discretos LTI sao funcoes racionaisde z1:
G(z) =P (z)
Q(z)=p0 + p1z
1 + + pM1z(M1) + pMz
M
d0 + d1z1 + + dN1z(N1) + dNzN
(5)onde o grau do polinomio no numerador P (z) e M , e o grau dopolinomio no denominador Q(z) e N .
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Formas alternativas
Definicao
Transformadas zracionais
Sistemas LTI
Formas alternativas
Exemplo
Interpretacao fsica
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Propriedades datransformada z
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G(z) = z(NM)p0z
M + p1zM1 + + pM1z + pM
d0zN + d1zN1 + + dN1z + dN(6)
Esta equacao pode ser escrita de forma fatorada como:
G(z) =p0d0
Ml=1(1 lz
1)Ml=1(1 lz
1)= z(NM)
p0d0
Ml=1(z l)Ml=1(z l)
(7)
n Em z = l, G(l) = 0 z = l sao os zeros de G(z)
n Em z = l, G(l) z = l sao os polos de G(z)
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Exemplo
Definicao
Transformadas zracionais
Sistemas LTI
Formas alternativas
Exemplo
Interpretacao fsica
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Propriedades datransformada z
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A transformada z de u[n] e dada por
U(z) =1
1 z1=
z
z 1, |z| > 1
que tem um zero em z = 0 e um polo em z = 1.
Re z
Im z
crculo unitariopolo em z = 1
zero em z = 0regiao de convergencia
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Interpretacao fsica
Definicao
Transformadas zracionais
Sistemas LTI
Formas alternativas
Exemplo
Interpretacao fsica
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Propriedades datransformada z
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Seja G(z) =1 2.4z1 + 2.88z2
1 0.8z1 + 0.64z2
Vamos plotar o grafico de 20 log10 |G(z)| no plano complexo:Podemos ver grandes picos em z = 0.4 j0.6928 (polos) egrandes vales em z = 1.2 j1.2 (zeros).
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Regiao de convergencia de uma
transformada z racional
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracionalMotivos paraestudar a regiao deconvergencia
Posicao da ROC
Exemplo 3.24
Exemplo 3.25
Exemplo 3.26
Exemplo 3.27
Exemplo 3.27(continuacao)
Exemplo 3.28
Resumindo
Transformada zinversa
Propriedades datransformada z
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Motivos para estudar a regiao de convergencia
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracionalMotivos paraestudar a regiao deconvergencia
Posicao da ROC
Exemplo 3.24
Exemplo 3.25
Exemplo 3.26
Exemplo 3.27
Exemplo 3.27(continuacao)
Exemplo 3.28
Resumindo
Transformada zinversa
Propriedades datransformada z
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n Sem o conhecimento da ROC nao existe uma relacaounvoca entre uma sequencia e sua transformada z.Portanto, a transformada z precisa sempre ser especificadacom sua respectiva ROC.
n Se a ROC da transformada z de uma sequencia inclui ocrculo unitario, entao esta sequencia tambem teratransformada de Fourier, que pode por sua vez ser calculadaavaliando-se a transformada z no crculo unitario.
n Existe uma relacao entre a ROC da transformada z daresposta a impulso de um sistema LTI causal e sua BIBOestabilidade.
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Motivos para estudar a regiao de convergencia
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracionalMotivos paraestudar a regiao deconvergencia
Posicao da ROC
Exemplo 3.24
Exemplo 3.25
Exemplo 3.26
Exemplo 3.27
Exemplo 3.27(continuacao)
Exemplo 3.28
Resumindo
Transformada zinversa
Propriedades datransformada z
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n Sem o conhecimento da ROC nao existe uma relacaounvoca entre uma sequencia e sua transformada z.Portanto, a transformada z precisa sempre ser especificadacom sua respectiva ROC.
n Se a ROC da transformada z de uma sequencia inclui ocrculo unitario, entao esta sequencia tambem teratransformada de Fourier, que pode por sua vez ser calculadaavaliando-se a transformada z no crculo unitario.
n Existe uma relacao entre a ROC da transformada z daresposta a impulso de um sistema LTI causal e sua BIBOestabilidade.
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Motivos para estudar a regiao de convergencia
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracionalMotivos paraestudar a regiao deconvergencia
Posicao da ROC
Exemplo 3.24
Exemplo 3.25
Exemplo 3.26
Exemplo 3.27
Exemplo 3.27(continuacao)
Exemplo 3.28
Resumindo
Transformada zinversa
Propriedades datransformada z
19 / 53
n Sem o conhecimento da ROC nao existe uma relacaounvoca entre uma sequencia e sua transformada z.Portanto, a transformada z precisa sempre ser especificadacom sua respectiva ROC.
n Se a ROC da transformada z de uma sequencia inclui ocrculo unitario, entao esta sequencia tambem teratransformada de Fourier, que pode por sua vez ser calculadaavaliando-se a transformada z no crculo unitario.
n Existe uma relacao entre a ROC da transformada z daresposta a impulso de um sistema LTI causal e sua BIBOestabilidade.
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Posicao da ROC
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracionalMotivos paraestudar a regiao deconvergencia
Posicao da ROC
Exemplo 3.24
Exemplo 3.25
Exemplo 3.26
Exemplo 3.27
Exemplo 3.27(continuacao)
Exemplo 3.28
Resumindo
Transformada zinversa
Propriedades datransformada z
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A ROC de uma transformada z racional e limitada pelalocalizacao dos polos. Para entender isto, vamos examinar aROC de u[n], calculada anteriormente:
Re z
Im z
crculo unitariopolo em z = 1
zero em z = 0regiao de convergencia
ROC (area sombreada): regiao do plano z fora do crculocentrado na origem, indo desde o polo em z = 1 ate |z| = .
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Exemplo 3.24
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracionalMotivos paraestudar a regiao deconvergencia
Posicao da ROC
Exemplo 3.24
Exemplo 3.25
Exemplo 3.26
Exemplo 3.27
Exemplo 3.27(continuacao)
Exemplo 3.28
Resumindo
Transformada zinversa
Propriedades datransformada z
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Determine a ROC da transformada z de h[n] = (0.6)nu[n]
SolucaoDo Exemplo 3.22, temos que:
H(z) =1
1 + 0.6z1=
z
z + 0.6, |z| > 0.6
Re z
Im z
polo em z = 0.6
zero em z = 0
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Exemplo 3.25
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracionalMotivos paraestudar a regiao deconvergencia
Posicao da ROC
Exemplo 3.24
Exemplo 3.25
Exemplo 3.26
Exemplo 3.27
Exemplo 3.27(continuacao)
Exemplo 3.28
Resumindo
Transformada zinversa
Propriedades datransformada z
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Seja g[n] uma sequencia finita , definida para M n N ,onde M e N sao inteiros nao negativos e |g[n]|
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Exemplo 3.26
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracionalMotivos paraestudar a regiao deconvergencia
Posicao da ROC
Exemplo 3.24
Exemplo 3.25
Exemplo 3.26
Exemplo 3.27
Exemplo 3.27(continuacao)
Exemplo 3.28
Resumindo
Transformada zinversa
Propriedades datransformada z
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Uma sequencia de lado direito u1[n] com amostras nao nulassomente para n 0 e algumas vezes chamada de uma sequenciacausal. Sua transformada z e dada por:
U1(z) =
n=0
u1[n]zn (9)
Pode-se mostrar que U1(z) converge na regiao exterior ao crculo|z| = R1, incluindo o ponto z = .
Por outro lado, uma sequencia de lado direito u2[n], comamostras nao nulas somente para n M (M um inteiro naonegativo) tem transformada z, U2(z), com M polos em z = ,e portanto sua ROC e exterior ao crculo |z| = R2, excluindo oponto z = .
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Exemplo 3.27
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracionalMotivos paraestudar a regiao deconvergencia
Posicao da ROC
Exemplo 3.24
Exemplo 3.25
Exemplo 3.26
Exemplo 3.27
Exemplo 3.27(continuacao)
Exemplo 3.28
Resumindo
Transformada zinversa
Propriedades datransformada z
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Uma sequencia de lado esquerdo v1[n] com amostras nao nulassomente para n 0 e geralmente chamada de uma sequenciaanti-causal. Sua transformada z e dada por:
V1(z) =0
n=
v1[n]zn (10)
e converge na regiao interior ao crculo |z| = R3, incluindo oponto z = 0.
Entretanto, uma sequencia de lado esquerdo v2[n], com amostrasnao nulas somente para n N (N um inteiro nao negativo) temtransformada z, V2(z), com N polos em z = 0. Como resultado,sua ROC e interior ao crculo |z| = R4, excluindo o ponto z = 0.
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Exemplo 3.27 (continuacao)
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracionalMotivos paraestudar a regiao deconvergencia
Posicao da ROC
Exemplo 3.24
Exemplo 3.25
Exemplo 3.26
Exemplo 3.27
Exemplo 3.27(continuacao)
Exemplo 3.28
Resumindo
Transformada zinversa
Propriedades datransformada z
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A transformada z de uma sequencia bilateral w[n] pode serexpressa como:
W (z) =
n=
w[n]zn =n=0
w[n]zn +1
n=
w[n]zn (11)
n O primeiro termo e a transformada z de uma sequencia delado direito, que converge no exterior do crculo |z| = R5.
n O segundo termo e a transformada z de uma sequencia delado esquerdo, que converge no interior do crculo |z| = R6.
n Como resultado, se R5 < R6 a ROC e a regiaoR5 < |z| < R6. Porem, se R5 > R6, a transformada z destasequencia nao existe.
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Exemplo 3.28
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracionalMotivos paraestudar a regiao deconvergencia
Posicao da ROC
Exemplo 3.24
Exemplo 3.25
Exemplo 3.26
Exemplo 3.27
Exemplo 3.27(continuacao)
Exemplo 3.28
Resumindo
Transformada zinversa
Propriedades datransformada z
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A sequencia bilateral definida por
x[n] = n
onde pode ser um numero real ou complexo, nao temtransformada z, independentemente do valor absoluto ||, pois
U(z) =n=0
nzn +1
n=
nzn (12)
O primeiro termo da Equacao (12) converge para |z| > ||,enquanto que o segundo termo converge para |z| < ||, eportanto nao ha sobreposicao das ROCs.
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Resumindo
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracionalMotivos paraestudar a regiao deconvergencia
Posicao da ROC
Exemplo 3.24
Exemplo 3.25
Exemplo 3.26
Exemplo 3.27
Exemplo 3.27(continuacao)
Exemplo 3.28
Resumindo
Transformada zinversa
Propriedades datransformada z
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Seja uma transformada z racional com polos em z = e z = .As ROCs possveis sao:
ReReRe
ImImIm
000
a) sequencia de b) sequencia bilateral c) sequencia delado direito lado esquerdo
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Transformada z inversa
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Expressao geral
Forma alternativa decalculoMetodo 1: expansaoem fracoes parciais
Exemplo 3.31
Polos simples
Observacao
Exemplo 3.32
Polos multiplos
Metodo 2: divisaolonga
Exemplo 3.35
Propriedades datransformada z
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Expressao geral
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Expressao geral
Forma alternativa decalculoMetodo 1: expansaoem fracoes parciais
Exemplo 3.31
Polos simples
Observacao
Exemplo 3.32
Polos multiplos
Metodo 2: divisaolonga
Exemplo 3.35
Propriedades datransformada z
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Para z = rej, G(z) e meramente a transformada de Fourier deg[n]rn. Assim, a transformada inversa de Fourier destasequencia e:
g[n]rn =1
2pi
pipi
G(rej)ejnd (13)
Fazendo z = rej, podemos reescrever a equacao acima como
g[n] =1
2pij
CG(z)zn1dz (14)
onde C e um contorno de integracao anti-horario definido por|z| = r.
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Forma alternativa de calculo
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Expressao geral
Forma alternativa decalculoMetodo 1: expansaoem fracoes parciais
Exemplo 3.31
Polos simples
Observacao
Exemplo 3.32
Polos multiplos
Metodo 2: divisaolonga
Exemplo 3.35
Propriedades datransformada z
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A integral de contorno permanece inalterada quandosubstitumos C por qualquer contorno C que contenha aorigem. Assim, esta integral pode ser avaliada usando o teoremados resduos de Cauchy:
g[n] =
[resduos de G(z)zn1 nos polos dentro de C] (15)
Vamos ver a seguir dois metodos simples para calcular atransformada z inversa.
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Metodo 1: expansao em fracoes parciais
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Expressao geral
Forma alternativa decalculoMetodo 1: expansaoem fracoes parciais
Exemplo 3.31
Polos simples
Observacao
Exemplo 3.32
Polos multiplos
Metodo 2: divisaolonga
Exemplo 3.35
Propriedades datransformada z
31 / 53
n Uma transformada z racional G(z) com uma inversa g[n]causal tem uma ROC que e exterior a um crculo.
n Neste caso, e mais conveniente expressar G(z) na forma deuma expansao em fracoes parciais, e determinar g[n]somando as transformadas inversas dos termos individuaismais simples na expansao.
n Seja G(z) racional expressa como:
G(z) =P (z)
D(z)(16)
onde P (z) e D(z) sao polinomios em z1.
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Metodo 1: expansao em fracoes parciais
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Expressao geral
Forma alternativa decalculoMetodo 1: expansaoem fracoes parciais
Exemplo 3.31
Polos simples
Observacao
Exemplo 3.32
Polos multiplos
Metodo 2: divisaolonga
Exemplo 3.35
Propriedades datransformada z
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n Uma transformada z racional G(z) com uma inversa g[n]causal tem uma ROC que e exterior a um crculo.
n Neste caso, e mais conveniente expressar G(z) na forma deuma expansao em fracoes parciais, e determinar g[n]somando as transformadas inversas dos termos individuaismais simples na expansao.
n Seja G(z) racional expressa como:
G(z) =P (z)
D(z)(16)
onde P (z) e D(z) sao polinomios em z1.
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Metodo 1: expansao em fracoes parciais
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Expressao geral
Forma alternativa decalculoMetodo 1: expansaoem fracoes parciais
Exemplo 3.31
Polos simples
Observacao
Exemplo 3.32
Polos multiplos
Metodo 2: divisaolonga
Exemplo 3.35
Propriedades datransformada z
31 / 53
n Uma transformada z racional G(z) com uma inversa g[n]causal tem uma ROC que e exterior a um crculo.
n Neste caso, e mais conveniente expressar G(z) na forma deuma expansao em fracoes parciais, e determinar g[n]somando as transformadas inversas dos termos individuaismais simples na expansao.
n Seja G(z) racional expressa como:
G(z) =P (z)
D(z)(16)
onde P (z) e D(z) sao polinomios em z1.
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Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Expressao geral
Forma alternativa decalculoMetodo 1: expansaoem fracoes parciais
Exemplo 3.31
Polos simples
Observacao
Exemplo 3.32
Polos multiplos
Metodo 2: divisaolonga
Exemplo 3.35
Propriedades datransformada z
32 / 53
Se o grau M do numerador P (z) e maior que o grau N dodenominador D(z) entao podemos dividir P (z) por D(z) ereescrever G(z) como
G(z) =MNl=0
lzl +
P1(z)
D(z)(17)
onde o grau do polinomio P1(z) e menor que o de D(z). Afuncao racional P1(z)/D(z) e chamada uma fracao propria.
-
Exemplo 3.31
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Expressao geral
Forma alternativa decalculoMetodo 1: expansaoem fracoes parciais
Exemplo 3.31
Polos simples
Observacao
Exemplo 3.32
Polos multiplos
Metodo 2: divisaolonga
Exemplo 3.35
Propriedades datransformada z
33 / 53
Considere a transformada z racional
2 + 0.8z1 + 0.5z2 + 0.3z3
1 + 0.8z1 + 0.2z2
Desde que o grau do numerador e maior que o grau dodenominador, vamos dividir o numerador pelo denominador(usando divisao longa). Com isto, chegamos a:
3.5 + 1.5z1 +5.5 + 2.1z1
1 + 0.8z1 + 0.2z2
-
Polos simples
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Expressao geral
Forma alternativa decalculoMetodo 1: expansaoem fracoes parciais
Exemplo 3.31
Polos simples
Observacao
Exemplo 3.32
Polos multiplos
Metodo 2: divisaolonga
Exemplo 3.35
Propriedades datransformada z
34 / 53
Suponha que G(z) tenha N polos simples e distintos, localizadosemz = k, 0 k N . Uma expansao em fracoes parciais deG(z) e entao da forma
G(z) =Nl=1
l1 lzl
(18)
onde as constantes l (resduos) sao dadas por
l = (1 lz1)G(z)
z=l
(19)
Cada termo de (19) mtem uma ROC definida por z > |l| e,portanto, uma inversa da forma l(l)
nu[n]. Assim, a inversa deG(z) e dada por
g[n] =Nl=1
l(l)nu[n] (20)
-
Observacao
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Expressao geral
Forma alternativa decalculoMetodo 1: expansaoem fracoes parciais
Exemplo 3.31
Polos simples
Observacao
Exemplo 3.32
Polos multiplos
Metodo 2: divisaolonga
Exemplo 3.35
Propriedades datransformada z
35 / 53
Note que o procedimento acima, com pequenas modificacoes,pode ser usado para determinar a transformada z inversa de umasequencia nao causal com uma transformada z racional.
-
Exemplo 3.32
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Expressao geral
Forma alternativa decalculoMetodo 1: expansaoem fracoes parciais
Exemplo 3.31
Polos simples
Observacao
Exemplo 3.32
Polos multiplos
Metodo 2: divisaolonga
Exemplo 3.35
Propriedades datransformada z
36 / 53
Seja a transformada z de uma sequencia h[n] causal dada por
H(z) =z(z + 2.0)
(z 0.2)(z + 0.6)=
1 + 2.0z1
(1 0.2z1)(1 + 0.6z1)(21)
Fazendo a expansao em fracoes parciais de H(z), temos:
H(z) =1
1 0.2z1+
21 + 0.6z1
(22)
-
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Expressao geral
Forma alternativa decalculoMetodo 1: expansaoem fracoes parciais
Exemplo 3.31
Polos simples
Observacao
Exemplo 3.32
Polos multiplos
Metodo 2: divisaolonga
Exemplo 3.35
Propriedades datransformada z
37 / 53
Usando (19), chegamos a:
1 = (1 0.2z1)H(z)
z=0.2
=1 + 0.2z1
1 + 0.6z1
z=0.2
= 2.75
2 = (1 + 0.6z1)H(z)
z=0.6
=1 + 0.2z1
1 0.2z1
z=0.6
= 1.75
Substituindo 1 e 2 em (22):
H(z) =2.75
1 0.2z1
1.75
1 + 0.6z1
A transformada z inversa da expressao acima e dada entao por
h[n] = 2.75(0.2)nu[n] 1.75(0.6)nu[n]
-
Polos multiplos
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Expressao geral
Forma alternativa decalculoMetodo 1: expansaoem fracoes parciais
Exemplo 3.31
Polos simples
Observacao
Exemplo 3.32
Polos multiplos
Metodo 2: divisaolonga
Exemplo 3.35
Propriedades datransformada z
38 / 53
Suponha que G(z) tem um polo em z = v de multiplicidade L, eos N L polos restantes sejam simples e em z = l,1 l N L. A expansao de G(z) tem entao a forma:
G(z) =NLl=0
lzl +
NLl=1
l1 lz1
+Li=1
i(1 vz1)i
(23)
onde as constantes i sao calculadas a partir de:
i =1
(L i)!(v)LidLi
d(z1)Li[(1 vz1)LG(z)
]z=v
, 1 i L
(24)e os resduos l sao calculados usando (19) como anteriormente.
-
Metodo 2: divisao longa
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Expressao geral
Forma alternativa decalculoMetodo 1: expansaoem fracoes parciais
Exemplo 3.31
Polos simples
Observacao
Exemplo 3.32
Polos multiplos
Metodo 2: divisaolonga
Exemplo 3.35
Propriedades datransformada z
39 / 53
n Para sequencias causais, G(z) pode ser expandida em umaserie de potencias de z1.
n Na expansao, o coeficiente que multiplica zn e entao an-esima amostra de g[n].
n Para G(z) racional, uma forma conveniente de determinar aseerie de potencias e expressar o numerador e o denominadorem termos de polinomios em z1, e entao obter a expansaopor divisao longa.
-
Exemplo 3.35
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Expressao geral
Forma alternativa decalculoMetodo 1: expansaoem fracoes parciais
Exemplo 3.31
Polos simples
Observacao
Exemplo 3.32
Polos multiplos
Metodo 2: divisaolonga
Exemplo 3.35
Propriedades datransformada z
40 / 53
Calcule a transformada z inversa de
H(z) =1 + 2.0z1
1 + 0.4z1 0.12z2
Fazendo a divisao longa do numerador pelo denominador, temos:
H(z) = 1.0 + 1.6z1 0.52z2 + 0.4z3 0.224z4 +
o que leva a
h[n] = {1.0, 1.6, 0.52, 0.4, 0.224, . . . }, n 0
-
Propriedades da transformada z
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Propriedades datransformada zAlgumaspropriedades uteis
Nota
Exemplo 3.38
Exemplo 3.39
Exemplo 3.40
Exemplo 3.41
Transformada z dacorrelacao cruzada
Energia de umasequencia
Observacoes
41 / 53
-
Algumas propriedades uteis
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Propriedades datransformada zAlgumaspropriedades uteis
Nota
Exemplo 3.38
Exemplo 3.39
Exemplo 3.40
Exemplo 3.41
Transformada z dacorrelacao cruzada
Energia de umasequencia
Observacoes
42 / 53
Propriedade Sequencia transformada z ROC
g[n] G(z) Rgh[n] H(z) Rh
conjugacao g[n] G(z) Rgrev. temporal g[n] G(1/z) 1/Rglinearidade g[n] + h[n] G(z) + H(z) inclui Rg Rh
desloc. tempo g[n n0] zn0G(z) Rg, exceto talvez
z = 0 ou z = mult. exp. ng[n] G(z/) ||Rgdif. G(z) ng[n] z dG(z)
dzRg, exceto talvezz = 0 ou z =
convolucao g[n] h[n] G(z)H(z) inclui Rg Rhmodulacao g[n]h[n] 1
2pij
HCG(v)H( z
v)v1dv inclui RgRh
Relacao de Parseval
Xn=
g[n]h[n] =1
2pij
IC
G(v)H(1/v)v1dv
-
Nota
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Propriedades datransformada zAlgumaspropriedades uteis
Nota
Exemplo 3.38
Exemplo 3.39
Exemplo 3.40
Exemplo 3.41
Transformada z dacorrelacao cruzada
Energia de umasequencia
Observacoes
43 / 53
n Rg denota a regiao Rg < |z| < Rg+
n Rh denota a regiao Rh < |z| < Rh+
n 1/Rg denota a regiao 1/Rg+ < |z| < 1/Rg
n RgRh denota a regiao RgRh < |z| < Rg+Rh+
-
Exemplo 3.38
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Propriedades datransformada zAlgumaspropriedades uteis
Nota
Exemplo 3.38
Exemplo 3.39
Exemplo 3.40
Exemplo 3.41
Transformada z dacorrelacao cruzada
Energia de umasequencia
Observacoes
44 / 53
Ache a transformada z e a ROC de v[n] = nu[n] nu[n 1]
-
Exemplo 3.38
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Propriedades datransformada zAlgumaspropriedades uteis
Nota
Exemplo 3.38
Exemplo 3.39
Exemplo 3.40
Exemplo 3.41
Transformada z dacorrelacao cruzada
Energia de umasequencia
Observacoes
44 / 53
Ache a transformada z e a ROC de v[n] = nu[n] nu[n 1]
Solucao:
Denotando x1[n] = nu[n] e x2[n] =
nu[n 1]
X1(z) =1
1 z1, |z| > ||
X2(z) =1
1 z1, |z| < ||
Usando a propriedade de linearidade, chegamos a
V (z) = X1(z) +X2(z) =1
1 z1+
1
1 z1
ROC: se || > || entao a ROC sera a regiao anular|| < z < ||. Caso contrario, a transformada z nao existe.
-
Exemplo 3.39
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Propriedades datransformada zAlgumaspropriedades uteis
Nota
Exemplo 3.38
Exemplo 3.39
Exemplo 3.40
Exemplo 3.41
Transformada z dacorrelacao cruzada
Energia de umasequencia
Observacoes
45 / 53
Determine a transformada z e a ROC de x[n] = rn cos(0n)u[n].
-
Exemplo 3.39
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Propriedades datransformada zAlgumaspropriedades uteis
Nota
Exemplo 3.38
Exemplo 3.39
Exemplo 3.40
Exemplo 3.41
Transformada z dacorrelacao cruzada
Energia de umasequencia
Observacoes
45 / 53
Determine a transformada z e a ROC de x[n] = rn cos(0n)u[n].
Solucao:
Expressando x[n] como a soma de duas sequencias exponenciais,temos:
x[n] =1
2rnej0nu[n] +
1
2rnej0nu[n]
Podemos reescrever a expressao acima como x[n] = v[n] + v[n],onde
v[n] =1
2nu[n]
com = rej0 . A transformada z de v[n] e dada por
V (z) =1
2
1
1 z1=
1
2
1
1 rej0z1, |z| > || = r
-
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Propriedades datransformada zAlgumaspropriedades uteis
Nota
Exemplo 3.38
Exemplo 3.39
Exemplo 3.40
Exemplo 3.41
Transformada z dacorrelacao cruzada
Energia de umasequencia
Observacoes
46 / 53
e a transformada z de v[n] e V (z):
V (z) =1
2
1
1 z1=
1
2
1
1 rej0z1, |z| > || = r
Usando a propriedade de linearidade da transformada z, obtemos:
X(z) = V (z) + V (z) =1
2
(1
1 rej0z1+
1
1 rej0z1
)
=1 r cos(0)z
1
1 2r cos(0)z1 + r2z2, |z| > r
-
Exemplo 3.40
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Propriedades datransformada zAlgumaspropriedades uteis
Nota
Exemplo 3.38
Exemplo 3.39
Exemplo 3.40
Exemplo 3.41
Transformada z dacorrelacao cruzada
Energia de umasequencia
Observacoes
47 / 53
Determine a transformada z e a ROC de y[n] = (n+ 1)nu[n].
-
Exemplo 3.40
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Propriedades datransformada zAlgumaspropriedades uteis
Nota
Exemplo 3.38
Exemplo 3.39
Exemplo 3.40
Exemplo 3.41
Transformada z dacorrelacao cruzada
Energia de umasequencia
Observacoes
47 / 53
Determine a transformada z e a ROC de y[n] = (n+ 1)nu[n].
Solucao:
Seja x[n] = nu[n]. Assim, podemos escrever
y[n] = nx[n] + x[n]
A transformada z de x[n] e dada por
X(z) =1
1 z1, |z| > ||
Usando a propriedade de diferenciacao, a transformada z denx[n] e:
zdX(z)
dz=
z1
(1 z1)2, |z| > ||
-
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Propriedades datransformada zAlgumaspropriedades uteis
Nota
Exemplo 3.38
Exemplo 3.39
Exemplo 3.40
Exemplo 3.41
Transformada z dacorrelacao cruzada
Energia de umasequencia
Observacoes
48 / 53
Finalmente, usando a propriedade de linearidade, obtemos:
Y (z) =1
1 z1+
z1
(1 z1)2=
1
(1 z1)2, |z| > ||
-
Exemplo 3.41
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Propriedades datransformada zAlgumaspropriedades uteis
Nota
Exemplo 3.38
Exemplo 3.39
Exemplo 3.40
Exemplo 3.41
Transformada z dacorrelacao cruzada
Energia de umasequencia
Observacoes
49 / 53
Determine a transformada z inversa de
G(z) =z3(
z 12) (z + 13
)2 , |z| > 12
-
Exemplo 3.41
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Propriedades datransformada zAlgumaspropriedades uteis
Nota
Exemplo 3.38
Exemplo 3.39
Exemplo 3.40
Exemplo 3.41
Transformada z dacorrelacao cruzada
Energia de umasequencia
Observacoes
49 / 53
Determine a transformada z inversa de
G(z) =z3(
z 12) (z + 13
)2 , |z| > 12Solucao:
Como a ROC e exterior ao crculo de raio 1/2, a transformadainversa e uma sequencia de lado direito.
Fazendo a expansao em fracoes parciais de G(z), temos:
G(z) =0.36
1 12z1
+0.24
1 + 13z1
+0.4(
1 + 13z1)2
Os dois primeiros termos tem transformada inversa dada por0.36(0.5)nu[n] e 0.24(1/3)nu[n], respectivamente.
-
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Propriedades datransformada zAlgumaspropriedades uteis
Nota
Exemplo 3.38
Exemplo 3.39
Exemplo 3.40
Exemplo 3.41
Transformada z dacorrelacao cruzada
Energia de umasequencia
Observacoes
50 / 53
Para determinar a inversa do terceiro termo, observamos que atransformada z de n(1/3)nu[n] e dada por
zd
dz
(1/
(1 +
1
3z1
))=
1
3z1/
(1 +
1
3z1
)2Desta forma, a inversa de 1/(1 + (1/3)z1)2 e dada por3(n 1)(1/3)n1u[n 1]. Finalmente, a inversa de G(z) edada por:
g[n] =
[0.24
(
1
3
)n+ 0.36
(1
2
)n]u[n]+
0.36(n 1)
(
1
3
)nu[n 1]
-
Transformada z da correlacao cruzada
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Propriedades datransformada zAlgumaspropriedades uteis
Nota
Exemplo 3.38
Exemplo 3.39
Exemplo 3.40
Exemplo 3.41
Transformada z dacorrelacao cruzada
Energia de umasequencia
Observacoes
51 / 53
Sejam duas sequencias g[n] e h[n], com transformadas z dadaspor G(z) e H(z), respectivamente.Suponha ainda que a ROC de G(z) e Rg e a ROC de H(z) e Rh.Podemos escrever a correlacao cruzada entre g[n] e h[n] como:
rgh[l] = g[n] h[l]
Usando a proriedade de reversao temporal, notamos que atransformada z de h[l] e H(z1). Usando o teorema daconvolucao, temos:
Z{rgh[l]} = G(z)H(z1)
com a ROC dada por pelo menos por Rg Rh.
-
Energia de uma sequencia
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Propriedades datransformada zAlgumaspropriedades uteis
Nota
Exemplo 3.38
Exemplo 3.39
Exemplo 3.40
Exemplo 3.41
Transformada z dacorrelacao cruzada
Energia de umasequencia
Observacoes
52 / 53
Podemos usar a relacao de Parseval para calcular a energia deuma sequencia. Fazendo g[n] = h[n] na expressao da Tabela depropriedades, chegamos a:
n=
g2[n] =1
2pij
C
G(z)G(z1)z1dz
onde C e um contorno fechado na ROC de G(z)G(z1).
-
Observacoes
Definicao
Transformadas zracionais
Regiao deconvergencia de umatransformada zracional
Transformada zinversa
Propriedades datransformada zAlgumaspropriedades uteis
Nota
Exemplo 3.38
Exemplo 3.39
Exemplo 3.40
Exemplo 3.41
Transformada z dacorrelacao cruzada
Energia de umasequencia
Observacoes
53 / 53
n Se a ROC de G(z) inclui o crculo unitario, entao a ROC deG(z1) tambem ira incluir o crculo unitario.
n Se uma sequencia e absolutamente somavel, ela temtransformada de Fourier, e portanto a ROC de suatransformada z inclui o crculo unitario. Neste caso,podemos fazer z = ej, o que faz com que possamossubstituir a integral circular pela expressao da transformadainversa de Fourier:
n=
|g[n]|2 =1
2pi
pipi
|G(ej)|2d
DefinioIntroduoDefinioRelao entre a DTFT e a transformada zRegio de convergnciaObservaesExemplo 3.22ObservaoExemplo 3.23ObservaesAlguns pares de transformadas z
Transformadas z racionaisSistemas LTIFormas alternativasExemploInterpretao fsica
Regio de convergncia de uma transformada z racionalMotivos para estudar a regio de convergnciaPosio da ROCExemplo 3.24Exemplo 3.25Exemplo 3.26Exemplo 3.27Exemplo 3.27 (continuao)Exemplo 3.28Resumindo
Transformada z inversaExpresso geralForma alternativa de clculoMtodo 1: expanso em fraes parciais Exemplo 3.31Plos simplesObservaoExemplo 3.32 Plos mltiplosMtodo 2: diviso longaExemplo 3.35
Propriedades da transformada zAlgumas propriedades teisNotaExemplo 3.38Exemplo 3.39 Exemplo 3.40 Exemplo 3.41 Transformada z da correlao cruzadaEnergia de uma sequnciaObservaes